ボーズ・アインシュタイン凝縮相 (BEC)の有限温度理論

北海道大学

北大・理・物理 北 孝文

要旨

アインシュタインによるBECの予言(1925)理想ボーズ気体

希薄アルカリ金属気体におけるBECの実現(1995)弱い斥力相互作用

確立した平均場理論なし！！ ( e.g., Tc ? )

新たな平均場理論の構築（非一様系）一様系の平衡状態の性質（比熱、超流動密度、等）

( ) /

1( )e 1Bk Tn ε µε −=

−ボーズ分布:

北海道大学

µ： 化学ポテンシャル

T > T0 (µ< ε0) T < T0 (µ=ε0)

ε4 ε4

ε3 ε3

ε2 ε2

ε1 ε1

ε0 ε0

アルカリ原子気体のBEC

北海道大学

Anderson et al., Science 269, 198 (1995)

操作が容易

弱い相互作用 (斥力 ~ 引力)

実験と理論の詳細な比較可能 (!?)

量子渦の生成

北海道大学[ ]( ) | ( ) | exp ( )iθΨ = Ψr r r

C

巨視的波動関数 の一価性

2 (n=0, 1, 2, )C

d nθ π= ± ±∫ L

⇓

Abo-Shaeer et al., Science 292, 476 (2001)

超伝導 ボーズ凝縮

北海道大学

BCS-Bogoliubov理論(一様)

? (一様)

⇑⇑

Gor’kov方程式Bogoliubov-de Gennes方程式

(非一様)

?(非一様) Here!⇐

⇓⇓?

(Tc 近傍)Ginzburg-Landau理論

(Tc 近傍)

理想ボーズ気体―よく理解されている

北海道大学一様気体

22/3

0 3.31 ( : )T n nm

=h

密度

µ(T)C(T) 3/ 20 0( ) 1 ( / )N T N T T⎡ ⎤= −⎣ ⎦

超流動 4Heの性質

励起スペクトル比熱 北海道大学

Atkins, Adv. Phys. 1, 169 (1952). Cowley and Woods, Can. J. Phys. 49, 177 (1971).

相互作用強度の関数として見たBEC北海道大学

λ U(r1-r2)

理想気体 4He

λ

?2 2

22/3

0

2

3.31

kkm

T nm

ε =

=

h

h2

2/3

4

0.7 3.31

k

c

k

T nm

ε ∝

= ×h

λ=0 は特異点！？

∆Tc に関する論争

北海道大学24( ') ( ') ; : -aU a s

mπ δ− = −r r r rh

波散乱長

1/30

0

( : )cT T a n nT−

∝ 密度

比例定数 c の理論計算

Tc / T0

1 ?

a

弱く斥力相互作用するボーズ気体

北海道大学

一様気体

TC=?

N0 ( T)µ(T)C(T)

???

ボーズ凝縮相に対する確立した平均場理論の不在

ボーズ粒子系フェルミ粒子系 北海道大学

Landau フェルミ流体論(現象論)

Landau- Tisza 理論(現象論)

⇑ ⇑

Luttinger-WardLuttinger

Kadanoff-Baym(微視的基礎づけ)

? (微視的理論)

ˆ : : ( )

GΨ r

グリーン関数

凝縮粒子波動関数

:Gグリーン関数

ボーズ凝縮相の微視的理論

北海道大学場の理論 ―相互作用に関する摂動展開

Bogoliubov (1947); Lee, Huang, and Yang (1957);Beliaev (1958); Hugenholtz and Pines (1959) ;Hohenberg and Martin (1965); Griffin (1996)

変分波動関数Bijl (1940); Feynman (1953),Girardeau and Arnowitt (1959); Feenberg (1969)

経路積分Feynman (1953), Ceperley (1995)

Bogoliubov 理論 (T～0 ; 1947)

北海道大学† † †

' ''

1( )2

H c c U c c c cV

ε µ + −= − +∑ ∑k k k q k q k q k kk kk q

2 2

, 2

km

ε µ=kh

： 化学ポテンシャル, V： 体積

0 0(1 ) ( )c N c N Nδ δ= + −k k0 k0 k%

† 2c c ⇒k k% %と について 次の項まで 対角化

†0

:

, ,N c c c c−

⇓

k k kk% % % %平均値

Bogoliubov 理論 (T～0 ; 1947)

北海道大学† † †

' ''

1( )2

H c c U c c c cV

ε µ + −= − +∑ ∑k k k q k q k q k kk kk q

20 0 0

12

N U NV

µ≈ − + 0 0(1 ) ( )c N c N Nδ δ= + −k k0 k0 k%

† † † †0 00

0 0 0( ) ( ) ( )

2N Nc c U U c c U c c c cV V

ε µ − −≠ ≠ ≠

+ − + + + +∑ ∑ ∑k k k k k k k k k k kk k k

% % % % % % % %

20 †0

†

00

1 [ ] co12

= nst 2

N U Nc

c ccV

ξξ

µ −≠ −

∆⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥−∆ −⎣ ⎦

−⎣ ⎦

+ ∑ k k kk k

k k k k

%% %

%

00 0 0 0( ) ; NU U n U n n

Vξ ε µ ⎛ ⎞= + + − ∆ = =⎜ ⎟

⎝ ⎠k k k k k

20 0 0

††

0

01 [ ] const 02

= 12

EE

N U NV

γγ γ

γµ −

≠ −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

− + ∑ k kk k

k k k

北海道大学

Bogoliubov 理論 (T～0 ; 1947)

††0

0

20 0

01 [ ] const 02

1=2

EH N U N

V Eµ

γγ γ

γ−≠ −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

− + ∑ k kk k

k k k

0 0 0 0( )[ ( 2 ) ]E U n U U nε µ ε µ= + − + + −k k k k

00 0 0

0

0 H Nn U nN V

µ∂

= = − + =∂熱平衡：

20 0 0

0( 2 ) k U nE U n km

ε ε →= + ⎯⎯⎯→k k k kh

：音波

4Heで観測されている音波が再現された！

Gross-Pitaevskii 方程式 (T=0 ; 1961)(非一様系)

北海道大学

2† † †1ψ ( ) ψ( ) ( ')ψ ( )ψ ( ')ψ( ')ψ( ) '

2 2H d U d d

mµ

⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫∫

pr r r r r r r r r r r

4(cf: φ　　モデル)

( )20ψ( ) ( ) ψ( ) | ( ) | d N= Ψ + Ψ =∫r r r r r%

22

( ') | ( ') | ' ( ) 0 : GP 2

U dm

µ

⇓

⎡ ⎤− + − Ψ Ψ =⎢ ⎥

⎣ ⎦∫

p r r r r r 方程式

* ψ( ) 0 ( )

Hδδ

=Ψ

rr

%準粒子場 の寄与を無視；　　 を要請

平均場理論(有限温度)

北海道大学† 4c c ⇒k k% %と に関して 次の項まで ウィック分解

† † † † † *' '

'

1 1 1 1 const2 2 2

U c c c c c c c c c cV V+ −

⎛ ⎞⇒ Σ + ∆ + ∆ +⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑q k q k q k k k k k k k k k k kkk q k

% %%% % % % % % % % % %

† †0' ' ' ' '

' '

' ' ''

1 : Hartree-Fock

1 :

U c c U c cV V

U c cV

δ −

− −

Σ = +

∆ =

∑ ∑

∑

k k0 k k k k k kk k

k k k k kk

% % % % %

% % %

ポテンシャル

ペア・ポテンシャル

†0 , , cN c c c−k kk k% % %% に関して自己無撞着に

Hartree-Fock-Bogoliubov (HFB) 理論; Girardeau-Arnowitt 理論

HFB理論の励起スペクトル

北海道大学Εk

非物理的ギャップ ! k

どこに困難 ?

自己無撞着に決定すべき3つの量

HFB理論は音波を再現できない !?

†0 , , c cN c c −k k k k% %% %

HFB理論に対する庄野(Popov)近似

北海道大学HFB

0

c

E

c

k

−

⇓

∝

=k k

k

% %理論で と置く（合理的根拠なし）

　　　　

　　　　音波の励起 が出てくる！

問題点

Tc=T0: 転移温度に変化なし

N0が Tcで不連続

動的性質に使えない保存則成立せず

厳密な主張（定理）

北海道大学

(熱平衡状態の)励起エネルギーは長波長極限で0になるHugenholtz-Pines (1959)

U(1)対称性の破れに対するGoldstoneの定理

2粒子グリーン関数の極は1粒子グリーン関数の極を含むGavoret and Nozières (1964) , Szépfalusy and Kondor (1974) 1粒子(個別)励起と2粒子(集団)励起の部分的一致

時間発展のある系で保存則を満たす (虚時間→実時間）Hohenberg and Martin (1965)

新たな平均場理論の構成

北海道大学基本的要請

低エネルギー励起が音波Hugenholtz-Pines (=Goldstone)の定理

保存則を満たす（動的問題に使える近似）

[Hohenberg and Martin (1965); Griffin (1996)]

方針

二つの要請を満たす自由エネルギー汎関数を平均場の範囲内で探す

Green 関数, 南部表現, Luttinger-Ward 自由エネルギー汎関数

Luttinger-Ward 自由エネルギー汎関数(Fermi粒子系, 1960）

北海道大学

H=H0+Hint ; 相互作用Hintについて摂動展開

†(1,2) ψ(1)ψ (2)G Tτ= −松原Green関数：

1 1 1B

1 , 0k T

τ τ β≡ ≤ ≤ ≡r h

熱力学ポテンシャルの厳密な表式 (LW汎関数≅有効作用)：

( )10

1 Tr ln [ ]G G Gβ

−⎡ ⎤Ω = − + Σ + Σ + Φ⎣ ⎦

：自己エネルギー1(1,2)

(2,1)Gδ

β δΦ

Σ =10 ,0G H

τ− ∂

≡ −∂

h

北海道大学

Φ[G]の具体形(二体相互作用)―骨格図形展開

Φ = + + + ・・

グリーン関数 相互作用線

骨格図形展開を無限次まで取ると正確になる

正常Bose粒子系や超伝導体への拡張も可能

Φの部分列 → 一つの自己無撞着近似理論（ Φ 微分近似）Hartree-Fock理論（最低次）、BCS理論（最低次）

τ → t： 動的保存則を満たす近似(保存近似)Baym (1962)

自由エネルギー汎関数の構成

北海道大学

凝縮Bose粒子系において、Ωの厳密な表現やΦの具体的構成法はわかっていない！？

自己無撞着に決定すべき3つの量†

0 , , N c c c c−k k k k% % % %

HFB近似に対するΦ汎関数を南部表示で表現(＝保存近似)

Hugenholtz-Pinesの定理を満足するようにΦを変更自己無撞着HFB近似における無限和の取り方を変える

自由エネルギー汎関数 (1)場の演算子

北海道大学

( )20ψ( ) ( ) ψ( ) | ( ) | d N= Ψ + Ψ =∫r r r r r%

準粒子グリーン関数 (南部表現)

3

1 0ˆ

0 1σ

⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

†3 †

ψ(1)ˆ ˆ(1, 2) ψ (2) ψ(2)ψ (1)

G Tτσ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

%% %

%

平均場近似の自己エネルギー (τに依らず）

* *

( , ') ( , ')ˆ ( , ')( , ') ( , ')

Σ ∆⎡ ⎤Σ = ⎢ ⎥−∆ −Σ⎣ ⎦

r r r rr r

r r r r

0 0: (Hugenholtz-Pines )µ= =Σ − ∆ =k k一様系 の定理

自由エネルギー汎関数 (2)

* *ˆ ˆ[ , , , , ] : , , T G GµΩ = Ω Ψ Ψ Ψ Ψ の汎関数北海道大学

( )2 2

1 2

21

*

3 3 3

†3 1

10 0

2

1 1 2 (1 2) | ( ) | | ( ) |2

1ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ | ( ) | Tr (2, 2)+ Tr (1,

1 ˆˆ ˆ( ) ( ) Tr ln2

1)Tr (2, 2)4

1ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ Tr ( ) ( ) (2,1) Tr (1, 2) (

2,1

)2

d d V

G G G

G

H G

G G

d G

β

σ σ σ

σ

β−

⎡+ − Ψ Ψ⎣

− Ψ

⎤− Ψ Ψ + ⎥⎦

⎡ ⎤Ω = Ψ Ψ + − + Σ + Σ⎣ ⎦

∫∫

∫ r

r r

r

r r

r r

%

自由エネルギー汎関数 (3)

北海道大学

* *HFB 1 2 1 2 1 2 2 1

2† †1 2 2 1 2 1

( ) ( ) ( ) ψ( )ψ( )

+ ( ) ( ) ψ ( )ψ ( ) + ψ( )ψ( )

d d V ⎡Ω = Ω − − Ψ Ψ⎣

⎤Ψ Ψ⎦

∫∫ r r r r r r r r

r r r r r r

% %

% % % %

対相関の数え過ぎを差し引く

平衡状態

北海道大学

2*( ) ( , ') ( ') ( , ') ( ') ' ( )

2d

mµ⎡ ⎤Ψ + Σ Ψ − ∆ Ψ = Ψ⎣ ⎦∫

p r r r r r r r r r

*(1) / ( ) 0 GP δ δΩ Ψ = ⇒r 拡張された 方程式

0 0: (Hugenholtz-Pines )µ= =Σ − ∆ =k k一様系 の定理

ˆ(2) / (1',1) 0 Bogoliubov-de Gennes Gδ δΩ = ⇒ 方程式

0* * * * *

0

( , ') ( , ') ( , ') ( ') ( )'

( , ') ( , ') ( , ') ( ') ( )H u u

d EH v v

+ Σ ∆⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−∆ − − Σ − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

∫r r r r r r r r

rr r r r r r r r

(3) / Nµ∂Ω ∂ = ⇒ 粒子数

2 †| ( ) | ψ ( )ψ( ) d N⎡ ⎤Ψ + =⎣ ⎦∫ r r r r% %

自己無撞着性

北海道大学2 †

* †

( , ') ( ') '' ( '') | ( '') | ψ ( '' )ψ( '' )

( ') ( ) ( ') ψ ( ')ψ( )

d V

V

δ ⎡ ⎤Σ = − − Ψ +⎣ ⎦⎡ ⎤+ − Ψ Ψ +⎣ ⎦

∫r r r r r r r r r r

r r r r r r

% %

% %

( , ') ( ') ( ) ( ') ψ( )ψ( ')V∆ = − ⎡Ψ Ψ + ⎤⎣ ⎦r r r r r r r r% %

基本的性質

ψ( )ψ( ')r r% %

低エネルギー励起が音波 (Hugenholtz-Pines の定理)

保存則が満たされる

準粒子対相関 が有限 (Popov近似では０と置いた)

一様系への適用(密度一定)

北海道大学24( ') ( ') ; :s-aV a

mπ δ− = −r r r rh

波散乱長

1/30

0

2.33 ( : )cT T an nT−

= × 密度

値 2.33 は以下の計算結果と一致Baym et al., Europhys. Lett. 49, 150 (2000) ― 1/N展開Holtzmann and Krauth, PRL 83, 2687 (1999) ―モンテカルロ

Tc / T0

1

a0

Tc / T0 の期待される振る舞い

なぜ Tcが上昇？

北海道大学

理想ボーズ気体の大きな密度揺らぎを抑制⇓

位相のコヒーレンスが達成しやすく

一様系への適用 (密度一定)

北海道大学

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00

1

2

3

ideal

an1/3= 0.05

C

/N

T/Tc

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

ρs/nm (an1/3= 0.05)

n0/n (an1/3= 0.05)

n0/n (ideal)

T/Tc

0 ( )( )s

N TTρC(T)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.00

0.02

0.04

0.06

ideal

an1/3= 0.05

µ/T 0

T/Tc

µ(T)Tcで弱い一次相転移N0 (Tc) 連続;ρs (Tc), µ(Tc) 不連続

比熱は (Tc-T)-1/2 で発散

北海道大学

なぜ１次転移? (正しい!?)cf. 4Heでは連続転移

ランダウの二次相転移理論

北海道大学

秩序変数による自由エネルギーの展開

2 4

2( ), >0

n

c

F F M M

a T T

βα

α β

= + +

= −

M2 について解析的(仮定)

F を M について最小化

2M αβ

= −

2

caC Tβ

∆ =

２次転移の典型例―BCS 理論北海道大学

自由エネルギーは ∆2 について解析的

2 22

20ln

(0)n

nn n

F F TgN σ

ξ εξ ε

∞

=

+ + ∆∆= + −

+∑ ∑2k

2k k

Taylor cc

TT

⎛ ⎞∆⎜ ⎟⎝ ⎠

2

近傍で について 展開可能

cf: フェルミ分布関数 はΕ =0で解析的/

1( )e 1E Tf E =

+

理想ボーズ気体北海道大学

温度について非解析的な振る舞い

N=一定3/ 2

0 0( ) 1 ( / )n T n T T⎡ ⎤= −⎣ ⎦凝縮粒子密度

p=一定

一次転移； T0以下で一点に収縮

ボーズ分布関数 はΕ =0で非解析的/

1( )e 1E Tf E =

−

（GL展開は不可能）

相互作用の強さの関数としてのBEC北海道大学

λ U(r1-r2)

理想Bose気体 4He

λ

一次転移(p=一定)

連続転移(スピン系へのマッピング)?

一次転移はどこまで続くか？

(有限のλで連続転移に！？)

n 一定と p 一定北海道大学

展開パラメータ

1/5

22pmpaδπ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠h

1/3anδ =

転移温度

0

0

2.33cT TT

δ−= 0

0

3.84cp

T TT

δ−= −

一様系への適用 (圧力一定)

北海道大学

C(T) 0 ( )N T

0.6 0.8 1.0 1.20

5

10

15

20

δ=0.005δ=0.001

C p/N

T/Tc

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

δ=0.005

δ=0.001

n 0/n

T/Tc

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2-0.4

-0.2

0.0

0.2δ=0.005

δ=0.001

µ/T 0

T/Tc

µ(T)

北海道大学

まとめ

有限温度BECの理論的記述における問題点系統的近似法の不在（大きな課題として残される）

新たな平均場理論保存則, ギャップのない励起スペクトル

一様気体の熱力学的性質

超流動相転移に関する問題提起

T. Kita: J. Phys. Soc. Jpn. 75, 044603 (2006).日本物理学会誌、解説（to appear in 2008 or 2009)

現在の興味

非平衡エントロピー、量子ボルツマン方程式、

非平衡統計力学物性研究 90 (2008) 1-95.

超伝導量子渦の動力学Lorentz力？

北海道大学