C. R. Acad. Sci. Paris, t. 332, Série I, p. 105–108, 2001Algèbre/Algebra

Formes antihermitiennes devenant hyperboliquessur un corps de déploiementIngrid DEJAIFFE

Institut de mathématique pure et appliquée, Université catholique de Louvain, B-1348 Louvain-La-Neuve,BelgiumCourriel : dejaiffe@agel.ucl.ac.be

(Reçu le 24 juillet 2000, accepté le 22 septembre 2000)

Résumé. SoitH = (a, b)F une algèbre de quaternions à division sur un corpsF de caractéristiquedifférente de2. Notonsτ l’involution canonique surH et K un corps de déploiementdeH . Si h est une forme antihermitienne sur(H,τ ), alors après extension des scalairesàK, la formeh correspond, via une équivalence de Morita, à une forme quadratiquehK

surK. On définit une application des groupes de Wittρ : W−1(H,τ )→ W(K) induite parρ(h) = hK . Si K est un corps de déploiement générique deH nous prouvons dans cetteNote que l’applicationρ est injective. 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiqueset médicales Elsevier SAS

Skew-hermitian forms which become hyperbolic over a splitting field

Abstract. Let H = (a, b)F be a division quaternion algebra over a field F of characteristic not 2.Denote by τ the canonical involution on H and by K a splitting field of H . If h isa skew-hermitian form over (H,τ ) then, by extension of scalars to K and by Moritaequivalence, we obtain a quadratic form hK over K. This gives a map of Witt groupsρ : W−1(H,τ )→ W(K) induced by ρ(h) = hK . When K is a generic splitting field of Hwe prove in this note that the map ρ is injective. 2001 Académie des sciences/Éditionsscientifiques et médicales Elsevier SAS

1. Introduction

Soit H = (a, b)F une algèbre de quaternions à division sur un corpsF de caractéristique différentede2. On note(1, i, j, k) la base canonique deH telle quei2 = a ∈ F×, j2 = b ∈ F×, ij = −ji= k et τl’involution canonique surH définie parτ(i) = −i et τ(j) = −j. SoitK une extension du corpsF . Si hest une forme hermitienne (resp. antihermitienne) régulière sur(H,τ), on notehK la forme hermitienne(resp. antihermitienne) régulière obtenue par extension des scalaires àK .

Supposons queK soit un corps de déploiement deH , i.e.H ⊗F K � M2(K). Dans le cas hermitien,la formehK correspond via une équivalence de Morita à une forme bilinéaire alternée surK et donc à

Note présentée par Jacques TITS.

S0764-4442(00)01764-X/FLA 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés. 105

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une forme hyperbolique surK . Dans le cas antihermitien, la formehK correspond à la forme quadratique[x→ hK(x,x)] surK . De plus, sih est une forme hyperbolique, alorshK est aussi une forme quadratiquehyperbolique surK . Ceci nous permet de définir une applicationρ : W−1(H,τ) → W(K) induite parρ(h) = hK , où W−1(H,τ) est le groupe de Witt des formes antihermitiennes régulières sur(H,τ) etW(K) est le groupe de Witt des formes quadratiques régulières surK . Une question naturelle se pose :quel est le noyau de cette application?

Dans cette Note nous prouvons que le noyau deρ est trivial siK est un corps de déploiement génériquedeH .

Dans [1], R. Skip Garibaldi prouve que le noyau de l’invariant de Rost RG : H1(F,G) → H3(F,Q/Z(2))est trivial notamment pour un groupe algébriqueG quasi déployé de type1Dn avec3 � n� 7 et de type2Dn avec3 � n� 6. L’auteur utilise la trivialité du noyau deρ pour démontrer ce résultat dans le cas oùl’algèbre de Tits de degré2n associée àG est d’indice2.

2. Hyperbolicité des formes antihermitiennes

Soit K un corps de déploiement générique deH = (a, b)F . Un tel corps s’obtient, par exemple, enconsidérant le corps des fractions de l’anneauF [s, t]/(s2 − at2 − b), oùs et t sont des indéterminées.

PROPOSITION. – L’application ρ : W−1(H,τ) → W(K) induite par l’extension des scalaires à K estinjective.

Démonstration. – Considérons le sous-corpsL= F (√a) deH , α l’automorphisme non trivial deL et le

produit libreKL= L(t) muni de l’involution – définie par̄�= α(�) pour tout� ∈ L et t · t̄= b.Dans [5], chap. 10, on trouve les deux suites exactes suivantes :1)

0 W(KL,−)tr

W(K) W(KL),

oùtr est la forme trace. L’image detr est donnée par l’idéal de l’anneauW(K) engendré par la formequadratique〈〈a〉〉 = 〈1,−a〉 ;

2)

0 W(H,τ)π1

W(L,α)ρ

W−1(H,τ)π2

W(L),

oùρ est une application induite par l’inclusionL H etπ1, π2 sont définis de la façon suivante.Remarquons queH = L⊕ Lj avecj2 = b et j · �= �̄ · j pour tout� ∈ L. Soith : V × V →H uneformeλ-hermitienne sur(H,τ) avecλ=±1, alors pour toutx, y ∈ V , nous obtenons

h(x, y) = f(x, y)⊕ g(x, y) j,

oùf : V ×V → L est une formeλ-hermitienne sur(L,−) etg : V ×V → L est une formeλ-bilinéairesurL. Les applicationsπ1 etπ2 sont définies parπ1(h) = f etπ2(h) = g.

Les groupesW(KL,−) et W(L,α) sont respectivement les groupes de Witt des formes hermitiennessur(KL,−) et sur(L,α).

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Hyperbolicité de formes sur un corps de déploiement

Nous construisons les diagrammes commutatifs suivants :

0

W(H,τ)

π1

0

W(L,α)⊗K

ρ

W(KL,−)

tr

W−1(H,τ)⊗K

π2

W(K)

W(L) W(KL)

La dernière flèche horizontale est une injection puisqueKL est une extension transcendante pure deL.Soith ∈W−1(H,τ) tel quehK soit hyperbolique, i.e.hK = 0∈ W(K). Alorsπ2(h) = 0 ∈W(L) et donch= ρ(h′) pour un certainh′ ∈W(L,α). Pour prouver queh= 0, il suffit de prouver queh′ = π1(h

′′) pourun certainh′′ ∈ W(H,τ). Pour cela, considérons le diagramme suivant :

W(H,τ)

π1tr1

W(F ) W(L,α)

tr2

⊗KW(KL,−)

tr

W(F ) ⊗KW(K)

L’application tr1 est la forme trace surW(H,τ) définie partr1(µ)(x) = 12 TrdH(µ(x,x)) pour µ ∈

W(H,τ). L’image detr1 est donnée par l’idéal deW(F ) engendré par la forme quadratique〈〈a, b〉〉.L’applicationtr2 est la forme trace surW(L,α).

La forme hermitienneh′ ∈W(L,α) est telle queρ(h′)K = 0 ∈ W(K) et donc en utilisant le diagrammeprécédent, la formeh′ vérifie tr(h′K) = 0. Par commutativité du diagramme ci-dessus on obtient quetr2(h

′)K = 0 ∈ W(K). Cependant, siq ∈ W(F ) est tel queqK = 0 ∈ W(K), alorsq = 〈〈a, b〉〉 · q0 pourune certaine forme quadratiqueq0 ∈ W(F ) ([5], chap. 4). Par conséquent,tr2(h

′) = 〈〈a, b〉〉 · ψ pour unecertaine formeψ ∈ W(F ). Ce qui prouve queh′ = π1(φ) avecφ ∈W(H,τ). ✷

Dans [4], Parimala, Sridharan et Suresh démontrent une propriété d’«excellence » des formes(anti-)hermitiennes définies sur un corps de fonctionsK : si A est uneF -algèbre simple centrale à in-volutionσ et h une forme hermitienne ou antihermitienne sur(A,σ), alors la partie anisotrope deh⊗Kest définie surF . En utilisant ce résultat et la proposition de cette Note, nous obtenons le corollaire suivant.

COROLLAIRE. – Si h est une forme antihermitienne anisotrope sur (H,τ), alors ρ(h) = hK est uneforme quadratique anisotrope sur K .

Démonstration. – Soit h ∈ W−1(H,τ). Par [4], il existeh′ ∈ W−1(H,τ) tel que (hK)an = h′K ,où (hK)an est la partie anisotrope dehK . Par conséquent, la formeh − h′ appartient au noyau

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ker(ρ : W−1(H,τ) → W(K)

)de l’applicationρ. Dans cette Note, nous avons démontré que ce noyau

est trivial. Commeh est une forme anisotrope, on obtient queh= h′ et donchK = (hK)an. ✷Remerciements. Je tiens à remercier mon directeur de thèse Jean-Pierre Tignol ainsi que Ryan Skip Garibaldi et

Raman Parimala pour leurs commentaires sur ce résultat.

Références bibliographiques

[1] Garibaldi R.S., The kernel of the Rost invariant, preliminary version, 2000.[2] Knus M.A., Merkurjev A.S., Rost M., Tignol J.-P., The Book of Involutions, Coll. Pub. 44, Amer. Math. Soc.,

Providence, RI, 1998.[3] Knus M.A., Quadratic and Hermitian Forms over Rings, Grundlehren Math. Wiss. 294, Springer-Verlag, 1991.[4] Parimala R., Sridharan R., Suresh V., Hermitian analogue of a theorem of Springer, (article non publié).[5] Scharlau W., Quadratic and Hermitian forms, Grundlehren Math. Wiss. 270, Springer-Verlag, Berlin, 1985.

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