Geogebra Et Le Calcul Formel

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  • 7/25/2019 Geogebra Et Le Calcul Formel

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    Acadmie de Poitiers

    GEOGEBRA ET LE CALCUL FORMEL.

    Janvier 2014

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    Module calcul formel de GeoGebra

    A partir de la version GeoGebra 4, on peut faire apparatre toutes les commandes dont celles de

    calcul Formel en cliquant en bas droite de l'cran sur la petite flche.

    Toutes les catgories de commandes apparaissent et parmi elles les commandes de calcul formel.

    En cliquant sur le petit + , on dveloppe la liste de toutes les commandes du calcul formel.

    Certaines peuvent tre utilises directement en ligne de saisie.

    A partir de la version 4.2, il est possible de travailler dans une fentre Calcul Formel en plus des

    fentres Algbre, Graphique et Tableur. Au lancement du logiciel, un choix vous est propos :

    Dans la suite nous allons choisir CAS & Graphique puis dans le menu Affichage , il faut activer

    champ de saisie pour avoir accs la liste de toutes les commandes si ncessaire.

    La barre suivante apparat en bas de lcran : liste des commandes:

    On peut aussi activer la fentre Calcul formel tout moment depuis le menu Affichage

    En cliquant alternativement dans lune ou lautre fentre, les icnes changent.

    Fentre Graphique :

    Fentre Calcul formel

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    Quelques exemples dutilisation:

    Dansla fentre Calcul formel entrerf(x): =x^2-3x+2 (Remarquer le signe : = pour la

    dfinition des fonctions.)

    La courbe reprsentantf est aussitt trace dans la fentre Graphique

    Si vous cliquez sur le petit disque en dessous du numro de la ligne, la courbe ne sera plus affiche

    On peut aussi entre autres :

    calculer une image en entrantf(sqrt(3)+1) :

    factoriser en entrantf(x)puis en cliquant sur licne

    demander la forme canonique. En tapant les premires lettres, la liste des commandes

    disponibles apparait, il ne reste plus qu cliquer sur la commande souhaite .

    rsoudre une quation : Entrerf(x)= 5 puis cliquer sur

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    driver ou intgrer avec licne ou se trouvant sous licne prcdent.

    Si on veut le calcul et le trac de la courbe de la fonction drive, il ne faut pas utiliser les

    icnes mais entrer :g(x) : = Drive[f(x)]

    Calculer des probabilits

    On peut ainsi calculer la probabilit quune variable alatoire suivant une loi binomiale, par

    exemple, soit comprise entre deux valeurs.

    A gauche du titre de la fentre, si vous cliquez sur le petit triangle, vous afficherez un clavier virtuel

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    Activit collge : SITUATION GEOMETRIQUE A MODELISER

    ABCD est un rectangle tel que AB = 2 cm et BC =5 cm. M est un point de [BC]. On notex la

    longueur BM. Pour quelle(s) position(s) de M, le triangle AMD est rectangle en M.

    1. Conjecturer laide du logiciel GeoGebra.

    2. Calculer AM puis MD en fonction dex.

    3. Dterminer lquation qui traduit le fait que le triangle MAD est rectangle en M.

    4. A laide du logiciel de calcul formel, rpondre la question.

    5. En utilisant une proprit de quatrime, donner une construction gomtrique des

    positions possibles du point M.

    Question 1 :

    Questions 2 et 3 : On obtient lquation 2x-10x+8=0

    Question 4 :

    Plusieurs possibilits pour y rpondre :

    - On trace la reprsentation graphique de la fonctionf(x) = 2x-10x+8et on lit ses

    racines

    - On demande la factorisation def(x), et les lves utilisent la rgle de un produit de

    facteurs est nul

    -

    On demande au logiciel de calcul formel de rsoudre lquation.

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    Question 5 :

    Remarque :

    En prenant AB = 2 et BC = 6, on obtient des racines non entires, ce qui rend

    obligatoire le recours au logiciel de calcul formel aussi bien au niveau troisime que seconde.

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    Activit collge : Un problme de miroir

    I- Prsentation du problme

    Pour dcorer le salon de lun de sesclients, un dcorateur pense placer, entre

    autres choses, un miroir form de trois

    carrs.

    Pour obtenir un ensemble harmonieux, il pense que le ct du plus grand carr doit avoir 7,5 cm de

    plus que celui du second, qui, lui-mme, doit avoir 7,5 cm de plus que celui du plus petit.

    De plus, il faut aussi que laire du grand carr soit gale la somme des aires des deux autres carrs

    runis.

    Il passe la commande un miroitier sous ces conditions. Vous devez aider ce dernier calculer le

    ct de chaque carr pour quil puisse honorer cette trange commande.

    II - Rsolution du problme

    1) Choisir comme inconnue c qui sera le ct du premier carr

    2) Reprsenter la figure avec GeoGebra en prenant comme curseur c

    Faire varier c et trouver la valeur de c pour laquelle laire du grand carr est gale la

    somme des aires des deux autres carrs runis.

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    3)

    Dterminer lquation que doit vrifier c

    4) On obtient une quation du second degr que lon peut rsoudre avec GeoGebra

    Dans GeoGebra , cliquer sur calcul formel dans Affichage

    Une nouvelle barre doutils apparat .

    Dans la fentre calcul formel , crire lquation rsoudre puis cliquer sur licne

    Les deux solutions saffichent. Il faut choisir la bonne!

    5)

    Il est intressant de faire remarquer aux lves que si lon avait choisi pour inconnue le ct

    du deuxime carr, lquation rsoudre est plus simple et ne ncessite pas lutilisation dun

    logiciel

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    Activit collge : UN PROBLEME DE PARTAGE

    Cinq frres et surs ont hrit de cinq terrains carrs dont les mesures des cts sont cinq

    entiers conscutifs.

    Les terrains sont assembls en deux groupes : les trois plus petits terrains dun ct du

    chemin, les deux plus grands terrains de lautre ct. Les surfaces de part et dautre du chemin

    sont gales.

    Trouver les dimensions de chaque terrain.

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    1 La fentre de calcul formel comme assistant pour la rsolution dqua-

    tions au collge

    La fentre de calcul formel est un outil utile pour lapprentissage de la rsolution des quations du premier

    degr. On peut faire une rsolution pas pas afin de travailler les rgles de transposition. Le logiciel ne fait pas

    tout et cest llve qui choisit les oprations raliser sur les deux membres de lquation.

    Partons de lexemple suivant : 5x 7 = 3x + 29

    1. On peut saisir cette quation dans la fentre de calcul formel :

    2. On peut ensuite la recopier et appliquer une rgle de transposition :

    3. Remarque :pour gagner du temps en saisie, on peut aussi utiliser les commandes de rappels :

    rfrences statiques de lignes : la commande# reprend lexpression dune autre ligne, mais ne sera pas

    actualise si on modifie ensuite la ligne de rfrence :

    #insre la sortie prcdente ;

    #4insre la sortie de la ligne 4 ;

    rfrences dynamiques de lignes : la commande $ reprend lexpression dune autre ligne, mais seraactualise si on modifie ensuite la ligne de rfrence :

    $insre la sortie prcdente ;

    $4insre la sortie de la ligne 4 ;

    on peut aussi utiliser la touche "parenthse fermante" ) qui rappelle lexpression prcdente.

    4. Essayer successivement les trois commandes )+3x,$1+3xet #1+3x.

    5. On peut poursuivre la rsolution :

    6. On peut demander une valeur dcimale de la solution avec la commandeNumriqueou licne :

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    7. On peut ensuite vrifier sa solution avec des substitutions par la valeur candidate dans chaque membre :

    8. Mais on peut aussi effectuer une substitution simultane avec la commande Substituerou licne :

    9. Bien sr, on peut aussi donner une rsolution directe avec la commandeRsoudreou licne :

    10. Remarque 1 :si une quation contient des parenthses et des dveloppements, il suffit de la saisir dans la

    fentre de calcul formel. Les deux membres seront automatiquement dvelopps et rduits :

    11. Remarque 2 : On peut aussi tester si une valeur numrique est solution dune quation :

    La rponse fournie par le logiciel peut donner aux lves loccasion de sinterroger sur le statut du signe

    "=" dans une quation.

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    2 Et pour les systmes dquations ?

    1. On peut aussi rsoudre un systme dquations, en mettant la liste dquations et la liste dinconnues entre

    accolades :

    2. Avec la commandeRsoudre, la rsolution est immdiate :

    3. Mais on peut aussi travailler pas pas :

    Par combinaison : Par substitution :

    Cela permet aux lves de se concentrer sur les dmarches en se dlestant des contraintes de calcul.

    4. L encore, on peut tester si un couple de nombres est solution dun systme dquations :

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    Exemples dutilisation de GeoGebra Fin de collge/dbut de lyce

    1 Comparaisons de fractions formes dentiers conscutifs

    1. (Avec la calculatrice)Dans chaque cas, laquelle des deux fractions est la plus grande?

    78

    et89

    ; 258259

    et259260

    ?

    2. (Avec laide dun logiciel de calcul formel)Laquelle des deux fractions est la plus grande ?

    99999100000

    et100 000100001

    ? 123456787123456788

    et123456788123456789

    ?

    laide de GeoGebra, avec la commandeNumrique[,], choi-sir la prcision ncessaire pour conclure :

    3. Que peut-on conjecturer sur ces couples particuliers de fractions ?

    4. Si on note n le numrateur de la premire fraction, comment sexpriment les autres nombres utiliss dansles deux fractions ?

    5. Calculer la diffrence entre ces deux fractions avec le logiciel :

    On peut aussi demander de calculer cette diffrence " la main" et de vrifier avec le logiciel ; ou alors

    demander de retrouver le rsultat du logiciel par le calcul la main.

    6. laide de lexpression trouve, conclure et noncer la proprit trouve.

    2 Somme dentiers conscutifs

    2.1 Prsentation de la situation

    On dit que des nombres entiers sont conscutifs lorsquils se suivent dans lordre des entiers naturels : 3, 4 et5 sont trois nombres entiers conscutifs.

    1. a. Est-ce que la somme de deux entiers conscutifs est toujours divisible par 2 ?

    b. Existe-t-il deux entiers conscutifs dont la somme est divisible par 2 ?

    2. Est-ce que la somme de trois entiers conscutifs est toujours divisible par 3 ?

    3. a. Est-ce que la somme de 4 entiers conscutifs est toujours divisible par 4 ?

    b. Existe-t-il 4 entiers conscutifs dont la somme est divisible par 4 ?c. La somme de quatre entiers conscutifs est-elle divisible par 2 ?

    4. Est-ce que la somme de 5 entiers conscutifs est toujours divisible par 5 ?

    5. Gnralisation?

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    2.2 Ce que lon peut faire avec Geogebra

    1. Quel est le nombre qui vient juste aprsn ?

    2. Calculer la somme denetn + 1 et n + 2.

    3. Dmontrer que cette somme est divisible par 3.

    4. a. Si le premier terme de la suite estn, combien vaut le 4me terme de la suite dentiers conscutifs ?

    b. Utiliser la commandeSommepour faire la somme de 4 entiers conscutifs :

    c. Effectuer la division dcimale de cette somme par 4 puis la simplifier :

    Conclure sur la divisibilit par 4 dune somme de quatre entiers conscutifs.

    5. a. Si le premier terme de la suite estn, combien vaut le 5me terme de la suite dentiers conscutifs ?

    b. Utiliser la commandeSommepour faire la somme de 5 entiers conscutifs :

    c. dmontrer que cette somme est divisible par 5. Pour cela, plusieurs mthodes sont possibles : On peut aussi demander de dmontrer ce rsultat " la main" et de vrifier avec le logiciel.

    Effectuer la division euclidienne de cette somme par 5 :

    On peut aussi demander le reste de la division euclidienne de 5n + 10 par 5 avec la commande Reste:

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    Ou encore demander la factorisation du nombre afin de mettre en vidence la divisibilit :

    6. En vue de la gnralisation, on peut reproduire ces manipulations pour six entiers (voire pour sept entiers)et conclure.

    7. a. Pour une suite de pnombres entiers conscutifs commenant n, combien vaut le dernier nombre decette suite?

    b. Calculer la somme depentiers conscutifs :

    c. Calculer la division dcimale de cette somme parp:

    d. Dans quel(s) cas ce quotient est-il un nombre entier ?

    3 Pythagore et les triplets dentiers conscutifs

    3.1 Prsentation du problme

    1. Que peut-on dire dun triangle dont les cts mesurent 3, 4, et 5 cm ?

    2. Est-ce le cas pour un triangle dont les cts mesurent 5, 6, 7 cm ?

    3. Des nombres entiers qui se suivent, comme dans les exemples prcdents, sont appels entiers conscutifs.Le problme que lon se pose est le suivant :

    Existe-t-il dautres triplets dentiers naturels conscutifs qui sont les longueurs dun triangle rectangle ?

    3.2 Conjecture sur tableur

    1. Ouvrir le logiciel GeoGebra et afficher la fentre Tableur:

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    2. Reproduire la feuille de calcul ci-dessous :

    3. Dans la celluleA3, entrer la formule=A2+1. Puis "tirer" cette formule sur les cellules B3et C3.4. Tirer la formule de la celluleD2en D3.

    5. Slectionner les cellules deA3jusquD3puis tirer cette slection jusqu la ligne101.

    6. Existe-t-il dautres triplets de Pythagore dans les 100 premiers triplets ?

    3.3 Preuve avec le logiciel de calcul formel

    1. On va essayer de raisonner dans le cas gnral en dsignant les nombres par des lettres. Si on note nlepremier entier du triplet, comment se notent les deux autres entiers suivants ?

    2. Ouvrir la fentre de calcul formel de GeoGebra.

    3. Dvelopper lexpressionn2 + (n + 1)2 (n + 2)2 :

    4. Peut-on rsoudre lquationn2 2n 3 =0 ? Demander alors une factorisation de cette expression :

    5. Vous pouvez, au niveau troisime, rsoudre lquation (n + 1)(n 3) =0 " la main". Sinon, pour une vri-fication, ou si vous ne savez pas rsoudre une telle quation, vous pouvez demander la rsolution directe :

    4 Quelques prolongements possibles

    1. Existe-t-il des triplets dentiers conscutifs dont la somme est gale au produit?

    2. Pourquoi le produit de pentiers conscutifs est divisible par p! (sur des exemples)?

    3. Pourquoi le produit de cinq entiers conscutifs nest jamais un carr ?

    4. Pourquoi le produit de 4 entiers conscutifs augment de 1 est un carr parfait ?

    5. Pourquoi la somme de 2 nombres conscutifs est gale la diffrence de leur carr ?

    6. Pourquoi la somme de 5 carrs dentiers conscutifs nest jamais un carr parfait ?7. Pourquoi, pour trois nombres entiers conscutifs, si on calcule le produit du plus petit par le plus grand, et

    si on ajoute 1 au rsultat, obtient-on le carr de lentier intermdiaire ?

    8. quelles conditionsn2 1 est divisible par 24 ?

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    Activits lyce seconde :

    Exercice n1 : Hauteur dune balle

    Enonc : Une balle est lance. Au bout dexsecondes, la hauteur atteinte par cette balle (en mtres) par

    rapport au sol est donne par l'expressiong(x) = -5x+10x+15

    1. A quels instants la balle est-elle 15m ?

    2. Quand la balle atteint-elle le sol (on suppose qu'elle ne rebondit pas)?

    3. A quels instants la balle est-elle 18m ?

    4. Quelle est la hauteur maximale atteinte cette balle ?

    Travail des lves :

    * Pour la premire question, les lves rpondent sans aide extrieure.

    * Pour la seconde question, ils peuvent mettre le 5 en facteur : 5(-x+2x+3)=0.

    Discussion entre eux et avec lenseignant pour reprer si oui on non, ils peuvent rsoudre cette quationseuls. Ils sont finalement obligs de faire appel au logiciel de calcul formel :

    Deux possibilits :

    Soit ils demandent directement la rsolution de

    (-x+2x+3)=0, soit ils demandent la factorisation

    de -5x+10x+15.

    * Pour la troisime question, le mme travail sera fait. Mais la factorisation nest pas possible avec le

    logiciel. Seule la rsolution de lquation est possible.

    *Pour la dernire question, les lves peuvent utiliser leur calculatrice pour obtenir un tableau de valeurs. Ils

    peuvent aussi utiliser Gogbra pour faire apparatre la courbe reprsentative de g.

    Pour se faire, il faut aller sur la flche en bas droite, puis choisir calculs et fonctions , puis fonction,

    puis

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    Ils lisent graphiquement le maximum.

    Constatant sur la courbe que 20 est le maximum de g, certains lves travaillent sur le signe de "20 -

    g(x)",en tentant de factoriser cette expression avec ou sans laide du logiciel . D'autres choisissent de

    rsoudre l'inquation g(x)20 ou 20 - g(x) .

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    Exercice n2 : Aire dun quadrilatre.

    Enonc : ABCD est un rectangle tel que AB =10 et AD =6. Les points M, N, P et Q appartiennent [AB],

    [BC], [CD] et [DA] respectivement de faon que AM=BN=CP=DQ.Laire du quadrilatre MNPQ peut-elle

    tre gale la moiti de laire du rectangle ABCD ?

    Travail des lves :

    * Certains lves ont dabord fait une figure sur papier. Dautres ont utilis GoGebra pour tracer la figure

    et par ttonnement, trouvent les solutions au problme.

    * Lenseignant les a aids choisir une inconnue (par exemple AM =x). Les lves ont trouv facilement

    que la somme des aires des quatre triangles est gale 30 units daire, et ils en ont dduit lquation

    rsoudre.

    Le logiciel de calcul formel s'est rvl nouveau indispensable pour rsoudre l'quation obtenue. Le choix

    de GoGebra est judicieux car il permet de raliser la figure, mais aussi de rpondre au problme.

    On choisit licne factoriser aprs avoir tap lexpression def(x) = -2x+16x-30. La validation entranedans la fentre calcul formel laffichage de la forme factorise de lexpression def(x) et dans la fentre

    graphique, la courbe reprsentant cette fonction.

    Exercice n3 : Dimensions dun carr.

    ABCD est un carr. Les points M, N, P et Q appartiennent [AB], [BC], [CD] et [DA] respectivement de

    faon que AM=2, CN=3, DP=2 et DQ=3.Soit I lintersection de (MP) et (NQ)

    Dterminer les mesures possibles du ct du carr ABCD pour que le rectangle IMBN soit gale 20 cm.

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    Exerci ce n4 : Sapin de Nol.

    Pour raliser des sapins en papier de base et de hauteur 8 cm pour dcorer une table, on dcoupe un triangle

    isocle de faon ce que la surface restante reprsente 80% du triangle de dpart. ABC est un triangle

    isocle en A, I est le milieu de [BC]. M est un point de [AI]. La parallle [BC] passant par M coupe [AB]

    en N et [AC] en P.

    Dterminer la position de M de faon que la somme des aires des triangles ANP et MBC soit gale 80%

    de laire du triangle ABC.

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    Daprs un document de G Cordes duGroupe lyce de lacadmie de Nantes pour les Actions Acadmiques Mutualises 2008/2009.Exercice n5:Autour des identits remarquables

    Le plan est rapport un repre ..Dterminer et reprsenter lensemble des pointsM(x ;y) tels que :

    a) b)

    Question Dfi :

    Dterminer et reprsenter lensemble des pointsM(x ;y) tels que :

    Avec le module de calcul formel

    On factorise lexpression: pour n= 2, n = 3 puis n= 4 afin de dterminer les racines deces polynmes la main, et en dduire les solutions du problme.

    Voila ce que cela donne :

    On peut aussi demander de rsoudre lquation:Ce qui donne les solutions pour linconnue "x", (je nai pas russi trouver comment choisir linconnue) :

    Pour n= 4, on peut utiliser un logiciel de calcul formel qui permet de choisir la variable de rsolution et

    sapercevoir de la symtrie des solutions, par exemple, avec Xcas, on obtient :

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    Daprs un document de G Cordes duGroupe lyce de lacadmie de Nantes pour les Actions Acadmiques Mutualises 2008/2009.

    Traitement avec Geogebra module fonction.

    Activit 1 :

    On dfinit un curseur "a", puis on construit les ensembles et pour n= 2, 3 et 4.On observe la trace des points dintersection des deux ensembles.

    Pour n= 2 :

    Pour n= 3 :

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    Daprs un document de G Cordes duGroupe lyce de lacadmie de Nantes pour les Actions Acadmiques Mutualises 2008/2009.Pour n= 4 :

    Dans tous les cas, on peut construire de suite lensemble des points vrifiant onobtient directement la solution mais cela naide pas la rflexion!

    Quelques rflexions du groupe nantais :

    Cette activit est une situation intressante faire vivre en classe de seconde.

    Il sagit de revisiter les identits remarquables en travaillant sur les quantifications (souvent implicites) et

    les diffrents sens du symbole "= "qui sont lis par ces quantifications.

    Llve ne sapproprie bien lnonc quaprs avoir rflchi des phrases du type :

    Quels que soient les relsx ety : ; il existe des relsx ety tels que : Rechercher tous les relsx ety tels que :

    Le calcul formel ne dispense aucunement llve de llaboration dune stratgie.

    Le calcul formel, inutile pour la premire question, pourra aider certains lves pour mener bien les

    calculs du b).

    Il ne dispense que de la matrise technique quand la matrise du cas simple est avre.

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    Daprs un document de G Cordes duGroupe lyce de lacadmie de Nantes pour les Actions Acadmiques Mutualises

    2008/2009.Exerci ce n6 : Curiosi ts ari thmti ques

    Premire situation :

    Calculer :

    482

    -472

    -462

    452

    puis 492

    -482

    -472

    462

    et 502

    -492

    -482

    472

    Quy a-t-il de remarquable ? En est-il toujours ainsi ?

    Deuxime situation :

    Vrifier que :

    ; ; Quy a-t-il de remarquable ? En est-il toujours ainsi ?

    Avec le module de calcul formel

    La premire situation peut tre assez facilement traite la main, et la formulation algbrique nepose pas de gros problme.

    La deuxime ncessite dutiliser un logiciel de calcul formel car les calculs sont dlicats pour un

    lve de seconde. Cependant elle ne pose aucun problme pour un lve qui a bien intgr

    lutilisation du calcul formel et quisait ce quil cherche, savoir un carr !

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    Daprs un document de G Cordes du

    Groupe lyce de lacadmie de Nantes pour les Actions Acadmiques Mutualises 2008/2009.

    Activits lyce premire :

    Exercice n1 : Polynme contenant un paramtre

    P est le polynme dfini par :P(x) = (m - 3)x2- 2(m + 2)x + m - 5 o m est un nombre rel.

    On appelle (Cm) sa courbe reprsentative dans le plan muni dun repre orthogonal Utiliser Geogebra pour reprsenter notre famille de courbes : bien rflchir aux chelles et

    lintervalle dans lequel volue m

    Lorsque (Cm) est une parabole, on appelle Sm le sommet de (Cm).

    Conjecturer, laide du graphique obtenu prcdemment, le lieu des points Sm lorsque mparcourt R.

    A la main et avec le calculateur formel

    a) Dterminer, la main, en fonction de m, labscissexS de Sm:

    b) En dduire, laide du calculateur formel, lordonneySde Smen fonction de m .

    c)Prouver que la conjecture faite est juste

    Avec le module de calcul formel

    Pour conjecturer les lves partent dexemples:

    Quand m = 1, S1(1,5 ; 0,5), quand m = 2, S2(4 ;27) la droite (S1S2 ) a pour quation Ils vrifient alors que S3est bien sur cette droite.

    Ils arrivent donc la conjecture : les sommets semblent se trouver sur la droite dquation ;(le problme de savoir si la droite est entirement atteinte nest pas abord)

    Il reste tablir une preuve : les lves laborent une stratgie de calcul : il faut les coordonnes de Smet

    ensuite on remplace dans lquation de la droite.

    Pour avoir labscisse de Smon utilise

    mais le calcul deysest trop lourd, il faut calculerf(xS), cest

    alors quils utilisent le logiciel:

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    Daprs un document de G Cordes du

    Groupe lyce de lacadmie de Nantes pour les Actions Acadmiques Mutualises 2008/2009.Avec le module graphique et fonctions

    On commence par dfinir un curseur "m".

    On dfinit ensuite la fonctionfmet les coordonnes de son sommet ainsi que celui-ci.

    On active les traces puis on dfinit le lieu du sommet : qui semble tre une droite, reste chercher son

    quation.

    Cela permet davoir la conjecture rapidement mais ne dispense pas de la preuve !

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    Exercice n2 : Recherche d'un minimum avec le module calcul formel de geogebra : Le chantier

    Un homme quitte sa maison qui se trouve 300 mtres de la rivire, va jusqu' la rivire en R,

    prend de l'eau avec son arrosoir et rejoint un chantier qui se trouve 400 mtres de la rivire.

    De plus OH = 600m.(voir figure)

    Pour aller la rivire l'homme marche 5 km/h, mais une fois son arrosoir rempli, il marche

    vers le chantier 3km/h.On peut se poser deux questions :

    1) O placer R pour que le trajet soit le plus court possible ?

    2) O placer R pour que le trajet dure le moins de temps possible ?

    Remarque : Pour la premire question, il existe une solution gomtrique simple, mais nous

    chercherons une solution algbrique.

    1re question : On peut crire que : et

    La distance totale est donc d(x)=MR+CR= Il faut donc chercher le minimum de d(x), ce qui est assez difficile avec crayon et papier.

    C'est pourquoi, nous faisons les calculs avec un logiciel de calcul formel.

    On ouvre le logiciel GoGbra et son module de calcul formel.

    On crit dans la cellule 1 : d(x):=sqrt(90000+x)+sqrt((600-x)+160000)puis valider.On obtient :

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    A condition que les units soient bien choisies, la courbe apparat sur l'cran graphique et on voit

    qu'il existe un minimum. d(x) ne varie pas beaucoup en fonction dex, mais un peu quand mme.

    Puis on demande la drive en crivant dans la cellule 2: d'(x):=drive[d(x),x]. Puis valider.On obtient :

    Une formule qui peut faire peur au plus intrpide des calculateurs.

    On recherche la valeur qui annule cette drive dans la cellule 3, en crivant : rsoudre[d'(x)=0]On obtient :

    On cherche une valeur approche avec la commande :Numrique[1800/7,7] pour 7 chiffresaprs la virgule?( pour savoir si a tombe juste, ou s'il y a une priodicit).

    On obtient :

    C'est lorsque OR=257,1429 mtres que la distance parcourue est minimum

    Pour connatre la valeur de ce minimum, il faut calculer d(1800/7).

    On crit dans la cellule 5 : min:=d(1800/7) et on valide.

    On obtient :

    dont on cherche une valeur approche :

    La distance minimum est d'environ 922 mtres.

    2me question :

    On va maintenant calculer le temps t en fonction dex. (t en heures, v en km/h, d en km)

    On crit cette formule en cellule7 et on obtient :

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    puis on demande la drive. On obtient :

    Ouf !

    Heureusement que c'est l'ordinateur qui travaille.

    On cherche annuler cette drive.

    On obtient :

    Donc, le temps de parcours est minimum lorsque OR=385,07 mtres.

    Pour connatre ce temps minimum, il faut calculer t(385,07) dans la cellule 10.On obtient :

    Puis on cherche une valeur approche.

    On obtient :

    Le temps minimum est alors de 0,24899 heures soit de 896 secondes environ comme c'est indiqu ci

    dessous.

    Remarque :

    Ce problme, intressant pour des lves de premire puisqu'il utilise la drive, peut aussi tre

    propos des lves de seconde.

    En effet il existe une commande extrmum qui permet encore plus rapidement de trouver les

    solutions.

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    Exercice n3 : Nombres parfaits.

    Dfinition

    Un entier naturel n est parfait si la somme de ses diviseurs positifs est gale 2n.

    L'objectif de l'activit est de dterminer l'ensemble des entiers parfaits infrieurs 10000.

    On utilise GoGebra et son module de calcul formel.

    Faire apparatre la fentre ddie au calcul formel, grce au menu affichage.

    Il existe une fonction qui donne la liste des diviseurs d'un nombre.

    Dans la premire cellule, crivons : n:=72 et validons. On obtient :

    Puis ensuite dans la cellule 2 : ListeDiviseurs[n] puis validation. On obtient :

    Puis en cellule 3 : Somme[listeDiviseurs[n]] puis validation. On obtient :

    Il suffit de modifier la valeur de n dans la cellule 1, pour obtenir les mmes informations pour un

    nouvel entier.

    Pour chaque entier infrieur ou gal 20, on peut faire apparatre cet entier et le nombre de ses

    diviseurs. Pour cela, il suffit d'utiliser la commande Squence pour pouvoir faire varier n.

    Ecrire en cellule 4 : SommeDiv:=Squence[(p,Somme[listeDiviseurs[p]]),p,1,20].

    Cette commande cre une liste qu'on choisit d'appeler SommeDiv, qui est une liste de couples dont

    le premier lment est l'entier p, et le second la somme de ses diviseurs. On fait varier p entre 1 et

    20.

    Remarques : 1) On utilise la lettre p pour viter le conflit avec la valeur de n fixe au dbut.2) On voit apparatre dans la liste le premier entier parfait qui est 6.

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    Dans la cellule suivante, on faire afficher p seulement s'il est parfait, sinon on fait afficher 0. Pour

    cela, on utilise une commande Si, puis on fait varier p de 1 10000.

    On crit en cellule 5 :

    parfait:=Squence[Si [2*p==Somme[ListeDiviseurs[p]],p,0],p,1,10000]

    On obtient :

    Remarque : Avec la commande Si, on utilise le double signe ==.

    Les entiers parfaits apparaissent, mais ce nest pas trs pratique cause de tous les 0.

    Pour les liminer, on utilise la commande GarderSi

    Dans la cellule 6, on crit : ListeEntiersParfaits:= GarderSi[x>0;parfait]et on valide.On obtient :

    Quelques rsultats sur les entiers parfaits :Ils sont de la forme : o est un entier premier.On remarque que :

    ainsi :

    6=1+2+3

    28=1+2+3+4+5+6+7

    496=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+...+31

    Les nombres parfaits sont la somme d'entiers impairs conscutifs levs au cube.

    Ex : Il est vraisemblable que tous les entiers parfaits soient pairs.

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    Un exemple dutilisation de GeoGebra et de sa fentre de calcul formel (fonctions) Premire

    1 Premire partie (conjecture) : utilisation du graphique et du champ de

    saisie de GeoGebra

    Soit f : x x3 2x2 x + 2, dfinie sur R. On note Cfsa courbe reprsentative.1. Dans le champ de saisie, en bas de la fentre, dclarer la fonction fsur lintervalle [1,5; 2,5] :

    Quaffiche le logiciel?

    2. Dterminer les points dintersectionA,B,Cde Cfavec laxe des abscisses :

    On notea,b et c les abscisses de ces trois points, aveca < b < c(ce sont donc les solutions de lquationf(x) =0).

    3. Placer le point I, de la courbe Cf, dont labscisse est celle du milieu du segment [AB], le point J dontlabscisse est celle du milieu du segment [AC] et le pointKdont labscisse est celle du milieu du segment[BC] :

    4. Tracer les tangentes la courbe CfenI, Jet K(on pourra utiliser trois couleurs diffrentes) :

    5. Que constatez-vous ? Rdiger une conjecture.

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    2 Deuxime partie (preuve) : utilisation de la fentre calcul formel de

    GeoGebra

    On se donne trois relsa,betcquelconques. Soit f : x (x a)(x b)(x c), dfinie sur R. On note Cf lacourbe reprsentative de fetA,B,C,I, Jet Kles points dfinis comme dans la premire partie.

    1. Ouvrir un nouveau fichierGeoGebraet dclarer la fonction f :

    Que renvoie le logiciel ?

    2. Rsoudre lquation f(x) =0 :

    3. a. On va demander lquation de la tangente au pointIde Cf dabscisse a + b2 :

    b. laide dun copier coller, dfinir cette "tangente" comme une fonctiong(penser supprimer le y=quiest en trop dans la copie) :

    c. Amliorer la "prsentation" degen demandant une factorisation :

    d. Dterminer lintersection de cette tangente avec laxe des abscisses, en rsolvant g(x) =0 :

    4. Recommencer la dmarche de la question 3. pour les pointsJet K.

    5. Rdiger une dmonstration de votre conjecture, en utilisant les rsultats obtenus grce au logiciel.

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    Daprs un document de G Cordes du

    Groupe lyce de lacadmie de Nantes pour les Actions Acadmiques Mutualises 2008/2009.

    Activits lyce terminal :

    Exercice n1 : Recherche de cycles dans un tr inme

    On considre la fonctionf dfinie sur Rpar :

    Rechercher les rels a et b vrifiant la fois :

    Avec le module de calcul formel

    Droulement :Les lves commencent par utiliser un tableur en ouvrant une premire colonne avec des valeurs de x , une

    deuxime colonne avec des valeurs def(x), puis une troisime colonne avec les valeurs def(f(x) et lide

    vient de

    regarder sil y a des valeurs dex telles quef(f(x) =x.

    Certains lves trouvent deux valeurs 5 et 8 et certains pensent avoir termin dautres pensent quil y a

    dautres solutions. Le dbat sinstalleExiste-t-il dautres solutionsCertains proposent de rsoudre

    lquationf(f(x) =x avec un logiciel de calcul formel.

    Ce quils obtiennent avec ggb:

    Le problme revient rsoudre

    lquation :f (f (x)) =x.

    On commence le calcul def (f (x)) avec

    la fonction substituer ; on obtient un

    polynme de degr 4.

    Ensuite on dveloppef(f(x)) -xet on

    rsout

    lquationf (f (x)) -x =0.

    On obtient rapidement les quatre

    solutions.

    Et l , les lves ne sont pas dus, il y ales deux solutions attendues 8 et 5 et

    deux autres solutions

    tonnantes :

    Il faut essayer de comprendre, la

    factorisation def(f(x))xaide

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    Daprs un document de G Cordes du

    Groupe lyce de lacadmie de Nantes pour les Actions Acadmiques Mutualises 2008/2009.Avec le module graphique et fonctions

    On trace la courbe C1qui reprsentef, puis C2qui reprsenteg = f fet la droite dquationy = x.

    On construit les points dintersection de la droite et de C2.

    On trace la courbe qui reprsente h = g-idet on demande les racines de h(x) = 0.

    On peut vrifier alors quil y a bien quatre solutions correspondant aux abscisses des points dintersection.

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    Conjecturer grace GoGbra et son module de calcul formel

    Exercice : (source bac S juin 2006)

    Soit la fonction fdfinie par .1) Dresser le tableau de variation de fet tracer sa courbe reprsentative.

    2) Soit n un entier non nul. On considre l'intgrale

    dfinie par :

    a) Calculer et b) Etablir une relation entre et

    Ouvrir l'onglet calcul formel, dans le menu affichage de GeoGebra.

    Dans la cellule 1 crire : f(x):=xexp(1-x)et valider. On obtient :

    et la courbe s'affiche dans la partie graphique, ce qui permet de dresser le tableau de variations, ou

    de vrifier les rsultats par calculs.

    Pour la suite, on introduit le paramtre n dans la dfinition de n. On crit : On obtient :

    Dans la cellule suivante, on crit : I1:=Integrale[g(x,1),0,1].

    On obtient :

    puis enfin :

    On peut vrifier les rsultats trouvs par le calcul pour la question 2)a).

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    Pour la question b) on va calculer I3 , I4 , I5 pour essayer de conjecturer une formule.

    On crit : I3:=Integrale[g(x,3),0,1]

    et I4 :

    et enfin I5 :

    On s'aperoit que semble s'crire sous la forme ou et sont des entiers.Une observation attentive des premiers termes de la suite permet de conjecturer que

    De mme une observation attentive de la suite permet de conjecturer que .On peut donc conjecturer que : On peut montrer ce rsultat en utilisant une intgration par parties.

    En ralit, il n'est pas ncessaire de conjecturer la formule , mais seulementd'tablir cette relation grce une intgration par parties, et vrifier le rsulat obtenu grace auxrsultats obtenus pour , .