22
Formulaire de Mathématique destiné aux élèves de 4 ème , 5 ème et 6 ème années Les matières correspondant aux différentes années se retrouvent selon le code de couleurs. Puissances ab R c R mn N a a a a a ab a b a c a c a a a m n m n m n m n mn n n n n n n m n m n , , , , : ( ) (.) . ( ) . 0 0 a 0 = 1 ; a 1 = a ; 1 n = 1 ; 0 n = 0 0 0 n’existe pas Racine carrée a R a b b a b : ² 0 a a a R a ² : 2 0 0 ² : a si a a si a a a R a b a b a Radicaux ab R c R mnp N ab a b a c a c a a a a a a a n n n n n n mp np m n m n n m n m mn m n , , , , , : . . ( ) , 0 01 a R mn N a a m n m n , , : , 01 a a a a n n 1 1 2 ;

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Formulaire de Mathématique

destiné aux élèves de 4ème, 5ème et 6ème années

Les matières correspondant aux différentes années se retrouvent selon le code de couleurs.

Puissances

a b R c R m n Na a aa aa b a b

ac

ac

aa

a m n

m n m n

m n m n

n n n

n n

n

m

nm n

, , , , :

( )( . ) .

( )

.

0 0

a0 = 1 ; a1 = a ; 1n = 1 ; 0n = 0 00 n’existe pas

Racine carrée

a R a bb ab:

²0

aaaRa ²:2

0

0²:

asiaasia

aaRa

baba

Radicaux

a b R c R m n p N

a b a b

ac

ac

a a

a a

a a a

n n n

nn

n

mpnp mn

mn n m

nm mn mn

, , , , , :

. .

( )

,0 0 1

a R m n N a amn mn, , :,0 1

a a a an n 1 1

2;

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SIGNES Premier degré (ax + b) Un polynôme du premier degré a le même signe que "a" à droite du "0" et le signe opposé à gauche du "0" : Racine : x0=-b/a

X Racine

x0

ax+b Signe

opposé 0 Signe

de a

Second degré (ax² +bx + c)

Racines : acbaveca

bx 4²22,1

Un polynôme du second degré a toujours le même signe que "a" sauf entre deux "0" (quand il y a deux racines) Puissances : Si (…)n avec n impair, on a les mêmes signes que pour (…) Si (…)n avec n pair, tous les signes sont +

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FACTORISATION Dans l’ordre, j’applique ce raisonnement : 1) s’il y a des facteurs communs , je fais une mise en évidence s’il y a-t-il des « parenthèses » opposées (ex : (x – a) et (a – x)), je les rends identiques (bien regarder si les exposants sont pairs ou impairs) et je fais une mise en évidence 2) si je reconnais un des produits remarquables, je l’applique 2 termes a² - b² = (a - b) (a + b) a³ - b³ = (a - b) (a² + ab + b²) a³ + b³ = (a + b) (a² - ab + b²) 3 termes a² + 2ab + b² = (a + b)² a² - 2ab + b² = (a - b)² 4 termes a³ + 3a²b +3ab² + b³ = (a + b)³ a³ - 3a²b + 3ab² - b³ = (a - b)³ 3) j’essaye d’effectuer des groupements pour ensuite, faire une mise en évidence 4) j’essaye la méthode des diviseurs binômes (grille de Horner) parmi les diviseurs du terme indépendant de p(x), je cherche celui qui pourrait annuler p(x). Si a est un tel diviseur, p(x) est divisible par (x – a) p(x) = (x – a) q(x)

5) polynôme du second degré (méthode delta)

abxsi

acb

2:0

2,1

ax² + bx + c = a (x – x1) (x – x2)

abxsi

2:0 1

ax² + bx + c = a (x – x1)²

:0si pas de factorisation

rem : acPet

abS

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EQUATIONS ET INEQUATIONS équations du second degré : méthode delta (ou autres) équations avec dénominateurs ou radicaux : factoriser les dénominateurs imposer les C.E. réduire au même dénominateur.(et le « chasser ») pour résoudre les équations :

1) avoir 0 dans le membre de droite 2) factoriser 3) appliquer la règle du produit nul (séparer les différents facteurs) 4) résoudre chaque sous-équation 5) comparer les solutions et les C.E. 6) écrire l’ensemble des solutions

Toute inéquation d’une forme autre que (ax + b< 0, …) nécessite un tableau de signes !

1) avoir 0 dans le membre de droite 2) se ramener à une inéquation du second degré ax² + bx + c < 0

ou factoriser pour avoir

n(x).d(x)….< 0 ou 0)()(

xdxn

ne jamais enlever les dénominateurs !!! 3) rechercher les racines 4) établir le tableau de signes 5) écrire l’ensemble des solutions

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PROGRESSIONS P.A. : tn = t1 + (n – 1).r

2

)( 1 nn

ttnS

P.G. : tn = t1.rn-1

2

)1(

1

1

1)1(

nnn

n

n

n

rtP

rrtS

NOMBRES COMPLEXES i² = -1 z = a + ib = r cis conjugué : )( cisribaz opposé : )( cisribaz module : rbaz ²² produit : )'('..'. cisrrzz formule de Moivre : )( nciscis n puissance : )( ncisrz nn

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GRAPHIQUES DE FONCTIONS DE BASE :

Fonction constante : une droite parallèle à l’axe des X forme générale : f(x) = nombre ex : f(x) = 2

Fonction du premier degré : une droite « oblique » forme générale f(x) = ax + b (a≠0) fonction de base f(x) = x

Fonction du second degré : une parabole forme générale f(x) = ax² + bx + c (a ≠0) fonction de base f(x) = x²

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Fonction du troisième degré fonction de base f(x) = x³

Fonction inverse

xxf 1)(

0RD

Fonction racine carrée

xxf )( D = [0,+∞[

Fonction valeur absolue ex : 4²)( xxf

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Fonctions trigonométriques : Fonction sinus : f(x) = sin x D = R I = [-1,1] impaire Période : 2

Fonction cosinus : f(x) = cosin x D = R I = [-1,1] paire Période : 2

Fonction tangente : f(x) = tan x

D =

kR2

I = R impaire Période :

Fonction cotangente : f(x) = cotan x D = kR I = R impaire Période :

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Fonctions cyclométriques : Fonction arcsinus F(x) = arcsin x D = [-1,1] I = [- /2, /2]

Fonction arccosinus F(x) = arccos x D = [-1,1] I = [0, ]

Fonction arctangente f(x) = arctan x D = R I=]- /2, /2[

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Fonctions exponentielles en base a f(x) = ax cas particulier : f(x) = ex ,avec e = 2,7… D = R I = ]0,+ [

Fonctions logarithmes en base a f(x) = logax cas particuliers : log x = log10x ln x = logex D = ]0,+ [ I = R

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ETUDES DE FONCTIONS Domaine : ensemble des valeurs de x sur lequel la fonction est définie C.E. :

0:)(

0:)(

0:)(

dd

nxf

ddxf

pairnsi

ddnxf

n

n

kxxxf

kxxxf

:cot)(2

:tan)(

11:arccos)(arcsin)( xxxfouxxf 0:log)( xxxf a

Continuité et dérivabilité Image : ensemble des valeurs de la fonction (se lit sur l’axe des Y) Parité f(x) est paire ssi f(-x) = f(x) : symétrique par rapport à l’axe OY f(x) est impaire ssi f(-x) = -f(x) : symétrique par rapport à O Périodicité f(x) est périodique de période « a » ssi f(x + ka) = f(x) Intersections avec les axes : OX : y = 0 (recherche des racines) OY : x = 0 Signes Asymptotes Croissance (f’(x) et signes) Concavité (f’’(x) et signes) Tableau récapitulatif (avec min, Max, PI, P.rebr, P.ang …) Graphique

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TRIANGLES RECTANGLES

Pythagore : a² + b² = c²

adjacentcôtéopposécôté

hypoténuseadjacentcôté

hypoténuseopposécôté

tan

cos

sin

Relations relatives à la hauteur CH CH² = BH . HA CA² = BA . HA BC² = BA . BH Relation relative à la médiane CM CM = ½ BA

TRIANGLES QUELCONQUES Aire = ½ a b sin C Pythagore généralisé : a² = b² + c² - 2bc cos A

Règle des sinus : c

Cb

Ba

A sinsinsin

Règle des cosinus : a = b cos C + c cos B VECTEURS

2BcoordAcoordMcoord

coordABcoordABcoordvcoord

PRODUIT SCALAIRE

)('.cos... BABABA zzyyxxOBOAAOBOBOAOBOA

Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls est nul ssi les vecteurs sont orthogonaux EQUATIONS DE DROITES d ≡ y – yA = a (x – xA)

coef.dir. )(tan

x

y

vv

xy

abscissesdifférenceordonnéesdifférencea

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EQUATION DU CERCLE C ≡ (x – xc)² + (y – yc)² = r² EQUATIONS D’UN PLAN ax + by + cz + d = 0 rem : (a,b,c) est un vecteur normal au plan

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LES CONIQUES Définition : P ssi PF=Pd. e Equation générale : C (x + k)² + y² = e² (x + (k + p))² avec F(k,0) et d x = k + p (p0)

a) La parabole : On appelle parabole, le lieu géométrique des points équidistants d’un point fixe et d’une droite fixe. P(x,y) P ssi y² = 2px

b) L’ellipse : On appelle ellipse, le lieu géométrique des points dont la somme des distances à deux points fixes est constante

P(x,y) E ssi 1²²

²²

by

ax ²²² cbaavec

c) L’hyperbole : On appelle hyperbole, le lieu géométrique des points dont les distances à deux points fixes ont une différence constante en valeur absolue

P(x,y) H ssi 1²²

²²

by

ax ²²² cbaavec

rem A.O. ≡ 0²²

²²

by

ax ou x

aby

Equations des tangentes à une parabole :

d) Equation de la tangente en un point d’une parabole

)(, 00

0)00( xxypyyt yx ou )(, 00)00( xxpyyt yx

e) Equation de la tangente à une parabole de direction "a" : apaxyt

2

Equations des tangentes à une ellipse :

f) Equation de la tangente en un point de l’ellipse

1²²

00),( 00

b

yya

xxt yx

g) Equation de la tangente à une ellipse de direction "m" ²²² bmamxyt

Equations des tangentes à une hyperbole :

h) Equation de la tangente en un point de l’hyperbole

)(²²

00

0),( 00

xxyaxbt yx

i) Equation de la tangente à une hyperbole de direction "m" ²²² bmamxyt

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ANGLES 1 tour de cercle = 2 = (360°) ;1 radian =

3.572

360

; 1° = 60’ = 3600 ‘’

²2360 rs

rl

angle tangentiel = angle au centre = le double de l’angle inscrit NOMBRES TRIGONOMETRIQUES (rem : nous utiliserons indifféremment les notations « tan » ou « tg » pour tangente et « cot » ou « cotg » pour cotangente)

ZkkECtg

ZkkEC

,:..sincos1cot

,2/:..cossintan

périodes : sin et cos : 2 tg et cotg :

ANGLES ASSOCIES 2 angles opposés ( et ) : symétriques par rapport à l’axe des cos 2 angles supplémentaires ( )( et ) : symétriques par rapport à l’axe des sin 2 angles antisupplémentaires ( )( et ) : symétriques par rapport à O

2 angles complémentaires ( )2

( et ) : symétrique par rapport à la première

bissectrice (rem : )2

cos(sin …)

ANGLES REMARQUABLES 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360° 0 /6 /4 /3 /2 3 /2 2

sin 0 ½ 22

23 1 0 -1 0

cos 1 23

22 ½ 0 -1 0 1

tg 0 33 1 3 / 0 / 0

cotg / 3 1 33 0 / 0 /

Formule fondamentale : sin²a + cos²a = 1

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FORMULES TRIGONOMETRIQUES Formule fondamentale : sin²a + cos²a = 1

Formules dérivées de la FF : a

aa

aa

a²tan1

²tan²cot1

1²sin²tan1

1²cos

Formules d’addition : cos (a ± b) = cos a cos b sin a sin b sin (a ± b) = sin a cos b ± sin b cos a

bababa

tantan1tantan)tan(

Formules de duplication sin 2a = 2 sin a cos a cos 2a = cos²a – sin²a

aaa²tan1

tan22tan

Formules en fonction de tg (a/2)

2²tan1

2tan2

tan

2²tan1

2tan2

sin

2²tan1

2²tan1

cos

a

a

a

a

a

a

a

a

a

Formules de Carnot 1 – cos a = 2 sin²(a/2) 1 + cos a = 2 cos²(a/2) Formules de Simpson

2cos

2sin2sinsin

2cos

2sin2sinsin

2sin

2sin2coscos

2cos

2cos2coscos

bababa

bababa

bababa

bababa

Réciproques :

2)cos()cos(sinsin

2)sin()sin(cossin

2)cos()cos(coscos

bababa

bababa

bababa

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CAS D’INDETERMINATION DES LIMITES

Rem : 00

nulnonnombre

Cas réponse N/ 0 déterminer le signe de l’ N/ 0 déterminer le « signe » du 0 0/0 (binôme conjugué) - factoriser – simplifier ou théorème de l’Hospital :

)(')('lim

)()(lim

xgxf

xgxf

- (binôme conjugué) – prendre le terme de plus haut degré / prendre les termes de plus haut degré 0/ ou /0 se ramener à 0/0 ou / ASYMPTOTES A.V. ≡ x = a ssi

)(lim xfax

A.H. ≡ y = b ssi bxfx

)(lim

A.O. ≡ y = ax + b ssi baxxf

axxf

x

x

))((

)(

limlim

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DERIVEES

0

00

)()()(' lim

0 xxxfxfxf

xx

hxfhxfxf

h

)()()(' lim0

tangente au point A(xA,yA) : tA≡y – yA = f’(xA) (x – xA) (k)’ = 0 (x)’ = 1 (kx)’ = k (xn)’ = n xn-1 (f + g)’ = f’ + g’ (f . g)’ = f’ . g + f . g’

²'1

²''

'

'

ff

f

gfggf

gf

x

x

xx

21'

²11 '

(k.f)’ = k . f’ (sin x)’ = cos x (cos x)’ = - sin x

xx

xx

²sin1)'(cot

²cos1)'(tan

suite

))'cot((²1

1'arctan

))'(arccos(²1

1'arcsin

xarcx

x

xx

x

(ex)’ = ex (ax)’ = ax lna

axx

xx

a ln1)'(log

1'ln

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PRIMITIVES

Cedxe

Cxdxx

Cxdxx

Cxdxx

Cxdxx

Cxtgdxx

Cxdxx

Cxdxx

Cxdxx

Cx

dxx

dxfggfdxgf

gdxfdxdxgf

gdxfdxdxgf

dxxfkdxxfk

Cnxdxx

Cxxdx

Ckxkdx

xx

nn

arctan²1

1

arcsin²1

1

ln1

cot²sin

1²cos

1

sincos

cossin

21

1

'..)'.(

.).(

)(

)(.)(.1

1

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STATISTIQUE Stat loi binomiale

Moyenne

i

iii

ii

xfn

xnx E(x) = na

Variance

i

ii

ii

xxfn

xxnV )²(

)²( V(x)= nab

Ecart-type V Ajustement linéaire : Calcul de la droite de régression d y = ax + b:

ax x y y

x xb y a x

i ii

ii

( )( )

( )²( . )

coefficient de corrélation r a x

y .

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ANALYSE COMBINATOIRE Analyse combinatoire sans répétition :

Choix et ordre arrangements )!(

!pn

nApn

Ordre permutations !nPn

Choix combinaisons )!(!

!pnp

nC p

n

Analyse combinatoire avec répétitions : Choix et ordre arrangements pp

n nA

Ordre permutations !...!

!

21 nnnPn

Choix combinaisons !

)...2)(1(p

npnpnC p

n

Binôme de Newton :

n

k

knkk

nn baba C

0)(

PROBABILITES Et = intersection = produit : )().()( ABPAPBAP Ou = union = somme : )()()()( BAPBPAPBAP

)()()(

BPBAPBAP

loi normale réduite :

xxx '

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Quelques formules et valeurs intéressantes : = 22/7 = 3,1415 …

7.13

4.12

Aire du carré : c² Aire du rectangle : L. l Aire du triangle : 2

Bh

Aire du losange : 2.Dd

Aire du trapèze : 2

)( hbB

Longueur de la circonférence : 2 r Aire du disque : r² Volume du cube : c³ Volume du parallélépipède rectangle : L.l.h Volume du cylindre : r² h

Volume du cône : 3²hr

Volume de la sphère : 3

³4 r

Diagonale d’un carré de côté a : 2a Diagonale d’un cube de côté a : 3a