Gestion de Portefeuille - Xavier Dupré, ENSAE, de Portefeuille... · Processus de gestion de portefeuille

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  • Gestion de Portefeuille ENSAE 6 janvier 2006

    Axel Cabrol

    1. Prsentation du processus dinvestissement

    2. Loptimisation de portefeuille

    3. Au-del de lapproche de Markowitz

  • Processus de gestion de portefeuille (1) :

    trois tapes

    Objectifs de Rendement

    et de risque

    Contraintes de

    linvestisseur

    Conjoncture

    conomique et politique

    Analyse financire

    Offre de titres sur les

    divers marchs

    Anticipations de

    Rendement

    (et de risque?)

    Politique

    dinvestissement

    Construction

    de Portefeuille

    Allocation stratgique

    Allocation tactique

    Slection de titre

    Transactions relles

    Revue des

    objectifs et

    contraintes de

    linvestisseur

    Mesure de

    performance et

    de risque

    Revue des

    anticipations de

    rendement

    Planification Excution Vrification

  • Diffrents types dinvestisseurs particulier, banque, fonds de retraite, assurance vie ou

    dommage Diffrents objectifs de rendements : fonction de la consommation

    future ou dun passif (plus ou moins incertain)

    Objectif de risque dpend de laversion au risque : capacit prendre du risque et volont de prendre des risques

    Contraintes dinvestissement : horizon de placement, rgime dimposition, niveau de liquidit ncessaire, exigences rglementaires et lgales (banques, assurances, fonds de pension) et contraintes spcifiques

    Critres spcifiques de construction et de rebalancement du portefeuille

    Processus de gestion de portefeuille (2.1) :

    la politique dinvestissement

  • Processus de gestion de portefeuille (2.2) :

    Univers de gestion et allocation de rfrence

    Anticipations de

    march selon

    lhorizon

    dinvestissement: peut tre trs long !

    Contraintes de

    linvestisseur

    Univers de gestion

    ensemble des actifs

    susceptibles dintgrer le

    portefeuille

    Choix du type de

    gestion

    Active ou indicielle

    Benchmarke (choix de

    lindice) ou Immunisation

    dun passif

    Mesures de risque et de

    performance pour chaque

    grant

    Allocation

    Stratgique

    Composition de

    rfrence entre chaque

    classe dactifs

    Niveau de risque

    tactique allou chaque

    classe

    Technique

    doptimisation de

    portefeuille

  • Processus de gestion de portefeuille (3.1) :

    Allocation tactique

    Allocation tactique :

    1. identification dun opportunit de rendement qui nest pas prise

    en compte dans lallocation stratgique (horizon

    dinvestissement diffrent)

    2. Construction dun nouveau portefeuille qui maximise le

    rendement risque compte tenu de cette nouvelle anticipation

    3. Nouvelle contrainte : ne pas trop sloigner de lallocation

    stratgique (limite de tracking error, de duration, etc..)

    CL: nouvelle rpartition des classes dactifs dans le portefeuille

  • Processus de gestion de portefeuille (3.2) :

    Slection de titres

    Slection des titres :

    1. Le grant dtermine les critres qui distinguent le

    rendement/risque de chaque titre de son univers, par exemple: 1. Secteur conomique/pays et devise/metteur pour les

    actions cotes 2. Maturit/pays et devise/Notation de lmetteur pour la dette

    souveraine

    2. Formule des anticipations de rendement pour chaque groupe et

    en dduit une allocation entre chaque groupe (qui doit respecter

    les contraintes de lAS et de lAT)

    3. Slectionne les quelques titres les meilleurs dans chaque

    groupe (relative value) et sassure que les tailles cibles sont implmentables sans risque de liquidit particulier

    CL: un portefeuille virtuel, mais implmentable. Ltude du cot

    de transaction de ce portefeuille (amend si besoin) permet de

    conclure.

  • Processus de gestion de portefeuille (4) :

    Conclusion

    Dans le processus on distingue deux types danalyse

    cruciales lors de lAS, lAT et la ST :

    Formulation des anticipations de march : ncessite un

    mthode rigoureuse et parfois un analyse statistique

    pousse (srie temporelles et conomtrie, filtrage des

    donnes)

    Optimisation de portefeuille : technique fonde sur la

    thorie moderne du portefeuille de Markowitz (1950s) et

    qui a volue pour sadapter aux spcificits de chacune

    des 3 tapes

  • Gestion de Portefeuille ENSAE janvier 2006

    1. Prsentation du processus dinvestissement

    2. Loptimisation de portefeuille

    3. Au-del de lapproche de Markowitz

  • Modlisation vient de la microconomie

    les articles fondateurs de Harry M. Markowitz, Prix Nobel 1990 : Portfolio Selection (1952), Fast Computation of Efficient Frontier (1956) et Portfolio Selection: Efficient Diversification (1959)

    =>Prsentation synthtique selon trois points: Aversion au risque et modlisation du problme de choix de

    portefeuille

    Loptimisation Moyenne-Variance : prsentation et algorithme

    En pratique : les vertus et les dfauts de lOMV

    Loptimisation de portefeuille :

    La thorie moderne du portefeuille

  • Optimisation de portefeuille (1) :

    le cadre microconomique

    Les agents sont averses au risque : modlis par une fonction

    dutilit associe une trajectoire alatoire de leur richesse

    Lutilit scrit comme lesprance de lutilit associe chaque

    trajectoire de richesse (et de consommation) : U=E[u(W0.(1+Rt))]

    u(.) est strictement concave : ingalit de Jensen =>

    u(E(Wt))>U(W) : mme rdt on prfre un actif certain

    On dfinit deux cofficients daversion au risque :

    Aversion absolue: -u/u

    -> plus on est riche plus on peut prendre du risque

    Aversion relative: -w.u(w)/u(w)

    -> le niveau de risque acceptable est proportionnel w

  • Optimisation de portefeuille (1.1) :

    le cadre microconomique

    Fonctions d'utilits CRRA

    1

    10

    100

    1000

    1 11 21 31 41 51 61 71 81 91

    lbda=0.1 lbda=0.5 lbda=0.9

    Une classe de fonctions particulires : Constant Relative Risk

    Aversion (CRRA)

    U(w)=wl/(1- l), o l est laversion relative au risque

  • Optimisation de portefeuille (1.3) :

    programme doptimisation de portefeuille

    Le portefeuille est investi dans d actifs risqus (R est le vecteur des

    rendements)

    Il faut maximiser lutilit selon les programme suivant (A et B

    reprsentent les contraintes de linvestisseurs, choix dindices, etc)

    BA

    sc

    eWuE

    d

    i

    i

    Rd

    i

    it

    i

    d

    Max

    %100.

    .

    1

    0;,

    1

    1

  • Optimisation de portefeuille (2.1) :

    Lapproche de Markowitz

    Sous certaines hypothses, le programme se rcrit partir des deux

    premiers moments de la distribution de R

    Le risque est dfini comme la volatilit (cart type des rendements)

    du portefeuille -> la volatilit va rendre inutile la connaissance de

    lambda

    Diversification prise en compte des corrlations des rendements

    BA

    RV

    sc

    R

    d

    i

    i

    d

    i

    i

    t

    i

    Maxd

    %100

    ).('.

    .1

    1;,1

    BA

    rR

    sc

    RV

    d

    i

    i

    Mind

    %100

    '.

    .

    ).('.

    1

    21

    ;,1

  • Optimisation de portefeuille (2.2) :

    Lapproche de Markowitz

    Notion de frontire efficiente : chaque niveau de rendement est

    associ un unique portefeuille de risque minimal. Lensemble des

    couples (s,r) forme la frontire efficiente.

    Frontire Efficiente

    4.5

    5

    5.5

    6

    6.5

    7

    7.5

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

    Ensemble des

    couples

    rendement/risque

    linvestisseur peut

    atteindre

    r

    FE

    minimale

    Rendement

    maximal

  • Optimisation de portefeuille (3.1) :

    Lalgorithme

    Lapproche la plus simple est de minimiser la variance sous

    contraintes de rendement : la contrainte est linaire !

    On fait lhypothse qu loptimum les contraintes actives sont

    libres

    Cest un programme quadratique convexe (V nest pas

    dgnre), dont on peut crire les CN de KKT:

    0 actives, scontrainte lespour

    . inactives, ctes lespour

    .

    0'../,uniqut actives ctes

    a

    BixAi

    BxA

    ARxVx

    l

    ll

  • Optimisation de portefeuille (3.2) :

    premire mthode Active Set

    on se ramne au cas o il ny a que des contraintes lgalit

    On suppose que x1 est admissible et quon connat lensemble

    des ctes actives (Cact)

    On cherche alors x2=x1+p optimal sous Cact : la rsolution est

    alors immdiate par rsolution dun systme linaire

    On cherche sil y manque des contraintes : peut-on se dplacer de

    p sans franchir une barrire ? La premire contrainte rencontre

    est ajoute Cact, et on recommence

    Si p est nul (x1 tait dj optimal), on cherche enlever les

    contraintes dont le multiplicateur de langrange (l) est le plus

    ngatif => on recommence, sauf sil ny en a aucune on a trouv!

  • Optimisation de portefeuille (3.3) :

    premire mthode Active Set

    A chaque tape on rsout en p et lambda le systme suivant :

    0

    1.

    0

    ' RxVp

    A

    AV

    symtrique

    l

    on cherche a dans (0,1] tel que x1+a.p est admissible