G om trie analytique - smaltais.casmaltais.ca/cst_4/corrige_cahier_exercices_point_mire/point_mire... · 5125 125 5 " " " " " "!!"! x x x,,, d) y y y " " "! " "!! 3 87 02 33 0, e)

505© 2015, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée CORRIGÉ DU CAHIER CHAPITRE 5

Pages 179-180

27. p

A

5,575 cm

5,575(5,575 3,37)(5,575 4,46)(5,575 3,32)5,56 cm

3,37 4,46 3,322

2!

Mesure de l’angle C :

5,56

m C sin

83,62

3,32 (3,37) sin C

2

2(5,56 )

3,37( 3,32 )1

!

A absin C2

!

!

!

∠

�

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1. Si la mesure de l’angle C ! 83,62°.

Mesure de l’angle A :

m A sin

47,71

4,46sin 83,62

3,32sin A

3,32 sin 83,624,46

1

!

!

∠

°

°°!

⎛⎝⎜ ⎛

⎝⎜

(L’angle A ne peut pas être obtus.)

Mesure de l’angle B :m � B ! 180° ! (83,62° " 47,71°)

! 48,67°

On a donc :

m � A ! 47,71°

m � B ! 48,67°

m � C ! 83,62°.

2. Si la mesure de l’angle C ! 96,38°.

Mesure de l’angle A :

m A sin

47,71

4,46sin 96,38

3,32sin A

3,32 sin 96,384,46

1

!

!

!

∠

°

°°⎛

⎝⎜ ⎛⎝⎜

Mesure de l’angle B :m � B ! 180° ! (96,38° " 47,71°)

! 35,9°

On a donc :

m � A ! 47,71°

m � B ! 35,9°

m � C ! 96,38°.

Cette deuxième solution est incorrecte, car le côté opposé à l’angle B est plus grand que le côté opposé à l’angle A. La mesure de l’angle B doit donc être supérieure à la mesure de l’angle A. Ce qui n’est pas le cas ici. Il faut donc rejeter cette solution.

Réponse : Le machiniste n’a pas raison d’hésiter entre deux réglages pour les angles. Les seules mesures possibles pour les angles sont : m � A ! 47,71°, m � B ! 48,67° et m � C ! 83,62°.

CHAPITRE 5 Géométrie analytiqueRAPPEL Taux de variation et règle d’une équation du premier degré

Page 182

1. a), d)

2. a) Le taux de variation est de !2 °C/h. b) Le taux de variation est de !0,15 $/mois.

c) Le taux de variation est de 66 m/min. d) Le taux de variation est de !4000 L/h.

e) Le taux de variation est de 5 km/h par s. f ) Le taux de variation est de 22,5 m2/h.

g) Le taux de variation est de 41,25 $/semaine. h) Le taux de variation est de 4 km/h.

m C 96,38°!∠ou

506 CORRIGÉ DU CAHIER CHAPITRE 5 © 2015, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée

Page 183

3. a) !""

""

"0,81 3

3 2

"1 ! "0,8 # 3 $ b b ! 1,4y ! "0,8x $ 1,4

b) "

"

""

!2 41 4

1 2,

4 ! 1,2 # 4 $ b b ! "0,8y ! 1,2x " 0,8

c) Taux de variation nuly ! 3,7

d) !""

"

""

15 920 16

23

! # $

!

""15 20 b

b

23

53

y ! " $23

53

x

e)

24 30 b

b

24 2430 26

6767

127

!

! # $

!

""

"

"

"

y ! "x67

127

f ) !""

"" "

"1,524 3

12 2

"24 ! "1,5 # 12 $ b b ! "6y ! "1,5x " 6

g) x ! "1 h) Pente : 6 " "2"6 " 6

! "23

6 ! "23 ("6) $ b

b ! 2

y ! "23

x $ 2

i ) Pente : 15 " 0

20 " "10 ! 0,5

15 ! 0,5 (20) $ b b ! 5y ! 0,5x $ 5

Page 184

4.Couples

(2, 4) et (8, "2)

(2, 0) et (6, "3) ("4, 10) et (4, 0) ("5, "4) et (1, 2)

1 C

4 A

2 D

3 B

5. a) Taux de variation : 6500 50005 2

""

! 500 globules blancs/mm3 par jour

y ! 500x $ b, où y correspond au taux de globules blancs dans le sang et x, au temps écoulé (en jours) depuis le début des traitements.

À l’aide du couple (2, 5000), déterminer la valeur initiale : 5000 ! 500 # 2 $ b b ! 4000

Réponse : Le taux de globules blancs dans le sang de Marie-Aude était de 4000 globules blancs/mm3.

b) y ! 500x $ 4000

500x $ 4000 % 8000

500x % 4000

x % 8Réponse : Marie-Aude séjournera à l’hôpital au moins 8 jours.

Page 185

6. a) S ! 8t $ 100 b) Tranches de 100 $ de ventes

0 2 10 20 25 35 40

Salaire ($) 100 116 180 260 300 380 420

c) 324 ! 8t $ 100 324 " 100 ! 8t 224 ! 8t t ! 2828 # 100 $ ! 2800 $Réponse : Majorie devra vendre pour 2800 $ de marchandises.

7. a) Soit la règle y ! ax $ b.

a !

! "

24 1610 200 8

−−,

24 ! "0,8 # 10 $ b b ! 32Réponse : La pression de l’air dans le pneu est de 32 psi.

b) y ! "0,8x $ 32 ! "0,8 # 12 $ 32 ! "9,6 $ 32 ! 22,4 psiRéponse : La pression de l’air est de 22,4 psi.

c) 0 ! "0,8x $ 32 "32 ! "0,8x x ! 40 minRéponse : Le pneu est complètement vide 40 minutes après le début de la crevaison.


SECTION 5.1 Pente et équation d’une droite

Page 187

1. a) Dans la situation A , l’accroissement de la concentration de phosphore est de 0,03 " 0,01 ! 0,02 mg/L et celui du temps, de 4 mois. Dans la situation B , l’accroissement de la concentration de phosphore est de 0,045 " 0,015 $ 0,03 mg/L et celui du temps, de 5 mois.

b) Variation A ! 0 03 0 01

4 0, ,"

" Variation B ! 0 045 0 015

5 0, ,"

"

! 0 02

4,

! 0 03

5,

! 0,005 mg/L ! 0,006 mg/L

Réponse : La variation est la plus grande dans la situation B , car la variation de la concentration de phosphore est de 0,006 mg/L chaque mois, alors que dans la situation A , elle est de 0,005 mg/L chaque mois.

2. a) a !

!

""

20 810 4

2

b) a

1

2 63 5!

!

""

"

"

"

c) a !

!

""

"

" "

5 103 12

53

d) a !

!

""

"

0 8 3 21 2 0 4

3

, ,, ,

e) a

0,125

124 84130 450

18ou

f ) a !

!

" "

"

""

18 429 13

13

Page 188

3. a) !

! "

!

""

xx

5

10 25 53

x20 105 b)

yy

3

2 31

y26 5 !

" !

!

"

"

"

c) 3 21 1 25

5 1 25 1 255

""

"

"

"

"

!

! "

!

x

xx

,

, ,

d) y

yy

"

" ""

"

!

" !

!

38 7

0 2

3 30

, e) 6 " 4x $ 3 !

13

6 ! x " 3 x ! 9

f ) 2y " y"4 " 5 !

"34

4y ! 27 y ! 6,75

4. Forme canonique Forme générale Pente Abscisse

à l’origineOrdonnée à l’origine

y ! 3x " 9 3x " y " 9 ! 0 3 3 "9

y ! "2x $ 8 2x $ y " 8 ! 0 "2 4 8

y ! "x $ 3 x $ y " 3 ! 0 "1 3 3

y ! "5x " 10 5x $ y $ 10 ! 0 "5 "2 "10

y ! "1,25x $ 5 5x $ 4y " 20 ! 0 "1,25 4 5

y ! "0,5x – 18 4x $ 8y $ 1 ! 0 "0,5 "0,25 " 1

8

Page 189

5. a) y ! 4x " 6 b) "y ! "4x " 8y ! 4x $ 8

c) "y ! "3x " 4 y ! 3x $ 4

d) 2y ! "3x $ 12 y ! "1,5x $ 6

e) "4y ! "3x $ 6 y ! 0,75x " 1,5

f ) y x8 2

1! $"

y ! "4x $ 8

g) 3x $ 9 " y ! 0 9 " y ! "3x "y ! "3x " 9 y ! 3x $ 9

h) 5x $ y " 17 ! 0 5x $ y ! 17 y ! "5x $ 17

i ) 2x $ 4 y " 9 ! 0 4y " 9 ! "2x 4y ! "2x $ 9 y ! "0,5x $ 2,25

j ) 3x " y2 " 7 ! 0

"y2

! "3x $ 7

y ! 6x " 14

Page 190

6. Coordonnées à l’origine de la droite d1 : y ! "0,5 # 0 $ 1,5 ! 1,5

0 ! "0,5x $ 1,5 x ! 3

(0, 1,5) et (3, 0).

Coordonnées à l’origine de la droite d2 : (1,5, 0) et (0, 3).

Pente de la droite d2 : 3 0

0 1 5"

" , ! "2

Équation de la droite d2 : y ! "2x $ 3

Réponse : L’équation de la droite d2 est y ! "2x $ 3.


Page 190

7. a) Dans le graphique, la droite qui supporte le segment AB passe par les points (0, y) et (20, 0).

Pente : y "

"! "

00 20

14

y

" 20 !

"14

y !

204

y ! 5

Réponse : y ! " x4

$ 5

b) La rampe passe par les points (20, 0) et (0, 5). La base et la hauteur du triangle rectangle formé par les axes du plan et la droite mesurent donc respectivement 20 m et 5 m.

m AB ! 20 52 2+

! 20,62 m

Réponse : La rampe d’accès mesure environ 20,62 m.

SECTION 5.2 Distance entre deux points

Page 191

1. a) d (A, B) (9 3) (11 4)

6 7

2 2

2 2

! " $ "

! $

d(A, B) " 9,22 u

b) d (A, B) ( 1 5) (8 6)

4 2

2 2

2 2

! " $ "

! $

" "

d(A, B) " 4,47 u

c) d (A, B) ( 3 2) ( 7 4)

( 1) ( 3)

2 2

2 2

! " $ "

! $

" " " "

" "

d(A, B) " 3,16 u

d) d (A, B) (9 1) (3 8)

8 ( 5)

2 2

2 2

! " $ "

! $ "

d(A, B) " 9,43 u

e) ! " $ "

! $

" "d (A, B) (13 15) (11 12)

28 23

2 2

2 2

d(A, B) " 36,24 u

f ) d (A, B) (5 4) (9 3)

9 6

2 2

2 2

! " $ "

! $

"

d(A, B) " 10,82 u

Page 192

2. a) m ABu

! " $ "( ) ( ),5 2 9 1

8 54

2 2

!

m BCu

! " $ "( ) ( ),8 5 3 9

6 71

2 2

!

m CA (2 8) (1 3)6,32 u

2 2

!! " $ "

Périmètre : 8,54 $ 6,71 $ 6,32 ! 21,58 u

b) m ABu

! " $ "( ) ( ),7 1 9 8

6 08

2 2

! m DE (1 4) (2 5)

4,24 u

2 2

!! " $ "

m BCu

! " $ "( ) ( ),9 7 2 9

7 28

2 2

! m EA (1 1) (8 2)

6 u

2 2! " $ "

!

m CD (4 9) (5 2)5,83 u

2 2

!! " $ "

Périmètre : 6,08 $ 7,28 $ 5,83 $ 4,24 $ 6 ! 29,44 u

3. a) Rayon du cercle :

r ! " $ "

!

( ) ( )3 0 4 05

2 2

u

d (A, B)u

! " $ "

!

( ) ( )6 0 8 010

2 2

Oui, car la distance entre les points A et B correspond au double du rayon du cercle.

b) Rayon du cercle :

r ! " $ "

!

( ) ( )8 3 4 45

2 2

u

d (A, B) (8 1) (4 1)9,49 u

2 2

!! " $ ""

Non, car la distance entre les points A et B ne correspond pas au double du rayon du cercle.

Page 193

4. a) d (A, B) (0 3) (9 0)90

9,49 u

2 2

!

! " $ "

!

" d (A, B) (15 0) (0 12)369

19,21u

2 2

!

! " $ "

!

d (A, B)

u

! " $ "

!

"( ) ( )

,

8 0 0 480

8 94

2 2

!b) Si les coordonnées à l’origine des points A et B sont A(a, 0) et B(0, b), où a et b & 0, alors la distance qui sépare

ces deux points est égale à a b2 2$ .

5. a) m ABu

! " $ "( ) ( ),6 1 7 1

7 81

2 2

!

m AC (8 1) (3 1)7,28 u

2 2

!! " $ "

Il ne s’agit pas d’un triangle isocèle, car les deux plus grands côtés n’ont pas la même mesure.

b) m ABu

! " $ "( ) ( ),8 3 8 9

5 1

2 2

!

m BCu

! " $ "( ) ( ),9 8 3 8

5 1

2 2

!

m CDu

! " $ "( ) ( ),4 9 4 3

5 1

2 2

!

m DA (3 4) (9 4)5,1u

2 2

!! " $ "

Il s’agit d’un losange, car les quatre côtés ont la même mesure.


Page 194

6. m AB ! (b ! 0)2 " (2a ! a)2

! b a2 2$

m BC (2b ! b)2 " (a ! 2a)2

! b a2 2$

m CD ! ( ( )b b) 0 a" $ "2 2 2

! b a2 2$

m AD ! ( ) (b a)" $ "0 02 2

! b a2 2$

Réponse : La figure est un losange, car les quatre côtés sont isométriques.

7. Distance horizontale entre les villes A et C : 3 $ 5 ! 8 kmAbscisse du point B : "3 $ 8

2 ! 1

Distance verticale entre les villes A et C : 2 $ 6 ! 8 kmOrdonnée du point B : 2 " 8

2 ! "2

B(1, "2)Distance horizontale entre les villes C et E : 13 " 5 ! 8 kmAbscisse du point D : 5 $ 8

2 ! 9

Distance verticale entre les villes C et E : 6 $ 9 ! 15 kmOrdonnée du point D : "6 $ 15

2 ! 1,5B(9, 1,5)Distance entre les points B(1, "2) et D(9, 1,5) : d ! " $ " "(9 1) (1,5 2)2 2 ! 8,73 km

Réponse : La longueur de la route de contournement sera d’environ 8,73 km.

Page 195

8. x x x xx x

xx

xx

20 (7 ) (10 2 )20 (6 ) (8 )20 100

400 10042

2 2

2 2

2

2

2

! " $ "

! $

!

!

!

!'

Réponse : Les coordonnées sont A(2, 4) et B(14, 20) ou A("2, "4) et B("14, "20).

9. Trajet 1 :

d (A, B)km

! " $ "( ) ( ),25 10 48 15

36 25

2 2

!

Durée : 36,25 ( 70 " 0,52 h

d (B, C) (60 25) (27 48)40,82 km

2 2

!! " $ "

Durée : 40,82 ( 90 " 0,45 h

Longueur du trajet 1 : 36,25 $ 40,82 " 77,07 km

Durée totale du trajet 1 : 0,52 $ 0,45 " 0,97 h

Trajet 2 :

d (A, D) (58 10) (9 15)48,37 km

2 2

!! " $ "

Durée : 48,37 ( 90 " 0,54 h

! " $ "

!d (D, C) (60 58) (27 9)

18,11 km

2 2

Durée : 18,11 ( 70 " 0,26 h

Longueur du trajet 2 : 48,37 $ 18,11 " 66,48 km

Durée du trajet 2 : 0,54 $ 0,26 " 0,8 h

Réponse : Le trajet 2 , qui est le plus court, est aussi celui qui permet d’arriver à destination le plus rapidement.

Page 196

10. Distance entre Isabelle et chacun des poteaux :

d (I, A) (5 30) (15 15)25 m

2 2! " $ "

!

d (I, B) (15 30) (35 15)25 m

2 2! " $ "

!

d (I, C) (30 30) (40 15)25 m

2 2! " $ "

!

d (I, D) (45 30) (35 15)25 m

2 2! " $ "

!

d (I, E) (50 30) (30 15)25 m

2 2! " $ "

!

Réponse : Puisque la distance qui sépare Isabelle de chacun des poteaux est la même, cette affirmation est vraie.

11. d (A, E) (10 0) (1 20)21,47 m

2 2

!! " $ "

d (B, F) (14 0) (0,75 21,5)25,03 m

2 2

!! " $ "

! " $ "

!d (C, G) (20 0) (0,5 23)

30,1 m

2 2

d (D, H) (28 0) (0,25 24,5)37,04 m

2 2

!! " $ "

Longueur totale : " (21,47 m $ 25,03 m $ 30,1 m $ 37,04 m) # 2 " 227,29 m

Réponse : La longueur totale de câble d’acier sera d’environ 227,29 m.


SECTION 5.3 Position relative de deux droites

Page 197

1. a) Parallèles. b) Perpendiculaires. c) Sécantes. d) Parallèles. e) Sécantes. f ) Perpendiculaires.

Page 198

2. Droite B : 2x ! 6y " 0 Droite D : y " !3x # 6 Droite E : !3y # 9x # 6 " 0

y x" !3

56

y " 3x # 2

Droite F : y

y

2

2

x

x3

3

# "

" #

!

Pentes des droites : A : 3, B : 13

, C : !3, D : !3, E : 3 et F : 13

.

1) B et F , A et E .

2) C et D .

3) B et C , B et D , C et F , D et F .

3. a) Pente de la droite qui supporte le segment AB :12 44 8

23

!!!

" !

Pente de la droite qui passe par le point C : 1,5

y " 1,5x # b

8 " 1,5 $ 2 # b

b " 5

Équation de la médiatrice : y " 1,5x # 5

b) Pente de la droite qui supporte le segment AB :!

!

!!

"18 2422 34

0 75,

Pente de la droite qui passe par le point C : !43

y " ! 43

x # b

3 " !43 $ 6 # b

b " 11

Équation de la médiatrice : y " !43 x # 11

Page 199

4. Pente de la droite qui supporte le segment AB : 32 2072 90

23

!!

" !

y " !23x # b

20 " !23 $ 90 # b

b " 80

y " !23x # 80

Pente de la droite qui supporte le segment BC : 3

2

Coordonnées d’un point par lequel passe la droite qui supporte le segment BC : (50, 90)

y " 32x # b

90 " 32 $ 50 # b

b " 15

y " 32x # 15

5. Oui, ces droites sont perpendiculaires, car leurs pentes sont opposées et inverses. En effet, !ab

$ ba "

!abba

" !1.

Réponse : L’équation de la droite qui supporte le segment BC est y " 32x # 15.

6. a) Pente de la droite d1 : 6 15 5

0 5!!!

" ! ,

Pente de la droite d2 : 2Équation de la droite d2 :y = 2x # b4 " 2 $ !1 # bb " 6y " 2x # 6

Réponse : y " 2x # 6

b)

2

y

2

B(5, 1)

(!1, 4)

A(!5, 6)

d1

C

x0

d2


Page 200

7. a) Pour que le triangle soit isocèle rectangle, les pentes des droites doivent être de !1 et de 1. Équation de chacune des droites :

Substituer la pente de !1 à a et le couple (3, 7) à x et y dans l’équation y " ax # b.7 " 3 $ !1 # b7 " !3 # bb " 10y " !x # 10

Substituer la pente de 1 à a et le couple (3, 7) à x et y dans l’équation y " ax # b.7 " 3 $ 1 # b7 " 3 # bb " 4y " x # 4

Réponse : L’équation de chacune des droites est y " !x # 10 et y " x # 4.

b) Abscisses à l’origine de chacune des droites :0 " !x # 10x " 1010 ! !4 " 14 u

0 " x # 4x " !4

Réponse : Une distance de 14 u sépare leurs abscisses à l’origine.

8. a) x " 6 b) y " 1 c) x " !4 d) y " 3

9. a) Plusieurs réponses possibles. Exemple : Dans un premier temps, il faut vérifier si les deux bases sont parallèles. Par la suite, on vérifie si l’un des côtés est perpendiculaire aux deux autres. Si la pente de ce côté est inverse et opposée à celle des deux autres côtés parallèles, alors on peut dire que le trapèze est rectangle.

b) Plusieurs réponses possibles. Exemple : Si les pentes des côtés opposés de la figure sont les mêmes, alors la figure est un parallélogramme.

Page 201

10. x # y ! 4 " 0 y " !x # 4Pente de chacune des droites parallèles au segment AB : !1Coordonnées du point d’intersection C entre le segment AB et la droite orange :ydroite orange " ysegment AB On substitue 2 à x :x " !x # 4 y " !2 # 4 " 2 " 2C(2, 2)Comme la droite orange passe par l’origine O(0, 0), la distance entre O(0, 0) et C(2, 2) est la même que celle entre C(2, 2) et D(4, 4), le point d’intersection entre le 1er segment parallèle au segment AB et la droite orange, et ainsi de suite. La droite bleue passe donc par le point H(12, 12). y " !x # b 12 " !12 # b b " 24y " !x # 24

Réponse : L’équation de la droite bleue est y " !x # 24.

11. Équation de la droite qui supporte la rue Garnier : Équation de la droite qui supporte la rue Boivin :

a "

"

!!

70 5070 3012

a "

"

!!

40 1090 3012

y " x2

# b y " x2

# b

70 " 702

# b 40 " 902

# b

b " 35 b " !5y " x

235# y " x

25!

Pente de la droite qui supporte le sentier : !2 y " !2x # b50 " !2 $ 30 # b b " 110y " !2x # 110

Réponse : L’équation de la droite qui supporte ce sentier est y " !2x # 110.


Page 202

12. Pente de la droite qui supporte le segment AB : 7 5 51 1 5

5,,

""

! " y ! "5x $ b 7,5 ! "5 # 1 $ b b ! 12,5

Équation de la droite qui supporte le segment AB : y ! "5x $ 12,5

Pente de la droite orange qui passe par le point C et qui est perpendi-culaire à la droite qui supporte le segment AB : 1

5 ! 0,2

y ! 0,2x $ b 6,25 ! 0,2 # 1,25 $ b b ! 6

Équation de la droite orange : y ! 0,2x $ 6

Vérifier si la droite orange passe par le point E(130, 30) : y ! 0,2x $ 630 ! 0,2 # 130 $ 6 30 & 32

Réponse : L’alignement de l’antenne n’est pas optimal, puisque la droite ne passe pas par le point E(130, 30).

13. Équation de la droite qui supporte le segment AB :

−−

−−

y

y

a

b

16 b

b

y yx x

x

x

12 1636 8

428

17

787

1207

7120

7

2 1

2 1! ! ! !

! $

! $

!

! $

" "

"

"

"

Équation de la droite qui supporte le segment AC : a ! 7 puisque ^AB AC y ! 7x $ b 16 ! 7 # 8 $ b b ! "40y ! 7x " 40

Réponse : L’équation de la droite qui supporte le câble AC est y ! 7x " 40.

SECTION 5.4 Coordonnées d’un point de partage

Page 204

1. a) 1) 1 : 2

2) 13

b) 1) 2 : 3

2) 25

c) 1) 4 : 3

2) 47

d) 1) 1 : 1

2) 12

e) 1) 2 : 5

2) 27

f ) 1) 3 : 7

2) 310

g) 1) 2 : 3

2) 25

h) 1) 1 : 2

2) 13

i ) 1) 5 : 2

2) 57

2. a) 3 : 5 b) 415

c) 1 : 1

Page 205

3. a) 1 2 6 214

14

( )( (13 ! 1), ) ! (4, 3) b) " "$ # " $ # "7 5 7 6 0 613

13

( ), ( )( ) ! ("3, 4)

c) 7 5 7 2 7 2512

512

( ), )( )( ! ("2, 1,75) d) 6 9 6 9 1 945

45

( ) −( )( ), ! (6, 2,6)

e) " " "$ # " $ # "8 7 8 4 2 416

16

( ), ( )( ) ! ("5,5, 3) f ) 10 1 10 3 7 316

16

$ # " $ # "( ), ( )( ) ! 8 5 113

, ,( )g) " " "$ # " $ # "12 123

103

108 11 4 11( ) ( )( ), ! ("6, 6,5) h) 12 $ # " $ # "3

838

2 12 18 3 18( ) ( )( ), ! (8,25, 12,375)

Page 206

4. a) 1 10 1 8 2 8$ # " $ # "ab

ab

( ), ( )( ) ! (4, 6)

1 89 6$ "ab

ab

,( ) ! (4, 6)

Pour l’abscisse : 1 4

3

9

9

39

aba

bab

13

ab

Réponse : Le point C est situé au 13

de la longueur du segment AB.

b) 7 15 7 10 1 10$ # " $ # "ab

ab

( ), ( )( ) ! (11, 5,5)

7 108 9$ "ab

ab

,( ) ! (11, 5,5)

Pour l’abscisse : 7 118$ !ab

8 4ab

!

48

ab

12

ab

Réponse : Le point C est situé à la 12 de la longueur

du segment AB.


c) " " " "$ # " $ # "4 1 4 5 5 5ab

ab

( ), ( )( ) ! ("2, "1)

" "$ $4 55 10ab

ab

,( ) ! ("2, "1)

Pour l’abscisse :" "$ !4 25a

b5 2ab

!

ab

25

!

Réponse : Le point C est situé aux 25


d) " " "$ # " $ # "7 5 1 5 1ab

ab

( , ( )7)( ) ! (3, "4)

" $ "7 112 6ab

ab

, ( ) ! (3, "4)

Pour l’abscisse : " $ !7 12 3ab

12 10ab

!

ab

1012

!

ab

56

!

Réponse : Le point C est situé aux 56


Page 207

5. Coordonnées du point C : " "$ # " $ # "5 7 5 8 2 81

313

( ), ( )( ) ! ("1, 6)

Coordonnées du point D : " "$ # " $ # "5 7 5 8 2 85

656

( ) ( )( ), ! (5, 3)

Coordonnées du point E : L’abscisse du point E est la même que celle du point C, soit "1. L’ordonnée du point E est la même que celle du point D, soit 3.

E("1, 3)

m CE : 6 " 3 ! 3 u

m ED : 5 " "1 ! 6 u

Aire du triangle CDE : A b h! #

! #

!

26 3

29 2u

Réponse : L’aire du triangle CDE est de 9 u2.

6. x x x y y y1 2 1 1 2 112

12

$ # " $ # "( ), ( )( ) ! x x x y y y1 2 1 1 2 112

12

12

12

$ " $ ",( ) ! x x x y y y1 1 2 1 1 2

12

12

12

12

" $ " $,( ) ! 1

212

12

121 2 1 2x x y y$ $, ( )

! x x y y1 2 1 2

2 2+ +,

Page 208

7. Coordonnées du point B1 :

Le point B1 est situé au 13

de la longueur de AC :

50 290 50 40 150 4013

13

( ), ( )−( )! 130 230

3,( )

Coordonnées du point P1 :

Le point P1 est situé au 14


50 290 50 40 150 4014

14

( ), ( )−( )! (110, 67,5)


Le point P3 est situé aux 34


50 290 50 40 150 4034

34

$ # " $ #( ), ( )−( ) ! (230, 122,5)

Coordonnées du point B2 :

Le point B2 est situé aux 23


50 290 50 40 150 4023

23

( ), ( )−( )! 210 340

3,( )


Le point P2 est situé au milieu de AC :

50 290 50 40 150 4012

12

( ), ( )−( )! (170, 95)

Réponse : La borne-fontaine B1 est située aux coordonnées 130 230

3,( ) . la borne-fontaine B2, aux coordonnées 210 340

3,( ),

le poteau P1, aux coordonnées (110, 67,5), le poteau P2, aux coordonnées (170, 95) et le poteau P3, aux coordonnées (230, 122,5).


Page 209

8. Il s’agit de démontrer que les coordonnées du point milieu de chacun des segments sont les mêmes.

Coordonnées du point milieu du segment BA : 1 5 1 2 612

12

$ # " $ # "" "( ), ( 2)( ) ! (3, 2)

Coordonnées du point milieu du segment DC : " "$ " $ "1 7 1 0 412

12

( ), ( 0)( ) ! (3, 2)

(5 ! 1)2 " (6 ! !2)2d(B, A) #

42 " 82 #

80 #

(7 ! !1)2 " (4 ! 0)2d(D, C) #

82 " 42 #

80 #

Réponse : Puisque les coordonnées du point milieu de chacun des segments sont les mêmes et que les segments ont la même mesure, les segments AB et CD sont des diamètres d’un même cercle.

9. 40 60 40 80 30 80$ # " $ # "ab

ab

( ), ( )( ) ! (44, 70)

40 8020 50$ "ab

ab

,( ) ! (44, 70)

Pour l’abscisse : 40 4420$ !ab

20ab

! 4

ab

420

!

ab

15

!

Isabelle est située au 15

de la longueur du trajet AB.

Réponse : Sa position sépare le trajet AB dans un rapport de 1 : 4 à ce moment.

Page 210

10. Coordonnées du point B :

1 13 1 10 1 1014

14

$ # " $ # "( ), ( )( ) ! (4, 7,75)

Coordonnées du point F : (4, 1)Longueur du renfort BF : 7,75 " 1 ! 6,75 m

Coordonnées du point C :

4 13 4 7 75 1 7 7549

49

$ # " $ # "( ), , ( , )( ) ! (8, 4,75)

Coordonnées du point E : (8, 1)Longueur du renfort CE : 4,75 " 1 ! 3,75 m

Réponse : Le renfort BF mesure 6,75 m et le renfort CE, 3,75 m.

11. 4 4 4 1 012

12

( ), )a a( a ( ) ! (8, 14)

(4 $ 2a " 2, a $ 5 " 0,5a) ! (8, 14)(2a $ 2, 0,5a$ 5) ! (8, 14)

2a $ 2 ! 82a ! 6a ! 3

0,5a $ 5 ! 14 0,5a ! 9 a ! 18

Réponse : Puisque la valeur associée à la variable a n’est pas la même, le point C(8, 14) n’est pas le point milieu de AB.

MÉLI-MÉLO

Page 211

1. a) Faux. Deux droites ayant des pentes opposées et inverses sont perpendiculaires.

b) Faux. La pente d’une droite correspond au rapport de l’accroissement des ordonnées et de l’accroissement des abscisses.

c) Vrai.

d) Faux. Deux droites parallèles sont confondues si elles ont la même pente et la même ordonnée à l’origine.

e) Faux. Un point qui partage un segment dans un rapport de 2 : 1 est situé aux 23 de la longueur de ce segment.

f ) Faux. La partie située entre les points P1 et P2 est deux fois plus longue que chacune des deux autres parties.


2. a) y ! "3x # b 7 ! "3 $ 0 # b b ! 7 y ! "3x # 7

b) a ! 2 25 00 4 5,

,"

" "

! 0,5 b ! 2,25 y ! 0,5x # 2,25

Page 212

3. a) Sécantes. b) d1 : y ! 3x # 2 d2 : yx! ""3

23

Perpendiculaires.c) d1 : y ! "0,5x # 2 d2 : y x0,5 2! #"

Parallèles confondues.

d) Perpendiculaires. e) d1 : y ! 0,5x # 1,25 d2 : y ! 0,5x # 0,75

Parallèles distinctes.

f ) d1 : ! #y x34

18 d2 : y x! "4

34

Sécantes.

4. a) " " "# $ " # $ "5 4 5 2 423

23

( ), ( 2)( ) ! (1, "2) b) " " " "# $ " # $ "6 4 6 3 225

25

( ), ( 3)( ) ! ("2, "1)

c) " " " "# $ " # $ "10 10 10 8 7310

310

( ), ( 8)( ) ! ("4, "3,5) d) 13 17 13 4 656

56

# $ " # $ "" " "( ), ( 4)( ) ! "12 133

,( )e) 1 9 1 8 21

414

( ), ( 8 )( ) ! (3, 6,5) f ) 4 8 4 1 723

2

3( ), ( 1 )( ) ! (4, 13

3 )

Page 213

5. a) m ABu

! " # "( ) ( , , ),6 1 5 5 3 5

5 39

2 2

!

m BC (5,5 6) (0,5 5,5)5,02 u

2 2

!! " # "

m ACu

! " # "( , ) ( , , ),5 5 1 0 5 3 5

5 41

2 2

!La mesure des trois côtés n’est pas la même, alors ce n’est pas un triangle équilatéral.

b) m ABu

! " # "

!

( ) ( )10 2 13 710

2 2 m CD

u! " # "

!

"( ) ( )8 16 1 510

2 2

m BCu

! " # "

!

( ) ( )16 10 5 1310

2 2 m DA (2 8) (7 1)

10 u

2 2! " # "

!

"

La pente des segments AB et CD est de 0,75.

La pente des segments AD et BC est de "43

.

Les paires de segments opposés sont parallèles et les côtés adjacents sont perpendiculaires.

La mesure de tous les côtés est de 10 u, les paires de côtés opposés sont parallèles et les côtés adjacents sont perpendiculaires, alors il s’agit bien d’un carré.

6. Puisque la droite qui passe par les points A et B est parallèle à la droite qui passe par les points C et D, elle a la même pente : 1

7y ! x

7 # b

7 ! 57

# b

b ! 447

y ! x7

# 447

Puisque la droite qui passe par les points B et C est parallèle à la droite qui passe par les points A et D, elle a la même pente : 2 y ! 2x # b 4 ! 2 $ 10 # b b ! "16 y ! 2x " 16

Coordonnées du point B :x7

# 447

! 2x " 16 y ! 2 $ 12 " 16

x ! 12 ! 8

Réponse : Les coordonnées du point B sont (12, 8).

Page 214

7. a) d1 : 3x # 5y " 4 ! 0 5y ! "3x # 4 y ! "0,6x # 0,8

d2 : y ! "0,6x # b "2 ! "0,6 $ 4 # b b ! 0,4 y ! "0,6x # 0,4

Soit le point B appartenant à d2 :7 ! "0,6x # 0,4x ! "11

b) d1 : 3x # 5y " 4 ! 0 5y ! "3x # 4 y ! "0,6x # 0,8

d2 : y ! 53x # b

"2 ! 53

4$ # b

b ! "263

y ! 53x " 26

3

Soit le point B appartenant à d2 : 7 ! 53x " 26

3

x ! 9,4


8. Coordonnées du point C :

1 7 1 8 114

14

! " # ! " #( ), ( 8)( ) $ (2,5, 6,25)

Pente de la droite qui supporte le segment AB : 8 11 7

76

##

$ #

Pente de la droite qui supporte le segment DE : 67

Équation de la droite qui supporte le segment DE :

y $ 67x ! b

6,25 $ 67" 2,5 ! b

b $ 11528

y $ 67

x ! 11528

Réponse : L’équation de la droite qui supporte le segment DE est y $ 67

x ! 11528

.

Page 215

9. Considérons BC comme la base du triangle.

m BC (15 5) (9 4)125 u

2 2$ # ! #

$

Hauteur du triangle : segment perpendiculaire au segment BC et qui passe par A.

Équation de la droite qui supporte le segment BC :

a $ 9 415 5

##

$ 510

$ 12

$ 0,5

y $ 0,5x ! b4 $ 0,5 " 5 ! bb $ 1,5 y $ 0,5x ! 1,5

Équation de la droite qui supporte la hauteur AD : y $ #2x ! b 16 $ #2 " 6 ! b b $ 28y $ #2x ! 28

Point d’intersection D entre la droite qui supporte le segment BC et la droite qui supporte la hauteur AD :

0,5x ! 1,5 $ #2x ! 28 y $ #2x ! 28 x $ 10,6 $ #2 " 10,6 ! 28 $ 6,8

4

0

8

12

16

4

A

B(15, 9)

C(5, 4)

8 12 16

y

x

D

m BD (6 10,6 ) (16 6,8 )105,8 u

2 2$ # ! #

$

Atriangle $ b h"2

$ 125 105 82

" ,

$ 57,5 u2

Réponse : L’aire de la figure est de 57,5 u2.

10. a b a b a b)! " # ! " #14

14

( ), (( ) $ ! # ! #

$ # ! # !

a b a b a b

a a b b b

14

14

14

14

14

14

14

14

,

,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

aa

a b b a

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟$ ! !

34

14

34

14

,

Réponse : Les coordonnées du point de partage C sont 34

14

34

14

a b b a! !, ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟.

Page 216

11. Coordonnées du point D : # #! " # ! " #4 4 4 1 41

212

( ), ( 1)( ) $ (0, 2,5)

Coordonnées du point E :# # # #! " # ! " #4 2 4 1 51

212

( ), ( 1)( ) $ (#3, #2)

Coordonnées du point F :

4 2 4 4 512

12

! " # ! " ## #( ), ( 4)⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

$ (1, #0,5)

d(A, B) : ( ) ( )4 4 4 12 2# ! ## ! 8,54 u

d(B, C) : ( ) ( )# ## ! #2 4 5 42 2 ! 10,82 u

d(A, C) : ( ) ( )# # ## ! #2 4 5 12 2 ! 6,32 u

Périmètre du triangle ABC : 8,54 ! 10,82 ! 6,32 ! 25,69 u

d(D, F) : ( ) ( , , )1 0 0 5 2 52 2# ! ## ! 3,16 u

d(F, E) : ( ) ( , )# # ## ! #3 1 2 0 52 2 ! 4,27 u

d(D, E) : ( ) ( , )# ## ! #3 0 2 2 52 2 ! 5,41 u

Périmètre du triangle DEF : 3,16 ! 4,27 ! 5,41 ! 12,84 u12 " 25,69 ! 12,84 u

Réponse : Le périmètre du triangle ABC correspond effectivement à la moitié du périmètre du triangle DEF.


12. Pente de la droite d2 : " 1c

Substituer la pente et le point dans l’équation de la forme y ! ax $ b

d ! " 1c

(c) $ b

d ! " cc

$ b

d ! "1 $ b

d $ 1 ! b y ! " x

c $ d $ 1

Réponse : L’équation de la droite d2 est y ! " xc

$ d $ 1.

Page 217

13. Coordonnées du point D :" "$ # " $ # "7 8 7 5 141

313

( ), ( 5)( ) ! ("2, 8)

m AB : ( ) ( )8 7 14 52 2" $ "" " 17,49 u

m CD : (!2 ! 4)2 " (8 ! !2)2 " 11, 66 u

Aire du triangle ABC : A b h!

!

#

#2

17 49 11 662

, ,

! 102 u2

Réponse : L’aire du triangle ABC et de 102 u2.

14. Coordonnées du point D :

14 2 14 5 1113

13

$ # " $ # "( ), ( 5)( ) ! (10, 7)

Coordonnées du point E :

5 2 5 2 1113

13

$ # " $ # "( ), ( 2)( ) ! (4, 5)

Pente de la droite qui supporte le segment ED : 7 510 4

13

""

!

Pente de la droite qui supporte le segment BC : 5 214 5

13

""

!

Réponse : Puisque les droites qui supportent les segments ED et BC ont la même pente, les segments sont parallèles.

Page 218

15. Mesures de toutes les routes :

m AB : (22 7) (23 22) 15,03 km2 2" $ " !

m BC km: ( ) ( ) ,31 22 27 23 9 852 2" $ " !

m CD km: ( ) ( ) ,36 31 14 27 13 932 2" $ " !

m DE km: ( ) ( ) ,25 36 9 14 12 082 2" $ " !

m EF km: ( ) ( ) ,18 25 11 9 7 282 2" $ " !

m FG km: ( ) ( ) ,9 18 7 11 9 852 2" $ " !

m GA km: ( ) ( ) ,7 9 22 7 15 132 2" $ " !

Distance totale : 15,03 $ 9,85 $ 13,93 $ 12,08 $ 7,28 $ 9,85 $ 15,13 " 83,16 km

Réponse : Oui, il est possible pour cette voiture de faire le tour du lac sans être rechargée.

16. 3x " 2y $ 15 ! 0 y ! 1,5x $ 7,5

Pente de la droite qui supporte la route : 1,5Pente de la droite qui passe par le point de coordonnées (25, 6) et est perpendiculaire à la route : "2

3y ! x2

3" $ b

6 ! 2523

#" $ b

b ! 683

Équation de cette droite : y ! 23

" x $ 683

Point d’intersection I entre les deux droites :1,5x $ 7,5 ! x2

3" $ 68

3

x ! 7y ! 1,5x $ 7,5 ! 1,5 # 7 $ 7,5 ! 18I(7, 18)

Distance de la maison à la route : d(I, A) ! ( ) ( )25 7 6 182 2" $ "

! 468, " 21,63 m

Réponse : La maison est conforme à la règlementation puisqu’elle se trouve à au moins 20 m de la route, soit environ 21,63 m.


Page 219

17. Droite qui supporte le segment AB : a ! 3, puisque que AB//EF et ordonnée à l’origine : 0

y ! 3x

Droite qui supporte le segment BC : a ! "13

y ! "x3

$ b

2,5 ! "2 53, $ b

b ! 103

y ! "x3

$ 103

Coordonnées du point B : 3x ! "x3 $ 10

3

x ! 1y ! 3 # 1 ! 3B(1, 3)

Équation de la droite qui supporte le segment DE : y ! "

x3

$ b

3 ! "43

$ b

b ! 133

y ! "x3

$ 133

Coordonnées du point E : E(x, 2,5) 2,5 ! "

x3

$ 133

x ! 5,5E(5,5, 2,5)

Réponse : La distance totale parcourue est d’environ 14,59 km.

Équation de la droite qui supporte le segment EF : a ! 3 y ! 3x $ b 2,5 ! 3 # 5,5 $ b b ! "14 y ! 3x " 14

Équation de la droite qui supporte le segment AF : a ! 0,2 et ordonnée à l’origine : 0y ! 0,2x

Coordonnées du point F : 3x " 14 ! 0,2x x ! 5y ! 0,2x ! 0,2 # 5 ! 1F(5, 1)

Longueur des segments :

m AB ! ( ) ( )1 0 3 02 2" $ " ! 3,16 km

m DE ! m BC ! ( , ) ( , )2 5 1 2 5 32 2" $ " ! 1,58 km

m CD ! " $ "(4 2,5) (3 2,5)2 2 ! 1,58 km

m EF ! " $ "(5 5,5) (1 2,5)2 2 ! 1,58 km

m AF ! " $ "(5 0) (1 0)2 2 ! 5,1 km

Distance totale : 3,16 $ 4 # 1,58 $ 5,1 ! 14,59 km

Page 220

18. Pour déterminer le diamètre du disque, il faut trouver les coordonnées de son centre. Dans cette situation, le centre du disque correspond à l’intersection des médiatrices des segments AC et CB.

Équation de la droite qui supporte le segment AC :

a ! 0 40 6

46

23

"" "

! !" "

Ordonnée à l’origine : 0

y ! " x23

Équation de la droite qui supporte le segment CB :

a ! 0 20 4

24

12

""

! !

Ordonnée à l’origine : 0

y ! 0,5x

Équation de la droite qui supporte la médiatrice du segment AC : a ! 1,5 y ! 1,5x $ b 2 ! 1,5 # "3 $ b b ! 6,5 y ! 1,5x $ 6,5

Équation de la droite qui supporte la médiatrice du segment CB : a ! "2 y ! "2x $ b 1 ! "2 # 2 $ b b ! 5 y ! "2x $ 5

Coordonnées du point d’intersection des médiatrices O : 1,5x $ 6,5 ! "2x $ 5 x ! "

37

y ! "2 # "37

$ 5

! 417

O "37

, 417

La mesure du rayon correspond à la distance entre le point C et le centre O :

! " $ "

!

"

!

r 0 0

5,87 cm

37

417

169049

2 2

Mesure du diamètre :d ! 2r ! 11,75 cm

Réponse : Le diamètre de l’assiette est d’environ 11,75 cm.


Pages 221-222


130 130 701115

1115

! " # ! " #( ), (x y 70)( ) $ (86, 26)

Abscisse du point B :

130 1301115

! " #( )x $ 86

1115

2863

x # $ #44

1115

1543

x $

x $ 70

Ordonnée du point B :

70 701115

! " #( )y $ 26

1115

1543

y # $ #44

1115

223

y $

y $ 10

B(70, 10)

Pente de la droite qui supporte le segment BC : 70 10130 70

!!

$ 1

Puisque le segment AB est perpendiculaire au segment BC, la pente de la droite qui supporte le segment AB est #1.y #

#

1035 70

$ #1

y ! 10!35

$ #1

y # 10 $ 35y $ 45

Réponse : L’ordonnée du point A est 45.

Pages 223-224

20. Coordonnées du point A : (0, 20)

Équation de la droite qui supporte le segment AD : y $ #x ! 20

Coordonnées du point D :0 $ #x ! 20x $ 20D(20, 0)

Coordonnées du point E :0 $ #2x ! 202x $ 20x $ 10E(10, 0)

Coordonnées du point B :

0 20 0 20 025

25

! " # ! " #( ), ( 20)( ) $ (8, 12)

L’ordonnée du point G est 12.

Coordonnées du point G :12 $ #2x ! 20

x $ 4G(4, 12)

Coordonnées du point C :

0 20 0 20 045

45

( ), ( 20)( ) $ (16, 4)

L’ordonnée du point F est 4.

Coordonnées du point F :4 $ #2x ! 20 x $ 8F(8, 4)

m BC : ( ) ( )16 8 4 122 2# ! # ! 11,31 u

m FG : ( ) ( )4 8 12 42 2# ! # ! 8,94 u

m FC $ 16 # 8 $ 8 u

m GB $ 8 # 4 $ 4 u

Réponse : Le segment BC mesure environ 11,31 u, le segment FG, environ 8,94 u, le segment FC, 8 u et le segment GB, 4 u.

Pages 225-226


y $ #43

" 0 ! 16

y $ 16 Donc B(0,16).

Coordonnées du point A :

0 1643

$ !# x

x $ 12 Donc A(12, 0).

Coordonnées du point F :

0 24 0 16 3423

23

! " # ! " #( ), ( 16)( ) $ (16, 28)

m AB : ( ) ( )0 12 16 02 2# ! # $ 20 m

m BC : ( ) ( )24 0 34 162 2# ! # $ 30 m

m BF : ( ) ( )16 0 28 162 2# ! # $ 20 m

Aire du terrain ABCD : 30 " 20 $ 600 m2

Aire du terrain ABFE : 20 " 20 $ 400 m2

Aire du terrain CDEF : 600 # 400 $ 200 m2

2 " AireCDEF $ 2 " 200 $ 400 m2 $ AABFE

Réponse : Le promoteur a raison, la superficie du terrain ABFE correspond au double de celle du terrain CDEF.

CHAPITRE 6 Système d’équations du premier degré à deux variablesRAPPEL Introduction aux systèmes d’équations du premier degré à deux variables

Page 228

1. a) (3, 6) b) (4, 1) c) (! #4,5, ! #3,5) d) (4, #1) e) 5 , 923

13

⎛⎝

⎞⎠ f ) (28,75, 12,25)

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