Chapitre I Facteurs de production et progrs technique11.1

Les fonctions de production et leurs proprits Notions gnrales

- Fonction de productionYt = Ft (Kt , Lt ) Productivit moyenne de K est: P MK = F (K, L) K

(idem pour P M L) Productivit marginale de K est

pmk = FK (K, L) = idem pour L1.1.1

dF dK

Isoquante et substitution

(i)

Isoquante

Isoquante : Exemple: Y = K L K = Y /L Figure 11

K et L / F (K, L) = Y

- Pente de l'isoquante : par direnciation de la relation F (K, L) = YdY = FK (K, L)dK + FL (K, L)dL = 0

Donc

dK F (K, L) = L = T M STK/L dL FK (K, L)1

productivits marginales dnit le T M ST

(ii)

Taux marginal de substitution technique (

T M ST ) Le ratio des

FL (K, L) = T M STK/L FK (K, L)(iii) (iv)Intensit capitalistique

Dnie par k = K/L

Elasticit de substitution

Dnie de la faon suivante: = dk/k dT M ST /T M ST FL (K, L) w = FK (K, L) r

- En environnement concurrentiel :T M STK/L =

- Donc=

dk/k d(w/r)/(w/r)

: de combien se modie en % k quand le cot relatif des facteurs se

modie de 1%.

- On peut montrer que=1.1.2

d ln k d ln k = d ln T M ST d ln(w/r)

Rendements d'chelle

- F (x1 , x2 ..., xn ) est dite homogne de degr k si pour tout > 0 on aF (x1 , x2 ..., xn ) = k F (x1 , x2 ..., xn )

- Si F est une fonction de production on voit que si elle est homogne de degr k alors si k > 1 : rendements d'chelle croissants,2

si k = 1 : rendements d'chelle constants, si k < 1 : rendements d'chelle dcroissants

Proprits des fonctions homognes : - La drive partielle n ime d'une fonction homogne de degr k est homogne de degr k n : - Si F est homogne de degr k et direntiable :n

xi F (xi ) = kF (x1 , x2 ..., xn )i=1Le cas des fonctions de production rendements d'chelle constants

Y /L ne dpend que du ratio capital/travail K/L: F (K, L) = F (K, L)

Donc pour = 1/L:Y K = F ( , 1) L L y = f (k) La productivit du capital ne dpend que de K/L: FK (K, L) = FK ( K , 1) = f (k) L

La rmunration des facteurs leur productivit marginale puise le produit

(thorme d'Euler dans le cas d'une fonction homogne de degr 1)Y = KFK + LFL y = kFK + FL

dont on peut dduire queFL = f (k) kf (k) Prot nul3

1.2

Fonction de production facteurs complmentaires

- il faut a units de capital et b units de travail pour produire une unit de bienY = min K L , a b

- Figure 2 - Fonction de production par ttey = min1.3

k 1 , a b

Fonction de production facteurs substituables

- F (K, L) continue et drivable deux fois, telle que : FK > 0 et FL > 0 2F < 0 et K 22F L2

1

F (K, L) = aK + bL

1

- Rendements d'chelle constants - Productivits marginalesFL = bL1 1+ 5

1

aK + bL

1+

= b ak + b

FK =

aK 11+

1

aK + bL

1+

= a [a + bk ]

- T M ST :

bL1 FL b = = k +1 1 FK aK a = d ln k d ln T M ST b + ( + 1) ln k a 1 +11

- Elasticit de substitution : avec Donc=

ln T M ST = ln

- Forme intensive

y = ak + b

- Productivit marginale du capital par tte:f (k) = ak 1 ak + b = a [a + bk ]1+

1+

- Productivit moyenne du capital:f (k) [ak + b] = k k 1 = [a + bk ] 21

La modlisation du progrs technique

Comment modliser le progrs technique?Yt = F (Kt , Lt , t)

La neutralit du progrs technique6

2.12.1.1

Les trois formes de progrs techniqueLe progrs technique augmentant le produit

- Formulation :Yt = At F (Kt , Lt ) Figure 4, graphique de droite

- Proprit de neutralit en matire de distribution du revenu.T M STK/L = FL w = FK r

(1)

A ratio K/L donn, le rapport des productivits marginales et des prix

reste inchang (cf Equation (1)

Neutralit au sens de Hicks2.1.2

Le progrs technique augmentant le travail

- Formulation :Yt = F (Kt , Bt Lt )

- Bt Lt = nombre d'units ecaces de facteur travail. - Si la valeur initiale de Bt est B0 et la valeur nale est B1 > B0 , le progrs technique permet de produire la mme chose avecL1 = L0 B0 /B1 < L0 Figure 4, graphique de gauche A ratio K/Y donn (horizontale), pml et w augmentent (Equation (1)

- Proprit de neutralit : si le ratio Kt /Bt Lt reste constant et si la fonction de production est homogne de degr 1, alors la distribution du revenu entre capital et travail reste constante - Kt /Bt Lt reste constant = le capital crot au mme rythme que le progrs technique.7

PT neutre au sens de Harrod : porte sur le travail et permet une croissance

au cours de laquelle le rapport capital-produit reste inchang, cot rel du capital inchang.Le progrs technique augmentant le capital

2.1.3

- Formulation du progrs technique augmentant le capital :Yt = F (Bt Kt , Lt ) Figure 4, graphique du milieu

- A L/Y donn, pmk et r augmentent (Equation (1)) - PT neutre au sens de Solow porte sur le capital, permet une croissance au cours de laquelle le produit par tte reste inchang pour un taux de salaire rel inchang.2.2

Le cas Cobb-Douglas

On peut considrer au choix que le PT porte sur le travail, le capital ou le produit:Y = K (egt L) Y = (e K) L Y = egt K Lg t

(1) (2) (3)

Alors le taux de croissance du progrs technique - portant sur le travail est g - portant sur le capital est g/ - portant sur le produit est g2.3 2.4

Le cas raliste Conclusion

Le progrs technique incorpor L'endognisation du progrs technique8