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GEORADAR ( Ground Penetrating Radar) -Radar Géologique
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1 Djeddi.Mk-Georadar
GEORADAR
( Ground Penetrating Radar) RADAR GEOLOGIQUE.
By : Djeddi . Mabrouk
Ce cours dispens en Master II Gophysique la FHC n'est pas encore entirement achev, il peut galement
subsister des fautes (erreurs) dans le texte et des rfrences absentes.
Si vous utilisez des donnes de ce travail, vous devez citer la rfrence en bibliographie de la faon suivante : Djeddi Mabrouk. Georadar (ground Penetrating Radar) .Radar gologique, 74 pp, 38 figures ,01 tableau. Dpartement de Gophysique(FHC), Universit MHamed Bougara de Boumerdes . Algrie. I - Introduction
Le georadar ( radar gologique) est connu encore sous l appellation de ground penetrating radar ( GPR ) ou galement surface penetrating radar (SPR).Le georadar
est un procd de prospection gophysique de trs haute rsolution sappuyant sur la propagation des ondes lectromagntiques (O.E.M ) pour lexploration des couches superficielles du sous-sol allant jusqu plusieurs dizaines de mtres de profondeur .L ventail de frquences dmission est suffisamment large , les valeurs nominales stalent de quelques dizaines de mga Hertz et jusqu quelques giga Hertz (gamme des ondes radio) . 1 Les O.E.M se trouvent trs influences dans leur parcourt dans les milieux
gologiques dans lesquels elles se propagent. Au cours de leur propagation dans les
milieux gologiques de nature et de composition diffrentes, les caractristiques des
O.E.M se modifient selon les proprits dilectriques de ces milieux.
Fig. 1 Spectre lectromagntique (Hulin, 1971)
2 Djeddi.Mk-Georadar
Les O.E.M mises par une antenne georadar se propagent dans le sous-sol dune manire similaire celle des ondes lastiques en sismique rflexion (selon les lois de
Snell-Descartes).Quand ces O.E.M rencontrent une discontinuit (surface de sparation)
entre deux milieux de compositions physico-chimiques diffrentes du point de vue
constantes dilectriques (principalement la permittivit lectrique ) ,une partie de leur nergie se rflchie et la partie restante se transmet la couche de dessous. Les
ondes rflchies sont enregistres en surface du sol laide dune antenne rceptrice .Les donnes enregistres subissent des traitements spciaux afin de rendre leur
interprtation approprie en terme de caractrisation des proprits
lectromagntiques des milieux gologiques traverss.
En sismique, cest le contraste dimpdance acoustique entre deux milieux
gologiques ( produit de la densit fois la vitesse) qui gnre le phnomne de
rflexion des ondes lastiques ; tandis qu en georadar la rflexion des O.E.M est
produite par le contraste des constantes dilectriques entre les deux milieux
gologiques .
Si certaines ressemblances existent entre la sismique rflexion et le goradar, il existe
tout de mme des diffrences dont les importantes sont :
La sismique est fonde sur linteraction des ondes sismiques avec les milieux gologiques (fonde sur la thorie dlasticit) alors que le goradar utilise linteraction les O.E.M cest--dire que leur propagation est gouverne par les quations de Maxwell.
3 Djeddi.Mk-Georadar
II - Propagation des ondes Electromagntiques
II-1 Rappels sur la notion donde Electromagntique
Les ondes lectromagntiques sont la combinaison d'un champ lectrique et d'un
champ magntique .Elles se propagent transversalement dans les milieux matriels et dans le vide.
Elles sont dfinies par leur longueur d'onde et leur frquence avec ( =1
) , avec ,
la priode.
Fig. 2: champ lectromagntique
Une onde est un phnomne (perturbation) capable de transporter de lnergie sans
transporter de matire, on distingue :
II-1-1 ondes sismiques
Ce sont des vibrations mcaniques (lastiques) produites par un sisme naturel
(tremblement de terre) ou artificiel (prospection sismique) et se propagent uniquement
dans un milieu matriel.
II-1-2 ondes de pression
Cest une onde dans laquelle lagitation du milieu comporte un changement de la pression. Etant donn que la pression est en troite relation avec la densit locale des
molcules, alors tout changement local de la pression provoque un changement de
densit. La perturbation se propage grce aux collisions entre les molcules,
lexemple dune onde de pression le plus connu est londe sonore en acoustique.
II-1-3 ondes gravitationnelles
Les systmes astrophysiques qui contiennent des trs grandes masses et trs
fortement acclres produisent autour deux une lgre perturbation de lespace-temps qui doit en permanence se parfaire .Cette lgre perturbation se propage la
4 Djeddi.Mk-Georadar
vitesse de la lumire et gnre comme toute perturbation une onde appele onde
gravitationnelle.
Les toiles trs massives comme les toiles neutrons et les trous noirs sont les
exemples les plus connus pour gnrer ce type dondes.
Remarque Ondes de Kelvin Cest une onde que lon appelle aussi onde de gravit marine .Elle possde une hauteur suffisamment
leve pour que la force de Coriolis se fasse sentir. La mare est un exemple typique dune onde de
Kelvin. La houle, les vagues sont des exemples donde de gravit qui se produisent sur linterface eau-air.
Parfois on utilise la notion donde gravito-inertie pour designer londe de mare et londe de raz- de
mare produites par un tremblement de terre.
Une onde gravito-inertie peut tre galement gnre par les fluctuations atmosphriques
principalement par les dpressions ocaniques (phnomne dexpiration du niveau de la mer). Cest donc
une onde qui transporte de la matire alors que les ondes gravitationnelles, les ondes sismiques, les
ondes sonores et les O.E.M transportent de lnergie sans transporter de matire.
II-1-4 ondes lectromagntiques
Elles reprsentent la rsultante dun champ lectrique et dun champ magntique dont les amplitudes se modifient de manire sinusodale dans le temps. Cest donc la
propagation dune modification dun champ lectrique , associe une modification
dun champ magntique .
La quantit dnergie renferme dans une O.E.M est fonction de la frquence et de la longueur donde . Avec = . = / ou est la priode.
Il en rsulte que plus la frquence est leve plus la longueur donde est courte et plus lnergie transporte par lO.E.M est grande.
Les O.E.M de frquence suprieure 1015 transportent une nergie importante qui peut rompre les liaisons chimiques et ioniser les molcules .Elles sont appeles
rayonnement ionisants.
Les O.E.M de frquence inferieure 1015 transportent une nergie qui ne permet pas de provoquer le phnomne dionisation. Elles sont appeles rayonnements non ionisants. Les O.E.M ultra violets se trouvent la limite du phnomne dionisation
(. 1).
La propagation des O.E.M est rgie par les quations de Maxwell suivantes :
=
et = = +
: Champ lectrique : densit de flux lectrique
: Densit de flux magntique : champ magntique
En appliquant aux quations prcdentes la relation suivante :
( )= 0 , . On obtient
5 Djeddi.Mk-Georadar
( ) = (
) =
( ) = 0 donc = 0
( ) = +
= +
( ) = 0
On connait que la divergence dun courant lectrique est gale au taux daccumulation de charges lectriques soit :
= q
On a gnralement
q
= 0 , ou = 0
6 Djeddi.Mk-Georadar
III- ondes plane et sphrique
III-1 Propagation dune onde plane une dimension
III-1-1 Equation de propagation
Examinons une agitation (perturbation) qui se propage dans un milieu non dispersif, le
long dune droite partir de lorigine . . 3
N O M
fig.3 Onde plane se propageant dans la direction ox
Elle se propage de vers cest--dire vers les positifs (de + )
et de vers cest--dire vers les ngatifs (de + )
Dsignons la loi de cette agitation :
- lorigine par = ()
- Soit , la vitesse de propagation de cette perturbation le long de laxe.
La perturbation atteint le point au bout dun temps 1
1 =
avec = ( 1 ) = (
)
Le point est atteint par la perturbation au bout dun temps 2
=
Avec = ( + ) = ( +
)
Lorsque = = on a :
= ( 1 ) = (
) Avec =
= ( + ) = ( +
) Avec =
7 Djeddi.Mk-Georadar
Posons = ()
Avec = + .
=
Drivons par rapport au temps
on a :
= ;
=
On a:
= () ;
= ()
= ()
=
()
=
. () .
=
. () ; = +
Do
Cest une quation diffrentielle appele couramment quation de la corde
vibrante. Sa solution gnrale est une combinaison linaire de :
= 1( 1 ) = 1 (
) = 1( )
et
= 2( + ) = 2 ( +
) = 2( + )
reprsentant la propagation de la perturbation dans les deux sens. Elle est valable
quelle que soit la loi de changement () de la perturbation, quil sagisse dun
phnomne priodique ou non.
III-2 Propagation dune onde plane trois dimensions
III-2-1 Equation de propagation
Examinons le cas le plus gnral lorsque londe plane se propage dans un espace trois
dimensions (, , ) , . 4
Au point origine , la loi de la perturbation tant dsigne par = ()
.
=
8 Djeddi.Mk-Georadar
Sur un point , de rayon vecteur = = ( ).
Etant donn que la perturbation possde la mme valeur en tous les points du plan
donde, on a :
M
= P
= f ( t t1 )
1 =
.Le temps met par londe plane pour dbuter de lorigine au point
Dsignons par le vecteur unitaire avec n = (
)
On a
OP = n . OM = n . r = x + y + z
Puisque que M = P = f ( t t1 ) = f ( t n .r
V ) = f ( t
(x+y+z)
V ) = f(u)
On pose u = t (x+y+z)
V
La drivation par rapport au temps et aux coordonnes (x, y, z) donne :
t = f (u) ;
2
t2 = f (u)
x = f (u)
u
x =
V f (u)
2
x2 =
2
V2 f (u)
y = f (u)
u
y =
V f (u)
2
y2 =
2
V2 f (u)
z = f (u)
u
z =
V f (u)
2
z2 =
2
V2 f (u)
Le laplacien de = f(x, y, z) est :
9 Djeddi.Mk-Georadar
= 2 = 2+2+ 2
V2 f (u) =
1
V2 f (u) =
1
V2 2
t2
+
+
=
Fig.4 : onde plane de direction quelconque
Elle reprsente lquation donde plane qui se propage dans un milieu isotrope non
dispersif et avec la mme vitesse .
III-3 Equation de propagation dune onde sphrique III-3-1 Equation de propagation
Si on considre une source petites dimensions et un milieu isotrope et non dispersif, la
perturbation se trouve identique sur une sphre, qui constitue la surface donde. La
perturbation diminue dintensit mesure que le rayon ( ) augmente.
La loi de la perturbation en () ne dpend que du temps ( ) et de la distance ( ) la
source, soit.
= (, )
Cherchons sil y a des fonctions (, ) qui soient solution de lquation des ondes vue
prcdemment.
+
+
=
Comme r2 = x2 + y2 + z2
On a suivant laxe
r
x =
x
r
10 Djeddi.Mk-Georadar
On a
x=
r .
r
x =
x
r .
r
Et
2
x2=
x [
x
r .
r ] =
1
r
r + x.
x[1
r
r ] =
1
r
r+
x2
r
r[
1
r.
r ]
Dou
2
x2=
x2
r2 2
r2+
1
r [1
x2
r2 ]
r
On a suivant laxe y
r
y =
y
r
On a
y=
r .
r
y =
y
r .
r
Et
2
y2=
y [
y
r .
r ] =
1
r
r + y.
y[1
r
r ] =
1
r
r+
y2
r
r[
1
r.
r]
Do
2
y2=
y2
r2 2
r2+
1
r [1
y2
r2 ]
r
On a suivant laxe z.
r
z =
z
r
On a
z=
r .
r
z =
z
r .
r
Et
2
z2=
z [
z
r .
r ] =
1
r
r + z.
z[1
r
r ] =
1
r
r+
z2
r
r[
1
r.
r]
11 Djeddi.Mk-Georadar
Dou
2
z2=
z2
r2 2
r2+
1
r [1
z2
r2 ]
r
La somme de ces trois quations et en tenant compte que
Comme 2 = 2 + 2 + 2
On obtient :
2
2+
2
2 +
2
2 =
2
2 +
2
.
=
1
[ .
2
2 + 2 .
]
Soit
2
2+
2
2 +
2
2 = 2 = =
1
2
2 (. )
Finalement lquation des ondes sphriques aura pour expression :
1
2
2 (. )
1
2 2
2 = 0
2
2 (. )
1
2 2
2 (. ) = 0
La solution gnrale de cette quation est :
. = 1(
) =
1
1 (
)
Et
. = 2( +
) =
1
2 ( +
)
12 Djeddi.Mk-Georadar
IV- Propagation des ondes lectromagntiques
IV-1 Onde lectromagntique plane
Prenons le cas le plus simple lorsquune O.E.M se dplaant suivant une seule direction, par exemple . . 5 Selon la figure, la normale est dirige suivant laxe .Le champ la mme valeur en tout point du plan donde ()
Les champs et ne dpendent que de et de on peut crire :
= (, ) et = (, )
Il en rsulte que toutes les drives des champs par rapport et sont nulles
=
=
=
= 0
Alors les quations suivantes :
2 2
2 = 0 et 2
2
2 = 0
Se simplifient comme suit :
2
2
1
2 2
2 = 0
2
2
1
2
2
2 = 0 Avec =
1
Leurs solutions gnrales sont de la forme :
= 1 (
) + 2 ( +
)
et
= 1 (
) + 2 ( +
)
et sont deux fonctions vectorielles de la variable (
)
En prenant en considration que :
=
=
=
= 0
13 Djeddi.Mk-Georadar
Les quations de Maxwell deviennent :
= 0
=
=
=
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
=
=
=
Ce qui donne
=
= 0 = Dans lespace et dans le temps
De mme pour
=
= 0
et sont perpendiculaires la direction de propagation de propagation et donc londe E.M est transversale.
Fig. 5 : onde plane se propageant suivant .
14 Djeddi.Mk-Georadar
IV-2 Relation entre et
La relation reliant les valeurs instantanes de E (t) et () est : E(t)
B (t)= C =
1
o o
Les normes des champs lectrique E et magntique sont relies entre elles par lexpression :
= /
Et les vecteurs , et forment un tridre direct . 6 Ou est la vitesse de propagation dans vide.
.
Fig.6 : les vecteurs , et forment un tridre direct .
15 Djeddi.Mk-Georadar
V- Polarisation dune onde lectromagntique La polarisation dune O.E.M permet de suivre la variation du champ lectrique (ou magntique) dans le plan normal sa direction de propagation. Ce qui signifie quelle dcrit le lieu gomtrique quoccupe lextrmit du vecteur champ lectrique (ou magntique) au cours du temps dans le plan donde.
Le phnomne de polarisation des O.E.M est une proprit trs importante qui peut
apporter de prcieuses informations notamment sur la nature du matriau.
Une O.E.M se compose de deux champs, un champ lectrique et dun champ
Magntique . Dans ce qui suit on se limite faire la description de la polarisation
par le champ lectrique (, ) en prenant le cas le plus simple ou la propagation de celui-ci se fait suivant laxe .
On a la composante = 0
(, ) = cos( )
(, ) = cos( + )
O = 2
=
: Le vecteur donde, il est perpendiculaire au plan donde et
indique la direction de propagation. Son module est = 2
: La pulsation
= 2
: La priode
=
2 : La frquence
La relation de dispersion est :
= . (Dans le vide)
= . =
(Dans un milieu dilectrique)
= . ( Dans un milieu anisotrope)
: Le dphasage entre (, ) et (, )
Fig.7 onde plane polarise rectilignement
16 Djeddi.Mk-Georadar
V-1- Polarisation rectiligne
Le plan de polarisation, appel aussi plan de vibration est dfini par cette direction de
vibration et par la normale londe.. 7
Lorsque les vecteurs conservent une direction constante, on dit que londe lectromagntique est polarise rectilignement.
Quand = 0 , on a (,)
(,)=
= constante
Ainsi dans un plan X =conste lextrmit du vecteur decrit les figures suivantes.
() () Fig. 8. Polarisation rectiligne dune onde plane () Rectiligne gauche, () Rectiligne droite
V-2- Polarisation circulaire
Cest un cas ou lextrmit du vecteur du champ lectrique tourne autour de son axe
en formant un cercle (cas particulier de la polarisation elliptique).
Quand =
2 ou =
3
2 et = on obtient
{ (, ) } + { (, ) } = ; = . Cest une quation dun cercle
17 Djeddi.Mk-Georadar
Fig. 9 polarisation circulaire V-3 - polarisation elliptique
En polarisation elliptique lextrmit du vecteur du champ lectrique tourne atour de
son axe et change damplitude pour former une ellipse . 10
Fig 10. diffrents types de polarisation elliptiques
Quand . on montre que
{ (,)
}
+ { Ez(x,t)
Eoz }
{
(,)
} . {
Ez(x,t)
Eoz } . cos = sin2
Cest lquation dune ellipse daxes inclins non confondus avec oy et oz
Quand =
2 ou =
3
2 lquation prcdente devient :
{ Ey(x,t)
Eoy }
+ { Ez(x,t)
Eoz }
= 1
18 Djeddi.Mk-Georadar
Cest lquation dune ellipse daxes confondus avec et de longueurs 2 = 2
Remarque Si la direction de se modifie dune faon dsordonne, on dit que londe nest pas polarise.
19 Djeddi.Mk-Georadar
VI - Paramtres lectromagntiques
La propagation des 0.E.M dans les roches et les sdiments dpend principalement
des proprits dilectriques et de la frquence de la source dmission de ces ondes. Lamplitude et la vitesse des 0.E.M sont fonction de la permittivit, de la conductivit
et de la permabilit magntique des milieux gologiques traverss. De ce fait, les
0.E.M seront rflchies par des structures (discontinuits) montrant un puissant
contraste de permittivit (paramtre le plus influant parmi les deux autres).
Les 3 principaux paramtres lectromagntiques qui interviennent dans lquation de Maxwell sont :
- La permittivit dilectrique (appele aussi constante dilectrique) - La conductivit lectrique - La permabilit magntique
VI-1 - permittivit dilectrique
IL existe deux types de matriaux.
- Matriaux lectriques
Ils se caractrisent par des charges lectriques mobiles et libres. Le dplacement
macroscopique de ces charges libres est lorigine des densits volumiques de charges libres et du courant de conduction qui se trouvent dans les quations de
Maxwell.
- Matriaux dilectriques
Ce sont des matriaux isolants composs de matire dont les charges lectriques
sont immobiles et non libres. Ils se caractrisent par une rsistivit trs grande.
VI-1-1 Caractristiques dilectriques des isolants
- Rappel sur les condensateurs
Un condensateur appel encore capacit est caractris par deux armatures
(lectrodes) spares par une substance dilectrique. Il a pour but de stocker entre
ses armatures des charges lectriques et de les rendre ultrieurement.
Un condensateur se caractrise par sa capacit () qui reprsente une mesure de la quantit de charges lectriques qui peut tre stocke.
La quantit de charge lectrique est proportionnelle la tension applique aux bornes
des armatures du condensateur.
= .
20 Djeddi.Mk-Georadar
: La charge stocke en Coulomb : La tension aux bornes des armatures en volt. : La capacit lectrique du condensateur en farad.
Un condensateur peut tre aussi formul en fonction de la nature du matriau
dilectrique entre les armatures et ses caractristiques gomtriques.
Considrons un condensateur plan vide de surface S (2), de distance () entre les armatures et plong dans lair. . 11
Sa capacit est dfinie par :
= .
Quand ce condensateur est occup par un isolant, sa capacit devient :
= . = . .
= .
fig.11 condensateur
VI-1-2 Diffrentes notions de permittivit
- Permittivit relative
Le rapport
=
= sappelle permittivit relative du matriau dilectrique
- Permittivit absolue du matriau dilectrique
Elle est par dfinition :
= .
0 Permittivit absolue du vide Le produit . est not frquemment , est appel permittivit absolue du dilectrique.
= 1 pour lair, les gaz et le vide. Do 0 = = 8,854187817 . 1012
dans le
systme dunit S.I
21 Djeddi.Mk-Georadar
Avec 0 =1
02
0 : La constante magntique
REMARQUE La permittivit 0 est egalement rencontre en lectrostatique dans le vide notamment dans la loi de Coulomb .Celle -ci indique que deux charges lectriques ponctuelles 1 2 distants de 12 exercent
lune sur lautre des forces lectrostatiques 1 et 2 :
2 = 1
40 .
1 .2 . 12
122. 12
.
VI-1-3 Facteurs affectants la permittivit
- Milieu satur de porosit
La permittivit dpend fortement de la teneur en eau selon la formule :
= (1 ) . + . (Formule semblable celle de Wyllie)
Ou et sont respectivement les permittivits de la matrice et du fluide prsent.
- Formule de Topp (1980)
= 3.03 + 9.3 + 146 2 76.72
(Formule exprimentale reposant sur des mesures faites en laboratoire).
- Milieu non satur
= (1 ). + . . + . (1 - ) .
o = 8.85. 1012
F
m Permittivit du vide , celle de leau est : eau 81. o
: Degr de saturation.
La permittivit est une proprit caractristique de tout milieu gologique
rencontr. La permittivit dilectrique est lie aux courants de dplacement induits par
les phnomnes de polarisation car, les courants de conduction sont ngligeables
devant les courants de dplacement .La manifestation du phnomne de polarisation
dcoule du dplacement relatif des charges fixes de la matire sous laction dun
champ lectrique extrieur .
La densit du courant de dplacement (/) se dfinit par la relation suivante.
22 Djeddi.Mk-Georadar
= .
= i. . . 2 = 1 : le temps et = 2. f la pulsation
: Permittivit du milieu
: Champ lectrique
La densit totale du courant lectrique induite est la somme du courant de conduction et du courant de dplacement. On a:
= + = . +
= . + .
En passant au domaine de Fourier,
A tout signal () , sa transforme de Fourier est :
() = ().
Transforme de Fourier directe et
() = (). +
Transforme de Fourier inverse 1
La drivation par rapport au temps a pour drive () et sa donne
[()] = . . () = . 2 . ()
On obtient dans le domaine frquentiel
[. + .
] = ( + . . ).
Car, [. ()] = . () et [.
] = . [ ()] = . . . ()
Do
= ( + . . ).
La permittivit et la conductivit sont des variables complexes qui dpendent de la
frquence, il sen suit que :
= + et = et leur substitution dans lexpression prcdente
donne.
= + et =
+
sont la conductivit et la permittivit effective.
= +
. = i . est la permittivit complexe totale avec :
= ( + i . . ) . = i. . . .
Thoriquement, la permittivit du milieu gologique est un paramtre complexe, elle
sexprime par la relation qui suit :
23 Djeddi.Mk-Georadar
= ( +
) . ( +
)
O et sont les parties relle et imaginaire de la permittivit. ' et les parties relle et imaginaire de la conductivit. : La pulsation de l'onde mise. De cette formule, deux possibilits se prsentent en utilisant les trs hautes
frquences (cas du georadar).
I - Premier cas
- la partie imaginaire ( ) de la conductivit est trs faible.
- la partie imaginaire (") de la permittivit est une quantit qui exprime la perte dnergie des ondes E.M le long du trajet parcourir, elle est aussi trs faible.
- la composante relle de la permittivit est la seule qui agit considrablement sur le phnomne de propagation des O.E.M (dominance de la polarisation).Cest elle qui gouverne la vitesse de propagation des O.E.M dans un milieu
gologique de vitesse .
II - Deuxime cas
- Lorsque le milieu gologique est assez conducteur, le georadar nest plus
recommand car la partie relle () de la conduction est particulirement plus
dominante que la permittivit. Les O.E.M se trouvent vites affaiblies dans le
milieu gologique et donc plus faible sera la profondeur de leur pntration en
sub- surface.
: Peut tre calcule laide de la relation de Cole et Cole (1941):
() = +
(+..)
:Valeur de la permittivit pour une frquence infiniment grande : Valeur de la permittivit statique (pour une frquence nulle) : Temps de relaxation ou inverse de la frquence de rsonance dipolaire. Il reprsente le temps durant lequel les diples poursuivent leurs vibrations aprs
l'arrt brusque du champ lectrique appliqu au milieu .Cest une grandeur significative, car cest elle qui fournit lapport du courant de dplacement la partie imaginaire de la permittivit
: Paramtre de correction exprimentale (compris entre 0 et1) : Conductivit lectrique du milieu basses frquences (en S/m).
24 Djeddi.Mk-Georadar
VI-2- conductivit lectrique
La conductivit lectrique dcrit la facilit dun matriau transmettre un courant lectrique, autrement dit permettre le dplacement des charges lectriques sous
leffet dun champ lectrique [/]. Dans les sdiments et les roches, la conductivit lectrique crot en prsence du contenu en eau, la salinit etc.
Sous laction dun champ lectrique , le dplacement des charges lectriques libres sur des distances macroscopiques dun conducteur est dfini par la conductivit [/] (inverse la rsistivit ).
Ce dplacement des charges libres se dfinit par la densit de courant lectrique selon la loi dOhm.
= .
Lnergie transporte par londe se dissipe lors des collisions avec les charges lectriques fixes. Lnergie lectromagntique est ainsi transforme en agitation thermique (effet de Joule).
La conductivit lectrique peut tre considre comme un paramtre complexe ayant
pour expression :
= +
La partie imaginaire de la conductivit peut fournir des renseignements sur les collisions entre les particules de la matrice ou fournir des renseignements sur la
viscosit du milieu (cas dune conductivit lectrolytique). On considre que les conductivits sont indpendantes de la frquence dans le cadre
du georadar, par consquent elles seront considres comme relles.
VI-3 Permabilit magntique
La permabilit magntique correspond lnergie stocke ou perdu dans les matriaux suite aux phnomnes dinduction magntique. Dans le vide et en absence dun moment magntique rmanent, linduction magntique dans le vide est dfinie par lexpression :
=
: tant le champ magntique appliqu.
: tant la permabilit magntique du vide ( = 4 . 107 / )
En prsence dun matriau linaire et isotrope, la permabilit absolue et formule par la relation suivante :
= qui devient = ( + )
tant laimantation La relation entre le champ magntique et laimantation est :
25 Djeddi.Mk-Georadar
= . ce qui donne = ( + ) = ( + . ) = ( 1 + )
: etant la susceptibilit magntique
= ( 1 + )
Comme est gnralement trs petite pour la majorit les milieux gologiques, on considre = La permabilit magntique est un paramtre rel et ne dpend pas de la frquence.
Pour la majorit des roches et des sdiments on a = 0 (permabilit du vide) et linfluence de celle-ci sur la propagation et la rflexion des ondes lectromagntiques en prospection goradar est gnralement insignifiante devant les paramtres sus
mentionns. Seuls les matriaux contenant une quantit leve en oxyde de fer
possdent une valeur leve de permabilit magntique.
26 Djeddi.Mk-Georadar
VII- Polarisation des matriaux dilectriques
Un matriau ou une substance dilectrique plonge dans un champ lectrique
acquiert une polarisation macroscopique appele aussi moment dipolaire lectrique par unit de volume.
Quand un milieu dilectrique est soumis un champ lectrique , ses charges lectriques lies essayent de modifier de position dquilibre. Cette manifestation dure un temps infiniment petit (temps de relaxation), et le phnomne est appel
polarisation ou moment dipolaire par unit de volume. Cette polarisation provoque
par le champ lectrique disparat ds que celui-ci cesse dagir lexception des dilectriques ferrolectriques.
Ainsi, pour les milieux linaires et isotropes la polarisation est dfinie par :
= 0. . Comme le dplacement lectrique est :
= . = 0 . . = 0. + = 0. + 0. . = 0 ( + ) .
+ = : la permittivit relative.
: la susceptibilit lectrique relative. Quand elle est indpendante du champ
lectrique , on dit quil sagit dun matriau dilectrique linaire. est sans dimension.
Dans les tudes goradar la permittivit est une grandeur complexe
= " : Permittivit lectrique totale.
La partie imaginaire explique les pertes et dpend de la frquence.
= () () = 2 : la frquence
() est relie lenergie emmagasine dans le materiau.
() est relie la dissipation dnergie.
() () sont relies entre elles par les relations de Kramers-Kronig.
() = +2
."()
22
0
() = 2
()
22
0
: variable relle dintgration.
27 Djeddi.Mk-Georadar
: permitivit frquence infinie.
=
( 0. ) = +
: Densit de charges libres. : Densit de charges de polarisation.
( ) =
( 0. + ) = ( . ) =
= . = 0. +
=
.
VII-1 Mcanisme de la polarisation
Introduction
Il est retenir que la constante dilectrique traduit la rponse dun matriau donn soumis un champ lectrique.
Comme les matriaux dilectriques ont les charges lies (initialement neutres), laction du champ lectrique sur eux provoquerait un lger dplacement momentanment de
ces charges .Ce champ provoquerait lapparition de moments dipolaires induits dans tout le volume et on dit que le matriau se polarise.
Le phnomne de polarisation est donc un phnomne identifiable lchelle macroscopique dans les matriaux. Il est produit lorsque le barycentre des charges
ngatives et celui des charges positives, au dbut confondus, se sparent et forment un
diple lectrique.
VII-1-1 Notion de moment dipolaire
Un diple lectrique est form de deux charges lectriques gales et de signes
opposs.
Pour mieux comprendre la notion de diple lectrique, considrons deux charges
lectriques de mme valeurs mais opposes, ponctuelles et spares par une distance
. . 12
fig.12 : Modle dun diple
Le diple lectrique est dfini par son moment dipolaire avec = .
28 Djeddi.Mk-Georadar
Lorsque = 0 cela signifie que le moment dipolaire est nul.
Ainsi, quand un matriau dilectrique est soumis un champ lectrique externe , il
se produit dans celui-ci dun autre champ lectrique provoqu par le phnomne
de polarisation. Le champ modifie le champ appliqu et le champ total est :
= +
Pour viter toute confusion avec les expressions prcdentes on a :
( = )
VII-1-2 Diffrents types de polarisation dilectrique.
Les plus importants mcanismes contribuant l'apparition de la polarisation sont classs en 4 grands types.
- La polarisation lectronique.
Lorsque le champ lectrique externe agit sur un matriau isolant compos de molcules sans moment dipolaire permanent, le nuage lectronique se modifie et se
dcale lgrement par rapport au noyau crant ainsi un diple induit. Le phnomne
de polarisation lectronique ne dpend que de la nature de la molcule du matriau
et sobserve autour des frquences 1015 environ. Fig.
Lexemple le plus significatif est latome dhydrogne .Celui-ci renferme un lectron () en mouvement orbital circulaire autour dun noyau atomique constitu dun proton. Sa polarisation se produit en un laps de temps trs court denviron 1015
secondes. Si l est le dplacement de lorbite de latome dhydrogne, la polarisation
aura pour expression = . La polarisation lectronique se produit dans les atomes et les ions et change
fortement avec la temprature. Elle est appele souvent polarisation optique a cause
de sa sensibilit pour des frquences avoisinants celles de la lumire visible (1015Hz)
Fig .13 Exemple de la polarisation lectronique de latome dhydrogne
29 Djeddi.Mk-Georadar
- Polarisation ionique
Initialement neutre, un matriau (ex. Na Cl) soumis un champ magntique , ses charges (+) et () rgulirement distribues scartent lgrement de leur position dquilibre dans la direction du champ lectrique pour former un moment dipolaire. Ce type de polarisation induite dpendra seulement de la structure du cristal et
dforme les mailles (dformation du rseau cristallin).La polarisation induite est
assure en un temps de lordre de 1012 1013. Son mcanisme seffectue plus lentement quen polarisation lectronique dans les frquences situes entre les hyperfrquences et linfrarouge . On assimile souvent la polarisation ionique et lectronique sous le nom de
polarisation de dformation. Dans les deux cas, il y a un mouvement de charges (pas
de rotation) dans la direction du champ lectrique appliqu.
Fig.14 .Exemple de polarisation ionique.
- Polarisation atomique
Lorsque une molcule de certains isolant est soumise un champ lectrique, les
atomes de celle ci se dplacent les uns par rapport aux autres .Il se forme un moment dipolaire atomique qui donne naissance une polarisation dite atomique .Celle-ci est
observable dans la gamme des frquences comprise entre 1012 1013 z
Fig.15 .Exemple de polarisation atomique.
- Polarisation interfaciale (macroscopique)
Elle porte souvent le nom de polarisation de Maxwell-Wagner-Sillars. Son apparition
est provoque par le dplacement et laccumulation des charges lectriques sur les interfaces entre les diffrentes phases des matriaux htrognes dfinis par des
permittivits et des conductivits lectriques diffrentes. Dpendant fortement de la
temprature, elle apparait dans les matriaux des frquences comprises entre 101 et 102 . Cest la polarisation la plus lente de tous les autres types de polarisation.
30 Djeddi.Mk-Georadar
Absence de champ lectrique En prsence de champ lectrique
Fig.16 .Exemple de polarisation interfaciale.
- Polarisation dorientation
Appele galement polarisation dipolaire ou de Debye , elle concerne les
molcules qui ont un moment dipolaire permanent (. 2 , ).Lorsquelles sont soumises un champ lectrique, l axe des diples tente de se ranger sur le champ lectrique inducteur . Lagissement du champ lectrique provoque non seulement le phnomne dorientation mais, il peut faire modifier le moment de la molcule, cest--dire dformer non seulement celle ci mais galement de ses orbitales.
Ce type de polarisation dpend fort de la temprature et correspond des frquences
entre 102 108 Hz. Elle ne prend naissance que dans les gaz, les liquides et les matires amorphes visqueuses. Dans les matriaux solides, les diples sont figs et ne
peuvent tre orients. Cest La Polarisation lectrique dipolaire est prpondrante pour les applications GPR.
Fig. 17. Exemple dune polarisation dorientation
VII-1-3 Rponse dilectrique des diffrentes polarisations
Les figures a et b montrent la signature des diffrents types de polarisations en
fonction de la frquence
31 Djeddi.Mk-Georadar
Il montre lordre dapparition des diffrentes polarisations sus mentionnes en fonction de la frquence dune part et leur influence sur les parties reelles et imaginaire de la permittivit dautre part.
Fig 18. Evolution de la permittivit dilectrique sur lensemble du spectre lectromagntique (Guguen and Paleiauskas.1994)
Radiofrquences
: Pertes dilectriques ( georadar) : tant la susceptibilit lectrique
VII-1-4 Diffrence entre conduction et polarisation
En conduction, les charges lectriques sont totalement libres .Elles se dplacent sur
des distances macroscopiques et quittent les particules.
- la polarisation lectrique apparait gnralement dans les matriaux dilectriques ou
les charges lectriques sont lies. Sous laction dun champ lectrique, ces charges
sont mises en mouvement certes mais sur de trs petites distances. Elles ne quittent
jamais la molcule.
-Il est possible dobserver un petit courant de conduction lorsque le dilectrique
renferme des impurets dlments conducteurs. Ce sont les petites quantits de
charges libres de ces impurets qui se dplacent grande distance dans le
dilectrique et qui provoquent ce petit courant.
32 Djeddi.Mk-Georadar
-Dans les matriaux conducteurs, laction du champ lectrique fait dplacer les charges
grandes distances et elles ne reviennent jamais leur position initiale lorsque le
champ lectrique inducteur est retir.
-Dans les matriaux dilectriques, laction du champ externe fait vibrer les charges
autour de leurs positions initiales, cest en quelque sorte un phnomne lastique. Ds
que ce champ lectrique cesse dagir, les charges lectriques reprennent leurs
positions initiales.
-La polarisation apparait que durant lapplication ou de la suppression de la tension
lectrique. Elle nexiste alors que lorsquil y a une tension lectrique alternative. Quant
la conduction, elle dure tant que la tension lectrique continue est maintenue
applique.
33 Djeddi.Mk-Georadar
VIII- Equations de Maxwell
En prospection gophysique par georadar , les O.E.M interagissent avec le milieu
gologique en engendrant des phnomnes de conduction et de polarisation qui
rsultent de la permittivit complexe effective . Celle-ci est troitement lie
laptitude dun matriau stocker et dgager lnergie lectromagntique. Elle
constitue la principale proprit possdant une influence la plus marque sur la
propagation et la rflexion des O.E.M.
La constante dilectrique dpend de plusieurs paramtres et plus particulirement de
la porosit et /ou du degr de saturation.
Les formules thoriques et /ou empiriques les connues et les plus utilises sont
notamment les quations de Maxwell.
Les quations de Maxwell dfinissent deux champs lectrique et magntique
coupls qui se modifient dans le temps. Ils sont insparables et tout changement de
lun des champs conduit un changement de lautre et vis versa .Cest grce leur succession rpte quils se propagent dans lespace.
Pour dun milieu linaire, homogne et isotrope, on a :
= 0 (Dans le vide)
= 0 (Dans le vide)
=
=
= .
= 0( i. )
Ainsi en prenant la divergence de = on obtient :
= . de ce fait = 0
= . . de ce fait = 0
Les quations de Maxwell peuvent scrire donc.
= .
34 Djeddi.Mk-Georadar
= . + .
Lapplication du rotationnel chaque membre de lquation donne :
= .
donne ( ) = ( )
( ) = .
( ) = .
( . + .
)
Do
= . .
+ . .
2
2 . .
+ . .
2
2 = 0
Lapplication du rotationnel chaque membre de lquation
= . + .
Le rotationnel de cette quation donne .
( ) = ( ) = ( ) + .
( ) = . (
) +
.
(
)
Do
= . .
+ . .
2
2 . .
+ . .
2
2 = 0
35 Djeddi.Mk-Georadar
Les quations renferment chacune deux termes
o Un terme de diffusion
(
,
)
.
La transmission dnergie saccomplit principalement suivant le mode de diffusion par courant de conduction. Ce mode nous permet de
travailler sur un milieu conducteur et quon se met basses frquences.
o Un terme de propagation (acclration)
(
,
)
:
La propagation dnergie se ralise fondamentalement suivant le mode de propagation par courant de dplacement. Cest ce mode qui est utilis en prospection par georadar pour accder aux constantes
dilectriques des milieux gologiques .Cest le mode qui nous permet de travailler sur les milieux rsistants et des mesures en utilisant les
hautes frquences.
Fig.19. Action dun champ lectrique sur les charges fixes.(source : Bernard Giroux )
36 Djeddi.Mk-Georadar
De la figure il ressort que lorsque la densit de flux D varie, alors les charges du
dilectrique se mettent en mouvement et donnent naissance un courant de
dplacement dominant et
.
Lorsque les variations temporelles sont du type sinusodal, les champs lectrique et
magntique seront de la forme suivante.
() = 0 et () = 0
En drivant par rapport au temps, on obtient :
= . . et
= . .
Et en les substituant dans les expressions on obtient respectivement :
= . . . . 2 . . . = ( . . . 2. . )
= . . . . 2 . . . = ( . . . 2 . . ).
Lorsquon nglige les pertes dilectriques , lexpression = se rduit = . 0 .
De mme en ngligeant les effets magntiques, on aura = 0,
Les deux quations de propagation sont :
= ( . . 0 . 2 . 0 .
. 0 )
= ( . . 0 . 2 . 0 .
. 0 )
Ces deux quations comprennent chacune deux termes :
- Un terme de courant de conduction = . 0.
- Un terme de courant de dplacement = 2 . 0.
. 0
< soit . 0. (Cas dutilisation en georadar)
Premier cas
37 Djeddi.Mk-Georadar
Les courants de dplacement sont plus importants que les courants de conduction
.Cest le cas lorsquon ausculte le sous-sol avec des trs hautes frquences. Comme nous lavons mentionn plus haut, la matire constituant le milieu gologique na pas suffisamment de temps de ragir lexcitation et la propagation de londe est perceptible. Dans ce cas, linteraction des O.E.M avec le milieu est plutt sensible lapprhension de la permittivit du milieu. . 20
Deuxime cas
> . 0.
Les courants de dplacement sont ngligeables devant les courants de conduction,
cest -- dire on est en basses frquences et aussi en mode de diffusion.
Troisime cas
= soit . 0. = 2 . 0. 0.
=
0. = 2. . =
2.0. ; est appele frquence de transition.
Pour travailler ventuellement en mode propagation par georadar et chapper au
mode diffusion en cas de prsence des terrains conducteurs, il faut se mettre des
frquences convenablement hautes pour que le phnomne de propagation soit plus
important. Cela est possible en dterminant une frquence dinvestigation suprieure la frquence de transition diffusion-propagation calcule lorsque le courant de conduction et le courant dplacement sont gaux. 20
Fig. 20.domaine des courants de dplacement et de conduction
38 Djeddi.Mk-Georadar
Profondeur de pntration
En gnral, la profondeur de pntration dpend de la frquence employe et des
proprits des matriaux traverss par lO.E.M .Elle varie de quelques centimtres plusieurs milliers de mtres. Gnralement, lamplitude de lO.E.M dcroit exponentiellement avec la profondeur de pntration.
.
- Mode diffusion
Le mode diffusif se caractrise par des pertes plus importantes et ou les courants de
conduction sont plus dominants .La profondeur de pntration sexprime par :
=
..
- En mode propagation
Ce mode se caractrise par de faibles pertes et ou les courants de dplacement
dominent, la profondeur de pntration sexprime par la relation suivante :
=
La profondeur dinvestigation du georadar dpend :
- De la frquence ( = . =
)
- De la nature des roches et des sdiments traverss par le signal georadar mis.
Rsolution verticale
Au vue des frquences utilises en georadar, celui-ci dispose la plus haute rsolution
verticale et horizontale pour limagerie du sous sol mieux que nimporte quelle autre mthode de reconnaissance gophysique. La rsolution verticale est troitement lie
la frquence mise par lantenne .Plus celle-ci est haute, meilleure sera la rsolution et inversement.(Fig 21 et 22)
Dans la majorit des cas, il est admis que la meilleure rsolution verticale que lon
puisse atteindre est de lordre de
ou
de la longueur donde du signal
lectromagntique emis par lantenne georadar, selon le niveau des bruits contenus dans le signal utile.
39 Djeddi.Mk-Georadar
Fig. 21 : Pouvoir de rsolution vertical.
Commentaire
Le radargamme (source Maxime Bano) montre la mme section georadar prise avec 225 MHz et 450
MHz.Il ressort clairement selon les 3 flches en noir la nettet de la discontinuit (base de la dune) dans
le second cas.
= . =
Longueur donde du signal mis par le georadar
Pour le cas
on a la rsolution :
=
=
. =
. . .
La rsolution verticale dcroit avec la diminution de la frquence.
Pour le cas
on a la rsolution :
=
=
. =
. . .
40 Djeddi.Mk-Georadar
Fig 22 Radargramme montrant la profondeur (), la resolution verticale(RV) en fonction de la frquence
dmission(FE) (daprs Jol,1995)
Sections deport constant de gauche droite
Vitesse et attnuation
La vitesse de propagation de l.O.E.M dpend des proprits lectromagntiques
(, , ) du matriau que cette onde traverse et de la frquence dmission utilise
par le georadar. Lorsque le matriau est amagntique et faiblement conducteur, la
vitesse de propagation peut tre considre dpendante uniquement de la permittivit
du milieu travers par lO.E.M .Soit :
= 0
En outre, dans le sol, le parcours aller-retour jusqu une certaine profondeur ()
entraine une certaine perte par absorption de londe lectromagntique.
Les quations de Maxwell suivantes
= (. . . 2.. ) et = (. . . 2. . )
Peuvent tre rcrites sous la forme complexe comme suit :
2 = 2 . 2 = 2 . . . . .
Ou est le nombre donde.
FE = 100 MHz PI = 19m RV = 0.21m
FE = 50 PI = 24m RV = 0.37m
FE = 25 MHz PI = 28m RV = 0.76m
41 Djeddi.Mk-Georadar
Le terme dcrit la vitesse et lattnuation de londe lectromagntique, grandeur complexe qui a pour expression :
= .
: La phase
: Lattnuation
2 = ( . )2 = 2 2 2. . . = 2 . . . . .
Avec 2 2 = 2 . . et 2 . . = . .
Les paramtres peuvent tre exprims en fonction des paramtres effectifs du
milieu gologique.
- le terme attnuation a pour expression :
= . [
2 ( 1 + (
. )2 1 ) ]1/2
-Le terme phase est :
= . [
2 ( 1 + (
. )2 +1 ) ]1/2
La grandeur
. change suivant le type de matriau .Trois cas sont possibles :
1er cas :
. < 0,01 matriaux dilectriques
2eme cas : 0,01 <
. < 100 matriaux peu conducteurs
3eme cas : 100 <
. matriaux conducteurs
- En mode diffusif :
En prsence de matriaux conducteurs et en basses frquences on a :
= = . .
2 comme =
, on obtient =
2 .
.
- mode propagatif :
En prsence de matriaux dilectriques (i.e. 0 ) et en hautes frquences on a :
= 0 et = . . et lO.E.M se dplace avec une vitesse dexpression :
=
=
1
.
42 Djeddi.Mk-Georadar
Fig. 22 .Mode diffusif et propagatif
43 Djeddi.Mk-Georadar
IX- Courant total et paramtres effectifs
La densit totale de courant ( 2 ) est :
= + = . +
= . + .
En considrant que lO.E.M est harmonique, elle peut tre formule par lexpression
suivante :
(, , , ) = (, , ). [cos + . ] = (, , ).
Donc la densit totale sera :
= + = . (, , ). + .
[ (, , ). ] =
[( + . ) + . ( + )] .
Soit = [ ( +
) . ( +
) ]
Cette dernire formule ne fait plus dif
frenciation entre le courant de dplacement et le courant de conduction. Elle montre
que :
- la partie imaginaire de la permittivit joue le rle dune conductivit - La partie imaginaire de conductivit joue le rle dune permittivit Do il est ncessaire dintroduire la notion de conductivit et de permittivit effectives notes respectivement par . La densit de courant de conduction sexprime par :
= . = ( + .
)
La densit de courant de dplacement sexprime par
= .
= (
. )
La densit totale de courant sera :
= + = ( + .
") + ( .
")
= . + .
: Conductivit lectrique effective , sa partie relle et
" sa partie imaginaire : Permittivit effective ,
sa partie relle et " sa partie imaginaire
De sorte que :
= + .
= + .
44 Djeddi.Mk-Georadar
= +
= +
Fig. 23 .Dfinition de langle de perte dans le plan de Fresnel
Analyse de la figure
Elle dcrit la relation entre et
Avec tan =
=
= 1
- tan indique le rapport de lnergie dissipe par cycle sur lnergie stocke.
- signifie quil ny a aucune perte dnergie.
- la densit de courant est en quadrature de phase avec le champ lectrique .
- tan =
. +
pour = 0
- Le terme
. reprsente les pertes provoques par les courants de conduction.
Plus le milieu est conducteur et plus les pertes sont importantes.
- Le terme
reprsente les pertes provoques par les courants de dplacement.
- Ordre de grandeur vitesse en georadar
la dtermination des vitesses dans un milieu gologique ncessite la connaissance de
sa permittivit et sa conductivit .Si on admet que le milieu gologique est faibles
45 Djeddi.Mk-Georadar
pertes, alors celles-ci sont exprimes par le terme tan =
quand " = " = 0
.Cest le cas ou tan 1 ,tant donn que la vitesse de propagation des O.E.M en georadar dans les terrains gologiques est inversement proportionnelle leur
constante dilectrique .
En mode propagatif et pour des frquences suffisamment leves lexpression de la vitesse de propagation des O.E.M dans le milieu peut tre approche par la formule
suivante :
=
. =
r (/) r
: permittivit relative relle
Avec = 1
0 . 0 et
Lindice de rfraction dun milieu est =
0 =
La connaissance de la permittivit dilectrique relative r fournit une information
directe sur la vitesse de propagation des O.E.M dans le matriau.
: vitesse de propagation des ondes lectromagntiques dans le vide ( = 3.108/ 0,3 / )
Tableau n1 : La constante dilectrique et vitesses des OEM radar dans les principaux
Terrains (Annan, 1993)
46 Djeddi.Mk-Georadar
X- EQUATIONS DE MAXWELL A DEUX DIMENSIONS
Linteraction des champs lectrique et magntique avec un matriau de paramtres lectromagntiques , , permet dcrire le comportement de ces champs dans un systme cartsien trois dimensions (, , ) par les relations suivantes :
=
1
. (
)
=
1
. (
)
=
1
. (
)
=
1
. (
. )
=
1
. (
. )
=
1
. (
. )
Pour aboutir un systme cartsien deux dimensions, on suppose que les champs
ne varient pas suivant la direction (y ) ce qui suppose que toutes les drives partielles suivant ce mme axe sont nulles.
En supposant que le milieu est infini suivant cette direction, les quations ci-dessus se
transforment comme suit :
=
1
. (
)
=
1
. (
)
=
1
. (
)
=
1
. (
+ . )
=
1
. (
. )
=
1
. (
. )
47 Djeddi.Mk-Georadar
On peut alors grouper ces six quations en deux groupes distincts, gouvernant deux
classes diffrentes de propagation lectromagntique
- la premire est celle du mode transverse lectrique qui nous intressera plus particulirement, la seconde celle du mode transverse magntique
(Taflove, 1995)
=
1
. (
)
T
=
1
. (
)
=
1
. (
)
=
1
. (
)
=
1
. (
+ . )
=
1
. (
. )
48 Djeddi.Mk-Georadar
XI- IMPEDANCE ELECTROMAGNETIQUE DUN MILIEU
Dfinition
Limpdance lectromagntique () dun milieu est une notion fondamentale comme en prospection sismique .Cest une proprit intrinsque du milieu de propagation des champs lectrique et magntique.
Il est bien connu des lois fondamentales de llectromagntisme que :
= . = . 0. , =
= 00 . Car =
1
00 (dans le vide)
Comme 0 ( ohms) = 0
=
=
0
0 (impdance du vide)
Avec .
=
Et .
= (thorme dAmpre)
Dans le vide ou dans lair on a : 0 = 4. 107
On obtient 0 =
= 0 = 3. 10
8 . 4. 107 = 377
Dans les conditions de propagation(georadar) ou , on a:
=
+ .
= .
. + . =
Comme ladmittance est linverse de limpdance, on a :
= 1
=
+ .
=
: A la dimension dune rsistance (/) : Partie relle de la permittivit dilectrique Permabilit magntique relative du milieu Amplitude du champ lectrique ( ) Amplitude du champ magntique
On sait que le rapport entre la valeur du champ lectrique et celle du champ
magntique est fonction de la permittivit et de sa permabilit du milieu dans lequel se propage lO.E.M.
Ou encore
49 Djeddi.Mk-Georadar
= 0
0 =
4.107
8,85.1012 377
Remarque
Les O.E.M sattnuent lorsquelles se propagent dans un matriau .Dans lair on a :
= 0 = 0 = 8,854. 10
12 /
0 = = 4 107 /
50 Djeddi.Mk-Georadar
XII- DIFFERENCE ENTRE LES METHODES SISMIQUES ET ELECTROMAGNETIQUES
La prospection gophysique par georadar est, dans son principe, similaire de la
mthode de prospection par sismique rflexion. La source dmission engendre un signal qui se propage dans le sol ausculter .En rencontrant des discontinuits
(contraste dimpdance entre deux milieux), le signal se rflchit vers la surface du sol ou il est dtect et enregistr par un rcepteur .
XII -1- La nature des champs
A la difference avec les mthodes de prospection sismique, les mthodes
lectromagnetiques utilisent comme source demission des ondes electromagnetiques.
Une O.E.M est constitue dun champ lectrique et un champ magntique vibrant avec la frquence identique. Les deux champs sont perpendiculaires lun par rapport lautre et se propagent dans un milieu matriel ou dans le vide suivant une direction perpendiculaire.
La propagation des O.E.M sopre avec une vitesse qui dpend des paramtres lectromagntiques du milieu.
La vitesse des O.E.M egale :
-dans le vide = 1
0 . 0 = 3. 108
-dans un milieu materiel = 1
.
0 permabilit magnetique du vide. 0 permittivit du vide.
Par contre ,les mthodes sismiques (acoustiques) utilisent comme source
demission des ondes sismiques(mcaniques, lastiques ) .Les ondes sismiques se propagent uniquement dans la matire .Au cours de leur passage ceux-ci subissent des
perturbations qui se propagent de proche en proche. le milieu materiel subit
simultanement deux types de perturbation appeles respectivement ondes
longitudiales (primaires) et ondes transversales (secondaires), il ya transfert dnergie sans transport de matire comme pour les O.E.M.
Le phnomne de propagation des ondes sismiques est decrit partir de la loi de
Hooke reliant contraintes la dformation et par la seconde loi de Newton reliant la
force et lacclration .
Dans le cas dune perturbation longitudinale (dilatation compression) , les particules composant le milieu subissent un mouvement vibratoire parallle la direction de
propagation de londe sismique avec une vitesse dite vitesse longitudinale.
= +2
51 Djeddi.Mk-Georadar
: est le module de cisaillement ou de rigidit not aussi : constante de Lam : densit du milieu travers.
Le second type de perturbation lors du passage de londe sismique est appel perturbation transversale ou onde transversale .Lors de son passage dans le milieu
materiel , les particules de celui-ci subissent un deplacemnt perpendiculaire la
direction de propagation de londe avec une vitesse dite transversale .
=
XII-2 pouvoir de resolution
Le pouvoir de resolution tant laptitude de sparer en profondeur deux horizons proches .Il est de lordre , comme en sismique de / 4 / 2 (suivant la largeur de la bande du signal et du niveau du bruit) .
= . =
Or, plus la frquence est grande et plus la resolution est meilleure au detriment de la
profondeur de pntration .De plus, les O.E.M se distinguent par leur pouvoir de
detection cest--dire la plus petite couche qui puisse donner naissance une reflexion.
Le pouvoir de dtection est compris gnralement entre
30
10
XII-3 Profondeur de pntration
La profondeur de pntration tant par definition la profondeur maximale partir de
laquelle londe E.M mise est totalement attenue.En prospection du sous- sol par georadar, le choix de la frquence utiliser est delicat.Plus la frquence est basse et
plus la profondeur de pntration est plus eleve.
Le choix de la frquence rsulte dun compromis entre le pouvoir de rsolution et la profondeur de pntration.Celle-ci depend de differents types dattnuation (attnuation geometrique , attnuation par absorption , attnuation par diffusion).
Le paramtre resistivit du milieu de propagation joue galement un rle
fondamental dans la profondeur de pntration atteindre. Trs brivement , il ressort
que :
- Plus un materiau gologique est a resistivit eleve , plus il permet aux O.E.M georadar de pntrer plus profondement.Inversement plus le
materiau est conductivit eleve et plus labsorption de lOEM est importante ce qui limite fortement la profondeur dinvestigationdu GPR.
- La dynamique du georadar est egalement un facteur important :Elle represente le rapport entre la puissance du signal emis et la puissance du plus petit signal
E.M detect.
52 Djeddi.Mk-Georadar
XIII- REFLEXION DES O.E.M
La propagation des ondes electromagnetiques dans les milieux geologiques est
etroitement lie aux trois principaux proprits intrinseques savoir La permittivit
dielectrique , la conductivit electrique et la permabilit magnetique .
Quand les ondes EM atteignent une discontinuit entre deux milieux gologiques
de proprits dilectriques , distinctes, une portion de leur nergie subit le phnomne de rflexion, tandis que la portion restante pntre en profondeur. Le but
du georadar est dutiliser la propagation et le phnomne de rflexion d'ondes lectromagntiques trs hautes frquences (mode propagatif) pour l'exploration des
milieux gologiques superficiels, cest--dire d'imager les structures du sous-sol suivant les contrastes des paramtres dilectriques sus -mentionns.
Pour un milieu deux couches gologiques homognes et isotropes spars par une
discontinuit plane et horizontale. ( 24 ) - La couche 1 se caracterise par les paramtres electromagntiques 1 , 2 1 - La couche 2 se caracterise par les paramtres electromagntiques 2 , 2 2
Fig 24. Reflexion et refraction des O.EM
Sur la surface de discontinuit, londe incidente se voit une partie de son energie se reflechir dans la premire couche et lautre partie se transmet dans la seconde. couche.
, designent respectivement langle dincidence, langle de reflexion et langle de transmission, 1 2 les vitesses de propagation des O.E.M dans la premire et seconde couche.
Le coefficient de reflexion sexprime par (en tension) :
12 =
=
21
2+1 avec limpdance electromagntique =
Si le premier milieu est lair on obtient :
1 = 1
1 ( impedance de lair) et 2 =
2
2 =
1
(impedance du sol)
Le coefficient de transmission dans le sol sexprime par :
53 Djeddi.Mk-Georadar
12 =
= 1 + 12
Au retour dans le sens inverse , le coefficient de transmission est :
21 = 1 12
Remarque La propagation aller-retour des O.EM dans les differentes couches du sol en profondeur est affecte par la perte denergie (par absorption de l OE.M) selon la loi exponenetielle 2. o = 1 est le coefficient dabsorption en neper/m.
XIII-1 Lois de Snell Descartes
Les lois de Snell Descartes donnent :
- 1ere loi de Snell Descartes : les rayons de londe incidente, reflechie et transmise se trouvent dans le mme plan.
- 2ere loi de Snell Descartes : relative la reflexion :
=
- 3eme loi de Snell Descartes : relative la refraction :
sin
1 =
sin
1 =
sin
2
Dans le cas dun milieu non magnetique et galement non conducteur , lindice de refraction est defini comme suit :
21 = sin
sin =
1
2 =
2
1 1. sin = 2 . sin
1. 1 = 2 . 2 sin . 1 = sin . 2 . sin = . sin
et sont les nombres dondes du milieu 1 et 2
1- Refraction critique
Quand 2 > 1 il ya un angle critique pour lequel = 90 .On obtient :
1. sin
2= 2 . sin sin . 1 = sin
2 . 2 sin =
1
2 =
2
1 2 < 1
54 Djeddi.Mk-Georadar
londe E.M refracte se propage en glissant tout le long de la discontinuit la vitesse
2 2- Reflexion totale
Pour tous les cas ou langle > , il ya reflexion totale.
3- Coefficient de reflextion et de transmission dune O.E.M plane
- En Incidence normale
Les champs electriques des ondes incidentes , reflechies et refractes scrivent alors
= 0 ..(. . ) le champ electrique de londe incidente
= 0 ..(. . ) le champ electrique de londe reflechie
= 0 ..(. . ) le champ electrique de londe transmise
0 , 0 et 0 sont les amplitudes maximales constantes .Elles peuvent tre complexes pour tenir compte des differences de phase eventuelles .
Les coefficients de rflexion et de transmission en incidence normale ont pour
expression respectivement :
=
=
21
2+1 =
(1.1) (2.2)
(1.1) + (2.2) (Coefficient de rflexion)
=
=
2.1
2+1=
2(1.1)
(1.1) + (2.2) (Coefficient de transmission)
Remarque relative londe rflchie
1/ Lorsque 1.. 1 2. 2 , il ny a pas de dphasage
Lorsque 1. 1 2. 2 , il y a un dphasage de , || < 1
Remarque relative londe transmise
|| > 0, la transmission se fait sans dphasage
peut prendre des valeurs suprieures ou inferieures 1
55 Djeddi.Mk-Georadar
Avec = .
. .
: impdance du milieu dans le cas gnral
Deux possibilits se prsentent suivant que les vecteurs :
a- sont perpendiculaires ( ) au plan dincidence, londe est appele
transverse lectrique , onde ou onde . Ce cas est le plus utilis pendant
lacquisition des donnes georadar .La polarisation du champ lectrique est
perpendiculaire au plan dincidence .En mode , le Champ lectrique incident
est orthogonal au plan dincidence cependant le champ magntique est dans le
plan dincidence
Fig. 25 : mode TE et TM
b- sont parallles ( // ) au plan dincidence, londe est appele transverse
magntique , onde ou onde . cest le cas ou la polarisation du champ
magntique est perpendiculaire au plan dincidence. En mode , le champ
magntique incident est orthogonal au plan dincidence cependant le champ
lectrique est dans le plan dincidence.
- En incidence quelconque et superieure ou egale langle critique
Pour une onde incidente et plane se tombant sur une discontinuit plane sparant
deux milieux, les quations de Fresnel et particularisent deux polarisations sont :
Les Coefficient de rflexion et de transmission dans le mode TE sont :
=
=
2 . 1 . cos 1 . 2 . cos
2 . 1 . cos + 1 . 2 . cos
Pour deux milieux dilectriques parfaits non conducteurs et amagntiques vaut en
supposant 1 = 2 = 0 :
= cos . 1 cos . 2
cos . 1 + cos . 2
=
=
22 . 1 . cos
2 . 1 . cos + 1 . 2 . cos
Les Coefficient de rflexion et de transmission dans le mode TM sont :
=
=
2 . 1 . cos 1 . 2 . cos
2 . 1 . cos + 1 . 2 . cos
56 Djeddi.Mk-Georadar
=
=
22 . 1 . cos
2 . 1 . cos + 1 . 2 . cos
Ei ,Er et Et sont respectivement les champs electriques incident, reflechi et transmis En / , les angles dincidence et de transmission 1 2 permabilits magnetiques des milieux et en / 1et 2 les nombres dondes des milieux et en /
En utilisant la relation de Snell - Descartes sin . 1 = sin . 2 , on obtient la
formule du coefficient de rflexion exclusivement en fonction de langle dincidence
=
=
1 .cos 21 12
.sin2
1 .cos + 21 12
.sin2
On dj dit plus haut que lorsque 2 > 1 ou 1 > 2 , il existe un angle critique pour lequel langle de transmission sera gal 90 Lorsque langle dincidence dpasse langle critique, il y a une rflexion totale et le
rapport 1
2 . sin est superieur 1 .Cette situation pose problme dans la formule de
ou la valeur sous la racine devient ngative. Le terme sera alors complexe et prendra lexpression suivante (Hollender 1995)
=
=
1 . cos + . 2 . 1 2
. sin2 1
1 . cos . 2 . 12
. sin2 1 2 = 1
Que lon peut sparer en une partie relle et une partie imaginaire
La partie relle dexpression est:
[] = 1 . cos 2 . (
12
. sin2 1 )
1 2 =
1 . cos2 + 2
1 2
La partie imaginaire a pour expression :
[] = 21 . cos . 1 . sin
2 2
1 2
En gnralisant les formules prcdentes, on sobtient pour les deux modes.
En mode TE lexpression est :
57 Djeddi.Mk-Georadar
=
=
2 . 1 . cos 1 . 2 2 1
2 . sin2
2 . 1 . cos + 1 . 2 2 1
2 .sin2
pour le coefficient de rflexion
=
=
2 . 1 . cos
2 . 1 . cos + 1 . 2 2 1
2 . sin2
pour le coefficient de transmission
En Mode lexpression est :
=
=
2 . 1 . 2 2 1
2 . sin2 2 . 22 . cos
1 . 2 2 . cos + 2 . 1 . 2
2 1 2 . sin2
pour le coefficient de rflexion
=
=
2.1 . 1 . 2 . cos
1 .2 2 . cos + 2 . 1 . 2
2 1 2 . sin2
pour le coefficient de
transmission
58 Djeddi.Mk-Georadar
XIV - ACQUISITION DES DONNEES GPR
Le GPR est bas sur des principes semblables ceux de la mthode de
prospection sismique rflexion .Son emploi est fond sur lmission, la propagation, la rflexion, lenregistrement des O.EM, le traitement et linterprtation. La qualit des donnes enregistres dpendra fortement dun choix optimal des paramtres acquisition sur le terrain.
Le choix des paramtres dacquisition est dterminant .Ils dpendent de lobjectif et des proprits lectromagntiques du terrain explorer. Les paramtres les plus
importants sont la frquence dmission, lespacement des antennes et bien dautres.
XIV -1 Diffrents types de georadar
Il existe toute une varit de georadar .Celui-ci utilise plusieurs types de signaux .Tout
signal a ses particularits avec ses avantages et ses inconvnients.
Selon le type de source dmission des O.EM, le georadar peut tre class en 3
catgories :
XIV 1-1 Georadar impulsionnel
Ce type de goradar est dfini par un spectre de frquence de pic et de largeur de
bande. Le signal impulsionnel est produit par lmission dun courant lectrique bref
aux bornes de lantenne. Il se caractrise par une large bande frquentielle (de trs
brve dure).Cest le georadar le plus utilis en prospection gophysique. Il produit
lmission de limpulsion un champ lectromagntique damplitude variable en fonction
du temps. La dure dimpulsions est prise tre 0.5 et 10 voir plus (selon le type
dapplication).Lacquisition des donnes est effectue dans le domaine temporel.
. 26
Fig. 26 signal mis par un radar impulsionnel
XIV -1 -2 - Georadars saut de frquence
Il a la particularit dengendrer des O.EM de mme nergie sur un intervalle discret
de frquence .
59 Djeddi.Mk-Georadar
fig 27 Principe dun radar de saut de frquence
Ce modle de georadar saut de frquence fonctionne dans le domaine frquentiel.
Un analyseur de rseaux engendre dune succession dondes lectromagntiques de
frquences distinctes sur une bande donne. A toute frquence, une onde est mise de
lantenne vers le sol. La frquence du signal de sortie change en marche descalier de
hauteur . . 27
XIV -1- 3-Georadars vobulation linaire de frquence
Ce type de georadar appel en anglo-saxon frequency modulated continuous
wave engendre un signal de configuration sinusodale de longue dure dont le
spectre change dans le temps .Cette proprit lui donne lavantage dajuster de
manire active la rsolution pour diffrents types dobjectifs diffrentes profondeurs.
Figure 28 : principe de la modulation de frquence
Donc, on parvient obtenir un signal appel Chirp (sinusode module en frquence)
Lacquisition des donnes brutes georadar sur le terrain est faite au moyen dun systme form de trois composants principaux.
XIV -1- 4 Source
Une source est une antenne mettrice. Grce un systme lectronique, il est
gnr un courant lectrique qui est appliqu lantenne dmission. Celle-ci met des brves impulsions lectromagntiques de dure courte (1 50 ) et de trs hautes frquences. La frquence doit tre choisie en fonction de lobjectif dsir avoir : la rsolution spatiale, la profondeur de pntration etc
60 Djeddi.Mk-Georadar
Les antennes les plus courtes sont .29 :
- dipolaires pondres
- papillons (bow-tie antenna) ou biconiques
- cornet (hom antenna )
- Antennes creuses
- Antenne Boucle
Fig. 29. Diffrents types dantennes dmission.
XIV- 1- 5 dispositifs dtecteurs.
Cest une antenne jouant le rle de rcepteur : Elle permet de dtecter les rflexions des O.EM dues aux contrastes de permittivit ou de conductivits rencontrs par
les O.EM au cours de leur propagation. Lantenne de rception est affecte aussi dun systme lectronique qui permet damplifier et de digitaliser le signal lectromagntique dtect.
XIV -1- 6 Matriel denregistrement.
Limpulsion lectromagntique brve mise par lmetteur se propage dans le sol .Son amplitude et sa vitesse varieront en fonction de la permittivit, de la
conductivit et de la permabilit magntique des milieux gologiques
61 Djeddi.Mk-Georadar
parcourus. Elle subit des rflexions et/ou des rfractions ds quelle rencontre des discontinuits (marqueurs) cest--dire des structures gologiques montrant un fort contraste des paramtres sus mentionns (principalement de
la permittivit dilectrique). La mise cte cte de ces mesures, ( traces
georadar) aprs un traitement adquat , fournit une coupe temps semblable
la section sismique , representant une image 2D du sous-sol que lon appelle radargamme (ou scans).
Le matriel denregistrement est galement quip dun dispositif de contrle permettant de grer les paramtres dacquisition et denregistrement.
XIV -1- 7 Mode dacquisition
-Diffrentes gomtries dacquisition
Fig. 30 diffrentes gomtries dacquisition.
Lacquisition des donnes georadar est faite laide de diffrentes gomtries. Les modes dacquisition plus frquents sont :
1- Profil rflexion dport (offset) constant. 2- Profil rflexion dport variable
3- Mesure en transmission
- Profil rflexion dport constant
Loperateur se dplace le long du profil georadar et effectue les mesures en maintenant la distance (offset) entre lantenne dmission et lantenne de rception constante .Cest le mode dacquisition le plus coutumier.(fig. 30)
- Profil rflexion dport variable
Loperateur enregistre en se dplaant le long du profil georadar uniquement avec une des antennes en gardant lautre antenne fixe ou symtriquement par rapport un point milieu .(fig. 30).
62 Djeddi.Mk-Georadar
- Mesures en transmission Les acquisitions en transmission se ralisent quand les antennes mettrice et
de rceptrice sont places de part et dautre dun milieu inspecter.
XIV -1- 8 Champ dondes enregistres
Les principales ondes enregistres en prospection goradar sont :
1- Onde directe
Elle se propage dans partie trs proche de la surface du sol. Le temps de propagation
sera gal :
=
1
1 vitesse de la couche 1 et loffset (distance) entre lantenne dmission et de rception.
2- Onde arienne
Londe arienne se propage directement (dans lair , proche de la surface) entre
lantenne mettrice et lantenne rceptrice une vitesse de 0.3/ (1 = 109 ) correspondante la vitesse de propagation de la lumire dans le vide .Elle atteint
lantenne rceptrice bien avant toutes les autres O.EM .
3- Ondes rflchies
Lorsque lO.EM incidente atteint une interface sparant deux milieux de diffrentes constantes dilectriques, une partie de son nergie se rflchie .Le temps de son
parcours entre lantenne mettrice - point de rflexion et lantenne rceptrice a pour expression.
= 1
12 + 42
: tant la distance lantenne rceptrice et lantenne mettrice (offset) 1: la vitesse de propagation des . dans le premier milieu (contenant londe incidente et londe rflchie) : Lpaisseur de la couche (profondeur de linterface ou rflecteur).
La grandeur de la rflexion cest--dire la quantit dnergie rflchie est fonction du contraste de la constante dilectrique travers la zone rflchie et est donne par le
coefficient de rflexion
4- Ondes latrales
Londe incidente se rflchie sur linterface sparant les milieux et de vitesse 1 2 . Lorsquelle atteigne la surface de sparation entre le milieu I et lair de vitesse ( = 0.3 /) , elle subit une rfraction critique. Elle tombe sur cette
63 Djeddi.Mk-Georadar
surface de sparation avec un angle et glisse le long de cette discontinuit avec une vitesse (cas ou 1 < ) Londe, appele aussi onde latrale suprieure, tant gnre pour un angle critique, gal :
= 1
Elle satisfait au dport avec = 2.1
212
Lantenne de mesure captera le signal de londe rfracte un temps selon lexpression :
=
+ 2
1
2
1
12
5- Ondes multiples rflchies
Pratiquement, lenregistrement goradar comporte, outre les rflexions primaires, des rflexions multiples. Ces dernieres sont des signaux lectromagntiques qui ont
subi plusieurs rflexions dues des forts contraste dimpdance .Elles peuvent tre gnants et masquer les rflexions simples. Il existe de nombreuses techniques pour les
attenuer
6- Onde Rfracte (latrale inferieure)
Lapparition des ondes lectromagntiques post- critique que lon appelle en prospection sismique ondes coniques prennent naissance lorsque langle incidente atteint un angle limite ou critique .Ce phnomne est observ lorsque londe incidente passe un milieu gologique lent de vitesse 1 un milieu gologique rapide vitesse 2 , soit 2 > 1.Cette onde est appele aussi onde latrale inferieure. Londe lectromagntique rfracte post- critique traverse le premier milieu avec une vitesse 1, puis elle glisse le long du marqueur de vitesse 2et se refracte vers le haut avec une vitesse 1 en mettant le temps :
=
1 + 2
1
22
1
12
64 Djeddi.Mk-Georadar
Fig. 31 champ dondes enregistres en georadar
7-Trace georadar
Lamplitude dune rflexion est proportionnelle au coefficient de rflexion qui exprime
un contraste dimpdance lectromagntique de deux terrains . La trace georadar S(t) est ralise, dans le cas le plus simple, en convoluant la srie
des coefficients de rflexion () (rflectivit du milieu) par le signal mis () par la source georadar .
() = () * () +()
() : est un bruit additif
=
=
21
2+1 =
(11) (22)
(11)