GELE2511 Chapitre 3 : Série de Fourier · d ecomposer n’importe quel signal p eriodique en une somme de sinuso des. Pour une fonction p eriodique f(t), sa s erie de Fourier est

GELE2511 Chapitre 3 :Serie de Fourier

Gabriel Cormier, Ph.D.

Universite de Moncton

Hiver 2013

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 3 Hiver 2013 1 / 35

Introduction

Contenu

Contenu

Analyse sinusoıdale

Serie de Fourier

Coefficients

Symetrie

Formes alternatives

Spectre


Introduction

Introduction

Ce chapitre presente une nouvelle methode d’analyse de signaux et decircuits : la serie de Fourier.

On verra qu’on peut decomposer n’importe quel signal periodique enune somme de sinusoıdes.

Cette decomposition du signal permet d’analyser le contenufrequentiel d’un signal et determiner son spectre.


Serie de Fourier

Serie de Fourier

On peut demontrer que les sinusoıdes sont les signaux les plus facilesa utiliser lors de l’analyse de circuits ou de systemes.

Les sinusoıdes permettent de rapidement calculer la reponse d’unsysteme en regime permanent, sans calculer la reponse transitoire.

Si l’entree a un systeme est une sinusoıde, la sortie sera aussi unesinusoıde, de meme frequence (l’amplitude et la phase peuventchanger).


Serie de Fourier

Serie de Fourier

Les sinusoıdes sont les seuls signaux periodiques a posseder cettepropriete.

Pour les autres sources periodiques (ex : triangulaire), il faut trouverune autre methode d’analyse.

La serie de Fourier permet de prendre n’importe quel signalperiodique, et le decomposer en une somme de sinusoıdes.


Serie de Fourier

Serie de Fourier

Le mathematicien Jean-Batiste Fourier decouvrit qu’on pouvaitdecomposer n’importe quel signal periodique en une somme desinusoıdes.

Pour une fonction periodique f(t), sa serie de Fourier est :

Serie de Fourier

f(t) = av +

∞∑n=1

an cos(nω0t) + bn sin(nω0t)

ou av, an et bn sont les coefficients de la serie de Fourier, et ω0 est lafrequence fondamentale.


Serie de Fourier

Serie de Fourier

Les frequences qui sont des multiples de ω0 sont appeles desharmoniques.

Ex : 2ω0 est la deuxieme harmonique,Ex : 5ω0 est la cinquieme harmonique.


Serie de Fourier

Coefficients de la serie de Fourier

Les coefficients sont calcules selon :

av =1

T

∫Tf(t)dt (valeur moyenne)

an =2

T

∫Tf(t) cos(nω0t)dt

bn =2

T

∫Tf(t) sin(nω0t)dt


Serie de Fourier

Exemple

Calculer la serie de Fourier dusignal periodique suivant.

v(t)

t

Vm

0 T 2T

L’equation de v(t) entre 0 et T est :

v(t) =VmTt

L’equation pour av est :

av =1

T

∫T

VmTt dt =

Vm2


Serie de Fourier

Exemple (2)

On calcule an :

an =2

T

∫T

VmTt cos(nω0t) dt

=2VmT 2

(1

n2ω20

cos(nω0t) +t

nω0sin(nω0t)

) ∣∣∣∣∣T

0

=2VmT 2

(1

n2ω20

(cos(2πn)− 1)

)= 0 pour tout n


Serie de Fourier

Exemple (3)

On calcule bn :

bn =2

T

∫T

VmTt sin(nω0t) dt

=2VmT 2

(1

n2ω20

sin(nω0t) +t

nω0cos(nω0t)

) ∣∣∣∣∣T

0

=2VmT 2

(0− T

nω0(cos(2πn)− 1)

)= −Vm

nπ

La serie de Fourier de v(t) est :

v(t) =Vm2− Vm

π

∞∑n=1

1

nsin(nω0t)


Serie de Fourier

Exemple (4)

Reconstruction du signal (si T = 1s) :

0 0.5 1 1.5 2

0

0.5

1

Original

0 0.5 1 1.5 2

0

0.5

1

n = 7

0 0.5 1 1.5 2

0

0.5

1

n = 15

0 0.5 1 1.5 2

0

0.5

1

n = 51


Serie de Fourier

Reconstruction du signal

On voit bien, selon la figure precedente, que plus le nombred’harmoniques utilisees est eleve, plus le signal original est reconstruitfidelement.

Cependant, lorsqu’il y a une discontinuite, il y a un pic qui apparaıtdans le signal reconstruit : on appelle ceci l’effet Gibbs.


Symetrie

Calcul des coefficients

Le calcul des coefficients de la serie de Fourier est, generalement,assez long.

N’importe quoi qui simplifie la tache est benefique.

Selon le type de symetrie dans le signal, on peut grandementsimplifier le calcul des coefficients.


Symetrie

Symetrie paire

Pour des fonctions paires, on peut demontrer que les coefficients de laserie de Fourier sont :

av =2

T

∫T/2

f(t)dt

an =4

T

∫T/2

f(t) cos(nω0t)dt

bn = 0


Symetrie

Symetrie impaire

Pour des fonctions impaires, on peut demontrer que les coefficients de laserie de Fourier sont :

av = 0

an = 0

bn =4

T

∫T/2

f(t) sin(nω0t)dt


Symetrie

Symetrie demi-onde

Pour des fonctions ayant la symetrie demi-onde, on peut demontrer que lescoefficients de la serie de Fourier sont :

av = 0

an = 0 pour n pair

an =4

T

∫T/2

f(t) cos(nω0t)dt pour n impair

bn = 0 pour n pair

bn =4

T

∫T/2

f(t) sin(nω0t)dt pour n impair


Symetrie

Symetrie quart-d’onde

Une fonction ayant la symetrie quart d’onde peut etre rendue paire ouimpaire en faisant un choix approprie de t = 0.

Selon le cas ou on rend la fonction paire ou impaire, les coefficientsseront differents.


Symetrie


Si on rend la fonction paire, on peut demontrer que les coefficients de laserie de Fourier sont :

av = 0

an = 0 pour n pair

an =8

T

∫T/4

f(t) cos(nω0t)dt pour n impair

bn = 0


Symetrie


Si on rend la fonction impaire, on peut demontrer que les coefficients de laserie de Fourier sont :

av = 0

an = 0

bn = 0 pour n pair

bn =8

T

∫T/4

f(t) sin(nω0t)dt pour n impair


Symetrie

Exemple

Calculer la serie de Fourier dusignal periodique suivant.

i(t)

t

Im

−Im

On verifie la symetrie : la fonction est impaire, avec de la symetriedemi-onde et quart d’onde. On aura donc seulement besoin de calculer bn.Dans l’intervalle d’un quart de periode,

i(t) =4ImT

t


Symetrie

Exemple (2)

On calcule bn :

bn =8

T

∫T/4

4ImT

t sin(nω0t)dt

=32ImT 2

(sin(nω0t)

n2ω20

− t cos(nω0t)

nω0

) ∣∣∣∣∣T/4

0

=8Imn2π2

sin(nπ

2

)n est impair

La serie de Fourier est :

i(t) =8Imπ2

∞∑n=1,3,5,...

1

n2sin(nπ

2

)sin(nω0t)


Symetrie

Exemple (3)

Reconstruction du signal (si T = 1s) :

0 0.5 1 1.5 2−1

−0.5

0

0.5

1

Fréquence (rad/s)

i(t)

Original

0 0.5 1 1.5 2−1

−0.5

0

0.5

1

Fréquence (rad/s)

i(t)

n = 3

0 0.5 1 1.5 2−1

−0.5

0

0.5

1

Fréquence (rad/s)

i(t)

n = 7

0 0.5 1 1.5 2−1

−0.5

0

0.5

1

Fréquence (rad/s)

i(t)

n = 11


Formes alternatives

Formes alternatives

Il existe 2 autres facons d’exprimer la serie de Fourier : sous formepolaire, ou forme exponentielle.

La forme polaire permet de mieux identifier l’amplitude et la phasedes composantes d’un signal.

La forme exponentielle est souvent plus simple pour les calculsmathematiques. C’est la forme la plus utilisee en traitement de signal.


Formes alternatives

Forme polaire

Forme polaire :

f(t) = av +

∞∑n=1

|An| cos(nω0t+ θn)

ou

|An| =√a2n + b2n

θn = tan−1(−bnan

)


Formes alternatives

Forme exponentielle

Forme exponentielle :

f(t) =

∞∑n=−∞

Cnejnω0t

ou

Cn =1

T

∫Tf(t)e−jnω0t dt


Formes alternatives

Relations entre les formes

A partir de la forme exponentielle, la forme polaire est :

C0 +

∞∑n=1

2|Cn| cos(nω0t+ θn)

et la forme trigonometrique est :

A0 +

∞∑n=1

An cos(nω0t) +Bn sin(nω0t)

ou2Cn = An − jBn, C0 = A0


Spectres

Spectre

Une fonction periodique est completement definie par ses coefficientsde Fourier et sa periode. Si on connaıt av, an, bn et ω0, on peutconstruire f(t).

Si on connaıt an et bn, on connaıt aussi l’amplitude An et la phase θnde chaque harmonique.

La forme exponentielle de la serie de Fourier permet d’obtenirdirectement l’amplitude et la phase des harmoniques.


Spectres

Spectre

On peut representer graphiquement une fonction periodique en termesde l’amplitude et la phase de chaque frequence presente dans le signal.

On appelle ceci le spectre de la fonction. Ce graphe permet devisualiser quelles frequences ont une amplitude importante ; danscertains cas, la majorite du signal est contenue dans quelquesharmoniques.


Spectres

Exemple

Donner le spectre de la fonctionsuivante si Vm = 5V et τ = T/5.

v(t)

t−τ/2

Vm

τ/2 T

0

On utilise la forme exponentielle.

Cn =1

T

∫ τ/2

−τ/2Vme

−jnω0t dt

=VmT

(e−jnω0t

−jnω0t

) ∣∣∣∣∣τ/2

−τ/2

=2Vmnω0T

sin(nω0τ

2

)


Spectres

Exemple (2)

On peut ecrire sous une autre forme :

Cn =Vmτ

T

sin(nω0τ/2)

nω0τ/2=

sin(nπ/5)

nπ/5

= sinc(nπ/5)

en remplacant par les valeurs du probleme.


Spectres

Exemple (3)

Le spectre d’amplitude :

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

0

0.5

1

n

|Cn|


Spectres

Exemple (4)

Le spectre de phase :

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

0

60

120

180

n

θ n(d

egre

s)

Puisque Cn est reel (dans ce cas-ci), la phase est seulement 0◦ ou 180◦.


Valeur RMS

Valeur RMS

La valeur RMS d’un signal peut etre calculee a partir de la serie deFourier. On remplace la fonction f(t) par sa serie de Fourier :

Frms =

√√√√a2v +

∞∑n=1

(An√2

)2

Par contre, il est generalement plus simple de calculer la valeur RMSa partir de la fonction, plutot que la serie de Fourier.


Conclusion

Conclusion

Les points cles de ce chapitre sont :

Calcul de la serie de Fourier d’une fonction periodique.

Utilisation de la symetrie pour simplifier le calcul.

Calcul du spectre d’un signal periodique.


Documents

GELE2511 Chapitre 3 : Série de Fourier · d ecomposer n’importe quel signal p eriodique en une somme de sinuso des. Pour une fonction p eriodique f(t), sa s erie de Fourier est