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FONCTIONNEMENT D U L I M I T E U R P A R F A I T par

J a c q u e s - P a u l D U P R A Z

Ing6nieur civil des t616communications, Licenci6 ~s sciences math6matiques *

RI~SUM]~. - - L' article est consacrd ~ l'dlude thdorique de/ 'action d'un limiteur parfait sur un signal moduld en phase, perturbd par un signal gaussien. I / p e u t dire divisd en 3 parties. La premiere, qui groupe les 2 premiers para- graphes, situe le probl~me el donne le rdsultat brul cherchd sons la forme de la fonction d'autocorr~lation du signal global prdsent ~ la sortie du limiteur. La deuxi~me pattie exploite le rdsullat brut en tenant compte du filtre qui suit le l imiteur et en distinguanl le signal utile, le bruit el le signal rdsultant de leur intcrmodulation. Les dcnsitds spectrales et les rapports signal sur bruit plus intermodulation sont calculds darts diffdrents cas. Les pr inc ipaux rdsu/tats sonl ddgagds en guise de conclusion et les courbes reprdsentant les niveaux de sortie en fonction du rapport signal sur bruit & l'entrde sont donndes. Enf in , une derni~re partie prdsente sous forme d'annexe la mdthode utilisde pour le calcul de la fonclion d'autocorrdlation en sortie du limiteur ; elle est appli-

cable au cas d'un organe non lindaire quelconque.

PLAN. - - Introduction. 1 : Enoncd du problOme. 2 : Calcul de la fonclion d'autocorrdlation ~ la sortie du limiteur. 3 : Calcul du spectre de puissance. Conclusion. Bibliographic (6 rdf.).

I N T B O D U C T I O N

Le prdsent ar t ic le a pour bu t de prdciser le fonc-

t i onnemen t th4or ique du l imi teur par fa i t en l '4 ten-

dant au cas off le s ignal ut i le , per turb4 par un signal al4atoire gaussien, est modu l4 en phase par un mes-

sage rec tangula i re . Le l i m i t e u r pa r fa i t est en effet tr~s

souvent utilis4, sans que son rSle soit toujours bien compris, pour s tabi l i ser les n iveaux ou r4duire les

modula t ions d ' a m p l i t u d e parasi tes . C'est le cas en

par t icul ier darts les T414communicat ions spatiales qui ut i l isent des m o d u l a t i o n s angulaires par des messages

rec tangula i res ( m o d u l a t i o n h d4placement discret de phase, m o d u l a t i o n h spec t re 4tald), en associat ion

avec des t echn iques de d4modula t ion cohdrente.

La densit4 spec t ra le des diff4rents s ignaux engen- drds par le l imi t eu r est calcul4e par l ' in te rm4dia i re de leur fonc t ion d 'autocorr41at ion. Une m4thode

g4n4rale de calcul, va l ab l e pour un organe non lin4aire

que lconque et un s ignal u t i le d4fini par sa fonct ion carac t4r is t ique d ' o rd r e 2, est donn4e en annexe.

L 'u t i l i sa t ion de d i s t r ibu t ions temp4r4es pe rme t de se passer d ' in t4gra les de contour .

Le l imi teur est t o u j o u r s suivi d ' un filtre de zone qui dlimine les h a r m o n i q u e s des signaux. L ' app l i ca t ion

au cas par t icu l ie r consid4r4 condui t h la connaissance, la sortie du filtre, des densit4s spectrales du signal

utile, du signal gaussien et de leurs produi ts d ' in te r -

modula t ion , ce qui p e r m e t de calculer leurs n iveaux de puissance respect ifs , ainsi que le r appor t signal sur

brui t plus i n t e r m o d u l a t i o n h la sortie du filtre. Un

rdsul tat f o n d a m e n t a l est que le n iveau du signal ut i le

d4pend du r a p p o r t s ignal sur bru i t h l 'entrde du limi-

teur , ce qui se t r adu i t pa r l ' ex i s tence d 'un fac teur de

suppression, tandis que la puissance to ta le de sortie est m a i n t e n u e cons tan te . I1 n ' y a qu 'h fort r appo r t

signal sur brui t h l ' en t r4e que le n iveau du signal

ut i le est cons tan t h la sortie. Un au t re r4sul ta t est que le r appo r t signal sur b ru i t plus i n t e rmodu la t i on

peu t ~tre am41ior4, le gain p o u v a n t a t te indre 3 dB.

Cependant , lorsque le l imi t eu r est suivi d 'un filtre plus dtroi t que le fil tre de zone, le r appor t signal sur

b ru i t plus i n t e r m o d u l a t i o n en sort ie du filtre n ' e s t

plus le m~me et il f au t ~tre p r u d e n t lo rsqu 'on essaye de chiffrer le gain du l imi teur .

I . I~NONC~ DU PROBL]~ME

On consid~re un l imi t eu r id4al (Hard- l imi te r ) don t la carac t4r is t ique normalis4e, repr4sent4e sur la

figure 1, s '6crit :

vs(t) = f [ve(t)] = s g n [ve(t)].

+ 1

Vs (t)

0 ,, Ve (t)

- 1

Fio. 1. - - Caract6ristique d'un limiteur ideal.

* Au Laboratoire central de tdl6communications, 18-20, rue Grange-Dame-Rose, 78140 Velizy-Villacoublay (France). Professeur h l'Ecole nationale sup~rieure de l'a~ronautique et de l'espace, et h l'Ecole sup6rieure d'dlectricit~.

1/6 A. TI~LI~'C., 28 , n ~ 1 1 - 1 2 , 1 9 7 3

470 J . - P . D U P R A Z . -- F O N C T I O N N E M E N T D U L I M I T E U R P A R F A I T

Supposons :

r e ( t ) = ~(l) = s(t) + n ( t ) ,

s(t) : A cos [co0t + re(t) + % ] .

Le s i g n a l s(t) e s t u n e p o r t e u s e de f r 6 q u e n c e fo , de

p u i s s a n c e m o y e n n e A2]2, m o d u M e en p h a s e p a r le

s i g n a l m o d u l a n t m( t ) . N o u s s u p p o s e r o n s q u e m( t ) e s t

u n m e s s a g e b i n a i r e r e c t a n g u l a i r e , de v a l e u r s d e c r~ t e

• too , e o m p o s 6 d ' u n e s u i t e s t a t i o n n a i r e d ' ~ 1 6 m e n t s

b i n a i r e s a y a n t u n d ~ b i t s u f f i s a m m e n t f a i b l e v i s - h - v i s

de fo p o u r q u e s(t) s o i t h b a n d e ~ t ro i t e . L a f o n e t i o n

d ' a u t o e o r r ~ l a t i o n R s ( v ) e s t a lo rs [1, p. 264] , e t en

u t i l i s a n t les n o t a t i o n s de la f o r m u l e (A-4) de l ' a n n e x e :

A 2 Hs(Z ) ~ - cos (Oo'r Rm, l ( '~ ) ,

R m , l ( v ) = cos 2 m o + s in 2 m 0 R m ( v ) ,

R m ( v ) e s t u n e f o n c t i o n s p 6 c i f i q u e d u c o d e b i n a i r e

u t i l i s6 q u i p e u t ~ t r e le c o d e N R Z , le c o d e b i - p h a s e

[1, p. 249] ou m ~ m e u n e s o u s - p o r t e u s e r e c t a n g u l a i r e

m o d u M e a v e c d ~ p l a c e m e n t de p h a s e ou de f r ~ q u e n c e .

E n f aR , les r 6 s u l t a t s o b t e n u s s o n t v a l a b l e s s a n s

qu ' i l so i t n 6 c e s s a i r e de s u p p o s e r q u e le m e s s a g e so i t

b i n a i r e ; il su f l i t q u ' i l n e p r e n n e q u e les 6 t a t s • m 0 .

L e s i g n a l n ( t ) e s t u n p r o c e s s u s g a u s s i e n h b a n d e

d t ro i t e , s t a t i o n n a i r e d ' o r d r e 2, de coe f f i c i en t de

c o r r e l a t i o n r (v ) e t de p u i s s a n c e m o y e n n e a2. N o u s

s u p p o s e r o n s q u e le s p e c t r e de p u i s s a n c e G n ( / ) de n( t )

es t s y m ~ t r i q u e e t c e n t r ~ s u r la f r 6 q u e n c e / 1 , ce q u i

p e r m e t d ' 6 c r i r e , e n d ~ f i n i s s a n t d u m ~ m e c o u p 9(0 :

r (v ) - - 2 9(v) cos r

N o u s s u p p o s e r o n s q u e les f r ~ q u e n c e s /Co e t /~ s o n t

s u f f i s a m m e n t v o i s i n e s p o u r q n e ~(t) p u i s s e 6 t r e cons i -

d6r6 g l o b a l e m e n t c o m m e u n s i g n a l h b a n d e d t ro i t e .

Dar t s l a s u i t e , l a p o r t e u s e m o d u l 6 e s e r a a p p e l 6 e

signal S e t le p r o c e s s u s g a u s s i e n signal N. N o u s les

s u p p o s e r o n s s t a t i s t i q u e m e n t i n d ~ p e n d a n t s . L a fonc -

t i o n d ' a u t o c o r r d l a t i o n de ~(t) e s t a lo r s :

R ~ ( z ) = R ~ ( ~ ) + R ~ ( z ) .

Le s p e c t r e h l ' e n t r 6 e d u l i m i t e u r e s t r e p r 6 s e n t d su r

la f igu re 2 d a n s le c a s ofa m( t ) e s t e x p r i m 6 e n c o d e

N R Z e t off n ( t ) e s t u n b r u i t b l a n c h b a n d e l imi t~e .

A~/

C ' e s t le r a p p o r t s i g n a l s u r b r u i t h l ' e n t r ~ e du l i m i t e u r .

Le l i m i t e u r e s t g d n d r a l e m e n t s u i v i d ' u n f i l t re . D e u x

cas s o n t h c o n s i d ~ r e r :

- - le f i l t re a s i m p l e m e n t p o u r b u t d ' 6 1 i m i n e r les

t e r m e s qu i n e s o n t p a s c e n t r 6 s su r les f r d q u e n c e s

Pro + q f t , a v e c p + q = • 1. I1 e s t a lo rs a p p e l d f i l t re

de z o n e e t p e u t ~ t r e de t y p e p a s s e - b a s . N o u s le ddsi-

g n e r o n s p a r Fz ;

- - le f i l t re , c e n t r ~ s u r f o , a u n e b a n d e p a s s a n t e

j u s t e s u f f i s a n t e p o u r l a i s s e r p a s s e r le s i g n a l S c o n s i d d r ~

c o m m e s i g n a l u t i le . I1 e s t de t y p e p a s s e - b a n d e e t n o u s

le d 6 s i g n e r o n s p a r F s . O n a a l o r s le s c h e m a de la

f igure 3.

} (t) o

Limiteur FS

FIG. 3. - - L imi teu r suivi du filtre F s.

C e t t e s i t u a t i o n e s t ce l le q u e l ' o n t r o u p e d a n s le cas

d ' u n e d 6 m o d u l a t i o n c o h d r e n t e d e p h a s e u t i l i s a n t u n e

b o u c l e fi v e r r o u i l l a g e d e p h a s e p rdc6d6e d ' u n l i m i t e u r ,

le s i g n a l N 6 t a n t u n b r u i t t h e r m i q u e . Les f r 6 q u e n c e s

fo e t fl s o n t a lo r s i d e n t i q u e s . C ' e s t 6 g a l e m e n t cel le

q u e l ' o n r e n c o n t r e da r t s u n r 6 p d t e u r de s a t e l l i t e s a t u r 6 ,

f o n c t i o n n a n t e n acc~s m u l t i p l e : le s igna l N e s t a lo r s

l ' e n s e m b l e des s i g n a u x m o d u l d s n o n d6sir6s, p a r o p p o -

s i t i o n a u s i g n a l S q u e l ' o n v e u t e x p l o i t e r .

E n f i n , l o r s q u e re ( t ) 0, c e t t e s i t u a t i o n e s t cel le

d ' u n r 6 p d t e u r ~le s a t e l l i t e s a t u r 6 p a r u n b r o u i l l e u r

c o n t i n u r e p r 6 s e n t 6 p a r le s i g n a l S, le s igna l N 6 t a n t

u n e n s e m b l e de s i g n a u x u t i l e s m o d u l 6 s , d u t y p e h

acc~s m u l t i p l e s h s p e c t r e 6 t a l6 ( m o d u l a t i o n S S M A :

S p r e a d S p e c t r u m M u l t i p l e Access ) .

FIG. 2. Spectre fi l ' entr6e du limiteur. Code NRZ, m 0 -- ~14.

N o u s d 6 s i g n e r o n s p a r x le r a p p o r t des p u i s s a n c e s

m o y e n n e s des d e u x s i g n a u x :

2 . C A L C U L D E L A F O N G T I O N D ' A U T O C O R B ~ L A T I O N

A L A S O B T I E D U L I M I T E U B

A p p l i q u o n s l a f o r m u l e (A-5 ) de l ' a n n e x e a v e c :

1 1 ~- [ f (u) ] = i-x v p y .

( v p : v a l e u r p r i n e i p a l e de C a u e h y ) .

I1 v i e n t [2, p. 20] .

1 +oo 1 R~(-~)

n+p impair COS ft O)l~" e -lpr176 R m p(~') ,

A. T~:LI~C., 28, n ~ 11-12, 1973 2 / 6

J . - P . D U P R A Z . - - F O N C T I O N N E M E N T D U L I M I T E U R P A R F A I T 471

hnp = ~ ~ y n - i Jio(27~A g) e -(2=z)2ye/2 dy ,

[p + n\

r ( p + 1) (~ /2~a) ~ 1F1 ' p + 1, - - x ,

i F l ( a , ~, - - x) : f o n e t i o n h y p e r g 6 o m d t r i q u e de K u m m e r . On a, t o u j o u r s a v e e les m S m e s h y p o t h 6 s e s sur m(t) :

(1) R m . p ( v ) = cos e p m o + sin ~ p m o Rm(v) �9

On p e u t d o n e 6er i re :

1 2 ~ 1Rn(v) = ~ , , = 0 ~ cv h~np (2 h a ) 2 n . 2 n on(v) X 1 , = ' n I

n + p i mp a ! r .

(2) cos n (oiv Rm p(v) cos p (OoV

l l , p = 0 ,

zv = 2 , p ~ 0 .

Rn(v) c o n t i e n t , o u t r e les t e r m e s c o r r e s p o n d a n t a u x

s i g n a u x S e t N, des t e r m e s c o r r e s p o n d a n t ~ leurs h a r m o n i q u e s e t ~ l eu r s p r o d u i t s d ' i n t e r m o d u l a t i o n

q u e nous a p p e l l e r o n s g l o b a l e m e n t s igna l I .

3 . C A L C U L D U S P E C T R E D E P U I S S A N C E

l o p p e m e n t de la f o n c t i o n h y p e r g 6 o m d t r i q u e 1F1 et en

ne c o n s e r v a n l que les t e rmes t r a n s m i s p a r Fz [4,

p. 1073] :

(S) ~ Rm.1 (v) cosr + 0 ,

(N) ~ x 2 p ( v ) c ~ 0 ~ ,

2 1 E ] (~ ) (I) ~ x 2 P ( V ) R ~ ' d v ) c ~ (2~o o - r + 0 .

I1 n ' y a q u ' u n t e r m e I d ' o r d r e 1 qu i es t le p r o d u i t d ' i n t e r m o d u l a t i o n de N e t de l ' h a r m o n i q u e 2 de S.

Les s p e c t r e s c o r r e s p o n d a n t s s o n t r ep r6sen t6s sur la f igure 4, a v e c les m ~ m e s h y p o t h 6 s e s q u e p o u r la

f igure 2.

2 F ~ _ W I F

FIG. 4. - - Spectre h la sortie de F z pour x >> 1. Code NRZ, m o ~ r~]4.

Le spec t re Gn0 r) es t la t r a n s f o r m d e de F o u r i e r ~-

de Rn(v). I1 e o n t i e n t u n e d o u b l e inf in i t6 de t e rmes . Les t e r m e s c o r r e s p o n d a n t a u x s i g n a u x S e t N sont

r e s p e e t i v e m e n t :

- X 1 F 2 , - - X Rm.l(~:)coso)0v, (3) (s) ~ ,~,

( n = O , p = l ) ,

-2 1 F ~ ( ~ , 1 , - - x ) 2 p ( v ) c o s 6 ) l v (4) (N)

( n = l , p = 0 ) .

Les spec t res S e t N s o n t s e m b l a b l e s h c e u x qu i son t repr~sen t~s su r la f igure 2. Ils c o n t i e n n e n t respec t i -

v e m e n t les p u i s s a n c e s m o y e n n e s su ivan t e s , c o m p t e

t e n u de ce q u e Rm,p (0 ) = 1 e t 2 p(0) = 1 :

(5) P s = - x i F , 2 , 2 , - - x , 7~

(6) P N - - i F ~ , 1 , - - x . n

Le ca leu l des t e r m e s I e s t p lus c o m p l i q u & On p e u t c e p e n d a n t m 0 n t r e r q u e l a p u i s s a n c e m o y e n n e t o t a l e

h la sor t ie du f i l t re F z es t t o u j o u r s 6gale h 8 [ n 2, c o m p t e t e n u du c a r a c t 6 r e h b a n d e 6 t ro i t e de ~(t) [3,

p. 2831. E x a m i n o n s la s i t u a t i o n h la so r t i e des f i l t res Fz

et F s dans les cas s u i v a n t s .

3 . 1 . C a a o h x >> 1 .

Les t e r m e s d ' o r d r e s 0 e t 1 du d 6 v e l o p p e m e n t a s y m p t o t i q u e de R~(z) son t , c o m p t e t e n u du ddve-

Les p u i s s a n c e s m o y e n n e s c o n t e n u e s d a n s ces t ro is

t e r m e s s o n t r e s p e c t i v e m e n t :

8 2 1 2 1 - - P I ~ �9 P s ~ ~2 , P N ~ ~2 x ' ~2 x

D'o f l la v a l e u r du r a p p o r t s igna l su r b r u i t p lus i n t e r -

m o d u l a t i o n h la sor t ie de F z :

P s (7) �9 P N + P / ~ 2 x .

I1 en r~su l t e un ga in de 3 d B p a r r a p p o r t h l ' en t rde .

A la sor t ie de F s la s i t u a t i o n n ' e s t pa s la mfime. La b a n d e p a s s a n t e de F s es t d 6 t e r m i n d e p a r le spec t r e

du s igna l S, qu i do i t 8 t re t r a n s m i s . D a n s le cas gdn6ral ,

la f igure 4 m o n t r e q u e les spec t r e s N e t I s o n t pa r - t i e l l e m e n t fi l trds. Le r a p p o r t s igna l su r b r u i t h la

so r t i e du f i l t re es t d o n c s u p 6 r i e u r /~ 2 x.

S u p p o s o n s q u e f l = f0 e t q u e les s u p p o r t s des s p e c t r e s S e t N so i en t i d e n t i q u e s , ce q u i es t le cas

l o r s q u e l ' o n v e u t d d m o d u l e r le s igna l S. I1 f a u t alors

d i s t i n g u e r d e u x cas :

a) R m 2(v) es t u n e c o n s t a n t e . L e s p e c t r e I es t i d e n t i q u e au s p e c t r e N e t es t d o n c i n t d g r a l e m e n t

t r a n s m i s p a r F s . L a r e l a t i o n (7) es t v a l a b l e e t le ga in

h la sor t ie d u f i l tre F s est e x a c t e m e n t 3 dB. Ceci a l ieu l o r s q u e la p o r t e u s e n ' e s t pa s m o d u l d e (m 0 = 0) e t ce r d s u l t a t e s t c l a s s ique , ma i s aussi , c o m m e le m o n t r e (1),

l o r s q u e m o = T : / 2 ;

�9 Ce signe typographique indique les 6quations encadrees sur le manuscrit.

3 /6 A. T~I, t~C., 28, n ~ 1 1 - 1 2 , 1 9 7 3

472 J . - P . DUPRAZ. -- F O N C T I O N N E M E N T DU L I M I T E U R P A R F A I T

b) Rm.2 ( ' 0 n ' e s t pas u n e c o n s t a n t e . L e s u p p o r t du

s p e c t r e I e s t a lors p lus l a rge q u e le s u p p o r t du s p e c t r e N. I1 y a f i l t rage p a r t i e l du s p e c t r e I e t le

r a p p o r t s igna l su r b r u i t h la so r t i e de Fs es t ce r ta i - n e m e n t s u p 6 r i e u r h 2 x, d 'of i un ga in s u p 6 r i e u r h 3 dB.

3 . 2 . C a s o h x .~ 1 .

Les t e r m e s d ' o r d r e s 0 e t 1 t r a n s m i s p a r Fz sont :

2 (S ) Tl: x l~m.l (%" ) c o s (Do= + 0 (X) 2,

2 - 2 p(T) cos (DI~ + 0 (x), (N) ~z

(2 s) I C ~ 2 �9 2s+1 2 ~ s+ ! (v ) cos 0(x) ( i ) ,~.~=,

Les spec t r e s s o n t repr~sen t~s sur la f igure 5. Ils

c o n t i e n n e n t r e s p e c t i v e m e n t les p u i s s a n c e s m o y e n n e s :

2 2 8 2 P , ~ ~ - x , P N ~ - , P I ~ 7~ ~ - - "

T~ T~ 7~

F ~ F I 1

I

FIG. 5. - - - - Spectre h la sortie de F z pour x ,~ 1. Code NRZ, m o -- ~ [4 .

Le r a p p o r t s igna l su r b r u i t p lus i n t e r m o d u l a t i o n es t :

P s 7v (8) . P N + PI ~ x ,

A la sortie de F z , la p e r t e p a r r a p p o r t h l ' en t r6e est d o n c de 1 dB.

A la sortie de F z , la s i t u a t i o n est d i f f6 ren te , pu i sque ,

m~rne si f~ = f0 e t si les t e r m e s S e t N o n t m ~ m e sup- p o r t , les t e r m e s I s o n t t o u j o u r s p a r t i e l l e m e n t filtr6s. Le r a p p o r t s igna l su r b r u i t es t d o n c c e r t a i n e m e n t s u p 6 r i e u r h ~ x[4.

rence , la p u i s s a n c e t o t a l e 6 t a n t c o n s t a n t e e t 6gale h 817: 2.

Ces cou rhes r e p r & e n t e n t les f a c t e u r s de supp re s - sion d ' u n l i m i t e u r p a r f a i t .

A la sortie de Fs , la s i t u a t i o n d d p e n d des f r dquences

fo et [~ a ins i q u e de l ' i n d i c e de m o d u l a t i o n m o. L a f o r m u l e (2) p e r m e t de ca l cu le r , dans c h a q u e cas

pa r t i cu l i e r , la dens i t6 s p e c t r a l e dans la b a n d e pas-

san te de Fs e t d ' o b t e n i r p a r i n t 6 g r a t i o n les pu i s sances

m o y e n n e s c o r r e s p o n d a n t e s .

C O N C L U S I O N

I1 est c o n n u q u ' a v e c une p o r t e u s e n o n m o d u l d e

un l i m i t e u r p a r f a i t p e r m e t en th6or i e d ' a m d l i o r e r le

r a p p o r t s igna l su r b r u i t darts la b a n d e du f i l t re F z

de : 3 dB p o u r x >> 1,

et cause u n e p e r t e de : I d B p o u r x ~ 1 [5].

Les f o r m u l e s (7) e t (8) m o n t r e n t q u e ces r 6 s n l t a t s r e s t e n t v ra i s , l o r s q u e la p o r t e u s e est m o d u l 6 e a n g u -

l a i r e m e n t p a r u n m e s s a g e b ina i r e r e c t a n g u l a i r e . P a r

con t re , h la so r t i e du f i l t re F s , cela n ' e s t v r a i p o u r

x >> 1 q u e d a n s c e r t a i n e s c o n d i t i o n s de m o d u l a t i o n , mais j a m a i s p o u r x ~ 1.

Les c o u r b e s de la f igure 6 r e p r d s e n t e n t les pu i s -

sances P s , P N e t P z h la so r t i e du f i l t re de z o n e F z en f o n c t i o n du r a p p o r t x q u i es t le r a p p o r t s igna l

sur b r u i t h l ' e n t r d e du l i m i t e u r . E l les m o n t r e n t en

p a r t i c u l i e r q u e le n i v e a u du s igna l S d 6 p e n d de x ; l o r sque x es t f a ib le , le s igna l S est supprimd p a r le

s igna l N, t a n d i s q u e la p u i s s a n c e P s ne d e v i e n t cons- t a n t e e t 6gale h 8IT: 2 q u e l o r s q u e x d e v i e n t g r and . L a

c o u r b e d o n n a n t P s r e p r 6 s e n t e ce que l ' o n appe l l e le f a c t e u r de s u p p r e s s i o n du l i m i t e u r .

D a n s le cas off l ' o n v e u t a n a l y s e r ce qn i se passe dans une zone s p e c t r a l e d6f inie p a r un f i l t re t e l q u e

F s , les c o u r b e s de la f igure 6 ne son t p lus ndces-

s a i r e m e n t v a l a b l e s ; il es t n6cessa i re de ca l cu l e r les

densi t6s s p e c t r a l e s des t e r m e s S, N e t I . I1 f a u t a lors u t i l i se r darts c h a q u e cas les f o r m u l e s (2), (3) e t (4).

La dens i t6 s p e c t r a l e du s igna l N h l ' e n t r d e d u l imi -

t e u r f a i t i n t e r v e n i r la f o n c t i o n ~(v) qu i es t spdc i f ique

du cas d ' e spbce c o n s i d 6 r C

A N N E X E

3 . 3 . C a s o h x e s t q u e l c o n q u e .

A la so r t i e de F z , les p u i s s a n c e s m o y e n n e s P I e t P N des t e r m e s S e t N s o n t donn6es p a r les f o rmu le s (5) e t (6). E l tes son t r ep r6 sen tde s en f o n c t i o n de x

sur la f igure 6. L a p u i s s a n c e P I es t o b t e n u e p a r diff6-

F o n c t i o n d ' a u t o c o r r 6 1 a t i o n e n s o r t i e

d ' u n o r g a n e n o n l i n 6 a i r e

On cons id~re le s igna l a l6a to i r e ~(t) = s(t) -t- n(t) a v e c :

s(t) : s igna l a l 6 a t o i r e s t a t i o n n a i r e d ' o r d r e 2,

A. T~L~C., 28, n~ 11-12, 1973 4 / 6

J . - P . D U P R A Z . - F O N C T I O N N E M E N T D U L I M I T E U R P A R F A I T 4 7 3

- - l d B ,

PUISSANCE DE SORTIE �9 ~t'__~ (dB) 8

- - 20 - - 15 - - 10 - - 5

PI

- 15

/ - 20

5 10 15 20 x (dB)

Fro. 6. - - Facteurs de suppression d 'un l imiteur parfait.

n(t) : s igna l a l 6 a t o i r e gaus s i en s t a t i o n n a i r e d ' o r d r e 2,

de v a r i a n c e a2 e t de coef f ic ien t de co r rd l a t i on r(=).

On s u p p o s e q u e s(t) e t n(t) son t s t a t i s t i q u e m e n t i ndOpendan t s . Le s igna l s(t) sera consid6r6 c o m m e le

s ignal u t i le , n(t) d t a n t un b ru i t .

Le s igna l a l 6 a t o i r e ~(t) es t t r a n s f o r m 6 p a r un o r g a n e

non l in6a i re de c a r a c t d r i s t i q u e f e n un s igna l a l6a to i re

~(t) : ~(t) = f [~ ( t ) ] .

L a f o n c t i o n d ' a u t o c o r r d l a t i o n de ~q(t) es t :

R,.1, = f f 7 f(u)z f(u2) Pc(u1 ' tze) du I du~ ,

t 2 = l z + v ,

p ~ ( u l , u2 ) : dens i td de p r o b a b i l i t 6 d ' o r d r e 2 de ~(t).

Soi t 0~ (v 1 , %) la f o n c t i o n c a r a e t d r i s t i q u e d ' o r d r e 2

de ~(t). N o u s p o s e r o n s :

0~(Yl , Y2) = 0 ~ ( 2 ~ ya , 2r~ Y2) = &- [P~(Ul , U2)] �9

en d 6 s i g n a n t p a r ~- l ' i n v e r s e de la t r a n s f o r m a t i o n ~-

de F o u r i e r .

Ceci p e r m e t d '6c r i r e , i n v e r s e m e n t :

P~(Ul , u2) = Y [ | , Y2)] �9

On a ici, s(t) e t n(t) 6 t a n t i n d 6 p e n d a n t s :

( A - l ) O~(yj , Y2) = O s ( Y l , Y2) On(Yl , Y2) �9

On a le r 6 s u l t a t c l a s s i q u e :

(A-2) On(Yl , Y2) = O-(2~:t~)2[Y~+2r(v)YlY2+Y~][2 �9

L a c o n n a i s s a n c e de la f o n c t i o n c a r a c t 6 r i s t i q u e du

s ignal sp6c i f ique s(t) d d t e r m i n e la f o n c t i o n 0~(y 1 , Y2) qu i es t darts t o u s l e s cas, c o m m e le m o n t r e n t les

f o r m u l e s p r d c 6 d e n t e s , i n d d f i n i m e n t d i f fd r en t i ab l e e t fi d6c ro i s sance r a p i d e . L a f o n c t i o n d ' a u t o c o r r 6 1 a t i o n

R n ( t l , t2) ex i s t e d o n c l o r s q u e f est u n e d i s t r i b u t i o n t empdr6e . N o u s 6 c r i v o n s a lors s i m p l e m e n t [6, p. 128].

R n ( l j , t2) = < f(ul) f(Uu) , ~ - [ 0 ~ ( y l , Y2)] ~ , ( i -3)

t, = < ~ [ f ( u l ) ] ' ~ [ f ( u 2 ) ] , O~(Yl, Y2) > "

5/6 A. T ~ L ~ C . , 28, n ~ 1 1 - 1 2 , 1 9 7 3

474 J . - P . DUPRAZ. - - FONCTIONNEMENT DU LIMITEUR PARFAIT

Ces d e u x f o r m u l e s d q u i v a l e n t e s p e r m e t t e n t de ca lcu le r les f o n c t i o n s d ' a u t o c o r r d l a t i o n en sor t ie des o rganes n o n l inda i res d o n t les ca r ac td r i s t i ques s o n t t o u j o u r s des d i s t r i b u t i o n s t empdrdes .

P l a ~ o n s - n o u s m a i n t e n a n t d a n s le cas p a r t i c u l i e r off s(t) est u n s igna l m o d u l d a n g u l a i r e m e n t :

s(t) : A cos [co0/+ ~ o § r e ( t ) ] = A cos [q~(/)],

~o : v a r i a b l e a lda to i r e u n i f o r m d m e n t d i s t r ibude su r

[ - - ~ , + ~1, re(t) : s ignal m o d u l a n t rdel, i n d d p e n d a n t de ~o et

s t a t i o n n a i r e d ' o r d r e 2.

Il v i e n t alors :

OS(gl , g2) = O27zi[yzsl+yus2]

s, = s(tl) , s ~ = s(t2) ,

d 'oh , en d 6 v e l o p p a n t les e x p o n e n t i e l l e s i m a g i n a i r e s en sdries de Besse l :

Os(gl , gz) = ~, ~(i)P+qJp(2r~Agl) Jq(2rcAgz) oi[p%+qq~2]. P q

i q~z- qo(t t )= C~ + qOo + m(lz) ,

I q% = q)(t2)= c~ + % + re(t2) �9

Les t e r m e s n o n n u l s s o n t o b t e n u s p o u r q - - - - p , h cause de la loi de r d p a r t i t i o n de % . I1 res te :

Os(Yl , g2) = ~ , ( - - 1)P Jv(2rcAyz) Jp(27zAg2) • P

e - i P o%v Om(p, - - p),

(A-4) Om(p, - - p ) = R m , p ( ' r ) = O ip[ml-m2] ,

m 1 = m ( q ) , m ~ = m(tz).

La f o n c t i o n c a r a c t d r i s t i q u e 0 r e ( p , - p) du s igna l m o d u l a n t re(t) est auss i la f o n c t i o n d ' a u t o c o r r d l a t i o n du s igna l eornp lexe m , p ( t ) = eipm(t). C'est p o u r q u o i n o u s la n o t e r o n s : Rm,p(V).

I1 v i e n t , en d d v e l o p p a n t On(g1, Y2) :

0o +oo 1

Or g2) = ~ E ( - - 1)n+P ~.. (2 ~ ) 2 n o-lptOo v X i1~o 1)~--3C

rn(~.) R m p ( T ) [yn Jp(2rt : AYl) O -(2 7z(r)2y~/2] X

[y• Jp(2 T: A y e) 0 -(2 :~z)2y~12] "

La fonc t i on d ' a u t o c o r r d l a t i o n cherchde s '~cr i t d o n c :

~--~ +~o 1 (A-5) . R~(v) = E E ( - - 1) n+v ~.~ (2r:(~) 2n x

tl=o I)=--~a

0 - i PC~176 rn(T) R m v ( V ) [ < -~ [f(u)] , gnp(Y) > ] 2

gnp(g) = gn j r ( 2 7r.Ag) 0 -(2:vz)~ Y~'I2 .

211anuscrit recu le 29 j u i n 1973,

B I B L I O G R A P H I E

[1] DUPRAZ (J.). Thdorie de la communica t ion : signaux. bruits et modula t ion . Eyrolles, Paris (1973), 296 p.

[2] PETIAU (G.). La thdorie des fonctions de Besscl, C.N.R.S. Fr (1955), t~77 p.

[3] DAVENPORT (W.), ROOT (~V.). An in t roduct ion to the theory of r andom signals and noise. ( Int roduct ion h la thdorie des s ignaux aldatoires et du bruit) . Mac- Graw-Hill, New York (1958), 393 p.

[6,] MIDDLETON (D.). I n t roduc t ion to stat ist ical commu- nicat ion theory ( In t roduc t ion "h la th6orie de la com- nmnica t ion stat is t ique) . MacGraw-Hill, New-York (1960), I 140 p.

[5] DAVENPORT (W. B. Jr). Signal-to-noise ratios in band- pass limiters (Rapports s ignal -bru i t dans les l imiteurs passe-bande). J. Appl. Phys., U . S . A . (juin 1953), 24 , n ~ 6, pp. 720-727.

[6] GUICaARDET (A.). Calcul intdgral, collection U. Armand Colin, Fr. (1969), 2't9 p.

A. T/~L~=C., 28, n o8 11-12 ,1973 6 /6