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Gestion de portefeuille
Chapitre 6: Portefeuille efficient au sens de Markovitz
Etude de l’efficacité ou efficience de Markovitz
• Définition: Un portefeuille est efficient au sens de Markovitz s’il permet d’atteindre un niveau de rendement anticipé fixé avec le minimum de risque (c’est-à-dire le minimum de variance).
• Ou, de manière équivalente, si, pour un niveau de risque donné, il permet d’atteindre le maximum de rendement moyen (espéré)
Il faut distinguer le choix d’un portefeuille efficient purement risqué et le choix d’un portefeuille efficient comportant un titre non risqué.
• I. Choix d’un portefeuille purement risqué efficient
On cherche la combinaison optimale de n titres risqués permettant d‘atteindre un niveau maximal de rendement espéré pour un niveau de variance du rendement donné
Ecriture du programme d’optimisation
1 ,...,1
1
01
0 1
0 0
( )
:
1 ( )
( ) ( )
n
n
i iw wi
n
ii
n
i ii
i i ii i
i i ii
Max w E R
sous
w budget
Var w R V risque
n p poù w et R
n p p
Résultat de l’optimisation
On peut montrer que la solution de ce problème peut être représentée graphiquement par une parabole dans l'espace risque(écart-type) – rendement espéré.
La partie inférieure de la courbe représente des opportunités d'investissements qui ne sont pas intéressantes puisqu'il existe des opportunités d'investissement sur la partie supérieure qui offrent un rendement supérieur pour ce même niveau de risque.
La partie supérieure de cette parabole est appelée la frontière efficiente et représente l'ensemble des portefeuilles qui, pour un niveau donné du risque procurent un rendement espéré maximal.
Voir figures du site la bourse pour les nains
II. Recherche d’un portefeuille efficient au sens de Markovitz en présence d’un titre sans risque
II.1 Optimisation sous contrainte: maximisation d’un
lagrangien avec prise en compte du coût de la contrainte
1
1
,...,1
01
0,...,1 1
01
( )
:
( ( )) ( )
( ) ( ( ( )) )
:
( ( ))
0,
Fn
n
n
F i i Fw wi
n
i i Fi
n n
i i F i i Fw wi i
n
i i Fi
Max R w E R R
sous
Var w R R V risque
Max w E R R Var w R R V
sous
Var w R R V
multiplicateur de Lagrange
Pour obtenir l’expression précédente du critère maximisé, on remarque que le rendement espéré du portefeuille de composition s’écrit:
1 1
1 1
( ) ( )
int : 1 1
F F
n n
F F i i F i i Fi i
n n
F i F ii i
w R w E R R w E R R
par suite dela contra edebudget w w w w
1( , ,..., ) 'F nw w w
Remarque: il existe une autre formulation du problème de recherche d’un portefeuille efficient• On peut minimiser le risque (la variance) du
rendement du portefeuille pour un niveau de rendement espéré fixé:
1 ,...,1
01
(
:
( ( ))
n
n
i iw wi
n
F i i Fi
Min Var w R
sous
E R w R R E
On montre que les deux formulations conduisent au même ensemble de solutions ( c’est-à-dire à la même frontière efficiente)Les Lagrangiens associés s’écrivent:
• 1) pour la maximisation du rendement espéré sous contrainte de niveau de risque donné:
• 2) pour la minimisation de la variance du rendement sous contrainte de niveau de du rendement espéré donné:
1 0,...,1 1
01
( ) ( ( ( )) )
:
( ( ))
0,
n
n n
i i F i i Fw wi i
n
i i Fi
Max w E R R Var w R R V
sous
Var w R R V
multiplicateur de Lagrange
1 0,...,1 1
01
( ( ) ( ( ) )
:
( ( ))
0, int
n
n n
i i F F i i Fw wi i
n
F i i Fi
Min Var w R R R w E R R E
sous
E R w R R E
multiplicateur de Lagrangeassocié à la contra e
Les deux Lagrangiens se déduisent en effet l’un de l’autre:
1
1
1
1
0,...,1 1
0,...,1 1
0,...,1 1
,...,
( ( ) ( ( ) )
{ ( ( ) ( ( ) ) }
( ( ) ( ( )) )
n
n
n
n n
i i F F i i Fw wi i
n n
i i F F i i Fw wi i
n n
i i F F i i Fw wi i
w
Min Var w R R R w E R R E
Max Var w R R R w E R R E
Max Var w R R R w E R R E
Max
1 1
( ) ( ( ))
10
n
n n
F i i F i i Fwi i
R w E R R Var w R R
en posant
II.2 Composition de la part purement risquée du portefeuille global efficientOn établit le résultat suivant, la composition optimale a pour expression:
* * *1
1*
*
1
1
( ,..., ) '
1( ) ( )
2
1 ' 1
(1,...,1) '
, '
( ,..., ) ' 1
( )
n
F
n
F ii
n
w w w
w Var R ER R e
w w e w
où e
est lemultiplicateur de Lagrange lié à l aversion au risque
ER ER ER est levecteur nx des rendements espérés des n titres
Var R est la ma
1
var var
( ,..., ) 'n
tricede iance co iancedu vecteur des rendements
R R R
Comment trouver le w optimal?
• 1°) cas où n=2• On se place dans le cas particulier où il existe deux
titres (n=2).• Dans ce cas, on doit résoudre:
1
1 1 2 2
,..., 2 21 1 2 2 1 2 1 2
2 21 1 2 2 1 2 1 2 0
1 2
( ) ( )
( ( ) ( ) 2 cov( , ))
:
( ) ( ) 2 cov( , )
0,
n
F F
w w
w E R R w E R RMax
w Var R w Var R w w R R
sous
w Var R w Var R w w R R V
multiplicateur de Lagrange
Onannuleles dérivées premières par rapport à w et w
1 1 1 2 1 2
2 2 2 1 1 2
1 2
:
( ) 2 ( ( ) 2 cov( , )) 0
( ) 2 ( ( ) 2 cov( , )) 0F
F
E R R wVar R w R R
E R R w Var R w R R
et ontrouvebien w et w selonla formuledonnée précédemment
• En effet , on a un système de deux équations à deux inconnues qui peut s’écrire sous la forme matricielle suivante:
F
F
F
F
RRE
RRERVar
w
w
w
wRVar
w
w
RRR
RRR
RRE
RRE
)(
)()(
1
)()var(),cov(
),cov()var(
)(
)(
2
11
2
1
2
1
2
1
212
211
2
1
2) Cas général ( n quelconque)Dérivation matricielle de l’optimum
• On écrit
• Et le critère à maximiser sous la forme:
• La condition du premier ordre s’écrit alors:
1
.
1
;.;.
)('
11
1
e
w
w
w
R
R
Roù
eRRwRRRw
nn
FFFi
n
ii
0
0
011
((')('
)('()('
)(
VwRVarweRERw
VeRRwVareRERw
VRRwVarRERw
F
FF
Fi
n
iiFi
n
ii
][)(
2
1
)(2
0))(2(
0)(')('
1
0
eRERRVarw
eRERwRVar
wRVareRERw
VwRVarweRERw
F
F
F
F
Application des formules de dérivation matricielle avec Var(R) matrice symétrique
1
11
1
1 22
2
1
111 1
2
1
( )
'
( )''
..
.'
( )
.
, ..
.
n
i ii
n
i ii
n
n
i ini
n
n
n nnn
aU
a Ua
aU
aUa UUa U
a Uaa
Ua U
aUa
a
aQ Q
aet siQ et a
Q Qa
1 1
1 111 1
1 1 2 21 1
2
1 11 1
( )
( )'
..
( )
n n
j ji ii j i n n
i i j ii j
n nn n
j ji ii j i i j ii
i j
n nn n
ni i jn ii jj ji i
i j i
n
a Q a
Q a Q aa
a Q aQ a Q aa Qa
aa
Q a Q aa Q a
a
'
, ' ' 2
Qa Q a
Si la matriceQest symétrique on aQ Q et Qa Q a devient Qa
Rappel: La matrice Var(R) est la matrice nxn des variances-covariances du vecteur des rendements
1
1 1 1 2 1
2 2 1 2 2
2 2 1 1
21 2 1 21 2 2 1
: 2; (1,1) '
( ) cov( , )1
cov( , ) ( )2
( ) cov( , )1 1
cov( , ) ( )2 ( ) ( ) cov( , )
1 ' 1 (
F
F
F
F
F
Exemple n e
w Var R R R ER Rw
w R R Var R ER R
Var R R R ER R
R R Var R ER RVar R Var R R R
w w e w
1 2 )w
1 1 1 1 2 1
2 2 2 1 2
2
( ) ( ) cov( , ) . cov( , )
( ) cov( , ) ( ) . .( )
. . . . . .
( ) cov( , ) . . ( )
n
n n n n
R E R Var R R R R R
R E R R R Var RR ER et Var R
R E R R R Var R
II.3 Lien entre le paramètre λ et l’aversion au risque
0
0
0
0
1 1
0 2
( ' )
' ( )
: ( ) ( ) '
' ( ')
( ' )
' ( )( ') ' ' ( )
1( ( ) ' ( ) ( ) ( ) ( )4 F F
Var w R V
w Var R w V
Rappel Var AU AVar U A
où A est la transposée de A les lignes de A deviennent les colonnes de A
DoncVar w R V
V w Var R w w Var R w
V ER R e Var R Var R Var R ER R e
c
1
1
0 2
1
0
1
1( ) ( )
21
( ) ' ( ) ( )4
1( ) ' ( ) ( )
4
: , : ( ) ' ' '
Re : ( )
F
F F
F F
ar w Var R ER R e
V ER R e Var R ER R e
ER R e Var R ER R eV
Rappel Pour deux matrices A et B on a AB B A
marque Var R est symétriquedoncégaleà sa transposée
Remarques
• 1).Plus V0 est faible ( c’est-à-dire le niveau de risque accepté) plus est fort ( mesure bien l’aversion au risque.
• 2). Pour un ensemble donné de n titres risqués et un titre sans risque, tout agent qui choisit un portefeuille efficient partage sa richesse entre deux « fonds de placement »:- le titre sans risque ( bonds du trésor)- un portefeuille purement risqué dont la composition est donnée par:
• La part relative dépend de l’aversion au risque
Fn
F
F
RRE
RRE
RRE
RVarw
)(
.
)(
)(
)( 2
1
1*
• On définit la performance de Sharpe des n titres risqués en présence d’un titre sans risque par:
• Dans le cas où on a un seul titre risqué de rendement R1, de prime de risque
• et de volatilité
sa performance de Sharpe est définie par
nxnmatriceuneestRVar
vecteurnunestRERREReRERoù
scalaire
eRERRVareRER
FnFF
FF
)(
)',....,(
)(
)()(
1'
1'
0
)(1
1
1121
11
F
R
FF
R
F
RERcar
RERRERRER
FRER 1
1R
III. Résultat de l’optimisation:le lieu des portefeuilles efficients au sens de Markovitz – la frontière efficiente- est une demi- droite dans le plan
La composition du portefeuille efficient P est donnée par:
Son rendement espéré est donc donné par:
Par ailleurs, sa variance est égale à:
)()()'(2
1
)('
)'1('
)1(
1
11
eRERRVareRERR
eRERwR
RewERw
RwERwER
FFF
FF
F
F
n
ii
n
iiiP
( , )PR PER
0
1
1
20
00
)()()'(
2
1
)()()'(4
1
)(
V
eRERRVareRER
eRERRVareRERV
VVRVar
FF
FF
RP P
)()(2
1
)(
.
)(
)(
)(2
1 12
1
1 eRERRVar
RRE
RRE
RRE
RVarw F
Fn
F
F
dans le plan (écart-type, rendement espéré) l’ensemble des portefeuilles efficients (comportant le titre sans risque) est une demi- droite
1
0
1
0
0
( ) ' ( ) ( )0
( ) ' ( ) ( )0
1
( ) 2
1( ) 2
2
( )
( ) ( ) ' ( ) ( )
' ' '
F F
F F
P
P F
ER R e Var R ER R eP FV
ER R e Var R ER R eP FV
P F F R F
F
E R V R
E R V R
E R V R
E R ER R e Var R ER R e R
équationd unedroite d ordonnéeà l origine R
et de penteégaleà la performancede
1
:
( ) ' ( ) ( )F F
Sharpedes ntitres risqués
ER R e Var R ER R e
IV. Récapitulation
• 1) Pour trouver un portefeuille efficient comportant une part non risquée, il faut partager sa richesse entre deux fonds de placements:– le portefeuille purement risqué efficient défini
par la caractérisation optimale w* trouvée précédemment, à un facteur multiplicatif près
– Le titre sans risqueLa part relative de ces deux fonds dépend de
l’aversion au risqueLe lieu des portefeuilles efficients comportant
un titre sans risque est une1/2 droite dans le plan (écart-type, rendement espéré)
Récapitulation (suite)• 2) Le portefeuille efficient purement risqué est
déterminé– par les caractéristiques des rendements des n
titres disponibles, qui sont les mêmes pour tout le monde (vecteur de rendements espéré ER et matrice de variance-covariance Var(R) du vecteur des rendements R)
– par le coefficient qui est lié à l’aversion au risque et plus précisément au niveau de variance propre à l’agent qui choisit la composition de son portefeuilleV0
Le lieu des portefeuilles purement risqués efficients est une (½) parabole dans le plan (écart-type(volatilité, rendement espéré) tangente à la droite des portefeuilles globaux efficients
III. Résultat de l’optimisation portant sur des portefeuilles purement risquésOn admet le résultat suivant:« dans le plan (écart-type, rendement espéré) le lieu des
portefeuilles purement risqués – la frontière efficiente purement risquée- est une (demie) parabole tangente à la demi-droite précédente »
De plus, dans ce même plan, la ½ droite des portefeuilles efficients ( comportant un titre sans risque) est tangente à la ½ parabole qui représente le lieu des portefeuilles purement risqués efficients
Ce qui se résume par la figure suivante
E(rp)
σp
M
Krf
• Le portefeuille composé de l'actif sans risque et du portefeuille d'actifs risqués K se situe quelque part sur la ½ droite [rf K[.
il est clair que l'investisseur trouvera des choix d'investissement plus intéressants (qui offrent un niveau de rendement espéré plus élevé pour ce même niveau de risque) en combinant l'actif sans risque avec un portefeuille se situant un peu plus haut que K.
• L’investisseur continue à faire ce raisonnement jusqu'à ce qu'il atteigne le point M qui représente le point de tangence entre la droite ayant comme ordonnée à l'origine rf et l'ancienne frontière efficiente.
• La composition du portefeuille d'actifs risqués M ne dépend pas des préférences des individus et tout le monde cherchera à détenir ce portefeuille.
• Ce portefeuille est composé a priori de tous les titres échangés sur le marché et c'est pour cette raison qu'on l'appelle le portefeuille de marché. Toutefois, les proportions investies dans le portefeuille M et dans l'actif sans risque vont varier selon le degré d'aversion au risque de l'investisseur: il s'agit de la séparation en deux fonds.
