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Fonction exponentielle – Résolutions d’équations – Exercices corrigés

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1

Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l’exercice pour un accès direct)

Exercice 1 : résoudre une équation de la forme




Exercice 5 : résoudre une équation en effectuant un changement de variable

Exercice 6 : résoudre une équation suivant les valeurs d’un paramètre

Exercice 7 : résoudre un système bilinéaire à deux inconnues

Exercice 8 : résoudre une équation suivant les valeurs d’un paramètre

Exercice 9 : résoudre une équation à l’aide du théorème de bijection

Fonction exponentielle – Résolutions d’équations

Exercices corrigés



2

Résoudre dans les équations suivantes :

1) 2) 3)

Rappel : Equation de la forme

Soient et deux fonctions définies sur un intervalle (ou une réunion d’intervalles) .

Pour tout réel , si et seulement si .

1) Résolvons dans l’équation .

Pour tout ,

Les solutions de l’équation sont { }.


Pour tout ,



Pour tout , .

Rappel : Racines d’un trinôme du second degré

Soit le discriminant du trinôme . Alors .

1er

cas :

Le trinôme admet une racine réelle double :

2e cas :

Le trinôme admet deux racines réelles distinctes :

√

√

3e cas :

Le trinôme n’admet aucune racine réelle.

Exercice 1 (1 question) Niveau : facile

Correction de l’exercice 1 Retour au menu



3

Soit le discriminant du trinôme du second degré . Alors .

Comme , admet deux racines réelles distinctes :

√

√




4


1) 2) 3)

Rappel : Monotonie et signe de la fonction exponentielle

La fonction est continue et strictement croissante sur . De plus, pour tout , .


Pour tout , donc l’équation n’admet pas de solution dans .

On note l’ensemble des solutions de l’équation.


Pour tout , et donc, par somme de termes strictement positifs, .

L’équation n’admet donc aucune solution dans .

On note l’ensemble des solutions de l’équation.


1ère

méthode : repérer la somme de termes strictement positifs

Pour tout ,

Or, pour tout , ⏟

et ⏟

donc, par somme de termes strictement positifs,

n’admet pas de solution dans .

2ème

méthode : factoriser et repérer le produit de facteurs tous non nuls

Pour tout ,

Or, pour tout , et ⏟

donc, par somme de termes strictement positifs, l’équation

n’admet pas de solution dans . On note alors l’ensemble des solutions de l’équation.



Pour tout réel et pour tout

entier relatif ,



5


1) 2)

3)


Pour tout ,


2) Résolvons dans l’équation

.

Remarquons tout d’abord que

existe si et seulement si et .

Pour tout { },

√ √

Or, √ { } et √ { } donc les solutions de l’équation sont { √ √ }.


Pour tout ,




Pour tous réels et ,



6


1) 2) 3)

Rappel : Fonction exponentielle de base et fonction logarithme népérien

Pour tout réel strictement positif, , où désigne la fonction logarithme népérien (bijection

réciproque de la fonction exponentielle).


Pour tout ,



Pour tout ,

⏟

Les solutions de l’équation sont {

}.


Pour tout ,

⏟






7

Résoudre dans l’équation .

Pour tout réel,

Effectuons un changement de variable en posant . Alors l’équation devient

. Par ailleurs, comme pour tout réel , il vient que .

Posons le discriminant du trinôme du second degré , d’inconnue .

Alors

donc l’équation admet deux solutions réelles :

√

| |

⏟

√

| |

⏟

D’après ce qui précède, donc seule peut être solution de l’équation.

Il en résulte que


Exercice 5 (1 question) Niveau : moyen


| | {

Rappel : Valeur

absolue d’un réel



8

Résoudre dans , suivant les valeurs du réel , l’équation .

Soit un réel quelconque.

Pour tout réel,

Posons . Alors devient avec .

Soit le discriminant du trinôme du second degré , d’inconnue .

Alors .

Ainsi, si , et si , .

1) 1er

cas :

Si , alors .

Le trinôme admet alors une racine réelle double :

Ainsi, comme , .

Par conséquent,

⏟

Finalement, si , l’équation n’admet qu’une solution : .

2) 2ème

cas :

Si , alors .

Le trinôme admet alors deux racines réelles distinctes :

√

| |

√

| |





9

Si , alors | | , d’où :

| |

| |

D’une part, si et seulement si – , c’est-à-dire si et seulement si .

Donc, si et , c’est-à-dire si , est solution de l’équation.

Par conséquent, si , ⏟

D’autre part, pour tout , donc est solution de l’équation.

Par conséquent, ⏟

.

Finalement, si , alors l’équation admet deux solutions : et

. Et si , l’équation n’admet qu’une solution : .

Si , alors | | , d’où :

| |

| |

D’une part, pour tout , donc est solution de l’équation.

Par conséquent, ⏟

.

D’autre part, si et seulement si – , c’est-à-dire si et seulement si .

Donc, si et , c’est-à-dire si , est solution de l’équation.

Par conséquent, si , ⏟

Finalement, si , alors l’équation admet deux solutions :

et .

En résumé, d’après tout ce qui précède, l’équation admet une ou deux

solutions dans suivant les valeurs de .

Si { } , l’unique solution est .

Si , les deux solutions sont et .



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Résoudre dans les deux systèmes suivants :

1) {

2) {

1) Résolvons dans le système {

Rappel : Propriétés des racines d’un trinôme du second degré

Soit un trinôme du second degré admettant deux racines et .

En posant (somme des racines) et (produit des racines), et sont les solutions de

l’équation .


{

{

{

Il s’agit donc de trouver deux nombres et , connaissant leur somme et leur produit . Ce sont les solutions

de l’équation . Autrement dit, il convient de résoudre l’équation

Soit le discriminant du trinôme du second degré . Alors .

Comme , il résulte que admet deux racines réelles distinctes :

√

√

Les solutions du système sont donc les couples et .

2) Résolvons dans le système {


{

{

⏟

{

{






11

{

{

{

{

{

En posant , l’équation devient – (avec ).

Posons le discriminant du trinôme du second degré – , d’inconnue .

Alors .

Comme , il résulte que – admet deux racines réelles distinctes :

√

| |

⏟

√

| |

⏟

Comme , .

Comme , .

Ainsi, il vient que :

{

{

{

{

{

{

{

{

{

{

Les solutions du système sont donc les couples et .



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Résoudre dans , suivant les valeurs du réel , l’équation .

Soit un réel quelconque.

Pour tout réel,

Posons . Alors et l’équation précédente s’écrit .

Posons le discriminant du trinôme du second degré .

Alors .

Posons le discriminant du trinôme du second degré .

Alors

Comme , le trinôme admet deux racines réelles distinctes :

√

√

Ainsi, ( ).

Dès lors, étudions le signe de selon les valeurs de .

(

)

1) 1er

cas :

Si , alors .

Le trinôme admet alors une racine réelle double :

Exercice 8 (1 question) Niveau : difficile




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⏟

Comme , il vient que l’équation admet une solution :

2) 2ème

cas :

Si

, alors .

Le trinôme admet alors une racine double :

Comme , il vient que l’équation n’admet pas de solution réelle.

3) 3ème

cas : ] [

Si ] [, alors .

Le trinôme n’admet pas de racine réelle.

L’équation n’admet par conséquent pas de solution réelle.

4) 4ème

cas : ] [

Si ] [, alors .

Le trinôme admet deux racines réelles distinctes et telles que :

√ ( )(

)

√( )( )

√ (

)

√ ( )(

)

√( )( )

√ (

)

⏟

⏟

Cas où



14

Donc, si , alors et . Ainsi, l’une des racines du trinôme est

nulle et l’autre négative.

Comme , l’équation n’admet donc qu’une solution.

Cas où

Donc, si ( ] [), c’est-à-dire si , le produit des racines du

trinôme est négatif, c’est-à-dire que l’une des racines de ce trinôme est positive et l’autre

négative.

Comme , l’équation n’admet donc qu’une solution.

Or, √ ( ) ( ⏟

√ ( )

⏟

)

Donc la solution positive du trinôme est √ ( ).

Il vient alors que √ ( ) ( √ (

))

Cas où

Donc, si ( ] [), c’est-à-dire si ]

[, alors les deux

racines du trinôme ont le même signe, celui de leur somme .

Donc, deux nouveaux cas sont désormais à distinguer.

Cas où

Donc, si ( ] [), c’est-à-dire si ]

[, alors la somme des racines du

trinôme est négative. Comme, de surcroît, leur produit est positif, chacune de ces racines

est négative.

Comme , l’équation n’admet aucune solution réelle.

Cas où

Donc, si ( ] [), c’est-à-dire si , alors la somme des racines du

trinôme est positive. Comme, de surcroît, leur produit est positif, chacune de ces racines est

positive.



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L’équation admet donc deux solutions réelles distinctes telles que :

√ (

) ( √ (

))

√ (

) ( √ (

))



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1) Sans la résoudre, démontrer que l’équation √ admet une unique solution dans .

2) Donner un encadrement de d’amplitude .

1) Soit la fonction définie par √ . est la composée de la fonction √ ,

définie et continue sur (comme somme de la fonction affine et de la fonction racine

carrée), par la fonction , définie et continue sur . Ainsi et est définie sur .

Rappel : Dérivée d’une fonction composée

Soit une fonction dérivable sur un intervalle et soit une fonction dérivable sur .

Alors la fonction est dérivable sur et, pour tout , .

est dérivable sur comme étant la composée de la

fonction , dérivable sur , par la fonction ,

dérivable sur . Pour tout ,

(

√ ⏟

) √ ⏟

.

Rappel : Dérivée de la fonction exponentielle

La fonction est dérivable sur

et, pour tout réel , .

Pour tout , est le produit de facteurs strictement positifs donc . Il en découle que est

strictement croissante sur .

Etudions désormais les limites de aux bornes de son ensemble de définition puis dressons le tableau de

variation.

La fonction est continue en donc

existe et √ .

En outre,

et

√ . Donc, par somme,

( √ ) .

Par conséquent, par composition des limites,

.

D’où le tableau de variations suivant :

Exercice 9 (2 questions) Niveau : moyen




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Montrons désormais que l’équation admet une unique solution dans à l’aide du théorème de

bijection.

Rappel : Théorème de bijection

Si est une fonction continue et strictement

monotone sur un intervalle de bornes et

(finies ou infinies), alors, pour tout réel

strictement compris entre les limites de en

et en , il existe un unique réel de tel

que .

Monotonie

de

Intervalle

croissante décroissante

[

[ ]

]

]

] [

[

]

[ ]

[

D’après ce qui précède, d’une part est croissante sur et, d’autre part, (arrondi

à près par défaut) et

.

Comme , d’après le théorème de bijection, il existe un unique réel tel que

.

2) A l’aide de la calculatrice, on trouve par encadrements successifs que (encadrement à

près).

Remarque : Il est possible, bien entendu, de résoudre l’équation √ .

Pour tout , √ ⏟

√ √

Posons √ . Alors et l’équation à résoudre devient .

Posons désormais le discriminant du trinôme du second degré .

Alors .

Comme , il vient que . Le trinôme admet donc deux racines réelles distinctes :

√

( √ )

√

(√ ⏟

)



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et donc est l’unique solution.

Comme √ , il s’ensuit que [

(√ )]

est l’unique solution de l’équation.

Finalement,

(√ ) . Avec la calculatrice, on trouve , d’où l’encadrement

proposé.

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