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Giansalvo EXIN Cirrincione
unité #1
Équations de Maxwell, ondes électromagnétiques Michel Hulin, Nicole Hulin, Denise Perrin
DUNOD - 1998 - 288 pages - 3e édition - format 175 x 253 - ISBN: 2100033697135 FRF
Relativité restreinte Michel Hulin, Nicole Hulin, Lydie Mousselin
DUNOD - 1998 - 208 pages - 2e édition - format 175 x 253 - ISBN: 2100038028140 FRF
MEMENTO
Coordonnées cylindriques
MEMENTO
Coordonnées sphériques
MEMENTO
composante radiale
composante radiale
composante tangentielle
cercle meridien
cercle parallèle
système d’axes orthonormé local S(M)
3
1kkkk dxhd uM
3
1kkkk dxhd uM
1
1
3
2
1
zhh
hh
hh
1
1
3
2
1
zhh
hh
hh
sin
1
3
2
1
rhh
rhh
hh r
sin
1
3
2
1
rhh
rhh
hh r
MEMENTO
champ scalairechamp scalaire f P f x y c ,
f x yxy
ex y, 2 2
f P
f P f x y z c , ,
f x y zx y z
, , 2 2 2
4 6 8
MEMENTO
champ scalairechamp scalaire f P f x y c ,
f x yxy
ex y, 2 2
f P
MEMENTO
ddérivéeérivée selon un vecteurselon un vecteurddérivéeérivée selon un vecteurselon un vecteur f x y e yx, sin 14 2
, , e
MEMENTO
ddérivéeérivée selon un vecteurselon un vecteurddérivéeérivée selon un vecteurselon un vecteur f x y e yx, sin
MEMENTO
ddérivéeérivée selon un vecteurselon un vecteurddérivéeérivée selon un vecteurselon un vecteur f x y e yx, sin
MEMENTO
ddérivéeérivée selon un vecteurselon un vecteurddérivéeérivée selon un vecteurselon un vecteur f x y e yx, sin
MEMENTO
ddérivéeérivée selon un vecteurselon un vecteurddérivéeérivée selon un vecteurselon un vecteur f x y e yx, sin
MEMENTO
ddérivéeérivée selon un vecteurselon un vecteurddérivéeérivée selon un vecteurselon un vecteur f x y e yx, sin
MEMENTOGradient d’une fonction scalaireGradient d’une fonction scalaire
Champ de vecteurs grad fChamp de vecteurs grad f
zyxfMf ,, zyxfMf ,,
df
dsf
dM
ds grad
MEMENTOGradient d’une fonction scalaireGradient d’une fonction scalaire
df
dsf
dM
ds grad
MEMENTOGradient d’une fonction scalaireGradient d’une fonction scalaire
df
dsf
dM
ds grad
f x yx y
x y,
sin sin3
MEMENTOGradient d’une fonction scalaireGradient d’une fonction scalaire
df
dsf
dM
ds grad
df f dM grad
f c df f dM 0 grad
MEMENTOGradient d’une fonction scalaireGradient d’une fonction scalaire
f c df f dM 0 grad
MEMENTOGradient d’une fonction scalaireGradient d’une fonction scalaire
f c df f dM 0 grad
22, yxMyxfMf 22, yxMyxfMf
MEMENTOGradient d’une fonction scalaireGradient d’une fonction scalaire
zyxfMf ,, zyxfMf ,,
z
ffz
grad
z
ffz
grad
f
f1
grad
f
f1
grad
f
f grad
f
f gradr
ffr
grad
r
ffr
grad
f
rf
1 grad
f
rf
1 grad
f
rf
sin
1 grad
f
rf
sin
1 grad
MEMENTOGradient d’une fonction scalaireGradient d’une fonction scalaire
zyxfMf ,, zyxfMf ,,
Condition nécessaire et suffisante pour qu’un champ de vecteurs soit le gradient d’une fonction scalaire est que sa circulation sur une courbe fermée quelconque soit nulle.
Condition nécessaire et suffisante pour qu’un champ de vecteurs soit le gradient d’une fonction scalaire est que sa circulation sur une courbe fermée quelconque soit nulle.
MfM gradU MfM gradU
potentiel scalaire PMfrf PMfrf
MEMENTO
Divergence d’un champ de vecteursDivergence d’un champ de vecteurs
Théorème de la divergenceThéorème de la divergence
flux sortant
MEMENTO
MEMENTO
div U = 0div U = 0
MEMENTO
MEMENTO
MEMENTO
MEMENTO
div U = 0div U = 0
MEMENTO
div U = 0div U = 0
MEMENTO
div U > 0div U > 0
MEMENTO
MEMENTO
Rotationnel d’un champ de vecteursRotationnel d’un champ de vecteurs
rot U > 0rot U > 0
MEMENTO
Rotationnel d’un champ de vecteursRotationnel d’un champ de vecteurs
rot U = 0rot U = 0
Théorème du rotationnelThéorème du rotationnel
MEMENTO
Rotationnel d’un champ de vecteursRotationnel d’un champ de vecteurs
MEMENTO
Rotationnel d’un champ de vecteursRotationnel d’un champ de vecteurs
MEMENTO
Rotationnel d’un champ de vecteursRotationnel d’un champ de vecteurs
MEMENTO
Rotationnel d’un champ de vecteursRotationnel d’un champ de vecteurs
MEMENTO
Laplacien scalaireLaplacien scalaire
2
2
2
2
2
2
graddivz
f
y
f
x
fff
2
2
2
2
2
2
graddivz
f
y
f
x
fff
Laplacien vectorielLaplacien vectoriel
MEMENTO
vecteurs et pseudovecteurs
J.C. Maxwell
vecteur polaire ou vrai vecteur vecteur polaire ou vrai vecteur vecteur axial ou pseudovecteur vecteur axial ou pseudovecteur
Le vecteur V qui se transforme comme un bipoint est un vrai vecteur.
vecteurs et pseudovecteurs
vecteur axial ou pseudovecteur vecteur axial ou pseudovecteur
Prenons le symétrique M ’ de M par rapport à un plan parallèle a P. Il est naturel d’appeler transformé de dans la symétriepar rapport à le vecteur rotation de M ’.
Le produit vectoriel de deux vrais vecteurs est un pseudovecteur.
vecteurs et pseudovecteurs
vecteur pseudovecteur
Symétrie en physique
S
M
E(M)
système
effet
pointobservation
VG
L’effet a, au moins, la symétrie de la cause (principe de Curie)
caractérisé par un certain domaine spatial V qu’il occupe (ensemble de points P) et par un champ de grandeurs G(P) (propriétés physiques)
= [E(M)]
Symétrie en physique
S S*
M M*
E* (M*)E(M)
système
effet
pointobservation
géométrique
= T(S)
= f(M)
VG
translation, rotation, symétrie par rapport à un point ou à un plan
Le principe que nous admettons est que E* (M*) est l ’effet en M* de S*
= [E(M)]
Symétrie en physique
S S*
M M*
E* (M*)E(M)
système
effet
pointobservation
= T(S)
= f(M)
VG
La symétrie de S peut être mise à profit pour déduire l’effet en un point de l’effet en un autre point.
= [E(M)]
Symétrie en physique
S S*
M M*
E* (M*)E(M)
système
effet
pointobservation
= T(S)
= f(M)
VG
M M*
VG
Transformations d’invariance
conditions imposées à l’effet d’un conditions imposées à l’effet d’un systèmesystème en un en un pointpoint
champ vectoriel en plus, renseignements sur sa direction
Symétrie en physique
S S*
M M*
E(M)
système
effet
pointobservation
= T(S)
= f(M)
VG
M M*
V-G
phénoméne linéaire
= -[E(M)]-E* (M*)
champ scalaire de quelles variables il est indépendant
• Le produit scalaire de deux vecteurs est invariant dans une symétrie par rapport à un plan.• Le produit scalaire de deux pseudovecteurs est invariant dans une symétrie par rapport à un plan.• Le produit scalaire d’un vecteur et d’un pseudovecteurs n’ est pas invariant dans une symétrie par rapport à un plan (produit pseudoscalaire).
• Un mobile tourne autour d’un axe à la vitesse angulaire constante . On a: rot v = 2 où v est la vitesse du mobile.
plan de symétrie
E dans le planTrouver le champ électrique E en M
répartition uniforme répartition uniforme de charges électriquesde charges électriques
M
Trouver le champ électrique E en M
répartition uniforme répartition uniforme de charges électriquesde charges électriques
plan de symétrie
E dans le plan
M
plan de symétrie
E dans le plan
E
plan de symétrie
B perpendiculaire au planTrouver le champ magnétique B en M
courant constantcourant constant
M
plan de symétrie
Trouver le champ
magnétique B en MB perpendiculaire au plan
MB
plan de symétrie avec inversioncourant constantcourant constant
B dans le plan
O M
Q
Trouver le champ électrique E en M
charge ponctuelle charge ponctuelle Q Q enen O O
Invariance dans toute rotation propre autour de Invariance dans toute rotation propre autour de OMOM
E
Invariance dans une symétrie par rapport à tout plan passant par Invariance dans une symétrie par rapport à tout plan passant par OMOM
Trouver le champ magnétique B en M
source de courantsource de courant enen O O à symétrie sphériqueà symétrie sphérique
Invariance dans toute rotation propre autour de Invariance dans toute rotation propre autour de OMOM
B
Invariance dans une symétrie par rapport à tout plan passant par Invariance dans une symétrie par rapport à tout plan passant par OMOM
O
B
B
B = 0B = 0
M
distribution uniforme de chargesdistribution uniforme de charges
Trouver le champ électrique E en M
O
distribution uniforme de chargesdistribution uniforme de charges
Trouver le champ électrique E en M
M
distribution uniforme de chargesdistribution uniforme de charges
O
Trouver le champ électrique E en M
plan d
e sym
étrie
E dans le plan
Il y a une infinité de tels plans
M E
distribution uniforme de chargesdistribution uniforme de charges
O
Trouver le champ électrique E en M
arbitraire pour le potentielarbitraire pour le potentiel
x
E(x)M
Nappe de courant Nappe de courant de densité de densité jj paralléle a l’axeparalléle a l’axe
Trouver le champ magnétique B en M
O
M
Trouver le champ magnétique B en M
Nappe de courant Nappe de courant de densité de densité jj paralléle a l’axeparalléle a l’axe
O
plan d
e sym
étrie
M
B
Trouver le champ magnétique B en M
Nappe de courant Nappe de courant de densité de densité jj paralléle a l’axeparalléle a l’axe
B perpendiculaire au plan
B parallèle au planB parallèle au plan