F o n c t i o n s d e M o r s e s u r l e s e s p a c e s e x o t i q u e s .

G. V I ~ c ~ c u (Buc~rest)

S ~ m m a r y . - I t is shown that on an exotique space V~_I o] Kervaire type, we can construct a Morse ]unction having only ]our critical points , the m a x i m u m , the m i n i m u m and two po in t s o] index n - - 1 and n.

E t a n t donn4e la sphere $2~+~ duns l 'espace euclidien E~.+~[Xo, ..., x , Yo, ..., Y.] par t '~quation

(1) Zo zo ÷ ... ~- z . ~ = 2 [zh = xh ÷ i y ~ , h ---= 0, ..., n ] ,

on pe~tt considerer les va~,i4tSs V2~_ ~ definies s~tr S~+~ par l '6qnation

(2) Zo ~ + z, ~ + ... + z ~ = o

off k est un hombre entier plus grand que 1. Si k = 2 les vari6~6s V2~_ ~ v~ri6t6s cl~adr~iques

x~ + . . . + x ~ = 1

(2') Xoy o ÷ ... ÷ x y~ = 0

y~o + . . . + ~ = ~ ,

sont des

Si k est un hombre impair, les vari6t6s V2"_ 1 sont des sph6res s tandard on exoti- ques du type Kervai re [1]. On peu t doric dire qtte les espaces (1), (2) pour k un hombre ent ier plus grand qlte 1 sont des espaces exotiques, off qtlasi-citladratiques.

~qous allons mont re r iei clue l 'on peltt constrltire des fonetions de Morse sur les V2,_ ~ exotic~ttes, qui ont seulement qaatres points critiques.

Pour eela obser~olls que no~s a'cons

~ 2 ~ = P + i Q ( h = l , . . . , n ) z h = x ~ - Yh ~- 2ix~,Yh, Zo

off P ; Q sont des polynomes homog~nes da d6gr6 k

k k (k - -1 ) ~-2 2 P = xo xo Yo + .. .

2

Q = kx~-lyo + ....

(*) Entrata in Redazione il 20 ottobre 1972.

3 - Annall dl Matematica

34 G. V~A_~O~NV: /7onctions de Morse sur les espaces exotiques

et ces poly~omes satisfont 4videmment aux conditions de Cauchy

(2") P~o = Q~o, ~ o = -Q~o"

Cela dit, on pea t ~crire les ~rois 5quations r4elles de V2._ 1 sous la forme

R1 = Xo ~ + yo ~ ÷ P ÷ 2x~--2 : 0

2 2 (3) R2 : Xo Jr Yo-- P ÷ 2y~ - - 2 : 0

R 3 : Q + 2x1~y h : 0 .

Consid~rons alors sur V~._ 1 comme fonction de Morse

(4) /7 : 4xl + 4my2 ÷ 2axo,

off m est ane constante diff~rente de z~ro e t a une constante qnelquonque et cher-

chons ~ voir quelles sont les points critiques de ee~te foncfion. Pour cela on pent

ntiliser h ~onction auxiliaire

(4') ~ : F - - AR1-- /tRy - - 2@R3

off 2, @, # s o n t des parametres . I~ faut donc pour un point critique d e / 7 sur V~_I

clue routes les d4riv~es de cette fonction par rappor t aux coordonn~es de E2~+2 soient

nulles. En d~rivant par rappor t aax coordonn~es xo, Yo, nous obtenons les deux 4qua-

tions

~(2x o ÷ P o ) -t-/t(2x o - P o ) ÷ 2@Q~o = 2a , (5)

~(2y o ÷ P~o ) + #(2y o - P~o ) @ 2@Q~o = 0.

s i nous d~rivons par rappor t a~lx xl , y~ e t x~, Y2 nous obtenons

~x~ ÷ @Yl : 1 , @xl ÷/~Yl : 0 , (5')

~x.~ ÷ @Y2 = 0 , @x2 ÷ #Y2 ~ m .

Quant aux d4riv~es par rappor t aux autres variables, elles noas donnent

(6) ).x~ ÷ Qyj = o , ~xj ÷ t~Y~ = o (j = 3, . . . , n ) .

Les 6quations (5') nons disent que r o n 4oit avoir

(6') ~lu - - @~ ¢ 0 .

G. V]~x~cEx~v: Fonctions de Morse sur ~es espaees exotiques 35

En effet les ~c~uations en xl, y~ de (5') peuven t n '~tre pas ind~pendan~es seule- mea t , si ~ =#- - - -0 , ce qui est en contradict ion avec la derni~re ~qu~ ion (5'). De m~me, les ~c~uations (5') nous disent c~ue l 'on a

(6") x~y2 - - x~y~ ~: 0

et l 'on pea t r~soudre ces ~c~uations par rappor t uux ~ariables x~, 2, ~, tt p~r le~

formales

(7)

x2 =- myl , 2 - - Y~ xly2 - - my~ '

myl mx~

~ - - x m s ' # - - lYe-- Yl x~y2--my~

En t enan t compte de la (6'), les ~qaations (6) nous donnen t

(8) x~ = y~ = 0 (j = 3, ..., n)

donc les ~q~ations (3) s '6crivent en t enan t compte de la premiere (7)

Xo ÷ Y~ ÷ P ÷ ÷

(9) x~ ~- y2 o - P ~- 2[y~ ~- y22] = 2

Q Jr 2yl[xl ~- my~] = 0

De mbme, les ~ciuations (5) s '~crivent en t enan t compte des (7)

y212Xo + P,.°] ~- mx~[2xo-- P ~ , ] - 2my~Q~° = 2a[x~y~- my~]

(10) Y212yo ~- P~o] ~- m x ~ [ 2 y o - - P n ] - 2my~Q~° = 0

x l y 2 - - m y ~ ~ 0 .

I1 en r6sulte le th6oreme:

Les points critiques de ta fonction (4) sont les solutions en xo, Yo, x~, y~, Y2 des dquations (9) et (10), les xj, y¢ (j > 2) dtant nulles, et x~ est donnde par la prdmi~re (7).

Or snpposon~ que r o n a

(10') xo = Yo = O ,

ee ciui pea t a r r iver seulement si la constante a est nulle. En ce cas les (10) sont v~rifiSes e t les (9) s '4crivent

2 ~ 2 ~ (x 1 + my~)y 1 0 ( 1 1 ) x 1 ~ - m Yl = 1 , Yl ~- Y2 = 1 , ----

36 G. V~A~CE~U: Fonctions de Morse sur les espaces exotiques

La derni~re nons dit que on bien nons avons Yl ~ 0, doric anssi x~ = 0 et alors

les premieres nous disent que nous avons comme solutions

(12) xl = ~, y~ = ~ (~ = ± 1 , ~ = =k 1)

et routes les autres variables n~tles.

Si yl ¢ 0 les (11) s 'eerivent

x~ = - m y ~ , m2[y~ + y~] = 1 , y,~ + y~ = 1

et noes avons nne impGssibilit4 si m2ee 1. ~Nous avons done 16 th4or~me:

Za fonction

(13) ~ = 4(x~ + my~) (m ~ ¢ 1, O)

poss~de seulement les quatre points critiques (12), si les (10') sont v~rifides.

Dana le cas off k ---- 2, les (10') sont to~jours v6rifi6es, done il en r6sulte que sur

lea vari6t6s qnadrat ique (2') lu fonetion (13) a seulement les qnatres points criti-

ques (12).

Supposons que l 'on a m 2 = 1, par exemple m = 1. En ee eas il en r6sul~e que

la fonctien

(14) F = 4(x~ + y. )

poss~de, si lea (10') sont v6rifiSes, une infinit5 des points critiques dont routes lea

coordonn6es sont nulles sanf x~, x~, Yl, Y2 et nous avons

(14') xl = - y ~ , x~ - - y~ , y~ + y~ = 1

et par cons4qnant la fonetions (14) est une fonction Morse-Bott sur la vari~t4 quasi-

quadrat iqae V~_~. Dans le eas des vuri4t~s qnadratiques~ les (14') nous donnent

tons les points critiques de la ~onction (14).

Snpposons que l 'on a k > 2, done la vari~t~ n 'es t pas quadratique, et cherchons

s'il y a des solntions pour lesquelles nne au moths des variables xo, Yo n 'es t pas

nalle. En c e e a s en mnltipliant la premiere (10) par Y, et la seconde (10) p~r --xo et en somm~nt on t rouve l '~quation

[y~-- mx~]Q ? 2my~ P = 0

et cette 6qnation s'6erit, en t enan t eompte des (9)

y~[x~y~-- my~) = 0

G. V~ANCE~V: ~onct ions de Morse sur les espaces exotiques 37

Donc la derni6re (10) nous di t qtte l 'on a y~ = 0 et les aa t res 6quations (9) et (10)

s '6erivent

xo + Y o ~ P ÷ 2x~ = 2 , Q = o , x ~ y ~ o ,

2 * 1 1 , Y o - - P ÷ , e =

y~[2(Xo 2 ÷ y2o) + kP] + mx~[2(x~ + y~) - - kP] = 0 ,

lu derni~re s 'ob~enant en mult ipl iant respect ivement par Xo et Yo et en sommant. En el iminant x~, y.~ il en r6salte l'~ciuation en ~2= xo2 ÷ y~

(15') ( 2 - ~ + s~)(2@ 2 + sk@~) ~ - m ~ [ 2 - - ~ 2 s@~](2@~_ ske~)~ = O.

Le premier membre de cet te 4qau$ion eat positif si e est 6gut £ 1 et m~< 1, donc il n ' y a, laSS des solutions. Si s eat 4gal ~ - - t e~ m ' < 1 il y a uae seule solution

2 2 __ @~ < i) (~5") x o + Y o - , [ o <

car m ~ es~ une fonetion qui deeroit de 2 £ z6ro duns l ' intervalle

donc xo, Yo sont solutions de (15") et de Q = 0. Nous avons le th~orbme:

L a fonction (13) a pour k > 2 p lus que quatres points critiques et ces points sont

tous isolds.

Cherchons muin teaun t ~ voir ciuelles sont les indices des points critiques (12) de 1~ fonct ion (4). Duns le voisinuge d 'un tel point on pe~t considerer comme qu~n|it6s du premier ordre les vuri~bles

xo, yo, x~, . . . , x ~ , y ~ , y ~ , . . . , y ~

et les premi6res 6q~mtions (3) nous donnent , en t enan t compte seulemen~ des termes jusqu 'au second ordre et en supposant k > 2

(16)

x l = ~ 1 - - x ° + Y ~ x ~ + . . . + x ( ~ = ~ : 1 ) 4 2

(9 ± 1) Y ~ = ~ [ ± - - ~ 2 ]

e t ta derni~re 4quution (3) nous donne

(16') Yl ~ - - e~x~ ,

abstract ion faite des termes du second ordre.

38 G. VI~A~CEA~U: 2'onctions do Morse sur les espaeos exotiques

D o n c on p e n t cons iderer xl, y~ c o m m e fonctiolls 4e xo, Yo, x~, x~ ( h > 3 ) et nous

averts pour /v

(17) F = 4e + 4m~ - - (o + m~7)(x ~ + y2 o) - - 2(e + my) x~2 - - ~exjO ~ _ 2m~yj~.

Supposons que 0 < m < l . E u c e c a s l e s p o i n t s e = - - l , ~ = - - 1 et e----l~ ~ = 1

sen t le m i n i m u m et le m ~ x i m l l m et nous uvons, r e spec t ive lnen t

L~ : - - 4(1 + m) + [1 + m](x2o + Y~o + 2x~2) + 2x~j + 2my~ (18)

F = 4(1 + m) - [1 + ml(xo ~ + U~ + 2x~2) - 2 x y - 2mu~.

Duns le po in t R (e = - - 1 , ~ / = 1) nous uvons

(19) F = - - 4(1 - - m) + (1 - - m)[x~ + y~ + 2x~] + 2x~-- 2my~

et le po in t es t l ' indice n - - 2 , t~ndis que duns le po in t S ( e = 17 ~ = - - 1 ) , nous ~vons

(20) F = 4(1 - - m) - - (1 - - m)[x~ + y~ + x~] - - 2x~ + 2my~

et il es t d ' ind ice n + 1.

D o n e nous uvons le th6or6me:

La ]onetion

(21) .F = 4xl + 4my~ (0 < m < 1) ,

est une ]onotion ayant sur l'ospace V2~_ ~ avec k > 2 quatre points critiques non ddgd- ndrds, le minimum, le maximum et les deux points R~ S d'ind.ices n - 2 et n + 1, la ]onction ayant comme min imum -- 4(1 + m), comme maximum 4(1 + m) et ayant duns los points R et S respectivement los valeurs 4(-- 1 + m) et 4(1 - - m).

Si k = 2 lu fonc~ion (21) ~ sen lemen t ]es poin ts cr i t iques (12) et les fortuities (16)

s '6cr ivent , en t e n a n t compte des (16')

x ~ = e 1 Xo+X2+X2 , Y i = ~ 1 y~+x2+Yh2 , ( h > 2 )

et nous ~vons

F = 4e + 4 v m - - 2e[x ~ + x~]- -2(e + mv)x2~--2mv(y ~ + y~)

ce qui nous dit clue les poin ts R et S sen t d ' indices n - - 1 et n.

G. Vnx~cE~zcv: Fonctions de Morse sur les espaces exotiques 39

Le fair que la fonct ion (4) pour a = 0 et m 2 # 1 poss6de pour k = 2 seulement qua t re points cri t iques non d6g6n6r6s peu t s ' expr imer en disant que ce t te fonction est une bonne fonction de ~ o r s e pour les espaces q~adra t iques (2'). E n effet, il est peu probable que l 'on puisse avoir en ce cas des fonc~ions ayan t seulement trois points cri t iques e t on ne pen t pus avoir des fonetions ayan t denx points critiques, car d 'apr6s le th6or6me de I~EEB [3], il en r6snlterai t que (2') est une sph6re, ce qu 'on

suit quail n ' e s t pus le cas m6me pour k p~ir plus g rand q~te 2. Le fair que pour k impa i re la fonct ion (4) a plus que qua t re points critiques, et l 'on suit qu 'en cas ce il doit en exis ter des fonctions a y a n t seulement deux points critiques, on p e a t dire que (4) PoUr a = 0 n ' e s t pus une bonne fonet ion de 1Vforse au moins pour k impaire .

l~ous allons consid6rer des fonctions (4) avee a ~ 0 e t m = 1. Done en ce cas

les condit ions (10') ne peuven t pas plus 6tre v6rifi6es et pa r cons6quent nous avons

toujours

• ] + y] # 0 .

En mul t ip l ian t la premi6re (10) avec yo et la seconde avec ~ x 0 et en somman t , on

obt ien t en t e n a n t compte de (2")

(22) k(y~-- x~)Q + 2ky~P = 2ayo[x~y~ ~ y~] .

D ' a u t r e p a r t les (9) nous donnent

(22') P = y22 - - x ~ , Q = --2y~(x~ + y~)

et l '6quat ion (22) devient

(22") Yo = 0 .

D ' a u t r e pa r t la derni6re (9) nons donne y~ = 0, car on ne pea t pus avoir y~=--x~, donc P = 0, car Xo es t diff6rent de z6ro.

Nons avons ainsi le th6or6me:

Les points critiques de la fonction

(23) ] = 4(x~ Jr Y2) + 2aXo

ont les coordonndes Yo, x2, Yl, xh~ ya (h > 2) nulles, tandisque chacune des coordon- rides Xo~ x~, y~ est diffdrente de zdro.

On p e a t donc 6crire les 6quations (9) et (10) sons la forme

(24)

Xo ~ + Xo ~ + 2x~ = 2 , Xo # 0

2 xo~ + 2y~ =- 2 , x~y~ :/: 0 X o

XoY212 @ kx~ ~] @ XoXd2 - - kx~o -~] = 2 a x l y ~

et il s ' ag i t de t rouver les solutions de ces 6quations.

40 G. V~.~NCEA~U: Fonctions de Morse sur les espaces exotiques

En 61iminant x~, y~ on t rouve pour xo l '6quation

~-~ ~ ~ Xo ~] ~ , .~-~ .~ ~ (25) [x~[2+kXo ] [ 2 - x o + +Zo[2- -k~o ] [ 2 - X o - X o ] -

- 2 ~ [ ( 2 - X o ~ ) ~ - x'-o~]] ~ - ~ ~ ~ ~ ~ - , 4 X o [ ( 2 - - x o ) - x o ] [ k x o - - 4 ] = o .

Nous avons donc une 6quation en x~ du degr6 3 k - - 2 . Comme les premi6res (24) nous disent que Xo 2 dolt se t rouver dans l ' interval le

(25') o < ~ < 1

pour obtenir des valeurs r6elles pour x~, x2 il ran t chercher les solu¢ions de (25) dans l ' interval le (25'). Comme dans les extr6mit6s de eet intervalle le p remie r m e m b r e de (25) est positff, il en r6sulte que l 'on a au moins dcux solutions de l '6quat ion (25)

2 ~2 2 Xo= , Xo~_~2, O < ~ < ~ ' < l

e~ par cons6quent au moins quat re solutions pour xo, qui conduisent au moins 8 solutions pour le syst~me (24). Le hombre se r6duit £ moiti6 s i x o2 = ~2 est nne racine donble de (25), ce qui ar r ive si ~ est solution de l '6qaat ion

(25") k:x~o k-4 - - 4 = O

done si ~ est solution de l '6quat ion

(26) k ~ ~ - ~ - 2 = O,

4quation qui est une identi t4 pour k = 2. Nous allos supposer done supposant a positif, la derni6re 4quation nous dit que l 'on dolt a,¢oir

(27) a # , # = 1 - ~ +

Nous avons done pour xo positif et k impair les deux points cri t iques

et pour xo n6g~tif les deux points cri t iques

(28') x o = - - o : , x l = e 7 , y 2 = - - f i , e = ::t=1.

Pour k pair nous avons les quatres points cri t iques

(29) X o = ~ , x l = f l , Y 2 = U 7 ; X o = - - ~ , x l = - - f l ,

k > 2 . En

U=-F1

G. VRASrC]~,'U: Fonetions de Morse sur les espaces exotgques 41

Nons vonlons main tenan t mont re r ciu'il n ' y a pus d 'autres points critiques. Pour eel~ observons qu 'en snpposant que xo = 4-~ grant une racine de (25) off c tes t la solution rgelle positive de (26), il faut q~e le p remier membre de (25) soit divisible par (xo~--~) ~, done il rant que nous ayaons

( 2 9 ' ) 2 2 - 2 2 k - 4 . 4kx2o~ a ~ [ ( 2 ~ 2 ~k Xo[2--xo][~l + , x o j + - -xo ) - - x ° ] = (xX--~)R(x~)

off R(x~) est un polynome en xo ~ de degr6 k - - 1 . Or ce polynome ne pen t pus s'an- n~ler duns l ' intervalle (25) car en 6crivant le premier membre de (29') sons h forme

la fonction entre grandes parenthgses est une fonction croissante duns l ' inter- valle (25'), done elle ne pen t avoir que la racine a s, done R(x~) ne s 'annule pus et il est toujours positif.

De mgme nmls pouvons ~erire

(30) 2 2k--4 k x o - - l = ( x ~ - - ~ ' ) S

off S est anssi un polynome en xo* toujours positif. Done cn divisant l '4quation (25) par (Xo2--~) ~ on obt ient

gquation qn'on peut encore gerire

(30') 2 k + 4 2 2 2 x o S -[- [R @ X o ( 2 - - x o ) S ] [ R - - x ~ [ 2 - - x ~ ] S ] = O.

On voit que le premier t e rme de eet te 5quation est positif et il en est de mgme de la premi6re parenth6se duns l ' intervalle (25').

I1 reste ~ mont re r qu'il en est de mgme pour la quanti t6

(31) ~=R-x~[2-xX]S.

Pour eela multiplions avee x~--~ 2. Nous avons en ve r tu des (29') et (30)

=[ 4k)xx ] 'A('(x~-- ~ ) [ 2 - - x o ~ ~-(3 4- a2)x~--2a ~

et la quantit~ entre grandes parenthgses crolt duns l ' intervalle (25'), done ~(~ est positif duns eet intervalle, saul pour x~= ~2 quand il peu t gtre nul.

42 G. V~A~CEA~U: ~onetions de Morse sur les espaees exotiques

I1 en r6sulte q~ue le premier membre de (30') est tonjours posit if et nous avons

le th6or~me:

La ]onetion

2o~ ko~ k-~ 2 fi 1 :¢ -~ + (33) ] = 4(x~ + Y2) +--~ xo, = , = - -

est pour les varidtds exotiques V2._ ~ une ]onction de Morse ayant seulement les quatre points critiques (28) et (28') o~ (28") suivant que le hombre k est impair oit pair.

Cherchons main tenan t £ voir quelles sont les indices de ces points critiques. Pour

cel~ supposons que pour les deux points (28) on pose

(33 ' ) Xo = ~ + x , x l = fi + u , Y2 = ~Y + v

en consid6rant x, u, v, Yo, x2, Yl, Xh, Yh ( h > 2 ) comme des ciuantit6s du premier ordre. En ce cas les (3) s'6eri~cent, en t enan t compte seulement des te rmes jusqu 'au second ordre et en t enan t eompte que les te rmes d 'ordre z6ro sont nuls et que

satisfait £ l '6quation (26)

2 2 4~x + 4flu--(k--2)y~o -4- kx 2 + 2[u 2 + x~ + x~] = 0

4~yv + ky2o - ( k - - 2 ) x ~ + 2@ 2 + y2 + y~) = 0

a y o + f i y l + ~ y x 2 + u y ~ + v x 2 + x h y ~ = O (h = 3, ..., n) .

En uti l isant la derni~re de ces 6ciuations, les premi6res nous donnent u, v par les

formules, en uti l isant anssi (27)

a,]x2 ($Vl + ~Vx~) 2 4u = - - 2 a x - - k + -5]-fi + (k - -2 ) ~

4v _ k - 2 k , (flYl ÷ ~yx2)2 ~ _

2x~ 2x~

Comme la fonction (23) s'6crit en t enan t compte des (28")

] = 4(fi + MY) + 2a~ + 4(u + v) + 2ax

il en r6sulte que nous avons

[( a~,a (36) ]---- 4(fi + fly) + 2aa~-- k + - ~ ) t f - - - -

ofl on a pos6

~ X 2

A = - ~ + Y +

2 2 2~

G. V ~ C E ~ N V : l~onetions de Morse sur ~es espaees exotiques 43

Le diserimin~nt de ce t te forme quadra t ique s'~crit

2

e t pour U = I nous aeons

~D = ~(~ + '~)

donc ce discr iminant est posi t •

Comme nous aeons y > f l il en r~s~lte que pour ~ = 1 le coefficient de x ~ est n~gatif, donc le point cr i t ique (28) avec ~ ~ 1 est un max imum de /~.

Si ~ ----~ 1 le coefficient de x ~ est n6gatif muis A est d~indice 1 donc le point cri- t ique (28) pour ~ = - 1 est non d~gdn~re et est d ' indice n.

Consid~rons muin tenunt les points cri t iques (28'). En posant

xo ~ - - ~ -~ X r ~ Xl ~- ~ ' -~ ~t r -~- , Y2 - - f l + v ~

on peu t considdrer au tonr d 'un te l point comme qu~nt i t& du premier ordre x ' , ¢ , v',

Yo, x~, y~, xh, y~ (h :> 2) e t les ~quations (3) s '&rivent , en t enan t eompte seulement des te rmes jusqa~uu second ordre

(37) - - 4~x ' - - 4fly' + kx ' ~ - (k- -2)yo ~ + 2v'~ + 2y~ + 2y~ = O,

aye + eyyl + flx~ + u' u~ + v' x~ + xhy~ = 0 ,

ee qui nous donne

(38)

k - - 2 k ~ 2x~ 2x:

k x '2 k - - 2 a ~ 2 + __x, ~ 2yi 2y~

I1 en r~sulte que ta fonct ion ] s '&r i t

[~ aS k--2] 2e 2y~ ]=~(er-fl)-~a~ + x" k+~+e--7-- + A'----x~ +-~-

off l 'on a pos~

A ' = 2 k ke (flx2 + syyl)2 + y d~ 2___~

44 G. V ~ C E A ~ V : 2~onctions de Morse si~r les espaces exotiques

Pour e = - - 1 uoas avons un m i n i m u m ear A ' est d6finie positive. Pour ~ = 1,

A ' est d ' indice 1 et est le point cri t ique est d ' indice n - - 1 . Supposons m a i n t e n a n t k pair , donc que les points cri t iques sont donn6s par les

Iormules (29). Les p remiers deux points cri t iques coincident avec les points cri-

t iques (28), donc nons avons un m a x i m u m pour n = 1 et un point d ' indice n pour ~ = - - 1 . Pour avoir les indices des deux au t res points cri t iques (29) posons

En in t roduisant duns les formules (3) et en eonsid6rant ~:, ¢, 2, Y0, x~, y~, x~, ya comme des quanti t6s du p remie r ordre, nous obtenons en t e n a n t compte s e ~ e m e n t

des t ermes jusqu 'au second ordre

4s~/), q- (2 - - k) ~2 q_ ky~ ÷ 2y2~ q- 2y~ = 0

--~Yo--fiY~ ÷ syx~ q- xhyh = 0 , (h = 3, ..., n)

de fapon que nous avons

2~ ~ 2x~ 2x~ 4~ k~ 2 ( 2 - - k)y~ q- q - _

4A-- ( 2 - - k ) e eky~ 2sy~ 2ey~

Y Y Y Y

off on doit poser an lieu de Y0 la quant i t6 (flY1--eyx~)/~. t ion ] s '6crit

(39) ] = 4 ( ~ y - - f l ) - - 4 ~- q- ~' q- -fly q- ~ + Ji(~ q- fl Y

off nous avons pos6

9. 2 2~y~ ~ f i ] [ k - - 2 q - ~ - ~ ~ _ ,,x~ ek (fiy~-- Eyx2) ~ O~ 2

I1 en resulte que la fonc-

I1 en r6sulte que 18 point s = - - 1 est le m i n i m u m de f. Pour s = 1 18 coefficient

de ~2 est pOsitif. Quan t ~ ~ elle est d ' indice 1 donc le point (29) avec s = 1 est pour k pa i r plus g rand que denx, aussi un point d ' indice n - - 1 .

Nous allons observer que duns les points d' indices n - - 1 et n nous avons respec- t i v e m e n t comme valeurs de ]

G . VICANCEA:NLT: Fonetions de Morse sur les espaces exotiques 45

e t notts avons ] 1 < 0 et ]5 > 0. E n effet dire que 1~< 0, r ev i en t ~ dire que nous a v o n s

k

E n e levan t au earr6, il en r6sulte que l 'on doi t avoi r

a2< 4 k ( k - - 2 )

k * - - 8

E n t e n a n t c o m p t e de (26) il en r6snlte que l 'on dol t avo i r

4 k-8 k~k~-2(k--2)~-~> 1 , (ks - - 8)~-~

ce qui ~ e v i d e m m e n t l ieu car darts le p r e m i e r m e m b r e nous avons le r a p p o r t d ' u n

p o l y n o m e de d4gr6 2 k - - 2 darts k et d~un p o l y n o m e du dSgr6 2 k - - 4 . Supposons m a i n t e n a n t k = 2. E n ce cas l ' 6qua t ion (26) est une ident i t6 e t les

po in t s cr i t iques de f sa t i s fon t a n x 6quat ions

2 ~ 1 y2 = 1 x l y~ ~ 0 2 X o --- ~ X 1 ~ Xo -~- X 1 ~ - ~ ~ •

E n supposan t a ~ 2 tg~v, doric en p r e n a n t c o m m e fonc t ion

(40) ] = 4[x~ ÷ y~ + tg~vxo)

off ~ est une eons tan te , les coordonn6es des poin ts cr i t iques sont rou tes nnlles saul

(40') x 0 = e s i n q ~ , x l = e c o s q ~ , Y 2 = ~ ( e = ± 1 , f l = ~=1) .

E n s u p p o s a n t que nous avons 0 < ~v < zt/2 done cos q > 0, a > 0 et en posan t

x~ = e cos~v + u , Y2 = ~ ÷ Y xo = s s i n ~ ÷ x ,

les 6quat ions (2') nolts d o n n e n t

(4z)

~x ~ ~x~ ~x~ 2n = - - 2 x t g q: - -

c o s ? cos~o cos

(e sin~vyo + ~?x~)~_~y~ (h = 3, ..., n ) . 2y = --~1 eos~ ~

E n i n t rodu i san t darts (40) on t r ouve que p o u r e = ~ = - 1 nous avons un mini-

m u m , p o u r s = - - 1 , ~ = 1 un po in t d ' ind ice ~ - - 1 , p o u r e = 1, r/=--1 n n po in t

46 G. V:~_~C~A~V: Fonctions de Morse sur tes espaees exotiques

d'indice n e t pour e = ~ = l un maximum. I1 en r4slflte que pour k = 2 il y a une infinit4s de fonctions (40) ay~nt senlement qnatres points critiques d'indices 0, n - - l , n, 2 n ~ 1 .

Igous avons done le th~or6me:

Si k est impair les quatre poi~ts critiques (28), (28 ') de la ]onction (23) sont le

max i mum et le m i n i mum pour ~7 = 1 et e = - 1 et des points critiques non ddgdngrds

d'indices respectivement n ~ l e t n pour e = 1 et ~7=--1, la ]onction ayant duns ces

points les valeurs

4~* 4o "~ , + 7 - .

Le m6me th6or6me a lieu si k est pair et plus grand que 2 pour les points cri- tiques (29). Si k = 2, c'est sont le fonctions (40) qui ont quatres points critiques ayant respectivement les indices 0, n - -1 , n, 2n--1. On pent observer aussi que pour k impair une transformation de 1~ forme

t l f T ! !

(42) x o ~ - - x o , y o - ~ - - y o , x l - - - - - -y2 , x ~ = y ~ , x~-~y~, y ~ = - - x ~

l~isse la. vari~t4 V~_~ inv~riante et change les points critiques d'indice n - - 1 e t n entre eux et de m~me le maximum en minimum, car la fonetion change de signe.

Duns le cas pair c'est la transformation

(42 x: = - x , , y',

qui change entre eux les points critiques. On peut terminer, en observant, qu'en tenant compte du th6orgme de Reeb,

qui dit que sur une sphere, on peut construire une fonction de Morse ayant settle- ment deux points critiques, il fallait trouver une telle fonction duns le cas oh k est impair, mais je n'ai ]}as reussi a faire cela.

BIBLIOGRAPHIE

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