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Formulaire de Mathématique - math. · PDF fileangle tangentiel = angle au centre = le double de l’angle inscrit NOMBRES TRIGONOMETRIQUES (rem :

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  • Formulaire de Mathmatique

    destin aux lves de 4me, 5me et 6me annes

    Les matires correspondant aux diffrentes annes se retrouvent selon le code de couleurs.

    Puissances

    a b R c R m n Na a aa aa b a b

    ac

    ac

    aa

    a m n

    m n m n

    m n m n

    n n n

    n n

    n

    m

    nm n

    , , , , :

    ( )( . ) .

    ( )

    .

    0 0

    a0 = 1 ; a1 = a ; 1n = 1 ; 0n = 0 00 nexiste pas

    Racine carre

    a R a bb ab:

    0

    aaaRa : 2

    0

    0:

    asiaasia

    aaRa

    baba

    Radicaux

    a b R c R m n p N

    a b a b

    ac

    ac

    a a

    a a

    a a a

    n n n

    nn

    n

    mpnp mn

    mn n m

    nm mn mn

    , , , , , :

    . .

    ( )

    ,0 0 1

    a R m n N a a

    mn mn, , :,0 1

    a a a an n 1 1

    2;

  • SIGNES Premier degr (ax + b) Un polynme du premier degr a le mme signe que "a" droite du "0" et le signe oppos gauche du "0" : Racine : x0=-b/a

    X Racine

    x0

    ax+b Signe

    oppos 0 Signe

    de a

    Second degr (ax +bx + c)

    Racines : acbaveca

    bx 422,1

    Un polynme du second degr a toujours le mme signe que "a" sauf entre deux "0" (quand il y a deux racines) Puissances : Si ()n avec n impair, on a les mmes signes que pour () Si ()n avec n pair, tous les signes sont +

  • FACTORISATION Dans lordre, japplique ce raisonnement : 1) sil y a des facteurs communs , je fais une mise en vidence sil y a-t-il des parenthses opposes (ex : (x a) et (a x)), je les rends identiques (bien regarder si les exposants sont pairs ou impairs) et je fais une mise en vidence 2) si je reconnais un des produits remarquables, je lapplique 2 termes a - b = (a - b) (a + b) a - b = (a - b) (a + ab + b) a + b = (a + b) (a - ab + b) 3 termes a + 2ab + b = (a + b) a - 2ab + b = (a - b) 4 termes a + 3ab +3ab + b = (a + b) a - 3ab + 3ab - b = (a - b) 3) jessaye deffectuer des groupements pour ensuite, faire une mise en vidence 4) jessaye la mthode des diviseurs binmes (grille de Horner) parmi les diviseurs du terme indpendant de p(x), je cherche celui qui pourrait annuler p(x). Si a est un tel diviseur, p(x) est divisible par (x a) p(x) = (x a) q(x)

    5) polynme du second degr (mthode delta)

    abxsi

    acb

    2:0

    4

    2,1

    ax + bx + c = a (x x1) (x x2)

    abxsi

    2:0 1

    ax + bx + c = a (x x1)

    :0si pas de factorisation

    rem : acPet

    abS

  • EQUATIONS ET INEQUATIONS quations du second degr : mthode delta (ou autres) quations avec dnominateurs ou radicaux : factoriser les dnominateurs imposer les C.E. rduire au mme dnominateur.(et le chasser ) pour rsoudre les quations :

    1) avoir 0 dans le membre de droite 2) factoriser 3) appliquer la rgle du produit nul (sparer les diffrents facteurs) 4) rsoudre chaque sous-quation 5) comparer les solutions et les C.E. 6) crire lensemble des solutions

    Toute inquation dune forme autre que (ax + b< 0, ) ncessite un tableau de signes !

    1) avoir 0 dans le membre de droite 2) se ramener une inquation du second degr ax + bx + c < 0

    ou factoriser pour avoir

    n(x).d(x).< 0 ou 0)()(

    xdxn

    ne jamais enlever les dnominateurs !!! 3) rechercher les racines 4) tablir le tableau de signes 5) crire lensemble des solutions

  • PROGRESSIONS P.A. : tn = t1 + (n 1).r

    2

    )( 1 nn

    ttnS

    P.G. : tn = t1.rn-1

    2

    )1(

    1

    1

    1)1(

    nnn

    n

    n

    n

    rtP

    rrtS

    NOMBRES COMPLEXES i = -1 z = a + ib = r cis conjugu : )( cisribaz oppos : )( cisribaz module : rbaz produit : )'('..'. cisrrzz formule de Moivre : )( nciscis n puissance : )( ncisrz nn

  • GRAPHIQUES DE FONCTIONS DE BASE :

    Fonction constante : une droite parallle laxe des X forme gnrale : f(x) = nombre ex : f(x) = 2

    Fonction du premier degr : une droite oblique forme gnrale f(x) = ax + b (a0) fonction de base f(x) = x

    Fonction du second degr : une parabole forme gnrale f(x) = ax + bx + c (a 0) fonction de base f(x) = x

  • Fonction du troisime degr fonction de base f(x) = x

    Fonction inverse

    xxf 1)(

    0RD

    Fonction racine carre

    xxf )( D = [0,+[

    Fonction valeur absolue ex : 4)( xxf

  • Fonctions trigonomtriques : Fonction sinus : f(x) = sin x D = R I = [-1,1] impaire Priode : 2

    Fonction cosinus : f(x) = cosin x D = R I = [-1,1] paire Priode : 2

    Fonction tangente : f(x) = tan x

    D =

    kR2

    I = R impaire Priode :

    Fonction cotangente : f(x) = cotan x D = kR I = R impaire Priode :

  • Fonctions cyclomtriques : Fonction arcsinus F(x) = arcsin x D = [-1,1] I = [- /2, /2]

    Fonction arccosinus F(x) = arccos x D = [-1,1] I = [0, ]

    Fonction arctangente f(x) = arctan x D = R I=]- /2, /2[

  • Fonctions exponentielles en base a f(x) = ax cas particulier : f(x) = ex ,avec e = 2,7 D = R I = ]0,+ [

    Fonctions logarithmes en base a f(x) = logax cas particuliers : log x = log10x ln x = logex D = ]0,+ [ I = R

  • ETUDES DE FONCTIONS Domaine : ensemble des valeurs de x sur lequel la fonction est dfinie C.E. :

    0:)(

    0:)(

    0:)(

    dd

    nxf

    ddxf

    pairnsi

    ddnxf

    n

    n

    kxxxf

    kxxxf

    :cot)(2

    :tan)(

    11:arccos)(arcsin)( xxxfouxxf 0:log)( xxxf a

    Continuit et drivabilit Image : ensemble des valeurs de la fonction (se lit sur laxe des Y) Parit f(x) est paire ssi f(-x) = f(x) : symtrique par rapport laxe OY f(x) est impaire ssi f(-x) = -f(x) : symtrique par rapport O Priodicit f(x) est priodique de priode a ssi f(x + ka) = f(x) Intersections avec les axes : OX : y = 0 (recherche des racines) OY : x = 0 Signes Asymptotes Croissance (f(x) et signes) Concavit (f(x) et signes) Tableau rcapitulatif (avec min, Max, PI, P.rebr, P.ang ) Graphique

  • TRIANGLES RECTANGLES

    Pythagore : a + b = c

    adjacentctopposct

    hypotnuseadjacentct

    hypotnuseopposct

    tan

    cos

    sin

    Relations relatives la hauteur CH CH = BH . HA CA = BA . HA BC = BA . BH Relation relative la mdiane CM CM = BA

    TRIANGLES QUELCONQUES Aire = a b sin C Pythagore gnralis : a = b + c - 2bc cos A

    Rgle des sinus : c

    Cb

    Ba

    A sinsinsin

    Rgle des cosinus : a = b cos C + c cos B VECTEURS

    2BcoordAcoordMcoord

    coordABcoordABcoordvcoord

    PRODUIT SCALAIRE

    )('.cos... BABABA zzyyxxOBOAAOBOBOAOBOA Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls est nul ssi les vecteurs sont orthogonaux EQUATIONS DE DROITES d y yA = a (x xA)

    coef.dir. )(tan

    x

    y

    vv

    xy

    abscissesdiffrenceordonnesdiffrencea

  • EQUATION DU CERCLE C (x xc) + (y yc) = r EQUATIONS DUN PLAN ax + by + cz + d = 0 rem : (a,b,c) est un vecteur normal au plan

  • LES CONIQUES Dfinition : P ssi PF=Pd. e Equation gnrale : C (x + k) + y = e (x + (k + p)) avec F(k,0) et d x = k + p (p0)

    a) La parabole : On appelle parabole, le lieu gomtrique des points quidistants dun point fixe et dune droite fixe. P(x,y) P ssi y = 2px

    b) Lellipse : On appelle ellipse, le lieu gomtrique des points dont la somme des distances deux points fixes est constante

    P(x,y) E ssi 1

    by

    ax cbaavec

    c) Lhyperbole : On appelle hyperbole, le lieu gomtrique des points dont les distances deux points fixes ont une diffrence constante en valeur absolue

    P(x,y) H ssi 1

    by

    ax cbaavec

    rem A.O. 0

    by

    ax ou x

    aby

    Equations des tangentes une parabole :

    d) Equation de la tangente en un point dune parabole

    )(, 00

    0)00(xx

    ypyyt yx ou )(, 00)00( xxpyyt yx

    e) Equation de la tangente une parabole de direction "a" : apaxyt

    2

    Equations des tangentes une ellipse :

    f) Equation de la tangente en un point de lellipse

    1

    00),( 00

    b

    yya

    xxt yx

    g) Equation de la tangente une ellipse de direction "m" bmamxyt

    Equations des tangentes une hyperbole :

    h) Equation de la tangente en un point de lhyperbole

    )(

    00

    0),( 00

    xxyaxbt yx

    i) Equation de la tangente une hyperbole de direction "m" bmamxyt

  • ANGLES 1 tour de cercle = 2 = (360) ;1 radian = 3.57

    2360

    ; 1 = 60 = 3600

    2360 rs

    rl

    angle tangentiel = angle au centre = le double de langle inscrit NOMBRES TRIGONOMETRIQUES (rem : nous utiliserons indiffremment les notations tan ou tg pour tangente et cot ou cotg pour cotangente)

    ZkkECtg

    ZkkEC

    ,:..sincos1cot

    ,2/:..cossintan

    priodes : sin et cos : 2 tg et cotg :

    ANGLES ASSOCIES 2 angles opposs ( et ) : symtriques par rapport laxe des cos 2 angles supplmentaires ( )( et ) : symtriques par rapport laxe des sin 2 angles antisupplmentaires ( )( et ) : symtriques par rapport O

    2 angles complmentaires ( )2

    ( et ) : symtrique par rapport la premire

    bissectrice (rem : )2

    cos(sin )

    ANGLES REMARQUABLES 0 30 45 60 90 180 270 360 0 /6 /4 /3 /2 3 /2 2

    sin 0 22

    23 1 0 -1 0

    cos 1 23

    22 0 -1 0 1

    tg 0 33 1 3 / 0 / 0

    cotg / 3 1 33 0 / 0 /

    Formule fondamentale : sina