Fonctions trigonométriques inverses

Jacques ParadisProfesseur

2Département de mathématiques

Plan de la rencontre

Rappel : graphique d’une fonction inverse

Définition de la fonction arcsinus x (arc sinus)

Dérivée de arcsinus x

Définition de arccos x et sa dérivée

Définition de arctan x et sa dérivée

Définition de arccot x et sa dérivée

Définition de arcsec x et sa dérivée

Définition de arccsc x et sa dérivée

3Département de mathématiques

Rappel : graphique d’une fonction inverse

Soit f(x) une fonction et f-1(x) la fonction inverse de f(x)

Les courbes représentatives de ces fonctions sont symétriques par rapport à la droite y = x

x

y

4Département de mathématiques

Exemple

f(x) = ex

g(x) = lnx

h(x) = x

5Département de mathématiques

Définition de arcsinus x

On a y = arcsin x si et seulement si x = sin yBien noté que y représente un angle et que arcsin x = angle

Domsiny = IRImasiny = [-1 , 1]

Domarcsinx = [-1 , 1]Imaarcsinx = [-/2 , /2]

x

y

6Département de mathématiques

Exemplesarcsin x est égal à l’angle y tel que sin y = x

Arcsin 1 = /2 radians (90º)

Arcsin 0 = 0 (0 º)

Arcsin ½ = /6 (30 º)

Arcsin (0,75) = 0,848 rad (ou 48,6 º)

Arcsin 2 n’existe pas*

/2

-/2

7Département de mathématiques

Dérivée de arcsinus x (1 de 2)

Soit y = arcsin x sin y = x

dycos y 1 (dérivation implicite)

dx

dy 1

dx cos y

2 2

2

sin y cos y 1dy 1

, cardx cos y 0 sur ,1 sin y

2 2

2

dy 1, car sin y x

dx 1 x

8

2

Si y arcsin[f (x)]1Alors y' f '(x)

1 [f (x)]

Département de mathématiques

Dérivée de arcsinus x (2 de 2)

Exemple : Trouver la dérivée de f(x) = arcsin (8x – x3)

Exercice : Trouver la dérivée de g(x) = (arcsin x2)4

9Département de mathématiques

On a y = arccos x si et seulement si x = cos y

On a

Exercice : Démontrer la formule pour dériver y = arccos x.

2

dy 1

dx 1 x

Définition de arccos x et sa dérivée

Domcosy = IRImasiny = [-1 , 1]

Domarccosx = [-1 , 1]Imaarccosx = [0 , ]

10Département de mathématiques

Définition de arctan x et sa dérivéeOn a y = arctan x si et seulement si x = tan y

On a

Domtany = IR/{± /2, ±3/2, …}Imatany = IR

Domarctanx = IRImaarctanx = ]-/2 , /2[

2

dy 1

dx 1 x

11Département de mathématiques

Dérivée de arctan x

Soit y = arctan x

tan y = x

2 dysec y 1 (dérivation implicite)

dx

2

dy 1

dx sec y

2 2

2 2 2 2

dy 1 sin y cos y 1, car

dx 1 tan y cos y cos y cos y

2

dy 1, car tan y x

dx 1 x

12Département de mathématiques

Définition de arccot x et sa dérivéeOn a y = arccot x si et seulement si x = cot y

Imaarccotx = ]0 , [

On a

Démontrer la formule pour dériver y = arctanx.

2

dy 1

dx 1 x

13Département de mathématiques

On a y = arcsec x si et seulement si x = sec y

On a y = arccsc x si et seulement si x = csc y

2

dy 1

dx x x 1

Définitions et dérivées de arcsec x et arccsc x

2

dy 1ou

dx x x 1

2

dy 1

dx x x 1

2

dy 1ou

dx x x 1

14Département de mathématiques

Résumé

Soit u = f(x) et du/dx = f’(x),

2

d(arcsin u) 1 du

dx dx1 u

2

d(arccosu) 1 du

dx dx1 u

2

d(arctan u) 1 du

dx 1 u dx

2

d(arccot u) 1 du

dx 1 u dx

2

d(arcsecu) 1 du

dx dxu u 1

2

d(arccscu) 1 du

dx dxu u 1

15Département de mathématiques

ExemplesCalculer f’(x) si

a) f(x) = arcsin (3x + 7)

b) f(x) = 3arccos (2x2 – 1)

c) f(x) = (arcsin x)3

d) f(x)= (arccos x)/x

e) f(x) = x·arctan x

16Département de mathématiques

ExercicesCalculer f’(x) si

a) f(x) = arcsin (4x2 – 1)

b) f(x) = arctan (x+2)

c) f(x) = arcsin x3

d) f(x)= arccos x – x2

e) f(x) = arcsin [(x +1)/(x – 7)]

17Département de mathématiques

DevoirExercices 10.1, page 399, nos 1 et 3 (sauf h).

Exercices 10.2, page 406, nos 1 (sauf f), 2 (sauf j et l), 3a et 3b.

Exercices 10.3, page 414, nos 1a, 1b et 2a à 2f.

Exercices 10.4, page 420, no 5

Exercices récapitulatifs, page423, nos 4a à 4e, 4h, 4i, 4k et 13.

2 2

arccos t arcsin t4k) x '(t)

1 t (arccos t)

x

2x x

e4i) x '(t)

e 1 Arccot e

18

Devoir (suite)

Réponse du numéro 13 :

a)

b)

c) -0,12 rad/min et -0,1875 rad/min

d) 25 m

Département de mathématiques

tan75

xArc

2

75

5625

d dx

dt x dt