Formulaire de Mathmatique
destin aux lves de 4me, 5me et 6me annes
Les matires correspondant aux diffrentes annes se retrouvent selon le code de couleurs.
Puissances
a b R c R m n Na a aa aa b a b
ac
ac
aa
a m n
m n m n
m n m n
n n n
n n
n
m
nm n
, , , , :
( )( . ) .
( )
.
0 0
a0 = 1 ; a1 = a ; 1n = 1 ; 0n = 0 00 nexiste pas
Racine carre
a R a bb ab:
0
aaaRa : 2
0
0:
asiaasia
aaRa
baba
Radicaux
a b R c R m n p N
a b a b
ac
ac
a a
a a
a a a
n n n
nn
n
mpnp mn
mn n m
nm mn mn
, , , , , :
. .
( )
,0 0 1
a R m n N a a
mn mn, , :,0 1
a a a an n 1 1
2;
SIGNES Premier degr (ax + b) Un polynme du premier degr a le mme signe que "a" droite du "0" et le signe oppos gauche du "0" : Racine : x0=-b/a
X Racine
x0
ax+b Signe
oppos 0 Signe
de a
Second degr (ax +bx + c)
Racines : acbaveca
bx 422,1
Un polynme du second degr a toujours le mme signe que "a" sauf entre deux "0" (quand il y a deux racines) Puissances : Si ()n avec n impair, on a les mmes signes que pour () Si ()n avec n pair, tous les signes sont +
FACTORISATION Dans lordre, japplique ce raisonnement : 1) sil y a des facteurs communs , je fais une mise en vidence sil y a-t-il des parenthses opposes (ex : (x a) et (a x)), je les rends identiques (bien regarder si les exposants sont pairs ou impairs) et je fais une mise en vidence 2) si je reconnais un des produits remarquables, je lapplique 2 termes a - b = (a - b) (a + b) a - b = (a - b) (a + ab + b) a + b = (a + b) (a - ab + b) 3 termes a + 2ab + b = (a + b) a - 2ab + b = (a - b) 4 termes a + 3ab +3ab + b = (a + b) a - 3ab + 3ab - b = (a - b) 3) jessaye deffectuer des groupements pour ensuite, faire une mise en vidence 4) jessaye la mthode des diviseurs binmes (grille de Horner) parmi les diviseurs du terme indpendant de p(x), je cherche celui qui pourrait annuler p(x). Si a est un tel diviseur, p(x) est divisible par (x a) p(x) = (x a) q(x)
5) polynme du second degr (mthode delta)
abxsi
acb
2:0
4
2,1
ax + bx + c = a (x x1) (x x2)
abxsi
2:0 1
ax + bx + c = a (x x1)
:0si pas de factorisation
rem : acPet
abS
EQUATIONS ET INEQUATIONS quations du second degr : mthode delta (ou autres) quations avec dnominateurs ou radicaux : factoriser les dnominateurs imposer les C.E. rduire au mme dnominateur.(et le chasser ) pour rsoudre les quations :
1) avoir 0 dans le membre de droite 2) factoriser 3) appliquer la rgle du produit nul (sparer les diffrents facteurs) 4) rsoudre chaque sous-quation 5) comparer les solutions et les C.E. 6) crire lensemble des solutions
Toute inquation dune forme autre que (ax + b< 0, ) ncessite un tableau de signes !
1) avoir 0 dans le membre de droite 2) se ramener une inquation du second degr ax + bx + c < 0
ou factoriser pour avoir
n(x).d(x).< 0 ou 0)()(
xdxn
ne jamais enlever les dnominateurs !!! 3) rechercher les racines 4) tablir le tableau de signes 5) crire lensemble des solutions
PROGRESSIONS P.A. : tn = t1 + (n 1).r
2
)( 1 nn
ttnS
P.G. : tn = t1.rn-1
2
)1(
1
1
1)1(
nnn
n
n
n
rtP
rrtS
NOMBRES COMPLEXES i = -1 z = a + ib = r cis conjugu : )( cisribaz oppos : )( cisribaz module : rbaz produit : )'('..'. cisrrzz formule de Moivre : )( nciscis n puissance : )( ncisrz nn
GRAPHIQUES DE FONCTIONS DE BASE :
Fonction constante : une droite parallle laxe des X forme gnrale : f(x) = nombre ex : f(x) = 2
Fonction du premier degr : une droite oblique forme gnrale f(x) = ax + b (a0) fonction de base f(x) = x
Fonction du second degr : une parabole forme gnrale f(x) = ax + bx + c (a 0) fonction de base f(x) = x
Fonction du troisime degr fonction de base f(x) = x
Fonction inverse
xxf 1)(
0RD
Fonction racine carre
xxf )( D = [0,+[
Fonction valeur absolue ex : 4)( xxf
Fonctions trigonomtriques : Fonction sinus : f(x) = sin x D = R I = [-1,1] impaire Priode : 2
Fonction cosinus : f(x) = cosin x D = R I = [-1,1] paire Priode : 2
Fonction tangente : f(x) = tan x
D =
kR2
I = R impaire Priode :
Fonction cotangente : f(x) = cotan x D = kR I = R impaire Priode :
Fonctions cyclomtriques : Fonction arcsinus F(x) = arcsin x D = [-1,1] I = [- /2, /2]
Fonction arccosinus F(x) = arccos x D = [-1,1] I = [0, ]
Fonction arctangente f(x) = arctan x D = R I=]- /2, /2[
Fonctions exponentielles en base a f(x) = ax cas particulier : f(x) = ex ,avec e = 2,7 D = R I = ]0,+ [
Fonctions logarithmes en base a f(x) = logax cas particuliers : log x = log10x ln x = logex D = ]0,+ [ I = R
ETUDES DE FONCTIONS Domaine : ensemble des valeurs de x sur lequel la fonction est dfinie C.E. :
0:)(
0:)(
0:)(
dd
nxf
ddxf
pairnsi
ddnxf
n
n
kxxxf
kxxxf
:cot)(2
:tan)(
11:arccos)(arcsin)( xxxfouxxf 0:log)( xxxf a
Continuit et drivabilit Image : ensemble des valeurs de la fonction (se lit sur laxe des Y) Parit f(x) est paire ssi f(-x) = f(x) : symtrique par rapport laxe OY f(x) est impaire ssi f(-x) = -f(x) : symtrique par rapport O Priodicit f(x) est priodique de priode a ssi f(x + ka) = f(x) Intersections avec les axes : OX : y = 0 (recherche des racines) OY : x = 0 Signes Asymptotes Croissance (f(x) et signes) Concavit (f(x) et signes) Tableau rcapitulatif (avec min, Max, PI, P.rebr, P.ang ) Graphique
TRIANGLES RECTANGLES
Pythagore : a + b = c
adjacentctopposct
hypotnuseadjacentct
hypotnuseopposct
tan
cos
sin
Relations relatives la hauteur CH CH = BH . HA CA = BA . HA BC = BA . BH Relation relative la mdiane CM CM = BA
TRIANGLES QUELCONQUES Aire = a b sin C Pythagore gnralis : a = b + c - 2bc cos A
Rgle des sinus : c
Cb
Ba
A sinsinsin
Rgle des cosinus : a = b cos C + c cos B VECTEURS
2BcoordAcoordMcoord
coordABcoordABcoordvcoord
PRODUIT SCALAIRE
)('.cos... BABABA zzyyxxOBOAAOBOBOAOBOA Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls est nul ssi les vecteurs sont orthogonaux EQUATIONS DE DROITES d y yA = a (x xA)
coef.dir. )(tan
x
y
vv
xy
abscissesdiffrenceordonnesdiffrencea
EQUATION DU CERCLE C (x xc) + (y yc) = r EQUATIONS DUN PLAN ax + by + cz + d = 0 rem : (a,b,c) est un vecteur normal au plan
LES CONIQUES Dfinition : P ssi PF=Pd. e Equation gnrale : C (x + k) + y = e (x + (k + p)) avec F(k,0) et d x = k + p (p0)
a) La parabole : On appelle parabole, le lieu gomtrique des points quidistants dun point fixe et dune droite fixe. P(x,y) P ssi y = 2px
b) Lellipse : On appelle ellipse, le lieu gomtrique des points dont la somme des distances deux points fixes est constante
P(x,y) E ssi 1
by
ax cbaavec
c) Lhyperbole : On appelle hyperbole, le lieu gomtrique des points dont les distances deux points fixes ont une diffrence constante en valeur absolue
P(x,y) H ssi 1
by
ax cbaavec
rem A.O. 0
by
ax ou x
aby
Equations des tangentes une parabole :
d) Equation de la tangente en un point dune parabole
)(, 00
0)00(xx
ypyyt yx ou )(, 00)00( xxpyyt yx
e) Equation de la tangente une parabole de direction "a" : apaxyt
2
Equations des tangentes une ellipse :
f) Equation de la tangente en un point de lellipse
1
00),( 00
b
yya
xxt yx
g) Equation de la tangente une ellipse de direction "m" bmamxyt
Equations des tangentes une hyperbole :
h) Equation de la tangente en un point de lhyperbole
)(
00
0),( 00
xxyaxbt yx
i) Equation de la tangente une hyperbole de direction "m" bmamxyt
ANGLES 1 tour de cercle = 2 = (360) ;1 radian = 3.57
2360
; 1 = 60 = 3600
2360 rs
rl
angle tangentiel = angle au centre = le double de langle inscrit NOMBRES TRIGONOMETRIQUES (rem : nous utiliserons indiffremment les notations tan ou tg pour tangente et cot ou cotg pour cotangente)
ZkkECtg
ZkkEC
,:..sincos1cot
,2/:..cossintan
priodes : sin et cos : 2 tg et cotg :
ANGLES ASSOCIES 2 angles opposs ( et ) : symtriques par rapport laxe des cos 2 angles supplmentaires ( )( et ) : symtriques par rapport laxe des sin 2 angles antisupplmentaires ( )( et ) : symtriques par rapport O
2 angles complmentaires ( )2
( et ) : symtrique par rapport la premire
bissectrice (rem : )2
cos(sin )
ANGLES REMARQUABLES 0 30 45 60 90 180 270 360 0 /6 /4 /3 /2 3 /2 2
sin 0 22
23 1 0 -1 0
cos 1 23
22 0 -1 0 1
tg 0 33 1 3 / 0 / 0
cotg / 3 1 33 0 / 0 /
Formule fondamentale : sina
