Funiculaire à Contrepoids à Eau Page 1/36

Funiculaire à Contrepoids à Eau Page 1/36


Sommaire I. Présentation ..................................................................................3

111... EEElllèèèvvveeesss ddduuu gggrrrooouuupppeee ......................................................................................3 222... PPPrrrooofffeeesssssseeeuuurrr cccoooooorrrdddiiinnnaaattteeeuuurrr...........................................................................3 333... EEEtttaaabbbllliiisssssseeemmmeeennnttt ...........................................................................................3 444... PPPaaarrrttteeennnaaaiiirrreeesss ...............................................................................................3

III. Budget ........................................................................................6 IV. Analyse fonctionnelle ..................................................................7

111... ««« BBBêêêttteee ààà cccooorrrnnneeesss »»»......................................................................................7 222... ««« PPPiiieeeuuuvvvrrreee »»» ...............................................................................................8 333... DDDiiiaaagggrrraaammmmmmeee FFFAAASSSTTT ......................................................................................9 444... CCChhhaaaîîînnneee ddd’’’ééénnneeerrrgggiiieee eeettt ddd’’’iiinnnfffooorrrmmmaaatttiiiooonnn .........................................................10

V. Conception de la maquette .........................................................11 111... PPPrrréééssseeennntttaaatttiiiooonnn ...........................................................................................11 222... EEEtttaaapppeeesss dddeee cccooonnnssstttrrruuuccctttiiiooonnn...........................................................................11 333... PPPrrrooobbblllèèèmmmeeesss rrreeennncccooonnntttrrrééésss ............................................................................13

VI. Conception électrique et informatique......................................14 111... PPPrrréééssseeennntttaaatttiiiooonnn ...........................................................................................14 222... RRRéééaaallliiisssaaatttiiiooonnn dddeeesss sssccchhhééémmmaaasss éééllleeeccctttrrriiiqqquuueeesss.....................................................15 333... RRRéééaaallliiisssaaatttiiiooonnn ddduuu tttyyypppooonnn eeettt ddduuu ccciiirrrcccuuuiiittt iiimmmppprrriiimmmééé ...........................................17 444... RRRéééaaallliiisssaaatttiiiooonnn ddduuu ppprrrooogggrrraaammmmmmeee.....................................................................18 111... PPPrrriiinnnccciiipppeee fffooonnndddaaammmeeennntttaaalll dddeee lllaaa dddyyynnnaaammmiiiqqquuueee.................................................22 222... AAAppppppllliiicccaaatttiiiooonnn ààà nnnoootttrrreee sssyyyssstttèèèmmmeee...................................................................22 333... EEEtttuuudddeee ddduuu sssyyyssstttèèèmmmeee dddaaannnsss llleee cccaaasss iiidddéééaaalll ooouuu llleeesss fffrrroootttttteeemmmeeennntttsss sssooonnnttt nnnééégggllliiigggééésss .23 444... EEEtttuuudddeee ddduuu sssyyyssstttèèèmmmeee dddaaannnsss llleee cccaaasss oooùùù llleeesss fffrrroootttttteeemmmeeennntttsss nnneee sssooonnnttt pppaaasss nnnééégggllliiigggééésss....................................................................................................................25 555... CCCooommmpppaaarrraaaiiisssooonnn dddeeesss rrrééésssuuullltttaaatttsss eeexxxpppééérrriiimmmeeennntttaaauuuxxx eeettt dddeee lll’’’ééétttuuudddeee ttthhhéééooorrriiiqqquuueee ....31 666... EEExxxpppllliiicccaaatttiiiooonnn dddeeesss ppprrriiissseeesss dddeee mmmeeesssuuurrreeesss.........................................................35

VIII. Conclusion ..............................................................................36 111... SSSuuurrr llleee ppprrrooojjjeeettt............................................................................................36 222... SSSooouuurrrccceeesss ...................................................................................................36 333... LLLooogggiiiccciiieeelllsss uuutttiiillliiisssééésss .....................................................................................36 444... RRReeemmmeeerrrccciiieeemmmeeennntttsss.......................................................................................36


I. Présentation

111... EEElllèèèvvveeesss ddduuu gggrrrooouuupppeee

• MASQUELET Quentin • MELLET Geoffray • PERRET Thibaud

222... PPPrrrooofffeeesssssseeeuuurrr cccoooooorrrdddiiinnnaaattteeeuuurrr

• ERRAMI Mustapha

333... EEEtttaaabbbllliiisssssseeemmmeeennnttt

• Lycée René Cassin, TARARE

444... PPPaaarrrttteeennnaaaiiirrreeesss

• Rectorat de l'Académie de Lyon

• Conseil régional Rhônes-Alpes

• Société Française de Physique

• Université Claude Bernard de Lyon

• École Normale Supérieure de Lyon


II. Résumé du projet

De tout temps l’homme a cherché à se déplacer ou alors à transporter des objets très

lourds de manière pratique. Dès la période des pyramides, les hommes utilisaient un système avec des rondins de bois pour faire glisser les pierres. Ensuite des systèmes à contrepoids ont été élaborés. De nos jours de nombreux moyens de transport sont en activité, mais la plupart consomment beaucoup trop d’énergie et sont souvent nuisibles à notre environnement. Ce problème pouvant engendrer d’importantes catastrophes naturelles et réduire l’espérance de vie de l’être humain.

Nous avons cherché alors à répondre à la problématique suivante : Comment concevoir et réaliser un moyen de transport

permettant d’utiliser l’énergie et le progrès, tout en respectant l’environnement ?

Pour cela nous avons pensé tout d’abord à un moyen de transport tel que le

funiculaire, car il est bien moins consommateur d’énergie que la plupart des autres moyens de transport. D’autre part pour la gratuité de l’énergie, nous avons équipé notre funiculaire d’un système à contrepoids à eau. La réalisation de notre maquette a constitué la plus grosse partie de notre projet. Nous avons consacré plus d’une année scolaire pour mener à bien ce projet. Au final nos travaux ont abouti à la réalisation d’un funiculaire à contrepoids à eau opérationnel, même a échelle réduite.

Pour rester dans le contexte écologique tout en utilisant de l’énergie, nous avons

équipé tout d’abord notre maquette de quatre panneaux solaires. L’énergie recueillie grâce au soleil nous permet alors d’alimenter deux électrovannes qui vont nous permettre d’effectuer le remplissage des cabines en eau au niveau de la station haute. Puis nous avons raccordé nos panneaux solaires à des batteries, ces dernières stockeront le surplus d’énergie captée afin de la réutiliser pour le fonctionnement de notre funiculaire durant la nuit.


L’une des deux cabines, qui est placée au niveau de la station haute et qui est reliée par un câble à l’autre cabine placée à la station basse, est remplie d’eau, elle devient alors plus lourde que l’autre et se met à descendre. Arrivée à la station basse notre cabine se videra grâce à un système de doigt (un doigt étant placé à la station basse va lever la bille placée dans le clapet anti-retour situé dans la cabine, cette dernière retenant l’eau, enclenchera alors la vidange de la cabine).

Puis pour automatiser notre funiculaire nous avons créé un programme. Un

microcontrôleur joue alors le rôle du cerveau pour faire fonctionner notre projet. Par la suite plusieurs expériences nous ont permis de faire une étude plus approfondie du mécanisme de notre funiculaire. Pour nous venir en aide dans ce projet M. Jaubert Ludovic, qui prépare un doctorat en physique, est intervenant en tant que moniteur de physique du CIES de Lyon.

Devant les difficultés de réalisation de notre projet, le temps de travail dont nous

disposions dans le cadre du Projet Personnel Encadré avec nos professeurs de Science de l’Ingénieur était trop faible pour nos ambitions. Il nous a donc fallu continuer notre travail en dehors des cours, au lycée avec l’aide précieuse de monsieur Errami et chez nous avec nos propres moyens.


III. Budget

Recettes :

Organismes Sommes allouées (€)

SFP Olympiades de Physique 250

Rectorat de l'académie de Lyon 160

Conseil Régional du Rhône 130

Etablissement 80

Total 620

Dépenses :

Organismes Sommes allouées (€)

Matériel de réalisation 440

Documentation 70

Transport 120

Total 620


IV. Analyse fonctionnelle

111... ««« BBBêêêttteee ààà cccooorrrnnneeesss »»»

Aux personnes voulant monter ou descendre un

dénivelé

Funiculaire à contre poids

à eau

Sur les passagers

Monter ou descendre des

personnes grâce à un moyen de transport utilisant l’énergie

hydraulique


222... ««« PPPiiieeeuuuvvvrrreee »»»

FFFPPP111 ::: Emmener les passagers à la station basse et à la station haute. FFFCCC111 ::: Monter ou descendre les passagers suivant la pente. FFFCCC222 ::: Avoir des normes de sécurité pour les passagers. FFFCCC333 ::: Arrêter le funiculaire à la station basse et à la station haute. FFFCCC444 ::: Etre un moyen de transport pour les passagers.

FFFCCC555 ::: Utiliser l’énergie hydraulique pour monter les cabines.

Funiculaire à contrepoids

À eau

Passagers

Energie Hydraulique

Normes de Sécurité

Station Haute &

Station Basse

Pente FC1

FC2

FC3

FC4

FP1

FP2


333... DDDiiiaaagggrrraaammmmmmeee FFFAAASSSTTT

Monter ou descendre des passagers

Monter ou descendre les

cabines

Provoquer un déséquilibre

Guider chaque cabine

Liées les cabines par un lien flexible

Remplir la cabine haute

Vider la cabine basse

Réservoir

Electrovannes

Tuyau en plastique

Clapets anti-retour

Doigts métalliques

Poulie de renvoie

Fil de pêche

Rails de petit train

Roues de petit train


444... CCChhhaaaîîînnneee ddd’’’ééénnneeerrrgggiiieee eeettt ddd’’’iiinnnfffooorrrmmmaaatttiiiooonnn Chaîne d’information : Chaîne d’énergie :

Alimenter Agir

Source d’énergie Solaire

Distribuer Convertir Transmettre

Energie : Électrique

Energie : Électrique

Energie : Mécanique

Energie : Mécanique

Constituants : Panneaux solaires Batteries

Constituants : Transistors

Constituants : Electrovannes

Constituants : Contrepoids

Traiter Communiquer

Constituants : Microcontrôleur

Ordre chaîne d’énergie

Acquérir

Constituants : Boutons poussoirs, Capteurs


V. Conception de la maquette 111... PPPrrréééssseeennntttaaatttiiiooonnn

En mécanique nos trois gros travaux consistaient en :

• la recherche des dimensions de la maquette • le problème de l’étanchéité des cabines • le positionnement rectiligne des rails

222... EEEtttaaapppeeesss dddeee cccooonnnssstttrrruuuccctttiiiooonnn Pour réaliser notre maquette nous avons procédé par plusieurs grandes étapes :

1ère étape :

• Recherche des dimensions et de la forme de notre maquette • Réalisation de différentes études et de plans, ce qui nous a amené à trouver les

dimensions suivantes :

1. Dénivelé : 94 cm 2. Longueur totale : 130 cm 3. Pente : 100% 4. Largeur : 40 cm

• Modélisation du socle sur Solidworks® afin de vérifier les dimensions choisies et

dans l’optique de modéliser l’ensemble du projet. (cf.1)

1) Mise en plan du socle


2ème étape :

Assemblage des différents composants de la maquette ainsi que la réalisation des cuves. (cf.2)

2) Mise en plan d’une cuve


3ème étape :

Modélisation complète de la maquette sur Solidworks® afin de réaliser une vidéo du fonctionnement de notre maquette. (cf.3)

3) Modélisation de la maquette

333... PPPrrrooobbblllèèèmmmeeesss rrreeennncccooonnntttrrrééésss

Nous avons rencontré différents problèmes durant la construction de la maquette tel que l’étanchéité, le guidage, la fixation des doigts et des électrovannes.


VI. Conception électrique et informatique

111... PPPrrréééssseeennntttaaatttiiiooonnn

Pour automatiser notre funiculaire, nous avons du diviser notre travail en deux

grandes parties : La partie électrique :

Le remplissage de nos cabines repose sur l’utilisation de deux électrovannes alimentées en 24 Volts. Pour rester dans notre objectif majeur, à savoir être écologique, nous voulions que notre funiculaire soit complètement autonome. Pour cela nous avons installé quatre panneaux solaires qui viennent recharger deux batteries de 12 Volts branchées en série afin d’alimenter les électrovannes. La partie informatique :

Afin d’automatiser le remplissage de nos cabines, nous avons choisi d’utiliser deux capteurs ILS disposés à la station haute permettant de détecter la présence des cabines et d’envoyer l’information au microcontrôleur (PICBASIC 1S). Le microcontrôleur est le « cerveau » du funiculaire, c’est lui qui gère son fonctionnement à travers un programme que nous avons élaboré, ensuite il envoie l’ordre ou non aux électrovannes afin de gérer leur fonctionnement.


222... RRRéééaaallliiisssaaatttiiiooonnn dddeeesss sssccchhhééémmmaaasss éééllleeeccctttrrriiiqqquuueeesss

Description du schéma général :

Les deux batteries délivrent 24V. Un régulateur de tension placé sur le circuit imprimé permet d’avoir une tension de 5V pour alimenter le microcontrôleur, les capteurs ILS et les boutons poussoirs. Ensuite le microcontrôleur placé sur le circuit imprimé donne l’ordre aux électrovannes de s’ouvrir ou non en fonction des capteurs.

2 Batteries 12V

Circuit Imprimé

Electrovannes

Pann

eaux Solaires


Description du schéma du circuit imprimé :

Le circuit est alimente en 5V grâce au régulateur de tension. Les informations (capteurs et boutons poussoirs) arrivent au microcontrôleur par les broches 0, 1, 13 et 14 et les « ordres » sortent par les broches 3 et 10. Des leds sont installées pour vérifier la mise sous tension du circuit, et du fonctionnement des électrovannes (une par électrovanne).

Calcul des résistances :

• Résistance avant les transistors R1=U1/I1 I1 : 3mA U1= UA-Ut (UA: tension alimentation; Ut=tension transistor) =5,0-0,7 =4,3 => R1=U1/I1=4,3/0,003=1433 R1 :1433Ω Or une résistance de 1433Ω n’existant pas, nous avons installé des résistances de 1200Ω choisies dans la série Renard E 24.


333... RRRéééaaallliiisssaaatttiiiooonnn ddduuu tttyyypppooonnn eeettt ddduuu ccciiirrrcccuuuiiittt iiimmmppprrriiimmmééé

Tout d’abord, nous avons réalisé le typon sur le logiciel TCI en nous inspirant du schéma électrique vu précédemment. (cf.1)

1) Typon

Ensuite nous l'avons imprimé sur un transparent qui a été photocopié sur une plaque cuivrée. Une fois la photocopie réalisé, la plaque est rincée dans un produit avant d’être insérée dans de l’acide qui ronge le cuivre non protégé par la photocopie, ce qui laisse donc apparaître les pistes cuivrées dessinées sur TCI. (cf.2)

2) Carte dans l’acide


Puis, nous avons soudé les composants sur la carte, les borniers, condensateur, régulateur de tension, support pour le microcontrôleur, transistors, résistance et enfin les leds. (cf.3)

3) Carte finie

444... RRRéééaaallliiisssaaatttiiiooonnn ddduuu ppprrrooogggrrraaammmmmmeee Pour que le microcontrôleur gère notre funiculaire, il a fallu que nous réalisions au

préalable l’organigramme puis, et que nous créions un programme avec le logiciel « PICBASIC Studio ».



VII. Etude Physique

Prérequis : ∆Em = ∆Ep + ∆Ec ∆Em = Wforce frottement = 0 m0 : masse cabine mg : masse d’eau dans la cabine de gauche md : masse d’eau dans la cabine de droite h : hauteur entre les 2 stations du funiculaire

• Utilisation du théorème de l’énergie mécanique. Etat initial : La cabine de droite est en haut et la cabine de gauche est en bas. Epi = hgmm d ⋅⋅+ )( 0 Eci = 0 car la vitesse initiale est nulle Etat final : La cabine de gauche est en haut et la cabine de droite est en bas. Ici, les 2 cabines ont la même vitesse.

Ecf =2

)2( 20 fgd vmmm ⋅++

Epf = hgmm g ⋅⋅+ )( 0 car Epd = 0 car h=0

α °= 45α

h

Station Haute

Station Basse


En effet, la cabine de droite étant à la station basse (donc à h=0), son énergie potentielle est nulle. ∆Ep = Epf - Epi ∆Ec = Ecf - Eci ∆Em = (Epf - Epi) + Ecf car Eci =0

∆Em =

⋅+++⋅⋅+−⋅⋅+

2

)2())(())((

20

00fgd

dg

vmmmhgmmhgmm

∆Em =

⋅+++−⋅

2

)2())((

20 fgd

dg

vmmmmmhg

⋅++

2

)2( 20 fgd vmmm

= ∆Em – ( )))(( dg mmhg −⋅

∆Em = 0

2fv =

)2(

))((2

0 gd

dg

mmm

mmhg

++

−⋅−

fv = )2(

))((2

0 gd

dg

mmm

mmhg

++

+−⋅

L’équation montre que si gm > dm , l’équation n’est pas solvable donc les cabines ne

bougent pas.


111... PPPrrriiinnnccciiipppeee fffooonnndddaaammmeeennntttaaalll dddeee lllaaa dddyyynnnaaammmiiiqqquuueee

a) Le principe

Le principe fondamental de la dynamique, appliqué à un point matériel M, s’énonce de la manière suivante :

amf ⋅=∑r

avec a l’accélération du point matériel. ∑ f

r la somme des forces extérieures s’appliquant sur le point

Le principe fondamental de la dynamique étant applicable dans un référentiel galiléen.

b) Les vecteur vitesse et accélération : En notant x

r= OM le vecteur position du point matériel M dans le repère d’origine O

Le vecteur vitesse est défini par : 'xdt

xdv

rr

r==

Le vecteur accélération est défini par : '''

2

2

xdt

xd

dt

xd

dt

vda

rrrr

r====

Ainsi le principe fondamental de la dynamique peut s’écrire : ''xmamf

rr⋅=⋅=∑

222... AAAppppppllliiicccaaatttiiiooonnn ààà nnnoootttrrreee sssyyyssstttèèèmmmeee

a) Constitution du système :

Notre système est constitué de deux cabines relié par un fil : la cabine gauche (notée g) et la cabine droite (notée d) : Vue de face Vue de profil

α

Droite

Gauche


b) Le repère choisi :

Le repère d’étude utilisé est constitué d’un axe Ox ayant la direction de la pente comme représenté ci-dessous :

Vue de face Vue de profil

c) Hypothèse sur le fil :

Pour toutes les résolutions et les discussions réalisées ci-dessous, nous avons fait

l’hypothèse suivante : Le fil utilisé est inextensible (il n’est pas étirable).

333... EEEtttuuudddeee ddduuu sssyyyssstttèèèmmmeee dddaaannnsss llleee cccaaasss iiidddéééaaalll ooouuu llleeesss fffrrroootttttteeemmmeeennntttsss sssooonnnttt

nnnééégggllliiigggééésss

a) Bilan des forces :

Dans cette première étude nous allons considérer que les cabines ne subissent aucun frottement.

Dans ce cas là chaque cabine est soumise à 3 forces : son poids ; la réaction de la

pente et la tension du câble. Si nous reprenons nos hypothèses :

O

x

gPr

dPr

gRr

dRr

gTr

dTr

α

O

x

α

Droite

Gauche

x

O


Les cabines ne subissent aucun frottement de la part de la pente, ainsi les réactions du support seront perpendiculaires à la pente. Le câble n’est pas étirable, ainsi, en norme Tg = Td , de plus '' dg xx −= et '''' dg xx −=

b) Résolution du problème : On applique le principe fondamental de la dynamique à la cabine de droite et à la cabine de gauche : Cabine de droite :

ddddddd RTPxmamrrrr

++=⋅=⋅ '' On projette cette égalité sur l’axe Ox (cf. le schéma ci-dessus)) :

dddd TPxm +−=⋅ )sin('' α D’où

)sin('' αdddd PxmT +⋅= Cabine de gauche :

ggggggg RTPxmamrrrr

++=⋅=⋅ ''

On projette cette égalité sur l’axe Ox (cf. le schéma ci-dessus)) : gggg TPxm +−=⋅ )sin('' α

D’où )sin('' αgggg PxmT +⋅=

Comme le fil n’est pas étirable

Tg = Td , de plus '' dg xx −= et '''' dg xx −=

D’où : )sin('')sin('' αα dddggg PxmPxm +⋅=+⋅

En notant gxx =

On arrive à : )sin('')sin('' αα ddgg PxmPxm +⋅−=+⋅

)sin().('')( αgddg PPxmm −=⋅+

Soit :

)(

)sin(.).(''

dg

gd

mm

gmmx

+

−=

α

Donc l’accélération est constante étant donné que les masses et que g restent constantes.

Donc, en choisissant l’origine des temps le moment où les cabines débutent leurs mouvements ( 0)0(')0(')0(' ==−==== txtxtx dg ), on arrive à :

tmm

gmmx

dg

gd

)(

)sin(.).('

+

−=

α


c) Première discussion : nécessité de prendre en compte les frottements

Nous reviendrons plus tard sur la réalisation pratique de l’étude expérimentale (sa conception pratique, les différentes mesures réalisées…etc.). Cependant pour évaluer la pertinence de notre étude théorique sans frottement, nous allons dés à présent commenter certains résultats expérimentaux. Dans la configuration : md – mg = 220 g et md + mg = 2120 g l’angle α = 48,2° , on obtient :

V=f(t)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8

t(s)

V(m/s)

vexp

vthéo

Les résultats expérimentaux étant éloignés des résultats théoriques (en particulier pour des grands temps), il nous a semblé nécessaire de reprendre notre étude théorique mais avec les frottements.

444... EEEtttuuudddeee ddduuu sssyyyssstttèèèmmmeee dddaaannnsss llleee cccaaasss oooùùù llleeesss fffrrroootttttteeemmmeeennntttsss nnneee sssooonnnttt pppaaasss

nnnééégggllliiigggééésss

a) Bilan des forces

Les forces non prises en compte précédemment sont les forces de frottement. Une force de frottement est une force due à l’adhérence, au niveau microscopique, des matériaux entre eux (entre deux solides ou entre un solide et un fluide). Cette force est opposée au déplacement ou à la mise en mouvement d’un objet.


Dans notre cas on peut refaire le schéma de la situation physique pour représentée les forces s’exerçant sur les chariots. La situation est représentée dans le cas où le chariot de droite (indice d) descend tandis que le chariot de gauche (indice g) monte.

Pour conserver la notation introduite, on notera dfr

la force de frottement exercée

sur le chariot droit et gfr

la force de frottement sur le chariot gauche.

On conservera donc la notation dRr et gR

r

pour exprimer les composantes

normales des réactions du support sur le chariot droit et gauche.

Cette convention nous permettant de mieux voir les forces de frottements dans notre résolution et de conserver les notations introduites précédemment. Nous gardons en tête que, dans le cas d’une force de frottement solide, la force de frottement et la composante normale de la réaction du support sont les deux composantes d’une même force appelée la réaction du support. Dernier point : nous avons négligé, pour cette mise en équation les autres forces de frottement appliquées au système (sur les axes des poulies…etc.)

b) Résolution du problème :

On appliquera le principe fondamental de la dynamique à la cabine de droite et à la cabine de gauche : Cabine de droite :

dddddddd fRTPxmamrrrrr

+++=⋅=⋅ '' On projette cette égalité sur l’axe Ox (cf. le schéma ci-dessus)) :

ddddd fTPxm ++−=⋅ )sin('' α D’où

ddddd fPxmT −+⋅= )sin('' α Cabine de gauche :

dggggggg fRTPxmamrrrrr

+++=⋅=⋅ ''

gPr

dPr

gRr

dRr

gTr

dTr

α

O

x

dfr

gfr


On projette cette égalité sur l’axe Ox (cf. le schéma ci-dessus)) : ggggg fTPxm −+−=⋅ )sin('' α

D’où ggggg fPxmT ++⋅= )sin('' α

Comme le câble n’est pas étirable

Tg = Td , de plus '' dg xx −= et '''' dg xx −=

d’où : ggggdddd fPxmfPxm ++⋅=−+⋅ )sin('')sin('' αα

En notant gxx = , on arrive à :

gggddd fPxmfPxm ++⋅=−+⋅− )sin('')sin('' αα

gdgddg ffPPxmm −−−=⋅+ )sin().('')( α

D’où )()sin().('')( gdgddg ffPPxmm +−−=⋅+ α

Ainsi :

)(

)(

)(

)sin(.).(''

dg

gd

dg

gd

mm

ff

mm

gmmx

+

+−

+

−=

α

Donc, en choisissant l’origine des temps le moment où les cabines débutent leurs mouvements ( 0)0(')0(')0(' ==−==== txtxtx dg ), on arrive à :

tmm

ff

mm

gmmx

dg

gd

dg

gd .)(

)(

)(

)sin(.).('

+

+−

+

−=

α


c) Deuxième discussion : nécessité de prendre en compte les frottements solides et fluides

Nous reviendrons plus tard sur la réalisation pratique de l’étude expérimentale (sa conception pratique, les différentes mesures réalisées…etc.).

Cependant pour évaluer la pertinence de notre étude théorique, nous allons dés à présent commenter certains résultats expérimentaux. Dans la configuration : md – mg = 170 g et md + mg = 2070 g l’angle α = 48,2°, on obtient :

V = f(t)

y = 0,2242x + 0,195

R2 = 0,8808

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2

t(s)

V(m/s)

V = f(t)

y = -0,1068x2 + 0,4206x + 0,1334

R2 = 0,9238

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2

t(s)

V(m/s)

En observant les deux types de modélisations choisies (linéaire ou polynôme d’ordre 2), on observe que la modélisation avec un polynôme d’ordre 2 semble beaucoup plus pertinente que la modélisation avec une relation linéaire. Cette observation peut se faire : « A l’œil » : lorsque l’on observe les résultats expérimentaux, ceux-ci semblent « s’infléchir » pour des grands temps comme la modélisation avec un polynôme d’ordre 2. En regardant les cœfficients de détermination (corrélation) R² on observe qu’avec la modélisation avec un polynôme d’ordre 2, R²= 0,9238, alors qu’avec la modélisation linéaire, R²= 0,8808. Or on sait que plus R² est proche de 1 et plus la modélisation peut être considérée comme intéressante.


En revenant à notre résultat théorique : tmm

ff

mm

gmmx

dg

gd

dg

gd .)(

)(

)(

)sin(.).('

+

+−

+

−=

α, on

s’aperçoit que si fd + fg est constante on obtiendrait une relation linéaire entre x’ et t ce qui est en désaccord avec notre discussion ci-dessus.

On peut donc en conclure qu’il nous faut considérer des forces de frottements qui ne soient pas constantes au cours du mouvement des chariots.

Cette dernière constatation exclue le fait de considérer que les forces de frottements solides.

d) Les forces de frottements : Nous allons prendre en compte les différents types de frottement : Force de frottement solide : d’après le loi de Coulomb (lorsque le corps est en mouvement)

fsolide = f.RN avec f : le coefficient de frottement cinétique fsolide = f.R (avec nos notations) ainsi, dans notre cas : fsolide =f.(md + mg).g.cos(α)

on trouve Rd = md.g.cos(α) et Rg = mg.g.cos(α) en appliquant le principe fondamentale de la dynamique.

Lorsque l’on projette les forces selon l’axe perpendiculaire à Ox, on obtient ces relations en disant que, selon cet axe, il n’y a pas de mouvement. Force de frottement fluide :

ffluide = γ.V = γ.x’ avec γ la constante de frottement fluide.

e) Résolution complète du problème : mise en équation En introduisant ces forces dans la relation obtenue précédemment :

'.)cos(..).()sin().('')( xgfmmPPxmm gdgddg γαα −+−−=⋅+

D’où

'.)cos(..)sin(..'' xmm

gfgmm

mmx

gdgd

gd

+−−

+

−=

γαα

Ou encore :

)cos(..)sin(..'.'' ααγ

gfgmm

mmx

mmx

gd

gd

gd

−+

−=

++

Qui peut se mettre sous la forme :

AxBx =+ '.''

avec gd mm

B+

=γ

et )cos(..)sin(.. αα gfgmm

mmA

gd

gd−

+

−=


f) Résolution complète du problème : résolution de l’équation

différentielle : AxBx =+ '.'' :

• Equation sans second membre :

0'.'' =+ xBx

L’équation caractéristique correspondante à cette équation différentielle est : r2 + B.r = 0

Le discriminant de ce trinôme est ∆ = B2 (>0) D’où r = 0 ou r = -B La solution générale de l’équation sans second membre est donc :

x = D.e-B.t + C avec D et C des constantes

• Solution particulière de l’équation différentielle avec second

membre AxBx =+ '.'' :

On choisie la solution la plus simple correspondant à x’’ = 0

B

AxAxBx =⇔=⇔= ''.0''

Ainsi EtB

Ax += . avec E une constante.

• Solution générale de l’équation différentielle avec second membre

AxBx =+ '.'' :

La solution générale est :

FeDtB

Ax tB ++= − ... avec F une constante (F = E+C)

Conditions initiales, détermination des constantes : On sait que à t = 0 : x = 0 et x’ = 0 A t = 0 : x = 0 FDFD −=⇔=+ 0 D’où

[ ]tBeFtB

Ax .1.. −−+=

A t = 0 : x’ = 0

Or tBeFBB

Ax ...' −+=

D’où 2

0.B

AFFB

B

A−=⇔=+

Ainsi


[ ]tBeB

At

B

Ax .

21.. −−−=

et [ ]tBeB

Ax .1.' −−=

avec gd mm

B+

=γ


mmA

gd

gd−

+

−=

• Discussion Une fois encore on observe que le résultat obtenu n’a pas la forme de notre

modélisation expérimentale (un polynôme d’ordre 2). Cependant si le temps t est faible devant la constante B on peut réaliser un

développement limité de e-B.t au deuxième ordre pour retrouver un polynôme d’ordre 2

• Développement limité de e-B.t au deuxième ordre :

2..12

2. tBtBe tB +−=−

On obtient pour x’ :

−=

2...'2

2 tBtBB

Ax

Soit 2..'2t

ABtAx −=

• En conclusion :

La résolution de l’équation différentielle

AxBx =+ '.'' avec gd mm

B+

=γ


mmA

gd

gd−

+

−=

En faisant un développement limité au deuxième ordre de la solution, donne : 2.

2.' t

ABtAx −=

555... CCCooommmpppaaarrraaaiiisssooonnn dddeeesss rrrééésssuuullltttaaatttsss eeexxxpppééérrriiimmmeeennntttaaauuuxxx eeettt dddeee lll’’’ééétttuuudddeee

ttthhhéééooorrriiiqqquuueee a) Le choix de l’étude de x’

Nous avons fait le choix de nous intéresser à x’ car c’est une grandeur facilement

mesurable, qui représente à nos yeux correctement l’état du mouvement des chariots, et menant à moins d’imprécisions (expérimentales) que x’’.

b)Les calculs de constantes de frottement

Nous allons relier les résultats expérimentaux obtenus avec les grandeurs physiques introduites par les relations suivantes :

La solution théorique est 2.2

.' tAB

tAx −= avec


gd mmB

+=

γ et )cos(..)sin(.. αα gfg

mm

mmA

gd

gd−

+

−=

Ce qui nous permet d’écrire :

Agmm

mmgf

gd

gd−

+

−= )sin(..)cos(.. αα

D’où : )cos(.

)tan(.α

αg

A

mm

mmf

gd

gd−

+

−=

Et ).( gd mmB +=γ

c) Les résultats expérimentaux :

Voici un tableau synthétisant les différents résultats expérimentaux obtenus, ainsi

que les résultats des calculs des coefficients de frottements (on rappelle que la solution

théorique est 2.2

.' tAB

tAx −= )

Enregistrements md-mg (g) md+mg (g) modélisation x' = a.t-b.t²+c b A = a

Enregistrement 1 120 2020 y = -0,0761x2 + 0,2714x + 0,1075 0,0761 0,2714






Enregistrements B = 2b/a )cos(.

)tan(.α

αg

A

mm

mmf

gd

gd−

+

−= ).( gd mmB +=γ R²

Enregistrement 1 0,56079587 2,4935E-02 1,132807664 0,8259






d) Discussion sur les résultats expérimentaux :

• Le coefficient de frottement solide :

Ce coefficient de frottement solide, intervenant dans la loi de Coulomb, dépend

uniquement de la nature des solides en contact. Ce coefficient ne dépend donc pas, a priori, de l’état de mouvement du solide.

Nos résultats expérimentaux semblent être en accord avec ce fait.


En effet, comme le montre le tableau ci-dessous, la valeur calculée est du même ordre pour tous les enregistrements réalisés (avec une différence notable pour l’enregistrement 5 et 6) :

Enregistrements md-mg (g) md+mg (g) )cos(.)tan(.

αα

g

A

mm

mmf

gd

gd−

+

−=

Enregistrement 1 120 2020 2,4935E-02






Un deuxième argument semble confirmer la validité des nos mesures. En partant des chariots immobiles, nous avons mesuré la différence de masse

minimum pour qu’il y ait mise en mouvement du système : md – mg = 70g avec md + mg =1970 g

Cette mesure nous permet d’avoir une idée de la valeur du coefficient de frottement

statique sf de notre système (le rapport N

T

R

Rmaximum en dessous duquel le mouvement

est impossible).

)tan(. αgd

gd

smm

mmf

+

−=

Dans notre cas : 210.0,4 −=sf La loi de Coulomb sur le frottement prévoit que le coefficient de frottement

statique sf est du même ordre que le coefficient de frottement cinétique f tout en lui

étant supérieur ( sf > f ).

Nos résultats semblent donc en accord avec cette loi de Coulomb.

• Le coefficient de frottement fluide :

Ce coefficient de frottement fluide de la nature du fluide qui entoure le solide, et de la forme du solide. Ce coefficient ne dépend donc pas, a priori, de l’état de mouvement du solide.


Nos résultats expérimentaux semblent être en accord avec ce fait. En effet, comme le montre le tableau ci-dessous, la valeur calculée est du même ordre pour tous les enregistrements réalisés :

Enregistrements md-mg (g) md+mg (g) ).( gd mmB +=γ

Enregistrement 1 120 2020 1,132807664

Enregistrement 2 170 2070 1,051241084

Enregistrement 4 220 2120 0,956620879

Enregistrement 5 270 2170 1,175920351

Enregistrement 6 320 2220 1,164094008

Enregistrement 7 370 2270 1,019784017

Par contre, si on essaye de comparer l’ordre de grandeur obtenu avec ce que nous donnerait la formule de Stockes du frottement fluide, on observe une différence très importante. En effet, la formule de Stockes du frottement fluide, dans le cas d’une sphère de rayon R est :

'...6...6 xRVRfrrr

ηη Π−=Π−= avec η le coefficient de viscosité du fluide

Nos chariots ayant une taille caractéristique : D = 10 cm, nous pouvons déterminer un ordre de grandeur de notre coefficient γ.

ηγ .2.62D

Π×=

(on multiplier par 2 car il y a 2 chariots) Dans l’air η = 18.10-6 N.s.m-2 : On arrive à

36 10.110.18.2

5.62 −− =Π×=γ

On est donc loin de l’ordre de grandeur du γ expérimental (γ ≈ 1), et cette différence d’ordre de grandeur ne peut pas s’expliquer, bien entendu, par le fait que nous avons raisonné comme si nos chariots avaient la forme d’une sphère. Il semble qu’il y ait donc d’autres sources de frottement fluide qui s’exercent sur le système. Nous n’avons malheureusement pas eu le temps de les rechercher par manque de temps.

• Validité de notre modèle ?

Pour clore cette discussion, il nous reste à vérifier la validité de nos approximations, en particulier la pertinence de notre développement limité à l’ordre 2.

Pour cela comparons tBe .− avec 2..1

22 tBtB +− dans le cas où le coefficient BT est

maximum. Nos mesures nous ont donné B ≈ 0,5 et le temps maximum de nos acquisitions est t ≈ 2s.


On peut donc calculer l’écart relatif entre tBe .− et 2..12

2 tBtB +− pour Bt = 1 :

%272

111

2..1

1

1

.

22.

=

+−−

=

+−−

−

−

−

−

ttB

tB

e

e

e

tBtBe

Ce qui reste correct (par exemple pour l’enregistrement 7 le temps maximum de nos acquisitions est t ≈ 1 s, ce qui nous amène à un écart relatif égal à 3 %).

666... EEExxxpppllliiicccaaatttiiiooonnn dddeeesss ppprrriiissseeesss dddeee mmmeeesssuuurrreeesss

Pour comparer notre funiculaire avec la théorie (étude dynamique), nous avons réalisé une expérience. Pour cela, nous avons filmé les mouvements des cabines pour différentes masses et ensuite nous avons exploité ces vidéos à l’aide du logiciel « avimeca ». Nous avons pointé

le déplacement de la cabine droite (descendante) tout les ème

14

1 de seconde afin d’obtenir

des mesures très précises.


VIII. Conclusion

111... SSSuuurrr llleee ppprrrooojjjeeettt

Ce projet a contribué à l’enrichissement de nos connaissances dans le domaine scientifique. Il nous a permis de nous projeter dans l’avenir en utilisant une démarche d’ingénieur. Nos recherches individuelles ou effectuées en groupe nous ont permis de résoudre divers problèmes. Nous avons réussi à être complémentaires afin de mener à bien notre projet.

222... SSSooouuurrrccceeesss

http://www.funimag.com/funimag19/CAT01FR.htm (site dédié aux funiculaires) http://www.funimag.com/funimag19/Lynton01FR.htm(site dédié aux funiculaires) http://fr.wikipedia.org/wiki/Funiculaire (définition d’une encyclopédie) http://www.funiculaire.fr/ (site du funiculaire de St Hilaire de Touvet)

333... LLLooogggiiiccciiieeelllsss uuutttiiillliiisssééésss

• Windows • Solidworks® (modélisation mécanique) • Workbench (schématisation électronique) • TCI (schematisation de typon pour les circuits imprimes) • SDS (schematisation électronique et électrique) • PICBASIC Studio (conception de programme) • Avimeca (pointage d’un objet)

444... RRReeemmmeeerrrccciiieeemmmeeennntttsss

• M. Pinault et M. Vallon : professeurs de Sciences de l’Ingénieur, pour leurs

explications et leurs conseils. • M. Errami : professeur de physique-chimie, pour son aide, son soutien et

l’organisation. • M. Jaubert Ludovic et M. Duffait Roger : chercheurs, pour leurs aides. • M. Bruno : professeur de physique-chimie, pour son aide pour les expériences. • L’Organisation des Olympiades de Physique. • Le Lycée René Cassin, pour son soutien général. • Nos partenaires. • Le funiculaire de St Hilaire du Touvet. • Usine de Métallurgie.

Documents

Funiculaire à Contrepoids à Eau Page 1/36