Est-ce que toutes les fonctions sont des applications linéaires ? la réponse est

non :

*La fonction x --> x² de (R dans R) n'est pas une application linéaire car

f(x)=x² et f(kx) = k²x² et on n'a pas f(kx)=k f(x) qui est une propriété des

applications linéaire.

Je dirais qu'une application linéaire est une application (ou fonction) mais une

application n'est pas forcément une application linéaire. Une application

linéaire est une application entre deux espaces vectoriels qui vérifie les

propriétés (conserve la structure d'un ensemble) suivantes :

Soit deux espaces vectoriel E et F sur un corps K

u est une application linéaire ssi

Par contre on peut préciser quelques points :

*les applications linéaires sont bien évidemment une classe particulières des

applications.

On se pose alors la question : toutes les fonctions sont-elles des applications ?

La réponse est non :

- une application associe à chaque élément de A une unique image

de B notée y=f(x).

- une fonction associe à chaque élément de A au plus une image de

B, que l'on note y=f(x) si elle existe.

La différence est extrêmement subtile : en fait une application de A dans B

donne toujours une image, alors qu'une fonction ne donne une image que sur

un sous-ensemble de A appelé le domaine de définition de f, noté .

La réciproque de la question posée est vraie : toutes les applications sont des

fonctions, avec .

Pour une fonction donnée f : A -> B, il est plus pratique de trouver Df et de

travailler avec une application.

1. définition,

Soit V,W 2espaces vectoriels réels et soit L:V->W une fonction.

La fonction L est une application linéaire si pour tout , ЄV et pour tout α Є

on a:

1. L(α. )=α.L( )

2.L( + )=L( )+L( )

Donc que signifie concrètement Application linéaire?

Comment différencier un fonction et un application linéaire?

Une fonction a un domaine de définition a priori distinct de l'ensemble source

alors qu'une application est définie sur son ensemble source. Par exemple, la

fonction f qui à x associe f(x)=1 x est une fonction de R dans lui-même

définie sur R ∗ . La restriction g de f à R ∗ est une application de R ∗ sur

lui-même. Si je prolonge la fonction f en 0 par h(0)=0 , et h(x)=1 x pour

x≠0 , j'obtiens une application de R sur lui-même.

C'est une question de termes ; entre deux ensembles quelconques, on parle

plus volontiers d'application f:E⟶F alors qu'on réserve le mot fonction aux

applications dont l'ensemble d'arrivée est R (fonction numérique pour les

puristes) voire R n (fonctions vectorielles à l'ancienne) voire C ou C n .

* une correspondance de E dans F est appelée fonction lorsque tout élément

de E a au−plus une image dans F

* une correspondance de E dans F est appelée application lorsque tout

élément de E a exactement une image dans F

par exemple x |⟶1 x

est une fonction de R dans R

par contre c'est une application de R* dans R

Soient X et Y deux ensembles. On appelle {\it fonction définie sur X et à

valeurs dans Y } toute loi qui, à tout élément de X , fait correspondre un

élément bien déterminé de Y ; l'ensemble X s'appelle {\it ensemble de

définition } de la fonction. Soit f une telle fonction. Si x∈ X et si y est

l'élément de Y correspondant à x , on dit que y est {\it l'image de x par f }

et l'on écrit y=f(x) . On dit aussi que f est une {\it application de X dans Y }.

L'application f se note aussi x↦f(x) .

J'ai volontairement recopié entièrement la définition de ce monsieur pour bien

montré que à aucun moment il ne fait de diffèrence entre les termes

"fonction" et "application".

Soient X et Y deux ensembles. On appelle {\it fonction définie sur X et à

valeurs dans Y } toute loi qui, à tout élément de X , fait correspondre un

élément bien déterminé de Y ; l'ensemble X s'appelle {\it ensemble de

définition } de la fonction. Soit f une telle fonction. Si x∈X et si y est

l'élément de Y correspondant à x, on dit que y est {\it l'image de x par f }

et l'on écrit y=f(x) . On dit aussi que f est une {\it application de X dans Y }.

L'application f se note aussi x↦f(x).

J'ai volontairement recopié entièrement la définition de ce monsieur pour bien

montré que à aucun moment il ne fait de différence entre les termes

"fonction" et "application".

Fonctions linéaires. Proportionnalité.

Fonctions affines.

1. Fonctions linéaires. Proportionnalité.

1.1. Généralités.

1.1.1 Définition.

Définition : Etant donné un nombre a, le procédé qui a tout nombre x fait

correspondre le nombre ax s’appelle une fonction linéaire.

Si f désigne ce procédé, on note f(x) le nombre ax. f(x) est l’image de x par f.

Remarques : - On note donc f(x) = ax.

- On note aussi f : x ax.

1.1.2. Lien avec la proportionnalité

Propriété:Toute situation de proportionnalité peut se traduire

mathématiquement par une fonction linéaire.

1.1.3. Représentation graphique d’une fonction linéaire.

Définition:On se place dans le plan muni d'un repère (0,I,J). On appelle

représentation graphique d'une fonction linéaire, l'ensemble des points du

plan de coordonnées (x, f(x)).

Propriété : La représentation graphique d’une fonction linéaire f : x ax est la

droite d’équation y = ax. a s'appelle le coefficient directeur de la droite.

Remarques : - Comme f(0) = a * 0, la représentation graphique de f passe par

le point de coordonnées (0 ; 0).

- Comme f(1) = a, la représentation graphique de f passe par le point de

coordonnées (1 ; a).

1.2. Détermination d’une fonction linéaire.

On connaît un nombre et son image.

Exemple : Déterminer la fonction linéaire telle que 2 a pour image 9.

La fonction linéaire cherchée est de la forme : f(x) = ax.

Le problème revient donc à chercher a tel que f(2) = 9.

On écrit donc l'équation suivante :

2 * a = 9 d'où a = 9/2 et a =4,5.

La fonction linéaire cherchée est donc f(x) = 4,5x.

2. Fonctions affines.

2.1. Généralités.

2.1.1. Définition.

Définition : Etant donné deux nombres a et b, le procédé qui a tout nombre x

fait correspondre le nombre ax + b s’appelle une fonction affine.

Si f désigne ce procédé, on note f(x) le nombre ax + b. f(x) est l’image de x

par f.

Remarques : - On note donc f(x) = ax + b.

- On note aussi f : x ax + b.

Cas particuliers :

Si b = 0, f(x) = ax qui est la fonction linéaire.

Si a = 0, f(x) = b qui est la fonction constante.

2.1.2. Représentation graphique d’une fonction affine.

Définition: On se place dans le plan muni d'un repère (0,I,J). On appelle

représentation graphique d'une fonction affine, l'ensemble des points du plan

de coordonnées (x, f(x)).

Propriété : La représentation graphique d’une fonction affine f : x ax + b est

la droite d’équation y = ax + b. a s'appelle le coefficient directeur de la

droite; b s'appelle l'ordonnée à l'origine.

Remarques : - Comme f(0) = a * 0 + b, la représentation graphique de f passe

par le point de coordonnées (0 ; b).

2.2. Détermination d’une fonction affine.

On connaît deux nombres et leurs images.

Exemple : Déterminer la fonction affine telle que 3 a pour image 9 et –2 a

pour image –1.

La fonction affine cherchée est de la forme : f(x) = ax + b.

Le problème revient donc à chercher a et b tels que f(3) = 9 et f(-2) = -1.

On a: et .

On a également: et

On écrit donc le système suivant :

.

La fonction affine cherchée est donc f(x) = 2x + 3

Equations et inéquations.

1. Equations.

1.1 Définitions. Vocabulaire.

Définition: On appelle équation une égalité entre deux expressions

algébriques.

Exemple: , , sont des

équations. La première comporte une seule inconnue, x. La deuxième

comporte deux inconnues x et y. La troisième comporte à nouveau une seule

inconnue, x. Cette dernière est élevée au carré, on dit donc de la troisième

équation que c'est une équation du second degré. Les deux premières

équations sont du premier degré.

Vocabulaire: Dans une équation, on distingue les membres de cette équation,

c'est à dire les expressions algébriques qui sont de part et d'autres du signe

égal. Une équation comporte donc deux membres: le premier et le deuxième,

ou encore le membre de gauche et le membre de droite.

Définitions : Résoudre une équation, c’est trouver toutes les valeurs que l’on

peu donner à l’inconnue pour que l’égalité soit vraie. Ces valeurs sont les

solutions de l’équation.

Dans un premier temps, nous allons nous intéresser uniquement aux

équations à une seule inconnue du premier degré, ou à celles qui peuvent s'y

ramener.

Tout d'abord revoyons deux équations de référence vues dans les classes

antérieures.

1.2. Equations de références a + x = b ; ax = b.

1.2.1. a + x = b.

Propriété: L’équation a + x = b d’inconnue x a pour solution x = b – a.

Exemple :

La solution de l’équation 3 + x = -7 est –10.

1.2.2. ax = b.

Propriété: L’équation ax = b d’inconnue x:

Si , admet une seule solution x = b/a.

Si et si , une infinité de solution.

Si et si , aucune solution.

En pratique, en classe de Troisième, on ne s'intéressera qu'au premier cas.

Exemple :

L'équation -4x = 7 admet une seule solution: .

1.3. Méthode de résolution d'une équation à une inconnue du

premier degré.

L’objectif est de ramener l’équation à une équation de référence du § 1.2.

Pour cela on dispose des deux règles suivantes :

Règle 1 : On ne change pas les solutions d’une équation en ajoutant ou en

retranchant un même nombre aux deux membres de l’équation.

Règle 2 : On ne change pas les solutions d’une équation en multipliant ou en

divisant par un même nombre non nul les deux membres de l’équation.

Exemple : Résoudre l’équation :

L'équation admet une seule solution: .

Savoir : Mettre en équation un problème

Méthode:

Pour mettre en équation un problème, on respectera les étapes suivantes:

1. Choix de l'inconnue.

2. Mise en équation du problème.

3. Résolution de l'équation.

4. Conclusion, en vérifiant si la (ou les) solution(s) répondent au problème

posé.

1.4. Equation-produit.

1.4.1. Nullité d’un produit.

Propriétés :

1. Si l’un des facteurs d’un produit est nul, alors ce produit est nul.

2. Réciproquement, si un produit est nul, alors l’un au moins de ses facteurs

est nul.

1.4.2. Définition et méthode de résolution d’une équation-produit.

Définition: Une équation-produit est une équation à une inconnue où le

premier est un produit de facteurs du premier degré (chaque facteur est du

type ax + b, où a et b sont deux nombres) et dont le second membre est nul.

Exemple : (4x – 3) (x + 7) = 0

Remarque: Les équations-produit sont le premier type d'équation à une

inconnue de degré supérieur strictement à 1 vu dans la scolarité au collège.

En pratique, on se limite à deux ou trois facteurs, c'est à dire à des équations

du second ou troisième degré.

Méthode de résolution :

On désigne par A = 4x – 3 et B = x + 7.

Règle : A et B désignant deux expressions du premier degré de la même

variable :

Si AB = 0, alors A = 0 ou B = 0.

Sur l’exemple :

(4x – 3)(x + 7) = 0 alors 4x – 3 = 0 ou x + 7 = 0

x = ¾ ou x = -7.

Les solutions de (4x – 3)(x + 7) = 0 sont –7 et .

Savoir: Factoriser pour résoudre une équation.

Afin de se ramener à une équation produit, il est parfois nécessaire de

commencer par factoriser l'équation donnée. Pour cela, on dispose de toutes

les formules vues dans le paragraphe sur la factorisation, du chapitre

Développement. Identités remarquables. Factorisation.

2. Inéquations à une inconnue du premier degré.

2.1. Ordre et opérations.

2.1.1. Comparaison de deux nombres relatifs.

Règles : 1. Si deux nombres sont de signes différents, le plus petit est le

nombre négatif.

2. Si deux nombres sont négatifs, on les range dans l’ordre inverse de leurs

opposés.

Exemple : Ranger par ordre croissant : -4,53 ; +4,5 ; -4,503.

-4,53 < -4,503 < +4,5.

2.1.2. Ordre et addition.

Règle : 3. L’ordre est conservé lorsque l’on ajoute un même nombre aux deux

membres d’une inégalité.

Exemples : 1. Comparer : et .

Comme : , on a : a < b.

2. Si x vérifie x + 7 < 3,5, alors on a : x + 7 + (-7) < 3,5 + (-7) d'où: x < -3,5.

2.1.3. Ordre et multiplication.

Règles : 4. L’ordre est conservé quand on multiplie les deux membres d’une

inégalité par un même nombre strictement positif.

5. L’ordre est inversé quand on multiplie les deux membres d’une inégalité

par un même nombre strictement négatif.

Exemples : 1. Si x vérifie : alors on a, puisque :

2. Si x vérifie : , alors, on a, puisque :

2.2. Inéquations du premier degré à une inconnue.

2.2.1. Généralités

Définition: On appelle inéquation une inégalité entre deux expressions

algébriques.

Exemple: , , sont des inéquations. La première

comporte une seule inconnue, x. La deuxième comporte deux inconnues x et

y. La troisième comporte à nouveau une seule inconnue, x. Cette dernière est

élevée au carré, on dit donc de la troisième équation que c'est une inéquation

du second degré. Les deux premières inéquations sont du premier degré.

Vocabulaire: Dans une inéquation, on distingue les membres de cette

inéquation, c'est à dire les expressions algébriques qui sont de part et

d'autres du signe d'ordre. Une inéquation comporte donc deux membres: le

premier et le deuxième, ou encore le membre de gauche et le membre de

droite.

Définitions : Résoudre une inéquation, c’est trouver toutes les valeurs que

l’on peu donner à l’inconnue pour que l’inégalité soit vraie. Ces valeurs sont

les solutions de l’inéquation.

En classe de Troisième, nous nous intéresserons uniquement aux inéquations

à une seule inconnue du premier degré, ou à celles qui peuvent s'y ramener.

2.2.2. Méthode de résolution

Méthode de résolution : Comme pour les équations, on isole les x en utilisant

les règles rappelées en 2.1., qui ne changent pas les solutions de l'inéquation.

Exemple: Résoudre l'inéquation suivante:

Les solutions de l’inéquation 3x – 5 > 2(x – 1) sont représentées

graphiquement par :

Savoir : Mettre un problème en inéquation.

Méthode:

Pour mettre en équation un problème, on respectera les étapes suivantes:

1. Choix de l'inconnue.

2. Mise en équation du problème.

3. Résolution de l'équation.

4. Conclusion, en vérifiant si la (ou les) solution(s) répondent au problème

posé.

Le théorème de Thalès et sa réciproque.

1. Rappels de Quatrième.

1.1. Proportions.

Règle (dite du produit en croix) : Soit a, b, c et d quatre nombres non nuls.

Si alors ad = bc.

Conséquences : 1. Alors : .

2. Si , on a aussi . C’est à dire que deux quotients égaux, ont des

inverses égaux.

1.2. Parallèles et sécantes.

Théorème (partiel) de Thales : Dans un triangle ABC, si M est un point du côté

[AB], N un point du côté [AC] et si (MN) est parallèle à (BC), alors :

Remarque : Les côtés de même support ou de supports parallèles sont

appelés côtés associés.

2. Théorème de Thalès.

2.1. Configuration des deux triangles.

Dans les deux cas :

; ; .

Remarque : sont appelés côtés associés.

2.3. Enoncé du théorème.

Soit deux droites (AB) et (AC) sécantes en A. Soit deux points D et E tels que:

, distinct de A et B ;

, distinct de A et C ;

Si , alors les triangles ADE et ABC ont les longueurs de leurs côtés

associés proportionnelles, autrement dit:

2.4. Cas particulier (rappel de Quatrième)

Théorème réciproque des milieux:

Si I est le milieu de [AB] et (IJ) est parallèle à

(BC), alors J est le milieu de [AC] et on a .

3. La réciproque du théorème de Thalès.

3.1 Enoncé de la réciproque.

Soient deux droites (AB) et (AC) sécantes en A. Soit D un point de la droite

(AB) distinct de A, et E un point de la droite (AC) distinct de A.

Si les points A, B et D d’une part, et A, C et E d’autre part sont alignés dans le

même ordre.

Si , alors les droites (DE) et (BC) sont parallèles.

Remarque: L'hypothèse dans le même ordre est fondamentale.

3.2. Cas particulier (rappel de Quatrième) : théorème des milieux.

Si I est le milieu de [AB] et si J est le milieu de [AC], alors (IJ) est parallèle à

(BC).

4. Partage d’un segment.

Problème : Soit un segment [AB]. Construire à la règle et au compas le point C

de [AB] tel que : .

Programme de construction :

Tracer une demi-droite d’origine A.

Sur cette demi-droite, choisir une longueur unité, et placer le point E tel

que AE = 3 et le point F tel que AF = 7.

Tracer (BF) puis la parallèle à (BF) passant par E. Elle coupe [AB] en C.

Parallélogramme et translation.

1. Parallélogramme.

1.1. Définition.

Définition : Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés opposés

parallèles.

1.2. Propriétés.

Propriétés : Un parallélogramme a un centre de symétrie : le point

d’intersection de ses diagonales. Dans un parallélogramme, on a alors les

propriétés suivantes :

- les diagonales se coupent en leur milieu ;

- les côtés opposés ont la même longueur ;

- les angles opposés ont la même longueur ;

- deux angles consécutifs sont supplémentaires.

1.3. Reconnaître un parallélogramme.

Propriétés caractéristiques :

1. Si les côtés opposés d’un quadrilatère sont parallèles, alors ce quadrilatère

est un parallélogramme.

2. Si les diagonales d’un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors ce

quadrilatère est un parallélogramme.

3. Si les côtés opposés d’un quadrilatère non croisé ont même longueur, alors

ce quadrilatère est un parallélogramme.

2. Translation.

Découverte de la translation :

2.1. Image d’un point par une translation.

Définition : Soit deux points A et B et un point M. L’image du point M par la

translation qui transforme A en B est le point N tel que ABNM soit un

parallélogramme (éventuellement aplati si A, B et M sont alignés).

2.2. Image de figures de base.

Propriétés :

- L’image par une translation d’un segment est un segment de même

longueur et parallèle.

- L’image par une translation d’une droite est une droite parallèle

(éventuellement confondue).

- L’image par une translation d’une demi-droite est une demi-droite parallèle.

- L’image par une translation d’un cercle est un cercle de même rayon.

2.3. Propriétés de conservation.

Propriétés : Par une translation, on conserve les distances, l’alignement, les

angles et les aires.

Droites remarquables d’un triangle.

1. Médiatrices.

Cf Chapitre triangle rectangle et cercle circonscrit. Paragraphe 1.

2. Bissectrices.

2.1. Définition.

Définition : La bissectrice d’un angle est la droite qui partage cet angle en

deux angles égaux.

Remarque : La bissectrice d’un angle est axe de symétrie de cet angle.

2.2. Propriété caractéristique.

Propriété : Si un point est sur la bissectrice d’un angle, alors il est à égale

distance des côtés de l’angle.

Propriété réciproque : Si un point est à égale distance des côtés d’un angle,

alors il est sur la bissectrice de cet angle.

2.3. Bissectrices d’un triangle.

Théorème : Les trois bissectrices d’un triangle sont concourantes. Leur

point de concours, étant équidistant des trois côtés du triangle, est le centre

d’un cercle tangent aux trois côtés du triangle. Ce cercle est appelé cercle

inscrit au triangle.

Les bissectrices d'un triangle: Pour afficher la figure dynamique, cliquer sur

la figure ci-dessus.

Remarque : Pour construire le centre du cercle inscrit, il suffit de tracer

deux bissectrices de ce triangle. La troisième bissectrice permet seulement

de contrôler la précision du tracé.

3. Hauteurs.

3.1. Définition.

Définition : Une hauteur d’un triangle est une droite passant par un

sommet et perpendiculaire au côté opposé.

3.2. Théorème.

Théorème : Les trois hauteurs d’un triangle non aplati sont concourantes :

leur point de concours est appelé orthocentre du triangle.

Les hauteurs d'un triangle: Pour afficher la figure dynamique, cliquer sur la

figure.

Remarque : Pour construire l’orthocentre d’un triangle, il suffit de tracer

deux des trois hauteurs, la troisième servant de vérification.

4. Médianes.

4.1. Définition.

Définition : Une médiane d’un triangle est une droite passant par un

sommet et reliant le milieu du côté opposé.

4.2. Théorème.

Théorème : Les trois médianes d’un triangle sont concourantes : leur point

de concours est appelé centre de gravité du triangle.

Le centre de gravité d’un triangle est situé aux deux tiers de chaque médiane

en partant du sommet.

Les médianes d'un triangle: Pour afficher la figure dynamique, cliquer sur la

figure.

Remarques : Pour construire le centre de gravité d’un triangle, il suffit de

tracer deux des trois médianes, la troisième servant de vérification.

De la translation aux vecteurs.

1. Généralités.

1.1. Direction et sens.

Définition: Lorsque deux droites sont parallèles, on dit qu'elles ont la même

direction. Une direction étant donnée, on peut choisir sur celle-ci un sens.

1.2. Rappels sur la translation.

1.2.1. Définition.

Définition : On se donne deux points A et B fixés et un troisième point M.

L’image du point M par la translation qui transforme A en B est le point N tel

que ABNM soit un parallélogramme (éventuellement aplati si A, B et M sont

alignés.

1.2.2. Image de figures de base.

Propriétés :

L’image par une translation d’un segment est un segment de même longueur

et parallèle.

L’image par une translation d’une droite est une droite parallèle

(éventuellement confondue).

L’image par une translation d’une demi-droite est une demi-droite parallèle.

L’image par une translation d’un cercle est un cercle de même rayon.

1.2.3. Propriétés de conservation.

Propriétés : Par une translation, on conserve les distances, l’alignement, les

angles et les aires.

2. Vecteurs.

2.1. Définition des vecteurs.

Définition : La donnée d’une direction, d’un sens sur cette direction et

d’une longueur définit un vecteur.

Notation : Soit deux points A et B. On note le vecteur définit par la

direction de la droite (AB), le sens allant de A vers B et la longueur étant celle

du segment [AB].

2.2. Egalité vectorielle.

Définition: Deux vecteurs qui ont même direction, même sens et même

longueur sont dits égaux.

2.3. Translation et vecteur.

Soit A et B deux points. L’image de M par la translation qui transforme de A

en B est le point M’ tel que : MM’ = AB et les demi-droites [AB) et [MM’) soient

parallèles et de même sens. Ce qui revient à dire que ABM’M est un

parallélogramme, ou encore que .

2.4. Caractérisation de l'égalité vectorielle.

Propriété : Soit quatre points non alignés A, B, C et D.

Si alors ABDC est un parallélogramme.

Réciproquement, si ABDC est un parallélogramme, alors :

Remarque : Si A, B, C, et D sont alignés. Soit E et F les points tels que ABFE

et CDFE soient des parallélogrammes.

.

3. Somme de deux vecteurs.

3.1. Composée de deux translations.

Propriété : Appliquer une translation de vecteur suivie d'une translation

de vecteur revient à appliquer une translation de vecteur .

3.2. Somme de deux vecteurs.

Propriété de Chasles : (mathématicien français (1793 – 1880))

Pour tous points A, B et C, on a : .

Remarque : . On pose :

3.3. Règle du parallélogramme.

Propriété : (dite règle du parallélogramme)

Soit A, B et C trois points. Soit M un point tel que ABMC soit un

parallélogramme. Alors : .

Réciproquement, si M est un point tel que: , les points A, B et C

étant donnés, alors ABMC est un parallélogramme.

3.4. Composée de deux symétries centrales.

Propriété : L’action successive sur une figure d’une symétrie de centre I,

suivie d’une symétrie de centre J, est identique à l’action de la translation de

vecteur .

Avec des coordonnées.

1. Généralités.

1.1. Repérage sur une droite.

Définition : Une droite sur laquelle on a choisi un point origine, une unité de

longueur et un sens de parcours s’appelle une droite graduée (ou axe).

Sur un axe, le nombre associé à un point s’appelle l’abscisse de ce point.

1.2. Repérage dans le plan.

Définition: On appelle repère du plan, la donnée de deux axes sécants en

leur origine. On note un tel repère (O,I,J), où O correspond à l'origine des

axes, I est le point correspondant à l'unité sur le premier axe, J est le point

correspondant à l'unité sur le deuxième axe.

Définitions. Notations: On munit le plan d'un repère (O,I,J). Chaque point M

du plan est repéré par un couple de nombres appelé coordonnées du point, la

première des coordonnées est appelée abscisse du point, traditionnellement

noté , la deuxième est appelée ordonnée du point, traditionnellement noté

. On note alors .

Définitions : On appelle repère orthogonal un repère dont les axes sont

perpendiculaires. On appelle repère orthonormal, un repère orthogonal dont

les axes sont munis de la même unité de longueur.

Exemple : A a pour coordonnées (3 ; -1). 3 est l’abscisse de A et –1

l’ordonnée de A.

2. Coordonnée d’un vecteur.

Lecture graphique des coordonnées d'un vecteur:

Définition: On munit le plan d'un repère (O, I, J). Soit un vecteur de ce plan.

Ce vecteur est parfaitement définit par la donnée d'un couple de nombres: le

premier correspond à l'abscisse du vecteur et le deuxième à l'ordonnée du

vecteur. Si on note ce vecteur et ses coordonnées, on notera de

manière synthétique : .

Remarque: On compte positivement lorsqu'on parcourt l'axe des abscisses

(ou celui des ordonnées) dans son sens de parcours, négativement si on le

parcourt en sens inverse.

Exemple: ; ; ; . Le vecteur est un autre

représentant du vecteur , ses coordonnées sont donc identiques.

Représentation d'un vecteur dont on connaît les coordonnées:

Lorsque l'on connait les coordonnées d'un vecteur, on peut en tracer un

représentant dans un repère.

Exemple: Soit . Tracer un représentant du vecteur d'origine ,

puis d'origine .

Théorème: Soit A et B deux points de coordonnées respectives et

, alors le vecteur a pour coordonnées .

Exemples :

M (2 ;-3) et N (3 ;-1) :

M (2 ;5) et N (1 ;0) :

3.Coordonnées du milieu d'un segment. Distance de deux points.

3.1. Coordonnées du milieu d'un segment.

Théorème: Dans le plan muni d'un repère, le milieu d'un segment a pour

abscisse la demi-somme des abscisses des extrémités du segment et pour

ordonnée la demi-somme des ordonnées des extrémités du segment.

Milieu d’un segment :

Soit le milieu d’un segment [AB]. Soit et les coordonnées

respectives de A et B. On a :

3.2. Distance de deux points.

Théorème: On muni le plan d’un repère orthonormal. Soit A et B deux

points de coordonnées respectives et , on a :

.

D’où: .

Exemple : P (-2 ;3) ; Q(4 ;-5)

Application linéaire

En mathématiques, une application linéaire (aussi appelée opérateur linéaire ou transformation linéaire1 mais beaucoup d'auteurs2 réservent le mot de « transformation » à celles qui sont bijectives) est une application entre deux espaces vectoriels sur un corps K ou deux modules sur un anneau qui respecte l'addition des vecteurs et la multiplication scalaire définie dans ces espaces vectoriels ou modules, ou, en d'autres termes, qui « préserve les combinaisons linéaires ».Définitions

Soit ƒ une application de E dans F où E et F sont deux espaces vectoriels à gauche sur un corps K.

L'application ƒ est dite linéaire3,4 (ou « morphisme de K-espaces vectoriels ») si :

Une application ƒ possédant la première propriété est dite additive, et, pour la seconde, homogène. Elle possède ces deux propriétés à la fois si et seulement si :

ou plus simplement, si et seulement si :

Autrement dit, ƒ préserve les combinaisons linéaires5,6, c'est-à-dire : pour toute famille finie de vecteurs et pour toute famille de scalaires

(i.e. d'éléments de K),

Un isomorphisme 7 d'espaces vectoriels est un morphisme bijectif.Un endomorphisme est un morphisme ayant même espace vectoriel de départ et d'arrivée.Un automorphisme est un endomorphisme bijectif.Si l'espace vectoriel d'arrivée est le corps K, on parle de forme linéaire.

On note

l'ensemble des applications linéaires de E dans F ; il peut aussi être noté ou 8 ;

l'ensemble des isomorphismes de E sur F ;

l'ensemble des endomorphismes de E ; (appelé aussi le groupe linéaire) le groupe des automorphismes

de E.

Le corps K en indice est souvent omis et implicite lorsqu'il est facile à dériver du contexte.

Noyau et image

Si ƒ est une application linéaire de E dans F, alors le noyau de ƒ, noté Ker(ƒ)9, et l'image de ƒ, notée Im(ƒ)9, sont définis par

Ker provient de Kernel, traduction de « noyau » en anglais. Im provient de image.

Une application linéaire est injective si et seulement si son noyau est l'espace nul (c'est une propriété générale des morphismes de groupes). Une application (linéaire ou pas) est surjective si et seulement si son image est égale à son ensemble d'arrivée tout entier.

L'ensemble Ker(ƒ) est un sous-espace vectoriel de E et l'ensemble Im(ƒ) est un sous-espace vectoriel de F. Plus généralement10,

l'image réciproque par ƒ d'un sous-espace vectoriel de F est un sous-espace vectoriel de E ;

l'image directe par ƒ d'un sous-espace vectoriel de E est un sous-espace vectoriel de F.

L'espace vectoriel quotient F/Im(ƒ) s'appelle le conoyau 10 de ƒ.

Le théorème de factorisation affirme que ƒ induit un isomorphisme du quotient E/Ker(ƒ) sur l'image Im(ƒ).

Tout ce qui précède reste valide si « espace vectoriel » est remplacé par « module » et « corps » par « anneau ». Ce qui suit, en revanche, est spécifique aux espaces vectoriels sur un corps :

Deux espaces isomorphes ayant même dimension, il suit de l'isomorphisme ci-dessus la relation suivante (valable pour E et F de dimensions finies ou infinies), appelée théorème du rang :

La dimension de Im(ƒ) est aussi appelée le rang de ƒ et est notée rg(ƒ).

Exemples

L'endomorphisme appelé homothétie vectorielle de rapport a : où a est un scalaire ;

l'application dérivation, de l'espace des applications dérivables de R dans R vers l'espace de toutes les applications de R dans R :

on peut considérer l'ensemble des polynômes à coefficients dans K, le corps des réels ou des complexes, et dont on a substitué à l'indéterminée la dérivation ci-dessus. Alors est un anneau et l'ensemble des fonctions indéfiniment dérivables de dans K est un -module. Si est un élément de (qu'on appelle un opérateur différentiel), l'application est un endomorphisme de

qui est une homothétie de rapport pour la structure de -module.

Propriétés

Soit E et F deux espaces vectoriels (resp. deux modules) à gauche sur le corps (resp. l'anneau) K. L'ensemble des applications linéaires de E dans F est un espace vectoriel (resp. un module) sur le centre de K.

Démonstration La composée de deux applications linéaires est linéaire. Plus

précisément :

Si E est un K-espace vectoriel (resp. un K-module libre), une application linéaire est entièrement déterminée par l'image par d'une base de . Plus précisément : pour toute base de et toute famille

de vecteurs de (indexée par le même ensemble ), il existe une unique application linéaire de dans telle que pour tout indice ,

.

Démonstration Tout choix d'une base de fournit une bijection de sur ,

donc si E et F sont des espaces vectoriels de dimension finie sur un corps commutatif, alors la dimension de est également finie, et

Démonstration Si E et F sont des espaces vectoriels de dimension finie (resp. des

modules libres de type fini) à droite sur un corps (resp. un anneau) K, une application linéaire de E dans F se représente par une matrice dans des bases fixées dans E et F.