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This article was downloaded by: [Universitat Politècnica de València] On: 28 October 2014, At: 14:23 Publisher: Taylor & Francis Informa Ltd Registered in England and Wales Registered Number: 1072954 Registered office: Mortimer House, 37-41 Mortimer Street, London W1T 3JH, UK Revue Française de Génie Civil Publication details, including instructions for authors and subscription information: http://www.tandfonline.com/loi/tece18 Formulation « dissociée » des poutres mixtes Amine Khadimallah a , Wiem Ben Hasine a , Hedi Hassis a & Abdelwahed Ben Hamida b a Laboratoire de Génie Civil, LGC, Ecole Nationale d'Ingénieurs de Tunis , BP 37 le Belvédère, 1002, Tunis Tunisie E-mail: b LM2S Université Pierre et Marie Curie , 4, place Jussieu Case 161, F-75252, Paris cedex 5 E-mail: Published online: 05 Oct 2011. To cite this article: Amine Khadimallah , Wiem Ben Hasine , Hedi Hassis & Abdelwahed Ben Hamida (2004) Formulation « dissociée » des poutres mixtes, Revue Française de Génie Civil, 8:4, 439-455, DOI: 10.1080/12795119.2004.9692614 To link to this article: http://dx.doi.org/10.1080/12795119.2004.9692614 PLEASE SCROLL DOWN FOR ARTICLE Taylor & Francis makes every effort to ensure the accuracy of all the information (the “Content”) contained in the publications on our platform. However, Taylor & Francis, our agents, and our licensors make no representations or warranties whatsoever as to the accuracy, completeness, or suitability for any purpose of the Content. Any opinions and views expressed in this publication are the opinions and views of the authors, and are not the views of or endorsed by Taylor & Francis. The accuracy of the Content should not be relied upon and should be independently verified with primary sources of information. Taylor and Francis shall not be liable for any losses, actions, claims, proceedings, demands, costs, expenses, damages, and other liabilities whatsoever or howsoever caused arising directly or indirectly in connection with, in relation to or arising out of the use of the Content. This article may be used for research, teaching, and private study purposes. Any substantial or systematic reproduction, redistribution, reselling, loan, sub-licensing, systematic supply, or distribution in any form to anyone is expressly forbidden. Terms & Conditions of access and use can be found at http:// www.tandfonline.com/page/terms-and-conditions

Formulation « dissociée » des poutres mixtes

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Page 1: Formulation « dissociée » des poutres mixtes

This article was downloaded by: [Universitat Politècnica de València]On: 28 October 2014, At: 14:23Publisher: Taylor & FrancisInforma Ltd Registered in England and Wales Registered Number: 1072954 Registered office: MortimerHouse, 37-41 Mortimer Street, London W1T 3JH, UK

Revue Française de Génie CivilPublication details, including instructions for authors and subscription information:http://www.tandfonline.com/loi/tece18

Formulation « dissociée » des poutres mixtesAmine Khadimallah a , Wiem Ben Hasine a , Hedi Hassis a & Abdelwahed Ben Hamida ba Laboratoire de Génie Civil, LGC, Ecole Nationale d'Ingénieurs de Tunis , BP 37 leBelvédère, 1002, Tunis Tunisie E-mail:b LM2S Université Pierre et Marie Curie , 4, place Jussieu Case 161, F-75252, Paris cedex5 E-mail:Published online: 05 Oct 2011.

To cite this article: Amine Khadimallah , Wiem Ben Hasine , Hedi Hassis & Abdelwahed Ben Hamida (2004) Formulation «dissociée » des poutres mixtes, Revue Française de Génie Civil, 8:4, 439-455, DOI: 10.1080/12795119.2004.9692614

To link to this article: http://dx.doi.org/10.1080/12795119.2004.9692614

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This article may be used for research, teaching, and private study purposes. Any substantial or systematicreproduction, redistribution, reselling, loan, sub-licensing, systematic supply, or distribution in anyform to anyone is expressly forbidden. Terms & Conditions of access and use can be found at http://www.tandfonline.com/page/terms-and-conditions

Page 2: Formulation « dissociée » des poutres mixtes

Revue française de génie civil. Volume 8 – n° 4/2004, pages 439 à 455

Formulation « dissociée » des poutres mixtes

Optimisation et prise en compte du glissement

Amine Khadimallah* — Wiem Ben Hasine* — Hedi Hassis*Abdelwahed Ben Hamida**

* Laboratoire de Génie Civil, LGC, Ecole Nationale d’Ingénieurs de TunisBP 37 le Belvédère1002 Tunis Tunisie

[email protected]

** LM2S Université Pierre et Marie Curie4, place Jussieu Case 161F-75252 Paris cedex 5

[email protected]

RÉSUMÉ. On présente ici une formulation, qualifiée de « dissociée », des poutres mixtespermettant la prise en compte d’un glissement éventuel entre l’acier et le béton. Cetteformulation permet aussi l’optimisation des poutres mixtes en imposant des conditionsspécifiques. Au niveau des applications, l’excentricité a été optimisée.

ABSTRACT. Here is presented a dissociated formulation for the steal concrete beams. Thisformulation can take into account the sliding between the steel and the concrete. By satisfyinga criterion, it can be used to optimize the steel-concrete beams. In the applications, theeccentricity between steel and concrete cross section is optimised.

MOTS-CLÉS : formulation dissociée, glissement, optimisation, poutres mixtes.

KEYWORDS: dissociated formulation, sliding, optimisation, steel concrete beams.Dow

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440 Revue française de génie civil. Volume 8 – n° 4/2004

1. Introduction

Par rapport aux structures en acier ou en béton, les structures mixtes offrent denombreux avantages : la présence du béton peut améliorer fortement la résistance etla stabilité des éléments en acier, aussi bien pour les charges normalementappliquées aux structures que pour des actions accidentelles, telles que l’incendie oul’action sismique ([RAM 98], [RAM 01], [THO 92]). Par ailleurs, par rapport auxstructures en béton, les structures mixtes peuvent être plus simples, plus rapides àconstruire, et plus économiques. C’est le cas des ponts mixtes, de portées moyennes,qui ont pris l’avantage sur les ponts en béton au cours des quinze dernières années.Ainsi que le cas des bâtiments à ossatures en acier où, de nos jours, on réalise laplupart des planchers avec des dalles mixtes, constituées de tôles minces en acierprofilées à froid qui servent à la fois de coffrage pour le coulage de la dalle, etd’armature, une fois le béton durci. Les structures constituées de poutres mixtesacier-béton peuvent être totalement ou partiellement enrobées. Pour les calculs de cetype de structures, on considère souvent que les composants (acier et béton) sontsolidaires et que le modèle de la poutre équivalente est suffisant. Des formules decalcul des caractéristiques géométriques et mécaniques de la section équivalentesont alors proposées, ([APK 01], [EUR Ia], [EUR Ib], [EUR IV]). Les sections desdifférents constituants et l’excentricité éventuelle de l’acier sont définis par desrecommandations constructives (Eurocodes) qui seront par la suite modifiées afin derespecter les règles de l’art (non dépassement de la limite élastique, stabilité…).L’utilisation optimale des matériaux n’est pas ainsi garantie.

La formulation présentée ici propose que chaque constituant a des effortsintérieurs (utilisant les caractéristiques mécaniques et géométriques de chaqueconstituant) écrits dans son repère principal d’inertie et représentés par un torseur.Des liaisons cinématiques sont écrites ensuite entre les torseurs associés à chaquesection pour décrire un mouvement solidaire des deux sections ou un glissementéventuel entre les sections. Cette approche, qualifiée de « dissociée », permet defaire apparaître des paramètres mécaniques et géométriques qui sont utilisés pouroptimiser les caractéristiques mécaniques des matériaux et les sections ou bienl’excentricité relative des constituants. Cette formulation permet aussi d’introduiredes phénomènes spécifiques comme le glissement entre l’acier et le béton. Lesapplications présentées ici ont été axées sur l’optimisation de l’excentricité relativedes centres d’inertie des constituants, la formulation théorique étant générale.

2. Présentation de la formulation « dissociée »

2.1. Introduction

Soit une poutre mixte constituée d’une poutre, dite matrice (béton), et d’unepoutre, dite de renforcement (acier). On considère que l’excentricité de la poutrematrice par rapport à la poutre renforcement est caractérisée par un vecteur

Dow

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Formulation « dissociée » des poutres mixtes 441

excentricité Er

. Les matériaux des différents constituants sont considéréshomogènes, élastiques et isotropes. La description géométrique des sections desconstituants est présentée dans la figure 1. Eventuellement, les sections peuvent nepas être symétriques et ne pas avoir le même repère principal d’inertie.

Figure 1. Description géométrique des sections des constituants

)z,y,x,(O mmmrrr

et )z,y,x,(O rrrrrr

sont respectivement les repères principauxd’inertie de la section matrice et de la section renforcement.

Dans cette approche, chaque section est dotée d’une cinématique propre ; desliaisons cinématiques sont définies pour modéliser le comportement d’ensemble dela poutre mixte. Les efforts généralisés et les lois de comportement sont définis pourchaque constituant. Le principe des puissances virtuelles est utilisé pour déterminerles équations d’équilibre et les conditions aux limites relatives à cette modélisation.

2.2. Champs de vitesse

La cinématique de la poutre mixte est définie par la cinématique des différentsconstituants et des conditions à l’interface. Le mouvement de chaque constituant estdéfini par les torseurs suivants (voir aussi paragraphe 2.7) :

Ω

Ωm

m

r

r

uur

r

r

r

;

Om

Or

mrOOE =r

zr

yr

matrice

renforcement

zm

ym

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442 Revue française de génie civil. Volume 8 – n° 4/2004

ur

et Ωr

sont les éléments de réduction du torseur cinématique de la section (vitesseinstantanée de rotation de la section et vitesse d’un point de la section).

2.3. Efforts intérieurs dissociés

On considère que les efforts intérieurs de chaque constituant sont représentés parun torseur écrit dans le repère principal d’inertie de la section du constituant :

– pour la poutre renforcement :

)O(M

X

rr

r

r

r

; avec

),,,r(O3

2

1

),,,r(O2

1 ;

rzryx

r

r

r

r

rzryx

r

r

r

r

M

M

M

M

V

V

N

X

rrrrrr

rr

=

= [1]

– pour la poutre matrice :

)O(M

X

mm

m

r

r

; avec

),,,(O3

2

1

),,,(O2

1 ;

mzrmyxm

m

m

m

p

mzrmyxm

m

m

m

m

M

M

M

M

V

V

N

X

rrrrrr

rr

=

= [2]

– les efforts d’interaction sont représentés par le torseur suivant :

i

i

M

Xr

r

[3]

L’indice m est relatif à la matrice, r au renforcement et i à l’interaction. N estl’effort normal, V est l’effort tranchant et M est le moment.

2.4. Puissance des efforts intérieurs « dissociés »

La puissance des efforts intérieurs, avec prise en compte des effortsd’interaction, pour les deux phases s’écrit :

Dow

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Page 6: Formulation « dissociée » des poutres mixtes

Formulation « dissociée » des poutres mixtes 443

( )∫

Ω−Ω+−−

Ω+

ΩΛ+−

Ω+

ΩΛ+−=

L

rmirmi

L

m

mmm

m

L

r

rrr

ri

dxMuuX

dxdx

dMx

dx

udX

dxdx

dMx

dx

udXP

ii ..

..

..

rrrr

rrrr

rrrr

[4]

xr

est le vecteur unitaire directeur de la poutre, et miur

(respectivement riur

) est la

vitesse de la matrice (respectivement celle du renforcement) au niveau de la surfacede contact entre la matrice et le renforcement.

Après intégration par partie, la puissance des efforts intérieurs s’écrit :

( )Lm

mmmLr

rrr

L

rmirmi

L

mmmmm

m

L

rrrrr

r

i

MuXMuX

dxMuuX

dxdx

MdXxu

dx

Xd

dxdx

MdXxu

dx

XdP

ii

00

....

..

...

...

Ω+−

Ω+−

Ω−Ω+−−

Ω+ΩΛ++

Ω+ΩΛ+=

rrrrrr

rrrr

rrrr

r

rrrr

r

[5]

2.5. Puissance des efforts extérieurs

La puissance des efforts extérieurs appliqués à la poutre s’écrit :

[ ] [ ]

)(.)(.)0(.)0(.

)(.)(.)0(.)0(.

dx ..dx ..

00

00

LL

LmLuFmuF

LmLuFmuF

muFmuFP

mmL

mmmmmm

rrL

rrL

rrrr

mmmmrrrre

LΩ++Ω++

Ω++Ω++

∫ Ω++∫ Ω+=

rrrrrrrr

rrrrrrrr

rrrrrrrr

[6]

Avec, rFr

(respectivement mFr

) la densité linéique de forces appliquées sur lapoutre renforcement (respectivement matrice), rm

r (respectivement mm

r) la densité

linéique de moments appliqués sur la poutre renforcement (respectivement matrice) :

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444 Revue française de génie civil. Volume 8 – n° 4/2004

( )mr00

F,Frr

; ( )mL

rL F,F

rr : les forces appliquées en x = 0 et en x = L,

( )mr00

m,mrr

; ( )mrLL

m,mrr

: les moments appliqués en x = 0 et en x = L.

2.6. Equations d’équilibre et conditions aux limites

L’application du principe des puissances virtuelles permet d’écrire les équationsd’équilibre suivantes :

0

0

0

0

rrrrrr

rrrrrr

rrrr

rrrr

=+−Λ+•

=++Λ+•

=+−•

=++•

mimm

rirr

mim

rir

mMXxdx

Md

mMXxdx

Md

FXdx

Xd

FXdx

Xd

[7]

et les conditions aux limites suivantes :

0)0(

0)0(

0)0(

0)0(

0

0

0

0

0

rrr

rrr

rrr

rrr

=+•

=+•

=+•

=+•

=

mm

rr

mm

rr

Mm

Mm

XF

XF

xen

0)(

0)(

0)(

0)(

rrr

rrr

rrr

rrr

=−•

=−•

=−•

=−•

=

LMm

LMm

LXF

LXF

Lxen

mmL

rrL

mmL

rrL

[8]

2.7. Liaison cinématique entre constituants

La liaison entre le renforcement et la matrice peut être une liaison sansglissement (contact parfait) ou avec glissement. Les deux cas suivants peuvent êtreintéressants :

Dow

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Formulation « dissociée » des poutres mixtes 445

Cas 1 : liaison sans glissement (contact parfait)

Dans ce cas, on considère que les deux sections ont la même rotation, ,Ω et qu’iln’y a pas de glissement entre les deux matériaux à l’interface. Dans ce cas, il estintéressant (voir applications) d’expliciter la cinématique de la poutre matrice enfonction de celle de la poutre renforcement (acier) définie par le torseur suivant :

rur

Ωr

est la vitesse instantanée de rotation de la section de la poutre renforcement etcelle de la poutre matrice. ru

r est la vitesse de la ligne moyenne passant par le

centre d’inertie de la section du renforcement, Or. (voir figure 1). Le torseur associéau mouvement de la poutre matrice (béton), écrit au centre d’inertie de la poutrematrice, Om, prend alors l’expression suivante :

+= Eu )O(u rm

mrrrr

r

ΛΩ

Ω[9]

Er

est le vecteur excentricité défini par OOE mr=r

.

Tenant compte de [9], l’application du principe des puissances virtuelles aboutitaux équations d’équilibre suivantes :

( ) ( )0

0

rrrrr

rrrrr

rrrrr

=++Λ

−+Λ++•

=+++•

mrm

mrmr

mrmr

mmdx

EXdXXx

dx

Md

dx

Md

FFdx

Xd

dx

Xd

[10]

et les conditions aux limites s’écrivent :

( ) 0)0()0()0(

0)0()0(

0

00

00rrrrrrr

rrrrr

=Λ−+++•

=+++•

=

EXMMmm

XXFF

xen

mmrmr

mrmr [11a]

( ) 0)()()(

0)()(rrrrrrr

rrrrr

=Λ−−−+•

=−−+•

=

ELXLMLMmm

LXLXFF

Lxen

mmrmr

mrmr

LL

LL[11b]

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446 Revue française de génie civil. Volume 8 – n° 4/2004

Cas 2 : liaison avec glissement longitudinal (même rotation)

Dans ce cas, la vitesse et les efforts intérieurs sont décomposés en une partietransversale, indicée par t, et en une partie longitudinale (de glissement), indicée par l.Au niveau de l’interface, les équations de liaison sont :

xuxututu ri

mi

ri

mi

rrrrrrrr.... ≠=

tr

est un vecteur appartenant à la section et xr

est un vecteur tangent à la lignemoyenne.

Les équations d’équilibre s’écrivent alors :

( ) ( )0

0

0

0

rrrrr

rrrrr

rrrrr

=++Λ

−+Λ++•

=+++•

=+−•

=++•

mrm

mrmr

mt

rt

mr

ml

il

ml

rl

il

rl

mmdx

EXdXXx

dx

Md

dx

Md

FFdx

Xd

dx

Xd

FXdx

dX

FXdx

dX

tt

[12]

2.8. Lois de comportement

Dans cette approche, les lois de comportement sont définies par phase. Pour lecas d’une liaison complète (contact parfait) entre les deux constituants, ellesprennent les expressions suivantes (dans ce qui suit, le repère principal d’inertie dela section matrice est obtenu par translation de celui de la section renforcement) :

– pour la phase renforcement :

dx

duSEN

rrrr 1= [13a]

Ω−= 3

21 dx

duSGV

rrrr [13b]

Ω+= 2

32 dx

duSGV

rrrr [13c]

dx

dJGM rrr 1

= [13d]

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Formulation « dissociée » des poutres mixtes 447

dx

dIEM 2r

3rr

= [13e]

dx

dIEM 3r

2rr

= [13f]

– pour la phase matrice :

−+= m

23m

32

rmmm e

dx

de

dx

d

dx

duSE N 1 ΩΩ

[14a]

Ω−

Ω−= 33

12m1 G m

rmm e

dx

d

dx

duSV [14b]

Ω+

Ω+= 22

132

mr

mmm edx

d

dx

duSGV [14c]

dx

dJGM mmm 1

= [14d]

dx

dIEM 2m

3mm

= [14e]

dx

dIEM 3m

2mm

= [14f]

avec : E mentrespective ,E rp , le module d’Young de la phase matrice,

respectivement de la phase renforcement ; ,S mentrespective ,S rp la section de la

phase matrice, respectivement de la phase renforcement ; ,G mentrespective ,G rp le

module d’élasticité transversale de la phase matrice, respectivement de la phaserenforcement ; I mentrespective ,I r

ipi , le module d’inertie de la phase matrice,

respectivement de la phase renforcement, par rapport à l’axe Xi.

L’excentricité est définie par : ),,0( 32mm eeE =

r.

N.B : si le repère principal d’inertie de la section matrice n’est pas obtenu partranslation du celui de la section renforcement, la méthode des matrices de passagesera utilisée.

L’introduction des lois de comportement de chaque constituant, définies par leséquations [13] et [14], dans les équations d’équilibre [10] conduit à :

0E 1223

2

322

2

2

2m

2

211 =+

Ω−

Ω++• Fe

dx

de

dx

d

dx

udS

dx

udSE mm

rm

rrr [15a]

Dow

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23 2

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er 2

014

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448 Revue française de génie civil. Volume 8 – n° 4/2004

0G 23

321

2

2

2m3

2

222 =+

Ω−

Ω−+

Ω−• F

dx

de

dx

d

dx

udS

dx

d

dx

udSG m

rm

rrr [15b]

0Fdx

de

dx

d

dx

udSG

dx

d

dx

udSG 3

2m22

12

2

r2mm2

2

r2rr 33 =+

+

++

+•

ΩΩΩ [15c]

0G 133312m

22213

21

2

21

2

=+

Ω−

Ω−−

Ω+

Ω++

Ω+

Ω•

meedx

d

dx

duS

eedx

d

dx

duSG

dx

dJG

dx

dJG

mmr

m

mmr

mmrrmm

[15d]

0E 23223

2

322

2

21

2m

2213

23

22

2

322

2

3

=+

Ω−

Ω++

Ω+

Ω+−

Ω+−

Ω+

Ω•

meedx

de

dx

d

dx

udS

edx

duSG

dx

duSG

dx

dIE

dx

dIE

mmmm

mr

mm

rrrmmrr

15e]

0E

G

32223

2

322

2

21

2m

3312m

32

23

2

223

2

2

=+

Ω−

Ω+−

Ω−

Ω−+

Ω−+

Ω+

Ω•

meedx

de

dx

d

dx

udS

edx

d

dx

duS

dx

duSG

dx

dIE

dx

dIE

mmmr

m

mr

m

rrrmmrr

[15f]

REMARQUE.— Pour le cas d’un glissement relatif, la loi de glissement couramment

utilisée est de la forme : )( rl

mlg

il UUEX −= ; voir [ARI 93]. Cette loi est obtenue

par une expérience d’arrachement. Eg est le facteur de proportionnalité entre l’effort

d’arrachement, ilX et le déplacement relatif entre les deux matériaux, )( r

lml UU − .

Dow

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er 2

014

Page 12: Formulation « dissociée » des poutres mixtes

Formulation « dissociée » des poutres mixtes 449

2.9. Optimisation de la poutre mixte

Les équations [15] font apparaître les paramètres suivants : les caractéristiquesmécaniques des matériaux utilisés, la section et l’inertie des constituants, etl’excentricité de la poutre matrice par rapport à la poutre renforcement. Cesparamètres peuvent être définis par le concepteur ou bien optimisés. L’optimisationpasse par l’introduction d’un critère d’optimisation (voir applications).

3. Applications

Les applications de la section suivante seront axées sur l’optimisation del’excentricité.

3.1. Introduction

Afin d’illustrer la méthode et de déterminer l’excentricité « optimale » de lamatrice, les exemples suivants seront analysés :

– une poutre mixte encastrée-libre et soumise à un moment à son extrémité ;

– une poutre mixte sur deux appuis simples, et soumise à un chargementtransversal constant ;

3.2. Poutre console soumise à un moment à son extrémité

Soit une poutre console, de longueur L, soumise à un moment fléchissant, M, àson extrémité (voir figure 2). Les sections de chaque constituant et lescaractéristiques mécaniques sont données.

Figure 2. Schéma de la poutre console

La liaison entre la poutre matrice et la poutre renforcement est une liaisoncomplète. L’objectif étant la détermination de l’excentricité, dite optimale, de lapoutre matrice par rapport à la poutre renforcement afin de faire satisfaire le« critère » suivant : faire travailler totalement la section du béton en compression.

yM z

0m

OrxL

y

Dow

nloa

ded

by [

Uni

vers

itat P

olitè

cnic

a de

Val

ènci

a] a

t 14:

23 2

8 O

ctob

er 2

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Page 13: Formulation « dissociée » des poutres mixtes

450 Revue française de génie civil. Volume 8 – n° 4/2004

Dans ce cas, la flexion est dans le plan (x,y), la cinématique de la poutre est donc

définie par ( )321 ,, Ωrr uu . Les équations d’équilibre [15] se réduisent à :

0E 223

2

21

2m

21

2

=

Ω−+• m

rm

rrr e

dx

d

dx

udS

dx

udSE [16a]

0G 322

2m3

22

2

=

Ω−+

Ω−•

dx

d

dx

udS

dx

d

dx

udSG

rm

rrr [16b]

0EG 32223

2

21

2m

32m

32

23

2

223

2

2

=+

Ω−−

Ω−+

Ω−+

Ω+

Ω•

meedx

d

dx

udS

dx

duS

dx

duSG

dx

dIE

dx

dIE

mmr

mr

m

rrrmmrr

[16c]

Les conditions aux limites sont :

;0)L(N)L(N ;0)0(u

;M)L(M)L(M ;0)0(

0; )L(T)L(T ;0)0(u

rmr2

rm3

rmr1

=+=

=+=

=+=

Ω [17]

La résolution du système d’équations différentielles (équations [16]) et tenantcompte des conditions aux limites (équation [17]) donne :

• xESESIEIE

MeSExu

rrmmrrmm

mrrr

))(()(

33

21 ++

−= [18a]

• xIEIE

Mx

rrmm33

3 )(+

=Ω [18b]

• 2

332 2

1)( x

IEIE

Mxu

rrmmr

+= [18c]

En utilisant les lois de comportement et la solution définie par l’équation [18],les efforts intérieurs sont calculés, entre autres, en fonction de l’excentricité. Lacontrainte axiale est définie par :

Dow

nloa

ded

by [

Uni

vers

itat P

olitè

cnic

a de

Val

ènci

a] a

t 14:

23 2

8 O

ctob

er 2

014

Page 14: Formulation « dissociée » des poutres mixtes

Formulation « dissociée » des poutres mixtes 451

MyeSESE

SE

IEIE

Ey

I

M

S

N mrrmm

rr

rrmm

m

m

m

m

mm

+−

+=−= 2

333

σ [19a]

Pour la fibre inférieure de la matrice (béton), définie par2

mhy −= , la contrainte

axiale prend l’expression suivante :

Mh

eSESE

SE

IEIE

E mm

rrmm

rr

rrmm

mm

+

+−

+=

2233

σ [19b]

En imposant à la matrice de travailler totalement en compression, 0<mσ(convention de signe de la mécanique des milieux continus), l’excentricité« optimale » de la matrice par rapport au renforcement est définie par l’expressionsuivante :

+>

r

m

r

mmm

S

S

E

Ehe 1

2

12 [19c]

3.3. Poutre mixte appuyée simplement et soumise à un chargement transversal

Soit une poutre mixte, de longueur L = 15 m, simplement appuyée et soumise àun chargement transversal descendant q = 32 KN/m (voir figure 3). La section de lamatrice est une section rectangulaire de 0,35 m x 0,8 m et la section du renforcementest un profilée en I (HEA600 : Sr = 0,02265 m2 ; Ir = 1 412 E-6 m4). Pour unevariante non excentrée, la contrainte de la fibre comprimée de la matrice dépasse lalimite élastique (prise ici égale à 15 MPA).

Variante non Variante

excentrée excentrée

Figure 3. Schéma de la poutre mixte simplement appuyée

0,35

z

y

q = 32 000 N/m

L = 15 m

0,8 0,6

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452 Revue française de génie civil. Volume 8 – n° 4/2004

La liaison entre la poutre matrice et celle de renforcement est une liaisoncomplète. On se propose de choisir une variante excentrée. L’objectif étant ladétermination de l’excentricité, dite optimale, de la poutre matrice par rapport à lapoutre renforcement, afin de satisfaire le « critère » suivant : faire travailler le bétondans le domaine élastique. Dans ce cas, la flexion est dans le plan (x,z), la

cinématique de la poutre est donc définie par ( )231 ,, Ωrr uu . Les équations

d’équilibre [15] se réduisent à :

0E 322

2

21

2m

21

2

=

Ω++• m

rm

rrr e

dx

d

dx

udS

dx

udSE [20a]

0223

22

23

2

=−

Ω++

Ω+• q

dx

d

dx

udSG

dx

d

dx

udSG

rmm

rrr [20b]

0E 3322

2

21

2m

23

23

22

2

322

2

3

=

Ω++

Ω+−

Ω+−

Ω+

Ω•

mmr

mr

mm

rrrmmrr

eedx

d

dx

udS

dx

duSG

dx

duSG

dx

dIE

dx

dIE

[20c]

avec les conditions aux limites suivantes :

0)0()0(

0)0()0(

0)0(

22

3

=+

=+

=

mr

mr

r

MM

NN

u

0)L(M)L(M

0)L(N)L(N

0)L(u

mr

mr

r

22

3

=+

=+

=

[21]

Le système d’équations a été résolu en utilisant le logiciel de calcul formelMaple 6. Les déplacements généralisés u1(x), u3(x) et Ω2(x) sont déterminés enfonction des caractéristiques mécaniques, géométriques et principalement enfonction de l’excentricité :

))(1)((

64

24

1)(

231

223

3232

33

1 mrrmm

mmmr

eSGSG

xLqexqeqLexu

αα

αααααα

+−+

−+=• [22a]

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t 14:

23 2

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Formulation « dissociée » des poutres mixtes 453

))(1)((

)12122

24

1

))(1)((

)(12)(12(

24

1)(

231

32

32

22

231

231

231

3

mrrmm

mrrmm

mmr

eSGSG

qxxxLLxL

eSGSG

xeLexu

ααααα

αα

αααα

+−+

−−++−

+−+

+−=•

[22b]

))(1)((

)64(

24

1)(

231

2323

2 mrrmm eSGSG

qLxLxx

αα

α

+−+

+−−=Ω• [22c]

avec :

SE

ES

S

rm

rm

m

+=α ;

( )2333

1mmr

m

rm

m

eSIE

EI

S

++=α ;

( )2333

2mmmrrmm

rrmm

eSEIEIE

SGSG

++

+=α [23]

En 2

Lx = (où le moment intérieur total est maximum) et au niveau de la fibre

supérieure comprimée, l’expression de la contrainte de la poutre matrice s’écrit :

( )

++++

++−=

2

3332

32

32

)()(

))(2(

16

1

mrmmmrrmrmmmrrr

mmrrmrrmmm

eSSSESIEESIESIE

SESEhSEeLEqσ [24]

Figure 4. Evolution de la contrainte axiale dans la poutre matrice et dans la poutrerenforcement

σ

(________) béton (matrice) ;(°°°°°°°°°°) acier (renforcement)

Z(m)

σ (N/m2)

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454 Revue française de génie civil. Volume 8 – n° 4/2004

Pour cette application, on souhaite déterminer l’excentricité, dite optimale, enimposant à la contrainte, dans ce cas de compression, maximale de la poutre matrice,

mσ , ne doit pas dépasser la limite élastique, MPa15=σ ( σσ <m ).

D’après les résultats du calcul, cette condition est vérifiée pour une excentricitésupérieure à 0,24 m. Pour cette valeur de l’excentricité, l’évolution, en fonction de z,de la contrainte axiale dans la poutre matrice et dans la poutre renforcement estreprésentée en figure 4. On vérifie bien que la limite élastique en compression n’estpas dépassée.

4. Conclusion et perspectives

Afin d’optimiser les poutres mixtes, une formulation, basée sur unereprésentation dissociée des efforts intérieurs de chaque constituant, a été proposée.Au niveau des applications, les sections des deux constituants ont été considéréescomme solidaires mais l’approche est générale. Cette approche qui a été qualifiée de« dissociée » fait apparaître des caractéristiques mécaniques et géométriques(principalement l’excentricité) qui ont été utilisés pour l’optimisation des poutresmixtes traitées en applications.

La formulation théorique obtenue peut tenir compte d’un glissement éventuelentre les deux matériaux avec des lois de comportement de glissement.

Remerciements

Ce travail a été partiellement supporté par le secrétariat d’Etat la Recherchescientifique et à la Technologie (tunisien) et le projet PIC entre l’Universitécatholique de Louvain (UCL) et l’ENIT.

5. Bibliographie

[APK 01] APK (Association pour la Promotion de l’Enseignement de la Constructiond’Acier), Construction métallique et mixte acier béton. Conception et mise en œuvre,tome 2, Eyrolles Delta, 2001.

[ARI 93] Aribert J.M., Ragneau E., Xu H., « Développement d’un élément fini de poutremixte acier-béton intégrant les phénomènes de glissement et de semi-continuité avecéventuellement voilement local », Construction métallique, n° 2, 1993.

[EUR Ia] Eurocode I, Bases de calcul et actions sur les structures, P06-101.

[EUR Ib] Eurocode I, Documents d’application nationale, AFNOR, 1996.

[EUR IV] Eurocode IV, Conception et dimensionnement des structures mixtes acier – béton,1994 (P22-391 ; P22-392 ; P22-395).

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Page 18: Formulation « dissociée » des poutres mixtes

Formulation « dissociée » des poutres mixtes 455

[RAM 98] Ramazanov E., Charpentes métalliques : calcul des éléments selon l’Eurocode 3,Centre de publication universitaire, 1998.

[RAM 01] Ramazanov E., Calcul des constructions mixtes, Centre de publicationuniversitaire, 2001.

[THO 92] Thonier H., Conception et calcul des structures de bâtiments, Presses de l’Ecolenationale des ponts et chaussées, 1992.

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