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 Gestion Financière 2 

TD du cours du Professeur Jean‐Paul LAURENT 

 

Année 2014‐2015 Document mis à jour par J‐P. Laurent et P‐A. Patard 

 

 

Equipe  pédagogique  :  Angela  ARMAKOLA, Halima  BAGHAD, Hanane  DAKHLI, 

Pierre‐Alain PATARD, Michael SESTIER, Georgy SHORNIN, Idriss TCHAPDA  

        Investissements sur les marchés financiers 

Thème 1    p. 02    Rentabilité, diversification du risque (S1) 

Thème 2    p. 04    CML ("Capital Market Line") (S2) 

Thème 3    p. 06    Beta, SML ("Security Market Line"), droite caractéristique (S3) 

Thème 4    p. 09    Révisions (S4) 

Annexe 1    p. 10    Exercices complémentaires 

         

    Financement des entreprises 

Thème 5    p. 13    Choix des investissements, VAN, TRI (S6) 

Thème 6    p. 15    Coût et structure du capital (S7) 

Thème 7    p. 17    Coût et structure du capital (S8) 

Thème 8    p. 19    Révisions et exercices complémentaires (S9) 

Annexe 2    p. 22    Etude de cas : la société SMTP 

         

    Options 

Thème 9    p. 26    Options financières (S11) 

Annexe 3    p. 28    Fonction de répartition de la loi N(0,1) 

Annexe 4    p. 29    Prix d'un call Européen  

 

 

Bibliographie∙ 

Goffin R. (2012). Principes de Finance Moderne, 6ème Edition, Economica. 

Laurent J‐P, transparents du cours, http://laurent.jeanpaul.free.fr/Enseignement/enseignement.htm 

Dougherty C. (2007). Introduction to Econometrics, 3rd Edition, Oxford University Press 

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Thème 1 ‐ Théorie du portefeuille : rentabilité, diversification du risque 

 

 

Exercice 1 ‐ Le concept de taux de rentabilité d'un titre financier pour une période donnée. Soient 

 le cours du titre en  ,   le cours du titre en   et   une rémunération procurée par le titre et 

perçue en  . Donnez la formule indiquant le taux de rentabilité   du titre pour la période s'étendant 

entre   et  . Montrez que si   est le taux d'actualisation, alors   est la valeur actuelle en   de   

et  . 

 

Exercice 2 ‐ Rentabilités de portefeuille sur différents horizons 1. On considère un portefeuille de titres dont les valeurs de marché aux dates 0, 1, 2 sont égales à 

100, 150, 200  Euros.  Ce  portefeuille  ne  distribue  pas  de  dividendes.  Calculer  les  rentabilités simples de ce portefeuille entre  les dates 0 et 1, 1 et 2 et entre  les dates 0 et 2. La rentabilité simple entre les dates 0 et 2 est‐elle la somme des rentabilités simples sur les deux sous‐périodes ? 

2. On suppose maintenant que les valeurs de marché aux dates 0, 1, 2 sont égales à 100, 150, 100 Euros. Répondre aux mêmes questions que précédemment. 

3. On suppose maintenant que la rentabilité simple sur chacune des sous‐périodes (entre les dates 0 et 1, entre les dates 1 et 2) est égale à 100%. Quelle est la rentabilité simple de l’achat de titres entre  les dates 0 et 2  ? Est‐elle égale  à  la  somme des  rentabilités  sur  chacune de deux  sous‐périodes ? 

 

Exercice 3 ‐ Diversification du risque (deux actifs) 

Les taux de rentabilité annuels de deux titres A et B pendant une période de 10 ans sont reproduits 

ci‐dessous : 

Années A  B 

1991 7% 5%1992 4% 0%1993 1% 5%1994 8% 6%1995 12% 12%1996 14% 16%1997 6% 15%1998 5% 10%1999 10% 9%2000 7% 10%

 

1. Calculez l'espérance du taux de rentabilité des deux titres ainsi que le risque mesuré par l’écart‐

type et par la variance. 

2. Calculez  la covariance des taux de rentabilité des titres A et B sur  la période de 10 ans, puis  le 

coefficient de corrélation. 

3. Quelle rentabilité peut‐on attendre d'un portefeuille  investi selon  les proportions  40% et 

60% ? Quel est le risque de ce portefeuille ? Commentez les résultats obtenus. 

 

Exercice 4 ‐ Diversification du risque On  considère  des  investissements  dans  des  entreprises  innovantes.  Pour  chaque  entreprise,  on envisage  d’acheter  pour  150  000  euros  d’actions  à  la  date  0.  À  la  date  1,  la  valeur  des  actions 

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achetées est égale à 600 000 euros en cas de succès et on perd la totalité de sa mise initiale en cas d’échec (faillite de l’entreprise).  1. Calculer les taux de rentabilité en cas de succès et d’échec 2. La probabilité de succès est de ½. Calculer l’espérance du taux de rentabilité. 3. Calculer l’écart‐type du taux de rentabilité. 4. On  considère maintenant  un  portefeuille  constitué  de  deux  investissements  de  75  000  euros 

chacun dans des entreprises  innovantes.  Les  caractéristiques de  chacune des entreprises  sont identiques  et  inchangées par  rapport  au début de  l’exercice. Calculer  les  valeurs possibles du taux de rentabilité du portefeuille. 

5. On  suppose qu’il n’y a aucune  corrélation entre  les  risques associés aux deux  investissements (indépendance) ; le coefficient de corrélation entre les taux de rentabilité est égal à zéro. Calculer les probabilités associées aux différentes valeurs du taux de rentabilité du portefeuille. 

6. Calculer l’espérance du taux de rentabilité du portefeuille. 7. Calculer l’écart‐type du taux de rentabilité du portefeuille. 8. On considère maintenant un portefeuille constitué de 100 investissements d’un montant unitaire 

de  1500  euros.  Comme  précédemment  les  taux  de  rentabilité  ne  sont  pas  corrélés.  Calculer l’espérance du taux de rentabilité de ce portefeuille. 

9. Calculer l’écart‐type du taux de rentabilité du portefeuille.  

 

Exercice 5 ‐ Éliminer le risque d’un portefeuille de deux titres parfaitement corrélés. La banque Greeneternity vient de créer des  fonds pédagogiques pour  l’éducation  financière de ses clients fortunés. L’objectif est d’assurer une rentabilité supérieure au taux sans risque sur le marché (

6%FR )  tout  en  prenant  très  peu  de  risque.  Vous  êtes  chargé  de  réaliser  les  premiers 

investissements.  Vous  avez  identifié  deux  actions, A  et  B,  dont  les  rentabilités  sont  parfaitement 

corrélées positivement. Leurs caractéristiques sont  8%AE ,  10%A ,  10%BE ,  20%B . On 

notera  Ax  et  Bx  les proportions du fonds P investies dans les actifs A et B. 

1. Écrire  PE  en fonction de  Ax  et  Bx . 

2. Écrire  P  en fonction de  Ax  et  Bx  (vous pouvez omettre la valeur absolue) 

3. Écrire  PE  en fonction de  P  

4. Trouver la composition de portefeuille qui annule le risque. 5. Calculer la rentabilité attendue de ce portefeuille. 6. Les résultats que vous obtenez sont‐ils compatibles avec un équilibre de marché ? 7. Vos  premiers  clients  souhaitent  que  la  volatilité  du  portefeuille  reste  inférieure  à  1%. Quelle 

espérance de rentabilité pouvez‐vous leur proposer ?      

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Thème 2 ‐ Théorie du portefeuille (CML) 

 

 Exercice 1 ‐ Actif sans risque et actif risqué  On considère un portefeuille d’actions dont la rentabilité attendue est de 14% et la volatilité (écart‐type du taux de rentabilité) de 20%. Il existe un placement sans risque,  le taux d’intérêt associé est de 6%.  1. On  investit 140 000 € dans  le portefeuille d’actions et 60 000 € dans  le placement sans risque. 

Quelle est  la rentabilité attendue et  le risque (écart‐type du taux de rentabilité ou volatilité) de ce portefeuille ?  

2. On note  PE  l’espérance de rentabilité d’un portefeuille composé d’actions et de placement sans 

risque et  P  sa volatilité. Trouvez l’équation donnant la relation entre la rentabilité attendue et 

la proportion  x  investie en actions ? On se limitera au cas  0x . 

3. À quoi correspondent les conditions  0x  et  1x  ? 4. Quelle devrait être l’allocation pour obtenir une rentabilité attendue de 10 % ? 5. Quelle devrait être l’allocation pour obtenir une rentabilité attendue de 20 % ? 6. Déterminer  l’équation  donnant  la  relation  entre  la  volatilité  du  portefeuille  et  la  proportion 

investie en actions (on suppose toujours  0x ). 7. Quel est le risque du portefeuille trouvé à la question 5) ? 8. Déterminer  l’équation reliant  la rentabilité attendue du portefeuille et sa volatilité (on suppose 

toujours  0x ). 9. Quel est le ratio de Sharpe des portefeuilles précédents ? 

10. On suppose maintenant  0x . Interpréter cette condition. On restera dans ce cadre pour la suite de l’exercice. 

11. Donner la relation entre la rentabilité attendue et la proportion investie  x  en actions. 12. Déterminer  l’équation  donnant  la  relation  entre  la  volatilité  du  portefeuille  et  la  proportion 

investie  x  en actions. 13. Déterminer l’équation reliant la rentabilité attendue du portefeuille et sa volatilité.  

Exercice 2 ‐ Deux actions parfaitement corrélées  On considère deux actions A et B dont  les rentabilités sont parfaitement corrélées. Les rentabilités attendues sont respectivement de 8 % et 10 % et les volatilités correspondantes sont de 10 % et de 20%.  On  notera  x   la  proportion  de  la  richesse  investie  dans  l’action  A  et  on  considérera  des portefeuilles composés de A et de B.  1. Écrire la relation entre rentabilité attendue du portefeuille et  x  2. Écrire la relation entre l’écart‐type du taux de rentabilité du portefeuille et  x . 3. Trouver une composition de portefeuille qui annule le risque. 4. Calculer l’espérance de rentabilité du portefeuille précédent. 5. Établir  la  relation  entre  la  rentabilité  attendue  du  portefeuille  et  son  écart‐type  quand 

l’espérance de rentabilité est supérieure à celle qui vient d’être calculée. 6. Même question quand l’espérance de rentabilité est inférieure. 7. Quel est alors le portefeuille préféré par les investisseurs ? 8. On  suppose  que  le  taux  d’intérêt  sans  risque  en  vigueur  sur  le marché  est  égal  à  5%. Quelle 

stratégie peut être mise en œuvre par les investisseurs ?  9. Est‐elle compatible avec un équilibre de marché ?  

 

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Exercice 3 ‐ La droite de marché du capital (CML) 

 

Dans  la  suite, on note    l'espérance mathématique et    l'écart‐type du  taux de  rentabilité d'un 

portefeuille  . Ces quantités sont supposées connues de tous les investisseurs. 

 

Considérons certains points caractéristiques de  la  frontière d'efficience des  investisseurs en ce qui 

concerne  les  titres  risqués.  Cet  ensemble  de  possibilités  est  composé  de  portefeuilles  dont  la 

rentabilité attendue et le risque sont donnés ci‐dessous.  

Portefeuille     

10,0% 12,5% 15,0% 16,0% 17,5% 18,0%

14,0% 15,0% 18,0% 20,0% 25,0% 30,0%

Le  "taux  d'intérêt  pur"  ou  taux  sans  risque  est  donné  par  5%.  Chaque  investisseur  peut 

emprunter et prêter autant qu'il le désire au taux d'intérêt sans risque. 

 

1. Tracez  dans  un  système  d'axes    (abscisses)    (ordonnées),  la  frontière  d'efficience  de 

l'ensemble des portefeuilles risqués possibles.  

2. Tracez la CML et donner son équation. Quelle est la signification de la CML ? 

3. En situation d'équilibre, quel est le portefeuille de marché   ? 

4. Comment est exprimé le taux d'intérêt sans risque dans le système d'axes les axes  ,  ? 

5. Comment va être mesuré le "prix du risque"   ? 

6. Comment va varier le portefeuille de marché si le taux d’intérêt   est modifié ? Considérez les 

cas où  9% et  3%.  

 

Exercice 4 ‐ Risque d’un portefeuille en fonction du coefficient de corrélation. 

On  considère  deux  titres,  notés  1  et  2,  de  rentabilités  1 2,R R ,  d’espérance  de  rentabilité 

1 210%, 20%E E , d’écart‐type  1 230%, 40% et un portefeuille investi à 50% dans le titre 1 

et à 50% dans le titre 2.  

1. Représenter  graphiquement  dans  le  plan  ,P PE   (écart‐type  des  rentabilités  en  abscisse, 

espérance  des  rentabilités  en  ordonnée),  l’ensemble  des  portefeuilles  précédents,  quand  le coefficient de corrélation entre les rentabilités des titres 1 et 2 varie entre ‐1 et +1. 

2. Trouver le coefficient de corrélation tel que l’écart‐type de la rentabilité du portefeuille est égal à l’écart‐type de la rentabilité du titre 1. 

 

Exercice 5 ‐ Sélection de portefeuille 

Les actions de deux sociétés   et   ont pour la période future des taux de rentabilité aléatoires.  

On a :  20%,  10%,  20% et  0,20.  

 

1. Calculez le risque et l’espérance de rentabilité des portefeuilles suivants :  

100% 80% 60% 50% 40% 20% 0%0% 20% 40% 50% 60% 80% 100%

2. Portez les résultats sur un graphique   en ordonnée,   en abscisse. Déterminez le portefeuille 

optimal et expliquez le résultat. 

3. On  suppose  qu'il  existe  un  actif  dont  la  rentabilité  est  certaine  et  égale  à  6%.  Ce  taux 

correspond à celui auquel  l'investisseur peut emprunter ou prêter, sans  limitation de montant. 

Montrez comment la présence d'un titre sans risque modifie le graphique. 

   

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Thème 3 ‐ Théorie du portefeuille 

Beta, SML, droite caractéristique 

 

Exercice 1 ‐ Betas 

Soit   un portefeuille composé de deux titres   et   avec  70% et  30%. Soient  2 

et  0,5 les Betas respectifs de chaque titre. Déterminez  , le Beta du portefeuille  . 

 

Considérons à présent un portefeuille   composé de 7 titres   à   dont les Betas et les proportions 

sont données ci‐dessous.  

 

N° Titre  1 2 3 4 5 6 7

Beta    2 0,5 1 0 0,5 2,5 0,1

Proportion    10% 40% 10% 10% 10% 10% 10%

 

Déterminez  , le Beta du portefeuille  . 

 

Exercice 2 ‐ CML et SML 

La CML a pour équation   et exprime une relation simple entre le taux de rentabilité et 

le  risque pour  les portefeuilles efficients.  e M f Mr E R  où   est  le  taux sans  risque,    la 

rentabilité attendue du portefeuille de marché,   son écart type, est connu comme étant le ratio de 

Sharpe du marché. 

L'équation  de  la  SML  concerne  tous  les  titres  (et  les  portefeuilles).  Elle  s'écrit 

,   où    désigne  le  taux  de  rentabilité  de  l'actif  et    le  taux  de  rentabilité  du 

portefeuille  de marché  et  où    est  le  prix  du  risque  pour  les  titres.  En  appliquant  les  équations 

précédentes au portefeuille de marché, on vérifie que  . 

 

Soit un marché où le taux d'intérêt sans risque est  5%, le prix de la réduction du risque pour les 

portefeuilles  efficients  est  donné  par  0,2  et  la  pente  de  la  SML  dans  un  système  d'axes 

, ,  est  0,4. 

 

1. Déterminez l'espérance mathématique du taux de rentabilité du portefeuille de marché   ainsi 

que son risque mesuré par la volatilité. 

2. Tracez  la CML et expliquez  sa  signification  (les hypothèses de  la  théorie du marché du  capital 

devront être rappelées).  

3. Analysez ce que représente le portefeuille de marché  , ainsi que sa composition. 

4. Exposez le théorème de la séparation. 

5. Soit un portefeuille   investi dans les titres A et B en proportions égales :  50%. Les 

caractéristiques du  titres A sont  1,25 et  0,8  ; celles de B sont  0,5 et 

0,5.  Calculez  le  Beta  de  chaque  titre  ainsi  que  le  Beta  du  portefeuille  .  Rappelez  ce  que 

qu'exprime le Beta d'un titre, en distinguant les titres agressifs des titres défensifs. 

6. Tracez la SML dans un système d'axes  ,  et commentez. 

7. Analysez le type de risque dont il est tenu compte dans la CML et dans la SML. Montrez pourquoi 

seul le risque systématique mérite rémunération sur un marché en équilibre.  

8. Rappelez sous quelles conditions l'écart‐type (la volatilité) est une bonne mesure du risque. 

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Exercice 3 ‐ Risques de titres 

On considère un marché en équilibre.  

1. Soient deux titres 1 et 2 tels que   et  . Quel titre a  le risque diversifiable  le plus 

élevé ? 

2. Considérons deux titres 3 et 4 tels que   et  . Quel titre a le risque non diversifiable 

le plus élevé ? 

3. Soient deux titres 5 et 6 tels que  . Peut‐on conclure que   , que   ? 

4. Soient deux titres 7 et 8 tels que   et  . Lequel des deux titres a :  

a. Le risque diversifiable le plus élevé ? 

b. La pente de la droite caractéristique la plus élevée ? 

c. L'espérance de rentabilité la plus élevée ? 

d. Le coefficient de corrélation avec la rentabilité du marché le plus élevé ? 

 

Exercice 4 ‐ Droite caractéristique, risque spécifique, risque systématique 

 

Considérons  le  portefeuille  de marché    dont  le  taux  de  rentabilité  est  exprimé  par  la  variable 

aléatoire  . Les variations du taux de rentabilité de l'action de Cie Trouille (notée  ) en fonction du 

taux de rentabilité du portefeuille de marché   ont été observées pour les valeurs suivantes : 

 

Probabilité

0,2 10% 7%0,1 20% 9%0,4 30% 17%0,3 40% 23%

 

1. Rappelez ce qu'est la droite caractéristique du titre   et représentez‐la graphiquement. 

2.  A partir de l'équation précédente, établissez l'expression de  , le Beta du titre Cie Trouille. 

3. Déterminez la valeur de   avec les données de l'énoncé. 

4. A partir de cet exemple, analysez ce que représente le Beta d'un titre. En particulier, analysez 

quelles sont les conséquences pour un investisseur d'un Beta  1,  1 et  1 :  

dans le cas d'une baisse du taux de rentabilité du portefeuille de marché, 

dans le cas d'une hausse du taux de rentabilité du portefeuille de marché. 

Distinguez par suite de cette analyse, les titres "agressifs" des titres "défensifs". 

5. Qu'appelle‐t‐on risque systématique et risque non‐systématique d'un titre ? 

Calculez les risques systématiques et non‐systématiques de l'action Cie Trouille. 

Quelle est la relation entre risque systématique et volatilité ? 

6. Soit  5%, le taux d'intérêt sans risque.  

Donnez  l'équation de  la  SML  en  fonction du Beta du  titre puis  tracez  la  SML dans un 

système d'axes  ,  avec   en ordonnée, le risque étant alors mesuré par le Beta.  

Repérez  sur  le graphique,  le  taux  sans  risque,  le portefeuille de marché et  l'action Cie 

Trouille. 

 

 

 

 

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Exercice 5 ‐ Choisir parmi un ensemble de portefeuilles (mutuellement) exclusifs  Tante Gaga est soumise à un choix cornélien : dans quelle sicav va‐t‐elle investir son épargne ? Elle a 

reçu des offres de  trois banques  (A, B et C) ayant des caractéristiques  très différentes  :  5%AE , 

6%A ,  10%BE ,  10%B ,  13%CE ,  20%C . Le taux sans risque  FR  est égal à 3%.  

 Supposons d’abord que l’objectif de tante Gaga est d’obtenir une espérance de rentabilité de 9 %. 1. Quelle  allocation  d’actifs  devrait‐elle  réaliser  selon  la  sicav  choisie  et  quel  serait  le  risque 

correspondant ? 2. Que devrait‐elle choisir ?  Tante Gaga est maintenant prête à accepter que le risque de son portefeuille soit de 15 %. 3. Quelle allocation d’actifs devrait‐elle réaliser selon la sicav choisie et quelle serait l’espérance de 

rentabilité correspondante ? 4. Que devrait‐elle choisir ? 5. Le choix de la sicav dépend‐il de son objectif ?  

   

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Thème 4 ‐ Investissements sur les marchés financiers 

Révisions 

 

Exercice 1 ‐ Risque de portefeuilles 

Un portefeuille   est  constitué pour moitié de bons du  trésor  (placement  sans  risque dans notre 

contexte) et pour moitié de portefeuille de marché  . On sait que  18%. 

1. Quelle est la pente de la droite caractéristique du portefeuille   ? 

2. Quel est son risque spécifique (ou non‐systématique, diversifiable) ? 

3. Quel est la volatilité (i.e. l'écart‐type)   de son taux de rentabilité ? 

 

Exercice 2 ‐ La droite de marché du titre (SML) et CML 

1. Donnez l'équation de la SML et expliquez ce qu'elle représente ? 

2. Exprimez également  la SML en  fonction de  , ,  puis de  ,  où  ,  est  le 

coefficient de corrélation linéaire entre   et    . 

3. Comparez la SML avec la CML quant à leur objet et quant à la signification du risque. 

4. Montrez que la CML est un cas particulier de la SML. 

5. On donne  le  taux d'intérêt sans risque  2,5% et  la rentabilité attendue du portefeuille de 

marché  6%.  Tracez  la  SML  dans  un  système  d'axes  avec    en  ordonnée  et 

, ⁄  en abscisse, représentez  le portefeuille de marché et  l'actif sans risque sur  le 

graphique.  

 

Exercice 3 ‐ MEDAF 

La rentabilité espérée d'une action présentant un Beta de 0,75 est de 15% et  la rentabilité espérée 

d'une action ayant un Beta de 1,5 est de 20%. Utilisez  le MEDAF pour déterminer  le  taux d'intérêt 

sans risque   ainsi que la rentabilité espérée du portefeuille de marché  . 

 

Exercice 4 ‐ MEDAF et investissement 

On suppose que le taux sans risque est de 10% et la rentabilité attendue du portefeuille de marché 

de 15%. Les rentabilités espérées et les Betas de 4 titres sont donnés ci‐dessous.  

 

Action  1 2 3 4  17,0% 14,5% 15,5% 18,0%  1,3 0,8 1,1 1,7

 

1. Identifiez les titres surévalués et les titres sous‐évalués en vous basant sur ces prévisions.  

2. Si le taux sans risque augmente pour valoir 12% et que la rentabilité attendue du portefeuille de 

marché augmente pour valoir 16%. En supposant que les rentabilités attendues des actions et les 

Betas des actions restent  inchangés,  identifiez à nouveau  les titres surévalués et  les titres sous‐

évalués. 

 

Exercice 5 ‐ SML 

Un portefeuille   est constitué par  la combinaison de bons du  trésor  (placement sans  risque dans 

notre contexte) et du portefeuille de marché  . Son espérance de  rentabilité est  25% et sa 

volatilité  4%. On  nous  donne  5%,  20%. Dans  cet  environnement,  quelle  serait 

l'espérance de rentabilité d'une action   caractérisée par  2% et  0,5 ? 

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Annexe 1 ‐ Exercices complémentaires 

Exercice 1 ‐ Taux de rentabilité aléatoire pour la période future 

Si   désigne  l'instant présent,   désigne  l'instant futur,   a une valeur connue,   et  sont des 

variables aléatoires,   le taux de rentabilité est donc aussi une variable aléatoire (la valeur de  n’est 

pas connue en  . 

 

L'action ABC vaut aujourd'hui 90 €. Le dividende qui sera payé au cours des 12 prochains mois et le 

cours du titre dans un an sont deux variables aléatoires qui ne sont pas indépendantes.  

Dividende  Probabilité Cours du titre Probabilité conditionnelle 

0€  0,3 95 €  1/3 

105 €  2/3 

5€  0,4  115€  1 

10 €  0,3 125 €  2/3 

135 €  1/3 

 

1. Calculez l'espérance mathématique, la variance et l'écart‐type du taux de rentabilité.  

2. En supposant que le taux de rentabilité distribué selon une loi normale, quelle est la probabilité 

de gagner moins de 15% ?  

3. L'écart‐type (ou la variance) constitue‐t‐il toujours une bonne mesure du risque ? 

 

Exercice 2 ‐ Diversification du risque 

La volatilité du taux de rentabilité du portefeuille de marché est  22%. On considère  les deux 

entreprises suivantes :  

Entreprise  Big Steel Macromega

Beta    1,24 2,17

Volatilité  28,8% 49,7%

 

1. Supposons que  le coefficient de corrélation entre  le taux de rentabilité de Big Steel et celui de 

Macromega est de 0,40. Quelle est la volatilité d'un portefeuille dont une moitié est investie dans 

Big Steel et l'autre moitié dans Macromega ?  

2. Quelle est  la volatilité d'un portefeuille dont un tiers serait  investi dans Big Steel, un autre tiers 

dans Macromega et un dernier tiers dans un placement sans risque ? 

3. Quelle est la volatilité du taux de rentabilité d'un portefeuille également divisé entre Big Steel et 

Macromega et financé à 50% sur marge, c'est‐à‐dire si l'investisseur engage uniquement 50% du 

montant total et emprunte le solde auprès de sa banque ? 

4. Quelle est  la volatilité du taux de rentabilité d'un portefeuille composé de 100 actions ayant un 

Beta de  1,24  comme Big  Steel  ? Que  serait‐elle pour  100  actions  semblables  à Macromega  ? 

(Pour cette question, n'utilisez que des calculs arithmétiques simples) 

 

Exercice 3 ‐ Combinaison de titres : rentabilité et risque d'un portefeuille 

On considère un portefeuille   composé de    titres. On note  :    le  taux de  rentabilité du  titre   

(aléatoire),   et   le taux de rentabilité espéré et l'écart‐type de  ,   la proportion de titre   dans 

le  fonds  de  sorte  que ∑ 1. On  désigne  par  ,   et  par    le  coefficient  de 

corrélation entre   et  . On  indice par    les  caractéristiques du portefeuille    (rentabilité)   

(rentabilité espéré)   (écart‐type des rentabilités). 

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1. Dans le cas d'un portefeuille de 2 titres, calculez   et  . 

a. Analysez l'effet de diversification. 

b. A quoi est due la diminution du risque par la diversification ? 

c. Quelle est l'utilité de la diversification ? 

d. La  diversification  est‐elle  utile  si  les  deux  titres  constitutifs  du  portefeuille  ont  des 

rentabilités qui sont des variables aléatoires indépendantes ? 

2. Dans le cas d'un portefeuille de 3 titres, calculez   et  .  

3. Lorsque  le  nombre  de  titres  augmente,  le  nombre  de  grandeurs  à  évaluer  augmente  très 

rapidement. Quel est le nombre de covariances (ou de coefficient de corrélation) nécessaire pour 

calculer la variance du taux de rentabilité d'un portefeuille de   titres ? 

 

Exercice 4 ‐ Diversification du risque 

Durant les dernières années, les taux de rentabilité des 4 titres A, B, Cet D ont été les suivants : 

Années  A  B  C  D 

1991 5,0% 17,5% 5,0% 5,0%1992 15,0% 12,5% 20,0% 15,0%1993 10,0% 15,0% 15,0% 35,0%1994 20,0% 10,0% 5,0% 20,0%1995 15,0% 12,5% 25,0% 35,0%1996 10,0% 15,0% 50,0% 15,0%1997 20,0% 10,0% 15,0% 50,0%1998 25,0% 7,5% 15,0% 5,0%1999 15,0% 12,5% 25,0% 15,0%2000 15,0% 12,5% 15,0% 15,0%

 

1. Rappelez la définition du taux de rentabilité d'un titre 

2. En supposant que le futur soit à l'image du passé, calculez l'espérance mathématique du taux de 

rentabilité ainsi que l'écart‐type correspondant pour chacun des titres. 

3. Un investisseur disposant de 1000 € désire investir dans les deux titres A et B. On suppose que le 

coefficient de corrélation entre les taux de rentabilité des deux titres est :  0,5.  

a. Dans quelle proportion devra‐t‐il choisir ses titres s'il désire minimiser le risque ? 

b. Quelle rentabilité pourra‐t‐il attendre d'un tel portefeuille ? A quel niveau de risque ? 

4. Analysez, par suite, le mécanisme de la diversification. 

 

Exercice 5 ‐ CML et SML 

On considère un marché parfait. Le taux d'intérêt sans risque est donné par  2,5%, le prix de la 

réduction du risque pour  les portefeuilles efficients est donné par  0,2 et  la prime de risque du 

marché est 4,8%.  

 

1. Rappelez les principales hypothèses qui définissent un marché parfait. 

2. Déterminez   le rendement attendu du portefeuille de marché ainsi que sa volatilité  . 

3. Expliquez sa signification de la CML et représentez‐la dans un système d'axe adapté.  

4. Expliquez sa signification de la SML et représentez‐la dans un système d'axe adapté 

5. Analysez le type de risque dont il est tenu compte dans la CML et dans la SML. 

 

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Exercice 6 ‐ MEDAF et investissement 

L'action de Nofun Ltd présente un Beta de 1 est un risque spécifique très élevé.  

Si la rentabilité espérée du marché est de 20%, la rentabilité espérée de Nofun Ltd sera : 

a. de 10% si le taux d'intérêt sans risque est de 10% 

b. de 20% 

c. supérieur à 20% en raison du risque spécifique élevé 

d. indéterminé à moins qu'on ne connaisse aussi le taux d'intérêt sans risque. 

Laquelle de ces réponses est correcte ? Dites brièvement pourquoi. 

 

Exercice 7 ‐ Choix d’investissement 

Une action a un Beta de 0,9. Le taux sans risque est de 8% et  la prime de risque du portefeuille de 

marché de 6%. Un analyste financier lui attribue une espérance de rentabilité de 13%. Est‐il optimiste 

ou pessimiste ? 

 

Exercice 8 ‐ Choix d’investissement 

Le fonds Pandora est investi dans 5 titres pour un montant total de 200 millions de dollars (200 M$ 

en abrégé). La composition du portefeuille est donnée ci‐dessous.  

Titre  A  B  C  D  E 

Montant Investi (M$) 60 50 30 40 20  0,5 2 4 1 3

On suppose que  5% et que la rentabilité du portefeuille de marché, notée  , est une variable 

aléatoire qui possède la distribution de probabilité suivante :  

Probabilité 0,1 0,2 0,4 0,2 0,1

Rentabilité 6% 8% 10% 12% 14% 

1. Etablir l'équation de la SML.  

2. Déterminer le taux de rentabilité exigé par les investisseurs pour le fonds Pandora. 

3. Supposons  que  le  gérant  du  fonds  reçoive  de  la  part  d'un  courtier  une  proposition  pour  un 

nouveau  titre dont  la  rentabilité attendue est 15% et  le Beta estimé est 2,5. Le montant exigé 

pour investir dans le titre est 50 M$.  

a. Faut‐il acheter le titre ? 

b. A  partir  de  quel  taux  de  rentabilité  attendu  le  gérant  sera‐t‐il  indifférent  au  fait 

d'acquérir ce titre ? 

 

Exercice 9 ‐ MEDAF et investissement 

En s'appuyant sur une analyse de l'évolution des rentabilités passées, un analyste pense raisonnable 

de  dire  que  la  rentabilité  attendue  du  portefeuille  de marché  est  de  14%.  Le  taux  d'intérêt  sans 

risque est actuellement de 8%.  

L'analyste  s'intéresse  à  la  société  Boxxon  Electronics  Corporation  (BEC).  Il  a  construit  la  droite 

caractéristique  de  l'action  BEC  en  régressant  les  rentabilités mensuelles  de  l'action  BEC  sur  les 

rentabilités mensuelles  de  l'indice  Standard &  Poor's  500  (SP500),  sur  les  5  dernières  années.  Il 

trouve une pente de 1,67. Quelle  rentabilité peut‐il attendre de  la  société BEC  si  l'on  suppose  les 

marchés efficients ?  

 

   

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Thème 5 ‐ Financement des entreprises 

Choix des investissements, VAN, TRI 

 

 

Exercice 1 ‐ VAN et TRI 

Une entreprise a le choix entre deux projets d'investissement A et B. L'investissement initial s'élève à 

100 K€ dans  les deux cas. La durée de vie de ces  investissements est de 4 ans. Les cash‐flows nets 

attendus de ces deux projets figurent dans le tableau suivant (en K€) :  

Année  1  2  3  4 

Projet A 60 40 30 20

Projet B 10 30 60 80

La valeur résiduelle des deux matériels est supposée nulle. 

1. Calculez la VAN Valeur Actuelle Nette de chacun des projets pour un taux d'actualisation de 10%. 

2. Calculez le Taux de Rentabilité Interne (TRI) pour chaque projet. 

3. Quel projet choisissez‐vous ? Pourquoi ? 

 

Exercice 2 ‐ VAN et TRI 

Deux projets incompatibles exigent chacun un investissement initial de 3000 K€. Les cash‐flows nets 

sont respectivement de 2000 K€ par an et pendant 2 ans pour le projet Alpha et de 1000 K€ par an et 

pendant 6 ans pour le projet Beta. 

1. Calculez la VAN et le TRI de chaque projet sachant que le taux d'actualisation est de 20%. 

2. Quel est le projet le plus rentable ? 

 

Exercice 3 ‐ VAN de projets risqués 

La société XYZ met à l'étude deux projets d'investissement exclusifs l'un de l'autre : le lancement d'un 

produit nouveau  (projet A) ou  l'amélioration d'un produit  rentable  existant  (projet B).  Le  taux de 

placement sans risque est de 10 %. La dépense initiale est la même pour chacun des projets ; elle se 

monte à 4 000 K€. Les prévisions de cash‐flows nets sont les suivantes (en K€) : 

Années Projet A Projet B

1  2000  3000 

2  4000  3000 

3  4000  3000 

1. Calculez la VAN de chaque projet, en les supposant sans risque. 

2. Le produit dont  il est question pour  le projet A est nouveau à  la  fois par sa conception et son 

mode  d'utilisation.  Son  acceptation  par  le  marché  est  plausible,  mais  il  subsiste  un  risque 

important d'erreur dans les prévisions de cash‐flows, malgré les essais effectués. La direction se 

propose alors de retenir pour le calcul d'actualisation du projet A un taux majoré de 18%, en vue 

de tenir compte du risque particulier de cette proposition d'investissement. 

a. Calculez la nouvelle VAN du projet A. 

b. Déterminez  le taux majoré relatif du projet A pour  lequel  les deux projets auraient été 

équivalents. 

c. Discutez  les  fondements  objectifs  de  la  décision  de  la  direction  quant  à  l'estimation 

chiffrée du taux majoré. 

 

 

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Exercice 4 ‐ Emission d’actions 

Une société est sur le point de décider si elle doit procéder à une émission d'actions pour financer un 

projet d'investissement comportant le même risque que le marché et dont la rentabilité espérée est 

de 20%. Le taux d'intérêt sans risque est de 10% et la rentabilité espérée du portefeuille de marché 

est de 15% ; la société devrait mettre son plan à exécution : 

a. A moins que le Beta de la société ne soit supérieur à 2 ; 

b. A moins que le Beta de la société ne soit inférieur à 2 ; 

c. Quel que soit le Beta de la société. 

Laquelle de ces réponses est correcte ? Dites brièvement pourquoi. 

 

Exercice 5 ‐ Investissements et marchés financiers 

Une entreprise  fait des prévisions  concernant  le marché  financier. Elle utilise pour  cela des  séries 

chronologiques relatives aux 20 dernières années. Le taux d'intérêt sans risque a été de 10% ; le taux 

de rentabilité du portefeuille de marché a été de 15% sur 5 ans, 20% sur 10 ans et 25% sur 5 ans. 

1. Déterminer l'équation de la SML prévisionnelle. 

2. Calculez le taux d'actualisation pour un projet d'investissement dont le Beta est de 2, l'entreprise 

étant financée uniquement par fonds propres. 

3. Déterminez dans quel sens va varier le cours d'un titre qui a un Beta de 0,5 et une espérance de 

taux de rentabilité de 20%. 

   

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Thème 6 ‐ Finance d'entreprise 

Coût et structure du capital 

 

 

Exercice 1 ‐ Coût du capital, ROE, risque des actifs et structure financière 

 

La valeur marchande  totale des actions Bric‐à‐Brac  s'élève à 6 000 000 € et  la valeur  totale de  sa 

dette s'élève à 4 000 000 €.Le trésorier estime que le Beta de l'action est actuellement de 1,5 et que 

la prime du risque du marché est de 10 %. Le taux sans risque est de 8 %.  Il est fait abstraction du 

taux d'impôt sur les sociétés. 

1. Quel est le niveau de rentabilité requis pour l'action Bric‐à‐Brac ? 

2. Quel est le Beta du portefeuille d'actifs actuels de la société ? 

3. Estimez le coût du capital de la société. 

4. Estimez  le  taux  d'actualisation  applicable  à  un  développement  de  l'exploitation  actuelle  de  la 

société.  

5. Supposez que la société rembourse 3 000 000 € de dettes et les remplace par des fonds propres. 

Quel serait le Beta de son action ? 

6. Et quel serait le coût du capital de la société ? Et le niveau de rentabilité requis pour l’action ? 

7. Supposez  que  la  société  veuille  diversifier  ses  activités  en  se  lançant  dans  la  fabrication  de 

lunettes de soleil. Le Beta des fabricants d'optique non endettés est de 1,2. Estimez la rentabilité 

requise du nouveau projet de Bric‐à‐Brac. 

 

Exercice 2 ‐ Modification de la structure financière et rentabilité des actions (pas d’IS) 

 

Les actions et les dettes de Lolita Inc. sont évaluées à 50 000 000 € et à 30 000 000 € respectivement. 

Les investisseurs exigent généralement une rentabilité de 16 % sur les actions et de 8 % sur les dettes 

comparables.  Si  Lolita  Inc.  émet  10  000  000  €  additionnels  d'actions  et  utilise  ces  fonds  en 

remplacement des dettes, qu'arrivera‐t‐il à la rentabilité attendue des actions ? 

Supposons  que  le  changement  dans  la  structure  du  capital  n'influence  pas  le  risque  des  titres 

d'emprunt et qu'il n'y ait pas d'impôt. Si le risque des titres d'emprunt avait changé, est‐ce que votre 

réponse surestimerait ou sous‐estimerait la rentabilité attendue des actions ? 

 

Exercice 3 ‐ Avantage fiscal de la dette selon la durée de l’emprunt 

 

Calculez  la  valeur  actualisée de  l'avantage  fiscal  généré par  les  trois  émissions  suivantes de  titres 

d'emprunt. Le taux d'imposition est de 33,33 %. On se place dans le cadre de Modigliani et Miller. 

1. Un emprunt de 1000 K€ à 8 % sur 1 an. 

2. Un emprunt de 1000 K€ à 8 %, remboursable in fine la cinquième année. 

3. Un emprunt de 1000 K€ à 8 % à perpétuité. 

 

Exercice 4 ‐ Avantage fiscal de l’endettement et taux de la dette 

On  se  place  toujours  dans  le  cadre  de Modigliani  et Miller.  Supposons  que  Chrysler  Corporation 

emprunte à un taux d'intérêt plus élevé que General Motors. Cela veut dire que l'avantage fiscal par 

dollar  emprunté  est  plus  élevé  pour  Chrysler  que  pour  GM.  Néanmoins,  la  valeur  actualisée  de 

l'avantage fiscal par dollar emprunté est la même. Expliquez.  

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Exercice 5 ‐ VAN et VAR, projet perpétuel 

Un projet perpétuel requiert un investissement initial de 1 000 000 € et les rentrées de fonds prévues 

sont  de  100  000  €  par  an  à  perpétuité.  Le  projet  permet  à  la  société  de  contracter  un  emprunt 

additionnel de 300 000 € à un taux de 8 %. Cet emprunt est perpétuel. 

 

Le  risque d'exploitation du projet  exige un  taux d'actualisation  (coût d'opportunité du  capital) de 

10%. 

Le taux d'imposition est de 50 %. 

1. Calculez la VAN de base du projet et sa VAR. 

2. Quelle est la VAN de base minimale acceptable ? 

3. Quel est le coût du capital rajusté ? 

4. Montrez que la formule de Modigliani et Miller aurait donné une réponse correcte pour le coût 

du capital rajusté. 

5. En utilisant le coût du capital rajusté, calculez la VAN du projet. 

 

Exercice 6 ‐ VAN, VAR et horizon d’investissement 

Un projet qui  requiert un  investissement  initial de 1000 K€ doit procurer une  rentrée de  fonds de 

1190 K€ pendant une année. Le coût d'opportunité du capital de ce projet est de 20 %. La direction 

estime que le projet ajoutera 300 K€ à la capacité d'emprunt de la firme. 

 

Sachant que le taux d'intérêt de la dette est de 10 % et que le taux d'imposition de 50 % : 

1. Calculez la VAN de base du projet et sa VAR. 

2. Quelle est la VAN de base minimale acceptable ? 

3. Quel est le coût du capital rajusté ? 

4. Montrez  que  la  formule  de Modigliani  et Miller  n'aurait  pas  permis  d'arriver  à  une  réponse 

correcte pour le coût du capital rajusté. 

5. En utilisant le bon coût du capital rajusté, calculez la VAN du projet. 

 

   

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Thème 7 ‐ Financement des entreprises 

Coût et structure du capital 

 

 

Exercice 1 ‐ Beta et CMPC  Dans  ce  problème,  on  suppose  qu’il  n’y  a  pas  d’IS. On  considère  une  entreprise  qui  a  émis  100 millions d’actions, le cours par action est de 20 € ; le beta de l’action est de 0,70. La valeur de marché de la dette, considérée comme sans risque est de 500 millions d’euros. Le taux sans risque est de 4%, la prime de risque de marché de 5%. On se place dans le cadre de MM.  1. Calculer la valeur de l’entreprise. 2. Quelle est la rentabilité attendue des actions ? 3. Déterminer le coût moyen pondéré du capital. 4. Calculer le beta des actifs de l’entreprise.  On suppose que  la société emprunte 500 millions d’euros et distribue  le produit de  l’emprunt pour servir un dividende exceptionnel aux actionnaires. 5. Quelles seront les valeurs des actions, de la dette et de l’entreprise à l’issue de cette opération ? 6. Quelle sera la rentabilité attendue des actions à l’issue de cette opération ? 7. Que devient le beta des actions ?  

Exercice 2 ‐ Valeur d’une entreprise endettée en présence d’IS La  Française  du  Schiste  Bitumineux  (FSB)  va  prochainement  être  introduite  en  Bourse. Vous  êtes chargé de déterminer  le prix auquel  les actions  seront vendues. Vous avez  rassemblé  les données 

suivantes : résultat d’exploitation attendu  60AF  millions d’€ (perpétuité), dette :  120D  millions 

d’euros  (perpétuité),  taux d’IS  40%CT ,  rentabilité exigée en  l’absence d’endettement  10%r , 

taux d’intérêt sans risque  4%FR  

1. Calculez la valeur de l’entreprise non endettée  UA . 

2. Déterminez l’économie fiscale annuelle résultant de l’endettement. 3. Déterminer la valeur actuelle de l’avantage fiscal. 4. Quelles sont les valeurs de l’entreprise   et des actions  . 

5. Quelle est la rentabilité attendue des actions  EE R ? 

6. Calculer  EE R  par une autre méthode. 

7. Calculez le coût moyen pondéré du capital. 8. Calculez le coût moyen pondéré du capital par une autre méthode. 

 Exercice 3 ‐ Calculer la valeur d’une entreprise endettée sur la base du coût moyen pondéré Vous venez de recevoir des informations concernant la Société Éolienne de Bretagne (SEB) dont vous 

aimeriez déterminer la valeur : résultat d’exploitation attendu  90AF  millions d’€ (perpétuité), taux 

d’IS  40%CT ,  rentabilité exigée en  l’absence d’endettement  10%r ,  taux d’intérêt sans  risque 

4%FR . Le conseil d’administration vient de déterminer le taux d’endettement : 25%L D V .

L’objectif est de maintenir le niveau de la dette constant. 1. Calculez le coût moyen pondéré du capital. 2. Calculez le coût moyen pondéré du capital par une autre méthode. 3. Déterminer la valeur de l’entreprise. 4. Quelles sont les valeurs de la dette et des actions. 5. Quelle est la valeur actuelle de l’avantage fiscal de la dette ? 

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6. Calculer la valeur actuelle de l’avantage fiscal par une autre méthode.  

Exercice 4 ‐ Taux d’actualisation  On notera respectivement  , ,E D V   les valeurs de marché des actions, de  la dette et de  l’entreprise 

endettée. On notera  cT ,  le  taux d’imposition sur  les bénéficies des sociétés. On se placera dans  la 

suite dans le cadre de Modigliani et Miller. La dette est supposée non risqué de taux  Fr . Le taux de 

rentabilité attendu sur les actions est noté  Er . 

1. En fonction des éléments précédents, donner le taux d’actualisation des flux de l’entreprise non endettée pour obtenir la valeur de l’entreprise non endettée. 

2. Donner  le  taux  d’actualisation  des  flux  de  l’entreprise  endettée  pour  obtenir  la  valeur  de l’entreprise endettée. 

3. Donner  le  taux d’actualisation des  flux de  l’entreprise non endettée pour obtenir  la valeur de l’entreprise endettée. 

   

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Thème 8 ‐ Révisions et exercices complémentaires 

 

Exercice 1 ‐ VAN et TRI 

Une entreprise a le choix entre deux projets d'investissement incompatibles : 

le projet A qui exige une dépense initiale de 30.000 € permettant d'obtenir un cash‐flow net de 

10.000 € par an pendant 5 ans, 

le projet B qui exige une dépense initiale de 30.000 € permettant d'obtenir un cash‐flow net de 

60.000 € au bout de 5 ans.  

Le taux d'actualisation est de 5%.  

1. Déterminez la VAN et le TRI de chaque projet. 

2. Lequel choisissez‐vous ? Pourquoi ? 

 

Exercice 2 ‐ VAN de projets risqués 

Une  entreprise  a  le  choix  entre  2  projets  d'investissement  incompatibles  et  risqués  A  et  B.  La 

dépense initiale est la même pour les deux projets (1000 K€), la durée de vie est la même (5 ans). 

L'espérance mathématique des cash‐flows nets prévisionnels est de 400 K€ pour le projet A et de 500 

K€ pour  le projet B. Le taux d'intérêt sans risque est de 10%,  l'espérance mathématique du taux de 

rentabilité du marché est de 15%. Le Beta prévisionnel du projet A est de 0,8 et celui du projet B est 

de 1,2. Les projets sont‐ils acceptables ? Lequel doit être préféré ? 

 

Exercice 3 ‐ VAN de projets risqués 

Le taux sans risque est de 4% et  la rentabilité espérée du portefeuille de marché est de 12%. On se 

place dans le cadre du modèle d'équilibre des actifs financiers :  

1. Dessinez un graphique qui montre comment la rentabilité espérée varie avec le Beta. 

2. Quelle est la prime de risque ? 

3. Quelle est la rentabilité requise d'un investissement avec  1,5 ? 

4. Si un investissement ayant un  0,8 offre une rentabilité espérée de 9,8%, cet investissement 

présente‐il une VAN positive ? 

5. Si la rentabilité attendue est de 11,2% pour l'action A, quel est son Beta ? 

 

Exercice 4 ‐ VAN et VAR 

La Nouvelle Société Industrielle Multibranche (NSIM) étudie deux projets d'investissement.  

Le premier consiste à investir dans une brasserie, ce qui implique une dépense initiale de 1 000 000 € 

et doit permettre d'obtenir un flux net de  liquidités perpétuel dont  le montant annuel après  impôt 

est de 210 000 €. 

Le second projet consiste à  investir dans une aciérie, ce qui  implique une dépense  initiale de 1 000 

000 € et doit permettre d'obtenir un flux net de  liquidités perpétuel dont  le montant annuel après 

impôt est de 240 000 €. 

 

Le taux d'intérêt sans risque est de 5% et la prime de risque du portefeuille de marché est de 10%.  

 

On dispose par ailleurs d'un certain nombre de renseignements sur des sociétés dont toute l'activité 

est consacrée à la brasserie et sur d'autres sociétés dont toute l'activité consiste à produire de l'acier. 

 

 

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Société  Capitaux Propres Dette  β de l'action 

Brasseries Réunies  5.000.000 5.000.000 0,9 

Brasseries de l'Est  10.000.000 10.000.000 1,1 

Brasseries du Sud  20.000.000 20.000.000 1,1 

Brasseries du Nord  15.000.000 15.000.000 0,9 

Brasseries de l'Ouest  25.000.000 25.000.000 1,0 

Brasseries Modernes  10.000.000 10.000.000 1,0 

   

Aciéries du Nord  10.000.000 5.000.000 3,3 

Aciéries de l'Ouest  15.000.000 7.500.000 3,0 

Aciéries Réunies  20.000.000 10.000.000 2.7 

Aciéries de l'Est  30.000.000 15.000.000 2,7 

Aciéries du Sud  10 000.000 5.000.000 3,3 

Aciéries Modernes  40.000.000 20.000.000 3,0 

 

La NSIM constate qu'il existe un taux d'endettement cible de 0,5 pour la brasserie et de 1/3 pour la 

production d'acier. Les deux projets, s'ils sont acceptés, seront financés pour partie par fonds propres 

et pour partie par endettement selon le taux d'endettement approprié à chacun d'eux. 

Il est à noter que le taux d'endettement des projets est calculé par rapport à la dépense initiale qu'ils 

impliquent. Les dettes qui financent pour partie ces projets perpétuels sont également perpétuelles 

et rémunérées au taux d'intérêt sans risque. Le taux d'impôt sur les sociétés est de 50%.  

 

1. Utilisez la méthode de la Valeur Actuelle Rajustée (VAR) pour déterminer si les deux projets sont 

rentables. 

2. Déterminez le coût du capital rajusté de chaque projet en appliquant la formule de Modigliani et 

Miller. 

3. Pour  chacun  des  projets,  calculez  le montant  annuel  du  flux  net  de  liquidités  perpétuel  pour 

lequel  la VAR est égale à zéro. Si chaque projet rapporte un tel flux annuel, vérifiez que sa VAN 

obtenue directement par  le  coût du  capital  rajusté  (calculé dans  la 2ème question) est égale  à 

zéro. 

 

Exercice 5 ‐ Choix d’investissement 

L'entreprise Alpha désire faire un investissement dans le secteur des cosmétiques, la dépense totale 

s'élève à 300 millions d'euros. Il est prévu que cet investissement génère un flux perpétuel annuel de 

45 millions  d'euros  après  impôts.  La  dette  est  sans  risque.  Le  Beta  des  actions  du  secteur  des 

cosmétiques pour les entreprises non endettées est de 0,8. Le taux sans risque est de 7 % et le taux 

de rentabilité espéré du portefeuille de marché est de 18%. 

1. Déterminez la VAN de ce projet s'il n'est financé que par fonds propres. 

2. En fait, l'entreprise a un ratio d'endettement cible de 50 %. De plus, on suppose que le projet est 

financé de  la même façon que  l'entreprise et que  la dette est perpétuelle. Le taux d'imposition 

sur les sociétés est de 50 %.  

a. Déterminez si le projet est acceptable par la méthode de la VAR. 

b. Interprétez votre résultat. 

3. Déterminez  le  coût  du  capital  rajusté  en  appliquant  la  formule  de  Modigliani  et  Miller. 

Interprétez votre résultat. 

4. Calculez la VAN du projet et commentez le résultat. 

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5. En l'absence d'imposition, quelle aurait été la VAN du projet ? 

6. Si le ratio d'endettement cible était supérieur à 50% :  

a. Le  coût du  capital  rajusté  serait‐il  inférieur ou  supérieur  à  ce que  vous  avez  trouvé  ? 

Pourquoi ? 

b. La VAR serait‐elle plus ou moins importante ? 

c. La VAN serait‐elle plus ou moins importante ? 

 

Exercice 6 ‐ Choix d’investissement 

L'entreprise Omega  désire  faire  un  investissement  dans  le  secteur  des  jouets.  La  dépense  totale 

s'élève  à  250 millions  d'euros.  Cet  investissement  doit  générer  un  flux  perpétuel  annuel  de  40 

millions d'euros. La dette est sans risque. Le Beta des actions du secteur du jouet pour les entreprises 

ayant un  ratio d'endettement cible de 0,5 est de 1,3. Le  taux  sans  risque est de 7 % et  le  taux de 

rentabilité espéré du marché est de 18 %. Il n'y a pas de fiscalité. 

 

1. Si le projet n'est financé que par fonds propres, le projet est‐il acceptable ? 

2. En fait, l'entreprise a un ratio d'endettement cible de 0,5. De plus, on suppose que le projet est 

financé  de  la même  façon  que  l'entreprise  et  que  la  dette  est  perpétuelle.  Le  projet  est‐il 

acceptable ? 

3. Si l'on suppose que l'entreprise décide de faire passer son ratio d'endettement cible à 0,4 et que 

cela ne change en rien le risque de la dette :  

a. Quel est le taux de rentabilité requis par les actionnaires ? 

b. Le projet est‐il acceptable ? 

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Annexe 2  

Etude de cas : la société SMTP 

 

Certaines grandes entreprises, à  la  suite d'une histoire mouvementée vécue au cours de  ces deux 

dernières  décennies,  (fusions‐acquisitions,  cessions  d'actifs…)  ont  aujourd'hui  plusieurs  divisions 

opérationnelles appartenant à des branches d'activités très différentes.  

 

Chaque division  jouit d'une  large autonomie et prépare ses propres projets d'investissement. Mais 

les décisions finales d'acceptation ou de rejet concernant les grands projets ainsi que le financement 

général de l'entreprise sont du ressort de la direction générale. Celle‐ci éprouve quelque difficulté à 

établir  cohérence  et  équilibre  :  cohérence  dans  le  choix  de  projets  appartenant  à  des  branches 

d'activité très différentes; équilibre dans le financement général de l'entreprise. 

 

Le  cas  de  la  Société  SMTP  présenté  ici  illustre  tout  à  fait  le  problème  de  ces  grandes  sociétés 

constituées de plusieurs divisions appartenant à des branches d'activité différentes. 

 

La Société SMTP a  trois divisions  : alimentaire,  chimique et électronique.  L'importance  relative de 

chaque division est  indiquée par  le pourcentage de sa valeur de marché dans  la valeur de marché 

totale de la Société SMTP. 

Division  Alimentaire Chimique  Electronique 

Pourcentage de la valeur de marché de SMTP 40%  20%  40% 

 

La Société SMTP dans son ensemble est financée pour  les 2/3 par capitaux propres et pour 1/3 par 

dettes. On a donc   où   désigne la valeur de marché des capitaux propres et   la valeur de 

marché des dettes. Sa dette peut être considérée comme sans risque et perpétuelle au taux fixe de 

5%. 

 

Alors  que  le  dernier  exercice  vient  de  se  terminer,  le  directeur  financier  de  chacune  des  trois 

divisions  présente  un  gros  projet  d'investissement  à  la  Direction  Générale.  Cette  dernière  doit 

décider  de  l'acceptation  (ou  du  rejet)  des  projets  et  de  leur  financement.  Les  trois  projets  sont 

perpétuels et présentent les caractéristiques suivantes (montants exprimés en millions d'euros).  

Projet  Alimentaire Chimique Electronique 

Dépense Initiale  1000  1000  1000 

CF Annuel Prévisionnel 300  300  150 

 

Les cash‐flows prévisionnels  sont évalués en  supposant  les projets  financés entièrement par  fonds 

propres et nets d'impôt sur les sociétés (dont le taux est de 40% ).  

 

Il  a  été  possible  d'identifier,  sur  le  marché,  des  entreprises  monoproductrices  qui  sont  des 

concurrents de chacune des trois divisions. Ces entreprises extérieures que la Société SMTP observe 

pour en déduire des  informations  financières, ont, chacune dans  leur domaine,  les caractéristiques 

suivantes. 

Leur activité économique est exactement  la même que celle de  la division de SMTP dont elles 

sont les concurrentes. 

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Leur structure de  financement a atteint son équilibre et est égale à  la moyenne de  la branche 

(définie  de  façon  très  étroite)  à  laquelle  elles  appartiennent.  En  d'autres  termes,  leur  taux 

d'endettement effectif est égal à leur taux d'endettement cible. 

 

Des  informations  financières concernant ces entreprises extérieures ont été  fournies à  la Direction 

Générale de SMTP par une firme spécialisée et figurent en annexe. 

 

La  Direction  Générale  considère  qu'il  est  possible  de  financer  les  projets  nouveaux  par 

autofinancement jusqu'à concurrence de 2000. Au‐delà de ce montant, il est envisagé de financer les 

projets  par  emprunt.  La  Direction  Générale  examine  les  trois  projets  dans  l'ordre  chronologique 

suivant :  

1. projet de la division alimentaire, 

2. projet de la division chimique, 

3. projet de la division électronique. 

 

Au  cours de  leur examen,  le projet de  la division alimentaire et  celui de  la division  chimique  sont 

considérés comme financés par autofinancement.  

 

Si  ces  deux  projets  sont  acceptés,  ils  épuisent  les  possibilités  d'autofinancement.  Le  projet  de  la 

division électronique (dont l'examen ne commence qu'une fois prise la décision concernant les deux 

premiers  projets)  est  alors  considéré,  par  la  Direction  Générale  de  SMTP,  comme  financé  par 

emprunt. II s'agit d'un emprunt assimilable à un emprunt perpétuel sans risque au taux de 5%. 

 

La Direction Générale se propose d'évaluer les trois projets selon la méthode qui est décrite ci‐après. 

1. Pour  les projets des divisions alimentaire et chimique que  la DG considère comme financés par 

fonds propres : 

La DG calcule d'abord le Beta de l'action SMTP 

Puis elle calcule le taux de rentabilité que l'on peut obtenir sur le marché financier dans 

cette  classe de  risque. Ce  taux  est  considéré  comme  le  coût du  capital  (ou des  fonds 

propres).  

On  utilise  alors  ce  taux  comme  taux  d'actualisation  appliqué  aux  cash‐flows  annuels 

perpétuels pour calculer la VAN. Celle‐ci sert de critère de décision. 

2. Pour  le  projet  de  la  division  électronique  que  la DG  considère  comme  financé  par  une  dette 

perpétuelle  au  taux  sans  risque de  5%  (dans  le  cas  vraisemblable où  les projets des divisions 

alimentaire et chimique seraient acceptés).  

La DG utilise le taux d'intérêt sans risque de 5% comme coût du capital. Ce taux est pris 

comme taux d'actualisation et permet d'obtenir une VAN de base du projet.  

Par mesure de sécurité, on vérifie, dans  le cas où  la VAN de base serait positive, que  le 

TRl du projet est supérieur au taux d'intérêt de 5%. 

On  calcule  la  valeur  actualisée  de  l'économie  d'impôt  annuelle  procurée  par  le 

financement par dette du projet. Cette valeur actualisée de l'avantage fiscal est ajoutée à 

la VAN de base pour obtenir une VAN ajustée qui sert de critère de décision. 

 

 

 

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Annexes (étude de cas SMTP) 

 

Branche industrie alimentaire 

 Taux 

d'endettement Beta Action 

Ecart‐Type du Beta 

R  Nombre 

d'observations 

Société A1  50%  1,11  0,18  0,54 60 

Société A2  50%  1,05  0,21  0,59 60 

Société A3  50%  0,92  0,17  0,61 60 

Société A4  50%  0,95  0,19  0,63 60 

Société A5  50%  0,34  0,74  0,14 7 

Société A6  50%  0,28  0,81  0,11 7 

Portefeuille  50%  1,00  0,06  0,72 60 

 

Branche industrie chimique 

 Taux 

d'endettement Beta Action 

Ecart‐Type du Beta 

R  Nombre 

d'observations 

Société C1  1/3  1,43  0,22  0,62 60 

Société C2  1/3  2,11  1,94  0,06 7 

Société C3  1/3  1,61  0,19  0,59 60 

Société C4  1/3  1,55  0,17  0,61 60 

Société C5  1/3  0,42  1,07  0,17 7 

Société C6  1/3  1,39  0,12  0,65 60 

Portefeuille  1/3  1,5  0,04  0,74 60 

 

 

Branche industrie électronique : 

 Taux 

d'endettement Beta Action 

Ecart‐Type du Beta 

R  Nombre 

d'observations 

Société E1  25%  1,91  0,16  0,51 60 

Société E2  25%  0,36  1,79  0,06 7 

Société E3  25%  2,08  0,09  0,58 60 

Société E4  25%  0,41  2,01  0,11 7 

Société E5  25%  2,03  0,12  0,61 60 

Société E6  25%  1,99  0,14  0,63 60 

Portefeuille  25%  2,00  0,04  0,69 60 

 

N.B. 

1. Les Betas actions figurant dans le tableau ont été calculés par régression linéaire en utilisant des 

observations mensuelles qui appartiennent aux cinq dernières années.  

2. Les taux d'endettement ont été calculés d'après les valeurs de marché.  

3. Les  entreprises  de  référence  indiquées  A1  à  A6  (industrie  alimentaire),  C1  à  C6  (industrie 

chimique), E1 à E6 (industrie électronique) présentent les caractéristiques suivantes :  

elles sont monoproductrices, 

elles exercent exactement le même type d'activité économique que la division de SMTP 

qui les prend comme firme de référence, 

leur  taux d'endettement  est  égal  au  taux d'endettement moyen des  entreprises de  la 

branche et peut être considéré comme taux d'endettement cible. 

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4. Dans chaque branche figure un portefeuille qui présente les caractéristiques suivantes :  

il  est  composé  de  10  entreprises  de  référence  de  la,  branche,  observées  chacune 

pendant 60 mois, et ayant  chacune  le même  taux d'endettement pendant  toute  cette 

période (égal au taux d'endettement cible de la branche) 

l'importance  relative  de  chacune  des  10  sociétés,  au  sein  du  portefeuille,  est 

proportionnelle à sa capitalisation boursière, 

la rentabilité mensuelle du portefeuille est égale à la moyenne pondérée des rentabilités 

mensuelles des actions qui le composent. 

5. La  société  qui  a  fourni  les  informations  financières  concernant  les  entreprises  extérieures 

auxquelles  SMTP  se  réfère  émet  une  recommandation  :  "dans  l'utilisation  des  résultats  de 

régressions,  certaines  sociétés  sont  à  éliminer  purement  et  simplement.  Il  s'agit  des  sociétés 

pour lesquelles les résultats de la régression n'ont aucune signification statistique".  

6. Les  agences  de  rating  ont  attribué  la  note maximale  à  la  société  SMTP  ainsi  qu'à  toutes  les 

entreprises de référence. Il est raisonnable de considérer que le Beta de leur dette est nul.  

7. On  peut  considérer  que  le  taux  d'intérêt  annuel  sans  risque  à  long  terme  est  de  5%  et  que 

l'espérance de la prime de risque du marché est de 10%. Il apparaît raisonnable de supposer que 

ces deux données expriment valablement l'équilibre ex‐ante du marché financier. 

 

Travail à faire 

Le  travail  à  faire  consiste  à  commenter  les  décisions  de  la  Direction  Générale  de  SMTP  et  les 

méthodes  utilisées  par  cette  société.  Ce  commentaire mettra  en  lumière  le  concept  de  coût  du 

capital d'un projet ainsi que  les  interactions entre  les décisions d'investissement et  les décisions de 

financement. 

 

Une attention particulière  sera apportée au problème de  la  contribution d'un projet à  la  capacité 

d'endettement  de  la  firme  et  à  son  corollaire  constitué  par  l'avantage  fiscal  dû  à  l'endettement 

imputable à un projet. 

 

Les valeurs numériques relatives au cas de la Société SMTP permettront d'illustrer, de préciser et de 

juger la méthode utilisée par la Société SMTP et la solution qui en découle. Ces valeurs numériques 

pourront  être  utilisées  pour  effectuer  d'autres  calculs  et  proposer  une  autre  solution  que  celle  à 

laquelle conduit la méthode employée par SMTP. 

 

En particulier, il est demandé de calculer : 

1. le Beta de l'action SMTP et l'espérance du taux de rentabilité de cette action,  

2. le taux d'actualisation correct à appliquer à chacun des trois projets de la Société SMTP,  

3. la valeur actuelle de  l'avantage  fiscal dû à  l'endettement  imputable à chaque projet et  la VAN 

ajustée correspondante,  

le montant de l'espérance du cash‐flow annuel qui rend chaque projet neutre, c'est‐à‐dire sans gain 

ni perte. 

   

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Thème 9 ‐ Options financières 

 

Exercice 1 ‐ Paiements associés aux options 

Reportez‐vous  au  graphique.  Complétez  chacune  des  parties  (a  et  b)  avec  l'une  des  expressions 

suivantes :  

(a) Acheteur d'une option d'achat. 

(b) Vendeur d'une option d'achat. 

(c) Acheteur d'une option de vente. 

(d) Vendeur d'une option de vente. 

  

Exercice 2 ‐ Assurance de portefeuille 

Supposons  que  vous  déteniez  une  action  et  une  option  de  vente  sur  ce  titre.  Quelle  est 

l'indemnisation à l'échéance de l'option lorsque :  

(a) le cours du sous‐jacent est inférieur au prix d'exercice ? 

(b) le cours du sous‐jacent est supérieur au prix d'exercice ? 

 

Exercice 3 ‐ Assurance de portefeuille 

Il  existe  une  autre  stratégie  que  celle  consistant  à  acheter  des  options  d'achat  et  emprunter  ou 

prêter  qui  procure  le même  résultat  que  celle  décrite  à  la  question  précédente. Quelle  est  cette 

stratégie ? 

 

Exercice 4 ‐ Conversion 

Supposons que vous achetiez une option d'achat européenne à un an sur  l'action Carrefour au prix 

d'exercice  de  110  et  que  vous  vendiez  une  option  de  vente  européenne  à  un  an  au même  prix 

d'exercice. Le cours actuel de l'action est de 100 et le taux d'intérêt est de 10%.  

1. Faites un graphique de position représentant les résultats de vos investissements. 

2. Combien cette combinaison vous coûte‐t‐elle ? Expliquez. 

 

Exercice 5 ‐ Borne inférieure des prix des calls, opportunité d’arbitrage 

Le cours actuel de  l'action Hermès International est de 200 €. Un call européen 1 an, de strike 50 € 

est évalué à 75 €. Comment pourriez‐vous tirer avantage de cette opportunité ? 

 

Exercice 6 ‐ Bornes pour les primes de calls 

Quelle est la limite inférieure du prix d'une option d'achat ? Quelle est la limite supérieure ? 

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Exercice 7 : Relation de parité call ‐ put  

On note  1A  la valeur de l’actif à échéance,  0A  sa valeur aujourd’hui,  K , le prix d’exercice de l’option 

et  r   le  taux  d’intérêt  sans  risque  entre  aujourd’hui  et  la  date  d’exercice.  ( )C K   est  la  prime  de 

l’option d’achat,  ( )P K  la prime de l’option de vente. 

1. Représenter algébriquement et graphiquement le paiement d’une option d’achat à échéance. 2. Représenter algébriquement et graphiquement le paiement d’une option de vente à échéance. 3. On suppose que l’on constitue un portefeuille où l’on achète une option d’achat et l’on vend une 

option de vente. Représenter algébriquement et graphiquement  le profil de paiement associé à ce portefeuille.  

4. Quel est le montant à investir pour constituer ce portefeuille. 5. On  constitue maintenant  un  portefeuille  où  l’on  achète  l’actif  et  on  emprunte  au  taux  sans 

risque. Déterminer  le montant à emprunter au taux sans risque pour obtenir  le même profil de paiement que précédemment 

6. En déduire la relation de parité call‐put.  

Exercice 8 ‐ Relation de parité call‐put : application 

On considère des options européennes. Laquelle des propositions suivantes est correcte ? 

(a) Valeur Put + Valeur actuelle Strike = Valeur Call + Cours de l'Action 

(b) Valeur Put + Cours de l'Action = Valeur Call + Valeur actuelle Strike 

(c) Valeur Put ‐ Cours de l'Action = Valeur actuelle Strike ‐ Valeur Call 

(d) Valeur Put + Valeur Call = Cours de l'Action ‐ Valeur actuelle Strike 

 

La proposition correcte met en équation deux stratégies d'investissement. Représentez les résultats 

de  chacune  des  stratégies  en  fonction  du  cours  de  l'action.  Montrez  que  ces  deux  stratégies 

fournissent des résultats identiques. 

 

Exercice 9 ‐ Relation de parité call‐put : application 

L'action ordinaire de l'entreprise Air Liquide se négocie à 90 euros. Un Call sur l'action de maturité 26 

semaines et de Strike 100 euros est vendu 8 euros. Le taux d'intérêt sans risque annuel est de 10%. 

1. Supposons que vous désiriez en acheter un Put (européen) sur Air Liquide, mais que celui‐ci ne 

soit pas traité dans le marché. Comment faudrait‐il faire ? 

2. Supposons que  les options de vente soient négociées. Quel serait  le prix d'une  telle option de 

maturité 26 semaines et de prix d'exercice 100 euros ? 

 

Exercice 10 ‐ "Asset substitution" 

En tant que dirigeant d’Hermes, vous possédez un nombre important d'options sur actions. Cela vous 

donne le droit d'acheter les actions de l'entreprise pendant les cinq prochaines années au prix de 100 

euros  par  titre.  Deux  propositions  alternatives  sont  envisagées  pour  le  développement  de 

l’entreprise. Les deux propositions ont la même valeur actuelle, mais l'une est beaucoup plus risquée 

que l'autre. Dans un premier temps, vous ne saviez pas laquelle choisir, mais vous vous êtes souvenu 

de vos options sur actions. Comment cela pourrait‐il influer sur votre choix ? 

 

 

 

 

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Annexe 1 

Fonction de répartition de la loi  ,  

 

 

 

 x  0,00  0,01  0,02  0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08  0,09 

0,0  0,500000  0,503989  0,507978  0,511966 0,515953 0,519939 0,523922 0,527903 0,531881  0,535856 0,1  0,539828  0,543795  0,547758  0,551717 0,555670 0,559618 0,563559 0,567495 0,571424  0,575345 0,2  0,579260  0,583166  0,587064  0,590954 0,594835 0,598706 0,602568 0,606420 0,610261  0,614092 0,3  0,617911  0,621720  0,625516  0,629300 0,633072 0,636831 0,640576 0,644309 0,648027  0,651732 0,4  0,655422  0,659097  0,662757  0,666402 0,670031 0,673645 0,677242 0,680822 0,684386  0,687933 0,5  0,691462  0,694974  0,698468  0,701944 0,705401 0,708840 0,712260 0,715661 0,719043  0,722405 0,6  0,725747  0,729069  0,732371  0,735653 0,738914 0,742154 0,745373 0,748571 0,751748  0,754903 0,7  0,758036  0,761148  0,764238  0,767305 0,770350 0,773373 0,776373 0,779350 0,782305  0,785236 0,8  0,788145  0,791030  0,793892  0,796731 0,799546 0,802337 0,805105 0,807850 0,810570  0,813267 0,9  0,815940  0,818589  0,821214  0,823814 0,826391 0,828944 0,831472 0,833977 0,836457  0,838913 1,0  0,841345  0,843752  0,846136  0,848495 0,850830 0,853141 0,855428 0,857690 0,859929  0,862143 1,1  0,864334  0,866500  0,868643  0,870762 0,872857 0,874928 0,876976 0,879000 0,881000  0,882977 1,2  0,884930  0,886861  0,888768  0,890651 0,892512 0,894350 0,896165 0,897958 0,899727  0,901475 1,3  0,903200  0,904902  0,906582  0,908241 0,909877 0,911492 0,913085 0,914657 0,916207  0,917736 1,4  0,919243  0,920730  0,922196  0,923641 0,925066 0,926471 0,927855 0,929219 0,930563  0,931888 1,5  0,933193  0,934478  0,935745  0,936992 0,938220 0,939429 0,940620 0,941792 0,942947  0,944083 1,6  0,945201  0,946301  0,947384  0,948449 0,949497 0,950529 0,951543 0,952540 0,953521  0,954486 1,7  0,955435  0,956367  0,957284  0,958185 0,959070 0,959941 0,960796 0,961636 0,962462  0,963273 1,8  0,964070  0,964852  0,965620  0,966375 0,967116 0,967843 0,968557 0,969258 0,969946  0,970621 1,9  0,971283  0,971933  0,972571  0,973197 0,973810 0,974412 0,975002 0,975581 0,976148  0,976705 2,0  0,977250  0,977784  0,978308  0,978822 0,979325 0,979818 0,980301 0,980774 0,981237  0,981691 2,1  0,982136  0,982571  0,982997  0,983414 0,983823 0,984222 0,984614 0,984997 0,985371  0,985738 2,2  0,986097  0,986447  0,986791  0,987126 0,987455 0,987776 0,988089 0,988396 0,988696  0,988989 2,3  0,989276  0,989556  0,989830  0,990097 0,990358 0,990613 0,990863 0,991106 0,991344  0,991576 2,4  0,991802  0,992024  0,992240  0,992451 0,992656 0,992857 0,993053 0,993244 0,993431  0,993613 2,5  0,993790  0,993963  0,994132  0,994297 0,994457 0,994614 0,994766 0,994915 0,995060  0,995201 2,6  0,995339  0,995473  0,995604  0,995731 0,995855 0,995975 0,996093 0,996207 0,996319  0,996427 2,7  0,996533  0,996636  0,996736  0,996833 0,996928 0,997020 0,997110 0,997197 0,997282  0,997365 2,8  0,997445  0,997523  0,997599  0,997673 0,997744 0,997814 0,997882 0,997948 0,998012  0,998074 2,9  0,998134  0,998193  0,998250  0,998305 0,998359 0,998411 0,998462 0,998511 0,998559  0,998605 3,0  0,998650  0,998694  0,998736  0,998777 0,998817 0,998856 0,998893 0,998930 0,998965  0,998999 3,1  0,999032  0,999065  0,999096  0,999126 0,999155 0,999184 0,999211 0,999238 0,999264  0,999289 3,2  0,999313  0,999336  0,999359  0,999381 0,999402 0,999423 0,999443 0,999462 0,999481  0,999499 3,3  0,999517  0,999534  0,999550  0,999566 0,999581 0,999596 0,999610 0,999624 0,999638  0,999651 3,4  0,999663  0,999675  0,999687  0,999698 0,999709 0,999720 0,999730 0,999740 0,999749  0,999758 3,5  0,999767  0,999776  0,999784  0,999792 0,999800 0,999807 0,999815 0,999822 0,999828  0,999835 3,6  0,999841  0,999847  0,999853  0,999858 0,999864 0,999869 0,999874 0,999879 0,999883  0,999888 3,7  0,999892  0,999896  0,999900  0,999904 0,999908 0,999912 0,999915 0,999918 0,999922  0,999925 3,8  0,999928  0,999931  0,999933  0,999936 0,999938 0,999941 0,999943 0,999946 0,999948  0,999950 3,9  0,999952  0,999954  0,999956  0,999958 0,999959 0,999961 0,999963 0,999964 0,999966  0,999967 4,0  0,999968  0,999970  0,999971  0,999972 0,999973 0,999974 0,999975 0,999976 0,999977  0,999978 

 

La table permet de lire les valeurs de la fonction de répartition de la loi normale standard pour  0 

avec  une  précision  de  6  décimales.  Elle  est  définie  par  la  relation  :  

Φ/

√2 

Pour  0, il faut utiliser l'identité Φ 1 Φ  et déterminer Φ  avec la table.  

 

Soit à déterminer Φ 1,34 Φ 1,30 0,04 .  

Les deux premiers chiffres significatifs de   correspondent aux en‐têtes de chaque ligne ; Le second 

chiffre  après  la  virgule  correspond  aux en‐têtes de  chaque  colonne.  La  valeur  cherchée  se  trouve 

donc dans  la cellule de  la matrice située à  l'intersection de  la  ligne commençant par 1,30 et de  la 

colonne commençant par 0,04. En appliquant ce principe, on trouve Φ 1,34 0,909877. 

29/29 

Annexe 2 

Prix Black‐Scholes d'un Call Européen, exprimé en % du prix du sous‐jacent 

 

NPV = (Underlying asset value) / PV (Exercise price)

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,55

0,60

0,65

0,70

0,75

0,80

0,82

0,84

0,86

0,88

0,90

0,92

0,94

0,96

0,98

1,00

1,02

1,04

1,06

1,08

1,10

1,12

1,14

1,16

1,18

1,20

1,25

1,30

1,35

1,40

1,45

1,50

1,75

2,00

2,50

Sigma * Sqrt(T)

0,05

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,1

0,3

0,6

1,2

2,0

3,1

4,5

6,0

7,5

9,1

10,7

12,3

13,8

15,3

16,7

20,0

23,1

25,9

28,6

31,0

33,3

42,9

50,0

60,0

0,10

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,1

0,2

0,3

0,5

0,8

1,2

1,7

2,3

3,1

4,0

5,0

6,1

7,3

8,6

10,0

11,3

12,7

14,1

15,4

16,8

20,0

23,1

25,9

28,6

31,0

33,3

42,9

50,0

60,0

0,15

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,1

0,2

0,5

0,7

1,0

1,3

1,7

2,2

2,8

3,5

4,2

5,1

6,0

7,0

8,0

9,1

10,2

11,4

12,6

13,8

15,0

16,2

17,4

20,4

23,3

26,0

28,6

31,1

33,3

42,9

50,0

60,0

0,20

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,1

0,4

0,8

1,5

1,9

2,3

2,8

3,4

4,0

4,7

5,4

6,2

7,1

8,0

8,9

9,9

10,9

11,9

13,0

14,1

15,2

16,3

17,4

18,5

21,2

23,9

26,4

28,9

31,2

33,5

42,9

50,0

60,0

0,25

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,1

0,2

0,5

1,0

1,8

2,8

3,3

3,9

4,5

5,2

5,9

6,6

7,4

8,2

9,1

9,9

10,9

11,8

12,8

13,7

14,7

15,7

16,7

17,7

18,7

19,8

22,3

24,7

27,1

29,4

31,7

33,8

42,9

50,0

60,0

0,30

0,0

0,0

0,0

0,1

0,1

0,3

0,7

1,2

2,0

3,1

4,4

5,0

5,7

6,3

7,0

7,8

8,6

9,4

10,2

11,1

11,9

12,8

13,7

14,6

15,6

16,5

17,4

18,4

19,3

20,3

21,2

23,5

25,8

28,1

30,2

32,3

34,3

43,1

50,1

60,0

0,35

0,0

0,0

0,1

0,2

0,4

0,8

1,4

2,3

3,3

4,6

6,2

6,8

7,5

8,2

9,0

9,8

10,6

11,4

12,2

13,0

13,9

14,8

15,6

16,5

17,4

18,3

19,2

20,1

21,0

21,9

22,7

24,9

27,1

29,2

31,2

33,2

35,1

43,5

50,2

60,0

0,40

0,0

0,1

0,2

0,5

0,9

1,6

2,4

3,5

4,8

6,3

8,0

8,7

9,4

10,2

11,0

11,7

12,5

13,4

14,2

15,0

15,9

16,7

17,5

18,4

19,2

20,1

20,9

21,8

22,6

23,5

24,3

26,4

28,4

30,4

32,3

34,2

36,0

44,0

50,5

60,1

0,45

0,1

0,2

0,5

1,0

1,7

2,6

3,7

5,0

6,5

8,1

9,9

10,6

11,4

12,2

12,9

13,7

14,5

15,3

16,2

17,0

17,8

18,6

19,4

20,3

21,1

21,9

22,7

23,5

24,3

25,1

25,9

27,9

29,8

31,7

33,5

35,3

37,0

44,6

50,8

60,2

0,50

0,2

0,5

1,0

1,7

2,6

3,7

5,1

6,6

8,2

10,0

11,8

12,6

13,4

14,2

14,9

15,7

16,5

17,3

18,1

18,9

19,7

20,5

21,3

22,1

22,9

23,7

24,5

25,3

26,1

26,8

27,6

29,5

31,3

33,1

34,8

36,4

38,1

45,3

51,3

60,4

0,55

0,5

1,0

1,7

2,6

3,8

5,1

6,6

8,3

10,0

11,9

13,8

14,6

15,4

16,1

16,9

17,7

18,5

19,3

20,1

20,9

21,7

22,4

23,2

24,0

24,8

25,5

26,3

27,0

27,8

28,5

29,2

31,0

32,8

34,5

36,1

37,7

39,2

46,1

51,9

60,7

0,60

0,9

1,6

2,5

3,7

5,1

6,6

8,3

10,1

11,9

13,8

15,8

16,6

17,4

18,1

18,9

19,7

20,5

21,3

22

22,8

23,6

24,3

25,1

25,8

26,6

27,3

28,1

28,8

29,5

30,2

30,9

32,6

34,3

35,9

37,5

39,0

40,4

47,0

52,5

61,0

0,65

1,4

2,4

3,6

4,9

6,5

8,2

10,0

11,9

13,8

15,8

17,8

18,6

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93,6

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98,8

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99,0

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99,5

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99,7

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99,7

99,7

99,7

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99,7

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99,7

99,7

99,7

99,7

99,8

99,8

99,8

99,8

99,8

99,8

99,8

99,8

99,8

99,8

99,8

Note: V

alues in the Table rep

resent  percentages of underlying asset values. E.G, 39,3 denotes a call option worth 39,3%

 of the underlying asset value. If the underlying asset value os$60, the value of call option is (60 * 0,393) = $23,58