GEOMETRIE AFFINE - polytechnique.cm

Dr. Bouetou GEOMETRIE AFFINEET EUCLIDIENNE

Août 2007

Table des matières

ChapitreI. GEOMETRIE AFFINE................................................................7

A. Complément de géométrie vectorielle.................................................7 A.1. Sous-espace vectoriel...............................................................................8

B. Espace Affine......................................................................................10 B.1. Vecteurs associés a un espace affine......................................................12 B.2. Produit d'espace affine...........................................................................13 B.3. Repères et coordonnés...........................................................................13

C. Barycentres........................................................................................18 C.1. Propriétés...............................................................................................18 C.2. Isobarycentre de n points.......................................................................21 C.3. Barycentre et variété affine....................................................................21

D. Applications affines............................................................................23 D.1. Propriétés...............................................................................................25 D.2. Translation-Homothéties........................................................................27 D.3. Projection - symétrie -affinités................................................................29

ChapitreII. GEOMETRIE ANALYTIQUE...................................................36

A. Coordonnées polaires.........................................................................36 B. Coordonnées cylindriques..................................................................37 C. Coordonnées sphériques....................................................................37 D. Equations paramétriques de droite...................................................38 E. Bivecteurs et sommes de bivecteurs..................................................41 F. Plans dans l'espace.............................................................................47

ChapitreIII. ESPACE EUCLIDIEN.............................................................51

A. Forme linéaire symétrique.................................................................51 A.1. Forme quadratique.................................................................................52 A.2. Noyau et vecteurs isotropes...................................................................52

B. Forme bilinéaire symétrique positive................................................53 B.1. Produit scalaire.......................................................................................54

GEOMETRIE AFFINE ET EUCLIDIENNE 3

B.2. Distance associée à la norme..................................................................55 B.3. Orthogonalité..........................................................................................55

C. Isométrie............................................................................................57 C.1. Matrices orthogonales............................................................................58 C.2. Caractérisation des matrices..................................................................59 C.3. Procédé d'orthogonalisation de Schmidt................................................64

ChapitreIV. ESPACE AFFINE EUCLIDIEN...............................................66

A. Isométries affines...............................................................................66 B. Hyperplan orthogonal à une droite donnée.......................................67 C. Distance d'un point à un hyperplan...................................................68 D. Symétrie par rapport à un hyperplan ou une droite..........................68

D.1. Symétrie par rapport à H.......................................................................69 D.2. Symétrie par rapport à une droite..........................................................69

E. Quelques applications........................................................................70 E.1. Le produit vectoriel.................................................................................70 E.2. Double produit vectoriel.........................................................................73 E.3. Produit mixte..........................................................................................74

ChapitreV. LES COURBES DU DEUXIÈME DEGRÉ ( CONIQUES).......76

A. Types de courbes du deuxième dégré.................................................76 A.1. L'ellipse...................................................................................................76 A.2. L'hyperbole.............................................................................................77 A.3. Parabole..................................................................................................78 A.4. Paires de droites en intersection ( sécantes ).........................................80 A.5. Paire de droites parallèles......................................................................80 A.6. Une seule ligne.......................................................................................80 A.7. Un seul point...........................................................................................81 A.8. Ensemble vide.........................................................................................81

B. Forme de l'ellipse, hyperbole , parabole............................................81 B.1. L'ellipse...................................................................................................81 B.2. Hyperbole...............................................................................................82 B.3. Parabole..................................................................................................83

C. Propriété focale de l'ellipse................................................................83 D. Hyperbole et sa propriété focale........................................................86 E. Parabole , son foyer et sa directrice...................................................87 F. Directrice de l'ellipse et de l'hyperbole..............................................88

F.1. ellipse......................................................................................................88

G. Equation polaire.................................................................................89

ChapitreVI. SURFACES DE DEUXIÈME DEGRÉ....................................93


A. Différents types de surface de deuxième degré ................................93 A.1. L'ellipsoïde..............................................................................................94 A.2. Hyperbole à une nappe...........................................................................94 A.3. Hyperboloïde à deux nappes...................................................................95 A.4. Cône........................................................................................................97 A.5. Paraboloïde elliptique.............................................................................98 A.6. Paraboloïde hyperbolique.......................................................................99 A.7. Cylindre elliptique................................................................................100 A.8. Cylindre hyperbolique...........................................................................101 A.9. Cylindre parabolique............................................................................101 A.10. Paire de plans sécants........................................................................102 A.11. Paire de plans parallèles.....................................................................102 A.12. Plan.....................................................................................................103 A.13. Droite << cylindrique >>...................................................................104 A.14. Un point..............................................................................................104 A.15. L'ensemble vide..................................................................................105



ChapitreI. GEOMETRIE AFFINE

A. Complément de géométrie vectorielle.

Dans ce paragraphe, nous allons rappeler rapidement la notion d'espace vectorielle quisera utilisée dans la suite.

soit K , ⊥ , # un corps ou un champ. Soit (E , * , T) un ensemble dont * estinterne et T est externe..

Définition

.

on dit que (E , * , T) est un espace vectoriel sur K ou un K-espace vectoriel si lespropriétés suivantes sont vérifiées:.

.

Attention

.

les éléments de E sont les vecteurs .

.


A.1. Sous-espace vectoriel.

Soit W ⊂E on appelle sous -espace vectoriel de E le sous ensemble muni desmêmes opérations telles que que la restriction de ces opérations à W est un espace vectorielc'est à dire (W , * , T) est un espace vectoriel en d'autres termes, W est un sous espacevectoriel de E si : .

.

Autre définition :W ≠∅∀ x , y∈W ; , ∈K Tx ∗Tx ∈W

.

A.1.1. Somme de deux sous-espaces vectoriel.

Notons F1 et F2 deux sous-espaces vectoriel de (E, * ,T) . L'ensemble {u1u2 /u1∈F 1 et u2∈F 2}

et noté F1 + F2 est sous-espace vectoriel et appelé somme des sous-espaces vectorielF1 et F2.

.

F1 et F2 sont supplémentaires dans E si et seulement si .

.

On dit dans ce cas que F1 et F2 sont en somme direct E=F 1⊕F 2 .

.

P1: Pour tout sous-espace vectoriel F de E, on a F + {0E}=F ; F+E=E .

.

P2: Soient F1 et F2 deux sous-espaces vectoriel de E F 1∪F 2⊂F 1F 2 .

.

P3: Pour tout sous-espace vectoriel F de E tel que F 1∪F 2⊂F ⇔ F1F 2⊂F F1 + F2 est le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant F1 et F2

.


W ≠∅∀ x , y∈W , x∗y∈W∀ x∈W ,∈K ⇒Tx∈W

E=F 1F 2

F 1∩F 2={0E}

E=F 1⊕F 2 ⇔∀ u∈E ∃! u1 u2∈F 1×F 2 /u=u1u2

Remarque

.

Tous sous-espace vectoriel de dimension 1 est appelé droite vectorielle et toussous-espace vectoriel de dimension 2 est appelé plan vectoriel . .

.

A.1.2. Autres propriétés.

1. - Pour tout sous-espace vectoriel F de E F={0E}⇔dim F =0 2. F1 et F2 étant 2 Sous-espaces vectoriel de E,

F1⊆F 2⇒ dim F 1dim F2

F 1⊂F 2 et dim F 1=dim F2⇔ F 1=F 2

3. Soit ℱ une famille de n vecteurs de E.

si dim E < n ⇒ ℱ est lié

si dim E > n ⇒ ℱ n'engendre pas E .

si dim E = n ⇒ℇ ℱ libre⇒ ℱ base de E

ℱ engendre E ⇒ ℱ base de E

4. Soit ℱ une famille de n vecteurs et F le sous-espace vectoriel qu'elle engendre.

dim F n si ℱ libre ⇒ dim F= n

5. Soient F1 et F2 2 Sous-espaces vectoriel de E / F1 ≠ {0E} et F2 ≠ {0E}

E=F 1⊕F 2⇔ si e1 , ,e p base de F1 et ep1 , , e pq base de F 2

alors e1 , ,e pq base de E ⇒dim E=dim F1dim F 2 .

.

Exercice :

montrer que si F et G sont deux sous-espaces vectoriel finie, alors F+G et F ∩G

sont aussi de dimension finie et dim ( F+G )-dim( F ∩G )=dim F +dimGSi E est de dimension finie alors tout sous-espace F de E est aussi de dimension finie

et nous avons dim F dim E .

A.1.3. Codimension et hyper-plan.

Codimension Soit F un sous-espace vectoriel de E. Par définition, la codimension de de Frelativement à E est la dimension de l'espace quotient E/F et notée codim(F), l'espace E étant fixé. Le symbole "codim(F)" donc un entier naturel n si et seulementsi E/F est de dimension finie et on a dim(F)+codim(F)=dimE

.


.

hyper-plan Si E est un espace vectoriel quelconque, on appelle hyper-plan vectoriel de E tout sous-espace vectoriel de codimension 1 de E.

.

.

Théorème Si E est un espace vectoriel quelconque, les hyper-plans vectoriels de E sont les noyaux des formes linéaires non nulles sur E.

.

.

Démonstration Soit f une forme linéaire non nulle sur E. Alors H = ker f est un sous -espace vectoriel

propre de E kerf ≠E Im f= K, où K désigne le corps de base. D'après le théorème

de la décomposition canonique, il existe un isomorphisme f : E / H K d'où dim E/H =1 et H un hyper-plan vectoriel . Inversement soit H un hyper-plan de E .

Par définition, il existe un isomorphisme j : E / H K Désignons par p la projection canonique de E vers E/H . l'application f = j° p : E K est la forme linéaire non nulle sur E dont le noyau

est H , d'où le noyau est H, d'où le résultat.

.

Proposition Si H est un hyper-plan de E , alors pour chaque a∈E /H , E=vect H∪{a}

.

B. Espace Affine

Définition

.

Soit E un ℝeV quelconque de dimension finie ou non. On appelle espace affineattaché

ou associé à E ( ou sur E) tout ensemble non nul muni d'une loi externe de domaineE notéeE t , x tx vérifiant les axiomes suivants .


.

En d'autres termes, si est un ensemble non vide et E son espace vectoriel qui lui estassociée,

alors sera appelée espace affine d'espace vectoriel associé E si et seulement si

il existeune application :2 E A , BAB

tel que

1.

∀ o∈ , o : EAOA est bijective

2. ∀ A , B ,C∈ ,AC=ABAC ( Relation de Chasles ).

.

Remarque

.

1. les éléments de sont des points

2. la dimension de est égale de son espace vectoriel. En particulier si dim =0

alors est réduit à un point.

3. Pour tout t∈ on note t l'applicationx t x =tx

cette application est appelée translation de vecteur t . L'axiome A1 montre que

montre que ∀ t ,u∈E t°u=u°t=tu

On peut en déduire : t°t=0= Id donc la translation t est une bijection

de dans lui même. .

.

.

Proposition

Soit un espace affine sur E. Pour x∈ , l'application S x E

t tx est une bijection.


A1{∀ t , t ' ∈ E , ∀ x∈ ;tt ' x=t t ' x∀ x∈ ;0x=x

A2⋅∀ x , y∈ ,∃ t∈E tel que y=txA3⋅si t∈E verifie ∀ x∈ tx=x ⇒ t=0

B.1. Vecteurs associés a un espace affine.

Dans ce qui suit comme dans le reste de tous ce qui suit, nous allons toujours distinguer

les éléments de de ceux de E en mettant une flèche au dessus de ceux de E. A chaque

couple A , B∈2 permet d'associer le vecteur V ∈E / A= V B et AB sera appelé

représentant du vecteur V . Connaissant cette loi, si nous avons n points de A1, A2,...,An

en utilisant la relation de Chasles, nous aurons A1 A2A2 A3An1 An =A1 An

∀ A , B∈ ABBA=0 .

Définition

.

Dans un repère attaché à un espace vectoriel E, on appelle vecteur lié tout élément

de ×E . si A , V est un vecteur lié de avec A∈ et V ∈E , A est l'origine du

vecteur lié et V est le vecteur libre associé associé au vecteur lié. Et le point B= A V est l'unique point tel que V =AB et est appelé extrémité du vecteur lié.

.

.

Soit A, B, A', B', les points de l'espace affine sur E. Alors la relation les relationsAB=A' B' et AA' =BB ' sont équivalentes :en effetAB=A' B '⇒AA' A' B '=A' BBB '

Or par hypothèse supposons AB=A' B ' =t ⇒ B=tA , B '=tA'

Soit u=AA' ⇒ A' =uA on peut écrire B ' =tA=tuA=tu A=ut A=utA =uB

⇒BB ' =u .

.

Remarque

.

Pour tout espace vectoriel E, il existe au moins un espace affine qui lui est associé..

.


B.2. Produit d'espace affine.

Soient 1 et 2 respectivement associés aux espace vectoriel E1 et E2

∀ t=t1 , t2∈E 1×E 2 et x= x1 , x2 ∈1×2 posonstx= t1x1 , t2x 2

t , x tx .

.

On vérifie aisément que l'opération .

.

Définit une structure espace affine d'espace vectoriel associé E1×E2 .

Définition

.

Soient 1 et 2 deux espace affines d'espace vectoriel associé E1 et E2 respectivement.

On appelle espace affine produit de l'ensemble 1 et 2 noté 1×2 l'espace affine

obtenu en munissant l'ensemble 1×2 de la loi externe définie par *, cette

loi ayant pour domaine le groupe additif sous-jacent à l'espace vectoriel produit E1×E2 .

.

B.3. Repères et coordonnés.

Soit un espace affine de dimension n sur l'espace vectoriel E. On appelle repère de

tout élément

R O , e1 , ,en∈×En / e1 , , en

soit la base de E et le point O∈ est appelée origine du repère R les vecteurs e1 , , en

sont appelés les vecteurs de base du repère. Les coordonnées d'un point M de dans un

repère R sont les nombres (x1, x2, ...,xn) définis par .


1×2t , x tx

OM = i=1

n

xi ei

.

On note que la donnée d'un tel repère permet d'identifier à ℝn . En effet l'application

.

.

Permet l'identification de à ℝn

.

.

Soit R un repère de l'espace affine avec dim = n et f une fonction numérique

définie sur une partie A⊂ℝn . L'ensemble des points M de dont les coordonnées dans ℝ

vérifient x1 , , xn∈ A et f x1 , x2 , , xn=0 esf appelé ensemble d'équationscartésiennes f=0. .

B.3.1. Technique de changement d'origine.

Soit un espace affine de dimension n, avec n1 . R et R ' deux repères

cartésiens de même base B et d'origine respective O et O' . Notons O' 1 , , i , ,nB et

prenons M x1 , , xi , , x nB , M x ' 1 , , x ' i , , x 'nB ' . En utilisant l'égalité l'on a :O' M =OM OO ' . On peut écrire :

x ' 1=x11 , x '2=x22 , , x ' n=xnn .

B.3.2. Sous-espace affine ou variété affine

Définition

.

Une partie ℱ ⊂ est une variété de affine de (ou sous-espace affine ) si

1. ou ℱ =∅

2. ou bien ∃ A∈ ℱ /F ={AM /M ∈ℱ } sous -espace vectoriel de E.

.

.

Lorsque ℱ est une variété affine non vide

l'ensemble F ={AM /M ∈ℱ } est la direction de ℱ

ℱ est un sous-espace d'espace vectoriel associé F


:ℝn

x1 , , xn O i=1

n

xi ei

.

B.3.3. Quelques propriétés.

Notons ℱ 1 et ℱ2 deux variétés affines non vides de directions respectives F1 et F2

a) ℱ 1∩ℱ 2 est une variété affine de , dont la direction sera F 1∩F 2

b) ℱ 1⊂ℱ 2⇔ ℱ 1∩ℱ 2≠∅ et F 1⊂F 2 ℱ 1⊂ℱ 2⇔ ℱ 1∩ℱ 2≠∅ et F1=F2

c) Soient ℱ 1 et ℱ 2 deux variétés affines. Elles sont supplémentaires dans si et

seulement si E=F 1⊕F 2 .

Remarque

.

Si ℱ 1 et ℱ 2 sont supplémentaires dans elles ont pour intersection un point. Laréciproque n'est cependant pas toujours vérifié..

.

.

d) ℱ 1∥ℱ 2 deux variétés affines si et seulement si F 1⊂F 2 ou F 2⊂F 1 ℱ 1∥ℱ 2 ou F 1=F 2

.

.

Une conséquence : ℱ 1∥ℱ 2 ⇒ ℱ 1=ℱ 2 ou ℱ 1∩ℱ 2=∅ la réciproque est fausse dans le cas général

.

B.3.4. Droites et plans.

Soit un espace affine tel que dim 2 a) Soient A et B deux points distincts. L'unique droite contenant A et B (AB) a pour

vecteur directeur AB b) A,B et C étant 3 points non alignés il existe un unique plan contenant A,B et C tel que

AB ,AC soit une base

(A, B et C non aligné ) ⇒ AB ,AC libre

(A, B, C et D non coplanaires ) ⇒ AB ,AC ,AD libre.

c) Soit A un point et D une droite de si A∈D , alors il existe un plan affine P de tel que {A}∪D ∈P .


Si D 1 et D 2 sont deux droites distinctes de ,si D 1∥D 2 ou D 1∩D 2≠∅

alors il existe un unique plan ) /D 1∪ D 2⊂) .

B.3.5. Equations de droites et plans.

Les équations cartésiennes de droite dans le cas où dim = 2 et de plan dans le cas où

dim =3 que nous avons étudié dans dans les classes antérieurs ne seront plus reprises ici.

Mais rappelons que si dim =3 il n'est pas possible d'écrire une équation cartésienne dedroite. Il faut alors définir une droite :

soit comme intersection de deux plans que l'on peut définir par des équationscartésiennes soit par une représentation paramétrique .

.

.

Réprésentation paramétrique :

On utilise un point et une base de la direction de la droite ou du plan à étudier. Soit R

un repère cartésien de de base B .

.

1°) Cas d'une droite

Soit D une droite et A un point appartenant à D . u un vecteur directeur deD D ={M ∈/∃∈ℝ ,AM =u}

Si dim = 2 alors si A x0 , y0 B , u a ,b

D ={M x , y /∃∈ℝ , x=x0a , y= y0 b}

Si dim = 3, alors A x0 , y0 , z0 B , u a ,b , cB

D ={M x , y , z /∃∈ℝ , x=x0 a , y= y0b , z=z0 c} .

.

2°) Cas d'un plan.

Ici, dim = 3. Soit P un plan affine et A∈) , u1 ,u2 base de P .


P ={M ∈/∃1 ,2∈ℝ ,AM =1 u12 u2}A x0 , y0 , z0 , u1a1 ,b1 , c1 , u2 a2 , b2 ,c2

P={M x , y , z /∃1 ,2∈ℝ/x=x01 a12 a2

y=y01b12b2

z=z01c12c2}

Exemple

.

Soit un espace affine de dimension 3 et E son espace vectoriel associé. On considère

D 1 et D 2 affine de tel que D 1 et D 2 ne soient ni parallèles, ni sécantes. L'on

note D1 et D2 leurs directions respectives ; et soit ' la réunion de toutes les droites

(M1M2) lorsque lorsque le couple (M1,M2) décrit D 1×D 2 . Démontrons que :=P 1∪P 2∪ '

.

.

Supposons que ∃P 1 :D 1⊂P 1

∃P 2 :D 2⊂P 2 .

.

Soit M ∈P 1∪P 2 , utilisons l'intersection de la droite affine D 2 et du plan P M

contenant le point M.

Comme M ∈P 1∪P 2 , montrons que M ∈ ' . A cet effet , déterminons un pointM 1∈D 1 et un point M 2∈D 2 tel que M appartienne a la droite (M1M2) . En effet,M ∉P 1 or D 1⊂P 1⇒ M ∉D 1 par conséquent, il existe un plan unique P M contenant

M et la droite D 1 ; notons PM sa direction. Démontrons que D 2 n'est pas parallèle au

plan P M .

En effet, si D 2 était parallèle à P M alors D 2⊂P M or D 1⊂P M soit D1⊂PM on

aurait alors D1⊂PM

et D2⊂PM d'où PM =D1⊕D2⇒P 1∥P M .D1⊕ D2=PM ⇒ D1 et D2 sont soient parallèles, soient sécantes. ce qui contredit

l'hypothèse et D 1⊂P 1∩P M par suite P 1=P M . On aurait alors M ∈P M ce qui

contredit l'hypothèse M ∈P 1∪P 2 . Donc D 2 n'est pas parallèle à P M et de ce fait


P 2 et P M sont supplémentaires dans .

Notons M2 le point d'intersection de D 2 avec P M . Alors M 2∈D 2⇒ M 2∈P 2 . OrM ∈P 1∪P 2 donc M ≠M 2 . Notons D la droite (M1M2) . Démontrons que D etD 1 sont sécantes.

Si D 1∥D 2 alors M 2 M appartiendrait à D1 on aurait alors M 2∈P 2 et

M 2 M ∈ D1⊕D2

et D1⊕ D2 étant la direction de P 2 , ainsi M appartient à P 2 ce qui contredit

l'hypothèse M ∈P 1∪P 2 donc D et D 1 sont deux droites non parallèles du planP M ; elles sont sécantes, notons M1 leur point d'intersection M 1∈D 1 et M 2∈D 2 ,

soit M 1≠M 2 ainsi M1 et M2 sont deux points distincts de D soit D = M 1 M 2 etM ∈D d'où M ∈ M 1 M 2 finalement nous avons ∀ M ∈P 1∪P 2 déterminer un

point M 1∈D 1 et un point M 2∈D 2 tel que M ∈ M 1 M 2 donc P 1∪P 2⊂ ' .

Or =[P 1∪P 2]∪P 1∪P 2 donc ⊂ ' ∪1∪2 . D'autre part '⊂ et P 1⊂1 ,P 2⊂2 donc '∪P 1∪P 2⊂ on peut conclure que =P 1∪P 2∪ ' .

.

.

C. Barycentres

Définition

.

Tout élément A , ∈×ℝ est un point pondéré de masse , ou de poids ou de

coefficient soit { A1 ,1 , , An ,n} une famille de n points pondérés.

Si i=1

n

i=0 alors

i=1

n

iMAi

est indépendant du choix de M dans

Si i=1

n

i≠0 alors

∃! G∈/ i=1

n

iGAi=0E

son existence est caractérisée par le fait

que si l'on pose S=

i=1

n

i et ∈ , on peut définir G par la relation

G= i ∈I

i

S Ai ∗∗

. Le point G est appelé barycentre de la famille{ A1 ,1 , , An ,n}

.

.


C.1. Propriétés.

P1) : Soit G le barycentre de la famille { A1 ,1 , , An ,n} avec i=1

n

i≠0 . Si on

pose S=

i ∈I i

, alors le barycentre est définit à partir de tous points ∈ .

.

et G est indépendant de l'ordre des points pondérés Ai , i .

.

P2) : G reste inchangé inchangé si l'on remplace chaque masse i par k i , avec

k∈ℝ∗. Cette propriété permet en divisant en divisant chaque coefficient par

S= i ∈I

ide

ramener

S à 1 . Lorsqu'il en est ainsi, la relation G=

i ∈I

i

S Ai ∗∗

s'écrit tout simplementG=

i ∈Ii Ai

. Par conformité à un symbolisme d'écriture, nous pouvons écrire (**) sous la

forme G=

i∈ Ii Ai

.

.

P3) G reste inchangée si l'on remplace plusieurs points pondérés ayant des masses et

des sommes non nulles par leur somme barycentres affectés de masse . Ainsi peut ramenerla recherche de tout barycentre à celle de la recherche d'un barycentre affecté de deux pointspondérés ..

.

Proposition :

Soit Ai , ii ∈I un système de points pondérés de de masse non nulle. Soit I ∈L

une partition finie de I telle que S=

i ∈ I

i≠0 . Posons par conformité

G= i∈ I

i

sAi

et

G= i ∈I

i

S

Ai avec

S= i ∈I

i alors G est barycentre de G , S∈L

.


G= i ∈I

i

S Ai

⇒ iG= i∈ I

i Ai

G=S

sG

.

Démonstration

P1: Soit ∈ . Par définition, G=

i ∈I

i

S Ai ∗∗

,

G =i∈ I

i

S

Ai d'où

.

.

Soit Ai , ii∈I une famille de points pondérés tel que S=

i ∈I i≠0

pour tout

M ∈ , i∈ I

iMAi=

i ∈I

n

iMG

.

.

Application

Construisons le barycentre entre deux points A1 ,1 et A2 , 2 avec 12≠0 ;M= A1 .

.

pour 1=1 et 2=2, A1G=2A1 A2 .

.

P2) Si dim =3 et R étant un repère cartésien de , notons G(x,y,z) le barycentre des

points Ai xi , yi , zii∈1, n , i alors : .


∈L

S

SG=

∈L

1S

i ∈ I

i Ai

= i∈ I

i

S Ai

=G

1A1 A12A1 A2=12A1G

⇒A1G=2

12

A1 A2

x=i=1

n

i xi

i=1

n

i

, y=i=1

n

i yi

i=1

n

i

, z=i=1

n

i zi

i=1

n

i

C.2. Isobarycentre de n points.

Pour tout réel non nul , le barycentre de la famille A1 , , A2 , , , An , est

appelé isobarycentre ou équibarycentre des points A1,...,An. E n général on pose =1 ou

=1n l'isobarycentre des points A1 et A2 est le milieu du bipoint [A1A2] ou le milieu du

segment [A1A2]. I milieu du segment [ A1 A2 ]⇒IA1IA2=0 .

C.3. Barycentre et variété affine.

a) Une partie non vide ℱ ≠∅ de est une variété affine si et seulement si le

barycentre de toute famille A1 , 1 , A2 ,2 avec A1 , A2∈ℱ et 12≠0 appartienne aℱ

.

.

b) Supposons que dim = n alors :

1. Toute famille de n+1 points affinement indépendant de est un repère affine de

2. Soient (A1, ...,Ai,..,An+1) un repère affine de

est constitué de l'ensemble des barycentres des familles

A1 , 1 , , Ai ,i , , An1 ,n1 tel que i=1

n1

i≠0 i∈ℝ ∀ i=1, n1

Pour tout M ∈ , il existe un (n+1)-uplet unique

x1 , , xi , , xn1 ∈ ℝn1 / i=1

n1

xi=1 et que M soit le barycentre de

A1 , x1 , A2 , x2 , , An1 , xn1 . Dans ce cas , ce (n+1)-uplet est l'ensembledes coordonnées barycentriques dans le repère (A1, ...,Ai,..,An+1)

3. Une famille (A1, ...,Ai,..,An+1) est un repère affine de si et seulement si

A1 A2 ,A1 A3 , ,A1 An1 est une base de E .

Exemple


.

Soit un espace affine d'espace vectoriel associé E. On considère n points A1, ...,An et n

autres points B1, ...,Bn et soit i , i=1, n /

i=1

n1

i≠0 . On note G (respectivement G') le

barycentre de la famille A1 , 1 , , An ,n (respectivement de la familleB1 , 1 , , Bn ,n )

1. Calculer i=1

n

iAi Bi

2. En déduire que pour toute permutation de l'ensemble {1, ,n} , on a

i=1

nAi A i=0E

.

.

.

Solution: 1. '

i=1

n

iAi Bi=

i=1

n

i Ai GGBi

= i=1

n

i Ai G i=1

n

iGBi

= i=1

n

i GAi0

i=1

n

i GBi

= i=1

n

i G G' G' Bi

= i=1

n

iG G'

i=1

n

iG' Bi0

=GG ' i=1

n

i

2. Notons que A i=Bi .

i=1

nAi A i=

i=1

nAi Bi=GG '

i=1

n

i=nGG '=0

car la permutation de G est G' . Or ici, G est G' sont respectivement les

isobarycentres des poins A1, ...,An et A1 , , An ; l'isobarycentre de n points

étant indépendant de l'ordre des points, l'on a donc G=G' ⇒GG '=0 et on conclue

alors que pour toute permutation de {1,..,n}, i=1

nAi A i=0

.


D. Applications affines

Définition

.

Soient et ℱ deux espace affines de directions respectives E et F, et f une application

de ℱ f est dite affine s'il existe ∈ L E , F et a∈ tel que∀ t ∈E , f ta =t f a .

.

.

.

En particulier, toute application linéaire de E F est une application affine d'espace associé E dans l'espace affine F ( E et F sont

confondus à et ℱ ).

En effet, soit x un point de . On a u=ax ⇒ x=au

⇒∀ t∈E , f tx= f tau = f tua =t u f a =t u f a

or f x = f au = f a u

⇒ f t x =t f x .

.

Proposition :

Soient et ℱ deux espace affines respectivement associées aux espace vectoriels E et

F. Pour toute application affine f : ℱ il existe une application linéaire : E F telle quel'on ait : .

.

Ce résultat nous entraîne à donner la définition suivante. .

Définition

.

L'application linéaire mise en évidence par la proposition ci-dessus est appeléapplication linéaire associée à f ou encore partie linéaire de f, et elle sera notéeL(f)..


∀ t ∈ E , ∀ x∈f tx = t f x

.

Exemple

.

Les translations de sont des applications affines de dont la partie linéaire estl'identité de E. L(F) = IdE. .

.

.

Proposition :

Soient , ℱ ,G trois espaces affines associés respectivement aux espaces vectoriels E,F et G.

Si f : ℱ , g : ℱ G alors leur composée g ° f est une application affine. En effet,

si et sont les parties linéaires de f et g, alors .

.

On voit bien que g ° f est une application affine de partie linéaire ° .

Soit f une application de ℱ . et ℱ des espaces affines d'espace vectoriel associé

E et F soit l'application linéaire de E F ; en d'autres termes la partie linéaire de F.

Pour que f soit injective (respectivement surjective ) il faut et il suffit que (respectivement

surjective ). En particulier, f bijective si et seulement si l'est aussi. .

Définition

.

On fixe un point a∈ et on pose b=f(a). Pour tout t∈E , f ta = t f a = t b or

nous savons que l'application t ta est une translation ; donc une bijection de E sur

. Et l'application u ub est une translation , donc une bijection de F sur ℱ . Cecinous amène à dire que : une application affine bijective est un isomorphisme d'espaceaffines et sa réciproque (ou inverse ) est aussi une application affine .

.

Remarque - sur la définition d'une application affine

.

Nous pouvons aussi donner cette autre définition équivalente à la précédente f : ' est une application affine s'il existe

: E E ' /∀M , N ∈2 ,f M f N =MN


∀ x∈ , t∈Eg ° f tx =g [ f tx ]=g [ t f x]=°t g ° f x

est unique et est l'application linéaire associé à f .

.

.

Egalité

f et g étant 2 applications affines de ' ayant respectivement pour

applications linéaires associées et ,

f =g ⇔= et ∃ N ∈ / f N =g N

Une application affine de ' d'application linéaire associée estcomplètement définit si et seulement si l'on connait :

soit et l'image par f d'un point fixe de .

Soit les images par f des points d'un repère affine de .

.

Caractérisation analytique

Soit f une application de et R un repère cartésien de , d'origine O et de base

associée B .

Si dim = 2 on note B =i , j , M x , y R et f(M) (x',y')

si dim =3 , C= (i, j, k) M x , y , z R et f(M) ( x',y',z').

D.1. Propriétés

D.1.1. Composition de deux applications affines.

Soit f une application affine de ' et g une application affine de ' d'application

linéaire associée respective et . g ° f est une application affine de ' d'application


linéaires associée ° .

D.1.2. Application affine injective , surjective , bijective et groupeaffine.

.

a) Soit f une application affine de ' d'application linéaire associée .

f injective ⇔ injective

de même f surjective ⇔ surjective donc f bijective ⇔ bijective

dans le cas où = ' ⇔dim=dim ' .

.

Lorsque les dimensions sont finies , si f est bijective, ⇒ f-1 sera une application affine et

sa partie linéaire 1.

.

.

b) Soit GA l'ensemble des transformations affines bijectives de vers . On

montre que GA , ° est un groupe non commutatif. Si dim 1 est un groupe affine de ..

D.1.3. Ensemble des points invariants par une application affine..

Soit f une application de dans et d'endomorphisme associé . L'ensemble

S={M ∈/ f M =M } est une variété affine de .

Si S=∅ il est clair que f est une translation.

Si S≠∅ , sa direction sera {u∈E / f u =u} .

D.1.4. Image d'une variété.

Soit f de ' une application affine d'application linéaire associée . Alors pour

toute variété affine ℱ ⊂ , f ℱ est une variété affine de ' . Si ℱ ≠∅ et de direction

F, alors f ℱ ≠∅ et sa direction sera F .

D.1.5. Propriété conservées par une application affine.

Soit f de ' une application affine. Alors f conserve :


l'alignement.le parallélisme.le barycentre.

.

.

Alignement : ∀ A , B ,C , D∈ et alignés, alors f(A), f(B) et f(C) sont Alignées. .

.

Parallélisme : ℱ 1∥ ℱ 2⇒ f ℱ 1∥ f ℱ 2 ..

.

Barycentre : soient A1 ,1 , A2 , 2 , , An ,n tels que i≠0 . Si G est

barycentre de la famille A1 ,1 , A2 , 2 , , An ,n alors f(G) sera barycentre de la famille f A1 ,1 , , f An , n

.

D.2. Translation-Homothéties

D.2.1. Translations.

a) Soit v un vecteur de E. La translation de vecteur v dans , c'est l'application .

.

On peut montrer que MN =M ' N ' .

.

b) Toute translation est une transformation affine de , d'endomorphisme associée IdE.

.

c) Soit H l'ensemble des transformations affine de . Pour tout v∈E , notons tv la

translation de vecteur v

∀ u , v ∈ E2 tu°tv=tv °tu=tuv

∀ v∈ E tv= Id E ⇔ v=0E

si v≠0E ⇒ tv n'a aucun point invariant.

∀ v∈E , tv1=tv

.


tv :M M ' /MM '=v

Remarque

.

On peut établir un isomorphisme :.

.

D.2.2. Homothéties.

Soit un point de et k∈ℝ∗ . L'homothétie de centre et de rapport k est

l'application .

.

Par commodité d'écriture, on notera souvent l'homothétie de centre et de rapport k

par H , k .

D.2.3. Propriétés.

M invariant ⇒M =k M

⇒1k M =0

Si k≠1 alors M = et est le seul point invariant.

Si k =1 alors tout les points de sont invariant et cette homothétie n'est autreque l'identité.

Si k=-1, alors H , k est une symétrie centrale de centre .

Toute homothétie de rapport k est une transformation affine de d'endomorphisme associé kIdE qui est l'homothétie vectorielle de rapport k.

La bijection réciproque de l'homothétie de centre et de rapport k est une


'M M ' / M ' =k M

homothétie de centre et de rapport 1/k.

Si k≠1 , l'homothétie H , k admet comme unique point invariant.

Pour tout point de , H ,1 est Id .

D.2.4. L'ensemble homothétie-translation.

Soit H l'ensemble des homothéties de et soit M =H ∪H .

.

Question : Quelle est la nature de cette structure algébrique ? (tout élément de M est une homothétie-translation d'endomorphisme associé kIdE..

.

Caractérisation:

Soit f une application de d'endomorphisme associé si

f ∈M ⇒ ∃k ∈ℝ∗ , ∀M , N ∈2 ,f M f N =kMN⇒∃k ∈ℝ∗ / =k id E

Si k = 1 , f est une translation.

Si k≠1 f est une homothétie de rapport k. .

D.2.5. Composée d'une homothétie et d'une translation.

La composée d'une homothétie de rapport k et d'une translation est unehomothétie de rapport k.La composée de deux homothéties de rapport respectifs k1 et k2 est :

une homothétie de rapport k1 k 2≠0 Si k1k2 =1 ,c'est une translation.

.

D.3. Projection - symétrie -affinités

D.3.1. Projections

Définition

.


Pour tout point M ∈ , notons M1 le point d'intersection de ℱ et de la variété affineℱ ' M de direction F' . La projection de base ℱ et de direction F' est l'application

.

.

On dit que M1 est la projection de M sur ℱ parallèlement à F' . La variété affinecontenant M et de direction F' est appelée projectante du point M..

.

D.3.2. Symétries

Définition

.

Pour tout point M ∈ , notons la symétrie base ℱ et direction F' l'application .

.

Où M' est l'image de M par la symétrie de centre M1..


.

Motrons que S est une application affine ; ce qui revient à chercher son endomorphismeassocié. Considérons les couples (M, M') et (N, N') homologues de milieu respectif p(M) =M1 et p(N)= =N1 . .

.

Posons v=MN , M 1 N 1=v ' et M 1 N 1N 1 N =v ' '

.

.

Soit : E E

v=v 'v ' ' v 'v ' ' .

.

est la symétrie vectorielle.s M =M 's2 M =s° s M

=s s M =s M ' =M '⇒ s2=Id E

.

.

D.3.3. Affinités

Définition

.

L'affinité de base ℱ , de direction F' et de rapport K ∈ℝ∗sera l'application notée


.

.

Où M'' est l'image de M par l'homothétie de centre M1 et de rapport k..

.

Remarque

.

S est l'affinité de base ℱ de direction F' et de rapport -1.

L'affinité de base ℱ , de direction F' et de rapport 1 sera Id .

.

D.3.4. Propriétés.

Notons p la projection de base ℱ et de direction F' , s la symétrie de base ℱ et de

direction F', a l'affinité de base ℱ , de direction F' et de rapport k. Notons

( respectivement ' ) la projection vectorielle de base ℱ et de direction F (resp F') et la

symétrie vectorielle de base F et de direction F' . Ainsi ' = Id E ou =Id E ' ,= '

.

D.3.5. Caractérisation des projections et des symétries


D.3.6. Applications réciproques des symétries et affinités

D.3.7. différents Types de projection, de symétries et d'affinités.

Notons p, s, a On se donne un point A A∈ A A∈. dim=1 .

.

Si ℱ = ⇒ F '={0E } , donc F' = E.

Si P= Id ⇒ l'application

M A

est constante.

Si s= Id ⇒ symétrie centrale de centre A.

Si a=Id ⇒ l'homothétie de centre A et de rapport k. .

.

dim =2. Projection , symétrie, affinité dont la base est une droite affine D etla direction une droite vectorielle D'. .


ssi ou ssiProjection f a au moins un point

invariant et Symetrie f a au moins un point i

invariant et

f est une

f ° f = f

f ° f =Id

°=

°= Id E

.

dim =3 , projection , symétrie, affinité dont la base est un plan affine Pet de direction une droite vectorielle D' ..

.

Projection, symétrie et affinité dont la base est une droite affine D et dedirection D'. .



ChapitreII. GEOMETRIEANALYTIQUE

Introduction

.

Dans ce chapitre nous allons essayer de faire des représentations analytiques decertains objets qui ont été définis au chapitre 1.

.

.

A. Coordonnées polaires.

Un système de coordonnées polaires est défini ou donné lorsqu'on nous donne un point O

appelé pôle et un rayon OA issu de O et appelé axe polaire ..


B. Coordonnées cylindriques.

R , , h .

C. Coordonnées sphériques

D. Equations paramétriques de droite.

Soit un repère affine de et O un point quelconque. L'équation de la droite passant par


x= cosy= sinx2 y2=2

tan = yx

x=r cosy=rsin z=h

x= coscosy= cossin z= sin

les points M et M0 est colinéaire au vecteur a et défini par : M 0 M =t a ∗

Si nous posons r 0=OM 0 et r=OM , alors M 0 M =M 0 OOM =r r 0 et la relation (*)

s'écrit plus simplement r=r 0t a . Si on considère être en dimension 2 et queM x , y , M 0 x , y ,a l , m alors :

.

.

Si on est en dimension 3, alors :.

.

Pour une droite qui passe par 2 points donnés M0 et M1, et ayant pour rayons vecteurs

r 0 et r 1 , ayant pour coordonnées respectives x0 , y0 , z0 , x1 , y1 , z1 .

.

Si nous sommes en dimensions 2, pour définir l'équation de la droite, il suffit de "tuer" leparamètre et on obtient .


x=x0t ly= y0t m

x=x0t ly= y0t mz=z0t n

M 0 M =a=r 1r0⇒l=x1x0

m= y1 y0

n=z1z0

r=r0t r1r 0=1t r 0t r1

x=1t x0t x1

y=1t y0t y1

z=1t z0t z1

xx0m y y0 l=0

.

Sous la forme

xx0

l=

y y0

m∗∗

, elle est appelée équation canonique si la droite

passe par les points M 0 x0 , y0 et M 1 x1 , y1 ; l=x1x0 , m= y1 y0 . En allant substituerles valeurs de m et l dans (**) on obtient :.

.

En posant A=m , B=l , C =Ax 0By0 alors devient AxByc=0 ..

.

On observe que le vecteur directeur de cette droite est par B

A . On vérifie sans

peine que l'équation avec B≠0 ou bien A≠0 définit une droite..

Définition

.

Deux droites dans le plan ou l'espace sont parallèle si leurs vecteurs directeurs sontcolinéaires (peuvent donc être choisis égaux )..

.

.

Soit AxByc=0 et A1 xB1 yc1=0 deux droites avec B

Aet

B1

A1leurs vecteurs directeurs respectifs. La CNS de parallélisme est définit par :.

.

Si ces 2 droites ont un point commun M 0 x0 , y0 alors .


xx0

x1x0=

y y0

y1 y0⇒∣xx0 y y0

x1x0 y1 y0∣=0

AA1

=BB1

A xB yc=0A1 xB1 yc1=0

∗∗∗

.

Si elles sont parallèles, alors : .

.

Si

AA1

=BB1

≠CC1 , alors (***) est impossible.

.

.

Si

AA1

=BB1

=CC1 .

.

.

Cette discussion nous permet de formuler le théorème :.

.

Théorème : position de deux droites dans le plan Deux droites dans le plan peuvent être :

non sécantes

AA1

=BB1

≠CC1

Sécantes en un seul point :

AA1

≠BB1

Confondues :

AA1

=BB1

=CC1

.

Définition

.

Etant donnée une droite F x , y =A xB yc=0 quelconque, on dit que deux points M1

et M2 n'appartenant pas à cette droite sont du même côté de cette droite si :ils se confondent

ou bien le segment [M 1 M 2 ] n'a pas de point commun avec cette droite..

.

Définition

.

Au vue de la définition précédente, ces classes d'équivalence seront appelés demi-plans


A= A1 , B= B1 , ≠0⇒CC 1=0

définis par l'équation F x , y =0 .

.

E. Bivecteurs et sommes de bivecteurs.

Si l'on se rappelle que, géométriquement parlant, un vecteur est un segment de droiteorienté qui est plongé dans l'espace, alors un " vecteur plan " est sensé être une portion deplan orienté ou une aire de forme quelconque en général qui jouit de la même propriété.

Dire que cette aire est orienté, c'est dire que l'on définit sur cette aire un sens de rotationpositif ( dans le sens des aiguilles d'une montre ou dans le sens contraire). Par analogie avecles vecteurs, deux portions de plan sont égales si :

a) elles ont même aires b) elles ont parallèles à un même planc) elles ont même sens de rotation

.


.

Tel que nous avons schématiser, cela signifie qu'on peut remplacer les portions de planpar les couples (a,b). On dit que deux couples de vecteurs sont égaux ( ou équivalents ) si lesparallélogrammes construit sur ces vecteurs vérifient les conditions citées ci-dessus. La classedes couples équivalents qui est justement l'analogie "plan" d'un vecteur est appelé bivecteur. .

Définition

.

Soient a , b , a1 , b1 des vecteurs d'un espace vectoriel V . On dit que a1 , b1 se déduit

de a , b par une transformation élémentaire et se note a , b ⇒ a1 , b1 si :Soit

{a1=ab1=bk a

Soit

{a1=ak bb1=b

.

.

.

Il est à noter que si a et b ne sont pas colinéaires, il en est de même pour a1 et b1 .

Cette propriété établit donne un sens à la définition suivante :.

Définition

.

Deux couples de vecteurs sont dits équivalents si : Soit chacun d'eux est formé de vecteurs colinéaires Soit l'un s'obtient de l'autre par plusieurs transformations élémentaires

.


.

.

Les classes d'équivalence correspondants constitue les bivecteurs de V .

Le bivecteur définie par le couple a , b se note a∧b , a wedge b et l'ensemble

des bivecteurs est symbolisé par V ∧V ..

.

Les parallélogrammes construits sur les vecteurs a et b d'une part et sur a , bk aont évidemment une même base et une même hauteur , d'où l'égalité de leur aires ( conditionde la définition ). Ils sont tous deux dans le même plan ( condition b) et présentent un même

sens de rotation ( condition c ) . Inversement , soient les couples a , b et a1 , b1 deux aires

équivalentes. auquel cas les vecteurs a , a1 ,b , b1 sont tous dans le même plan ( condition b) .

Les vecteurs a et b sont non colinéaires par hypothèse si bien que a1 , b1 se décompose

par rapport aux vecteurs a et b . Nous aurons donc :

∗ {a1=k al bb1=k 1 a1l1

b

=k l1l k1≠0 sinon a et b sont colinéaires .

.

Proposition :


Si a , b , a1 , b1 d'un espace vectoriel V sont reliés par la relation ∗ avec ≠0 ,

alors le couple a , b devient par transformation élémentaire le couple a1 , 1

b1

.

.

Démonstration

a , b ⇒alk

b , b⇒ k ab ,1k

b

⇒k al b ,1k

bk 1

k k al b

⇒k al b ,1

k 1al1b ⇒ a1 , 1

b1

Si k = 0, on a l≠0, b1≠0 comme a ,b ⇒a ,ba ⇒aba , ba

⇒b ,ba ⇒b ,a .

.

Cette proposition entraîne vu les résultats obtenues l'équivalence entre a , b et

a1 , 1

b1 or il est clair que l'aire de la 1ère portion du plan est égale à celle de la 2eme

multipliée par

1 et que la rotation est dans les 2 cas de même sens si

1

0 . On observe

que tous les couples colinéaires déterminent par définition un même bivecteur du nom debivecteur nul .

a et b colinéaires ⇔a∧b=0 .

Soient 2 bivecteurs a∧b et a1∧ b1 . Quels est le critère de leur égalité ?Si au moins l'un d'eux est nul, la réponse est triviale. Ces bivecteurs seront égaux si et

seulement si le vecteurs a et b son colinéaires de même a1 et b1 . Sans se restreindre à

la généralité, nous allons nous borner au cas des bivecteurs non nuls et la proposition suivantenous donne des réponses..

.

Proposition :

Deux bivecteurs a∧b et a1∧ b1 sont égaux si et seulement si a1 et b1 se déduise de

a et b c'est à dire

a1=k al b , b1=k 1 al1b

=k l1k 1 l=∣k lk 1 l1∣=1

.

Définition

.


On dira que e est parallèle à a∧b≠0 si e s'exprime linéairement au moyen de a etb . Si a∧b=0 , alors ∀ e , e∥a∧b . Il est aussi clair que a∧b∥e ⇒a∧b=e∧a=e∧b

.

.

.

Proposition :

Si a∧b∥e et e≠0 , alors ∃ c /a∧b=e∧c . .

.

Si a∧b=0 , on pose a=e ou a=0 supposons maintenant que a1∧ b1≠0 par

hypothèse ∃ k , l / e=k a1l b1 ; choisissons k l1 et k1 l / k l1k 1 l=1 si k≠0 , alors en

posant k1=0, l1 = 1

k= k1

.Dans le cas contraire, posons k1= k-1 et que l1=0 ; le cas l=0 et k=0 étant impossible,

posons donc a=k 1 a1l1b1 par la proposition 2, a1∧ b1=e∧a ; on dit que e∧ab est la

somme de e∧a et e∧b et l'on pose e∧ae∧b=e∧ab . L'autre définition dit que le

produit k e∧a est égale à k e∧a ou e∧k a . k e∧a=k e∧a=e∧k a .

.

La définition a∧b par l'intermédiaire des vecteurs a et b s'interprète comme unemultiplication ; cette opération donne un élément extérieur sur l'espace vectoriel considéré,d'où le produit extérieur ou multiplication extérieur. .

.

Théorème 1 : propriété de la multiplication extérieur. La multiplication extérieur est :

a) distributive : ∀ a , b , c , e∧ab=e∧ae∧b .

b) homogène ∀ k ∈ℝ , a , b∈E , k a∧b = k a ∧b=a∧ k b .

c) Anti-commutative : a∧b=b∧a .

d) libre : a∧b=0 ⇒a et b colinéaires ..

Remarque

.

En menant les calculs, il faut se rappeler que si

#a '=k al bb' =' k 1al1

b⇒ a '∧b '=∣k l

k 1 l1∣a∧b

.

.

.

Théorème 2 : V ∧V avec dimV 3 est un espace vectoriel réel.

.


.

En, effet, si dim V =1, le seul bivecteur possible est le vecteur nul. Ainsi V1∧V 1=0

soit dim V 1∧V 1=0 .

Si dim V = 2, soit e1 , e2 une base de V , d'après #

a=a1 e1a2 e2=ai ei

b=b1 e1b2 e2=b j e j

a∧b∣a1 a2

b1 b2∣ e1∧ e2⇒ dim V ∧V =1

.

.

Proposition :

Si la base e1 , e2 jouit de la propriété de que l'aire du parallélogramme construit sur les

vecteurs e1 et e2 vaut 1, alors l'aire du parallélogramme construit sur les vecteurs a a1 , a2

et b b1 , b2 est égale la valeur absolue du déterminant a1b2a 2b1.

L'aire du triangle OAB avec a=OA , b=OB est

H=12

∣a∧b∣=12 ∣∣a1 a2

b1 b2∣∣

.

.

Si les sommets O, A, et B du triangle ont pour coordonnées respectifs x0

y0 , x1

y1 , x2

y2 ,alors on va poser

a1=x1x0

a 2= y1 y0

, b1=x 2x0

b2= y2 y0 Par conséquent l'aire du triangle construit est la valeur absolue de

12 ∣x1x0 y1 y0

x2x0 y2 y0∣=1

2 ∣x0 y0 1x1 y1 1x2 y2 1∣

.


dimV =3 ; base e1 , e2 , e3

a=a1 e1a2 e2a3 e3

a=b1 e1b2 e2b3 e3

a∧b=a2 b3a3b2 e2∧ e3a3b1a1b3 e3∧ e1a1b2a2 b1 e1∧ e2

=∣a2 a3

b2 b3∣ e2∧ e3∣a3 a1

b3 b1∣ e3∧ e1∣a1 a2

b1 b2∣ e1∧ e2

F. Plans dans l'espace

Définition

.

∀ M 0∈ et ∀ ∈V ∧V , on appelle plan de définit par M 0 et , l'ensemble des

points M ∈ pour lesquels M 0 M∥

.

.

.

Soit =a∧b alors M 0 M∥⇒∃ u , v ∈ ℝ/M 0 M =u av b # de bivecteur nul sera un

bivecteur du plan ( ou direction du plan ). Soit O l'origine d'un repère cartésien de et on

suppose que r 0=OM 0 et r=OM . Alors #⇒r= r 0u av b

.

.

Ceci est l'équation paramétrique vectorielle du plan. Dans un repère affine

quelconque O , e1 , e2 , e3

x=x0u a1vb1

y= y0u a2vb2

z=z0u a3vb3

avec aa1

a 2

a3 , bb1

b2

b3

.

.

C'est une équation paramétrique en coordonnées du plan. On peut encore l'exprimersous forme d'un déterminant. .


∣xx0 y y0 zz0

a1 a2 a3

b1 b2 b3 ∣=0

.

En développant ce déterminant et en posant

A=∣a2 a3

b2 b3∣, B=∣a1 a3

b1 b3∣, C =∣a1 a2

b1 b2∣ ,

L'équation du plan passant par M 0 x0 , y0 , z0 va s'écrireA xx0B y y0C zz0 et en posant

D=Ax0By0Cz0⇒ AxByCzD=0 ∗ .

.

Ainsi on constate que toute équation de la forme ∗ avec pour triplet A , B , C ≠0, 0, 0 définit sur un plan. Nous dirons que I l , m ,n est situé dans le plan∗ s'il est parallèle à son bivecteur directeur (A, B ,C ) qui n'est autre que sa normale . L'on

a : AlBmCn=0 .

.

Si les vecteurs a et b sont dans le même plan, c'est-à-dire s'ils sont parallèle au

bivecteur directeur , leur produit extérieur a∧b est proportionnel au bivecteur directeur et constitue un bivecteur directeur du plan. Il en découle compte tenu de l'affirmation

précédente qu'étant donné 3 points non alignés M 0 , M 1 , M 2 du plan , le bivecteurM 0 M 1∧M 0 M 2 en est un de ces bivecteurs directeurs. Pour cela , il suffit de poser

a=M 0 M 1 et b=M 0 M 2 et l'on obtient

.

.

Donc par 3 points non alignés de l'espace affine , il passe un et un seul plan unique. .

Définition

.

On dit que deux points M1 et M2 n'appartenant pas au plan ∗ sont du même côté du

plan ∗ s'ils sont confondus ou si le segment [M 1 M 2] n'a pas de point commun avec le

plan ∗ . Dans la suite posons F x , y , z = AxByCzD

.

.

.

Proposition :

Une CNS pour que deux points M 1 x1 , y1 , z1 et M 2 x2 , y2 , z2∉ ∗ soient du même


∣xx0 y y0 zz0

x1x0 y1 y0 z1z 0

x2x0 y2 y0 z2z0∣=0

côté est que les nombres non nuls F 1=F x1 , y1 , z1 et F 2=F x2 , y2 , z2 soient de mêmesigne..

.

Les classes d'équivalence ainsi obtenues s'appellent demi-plan définis par le plan ∗global. Considérons les équations paramétriques vectorielles de deux plans :.

.

On constate que la droite r=r0tc appartient aux deux plans , donc à l'intersection ,c'est pourquoi l'intersection de deux plans donne une droite.

Soient deux plans d'équations respectives :

AxByCzD=0 et A1 xB1 yC1 zD1=0 .

.

Théorème :(positions relatives de deux plans dans l'espace ) Etant donnés deux plans dans l'espace , on peut avoir l'une des situations suivantes :

les plans n'ont pas de points commun

AA1

=BB1

=CC1

≠DD1

Ces plans possèdent une et une seule : ceci est caractérisé par l'un des faitssuivants :

AA1

≠BB1 ou

AA1

≠CC1 ou

BB1

≠CC1 .

les plans sont confondus

AA1

=BB1

=CC1

=DD1

.

Définition

.

Une droite est parallèle au plan si son vecteur a l ,m , n est parallèle au bivecteur A , B ,C du plan.

.

.

.

Etant donné un plan et une droite dans l'espace, 3 cas de figure sont possibles :a) La droite et le plan ne se touchent pas :

AlBmCn=0Ax0By0Cz 0D=0

b) Ou bien la droite et le plan ont un point en commun


r= r 0ucv ar= r 0ucv b

AlBmCn≠0 c) Ou bien la droite est toute entière dans le plan.

.

.

Dans les cas a et c , on dit que la droite est parallèle au plan , mais dans le cas b, elle nel'est pas..

.

Théorème : Position relative de deux droites dans l'espace Deux droites dans l'espace peuvent être :

Non coplanaires donc non sécantes

a1 l 1 ,m1 , n1 a 2 l2 , m2 , n21M 1 x1 , y1 , z1 M 2 x2 , y2 , z2

∣x2x1 y2 y1 z2z1

l1 m1 n1

l2 m2 n2∣≠0

Coplanaires et non sécantes :Ceci est caractérisé par la proportionnalité des lignes 2 et 3 du déterminant ci-dessus ; mais par contre non proportionnelles a la 1ère.Confondues :Ceci est caractérisé par la proportionnalité de toutes les lignes du déterminant

.

.

Exercice 1:Positions relatives de 4 plans dans l'espace.

.

.

Exercice 2 : Position relative de 3 plans dans l'espace.

.


ChapitreIII. ESPACE EUCLIDIEN

A. Forme linéaire symétrique

Définition

.

Soit E un K-espace vectoriel. Une forme linéaire sur E est toute application telle que :

1.

∀ x , x ' , y , y ' ∈ Ef xx ' , y = f x , y f x ' , y

f x , y y ' = f x , y f x , y '

2.

∀ x , y∈ E , ∀ ∈Kf x , y = f x , y f x , y = f x , y

.

.

.

1) et 2) ⇒ f est bilinéaire homogène..

Définition

.

Soit E un espace-vectoriel sur K . Une forme bilinéaire sur E est dite symétrique si :∀ x , y ∈ E , f x , y = f y , x

Si E= ℂ f :ℂ2 ℝ

z , z ' Re z Re z ' .

.

.


L'ensemble des formes bilinéaires sur E est noté f ∈L s E ,ℝ ..

A.1. Forme quadratique

Définition

.

A toute f ∈L s E ,ℝ associons l'application : E ℝ définie pour tout x∈E par x = f x , x Ainsi ∀ x∈E ,∀ ∈ ℝ , x =2 x . Pour =0 , 0=0 .

∀ x , y∈ E , x y = f x y , xy

= f x , x f x , y f y , x f y , y ..

.

Ceci montre que à toute forme quadratique , correspond une unique forme bilinéaire

symétrique f ∈L s E ,ℝ à laquelle elle est associée. f est appelée forme polaire de la

forme quadratique ..

.

A.2. Noyau et vecteurs isotropes.

Soit f ∈L s E ,ℝ . On appelle noyau de f noté E ⊥ ={x∈E / ∀ y∈E , f x , y =0} .

.

Exercice :

Montrer que E ⊥ est un sous espace vectoriel.

.

Remarque

.

Si E ⊥ ≠{0E} , alors la forme f est dite dégénéré. .

.

Définition


.

Soit f ∈L s E ,ℝ et la forme quadratique associée à f. On appelle vecteur isotrope

tout vecteurs x ∈ E / x=0 on note .

.

.

Exercice :

Montrer que E ⊥ ⊂ℑ ..

B. Forme bilinéaire symétrique positive

Définition

.

Soit f une application bilinéaire symétrique réelle et la forme quadratique associéesur E. On dit que f est positive si :∀ x∈E , f x , x = x 0 et négative dans le cas contraire.

.

.

Remarque

.

Si f est positive alors -f est négative..

.

Exemple

.

f :ℂ×ℂ ℝ z , z ' Re z Re z ' Im z Im z '

Montrons que f est une forme bilinéaire symétrique positive..

.

.

Théorème 1:

Soit f ∈L s E ,ℝ une forme bilinéaire symétrique réelle positive et sa formequadratique associée. Alors

∀ x , y ∈ E , ∣ f x , y x y ∣ . C'est l'inégalité de Schwartz.Plus généralement ,


xy= i=1

n

xi yi xi21 /2 . yi

21 /2

..

.

Théorème 2:

Soient x , y ∈E et une forme linéaire quadratique sur E.

xy x y C'est l'inégalité de Minkowski.

.

.

Preuve:

utiliser x y = x 2f x , y y et remplacer f(x,y) par ∣ f x , y ∣ . .

.

Théorème 3:

Si f est une forme bilinéaire symétrique positive sur E, alors son noyau E ⊥ sur E est

l'ensemble ℑ des vecteurs isotropes..

.

On appelle espace vectoriel euclidien un K-espace muni d'une forme bilinéairesymétrique positive non dégénéré. .

B.1. Produit scalaire.

Soit E un espace vectoriel muni d'une forme bilinéaire symétrique positive non dégénéré

f. Cette forme f prend le nom de produit scalaire et se note f x , y =xy= x , y =⟨ x , y ⟩ avecpour propriétés :

i ) x y=x y = xy ii ) x y y ' =xyxy 'iii ) xx ' y = xy xy 'iV ) xy = yxV ) ∀ x ∈ E {0E }, xx0 et si

&

x≠0, x = xx0

xy =∣x∣∣y∣cos ⇒ cos = xy∣x∣∣y∣

.

Définition

.

Dans un espace vectoriel euclidien, on appelle norme de tout vecteur x noté ∥x∥ le


nombre positif défini par ∥x∥=xx ∀ ∈ ℝ , ∥ x∥=∣∣∥x∥ et les inégalités de Schwartz et de Minkowsky sont vérifiés asavoir ∥xy∥∥x∥ . ∥y∥∥x y∥∥x∥∥y∥

.

.

B.2. Distance associée à la norme

Définition

.

Soit E un ensemble , on appelle distance sur E l'application notée d : E×E ℝ

vérifiant les propriétés suivantes à savoir :1) d x , y = 0 ⇔ x = y2 ) d x , y = d y , x3 ) d x , z d x , y d y , z

.

.

Remarque

.

Soit E un espace vectoriel euclidien, l'application d : E×E ℝ

x , y d x , y =∥x y∥ est une distance sur E et cette distance est appelée distance associée à la norme de Eou encore distance euclidienne sur E. Elle vérifie en plus les propriétés suivantes :d x y , yz = d x , y d x , y =∣∣d x , y

.

.

B.3. Orthogonalité

B.3.1. Vecteurs orthogonaux.

Soit E un espace vectoriel euclidien. On dit que deux vecteurs x et y de E sontorthogonaux si leur produit scalaire s'annule c'est à dire que xy=0 . Dans un espace vectorieleuclidien, le théorème de Pythagore est valide.


.

.

Théorème de Pythagore Pour que deux vecteurs d'un espace vectoriel euclidien soient orthogonaux, il faut et il

suffit que ∥x y∥2=∥x∥2∥y∥2

.

B.3.2. Partie orthogonal de E

Définition

.

On dit que deux parties A et B d'un espace vectoriel euclidien E sont orthogonales si toutvecteurs de A est orthogonale à tout vecteur de B et inversement. Nous pourrons donc

avoir A∩B = ∅ ou bien A∩B = {0E} ..

.

.

Proposition : Pour toute partie A de E, l'ensemble F des vecteurs orthogonaux à A est un sous-espace

de E.

Définition

.

F est appelée sous-espace orthogonale à la partie A et on le note A⊥ .

.

.

.

Exercice :

Montrer que si A⊂B ⇒ B ⊥ ⊂A⊥ .

.

B.3.3. Projecteurs orthogonaux.

Soient F et G deux sous-espace orthogonaux de E. Alors la somme F+G est

nécessairement directe et supposons en plus que E = F ⊕G . Dans ces conditions , toutvecteurs orthogonal à F appartient à G et tout vecteur orthogonaux à G. appartient à F. En

effet ∀ z ∈ E , ∃ x ∈ F et y∈G / z = x y . Si z ⊥F alors

zx = x2xy=0⇒ x2 = 0 ⇒ z ∈ G

.

.

De même si z ⊥ G alors z ∈ G . On peut donc énoncer le théorème la propositionsuivante.


.

.

Proposition:Si E est somme directe de deux sous espace orthogonaux de F et G, le sous-espace

orthogonal à F (resp à G ) est G (resp F) . Autrement dit, F et G sont totalement orthogonaux ..

Définition

.

Si E = F ⊕G orthogonaux, les projecteurs correspondants p et q sont appelés

projecteurs orthogonaux sur F et G surjectivement et on a G = F ⊕G et∀ x ∈ E , x = p x q x .

p x ∈F et se nomme projecteur orthogonal de x sur F.

q x ∈G et se nomme projecteur orthogonal de x sur G..

.

C. Isométrie.

Dans cette partie, on considérera deux espace vectoriel euclidiens G et F, dont lesnormes seront notées de la même façon ainsi que leur produit scalaire. .

Définition

.

Soit E et F deux espace vectoriel euclidien. On appelle isométrie de E dans F toute

application linéaire f ∈L ℝ E , F telle que ∀ x ∈ E , ∥ f x ∥=∥x∥ ..

.

Remarque

.

Une isométrie est toute application linéaire qui conserve la norme..

.

.

Proposition Toute isométrie est injective.(démonstration en exercice )

.

.

Théorème


Pour que f ∈L ℝ E , F soit une isométrie , il faut et il suffit que f conserve le produitscalaire..

Remarque

.

Soit E un espace vectoriel euclidien , les isométries bijective de E constituent un groupelinéaire GL(E). Si E est de dimension finie alors toute isométrie de E est bijective. Legroupe des isométries bijectives est encore appelé groupe orthogonal et O(E)..

.

C.1. Matrices orthogonales

Définition

.

On dit qu'une matrice A ∈ M n ℝ est orthogonale si A⋅ At = At ⋅A= I n .

.

Remarque

.

A est orthogonal si ⇒ At = A1

A = aiji , j=1,n , t A = a ' iji , j=1,n , a ' ij = a ji .

.

.

A est orthogonal ⇒ At . A= I n .

a' kiaij = kj , aikaij = kj k = j , j =1

n

aij2 = 1,

i=1

n

aik aij = 0

.

.

D'autre part on sait que det At = det A or

At . A= I n ⇒ det At . A=det I n

⇒ det A2 = det I n ⇒ det A=±1 .

Définition


.

Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension finie. On appelle rotation de E toute

isométrie f ∈ O E telle que det f = 1 . En effet, toute rotation est appelée isométrie

positive et le groupe de ces isométries se note O E . La partie O n , ℝ constituée

des matrices orthogonales ayant pour déterminant 1 et se note O n , ℝ et plus

précisément SO n , ℝ [ orthogonal spécial group].

Toute isométrie f ∈ O E telle que det f=-1 est appelée isométrie négative..

.

Remarque

.

L'ensemble des isométries ne constituent pas un groupe..

.

C.2. Caractérisation des matrices.

Exemples : .

C.2.1. Isométries en dimension 2..

Caractérisation toutes les matrices orthogonales de M 2 ℝ . Soit

A=a11 a12

a21 a22 .

.

A est orthogonal si et seulement si

a112 a 21

2 =1a12

2 a222 =1

a11 a12a21 a22=0 .

.

Pour résoudre cette équation, il existe deux angles et modula 2 tels que


a11=cos , a 21=sin a12=sin , a 22=cos

11a12a 21a22=0 ⇒ cossin cos sin = 0⇒ sin = 0 [2]

A1=cos sin sin cos , A2=cos sin

sin cos

.

.

1er type :

On a det A1=1 , donc A1 est la matrice d'une rotation A1 ∈ O 2, ℝ . C'est une rotation

plane de centre O et d'angle . Recherchons les valeurs propres de cette rotation..

.

Qui en général n'admet des racines réelles que dans 2 cas.

a) ≡0 [2] , alors nous aurons 2 valeurs propres confondues et A1= I 2 ( la valeurpropre est dite double ).

b) ≡[2] pour les mêmes raisons 1,2=1 ⇒ A1= I 2 qui est la matrice d'unesymétrie d'une symétrie centrale..

.

type 2 : det A2=1 .

C'est à dire que A2 est la matrice d'une isométrie négative notée f dans la base {i1 , i1}de E. Le polynôme caractéristique de f s'écrit :

coscos sin2= 21=0 .

.

Donc A2 admet 2 valeurs propres réelles +1 er -1 . On peut calculer une matrice depassage P

P=sin sin 1cos 1cos ou P=cos

2

sin2

sin2

cos 2

, P∈O 2, ℝ

.

.

Appelons u1 = i1 sin i2 1cos u2 =i1 sin i21cos

.


A1 X = X

⇒ ∣cos sin sin cos ∣

⇒ cos2 sin2=0

.

La base B={u1 , u2} se déduit de la base canonique B ' ={i1 , i1} par une rotation

d'angle /2 et B' est une base de vecteur propre orthogonal et dans cette cette basef u1= u1 et f u2= u2 .

.

.

f est une symétrie orthogonale ou pliage par rapport à la droite D u1

.

.

Matrice d'une rotation de O 3, ℝ ..

.

soit E un espace vectoriel euclidien de dimension 3 Dans un repère orthogonal

O ,i , j , k , considérons la rotation r d'axe D k et d'angle [2] ..

.

La matrice de R dans la base i , j , k .

.

Avec Ri = i cosj sin Rj = i sin j cosRk = k

.

.

On voit que det M R=1 , soit M ∈O 3, ℝ . On voit aussi que cette matrice admet

pour valeur propres 1=1 , et 2,3=1 .


M R=cos sin 0sin cos 0

0 0 1

Pour 1=1 , le vecteur propre est k .

Pour 2,3=1 , la rotation est involutive et elle coïncide avec le demi-tour d'axeD k . Dans ce cas tout vecteur orthogonal à k est alors vecteur propre.

.

C.2.2. Matrice d'une symétrie plane..

O ,i , j , k ..

.

Soit S la symétrie plane. L'on a S ∈O E et d'autre part S i =i , S j =j , S k =kd'où la matrice .

.

De plus M(S) est donné sous forme diagonal. Elle admet pour valeur propre simples -1 et

qui correspond au vecteur propre k et pour valeur propre double +1 à laquelle correspond le

sous-espace vectoriel propre qui est de dimension 2 et qui n'est autre que le plan i , j . Toutvecteur appartenant à ce plan est invariant..

C.2.3. Isométrie en dimension 3..

Caractérisons toutes les isométries d'un espace vectoriel euclidien de dimension 3. On atout d'abord la propriété suivante valable pour tout espace vectoriel euclidien de dimension ounon..


M s = 1 0 00 1 00 0 1 , det M S =1

.

Propriété : Toute isométrie admet pour valeur propre réelle 1 ou -1.

Si est valeur propre d'une isométrie f d'un espace vectoriel euclidien E et x le

vecteur propre, alors f x =x

et ∥ f x∥=∥x∥ ⇒ ∥x∥=∣∣∥x∥ ⇒ ∣∣= 1 ..

.

Si dim E =3, alors le polynôme caractéristique de f est de degré 3 et possède 3 racines

dans ℂ . Soit {i1 , i2 , i3} une base canonique telle que i3 soit le vecteur propre

correspondant à 2 . f conserve le produit scalaire ; par suite de l'orthogonalité , nous aurons

que f i1 et f i2 sont orthogonaux et nous pouvons écrire deux matrices :.

.

Selon que 3 =-1 ou 1.A1 et A2 sont des matrices orthogonales .

.

.

Si B = a c

b d ∈ O2, ℝ nous avons déjà étudier les possibilités de cette matrice au

point 1.s.

.

1er cas : si B ∈ O 2, ℝ alors B est la matrice d'une rotation d'angle . Dans le cas

où 1 et 2 ne sont pas réels sauf dans les cas éventuels≡0 [2] , 1 = 2=1≡0 [] , 1 = 2=1

.

.

a) Si 3=1 , alors A1 ∈ O 3, ℝ et f sera u ne rotation d'axe D i3 et d'ange .

b) Si 3=1 , alors la matrice f correspond à A2 et A2 ∈ O 3, ℝ : f est la composée

d'une symétrie plane de base i1 , i2 et d'une rotation d'axe D i3 et d'angle . ( Si =0 , f

est la symétrie par rapport au plan P i1 , i2 , si = , f est la symétrie de centre O )..

.

2ème cas : B ∈ O 2, ℝ

Alors les 2 valeurs propres de B sont 1=1 et 2=1 et les vecteurs propres

correspondants seront u1 et u2 orthogonaux et d'autre part f u1= u1 , f u2= u2 .


A1=a c 0b d 00 0 1 , A2=a c 0

b d 00 0 1

a) si 3=1 , alors la matrice de f est A1 ∈ O 3, ℝ et le sous-espace propre

correspondant à la valeur propre double +1 est le plan P u1 , i3 . f est une symétrieorthogonale par rapport à ce plan.

b) Si 3=1 , la matrice de f est A2∈ O 3, ℝ et le sous-espace propre correspondant

à la valeur propre simple +1 est la droite D de direction u1 . f est la symétrie orthogonale ou

demi-tour d'axe D u1 . Nous pouvons circonscrire cette discussion autour d'un théorème :

.

.

Théorème : Dans tout espace vectoriel euclidien de dimension 3, nous pouvons avoir :

1. Pour toute rotation f ∈ O E , l'ensemble des vecteurs invariants par f est unedroite vectorielle nommée axe de rotation .

2. Pour toute isométrie négative, f ∈ O 3, ℝ ;

L'ensemble des vecteurs invariants par f est un plan : f est la symétrie parrapport à ce plan .f ne possède aucun vecteur invariant non nul : alors f est la composée d'unesymétrie par rapport à un plan P et d'une rotation d'axe orthogonal à P.

.

C.3. Procédé d'orthogonalisation de Schmidt..

Considérons une base B = {e1 , e2 , , en} quelconque. Notre objectif est de construire à

partir de B une base orthogonal H = { f 1 , f 2 , , f n} . Pour cela , il nous faudra représenter

la base H en fonction de B..

.

On calcule d'abord 12 . On pose f 1 , f 2 = 0 = e1 , 12 f 1e2

= 12e1 ,e1 e1 ,e2 = 0

12 e1 , e1=e1 ,e2

∥e1∥2

.

.

On calcule ces coefficient de proche en proche. Supposons par récurrence que l'on ait


f 1 = e1

f 2 =12f 1 e2

f 3 =13f 123

f 2 e3

⋮f n =1n

f 12nf 2 ⋯n1n

f n1 en

déterminé par ce procédé les n-1 premiers vecteurs de la famille H et qu'ils ont tous été

trouvés non nuls. Par hypothèse de récurrence, 1i jn1 , on aura f i , f j=0 ;

multiplions scalairement par f n par

f i où i=1, ,n1 avec la condition f i , f n=0 f i , f n = in f i , f i f i , en=0 . f i , f i≠0 ⇒ in est déterminé de façon unique ∀ i= 1, , n1 par suite fn est

déterminée de façon unique car f i , i=1, ,n1 sont des combinaisons linéaires des seuls

vecteurs ei , i=1, ,n1 ainsi , la base H est orthogonale..


ChapitreIV. ESPACE AFFINEEUCLIDIEN

Introduction

.

On appelle espace affine euclidien un espace vectoriel euclidien E sur lequel opère legroupe TE ( groupe des translations sur E )

Il est à noter que dans tout espace euclidien dont le produit scalaire xy = ⟨ x , y ⟩ est

associé à une norme ∥x∥2 = ⟨ x , x ⟩ = x , x et la distance d x , y =∥x y∥ ..

.

A. Isométries affines

Définition

.

Soit E un espace vectoriel euclidien . Pour tout isométrie f ∈O E et toute translation t

de E , l'application composée t ° f est appelée isométrie affine de E ..

.

.

Théorème :

Pour que G∈ AE soit une isométrie , il faut et il suffit que∀ x , y ∈E2 , d g x , g y =d x , y

.

.


Démonstration :

Supposons que g s'écrive comme t ° f avec f ∈GL E . Comme la translation conserve

la distance , nous aurons ∀ u ,v∈E , d t u , t v =d u , v .

Posons pour la suite que u = f x et v = f y . Nous pouvons affirmer que ∀ x , y∈ E , d g x , g y =d f x , f y

= d f x y

Pour que g soit une isométrie , il faut que f ∈O E soit que ∥ f x y∥=∥x y∥ cqfd..

B. Hyperplan orthogonal à une droite donnée..

Proposition : Soit D une droite vectoriel dans un espace vectoriel euclidien E. Le sous - ensemble

maximal H orthogonal à B est un hyperplan vectoriel supplémentaire à B. De plus , le sous-espace orthogonal à H coïncide avec B. .

.

Justifions cette proposition.

Soit D une droite vectoriel de E. Soit u∈D ; posons H ={x∈E /ux=0} . En effet, H est

l'ensemble des vecteurs de E qui sont orthogonaux à u. La forme linéaire x ux n'est pas

identiquement nulle , puisque u≠0 . Ainsi ,la relation ux =0 est par conséquent l'équationd'un hyperplan vectoriel qui coïncide avec H . De plus H et D sont supplémentaires ; nous

aurons donc E = D⊕H . Soit D une droite et H un hyperplan orthogonale à D. Par un point xde E , il passe une unique droite notée Dx , perpendiculaire à H et un unique hyperplan noté Hx

perpendiculaire à D.

D'autre part, D x∥D et H x∥H . Désignons par b l'unique point d'intersection entre D et

H. Alors par translation, on obtient tb1

..

.

Où D0 et H0 sont les directions vectorielles respectives de D et H. D'autre part, parhypothèse D et H . D'autre part , par hypothèse D0 et H0 sont orthogonaux.

D x=x D0 est la droite passant par x et orthogonale à H.H x=x H 0 est le plan passant par x et orthogonal à D. De plus Dx et Hx sont uniques et

D x∥D et H x∥H ..

Définition

.

L'unique point d'intersection de Dx et H se nomme projection orthogonale de x sur H et


D0=tb1 D

H 0=tb1 H

l'unique point d'intersection de D et Hx se nomme projection orthogonale de x sur D.La projection orthogonale y de x sur H est l'unique point appartenant à H tel que

x-y soit orthogonal à y-z pour tout z∈H .La projection orthogonale y' de x sur D est l'unique point appartenant à D tel quex y ' ⊥ y ' z ' , z ' ∈D .

En relation avec ces deux points, nous dirons que ∥x y∥ sera la distance de x à H et∥x ' y '∥ celle de x à D.

.

.

C. Distance d'un point à un hyperplan.

Soit D une droite affine de direction D0 ,D = bD0 .

Soit u∈D{0} un vecteur directeur de D . Soit H un hyperplan perpendiculaire àD . Puisque ux=0 est l'équation de l'hyperplan H0 qui est la direction de H , l'hyperplan H

aura une équation du type uy= où est un scalaire réel fixé quand y parcourt H.

∀ x∈E , désignons par y sa projection orthogonale sur H. Nous aurons yx∈ D0 et

par suite , ∃∈ℝ / yx = u Soit y = ux , comme y∈H , alors

uy= ⇒u ux= ⇒=ux∥u∥2

..

.

Donc la distance de x à H sera ∥u∥ .

d x , H =∥u∥=ux∥u∥2 = Ax ByCzD

∥u∥2.

d x , D= Ax ByCz∥u∥2

..

D. Symétrie par rapport à un hyperplan ou unedroite.

Définition

.

On appelle symétrie orthogonale par rapport à H ( respectivement à D) l'applications : E E telle que la projection orthogonale de tout x∈E sur H ( respectivement sur D )


soit le milieu du bipoint x , s x . .

.

D.1. Symétrie par rapport à H..

Il existe un vecteur unitaire u et un scalaire ∈ℝ / uy= . Pour tout x∈E , sa

projection orthogonale sur H qui est p(x) vérifie l'équation u p x = . D'autre part ,∃∈ℝ / p xx= u⇒ p x= uxu p x = ⇒u ux= ⇒=ux p x = xux u p(x) étant le milieu du bipoint x , s x ,

p x =xs x

2⇒ s x =x2 ux ux

= x2ux u .

.

Si H est un hyperplan vectoriel alors =0, s x = x2 ux u Si H est un hyperplan affine, soit H0 la direction de H et s0 la symétrie par rapport

à H0 ,alors nous aurons s x = s0 x 2 u soit s= t0 s0 avec t la translation de

vecteur 2 u ..

D.2. Symétrie par rapport à une droite..

Soit D une droite affine passant par un point a et de vecteur directeur unitaire u.D = aDu .

On introduit un hyperplan H passant par a et perpendiculaire à D . On désigne par b

et q les projecteurs orthogonaux sur H et D respectivement et s et s' les symétries

respectives par rapport à H et D . Alors l'équation de H est u ya =0 .

En posant =ua , nous avons vu que la symétrie par rapport à H s'écrits x =x2 [u ax ]u . D'autre part ,

∀ x∈E , xa= p x a q x a⇒ p xq x = xa

x , s x est p(x) et x , s ' x est q(x) . Nous aurons


s x x= 2p x s ' x x= 2q x

⇒ s xs ' x =2a⇒ s ' x =2as x

s ' x =2ax2 [u ax]u .

.

Si l'on désigne par a la symétrie par rapport à a, alors

a=x2as ' = s° a= a° s

Si nous avons une droite vectorielle ( a=0)

⇒ s ' x =x2ux u .

E. Quelques applications

E.1. Le produit vectoriel.

Ici, nous sommes en présence d'une application linéaire B = {e1 ,e2 , e3} .

f : E2 E

x= i=1

3

xi ei y= i=1

3

yi ei

.

.

Théorème:

Soit E un ℝev de dimension 3. Pour toute base B, il existe une unique application

bilinéaire antisymétrique f : E 2 E telle que f e2 , e3=e1 , f e3 , e1=e2 , f e1 ,e2=e3 .Cette application va donc s'écrire

f x , y = x2 y3x3 y2 e1 x3 y1x1 y3e2

x1 y2x 2 y1e3 .


f ei ,ei=0 , i= 1,3f ei ,e j= f e j ,eif x , y = x2 y3x3 y2 f e2 ,e3 x3 y1x1 y3 f e3 ,e1

x1 y2x 2 y1 f e1 ,e2

Définition - produit vectoriel.

.

f(x,y) sera appelé produit vectoriel des vecteurs x et y et se note x∧ y ..

.

Propriétés

.

∀ x , x ' , y , y ' ∈E , ∀ ∈ℝ1) xx ' ∧ y= x∧ yx ' ∧y2 ) x∧ y y ' =x∧ yx∧ y ' 3 ) x∧ y= x∧ y= x∧ y 4) x∧ y= y∧x5) x∧x=0

.

E.1.1. Propriétés géométriques du produit vectoriel.

Soient x et y deux vecteurs de E linéairement indépendants. Nous allons faire une

construction géométrique de x∧ y . Pour cela , nous allons considérer le plan vectoriel P xy et

nous allons choisir une base orthonormale directe B= e1 , e2 ,e3 et nous allons assignerei=x / r avec r=∥x∥ .

.

.

Désignons par le demie-plan inclus dans P xy bornée par Dx et contenant y. On aura

e2∈ ; on désignera par le couple x , y l'angle formée par x et y.

x , y = ∈ ]0,[ . Si


∥y∥= r ' ⇒ x = r e1

y = r ' [e1 cose2sin ] ..

.

x∧ y= rr ' sin e3 donc x∧ y est perpendiculaire au x , y = P xy . De plus le

déterminant de x , y et x∧ y dans la base B est positif.

det B x , y , x∧ y = x∧ y20 ⇒{x , y , x∧ y} directe dans E.

.

.

Puisque ∈ ]0,[ ⇒ sin0 .

∥x∧ y∥= rr ' sin=∥x∥∥y∥sin x , y ..

.

Réciproquement , soit z un vecteur de E vérifiant les propriétés suivantes :1) z⊥ P xy ⇒ ∃∈ℝ∗ / z=e3

2 ) {x , y , z }directe3 ) ∥z∥=∥x∥∥y∥sin x , y

.

.

Et l'on aura det B x , y , z= x∧ y⋅z= rr ' sin ; la condition 2 impose que soit

positif et la condition condition 3 impose que =∥x∧ y∥ . Par conséquent,z= e3=∥x∧ y∥e3= x∧ y .

.

.

Proposition

Pour toute famille {x , y} de E , z= e3=∥x∧ y∥e3= x∧ y .

1. z est orthogonal au plan x , y = P xy .

2. x , y , z est une base directe.

3. ∥z∥=∥x∧ y∥=∥x∥∥y∥sin x , y ..

.

soit x un vecteur non nul de E et P un plan vectoriel orthogonal à x. Désignons par b le

projecteur orthogonal de E sur P , R la rotation d'axe D x d'angle /2 , h l'homothétie de

rapport ∥x∥ . Alors ∀ y∈E , x∧y= h° r ° p y ..

Démonstration

.

Notons d'abord que ∀ y∈E ,∃∈ℝ / y= p y x .


.

x∧ y= x∧ p y . Si l'on définit un vecteur unitaire par x=e3 avec =∥x∥ , rapport

positif de l'homothétie h , il revient au même de prouver après simplification par que pour

tout y∈E , e3∧ p y = R° p y . Si y n'est pas colinéaire , alors p y =0 et la propriété est

évidente. Si y n'est pas colinéaire , alors p y ≠0 et l'on peut définir un vecteur unitaire e1 parp y =e1 avec =∥p y∥ .

Comme R est linéaire , il revient au même après simplification par de prouver quee3∧e1=Re1 ; maintenant , si e2=e3∧e1 , alors {e1 ,e2 , e3} est une base orthonormée

directe. Dans cette base , R∈O E , d'axe Dx et d'angle /2 et elle est caractérisée parRe3=e3 , Re1=e2 , Re2= e1 et la relation à prouver n'est autre que Re1=e2 .

.

E.2. Double produit vectoriel.

Nous allons le définir tout simplement par : ∀ x , y , z∈E , x∧ y∧z= x⋅z y x⋅y z .

En effet , soit {e1 , e2 , e3} une base orthonormée directe de E . Soient x1 , x 2 , x3 , y1 , y2 , y3 et z1 , z 2 , z3 les coordonnées respectives de x,y et z dans la basee1 , e2 , e3 . Alors les coordonnées de y∧z seront donc écrites y2 z3 y3 z2 , y3 z1 y1 z3 , y1 z2 y2 z1 .

Ainsi la 1ère coordonnée X1 du double produit vectoriel va se présenter comme :X 1= x2 y1 z 2 y2 z1x2 y3 z1 y1 z3

= y1 x2 z2x3 z3z1 x2 y2x3 y3= y1 x2 z2x3 z3 y1 x1 z1 y1 x1 z1z1 x2 y2x3 y3= y1 x1 z1x2 z2x3 z3z1 x1 z1x2 z2x3 z3

= y1 i=1

3

xi yiz1 i=1

3

xi yi

= xz y1 xy z1


Et par permutation circulaire on déterminera X2 et X3 par la formuleX i= xz yi xy zi , i= 1,3 .

.

E.3. Produit mixte..

Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension 3 et B={e1 ,e2 ,e3} une base

orthonormée directe . Pour tout triplet x , y , z des vecteurs de E, nous savons que

x∧ y ⋅z= det B x , y , z=∣x1 y1 z1

x2 y2 z2

x3 y3 z3∣

.

Pour toute autre base C directe de E , nous avons detC x , y , z =det B x , y , z . Ainsi

nous pouvons conclure que le produit scalaire x∧ y ⋅z est indépendant de la baseorthonormée directe choisie..

Définition

.

On appelle produit mixte toute application

E3 E x , y , z x∧y ⋅z .

Parfois on le note x∣x∣z= x∧y ⋅z .

.

Remarque

.

3 vecteurs x, y, et z sont coplanaires si x∧ y ⋅z=0 .

.


.

Où ∥x∧ y∥=∥x∥∥y∥ sin est l'aire du parallélogramme construit sur les vecteurs x et

y. Désignons par u le vecteur unitaire tel que x∧ y=∥x∧ y∥⋅u . On a alors x∧ y ⋅z=∥x∧ y∥u ⋅z=∥x∧ y∥u⋅z ∣ x∣x∣z∣=∣ x∧ y⋅z∣=∣∥x∧ y∥u ⋅z∣=∥x∧ y∥∣u z∣

.

.

La valeur absolue du produit scalaire Uz est la mesure de la hauteur du parallélépipèderelative à la face construite sur x et y . Par conséquent le volume V du parallélépipède est égal

à la valeur absolue produit mixte x∣y∣z : V = x∣x∣z ..

Définition - Birapport entre 4 points.

.

On appelle birapport de 4 points 2 à 2 distincts A, B, C et D noté [ A , B ,C , D] le rapport :.

.


ChapitreV. LES COURBES DUDEUXIÈME DEGRÉ ( CONIQUES)

A. Types de courbes du deuxième dégré..

Nous savons que les équations du premier degré représentent des droites. La questionque l'on devrait aussi se poser c'est de savoir à quoi ressemblerait dans un repère cartésien lelieu géométrique des courbes des courbes du deuxième degré ? ce sont les équations du type :

a11 x22a12 xya22 y2 2a1 x2a2 ya 0=0 1

Ici nous supposons qu'au moins un des coefficients a11 , a22 , a21≠0 ..

Définition

.

Le lieu géométrique des points dont les coordonnées vérifient l'équation (1) est appelécourbe du second degré..

.

.

Cette définition est invariante relativement au système de coordonnées. C'est à dire quesi la courbe a une forme dans un système de coordonnées x, y , en changeant pour le systèmex' , y' elle ne devient pas une courbe du premier degré. Les équations du second degré peuventreprésenter plusieurs types de courbes différentes . Il existe 8 types de courbes du seconddegré..

A.1. L'ellipse..

C'est la courbe qui a pour équation :


.

.

Elle est représenter par la figure ci-dessous :.

.

Ici on a ab0 ..

.

Si a=b on aura x 2 y2=a 2 qui est l'équation d'un cercle ; ainsi le cercle est un cas

particulier de l'ellipse. .

A.2. L'hyperbole..

C'est la courbe qui a pour équation .

.

Elle a pour représentation graphique. .


x 2

a 2 y2

b2 =1 2

x2

a 2 y2

b2 =1 3

.

Si a=b alors x 2 y2=a 2 qui a pour représentation graphique

.

.

Et si on fait roter les axes de 45° , cette équation devient : 2x ' y '=a2.

.

A.3. Parabole..

C'est la courbe qui est tel que dans un système de coordonnée, l'une des composantes

est égale au carrée de l'autre. Elle a pour équation y=a x2 ou x=b y2

. Mais en géométrie

analytique il est arrêter de représenter une parabole par l'équation y2=2p x 4 . Sa représentation graphique est la suivante.

.


.

Les équations (2), (3), (4) telles que nous les avons définis ici à savoir : l'ellipse ,l'hyperbole et la parabole sont des équations canoniques , il est clair que dans certainscoordonnées , elles auront une autre vue. Les courbes de ces 3 différents types jouissent desbonnes propriétés géométriques , et peuvent être définis à partir des différentes conditionsgéométriques nous allons les voir dans la suite. En particulier elles se présentent comme descourbes obtenues si un cône droit circulaire (cône de révolution ) obtenue à partir de deuxdroites sécantes au point appelé sommet du cône est en intersection avec un plan ne passantpas par le sommet . C'est pour quoi elles sont encore appelées des sections coniques..


A.4. Paires de droites en intersection ( sécantes )..

Dans un repère considéré cette équation se représente comme suit : y 2k 2 x2=0 ..

A.5. Paire de droites parallèles..

Dans un repère considéré, cette équation se présente comme suit : y2a2=0 ..

A.6. Une seule ligne..

Dans un repère considéré, cette équation comme suit : y 2=0 ou x2=0 .


.

A.7. Un seul point..

Ceci est représenter par l'équation x2 y2=0 . Dans un tel repère , ce point estconsidéré comme origine..

A.8. Ensemble vide..

Courbe "vide" sans points , ceci est représenté par les équations du type x2 y2=1 ou

x21=0 ..

B. Forme de l'ellipse, hyperbole , parabole..

Etudions la forme de l'ellipse , de l'hyperbole et de la parabole à partir de leurs équationscanoniques que nous avons ressorti ci-dessous..

B.1. L'ellipse..


Elle a deux axes de symétrie perpendiculaires. Ces axes se rencontrent à leur centre desymétrie ou centre de l'ellipse. Ces propriétés sont dû au fait que l'ellipse a pour équation:

x2

a 2 y2

b2 =1 .

Ici ses axes sont les axes des coordonnées et son centre l'origine des coordonnées..

.

La symétrie par rapport à l'axe x est dû au fait que l'on x , y et x , y qui ont les

mêmes valeurs en symétrie par rapport à l'origine O car x , y et x , y sont équidistants.l'ellipse peut aussi être interprété comme la courbe obtenue après contraction du cercle apartir d'un de ces diamètres. .

Exemple - une contraction de k.

.

x , y x ' , y ' = x , yk

⇒ x=x ' , y=ky '

x2 y2=a2⇒ x ' 2k 2 y ' 2=a2⇒ x ' 2

a2 k 2

a 2 y 2=1.

.

.

B.2. Hyperbole..

L'hyperbole a deux axes de symétrie et un centre de symétrie. Ceci peut être noterdirectement à partir de la forme de l'équation

x2

a 2 y2

b2 =1.

Comme dans l'ellipse , ses axes jouent le rôle d'axes de coordonnées , et son centrel'origine. L'un des axes imaginaires , n'est pas en intersection avec l'hyperbole l'axe réel la


touche en deux points appelés sommets. .

.

Si x=0⇒ y2=b2 impossible ( imaginaire).

Si y=0⇒ x=±a et les asymptotes sont

y=ba

x , y= ba

x.

.

B.3. Parabole.

Elle n'a qu'un seul axe de symétrie : c'est l'axe des x . Quand l'équation canonique est

sous la forme y 2=2p x . Le point d'intersection de la parabole avec cet axe est appelésommet . Toute droite parallèle à cet axe intersecte la parabole en un et un seul point. .

C. Propriété focale de l'ellipse..

Nous pouvons donner à l'ellipse la définition suivante à savoir : c'est une figure obtenuepar des points qui sont tels que la somme des distances à partir de deux points fixes est uneconstante. C'est à dire que F1 et F2 sont deux points fixes , alors l'ellipse est obtenu M qui sont

tes que F 1 M F 2 M =constF 1 F 2 a .Cette inégalité car dans un triangle, la somme des deux côtés est toujours supérieurs à

l'autre. Mais si nous avons F 1 M F 2 M =F 1 F 2 alors ceci représente le segment F 1 F 2

( noter qu'il n'existe pas de points tels que F 1 M F 2 M F 1 F 2 )..

.


Les points F1 et F2 sont appelés les points focaux.

Si F 1=F 2=F et FM = courbe alors nous aurons un cercle. Montrons que effectivement le lieu géométrique des tels points vérifient l'équation

canonique..

.

Pour cela posons F 1 M =r1 et F 2 M =r2 . Introduisons un repère orthonormé avec pour

origine le milieu des foyers F1 et F2 et l'axe x passe par F1 et F2 et posons F 1 M F 2 M =2a

et F 1 F 2=2c ..

.

Alors r 1r2=2a b comme F 1 F 2=2c alors la distance du foyer à l'origine est c donc

les coordonnées des foyers sont : F 1c , 0 , F 2 c , 0 et nous aurons

r 12= xc 2 y2 , r 2

2= xc2 y2 , r12r2

2=4c x c .

De (b) nous aurons r 22= 2ar1

2= 4a2r 124a r1⇒ 4a r1=r1

2r224a2 d . Ici en

utilisant (c) , nous obtenons r 1=

ca

xa 4a r1=4 c x4a2; en élevant au carrée et en

substituant avec le r 12 de (c) nous obtenons

x2

a 2 y2

a2c2 =1 e .

Comme a c nous pouvons poser a 2c2=b2 alors l'équation (e) prend la forme

canonique

x2

a 2 y2

b2 =1 f .

.

.

Ici nous avons montrer que les coordonnées de l'ellipse dans les conditions géométriques(b) vérifient l'équation (f) ; soit ces points sont inclus parmi les points vérifiant cette équation ,en d'autre termes l'ellipse est incluse dans la courbe représentée par l'équation (f) . Mais celane veut pas encore dire que ce n'est pas vraiment cette courbe. C'est que ça peut contenir despoints pour lesquels la condition (b) définissant l'ellipse n'est pas vérifiée. En effet , il faut


vérifier que de l'équation (f) on obtient la condition (b) .Il faut utiliser l'équation (e) et ressortir les expressions pour r1 et r2 .

r 1= aca

x , r2= aca

x g

et les additionner pour obtenir r 1r2=2a nous pouvons faire la conclusion suivante :.

.

Des expressions en (c) pour r 12 et de l'équation et de l'équation (f) nous trouvons

r 12= xc 2b2b2

c2 x2= 1 b2

c2 x22 c xc2b2

comme b2=a2c2 alors

r 12= ac

ax

2

en extrayant la racine carrée on trouve pour r1

ou l'expression (b) et l'autre avec un signe négatif r 1

2= aca

x h .

Pour quoi ( h ) ne peut pas avoir lieu ? la distance est toujours positives r 10 ce qui

veut dire que la partie droite est positive pour ac

ax0

. Cependant ceci n'est pas vrai en

raison de l'équation (f) ; de cette équation il s'en suit que ∣x∣a alors ac

ax0

. Puisque

0ca

1 , l'extraction de la racine carrée donne seulement l'expression en (g). Comme dans

la formule (c) d'où les conclusions sont faites r2 est différent de r1 seulement par le signe de c ,

alors pour r2 nous obtenons une expressions de (g) en somme nous obtenons r 1r2=2a ce quientraine que l'équation (f) définit bel et bien une ellipse..

Remarque

.

Les vérifications peuvent être effectuer à partir des considérations géométriques sans

faire des calculs. De l'équation (f) comme nous l'avons noté x∈[a ; a ] et pour chaque x

dans ce segment , on trouve la valeur de ±y ..

.

Définition

.

La relation e=c /a est appelée excentricité de l'ellipse parce qu'elle montre de combienle foyer est éloigner du centre. Pour le cercle c =0 donc e =0 . Avec ces notations,r 1=ae x , r 2=ae x les distances r 1=F1 M et r 2=F 2 M sont appelés les rayons focaux

du point M de l'ellipse. La condition F 1 M F 2 M = const est appelé sa condition focale.C'est pourquoi nous pouvons dire que la définition de l'ellipse à partir de sa conditionfocale ou de son équation canonique sont équivalentes.


.

.

D. Hyperbole et sa propriété focale..

Une hyperbole peut être définit géométriquement de la manière suivante :.

Définition

.

L'hyperbole c'est la courbe constitué des points tels que la valeur absolue de la différencedes distances à partir de deux points fixés est une constante , c'est à dire que si F1 et F2

sont ces points , alors l'hyperbole est formée des points M pour lesquels ∣F 1 M F2 M ∣=constF 1 F 2 1 .

.

.

.

( Si ∣F 1 M F 2 M ∣=F 1 F2 alors on obtient deux rayons avec pour origine F1 et F2 , les

points M tels que ∣F 1 M F 2 M ∣F 1 F2 n'existe pas )..

.

L'inégalité vient du fait que la différence de deux côtés du triangle est toujours pluspetite que l'autre.

Tout comme pour l'ellipse les points F1 et F2 sont appelés les foyers de l'hyperbole, les

distances F 1 M , F 2 M jusqu'au point M sur l'hyperbole sont appelé rayon focaux; et lacondition (c) sa condition focale. Le problème ici consiste à démontrer que cette définition

définie bien une hyperbole donc l'équation canonique est

x2

a 2 y2

b2 =1 .

.

.

En effet introduisons les notations F 1 M =r1 et F 2 M =r2 et const=2a et la condition (1

) s'écrit ∣r1r 2∣=2a ceci signifie la vérification de l'une des égalités suivantes r 1r2=2a our 1r2=2a (2) . L'hyperbole est constitué de deux branches dont l'une vérifie la premièreégalité de (2) et l'autre la deuxième.

Introduisons les coordonnées comme dans le cas de l'ellipse. Nous prenons comme

origine le milieu de la distance F 1 F 2 , et l'axe x passe par F1 et F2 , en posant F 1 F 2=2c

nous avons F 1c , 0 , F 2 c , 0 c'est pourquoi nous aurons comme dans le cas de l'ellipse

r 12= xc 2 y2 , r 2

2= xc2 y2 3 et r 12r 2

2=4 c x 4 . Considérons la branche de

l'hyperbole qui vérifie la première égalité de ( 2 ) : r 1r2=2a alors r 22= 2 ar1

2 ici en

utilisant ( 4) comme dans le cas de l'ellipse, nous obtenons r 1= ac

ax 5

en élevant au


carrée et substituant r 12dans ( 3 ) nous obtenons

x2

a 2 y2

a2c2 =1

mais ici nous avons c > a ( conséquence de l'égalité dans ( 1 ) ) c'est pourquoi nous

pouvons poser c2a 2=b2 et nous obtenons

x2

a 2 y2

b2 =1.

.

.

Nous avons montrer que les points qui vérifient la première condition de (2)appartiennent à la courbe qui vérifie l'équation (7) . Ce n'est pas toute l'hyperbole , l'équation(7) vérifie aussi la deuxième condition , nous vous laissons le soin de le démontrer .Maintenant , nous devons montrer que les points appartenant à la courbe (7) vérifient les

conditions de (1) . De l'expression en (3) Pour r 12 en utilisant (7) vérifie les conditions de (1) et

que c2=a 2b2 nous trouvons

r 12= xc 2 b2

a2 x2b2= aca

x2

En posant c /a=e , nous obtenons r 1= ±ae x ici nous allons considérer le signe (-)

par opposition à l'ellipse de l'équation (7) il est clair que ∣x∣a c'est pourquoi xa puisqueca sera

aca

x =aca

xca0 .

Analogiquement on calcule r2 à partir de (3) . Pour r2 il diffère de r1 par le signe de c c'est

pourquoi nous pouvons l'obtenir de (8) en changeant le signe de e : r 2=±ae x 9 .Ici les deux signes sont possibles

pour xa nous aurons r 1=ae x , r2=ae x .

Pour xa nous aurons r 1=ae x , r2=ae x .

Dans tous les cas ∣r1r 2∣=2 a ..

.

Nous avons montrer que chaque point de la courbe avec pour équation (7) est sur l'unedes branches de l'hyperbole ainsi la définition de l'hyperbole par ses propriétés focales et parson équation canoniques sont équivalentes..

E. Parabole , son foyer et sa directrice..

Pour une parabole on peut donner la définition géométrique suivante : la parabole c'estla courbe constituée des points équidistants à un point donné et à une droite donnée ( sous lacondition que le point donnée n'est pas situé dans la droite donnée ). C'est à dire que si F est lepoint et D la droite donnée r et d les distances respectives du points M à F et D respectivement


alors la parabole est constituée des points pour lesquels r = d (1) ..

.

Le point F est appelé foyer de la parabole et la droite D la directrice. Montrons que laparabole est définie par cette propriété géométrique.

En effet , introduisons les coordonnées en faisant passer l'axe des x perpendiculairementà la directrice et l'origine des coordonnées le milieu de la distance entre la directrice et le

foyer ; ainsi le foyer F a pour coordonnée F p

2,0

et la directrice la droite d'équation

x= P

2x

la distance entre les points M (x, y) jusqu'à la directrice est

d =∣x p2

∣ 2

La distance r=FM est r= x p

2

2

y2 3 de (1) il vient :

r=d ⇒ r2=d 2⇒ x p2

2

y 2=x2 p x p2

44

d'où y2=2 p x 5 .

Ceci montre que des points qui sont tel que r = d appartiennent à l'équation y2=2 p x ;inversement si nous considérons (5) nous obtenons (4) et en prenant la racine on obtient r = d.

Ainsi la définition de la parabole sur l'égalité r = d et l'équation (5) sont équivalentes..

F. Directrice de l'ellipse et de l'hyperbole.

F.1. ellipse..


Nous avons vue que r 1=ae x , r 2=ae x . Si l'ellipse est définie par l'équation

x2

a 2 y2

b2 =1 et si a>b alors les droites

x= ae

, x=ae avec

e=ca s'appellent directrice de

l'ellipse , ( Si b>a les directrices ont pour équation y= b

e, y=b

e ). Chacune des directricesjouit de la propriété suivante : si r est la distance d'un point quelconque de l'ellipse à l'un desfoyers et d la distance de ce même point à la directrice relative à ce foyer , le rapport r/d est

une quantité constante et égale à l'excentricité

rd

=e ; pour l'ellipse e<1 , pour l'hyperbole

e>1 et pour la parabole e =1 les équations des directrices définis ci-dessus sont aussi celle de

l'hyperbole e=c

a avec c2=a 2b2

.

G. Equation polaire..

Considérons les coordonnées polaires avec pour pôle l'un des foyers . Considérons unecourbe soit l'ellipse , l'hyperbole ou la parabole . A partir de la propriété de la directrice et dufoyer nous avons

e=rd

⇒ r=e d.

.

.

Soit q la distance du foyer F à la directrice et x la coordonnée d'un point quand l'axe des

x est orienté suivant le rayon (axe polaire) du côté de la directrice . Ainsi si x<q alors d =qxceci est vraie pour une ellipse, parabole et la branche de l'hyperbole proche du foyer. D'autre

part en coordonnées polaires nous avons x=r cos .C'est pourquoi nous aurons


r=e d =e qx =eqx e

r=e qe r cos⇒r= e q1e cos

C'est l'équation de la parabole , de l'ellipse et d'une branche de l'hyperbole en

coordonnées polaires. La quantité eq a un sens géométrique simple , si = /2 alors nousavons r =eq c'est à dire que eq est la distance du foyer p la courbe ( confère figure ) , cettedistance est appelée paramètre focal et est représentée par p.

.

Dans la translation de l'origine x=x ' p y= y ' p les coefficients de x2 et y2 nechangent pas.

Supposons maintenant que nous avons fait un changement d'origine où y a été éliminésoit l'équation (2) est devenue :

a11 x2a22 y22a1 xa0=0 3 ..

Cas 1

.

Supposons que dans (3) a11≠0 ( et a 22≠0 ) nous pouvons ramener (3) à

a11 x2a22 y2a 0=0 4 . Il n'y'a deux possibilités I ,1 a0≠0, I , 2 a0=0 ..

.

I ,1 a0≠0 . On peut écrire (4) sous la forme

x2 y2= 1 =a11

a0, =

a 22

a0 5

.

.

I,1-a) si 0 et 0 en posant =a2 , =b2 il vient

x2

a 2 y2

b2 =1 c'est une ellipse.

.


.

I,1-b) Si 0, 0 alors l'équation (5) est impossible ∀ x , y donc c'est l'ensemblevide..

.

I,1-c) Si , sont de signe contraire supposons que 0, 0 alors =a2 , =b2

on obtient l'équation

x2

a 2 y2

b2 =1 c'est une hyperbole .

.

.

I,2) a0=0 alors (4) devient a11 x2a22 y2=0 6 .

I,2-a) Si a11 et a22 de signes contraires tel que

a11

a 220

( puisque par hypothèse

a11≠0, a22≠0 ). Alors en divisant ( 6) par a22 et en posant

a11

a22=k 2

, l'équation ( 6) devient

y2k 2 x2=0 soit yk x yk x =0 dans ce cas , la courbe est une paire de droite y =k x ety = -k x .

I,2-b) Si a11 et a22 de même signe, alors de ( 6) on a x= y=0 c'est à dire que la droite ( 1)n'est réduit qu'à un seul point. .

Cas 2

.

Dans l'équation ( 3) , a11=0 a22≠0 c'est pourquoi l'équation ( 3) en divisant par a22

devient y 22 p xq=0 7 .

Ici nous différencions deux sous cas : p≠0 ou p =0..

.

2-1) Si p≠0 alors en ramenant l'origine des coordonnées à q

2p, 0

, c'est à dire

x=x ' q2p . En résultat nous obtenons y22 p x ' =0 après avoir enlevé prime nous

obtenons y 2=2 p x . Qui est l'équation de la parabole ..

.

2-2) Si P=0 alors ( 7) est devient y2q=0 8 . Il n'y'a 3 cas q0, q=0, q0 ..

.

2-2-a) q0⇒ ya ya=0 la courbe ( 1) est une paire de deux droites

parallèles y= a , y= a .


.

.

2-2-b) q = 0 alors l'équation est y2=0 qui est l'axe des ordonnés .

.

2-2-c) q0 l'équation ( 8) est impossible donc cette courbe est l'ensemble vide. .


ChapitreVI. SURFACES DEDEUXIÈME DEGRÉ.

A. Différents types de surface de deuxième degré .

Définition

.

La surface de deuxième degré est l'ensemble des points dans un repère cartésien quivérifient l'équation du second degré

a11 x2a22 y2a33 y22 a12 x y2a23 y z2 a13 x z2a1 x2 a2 y2a3 za0=0 1 Ici on suppose qu'au moins un des coefficients des termes carrés est non nul..

.

.

Comme dans le cas des courbes du deuxième degré le changement de coordonnéesn'entraîne pas le changement du type de courbe.

Le problème ici est de déterminer comme dans le cas des courbes de deuxième degréquel est le type de surface de deuxième degré et le type géométrique de ces surfaces ..

.

Proposition : L'intersection d'une surface de deuxième degré avec un plan donne une courbe de

deuxième degré d'autre part le cas singulier est quand la surface serait tout le plan..

.

En effet il existe 15 types de surfaces de deuxièmes degré citons les tous en déterminantleurs équations canoniques..


A.1. L'ellipsoïde.

C'est la surface qui dans un système de coordonnées cartésiens rectangulaires estdonnée par l'équation suivante :

x2

a2 y2

b2 z2

c2 =1 2

.

.

Si a=b=c on obtient l'équation de la sphère x2 y2z 2=a2 .

De l'équation (2) il vient que ∣x∣a ,∣y∣b ,∣y∣c 3 c'est-à-dire que l'ellipsoïde estcontenu dans un parallélépipède rectangle défini par les inéquations (3). La section de

l'ellipsoïde z=0 représente l'ellipse

x2

a2 y2

b2 =1 .

Il en est de même des sections x=0, y=0 ..

A.2. Hyperbole à une nappe.

Définition

.

On appelle hyperbole à une nappe la surface qui dans un système de coordonnéescartésiennes rectangulaires est donnée par l'équation

x2

a2 y2

b2 z2

c2 =1 4

.


.

A.3. Hyperboloïde à deux nappes.

Définition

.

On appelle hyperboloïde à deux nappes la surface qui dans un système de coordonnéescartésiennes rectangulaires est donnée par l'équation

x2

a2 y2

b2 z2

c2 =1 5.

.


.

.

Les nombres a, b, c dans les équations 2, 4, 5 sont appelés les pôles de l'ellipsoïde etde l'hyperboloïde ..

.

Le plan z=0 intersecte l'hyperboloïde a une nappe et forme une ellipse

x 2

a2 y2

b2 =1

Cette section est appelée section gorge à partir d'elle ( section ) l'hyperboloïde s'élargitdans tout les deux côtés . Mais l'hyperboloïde à deux nappes pas de points d'intersection avec

les plans z=z0 pour ∣z0∣c car

x2

a2 y2

b2 =z0

2

c2 10

qui revient à l'ensemble vide. Ce qui veut dire que l'hyperboloïde à deux nappes estconstituée de deux cavités divisées par une couche à partir de deux plans parallèles données

par les équations z=±c . La droite y =0 intersecte l'hyperboloïde par des hyperboles

x2

a2 z2

c2 =1, x2

a2 z2

c2 =1 voir figure.

.


.

Il est de même pour x = 0 ..

A.4. Cône

Définition

.

On appelle cône la surface qui dans un système de coordonnées cartésiennesrectangulaires est donnée par l'équation

x2

a2 y2

b2 z2

c2 =0

.


.

.

Cette surface est constituée de deux droites qui sont sécantes en un point appelé sommetdu cône.

Si z= const alors de toute les surfaces vues, nous aurons

x 2

a2 y2

b2 = p Si p0 c'est une

ellipse dans le plan le plan xy . Donc toutes les surfaces étudiées ont une intersection avec le

plan z = const et donne une ellipse. Si p0 alors l'intersection est vide . Si p=0 alorsx= y=0 .

.

.

Si a=b alors ces ellipse deviennent des cercles en d'autres termes les quatre typesétudiés deviennent des surfaces de révolution . L'ellipsoïde est obtenue en rotant une ellipseautour de l'axe ; l'hyperboloïde en rotant l'hyperbole et le cône en rotant les axes..

A.5. Paraboloïde elliptique.

Définition

.

C'est surface qui a pour équation

x2

a2 y2

b2 =2 z.

.


.

A.6. Paraboloïde hyperbolique

Définition

.

C'est la surface qui a pour équation

x 2

a2 y2

b2 =2 z.

.

.

.

Les sections de ces surfaces y = 0 ( comme x = 0 ) sont des parabolesx2=2 a2 x y2=2 b2 z et y2=2 b2 z .

Si z= p0 dans le cas de la paraboloïde elliptique

x 2

a2 y2

b2 =2 p qui est l'ellipse. Si


a=b alors on obtient une paraboloïde de révolution.

Chez la paraboloïde hyperbolique z= p=const≠0 on a

x2

a2 y2

b2 =2 p qui est une

hyperbole . La section z = 0 entraîne une paire de droite . Ces paraboloïdes ont des plans desymétrie x =0 et y = 0 mais pas z = 0..

A.7. Cylindre elliptique

Définition

.


x2

a2 y2

b2 =1.

.

.


A.8. Cylindre hyperbolique

Définition

.


x2

a2 y2

b2 =1.

.

.

A.9. Cylindre parabolique

Définition

.

C'est la surface qui a pour équation y2=2 p x ..


.

A.10. Paire de plans sécants..

C'est surface qui a pour équation y2k 2 x2=0 k≠0 ..

A.11. Paire de plans parallèles.

Définition

.

C'est la surface qui a pour équation y2k 2=0 ..


.

A.12. Plan.

Définition

.

C'est la surface qui a pour équation y2=0 ..

.


A.13. Droite << cylindrique >>

Définition

.

C'est une droite construite à partir d'un point..

.

A.14. Un point..

x2 y2z 2=0 ..


A.15. L'ensemble vide..

Il est représenté par trois types d'équations canoniques x 2 y2z2=1, x2=1 voirfigure ( a )..



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GEOMETRIE AFFINE - polytechnique.cm