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FIN6053 Théories avancées de portefeuille
COMPLÉMENTS DE NOTES DE COURS
PRÉLIMINAIRE ET INCOMPLET
Sébastien BlaisDépartement des sciences administratives, UQO
[email protected]/FIN6053
Cette version : 15 avril 2014
1
Table des matières
1 Introduction 6
1.1 Rendement et risque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Choix en environnement risqué. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Approche moyenne-variance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Rendement et risque 9
2.1 Rappels de probabilité et statistiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.1 Fonction de répartition et fonction de densité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.2 Moments théoriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.3 Moments empiriques et estimation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.4 Quelques distributions utiles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Rendements. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.1 Rendements simples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.2 Rendements logarithmiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Mesures de risque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.1 Mesures de risque classiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.2 Dominance stochastique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.3 Mesures de risque cohérentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.4 Sommaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Choix en environnement risqué 20
3.1 Espérance d’utilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1.1 Espérance d’utilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1.2 Validité empirique de l’espérance d’utilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 Finance comportementale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2.1 Irrationalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2.2 Croyances. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2.3 Source d’utilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2
3.2.4 Sommaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3 Mesures d’aversion pour le risque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3.1 Aversion absolue au risque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3.2 Aversion relative au risque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3.3 Prudence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3.4 Utilité linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3.5 Utilité quadratique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3.6 Aversion absolue pour le risque hyperbolique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4 Relation entre espérance d’utilité et moments partiels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4 Approche moyenne-variance 30
4.1 Espérance et variance d’un portefeuille. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.1.1 Corrélation positive parfaite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.1.2 Corrélation négative parfaite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.1.3 Corrélation imparfaite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.1.4 Actif sans risque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.1.5 N actifs risqués. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2 Choix de portefeuille classique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2.1 Utilité quadratique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2.2 Maximisation de l’espérance, variance fixée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2.3 Minimisation de la variance, espérance fixée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.2.4 Portefeuilles efficients. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.3 Choix de portefeuille sous contrainte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.3.1 Restrictions sur les ventes à découvert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.3.2 Portefeuilles auto-financés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.3.3 Portefeuilles diversifiés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.3.4 Illustration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.3.5 Gestion indicielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.3.6 Frais de rebalancement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3
4.4 Approche moyenne-risque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5 Évaluation d’une stratégie 41
5.1 Applicabilité pratique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.1.1 Évaluation d’une stratégie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.1.2 Influence de l’estimation des paramètres sur la performance des portefeuilles. . . . . 42
6 Modèles d’évaluation d’actif 46
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.2 Modèle d’évaluation d’actifs financiers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.3 Diversification. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.4 Modèle d’évaluation par arbitrage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
7 Modèles factoriels 49
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
7.2 Facteur observés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
7.2.1 Facteurs négociables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
7.2.2 Facteurs non négociables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7.3 Facteur non observés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.3.1 Analyse par composantes principales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
7.3.2 Application : Structure à terme des taux d’intérêts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
7.3.3 Analyse factorielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
7.4 Sommaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
8 Estimateurs ajustés 64
8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
8.2 Estimateur James-Stein. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
8.3 Estimateur Bayes-Stein. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
8.4 Choix de portefeuille sous contraintes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
8.5 Sommaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4
9 Épilogue 66
10 Exercices de révision 67
Annexes 74
A Rappels de calcul différentiel 74
A.1 Série de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
A.2 Règles de calcul. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
B Rappels d’algèbre 76
B.1 Matrices et vecteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
B.2 Opérations sur les matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
B.3 Espérance et variance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
B.4 Calcul différentiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
C Rappels d’optimisation 81
C.1 Optimisation sans contraintes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
C.1.1 Conditions nécessaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
C.1.2 Conditions suffisantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
C.1.3 Problème multivarié. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
C.2 Optimisation sous contraintes d’égalité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
C.3 Optimisation sous contraintes d’inégalité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
C.4 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
D Choix en environnement certain 88
D.1 Préférences et utilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Références 89
Index 91
5
1 Introduction
On s’intéresse au problème de choix de portefeuille, qui consiste à choisir les actifs financiers qui compose-ront un portefeuille. Comparativement à d’autres cours portant sur ce sujet, nous adopterons un point de vueessentiellement normatif et appliqué. On s’intéressera donc plus à la manière dont on devrait construire unportefeuille qu’au comportement des investisseurs et aux conséquences de ces comportements pour les prixdes actifs financiers.
On modélise le rendement d’un actif risqué par une variable aléatoire, qui est caractérisée par sa distribution.Le rendement d’un portefeuille, étant une fonction de variables aléatoires, est lui-même une variable aléatoire.Le problème consiste donc à choisir une variable aléatoire parmi l’ensemble des portefeuilles pouvant êtreconstruits à partir des actifs disponibles.
La gestion de portefeuille est un problème de décision en incertitude. Pour aborder ce problème rigoureuse-ment, on doit d’abord le formuler mathématiquement comme unproblème d’optimisation : choisir un por-tefeuille qui maximise “quelque chose”. Un portefeuille, de manière générale, est un vecteur de montantsinvestis dans des actifs. On normalise souvent le problème en considérant la proportion de la valeur initialeinvestie dans chaque actif. Ainsi, on représente un portefeuille constitué de 30% d’un actif A, 50% d’un actifsB et de 20% d’un actif C par le vecteur
w′ = [0.3 0.5 0.2] .
Supposons qu’on considère un investissement pour une période et queN actifs sont disponibles. NotonsV0 la valeur de l’investissement initial,Rn le rendement l’actifn dans une période, etR le vecteur de cesrendements. Le portefeuille vaudra doncV0w
′ (1 +R) dans une période.
Supposons donc qu’on cherchew∗ qui maximise une certaine fonction de la valeur du portefeuille dans unepériodef (V0w
′ (1 +R)) :
w∗ = argmaxw
f(
V0w′ (1 +R)
)
(1.1)
sous la contrainte que la somme des éléments dew est1.
Ce problème n’est pas suffisamment précis pour être utile. Cecours s’intéresse au choix de la fonctionf (·), àla solution du problème (1.1) et aux propriétés de cette solution.
1.1 Rendement et risque
Dans un premier temps, on décrira les propriétés des rendements des actifs et on introduira quelques mesuresdu risque qui peuvent permettre d’ordonner les actifs selonleur risque. On verra que certaines mesures derisque peuvent représenter les préférences de tous les investisseurs, mais celles-ci ne permettent pas d’ordonnertous les actifs financier selon leur risque. Pour ordonner tous les actifs, on doit considérer les préférences d’unseul investisseur.
6
1.2 Choix en environnement risqué
On formalisera le problème de choix de portefeuille comme unproblème d’optimisation, qui requiert la spé-cification d’une fonction objective. On verra que la fonction objective d’un investisseur dont les préférencessatisfont certains axiomes de rationalité prend la forme d’une espérance d’utilité et on étudiera quelques casparticuliers. On présentera des mesures de l’aversion pourle risque et de prudence qui permettent de comparerces fonctions objectives.
La maximisation d’une espérance d’utilité comme cadre d’analyse comporte certaines difficultés :– Elles décrivent mal, en pratique, le comportement observédes investisseurs. Bien que cette lacune ne soit
pasa priori centrale à notre objectif, il importe de comprendre son origine.– Le cadre d’analyse requiert qu’on spécifie une fonction d’utilité représentant nos préférences, ce qui peut
être difficile en pratique.– Seule la fonction d’utilité quadratique permet une analyse algébrique et intuitive de la composition des por-
tefeuilles optimaux sans qu’on ait à la spécifier complètement. Les autres fonctions ne permettent d’identi-fier un portefeuille optimal que si elles sont complètement spécifiées et reposent sur des méthodes d’opti-misation numériques.
1.3 Approche moyenne-variance
Que l’on adopte une fonction d’utilité quadratique (ou une approximation du deuxième ordre d’une autrefonction d’utilité) ou que l’on postule que les rendements des actifs sont normaux, le risque d’un actif estquantifiable par sa variance, ce qui simplifie grandement le problème de choix de portefeuille. Ce cadre d’ana-lyse permet ainsi de comprendre l’effet de la diversification et comment le rendement attendu d’un portefeuilleest relié à sa variance.
Si le risque d’un portefeuille est mesurable par sa variance, à espérances de rendement égales, un portefeuillede variance inférieure sera préférable à un portefeuille devariance supérieure. De même, à variances égales, unportefeuille d’espérance de rendement supérieure sera préférable à un portefeuille d’espérance de rendementinférieure. Il existe donc des portefeuilles dominants, qu’on appelle portefeuilles efficients. Cet ensembleprend la forme d’une hyperbole dans le plan écart-type – espérance. Pour choisir un portefeuille, l’investisseurn’a pas à spécifier ses préférences relatives pour l’espérance de rendement et la variance, il n’a qu’à fixer(de manière équivalente) l’un des moments et choisir le portefeuille efficient correspondant. Si un actif sansrisque est disponible, il est optimal de combiner actif avecun portefeuille efficient particulier. L’ensemble desportefeuilles efficients prend alors la forme d’une droite.
Outre les problèmes liés au fait qu’elle constitue un cas particulier de maximisation d’espérance d’utilité, cetteapproche est critiquable sous trois aspects
1. la variance n’est pas une mesure idéale du risque (en particulier, elle est symétrique)
2. elle suppose que le rendement espéré et la variance sont connus
3. elle se limite à une seule période
Par contre, ce cadre simplifié permet d’étudier des problèmes pratiques tels que– contraintes sur les ventes à découvert– portefeuilles auto-financés– gestion indicielle
7
– frais de transactionL’approche moyenne-variance est un cas particulier d’approche moyenne-risque. C’est cette décomposition duproblème en deux dimensions intuitives qui simplifie (conceptuellement) le choix de portefeuille. En pratique,certains gestionnaires de portefeuille utilisent des fonctions objectives rendement-risque en utilisant une me-sure alternative du risque. L’optimisation est alors réalisée numériquement. Nous verrons quelques exemples.
Nous étudierons trois approches pour aborder le deuxième point (voir Brandt(2010) pour un sommaire) :
1. Utiliser un modèle factoriel pour réduire le nombre de paramètres à estimer et ainsi réduire l’influencede l’estimation des paramètres (chapitre7)
2. Utiliser des estimateurs des paramètres qui tiennent compte de l’incertitude (chapitre8)
3. Considérer le problème conjoint de choix de portefeuilleet d’estimation des paramètres
La généralisation du choix de portefeuille à plusieurs périodes est possible, mais demande des outils que nousne présenterons pas dans ce cours.
8
2 Rendement et risque
La valeur d’un actif est modélisé par une variable aléatoire. Toute fonction de variables aléatoires est aussiune variables aléatoire. Le rendement d’un actif et celui d’un portefeuille d’actifs sont donc aussi des variablesaléatoires.
2.1 Rappels de probabilité et statistiques
2.1.1 Fonction de répartition et fonction de densité
Une variable aléatoireX est caractérisée par sa fonction de répartition
FX (x) = Prob (X ≤ x) . (2.1)
La fonction de répartition existe toujours, mais on ne peut pas toujours l’exprimer analytiquement.
On dit qu’une variable aléatoire est discrète si les valeursqu’elle peut prendre sont discrètes. Le résultat dulancé d’un dé peut être modélisé par une variable discrète. Une variable aléatoire continue prend une valeurcontinue : temps nécessaire pour se déplacer sur une certaine distance peut être modélisé par une variablealéatoire continue. Certaines variables sont partiellement discrètes et continues à la fois. On dit qu’elles sontmixtes. On modélise parfois la valeur d’une obligation corporative par une variable mixte dont valeur estdiscrète si l’entreprise ne fait pas défaut et continue dansle cas contraire (la valeur recouvrée est modéliséepar une variables aléatoire).
Lorsqu’une variable aléatoire est continue, elle a une fonction de densitéfX (x) telle que
FX (x) =
x∫
−∞
fX (s) d s. (2.2)
On omet l’indiceX lorsqu’il n’y a pas de risque de confusion.
Bien qu’on s’intéressent principalement aux variables continues par la suite, la plupart des concepts présentéss’appliquent aux variables discrètes.
2.1.2 Moments théoriques
On peut décrire la forme de la fonction de densité par l’intermédiaire de ces moments (théoriques) standardisés
1. l’espérance :
µ = E [X] =
∫
xf (x) dx (2.3)
2. la variance :
σ2 = Var [X] = E
[
(X − µ)2]
(2.4)
9
3. l’asymétrie (skewness) :
γ = E
[
(
X − µ
σ
)3]
(2.5)
4. l’aplatissement (kurtosis) :
κ = E
[
(
X − µ
σ
)4]
(2.6)
On définit l’aplatissement excédentaire commeE
[
(
X−µσ
)4]
− 3, soit en excédant de l’aplatissement d’une
variable normale. Une variable dont l’aplatissement exécendaire est positif est dite leptokurtique, ou on ditplus simplement que ses queues sont épaisses. On omet parfois le qualificatif “excédentaire”.
L’espérance d’une combinaison linéaire de variables aléatoire s’exprime aisément en termes des espérancesde ces variables. Siwx etwy sont des constantes,
E [wxX + wyY ] = wxE [X] + wyE [Y ] .
De même, la variance d’une combinaison linéaire de variables aléatoires s’exprime en termes des variances etde la corrélation entre ces variables
Var [wxX + wyY ] = w2xVar [X] +w2
yVar [Y ] + 2ρxy√
Var [X] Var [Y ]
= w2xVar [X] +w2
yVar [Y ] + 2Cov [X,Y ]
= w2xσ
2x +w2
yσ2y + 2σxy.
2.1.3 Moments empiriques et estimation
On peut estimer ces moments théoriques à l’aide d’un échantillon x1, . . . , xT :
1. la moyenne :
x ≡ 1
T
T∑
t=1
xn (2.7)
2. la variance échantillonale :
s2 ≡ 1
T − 1
T∑
t=1
(xt − x)2 (2.8)
3. l’asymétrie échantillonale (skewness) :
γ ≡ (T − 1)2
T (T − 1) s3
T∑
t=1
(xt − x)3
4. l’aplatissement échantillonal (kurtosis) :
κ =T − 1
(T − 2) (T − 3)
(
(T + 1) (T − 1)2
T 2s4
T∑
t=1
(xt − x)4 − 3 (T − 1)
)
+ 3
On parle alors de momentsempiriquesou échantillonaux.
10
2.1.4 Quelques distributions utiles
Deux lois de probabilités sont particulièrement utiles en finance. La densité de la loi normale est
f (x|µ, σ) =1√2πσ2
e−1
2σ2(x−µ)2 .
Elle est complètement spécifiée par deux paramètres,µ et σ2, qui sont aussi sa moyenne et sa variances.L’asymétrie est nulle et l’aplatissement est3 (l’aplatissement excédentaire est nul).
Si x est un vecteur deN éléments normalement distribués, sa densité est
f (x|µ,Σ) =1
√
2πN |Σ|e−
1
2(x−µ)′Σ−1(x−µ).
Si x est un vecteur deN éléments normalement distribués, sa moyenne (x) et sa covariance empirique (Σ)sont indépendantes. Cette propriété implique que
E
[
Σ−1x]
= E
[
Σ−1]
E [x] ,
par exemple.
Si x est normale,y = ex > 0 est log-normale. Sa densité est
f (y|µ, σ) =1
y√2πσ2
e−1
2σ2(ln(y)−µ)2 .
Elle est aussi complètement spécifiée par deux paramètres. Son espérance est
E [y] = eµ+σ2
2
et sa variance estVar (y) =
(
eσ2 − 1
)
e2µ+σ2
.
L’asymétrie,(
eσ2
+ 2)
√
eσ2 − 1 , est positive et de même que son aplatissement excédentaire, e4σ2
+2e3σ2
+
3e2σ2 − 6.
2.2 Rendements
2.2.1 Rendements simples
Si Pt est le prix d’un actif à la périodet et quePt−1 est le prix de cet actif à la périodet− 1, son rendementsimple entret− 1 et t est
Rt =Pt − Pt−1
Pt−1.
Remarque : l’indicet identifie la période où le rendement est connu.
11
FIGURE 1 – Densités normale et log-normales, espérances et variances égales.
12
Les rendements simples sont utiles pour les données en coupetransversale puisque le rendement d’un por-tefeuille est la moyenne pondérée des rendements des actifsqui le constituent.
Supposons deux actifs dont les prix à la périodet − 1 sontP1,t−1 et P2,t−1. Si les prix de ces actifs à lapériodet sontP1,t etP1,t, le rendement d’un portefeuillep constitué dew1 unités du premier actif etw2 unitésdu second est
w1P1,t−1R1,t +w2P2,t−1R2,t = w1P1,t−1P1,t − P1,t−1
P1,t−1+ w2P2,t−1
P2,t − P2,t−1
P2,t−1
= w1P1,t + w2P2,t − (w1P1,t−1 + w2P2,t−1)
= (w1P1,t−1 + w2P2,t−1)w1P1,t + w2P2,t − (w1P1,t−1 +w2P2,t−1)
w1P1,t−1 + w2P2,t−1
= (w1P1,t−1 + w2P2,t−1)Rp,t
Rp,t =w1P1,t−1
w1P1,t−1 + w2P2,t−1R1,t +
w2P2,t−1
w1P1,t−1 + w2P2,t−1R2,t
Plusieurs actifs financiers génèrent des flux monétaires. Les actions, par exemple, paient parfois un dividendeà une fréquence plus ou moins régulière. Si un actif paie un dividendeDt à la périodet, sont rendement simpleest
Rt =Pt +Dt − Pt−1
Pt−1.
Certains analysts négligent les dividendes. Ils sous-estimes donc le rendement des titres qui paient des divi-dendes. Dans des analyses comparatives, les titres qui paient de gros dividendes sont désavantagés. Certainessources de données (Yahoo ! Finance, par exemple) ajustent les prix des actions historiques. Lorsqu’un divi-dende est payé, les prix historiques sont réduits du montantdu dividende.
P ajustt−1 = Pt−1 −Dt−1
D’autres événements de marché (fusions, acquisition, divisions, dividendes en actions, etc.) peuvent affecterl’interprétation du prix d’un actif financier.
La composition de rendements simples est multiplicative. Le rendement sur douze périodes, par exemple,est donné par
Pt − Pt−12
Pt−12=
Pt
Pt−12− 1
=Pt
Pt−1× Pt−1
Pt−2× . . .× Pt−11
Pt−12− 1
= (Rt − 1)× (Rt−1 − 1)× . . .× (Rt−11 − 1)− 1.
On utilise donc les rendements simple lorsqu’on considère plusieurs actifs et une seule période.
13
2.2.2 Rendements logarithmiques
Lorsqu’on utilise des séries temporelles, on préfère souvent calculer des rendements continus. Le rendementcontinu entret− 1 et t est défini par
Pt = Pt−1ert
rt = ln
(
Pt
Pt−1
)
= pt − pt−1
oùpt = ln (Pt). Ici encore, on prendra soin d’utiliser des prix ajustés pour les paiements de dividendes.
Les rendements continus présentent un avantage important :la composition des rendements est additive
ra = pt − pt−12
= (pt − pt−1) + (pt−1 − pt−2) + . . . + (pt−11 − pt−12)
= rt + rt−1 + . . .+ rt−11
On utilise donc les rendements simple lorsqu’on considère un seul actif et plusieurs périodes.
2.3 Mesures de risque
Si le risque d’un investissement est complètement caractérisé par sa fonction de répartition, comment peut-oncomparer le risque de deux actifs ? Dans quel sens un actifs est-il plus risqué d’un autre ? En d’autres termes,comment peut-on définir le risque ? Quelles propriétés une mesure de risque devrait-elle satisfaire ?
2.3.1 Mesures de risque classiques
On s’intéresse d’abord aux mesures de risque qui permettentde comparer des actifs ayant le même rendementespéré.
Évidemment, un actif dont le rendement est certain n’est pasrisqué. On voudra donc que notre définition durisque implique que le risque d’un tel actif soit nul. Si on utilise la fonctionρ (R) pour mesure le risque d’unactif de rendementR, on voudra minimalement que
ρ (a) = 0
si a est une constante. En particulier,ρ (0) = 0.
Écart-type
La variance satisfait cette condition. Dans le cas où un actif est normalement distribué, elle décrit complète-ment son risque. Pour obtenir une mesure dans les mêmes unités que l’actifs, on considère plutôt l’écart-type,
s =
√
√
√
√
1
T
T∑
t=1
(
Rt − R)2.
14
Remarquons qu’on peut calculer l’écart-type de n’importe quel actif, ce qui permet d’ordonner tous les actifsselon leur risque.
Écart absolu moyen
La variance échantillonnale est la moyenne du carré des écarts à la moyenne. Une alternative consiste à consi-dérer la moyenne de la valeur absolue des écarts à la moyenne,
eam =1
T
T∑
t=1
∣
∣Rt − R∣
∣.
Intuitivement, le risque est une propriété qu’un investisseur veut éviter, c’est quelque chose de “mauvais”. Sideux actifs on le même rendement espéré, on voudrait celui qui est le moins risqué. Différents investisseurspourraient donc avoir des définitions différentes du risque.
Semi-écart-type
L’écart-type est parfois critiqué comme étant une mesure symétrique, qui accorde autant d’importance auxécarts positifs qu’aux écarts négatifs. Certains investisseurs définissent le risque par le semi-écart-type
s− =
√
√
√
√
1
T−
T−
∑
t=1
1(Rt<R)(
Rt − R)2
où T− =T∑
t=11(Rt<R), soit le nombre de rendements inférieurs à la moyenne. Ainsi, la semi-variance est un
estimateur de l’espérance conditionnelle
σ2− = E
[
(
R− R)2∣
∣
∣
(
R < R)
]
.
Remarquons que l’utilisation deT− n’est pas uniforme dans a littérature. On utilise parfoisT , surtout dans lesouvrages plus techniques. C’est ce que nous ferons dès maintenant.
Semi-écart-type cible
Pour certains investisseurs, le rendement moyenne n’est pas nécessairement le rendement de référence. Onpeut définir le semi-écart-type cible par
s−τ =
√
√
√
√
1
T
T∑
t=1
1(Rt<τ) (Rt − τ)2
où τ est une performance minimale cible (le rendement d’un indice de référence ou le rendement sans risque,par exemple).
Moments partiels inférieurs
(Références :Aftalion (2008), pages 163-164)
15
La notion de semi-écart-type cible (la racine carrée de la semi-variance cible) peut être généralisée. Un momentpartiel inférieur (lower partial moments) prend la forme
LPMα,τ (R) =
τ∫
−∞
(R− τ)α f (R) dR
= E [(Rt − τ)α|R < τ ] Prob (R < τ) ,
qu’on estime par
LPMα,τ (R) =1
T
T∑
t=1
1(Rt<τ) (Rt − τ)α .
Cette notion est aussi appeléedownside riskdans la littérature.
Le semi-écart-type cible peut dont s’écrire
s−τ =
√
LPM2,τ .
Le paramètreα permet donc de calibrer l’aversion pour les écarts négatifsà la cible. Plusα est grand, plusl’aversion est grande. Pour référence future, définissons les moments partiels supérieurs (upper partial mo-ments) de manière analogue,
UPMβ,τ (R) =
∞∫
τ
(R− τ)β f (R) dR
= E
[
(Rt − τ)β∣
∣
∣R > τ
]
Prob (R > τ) .
Cette notion est aussi appeléeupside potentialdans la littérature (voirCumova and Nawrocki(2014)).
Risque de sous-performance
Une autre manière d’introduire une performance cible est lerisque de sous-performance (aussi appelédonw-side risk, malheureusement),
πτ = Prob (R ≤ τ) .
Valeur à risque
(Références :Fabozzi et al.(2012), section 12.4.1)
La valeur à risque est une mesure populaire
V aRα = infyFY (y) ≥ α (2.9)
où y = x0 − x, oùx0 est la valeur initiale de l’actif :y est donc une perte. Elle mesure la perte associée à unactif lorsque que le scénario correspondant au quantileα se réalise. Si la variable est continue, on peut aussil’exprimer comme la solution de
Prob (Y ≤ V aRα) = α.
16
Si la variable n’est pas continue, la définition (2.9) doit être utilisée. Supposons un actif au coût initial de100paie30 avec probabilité0, 04 et 100 avec probabilité0, 96 (une obligation avec une probabilité de défaut de4% et une perte en cas de défaut de70%),
x y = 100 − 1 F (y)
100 0 0, 9630 70 1
La VaR à95% de cet actif est0 puisque la plus petite valeur dey telle queF (y) est supérieure ou égale à0, 95est0.
Méthode Morningstar
(Références :Aftalion (2008), pages 165-168)
Les mesures précédentes ne permettent que de comparer des actifs d’espérance de rendement égales. La sociétéMorningstar à adopté une méthode qu’elle a appeléeMorningstar Risk-Adjusted Returnpour classer les actifsqui repose sur l’estimation de
MRAR =(
E
[
(1 +Rt)2])−1/2
− 1.
On verra plus tard comment on peut interpréter cette mesure.
2.3.2 Dominance stochastique
(Références :Fabozzi et al.(2012), section 12.3 ;Danthine and Donaldson(2002), section 3.6) Les mesuresclassiques de risque sont quelque peu arbitraires. Peut-ondéfinir une mesure du risque qui soit valide pourtous les investisseurs averses au risque et qui tiennent compte de l’espérance de rendement ? Oui, mais ellesne permettent généralement pas d’ordonner tous les actifs.
Dominance stochastique du premier ordre
On dit qu’un actifx domine un actify au sens de la dominance stochastique du premier ordre si
FX (z) ≤ FY (z) , pour toutz.
En termes de variables aléatoires,x domine un actify au sens de la dominance stochastique du premier ordresi il existe une variable aléatoireδ non positive telle que
y = x+ δ.
Cette définition du risque permet d’ordonner peu d’actifs financiers. Tout investisseur pour qui plus de rende-ment est préférable sera d’accord avec cet ordre.
Dominance stochastique du second ordreOn dit qu’un actifx domine un actify au sens de la dominance stochastique du second ordre si
z∫
−∞
FX (s)− FY (s) d s ≤ 0, pour toutz.
17
En termes de variables aléatoires,x domine un actify au sens de la dominance stochastique du deuxième ordresi il existe une variable aléatoireδ non positive et une variable aléatoireǫ d’espérance nulle telles que
y = x+ δ + ǫ.
Cette définition du risque permet d’ordonner plus d’actifs financiers que la dominance stochastique du premierordre, mais pas tous. Tout investisseur averse au risque sera d’accord avec cet ordre.
2.3.3 Mesures de risque cohérentes
(Références :Fabozzi et al.(2012), section 12.4)
Une mesure risque est cohérente si
1. Normaliséeρ (0) = 0
2. Monotonicité (dominance stochastique du premier ordre)
3. Homogénéité positiveρ (aX) = aρ (X) , pour une constantea > 0
4. Invariance aux translations (investir une sommea dans un actif sans risque réduit le risque d’autant)
ρ (X + a) = ρ (X)− a, pour une constantea
5. Sous-additivitéρ (X + Y ) ≤ ρ (X) + ρ (Y )
La condition de sous-additivité requière que la mesure de risque tienne compte des effets de diversification.Pour qu’elle soit satisfaite, le risque d’un portefeuille doit être inférieure ou égal à la somme des risques deses composantes.
La VaR ne satisfait pas la condition de sous-additivité. Supposons un portefeuille de deux actifs indépendantsqui paient chacun30 avec probabilité0, 04 et 100 avec probabilité0, 96, en proportions égales (50 danschacun). Ce portefeuille paient15 + 15 = 30 avec probabilité0, 042 = 0, 016, 15 + 50 = 65 avec probabilité1− 0, 042 − 0, 962 = 0, 0768 et50 + 50 = 100 avec probabilité0, 962 = 0, 9216,
x y = 100 − x F (y)
100 0 0, 921665 35 0, 998430 70 1
La VaR à95% de ce portefeuille est35 puisque la plus petite valeur dey telle queF (y) est supérieure ou égaleà 0, 95 est35. La VaR à95% de chacun des actifs est0, de sorte que la moyenne des VaR (0) est inférieure àla VaR de la moyenne (la VaR du portefeuille,35).
VaR conditionnelle
18
Une mesure de risque cohérente est la VaR conditionnelle1 :
ETLα =1
α
α∫
0
V aRδ d δ
= E [X|X ≤ V aRα] .
Remarquons que l’ordre des actifs peut dépendre deα.
2.3.4 Sommaire
Remarquons d’abord que toutes ces mesures génèrent le même ordonnancement si les actifs sont normaux. Eneffet, puisque la densité des rendements n’est une fonctionque de deux paramètres, la moyenne et la variance,toute propriété de cette densité peut être exprimée comme une fonction de ces paramètres.
Ensuite, il n’est pas possible d’ordonner tous les actifs pour tous les investisseurs, ce qui n’est pas surprenantpuisque chaque investisseur peut avoir des préférences différentes. Par ailleurs, si on aime bien résumer lerisque d’un actif par un scalaire, résumer une fonction de répartition par une mesure de risque scalaire entraîneune perte d’information. Si considérer une mesure de risquedans un problème de choix de portefeuille peutsimplifier les calculs, cette perte d’information impliqueque ce choix sera généralement sous-optimal.
Les mesures de risques classiques sont définies arbitrairement, mais peuvent néanmoins être utiles pour fins decommunication ou pour simplifier certains calculs. Elles ont notamment l’avantage d’ordonner tous les actifs.Par ailleurs, on verra plus tard que certaines mesures peuvent être interprétées en termes de préférences.
Finalement, il est possible de retreindre le choix d’une mesure de risque selon des critères de cohérence. Cescritères nous incitent à retenir la VaR conditionnelle, parexemple.
1. Autres termes utilisés : Conditional VaR (CVaR), AverageVaR (AVaR), Expected tail loss (ETL), Expected shortfall (ES)
19
3 Choix en environnement risqué
Au chapitre2, nous avons considéré la possibilité d’ordonner des actifssans tenir compte des préférences d’uninvestisseur particulier. Dans cette section, on s’intéresse à la modélisation des préférences des investisseurspour les actifs financiers.
Les probabilités permettent de modéliser l’inconnu et/ou l’incompris. Pour représenter le fait que la valeurfuture d’un actif n’est pas connue, on la modélise par une variable aléatoire. On cherche donc à exprimerdes préférences sur des distributions. Pour des fins pédagogiques, on considère souvent des variables aléatoirediscrètes pour illustrer les concepts et simplifier certaines preuves. Nous ne seront pas très rigoureux, poursimplifier l’exposition, mais l’ensemble des résultats présentés s’applique aux variables aléatoires continues.
De manière abstraite, on utilise le termeloterie pour représenter un investissement dont la valeur est aléatoire.On notex = (a, b, p) la loterie qui donne le gaina avec probabilitép et le gainb avec probabilité1− p.
3.1 Espérance d’utilité
Paradoxe de Saint-Pétersbourg(Références :Fabozzi et al.(2012), section 9.1.1.1 ;Aftalion (2008), page51)
Remarque : Nous verrons plusieurs faits empiriques, connussous le nom deparadoxesCe ne sont pas desparadoxes au sens propre du terme. Ce sont plutôt des comportements incompatibles avec une théorie donnée.
C’est en 1738 que Bernoulli aurait posé le problème, en remarquant que personne n’était prêt à payer unsomme importante pour obtenir l’opportunité de gagne2N $ lorsqu’une pièce de monnaie tombe du côté pileauN ième lancé, alors que l’espérance de gain
v =
∞∑
n=1
(
1
2
)n
2n
= ∞est infinie. Il proposa que la valeur d’une loterie est égale àl’espérance d’une fonctionu croissante (nonsatiété)u′ > 0 et concaveu′′ < 0 (aversion au risque) des gains,
v =∞∑
n=1
(
1
2
)n
u (2n) ,
dont la fonction logarithmique est un exemple.
3.1.1 Espérance d’utilité
(Références :Fabozzi et al.(2012), section 9.1.1.2 ;Aftalion (2008), pages 26-29 ;Danthine and Donaldson(2002), sections 2.4-2.5)
Si les préférences d’un investisseur satisfont certaines conditions, il cherche à maximiser son espérance d’uti-lité. On note parx y la préférence faible d’un investisseur pour la loteriex par rapport ày. Si les préférencesd’un investisseur satisfont les conditions
20
1. comparabilitéPour toute loteriesx, y, ou bienx y, ou bieny x.
2. transitivitéSi x y ety z, alorsx z.
3. monotonicitéPour tout loteriesx ety telles quex ≻ y, et toutes probabilitésp et q,
(x, y, p) ≻ (x, y, q) si et seulement sip > q.
4. indépendance fortePour tout loteriesx, y, etz, et toute probabilitép, six y, alors
(x, z, p) (y, z, p) .
5. valeur intermédiairePour tout loteriesx, y, etz, six y ≻ z ou six ≻ y z, alors il existe une probabilitép telle que
y ∼ (x, z, p) .
alors il existe une fonction réelle continueu (W ) de la richesseW , dite utilité de Bernoulli, telle que lafonction d’utilité de von Neumann-Morgenstern (von Neumann and Morgenstern(1953))
U (W ) = EW [u (W )] (3.1)
représente ses préférences.
Remarque : La fonctionu est définie à une transformation affine près. Les fonctionsu et v permettent dereprésenter les préférences d’un investisseur si et seulement si il existe existe deux constantes,a > 0 etb tellesque
u (x) = av (x) + b. (3.2)
C’est un résultat fort, qui repose essentiellement sur l’axiome d’indépendance forte. Plusieurs faits empiriquessuggèrent que cet axiome n’est pas satisfait par les préférences des consommateurs/investisseurs.
Remarque : En économie financière, l’utilité d’un investisseur est habituellement une fonction de sa richesse, etnon du rendement de sa richesse, ou encore de la valeur d’un portefeuille dans lequel serait investie une partiede celle-ci. Cette formulation permet de bien représenter les choix auxquels font face les consommateurs.Cependant, on se doit de remarquer qu’un investisseur institutionnel, ayant sous sa responsabilité les actifsde tiers, ne peut pas formuler son problème de choix de portefeuille comme celui d’une maximisation del’espérance d’une fonction de la richesse. Même pour un investisseur particulier, ce problème requiert qu’ilconsidère l’ensemble des sources de risque qui peuvent influencer sa richesse. D’un point de vue pratique,exprimer l’utilité comme une fonction du rendement d’un portefeuille est un compromis souvent acceptable.Par ailleurs, pour de nombreuses fonctions d’utilité (celles de la famille HARA), la composition de la portionrisquée d’un portefeuille ne dépend pas de la richesse (Cass and Stiglitz(1970) ; Danthine and Donaldson(2002), section 4.5). Autrement dit, dans ces cas, la richesse d’un individu influencera la proportion de celle-ciqu’il investira dans l’actif sans risque, mais pas la manière dont sera investie la portion risquée de sa richesse.
21
3.1.2 Validité empirique de l’espérance d’utilité
Paradoxe d’Allais (Références :Aftalion (2008), pages 37-38 ;Danthine and Donaldson(2002), sections 2.6)
L’expérience (Allais (1953)) est la suivante. On propose deux paires de loteries à des individus et on leurdemande d’identifier la loterie qu’ils préfèrent dans chaque paire.
La première paire est constituée d’un gain certain de 1 000 000$ et d’une loterie qui paie 5 000 000$ avec uneprobabilité de 10%, 1 000 000$ avec une probabilité de 89% et 0$ avec une probabilité de 1%. Le gain certainest généralement préféré.
La deuxième paire est constituée d’une loterie qui paie 5 000000$ avec une probabilité de 10% et 0$ avec uneprobabilité de 90%, et d’une loterie qui paie 1 000 000$ avec une probabilité de 11% et 0$ avec une probabilitéde 89%. La première loterie est généralement préférée.
Or, ces choix violent l’axiome d’indépendance forte. Définissonsp la loterie qui paie 1 000 000$ de manièrecertaine etq la loterie qui paie 5 000 000$ avec une probabilité de10/11 et qui paie 0$ avec probabilité1/11.
La première paire de loteries s’écrit(p, 1000000, 11/100) et (q, 1000000, 11/100), alors que la seconde paires’écrit (q, 0, 11/100) et (p, 0, 11/100).
Il semble donc que l’espérance d’utilité ne soit pas compatible avec le comportement observé des consomma-teurs/investisseurs.
Paradoxe d’Ellsberg - risque et incertitude(Références :Aftalion (2008), page 38 ;Danthine and Donaldson(2002), sections 11.1)
On présente (Ellsberg(1961)) deux paires de loteries, et on demande de choix une loteriedans chaque paire.
La première loterie prend la forme de deux sacs de 100 billes.Le premier sac contient 50 billes rouges et50 billes noires. Le second sac contient 100 billes rouges ounoires, sans que les proportions soient connues.L’individu choisit un sac, tire une bille, et gagne une certaine somme si la bille est rouge. On préfère généra-lement le premier sac, ce qui suggère qu’on estime que la proportion des billes rouges dans le second sac estinférieure à 50%.
Pour la seconde paire de loteries, on conserve les mêmes sacs, mais l’individu gagne si la bille tirée est noire.On préfère généralement le premier sac, ce qui suggère qu’onestime que la proportion des billes noires dansle second sac est inférieure à 50%.
Ce “paradoxe” est résolu si on introduit la distinction entre risqueet incertitude(Fabozzi et al.(2012), section9.1.2.4, utilisent le termeambiguïté, tout commeEllsberg(1961)). On parle de risque lorsque les probabilitéssont connues, et d’incertitude lorsqu’elles ne le sont pas (comme dans l’expérience d’Ellsberg). En présenced’incertitude, on peut toujours modéliser les choix d’un investisseurs comme un problème de maximisationd’espérance d’utilité, mais les probabilités utilisées pour calculer l’espérance sont desprobabilités subjectives.
L’introduction de probabilités subjectives (Savage(1954)) étend donc quelque peu la portée de la théoriede von Neumann et Morgenstern, mais ne la soustrait pas à l’axiome d’indépendance forte.Machina(1982)parvient à lui substituer un autre axiome, mais la théorie résultante présente des lacunes descriptives similaires.
22
3.2 Finance comportementale
(Références :Fabozzi et al.(2012), section 9.1.2 ;Aftalion (2008), pages 39-50 ;Danthine and Donaldson(2002), sections 2.7)
Une vaste littérature, toujours active par ailleurs, tentede développer d’autres théories offrant une meilleuredescription du comportement des investisseurs.
3.2.1 Irrationalité
Certains faits empiriques montrent que certains investisseurs ne parviennent pas à résoudre des problèmesmathématiques simples.
3.2.2 Croyances
Dès qu’on introduit la notion d’incertitude, les décisionsdes investisseurs s’appuient sur une estimation durisque. On a identifié plusieurs situations dans lesquellesles investisseurs estiment mal le risque :– sur-confiance
– on surestime généralement la probabilité des événements probables– on est généralement plus certain de nos estimations que ce que les données disponibles permettent
– sur-optimisme– le conducteur moyen considère ses habiletés de conduites supérieures à la moyenne– on sous-estime généralement le temps requis pour accomplir une tâche
– non représentativité– on généralise trop souvent à partir d’un cas particulier– on extrapole trop souvent une tendance historique– on ne tient pas compte adéquatement du petit nombre d’observations dont on dispose
– conservatisme– il est difficile de se défaire d’une évaluationa priori– on ne remet par suffisamment souvent en question la méthode qu’on utilise pour accomplir une tâche
– ancrage– on se laisse trop facilement influencer par des informations sans lien direct avec un problème
3.2.3 Source d’utilité
(Références :Fabozzi et al.(2012), section 9.1.2 ;Aftalion (2008), pages 39-50 ;Danthine and Donaldson(2002), sections 2.7.1 et 2.7.3)
Jusqu’ici, nous avons considérer l’utilité comme une fonction de la richesse finale. Voici deux façons degénéraliser la fonction d’utilité.
Moment de résolution de l’incertitude
Dans un contexte (plus représentatif de la réalité) multi-période, certains investisseurs préfèrent connaître
23
plus tôt que tard le gain qu’ils toucheront.Krep and Porteus(1978) propose une la première fonction d’utilitépermettant de représenter de telles préférences.Epstein and Zin(1989) ont proposé la formulation suivante,relativement populaire,
Ut =
(1− δ)W1−γθ
t + δEt
[
U1−γt+1
]
θ
1−γ
.
Elle permet de paramétrer séparément le taux marginal de substitution inter-temporel et l’aversion pour lerisque. Aucune des fonctions d’utilité permettant de représenter les préférences pour le moment de résolutionde l’incertitude ne prend la forme (3.1).
Utilité cible
La fonction d’utilité de von Neumann Morgenstern est une fonction de la richesse. Or, on a remarqué qu’onaccorde généralement plus de valeur à un bien qu’on détient qu’à un bien qu’on ne détient pas. Par ailleurs,Kahnemann and Tversky(1979) et Tversky and Kahnemann(1992) ont présenté deux paires de loteries à desindividus.
Dans le premier cas, on débute avec une fortune initiale de 1 000$. On doit ensuite choisir entre une loteriequi paie 1 000$ avec une probabilité de 50% et un gain nul avec la même probabilité, et une loterie qui offreun gain certain de 500$. On préfère généralement le gain certain.
Dans le deuxième cas, on débute avec une fortune initiale de 2000$. On doit ensuite choisir entre une loteriequi paie -1 000$ (une perte) avec une probabilité de 50% et un gain nul avec la même probabilité, et une loteriequi offre une perte certaine de 500$. On préfère généralement la première loterie.
Pour modéliser ce type de comportement (et d’autres), ils ont proposé une fonction d’utilité de la forme
u (W ) =
|W−τ |1−γ1
1−γ1si W ≥ τ
−λ |W−τ |1−γ2
1−γ2si W ≤ τ
, (3.3)
avecλ > 0, et γ1, γ2 < 0. Cette fonction prend la forme d’un “S” dans le planW -U (W ). Elle permet dereprésenter les préférences d’un investisseur averse au risque au-dessus d’une cible de référenceτ et de recher-cher le risque au-dessous de cette cible. Bien que les expériences deKahnemann and Tversky(1979) suggèrentque les préférences de certains individus puissent être ainsi caractérisées, d’autres expériences suggèrent com-plètement le contraire (voirFishburn and Kochenberger(1979)) ! On reviendra sur une famille de fonctionsd’utilité permettant de modéliser l’aversion au risque sous une cible et la recherche de risque au-dessus, quiprend la forme d’un “S” inversé dans le planW -U (W ).
Remarquons qu’une fonction d’utilité de cette forme est bien une fonction d’utilité de von Neumann-Morgenstern.C’est l’hypothèse d’aversion au risque qui est remise en question : on permet la recherche de risque sur cer-taines portions de la fonction d’utilité.
Kahnemann and Tversky(1979) propose aussi l’utilisation d’une fonction de pondération π (·) des probabilitéspour représenter la tendance des consommateurs à sur-(sous-)estimer les événements très (peu) probables.Autrement dit, au lieu de maximiser
U (W ) = E [u (W )]
=
∫
u (W ) f (W ) dW,
24
les consommateurs maximiseraient
U (W ) =
∫
u (W ) π (f (W )) dW
pour une certaine fonction de pondérationπ. Cette approche, jumelée à la fonctions d’utilité (3.3) est appeléepropect theory. Si les probabilités ainsi transformées sont interprétéescomme des probabilités subjectives, onpeut interpréter cette formulation comme un problème de choix en incertitude.
3.2.4 Sommaire
Bien qu’il y ait suffisamment de preuves empiriques pour qu’on puisse remettre sérieusement en question lavalidité de l’espérance d’utilité comme description adéquate des choix des investisseurs, un investisseur quiadhère aux conditions de validité du théorème n’a pas de raison de considérer autre chose pour la constructionde son portefeuille. Dès lors, il suffit2 d’identifier une fonction d’utilité qui représente nos préférence et derésoudre un problème d’optimisation. Résoudre ce problèmerequiert qu’on calcule une espérance, ce quinécessite l’utilisation de probabilités, estimées ou subjectives.
3.3 Mesures d’aversion pour le risque
(Références :Fabozzi et al.(2012), sections 9.1.1 et 11.5 ;Aftalion (2008), pages 29-36 ;Danthine and Donaldson(2002), sections 3.1-3.4)
Un investisseur estaverse au risque(ou riscophobe) dès qu’il préfère l’espérance d’une loterie à celle-ci,
u (E [W ]) > E [u (W )] ,
c’est à dire, dès que sa fonction d’utilité est concave,u′′ < 0.
La différence entre l’utilité de l’espérance d’une loterieet l’utilité de cette loterie est appeléeprime de risqueadditive
π ≡ u (E [W ])− E [u (W )] .
Le montant certain dont l’utilité est égale à l’utilité d’une loterie est appelééquivalent certain.
3.3.1 Aversion absolue au risque
On considère un risque additif. Supposons qu’un investisseur de richesse initialeW0 considère une loteriexd’espérance nulle et de varianceσ2. Si définit une prime de risque multiplicative, on a
E [u (Wo + x)] = u (W0 − π) . (3.4)
Considérons un développement de Taylor du deuxième ordre deu (Wo + x) autour deW0,
u (Wo + x) ≈ u (Wo) + xu′ (Wo) +1
2x2u′′ (Wo) .
2. Choisir une fonction d’utilité n’est pas si simple. Nous yreviendrons plus tard dans ce chapitre.
25
L’espérance de cette relation est
E [u (Wo + x)] ≈ E
[
u (Wo) + xu′ (Wo) +1
2x2u′′ (Wo)
]
≈ u (Wo) +1
2σ2u′′ (Wo) . (3.5)
De la même manière, si on considère un développement de Taylor du premier ordre du membre de droite de(3.4) autour deW0
u (W0 − π) = u (W0)− πu′ (W0) . (3.6)
En combinant (3.5) et (3.6), on a
π = −1
2σ2u
′′ (W0)
u′ (W0)
=1
2σ2ARA (W0)
avec
ARA (W0) = −u′′ (W0)
u′ (W0).
La prime de risque additive est donc approximativement proportionnelle au coefficient d’aversion absolue aurisque.
Si l’aversion absolue au risque d’un investisseur est constante, sa fonction d’utilité est de forme
u (W ) = −1
ae−aW .
Cette fonction est connue sous le nom de fonction exponentielle négative, ou CARA (constant absolute riskaversion).
3.3.2 Aversion relative au risque
On considère un risque multiplicatif. Supposons qu’un investisseur de richesse initialeW0 considère uneloteriex d’espérance nulle et de varianceσ2. On a
E [u (Wo (1 + x))] = u (W0 (1− π)) . (3.7)
Considérons un développement de Taylor du deuxième ordre deu (Wo (1 + x)) autour deW0,
u (Wo (1 + x)) ≈ u (Wo) + xW0u′ (Wo) +
1
2x2W 2
0 u′′ (Wo) .
L’espérance de cette relation est
E [u (Wo (1 + x))] ≈ u (Wo) +1
2σ2W 2
o u′′ (Wo) . (3.8)
26
De la même manière, si on considère un développement de Taylor du premier ordre du membre de droite de(3.7) autour deW0
u (W0 (1− π)) = u (W0)− πWou′ (W0) . (3.9)
En combinant (3.8) et (3.9), on a
π = −1
2W0σ
2u′′ (W0)
u′ (W0)
= −1
2σ2RRA (W0)
avec
RRA (W0) = −W0u′′ (W0)
u′ (W0).
La prime de risque multiplicative est donc approximativement proportionnelle au coefficient d’aversion rela-tive au risque.
Une fonction dont le coefficient d’aversion relative au risque est constant prend la forme
u (W ) =W γ
γ.
Cette fonction est connue sous le nom de fonction iso-élastique, puissance ou CRRA (constant relative riskaversion). En effet,
d
dWu (W ) = W γ−1
d 2
dW 2u (W ) = (γ − 1)W γ−2
RRA (W0) = −W0u′′ (W0)
u′ (W0)
= −W0(γ − 1)W γ−2
0
W γ−10
= 1− γ
Cette fonction est souvent utilisée parce qu’elle est simple (un seul paramètre) et parce que l’aversion absoluepour de risque décroît siγ < 1 (c’est une propriété générale de la classse HARA). Remarquons que la méthodeMorningstar (voir section2.3.1) repose sur la fonction CRRA avecγ = −2.
On exprime souvent la fonction CRRA de manière à ce que son paramètre soit strictement positif,
u (W ) =W 1−γ
1− γ,
γ > 0, et qu’il soit directement interpretable comme une coefficient d’aversion au risque relatif.
27
3.3.3 Prudence
On s’attend généralement à ce que le coefficient d’aversion absolue au risque diminue avec la richesse, ce quiest associé à la troisième dérivée de la fonction d’utilité,ou à une préférence pour l’asymétrie positive desloteries. Par exemple, on définit le coefficient de prudence absolue par
AP (W ) ≡ −u′′′ (W )
u′′ (W ).
cette quantité est positive pour les fonctions CRRA et CARA.
3.3.4 Utilité linéaire
Une fonction d’utilité linéaire prend la forme
u (W ) = aW
Puisqueu′′ = 0, un investisseur dont les préférences sont caractérisée par cette fonction ne présente aucuneaversion au risque et est ditneutre au risque.
3.3.5 Utilité quadratique
Un fonction d’utilité populaire, pour sa simplicité, est lafonction quadratique
u (W ) = − (W − τ)2 .
Elle présente cependant deux inconvénients importants :
1. elle comporte un point de satiété,τ : l’utilité est décroissante au delà de ce point ;
2. l’aversion au risque est croissante en la richesse.
On peut la considérer comme une approximation au deuxième ordre d’une fonction d’utilité générale. Si lespréférences d’un investisseur sont représentables par unefonction d’utilité quadratique, la variance d’un loteriecaractérise complète son risque à ses yeux, puisque
E [u (W )] = E
[
− (W − τ)2]
= −E
[
(W − µ+ µ− τ)2]
= (µ− τ)2 − σ2.
3.3.6 Aversion absolue pour le risque hyperbolique
On peut généraliser les fonctions d’utilité considérées jusqu’ici par la fonction HARA
u (x) =1− γ
γ
[
ax
1− γ+ b
]γ
, a > 0, b ≥ 0, γ 6= 1.
28
On peut vérifier que
ARA (x) =a
ax1−γ + b
.
Le coefficient d’aversion absolue pour le risque décroît avec la richesse et le coefficient de prudence absolueest positif siγ < 1.
– La fonction linéaire correspond au casγ → 1
u (x) = ax
– La fonction quadratique correspond au casγ = 2 etb > 0, ce qui implique que l’ARA croît avec la richesse.
u (x) = −1
2(b− ax)2
– La fonction CARA correspond au casb = 1 etγ → −∞.– La fonction CRRA correspond au casb = 0 etγ < 1.– La fonction logarithmique correspond au casb = 0 etγ → 0. Son RRA est 1.
3.4 Relation entre espérance d’utilité et moments partiels
Holthausen(1981) montre qu’il existe une constanteλ telle que le problème
w∗ = argmaxw∈SN
UPMβ,τ
(
w′ (1 +R))
sous contrainteLPMα,τ
(
w′ (1 +R))
= c
est équivalent au problème
w∗ = argmaxw∈SN
E[
u(
w′ (1 +R))]
où
u (W ) =
|W − τ |β si W ≥ τ
−λ |W − τ |α si W ≤ τ.
Comme la première formulation est plus simple à résoudre, c’est cette dernière qu’on adopte (voirCumova and Nawrocki(2014) pour une application récente).
29
4 Approche moyenne-variance
Comme son nom le suggère, l’approche moyenne-variance consiste à analyser les portefeuilles en termesd’espérance et de variance. Cette approche serait optimalepour un investisseur dont les préférences sont re-présentables par une fonction d’utilité quadratique ou si les rendements étaient normaux. Ces deux scénariosne sont pas réalistes. On devrait plutôt considérer cette approche comme une approximation. En effet, si onconsidère une approximation de Taylor du second ordre d’unefonction d’utilité arbitraire autour deE [x],
u (x) ≈ u (E [x]) + u′ (E [x]) (x− E [x]) +1
2u′′ (E [x]) (x− E [x])2
E [u (x)] = u (E [x]) + 0 +1
2u′′ (E [x])Var [x] ,
ce qui est une fonction de l’espérance et de la variance.
Par ailleurs, les fonctions d’utilités présentées au chapitre 3 sont paramétriques. Les paramètres de ces fonc-tions doivent être spécifiés de manière à représenter nos préférences. Il ne s’agit pas d’un exercice simple.Danthine and Donaldson(2002) (section 4.5) illustre une manière de procéder.
Dans le planµ − σ2 (espérance - variance), on considère l’ensemble des portefeuilles qu’il est possible deconstruire avec les actifs disponibles, et plus particulièrement la frontière de cet ensemble. Ceux qui mini-misent la variance pour différentes espérances est appeléefrontière de variance minimale. Ceux qui maxi-misent l’espérance pour différentes variances est appeléefrontière efficiente.
Lorsqu’il y a un actif sans risque de rendementRf , un investisseur préfère un actif risqué dont leratio deSharpe,
Sh (R) ≡ E [R]−Rf
σR, (4.1)
est supérieur. Dans le planµ−σ, le ratio de Sharpe correspond à la pente de la droite reliantl’actif sans risqueet l’actif risqué.
4.1 Espérance et variance d’un portefeuille
Considérons d’abord le cas de deux actifs d’espéranceµ = [µ1, µ2] et de covariance
Σ =
[
σ21 ρσ1σ2
ρσ1σ2 σ22
]
.
Sans perte de généralité, supposonsµ1 < µ2 etσ21 < σ2
2 .
L’espérance de rendement d’un portefeuille constitué de ces actifs en proportionsw1 etw2 = 1− w1 est
µp = w′µ = w1µ1 + w2µ2,
30
oùw′ = [w1, w2]. Remarquons que cette relation est linéaire enw1 et qu’elle ne dépend pas de la corrélationentre les rendements des actifs,ρ.
La variance du rendement du portefeuille est
σ2p = w′Σw = w1σ
21 +w2σ
22 + 2w1w2ρσ1σ2.
Si on calcule la dérivée première par rapport àρ,
∂
∂ ρσ2p = 2w1w2σ1σ2 > 0
si w1, w2 > 0. Puisque−1 ≤ ρ ≤ 1, la variance est maximale pourρ = 1 et minimale pourρ = −1. Nousdébuterons l’analyse par ces cas limites.
4.1.1 Corrélation positive parfaite
Si ρ = 1,
σ2p = w1σ
21 + w2σ
22 + 2w1w2σ1σ2
= (w1σ1 + w2σ2)2
σp = |w1σ1 + w2σ2| .
Dans le planµ − σ, puisqueµp (w1) et σp (w1) sont linéaires enw1, µp (σp) est linéaire enσp. De plus, lavariance du portefeuille est nulle pour
w1 =σ2
σ2 − σ1.
L’espérance de rendement de ce portefeuille est
µp (0) =σ2
σ2 − σ1µ1 −
σ1σ2 − σ1
µ2
<σ2
σ2 − σ1µ1 −
σ1σ2 − σ1
µ1
= µ1.
Remarquons que la variance diminue avecρ lorsque les proportions sont positives et qu’elle augmentelorsquel’une des proportions est négative.
4.1.2 Corrélation négative parfaite
Si ρ = −1,
σ2p = w1σ
21 + w2σ
22 − 2w1w2σ1σ2
= (w1σ1 − w2σ2)2
σp = |w1σ1 − w2σ2| .
31
Dans le planµ − σ, puisqueµp (w1) et σp (w1) sont linéaires enw1, µp (σp) est linéaire enσp. De plus, lavariance du portefeuille est nulle pour
w1 =σ2
σ1 + σ2.
L’espérance de rendement de ce portefeuille est
µp (0) =σ2
σ2 + σ1µ1 +
σ1σ2 + σ1
µ2,
de sorte queµ1 < µ (0) < µ2.
4.1.3 Corrélation imparfaite
Si −1 < ρ < 1,
σ2p = w1σ
21 + w2σ
22 − 2w1w2σ1σ2ρ
σp =√
w1σ21 + w2σ
22 − 2w1w2σ1σ2ρ.
Cette relation admet un minimum non nul, qu’on appelle portefeuille (risqué) de variance minimale. La relationµp (σp) est alors une hyperbole, caractérisée par ses asymptotes.
4.1.4 Actif sans risque
Si σ1 = 0,
σ2p = w2σ
22.
La relationµp (σ) est linéaire enσp et le portefeuille de variance nulle est donné parw1 = 1. Son espéranceestµ1 = 1 + Rf . Tous les portefeuilles combinant l’actif sans risque et l’actif risqué sont donc sur une droitedont la pente est le ratio de Sharpe de l’actif risqué. Tous les portefeuilles sur cette droite ont évidemment lemême ratio de Sharpe.
4.1.5 N actifs risqués
Un portefeuille deN actifs risqués peut être vu comme un portefeuille de deux actifs : un actif et un porte-feuille deN − 1 actifs. Tous les résultats précédents s’appliquent donc directement. En particulier, la frontièreefficiente prend la forme d’une hyperbole dans le planµ−σ. Comme on le verra à la section4.2, cette frontièrepeut être construite à l’aide de n’importe quelle paire de portefeuilles efficients. De plus, chaque portefeuillesur cette frontière peut être combiné à un actif sans risque.Si un tel actif sans risque existe, la solution duproblème de choix de portefeuille est d’investir une portion du portefeuille dans cet actif et l’autre dans le por-tefeuille tangent à la droite qui passe par le point(0, 1 +Rf ). Ce portefeuille tangent existe si le rendementde l’actif sans risque est inférieur à l’espérance du rendement du portefeuille (risqué) de variance minimaleglobale.
32
4.2 Choix de portefeuille classique
Puisque que la solution est explicite dans le cas deN actifs, il est utile de la présenter. Remarquons d’abordqu’il y a trois manières équivalentes de formuler le problème, dans le sens où les conditions de premier ordreprennent la même forme. Pour la suite, notons
µ ≡ E [1 +R]
= 1 + E [R]
Σ ≡ Var [1 +R]
= Var [R] .
4.2.1 Utilité quadratique
On considère une fonction d’utilité de Bernoulli telle queU (x) = E [x] − a2Var [x], aveca > 0. Ce para-
mètre s’interprète comme un taux marginal de substitution entre l’espérance,w′µ, et la variance,w′Σw, durendement du portefeuille et variera d’un investisseur à l’autre, selon ses préférences.
w∗ = argmaxw
w′µ− a
2w′Σw − λ
(
w′1− 1)
dont une condition de premier ordre est
µ− aΣw∗ − λ1 = 0.
En faisant variera, on peut obtenir tous les portefeuilles de la frontière efficiente.
4.2.2 Maximisation de l’espérance, variance fixée
Supposons que les préférences d’un investisseur soient telles qu’il désire un portefeuille de varianceτ . Leproblème s’écrit alors
w∗ = argmaxw
w′µ− λ1
(
1
2w′Σw − τ
)
− λ2
(
w′1− 1)
et l’une des conditions de premier ordre est
µ− λ1Σw∗ − λ21 = 0.
Remarquons la similitude avec la condition de premier ordredu problème précédent. En particulier, elle nedépend pas deτ . Ici, λ1 n’est pas un paramètre de la fonction d’utilité. Par contre,il s’interprète de la mêmemanière, comme un taux marginal de substitution, défini implicitement par le niveau de varianceτ choisi. Enfaisant varierτ , on peut obtenir tous les portefeuilles de la frontière efficiente. On appelleλ1 le prix ombre(shadow price) de la contrainte.
33
4.2.3 Minimisation de la variance, espérance fixée
Supposons que les préférences d’un investisseur soient telles qu’il désire un portefeuille d’espéranceτ . Leproblème s’écrit alors
w∗ = argmaxw
−1
2w′Σw − λ1
(
w′µ− τ)
− λ2
(
w′1− 1)
et l’une des conditions de premier ordre est
Σw∗ − λ1µ− λ21 = 0.
Ici encore, la condition de premier ordre prend la même forme. Ici, λ1 s’interprète toujours comme un tauxmarginal de substitution, défini implicitement par le niveau d’espéranceτ choisi. En faisant varierτ , on peutobtenir tous les portefeuilles de la frontière efficiente.
La convention mathématique est d’utiliser cette dernière formulation, qui est la forme usuelle d’un problèmede programmation quadratique, qu’on écrit génériquement
w∗ = argminw
1
2w′Qw −w′P
s.c.
Aw = b
Cw ≥ d
(4.2)
Remarquons que la contrainteCw ≤ D est une contrainte d’inégalité. La solution d’un problème sujet à descontraintes d’inégalité est donné par les conditions de Kuhn-Tucker (voir annexeC.3).
Le lagrangien du problème classique s’écrit
w∗ = argminw
1
2w′Σw− λ1
(
w′µ− τ)
− λ2
(
w′1− 1)
.
Les conditions de premier ordre sont
Σw∗ − λ1µ− λ21 = 0 (4.3)
w∗′µ− τ = 0
w∗′1− 1 = 0.
De (4.3), on déduit
w∗ = Σ−1 (λ1µ+ λ21)
= λ1Σ−1µ+ λ2Σ
−11, (4.4)
qu’on pré-multiplie par1′.
1′w∗ = 1
= λ11′Σ−1µ+ λ21
′Σ−11
= λ1a+ λ2b, (4.5)
34
où on a défini les scalairesa ≡ 1′Σ−1µ et b ≡ 1′Σ−11.
De manière similaire, on pré-multiplie (4.4) parµ′.
µ′w∗ = τ
= λ1µ′Σ−1µ+ λ2µ
′Σ−11
= λ1c+ λ2a, (4.6)
où on a défini le scalairec ≡ µ′Σ−1µ.
Si on multiplie (4.6) par ac et qu’on soustrait (4.5), on obtient
a
cτ − 1 =
a
c(λ1c+ λ2a)− (λ1a+ λ2b)
=
(
a2
c− b
)
λ2
λ2 =1
a2
c − b
(a
cτ − 1
)
=aτ − c
a2 − bc. (4.7)
De la même manière, on multiplie (4.5) par ab et on soustrait (4.6) pour obtenir
a
b1− τ =
a
b(λ1a+ λ2b)− (λ1c+ λ2a)
=
(
a2
b− c
)
λ1
λ1 =1
a2
b − c
(a
b1− τ
)
=a− bτ
a2 − bc. (4.8)
Finalement, on substitue (4.7) et (4.8) dans (4.4) pour obtenir
w∗ =a− bτ
a2 − bcΣ−1µ+
aτ − c
a2 − bcΣ−11, (4.9)
qui est une fonction des paramètres du problème, soitµ, Σ et τ .
4.2.4 Portefeuilles efficients
Trois propriétés de la frontières efficiente sont parfois utiles :
1. Une combinaison de portefeuilles efficients est un portefeuille efficient ;
2. On peut construire toute la frontière avec 2 portefeuilles efficients ;
3. Pour chaque portefeuille efficient, il existe un autre portefeuille efficient avec lequel il n’est pas corrélé.
35
Deux portefeuilles sont particulièrement utiles.
Lorsqu’il y a un actif sans risque de rendementRf , le portefeuille tangent est donné par
wT (µ,Σ) =1
a− bRfΣ−1 (µ−Rf1) . (4.10)
Le portefeuille tangent est le portefeuille efficient dont le ratio de Sharpe est le plus élevé.
Le portefeuille de variance minimale globale est donné par
wVMG (Σ) =1
bΣ−11. (4.11)
Remarquons qu’il ne dépend pas deµ.
4.3 Choix de portefeuille sous contrainte
Dans cette section, on s’intéresse la formulation de différents problèmes pratiques.
4.3.1 Restrictions sur les ventes à découvert
Certaines politiques d’investissement ne permettent pas les ventes à découvert. Mathématiquement, les poidsdes actifs doivent être positifs. Le problème s’écrit alors
w∗ = argminw
1
2w′Σw
sous contrainte que
µ′w = τ
1′w = 1
w ≥ 0.
Les paramètres du problème (4.2) sont donc
A =
[
µ′
1′
]
b =
[
τ1
]
C = Id = 0.
36
4.3.2 Portefeuilles auto-financés
On portefeuille auto-financé est un portefeuille dont la valeur initiale est nulle. Mathématiquement, la sommedes “poids” des actifs doit être nulle. Le problème s’écrit alors
w∗ = argminw
1
2w′Σw
sous contrainte que
µ′w = τ
1′w = 0.
Les paramètres du problème (4.2) sont donc
A =
[
µ′
1′
]
b =
[
τ0
]
.
4.3.3 Portefeuilles diversifiés
Il arrive que la solution d’un des problèmes considérés jusqu’ici implique qu’une proportion importante duportefeuille soit investie dans un seul actif, ce qui ne semble pas souhaitable3. Par ailleurs, certaines politiquesd’investissement imposent explicitement des contraintesde diversification. Mathématiquement, ces contraintesprennent la forme de bornes supérieures sur les poids. Lorsque les ventes à découvert sont permises, on imposeaussi une borne (inférieure) sur les poids négatifs. Le problème s’écrit alors
w∗ = argminw
1
2w′Σw
sous contrainte que
µ′w = τ
1′w = 1
w ≤ wsup
w ≥ winf .
3. On verra comment ce problème est lié à celui de l’estimation de l’espérance et de la variance des rendements.
37
Les paramètres du problème (4.2) sont donc
A =
[
µ′
1′
]
b =
[
τ1
]
C =
[
−II
]
d =
[
−wsup1
winf1
]
.
4.3.4 Illustration
Illustrons l’influence des différentes modifications au problème initial. J’utilise les rendements de dix secteursindustriels construits par Kenneth French (données disponibles ici). Il s’agit de rendements mensuels entrejuillet 1926 et décembre 2013 (1050 observations). Je fais comme si ces rendements étaient des rendementsexcédentaires, par paresse...
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
2
4
6
8
10
12
14
16
x 10−3
écart−type
espé
ranc
e
Frontière efficient
Actifs/SecteursMVMV, sans v−à−d.MV, [−0.1, 0.4]4 actifsCRRA −1CRRA −2CRRA −3
On constate qu’imposer des contraintes sur les poids influence beaucoup la frontière.
38
Le graphique illustre aussi qu’on peut obtenir une frontière presqu’aussi bonne que celle du modèle sanscontrainte en ne considérant que 4 des 10 actifs. Cette frontière est obtenue de manière itérative. Je commencepar trouver le portefeuille de variance minimale avec 10 actifs, puis j’exclus l’actif dont le poids (absolu) estle plus faible. Je trouve alors le portefeuille de variance minimale avec ces 9 actifs, puis j’exclus l’actif dont lepoids est le plus faible. Et ainsi de suite, jusqu’à ce que j’obtienne un portefeuille de 4 actifs.
Pour montrer que l’approche approxime bien d’autres fonctions d’utilité, je présente aussi les frontières ef-ficientes correspondant à une fonction CRRA avec différentscoefficient d’aversion au risque relatif. On nepeut voir la différence que pour des niveaux de risque très élévés. Ce résultat n’est pas général et est lié à ladistribution des rendements : on s’attend à aucune différence si les rendements sont normaux, par exemple.
4.3.5 Gestion indicielle
Plusieurs politiques d’investissement spécifient un indice de référence. On s’intéresse alors naturellement àl’écart entre le rendement du portefeuille et celui de l’indice. Si on noteb le poids des titres dans l’indice, leproblème s’écrit
w∗ = argminw
1
2(w − b)′Σ (w − b)
= argminw
1
2w′Σw −w′Σb+
1
2b′Σb
= argminw
1
2w′Σw −w′Σb
sous contrainte que
µ′ (w − b) = τ
1′w = 1.
où τ est la cible de sur-performance. Les paramètres du problème(4.2) sont donc
A =
[
µ′
1′
]
b =
[
τ + µ′b
1
]
.
4.3.6 Frais de rebalancement
Il est rare qu’on construise un portefeuille à partir de zéro: on considère généralement des modifications d’unportefeuille existant. De plus, on voudra tenir compte des frais de transactions. Si on note
w0, le portefeuille initial ;a ≥ 0, le vecteur d’achats ;v ≥ 0, le vecteur de ventes ;ca et cv, les frais d’achat et de vente, en pourcentage ;
39
le problème s’écrit
(w∗,a∗,v∗) = argminw,a,v
1
2w′Σw
sous contrainte que
w − a+ v = w0 (contrainte sur les positions)
µ′w − caa− cvv = τ (rendement net)
−1′a (1 + ca) + 1′v (1− cv) = 0 (contrainte sur l’encaisse)
a ≥ 0
v ≥ 0.
Les paramètres du problème (4.2) sont donc
Q =
Σ 0 0
0 0 0
0 0 0
A =
I −I Iµ′ −ca1
′ −cv1′
0′ − (1 + ca)1′ (1− cv)1
′
b =
w0
τ0
C =
[
0 I 0
0 0 I
]
d =
[
0
0
]
.
4.4 Approche moyenne-risque
Nous avons déjà remarqué que la variance n’était que mesure de risque parmi d’autres, et pas nécessairementla meilleure. Quelles sont les conséquences de l’utilisation d’une autre mesure de risque dans les problèmesde choix de portefeuilles considérés dans cette section ?
D’abord, dans plusieurs cas, le problème n’a plus la forme (4.2), ce qui implique de la solution doit êtreobtenue numériquement.
Ensuite, il importe de réfléchir aux préférences implicitesau choix de la mesure de risque. En particulier,l’utilisation d’un moment partiel inférieur (dont la semi-variance) implique que l’investisseur est neutre aurisque au-dessus de la cible de rendement. Un moment partielinférieur d’un portefeuille n’est calculableque si le portefeuille est connu. On peut approximer un moment partiel d’un portefeuille en considérant lesmoments partiels inférieurs des actifs considérés (VoirCumova and Nawrocki(2014) et les références citées).
40
5 Évaluation d’une stratégie
5.1 Applicabilité pratique
Nous avons déjà mentionné qu’une hypothèse centrale au problème de choix de portefeuille tel que considéréjusqu’ici est que les paramètres de la distribution des rendements,µ et Σ, sont supposés connus. Ce n’estévidemment pas le cas et on doit plutôt les estimer, ce qui implique la frontière efficiente est une variablealéatoire (puisqu’elle est une fonction de variables aléatoires, les estimateurs deµ etΣ). Pour tenter de quan-tifier l’influence de l’estimation des paramètres,Jobson and Korkie(1980, 1981) ont présenté une analyse parsimulation simple, dont je reprends ici l’esprit.
5.1.1 Évaluation d’une stratégie
Définissions d’abord ce qu’on entend parstratégie. Dans ces notes, unestratégieest une procédure pourconstruire un portefeuille. L’approche moyenne variance décrite dans ce chapitre n’est donc pas une stratégie,pour deux raisons :
1. elle spécifie une frontière efficient complète plutôt qu’un portefeuille unique ;
2. cette frontière est fonction de paramètres,µ etσ, qui ne sont pas connus.
Un exemple de stratégie reposant sur l’approche moyenne variance est :
1. investir 100% de l’avoir dans le portefeuille tangent pendant un mois ;
2. estimerµ etσ par la moyenne et la covariance échantillonale des rendements excédentaires ; mensuelsen utilisant les 120 derniers mois observés ;
3. utiliser le rendement des bons du Trésor à 30 jours comme rendement sans risque.
Supposons qu’on ait une stratégie et qu’on veuille évaluer si il s’agit d’une bonnestratégie. On doit évidem-ment définir ce qu’on entend parbonne. Dans un cadre moyenne-variance, le ratio de Sharpe est une mesurenaturelle, puisque qu’elle mesure le rendement attendu du portefeuille par unité de risque. On doit aussi re-marqué que cette évaluation ne peut être que relative : il n’ya pas de bonnes stratégies en absolu, il n’y aque des stratégies supérieures à d’autres. En d’autres termes, on considère une ensemble de stratégies (parfoisseulement deux) et on tente d’identifier, si elle existe, la meilleure stratégies dans cet ensemble.
Supposons donc que nous avons deux stratégies et qu’on tented’identifier la meilleure des deux. Commentpeut-on procéder ? Une approche naïve serait de mesurer le rendement qu’aurait généré ces stratégies si onles avaient mise en oeuvre dans le passé4. On pourrait alors mesurer le rendement moyen et l’écart-typedu rendement de chaque stratégie, puis calculer son ratio deSharpe. On vérifierait si le ratio de Sharpe d’unestratégie est significativement supérieur à celui de l’autre. Il s’agit donc de faire un test statistique. Les résultatsd’un tel test ne sont valides que si la distribution des rendements est stable dans le temps. Autrement dit, ilfaut que la distribution des rendements sur la période ayantservie à estimer la moyenne et l’écart-type durendement des stratégies soit la même que sur la période où lastratégies serait mise en oeuvre. Dans le cascontraire, tout ce qu’un tel test nous permettrait d’affirmer c’est que, par exemple,la stratégie A aurait étépréférable à la stratégie B si on l’avait mise en oeuvre entre2001 et 2012.
4. On tiendrait alors idéalement compte des frais de transactions.
41
Évaluer la performance d’une stratégie est un exercice difficile. Tous les tests statistiques reposent sur deshypothèses. Il est essentiel de bien comprendre ces dernières pour bien interpréter les résultats des tests.
5.1.2 Influence de l’estimation des paramètres sur la performance des portefeuilles
On cherche à quantifier l’importance de l’estimation des paramètres (µ etΣ) sur la frontière efficiente. Commecette frontière contient une infinité de portefeuilles, il est utile de se concentrer sur quelques portefeuillesseulement. Puisque deux portefeuilles permettent de construire toute la frontière, on peut se concentrer surdeux portefeuilles bien choisis. Le portefeuille tangent et le portefeuille de variance minimale globale sont descandidats naturels.
Quantifier l’importance de l’estimation des paramètres nécessite qu’on choisisse une mesure. Nous utiliseronsle ratio de Sharpe, qui nous donne une mesure d’espérance de rendement ajustée pour le risque. Le ratio deSharpe d’un portefeuillew est donnée par
Sh(
w′R)
=w′ (µ−Rf1)√
w′Σw.
Considérons d’abord le portefeuille tangent, donné par (4.10). Si on connaissaitµ etΣ, on pourrait construirele portefeuillewT(µ,Σ) dont le ratio de Sharpe est
Sh(
wT(µ,Σ)′R)
=wT(µ,Σ)′ (µ−Rf1)√
wT(µ,Σ)′ ΣwT(µ,Σ).
Si on a dû estimer les paramètres par
µ ≡ 1
N
T∑
t=1
Rt (5.1)
et
Σ ≡ 1
N − 1
T∑
t=1
(Rt − µ) (Rt − µ)′ , (5.2)
on a dû alors construire le portefeuillewT(
µ, Σ)
dont le ratio de Sharpe est
Sh
(
wT(
µ, Σ)′
R
)
=wT(
µ, Σ)′
(µ−Rf1)√
wT(
µ, Σ)′
ΣwT(
µ, Σ)
.
Définissons la statistiquetT comme la différence entre ces ratios :
tT = Sh
(
wT(
µ, Σ)′
R
)
− Sh(
wT(µ,Σ)′ R)
.
On définit la statistiquetVMG de manière analogue à l’aide de (4.11).
42
Si tT est significativement inférieure à zéro, c’est que le ratio de Sharpe du portefeuille construit à l’aide desparamètres estimés est significativement inférieur au ratio de Sharpe du portefeuille qu’on aurait pu construiresi on avait connu la vraie valeur des paramètres. Si c’est le cas, c’est que l’estimation des paramètres influencele ratio de Sharpe du portefeuille et il importe alors d’estimer ces paramètres avec le plus de précision possible.Si tT n’est pas significativement inférieure à zéro, l’estimation des paramètres n’a pas d’incidence sur le ratiode Sharpe du portefeuille et nous n’avons à nous soucier de laprécision de cette estimation.
Pour évaluer sitT est significativement inférieure à zéro, nous devons calculer sa distribution. La forme decette distribution est complexe, mais il est relativement simple de l’approximer par simulations. On procède dela manière suivante. On se met dans des conditions idéales : les rendements sont normaux. Si l’estimation desparamètres influence le ratio de Sharpe du portefeuille lorsque les rendements sont normaux, on peut s’attendreà ce qu’elle influence aussi ce ratio lorsque les rendements ne sont pas normaux. On fixeµ etΣ et on considèreque ce sont les vrais valeurs des paramètres. Tous les résultats obtenus dépendront donc potentiellement duchoix deµ et Σ, mais on peut refaire l’expérience avec différentes valeurs pour évaluer la sensibilité desrésultats à ce choix. Pour bien interpréter les résultats denotre test, rappelons explicitement les hypothèses :– On observe le rendement deN actifs pendantT périodes ;– Les rendements des actifs sont indépendants dans le temps ;– Les rendements des actifs pour une période donnée sont normalement distribués de moyenneµ et de cova-
rianceΣ et ces paramètres sont fixés à certaines valeurs choisies.On simuleM échantillons de rendements de cette distribution. Pour chaque échantillonm = 1, . . . ,M ,
1. on estime la moyenne et la variance des rendements,µm et Σm ;
2. on calcule le portefeuille tangentwT(
µm, Σm)
et le portefeuille de variance minimale globalewVMG(
Σm)
;
3. on calcules les statistiquestT,m et tVMG,m.
On obtient alors une approximation de la distribution des statistiquestT et tVMG. La figure suivante présentecette approximation (paramètres correspondant à la moyenne et la variance des 10 secteurs industriels, 1050observations,M = 10000).
43
−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.150
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500Distribution des statistique tT et tVMG
Ptf tangent, tT
Ptf variance minimale globale, tVMG
On remarque quetT est significativement inférieure à zéro, ce qui suggère que l’estimation des paramètresréduit significativement la performance du portefeuille tangent. Par contre,tVMG n’est pas significativementinférieure à zéro. L’estimation des paramètres ne semble donc pas avoir d’incidence sur la performance duportefeuille de variance minimale globale. De plus, puisque le portefeuille tangent dépend deµ etΣ alors quele portefeuille de variance minimale globale ne dépend que deΣ, ces résultats suggèrent que l’estimation deµ a plus d’influence sur la performance que l’estimation deµ. Insistons sur le fait que ces résultats ne sont pasgénéraux : ils ont été obtenus pour certaines valeurs deµ etΣ.
Une autre manière de présenter l’information consiste à présenter la distribution des ratiosSh
(
wT(
µ, Σ)′
R
)
etSh
(
wVMG(
µ, Σ)′
R
)
.
44
0.19 0.2 0.21 0.22 0.23 0.24 0.25 0.26 0.27 0.280
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000Distribution du ratio de Sharpe
Ptf tangent, vraie valeur = 0.2632Ptf variance minimale globale, vraie valeur = 0.2519
On remarque que le portefeuille de variance minimale globale a généralement un meilleur ratio de Sharpe quele portefeuille tangent. Ce résultat suggère que l’estimation deµ influence suffisamment la performance duportefeuille tangent pour qu’elle soit inférieure à la performance du portefeuille de variance minimale globale.
Les prochaines sections aborderont ce problème et différentes solutions. Les solutions dépendent de la na-ture de l’échantillon utilisé pour estimer des paramètres.Nous ferons la distinction, grossière, entre les deuxproblèmes suivants :
1. Allocation d’actifOn pense à l’allocation du portefeuille d’une institution en quelques grandes classes d’actifs : actionscanadiennes, actions américaines, obligations gouvernementales, obligations corporatives, devises, ma-tières premières, etc. Le nombre d’actifs est relativementpetit et l’horizon est souvent long : rendementstrimestriels, plusieurs décennies (par exemple).
2. Choix de titresOn considère plutôt le choix des titres à inclure dans un portefeuille à l’intérieur d’une classe d’actifs. Ilpeut y avoir plusieurs milliers d’actifs disponibles dans certains cas. L’horizon est souvent relativementcourt : rendements quotidiens, pendant quelques années (par exemple).
Grossièrement, (1) la précision de l’estimation des rendements espérés dépend de l’horizon (idéalement plu-sieurs décennies) alors que la précision de la covariance dépend de la fréquence d’observation (idéalementquotidienne). De plus, (2) alors qu’il n’y a qu’un rendementespéré à calculer pour chaque actif, la matricede covariance deN actifs contientN (N + 1) /2 éléments. Pour 100 actifs, il y a donc 5050 covariances àestimer. Finalement, (3) la normalité des rendements dépend de la fréquence d’observation.
45
6 Modèles d’évaluation d’actif
6.1 Introduction
Ce chapitre présente une courte introduction aux modèles d’évaluation d’actifs. Ces modèles existent sousdifférentes formes, selon les hypothèses qu’on formule. Nous ne présentons qu’une seule forme de chaquemodèle, qui repose notamment sur l’hypothèse qu’il existe un actif sans risque que l’on peut acheter ou vendresans restriction.
Puisque le modèle d’évaluation par arbitrage repose sur la notion de portefeuille diversifié, nous présentonsaussi ce concept important.
6.2 Modèle d’évaluation d’actifs financiers
Le modèle d’évaluation d’actif financier (MÉDAF) est étroitement lié au problème de choix de portefeuilledans un cadre moyenne variance. Il nécessite notamment qu’on fasse l’hypothèse que les rendements sontnormalement distribués ou que les investisseurs ont des préférences représentables par une fonction d’utilitéquadratique. Comme nous l’avons vu, dans ces conditions, ilest optimal de détenir une portion de son avoirdans l’actif sans risque et une portion dans le portefeuilletangent. Jusqu’ici, rien de neuf.
L’argument central du MÉDAF est le suivant : si tous les investisseurs détiennent le portefeuille tangent,alors l’ensemble de leurs investissements constitue nécessairement le portefeuille tangent. Le MÉDAF estdonc essentiellement un modèle qui permet d’identifier le portefeuille tangent : c’est le portefeuille constituédes investissements de l’ensemble des investisseurs. La définition d’investissement doit être comprise au senslarge, incluant notamment les investissements immobiliers, en infrastructure (routes, ponts, écoles) et en capitalhumain (recherche, éducation). Le rendement de ce portefeuille étant impossible à mesurer, on l’approxime ensouvent par le rendement d’un indice largement diversifié.
6.3 Diversification
Supposons que le rendement d’un actifi est une fonction affine de facteurs de risque commun et d’un facteuridiosyncrasique, soit
Ri = αi + βi1f1 + . . . + βiKfK + ei
= αi + β′if + ei, (6.1)
où fK×1 est un vecteur deK facteurs expliquant la covariance entre toutes les paires(i, j) d’actifs, de sorteque la matrice
Ω = Cov [e]
soit diagonale, etβi est un vecteur de dimensionK×1.
Remarquons d’abord que le rendement d’un portefeuille est aussi une fonction affine de ces facteurs de risques,
46
puisque
w′R = w′(
α+ β′f + e)
= w′α+w′β′f +w′e
= α+ β′f + e.
Puisque les facteurs de risque communs ne sont pas corrélés aux facteurs idiosyncrasiques, la variance durendement du portefeuille est donnée par
Var[
w′R]
= Var[
β′f]
+Var [e] .
On s’intéresse à la variance dee pour des portefeuilles de grande taille. Pour simplifier l’analyse, considéronsun portefeuille équipondéré deN actifs, soit
w′ = [1/N . . . 1/N ] .
Pour ce portefeuille, on a
Var [e] = Var
[
N∑
i=1
1
Nei
]
=1
N2Var
[
N∑
i=1
ei
]
(les facteurs idiosyncrasiques ne sont pas corrélés)
=1
N2NVar [ei] (les facteurs idiosyncrasiques ont la même variance)
=σ2e
N.
Sous ces conditions (qui peuvent être affaiblies), la variance de la composante idiosyncratique tend vers zérolorsque le nombre d’actifs dans le portefeuille devient grand. C’est l’essence de la diversification : la construc-tion d’un grand portefeuille permet d’éliminer la composante idiosyncrasique, de sorte qu’il ne reste que lerisque systémique.
6.4 Modèle d’évaluation par arbitrage
Le modèle d’évaluation par arbitrage proposé parRoss(1976) postule que le rendement d’un actifi est unefonction affine de facteurs de risque commun et d’un facteur idiosyncrasique tel que décrit par l’équation (6.1).Lorsque c’est le cas, le rendement d’un portefeuille diversifié (assez grand pour que la variance des facteursidiosyncrasiques soit négligeable)i est donné par
Ri = αi + β′if .
Pour illustrer le résultat central du modèle, considérons un seul facteur et construisons un portefeuille de deuxportefeuilles diversifiés,i et j, tels que l’exposition au facteur est nulle, c’est à dire telque
wβi + (1−w) βj = 0,
47
soitw =βj
βj−βi. Puisque ce portefeuille ne dépend pas du facteur de risque commun, son rendement doit être
égale au rendement de l’actif sans risque,
βjβj − βi
αi −βi
βj − βiαj = Rf
=βj
βj − βiRf −
βiβj − βi
Rf
βjβj − βi
(αi −Rf ) =βi
βj − βi(αj −Rf )
αi −Rf
βi=
αj −Rf
βj
= λ, (une constante)
αi = Rf + βiλ.
Dans le cas contraire, il y aurait opportunité d’arbitrage.Cette dernière relation doit être vérifiée par tous lesactifs (puisque la valeur d’un portefeuille est égale à la somme de la valeur des actifs qu’il contient), dont lefacteur. Puisque le rendement du facteur est donnée par
f = αf + βff
= 0 + 1f,
on a
αi −Rf
βi=
0−Rf
1,
αi = Rf (1− βi)
ce qui implique que
E [Ri −Rf ] = E [f −Rf ]βi.
Ce résultat ce généralise aux modèles avec plusieurs facteurs. Ainsi, lorsqu’il existe un actif sans risque etque le modèle factoriel décrit toutes les sources de risque systémique (facteurs communs), l’espérance derendement excédentaire doit être proportionnelle à l’espérance de rendement excédentaire des facteurs.
48
7 Modèles factoriels
7.1 Introduction
Une manière de tenir compte de la problématique entourant l’estimation des paramètres entrant dans la formu-lation du problème de choix de portefeuille consiste à postuler un modèle paramétrique pour le rendement desactifs de manière à réduire le nombre de paramètres à estimer. Dans ce chapitre, nous considérons plusieursmodèles factoriels qui permettent une telle réduction du nombre de paramètres à estimer.
Un modèle factoriel (ou modèle à facteurs) postule une relation, souvent linéaire, entre le rendement des actifset une (ou plusieurs) variables, appeléesfacteurs. On postule, par exemple, que le rendement d’un actifisatisfait
Ri = αi + f1βi1 + . . . + fKβiK + ei
= αi + β′if + ei, (7.1)
où f1×K est un vecteur deK facteurs expliquant la covariance entre toutes les paires(i, j) d’actifs, de sorteque
Cov [Ri, Rj] = β′iCov [f ]βi
= β′iΣfβi
pour touti 6= j. Autrement dit, la matriceΩ = Cov [e]
est diagonale. Pour cette raison, on appelle parfois ce modèle le modèle diagonal. La matriceβK×N est lamatrice des sensibilités, ou expositions, des actifs aux facteurs. La nature des facteurs définit une classe demodèles, telles que nous les présenterons dans ce chapitre.
Voyons comment ces modèles permettent de réduire le nombre de paramètres à estimer. La matrice de cova-riance d’un vecteur deN rendements compte généralementN (N + 1) /2 élément distincts, alors que l’espé-rance en compteN , pour un total deN (N + 3) /2 élément distincts. SiN = 100, on doit donc estimer5150paramètres. Par contre, si les rendements satisfont (7.1) et quef est un scalaire (un seul facteur), on a
E [R1×N ] = α1×N + β′N×1E [f1×1]
= α+ β′µf
Cov [R] = β′Var[fβ +Cov [e]
= β′σ2fβ +ΩN×N .
Puisqueα, β etΩ comptent chacunN paramètres et queµf et σ2f sont des scalaires, ce modèle ne requière
l’estimation que de3N + 2 = 302 paramètres.
Dans le cas multi-factoriel, la dernière équation est plutôt
Cov [R] = β′N×KΣfβ +Ω.
AvecK facteurs,µf compteK paramètres etΣf en compteK(K + 1)/2.
49
Remarquons que (7.1) ne fait aucune référence au temps. Autrement dit, tous les éléments peuvent varier dansle temps,
Ri,t = αi,t + ftβi,t + ei,t.
Non seulement les facteurs évoluent dans le temps, mais les entreprises (leurs caractéristiques) aussi.
Sans vouloir entrer dans les détails (encore une fois, nous ne nous intéressons pas à l’évaluation des actifs dansce cours), un résultat de la théorie de l’évaluation par arbitrage est que la constante doit être commune à tousles actifs, soit
Ri,t = αt + ftβi,t + ei,t.
De plus, s’il existe un actif sans risque, on a le cas particulier
Ri,t −Rf,t = (ft −Rf,t)βi,t + ei,t
ce qui peut être écrit Ri,t = Rf,t + ftβi,t −Rf,tβi,t + ei,t
= (Rf,t −Rf,tβi,t) + ftβi,t + ei,t.
Une dernière remarque : l’échelle des facteurs n’a aucune importance. En effet, le modèle reste essentiellementle même lorsque la sensibilité au facteur est ajustée en conséquence :
Ri,t = αt + ftβi,t + ei,t
= αt +ft
2(2βi,t) + ei,t
= αt + ftβi,t + ei,t.
Cette propriété est utile pour faciliter l’interprétationdes facteurs et des sensibilités. Nous verrons des exemples.
Si le modèle inclut une constante, la moyenne des facteurs n’a pas d’importance non plus. Cette propriété desmodèles factoriels permet aussi de normaliser les facteurspour les rendre plus facilement interprétables.
La suite de ce chapitre présente différentes classes de modèles. Le premiers sont des modèles où les facteurssont des variables observés et dont les paramètres sont estimables par régression linéaire. Les seconds sont desmodèles où les facteurs ne sont pas observés, mais sont plutôt extraits, statistiquement, des rendements.
7.2 Facteur observés
Lorsque les facteurs sont des quantités observables, les paramètres du modèles peuvent être estimés parmoindres carrés. Pour fins de présentation, on distingue le cas où les facteurs sont des actifs financiers (oudes portefeuilles d’actifs financiers) du cas contraire.
De manière générale, lorsque les facteurs sont observés, onpeut estimer les paramètres du modèle factoriel(7.1), soit αi, βi et Ωi par moindres carrés ordinaires, pour chaque actif. Notons queβi est une matrice dedimensionK par1. CesN régressions linéaires permettent d’obtenir le vecteur
α ≡ [α1, . . . , αi, . . . , αN ]′ , (7.2)
(7.3)
50
et les matrices
βK×N ≡[
β′1, . . . , β
′i, . . . , β
′N
]′, (7.4)
et
Ω ≡
Ω1 0 · · · · · · 0
0. . . . . .
......
. . . Ωi.. .
......
. . . .. . 0
0 · · · · · · 0 ΩN
. (7.5)
L’espérance du facteur est estimée parf (équation (2.7)) et sa variance pars2f (équation (2.8)). L’espérancedes rendements est alors estimée par
α+ β′f (7.6)
et leur covariance par
β′s2f β + Ω. (7.7)
7.2.1 Facteurs négociables
On parle defacteurs négociableslorsque les facteurs sont des actifs (ou des portefeuilles)qui peuvent êtreachetés et vendus sur les marchés. Le modèle d’évaluation d’actifs financiers (MÉDAF), lorsque le porte-feuille de marché est représenté par un indice boursier, estl’exemple le plus simple et le plus connu. Selonce modèle, l’espérance de rendement excédentaire d’un actif est proportionnel au rendement excédentaire duportefeuille de marché, une notion abstraite de l’ensembledes investissements de l’ensemble des individus. Ildevrait, par exemple, inclure les investissements en capital humain. En pratique, on approxime le portefeuillede marché par un indice boursier diversifié. SiRm désigne le rendement d’un tel indice, le MÉDAF postuleque l’espérance de rendement d’un actifn satisfait
E [Rn −Rf ] = βnE [Rm −Rf ] ,
ce qui implique queRn −Rf = βn (Rm −Rf ) + en
avecE [e|Rm −Rf ] = 0 etCov [en, em] = 0 pourn 6= m. On dit queβn est le béta du titre, ou sa sensibilitéau risque de marché, et queE [Rm −Rf ] est laprime de risquede marché.
Comme son nom l’indique, ce modèle est un modèle d’évaluation d’actifs. Nous ne nous s’intéresserons pasà sa validité empirique. Remarquons cependant que si l’unique source commune de risque est le rendementexcédentaire du portefeuille de marché, alors la constanteαn dans la régression linéaire
Rn −Rf = αn + βn (Rm −Rf ) + en
ne devrait pas être significativement différente de zéro, pour aucun actif.
51
Cette dernière remarque se généralise au cas multivarié : siun vecteur de rendements excédentaires est l’uniquesource commune de risque, alors la constante devrait être zéro. Remarquons aussi au passage que le rende-ment d’un portefeuille auto-financé (i.e. de valeur initiale nulle) peut être considéré directement comme unrendement excédentaire.
Influence de l’utilisation d’un modèle factoriel sur la performance des portefeuilles
Reprenons l’exercice de simulation réalisé à la section5.1pour tenter de quantifier l’utilité potentielle des mo-dèles factoriels pour augmenter la précision de l’estimation des paramètres et éventuellement la performancedu portefeuille construit.
Considérons d’abord un modèle à un facteur, tel que celui présenté par l’équation (7.1). En fonction desparamètres de ce modèle, l’espérance est estimée parα+ β′f et la covariance est estimée parβ′βs2f + Ω. Ontente de répondre à la question suivante : Si les rendements sont effectivement caractérisés par un modèle à unfacteur, est-ce l’utilisation de ce modèle pour estimer l’espérance et la covariance des rendements des actifspermet de construire des portefeuilles dont le ratio de Sharpe est significativement supérieur aux portefeuillesqu’on aurait construits en utilisant la moyenne et la covariance échantillonale des rendements ? Pour répondreà cette question, considère la statistique
tT = Sh
(
wT(
µ, Σ)′
R
)
− Sh
(
wT(
α+ β′f , β′s2f β + Ω)′
R
)
,
pour le portefeuille tangent et une statistiquetVMG définie de manière similaire pour le portefeuille de va-riance minimale globale. Si cette statistique est significativement inférieure à zéro, c’est que le ratio de Sharped’un portefeuille obtenu à l’aide du modèle factoriel est significativement supérieur au ratio de Sharpe d’unportefeuille obtenu sans l’aide du modèle factoriel.
Pour approximer la distribution de ces statistiques, on choisit d’abord des valeursµf , σ2f , α, β etΩ. Ici encore,
les résultats qu’on obtiendra dépendront nécessairement des valeurs choisies et on pourra reprendre l’exerciceavec différentes valeurs. On veut générerM valeurs de la statistiquetT . Pour générer une valeur, on procèdede la manière suivante :
1. on génère un échantillon du facteurf qui suit une loi normale d’espéranceµf et de varianceσ2f
2. on génère un échantillon de rendementsR qui suit une loi normale d’espéranceα+ fβ et de varianceΩ
3. on estime la moyennef et la variances2f du facteur
4. on estime la régressionR = α+ fβ + u pour obtenirα, β et Ω.
5. on calcule le portefeuille tangent obtenu à l’aide du modèle factoriel,wT(
α+ β′ff , β′s2f β + Ω
)
6. on estime la moyenneµ et la covarianceΣ des rendements
7. on calcule le portefeuille tangent obtenu sans le modèle factoriel,wT(
µ, Σ)
La figure suivante présente cette approximation pour la statistiquetT (paramètres correspondant à l’estimationd’un modèle à un facteur pour nos 10 secteurs industriels où le facteur est l’indice S&P500, 1050 observations,M = 5000).
52
−0.1 −0.08 −0.06 −0.04 −0.02 0 0.02 0.04 0.060
50
100
150
200
250
300
350
400Distribution du ratio de Sharpe: MV−1F − Ptf tangent
Ptf MV, vraie valeur = 0.3275
La statistiquetT n’est pas significativement différente de zéro, ce qui suggère qu’utiliser un modèle factorieln’apporte aucune amélioration du ratio de Sharpe du portefeuille tangent par rapport à une estimation classiquede la moyenne et de la variance des rendements, même si les rendements sont effectivement caractérisés parun modèle à un facteur. La figure suivante présente une approximation de la distribution detVMG.
−0.06 −0.05 −0.04 −0.03 −0.02 −0.01 0 0.01 0.020
50
100
150
200
250
300
350
400Distribution du ratio de Sharpe − Ptf VMG − MV−1F
Ptf MV, vraie valeur = 0.3167
La statistiquetVMG n’est pas significativement différente de zéro. Un modèle à facteur n’améliore donc pasle ratio Sharpe du portefeuille de variance minimale globale.
53
Insistons sur le fait que ces résultats dépendent des valeurs des paramètres que nous avons choisies. Remar-quons que la réduction du nombre de paramètres à estimer est d’autant plus grande que le nombre d’actif estgrand, passant deN (N + 3) /2 à3N+2. Pour 10 actifs, la réduction est de32/65 = 0, 49. Pour 100 actifs, laréduction est de302/5150 = 0, 06. Si on reprend l’exercice précédent avec 49 secteurs (534 mois), on obtientles figure suivantes.
−0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.10
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500Distribution du ratio de Sharpe: MV−1F − Ptf tangent
Ptf MV, vraie valeur = 0.4693
−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.050
50
100
150
200
250
300Distribution du ratio de Sharpe − Ptf VMG − MV−1F
Ptf MV, vraie valeur = 0.3945
L’augmentation du ratio de Sharpe apportée par l’utilisation du modèle factoriel est alors évidente, tant pour le
54
portefeuille tangent que le portefeuille de variance minimale globale. Si on considérait un plus grand nombred’actifs, l’augmentation du ratio de Sharpe serait encore plus importante.
Influence de l’utilisation du MÉDAF sur la performance des portefeuilles
Intéressons-nous maintenant au MÉDAF. C’est un cas particulier de modèle à un facteur pour lequelα = 0,comme conséquence des hypothèses sous-jacentes au modèle.Puisque cette condition réduit le nombre deparamètres spécifiant l’espérance des rendements, qui est alors donnée parfβ, on peut s’attendre à ce qu’ellebénéficie davantage au portefeuille tangent (qui dépend de l’espérance des rendements) qu’au portefeuille devariance minimale globale (qui ne dépend pas de l’espérancedes rendements). On peut modifier légèrementl’expérience précédente pour vérifier cette intuition : il suffit de fixerα = 0. Les figures suivantes présententla distribution detT et tVMG pour le cas de nos 10 secteurs :
−0.35 −0.3 −0.25 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 00
100
200
300
400
500
600
700
800
900Distribution du ratio de Sharpe: MV−1F − Ptf tangent
55
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8
x 10−3
0
50
100
150
200
250
300Distribution du ratio de Sharpe: MV−1F − Ptf VMG
On constate que l’amélioration du ratio de Sharpe est significative pour le portefeuille tangent, mais qu’ellen’est pas significative pour le portefeuille de variance minimale globale. Ceci est conforme à nos attentes.Rappelons que ce résultat n’est valide que si le MÉDAF est valide.
Modèle à trois facteurs de Fama et French
La validité empirique du MÉDAF a été sérieusement remise en question. Certaines de ces critiques ont mené àconsidérer des facteurs supplémentaires pour expliquer les rendements. Par exemple,Fama and French(1993)(voir Estrada(2010) pour une présentation simplifiée) proposent des facteurs correspondant à des portefeuillesauto-financés.
1. Long petites capitalisations, court grandes capitalisations (facteur SMB -Small Minus Big)
2. Long ratio valeur comptable/valeur au marché élevé, court ratio valeur comptable/valeur au marchéfaible (facteur HML -High Minus Low)
Pour construire ces portefeuilles, les actifs sont ordonnés selon le critère pertinent (capitalisation, ratio valeurcomptable/valeur au marché), puis on construit un portefeuille long avec les actifs du premier décile et unportefeuille court (où les actifs sont vendus à découvert) avec les actifs du dernier décile. Le modèle est alors
R−Rf = βm (Rm −Rf ) + βSMBSMB + βHMLHML+ en.
7.2.2 Facteurs non négociables
Caractéristiques des entreprises
Dans ce cas, on identifie directement des sensibilités. Elles serviront à estimer des facteurs (voirBender and Nielsen(2010)). Quelques exemples sont :
56
– secteurs industriels ou géographiques (variables binaires)– ratios financiers (historiques et prévisions des analystes), taille– rendements historiques (momentum), bénéfices historiques (croissance), volatilité (historique et implicite,
rendements et bénéfices), volumes (liquidité)On regroupe parfois facteurs ayant une interprétation similaire.
Procédure type :
1. Les caractéristiques sont considérées comme des sensibilités à des facteurs (non observés)
2. Chaque caractéristique est normalisée (exprimée en nombre d’écarts-types à la moyenne)
3. Pour chaque période, on estime les facteurs par régression linéaire (rendement sur caractéristiques)
4. Une fois ces facteurs connus (pour chaque période), on peut en estimer leur espérance (µf ) et leurmatrice de covariance (Σf ).
Illustrons cette procédure dans le cas d’une seule caractéristique, soit la capitalisation boursière de l’entreprisei à la périodet, qu’on noteraCi,t. Supposons que la capitalisation moyenne des entreprises àla périodet soit
µC,t et que l’écart-type soitσC,t. On définit alors une nouvelle variable,ci,t ≡ Ci,t−µC,t
σC,t. Pour chaque période,
t = 1, . . . , T , on estime une régression linéaire
Rt −Rf1 = βt,01+ ctβt,c + u
= [1ct] [βt,0 βt,c]′ + u
= Xtβt + u,
où1 est un vecteur de 1 de dimensionN×1,
Rt ≡ [R1,t, . . . , Ri,t, . . . , RN,t]′ ,
ct ≡ [c1,t, . . . , ci,t, . . . , cN,t]′ ,
et Xt ≡ [1ct] .
L’estimateur des MCO deβt est βt = (X ′tXt)
−1X ′t (Rt −Rf1). On obtient ainsiT valeurs deβt. Notons
fc,t ≡ βt,c, soit le deuxième élément du vecteurβt.
Remarquons que
1. fc,t a l’interprétation usuelle d’un coefficient dans une régression linéaire : il indique de combien lerendement espéré d’un actif varie avec la capitalisation boursière, à la périodet. Autrement dit, étantdonné la normalisation de la variable, l’espérance de rendement d’une entreprise dont la capitalisationest un écart-type supérieure à la capitalisation moyenne est defc,t supérieure à l’espérance de rendementd’une entreprise de capitalisation moyenne.
2. fc,t est une combinaison linéaire des rendements, c’est à dire que fc,t = w′t (Rt −Rf1) où w′
t estla deuxième ligne de(X ′
tXt)−1X ′
t. C’est donc le rendement d’un certain portefeuille de rendementsexcédentaires.
Une fois cesT facteurs estimés, on peut estimer les paramètres du modèle factoriel par moindres carrésordinaires. Pour chaque titrei = 1, . . . , N , on estime la régression linéaire (le modèle factoriel)
Ri −Rf = αi + fcβc,i + ui,
57
où
Ri ≡ [Ri,1, . . . , Ri,t, . . . , Ri,T ]′ ,
Rf ≡ [Rf,1, . . . , Rf,t, . . . , Rf,T ]′
et fc ≡ [fc,1, . . . , fc,t, . . . , fc,T ]′ ,
et où la variance deui estΩi.
CesN régressions linéaires permettent d’obtenir les vecteurs (7.2) et (7.4) et la matrice (7.5). Nous avonsmentionné qu’on regroupe parfois facteurs ayant une interprétation similaire. Nous verrons plus tard dans cechapitre comment certains outils statistiques peuvent permettre de construire de tels groupes. À ce moment-ci, présentons une approche simple5. Supposons, qu’en plus de la capitalisation boursière, ou veuille utiliserles ventes de l’entreprise comme mesure de sa taille. On auraalors défini une variable normaliséevi,t et onaura obtenu un facteurfv,t comme précédemment. On peut alors estimer, pour chaque titre i = 1, . . . , N , larégression linéaire (le modèle factoriel)
Ri,t −Rf,t = αi + fc,tβc,i + fv,tβv,i + ui,t.
On peut ensuite calculerβc,i = 1N
∑Ni=1 βc,i et βv,i = 1
N
∑Ni=1 βv,i, puis définir un nouveau facteur
ft =βc,i
βc,i + βv,ifc,t +
βv,iβc,i + βv,i
fv,t.
Ce facteur sera un moyenne pondérée des deux facteurs représentant la taille de l’entreprise et sera doncinterprétable comme tel.
Variables macroéconomiques
Il s’agit ici d’identifier des facteurs macroéconomiques qui influencent les rendements des actifs. Quelquesexemples : (voirBurmeister et al.(2003))– taux d’intérêt (écart de terme)– inflation (non anticipée, par rapport à un modèle)– commodités (or, pétrole, etc.)– taux de change– production (non anticipée, par rapport à un modèle)– confiance (écart des obligations corporatives)– portefeuille de marché (orthogonalisé)On voudra souvent traiter ces facteurs pour qu’ils prennentla forme de portefeuilles, comme dans le cas descaractéristiques des entreprises. La difficulté supplémentaire est que les sensibilités ne sont pas observées etdoivent être estimées. Procédure type (e.g.Chen et al.(1986)) :
1. Pour une certaine période d’observation (e.g.t = 1, . . . , 60 mois), estimer les sensibilités par régressionlinéaire. Ces sensibilités seront traitées comme les caractéristiques (maintenant observées) des entre-prises.
2. Pour la période suivante (e.g.t = 61), procéder comme dans le cas des caractéristiques d’entreprises :on estime les facteurs par régression linéaire (rendementssur caractéristiques)
5. La suite de cette sous-section n’est pas centrale au cours.
58
3. Répéter les étapes 1 et 2 jusqu’à la fin de l’échantillon.
Prenons un exemple concret, l’écart de terme, soit la différence entre le rendement des obligations à 10 ans etcelles à 2 ans, par exemple. Notons cette différence parπt. En utilisant les 60 premiers mois d’observation, onestime d’abord lesN régressions linéaires
Ri −Rf = αi + πβi,60 + ui,
où
Ri ≡ [Ri,1, . . . , Ri,60]′
et π ≡ [π1, . . . , π60]′ .
On obtient ainsiN valeursβi,60, i = 1, . . . , N .
Ensuite, pourt = 61, on estime la régression
R61 −Rf1 = 1α+ β60β61,π + u,
où
R61 ≡ [R1,61, . . . , Ri,61, . . . , RN,61]′
et β60 ≡[
β1,60, . . . , βi,60, . . . , βN,60
]′.
L’estimateur des MCO deβ61 dans cette dernière régression nous donne la valeur du facteur fπ,t en t = 61 :on fixefπ,61 = β61.
On reprend ensuite l’estimation desN régressions linéaires en utilisant les mois d’observation2 à 61, ce quinous permettra d’estimer la régression pourt = 62 et obtenir la valeur du facteur ent = 62. On continueainsi jusqu’à ce qu’on ait la valeur du facteur ent = T . On pourra finalement estimer, pour chaque titrei = 1, . . . , N , la régression linéaire (le modèle factoriel)
Ri −Rf = αi + fπβπ,i + ui,
avec
Ri ≡ [Ri,61, . . . , RN,T ]′
et fπ ≡ [fπ,61, . . . , fπ,T ]′ .
7.3 Facteur non observés
On utilise l’expressionnon observés, ou latents, pour référer à des facteurs qui sontextraits, ou encorefiltrés,à l’aide d’un algorithme statistique. C’est la procédure d’extraction qui définit les facteurs. On en verra deux,l’analyse par composantes principales et l’analyse factorielle.
59
7.3.1 Analyse par composantes principales
Tout comme dans le cas des facteurs observés, les facteurs non observés sont des portefeuilles de rendementsexcédentaires. Pour un facteurk, on a donc
fk = wk (R−Rf ) .
L’analyse par composantes principales est un algorithme qui permet de choisir les vecteurswk. Puisquel’échelle des facteurs n’a pas d’importance, on impose une contrainte sur ces portefeuilles. Plutôt que d’impo-serw′
k1 = 1 comme nous l’avons fait dans le contexte de choix de portefeuille, on imposew′kwk = 1.
L’approche consiste6 en les étapes suivantes :
1. Pourk = 1, trouver le vecteurw1 qui maximise la variance def1, soit
Var [f1] = Var[
w1ΣRw1
]
,
où ΣR est la matrice de covariance des rendements ;
2. Pourk = 2, trouver le vecteurw2 qui maximise la variance def2, soit
Var [f2] = Var[
w2ΣRw2
]
,
de sorte quef1 etf2 ne soient pas corrélés, soit
Cov [f1, f2] = Var[
w1ΣRw2
]
= 0;
3. Pourk = 3, trouver le vecteurw3 qui maximise la variance def3 de sorte quef1, f2 etf3 ne soient pascorrélés ;
4. ...
Il existe des tests statistiques pour guider le choix deK, le nombre de facteur à utiliser. En pratique, simple-ment, on calcule le pourcentage de la somme des variances desrendements qui est expliquée par la somme desvariances des facteurs,
γk =
K∑
k=1
Var [fk]
N∑
i=1Var [Ri]
.
7.3.2 Application : Structure à terme des taux d’intérêts
On s’intéresse à la structure à terme des taux d’intérêt, soit la relation entre le taux d’intérêt zéro-coupon etl’échéance. Dans cet exemple, on observe 30 taux, correspondant aux échéances 1 an à 30 ans. On observe sevecteur de taux pendant 311 semaines. Par exemple, à la semaine 200, on observait :
6. Les procédures mises en oeuvre dans les logiciels statistiques procèdent de manière différente, mais plus efficace, pour arriverà la même solution.
60
0 5 10 15 20 25 300
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
échéance
taux
zér
o−co
upon
Pour un modèle à un facteur, on aγ1 = 0.8656. Avec deux facteurs, on aγ2 = 0.9901. Avec trois,γ3 = 0.9981.Trois facteurs semblent amplement suffisants.
La figure suivante présente les vecteurs de sensibilités estimées :
0 5 10 15 20 25 30−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
échéance
sens
ibili
té
f1
f2
f3
61
7.3.3 Analyse factorielle
L’analyse factorielle consiste en l’estimation, par la méthode du maximum de vraisemblance7, des paramètresd’un modèle factoriel de la forme
RN×1 = αN×1 + βN×KfK×1 + eN×1,
où
1. e est un vecteur de variables aléatoires normalement distribuées d’espérance nulle est de covarianceCov [e] = D diagonale (les corrélations sont nulles) ;
2. f est un vecteur de variables aléatoires normalement distribuées d’espérance nulle est de covarianceCov [e] = I égale à une matrice identité (les variances sont égales à 1 etles corrélations sont nulles) ;
3. e et f ne sont pas corrélés.
Sous ces conditions, la matrice de covariance des rendements est
Σ = ββ′ +D
et l’espérance est donnée parµ = α.
7.4 Sommaire
Les modèles factoriels permettent de réduire le nombre de paramètres à estimer en imposant une relationlinéaire entre l’espérance des rendements et un petit nombre de variables, appelées facteurs. Dans tous les casque nous avons considérés, ces facteurs sont des portefeuilles de rendements excédentaires. L’espérance deces facteurs d’interprète alors comme uneprime de risque.
La réduction du nombre de paramètres, dans le cas général, nebénéficie qu’à l’estimation de la covariancedes rendements. Par exemple, lorsqu’il n’y a qu’un facteur,le nombre de paramètres à estimer passe deN (N + 1) /2 à2N + 1. Cette réduction sera d’autant plus grande queN est grand.
Pour améliorer l’estimation de l’espérance des rendements, on doit imposer des conditions pour assurer l’ab-sence d’opportunités d’arbitrage. En effet, dans le modèlegénéral avec un facteur, l’espérance compteN + 1paramètres distincts. Si les facteurs sont choisis pour éliminer les opportunités d’arbitrage, l’espérance necompte qu’un seul paramètre (s’il existe un actif sans risque) ou deux (s’il n’existe pas d’actif sans risque).Autrement dit, les modèles d’évaluation par absence d’opportunités d’arbitrage sont un cas particulier de mo-dèles factoriels qui permettent de réduire le nombre de paramètres à estimer pour l’espérance des rendements.
Puisque (1) le portefeuille tangent (en fait, tout portefeuille autre que le portefeuille de variance minimaleglobale) dépend de l’espérance et de la covariance des rendements et (2) c’est l’imprécision de l’estimationde l’espérance de rendements qui réduit la performance de ceportefeuille, les modèles factoriels générauxapportent peu de valeur ajoutée. Un modèle d’évaluation parabsence d’arbitrage, par contre, si son utilisationest justifiée, permet de grandement améliorer la performance du portefeuille.
7. Brièvement, cette méthode consiste à trouver la valeur des paramètres qui maximisent la probabilité d’observer l’échantillon.Cette méthode est souvent utilisée, par exemple, pour estimer les paramètres d’un processus GARCH et d’un modèle probit.
62
Le portefeuille de variance minimale globale, quant à lui, ne dépendant que de la covariance des rendement,bénéficie de l’utilisation d’un modèle factoriel, peu importe qu’il s’agisse d’un modèle d’évaluation par ab-sence d’arbitrage ou non.
Tous les modèles que nous avons considérés utilisent des portefeuilles de rendements excédentaires commefacteurs. Seules les méthodes d’estimation diffèrent :
1. Facteurs négociables : indice du portefeuille de marché (MÉDAF : observé directement) ou portefeuillesauto-financés (à la Fama-French : construits à partir de déciles de l’échantillon) ;
2. Facteurs non négociables : caractéristiques d’entreprises et/ou variables macroéconomiques (séquencesde régressions linéaires) ;
3. Facteur non observés : extraction statistique (analyse par composantes principales ou factorielle).
Le choix de l’une ou l’autre de ces méthodes dépend de nombreux facteurs qu’il est difficile de résumeradéquatement ici. Remarquons cependant que :
1. L’interprétation des facteurs non observés n’est pas toujours aisée, sauf dans le cas de la structure à termedes taux d’intérêt. Si l’objectif est d’obtenir un modèle descriptif, l’extraction statistique de facteursn’est souvent pas la meilleure approche.
2. L’extraction statistique de facteurs ne permet d’améliorer que l’estimation de la matrice de covariancedes rendements.
3. De manière générale, en économétrie, si on sait qu’un facteur observé est pertinent dans un modèle, ilest préférable l’utiliser directement que de l’extraire statistiquement (comme si on ne l’observait pas).
Comme toujours en économétrie, imposer un modèle n’offre des avantages que lorsque ce modèle donneune description adéquate des données. Dans le cas contraire, l’utilisation du modèle ne peut mener qu’à demauvaises décisions. La validité empirique d’un modèle factoriel devrait donc être évaluée statistiquement. Laprésentation des tests permettant cette évaluation sont hors de la portée de ce cours.
63
8 Estimateurs ajustés
8.1 Introduction
Dans ce chapitre, on considère une famille d’estimateurs qui s’appuient sur la notion deshrinkage(réduction).L’origine de cette approche est attribuée àStein (1955) et développée parJames and Stein(1961). L’idéecentrale est que, lorsqu’il y a plus de deux variables, la moyenne (µ) n’est pas le meilleur estimateur (entermes d’erreur quadratique) de l’espérance. Le meilleur estimateur est plutôt de la forme
µ = δµ0 + (1− δ) µ,
où µ0 est un vecteur à spécifier etδ (on reviendra sur sa valeur) est un scalaire entre 0 et 1. Il s’agit doncd’une moyenne pondérée deµ0 et deµ. Lorsqueδ < 1, l’estimation est réduite (shrinked) versµ0. Il existeun estimateur similaire pour la matrice de covariance. Les sections suivantes présentent différentes mises enoeuvre de cette idée.
8.2 Estimateur James-Stein
James and Stein(1961) ont montré que
µ = δ∗µ01+ (1− δ∗) µ,
avec
δ∗ = min
[
1,(N − 2) /T
(µ− µ0)Σ−1(µ− µ0)
′
]
est optimal, pour unµ0 donné. Comment choisirµ0 ? C’est un peu arbitraire. On peut prendre0. Jorion(1986)propose d’utiliser la moyenne des rendements moyens, ce qu’il appelle l’estimateur Bayes-Stein.
8.3 Estimateur Bayes-Stein
Jorion(1986) propose d’utiliser la moyenne des rendements moyens, soit
µ0 =1
NT
N∑
i=1
T∑
t=1
Ri,t.
Il montre que le choix optimal de la pondération est alors
δ∗ =(N + 2)
(N + 2) + T (µ− µ01) Σ−1 (µ− µ01)′
et que la matrice de covariance des rendements est alors donnée par
Σ = Σ
(
1 +1
T + λ
)
+λ
T (T + λ+ 1) 1′Σ−11
où λ =N + 2
(µ− µ01) Σ−1 (µ− µ01)′ .
64
Ledoit and Wolf(2003) propose une approche similaire pour l’estimation de la matrice de covariance, soit unemoyenne pondérée d’une matrice de covariance spécifiées (Σ0) et de la matrice de covariance estimée (S),
Σ = δ∗Σ0 + (1− δ∗)S,
et propose une approximation deδ∗. Un exemple de choix deΣ0 est une matrice diagonale dont les élémentssont ceux deS.
8.4 Choix de portefeuille sous contraintes
Il a été observé dans la littérature que l’imposition de contraintes sur les ventes à découvert ou des contraintesde diversifications comme celles que nous avons présentées aux sections4.3.1et 4.3.3permettaient d’amé-liorer la performance des portefeuilles. Ce résultat contre-intuitif, puisqu’on imagine mal que la solutiond’un problème contraint puisse être supérieure à la solution du problème non contraint, est expliqué parJagannathan and Ma(2003). Ces auteurs montrent que de telles contraintes, imposéesfréquemment en pra-tique dans l’industrie, produisent implicitement des estimateurs de l’espérance et de la covariance qui res-semblent aux estimateurs James-Stein.
8.5 Sommaire
Les estimateurs présentés dans cette section permettent généralement de construire de meilleurs portefeuillesque les estimateurs classique (moyenne et covariance empirique). Contrairement aux modèles factoriels, ils ontl’avantage de ne pas reposer sur aucune hypothèse sur la distribution des rendements. Cependant, ils reposentsur le choix de paramètres (µ0 etΣ0) qui peuvent être difficiles à choisir en pratique. De plus, les bénéfices tirésde leur utilisation, bien qu’ils soient statistiquement significatifs, sont parfois économiquement négligeables.Finalement, notons que l’approche générale utilisée pour obtenir ces estimateurs peut être appliquées à d’autresparamètres, dont ceux des modèles factoriels. Il est donc possible de combiner ces deux approches.
65
9 Épilogue
Dans ce cours nous avons tenté de démontrer que le problème dechoix de portefeuille est un problème com-plexe, pour au moins quatre raisons :
1. Formuler le problème lui-même est un exercice difficile, qui requiert notamment qu’on exprime, mathé-matiquement, des préférences sur des distributions de rendements aléatoires ;
2. La solution du problème, une fois adéquatement formulé, dépendra des hypothèses qu’on fera (parfoistrès faibles, mais qui peuvent être parfois plus fortes) surla distribution des rendements ;
3. Les hypothèses formulées sur la distribution des rendements prennent souvent une forme paramétriqueet ces paramètres doivent être estimés, ce dont on devrait tenir compte explicitement dans la recherched’une solution au problème ;
4. Étant donné l’historique limité de données financières, évaluer rigoureusement (statistiquement) la per-formance réelle d’un solution est pratiquement impossible.
On voudrait bien dire quedevant l’impossible, nul n’est tenu. Par contre, en pratique, puisque les gensépargnent (pour diverses raisons), des actifs doivent êtregérés. Bien comprendre la difficulté du problèmeest essentiel pour éviter les erreurs les plus grossières.
66
10 Exercices de révision
Question 1
Quelles propriétés empiriques des rendements des actifs financiers nous indiquent qu’ils ne sont pas normale-ment distribués ?
Question 2
Résumez, en vos mots, le résultat principal de la théorie de l’espérance d’utilité.
Question 3
Allais a proposé deux paires de loteries à des individus et leur a demandé d’identifier la loterie qu’ils préfèrentdans chaque paire.
La première paire est constituée d’un gain certain de 1 000 000$ et d’une loterie qui paie 5 000 000$ avec uneprobabilité de 10%, 1 000 000$ avec une probabilité de 89% et 0$ avec une probabilité de 1%.
La deuxième paire est constituée d’une loterie qui paie 5 000000$ avec une probabilité de 10% et 0$ avec uneprobabilité de 90%, et d’une loterie qui paie 1 000 000$ avec une probabilité de 11% et 0$ avec une probabilitéde 89%.
Expliquez comment les choix observés par Allais violent l’axiome d’indépendance forte suivant : Pour toutloteriesx, y, etz, et toute probabilitép, six y, alors(x, z, p) (y, z, p).
Question 4
Lorsqu’on fait la distinction entre risque et incertitude,qu’entend-on par ces concepts. Donnez un exempleconcret pour chacun. Est-ce que cette distinction est pertinent pour un gestionnaire de portefeuille ? Justifiez.
Question 5
Le coefficient d’aversion absolue au risque est donné par
ARA (W0) = −u′′ (W0)
u′ (W0).
a)Calculer ce coefficient pour les fonctions d’utilité suivantes :
i) linéaire :u (x) = ax+ b.
ii) quadratique :u (x) = ax2 + bx+ c.
iii) CARA : u (x) = − e−ax
a .
iv) CRRA : u (x) = xa
a .
v) Pourquoi considère-t-on généralement que la fonction CRRA représente bien les préférences desconsommateurs ?
Question 6
67
Quelles sont les lacunes de la fonction d’utilité quadratiques ?Comment peut-on alors justifier son utilisation ?
Question 7
Plusieurs fonctions d’utilités considérées dans ce cours sont des cas particuliers de fonctions HARA. Quellepropriété de cette fonction la rend intéressante pour la gestion de portefeuille ?
Question 8
On a remarqué qu’il pouvait être raisonnable d’avoir des préférences pour les actifs dont la distribution présentede l’asymétrie positive. Expliquez ce qu’on entend par là. Quelles fonctions d’utilité permettent de représenterde telles préférences ?
Question 9
La VaR est souvent critiquée parce qu’elle n’est pas une mesure de risque sous-additive. Expliquez, en votsmots, ce que cela veut dire. Identifiez une autre lacune de cette mesure de risque.
Question 10
Un investisseur dont les préférences peuvent être représentées par une fonction CRRA désire investir 1 000$.Deux actifs sont disponibles. Le premier est un actif sans risque de rendementRf et le second est une actifrisqué dont le rendement,R, est d’espéranceµ et de varianceσ2. Cet investisseur ne peut ni emprunter, nivendre à découvert. Formuler mathématique son problème de choix de portefeuilleen notation matricielle.Prenez soin de définir chaque vecteur et matrice utilisé.
Question 11
Quelles conditions une mesure de risque cohérente devrait-elle satisfaire ? Décrivez ces conditions en termeséconomiques.
Question 12
Pourquoi toutes les mesures de risques sont-elles équivalentes lorsque les rendements des actifs sont normaux ?
Question 13
Dans le planµ-σ, représentez graphiquement les portefeuilles pouvant être construits en combinant chacunedes paires d’actifs suivantes :
a) deux actifs risqués avec une corrélation deρ = 1
b) deux actifs risqués avec une corrélation deρ = −1
c) deux actifs risqués avec une corrélation de−1 < ρ < 1
d) un actif risqué et un actif sans risque
Question 14
Cette question porte sur la distribution du rendement d’un actif risqué et sur les préférences d’investisseur.
a) La distribution d’une variable aléatoire normalement distribuée est caractérisée par deux paramètres.Quels sont-ils ?
68
b) En général, comment peut-on décrire les préférences des investisseurs pour les actifs risqués en termesde ces deux paramètres (préfère-t-on des valeurs plus grandes ou plus petites) ?
c) Quel est le coefficient d’asymétrie d’une variable aléatoire normalement distribuée ?
d) Empiriquement, le coefficient d’asymétrie du rendement d’un actif risqué est-il plus grand ou plus petitque le coefficient d’asymétrie d’une variable aléatoire normalement distribuée ?
e) En général, comment peut-on décrire les préférences des investisseurs pour les actifs risqués en termesd’asymétrie ?
f) Quel est le coefficient d’aplatissement d’une variable aléatoire normalement distribuée ?
g) Empiriquement, le coefficient d’aplatissement du rendement d’un actif risqué est-il plus grand ou pluspetit que le coefficient d’aplatissement d’une variable aléatoire normalement distribuée ?
h) En général, comment peut-on décrire les préférences des investisseurs pour les actifs risqués en termesd’aplatissement ?
i) Lorsque les préférences d’un investisseur satisfont un certain nombre d’axiomes de rationalité, ellespeuvent être représentées par une fonction
U (x) = E [u (x)] .
Quelles propriétés la fonctionu (x) doit-elle satisfaire pour représenter les préférences quevous avezdécrites en b) ?
j) Donnez un exemple de fonctionu (x) pouvant représenter les préférences que vous avez décritesen e).Soyez précis et indiquez toute contrainte pertinente sur les paramètres de cette fonction.
Question 15
Cette question porte sur les mesures de risque.
a) Quelle est la principale lacune de l’écart-type comme mesure de risque ?
b) L’écart-type est-il une mesure de risque sous-additive ?Justifiez.
c) Décrivez, en vos mots, ce qu’est un moment partiel inférieur (indice : identifiez les deux paramètresqui la caractérisent). En quoi cette mesure est-elle intéressante ?
d) Toutes les mesures de risque ont une même lacune en commun.Quelle est-elle ? Utilisez la mesure derisque de votre choix pour illustrer cette lacune.
Question 16
Ce question porte sur le problème de choix de portefeuille dans un cadre moyenne-variance. Supposez qu’uninvestisseur désire investir 1 000$ et que deux actifs risqués, A et B, sont disponibles, dont les rendements
69
sont notésRA etRB . Les rendements de ces actifs sont tels que
E [1 +RA] = µA
E [1 +RB] = µB
Var [1 +RA] = σ2A
Var [1 +RB] = σ2B
Cov [1 +RA, 1 +RB] = σAB.
a) Si les rendements des actifs de sont pas normalement distribués et que les préférences de l’investisseurne sont pas représentables par une fonction d’utilité quadratique, comment peut-on justifier la formulationdu problème en termes d’espérance et de variance ?
b) Considérez le vecteur de rendements de ces deux actifs, soit x′ = [1 +RA, 1 +RB ]. Écrivez l’espé-rance,µ = E [x], et la matrice de covariance,Σ = Cov [x], du vecteurx en termes des paramètres définisci-dessus.
c) Considérez un portefeuille caractérisé par un vecteur depoidsw. Écrivez l’espérance et la variance durendement de ce portefeuille en termes des variablesµ, Σ etw.
d) Écrivez le problème de choix de portefeuille d’un investisseur désirant minimiser la variance du rende-ment de son portefeuille de sorte son espérance de rendementsoit τ et sans investir plus de 70% de sonavoir dans l’un ou l’autre des actifs. De plus, cet investisseur n’a pas la possibilité de vendre à découvertl’actif A.
e) Supposez maintenant que l’investisseur ne connaît pas les paramètresµ etΣ et qu’il doive les estimerà partir de l’observation des rendements historiques des actifs A et B. De quelle manière l’estimation desparamètresµ etΣ influence-t-elle le problème de choix de portefeuille ?
Question 17
Cette question porte sur la représentation graphique de portefeuilles dans le planµ-σ. On considère des porte-feuilles composés d’un actif sans risque et de deux actifs risqués caractérisés de la manière suivante :– le rendement de l’actif sans risque est deRf = 0, 02 ;– l’espérance de rendement de l’actif A estµA = 0, 05 et sa variance estσ2
A = 0, 152 ;– l’espérance de rendement de l’actif B estµB = 0, 10 et sa variance estσ2
B = 0, 202 ;– la corrélation entre le rendement des actifs A et B est deρAB = 0, 5.Représentez graphiquement (prenez soin de bien identifier les axes de votre graphique) :
a) les actifs A et B ;
b) un portefeuille équipondéré des actifs A et B ;
c) l’ensemble des portefeuilles pouvant être construits encombinant l’actif A et l’actif sans risque lorsqu’ilest possible d’emprunter au tauxRf ;
d) l’ensemble des portefeuilles pouvant être construits encombinant l’actif B et l’actif sans risque lorsqu’iln’est pas possible d’emprunter au tauxRf .
e) Quel est le ratio de Sharpe de l’actif A ? À quoi correspond-t-il graphiquement ?
70
Question 18
Cette question porte sur l’influence de l’estimation deµ etΣ sur l’optimalité du portefeuille construit selonl’approche moyenne-variance.
a) Nous avons considéré la statistique suivante pour le portefeuille tangent :
tT = Sh
(
wT(
µ, Σ)′
R
)
− Sh(
wT(µ,Σ)′R)
,
où la fonctionSh(·) est donnée par l’équation (4.1) et le portefeuille tangent est donné par l’équation(4.10). Expliquez comment interprétertT . En particulier, comment interpréter une valeur négative,nulleet positive ?
b) Pourquoi utilise-t-on le ratio de Sharpe pour construirela statistiquetT ? Pourrions-nous utiliser uneautre mesure de performance ? Justifiez.
c) On se propose de tester l’hypothèse nulleH0 : tT = 0 contre l’alternativeH1 : tT < 0. Supposerqu’on rejette la nulle. Interprétez ce rejet.
d) Décrivez comment on peut approximer la distribution de lastatistiquetT par simulations. Identifiez leslimites de votre approche.
e) On constate souvent que le ratio de Sharpe du portefeuilletangent est significativement influencé parl’estimation des paramètres alors que le ratio de Sharpe du portefeuille de variance minimale globale(donné par l’équation (4.11)) est plus robuste à l’estimation des paramètres. Comment interprète-t-on ceconstat ?
Question 19
Cette question porte sur les modèles factoriels.
a) Vous disposez d’un échantillon de rendements pourN actifs risqués. Vous estimez la moyenne (équa-tion (5.1)) et la covariance échantillonnale (équation (5.2)) du rendement de ces actifs.
i) Combien de paramètres distincts comptentµ ?
ii) Combien de paramètres distincts comptentΣ?
b) Vous postulez un modèle à un facteur pour le rendement de chaque actifi = 1, . . . , N , soit
Ri = αi + fβi + ei,
avecVar [ei] = Ωi, Cov [ei, ej ] = 0 lorsquei 6= j, E [f ] = µf etVar [f ] = σ2f . Pour un vecteur deN
rendements d’actifs, cette dernière équation s’écrit
RN×1 = αN×1 + βN×1f + eN×1.
Vous estimez lesαi, βi etΩi par moindres carrés ordinaires, l’espérance du facteur parf (équation (2.7))et sa variance pars2f (équation (2.8)).
i) Quelle est la matrice de covariance des rendements (en termes des paramètresα, β, Ω, µf et σ2f )
selon ce modèle ?
71
ii) Combien de paramètres distincts compte-elle ?
iii) Quelle est l’espérance de rendement (en termes des paramètresα, β, Ω, µf etσ2f ) selon ce modèle ?
iv) Combien de paramètres supplémentaires compte-elle ?
v) La réduction du nombre de paramètres est-elle plus importante lorsque le nombre d’actifs (N ) estgrand ou petit ? Justifiez.
c) Un modèle d’évaluation par arbitrage est un cas particulier de modèle factoriel dans lequel la constanteest commune à tous les actifs, soitαi = α, pour touti = 1, . . . , N . Si un tel modèle offre une bonnedescription de l’espérance des rendements, il permet de réduire le nombre de paramètres à estimer pourdécrire cette espérance.
i) L’utilisation d’un modèle d’arbitrage influence-t-ellel’optimalité (en termes de ratio de Sharpe) d’unportefeuille de variance minimale globale ? Justifiez.
ii) L’utilisation d’un modèle d’arbitrage influence-t-elle l’optimalité (en termes de ratio de Sharpe) d’unportefeuille tangent ? Justifiez.
Question 20
Le problème de choix de portefeuille est un problème complexe auquel il n’existe aucune solution parfaite.Cette question porte sur trois sources de cette complexité.
a) La première difficulté est de formuler l’objectif du problème.
i) Quel est l’avantage principal de formuler l’object en termes de maximisation d’une espérance d’uti-lité ?
ii) Pourquoi considère-t-on généralement que les préférences d’un investisseur ne peuvent pas êtrereprésentées par une fonction d’utilité quadratique ?
iii) Comment peut-on alors justifier la formulation du problème en termes d’espérance et de variancedu rendement du portefeuille ?
b) Quelque soit la formulation de l’objectif, la solution dépendra de la distribution des rendements. Com-ment un hypothèse de normalité influence-t-elle la solutiondu problème ?
c) On choisit souvent un modèle paramétrique pour spécifier la distribution des rendements. Les para-mètres de ce modèle ne sont pas connus et doivent plutôt être estimés à partir d’un échantillon historique.
i) Un modèle factoriel peut-il améliorer la précision de l’estimation de l’espérance des rendements ? Dela variance ? Justifiez.
ii) Qu’est-ce que l’analyse par composantes principale ?
iii) On a observé qu’imposer des contraintes sur la composition d’un portefeuille, notamment en nepermettant pas les ventes à découvert, augmente généralement sa performance. Pourquoi est-ce le cas ?
Question 21
Supposez que vous avez estimé le modèle de Fama et French (1993) à trois facteurs pour chacun des actifs de
72
votre portefeuille et que le rendement de votre portefeuille (Rp,t) satisfait, selon votre estimation, l’équationsuivante :
Rp,t −Rf,t = 0, 9 (Rm,t −Rf,t) + 0, 3SMBt + 0, 2HMLt.
a) Cette équation n’inclut de constante parce qu’on a imposéune hypothèse d’absence d’opportunitésd’arbitrage. Que’est-ce que cette hypothèse implique quant à la relation entre les rendements des actifs,les rendements de facteurs systémiques et les rendements defacteurs idiosyncratiques ?
b) Que représente le facteurHML ?
c) Que représente le facteurSMB ?
d) Supposez que le rendement de votre portefeuille au cours de la dernière année a été de 15%, alors quele rendement de l’actif dans risque, celui du portefeuille de marché, du facteurSMB et du facteurHMLont été de 3%, 12%, 5% et 6% respectivement.
i) Quelle portion du rendement de votre portefeuille est expliquée par son exposition au risque demarché ?
ii) Quelle portion du rendement de votre portefeuille est expliquée par son exposition au facteurSMB ?
iii) Quelle portion du rendement de votre portefeuille est expliquée par son exposition au facteurHML ?
iv) Quelle portion du rendement de votre portefeuille n’estpas expliquée ce modèle ?
v) À quoi peut-on attribuer la portion du rendement de votre portefeuille qui n’est pas expliquée cemodèle ?
73
A Rappels de calcul différentiel
A.1 Série de Taylor
Toute fonctionf (x) lisse (infiniment différentiable) peut s’exprimer
f (x) = f (a) +1
1!f ′ (a) (x− a) +
1
2!f ′′ (a) (x− a)2 +
1
3!f ′′′ (a) (x− a)3 + . . .
Une approximation de Taylor du premier ordre autour d’un point a ne considère que les deux premiers termesde cette somme infinie
f (x) ≈ f (a) +1
1!f ′ (a) (x− a) .
Si la fonctionf (x) est linéaire, cette approximation est exacte.
Une approximation du second ordre considère les trois premiers termes,
f (x) ≈ f (a) +1
1!f ′ (a) (x− a) +
1
2!f ′′ (a) (x− a)2 .
Si la fonctionf (x) est quadratique, cette approximation est exacte.
A.2 Règles de calcul
Voici une liste de règles de calcul différentiel.a est une constante ;g (x), h (x) et q (x, y) sont des fonctions.
74
d
dxa = 0 (A.1)
d
dxax = a (A.2)
d
dxxa = axa−1 (A.3)
d
dx
1
xa= − 1
xa+1(A.4)
d
dx
√x =
1
2√x
(A.5)
d
dxln (x) =
1
x(A.6)
d
dxax = ax ln (a) (A.7)
d
dxex = ex (A.8)
d
dxag (x) = a
d g
dx(A.9)
d
dxg (x) + h (x) =
d g
dx+
dh
dx(A.10)
d
dxg (x) + h (x) = h (x)
d g
dx+ g (x)
dh
dx(A.11)
d
dx
g (x)
h (x)=
h (x) d gdx − g (x) dh
dx
h (x)2(A.12)
d
dxh (x)a = ah (x)a−1 dh
dx(A.13)
d
dxh (g (x)) =
dh
d g
d g
dx(A.14)
d
dxq (g (x) , h (x)) =
d q
d g
d g
dx+
d q
dh
dh
dx(A.15)
d
dx
x∫
a
g (s) d s = g (x) (A.16)
75
B Rappels d’algèbre
Utilité : simplifier la notation pour manipuler des équations linéaires.
Exemple
Le système d’équations
y1 = β0 + x1 1β1 + . . .+ x1KβK + u1
y2 = β0 + x2 1β1 + . . .+ x2KβK + u2...
yN = β0 + xN 1β1 + . . . + xN KβK + uN
peut s’écrire
y = Xβ + u.
B.1 Matrices et vecteurs
Une matrice est un tableau dont chaque élément est un nombre.
Exemple
La matrice
A =
a11 a12a21 a22a31 a32
compte3 lignes et2 colonnes. On indique parfois les dimensions d’une matrice àl’aide d’indices, parexemple,A3×2.
Une matrice ne comptant qu’une seule colonne est un vecteur colonne ; une matrice ne comptant qu’une ligneest un vecteur ligne.
76
Exemple
La vecteur colonne
a =
a11a21a31
compte3 éléments.
On utilise habituellement des caractères gras pour noter les matrices et vecteurs. On note souvent les matricespar des majuscules et les vecteurs par des minuscules.
Une matrice comptant autant de lignes que de colonnes est dite carrée.
Exemple
La matrice
B =
[
b11 b12b21 b22
]
est carrée.
B.2 Opérations sur les matrices
Transposition
La transposée d’une matrice est obtenue en permutant ses colonnes et ses lignes. On noteA′ la transposée deA
Exemple
A′ =
[
a11 a21 a31a12 a22 a32
]
Une matrice carrée estsymétriquesi elle est égale à sa transposée.
Exemple
La matriceB est symétrique siB = B′. Dans cet exemple, sib21 = b12.
77
Addition d’un scalaire
Pour additionner une matrice et un scalaire, on additionne ce scalaire à chaque élément de la matrice.
Exemple
α+B =
[
α+ b11 α+ b12α+ b21 α+ b22
]
Addition de matrices
On ne peut additionner que des matrices de même dimension. Onfait l’addition élément par élément.
Exemple
B+
[
c11 c12c21 c22
]
=
[
b11 + c11 b12 + c12b21 + c21 b22 + c22
]
Multiplication par un scalaire
Pour multiplier une matrice et un scalaire, on multiplie chaque élément de la matrice par ce scalaire.
Exemple
αB =
[
αb11 αb12αb21 αb22
]
Multiplication de matrices
On ne peut multiplier ensemble que des matrices dont les dimensions sont conformes : la matrice de droitedoit avoir autant de colonnes que la matrice de gauche a de lignes. L’élément de lai-ème ligne et de laj-èmecolonne de la matrice produit est donné par le produit de lai-ème ligne de la matrice de gauche et de laj-èmecolonne de la matrice de droite.
Remarque : la multiplication de matrices est associative,
(XY)Z = X (YZ) ,
mais elle n’est pas commutativeXY 6= YX.
78
Exemple
A3×2B2×2 =
a11 a12a21 a22a31 a32
[
b11 b12b21 b22
]
=
a11b11 + a12b21 a11b12 + a12b22a21b11 + a22b21 a21b12 + a22b22a31b11 + a32b21 a31b12 + a32b22
3×2
Exemple
XN×2β2×1 + uN×1 =
1 x11 x2...
...1 xN
[
αβ1
]
+
u1u2...
uN
=
α+ x1β1α+ x2β1
...α+ xNβ1
+
u1u2...
uN
=
α+ x1β1 + u1α+ x2β1 + u2
...α+ xNβ1 + uN
N×1
Une matriceidentitéest une matrice carrée dont les éléments de la diagonale principale sont tous égaux à1 etdont les autres éléments sont nuls.
Exemple
La matrice
I =
1 0 00 1 00 0 1
est une matrice identité de dimension3 (par3).
Lorsque les dimensions sont conformes pour la multiplication,
IA = A
BI = B.
79
Inverse d’une matrice
Lorsqu’elle existe, l’inversed’une matrice carrée est définie par la relation
B−1B = BB−1 = I.
B.3 Espérance et variance
Si E [x] = µ, alorsE [w′x] = w′µ. Aussi, siVar [x] = Σ, alorsVar [w′x] = w′Σw. En particulier, six ∼ N (µ,Σ), alors
w′x ∼ N(
w′µ,w′Σw)
.
B.4 Calcul différentiel
ddx
x′A = A
ddx
x′Ax = 2 (A+A′)x
80
C Rappels d’optimisation
C.1 Optimisation sans contraintes
Considérons d’abord le problème de minimisation d’une fonction objectivel (·) par rapport à son argument
l∗ = minx
l (x) .
On note parl∗ la valeur minimale de la fonctionl (·). La variablex sous l’opérateurmin indique que la fonctiondoit être minimisée en choisissantx. On note parx∗ la valeur dex qui permet d’atteindre le minimum. Laformulation suivante permet de définirx∗ directement :
x∗ = argminx
l (x) .
Exemple
Considérons
l∗ = minx
x2 + 3,
ou, de manière équivalente,
x∗ = argminx
x2 + 3.
La solution de ce problème estl∗ = 3 etx∗ = 0.
Remarquons qu’on problème de minimisation peut être exprimé comme un problème de maximisation, et viceversa, puisque
minx
l (x) = maxx
−l (x)
= maxx
u (x)
avecu (x) ≡ −l (x). On parle, plus généralement, d’un problème d’optimisation.
Cette dernière remarque est particulièrement important pour les problèmes devant être solutionnés numéri-quement puisque les outils d’optimisation numérique sont toujours mis en oeuvre pour des problèmes deminimisation : si devrez minimiser−u si vous cherchez à maximiseru.
C.1.1 Conditions nécessaires
À l’optimum, la dérivée première de la fonction doit être nulle. C’est la condition de premier ordre.
81
Exemple
Considérons
x∗ = argmaxx
3− x2.
Puisque
d
dx3− x2 = −2x,
on doit avoir
−2x∗ = 0.
La solution de ce problème est donc bienx∗ = 0.
C.1.2 Conditions suffisantes
Pour un maximum (minimum), la dérivée seconde doit êtrestrictement négative (positive). C’est la conditionde deuxième ordre.
Exemple
d 2
dx23− x2 =
d
dx− 2x
= −2,
la dérivée seconde est négative (peu importe la valeur dex, dans ce cas particulier), la solutionx∗ = 0est donc bien un minimum.
C.1.3 Problème multivarié
Considérons le problème à deux variables
(x∗, y∗) = argmaxx,y
u (x, y) .
Les problèmes multivariés seront abordés de manière plus détaillée à l’annexeB.
Les conditions du premier ordre doivent être satisfaites pour chaque variable à l’optimum.
La condition du deuxième ordre est plus difficile à exprimer :la matrice hessienne (la matrice des dérivéessecondes, voir annexeB) de la fonction objective doit être définie négative (positive) pour que l’optimum soitun maximum (minimum).
82
C.2 Optimisation sous contraintes d’égalité
Considérons un exemple à deux variables
(x, ∗ y∗) = argmaxx,y
u (x, y) ,
sous la contrainteax+ by = c.
Exemple
Supposons un investisseur qui a une dotation dev0 à la période0 et dev1 à la période1. Il peut épargnerw à la période0, ce qui lui permet de consommerc0 = v0 − w à la période0 et c1 = v1 + (1 + rf )wà la période1. Il cherche à maximiser son utilité
(c∗0, c∗1) = argmax
c0,c1u (c0, c1)
sous la contrainte
c0 = v0 − w
c1 = v1 + (1 + rf )w,
qui s’écrit aussi
c0 +c1
1 + rf= v0 +
v11 + rf
,
qui s’interprète en termes de valeurs présentes.
Une manière alternative de formuler ce problème est la suivante :
(x∗, y∗) = argmaxx,y
ax+by=c
u (x, y)
En notation matricielle, on peut exprimer un problème multivarié de la manière suivante :
x∗ = argmaxx
u (x) ,
sous la contrainteAx = b.
Il existe deux manières de résoudre un problème d’optimisation sous contrainte d’égalité. La première consisteà tenter de substituer la contrainte dans la fonction objective.
83
Exemple
En substituant la contrainte, le problème devient
w∗ = argmaxw
u (v0 −w, v1 + (1 + rf )w)
Puisque
d
dwu (w) = − ∂
∂ c0u (c0, c1) + (1 + rf )
∂
∂ c1u (c0, c1) ,
le choix d’épargne est donné par la condition de premier ordre
− ∂
∂ c0u(
v0 − w∗, v1 + (1 + rf )w0)
+ (1 + rf )∂
∂ c1u (v0 − w∗, v1 + (1 + rf )w
∗) = 0,
et donc
∂ u(c∗0,c∗1)∂ c0
∂ u(c∗0,c∗1)∂ c1
= 1 + rf .
La deuxième approche consiste à introduire une nouvelle variable, le multiplicateur de Lagrangeλ, et dedéfinir le lagrangien
L (x, λ) = u (x) + λ (Ax− b) .
Le problème s’écrit alors
(x∗, λ∗) = argmaxx,λ
u (x) + λ (Ax− b)
= argmaxx,λ
L (x, λ) .
84
Exemple
Il n’est pas toujours possible, ou même souhaitable, de substituer la contrainte. Une approche alternativeconsiste à formuler le lagrangien
L (c0, c1, λ) = u (c0, c1) + λ
(
c0 +c1
1 + rf− v0 −
v11 + rf
)
,
qu’on maximise par rapport à(c0, c1, λ),
(c∗0, c∗1, λ
∗) = argmaxc0,c1,λ
L (c0, c1, λ) .
Les conditions de premier ordre sont
∂ L∂ c0
=∂ u
∂ c0+ λ = 0
∂ L∂ c1
=∂ u
∂ c1+
λ
1 + rf= 0
∂ L∂ λ
= c0 +c1
1 + rf− v0 −
v11 + rf
= 0,
desquelles on tire
∂ u(c∗0,c∗1)∂ c0
∂ u(c∗0,c∗1)∂ c1
= 1 + rf .
C.3 Optimisation sous contraintes d’inégalité
On peut exprimer un problème multivarié de la manière suivante :
x∗ = argmaxx
u (x) ,
sous la contrainteCx ≥ d.
Comme dans le cas de contraintes d’égalité, on définit une nouvelle fonction
φ (x, λ) = u (x) + λ (Cx) .
Cependant, les conditions de premier ordre (de Kuhn-Tucker) sont différentes. Pour simplifier l’intuition,considérons le cas univarié. Remarquons que le maximum correspond à l’une des situations suivantes :
1. Le maximum est atteint pourx∗ > 0 etφx (x∗) = 0
2. Le maximum est atteint pourx∗ = 0 etφx (x∗) = 0
3. Le maximum serait atteint pourx∗ < 0, qu’on fixe donc àx∗ = 0 etφx (x∗) < 0
Ces trois situations satisfont les conditions suivantes
85
1. φx (x∗) ≤ 0
2. x∗ ≥ 0
3. x∗φx (x∗) = 0
Pour un problème multivarié, les conditions de Kuhn-Tuckersont
1. φx (x∗, λ∗) ≤ 0 etφλ (x
∗, λ∗) ≥ 0
2. x∗ ≥ 0 etλ∗ ≤ 0
3. x∗φx (x∗, λ∗) = 0 etλ∗φλ (x
∗, λ∗) = 0
Ce sont des conditions suffisantes que plusieurs couples(x, λ) peuvent satisfaire. L’un de ces couples est lasolution recherchée, mais on doit travailler davantage pour l’identifier.
C.4 Généralités
L’optimisation est une vaste discipline. Dans cette sous-section, je présente quelques notions importantes,simplement pour illustrer certaines difficultés : trop souvent en pratique, on optimise sans se poser toutes lesquestions nécessaires.
Comme la discussion qui précède le suggère, la nature de la fonction objective est des contraintes a une grandeinfluence sur la difficulté du problème. Exception faite des problèmes les plus simples, on doit généralementrecourir à des méthodes numériques pour résoudre un problème d’optimisation.
On peut d’abord distinguer les problèmes convexes des problèmes non convexes. Dans le premier cas, desalgorithmes itératifs permettent généralement de trouverla solution. Dans le second cas, on peut utiliser desalgorithmes stochastiques, dont la solution peut dépendrede l’algorithme et de ses paramètres.
Les algorithmes itératifs peuvent être catégorisés grossièrement selon qu’ils utilisent la hessienne et le gra-dient, le gradient seulement, ou aucun des deux. Évidemment, on ne peut utiliser la hessienne que si la fonctionobjective est deux fois différenciable (une fois pour le gradient) . Lorsque c’est possible, on peut calculer lahessienne et/ou le gradient analytiquement. Dans le cas contraire, l’algorithme devra les approximer numé-riquement, ce qui augmente beaucoup le temps de calcul. Il est très avantageux de calculer le gradient et lahessienne à la main.
Un algorithme d’optimisation, itératif ou stochastique, doit débuter avec une valeur initiale de la solution,bien que certains algorithmes sont en mesure de choisir une telle valeur. Si le problème est convexe, la valeurinitiale n’a pas d’incidence sur la solution, mais peut influencer le temps de calcul. Si le problème n’est pasconvexe, il peut admettre des solutions locales. Un algorithme itératif peut alors trouver l’une de ses solutionslocales. On initiant un algorithme itératif avec différentes valeurs, on peut espérer que l’une d’elles permettrad’identifier la solution globale. Un algorithme stochastique est généralement plus performant, mais ne garantitpas que la solution globale sera trouvée. De plus, ces algorithmes sont souvent complexes est requièrent unecertaine expérience pour être utilisés adéquatement. Bref, on s’épargne beaucoup d’ennuis en vérifiant que leproblème est convexe.
Un classe particulière de problème non convexes est celle des problèmes à valeurs entières, pour lesquelles lasolution ne peut prendre qu’une valeur entière. Des algorithmes spécialisés doivent être utilisés pour résoudreces problèmes.
86
Tous les algorithmes sont plus ou moins paramétrisables. Ilest tentant, lorsqu’un algorithme le permet pas detrouver une solution, de modifier rapidement ses paramètresen espérant résoudre la difficulté. En pratique,les paramètres “par défaut” de la plupart des algorithmes sont bien choisis et la difficulté rencontrée est plussouvent liée à la formulation de la fonction objective et/oudes contraintes.
87
D Choix en environnement certain
D.1 Préférences et utilité
On représente les préférences d’un consommateur de la manière suivante :– x ≻ y si il préfèrex ày ;– x y si il ne préfère pasy àx ;– x ∼ y si il est indifférent entrex ày.Cette représentation n’est pas idéale pour aborder les problèmes qui nous intéressent.
Par contre, si les préférences du consommateurs satisfont les axiomes de
1. comparabilité (tous les biens sont comparables)Soitx ≻ y, soitx y, soitx ∼ y.
2. transitivité : Six ≻ y ety ≻ z, alorsx ≻ z.
alors les préférence d’un consommateur sont représentables par une fonction d’utilité : il existe une fonctiond’utilité u () telle queu (x) > u (y) ⇔ x ≻ y.
Si, de plus, ses préférences sont continues, la fonction d’utilité est aussi continue.
Si, du plus, ses préférences sont monotones (non satiété),– x+ y ≻ x,la fonction d’utilité est monotone,u (x+ y) > u (x).
Si les préférences sont convexes Si, du plus, ses préférences sont strictement convexes,– Pout tout0 < α < 1, y x, z x ⇒ αz + (1− α) y ≻ x,alors la fonction d’utilité est concave, six y alorsu (αx+ (1− α) y) > u (y).
88
Références
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90
Index
écart absolu moyen,15écart-type, voir aussi variance,14équivalent certain,25événement de marché,13
ambiguïté, voir incertitudeaplatissement,10asymétrie,10
downside risk, voir Moments partiels inférieurs
espérance,9
facteurs négociables,51fonction de densité,9fonction de répartition,9fonction objective,81
incertitudeversus risque,22
kurtosis, voir aplatissement
leptokurtique,10loterie,20lower partial moments (LPC), voir Moments partiels
inférieurs
méthode Morningstar,17, 27matrice
carrée,77identité,79inverse,80symétrique,77
modèle diagonal,49moment
échantillonal,10empirique,9, 10standardisés,9
moments partiels inférieurs,15moments partiels supérieurs,16Morningstar Risk-Adjusted Return :seeméthode Mor-
ningstar,17
paradoxe
d’Allais, 22d’Ellsberg,22de Saint-Pétersbourg,20
paradoxes,20prime de risque,51, 62prime de risque additive,25prime de risque multiplicative,25propect theory,25
risqueversus incertitude,22
risque de sous-performance,16
semi-écart-type,15semi-écart-type cible,15Sharpe, ratio de,30skewness, voir asymétriestratégie,41
upper partial moments (UPC), voir Moments partielssupérieurs
upside potential, voir Moments partiels supérieurs
valeur à risque,16Valeur à risque conditionnelle,18VaR, voir valeur à risquevariable aléatoire,9
continue,9discrète,9mixte,9
variance,9
91
