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This article was downloaded by: [Universitat Politècnica de València]On: 28 October 2014, At: 14:23Publisher: Taylor & FrancisInforma Ltd Registered in England and Wales Registered Number: 1072954 Registered office: MortimerHouse, 37-41 Mortimer Street, London W1T 3JH, UK
Revue Française de Génie CivilPublication details, including instructions for authors and subscription information:http://www.tandfonline.com/loi/tece18
Formulation « dissociée » des poutres mixtesAmine Khadimallah a , Wiem Ben Hasine a , Hedi Hassis a & Abdelwahed Ben Hamida ba Laboratoire de Génie Civil, LGC, Ecole Nationale d'Ingénieurs de Tunis , BP 37 leBelvédère, 1002, Tunis Tunisie E-mail:b LM2S Université Pierre et Marie Curie , 4, place Jussieu Case 161, F-75252, Paris cedex5 E-mail:Published online: 05 Oct 2011.
To cite this article: Amine Khadimallah , Wiem Ben Hasine , Hedi Hassis & Abdelwahed Ben Hamida (2004) Formulation «dissociée » des poutres mixtes, Revue Française de Génie Civil, 8:4, 439-455, DOI: 10.1080/12795119.2004.9692614
To link to this article: http://dx.doi.org/10.1080/12795119.2004.9692614
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Revue française de génie civil. Volume 8 – n° 4/2004, pages 439 à 455
Formulation « dissociée » des poutres mixtes
Optimisation et prise en compte du glissement
Amine Khadimallah* — Wiem Ben Hasine* — Hedi Hassis*Abdelwahed Ben Hamida**
* Laboratoire de Génie Civil, LGC, Ecole Nationale d’Ingénieurs de TunisBP 37 le Belvédère1002 Tunis Tunisie
** LM2S Université Pierre et Marie Curie4, place Jussieu Case 161F-75252 Paris cedex 5
RÉSUMÉ. On présente ici une formulation, qualifiée de « dissociée », des poutres mixtespermettant la prise en compte d’un glissement éventuel entre l’acier et le béton. Cetteformulation permet aussi l’optimisation des poutres mixtes en imposant des conditionsspécifiques. Au niveau des applications, l’excentricité a été optimisée.
ABSTRACT. Here is presented a dissociated formulation for the steal concrete beams. Thisformulation can take into account the sliding between the steel and the concrete. By satisfyinga criterion, it can be used to optimize the steel-concrete beams. In the applications, theeccentricity between steel and concrete cross section is optimised.
MOTS-CLÉS : formulation dissociée, glissement, optimisation, poutres mixtes.
KEYWORDS: dissociated formulation, sliding, optimisation, steel concrete beams.Dow
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1. Introduction
Par rapport aux structures en acier ou en béton, les structures mixtes offrent denombreux avantages : la présence du béton peut améliorer fortement la résistance etla stabilité des éléments en acier, aussi bien pour les charges normalementappliquées aux structures que pour des actions accidentelles, telles que l’incendie oul’action sismique ([RAM 98], [RAM 01], [THO 92]). Par ailleurs, par rapport auxstructures en béton, les structures mixtes peuvent être plus simples, plus rapides àconstruire, et plus économiques. C’est le cas des ponts mixtes, de portées moyennes,qui ont pris l’avantage sur les ponts en béton au cours des quinze dernières années.Ainsi que le cas des bâtiments à ossatures en acier où, de nos jours, on réalise laplupart des planchers avec des dalles mixtes, constituées de tôles minces en acierprofilées à froid qui servent à la fois de coffrage pour le coulage de la dalle, etd’armature, une fois le béton durci. Les structures constituées de poutres mixtesacier-béton peuvent être totalement ou partiellement enrobées. Pour les calculs de cetype de structures, on considère souvent que les composants (acier et béton) sontsolidaires et que le modèle de la poutre équivalente est suffisant. Des formules decalcul des caractéristiques géométriques et mécaniques de la section équivalentesont alors proposées, ([APK 01], [EUR Ia], [EUR Ib], [EUR IV]). Les sections desdifférents constituants et l’excentricité éventuelle de l’acier sont définis par desrecommandations constructives (Eurocodes) qui seront par la suite modifiées afin derespecter les règles de l’art (non dépassement de la limite élastique, stabilité…).L’utilisation optimale des matériaux n’est pas ainsi garantie.
La formulation présentée ici propose que chaque constituant a des effortsintérieurs (utilisant les caractéristiques mécaniques et géométriques de chaqueconstituant) écrits dans son repère principal d’inertie et représentés par un torseur.Des liaisons cinématiques sont écrites ensuite entre les torseurs associés à chaquesection pour décrire un mouvement solidaire des deux sections ou un glissementéventuel entre les sections. Cette approche, qualifiée de « dissociée », permet defaire apparaître des paramètres mécaniques et géométriques qui sont utilisés pouroptimiser les caractéristiques mécaniques des matériaux et les sections ou bienl’excentricité relative des constituants. Cette formulation permet aussi d’introduiredes phénomènes spécifiques comme le glissement entre l’acier et le béton. Lesapplications présentées ici ont été axées sur l’optimisation de l’excentricité relativedes centres d’inertie des constituants, la formulation théorique étant générale.
2. Présentation de la formulation « dissociée »
2.1. Introduction
Soit une poutre mixte constituée d’une poutre, dite matrice (béton), et d’unepoutre, dite de renforcement (acier). On considère que l’excentricité de la poutrematrice par rapport à la poutre renforcement est caractérisée par un vecteur
Dow
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Formulation « dissociée » des poutres mixtes 441
excentricité Er
. Les matériaux des différents constituants sont considéréshomogènes, élastiques et isotropes. La description géométrique des sections desconstituants est présentée dans la figure 1. Eventuellement, les sections peuvent nepas être symétriques et ne pas avoir le même repère principal d’inertie.
Figure 1. Description géométrique des sections des constituants
)z,y,x,(O mmmrrr
et )z,y,x,(O rrrrrr
sont respectivement les repères principauxd’inertie de la section matrice et de la section renforcement.
Dans cette approche, chaque section est dotée d’une cinématique propre ; desliaisons cinématiques sont définies pour modéliser le comportement d’ensemble dela poutre mixte. Les efforts généralisés et les lois de comportement sont définis pourchaque constituant. Le principe des puissances virtuelles est utilisé pour déterminerles équations d’équilibre et les conditions aux limites relatives à cette modélisation.
2.2. Champs de vitesse
La cinématique de la poutre mixte est définie par la cinématique des différentsconstituants et des conditions à l’interface. Le mouvement de chaque constituant estdéfini par les torseurs suivants (voir aussi paragraphe 2.7) :
Ω
Ωm
m
r
r
uur
r
r
r
;
Om
Or
mrOOE =r
zr
yr
matrice
renforcement
zm
ym
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ur
et Ωr
sont les éléments de réduction du torseur cinématique de la section (vitesseinstantanée de rotation de la section et vitesse d’un point de la section).
2.3. Efforts intérieurs dissociés
On considère que les efforts intérieurs de chaque constituant sont représentés parun torseur écrit dans le repère principal d’inertie de la section du constituant :
– pour la poutre renforcement :
)O(M
X
rr
r
r
r
; avec
),,,r(O3
2
1
),,,r(O2
1 ;
rzryx
r
r
r
r
rzryx
r
r
r
r
M
M
M
M
V
V
N
X
rrrrrr
rr
=
= [1]
– pour la poutre matrice :
)O(M
X
mm
m
r
r
; avec
),,,(O3
2
1
),,,(O2
1 ;
mzrmyxm
m
m
m
p
mzrmyxm
m
m
m
m
M
M
M
M
V
V
N
X
rrrrrr
rr
=
= [2]
– les efforts d’interaction sont représentés par le torseur suivant :
i
i
M
Xr
r
[3]
L’indice m est relatif à la matrice, r au renforcement et i à l’interaction. N estl’effort normal, V est l’effort tranchant et M est le moment.
2.4. Puissance des efforts intérieurs « dissociés »
La puissance des efforts intérieurs, avec prise en compte des effortsd’interaction, pour les deux phases s’écrit :
Dow
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Formulation « dissociée » des poutres mixtes 443
( )∫
Ω−Ω+−−
∫
Ω+
ΩΛ+−
∫
Ω+
ΩΛ+−=
L
rmirmi
L
m
mmm
m
L
r
rrr
ri
dxMuuX
dxdx
dMx
dx
udX
dxdx
dMx
dx
udXP
ii ..
..
..
rrrr
rrrr
rrrr
[4]
xr
est le vecteur unitaire directeur de la poutre, et miur
(respectivement riur
) est la
vitesse de la matrice (respectivement celle du renforcement) au niveau de la surfacede contact entre la matrice et le renforcement.
Après intégration par partie, la puissance des efforts intérieurs s’écrit :
( )Lm
mmmLr
rrr
L
rmirmi
L
mmmmm
m
L
rrrrr
r
i
MuXMuX
dxMuuX
dxdx
MdXxu
dx
Xd
dxdx
MdXxu
dx
XdP
ii
00
....
..
...
...
Ω+−
Ω+−
∫
Ω−Ω+−−
∫
Ω+ΩΛ++
∫
Ω+ΩΛ+=
rrrrrr
rrrr
rrrr
r
rrrr
r
[5]
2.5. Puissance des efforts extérieurs
La puissance des efforts extérieurs appliqués à la poutre s’écrit :
[ ] [ ]
)(.)(.)0(.)0(.
)(.)(.)0(.)0(.
dx ..dx ..
00
00
LL
LmLuFmuF
LmLuFmuF
muFmuFP
mmL
mmmmmm
rrL
rrL
rrrr
mmmmrrrre
LΩ++Ω++
Ω++Ω++
∫ Ω++∫ Ω+=
rrrrrrrr
rrrrrrrr
rrrrrrrr
[6]
Avec, rFr
(respectivement mFr
) la densité linéique de forces appliquées sur lapoutre renforcement (respectivement matrice), rm
r (respectivement mm
r) la densité
linéique de moments appliqués sur la poutre renforcement (respectivement matrice) :
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( )mr00
F,Frr
; ( )mL
rL F,F
rr : les forces appliquées en x = 0 et en x = L,
( )mr00
m,mrr
; ( )mrLL
m,mrr
: les moments appliqués en x = 0 et en x = L.
2.6. Equations d’équilibre et conditions aux limites
L’application du principe des puissances virtuelles permet d’écrire les équationsd’équilibre suivantes :
0
0
0
0
rrrrrr
rrrrrr
rrrr
rrrr
=+−Λ+•
=++Λ+•
=+−•
=++•
mimm
rirr
mim
rir
mMXxdx
Md
mMXxdx
Md
FXdx
Xd
FXdx
Xd
[7]
et les conditions aux limites suivantes :
0)0(
0)0(
0)0(
0)0(
0
0
0
0
0
rrr
rrr
rrr
rrr
=+•
=+•
=+•
=+•
=
mm
rr
mm
rr
Mm
Mm
XF
XF
xen
0)(
0)(
0)(
0)(
rrr
rrr
rrr
rrr
=−•
=−•
=−•
=−•
=
LMm
LMm
LXF
LXF
Lxen
mmL
rrL
mmL
rrL
[8]
2.7. Liaison cinématique entre constituants
La liaison entre le renforcement et la matrice peut être une liaison sansglissement (contact parfait) ou avec glissement. Les deux cas suivants peuvent êtreintéressants :
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Cas 1 : liaison sans glissement (contact parfait)
Dans ce cas, on considère que les deux sections ont la même rotation, ,Ω et qu’iln’y a pas de glissement entre les deux matériaux à l’interface. Dans ce cas, il estintéressant (voir applications) d’expliciter la cinématique de la poutre matrice enfonction de celle de la poutre renforcement (acier) définie par le torseur suivant :
rur
rΩ
Ωr
est la vitesse instantanée de rotation de la section de la poutre renforcement etcelle de la poutre matrice. ru
r est la vitesse de la ligne moyenne passant par le
centre d’inertie de la section du renforcement, Or. (voir figure 1). Le torseur associéau mouvement de la poutre matrice (béton), écrit au centre d’inertie de la poutrematrice, Om, prend alors l’expression suivante :
+= Eu )O(u rm
mrrrr
r
ΛΩ
Ω[9]
Er
est le vecteur excentricité défini par OOE mr=r
.
Tenant compte de [9], l’application du principe des puissances virtuelles aboutitaux équations d’équilibre suivantes :
( ) ( )0
0
rrrrr
rrrrr
rrrrr
=++Λ
−+Λ++•
=+++•
mrm
mrmr
mrmr
mmdx
EXdXXx
dx
Md
dx
Md
FFdx
Xd
dx
Xd
[10]
et les conditions aux limites s’écrivent :
( ) 0)0()0()0(
0)0()0(
0
00
00rrrrrrr
rrrrr
=Λ−+++•
=+++•
=
EXMMmm
XXFF
xen
mmrmr
mrmr [11a]
( ) 0)()()(
0)()(rrrrrrr
rrrrr
=Λ−−−+•
=−−+•
=
ELXLMLMmm
LXLXFF
Lxen
mmrmr
mrmr
LL
LL[11b]
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Cas 2 : liaison avec glissement longitudinal (même rotation)
Dans ce cas, la vitesse et les efforts intérieurs sont décomposés en une partietransversale, indicée par t, et en une partie longitudinale (de glissement), indicée par l.Au niveau de l’interface, les équations de liaison sont :
xuxututu ri
mi
ri
mi
rrrrrrrr.... ≠=
tr
est un vecteur appartenant à la section et xr
est un vecteur tangent à la lignemoyenne.
Les équations d’équilibre s’écrivent alors :
( ) ( )0
0
0
0
rrrrr
rrrrr
rrrrr
=++Λ
−+Λ++•
=+++•
=+−•
=++•
mrm
mrmr
mt
rt
mr
ml
il
ml
rl
il
rl
mmdx
EXdXXx
dx
Md
dx
Md
FFdx
Xd
dx
Xd
FXdx
dX
FXdx
dX
tt
[12]
2.8. Lois de comportement
Dans cette approche, les lois de comportement sont définies par phase. Pour lecas d’une liaison complète (contact parfait) entre les deux constituants, ellesprennent les expressions suivantes (dans ce qui suit, le repère principal d’inertie dela section matrice est obtenu par translation de celui de la section renforcement) :
– pour la phase renforcement :
dx
duSEN
rrrr 1= [13a]
Ω−= 3
21 dx
duSGV
rrrr [13b]
Ω+= 2
32 dx
duSGV
rrrr [13c]
dx
dJGM rrr 1
1Ω
= [13d]
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dx
dIEM 2r
3rr
2Ω
= [13e]
dx
dIEM 3r
2rr
3Ω
= [13f]
– pour la phase matrice :
−+= m
23m
32
rmmm e
dx
de
dx
d
dx
duSE N 1 ΩΩ
[14a]
Ω−
Ω−= 33
12m1 G m
rmm e
dx
d
dx
duSV [14b]
Ω+
Ω+= 22
132
mr
mmm edx
d
dx
duSGV [14c]
dx
dJGM mmm 1
1Ω
= [14d]
dx
dIEM 2m
3mm
2Ω
= [14e]
dx
dIEM 3m
2mm
3Ω
= [14f]
avec : E mentrespective ,E rp , le module d’Young de la phase matrice,
respectivement de la phase renforcement ; ,S mentrespective ,S rp la section de la
phase matrice, respectivement de la phase renforcement ; ,G mentrespective ,G rp le
module d’élasticité transversale de la phase matrice, respectivement de la phaserenforcement ; I mentrespective ,I r
ipi , le module d’inertie de la phase matrice,
respectivement de la phase renforcement, par rapport à l’axe Xi.
L’excentricité est définie par : ),,0( 32mm eeE =
r.
N.B : si le repère principal d’inertie de la section matrice n’est pas obtenu partranslation du celui de la section renforcement, la méthode des matrices de passagesera utilisée.
L’introduction des lois de comportement de chaque constituant, définies par leséquations [13] et [14], dans les équations d’équilibre [10] conduit à :
0E 1223
2
322
2
2
2m
2
211 =+
Ω−
Ω++• Fe
dx
de
dx
d
dx
udS
dx
udSE mm
rm
rrr [15a]
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0G 23
321
2
2
2m3
2
222 =+
Ω−
Ω−+
Ω−• F
dx
de
dx
d
dx
udS
dx
d
dx
udSG m
rm
rrr [15b]
0Fdx
de
dx
d
dx
udSG
dx
d
dx
udSG 3
2m22
12
2
r2mm2
2
r2rr 33 =+
+
++
+•
ΩΩΩ [15c]
0G 133312m
22213
21
2
21
2
=+
Ω−
Ω−−
Ω+
Ω++
Ω+
Ω•
meedx
d
dx
duS
eedx
d
dx
duSG
dx
dJG
dx
dJG
mmr
m
mmr
mmrrmm
[15d]
0E 23223
2
322
2
21
2m
2213
23
22
2
322
2
3
=+
Ω−
Ω++
Ω+
Ω+−
Ω+−
Ω+
Ω•
meedx
de
dx
d
dx
udS
edx
duSG
dx
duSG
dx
dIE
dx
dIE
mmmm
mr
mm
rrrmmrr
15e]
0E
G
32223
2
322
2
21
2m
3312m
32
23
2
223
2
2
=+
Ω−
Ω+−
Ω−
Ω−+
Ω−+
Ω+
Ω•
meedx
de
dx
d
dx
udS
edx
d
dx
duS
dx
duSG
dx
dIE
dx
dIE
mmmr
m
mr
m
rrrmmrr
[15f]
REMARQUE.— Pour le cas d’un glissement relatif, la loi de glissement couramment
utilisée est de la forme : )( rl
mlg
il UUEX −= ; voir [ARI 93]. Cette loi est obtenue
par une expérience d’arrachement. Eg est le facteur de proportionnalité entre l’effort
d’arrachement, ilX et le déplacement relatif entre les deux matériaux, )( r
lml UU − .
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2.9. Optimisation de la poutre mixte
Les équations [15] font apparaître les paramètres suivants : les caractéristiquesmécaniques des matériaux utilisés, la section et l’inertie des constituants, etl’excentricité de la poutre matrice par rapport à la poutre renforcement. Cesparamètres peuvent être définis par le concepteur ou bien optimisés. L’optimisationpasse par l’introduction d’un critère d’optimisation (voir applications).
3. Applications
Les applications de la section suivante seront axées sur l’optimisation del’excentricité.
3.1. Introduction
Afin d’illustrer la méthode et de déterminer l’excentricité « optimale » de lamatrice, les exemples suivants seront analysés :
– une poutre mixte encastrée-libre et soumise à un moment à son extrémité ;
– une poutre mixte sur deux appuis simples, et soumise à un chargementtransversal constant ;
3.2. Poutre console soumise à un moment à son extrémité
Soit une poutre console, de longueur L, soumise à un moment fléchissant, M, àson extrémité (voir figure 2). Les sections de chaque constituant et lescaractéristiques mécaniques sont données.
Figure 2. Schéma de la poutre console
La liaison entre la poutre matrice et la poutre renforcement est une liaisoncomplète. L’objectif étant la détermination de l’excentricité, dite optimale, de lapoutre matrice par rapport à la poutre renforcement afin de faire satisfaire le« critère » suivant : faire travailler totalement la section du béton en compression.
yM z
0m
OrxL
y
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Dans ce cas, la flexion est dans le plan (x,y), la cinématique de la poutre est donc
définie par ( )321 ,, Ωrr uu . Les équations d’équilibre [15] se réduisent à :
0E 223
2
21
2m
21
2
=
Ω−+• m
rm
rrr e
dx
d
dx
udS
dx
udSE [16a]
0G 322
2m3
22
2
=
Ω−+
Ω−•
dx
d
dx
udS
dx
d
dx
udSG
rm
rrr [16b]
0EG 32223
2
21
2m
32m
32
23
2
223
2
2
=+
Ω−−
Ω−+
Ω−+
Ω+
Ω•
meedx
d
dx
udS
dx
duS
dx
duSG
dx
dIE
dx
dIE
mmr
mr
m
rrrmmrr
[16c]
Les conditions aux limites sont :
;0)L(N)L(N ;0)0(u
;M)L(M)L(M ;0)0(
0; )L(T)L(T ;0)0(u
rmr2
rm3
rmr1
=+=
=+=
=+=
Ω [17]
La résolution du système d’équations différentielles (équations [16]) et tenantcompte des conditions aux limites (équation [17]) donne :
• xESESIEIE
MeSExu
rrmmrrmm
mrrr
))(()(
33
21 ++
−= [18a]
• xIEIE
Mx
rrmm33
3 )(+
=Ω [18b]
• 2
332 2
1)( x
IEIE
Mxu
rrmmr
+= [18c]
En utilisant les lois de comportement et la solution définie par l’équation [18],les efforts intérieurs sont calculés, entre autres, en fonction de l’excentricité. Lacontrainte axiale est définie par :
Dow
nloa
ded
by [
Uni
vers
itat P
olitè
cnic
a de
Val
ènci
a] a
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8 O
ctob
er 2
014
Formulation « dissociée » des poutres mixtes 451
MyeSESE
SE
IEIE
Ey
I
M
S
N mrrmm
rr
rrmm
m
m
m
m
mm
−
+−
+=−= 2
333
σ [19a]
Pour la fibre inférieure de la matrice (béton), définie par2
mhy −= , la contrainte
axiale prend l’expression suivante :
Mh
eSESE
SE
IEIE
E mm
rrmm
rr
rrmm
mm
+
+−
+=
2233
σ [19b]
En imposant à la matrice de travailler totalement en compression, 0<mσ(convention de signe de la mécanique des milieux continus), l’excentricité« optimale » de la matrice par rapport au renforcement est définie par l’expressionsuivante :
+>
r
m
r
mmm
S
S
E
Ehe 1
2
12 [19c]
3.3. Poutre mixte appuyée simplement et soumise à un chargement transversal
Soit une poutre mixte, de longueur L = 15 m, simplement appuyée et soumise àun chargement transversal descendant q = 32 KN/m (voir figure 3). La section de lamatrice est une section rectangulaire de 0,35 m x 0,8 m et la section du renforcementest un profilée en I (HEA600 : Sr = 0,02265 m2 ; Ir = 1 412 E-6 m4). Pour unevariante non excentrée, la contrainte de la fibre comprimée de la matrice dépasse lalimite élastique (prise ici égale à 15 MPA).
Variante non Variante
excentrée excentrée
Figure 3. Schéma de la poutre mixte simplement appuyée
0,35
z
y
q = 32 000 N/m
L = 15 m
0,8 0,6
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452 Revue française de génie civil. Volume 8 – n° 4/2004
La liaison entre la poutre matrice et celle de renforcement est une liaisoncomplète. On se propose de choisir une variante excentrée. L’objectif étant ladétermination de l’excentricité, dite optimale, de la poutre matrice par rapport à lapoutre renforcement, afin de satisfaire le « critère » suivant : faire travailler le bétondans le domaine élastique. Dans ce cas, la flexion est dans le plan (x,z), la
cinématique de la poutre est donc définie par ( )231 ,, Ωrr uu . Les équations
d’équilibre [15] se réduisent à :
0E 322
2
21
2m
21
2
=
Ω++• m
rm
rrr e
dx
d
dx
udS
dx
udSE [20a]
0223
22
23
2
=−
Ω++
Ω+• q
dx
d
dx
udSG
dx
d
dx
udSG
rmm
rrr [20b]
0E 3322
2
21
2m
23
23
22
2
322
2
3
=
Ω++
Ω+−
Ω+−
Ω+
Ω•
mmr
mr
mm
rrrmmrr
eedx
d
dx
udS
dx
duSG
dx
duSG
dx
dIE
dx
dIE
[20c]
avec les conditions aux limites suivantes :
0)0()0(
0)0()0(
0)0(
22
3
=+
=+
=
mr
mr
r
MM
NN
u
0)L(M)L(M
0)L(N)L(N
0)L(u
mr
mr
r
22
3
=+
=+
=
[21]
Le système d’équations a été résolu en utilisant le logiciel de calcul formelMaple 6. Les déplacements généralisés u1(x), u3(x) et Ω2(x) sont déterminés enfonction des caractéristiques mécaniques, géométriques et principalement enfonction de l’excentricité :
))(1)((
64
24
1)(
231
223
3232
33
1 mrrmm
mmmr
eSGSG
xLqexqeqLexu
αα
αααααα
+−+
−+=• [22a]
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Formulation « dissociée » des poutres mixtes 453
))(1)((
)12122
24
1
))(1)((
)(12)(12(
24
1)(
231
32
32
22
231
231
231
3
mrrmm
mrrmm
mmr
eSGSG
qxxxLLxL
eSGSG
xeLexu
ααααα
αα
αααα
+−+
−−++−
+−+
+−=•
[22b]
))(1)((
)64(
24
1)(
231
2323
2 mrrmm eSGSG
qLxLxx
αα
α
+−+
+−−=Ω• [22c]
avec :
SE
ES
S
rm
rm
m
+=α ;
( )2333
1mmr
m
rm
m
eSIE
EI
S
++=α ;
( )2333
2mmmrrmm
rrmm
eSEIEIE
SGSG
++
+=α [23]
En 2
Lx = (où le moment intérieur total est maximum) et au niveau de la fibre
supérieure comprimée, l’expression de la contrainte de la poutre matrice s’écrit :
( )
++++
++−=
2
3332
32
32
)()(
))(2(
16
1
mrmmmrrmrmmmrrr
mmrrmrrmmm
eSSSESIEESIESIE
SESEhSEeLEqσ [24]
Figure 4. Evolution de la contrainte axiale dans la poutre matrice et dans la poutrerenforcement
rσ
σ
mσ
(________) béton (matrice) ;(°°°°°°°°°°) acier (renforcement)
Z(m)
σ (N/m2)
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454 Revue française de génie civil. Volume 8 – n° 4/2004
Pour cette application, on souhaite déterminer l’excentricité, dite optimale, enimposant à la contrainte, dans ce cas de compression, maximale de la poutre matrice,
mσ , ne doit pas dépasser la limite élastique, MPa15=σ ( σσ <m ).
D’après les résultats du calcul, cette condition est vérifiée pour une excentricitésupérieure à 0,24 m. Pour cette valeur de l’excentricité, l’évolution, en fonction de z,de la contrainte axiale dans la poutre matrice et dans la poutre renforcement estreprésentée en figure 4. On vérifie bien que la limite élastique en compression n’estpas dépassée.
4. Conclusion et perspectives
Afin d’optimiser les poutres mixtes, une formulation, basée sur unereprésentation dissociée des efforts intérieurs de chaque constituant, a été proposée.Au niveau des applications, les sections des deux constituants ont été considéréescomme solidaires mais l’approche est générale. Cette approche qui a été qualifiée de« dissociée » fait apparaître des caractéristiques mécaniques et géométriques(principalement l’excentricité) qui ont été utilisés pour l’optimisation des poutresmixtes traitées en applications.
La formulation théorique obtenue peut tenir compte d’un glissement éventuelentre les deux matériaux avec des lois de comportement de glissement.
Remerciements
Ce travail a été partiellement supporté par le secrétariat d’Etat la Recherchescientifique et à la Technologie (tunisien) et le projet PIC entre l’Universitécatholique de Louvain (UCL) et l’ENIT.
5. Bibliographie
[APK 01] APK (Association pour la Promotion de l’Enseignement de la Constructiond’Acier), Construction métallique et mixte acier béton. Conception et mise en œuvre,tome 2, Eyrolles Delta, 2001.
[ARI 93] Aribert J.M., Ragneau E., Xu H., « Développement d’un élément fini de poutremixte acier-béton intégrant les phénomènes de glissement et de semi-continuité avecéventuellement voilement local », Construction métallique, n° 2, 1993.
[EUR Ia] Eurocode I, Bases de calcul et actions sur les structures, P06-101.
[EUR Ib] Eurocode I, Documents d’application nationale, AFNOR, 1996.
[EUR IV] Eurocode IV, Conception et dimensionnement des structures mixtes acier – béton,1994 (P22-391 ; P22-392 ; P22-395).
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Formulation « dissociée » des poutres mixtes 455
[RAM 98] Ramazanov E., Charpentes métalliques : calcul des éléments selon l’Eurocode 3,Centre de publication universitaire, 1998.
[RAM 01] Ramazanov E., Calcul des constructions mixtes, Centre de publicationuniversitaire, 2001.
[THO 92] Thonier H., Conception et calcul des structures de bâtiments, Presses de l’Ecolenationale des ponts et chaussées, 1992.
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