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1 Djeddi.Mk-Georadar GEORADAR ( Ground Penetrating Radar) RADAR GEOLOGIQUE. By : Djeddi . Mabrouk Ce cours dispensé en Master II Géophysique à la FHC n'est pas encore entièrement achevé, il peut également subsister des fautes (erreurs) dans le texte et des références absentes. Si vous utilisez des données de ce travail, vous devez citer la référence en bibliographie de la façon suivante : Djeddi Mabrouk. Georadar (ground Penetrating Radar) .Radar géologique, 74 pp, 38 figures ,01 tableau. Département de Géophysique(FHC), Université M’Hamed Bougara de Boumerdes . Algérie. I - Introduction Le georadar ( radar géologique) est connu encore sous l’ appellation de ground penetrating radar ( GPR ) ou également surface penetrating radar (SPR).Le georadar est un procédé de prospection géophysique de très haute résolution s’appuyant sur la propagation des ondes électromagnétiques (O.E.M ) pour l’exploration des couches superficielles du sous-sol allant jusqu’à plusieurs dizaines de mètres de profondeur .L’ éventail de fréquences d’émission est suffisamment large , les valeurs nominales s’étalent de quelques dizaines de méga Hertz et jusqu’à quelques giga Hertz (gamme des ondes radio) . 1 Les O.E.M se trouvent très influencées dans leur parcourt dans les milieux géologiques dans lesquels elles se propagent. Au cours de leur propagation dans les milieux géologiques de nature et de composition différentes, les caractéristiques des O.E.M se modifient selon les propriétés diélectriques de ces milieux. Fig. 1 Spectre électromagnétique (Hulin, 1971)

GEORADAR ( Ground Penetrating Radar) -Radar Géologique

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GEORADAR ( Ground Penetrating Radar) -Radar Géologique

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  • 1 Djeddi.Mk-Georadar

    GEORADAR

    ( Ground Penetrating Radar) RADAR GEOLOGIQUE.

    By : Djeddi . Mabrouk

    Ce cours dispens en Master II Gophysique la FHC n'est pas encore entirement achev, il peut galement

    subsister des fautes (erreurs) dans le texte et des rfrences absentes.

    Si vous utilisez des donnes de ce travail, vous devez citer la rfrence en bibliographie de la faon suivante : Djeddi Mabrouk. Georadar (ground Penetrating Radar) .Radar gologique, 74 pp, 38 figures ,01 tableau. Dpartement de Gophysique(FHC), Universit MHamed Bougara de Boumerdes . Algrie. I - Introduction

    Le georadar ( radar gologique) est connu encore sous l appellation de ground penetrating radar ( GPR ) ou galement surface penetrating radar (SPR).Le georadar

    est un procd de prospection gophysique de trs haute rsolution sappuyant sur la propagation des ondes lectromagntiques (O.E.M ) pour lexploration des couches superficielles du sous-sol allant jusqu plusieurs dizaines de mtres de profondeur .L ventail de frquences dmission est suffisamment large , les valeurs nominales stalent de quelques dizaines de mga Hertz et jusqu quelques giga Hertz (gamme des ondes radio) . 1 Les O.E.M se trouvent trs influences dans leur parcourt dans les milieux

    gologiques dans lesquels elles se propagent. Au cours de leur propagation dans les

    milieux gologiques de nature et de composition diffrentes, les caractristiques des

    O.E.M se modifient selon les proprits dilectriques de ces milieux.

    Fig. 1 Spectre lectromagntique (Hulin, 1971)

  • 2 Djeddi.Mk-Georadar

    Les O.E.M mises par une antenne georadar se propagent dans le sous-sol dune manire similaire celle des ondes lastiques en sismique rflexion (selon les lois de

    Snell-Descartes).Quand ces O.E.M rencontrent une discontinuit (surface de sparation)

    entre deux milieux de compositions physico-chimiques diffrentes du point de vue

    constantes dilectriques (principalement la permittivit lectrique ) ,une partie de leur nergie se rflchie et la partie restante se transmet la couche de dessous. Les

    ondes rflchies sont enregistres en surface du sol laide dune antenne rceptrice .Les donnes enregistres subissent des traitements spciaux afin de rendre leur

    interprtation approprie en terme de caractrisation des proprits

    lectromagntiques des milieux gologiques traverss.

    En sismique, cest le contraste dimpdance acoustique entre deux milieux

    gologiques ( produit de la densit fois la vitesse) qui gnre le phnomne de

    rflexion des ondes lastiques ; tandis qu en georadar la rflexion des O.E.M est

    produite par le contraste des constantes dilectriques entre les deux milieux

    gologiques .

    Si certaines ressemblances existent entre la sismique rflexion et le goradar, il existe

    tout de mme des diffrences dont les importantes sont :

    La sismique est fonde sur linteraction des ondes sismiques avec les milieux gologiques (fonde sur la thorie dlasticit) alors que le goradar utilise linteraction les O.E.M cest--dire que leur propagation est gouverne par les quations de Maxwell.

  • 3 Djeddi.Mk-Georadar

    II - Propagation des ondes Electromagntiques

    II-1 Rappels sur la notion donde Electromagntique

    Les ondes lectromagntiques sont la combinaison d'un champ lectrique et d'un

    champ magntique .Elles se propagent transversalement dans les milieux matriels et dans le vide.

    Elles sont dfinies par leur longueur d'onde et leur frquence avec ( =1

    ) , avec ,

    la priode.

    Fig. 2: champ lectromagntique

    Une onde est un phnomne (perturbation) capable de transporter de lnergie sans

    transporter de matire, on distingue :

    II-1-1 ondes sismiques

    Ce sont des vibrations mcaniques (lastiques) produites par un sisme naturel

    (tremblement de terre) ou artificiel (prospection sismique) et se propagent uniquement

    dans un milieu matriel.

    II-1-2 ondes de pression

    Cest une onde dans laquelle lagitation du milieu comporte un changement de la pression. Etant donn que la pression est en troite relation avec la densit locale des

    molcules, alors tout changement local de la pression provoque un changement de

    densit. La perturbation se propage grce aux collisions entre les molcules,

    lexemple dune onde de pression le plus connu est londe sonore en acoustique.

    II-1-3 ondes gravitationnelles

    Les systmes astrophysiques qui contiennent des trs grandes masses et trs

    fortement acclres produisent autour deux une lgre perturbation de lespace-temps qui doit en permanence se parfaire .Cette lgre perturbation se propage la

  • 4 Djeddi.Mk-Georadar

    vitesse de la lumire et gnre comme toute perturbation une onde appele onde

    gravitationnelle.

    Les toiles trs massives comme les toiles neutrons et les trous noirs sont les

    exemples les plus connus pour gnrer ce type dondes.

    Remarque Ondes de Kelvin Cest une onde que lon appelle aussi onde de gravit marine .Elle possde une hauteur suffisamment

    leve pour que la force de Coriolis se fasse sentir. La mare est un exemple typique dune onde de

    Kelvin. La houle, les vagues sont des exemples donde de gravit qui se produisent sur linterface eau-air.

    Parfois on utilise la notion donde gravito-inertie pour designer londe de mare et londe de raz- de

    mare produites par un tremblement de terre.

    Une onde gravito-inertie peut tre galement gnre par les fluctuations atmosphriques

    principalement par les dpressions ocaniques (phnomne dexpiration du niveau de la mer). Cest donc

    une onde qui transporte de la matire alors que les ondes gravitationnelles, les ondes sismiques, les

    ondes sonores et les O.E.M transportent de lnergie sans transporter de matire.

    II-1-4 ondes lectromagntiques

    Elles reprsentent la rsultante dun champ lectrique et dun champ magntique dont les amplitudes se modifient de manire sinusodale dans le temps. Cest donc la

    propagation dune modification dun champ lectrique , associe une modification

    dun champ magntique .

    La quantit dnergie renferme dans une O.E.M est fonction de la frquence et de la longueur donde . Avec = . = / ou est la priode.

    Il en rsulte que plus la frquence est leve plus la longueur donde est courte et plus lnergie transporte par lO.E.M est grande.

    Les O.E.M de frquence suprieure 1015 transportent une nergie importante qui peut rompre les liaisons chimiques et ioniser les molcules .Elles sont appeles

    rayonnement ionisants.

    Les O.E.M de frquence inferieure 1015 transportent une nergie qui ne permet pas de provoquer le phnomne dionisation. Elles sont appeles rayonnements non ionisants. Les O.E.M ultra violets se trouvent la limite du phnomne dionisation

    (. 1).

    La propagation des O.E.M est rgie par les quations de Maxwell suivantes :

    =

    et = = +

    : Champ lectrique : densit de flux lectrique

    : Densit de flux magntique : champ magntique

    En appliquant aux quations prcdentes la relation suivante :

    ( )= 0 , . On obtient

  • 5 Djeddi.Mk-Georadar

    ( ) = (

    ) =

    ( ) = 0 donc = 0

    ( ) = +

    = +

    ( ) = 0

    On connait que la divergence dun courant lectrique est gale au taux daccumulation de charges lectriques soit :

    = q

    On a gnralement

    q

    = 0 , ou = 0

  • 6 Djeddi.Mk-Georadar

    III- ondes plane et sphrique

    III-1 Propagation dune onde plane une dimension

    III-1-1 Equation de propagation

    Examinons une agitation (perturbation) qui se propage dans un milieu non dispersif, le

    long dune droite partir de lorigine . . 3

    N O M

    fig.3 Onde plane se propageant dans la direction ox

    Elle se propage de vers cest--dire vers les positifs (de + )

    et de vers cest--dire vers les ngatifs (de + )

    Dsignons la loi de cette agitation :

    - lorigine par = ()

    - Soit , la vitesse de propagation de cette perturbation le long de laxe.

    La perturbation atteint le point au bout dun temps 1

    1 =

    avec = ( 1 ) = (

    )

    Le point est atteint par la perturbation au bout dun temps 2

    =

    Avec = ( + ) = ( +

    )

    Lorsque = = on a :

    = ( 1 ) = (

    ) Avec =

    = ( + ) = ( +

    ) Avec =

  • 7 Djeddi.Mk-Georadar

    Posons = ()

    Avec = + .

    =

    Drivons par rapport au temps

    on a :

    = ;

    =

    On a:

    = () ;

    = ()

    = ()

    =

    ()

    =

    . () .

    =

    . () ; = +

    Do

    Cest une quation diffrentielle appele couramment quation de la corde

    vibrante. Sa solution gnrale est une combinaison linaire de :

    = 1( 1 ) = 1 (

    ) = 1( )

    et

    = 2( + ) = 2 ( +

    ) = 2( + )

    reprsentant la propagation de la perturbation dans les deux sens. Elle est valable

    quelle que soit la loi de changement () de la perturbation, quil sagisse dun

    phnomne priodique ou non.

    III-2 Propagation dune onde plane trois dimensions

    III-2-1 Equation de propagation

    Examinons le cas le plus gnral lorsque londe plane se propage dans un espace trois

    dimensions (, , ) , . 4

    Au point origine , la loi de la perturbation tant dsigne par = ()

    .

    =

  • 8 Djeddi.Mk-Georadar

    Sur un point , de rayon vecteur = = ( ).

    Etant donn que la perturbation possde la mme valeur en tous les points du plan

    donde, on a :

    M

    = P

    = f ( t t1 )

    1 =

    .Le temps met par londe plane pour dbuter de lorigine au point

    Dsignons par le vecteur unitaire avec n = (

    )

    On a

    OP = n . OM = n . r = x + y + z

    Puisque que M = P = f ( t t1 ) = f ( t n .r

    V ) = f ( t

    (x+y+z)

    V ) = f(u)

    On pose u = t (x+y+z)

    V

    La drivation par rapport au temps et aux coordonnes (x, y, z) donne :

    t = f (u) ;

    2

    t2 = f (u)

    x = f (u)

    u

    x =

    V f (u)

    2

    x2 =

    2

    V2 f (u)

    y = f (u)

    u

    y =

    V f (u)

    2

    y2 =

    2

    V2 f (u)

    z = f (u)

    u

    z =

    V f (u)

    2

    z2 =

    2

    V2 f (u)

    Le laplacien de = f(x, y, z) est :

  • 9 Djeddi.Mk-Georadar

    = 2 = 2+2+ 2

    V2 f (u) =

    1

    V2 f (u) =

    1

    V2 2

    t2

    +

    +

    =

    Fig.4 : onde plane de direction quelconque

    Elle reprsente lquation donde plane qui se propage dans un milieu isotrope non

    dispersif et avec la mme vitesse .

    III-3 Equation de propagation dune onde sphrique III-3-1 Equation de propagation

    Si on considre une source petites dimensions et un milieu isotrope et non dispersif, la

    perturbation se trouve identique sur une sphre, qui constitue la surface donde. La

    perturbation diminue dintensit mesure que le rayon ( ) augmente.

    La loi de la perturbation en () ne dpend que du temps ( ) et de la distance ( ) la

    source, soit.

    = (, )

    Cherchons sil y a des fonctions (, ) qui soient solution de lquation des ondes vue

    prcdemment.

    +

    +

    =

    Comme r2 = x2 + y2 + z2

    On a suivant laxe

    r

    x =

    x

    r

  • 10 Djeddi.Mk-Georadar

    On a

    x=

    r .

    r

    x =

    x

    r .

    r

    Et

    2

    x2=

    x [

    x

    r .

    r ] =

    1

    r

    r + x.

    x[1

    r

    r ] =

    1

    r

    r+

    x2

    r

    r[

    1

    r.

    r ]

    Dou

    2

    x2=

    x2

    r2 2

    r2+

    1

    r [1

    x2

    r2 ]

    r

    On a suivant laxe y

    r

    y =

    y

    r

    On a

    y=

    r .

    r

    y =

    y

    r .

    r

    Et

    2

    y2=

    y [

    y

    r .

    r ] =

    1

    r

    r + y.

    y[1

    r

    r ] =

    1

    r

    r+

    y2

    r

    r[

    1

    r.

    r]

    Do

    2

    y2=

    y2

    r2 2

    r2+

    1

    r [1

    y2

    r2 ]

    r

    On a suivant laxe z.

    r

    z =

    z

    r

    On a

    z=

    r .

    r

    z =

    z

    r .

    r

    Et

    2

    z2=

    z [

    z

    r .

    r ] =

    1

    r

    r + z.

    z[1

    r

    r ] =

    1

    r

    r+

    z2

    r

    r[

    1

    r.

    r]

  • 11 Djeddi.Mk-Georadar

    Dou

    2

    z2=

    z2

    r2 2

    r2+

    1

    r [1

    z2

    r2 ]

    r

    La somme de ces trois quations et en tenant compte que

    Comme 2 = 2 + 2 + 2

    On obtient :

    2

    2+

    2

    2 +

    2

    2 =

    2

    2 +

    2

    .

    =

    1

    [ .

    2

    2 + 2 .

    ]

    Soit

    2

    2+

    2

    2 +

    2

    2 = 2 = =

    1

    2

    2 (. )

    Finalement lquation des ondes sphriques aura pour expression :

    1

    2

    2 (. )

    1

    2 2

    2 = 0

    2

    2 (. )

    1

    2 2

    2 (. ) = 0

    La solution gnrale de cette quation est :

    . = 1(

    ) =

    1

    1 (

    )

    Et

    . = 2( +

    ) =

    1

    2 ( +

    )

  • 12 Djeddi.Mk-Georadar

    IV- Propagation des ondes lectromagntiques

    IV-1 Onde lectromagntique plane

    Prenons le cas le plus simple lorsquune O.E.M se dplaant suivant une seule direction, par exemple . . 5 Selon la figure, la normale est dirige suivant laxe .Le champ la mme valeur en tout point du plan donde ()

    Les champs et ne dpendent que de et de on peut crire :

    = (, ) et = (, )

    Il en rsulte que toutes les drives des champs par rapport et sont nulles

    =

    =

    =

    = 0

    Alors les quations suivantes :

    2 2

    2 = 0 et 2

    2

    2 = 0

    Se simplifient comme suit :

    2

    2

    1

    2 2

    2 = 0

    2

    2

    1

    2

    2

    2 = 0 Avec =

    1

    Leurs solutions gnrales sont de la forme :

    = 1 (

    ) + 2 ( +

    )

    et

    = 1 (

    ) + 2 ( +

    )

    et sont deux fonctions vectorielles de la variable (

    )

    En prenant en considration que :

    =

    =

    =

    = 0

  • 13 Djeddi.Mk-Georadar

    Les quations de Maxwell deviennent :

    = 0

    =

    =

    =

    = 0

    = 0

    = 0

    = 0

    = 0

    =

    =

    =

    Ce qui donne

    =

    = 0 = Dans lespace et dans le temps

    De mme pour

    =

    = 0

    et sont perpendiculaires la direction de propagation de propagation et donc londe E.M est transversale.

    Fig. 5 : onde plane se propageant suivant .

  • 14 Djeddi.Mk-Georadar

    IV-2 Relation entre et

    La relation reliant les valeurs instantanes de E (t) et () est : E(t)

    B (t)= C =

    1

    o o

    Les normes des champs lectrique E et magntique sont relies entre elles par lexpression :

    = /

    Et les vecteurs , et forment un tridre direct . 6 Ou est la vitesse de propagation dans vide.

    .

    Fig.6 : les vecteurs , et forment un tridre direct .

  • 15 Djeddi.Mk-Georadar

    V- Polarisation dune onde lectromagntique La polarisation dune O.E.M permet de suivre la variation du champ lectrique (ou magntique) dans le plan normal sa direction de propagation. Ce qui signifie quelle dcrit le lieu gomtrique quoccupe lextrmit du vecteur champ lectrique (ou magntique) au cours du temps dans le plan donde.

    Le phnomne de polarisation des O.E.M est une proprit trs importante qui peut

    apporter de prcieuses informations notamment sur la nature du matriau.

    Une O.E.M se compose de deux champs, un champ lectrique et dun champ

    Magntique . Dans ce qui suit on se limite faire la description de la polarisation

    par le champ lectrique (, ) en prenant le cas le plus simple ou la propagation de celui-ci se fait suivant laxe .

    On a la composante = 0

    (, ) = cos( )

    (, ) = cos( + )

    O = 2

    =

    : Le vecteur donde, il est perpendiculaire au plan donde et

    indique la direction de propagation. Son module est = 2

    : La pulsation

    = 2

    : La priode

    =

    2 : La frquence

    La relation de dispersion est :

    = . (Dans le vide)

    = . =

    (Dans un milieu dilectrique)

    = . ( Dans un milieu anisotrope)

    : Le dphasage entre (, ) et (, )

    Fig.7 onde plane polarise rectilignement

  • 16 Djeddi.Mk-Georadar

    V-1- Polarisation rectiligne

    Le plan de polarisation, appel aussi plan de vibration est dfini par cette direction de

    vibration et par la normale londe.. 7

    Lorsque les vecteurs conservent une direction constante, on dit que londe lectromagntique est polarise rectilignement.

    Quand = 0 , on a (,)

    (,)=

    = constante

    Ainsi dans un plan X =conste lextrmit du vecteur decrit les figures suivantes.

    () () Fig. 8. Polarisation rectiligne dune onde plane () Rectiligne gauche, () Rectiligne droite

    V-2- Polarisation circulaire

    Cest un cas ou lextrmit du vecteur du champ lectrique tourne autour de son axe

    en formant un cercle (cas particulier de la polarisation elliptique).

    Quand =

    2 ou =

    3

    2 et = on obtient

    { (, ) } + { (, ) } = ; = . Cest une quation dun cercle

  • 17 Djeddi.Mk-Georadar

    Fig. 9 polarisation circulaire V-3 - polarisation elliptique

    En polarisation elliptique lextrmit du vecteur du champ lectrique tourne atour de

    son axe et change damplitude pour former une ellipse . 10

    Fig 10. diffrents types de polarisation elliptiques

    Quand . on montre que

    { (,)

    }

    + { Ez(x,t)

    Eoz }

    {

    (,)

    } . {

    Ez(x,t)

    Eoz } . cos = sin2

    Cest lquation dune ellipse daxes inclins non confondus avec oy et oz

    Quand =

    2 ou =

    3

    2 lquation prcdente devient :

    { Ey(x,t)

    Eoy }

    + { Ez(x,t)

    Eoz }

    = 1

  • 18 Djeddi.Mk-Georadar

    Cest lquation dune ellipse daxes confondus avec et de longueurs 2 = 2

    Remarque Si la direction de se modifie dune faon dsordonne, on dit que londe nest pas polarise.

  • 19 Djeddi.Mk-Georadar

    VI - Paramtres lectromagntiques

    La propagation des 0.E.M dans les roches et les sdiments dpend principalement

    des proprits dilectriques et de la frquence de la source dmission de ces ondes. Lamplitude et la vitesse des 0.E.M sont fonction de la permittivit, de la conductivit

    et de la permabilit magntique des milieux gologiques traverss. De ce fait, les

    0.E.M seront rflchies par des structures (discontinuits) montrant un puissant

    contraste de permittivit (paramtre le plus influant parmi les deux autres).

    Les 3 principaux paramtres lectromagntiques qui interviennent dans lquation de Maxwell sont :

    - La permittivit dilectrique (appele aussi constante dilectrique) - La conductivit lectrique - La permabilit magntique

    VI-1 - permittivit dilectrique

    IL existe deux types de matriaux.

    - Matriaux lectriques

    Ils se caractrisent par des charges lectriques mobiles et libres. Le dplacement

    macroscopique de ces charges libres est lorigine des densits volumiques de charges libres et du courant de conduction qui se trouvent dans les quations de

    Maxwell.

    - Matriaux dilectriques

    Ce sont des matriaux isolants composs de matire dont les charges lectriques

    sont immobiles et non libres. Ils se caractrisent par une rsistivit trs grande.

    VI-1-1 Caractristiques dilectriques des isolants

    - Rappel sur les condensateurs

    Un condensateur appel encore capacit est caractris par deux armatures

    (lectrodes) spares par une substance dilectrique. Il a pour but de stocker entre

    ses armatures des charges lectriques et de les rendre ultrieurement.

    Un condensateur se caractrise par sa capacit () qui reprsente une mesure de la quantit de charges lectriques qui peut tre stocke.

    La quantit de charge lectrique est proportionnelle la tension applique aux bornes

    des armatures du condensateur.

    = .

  • 20 Djeddi.Mk-Georadar

    : La charge stocke en Coulomb : La tension aux bornes des armatures en volt. : La capacit lectrique du condensateur en farad.

    Un condensateur peut tre aussi formul en fonction de la nature du matriau

    dilectrique entre les armatures et ses caractristiques gomtriques.

    Considrons un condensateur plan vide de surface S (2), de distance () entre les armatures et plong dans lair. . 11

    Sa capacit est dfinie par :

    = .

    Quand ce condensateur est occup par un isolant, sa capacit devient :

    = . = . .

    = .

    fig.11 condensateur

    VI-1-2 Diffrentes notions de permittivit

    - Permittivit relative

    Le rapport

    =

    = sappelle permittivit relative du matriau dilectrique

    - Permittivit absolue du matriau dilectrique

    Elle est par dfinition :

    = .

    0 Permittivit absolue du vide Le produit . est not frquemment , est appel permittivit absolue du dilectrique.

    = 1 pour lair, les gaz et le vide. Do 0 = = 8,854187817 . 1012

    dans le

    systme dunit S.I

  • 21 Djeddi.Mk-Georadar

    Avec 0 =1

    02

    0 : La constante magntique

    REMARQUE La permittivit 0 est egalement rencontre en lectrostatique dans le vide notamment dans la loi de Coulomb .Celle -ci indique que deux charges lectriques ponctuelles 1 2 distants de 12 exercent

    lune sur lautre des forces lectrostatiques 1 et 2 :

    2 = 1

    40 .

    1 .2 . 12

    122. 12

    .

    VI-1-3 Facteurs affectants la permittivit

    - Milieu satur de porosit

    La permittivit dpend fortement de la teneur en eau selon la formule :

    = (1 ) . + . (Formule semblable celle de Wyllie)

    Ou et sont respectivement les permittivits de la matrice et du fluide prsent.

    - Formule de Topp (1980)

    = 3.03 + 9.3 + 146 2 76.72

    (Formule exprimentale reposant sur des mesures faites en laboratoire).

    - Milieu non satur

    = (1 ). + . . + . (1 - ) .

    o = 8.85. 1012

    F

    m Permittivit du vide , celle de leau est : eau 81. o

    : Degr de saturation.

    La permittivit est une proprit caractristique de tout milieu gologique

    rencontr. La permittivit dilectrique est lie aux courants de dplacement induits par

    les phnomnes de polarisation car, les courants de conduction sont ngligeables

    devant les courants de dplacement .La manifestation du phnomne de polarisation

    dcoule du dplacement relatif des charges fixes de la matire sous laction dun

    champ lectrique extrieur .

    La densit du courant de dplacement (/) se dfinit par la relation suivante.

  • 22 Djeddi.Mk-Georadar

    = .

    = i. . . 2 = 1 : le temps et = 2. f la pulsation

    : Permittivit du milieu

    : Champ lectrique

    La densit totale du courant lectrique induite est la somme du courant de conduction et du courant de dplacement. On a:

    = + = . +

    = . + .

    En passant au domaine de Fourier,

    A tout signal () , sa transforme de Fourier est :

    () = ().

    Transforme de Fourier directe et

    () = (). +

    Transforme de Fourier inverse 1

    La drivation par rapport au temps a pour drive () et sa donne

    [()] = . . () = . 2 . ()

    On obtient dans le domaine frquentiel

    [. + .

    ] = ( + . . ).

    Car, [. ()] = . () et [.

    ] = . [ ()] = . . . ()

    Do

    = ( + . . ).

    La permittivit et la conductivit sont des variables complexes qui dpendent de la

    frquence, il sen suit que :

    = + et = et leur substitution dans lexpression prcdente

    donne.

    = + et =

    +

    sont la conductivit et la permittivit effective.

    = +

    . = i . est la permittivit complexe totale avec :

    = ( + i . . ) . = i. . . .

    Thoriquement, la permittivit du milieu gologique est un paramtre complexe, elle

    sexprime par la relation qui suit :

  • 23 Djeddi.Mk-Georadar

    = ( +

    ) . ( +

    )

    O et sont les parties relle et imaginaire de la permittivit. ' et les parties relle et imaginaire de la conductivit. : La pulsation de l'onde mise. De cette formule, deux possibilits se prsentent en utilisant les trs hautes

    frquences (cas du georadar).

    I - Premier cas

    - la partie imaginaire ( ) de la conductivit est trs faible.

    - la partie imaginaire (") de la permittivit est une quantit qui exprime la perte dnergie des ondes E.M le long du trajet parcourir, elle est aussi trs faible.

    - la composante relle de la permittivit est la seule qui agit considrablement sur le phnomne de propagation des O.E.M (dominance de la polarisation).Cest elle qui gouverne la vitesse de propagation des O.E.M dans un milieu

    gologique de vitesse .

    II - Deuxime cas

    - Lorsque le milieu gologique est assez conducteur, le georadar nest plus

    recommand car la partie relle () de la conduction est particulirement plus

    dominante que la permittivit. Les O.E.M se trouvent vites affaiblies dans le

    milieu gologique et donc plus faible sera la profondeur de leur pntration en

    sub- surface.

    : Peut tre calcule laide de la relation de Cole et Cole (1941):

    () = +

    (+..)

    :Valeur de la permittivit pour une frquence infiniment grande : Valeur de la permittivit statique (pour une frquence nulle) : Temps de relaxation ou inverse de la frquence de rsonance dipolaire. Il reprsente le temps durant lequel les diples poursuivent leurs vibrations aprs

    l'arrt brusque du champ lectrique appliqu au milieu .Cest une grandeur significative, car cest elle qui fournit lapport du courant de dplacement la partie imaginaire de la permittivit

    : Paramtre de correction exprimentale (compris entre 0 et1) : Conductivit lectrique du milieu basses frquences (en S/m).

  • 24 Djeddi.Mk-Georadar

    VI-2- conductivit lectrique

    La conductivit lectrique dcrit la facilit dun matriau transmettre un courant lectrique, autrement dit permettre le dplacement des charges lectriques sous

    leffet dun champ lectrique [/]. Dans les sdiments et les roches, la conductivit lectrique crot en prsence du contenu en eau, la salinit etc.

    Sous laction dun champ lectrique , le dplacement des charges lectriques libres sur des distances macroscopiques dun conducteur est dfini par la conductivit [/] (inverse la rsistivit ).

    Ce dplacement des charges libres se dfinit par la densit de courant lectrique selon la loi dOhm.

    = .

    Lnergie transporte par londe se dissipe lors des collisions avec les charges lectriques fixes. Lnergie lectromagntique est ainsi transforme en agitation thermique (effet de Joule).

    La conductivit lectrique peut tre considre comme un paramtre complexe ayant

    pour expression :

    = +

    La partie imaginaire de la conductivit peut fournir des renseignements sur les collisions entre les particules de la matrice ou fournir des renseignements sur la

    viscosit du milieu (cas dune conductivit lectrolytique). On considre que les conductivits sont indpendantes de la frquence dans le cadre

    du georadar, par consquent elles seront considres comme relles.

    VI-3 Permabilit magntique

    La permabilit magntique correspond lnergie stocke ou perdu dans les matriaux suite aux phnomnes dinduction magntique. Dans le vide et en absence dun moment magntique rmanent, linduction magntique dans le vide est dfinie par lexpression :

    =

    : tant le champ magntique appliqu.

    : tant la permabilit magntique du vide ( = 4 . 107 / )

    En prsence dun matriau linaire et isotrope, la permabilit absolue et formule par la relation suivante :

    = qui devient = ( + )

    tant laimantation La relation entre le champ magntique et laimantation est :

  • 25 Djeddi.Mk-Georadar

    = . ce qui donne = ( + ) = ( + . ) = ( 1 + )

    : etant la susceptibilit magntique

    = ( 1 + )

    Comme est gnralement trs petite pour la majorit les milieux gologiques, on considre = La permabilit magntique est un paramtre rel et ne dpend pas de la frquence.

    Pour la majorit des roches et des sdiments on a = 0 (permabilit du vide) et linfluence de celle-ci sur la propagation et la rflexion des ondes lectromagntiques en prospection goradar est gnralement insignifiante devant les paramtres sus

    mentionns. Seuls les matriaux contenant une quantit leve en oxyde de fer

    possdent une valeur leve de permabilit magntique.

  • 26 Djeddi.Mk-Georadar

    VII- Polarisation des matriaux dilectriques

    Un matriau ou une substance dilectrique plonge dans un champ lectrique

    acquiert une polarisation macroscopique appele aussi moment dipolaire lectrique par unit de volume.

    Quand un milieu dilectrique est soumis un champ lectrique , ses charges lectriques lies essayent de modifier de position dquilibre. Cette manifestation dure un temps infiniment petit (temps de relaxation), et le phnomne est appel

    polarisation ou moment dipolaire par unit de volume. Cette polarisation provoque

    par le champ lectrique disparat ds que celui-ci cesse dagir lexception des dilectriques ferrolectriques.

    Ainsi, pour les milieux linaires et isotropes la polarisation est dfinie par :

    = 0. . Comme le dplacement lectrique est :

    = . = 0 . . = 0. + = 0. + 0. . = 0 ( + ) .

    + = : la permittivit relative.

    : la susceptibilit lectrique relative. Quand elle est indpendante du champ

    lectrique , on dit quil sagit dun matriau dilectrique linaire. est sans dimension.

    Dans les tudes goradar la permittivit est une grandeur complexe

    = " : Permittivit lectrique totale.

    La partie imaginaire explique les pertes et dpend de la frquence.

    = () () = 2 : la frquence

    () est relie lenergie emmagasine dans le materiau.

    () est relie la dissipation dnergie.

    () () sont relies entre elles par les relations de Kramers-Kronig.

    () = +2

    ."()

    22

    0

    () = 2

    ()

    22

    0

    : variable relle dintgration.

  • 27 Djeddi.Mk-Georadar

    : permitivit frquence infinie.

    =

    ( 0. ) = +

    : Densit de charges libres. : Densit de charges de polarisation.

    ( ) =

    ( 0. + ) = ( . ) =

    = . = 0. +

    =

    .

    VII-1 Mcanisme de la polarisation

    Introduction

    Il est retenir que la constante dilectrique traduit la rponse dun matriau donn soumis un champ lectrique.

    Comme les matriaux dilectriques ont les charges lies (initialement neutres), laction du champ lectrique sur eux provoquerait un lger dplacement momentanment de

    ces charges .Ce champ provoquerait lapparition de moments dipolaires induits dans tout le volume et on dit que le matriau se polarise.

    Le phnomne de polarisation est donc un phnomne identifiable lchelle macroscopique dans les matriaux. Il est produit lorsque le barycentre des charges

    ngatives et celui des charges positives, au dbut confondus, se sparent et forment un

    diple lectrique.

    VII-1-1 Notion de moment dipolaire

    Un diple lectrique est form de deux charges lectriques gales et de signes

    opposs.

    Pour mieux comprendre la notion de diple lectrique, considrons deux charges

    lectriques de mme valeurs mais opposes, ponctuelles et spares par une distance

    . . 12

    fig.12 : Modle dun diple

    Le diple lectrique est dfini par son moment dipolaire avec = .

  • 28 Djeddi.Mk-Georadar

    Lorsque = 0 cela signifie que le moment dipolaire est nul.

    Ainsi, quand un matriau dilectrique est soumis un champ lectrique externe , il

    se produit dans celui-ci dun autre champ lectrique provoqu par le phnomne

    de polarisation. Le champ modifie le champ appliqu et le champ total est :

    = +

    Pour viter toute confusion avec les expressions prcdentes on a :

    ( = )

    VII-1-2 Diffrents types de polarisation dilectrique.

    Les plus importants mcanismes contribuant l'apparition de la polarisation sont classs en 4 grands types.

    - La polarisation lectronique.

    Lorsque le champ lectrique externe agit sur un matriau isolant compos de molcules sans moment dipolaire permanent, le nuage lectronique se modifie et se

    dcale lgrement par rapport au noyau crant ainsi un diple induit. Le phnomne

    de polarisation lectronique ne dpend que de la nature de la molcule du matriau

    et sobserve autour des frquences 1015 environ. Fig.

    Lexemple le plus significatif est latome dhydrogne .Celui-ci renferme un lectron () en mouvement orbital circulaire autour dun noyau atomique constitu dun proton. Sa polarisation se produit en un laps de temps trs court denviron 1015

    secondes. Si l est le dplacement de lorbite de latome dhydrogne, la polarisation

    aura pour expression = . La polarisation lectronique se produit dans les atomes et les ions et change

    fortement avec la temprature. Elle est appele souvent polarisation optique a cause

    de sa sensibilit pour des frquences avoisinants celles de la lumire visible (1015Hz)

    Fig .13 Exemple de la polarisation lectronique de latome dhydrogne

  • 29 Djeddi.Mk-Georadar

    - Polarisation ionique

    Initialement neutre, un matriau (ex. Na Cl) soumis un champ magntique , ses charges (+) et () rgulirement distribues scartent lgrement de leur position dquilibre dans la direction du champ lectrique pour former un moment dipolaire. Ce type de polarisation induite dpendra seulement de la structure du cristal et

    dforme les mailles (dformation du rseau cristallin).La polarisation induite est

    assure en un temps de lordre de 1012 1013. Son mcanisme seffectue plus lentement quen polarisation lectronique dans les frquences situes entre les hyperfrquences et linfrarouge . On assimile souvent la polarisation ionique et lectronique sous le nom de

    polarisation de dformation. Dans les deux cas, il y a un mouvement de charges (pas

    de rotation) dans la direction du champ lectrique appliqu.

    Fig.14 .Exemple de polarisation ionique.

    - Polarisation atomique

    Lorsque une molcule de certains isolant est soumise un champ lectrique, les

    atomes de celle ci se dplacent les uns par rapport aux autres .Il se forme un moment dipolaire atomique qui donne naissance une polarisation dite atomique .Celle-ci est

    observable dans la gamme des frquences comprise entre 1012 1013 z

    Fig.15 .Exemple de polarisation atomique.

    - Polarisation interfaciale (macroscopique)

    Elle porte souvent le nom de polarisation de Maxwell-Wagner-Sillars. Son apparition

    est provoque par le dplacement et laccumulation des charges lectriques sur les interfaces entre les diffrentes phases des matriaux htrognes dfinis par des

    permittivits et des conductivits lectriques diffrentes. Dpendant fortement de la

    temprature, elle apparait dans les matriaux des frquences comprises entre 101 et 102 . Cest la polarisation la plus lente de tous les autres types de polarisation.

  • 30 Djeddi.Mk-Georadar

    Absence de champ lectrique En prsence de champ lectrique

    Fig.16 .Exemple de polarisation interfaciale.

    - Polarisation dorientation

    Appele galement polarisation dipolaire ou de Debye , elle concerne les

    molcules qui ont un moment dipolaire permanent (. 2 , ).Lorsquelles sont soumises un champ lectrique, l axe des diples tente de se ranger sur le champ lectrique inducteur . Lagissement du champ lectrique provoque non seulement le phnomne dorientation mais, il peut faire modifier le moment de la molcule, cest--dire dformer non seulement celle ci mais galement de ses orbitales.

    Ce type de polarisation dpend fort de la temprature et correspond des frquences

    entre 102 108 Hz. Elle ne prend naissance que dans les gaz, les liquides et les matires amorphes visqueuses. Dans les matriaux solides, les diples sont figs et ne

    peuvent tre orients. Cest La Polarisation lectrique dipolaire est prpondrante pour les applications GPR.

    Fig. 17. Exemple dune polarisation dorientation

    VII-1-3 Rponse dilectrique des diffrentes polarisations

    Les figures a et b montrent la signature des diffrents types de polarisations en

    fonction de la frquence

  • 31 Djeddi.Mk-Georadar

    Il montre lordre dapparition des diffrentes polarisations sus mentionnes en fonction de la frquence dune part et leur influence sur les parties reelles et imaginaire de la permittivit dautre part.

    Fig 18. Evolution de la permittivit dilectrique sur lensemble du spectre lectromagntique (Guguen and Paleiauskas.1994)

    Radiofrquences

    : Pertes dilectriques ( georadar) : tant la susceptibilit lectrique

    VII-1-4 Diffrence entre conduction et polarisation

    En conduction, les charges lectriques sont totalement libres .Elles se dplacent sur

    des distances macroscopiques et quittent les particules.

    - la polarisation lectrique apparait gnralement dans les matriaux dilectriques ou

    les charges lectriques sont lies. Sous laction dun champ lectrique, ces charges

    sont mises en mouvement certes mais sur de trs petites distances. Elles ne quittent

    jamais la molcule.

    -Il est possible dobserver un petit courant de conduction lorsque le dilectrique

    renferme des impurets dlments conducteurs. Ce sont les petites quantits de

    charges libres de ces impurets qui se dplacent grande distance dans le

    dilectrique et qui provoquent ce petit courant.

  • 32 Djeddi.Mk-Georadar

    -Dans les matriaux conducteurs, laction du champ lectrique fait dplacer les charges

    grandes distances et elles ne reviennent jamais leur position initiale lorsque le

    champ lectrique inducteur est retir.

    -Dans les matriaux dilectriques, laction du champ externe fait vibrer les charges

    autour de leurs positions initiales, cest en quelque sorte un phnomne lastique. Ds

    que ce champ lectrique cesse dagir, les charges lectriques reprennent leurs

    positions initiales.

    -La polarisation apparait que durant lapplication ou de la suppression de la tension

    lectrique. Elle nexiste alors que lorsquil y a une tension lectrique alternative. Quant

    la conduction, elle dure tant que la tension lectrique continue est maintenue

    applique.

  • 33 Djeddi.Mk-Georadar

    VIII- Equations de Maxwell

    En prospection gophysique par georadar , les O.E.M interagissent avec le milieu

    gologique en engendrant des phnomnes de conduction et de polarisation qui

    rsultent de la permittivit complexe effective . Celle-ci est troitement lie

    laptitude dun matriau stocker et dgager lnergie lectromagntique. Elle

    constitue la principale proprit possdant une influence la plus marque sur la

    propagation et la rflexion des O.E.M.

    La constante dilectrique dpend de plusieurs paramtres et plus particulirement de

    la porosit et /ou du degr de saturation.

    Les formules thoriques et /ou empiriques les connues et les plus utilises sont

    notamment les quations de Maxwell.

    Les quations de Maxwell dfinissent deux champs lectrique et magntique

    coupls qui se modifient dans le temps. Ils sont insparables et tout changement de

    lun des champs conduit un changement de lautre et vis versa .Cest grce leur succession rpte quils se propagent dans lespace.

    Pour dun milieu linaire, homogne et isotrope, on a :

    = 0 (Dans le vide)

    = 0 (Dans le vide)

    =

    =

    = .

    = 0( i. )

    Ainsi en prenant la divergence de = on obtient :

    = . de ce fait = 0

    = . . de ce fait = 0

    Les quations de Maxwell peuvent scrire donc.

    = .

  • 34 Djeddi.Mk-Georadar

    = . + .

    Lapplication du rotationnel chaque membre de lquation donne :

    = .

    donne ( ) = ( )

    ( ) = .

    ( ) = .

    ( . + .

    )

    Do

    = . .

    + . .

    2

    2 . .

    + . .

    2

    2 = 0

    Lapplication du rotationnel chaque membre de lquation

    = . + .

    Le rotationnel de cette quation donne .

    ( ) = ( ) = ( ) + .

    ( ) = . (

    ) +

    .

    (

    )

    Do

    = . .

    + . .

    2

    2 . .

    + . .

    2

    2 = 0

  • 35 Djeddi.Mk-Georadar

    Les quations renferment chacune deux termes

    o Un terme de diffusion

    (

    ,

    )

    .

    La transmission dnergie saccomplit principalement suivant le mode de diffusion par courant de conduction. Ce mode nous permet de

    travailler sur un milieu conducteur et quon se met basses frquences.

    o Un terme de propagation (acclration)

    (

    ,

    )

    :

    La propagation dnergie se ralise fondamentalement suivant le mode de propagation par courant de dplacement. Cest ce mode qui est utilis en prospection par georadar pour accder aux constantes

    dilectriques des milieux gologiques .Cest le mode qui nous permet de travailler sur les milieux rsistants et des mesures en utilisant les

    hautes frquences.

    Fig.19. Action dun champ lectrique sur les charges fixes.(source : Bernard Giroux )

  • 36 Djeddi.Mk-Georadar

    De la figure il ressort que lorsque la densit de flux D varie, alors les charges du

    dilectrique se mettent en mouvement et donnent naissance un courant de

    dplacement dominant et

    .

    Lorsque les variations temporelles sont du type sinusodal, les champs lectrique et

    magntique seront de la forme suivante.

    () = 0 et () = 0

    En drivant par rapport au temps, on obtient :

    = . . et

    = . .

    Et en les substituant dans les expressions on obtient respectivement :

    = . . . . 2 . . . = ( . . . 2. . )

    = . . . . 2 . . . = ( . . . 2 . . ).

    Lorsquon nglige les pertes dilectriques , lexpression = se rduit = . 0 .

    De mme en ngligeant les effets magntiques, on aura = 0,

    Les deux quations de propagation sont :

    = ( . . 0 . 2 . 0 .

    . 0 )

    = ( . . 0 . 2 . 0 .

    . 0 )

    Ces deux quations comprennent chacune deux termes :

    - Un terme de courant de conduction = . 0.

    - Un terme de courant de dplacement = 2 . 0.

    . 0

    < soit . 0. (Cas dutilisation en georadar)

    Premier cas

  • 37 Djeddi.Mk-Georadar

    Les courants de dplacement sont plus importants que les courants de conduction

    .Cest le cas lorsquon ausculte le sous-sol avec des trs hautes frquences. Comme nous lavons mentionn plus haut, la matire constituant le milieu gologique na pas suffisamment de temps de ragir lexcitation et la propagation de londe est perceptible. Dans ce cas, linteraction des O.E.M avec le milieu est plutt sensible lapprhension de la permittivit du milieu. . 20

    Deuxime cas

    > . 0.

    Les courants de dplacement sont ngligeables devant les courants de conduction,

    cest -- dire on est en basses frquences et aussi en mode de diffusion.

    Troisime cas

    = soit . 0. = 2 . 0. 0.

    =

    0. = 2. . =

    2.0. ; est appele frquence de transition.

    Pour travailler ventuellement en mode propagation par georadar et chapper au

    mode diffusion en cas de prsence des terrains conducteurs, il faut se mettre des

    frquences convenablement hautes pour que le phnomne de propagation soit plus

    important. Cela est possible en dterminant une frquence dinvestigation suprieure la frquence de transition diffusion-propagation calcule lorsque le courant de conduction et le courant dplacement sont gaux. 20

    Fig. 20.domaine des courants de dplacement et de conduction

  • 38 Djeddi.Mk-Georadar

    Profondeur de pntration

    En gnral, la profondeur de pntration dpend de la frquence employe et des

    proprits des matriaux traverss par lO.E.M .Elle varie de quelques centimtres plusieurs milliers de mtres. Gnralement, lamplitude de lO.E.M dcroit exponentiellement avec la profondeur de pntration.

    .

    - Mode diffusion

    Le mode diffusif se caractrise par des pertes plus importantes et ou les courants de

    conduction sont plus dominants .La profondeur de pntration sexprime par :

    =

    ..

    - En mode propagation

    Ce mode se caractrise par de faibles pertes et ou les courants de dplacement

    dominent, la profondeur de pntration sexprime par la relation suivante :

    =

    La profondeur dinvestigation du georadar dpend :

    - De la frquence ( = . =

    )

    - De la nature des roches et des sdiments traverss par le signal georadar mis.

    Rsolution verticale

    Au vue des frquences utilises en georadar, celui-ci dispose la plus haute rsolution

    verticale et horizontale pour limagerie du sous sol mieux que nimporte quelle autre mthode de reconnaissance gophysique. La rsolution verticale est troitement lie

    la frquence mise par lantenne .Plus celle-ci est haute, meilleure sera la rsolution et inversement.(Fig 21 et 22)

    Dans la majorit des cas, il est admis que la meilleure rsolution verticale que lon

    puisse atteindre est de lordre de

    ou

    de la longueur donde du signal

    lectromagntique emis par lantenne georadar, selon le niveau des bruits contenus dans le signal utile.

  • 39 Djeddi.Mk-Georadar

    Fig. 21 : Pouvoir de rsolution vertical.

    Commentaire

    Le radargamme (source Maxime Bano) montre la mme section georadar prise avec 225 MHz et 450

    MHz.Il ressort clairement selon les 3 flches en noir la nettet de la discontinuit (base de la dune) dans

    le second cas.

    = . =

    Longueur donde du signal mis par le georadar

    Pour le cas

    on a la rsolution :

    =

    =

    . =

    . . .

    La rsolution verticale dcroit avec la diminution de la frquence.

    Pour le cas

    on a la rsolution :

    =

    =

    . =

    . . .

  • 40 Djeddi.Mk-Georadar

    Fig 22 Radargramme montrant la profondeur (), la resolution verticale(RV) en fonction de la frquence

    dmission(FE) (daprs Jol,1995)

    Sections deport constant de gauche droite

    Vitesse et attnuation

    La vitesse de propagation de l.O.E.M dpend des proprits lectromagntiques

    (, , ) du matriau que cette onde traverse et de la frquence dmission utilise

    par le georadar. Lorsque le matriau est amagntique et faiblement conducteur, la

    vitesse de propagation peut tre considre dpendante uniquement de la permittivit

    du milieu travers par lO.E.M .Soit :

    = 0

    En outre, dans le sol, le parcours aller-retour jusqu une certaine profondeur ()

    entraine une certaine perte par absorption de londe lectromagntique.

    Les quations de Maxwell suivantes

    = (. . . 2.. ) et = (. . . 2. . )

    Peuvent tre rcrites sous la forme complexe comme suit :

    2 = 2 . 2 = 2 . . . . .

    Ou est le nombre donde.

    FE = 100 MHz PI = 19m RV = 0.21m

    FE = 50 PI = 24m RV = 0.37m

    FE = 25 MHz PI = 28m RV = 0.76m

  • 41 Djeddi.Mk-Georadar

    Le terme dcrit la vitesse et lattnuation de londe lectromagntique, grandeur complexe qui a pour expression :

    = .

    : La phase

    : Lattnuation

    2 = ( . )2 = 2 2 2. . . = 2 . . . . .

    Avec 2 2 = 2 . . et 2 . . = . .

    Les paramtres peuvent tre exprims en fonction des paramtres effectifs du

    milieu gologique.

    - le terme attnuation a pour expression :

    = . [

    2 ( 1 + (

    . )2 1 ) ]1/2

    -Le terme phase est :

    = . [

    2 ( 1 + (

    . )2 +1 ) ]1/2

    La grandeur

    . change suivant le type de matriau .Trois cas sont possibles :

    1er cas :

    . < 0,01 matriaux dilectriques

    2eme cas : 0,01 <

    . < 100 matriaux peu conducteurs

    3eme cas : 100 <

    . matriaux conducteurs

    - En mode diffusif :

    En prsence de matriaux conducteurs et en basses frquences on a :

    = = . .

    2 comme =

    , on obtient =

    2 .

    .

    - mode propagatif :

    En prsence de matriaux dilectriques (i.e. 0 ) et en hautes frquences on a :

    = 0 et = . . et lO.E.M se dplace avec une vitesse dexpression :

    =

    =

    1

    .

  • 42 Djeddi.Mk-Georadar

    Fig. 22 .Mode diffusif et propagatif

  • 43 Djeddi.Mk-Georadar

    IX- Courant total et paramtres effectifs

    La densit totale de courant ( 2 ) est :

    = + = . +

    = . + .

    En considrant que lO.E.M est harmonique, elle peut tre formule par lexpression

    suivante :

    (, , , ) = (, , ). [cos + . ] = (, , ).

    Donc la densit totale sera :

    = + = . (, , ). + .

    [ (, , ). ] =

    [( + . ) + . ( + )] .

    Soit = [ ( +

    ) . ( +

    ) ]

    Cette dernire formule ne fait plus dif

    frenciation entre le courant de dplacement et le courant de conduction. Elle montre

    que :

    - la partie imaginaire de la permittivit joue le rle dune conductivit - La partie imaginaire de conductivit joue le rle dune permittivit Do il est ncessaire dintroduire la notion de conductivit et de permittivit effectives notes respectivement par . La densit de courant de conduction sexprime par :

    = . = ( + .

    )

    La densit de courant de dplacement sexprime par

    = .

    = (

    . )

    La densit totale de courant sera :

    = + = ( + .

    ") + ( .

    ")

    = . + .

    : Conductivit lectrique effective , sa partie relle et

    " sa partie imaginaire : Permittivit effective ,

    sa partie relle et " sa partie imaginaire

    De sorte que :

    = + .

    = + .

  • 44 Djeddi.Mk-Georadar

    = +

    = +

    Fig. 23 .Dfinition de langle de perte dans le plan de Fresnel

    Analyse de la figure

    Elle dcrit la relation entre et

    Avec tan =

    =

    = 1

    - tan indique le rapport de lnergie dissipe par cycle sur lnergie stocke.

    - signifie quil ny a aucune perte dnergie.

    - la densit de courant est en quadrature de phase avec le champ lectrique .

    - tan =

    . +

    pour = 0

    - Le terme

    . reprsente les pertes provoques par les courants de conduction.

    Plus le milieu est conducteur et plus les pertes sont importantes.

    - Le terme

    reprsente les pertes provoques par les courants de dplacement.

    - Ordre de grandeur vitesse en georadar

    la dtermination des vitesses dans un milieu gologique ncessite la connaissance de

    sa permittivit et sa conductivit .Si on admet que le milieu gologique est faibles

  • 45 Djeddi.Mk-Georadar

    pertes, alors celles-ci sont exprimes par le terme tan =

    quand " = " = 0

    .Cest le cas ou tan 1 ,tant donn que la vitesse de propagation des O.E.M en georadar dans les terrains gologiques est inversement proportionnelle leur

    constante dilectrique .

    En mode propagatif et pour des frquences suffisamment leves lexpression de la vitesse de propagation des O.E.M dans le milieu peut tre approche par la formule

    suivante :

    =

    . =

    r (/) r

    : permittivit relative relle

    Avec = 1

    0 . 0 et

    Lindice de rfraction dun milieu est =

    0 =

    La connaissance de la permittivit dilectrique relative r fournit une information

    directe sur la vitesse de propagation des O.E.M dans le matriau.

    : vitesse de propagation des ondes lectromagntiques dans le vide ( = 3.108/ 0,3 / )

    Tableau n1 : La constante dilectrique et vitesses des OEM radar dans les principaux

    Terrains (Annan, 1993)

  • 46 Djeddi.Mk-Georadar

    X- EQUATIONS DE MAXWELL A DEUX DIMENSIONS

    Linteraction des champs lectrique et magntique avec un matriau de paramtres lectromagntiques , , permet dcrire le comportement de ces champs dans un systme cartsien trois dimensions (, , ) par les relations suivantes :

    =

    1

    . (

    )

    =

    1

    . (

    )

    =

    1

    . (

    )

    =

    1

    . (

    . )

    =

    1

    . (

    . )

    =

    1

    . (

    . )

    Pour aboutir un systme cartsien deux dimensions, on suppose que les champs

    ne varient pas suivant la direction (y ) ce qui suppose que toutes les drives partielles suivant ce mme axe sont nulles.

    En supposant que le milieu est infini suivant cette direction, les quations ci-dessus se

    transforment comme suit :

    =

    1

    . (

    )

    =

    1

    . (

    )

    =

    1

    . (

    )

    =

    1

    . (

    + . )

    =

    1

    . (

    . )

    =

    1

    . (

    . )

  • 47 Djeddi.Mk-Georadar

    On peut alors grouper ces six quations en deux groupes distincts, gouvernant deux

    classes diffrentes de propagation lectromagntique

    - la premire est celle du mode transverse lectrique qui nous intressera plus particulirement, la seconde celle du mode transverse magntique

    (Taflove, 1995)

    =

    1

    . (

    )

    T

    =

    1

    . (

    )

    =

    1

    . (

    )

    =

    1

    . (

    )

    =

    1

    . (

    + . )

    =

    1

    . (

    . )

  • 48 Djeddi.Mk-Georadar

    XI- IMPEDANCE ELECTROMAGNETIQUE DUN MILIEU

    Dfinition

    Limpdance lectromagntique () dun milieu est une notion fondamentale comme en prospection sismique .Cest une proprit intrinsque du milieu de propagation des champs lectrique et magntique.

    Il est bien connu des lois fondamentales de llectromagntisme que :

    = . = . 0. , =

    = 00 . Car =

    1

    00 (dans le vide)

    Comme 0 ( ohms) = 0

    =

    =

    0

    0 (impdance du vide)

    Avec .

    =

    Et .

    = (thorme dAmpre)

    Dans le vide ou dans lair on a : 0 = 4. 107

    On obtient 0 =

    = 0 = 3. 10

    8 . 4. 107 = 377

    Dans les conditions de propagation(georadar) ou , on a:

    =

    + .

    = .

    . + . =

    Comme ladmittance est linverse de limpdance, on a :

    = 1

    =

    + .

    =

    : A la dimension dune rsistance (/) : Partie relle de la permittivit dilectrique Permabilit magntique relative du milieu Amplitude du champ lectrique ( ) Amplitude du champ magntique

    On sait que le rapport entre la valeur du champ lectrique et celle du champ

    magntique est fonction de la permittivit et de sa permabilit du milieu dans lequel se propage lO.E.M.

    Ou encore

  • 49 Djeddi.Mk-Georadar

    = 0

    0 =

    4.107

    8,85.1012 377

    Remarque

    Les O.E.M sattnuent lorsquelles se propagent dans un matriau .Dans lair on a :

    = 0 = 0 = 8,854. 10

    12 /

    0 = = 4 107 /

  • 50 Djeddi.Mk-Georadar

    XII- DIFFERENCE ENTRE LES METHODES SISMIQUES ET ELECTROMAGNETIQUES

    La prospection gophysique par georadar est, dans son principe, similaire de la

    mthode de prospection par sismique rflexion. La source dmission engendre un signal qui se propage dans le sol ausculter .En rencontrant des discontinuits

    (contraste dimpdance entre deux milieux), le signal se rflchit vers la surface du sol ou il est dtect et enregistr par un rcepteur .

    XII -1- La nature des champs

    A la difference avec les mthodes de prospection sismique, les mthodes

    lectromagnetiques utilisent comme source demission des ondes electromagnetiques.

    Une O.E.M est constitue dun champ lectrique et un champ magntique vibrant avec la frquence identique. Les deux champs sont perpendiculaires lun par rapport lautre et se propagent dans un milieu matriel ou dans le vide suivant une direction perpendiculaire.

    La propagation des O.E.M sopre avec une vitesse qui dpend des paramtres lectromagntiques du milieu.

    La vitesse des O.E.M egale :

    -dans le vide = 1

    0 . 0 = 3. 108

    -dans un milieu materiel = 1

    .

    0 permabilit magnetique du vide. 0 permittivit du vide.

    Par contre ,les mthodes sismiques (acoustiques) utilisent comme source

    demission des ondes sismiques(mcaniques, lastiques ) .Les ondes sismiques se propagent uniquement dans la matire .Au cours de leur passage ceux-ci subissent des

    perturbations qui se propagent de proche en proche. le milieu materiel subit

    simultanement deux types de perturbation appeles respectivement ondes

    longitudiales (primaires) et ondes transversales (secondaires), il ya transfert dnergie sans transport de matire comme pour les O.E.M.

    Le phnomne de propagation des ondes sismiques est decrit partir de la loi de

    Hooke reliant contraintes la dformation et par la seconde loi de Newton reliant la

    force et lacclration .

    Dans le cas dune perturbation longitudinale (dilatation compression) , les particules composant le milieu subissent un mouvement vibratoire parallle la direction de

    propagation de londe sismique avec une vitesse dite vitesse longitudinale.

    = +2

  • 51 Djeddi.Mk-Georadar

    : est le module de cisaillement ou de rigidit not aussi : constante de Lam : densit du milieu travers.

    Le second type de perturbation lors du passage de londe sismique est appel perturbation transversale ou onde transversale .Lors de son passage dans le milieu

    materiel , les particules de celui-ci subissent un deplacemnt perpendiculaire la

    direction de propagation de londe avec une vitesse dite transversale .

    =

    XII-2 pouvoir de resolution

    Le pouvoir de resolution tant laptitude de sparer en profondeur deux horizons proches .Il est de lordre , comme en sismique de / 4 / 2 (suivant la largeur de la bande du signal et du niveau du bruit) .

    = . =

    Or, plus la frquence est grande et plus la resolution est meilleure au detriment de la

    profondeur de pntration .De plus, les O.E.M se distinguent par leur pouvoir de

    detection cest--dire la plus petite couche qui puisse donner naissance une reflexion.

    Le pouvoir de dtection est compris gnralement entre

    30

    10

    XII-3 Profondeur de pntration

    La profondeur de pntration tant par definition la profondeur maximale partir de

    laquelle londe E.M mise est totalement attenue.En prospection du sous- sol par georadar, le choix de la frquence utiliser est delicat.Plus la frquence est basse et

    plus la profondeur de pntration est plus eleve.

    Le choix de la frquence rsulte dun compromis entre le pouvoir de rsolution et la profondeur de pntration.Celle-ci depend de differents types dattnuation (attnuation geometrique , attnuation par absorption , attnuation par diffusion).

    Le paramtre resistivit du milieu de propagation joue galement un rle

    fondamental dans la profondeur de pntration atteindre. Trs brivement , il ressort

    que :

    - Plus un materiau gologique est a resistivit eleve , plus il permet aux O.E.M georadar de pntrer plus profondement.Inversement plus le

    materiau est conductivit eleve et plus labsorption de lOEM est importante ce qui limite fortement la profondeur dinvestigationdu GPR.

    - La dynamique du georadar est egalement un facteur important :Elle represente le rapport entre la puissance du signal emis et la puissance du plus petit signal

    E.M detect.

  • 52 Djeddi.Mk-Georadar

    XIII- REFLEXION DES O.E.M

    La propagation des ondes electromagnetiques dans les milieux geologiques est

    etroitement lie aux trois principaux proprits intrinseques savoir La permittivit

    dielectrique , la conductivit electrique et la permabilit magnetique .

    Quand les ondes EM atteignent une discontinuit entre deux milieux gologiques

    de proprits dilectriques , distinctes, une portion de leur nergie subit le phnomne de rflexion, tandis que la portion restante pntre en profondeur. Le but

    du georadar est dutiliser la propagation et le phnomne de rflexion d'ondes lectromagntiques trs hautes frquences (mode propagatif) pour l'exploration des

    milieux gologiques superficiels, cest--dire d'imager les structures du sous-sol suivant les contrastes des paramtres dilectriques sus -mentionns.

    Pour un milieu deux couches gologiques homognes et isotropes spars par une

    discontinuit plane et horizontale. ( 24 ) - La couche 1 se caracterise par les paramtres electromagntiques 1 , 2 1 - La couche 2 se caracterise par les paramtres electromagntiques 2 , 2 2

    Fig 24. Reflexion et refraction des O.EM

    Sur la surface de discontinuit, londe incidente se voit une partie de son energie se reflechir dans la premire couche et lautre partie se transmet dans la seconde. couche.

    , designent respectivement langle dincidence, langle de reflexion et langle de transmission, 1 2 les vitesses de propagation des O.E.M dans la premire et seconde couche.

    Le coefficient de reflexion sexprime par (en tension) :

    12 =

    =

    21

    2+1 avec limpdance electromagntique =

    Si le premier milieu est lair on obtient :

    1 = 1

    1 ( impedance de lair) et 2 =

    2

    2 =

    1

    (impedance du sol)

    Le coefficient de transmission dans le sol sexprime par :

  • 53 Djeddi.Mk-Georadar

    12 =

    = 1 + 12

    Au retour dans le sens inverse , le coefficient de transmission est :

    21 = 1 12

    Remarque La propagation aller-retour des O.EM dans les differentes couches du sol en profondeur est affecte par la perte denergie (par absorption de l OE.M) selon la loi exponenetielle 2. o = 1 est le coefficient dabsorption en neper/m.

    XIII-1 Lois de Snell Descartes

    Les lois de Snell Descartes donnent :

    - 1ere loi de Snell Descartes : les rayons de londe incidente, reflechie et transmise se trouvent dans le mme plan.

    - 2ere loi de Snell Descartes : relative la reflexion :

    =

    - 3eme loi de Snell Descartes : relative la refraction :

    sin

    1 =

    sin

    1 =

    sin

    2

    Dans le cas dun milieu non magnetique et galement non conducteur , lindice de refraction est defini comme suit :

    21 = sin

    sin =

    1

    2 =

    2

    1 1. sin = 2 . sin

    1. 1 = 2 . 2 sin . 1 = sin . 2 . sin = . sin

    et sont les nombres dondes du milieu 1 et 2

    1- Refraction critique

    Quand 2 > 1 il ya un angle critique pour lequel = 90 .On obtient :

    1. sin

    2= 2 . sin sin . 1 = sin

    2 . 2 sin =

    1

    2 =

    2

    1 2 < 1

  • 54 Djeddi.Mk-Georadar

    londe E.M refracte se propage en glissant tout le long de la discontinuit la vitesse

    2 2- Reflexion totale

    Pour tous les cas ou langle > , il ya reflexion totale.

    3- Coefficient de reflextion et de transmission dune O.E.M plane

    - En Incidence normale

    Les champs electriques des ondes incidentes , reflechies et refractes scrivent alors

    = 0 ..(. . ) le champ electrique de londe incidente

    = 0 ..(. . ) le champ electrique de londe reflechie

    = 0 ..(. . ) le champ electrique de londe transmise

    0 , 0 et 0 sont les amplitudes maximales constantes .Elles peuvent tre complexes pour tenir compte des differences de phase eventuelles .

    Les coefficients de rflexion et de transmission en incidence normale ont pour

    expression respectivement :

    =

    =

    21

    2+1 =

    (1.1) (2.2)

    (1.1) + (2.2) (Coefficient de rflexion)

    =

    =

    2.1

    2+1=

    2(1.1)

    (1.1) + (2.2) (Coefficient de transmission)

    Remarque relative londe rflchie

    1/ Lorsque 1.. 1 2. 2 , il ny a pas de dphasage

    Lorsque 1. 1 2. 2 , il y a un dphasage de , || < 1

    Remarque relative londe transmise

    || > 0, la transmission se fait sans dphasage

    peut prendre des valeurs suprieures ou inferieures 1

  • 55 Djeddi.Mk-Georadar

    Avec = .

    . .

    : impdance du milieu dans le cas gnral

    Deux possibilits se prsentent suivant que les vecteurs :

    a- sont perpendiculaires ( ) au plan dincidence, londe est appele

    transverse lectrique , onde ou onde . Ce cas est le plus utilis pendant

    lacquisition des donnes georadar .La polarisation du champ lectrique est

    perpendiculaire au plan dincidence .En mode , le Champ lectrique incident

    est orthogonal au plan dincidence cependant le champ magntique est dans le

    plan dincidence

    Fig. 25 : mode TE et TM

    b- sont parallles ( // ) au plan dincidence, londe est appele transverse

    magntique , onde ou onde . cest le cas ou la polarisation du champ

    magntique est perpendiculaire au plan dincidence. En mode , le champ

    magntique incident est orthogonal au plan dincidence cependant le champ

    lectrique est dans le plan dincidence.

    - En incidence quelconque et superieure ou egale langle critique

    Pour une onde incidente et plane se tombant sur une discontinuit plane sparant

    deux milieux, les quations de Fresnel et particularisent deux polarisations sont :

    Les Coefficient de rflexion et de transmission dans le mode TE sont :

    =

    =

    2 . 1 . cos 1 . 2 . cos

    2 . 1 . cos + 1 . 2 . cos

    Pour deux milieux dilectriques parfaits non conducteurs et amagntiques vaut en

    supposant 1 = 2 = 0 :

    = cos . 1 cos . 2

    cos . 1 + cos . 2

    =

    =

    22 . 1 . cos

    2 . 1 . cos + 1 . 2 . cos

    Les Coefficient de rflexion et de transmission dans le mode TM sont :

    =

    =

    2 . 1 . cos 1 . 2 . cos

    2 . 1 . cos + 1 . 2 . cos

  • 56 Djeddi.Mk-Georadar

    =

    =

    22 . 1 . cos

    2 . 1 . cos + 1 . 2 . cos

    Ei ,Er et Et sont respectivement les champs electriques incident, reflechi et transmis En / , les angles dincidence et de transmission 1 2 permabilits magnetiques des milieux et en / 1et 2 les nombres dondes des milieux et en /

    En utilisant la relation de Snell - Descartes sin . 1 = sin . 2 , on obtient la

    formule du coefficient de rflexion exclusivement en fonction de langle dincidence

    =

    =

    1 .cos 21 12

    .sin2

    1 .cos + 21 12

    .sin2

    On dj dit plus haut que lorsque 2 > 1 ou 1 > 2 , il existe un angle critique pour lequel langle de transmission sera gal 90 Lorsque langle dincidence dpasse langle critique, il y a une rflexion totale et le

    rapport 1

    2 . sin est superieur 1 .Cette situation pose problme dans la formule de

    ou la valeur sous la racine devient ngative. Le terme sera alors complexe et prendra lexpression suivante (Hollender 1995)

    =

    =

    1 . cos + . 2 . 1 2

    . sin2 1

    1 . cos . 2 . 12

    . sin2 1 2 = 1

    Que lon peut sparer en une partie relle et une partie imaginaire

    La partie relle dexpression est:

    [] = 1 . cos 2 . (

    12

    . sin2 1 )

    1 2 =

    1 . cos2 + 2

    1 2

    La partie imaginaire a pour expression :

    [] = 21 . cos . 1 . sin

    2 2

    1 2

    En gnralisant les formules prcdentes, on sobtient pour les deux modes.

    En mode TE lexpression est :

  • 57 Djeddi.Mk-Georadar

    =

    =

    2 . 1 . cos 1 . 2 2 1

    2 . sin2

    2 . 1 . cos + 1 . 2 2 1

    2 .sin2

    pour le coefficient de rflexion

    =

    =

    2 . 1 . cos

    2 . 1 . cos + 1 . 2 2 1

    2 . sin2

    pour le coefficient de transmission

    En Mode lexpression est :

    =

    =

    2 . 1 . 2 2 1

    2 . sin2 2 . 22 . cos

    1 . 2 2 . cos + 2 . 1 . 2

    2 1 2 . sin2

    pour le coefficient de rflexion

    =

    =

    2.1 . 1 . 2 . cos

    1 .2 2 . cos + 2 . 1 . 2

    2 1 2 . sin2

    pour le coefficient de

    transmission

  • 58 Djeddi.Mk-Georadar

    XIV - ACQUISITION DES DONNEES GPR

    Le GPR est bas sur des principes semblables ceux de la mthode de

    prospection sismique rflexion .Son emploi est fond sur lmission, la propagation, la rflexion, lenregistrement des O.EM, le traitement et linterprtation. La qualit des donnes enregistres dpendra fortement dun choix optimal des paramtres acquisition sur le terrain.

    Le choix des paramtres dacquisition est dterminant .Ils dpendent de lobjectif et des proprits lectromagntiques du terrain explorer. Les paramtres les plus

    importants sont la frquence dmission, lespacement des antennes et bien dautres.

    XIV -1 Diffrents types de georadar

    Il existe toute une varit de georadar .Celui-ci utilise plusieurs types de signaux .Tout

    signal a ses particularits avec ses avantages et ses inconvnients.

    Selon le type de source dmission des O.EM, le georadar peut tre class en 3

    catgories :

    XIV 1-1 Georadar impulsionnel

    Ce type de goradar est dfini par un spectre de frquence de pic et de largeur de

    bande. Le signal impulsionnel est produit par lmission dun courant lectrique bref

    aux bornes de lantenne. Il se caractrise par une large bande frquentielle (de trs

    brve dure).Cest le georadar le plus utilis en prospection gophysique. Il produit

    lmission de limpulsion un champ lectromagntique damplitude variable en fonction

    du temps. La dure dimpulsions est prise tre 0.5 et 10 voir plus (selon le type

    dapplication).Lacquisition des donnes est effectue dans le domaine temporel.

    . 26

    Fig. 26 signal mis par un radar impulsionnel

    XIV -1 -2 - Georadars saut de frquence

    Il a la particularit dengendrer des O.EM de mme nergie sur un intervalle discret

    de frquence .

  • 59 Djeddi.Mk-Georadar

    fig 27 Principe dun radar de saut de frquence

    Ce modle de georadar saut de frquence fonctionne dans le domaine frquentiel.

    Un analyseur de rseaux engendre dune succession dondes lectromagntiques de

    frquences distinctes sur une bande donne. A toute frquence, une onde est mise de

    lantenne vers le sol. La frquence du signal de sortie change en marche descalier de

    hauteur . . 27

    XIV -1- 3-Georadars vobulation linaire de frquence

    Ce type de georadar appel en anglo-saxon frequency modulated continuous

    wave engendre un signal de configuration sinusodale de longue dure dont le

    spectre change dans le temps .Cette proprit lui donne lavantage dajuster de

    manire active la rsolution pour diffrents types dobjectifs diffrentes profondeurs.

    Figure 28 : principe de la modulation de frquence

    Donc, on parvient obtenir un signal appel Chirp (sinusode module en frquence)

    Lacquisition des donnes brutes georadar sur le terrain est faite au moyen dun systme form de trois composants principaux.

    XIV -1- 4 Source

    Une source est une antenne mettrice. Grce un systme lectronique, il est

    gnr un courant lectrique qui est appliqu lantenne dmission. Celle-ci met des brves impulsions lectromagntiques de dure courte (1 50 ) et de trs hautes frquences. La frquence doit tre choisie en fonction de lobjectif dsir avoir : la rsolution spatiale, la profondeur de pntration etc

  • 60 Djeddi.Mk-Georadar

    Les antennes les plus courtes sont .29 :

    - dipolaires pondres

    - papillons (bow-tie antenna) ou biconiques

    - cornet (hom antenna )

    - Antennes creuses

    - Antenne Boucle

    Fig. 29. Diffrents types dantennes dmission.

    XIV- 1- 5 dispositifs dtecteurs.

    Cest une antenne jouant le rle de rcepteur : Elle permet de dtecter les rflexions des O.EM dues aux contrastes de permittivit ou de conductivits rencontrs par

    les O.EM au cours de leur propagation. Lantenne de rception est affecte aussi dun systme lectronique qui permet damplifier et de digitaliser le signal lectromagntique dtect.

    XIV -1- 6 Matriel denregistrement.

    Limpulsion lectromagntique brve mise par lmetteur se propage dans le sol .Son amplitude et sa vitesse varieront en fonction de la permittivit, de la

    conductivit et de la permabilit magntique des milieux gologiques

  • 61 Djeddi.Mk-Georadar

    parcourus. Elle subit des rflexions et/ou des rfractions ds quelle rencontre des discontinuits (marqueurs) cest--dire des structures gologiques montrant un fort contraste des paramtres sus mentionns (principalement de

    la permittivit dilectrique). La mise cte cte de ces mesures, ( traces

    georadar) aprs un traitement adquat , fournit une coupe temps semblable

    la section sismique , representant une image 2D du sous-sol que lon appelle radargamme (ou scans).

    Le matriel denregistrement est galement quip dun dispositif de contrle permettant de grer les paramtres dacquisition et denregistrement.

    XIV -1- 7 Mode dacquisition

    -Diffrentes gomtries dacquisition

    Fig. 30 diffrentes gomtries dacquisition.

    Lacquisition des donnes georadar est faite laide de diffrentes gomtries. Les modes dacquisition plus frquents sont :

    1- Profil rflexion dport (offset) constant. 2- Profil rflexion dport variable

    3- Mesure en transmission

    - Profil rflexion dport constant

    Loperateur se dplace le long du profil georadar et effectue les mesures en maintenant la distance (offset) entre lantenne dmission et lantenne de rception constante .Cest le mode dacquisition le plus coutumier.(fig. 30)

    - Profil rflexion dport variable

    Loperateur enregistre en se dplaant le long du profil georadar uniquement avec une des antennes en gardant lautre antenne fixe ou symtriquement par rapport un point milieu .(fig. 30).

  • 62 Djeddi.Mk-Georadar

    - Mesures en transmission Les acquisitions en transmission se ralisent quand les antennes mettrice et

    de rceptrice sont places de part et dautre dun milieu inspecter.

    XIV -1- 8 Champ dondes enregistres

    Les principales ondes enregistres en prospection goradar sont :

    1- Onde directe

    Elle se propage dans partie trs proche de la surface du sol. Le temps de propagation

    sera gal :

    =

    1

    1 vitesse de la couche 1 et loffset (distance) entre lantenne dmission et de rception.

    2- Onde arienne

    Londe arienne se propage directement (dans lair , proche de la surface) entre

    lantenne mettrice et lantenne rceptrice une vitesse de 0.3/ (1 = 109 ) correspondante la vitesse de propagation de la lumire dans le vide .Elle atteint

    lantenne rceptrice bien avant toutes les autres O.EM .

    3- Ondes rflchies

    Lorsque lO.EM incidente atteint une interface sparant deux milieux de diffrentes constantes dilectriques, une partie de son nergie se rflchie .Le temps de son

    parcours entre lantenne mettrice - point de rflexion et lantenne rceptrice a pour expression.

    = 1

    12 + 42

    : tant la distance lantenne rceptrice et lantenne mettrice (offset) 1: la vitesse de propagation des . dans le premier milieu (contenant londe incidente et londe rflchie) : Lpaisseur de la couche (profondeur de linterface ou rflecteur).

    La grandeur de la rflexion cest--dire la quantit dnergie rflchie est fonction du contraste de la constante dilectrique travers la zone rflchie et est donne par le

    coefficient de rflexion

    4- Ondes latrales

    Londe incidente se rflchie sur linterface sparant les milieux et de vitesse 1 2 . Lorsquelle atteigne la surface de sparation entre le milieu I et lair de vitesse ( = 0.3 /) , elle subit une rfraction critique. Elle tombe sur cette

  • 63 Djeddi.Mk-Georadar

    surface de sparation avec un angle et glisse le long de cette discontinuit avec une vitesse (cas ou 1 < ) Londe, appele aussi onde latrale suprieure, tant gnre pour un angle critique, gal :

    = 1

    Elle satisfait au dport avec = 2.1

    212

    Lantenne de mesure captera le signal de londe rfracte un temps selon lexpression :

    =

    + 2

    1

    2

    1

    12

    5- Ondes multiples rflchies

    Pratiquement, lenregistrement goradar comporte, outre les rflexions primaires, des rflexions multiples. Ces dernieres sont des signaux lectromagntiques qui ont

    subi plusieurs rflexions dues des forts contraste dimpdance .Elles peuvent tre gnants et masquer les rflexions simples. Il existe de nombreuses techniques pour les

    attenuer

    6- Onde Rfracte (latrale inferieure)

    Lapparition des ondes lectromagntiques post- critique que lon appelle en prospection sismique ondes coniques prennent naissance lorsque langle incidente atteint un angle limite ou critique .Ce phnomne est observ lorsque londe incidente passe un milieu gologique lent de vitesse 1 un milieu gologique rapide vitesse 2 , soit 2 > 1.Cette onde est appele aussi onde latrale inferieure. Londe lectromagntique rfracte post- critique traverse le premier milieu avec une vitesse 1, puis elle glisse le long du marqueur de vitesse 2et se refracte vers le haut avec une vitesse 1 en mettant le temps :

    =

    1 + 2

    1

    22

    1

    12

  • 64 Djeddi.Mk-Georadar

    Fig. 31 champ dondes enregistres en georadar

    7-Trace georadar

    Lamplitude dune rflexion est proportionnelle au coefficient de rflexion qui exprime

    un contraste dimpdance lectromagntique de deux terrains . La trace georadar S(t) est ralise, dans le cas le plus simple, en convoluant la srie

    des coefficients de rflexion () (rflectivit du milieu) par le signal mis () par la source georadar .

    () = () * () +()

    () : est un bruit additif

    =

    =

    21

    2+1 =

    (11) (22)

    (11)