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Chapitre 14 Géométrie dans l’espace 173
Géométrie dans l’espace
EXTRAIT DU B.O. SPÉCIAL N° 6 DU 28 AOÛT 2008Connaissances Capacités Commentaires
3. Géométrie
3.2 Confi gura on dans l’espaceProblèmes de sections planes de solides
– Connaître et utiliser la nature des sections du cube, du parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une face, à une arête.– Connaître et utiliser la nature des sections du cylindre de révolution par un plan parallèle ou perpendiculaire à son axe.
– Connaître et utiliser les sections d’un cône de révolution et d’une pyramide par un plan parallèle à la base.
L’utilisation de logiciels de géométrie dans l’espace permet de conjecturer ou d’illustrer la nature des sections planes.C’est aussi l’occasion de faire des calculs de longueur et d’utiliser les propriétés rencontrées dans d’autres rubriques ou les années antérieures. Les élèves sont également confrontés au problème de représentation d’objets à 3 dimensions, ainsi qu’à celle de la représentation en vraie grandeur d’une partie de ces objets dans un plan (par exemple : section plane, polygone déterminé par des points de l’objet...).
Sphère, centre, rayon
Sections planes d’une sphère
[Thèmes de convergence]
– Connaître la nature de la section d’une sphère par un plan.
– Calculer le rayon du cercle intersection connaissant le rayon de la sphère et la distance du plan au centre de la sphère.
– Représenter la shère et certains de ces grands cercles.
Les grands cercles de la sphère et les couples de points diamétralement opposés sont mis en évidence.
Le fait que le centre du cercle d’intersection est l’ intersection du plan et de la perpendiculaire menée du centre de la sphère à ce plan est admis.Le cas perticulier où le plan est tangent à la sphère est également étudié.
Aucune difficulté n’est soulevée sur ces représentations. Le rapprochement est fait avec les connaissances que les élèves ont déjà de la sphère terrestre, notamment pour le repérage sur la sphère à l’aide des méridiens et des parallèles.
Note : les points du programme (connaissances et capacités) qui ne sont pas exigibles pour le socle commun des connaissances et des compétences sont en italiques. Certains commentaires ou exemples d’activités, liés à des connaissances et des capacités qui ne font pas partie du socle, sont écrits en italique dans la troisième colonne mais correspondent à des situations que doivent travailler tous les élèves car ces connaissances et ces capacités restent des objectifs d’enseignement du programme.
Ouverture
Le Globen n’est pas tangent au sol. Il est enterré sur une profondeur de 25 m, la hauteur de l’arène à l’intérieur n’est donc que de 85 m.
• On peut obtenir une sphère en faisant tourner un demi-cercle autour d’un de ses diamètres.• On peut obtenir une boule en faisant tourner un demi-disque autour d’un de ses diamètres.
Je prends un bon départ
QCM
1 B 2 A 3 A
4 B 5 A 6 A
7 1. a., b. et c.
M
L
S
R N
2. R ∈ [MN], S ∈ [ML] et (RS) // (NL), donc d’après le théorème de Thalès :
= =MLMS
MNMR
NLRS
. Soit : = =5MS
96
7RS
.
• MS = 309
cm, soit : MS ≈ 3,3 cm.
• RS = 429
cm, soit : RS ≈ 4,7 cm.
8 a. SDC est rectangle en D.b. SDA est rectangle en D.c. SDB est rectangle en D.d. ADC est rectangle en D.e. DCB est rectangle en C.
9
A H B
O
6 cm 6 cm
4 cm
1. Le triangle AOH est rectangle en H.
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2.
174
b. Fig. 1 DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 4)
HU
G
CD
E
AS T
B
V
F
Fig. 2 DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 5)
H
L
G
CD
E
A
J
K B
I
F
3. La section d’un parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une arête semble être un rectangle dont une dimension est égale à la longueur de cette arête.
2 SC3 Objectifs– Connaître la nature de la section d’un cylindre de révolution par un plan perpendiculaire à l’axe ou parallèle à l’axe.– Savoir déterminer les dimensions de ces sections.
1. a. La section d’un cylindre de révolution par un plan perpendiculaire à l’axe semble être un disque de même rayon que les bases.b. La section d’un cylindre de révolution par un plan parallèle à l’axe semble être un rectangle dont une dimension est égale à la hauteur du cylindre.2. a. M
HO
N
2 cm
3 cm
b. • Le triangle MON est isocèle en O, car OM = ON = 3 cm.• Le triangle MOH est rectangle en H car OH est la distance de O au plan.c. D’après le théorème de Pythagore appliqué au triangle MOH rectangle en H, on a : HM2 = OM2 − OH2, soit : HM2 = 32 − 22 = 5, d’où : HM = 5 cm.Le triangle MON est isocèle en O, donc H est aussi le milieu de [MN], d’où : MN = 2 HM = 2 5 cm, soit : MN ≈ 4,5 cm.d. MN
M’N’
4,5 cm
4 cm
2. D’après le théorème de Pythagore appliqué au triangle OAH, on a : AH2 = OA2 − OH2.AH2 = 62 − 42 = 20, d’où : AH = 20 cm.H est le milieu de [AB], d’où : AB = 2AH = 2 20 cm, soit : AB ≈ 8,9 cm.
10 1. OA = 3 cm et SA = 7 cm.2. D’après le théorème de Pythagore appliqué au triangle SOA rectangle en O, on a : SO2 = SA2 − OA2.SO2 = 72 − 32 = 40, d’où : SO = 40 cm,soit : SO ≈ 6,3 cm.
Activités
1 SC3 ObjectifConnaître la nature de la section d’un parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une face ou parallèle à une arête.
A. 1. a. Le plan passant par les points M, N et L est parallèle aux faces ADHE et BCGF.b. DOCUMENT À PHOTOCOPIER
. (ANNEXE 1)
H L G
CD
E
A M
R
B
N F
2. a., b. et c. DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 2)
H L G
CD
E
A M
J
B
R SK
TQ
P
IF
La section de ABCDEFGH par le plan passant par P et parallèle à la face ABCD est le quadrilatère PJKI.La section de ABCDEFGH par le plan passant par R et parallèle à la face ABFE est le quadrilatère RSTQ.3. La section d’un parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une face semble être un rectangle de même dimension que cette face.B. 1. a. Le plan (MNL) est parallèle aux arêtes [AE], [BF], [CG] et [DH].b. DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 3)
H L G
CD
E
A M
R
B
N F
2. a. • Le plan (STU) est parallèle aux arêtes [AB], [DC], [EF] et [GH].• Le plan (IJK) est parallèle aux arêtes [AD], [BC], [GF] et [EH].
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2.
Chapitre 14 Géométrie dans l’espace 175
3. a. Lorsque d = 0, la section est un rectangle dont les dimensions sont la hauteur et le diamètre du cylindre.b. Lorsque d = r, la section se réduit à un segment de longueur égale à la hauteur du cylindre. c. Lorsque d > r, le plan ne coupe pas le cylindre.
3 Objectifs– Connaître la nature de la section d’une pyramide par un plan parallèle à la base.– Savoir que cette section est une réduction de la base et savoir utiliser le rapport de réduction pour calculer ses dimensions.
1. Le plan (MNR) étant parallèle à la base, les droites (MN) et (AB) sont parallèles, ainsi que les droites (NR) et (BC), les droites (RT) et (CD) et les droites (MT) et (AD).2. a. • En appliquant le théorème de Thalès au
triangle ASB, on obtient : = =SMSA
SNSB
MNAB
.
• En appliquant le théorème de Thalès au triangle
BSC, on obtient : = =SNSB
SRSC
NRBC
.
• En appliquant le théorème de Thalès au triangle
CSD, on obtient : = =SRSC
STSD
RTCD
.
• En appliquant le théorème de Thalès au triangle
ASD, on obtient : = =SMSA
STSD
MTAD
.
b. On obtient ainsi : = = =MNAB
NRBC
RTCD
MTAD
.
Toutes les longueurs de la section MNRT sont proportionnelles à celle de la base ABCD, donc la section MNRT est une réduction de la base ABCD. c. on obtient de même :
= = = = = = =SMSA
SNSB
MNAB
SRSC
NRBC
STSD
RTCD
MTAD
.
Toutes les longueurs des pyramides SMNRT et SABCD sont proportionnelles, donc la pyramide SMNRT est une réduction de la pyramide SABCD.
3. k = =SMSA
38
.
4 Objectifs– Connaître la nature de la section d’un cône de révolution par un plan parallèle à la base.– Savoir que cette section est une réduction de la base et savoir utiliser le rapport de réduction pour calculer ses dimensions.
1.
�’
�
O
O’A’
A
S
2.
O
S
A’ O’
A
6 c
m
2,5 cm
4 c
m
3. O’ ∈ [SO], A’ ∈ [SA] et (A’O’) // (AO), donc d’après le théorème de Thalès appliqué au triangle SOA,
on a : = =SO’SO
SA’SA
A’O’AO
.
Les longueurs des côtés des triangles SO’A’ et SOA sont proportionnelles, donc le triangle SO’A’ est une réduction du triangle SOA de rapport :
k = = =SO’SO
46
23
.
4. La section du cône � par le plan � est le disque de
centre O’ et de rayon r’ = ×23
2,5, soit : r’ = 53
cm.
Le petit cône obtenu lors de la section du cône � par
le plan � est une réduction du cône � de rapport 23
.
5 SC3 ObjectifDécouvrir le vocabulaire associé à la sphère et à la boule.
1. a. Lorsque l’on fait tourner le rectangle ABCD autour de la droite (AB), on obtient un cylindre de révolution de rayon AD et de hauteur AB.b. Lorsque l’on fait tourner le triangle KLM rectangle en K autour de la droite (KL), on obtient un cône de révolution de rayon KM et de hauteur KL.c. Lorsque l’on fait tourner le demi-cercle de centre O autour d’un de ses diamètres, on obtient une sphère de centre O.d. Lorsque l’on fait tourner le demi-disque de centre O autour d’un de ses diamètres, on obtient une boule de centre O.2. a. • Le cercle de centre O et de rayon 3 cm est constitué de tous les points du plan situés à 3 cm de O.• Le disque de centre O et de rayon 3 cm est constitué de tous les points du plan situés à une distance de O inférieure ou égale à 3 cm. b. Pour obtenir les définitions d’une sphère et d’une boule de centre O et de rayon 3 cm, il suffit de remplacer « tous les points du plan » par « tous les points de l’espace » dans les définitions précédentes.3. Les points A, D, E appartiennent à un grand cercle de la sphère �, donc ils sont situés à une distance de O égale à R. Par conséquent, ils appartiennent-ils à la sphère �.b. On ne peut pas savoir si les points B, C et F appartiennent à la sphère �. Il faudrait savoir s’ils appartiennent à un grand cercle ou à quelle distance de O ils sont situés.
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2.
176
c. Le point D appartient à la sphère, donc OD = R. D’ est le symétrique de D par rapport à O, donc : OD’ = OD = R. Par conséquent, le point D’ appartient aussi à la sphère �. Les points A et E sont aussi deux points diamétralement opposés.
6 Objectifs SC3
– Connaître la nature de la section d’une sphère par un plan.– Savoir calculer le rayon de cette section.
A. La section d’une boule par un plan semble être un disque.B. 1. Le triangle OHM est rectangle en H. 2. a. OM = 4 cm et OH = 3 cm.b. D’après le théorème de Pythagore appliqué au triangle OHM, on a : HM2 = OM2 − OH2, d’où : HM2 = 42 − 32 = 7, soit : =HM 7 cm, soit environ 2,6 cm.3. On obtient de la même façon : =HN 7 cm.4. a. Quel que soit le point de la section de la sphère � par le plan �, il sera situé à 7 cm de H. Par conséquent, tous les points de la section de la sphère � par le plan � appartiennent au cercle de centre H et de rayon 7 cm.b. Soit M un point du cercle de centre H et de rayon
7 cm. On a donc : =HM 7 cm.D’après le théorème de Pythagore appliqué au triangle OHM, on a : OM2 = HM2 + OH2, d’où : OM2 = ( 7 )2 + 32 = 7 + 9 = 16, soit : OM = 4 cm. Par conséquent, M est un point de la sphère � de centre O et de rayon 4 cm.C. 1. Lorsque le plan � passe par le centre O de la sphère, la section est un grand cercle de la sphère.2. Lorsque le plan � est situé à une distance du centre O égale au rayon de la sphère, la section de la sphère est réduite à un point.3. Lorsque le plan � est situé à une distance du centre O supérieure au rayon de la sphère, il ne coupe pas la sphère.
Savoir-faire
11 SC3 La section du parallélépipède rectangle ABCDEFGH par le plan (BFH) est le rectangle BFHD tel que : BF = 3 cm et HF = + =2 4 202 2 , soit environ 4,5 cm.
H G
CD
E
A B
F
12 SC3 • Le plan est parallèle à l’axe, donc la section ABCD est un rectangle tel que : AD = hauteur du cylindre, soit AD = 10 cm.• Le triangle OHA est rectangle en H, donc, d’après le théorème de Pythagore, on a : HA2 = OA2 − OH2 = 4,52 − 32 = 11,25 ; d’où : HA = 11,25 cm.• Le triangle AOB est isocèle en O, donc le point H, pied de la hauteur issue du sommet principal O, est aussi le milieu de [AB], par conséquent : AB = 2 × AH = ×2 11,25, soit : AB ≈ 6,7 cm. La section ABCD est donc un rectangle de dimensions 10 cm et 6,7 cm environ.
13 Soient M un point de la section et H le point d’intersection du plan et de la droite passant par le centre O de la sphère perpendiculairement au plan.La section de la sphère par le plan est le cercle de centre H et de rayon HM.Le triangle OHM est rectangle en H, donc, d’après le théorème de Pythagore, on a :HM2 = OM2 − OH2 = 7,82 − 52 = 35,84.D’où : HM = 35,84 cm, soit : HM ≈ 6 cm.La section de la sphère par ce plan est le cercle de centre H et de rayon 6 cm environ.
14 a. M ∈ [EF], N ∈ [HG] et R ∈ [FB] :
H G
CD
E
A
M
RB
N
F
b. M ∈ [EH], N ∈ [HG] et R ∈ [FB] : H G
CD
E
A
M
RB
N
F
c. M ∈ [EH], N ∈ [HG] et R ∈ [AB] : H G
CD
E
A
M
R B
N
F
A
HO
B
3 cm
4,5 cm
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2.
Chapitre 14 Géométrie dans l’espace 177
b.
A NB
D C
FR
E
HM
G
c.
A NB
D C
F
R
E
H M G
d.
A NB
D C
F
R
E
H M G
e.
A
N
B
D C
F
R
E
H
M
G
f.
A
N
B
D C
FR
E
H
M
G
22 SC3 DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 7)
a. b.
H G
FM
E
A B
CN D
FFF
D
H O G
FE
A B
CD PDD
c. HQ
G
FE
A B
CD
RFF
23 SC3 1. Les arêtes parallèles au plan � sont [HG], [EF], [AB] et [CD].2. Le quadrilatère CDIJ est un rectangle.
Exercices
À l’oral15 SC3 a. Le plan (IJK) est parallèle à la face BCGF.
La section IJKL est un rectangle de dimensions 4 cm et 3 cm.b. Le plan (IJK) est parallèle à la face ABCD. La section IJKL est un rectangle de dimensions 4 cm et 6 cm.c. Le plan (IJK) est parallèle à la face ABFE. La section IJKL est un rectangle de dimensions 3 cm et 6 cm.d. Le plan (IJK) est parallèle à l’arête [BF]. La section IJKL est un rectangle dont une dimension est 3 cm.e. Le plan (IJK) est parallèle à l’arête [AB]. La section IJKL est un rectangle dont une dimension est 6 cm.f. Le plan (IJK) est parallèle à l’arête [EH]. La section IJKL est un rectangle dont une dimension est 4 cm.
16 SC3 a. La section est un disque de rayon 5 cm.b. La section est un rectangle AA’B’B tel que :AA’ = OO’ = 8 cm et AB = 2 × HA = 2 × −5 32 2 = 8 cm.
17 La section EFGH de la pyramide SABCD par le plan (EFG) est une réduction de ABCD de rapport
k = =SESA
38
.
EFGH est un rectangle tel que :
EF = =38
AB158
cm et FG = =38
BC32
cm.
18 La section du cône de révolution � par le plan �
est une réduction de la base de rapport k = = =SO’SO
39
13
.
La section est un disque de centre O’ et de rayon
r’ = 13
OA = 2 cm.
19 SC3 OA = OB = OC = OD = 4 cm et CD = 8 cm.On ne peut pas connaître les longueurs OE, OF, AB.
20 1. OM = 5 cm et OH = 4 cm.2. Le triangle OHM est rectangle en H.3. a. SC3 La section de la sphère � par le plan � est un cercle de centre H et de rayon HM. b. HM = − = −OM OH 5 42 2 2 2 = 3 cm.
Je m’entraîne
21 SC3 DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 6)
a.
A NB
D C
FR
E
HM
G
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2.
178
D’après le théorème de Pythagore dans le triangle OHA rectangle en H, on a :HA2 = OA2 − OH2, soit : HA2 = 3,42 − 1,82.HA2 = 8,32, d’où : HA = 8,32 cm. AB = A’B’ = ×2 8,32, soit environ 5,8 cm.
27 SC3 DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 8)
Cas n° 1 Cas n° 2 Cas n° 3 Cas n° 4
r 5 cm 6,5 cm 14 cm 2,8 cmOH 3 cm 3,9 cm 8,4 cm 0 cmAB 8 cm 10,4 cm 22,4 cm 5,6 cm
28 1. D’après le théorème de Pythagore dans le triangle ADB rectangle en A, on a :AD2 = BD2 − AB2, soit : AD2 = 52 − 32.AD2 = 16, d’où : AD = 4 cm. 2. a. La section A’B’C’D’ est un rectangle.
b. Le facteur de la réduction est : k = =SO’SO
12.
29 1. • D’après le théorème de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en B, on a :AC2 = AB2 + BC2, soit : AC2 = 82 + 62.AC2 = 100, d’où : AC = 10 cm.
• AH = AC2
= 5 cm.
• D’après le théorème de Pythagore dans le triangle SHA rectangle en H, on a :SA2 = AH2 + SH2, soit : SA2 = 52 + 122.SA2 = 169, d’où : SA = 13 cm.
2. • k = = =SA’SA
3,2513
14
.
• A’B’ = kAB = ×14
8 = 2 cm.
B’C’ = kBC = ×14
6 = 1,5 cm.
30 La section est un disque de centre A’ et de
rayon r’ tel que : = = =’ SA’SA
312
14
rr
.
D’où : r’ = × =14
14
r × 7 = 1,75 cm.
31 Le cône de sédiments peut être assimilé à une réduction du cratère de rapport k tel que :
k = =50330
533
.
D’où : d = 533
× 450 ≈ 68,2 m.
32 SC3 1. Vrai, car AB = 2 cm.2. Vrai, car AB � 2 cm.3. Vrai, car AD � 2 cm.4. Faux, car CF ≠ 8 cm.5. Vrai, car DE = 8 cm.6. Vrai, car BC � 4 cm.7. Faux, car BA ≠ BC.
3. Le triangle GJC est rectangle en G tel que : CG = 5 cm et GJ = 2,5 cm. Pour tracer le rectangle CDIJ, on reporte au compas la longueur CJ.D’après le théorème de Pythagore dans le triangle CGJ rectangle en G, on a :CJ2 = CG2 + GJ2, soit : CJ2 = 52 + 2,52.CJ2 = 31,25, d’où : CJ = 31,25 cm, soit CJ ≈ 5,6 cm. 4. Le solide ABCDEFJI est un prisme droit dont les bases sont les trapèzes BCJF et ADIE et le solide HIJGCD est un prisme droit dont les bases sont les triangles CGJ et DHI.
24 SC3 1. EFGH est un rectangle.2. D’après le théorème de Pythagore dans le triangle HKE rectangle en K, on a :HE2 = HK2 + KE2, soit : HE2 = 202 + 152.HE2 = 625, d’où : HE = 25 cm. 3. EFGH est un rectangle ayant deux côtés consécutifs de même longueur, c’est donc un carré.
25 SC3 1. OO’ = 6 cm, OA = 4 cm, OB = 4 cm, OH = 2 cm, AA’ = 6 cm, BB’ = 6 cm, O’A’ = 4 cm et O’B’ = 4 cm.2. Le triangle AOB est isocèle en O.3. La hauteur issue du sommet principal d’un triangle isocèle est aussi la médiane issue de ce sommet, donc le point H est le milieu du segment [AB].4. B
HO
A
2 cm
4,5 cm
5. a. La section ABB’A’ est un rectangle.b. Pour construire en vraie grandeur le rectangle ABB’A’ on reporte la longueur AB au compas à partir de la figure tracée à la question 4.6. D’après le théorème de Pythagore dans le triangle OAH, rectangle en H, on a : AH2 = OA2 − OH2 = 42 − 22 = 12.D’où : AH = 12 cm et donc : AB = 2 12 cm, soit environ 6,9 cm.
26 SC3 1.
A’
B’
B
�
A
O
O‘
H
2. La section AA’B’B est un rectangle.3. AA’ = BB’ = 8 cm.
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2.
Chapitre 14 Géométrie dans l’espace 179
33 SC3 1. DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 9)
appartient-il à la sphère � ?
appartient-ilà la boule � ?
est situé à une distance
d de O telle que : A oui oui d = 3 cmB non non d = 4 cmC non oui d � 3 cmD non non d � 3 cmE non oui d � 3 cmF oui oui d = 3 cmG non oui d = 0 cm
2. Le point G est confondu avec le point O.
34 Longueur d’un grand cercle : 2π × 6 370 km = 12 740π km.
Longueur d’un mille marin : π ×12 740
3601
60 km,
soit environ 1,853 km.
35 a. h � 10 cm. b. h = 10 cm.c. 6 cm � h � 10 cm. d. h = 6 cm.e. h � 6 cm.
36 1. SC3
OA
H
2. Le triangle OHA est rectangle en H.3. Le rayon du cercle � est égal à HA.D’après le théorème de Pythagore dans le triangle OHA rectangle en H, on a :HA2 = OA2 − OH2, soit : HA2 = 102 − 62.HA2 = 64, d’où : HA = 8 cm.
37 1. SC3 La surface de l’eau a la forme d’un disque de centre D et de rayon r.2. Soit A un point du cercle délimitant la surface de l’eau. Le rayon r de la surface de l’eau est égal à DA. D’après le théorème de Pythagore dans le triangle ODA rectangle en D, on a :DA2 = OA2 − OD2, soit : DA2 = 102 − 42.DA2 = 84, d’où : DA ≈ 9,2 cm.
38 1. Le point H appartient à la boule de centre O et de rayon 5 cm, car OH � 5 cm.2. a. SC3
OA
H
b. • Le triangle OHA est rectangle en H tel que : OH = 4 cm et OA = 5 cm.
O
AH
4 cm5 cm
• La section de la sphère par le plan � est le cercle de centre H et de rayon HA que l’on reporte au compas à partir du triangle OHA construit précédemment.
39 1. Le triangle OHM est rectangle en H.2.
O
MH
4,3 cm 6,2 cm
3. Le rayon R de la sphère est égal à HM. D’après le théorème de Pythagore dans le triangle OHM rectangle en H, on a :HM2 = OM2 − OH2, soit : HM2 = 6,22 − 4,32.HM2 = 19,95, d’où : HM ≈ 4,5 cm.
40 D’après le théorème de Pythagore dans le triangle OAO1 rectangle en O1, on a :OO1
2 = OA2 − AO12, soit : OO1
2 = 52 − 2,52.OO1
2 = 18,75, d’où : OO1 ≈ 4,3 cm.
brevetJe m’entraîne au
41 1. La section AIJD du cube est un rectangle. (réponse b)2. Le triangle AIB est rectangle en B tel que : AB = 6 cm et BI = 3 cm.On trace le rectangle AIJD tel que AD = 6 cm et en reportant la longueur AI au compas à partir de la figure précédente.
3. a. �AIB = × = ×AB BI2
6 32
= 9 cm2.
b. �ABIDCJ = �AIB × BC = 9 × 6 = 54 cm3.
42 SC3 1. a. Le triangle BRM est rectangle en B.b. Le triangle BRM est rectangle en B avec : BR = BM = 3 cm.
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2.
180
c. D’après le théorème de Pythagore dans le triangle BRM rectangle en B, on a :RM2 = BR2 + BM2, soit : RM2 = 32 + 32.RM2 = 18, d’où : RM = =18 3 2 cm.2. a. La section RMNP est un rectangle.b. Le rectangle RMNP est tel que : RP = 6 cm et on reporte la longueur RM au compas à partir du triangle BRM tracé précédemment.c. RP = 6 cm et RM = 3 2 cm.
43 1.
A C B
S
3 cm
2 cm
5,2 cm
2. D’après le théorème de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en B, on a :AB2 = AC2 − BC2, soit : AB2 = 5,22 − 22.AB2 = 23,04, d’où : AB = 4,8 cm.3. La pyramide SA’B’C’ est une réduction de la
pyramide SABC de rapport k = =SB’SB
1,53
= 0,5.
D’où : • A’B’ = 0,5 AB = 2,4 cm. • A’C’ = 0,5 AC = 2,6 cm. • B’C’ = 0,5 BC = 1 cm.
44 SC3 La section d’un cylindre par un plan parallèle à son axe est un rectangle (Réponse B).
45 1. D’après le théorème de Pythagore dans le triangle SOA rectangle en O, on a :SA2 = SO2 + OA2, soit : SA2 = 82 + 62.SA2 = 100, d’où : SA = 10 cm.
2. A’ ∈ [SA], B’ ∈ [SB] et = =SA’SA
SB’SB
310
.
Donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (A’B’) et (AB) sont parallèles.3. A’B’C’D’ est une réduction de ABCD de rapport
k = 3
10.
46 Le rayon du cercle � est égal à − OH2 2r (Réponse C)
47 1. Les droites (RS) et (FG) sont parallèles, car elles sont perpendiculaires à la même droite (IF).2. Le cône du sirop de menthe est une réduction du grand cône contenant l’eau et le sirop dans le
rapport k = =RSFG
37,5
= 0,4.
D’où : IR = 0,4 IF = 0,4 × 8 = 3,2 cm.
J’approfondis
58 SC3 1. Le quadrilatère MNCG est un rectangle.2. La face ABCD est un rectangle tel que : AB = 6 cm et BC = 3 cm.On place le point N de [AB] tel que : AN = 2,6 cm. En mesurant la longueur NC, on trouve environ 4,5 cm. 3. a. • Calcul de BN :N ∈ [AB], donc : BN = AB − AN = 6 − 2,6 = 3,4 cm.• Calcul de NC :D’après le théorème de Pythagore appliqué au triangle NBC rectangle en B, on a :NC2 = NB2 + BC2 = 3,42 + 32 = 20,56.NC = 20,56 cm , soit : NC ≈ 4,5 cm.
59 SC3 1.
D
C
B
�
AO
O‘
H
2.
A
B
H
O
4 cm
2,5 cm
3. D’après le théorème de Pythagore appliqué au triangle OHA rectangle en H, on a :OH2 = OA2 − HA2 = 2,52 − 22 = 2,25.OH = 1,5 cm.
60 SC3 2. D’après le théorème de Pythagore appliqué au triangle OHA rectangle en H, on a :OA2 = OH2 + HA2 = 12 + 32 = 10.OA = 10 cm, soit environ 3,2 cm.
61 SC3 Soit R le rayon du tronc d’arbre.D’après le théorème de Pythagore appliqué au triangle OHA rectangle en H, on a :OA2 = OH2 + HA2, d’où : R2 = (R − 25)2 + 482.R2 = R2 − 50R + 625 + 2 304
D’où : R = 2 929
50, soit : R ≈ 58,6 cm.
62 Soit h la hauteur de la pyramide initiale.La petite pyramide est une réduction de la grande
pyramide dans le rapport k = 2135
= 0,6.
D’où : − 40hh
= 0,6.
h − 40 = 0,6 h, d’où : h = 100 cm.
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Chapitre 14 Géométrie dans l’espace 181
67 1. a. Le diamètre D de la sphère � est égal à 10 cm.b. • D’après le théorème de Pythagore appliqué au triangle ABD rectangle en A, on a :BD2 = AB2 + AD2 = 2L2.• D’après le théorème de Pythagore appliqué au triangle HBD rectangle en D, on a :HB2 = BD2 + HD2 = 2L2 + L2 = 3L2.Les diagonales du cube ABCDEFGH mesurent 10 cm.
D’où : 3L2 = 102. L = 100
3 cm =
10
3 cm =
10 33
cm.
c. = =DL
1010
3
3.
2. a. Le diamètre D de la sphère � est égal à a cm.b. • D’après le théorème de Pythagore appliqué au triangle ABD rectangle en A, on a :BD2 = AB2 + AD2 = 2L2.• D’après le théorème de Pythagore appliqué au triangle HBD rectangle en D, on a :HB2 = BD2 + HD2 = 2L2 + L2 = 3L2.Les diagonales du cube ABCDEFGH mesurent a cm.
D’où : 3L2 = a2. L = 3
2a cm =
3
a cm =
33
a cm.
c. = =DL
3
3aa
.
On constate que le quotient DL
est toujours égal à 3.
68 1. Le triangle MON est isocèle en O.
2. a. MN = 13
× 32,4 = 10,8 cm.
b. D’après le théorème de Pythagore appliqué au triangle MOH rectangle en H, on a :OH2 = OM2 − HM2 = 62 − 5,42.OH2 = 6,84, d’où : OH ≈ 2,6 cm.
69 60 cm
18 cm
20 c
m
Soit O le centre de la petite boule, O’ le centre de la grosse boule, H le centre de la section et A un point de cette section. Soit R le rayon de la petite boule.• D’après le théorème de Pythagore appliqué au triangle O’HA rectangle en H, on a :O’H2 = O’A2 − HA2, d’où : O’H2 = 182 − 102.O’H2 = 224, d’où : O’H ≈ 14,97 cm.• OH = 60 − 18 − O’H − R ≈ 27,03 − R.• D’après le théorème de Pythagore appliqué au triangle OHA rectangle en H, on a :OA2 = OH2 + HA2, d’où : R2 = (27,03 − R)2 + 102.R2 = 730,6209 − 54,06 R + R2 + 100.
D’où : R = 830,6209
54,06, soit : R ≈ 15,4 cm.
63
B
CD
A
MR
S
N
La section semble être un quadrilatère.
64 Soit h la distance du sommet au plan de coupe.Le petit cône est une réduction du grand cône dans
le rapport k = 47
. D’où : =12
47
h.
D’où : h = 487
, soit : h ≈ 6,9 cm.
65 • Distance du plan de la base au centre de la soupière :d’après le théorème de Pythagore appliqué au triangle OHA rectangle en H, on a :OH2 = OA2 − HA2 = 152 − 62.OH2 = 189, d’où : OH ≈ 13,75 cm.• Distance du plan de l’ouverture au centre de la soupière :d’après le théorème de Pythagore appliqué au triangle OKB rectangle en K, on a :OK2 = OB2 − KB2 = 152 − 102.OK2 = 125, d’où : OK ≈ 11,18 cm.• Hauteur de la soupière :HK = HO + OK ≈ 13,75 + 11,18, soit : HK ≈ 24,93 cm.La hauteur de la soupière est environ égale à 24,9 cm.
66 1. Le centre O de la sphère � est le milieu de [BC] et son diamètre est BC.D’après le théorème de Pythagore appliqué au triangle ABC rectangle en A, on a :BC2 = AB2 + AC2 = 52 + 82.BC2 = 89, d’où : BC ≈ 9,4 cm.2. Le triangle ABC est rectangle en A, donc le point A appartient au cercle de diamètre [BC] ; il appartient donc à la sphère �.3. D est le symétrique de A par rapport à O, donc : OD = OA. Par conséquent, le point D appartient à la sphère � de centre O qui passe par A.4. E est un point de la sphère � de diamètre [BC],
donc : EO = BC2
.
La médiane issue de E est égale à la moitié du côtéopposé au sommet E, donc le triangle EBC est rectangle en E. 5. F est le point de la sphère � diamétralement opposé à E, donc : EF = BC et [EF] et [BC] ont le même milieu O. Les diagonales du quadrilatère EBFC ont la même longueur et le même milieu, donc EBFC est un rectangle.
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182
72 Plus le sol est humide, plus la boule s’enfonce. Donc la marque au sol est plus grande et la longueur entre le bord de la marque et le point de départ est donc plus petite.
73 1. • Le point A est le centre de la sphère �1, donc A n’appartient pas à �1 mais appartient à la boule �1.• Le point D appartient à �1 et à la boule �1 car AD = 3 cm.• Les points F et C n’appartiennent pas à �1 ni à la boule �1 car AF et AC sont supérieures à 3 cm. (AF = AC = 3 2 cm, soit environ 4,24 cm)2. • Le point A n’appartient pas à �2 ni à la boule �2 car FA � 4 cm.• Le point D n’appartient pas à �2 ni à la boule �2 car FD � 4 cm. (FD = 27 cm, soit environ 5,2 cm).• Le point F est le centre de la sphère �2, donc F n’appartient pas à �2 mais appartient à la boule �2.• Le point C n’appartient pas à �2 ni à la boule �2 car FC � 4 cm. (FC = 3 2 cm, soit environ 4,24 cm)
74 1. • L’équateur est un cercle de rayon 6 370 km environ, d’où : Léquateur = 2πR = 2 π 6 370 ≈ 40 024 km.• Un méridien est un demi-cercle de rayon 6 370 km environ, d’où : Lméridien ≈ 20 012 km.2. a. Coordonnées géographiques du point G : 0° Nord (ou Sud) ; 0° Est (ou Ouest).Coordonnées géographiques du pôle Nord : 90° Nord ; 0° Est (ou Ouest).Coordonnées géographiques du pôle Sud : 90° Sud ; 0° Est (ou Ouest).b. Coordonnées géographiques du point diamétralement opposé à G : 0° Nord (ou Sud) ; 180° Est (ou Ouest).
75 1. Faux. (tous les points de l’Équateur ont une latitude égale à 0°).2. Vrai. 3. Vrai. 4. Vrai. 5. Vrai.6. Faux. En effet, la longitude d’un point diamétralement opposé à un point de longitude 75° E est égale à 105° O.7. Faux. En effet, le point de coordonnées (0° N ; 0° E) est le point d’intersection de l’Équateur et du méridien de Greenwich.8. Faux.9. Vrai.10. Vrai.
Argumenter et débattre
Atelier découverte
70 Soit R le rayon de la poterie. D’après le théorème de Pythagore appliqué au triangle OHA rectangle en H, on a :OA2 = OH2 + HA2, d’où : R2 = (R − 7)2 + 202.R2 = R2 − 14R + 49 + 400.
D’où : R = 44914
, soit : R ≈ 32 cm.
71 1. x est une distance, donc x est un nombre positif et pour qu’un plan coupe une sphère, il doit être situé à une distance du centre inférieure au rayon, donc x est compris entre 0 et 3.2. r = −9 2x3. • On entre en A1 le titre x , en A2 la valeur 0 et en A3 la valeur suivante 0,1. On sélectionne les deux cellules A2 et A3 , puis on étend la sélection jusqu’en A32 .
• On entre en B1 le titre r , en B2 la formule : =RACINE(9-A2^2) que l’on étend jusqu’en B32 .4. a. Le rayon r de la section est maximal losque x est égal à 0. Le plan passe alors par le centre de la sphère.b. Le rayon r de la section est égal à 1,5 cm pour x = 2,6 cm environ. c. Le plan passe au milieu d’un rayon pour x = 1,5 cm, ce qui correspond à r = 2,6 cm environ.
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Chapitre 14 Géométrie dans l’espace 183
2. a. La latitude de M2 est 7° S.b. • Calcul du rayon du parallèle passant par M1Soit H le centre de ce parallèle. On désigne par E le point d’intersection de l’Équateur et du méridien passant par M1.Les droites (OH) et (OE) sont perpendiculaires, donc les angles EOM1 et M1OH sont complémentaires.La latitude du parallèle passant par M1 est 7° S, donc : EOM1 = 7°.On a donc : M1OH = 90° − 7° = 83°.Le triangle OHM1 est rectangle en H, d’où : M1H = OM1 × sin 83° = 6 370 × sin 83°,soit : M1H ≈ 6 323 km.Le rayon du parallèle passant par M1 est environ égal à 6 323 km.• Calcul de la longitude de M2
M1HM2 = π ×
3602 6 323
× 5 000, d’où : M1HM2 ≈ 45,3°.
On appelle G le point d’intersection du méridien de Greenwich et du parallèle passant par M1.GHM2 = M1HM2 − GHM1 = 45,3° − 23° ≈ 22,3°.La longitude de M2 est environ égale à 22° O.3. • Longitude de M3 = 22° O et latitude de M3 et M4 = 38° N.• Calcul du rayon du parallèle passant par A, M3 et M4Soit H’ le centre de ce parallèle. E est le point d’intersection de l’Équateur et du méridien passant par A.Les droites (OH’) et (OE) sont perpendiculaires, donc les angles EOA et AOH’ sont complémentaires.La latitude du parallèle passant par A est 38°N, donc : EOA = 38°.On a donc : AOH’ = 90° − 38° = 52°.Le triangle OH’A est rectangle en H’, d’où :H’A = OA × sin 52° = 6 370 × sin 52°, soit H’A ≈ 5 020 km.Le rayon du parallèle passant par A, M3 et M4 est environ égal à 5 020 km.• Calcul de la longitude de M3
M3H’M4 = π ×
3602 5 020
× 5 000, d’où : M3H’M4 ≈ 57,1°.
On appelle G’ le point d’intersection du méridien de Greenwich et du parallèle passant par A, M3 et M4.G’HM4 = M3H’M4 − G’H’M3 = 57,1° − 22° ≈ 35,1°.La longitude de M4 est environ égale à 35° E.L’avion est parti d’Athènes (23° E ; 38° N) et est arrivé en M4 (35° E ; 38° N).L’avion n’est donc pas revenu à son point de départ.
76 1. a. • Les coordonnées géographiques de Saint-Petersbourg sont approximativement 60° N et 30° E.b. • Soit E le point d’intersection de l’Équateur et du méridien passant par Saint-Pétersbourg.
E
60°
St-Pétersbourg
Plan du méridien passantpar St-Pétersbourg
La latitude du point aux antipodes de Saint-Pétersbourg est égale à 60° Sud.• Soit G le point d’intersection de l’Équateur et du méridien de Greenwich.
EG
O
30°
150°
Plan de l’équateur
La longitude du point aux antipodes de Saint-Pétersbourg est égale à 150° Ouest.c. Le point aux antipodes de Saint-Pétersbourg se situe en Australie.2. a. • Les coordonnées géographiques de Santiago au Chili sont approximativement 33° S et 70° O.b. Les coordonnées géographiques du point aux antipodes de Santiago sont : 33° Nord ; 110° Est.
77 1. a. La longitude de M1 est 23° E.
b. • AOM1 = π ×
3602 6 370
× 5 000,
d’où : AOM1 ≈ 45°.• Soit E le point d’intersection de l’Équateur et du méridien passant par Athènes.EOM1 = AOM1 − EOA ≈ 45° − 38° = 7°.La latitude de M1 est environ égale à 7° S.
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