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GEL-3003
Filtres FIR par fenêtrage
2
Filtre passe-bas idéal: réponse en fréquence
HPB(ω ) =1, 0 ≤ ω ≤ω c
0, ω c < ω ≤ π
⎧⎨⎪
⎩⎪
HPB(ω )
1
ω ω c π0π− −ω c 2π2π−
......
3
Design de filtre par fenêtrage
• Filtre passe-bas idéal:– Réponse à l’impulsion infinie (RII) – Pas stable– Pas d’équation aux différences pour l’obtenir– Pas causal
• Approximation de hpb(n):– Fenêtre de longueur impaire: L = 2M+1– Paramètres du filtre hw[n]:
» L: nombre de points de la fenêtre = nombre de points du filtre» ωc: fréquence de coupure du filtre passe-bas idéal
– Filtre causal (à phase linéaire):
• Réponse en fréquence
hpb n( ) = ω c π( )sinc ω cn π( )
hw[n]= hpb[n]× wL n⎡⎣ ⎤⎦
hW [n− M ]
Hw ω( ) = Hpb ω( )∗WL ω( )
4
Fenêtre rectangulaire
5
Fenêtre de Hamming
w n( ) = 0.54− 0.46 cos
2πnL−1
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
, 0 ≤ n < L−1
6
Fenêtre de Kaiser
w n( ) =Io α 1− n −M( )2 M 2( )
Io α( ) , 0 ≤ n < N −1 , N = 2M +1
N: nombre de points de la fenêtre
7
Fenêtre de Kaiser: paramètres
w n( ) =Io α 1− n −M( )2 M 2( )
Io α( ) , 0 ≤ n < N −1 , N = 2M +1
8
Paramètres des différents types de fenêtres
Rectangulaire & Hamming
Kaiser
9
avec fenêtre rectangulaire
avec fenêtre hamming
hW n[ ]
hW n[ ]
10
|HW(ω)| avec fenêtre rectangulaire de N points
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
ω/π
Am
plitu
de
N = 10
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
ω/π
Am
plitu
de
N = 40
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
ω/π
Am
plitu
de
N = 30
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
ω/π
Am
plitu
de
N = 20
11
|Hw(ω)|, N= 51 (en dB)
12
|Hw(w)|, N= 51 – à la transition
13
|Hw(ω)|, N = 201 (en dB)
14
|Hw(ω)|, N = 201 – à la transition
15
|Hw(ω)| pour différentes fenêtres (N =103)
16
Paramètres d’un filtre passe-bas
17
Filtre passe-bas: paramètres (2)
18
Paramètres d’un filtre passe-bas obtenu par fenêtrage
Kaiser:
19
Fenêtre rectangulaire, N=93, ωc=0.31π
20
Fenêtre rectangulaire, N=93, (Δω=0.02π), ωc=0.31π
21
Processus du design d’un filtre FIR avec fenêtrage
Pour Kaiser
