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/home/marcio/bras Cosseno da Soma Cosseno da Diferen¸ca Seno da Soma Seno da Diferen¸ca Tangente da Soma e da Diferen¸ca Cotangente da Soma e da Diferen¸ca Secante e Cossecante da Soma e da Diferen¸ca Exerc´ ıcios ormulas da Soma e da Diferen¸ca Prof. M´ arcio Nascimento [email protected] Universidade Estadual Vale do Acara´ u Centro de Ciˆ encias Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matem´ atica Disciplina: Matem´ atica B´ asica II - 2016.2 25 de abril de 2017 1 / 29

Fórmulas da Soma e da Diferença - MatemáticaUVA · 2017-04-26 · Cotangente da Soma e da Diferen˘ca Secante e Cossecante da Soma e da Diferen˘ca Exerc cios F ormulas da Soma

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Cosseno da SomaCosseno da Diferenca

Seno da SomaSeno da Diferenca

Tangente da Soma e da DiferencaCotangente da Soma e da Diferenca

Secante e Cossecante da Soma e da DiferencaExercıcios

Formulas da Soma e da Diferenca

Prof. Marcio [email protected]

Universidade Estadual Vale do AcarauCentro de Ciencias Exatas e TecnologiaCurso de Licenciatura em Matematica

Disciplina: Matematica Basica II - 2016.2

25 de abril de 2017

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Cosseno da SomaCosseno da Diferenca

Seno da SomaSeno da Diferenca

Tangente da Soma e da DiferencaCotangente da Soma e da Diferenca

Secante e Cossecante da Soma e da DiferencaExercıcios

Sumario

1 Cosseno da Soma

2 Cosseno da Diferenca

3 Seno da Soma

4 Seno da Diferenca

5 Tangente da Soma e da Diferenca

6 Cotangente da Soma e da Diferenca

7 Secante e Cossecante da Soma e da Diferenca

8 Exercıcios

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Cosseno da SomaCosseno da Diferenca

Seno da SomaSeno da Diferenca

Tangente da Soma e da DiferencaCotangente da Soma e da Diferenca

Secante e Cossecante da Soma e da DiferencaExercıcios

Sejam α, β ∈ R. Entao

cos(α + β) = cosα. cosβ − senα.senβ

cos(α− β) = cosα. cosβ + senα.senβ

sen(α + β) = senα. cosβ + senβ. cosα

sen(α− β) = senα. cosβ − senβ. cosα

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Cosseno da SomaCosseno da Diferenca

Seno da SomaSeno da Diferenca

Tangente da Soma e da DiferencaCotangente da Soma e da Diferenca

Secante e Cossecante da Soma e da DiferencaExercıcios

Sumario

1 Cosseno da Soma

2 Cosseno da Diferenca

3 Seno da Soma

4 Seno da Diferenca

5 Tangente da Soma e da Diferenca

6 Cotangente da Soma e da Diferenca

7 Secante e Cossecante da Soma e da Diferenca

8 Exercıcios

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Cosseno da SomaCosseno da Diferenca

Seno da SomaSeno da Diferenca

Tangente da Soma e da DiferencaCotangente da Soma e da Diferenca

Secante e Cossecante da Soma e da DiferencaExercıcios

Considere o Ciclo Trigonometrico.

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Cosseno da SomaCosseno da Diferenca

Seno da SomaSeno da Diferenca

Tangente da Soma e da DiferencaCotangente da Soma e da Diferenca

Secante e Cossecante da Soma e da DiferencaExercıcios

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Cosseno da SomaCosseno da Diferenca

Seno da SomaSeno da Diferenca

Tangente da Soma e da DiferencaCotangente da Soma e da Diferenca

Secante e Cossecante da Soma e da DiferencaExercıcios

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Cosseno da SomaCosseno da Diferenca

Seno da SomaSeno da Diferenca

Tangente da Soma e da DiferencaCotangente da Soma e da Diferenca

Secante e Cossecante da Soma e da DiferencaExercıcios

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Cosseno da SomaCosseno da Diferenca

Seno da SomaSeno da Diferenca

Tangente da Soma e da DiferencaCotangente da Soma e da Diferenca

Secante e Cossecante da Soma e da DiferencaExercıcios

Semelhanca de triangulos:

AOC = DOB

AO = BO = CO = DO

∴ ∆AOC ≡ ∆DOB ed(A,C ) = d(B,D)

Coordenadas:

A = (1, 0)

B = (cosα, senα)

C = (cos(α + β), sen(α + β))

D = (cos(−β), sen(−β))

d(A,C ) =√

(xA − xC )2 + (yA − yC )2

d(B,D) =√

(xB − xD)2 + (yB − yD)29 / 29

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Cosseno da SomaCosseno da Diferenca

Seno da SomaSeno da Diferenca

Tangente da Soma e da DiferencaCotangente da Soma e da Diferenca

Secante e Cossecante da Soma e da DiferencaExercıcios

d(A,C ) = d(B,D)

⇔√

(xA − xC )2 + (yA − yC )2 =√

(xB − xD)2 + (yB − yD)2

⇔ (xA − xC )2 + (yA − yC )2 = (xB − xD)2 + (yB − yD)2

⇔ (1− cos(α + β))2 + (0− sen(α + β))2 =(cosα− cos(−β))2 + (senα− sen(−β))2

⇔ (1− cos(α + β))2 + sen2(α + β) =(cosα− cosβ)2 + (senα + senβ)2

⇔ 1− 2 cos(α + β) + cos2(α + β) + sen2(α + β) =cos2 α− 2 cosα. cosβ + cos2 β + sen2α+ 2senα.senβ + sen2β

⇔ 2− 2 cos(α + β) = 2− 2 cosα. cosβ + 2senα.senβ

⇔ cos(α + β) = cosα. cosβ − senα.senβ

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Cosseno da SomaCosseno da Diferenca

Seno da SomaSeno da Diferenca

Tangente da Soma e da DiferencaCotangente da Soma e da Diferenca

Secante e Cossecante da Soma e da DiferencaExercıcios

Sumario

1 Cosseno da Soma

2 Cosseno da Diferenca

3 Seno da Soma

4 Seno da Diferenca

5 Tangente da Soma e da Diferenca

6 Cotangente da Soma e da Diferenca

7 Secante e Cossecante da Soma e da Diferenca

8 Exercıcios

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Cosseno da SomaCosseno da Diferenca

Seno da SomaSeno da Diferenca

Tangente da Soma e da DiferencaCotangente da Soma e da Diferenca

Secante e Cossecante da Soma e da DiferencaExercıcios

Vimos que

cos(α + β) = cosα. cosβ − senα.senβ

Lembremos que a funcao seno e ımpar (sen(−x) = −senx) eque a funcao cosseno e par (cos(−x) = cos x). Daı

cos(α− β) = cos(α + (−β))

= cosα cos(−β)− senα.sen(−β)

= cosα cosβ + senα.senβ

Ou seja,

cos(α− β) = cosα. cosβ + senα.senβ

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Cosseno da SomaCosseno da Diferenca

Seno da SomaSeno da Diferenca

Tangente da Soma e da DiferencaCotangente da Soma e da Diferenca

Secante e Cossecante da Soma e da DiferencaExercıcios

Sumario

1 Cosseno da Soma

2 Cosseno da Diferenca

3 Seno da Soma

4 Seno da Diferenca

5 Tangente da Soma e da Diferenca

6 Cotangente da Soma e da Diferenca

7 Secante e Cossecante da Soma e da Diferenca

8 Exercıcios

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Cosseno da SomaCosseno da Diferenca

Seno da SomaSeno da Diferenca

Tangente da Soma e da DiferencaCotangente da Soma e da Diferenca

Secante e Cossecante da Soma e da DiferencaExercıcios

Sejam α e β dois angulos quaisquer. Considere x =(π

2− α

)e

apliquemos o cosseno da diferenca para os angulos x e β

cos(x − β) = cos(π

2− α− β

)= cos

(π2− (α + β)

)= cos

π

2. cos(α + β) + sen

π

2.sen(α + β)

= sen(α + β)

Portanto, cos(x − β) = sen(α + β) (I)

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Cosseno da SomaCosseno da Diferenca

Seno da SomaSeno da Diferenca

Tangente da Soma e da DiferencaCotangente da Soma e da Diferenca

Secante e Cossecante da Soma e da DiferencaExercıcios

Por outro lado

cos(x − β) = cos((π

2− α

)− β

)= cos

(π2− α

)cosβ + sen

(π2− α

)senβ

=[cos

π

2. cosα + sen

π

2.senα

]cosβ + sen

(π2− α

)senβ

= senα. cosβ + sen(π

2− α

)senβ

= senα. cosβ + senx .senβ

E assim, cos(x − β) = senα. cosβ + senx .senβ (II)

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Cosseno da SomaCosseno da Diferenca

Seno da SomaSeno da Diferenca

Tangente da Soma e da DiferencaCotangente da Soma e da Diferenca

Secante e Cossecante da Soma e da DiferencaExercıcios

Mais ainda, pela Relacao Fundamental para o angulo x , temos:

senx = ±√

1− cos2 x

= ±√

1−[cos(π

2− α

)]2

= ±√

1−[cos

π

2cosα + sen

π

2.senα

]2

= ±√

1− [senα]2

= cosα

Ou seja, senx = cosα (III)

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Cosseno da SomaCosseno da Diferenca

Seno da SomaSeno da Diferenca

Tangente da Soma e da DiferencaCotangente da Soma e da Diferenca

Secante e Cossecante da Soma e da DiferencaExercıcios

De

cos(x − β) = sen(α + β) (I )

cos(x − β) = senα. cosβ + senx .senβ (II )

senx = cosα (III )

Temos

sen(α+β) = senα. cosβ+senx .senβ [igualando (I) e (II)]

sen(α+β) = senα. cosβ+ cosα.senβ [substituindo (III)]

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Cosseno da SomaCosseno da Diferenca

Seno da SomaSeno da Diferenca

Tangente da Soma e da DiferencaCotangente da Soma e da Diferenca

Secante e Cossecante da Soma e da DiferencaExercıcios

Sumario

1 Cosseno da Soma

2 Cosseno da Diferenca

3 Seno da Soma

4 Seno da Diferenca

5 Tangente da Soma e da Diferenca

6 Cotangente da Soma e da Diferenca

7 Secante e Cossecante da Soma e da Diferenca

8 Exercıcios

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Cosseno da SomaCosseno da Diferenca

Seno da SomaSeno da Diferenca

Tangente da Soma e da DiferencaCotangente da Soma e da Diferenca

Secante e Cossecante da Soma e da DiferencaExercıcios

Como ja sabemos,

sen(α + β) = senα. cosβ + cosα.senβ

Portanto

sen(α + (−β)) = senα. cos(−β) + cosα.sen(−β)

Sendo o cosseno par e o seno ımpar, temos:

sen(α− β) = senα. cosβ − cosα.senβ

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Seno da SomaSeno da Diferenca

Tangente da Soma e da DiferencaCotangente da Soma e da Diferenca

Secante e Cossecante da Soma e da DiferencaExercıcios

Sumario

1 Cosseno da Soma

2 Cosseno da Diferenca

3 Seno da Soma

4 Seno da Diferenca

5 Tangente da Soma e da Diferenca

6 Cotangente da Soma e da Diferenca

7 Secante e Cossecante da Soma e da Diferenca

8 Exercıcios

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Tangente da Soma e da DiferencaCotangente da Soma e da Diferenca

Secante e Cossecante da Soma e da DiferencaExercıcios

Usando o fato de que

tgx =senx

cos xEntao, onde for possıvel,

tg(α− β) =sen(α− β)

cos(α− β)E podemos chegar em

tg(α− β) =tgα− tgβ

1 + tgα.tgβ

Usando que tg(α + β) = tg(α− (−β)), mostramos que

tg(α + β) =tgα + tgβ

1− tgα.tgβ

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Cosseno da SomaCosseno da Diferenca

Seno da SomaSeno da Diferenca

Tangente da Soma e da DiferencaCotangente da Soma e da Diferenca

Secante e Cossecante da Soma e da DiferencaExercıcios

Sumario

1 Cosseno da Soma

2 Cosseno da Diferenca

3 Seno da Soma

4 Seno da Diferenca

5 Tangente da Soma e da Diferenca

6 Cotangente da Soma e da Diferenca

7 Secante e Cossecante da Soma e da Diferenca

8 Exercıcios

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Tangente da Soma e da DiferencaCotangente da Soma e da Diferenca

Secante e Cossecante da Soma e da DiferencaExercıcios

Usando o fato de que

cotgx =cos x

senx

Deduza expressoes para

cotg(α + β)

cotg(α− β)

Em funcao, apenas, de cotgα e cotgβ.

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Seno da SomaSeno da Diferenca

Tangente da Soma e da DiferencaCotangente da Soma e da Diferenca

Secante e Cossecante da Soma e da DiferencaExercıcios

Sumario

1 Cosseno da Soma

2 Cosseno da Diferenca

3 Seno da Soma

4 Seno da Diferenca

5 Tangente da Soma e da Diferenca

6 Cotangente da Soma e da Diferenca

7 Secante e Cossecante da Soma e da Diferenca

8 Exercıcios

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Seno da SomaSeno da Diferenca

Tangente da Soma e da DiferencaCotangente da Soma e da Diferenca

Secante e Cossecante da Soma e da DiferencaExercıcios

Tente produzir formulas para

sec(α + β)

sec(α− β)

cossec(α + β)

cossec(α− β)

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Seno da SomaSeno da Diferenca

Tangente da Soma e da DiferencaCotangente da Soma e da Diferenca

Secante e Cossecante da Soma e da DiferencaExercıcios

Sumario

1 Cosseno da Soma

2 Cosseno da Diferenca

3 Seno da Soma

4 Seno da Diferenca

5 Tangente da Soma e da Diferenca

6 Cotangente da Soma e da Diferenca

7 Secante e Cossecante da Soma e da Diferenca

8 Exercıcios

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Seno da SomaSeno da Diferenca

Tangente da Soma e da DiferencaCotangente da Soma e da Diferenca

Secante e Cossecante da Soma e da DiferencaExercıcios

Exercıcios

Mostrar que

sen2x = 2senx . cos x

cos 2x = cos2 x − sen2x

tg2x =2tgx

1− tg2x

senx =2.tg

x

2

1 + tg2 x

2

cos x =1− tg2 x

2

1 + tg2 x

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Cosseno da SomaCosseno da Diferenca

Seno da SomaSeno da Diferenca

Tangente da Soma e da DiferencaCotangente da Soma e da Diferenca

Secante e Cossecante da Soma e da DiferencaExercıcios

Exercıcios - Solucao

Mostrar que

senx =2.tg

x

2

1 + tg2 x

2

senx =sen(

2.x

2

)1

=sen(

2.x

2

)cos2

x

2+ sen2

x

2

=2sen

x

2. cos

x

2

cos2x

2+ sen2

x

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Cosseno da SomaCosseno da Diferenca

Seno da SomaSeno da Diferenca

Tangente da Soma e da DiferencaCotangente da Soma e da Diferenca

Secante e Cossecante da Soma e da DiferencaExercıcios

Exercıcios - Solucao

senx =2sen

x

2. cos

x

2

cos2x

2+ sen2

x

2

=

2senx

2. cos

x

2

cos2x

2

cos2 x

2+ sen2 x

2

cos2x

2

=2.tg

x

2

1 + tg2 x

2

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