Formation de la précipitationFormation de la précipitation

Nuage chaudNuage chaud

Nuage froidNuage froid

Surfondu

Mixte

Glacé

Nuage chaudNuage chaudcroissance des gouttescroissance des gouttes

Croissance/ décroissance par diffusion

Croissance par coalescence

Condensation / évaporation

Continue/stochastique

Nuage chaudNuage chaudcroissance par diffusion croissance par diffusion (condensation)(condensation)

n(r)

r

Le mouvement des moléculespar diffusion dépend dugradient de concentration des molécules

Champ de vapeur au tourd ’une gouttelette au sein d ’un environnement sursaturé

( ) ( ) ( ) ( )r

n R n n n rR

r

Le flux de molécules à travers de la surface de rayon rest proportionnel au gradient de concentration demolécules d ’eau à la surface.

Le changement de masse de la gouttelette est égale àla masse des molécules traversant la surface (nombre de molécules x masse molaire)

À la surface r, le gradient de molécules est donné par (n - nr)/r

Le taux de croissance peut être écrit en fonction de la densité partielle de la vapeur :

24 v vr

dmr D n M

dt

4 ( ) ( )v v

dmrD n n r M

dt

4 ( ) ( )v v v v

dmrD r M

dt

La chaleur latente dégagée pendant la condensation change la températurede la goutte. Or la tension d ’équilibre à la surface de la goutte dépend de TLe transfert de chaleur entre la goutte et son environnement doit êtreprise en considération dans la détermination du gradient de la vapeur.

décrit l ’effet de la diffusion de la chaleur 4 ( ) ( )dQ

rK T r Tdt

Le changement de température de la goutte est :

34

3r

w w v

dT dm dQr c l

dt dt dt

…qui est zéro dans des conditions stationnaires

À l ’état stationnaire la chaleur dégagée pendant la condensationest égale à la chaleur perdue par diffusion

( ) ( ) ( ) ( )v v v vl D r K T r T

Le chaleur latente dégagée pendant le changement de masse doit équilibrer la chaleur échangée avec le milieu :

( ) ( )

( ) ( )v v

v v

r K

T r T l D

( ) ( )

( ) ( )v v

v v

r K

T r T l D

Nous connaissons aussi la relation entre v( r ) et T( r )

3

( , ) ( )( ) 1rs r s r

vv r v r

e r T e Ta br

R T r r R T

3

( , ) ( )( ) 1rs r s r

vv r v r

e r T e Ta br

R T r r R T

On a deux équations à deux inconnues : v( r ) et T( r )le système peut être résolu numériquement.

En connaissant v( r ) on peut calculer la variation dela masse de la goutte, dm/dt

4 ( ) ( )v v v v

dmrD r M

dt 4 ( ) ( )v v v v

dmrD r M

dt

Alternative à la solution Alternative à la solution numériquenumérique

1

K D

dr Srdt F F

1

K D

dr Srdt F F

( , )v

D wv s

R TF

D e T

( , )v

D wv s

R TF

D e T

Terme associé à la diffusion de la vapeur (condensation)

1w v vK

v

l lF

KT R T

1w v v

Kv

l lF

KT R T

Terme associé à la diffusion de la chaleur

Variation du rayon en fonction Variation du rayon en fonction de tde t

où = (S-1)/(Fk +Fd)

dépend de T et p:À noter que augmente d’un facteur de 10 proche de la surface quand la température passe de -27 à 13 C

**

Comment change pendant une ascension pseudoadiabatique?

20 0( ) 2 ( )r t r t t 20 0( ) 2 ( )r t r t t

Variation du rayon en fonction de tVariation du rayon en fonction de tLa même équation s’applique à la variation du rayon de la goutte dans un milieu sous saturé ; (S-1) et dr/dt < 0

0.000001

0.000010

0.000100

0.001000

0.010000

0.100000

1.000000

10.000000

100.000000

1000.000000

10000.000000

1 10 100 1000

Original Drop Radius (m)

Fall

Dis

tance

(m

)

T=280 KS=0.8

Distance parcourue par une goutte de rayon r avant évaporationcomplète

RésuméRésumé1) La diffusion est très efficace au début de la croissance des gouttes

2) La croissance d ’une goutte tend à «plafonner» avec le temps

3) Le spectre de la taille de gouttes devient plus étroit, i.e., la diffusion tend à uniformiser la taille de gouttes avec le temps.

4) Si S-1 < 0, la goutte  évapore

Conclusion: la diffusion ne peut pas expliquer, à elle toute seule, la formation de la précipitation.

Croissance par condensation d ’une Croissance par condensation d ’une population de gouttespopulation de gouttes

Dans les nuages réels les gouttes ne sont pas isolées. Il s ’établit une compétition entre les gouttes par rapport à la diffusion de vapeur d ’eau. La variation de l ’état saturation S du nuage va dépendre:

1) du taux de production de sursaturation du au soulèvement adiabatique.

2) du taux de «consommation» due à la condensation de la vapeur d ’eau sur les gouttelettes et de noyaux decondensation.

dSP C

dt

dSP C

dt

Croissance par condensation Croissance par condensation d ’une population de gouttesd ’une population de gouttes

dSP C

dt

dSP C

dt

2

lg

p

g dzP

Rc T RT dt

2

lg

p

g dzP

Rc T RT dt

v l

s p

l drRTC

e pTc dt

v l

s p

l drRTC

e pTc dt

Profil de S(z)Profil de S(z)

maximum altitude

w = 15 cm/sNoyaux de NaCl

Les deux tailles les plus petites ne sont pas activées (La sursaturation maximale de 0.5% est inférieure à leur sursaturation critique)

Le spectre de gouttes devient plus étroit.

Nuage chaudNuage chaudcroissance des gouttescroissance des gouttes

Croissance/ décroissance par diffusion

Croissance par coalescence

Condensation / évaporation

Continue/stochastique

Nuage chaudNuage chaudcroissance par coalescencecroissance par coalescence

Comme nous avons vu, pour qu ’une goutte de nuage se transforme en goutte de pluie par condensation il prend des heures

0

10

20

30

40

50

60

0 10000 20000 30000 40000 50000

Time (seconds)

Radiu

s ( m

)

E-14 gE-13 gE-12 g

5 heures!

Cependant, l ’observation montre de la pluie se formant en 20 à 30 minutes dans des cumulus chauds.Ceci veut dire que dans le nuage,

100, 10mgouttes dans 1 cm3

1, 1mmgoutte de pluie

dans 1litre(~ 105 collisions)

La collision suivie de coalescence est possible quand le spectre de gouttes s’élargie assez pour que quelques gouttes tombent plus vite que les autres (on a besoin de r > 20m)

Collision et coalescenceCollision et coalescenceLes taille de gouttes étant différenteleur vitesse différentiel rend possiblela collision. La collision entre les gouttes peuvent résulter dans leur union. C ’est la coalescence. On appelle collection le processus de collision suivi de coalescence.

Comment les premières gouttes de 20 m apparaissent dans le nuage?

Quelles sont les mécanismes d ’élargissementdu spectre de taille de gouttes?

Pour que la coalescence devienne possible la gouttecollectrice doit avoir une taille minimale de 20 m.

Élargissement du spectreÉlargissement du spectreComment les premières gouttes de 20 m apparaissent dans le nuage?Vitesse verticale de 5 m/s S-1 = 0.5% r=20m en 10 min.

Élargissement du spectre de taille de gouttes :

(1) noyaux géants - un mécanisme efficace mais pas toujours présent.

(2) mélange homogène entre l’air nuageux et l’air sec environnant - dilution du nuage, élargement vers les petites tailles.

(3) mélange non-homogène - dilution du nuage. Dstribution de taille de gouttes non-homogène dans le nuage.

(1) & (2) sont dominantes quand r > 100mm

Collision et coalescenceCollision et coalescenceQuand deux gouttes de taille différente rentre en collision le résultat dépend de la taille relative entre les deux goutte et de leur ligne d’impact

(1) elles peuvent rebondir et maintenir leur identité (rebondissement)

(2) elles peuvent s'unir pour former une goutte (coalescence)

(3) elles peuvent s'unir temporairement et se séparer en maintenant leur identité (au moins apparemment) (coalescence temporaire et séparation)

(4) l'union peut se faire temporairement et être suivie de l'éclaboussement de la goutte en plusieurs petites gouttes de tailles complètement différentes aux tailles initiales (coalescence temporaire et éclatement)

Vitesse terminale des gouttes (r < Vitesse terminale des gouttes (r < 40 40 m)m)

6RF ru

34

3G w dF r g

À l ’équilibre 0R G

duF F

dt

Est la viscosité de l ’air

ˆ

ˆ

w d

g gk

u uk

346 0

3 w dr g ru

2 21

4

18 wu r g k r

2 21

4

18 wu r g k r

3

3

46 0

34

6 03

w

w

r g ru

r g ru

Vitesse terminale des gouttes (0.6 Vitesse terminale des gouttes (0.6 mm < r < 2.2 mm)mm < r < 2.2 mm)

34

3G wF r g

2 2 ˆ2R d DF u r C k

4.5DC

3 2 2

2

4

3 28

3

w d D

w

D d

r g u r C

gr uC

2u k r 2u k r

Vitesse terminale des gouttes (40 Vitesse terminale des gouttes (40 m < r < 0.6 mm)m < r < 0.6 mm)

3u k r 3u k r

Pour les gouttelettes de taille entre 40 m < r < 0.6 mon obtient, expérimentalement, des vitesses proportionnelles à la taille des gouttes

Vitesse terminale des gouttes : Vitesse terminale des gouttes : résumérésumé

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 1 2 3 4 5 6

Diameter (mm)

Fall

Speed (

m/s

)

Du Tableau 7.1 (Rogers and Yau;données de Gunn and Kinzer, 1949)

T a b l e a u 7 . 1 : v i t e s s e d e s g o u t t e s d ' e a u e n f o n c t i o n d e l e u r t a i l l e

t a i l l e v i t e s s e ( c m / s ) , r ( c m )

4 0r m u = 1 . 1 9 x 1 0 6 ( c m - 1 s - 1 ) r 2

4 0 0 . 6m r m m u = 8 x 1 0 3 ( s - 1 ) r

0 . 6 2m m r m m u = 2 . 0 1 x 1 0 3 ( c m 1 / 2 s - 1 ) r 1 / 2

Efficace de collisionEfficace de collision

y

R

r

2

collision 2( , )y

E R rR r

Pourquoi des petits rapports de r/R ont de si basses efficacités?

Pourquoi l’efficacité diminue pour r/R~0.6?

Comment expliquer des efficacités > 1.0 (proche de r/R~1)?

Efficace de coalescenceEfficace de coalescence

coalescence

Nombre de captures

Nombre de collisionsE

collection collision coalescenceE E E

Équations de croissanceÉquations de croissance

Rr

r

r

r

R+r

(R+r)2

Collisions potentiellesLe taux de collisions potentielles d’une goutte de rayonR avec d’autres gouttes est due aux facteurs suivants:

la surface balayée par les deux gouttes: (R+r)2

foisla vitesse relative de la petite goutte par rapport à lade la plus grosse goutte: u(R) - u(r)

foisla concentration des petites gouttes: n(r) dr

foisla fraction de gouttes que constitue une collection:

Ec(R,r) 2 3

0

4( ) ( ) ( , ) ( )

3

R

c

dVR r u R u r E R r r n r dr

dt

ou… (R+r)2 [u(R) - u(r)] Ec(R,r) n(r) dr

Le volume d’eau additionné à la grosse goute sera:

Équation de croissance continueÉquation de croissance continue 2 3

0

4( ) ( ) ( , ) ( )

3

R

c

dVR r u R u r E R r r n r dr

dt

dV=4R2 dR alors…

2

32

0

( ) ( ) ( , ) ( )3

R

c

R rdRu R u r E R r r n r dr

dt R

3

0

3

0

( ) ( , ) ( )3

4( ) ( )

4 3l a l

R

c

Rc

ww

w r

dRu R E R r r n r dr

dt

Eu R r n r dr

( )4c l

w

E wdRu R

dt ( )

4c l

w

E wdRu R

dt

( )

4 ( )c l

l

E wdR u R

dz w u R

( )

4 ( )c l

l

E wdR u R

dz w u R

Comparaison entre croissance par Comparaison entre croissance par diffusion et croissance continuediffusion et croissance continue

Limitations du modèle de croissance Limitations du modèle de croissance continuecontinue

( )4c l

w

E wdRu R

dt ( )

4c l

w

E wdRu R

dt

100 gouttes

r0

100 gouttes

rt

Ce modèle décrit

1) une croissance moyenne2) néglige l ’aspect discret de la coalescence3) néglige les fluctuations statistiques de la concentration de gouttes dans le nuage4) prédit une croissance des gouttes trop lente. Les gouttes de pluie dans un nuage chaud typique se forment après 1 heure (20 à 30 minute selon l ’observation…)

Croissance par collection statistiqueCroissance par collection statistiqueAu lieu de considérer la croissance de certaines gouttes de la distribution, les modèles statistiques supposent que les gouttes croissent dans le nuage et que un petit nombre de gouttes sont favorisées par rapport à d’autres à cause de la non nomogénité du nuage.

Dans un modèle stochastique les collisions (collections) sontdes événements individuels, distribués dans le tempset dans l’espace.

( , , , , )n x y z t r

Croissance par collection statistiqueCroissance par collection statistique

Observations:• Le spectre des gouttes passe de monomodal à bi modal en 20

minutes;• après 30 minutes les gouttes du deuxième mode sont précipitantes.

Condensation plus Coalescence Stochastique

Observations:• pas de gouttes > 60m après 1000 sec sans condensation;• avec condensation la distribution (r<25m) devient plus étroite;• quand les gouttes ont des tailles r >25m l’efficacité de collision

augmente ainsi que la coalescence;• le nombre de gouttes de r = 60m à 1000 sec augmente dans

facteur de 104 quand il y de la condensation;