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1
GIN FAndash INSTRUMENTATION P Breuil
OBJECTIFS
bull connaitre les bases des statistiques de la mesure afin de pouvoir drsquoune partcomprendre les speacutecifications drsquoun composant et drsquoautre part eacutevaluer avecrigueur les performances drsquoune chaine de mesure
bull Etre capable de comprendre le suivi des solutions drsquoinstrumentation(eacutetalonnage veacuterification du fonctionnementhellip)
bull Comprendre le fonctionnement drsquoune chaicircne drsquoacquisition de mesure lesdiffeacuterents signaux mis en œuvre et les principales opeacuterations de traitementde signaux associeacutes
bull Etre capable de choisir des capteurs et de superviser leur mise en œuvre enfonction de lrsquoinformation souhaiteacutee (type preacutecisionhellip) de lrsquoenvironnementet du systegraveme de traitement de lrsquoinformation
bull Pour cela connaicirctre les principes physiques et les principales technologiesutiliseacutes dans les capteurs
Calendrier
eacutevalueacute
15 ou 1710 TP 4h Excel
Stats mesure (1)
18 ou 2110 TP 4h Excel
Stats mesure(2)
2812020 Cours2h
Signal amp capteurs
311 ou 42 TP 4h (eacutevalueacute)
TP signal capteurs
52 ou 72 TP 4h Mesure+ reacuteconciliation
72 ou 112 TD 4h Prep exam
122 Exam (2h)
Total 22 heuresAutonomie
Cours TD TP
2 4 16 gt12
2
Contact amp lien
Ressources du cours drsquoinstrumentation
httpscampusemsefrcourseviewphpid=260
si le mail istp est gin18aeinsteineleve-istpcomle login EMSE sera gin18aeinstein (en minuscules)
(si oubli mot de passe httprazmdpemsefr adresse de secours = ISTP)
Alternative temporaire wwwemsefr~pbreuilcapmes
votre compte Mines Saint-Etienne
pbreuilemsefr
Evaluation 1TPs (coef 14)
Evaluation sur les laquo rendus raquo en fin de seacuteance drsquoun TP 2egraveme)
3
Evaluation 2Examen (coef 34)
bull Preacuteparation plus speacutecifique lors du dernier TDbull 2 hbull Pas de documentsbull Formulaire fourni (4 pages)
Statistiques de la Mesure
Philippe Breuil octobre 2019
bullMesure Measurement
bullIncertitude uncertainty
bullEtalonnage Calibration
4
La Mesure
Mesure=
Instrument de mesure uniteacute de mesure meacutethode de mesurehellip
Mesurage = action de mesurer (measurement)
laquo Lobjectif dun mesurage consiste agrave deacuteterminer la valeur du mesurande (measurand) cest-agrave-dire la valeur de la grandeur particuliegravere agrave mesurer raquo (GUM 2008)
laquo En geacuteneacuteral le reacutesultat dun mesurage est seulement une approximation ou estimation de la valeur du mesurande et de ce fait est seulement complet lorsquil est accompagneacute par une expression de lincertitude de cette estimation raquo (GUM 2008)
Guide to the expression of Uncertainty in Measurement
Meacutetrologie
Meacutetrologie = science de la mesure
bullAspect physique et matheacutematique
bull Statistiques de la mesurebull - calcul des incertitudes
bull - Etalonnage
bull Moyens de mesure Capteurs
bullAspect leacutegal
bull Obligations lors drsquoune transaction commerciale
bull Obligations lors de la publication drsquoune mesure
bullAspect eacuteconomique
bull Traccedilabiliteacute et fiabiliteacute
bull Optimisation de la qualiteacute
5
Mesure drsquoune grandeur
Le mesurage se fait agrave laide dun instrument de mesure
bullPar comparaison ex megravetre rapporteurhellip
bull Plus geacuteneacuteralement lrsquoinstrument de mesure va servir agrave transformer un pheacutenomegravene physique en un autre plus facilement mesurable par lrsquointermeacutediaire drsquoun capteur
-- pHmegravetre grandeur chimique -gt grandeur eacutelectrique
-- boussole grandeur magneacutetique -gt grandeur geacuteomeacutetrique (angle)
Cf cours suivanthellip
10
Meacutetrologie chaine de mesure
Laboratoire National
drsquoEssais
NIST (US) PTB (D) NPL (UK)hellip
EtalonsCGPM tous les 4 ans
Comite Franccedilais drsquoaccreacuteditation
6
Uniteacutes de Mesure Systegraveme International
Systegraveme International (SI) baseacute sur 7 grandeurs eacutetalon
Uniteacutes de Mesure Systegraveme International
Systegraveme International (SI) 1960 baseacute sur le systegraveme meacutetrique (CGS puis MKSA)
7
Uniteacutes de Mesure
Autres uniteacutes autoriseacutees-Composeacutees agrave partir des uniteacutes primaires joule (J)=kgm2s-2
-Autoriseacutees car signification physique universelle degC heure eVhellip-Multiples puissances de 10
10-18 atto a
Vocabulaire (1)
14
Erreur absolue diffeacuterence entre la valeur reacuteelle et la mesure
Erreur relativeerreur |mesure| (x 100 si en )
Erreur systeacutematique erreur de valeur moyenne non nulle
Erreur aleacuteatoire erreur non preacutevisible de valeur moyenne nulle
Le vocabulaire est normaliseacute par le BIPMVIM Vocabulaire International de Meacutetrologie
8
Vocabulaire (2)
15
Sensibiliteacute drsquoun SDMdydx pour x donneacute (x=mesurande y=valeur fournie par le SDM)Ex capteur de pression mVhPa
Reacutesolution drsquoun SDM plus petite variation du mesurande deacutetectable
Incertitude laquo Paramegravetre non neacutegatif qui caracteacuterise la dispersion des valeurs attribueacutees agrave un mesurande agrave partir des informations utiliseacutees raquo
Incertitude relative incertitude|mesure|
Systegraveme de mesure
Vocabulaire (3)
16
Non lineacuteariteacute deacuteviation maximale par rapport agrave la courbe approximant la reacuteponse
Offset drsquoun SDM valeur du signal de sortie quand le mesurande est agrave 0
laquo Slew rate raquo vitesse maximale de variation du signal de sortie sans distorsion
Temps de reacuteponselaquo agrave X raquo Temps ou bout duquel en reacuteponse agrave un laquo eacutechelon raquo de
grandeur agrave mesurer le signal a atteind X de sa valeur asymptotique (typiquement 95)
Hysteresis drsquoun SDM aptitude drsquoun SDM dont le signal de sortie agrave lrsquoeacutetat stationnaire ne deacutepend pas que du mesurande mais aussi de lrsquohistoire des signaux anteacuterieurs
Systegraveme de mesure
9
Vocabulaire (4)
17
Deacuterive Lente variation du signal de sortie en fonction du temps ou de la tempeacuterature agrave entreacutee constante
Limite de deacutetection drsquoun SDM plus petite valeur non nulle mesurable pour une certaine probabiliteacute drsquoerreur sur le fait que la valeur vraie est nulle ou non
ReacutepeacutetabiliteacuteEtroitesse de lrsquoaccord entre les valeurs obtenues par des mesurages
reacutepeacuteteacutes dans les mecircmes conditions (lieacutee agrave erreur aleacuteatoire)
ReproductibiliteacuteEtroitesse de lrsquoaccord entre les valeurs obtenues par des mesurages
reacutepeacuteteacutes en faisant varier certaines conditions de mesure
Systegraveme de mesure
18
Quelques rappels sur lerreur et lincertitudehellip
Erreur systeacutematique eB
Systematic error
Erreur accidentelle ou aleacuteatoire eA
Random or accidental error
Mesure x drsquoune variable de valeur reacuteelle xR
ABRxx ee Erreur variable e=xR-x
10
19
Erreur systeacutematique ou aleacuteatoire
Par deacutefinition lerreur aleacuteatoire est impreacutevisible (et donc non corrigeable) et de valeur moyenne nulle
Le caractegravere systeacutematique ou aleacuteatoire de lerreur peut deacutependre du contextehellip
20
Erreur systeacutematique ou aleacuteatoire
Ex mesure dune masse agrave laide dune balance numeacuterique
ea Erreur aleacuteatoire non expliqueacutee
eT Deacuterive en tempeacuterature
eo Erreur opeacuterateur
eu Erreur propre agrave lappareil
es Erreur systeacutematique de la seacuterie ()
Erreur e= ea+eT+eo+eu+es
Conditions des expeacuteriences ea eT eo eu es
1 opeacuterateur le mecircme jour 1 appareil
Idem + eacutetaleacute sur plusieurs jours
Idem + plusieurs opeacuterateurs
Idem + tests sur un lot dappareils
11
Encore du vocabulairehellip
21
Erreur aleacuteatoire
Reacutepeacutetabiliteacute fideacuteliteacute
Variables influenccedilantes
Erreur systeacutematique
biaisjustesse
Reproductibiliteacute
exactitude
22
Caracteacuterisation de la mesure
Moyenne estimeacutee de n mesures dune mecircme valeur xR
n
ixn
x1
1
xR = valeur reacuteelle
R
n
xx
)lim(
(loi des grands nombres)
Estimated mean
Law of large numbers
(Si erreur aleacuteatoire)
2RxxV Variance (de lrsquoerreur aleacuteatoire)
Variance (of random error)Homogegravene au carreacute de la
grandeur mesureacutee
Caracteacuterisation de lrsquoerreur aleacuteatoire
=Moyenne du carreacute de lrsquoerreur
12
23
n
i xxn
s1
2)(1
1Ecart-type estimeacute de
lerreur aleacuteatoire
Ecart-type de lerreur aleacuteatoire
xr
Ecart type
relatif
n
RiRi xxn
xx1
22)(
1
Valeur reacuteelle
Agrave priori inconnuehellip
Standard deviation of random error
Ecart-type de
lerreur aleacuteatoire V
et s ont mecircme espeacuterancehellip
Homogegravene agrave la grandeur mesureacutee
n
ixn
x1
1
n
xx
)()(
Ecart-type de la moyenne de n mesures
24
Distributions drsquoerreurs (aleacuteatoires)
Gaussienne ou normale
Uniforme
Poissonnienne
Etchellip La plus reacutepandue gracircce au Theacuteoregraveme central limitehellip
e0
F(e)Courbe de distribution
de lerreur
Distributions of errors
Gaussian or normal
Uniform
Poissonnian
නminusinfin
0
119865 120576 119889120576 = න0
+infin
119865 120576 119889120576 = 05
A
Probabiliteacute P(A)= 119860 119865 120576 119889120576
13
25
Theacuteoregraveme central limite
Si une variable est la reacutesultante dungrand nombre de causes petites agrave effetadditif cette variable tend vers une loinormale
Cest agrave cause de cette interpreacutetation quela loi normale est tregraves souvent employeacuteecomme modegravele (malheureusement pastoujours agrave raison)
Demo
Central Limit Theorem
26
La distribution Gaussienne (ou normale)
0
01
02
03
04
05
3 2 0 2 3Ecart agrave la moyenne x-x = eacutecart-type
683 des valeurs
2 955 des valeurs
3 997 des valeurs
Proba largeur
50 067middotσ
68 1middotσ
70 104middotσ
87 15middotσ
90 165middotσ
95 196middotσ
99 256middotσ
997 3middotσ
999 328middotσ
99999 999 8 6middotσ
Tableau des coefficients laquo t raquo de Student
tXXprobaP R
=1-LOISTUDENT(tN2)
N= nb eacutechantillons utiliseacutes pour le calcul de s gt20
2
2
1
2
1)(
xx
exF
14
httpwwwjybaudotfrInferentielletstudenthtml
Le coefficient t de Student
tXXprobaP R
P=LOISTUDENT(tN2)
N= nb eacutechantillons utiliseacutes pour le calcul de s -1= nb de degreacutes de liberteacute
Coefs de Student t
intervalle de conf 900 950 980 990 999
p 01 005 002 001 0001
N=nb deg lib
1 631 1271 3182 6366 63662
2 292 430 696 992 3160
3 235 318 454 584 1292
4 213 278 375 460 861
5 202 257 336 403 687
6 194 245 314 371 596
7 189 236 300 350 541
8 186 231 290 336 504
9 183 226 282 325 478
10 181 223 276 317 459
12 178 218 268 305 432
14 176 214 262 298 414
17 174 211 257 290 397
20 172 209 253 285 385
30 170 204 246 275 365
40 168 202 242 270 355
50 168 201 240 268 350
100 166 198 236 263 339
100000 164 196 233 258 329
Relation eacutecart-type Gaussienne valable uniquement si eacutecart-type s parfaitement connu (n=infin)Pratiquement s issu dun calcul statistique-gtLoi de Student(tend vers gaussienne si n grand ngt20)
t=LOISTUDENTINVERSEBILATERALE(PN)
Rappel valable uniquement pour loi gaussienne
28
Distribution de Poisson
Ex comptage drsquoeacutevegravenements non simultaneacutes (deacutesinteacutegration radioactive queuehellip)
Moyenne m
Variance m
demo
15
29
Distribution Uniforme
Ex discreacutetisation de la mesurehellip
TP1
M-d2 M M+d2
d
Moyenne M
Ecart-type
Les tests drsquohypothegravese
30
Significance tests
bull Deacutemarche consistant agrave eacutevaluer une hypothegravese statistique agrave partir dun jeu de donneacutees (eacutechantillon)
bull Le reacutesultat du test nrsquoest pas absolu mais est une probabiliteacute qui est une aide agrave la validation ou non de lrsquohypothegravese initiale il ne constitue donc jamais une preuve
Tests parameacutetriques(hypothegravese sur distribution + ou ndash neacutecessaire)
1-sample T-test Comp Eacutechantillon agrave valeur de reacutefeacuterence intervalle de confiance
2-samples T-test Comparaison de 2 eacutechantillons
F-Test Comparaison de la variance de 2 eacutechantillons
ANOVA Analyse de variance analyse des variances de K eacutechantillons comparaison des moyennes
Chi-Square test Utilisation notamment pour veacuterifier une hypothegravese de distribution
Grubbsrsquo test Deacutetection des valeurs aberrantes (laquo outliers raquo)
Tests non parameacutetriques(pas drsquohypothegravese sur distribution)
Test WilcoxonMW Comparaison de 2 eacutechantillons meacutethode de rang
En rouge tests deacutecrits + loin sinon voir biblio ou google
16
31
95
one-sample T-test laquo simplifieacute raquoComparaison de la mesure M drsquoun eacutechantillon agrave une valeur de reacutefeacuterence R on suppose que la distribution est normale
Hypothegravesesbull laquo M est diffeacuterent de R raquobull laquo M est significativement diffeacuterent de R raquo
Cette hypothegravese de diffeacuterence H1 est retenue si sa probabiliteacute est supeacuterieure agrave 95 (par exemple) (ou si la probabiliteacute drsquoeacutegaliteacute est infeacuterieure agrave 5 (H2)
1 mesure M eacutecart-type estimeacute de la mesure s distr gaussienne
MR
-4srsquo -3srsquo -2srsquo ndashsrsquo 0 srsquo 2srsquo 3srsquo 4srsquo
Hypothegravese retenue si
stRM
si s est calculable laquo preacuteciseacutement raquo
(t=coef de Student)
H1 95 (ou H2 5)
H1 99 (ou H2 1)
H1 999 (ou H2 01)
t 196 256 328
Oui quasiment toujours agrave cause de lrsquoerreur aleacuteatoirehellip
bull laquo La diffeacuterence entre M et R nrsquoest pas due qursquoagrave lrsquoerreur aleacuteatoire raquo
ngt20 sinon tableau des coefs de Studenthellip
32
95
one-sample T-test laquo officiel raquo
Comparaison de la moyenne micro drsquoun eacutechantillon agrave une valeur de reacutefeacuterence R on suppose que la distribution est normaleHypothegravese laquo la diffeacuterence entre la moyenne de n mesures et une valeur de reacutefeacuterence nrsquoest pas due qursquoaux erreurs aleacuteatoires raquo
Cette hypothegravese est retenue si sa probabiliteacute est supeacuterieure agrave 95 (par exemple)
n mesures moyenne m eacutecart-type estimeacute de chaque mesure s
On montre (+ loinhellip) que lrsquoeacutecart-type estimeacute de la moyenne est n
ss
m R
-4srsquo -3srsquo -2srsquo ndashsrsquo 0 srsquo 2srsquo 3srsquo 4srsquo
Hypothegravese retenue si
n
stR m
si s est calculable laquo preacuteciseacutement raquo
(t=coef de Student)
H1 95 (ou H2 5)
H1 99 (ou H2 1)
H1 999 (ou H2 01)
t 196 256 328
17
one-sample T-test exemple
Hypothegravese laquo la diffeacuterenceentre la moyenne de npesages drsquoune masse eacutetalonde 1 kg et la valeur de cettemasse nrsquoest pas due qursquoauxerreurs aleacuteatoires raquo
n
stR m
n
s
Rt
m
1 104946993
2 111917309 Etalon R (kg) 10000
3 099865798
4 101040713
5 114655592
6 097054733
7 114894136
8 108005111 moyenne micro 104614199
9 103044121 Ecart-type s 005326172
10 098202478
11 105094267 00461
12 106252219
13 102608401
14 104961426 002381937 (t=2)
15 103483134 (n=20)
16 103475702
17 098306671
18 109287381
19 097490694
20 107697103
08
09
1
11
12
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
Rm
n
st
Il existe un laquo biais raquohellip
34
two-sample T-test
Comparaison de 2 moyennes de 2 eacutechantillons on suppose que la distribution est normaleHypothegravese laquo la diffeacuterence entre les 2 moyennes nrsquoest pas due qursquoaux erreurs aleacuteatoires raquo
Ech 1 Ech 2
Nb mesures n1 n2
Ecart type estimeacute s1 s2
Moyenne estimeacutee m1 m2
Comparaison de m1 et m2Peut se ramener agrave un 1-sample-test en comparant |m1-m2| agrave 0
On prend alors comme eacutecart-type de |m1-m2|
2
2
2
1
2
1
n
s
n
ss
(deacutemontreacute dans partie laquo lois de propagation de lrsquoerreur raquo)
Et le nombre de degreacutes de liberteacute est en 1ere approx n1+n2-2
st21 mmHypothegravese retenue si
Cette hypothegravese est retenue si sa probabiliteacute est supeacuterieure agrave 95 (par exemple)
2
2
2
1
2
121
n
s
n
st mm
18
two-sample T-test exemple
2
2
2
1
2
121
n
s
n
st mm
op1 op2 op1 op2
359385514 349673556 moyenne micro 354463973 355551443
358810682 350481358 eacutecart-type s 004510027 004809217
353371004 347201328
352760094 3553306 |micro1-micro2| 00108747344867115 357512954
351024893 355717682
360880932 362969549
353927667 366487781 00139361355719746 354702026
352552333 354598904 n 43 t=2
349798625 348741103
349706929 356409401 st 002787228
356771949 356622487
359781434 354564972
354032574 350388551
357799787 365577103
349003712 355839436
357276739 353637213
361263276 357229694
350544464 356392763
360261554
352637678
35652033
358384532
350903522
33
335
34
345
35
355
36
365
37
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25
2
2
2
1
2
1
n
s
n
ss
Hypothegravese laquo la diffeacuterence entre les moyennes de pesages drsquoune mecircme masse par 2 opeacuterateurs nrsquoest pas due qursquoaux erreurs aleacuteatoires raquo
1 2
Il existe un laquo biais entre les 2 opeacuterateursraquohellip
TP2
36
Intervalle de confianceLintervalle de confiance agrave p (95) drsquoune mesure x est un intervalle de valeurs qui a une probabiliteacute centreacutee p (95) de contenir la vraie valeur xR du paramegravetre estimeacute
xx
La calcul de et en fonction de la probabiliteacute P (geacuteneacuteralement 95) deacutepend de la loi de
distribution de lerreur
0
et = incertitude agrave p (95)
Distribution symeacutetrique
bull =
bullValeur moyenne de la mesure
= la plus probable0
Confidence interval
21)()( pxxPxxP RR
Distribution normale
19
37
Intervalle de confiance cas de la distribution normale
Lintervalle de confiance agrave p (95) drsquoune mesure x est un intervalle de valeurs qui a une probabiliteacute centreacutee p (95) de contenir la vraie valeur xR du paramegravetre estimeacute
xx
0
01
02
03
04
05
3 2 0 2 3Ecart agrave la moyenne x-x = eacutecart-type
683 des mesures
2 955 des mesures
3 997 des mesures
stxstx
Coefs de Student t
intervalle de conf 900 950 980 990 999
p 01 005 002 001 0001
deg lib
1 631 1271 3182 6366 63662
2 292 430 696 992 3160
3 235 318 454 584 1292
4 213 278 375 460 861
5 202 257 336 403 687
6 194 245 314 371 596
7 189 236 300 350 541
8 186 231 290 336 504
9 183 226 282 325 478
10 181 223 276 317 459
12 178 218 268 305 432
14 176 214 262 298 414
17 174 211 257 290 397
20 172 209 253 285 385
30 170 204 246 275 365
40 168 202 242 270 355
50 168 201 240 268 350
100 166 198 236 263 339
100000 164 196 233 258 329
38
Loi normale
95
Eacutecriture drsquoune mesure (distribution normale)
Le reacutesultat drsquoune mesure doit comporter 4 eacuteleacutements Ex CNO = 1253 ppb 17 ppb (agrave 95 ou t=2)
1 2 3 41 Valeur numeacuterique avec un nombre correct de deacutecimales2 Uniteacute3 Incertitude eacutelargie = t4 Le coefficient drsquoeacutelargissement t utiliseacute
Probabiliteacute en pour que la valeur reacuteelle
soit dans lrsquointervalle tsxtsx
1 Numerical value with a correct number of decimals2 Unit3 expanded uncertainty = ts4 Coverage factor t
20
39
Eacutevaluation de lrsquoincertitude
Eacutevaluation par analyse statistique de seacuteries de mesures (laquo type A raquo)
(geacuteneacuteralement mesure mais aussi simulation)
Eacutevaluation par calcul de lrsquoeffet sur lrsquoincertitude finale des diffeacuterentes
sources drsquoincertitude (laquo type B raquo laquo par tout autre moyen raquo) elles mecircme
eacutevalueacutees
par une meacutethode de type A
par des donneacutees constructeur drsquoeacutetalonnage etchellip
Il est alors neacutecessaire de connaicirctre les lois de propagation de
lrsquoerreurhellip
GUM Guide to the expression of Uncertainly in Measurement (1993)
Norme Franccedilaise X 07-020 AFNOR Aoucirct 1999
40
Eacutevaluation par analyse statistique de seacuteries de mesures
V
VERR
0
R0
R E
V mesureacute
0
0
RR
REV
Mesure et calcul avec un grand nombre N
de reacutesistances laquo eacutetalon raquo (R connu)
Calcul de lrsquoeacutecart-type
(en fait eacutecart-type estimeacute shellip)
Incertitude agrave 95 = t 2 (si Ngt15hellip)
Ne tient pas compte
-De lrsquoincertitude du Vmegravetre (V)
-Des incertitudes sur E R0 les reacutesistances
eacutetalonhellip
Exemple eacutevaluation drsquoune meacutethode de mesure drsquoune reacutesistance
21
41
Eacutevaluation par calcul de lrsquoeffet sur lrsquoincertitude finale des diffeacuterentes sources drsquoincertitude
V
VERR
0
2
2
0
2
0
2
0 )()()()(
V
V
ERE
V
RR
U
UER
(R0) (E) (V) connus
R0
R E
V mesureacute
Explication
Loi de propagation des eacutecart-types
combined standard uncertainty
Exemple eacutevaluation drsquoune meacutethode de mesure drsquoune reacutesistance
Quelle est la peseacutee la plus preacutecise
22
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes (1)
Exemple de la somme s=a+b
es
eb
ea
es=ea+ebRappel les erreurs srsquoajoutent algeacutebriquement
Et leur eacutecart-type
combined standard uncertainty for random amp independant errors
a b a+b282 151 433
261 171 432
264 168 432
345 202 548
332 190 523
279 208 488
317 155 472
270 209 479
310 186 496
340 156 495
moyenne 300 180 480 480 somme moyennes
variance 011 005 016 016 somme variances
ecartype 033 023 039 055 somme eacutecart-types
000
100
200
300
400
500
600
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
a
b
a+b
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes (2)
Exemple de la somme s=a+b
Erreur aleacuteatoire
)()()( bas
)()()( bVaraVarbaVar
Les eacutecart-types ne srsquoajoutent pas
Les variances si
22baba 222
baba
Les eacutecart-types srsquoajoutent quadratiquement Si les erreurs sont indeacutependantes et aleacuteatoires
23
Quelle est la peseacutee la plus preacutecise
2
2
2
1 PIPIPI
54321 PPPPPP
2)(5 pIPI
)(5 pIPI
gkgP 2425
Rappel loi de propagation drsquoune laquo petite raquo erreur
n
i
i
xx
fy
1
)(
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
)(xfy xdx
dfxfxxf )()(
xdx
dfy
Cas particulier produit-exposant
(Th accroissements finis)
Proprieacuteteacute de la deacuteriveacutee logarithmique
119910 =119886 119887 1198883
11988912
∆119910
119910=
∆119886
119886+
∆119887
119887+ 3
∆119888
119888- 12
∆119889
119889
24
Loi de propagation de la variance et de lrsquoeacutecart-type
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
La variance est additive donc si les variables xi sont indeacutependantes
)()(1
n
i
i
xVx
fyV
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fy
Ecart type V(x)=((x))2
)(2)()(1
1 11
2
2
2
ji
n
i
n
ij ji
i
n
i
xxx
f
x
fx
x
fy Cov
Cas geacuteneacuteral (variables non indeacutependantes)
(non deacutemontreacutehellip)
48
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires (1)
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fyI I
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
Incertitude pour une distr normale I(y)=t(y) geacuteneacuteralement t~2
Sibull mecircmes coefs drsquoeacutelargissement tbull variables xi indeacutependantes
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fy
25
49
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes cas particuliers (1)
Ex somme ou diffeacuterence
cbay
222 )()()()( cbay
i
ii xay i
ii xay 2))(()( Combinaison lineacuteaire
n
ixn
x1
1
n
xx
nx
n )()(
1)(
1
2
Application fondamentale en instrumentation La moyenne
Demo
Loi des grands nombres
50
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires cas particuliers (2)
Produits et puissances
i
iixAy
i i
ii
x
x
y
y2
)()(
Somme quadratique des eacutecart-types relatifs
x
x)(Proprieacuteteacute inteacuteressante des eacutecart-types relatifs
21
3
d
cbay
2222)(
21)(
3)()()(
d
d
c
c
b
b
a
a
y
y
Exemple
TP3
Idem pour incertitudes I si I=t partout
26
51
Lois de propagation des erreurs aleacuteatoires exemple de la droite drsquoeacutetalonnage
Etalonnage
Deacutebit D=aV
0 le D le 10 Lh
a=08 LhmV plusmn001 (t=2)
Inc Sur V 01 mV (t=2)
Incertitude relative sur deacutebit Den fonction du deacutebit
22)()()(
V
VI
a
aI
D
DI
V = tension fournie par capteurhellip
22)()(
D
VaI
a
aI
Mesure des faibles valeurs peu preacutecise
a = inverse de la sensibiliteacute
Si D 0
Calcul de lrsquoincertitude par simulation de lrsquoerreur aleacuteatoire
ou meacutethode de Monte-Carlo
Ex y=f(x1x2)
x1 et x2 ont des erreurs aleacuteatoires (pas forcement indeacutependantes) caracteacuteriseacutees par
leur eacutecart-type s1 et s2
bullSimuler un certain nombre drsquoexpeacuteriences avec les
mecircmes valeurs x1 et x2 + erreur aleacuteatoire (tirages ne)
yi=f(x1+e1x2+e2) N fois
bullCalcul de lrsquoeacutecart type des yi
bullLes ei sont calculeacutes agrave lrsquoaide drsquoun geacuteneacuterateur de nombre
aleacuteatoires agrave distribution adeacutequate (geacuteneacuteralement normale)
Excel =LOINORMALEINVERSE(ALEA()0eacutecart-type)TP4
27
Calcul de lrsquoincertitude par simulation de lrsquoerreur aleacuteatoire exemple
moyenne des D 50012 Dmax 100000
Deacutebit 50000 E Type des D 00526 a 08000
tension V 62500 Incertitude 01052 I(a) 00100
I(V) 01000
Ndeg tirage (400) erreur sur a erreur sur V valeur a valeur V D=aV
1 -00010 00253 07990 62753 50142
2 00011 -00518 08011 61982 49654
3 00032 00436 08032 62936 50551
4 -00098 00026 07902 62526 49407
5 00021 00867 08021 63367 50824
6 -00064 -00202 07936 62298 49437
7 00017 -00820 08017 61680 49450
8 -00065 00444 07935 62944 49949
9 00009 00757 08009 63257 50663
10 -00049 -00318 07951 62182 49439
11 00130 00109 08130 62609 50901
12 00004 00084 08004 62584 50092
13 -00046 00031 07954 62531 49737
14 -00024 00249 07976 62749 50049
15 00047 00311 08047 62811 50543
16 -00021 -00251 07979 62249 49668
D=aV
0 le D le 10 Lh
a=08 LhmV plusmn001 (t=2)
Inc Sur V = 01 mV (t=2)
Tirage aleacuteatoire normal
+
LOINORMALEINVERSE(ALEA()0eacutecart-type)
Les erreurs srsquoajoutent algeacutebriquement
54
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation
La discreacutetisation intervient lorsque les valeurs finales constituent un ensemble discret
Reacutesolution d du systegraveme drsquoacquisition agrave ne pas confondre avec lrsquoincertitude ou la sensibiliteacute
d
V
0
001
002
003
004
005
006
007
008
009
01
0 005 01
Tension reacuteelle
Ten
sion
aff
icheacutee
Discretization uncertainty
28
55
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (2)
32
d dEcart type de lrsquoerreur due agrave la discreacutetisation
295295
0
95
dIII Incertitude totale
5d 6d 7d
Erreur maxi d2
Approximatif Monte-Carlo parfois preacutefeacuterablehellip
Incertitude agrave 95 due agrave la discreacutetisation 2d 2975095 ddINon
058d 0485d
295 ddI
56
Le laquo Dithering raquo
La preacutesence drsquoerreur aleacuteatoire permet ici drsquoameacuteliorer la laquo preacutecision raquo de la mesure
Pas de laquo bruit raquo pas de moyennage Pas de laquo bruit raquo moyenne 50
signaux
laquo bruit raquo pas de moyennage laquo bruit raquo moyenne 50 signaux
La meacutethode du moyennage peut reacuteduire aussi lrsquoerreur de discreacutetisation (= quantification)
On peut gagner 1 bit de reacutesolution chaque fois que lrsquoon multiplie par 4 la freacutequence drsquoeacutechantillonnagehellip
hellip agrave condition que le signal avant numeacuterisation contienne un bruit (aleacuteatoire et indeacutependant) de valeur efficace supeacuterieure agrave la reacutesolution initialehellip
demo
29
57
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (3) les deacutecimales significatives
Ecriture drsquoun nombre avec un nombre de chiffres fini Erreur de discreacutetisation
Pour une mesure lrsquoeacutecart type de lrsquoerreur introduite doit ecirctre petit devant celui
de lrsquoerreur de mesure initiale
Ex mesure = 4382659872 Eacutecart-type mesure = 055 (soit 0125 en relatif)
Doit-on eacutecrire
4382659872
438265
4383
Mais les systegravemes numeacuteriques peuvent donner beaucoup de chiffres significatifshellip
438
58
Mesure afficheacutee
reacutesolution
ET erreur discreacutetisation
ET erreur finale drsquoerreur due agrave la discreacutetisation
438265987
0000001
29 10-7 055 lt 10-3
43827
001
29 10-3 0550008 10-3
4383
01
0029 05506 014
438
1
029 062 13
440
10
289 294 434
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (4) les deacutecimales significatives exemple
32
d d
22 )()( dxX
Ex mesure = 4382659872 Eacutecart-type mesure = (x)= 055 (soit 0125 en relatif)
bullOn peut choisir la reacutesolution immeacutediatement plus petite que lrsquoeacutecart-type de la mesure
bullLrsquoeacutecart-type (ou lrsquoincertitude) afficheacute ne doit pas avoir plus de 2 chiffres significatifs
30
Capabiliteacute drsquoun systegraveme de mesure
Va deacutependre de la toleacuterance deacutesireacuteehellip
hellip et du coucirct de la mesure
capabiliteacute dun moyen de mesure = rapport entre lincertitude U du moyen de mesure et la toleacuterance IT exigeacutee
Veacuterification de la toleacuterance
Normes franccedilaises
( toleacuterance = exigence du client en terme de caracteacuteristique mesurable)
Toleacuterance capabiliteacute drsquoun systegraveme de mesure
T
Notion de risque-risque laquo client raquo(piegravece agrave rejeter mais retenue)-risque laquo fabricant raquo(piegravece agrave retenir mais rejeteacutee)
Mesure moyenne
T
Piegravece agrave rejeterPiegravece agrave retenir
T=ToleacuteranceU=incertitude
Distrib des erreurs de fabrication
Val reacuteelle
31
Reacuteconciliation des donneacutees
61
D1
I(D1)
D2
I(D2)
D3
I(D3)
bull 3 mesures redondantes (car en theacuteorie D1=D2+D3)bull A cause des incertitudes on nrsquoa jamais exactement D1=D2+D3
bull Comment (in)valider les mesures
Reacuteconciliation des donneacutees
bull La redondance permet aussi de reacuteduire lrsquoincertitude (cf moyenne)
Dernier TPhellip
Limite de deacutetection - LDD (1)Limit of Detection - LOD
6280
Pic de signal ou bruit de fond
LDD plus petite valeur non nulle mesurable pour une certaine probabiliteacute drsquoerreur sur le fait que la valeur vraie est nulle ou non
Seuil de deacutecision deacutetection si (Mesure gt Seuil deacutecision)
2 types drsquoerreur de deacutecision Type 1 deacutetection signal alors qursquoil est absent (faux positif)
Type 2 non deacutetection signal alors qursquoil est preacutesent (faux neacutegatif)
32
Limite de deacutetection (2)
6380
Type 1 deacutetection signal alors qursquoil est absent (faux positif)
Exemple probabiliteacute de 5 drsquoerreur de type 1 ou 2
Type 2 non deacutetection signal alors qursquoil est preacutesent (faux neacutegatif)
165
5
Proba = 5 si seuil de deacutecision = 165
Si mecircme seuil de deacutecision (165) mecircme proba drsquoerreur si signal agrave 2 fois le seuil de deacutecision = 33
2x165
5
Limite de deacutetection (3)
0
0
0
0
0
0
0
0
165 33
Niveau signal
seuil de decision type 1 type 2 gt0
nb erreurs 9 9
bonnes deacutecisions 955
eacutecart type bruit analyseur 10
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
1
signal theacuteorique
signal reacuteel
seuil de deacutecision
erreur type 1
erreur type 2
-20 0 20 40 60 80
Si distr normale et probabiliteacute de 95LDD=33
On prend geacuteneacuteralement LDD=3 = eacutecart-type de la mesure laquo proche de zeacutero raquo
33
Etalonnage drsquoun systegraveme de mesure
Etalonnage laquo Opeacuteration consistant agrave eacutetablir une relation entre les valeurs de la grandeur indiqueacutees par un appareil de mesure et les valeurs correspondantes de la grandeur reacutealiseacutees par des eacutetalons raquo (VIM)
160
165
170
175
180
185
190
195
0 20 40 60 80 100
H
C pF
66
Etalonnage Creacuteation drsquoun modegravele de comportement
ETALONNAGE
Variables Xmesureacutees
(capteurs)
Variables Ymesureacutees(analyseshellip)
modegravele ou
Preacutedicteur F
Creacuteation modegravele
de comportement
Y=F(X)
PREDICTION
Variables Xmesureacutees(capteurs)
Estimation des
variables Y
Modegravele
Calcul de
preacutedictiontensions
Calibration Creation of a behavior model
34
67
Eacutetalonnage - calibrage
Eacutetalonnage (calibration) = calcul complet du modegravele neacutecessite un laquo grand raquo nombre drsquoexpeacuteriences
tension
pression
bull Calibrage ou ajustement de zeacutero (zero adjustment) = laquo recalage raquo du modegravele neacutecessite 1 expeacuterience (laquo zeacutero raquo) voire 2 (laquo zeacutero + gain raquo)
tension
pression
bullCorrection variations de fabrication
bullCorrection deacuterive
bullCorrection changement conditions expeacuterimentales (tempeacuterature tarage drsquoune balancehellip)
bullEtchellip
Si le modegravele nrsquoest pas lineacuteaire le calibrage ne peut corriger que de faibles variationshellip
68
Les moindres carreacutes
Meacutethode des moindres carreacutes (monovariable)
laquo minimal raquo pour lrsquoensemble des mesures en trouvant la
fonction optimale f
On veut modeacuteliser pour toutes les mesures (i) ෝ119962119946 = 119839(119961119946) en fait agrave partir
des expeacuteriences on a 119962119946 = 119839 119961119946 + 119942119946 ougrave 119942119946 = laquo reacutesidu raquo ou erreur
On utilise geacuteneacuteralement la distance Euclidienne
laquo minimale raquo en optimisant les 120637119947
The least Squares
120637119947 repreacutesente ici le ou les paramegravetres de la fonction agrave optimiser f (ex coefs polynocircme)
119942119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947
119946
119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947120784
35
69
La reacutegression lineacuteaire
Monovariable (y=f(x) ) + hypothegravese lineacuteaire (y=ax+b)
2 cas
X
Minimisations des erreurs sur Y
Reacutegression de yx
ybaxy e
Y
Minimisation des erreurs sur X
X
Reacutegression de xy
xbyax e ˆ
1ˆ
a
bx
ay
Attention une reacutegression de yx avec des
erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne une
erreur systeacutematique sur la pentehellip
Y
Linear regression
70
La reacutegression lineacuteaire yx ou xy
Attention une reacutegression de yx avec des erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne
une erreur systeacutematique sur la pentehellip
Diffeacuterence neacutegligeable dans une majoriteacute de cashellip
y = 10036x - 00354
-2
0
2
4
6
8
10
12
-2 0 2 4 6 8 10 12
y = 06669x + 16244
-2
0
2
4
6
8
10
12
-2 0 2 4 6 8 10 12
Reacutegression YX Reacutegression XY
36
71
Caracteacuteristiques de la reacutegression yx
Estimations de a et b
)(
)(
)x(x
)y)(yx(x
=a2
i
i
ii
xVar
yxCov
i
xayb
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
Calcul Excel agrave lrsquoaide debull Courbe de tendancebull droitereg
72
Erreur lieacutee agrave la mesure
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
2n
)y(yi
2
ii
yx
s
Ecart Type des reacutesidus
= ET de lrsquoerreur lieacutee agrave la mesure= ET de preacutediction que lrsquoon aurait (mecircmes conditions) si le modegravele eacutetait sans erreur
Mais le modegravele nrsquoest jamais exact
Erreur que lrsquoon aurait mecircme si le modegravele eacutetait parfait agrave cause de lrsquoerreur aleacuteatoire sur xhellipRepreacutesenteacutee par lrsquohellip
Rappel reacutesidu = eacutecart entre valeur preacutedite (sur droite de regression donc) et valeur expeacuterimentale
37
73
Erreur de modeacutelisation
Estimations incertitudes de a et b
baxy ˆ
Y
i
xyss
2
i
a
)x(xEcart type de la pente
i
i
i
xybn
x
ss2
i
2
)x(x
Ecart type de lrsquoordonneacutee agrave lrsquoorigine
Calcul Excel agrave lrsquoaide de la fonction laquo droitereg raquo
temps h tension
0 300E-05
1 440E-05
2 900E-05
3 900E-05
4 100E-04
formule =DROITEREG(YX11)
pente 00000186 00000336 OAO
s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO
R 0870821587 130792E-05 s(resid)
2022369447 3 N DL
34596E-09 5132E-10000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5TP5
Incertitude de preacutediction
74
2
2
11)ˆ(
xx
xX
mstYI
i
xy
bull m= nb eacutechantillons deacutetalonnagebull xi = valeurs deacutetalonnage dont moyenne xbull X = valeur deacutechantillon de preacutedictionbull Syx = eacutecart-type des reacutesidus
x
E Lieacutee agrave la mesure
E Type du modegravele
bull Si modegravele laquo parfait raquo (ou m grand) xystYI )ˆ(
bull Lrsquoincertitude augmente si X srsquoeacuteloigne de (problegraveme de lrsquoextrapolation) x
bull Deacutepend (un peuhellip) de X
I(pred)2=I(lieacutee agrave la mesure)2 + I(modelisation)2
TP6
38
75
Mesure de la qualiteacute dajustement dune reacutegression lineacuteaire
Var(Y) = Var( aX+b) + Var(e
information totale = information modeacuteliseacutee + information reacutesiduelle
Coef De deacutetermination
totale)Var(info
modeacuteliseacutee) Var(infodR
)()(
)(
YX
YXCovRc
Coef de correacutelation
Rd=Rc2
Y
76
Le coef de correacutelation utilisation
0
5
10
15
20
25
30
35
0 2 4 6 8 10 12
R=075
0
5
10
15
20
25
0 2 4 6 8 10 12
R=075
-100
0
100
200
300
400
500
600
0 5 10 15
R=075
Le cœfficient de correacutelation ne sert
agrave quantifier que les relations
lineacuteaires entre X et Yvariables
Il perd toute signification degraves lors
que les reacutesidus
R=08
R=08
R=08
39
77
Reacutegression lineacuteaire examen des reacutesidus
Veacuterification lineacuteariteacute
A corriger
eacuteventuellement avec
reacutegression non lineacuteaire
Deacutetection points
aberrants (outliers)A eacuteliminer apregraves
veacuterification et avec
preacutecautionshellip
Ri=yi-(axi+b)
Reacutesidu = information non
modeacuteliseacutee ideacutealement
erreur aleacuteatoire
residuals
paramegravetres modeacutelisation des donneacutees
ET bruit
v0
v1
a
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
850
900
950
y = 07063x - 39517
-100
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (m
V)
courant (mA)
Valeurs mesureacutees
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (
mV
)
courant (mA)
Graphe des reacutesidus mesure - droiteregr
78
Reacutegression non lineacuteaire reacutegression polynomiale
Ex courbe de
tendance dExcel
temps h
0
1
2
3
4
000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5
Permet de modeacuteliser la plupart des problegravemes peu non lineacuteaireshellip
demo TP7
40
79
Biblio amp liens utilesBouquins
Statistics for analytical Chemistry 3 rd ed JC Miller and JN Miller John Wiley amp Sons 1998
Multivariate Statistical Methods A Primer BFJ Monley Chapman amp Hall 1986
Modeacutelisation et estimation des erreurs de mesure M Neuilly CETAMA Lavoisier Paris 1993
Sites WWW
httpphysicsnistgovcuuUncertaintyindexhtml excellent site simple et succinct mais de reacutefeacuterence
sur la calcul des incertitudes ce document sen est beaucoup inspireacute Un cours plus complet de
statistiques est disponible agrave httpwwwitlnistgovdiv898handbook
httpswwwansesfrfrcontentguide-de-validation-des-mC3A9thodes-danalyses-des-laboratoires-de-rC3A9fC3A9rence Guide de lrsquoANSES Agence nationale de seacutecuriteacute sanitaire
de lrsquoalimentation de lrsquoenvironnement et du travail
httpwwwjybaudotfrStatsstatshtml Encyclopeacutedie des stats de Jean-Yves Baudot agrave la foi preacutecis vulgarisateur et marrant un challenge en statistiques
httpfrfreestatisticsinfoindexphp Collection de liens et surtout de Freewares sur les stats
8062
La norme AFNOR la plus utiliseacutee
httpwwwasqualabcomdocumentsqualitemetrologie19-unites_pifometriquespdf
2
Contact amp lien
Ressources du cours drsquoinstrumentation
httpscampusemsefrcourseviewphpid=260
si le mail istp est gin18aeinsteineleve-istpcomle login EMSE sera gin18aeinstein (en minuscules)
(si oubli mot de passe httprazmdpemsefr adresse de secours = ISTP)
Alternative temporaire wwwemsefr~pbreuilcapmes
votre compte Mines Saint-Etienne
pbreuilemsefr
Evaluation 1TPs (coef 14)
Evaluation sur les laquo rendus raquo en fin de seacuteance drsquoun TP 2egraveme)
3
Evaluation 2Examen (coef 34)
bull Preacuteparation plus speacutecifique lors du dernier TDbull 2 hbull Pas de documentsbull Formulaire fourni (4 pages)
Statistiques de la Mesure
Philippe Breuil octobre 2019
bullMesure Measurement
bullIncertitude uncertainty
bullEtalonnage Calibration
4
La Mesure
Mesure=
Instrument de mesure uniteacute de mesure meacutethode de mesurehellip
Mesurage = action de mesurer (measurement)
laquo Lobjectif dun mesurage consiste agrave deacuteterminer la valeur du mesurande (measurand) cest-agrave-dire la valeur de la grandeur particuliegravere agrave mesurer raquo (GUM 2008)
laquo En geacuteneacuteral le reacutesultat dun mesurage est seulement une approximation ou estimation de la valeur du mesurande et de ce fait est seulement complet lorsquil est accompagneacute par une expression de lincertitude de cette estimation raquo (GUM 2008)
Guide to the expression of Uncertainty in Measurement
Meacutetrologie
Meacutetrologie = science de la mesure
bullAspect physique et matheacutematique
bull Statistiques de la mesurebull - calcul des incertitudes
bull - Etalonnage
bull Moyens de mesure Capteurs
bullAspect leacutegal
bull Obligations lors drsquoune transaction commerciale
bull Obligations lors de la publication drsquoune mesure
bullAspect eacuteconomique
bull Traccedilabiliteacute et fiabiliteacute
bull Optimisation de la qualiteacute
5
Mesure drsquoune grandeur
Le mesurage se fait agrave laide dun instrument de mesure
bullPar comparaison ex megravetre rapporteurhellip
bull Plus geacuteneacuteralement lrsquoinstrument de mesure va servir agrave transformer un pheacutenomegravene physique en un autre plus facilement mesurable par lrsquointermeacutediaire drsquoun capteur
-- pHmegravetre grandeur chimique -gt grandeur eacutelectrique
-- boussole grandeur magneacutetique -gt grandeur geacuteomeacutetrique (angle)
Cf cours suivanthellip
10
Meacutetrologie chaine de mesure
Laboratoire National
drsquoEssais
NIST (US) PTB (D) NPL (UK)hellip
EtalonsCGPM tous les 4 ans
Comite Franccedilais drsquoaccreacuteditation
6
Uniteacutes de Mesure Systegraveme International
Systegraveme International (SI) baseacute sur 7 grandeurs eacutetalon
Uniteacutes de Mesure Systegraveme International
Systegraveme International (SI) 1960 baseacute sur le systegraveme meacutetrique (CGS puis MKSA)
7
Uniteacutes de Mesure
Autres uniteacutes autoriseacutees-Composeacutees agrave partir des uniteacutes primaires joule (J)=kgm2s-2
-Autoriseacutees car signification physique universelle degC heure eVhellip-Multiples puissances de 10
10-18 atto a
Vocabulaire (1)
14
Erreur absolue diffeacuterence entre la valeur reacuteelle et la mesure
Erreur relativeerreur |mesure| (x 100 si en )
Erreur systeacutematique erreur de valeur moyenne non nulle
Erreur aleacuteatoire erreur non preacutevisible de valeur moyenne nulle
Le vocabulaire est normaliseacute par le BIPMVIM Vocabulaire International de Meacutetrologie
8
Vocabulaire (2)
15
Sensibiliteacute drsquoun SDMdydx pour x donneacute (x=mesurande y=valeur fournie par le SDM)Ex capteur de pression mVhPa
Reacutesolution drsquoun SDM plus petite variation du mesurande deacutetectable
Incertitude laquo Paramegravetre non neacutegatif qui caracteacuterise la dispersion des valeurs attribueacutees agrave un mesurande agrave partir des informations utiliseacutees raquo
Incertitude relative incertitude|mesure|
Systegraveme de mesure
Vocabulaire (3)
16
Non lineacuteariteacute deacuteviation maximale par rapport agrave la courbe approximant la reacuteponse
Offset drsquoun SDM valeur du signal de sortie quand le mesurande est agrave 0
laquo Slew rate raquo vitesse maximale de variation du signal de sortie sans distorsion
Temps de reacuteponselaquo agrave X raquo Temps ou bout duquel en reacuteponse agrave un laquo eacutechelon raquo de
grandeur agrave mesurer le signal a atteind X de sa valeur asymptotique (typiquement 95)
Hysteresis drsquoun SDM aptitude drsquoun SDM dont le signal de sortie agrave lrsquoeacutetat stationnaire ne deacutepend pas que du mesurande mais aussi de lrsquohistoire des signaux anteacuterieurs
Systegraveme de mesure
9
Vocabulaire (4)
17
Deacuterive Lente variation du signal de sortie en fonction du temps ou de la tempeacuterature agrave entreacutee constante
Limite de deacutetection drsquoun SDM plus petite valeur non nulle mesurable pour une certaine probabiliteacute drsquoerreur sur le fait que la valeur vraie est nulle ou non
ReacutepeacutetabiliteacuteEtroitesse de lrsquoaccord entre les valeurs obtenues par des mesurages
reacutepeacuteteacutes dans les mecircmes conditions (lieacutee agrave erreur aleacuteatoire)
ReproductibiliteacuteEtroitesse de lrsquoaccord entre les valeurs obtenues par des mesurages
reacutepeacuteteacutes en faisant varier certaines conditions de mesure
Systegraveme de mesure
18
Quelques rappels sur lerreur et lincertitudehellip
Erreur systeacutematique eB
Systematic error
Erreur accidentelle ou aleacuteatoire eA
Random or accidental error
Mesure x drsquoune variable de valeur reacuteelle xR
ABRxx ee Erreur variable e=xR-x
10
19
Erreur systeacutematique ou aleacuteatoire
Par deacutefinition lerreur aleacuteatoire est impreacutevisible (et donc non corrigeable) et de valeur moyenne nulle
Le caractegravere systeacutematique ou aleacuteatoire de lerreur peut deacutependre du contextehellip
20
Erreur systeacutematique ou aleacuteatoire
Ex mesure dune masse agrave laide dune balance numeacuterique
ea Erreur aleacuteatoire non expliqueacutee
eT Deacuterive en tempeacuterature
eo Erreur opeacuterateur
eu Erreur propre agrave lappareil
es Erreur systeacutematique de la seacuterie ()
Erreur e= ea+eT+eo+eu+es
Conditions des expeacuteriences ea eT eo eu es
1 opeacuterateur le mecircme jour 1 appareil
Idem + eacutetaleacute sur plusieurs jours
Idem + plusieurs opeacuterateurs
Idem + tests sur un lot dappareils
11
Encore du vocabulairehellip
21
Erreur aleacuteatoire
Reacutepeacutetabiliteacute fideacuteliteacute
Variables influenccedilantes
Erreur systeacutematique
biaisjustesse
Reproductibiliteacute
exactitude
22
Caracteacuterisation de la mesure
Moyenne estimeacutee de n mesures dune mecircme valeur xR
n
ixn
x1
1
xR = valeur reacuteelle
R
n
xx
)lim(
(loi des grands nombres)
Estimated mean
Law of large numbers
(Si erreur aleacuteatoire)
2RxxV Variance (de lrsquoerreur aleacuteatoire)
Variance (of random error)Homogegravene au carreacute de la
grandeur mesureacutee
Caracteacuterisation de lrsquoerreur aleacuteatoire
=Moyenne du carreacute de lrsquoerreur
12
23
n
i xxn
s1
2)(1
1Ecart-type estimeacute de
lerreur aleacuteatoire
Ecart-type de lerreur aleacuteatoire
xr
Ecart type
relatif
n
RiRi xxn
xx1
22)(
1
Valeur reacuteelle
Agrave priori inconnuehellip
Standard deviation of random error
Ecart-type de
lerreur aleacuteatoire V
et s ont mecircme espeacuterancehellip
Homogegravene agrave la grandeur mesureacutee
n
ixn
x1
1
n
xx
)()(
Ecart-type de la moyenne de n mesures
24
Distributions drsquoerreurs (aleacuteatoires)
Gaussienne ou normale
Uniforme
Poissonnienne
Etchellip La plus reacutepandue gracircce au Theacuteoregraveme central limitehellip
e0
F(e)Courbe de distribution
de lerreur
Distributions of errors
Gaussian or normal
Uniform
Poissonnian
නminusinfin
0
119865 120576 119889120576 = න0
+infin
119865 120576 119889120576 = 05
A
Probabiliteacute P(A)= 119860 119865 120576 119889120576
13
25
Theacuteoregraveme central limite
Si une variable est la reacutesultante dungrand nombre de causes petites agrave effetadditif cette variable tend vers une loinormale
Cest agrave cause de cette interpreacutetation quela loi normale est tregraves souvent employeacuteecomme modegravele (malheureusement pastoujours agrave raison)
Demo
Central Limit Theorem
26
La distribution Gaussienne (ou normale)
0
01
02
03
04
05
3 2 0 2 3Ecart agrave la moyenne x-x = eacutecart-type
683 des valeurs
2 955 des valeurs
3 997 des valeurs
Proba largeur
50 067middotσ
68 1middotσ
70 104middotσ
87 15middotσ
90 165middotσ
95 196middotσ
99 256middotσ
997 3middotσ
999 328middotσ
99999 999 8 6middotσ
Tableau des coefficients laquo t raquo de Student
tXXprobaP R
=1-LOISTUDENT(tN2)
N= nb eacutechantillons utiliseacutes pour le calcul de s gt20
2
2
1
2
1)(
xx
exF
14
httpwwwjybaudotfrInferentielletstudenthtml
Le coefficient t de Student
tXXprobaP R
P=LOISTUDENT(tN2)
N= nb eacutechantillons utiliseacutes pour le calcul de s -1= nb de degreacutes de liberteacute
Coefs de Student t
intervalle de conf 900 950 980 990 999
p 01 005 002 001 0001
N=nb deg lib
1 631 1271 3182 6366 63662
2 292 430 696 992 3160
3 235 318 454 584 1292
4 213 278 375 460 861
5 202 257 336 403 687
6 194 245 314 371 596
7 189 236 300 350 541
8 186 231 290 336 504
9 183 226 282 325 478
10 181 223 276 317 459
12 178 218 268 305 432
14 176 214 262 298 414
17 174 211 257 290 397
20 172 209 253 285 385
30 170 204 246 275 365
40 168 202 242 270 355
50 168 201 240 268 350
100 166 198 236 263 339
100000 164 196 233 258 329
Relation eacutecart-type Gaussienne valable uniquement si eacutecart-type s parfaitement connu (n=infin)Pratiquement s issu dun calcul statistique-gtLoi de Student(tend vers gaussienne si n grand ngt20)
t=LOISTUDENTINVERSEBILATERALE(PN)
Rappel valable uniquement pour loi gaussienne
28
Distribution de Poisson
Ex comptage drsquoeacutevegravenements non simultaneacutes (deacutesinteacutegration radioactive queuehellip)
Moyenne m
Variance m
demo
15
29
Distribution Uniforme
Ex discreacutetisation de la mesurehellip
TP1
M-d2 M M+d2
d
Moyenne M
Ecart-type
Les tests drsquohypothegravese
30
Significance tests
bull Deacutemarche consistant agrave eacutevaluer une hypothegravese statistique agrave partir dun jeu de donneacutees (eacutechantillon)
bull Le reacutesultat du test nrsquoest pas absolu mais est une probabiliteacute qui est une aide agrave la validation ou non de lrsquohypothegravese initiale il ne constitue donc jamais une preuve
Tests parameacutetriques(hypothegravese sur distribution + ou ndash neacutecessaire)
1-sample T-test Comp Eacutechantillon agrave valeur de reacutefeacuterence intervalle de confiance
2-samples T-test Comparaison de 2 eacutechantillons
F-Test Comparaison de la variance de 2 eacutechantillons
ANOVA Analyse de variance analyse des variances de K eacutechantillons comparaison des moyennes
Chi-Square test Utilisation notamment pour veacuterifier une hypothegravese de distribution
Grubbsrsquo test Deacutetection des valeurs aberrantes (laquo outliers raquo)
Tests non parameacutetriques(pas drsquohypothegravese sur distribution)
Test WilcoxonMW Comparaison de 2 eacutechantillons meacutethode de rang
En rouge tests deacutecrits + loin sinon voir biblio ou google
16
31
95
one-sample T-test laquo simplifieacute raquoComparaison de la mesure M drsquoun eacutechantillon agrave une valeur de reacutefeacuterence R on suppose que la distribution est normale
Hypothegravesesbull laquo M est diffeacuterent de R raquobull laquo M est significativement diffeacuterent de R raquo
Cette hypothegravese de diffeacuterence H1 est retenue si sa probabiliteacute est supeacuterieure agrave 95 (par exemple) (ou si la probabiliteacute drsquoeacutegaliteacute est infeacuterieure agrave 5 (H2)
1 mesure M eacutecart-type estimeacute de la mesure s distr gaussienne
MR
-4srsquo -3srsquo -2srsquo ndashsrsquo 0 srsquo 2srsquo 3srsquo 4srsquo
Hypothegravese retenue si
stRM
si s est calculable laquo preacuteciseacutement raquo
(t=coef de Student)
H1 95 (ou H2 5)
H1 99 (ou H2 1)
H1 999 (ou H2 01)
t 196 256 328
Oui quasiment toujours agrave cause de lrsquoerreur aleacuteatoirehellip
bull laquo La diffeacuterence entre M et R nrsquoest pas due qursquoagrave lrsquoerreur aleacuteatoire raquo
ngt20 sinon tableau des coefs de Studenthellip
32
95
one-sample T-test laquo officiel raquo
Comparaison de la moyenne micro drsquoun eacutechantillon agrave une valeur de reacutefeacuterence R on suppose que la distribution est normaleHypothegravese laquo la diffeacuterence entre la moyenne de n mesures et une valeur de reacutefeacuterence nrsquoest pas due qursquoaux erreurs aleacuteatoires raquo
Cette hypothegravese est retenue si sa probabiliteacute est supeacuterieure agrave 95 (par exemple)
n mesures moyenne m eacutecart-type estimeacute de chaque mesure s
On montre (+ loinhellip) que lrsquoeacutecart-type estimeacute de la moyenne est n
ss
m R
-4srsquo -3srsquo -2srsquo ndashsrsquo 0 srsquo 2srsquo 3srsquo 4srsquo
Hypothegravese retenue si
n
stR m
si s est calculable laquo preacuteciseacutement raquo
(t=coef de Student)
H1 95 (ou H2 5)
H1 99 (ou H2 1)
H1 999 (ou H2 01)
t 196 256 328
17
one-sample T-test exemple
Hypothegravese laquo la diffeacuterenceentre la moyenne de npesages drsquoune masse eacutetalonde 1 kg et la valeur de cettemasse nrsquoest pas due qursquoauxerreurs aleacuteatoires raquo
n
stR m
n
s
Rt
m
1 104946993
2 111917309 Etalon R (kg) 10000
3 099865798
4 101040713
5 114655592
6 097054733
7 114894136
8 108005111 moyenne micro 104614199
9 103044121 Ecart-type s 005326172
10 098202478
11 105094267 00461
12 106252219
13 102608401
14 104961426 002381937 (t=2)
15 103483134 (n=20)
16 103475702
17 098306671
18 109287381
19 097490694
20 107697103
08
09
1
11
12
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
Rm
n
st
Il existe un laquo biais raquohellip
34
two-sample T-test
Comparaison de 2 moyennes de 2 eacutechantillons on suppose que la distribution est normaleHypothegravese laquo la diffeacuterence entre les 2 moyennes nrsquoest pas due qursquoaux erreurs aleacuteatoires raquo
Ech 1 Ech 2
Nb mesures n1 n2
Ecart type estimeacute s1 s2
Moyenne estimeacutee m1 m2
Comparaison de m1 et m2Peut se ramener agrave un 1-sample-test en comparant |m1-m2| agrave 0
On prend alors comme eacutecart-type de |m1-m2|
2
2
2
1
2
1
n
s
n
ss
(deacutemontreacute dans partie laquo lois de propagation de lrsquoerreur raquo)
Et le nombre de degreacutes de liberteacute est en 1ere approx n1+n2-2
st21 mmHypothegravese retenue si
Cette hypothegravese est retenue si sa probabiliteacute est supeacuterieure agrave 95 (par exemple)
2
2
2
1
2
121
n
s
n
st mm
18
two-sample T-test exemple
2
2
2
1
2
121
n
s
n
st mm
op1 op2 op1 op2
359385514 349673556 moyenne micro 354463973 355551443
358810682 350481358 eacutecart-type s 004510027 004809217
353371004 347201328
352760094 3553306 |micro1-micro2| 00108747344867115 357512954
351024893 355717682
360880932 362969549
353927667 366487781 00139361355719746 354702026
352552333 354598904 n 43 t=2
349798625 348741103
349706929 356409401 st 002787228
356771949 356622487
359781434 354564972
354032574 350388551
357799787 365577103
349003712 355839436
357276739 353637213
361263276 357229694
350544464 356392763
360261554
352637678
35652033
358384532
350903522
33
335
34
345
35
355
36
365
37
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25
2
2
2
1
2
1
n
s
n
ss
Hypothegravese laquo la diffeacuterence entre les moyennes de pesages drsquoune mecircme masse par 2 opeacuterateurs nrsquoest pas due qursquoaux erreurs aleacuteatoires raquo
1 2
Il existe un laquo biais entre les 2 opeacuterateursraquohellip
TP2
36
Intervalle de confianceLintervalle de confiance agrave p (95) drsquoune mesure x est un intervalle de valeurs qui a une probabiliteacute centreacutee p (95) de contenir la vraie valeur xR du paramegravetre estimeacute
xx
La calcul de et en fonction de la probabiliteacute P (geacuteneacuteralement 95) deacutepend de la loi de
distribution de lerreur
0
et = incertitude agrave p (95)
Distribution symeacutetrique
bull =
bullValeur moyenne de la mesure
= la plus probable0
Confidence interval
21)()( pxxPxxP RR
Distribution normale
19
37
Intervalle de confiance cas de la distribution normale
Lintervalle de confiance agrave p (95) drsquoune mesure x est un intervalle de valeurs qui a une probabiliteacute centreacutee p (95) de contenir la vraie valeur xR du paramegravetre estimeacute
xx
0
01
02
03
04
05
3 2 0 2 3Ecart agrave la moyenne x-x = eacutecart-type
683 des mesures
2 955 des mesures
3 997 des mesures
stxstx
Coefs de Student t
intervalle de conf 900 950 980 990 999
p 01 005 002 001 0001
deg lib
1 631 1271 3182 6366 63662
2 292 430 696 992 3160
3 235 318 454 584 1292
4 213 278 375 460 861
5 202 257 336 403 687
6 194 245 314 371 596
7 189 236 300 350 541
8 186 231 290 336 504
9 183 226 282 325 478
10 181 223 276 317 459
12 178 218 268 305 432
14 176 214 262 298 414
17 174 211 257 290 397
20 172 209 253 285 385
30 170 204 246 275 365
40 168 202 242 270 355
50 168 201 240 268 350
100 166 198 236 263 339
100000 164 196 233 258 329
38
Loi normale
95
Eacutecriture drsquoune mesure (distribution normale)
Le reacutesultat drsquoune mesure doit comporter 4 eacuteleacutements Ex CNO = 1253 ppb 17 ppb (agrave 95 ou t=2)
1 2 3 41 Valeur numeacuterique avec un nombre correct de deacutecimales2 Uniteacute3 Incertitude eacutelargie = t4 Le coefficient drsquoeacutelargissement t utiliseacute
Probabiliteacute en pour que la valeur reacuteelle
soit dans lrsquointervalle tsxtsx
1 Numerical value with a correct number of decimals2 Unit3 expanded uncertainty = ts4 Coverage factor t
20
39
Eacutevaluation de lrsquoincertitude
Eacutevaluation par analyse statistique de seacuteries de mesures (laquo type A raquo)
(geacuteneacuteralement mesure mais aussi simulation)
Eacutevaluation par calcul de lrsquoeffet sur lrsquoincertitude finale des diffeacuterentes
sources drsquoincertitude (laquo type B raquo laquo par tout autre moyen raquo) elles mecircme
eacutevalueacutees
par une meacutethode de type A
par des donneacutees constructeur drsquoeacutetalonnage etchellip
Il est alors neacutecessaire de connaicirctre les lois de propagation de
lrsquoerreurhellip
GUM Guide to the expression of Uncertainly in Measurement (1993)
Norme Franccedilaise X 07-020 AFNOR Aoucirct 1999
40
Eacutevaluation par analyse statistique de seacuteries de mesures
V
VERR
0
R0
R E
V mesureacute
0
0
RR
REV
Mesure et calcul avec un grand nombre N
de reacutesistances laquo eacutetalon raquo (R connu)
Calcul de lrsquoeacutecart-type
(en fait eacutecart-type estimeacute shellip)
Incertitude agrave 95 = t 2 (si Ngt15hellip)
Ne tient pas compte
-De lrsquoincertitude du Vmegravetre (V)
-Des incertitudes sur E R0 les reacutesistances
eacutetalonhellip
Exemple eacutevaluation drsquoune meacutethode de mesure drsquoune reacutesistance
21
41
Eacutevaluation par calcul de lrsquoeffet sur lrsquoincertitude finale des diffeacuterentes sources drsquoincertitude
V
VERR
0
2
2
0
2
0
2
0 )()()()(
V
V
ERE
V
RR
U
UER
(R0) (E) (V) connus
R0
R E
V mesureacute
Explication
Loi de propagation des eacutecart-types
combined standard uncertainty
Exemple eacutevaluation drsquoune meacutethode de mesure drsquoune reacutesistance
Quelle est la peseacutee la plus preacutecise
22
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes (1)
Exemple de la somme s=a+b
es
eb
ea
es=ea+ebRappel les erreurs srsquoajoutent algeacutebriquement
Et leur eacutecart-type
combined standard uncertainty for random amp independant errors
a b a+b282 151 433
261 171 432
264 168 432
345 202 548
332 190 523
279 208 488
317 155 472
270 209 479
310 186 496
340 156 495
moyenne 300 180 480 480 somme moyennes
variance 011 005 016 016 somme variances
ecartype 033 023 039 055 somme eacutecart-types
000
100
200
300
400
500
600
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
a
b
a+b
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes (2)
Exemple de la somme s=a+b
Erreur aleacuteatoire
)()()( bas
)()()( bVaraVarbaVar
Les eacutecart-types ne srsquoajoutent pas
Les variances si
22baba 222
baba
Les eacutecart-types srsquoajoutent quadratiquement Si les erreurs sont indeacutependantes et aleacuteatoires
23
Quelle est la peseacutee la plus preacutecise
2
2
2
1 PIPIPI
54321 PPPPPP
2)(5 pIPI
)(5 pIPI
gkgP 2425
Rappel loi de propagation drsquoune laquo petite raquo erreur
n
i
i
xx
fy
1
)(
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
)(xfy xdx
dfxfxxf )()(
xdx
dfy
Cas particulier produit-exposant
(Th accroissements finis)
Proprieacuteteacute de la deacuteriveacutee logarithmique
119910 =119886 119887 1198883
11988912
∆119910
119910=
∆119886
119886+
∆119887
119887+ 3
∆119888
119888- 12
∆119889
119889
24
Loi de propagation de la variance et de lrsquoeacutecart-type
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
La variance est additive donc si les variables xi sont indeacutependantes
)()(1
n
i
i
xVx
fyV
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fy
Ecart type V(x)=((x))2
)(2)()(1
1 11
2
2
2
ji
n
i
n
ij ji
i
n
i
xxx
f
x
fx
x
fy Cov
Cas geacuteneacuteral (variables non indeacutependantes)
(non deacutemontreacutehellip)
48
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires (1)
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fyI I
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
Incertitude pour une distr normale I(y)=t(y) geacuteneacuteralement t~2
Sibull mecircmes coefs drsquoeacutelargissement tbull variables xi indeacutependantes
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fy
25
49
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes cas particuliers (1)
Ex somme ou diffeacuterence
cbay
222 )()()()( cbay
i
ii xay i
ii xay 2))(()( Combinaison lineacuteaire
n
ixn
x1
1
n
xx
nx
n )()(
1)(
1
2
Application fondamentale en instrumentation La moyenne
Demo
Loi des grands nombres
50
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires cas particuliers (2)
Produits et puissances
i
iixAy
i i
ii
x
x
y
y2
)()(
Somme quadratique des eacutecart-types relatifs
x
x)(Proprieacuteteacute inteacuteressante des eacutecart-types relatifs
21
3
d
cbay
2222)(
21)(
3)()()(
d
d
c
c
b
b
a
a
y
y
Exemple
TP3
Idem pour incertitudes I si I=t partout
26
51
Lois de propagation des erreurs aleacuteatoires exemple de la droite drsquoeacutetalonnage
Etalonnage
Deacutebit D=aV
0 le D le 10 Lh
a=08 LhmV plusmn001 (t=2)
Inc Sur V 01 mV (t=2)
Incertitude relative sur deacutebit Den fonction du deacutebit
22)()()(
V
VI
a
aI
D
DI
V = tension fournie par capteurhellip
22)()(
D
VaI
a
aI
Mesure des faibles valeurs peu preacutecise
a = inverse de la sensibiliteacute
Si D 0
Calcul de lrsquoincertitude par simulation de lrsquoerreur aleacuteatoire
ou meacutethode de Monte-Carlo
Ex y=f(x1x2)
x1 et x2 ont des erreurs aleacuteatoires (pas forcement indeacutependantes) caracteacuteriseacutees par
leur eacutecart-type s1 et s2
bullSimuler un certain nombre drsquoexpeacuteriences avec les
mecircmes valeurs x1 et x2 + erreur aleacuteatoire (tirages ne)
yi=f(x1+e1x2+e2) N fois
bullCalcul de lrsquoeacutecart type des yi
bullLes ei sont calculeacutes agrave lrsquoaide drsquoun geacuteneacuterateur de nombre
aleacuteatoires agrave distribution adeacutequate (geacuteneacuteralement normale)
Excel =LOINORMALEINVERSE(ALEA()0eacutecart-type)TP4
27
Calcul de lrsquoincertitude par simulation de lrsquoerreur aleacuteatoire exemple
moyenne des D 50012 Dmax 100000
Deacutebit 50000 E Type des D 00526 a 08000
tension V 62500 Incertitude 01052 I(a) 00100
I(V) 01000
Ndeg tirage (400) erreur sur a erreur sur V valeur a valeur V D=aV
1 -00010 00253 07990 62753 50142
2 00011 -00518 08011 61982 49654
3 00032 00436 08032 62936 50551
4 -00098 00026 07902 62526 49407
5 00021 00867 08021 63367 50824
6 -00064 -00202 07936 62298 49437
7 00017 -00820 08017 61680 49450
8 -00065 00444 07935 62944 49949
9 00009 00757 08009 63257 50663
10 -00049 -00318 07951 62182 49439
11 00130 00109 08130 62609 50901
12 00004 00084 08004 62584 50092
13 -00046 00031 07954 62531 49737
14 -00024 00249 07976 62749 50049
15 00047 00311 08047 62811 50543
16 -00021 -00251 07979 62249 49668
D=aV
0 le D le 10 Lh
a=08 LhmV plusmn001 (t=2)
Inc Sur V = 01 mV (t=2)
Tirage aleacuteatoire normal
+
LOINORMALEINVERSE(ALEA()0eacutecart-type)
Les erreurs srsquoajoutent algeacutebriquement
54
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation
La discreacutetisation intervient lorsque les valeurs finales constituent un ensemble discret
Reacutesolution d du systegraveme drsquoacquisition agrave ne pas confondre avec lrsquoincertitude ou la sensibiliteacute
d
V
0
001
002
003
004
005
006
007
008
009
01
0 005 01
Tension reacuteelle
Ten
sion
aff
icheacutee
Discretization uncertainty
28
55
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (2)
32
d dEcart type de lrsquoerreur due agrave la discreacutetisation
295295
0
95
dIII Incertitude totale
5d 6d 7d
Erreur maxi d2
Approximatif Monte-Carlo parfois preacutefeacuterablehellip
Incertitude agrave 95 due agrave la discreacutetisation 2d 2975095 ddINon
058d 0485d
295 ddI
56
Le laquo Dithering raquo
La preacutesence drsquoerreur aleacuteatoire permet ici drsquoameacuteliorer la laquo preacutecision raquo de la mesure
Pas de laquo bruit raquo pas de moyennage Pas de laquo bruit raquo moyenne 50
signaux
laquo bruit raquo pas de moyennage laquo bruit raquo moyenne 50 signaux
La meacutethode du moyennage peut reacuteduire aussi lrsquoerreur de discreacutetisation (= quantification)
On peut gagner 1 bit de reacutesolution chaque fois que lrsquoon multiplie par 4 la freacutequence drsquoeacutechantillonnagehellip
hellip agrave condition que le signal avant numeacuterisation contienne un bruit (aleacuteatoire et indeacutependant) de valeur efficace supeacuterieure agrave la reacutesolution initialehellip
demo
29
57
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (3) les deacutecimales significatives
Ecriture drsquoun nombre avec un nombre de chiffres fini Erreur de discreacutetisation
Pour une mesure lrsquoeacutecart type de lrsquoerreur introduite doit ecirctre petit devant celui
de lrsquoerreur de mesure initiale
Ex mesure = 4382659872 Eacutecart-type mesure = 055 (soit 0125 en relatif)
Doit-on eacutecrire
4382659872
438265
4383
Mais les systegravemes numeacuteriques peuvent donner beaucoup de chiffres significatifshellip
438
58
Mesure afficheacutee
reacutesolution
ET erreur discreacutetisation
ET erreur finale drsquoerreur due agrave la discreacutetisation
438265987
0000001
29 10-7 055 lt 10-3
43827
001
29 10-3 0550008 10-3
4383
01
0029 05506 014
438
1
029 062 13
440
10
289 294 434
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (4) les deacutecimales significatives exemple
32
d d
22 )()( dxX
Ex mesure = 4382659872 Eacutecart-type mesure = (x)= 055 (soit 0125 en relatif)
bullOn peut choisir la reacutesolution immeacutediatement plus petite que lrsquoeacutecart-type de la mesure
bullLrsquoeacutecart-type (ou lrsquoincertitude) afficheacute ne doit pas avoir plus de 2 chiffres significatifs
30
Capabiliteacute drsquoun systegraveme de mesure
Va deacutependre de la toleacuterance deacutesireacuteehellip
hellip et du coucirct de la mesure
capabiliteacute dun moyen de mesure = rapport entre lincertitude U du moyen de mesure et la toleacuterance IT exigeacutee
Veacuterification de la toleacuterance
Normes franccedilaises
( toleacuterance = exigence du client en terme de caracteacuteristique mesurable)
Toleacuterance capabiliteacute drsquoun systegraveme de mesure
T
Notion de risque-risque laquo client raquo(piegravece agrave rejeter mais retenue)-risque laquo fabricant raquo(piegravece agrave retenir mais rejeteacutee)
Mesure moyenne
T
Piegravece agrave rejeterPiegravece agrave retenir
T=ToleacuteranceU=incertitude
Distrib des erreurs de fabrication
Val reacuteelle
31
Reacuteconciliation des donneacutees
61
D1
I(D1)
D2
I(D2)
D3
I(D3)
bull 3 mesures redondantes (car en theacuteorie D1=D2+D3)bull A cause des incertitudes on nrsquoa jamais exactement D1=D2+D3
bull Comment (in)valider les mesures
Reacuteconciliation des donneacutees
bull La redondance permet aussi de reacuteduire lrsquoincertitude (cf moyenne)
Dernier TPhellip
Limite de deacutetection - LDD (1)Limit of Detection - LOD
6280
Pic de signal ou bruit de fond
LDD plus petite valeur non nulle mesurable pour une certaine probabiliteacute drsquoerreur sur le fait que la valeur vraie est nulle ou non
Seuil de deacutecision deacutetection si (Mesure gt Seuil deacutecision)
2 types drsquoerreur de deacutecision Type 1 deacutetection signal alors qursquoil est absent (faux positif)
Type 2 non deacutetection signal alors qursquoil est preacutesent (faux neacutegatif)
32
Limite de deacutetection (2)
6380
Type 1 deacutetection signal alors qursquoil est absent (faux positif)
Exemple probabiliteacute de 5 drsquoerreur de type 1 ou 2
Type 2 non deacutetection signal alors qursquoil est preacutesent (faux neacutegatif)
165
5
Proba = 5 si seuil de deacutecision = 165
Si mecircme seuil de deacutecision (165) mecircme proba drsquoerreur si signal agrave 2 fois le seuil de deacutecision = 33
2x165
5
Limite de deacutetection (3)
0
0
0
0
0
0
0
0
165 33
Niveau signal
seuil de decision type 1 type 2 gt0
nb erreurs 9 9
bonnes deacutecisions 955
eacutecart type bruit analyseur 10
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
1
signal theacuteorique
signal reacuteel
seuil de deacutecision
erreur type 1
erreur type 2
-20 0 20 40 60 80
Si distr normale et probabiliteacute de 95LDD=33
On prend geacuteneacuteralement LDD=3 = eacutecart-type de la mesure laquo proche de zeacutero raquo
33
Etalonnage drsquoun systegraveme de mesure
Etalonnage laquo Opeacuteration consistant agrave eacutetablir une relation entre les valeurs de la grandeur indiqueacutees par un appareil de mesure et les valeurs correspondantes de la grandeur reacutealiseacutees par des eacutetalons raquo (VIM)
160
165
170
175
180
185
190
195
0 20 40 60 80 100
H
C pF
66
Etalonnage Creacuteation drsquoun modegravele de comportement
ETALONNAGE
Variables Xmesureacutees
(capteurs)
Variables Ymesureacutees(analyseshellip)
modegravele ou
Preacutedicteur F
Creacuteation modegravele
de comportement
Y=F(X)
PREDICTION
Variables Xmesureacutees(capteurs)
Estimation des
variables Y
Modegravele
Calcul de
preacutedictiontensions
Calibration Creation of a behavior model
34
67
Eacutetalonnage - calibrage
Eacutetalonnage (calibration) = calcul complet du modegravele neacutecessite un laquo grand raquo nombre drsquoexpeacuteriences
tension
pression
bull Calibrage ou ajustement de zeacutero (zero adjustment) = laquo recalage raquo du modegravele neacutecessite 1 expeacuterience (laquo zeacutero raquo) voire 2 (laquo zeacutero + gain raquo)
tension
pression
bullCorrection variations de fabrication
bullCorrection deacuterive
bullCorrection changement conditions expeacuterimentales (tempeacuterature tarage drsquoune balancehellip)
bullEtchellip
Si le modegravele nrsquoest pas lineacuteaire le calibrage ne peut corriger que de faibles variationshellip
68
Les moindres carreacutes
Meacutethode des moindres carreacutes (monovariable)
laquo minimal raquo pour lrsquoensemble des mesures en trouvant la
fonction optimale f
On veut modeacuteliser pour toutes les mesures (i) ෝ119962119946 = 119839(119961119946) en fait agrave partir
des expeacuteriences on a 119962119946 = 119839 119961119946 + 119942119946 ougrave 119942119946 = laquo reacutesidu raquo ou erreur
On utilise geacuteneacuteralement la distance Euclidienne
laquo minimale raquo en optimisant les 120637119947
The least Squares
120637119947 repreacutesente ici le ou les paramegravetres de la fonction agrave optimiser f (ex coefs polynocircme)
119942119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947
119946
119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947120784
35
69
La reacutegression lineacuteaire
Monovariable (y=f(x) ) + hypothegravese lineacuteaire (y=ax+b)
2 cas
X
Minimisations des erreurs sur Y
Reacutegression de yx
ybaxy e
Y
Minimisation des erreurs sur X
X
Reacutegression de xy
xbyax e ˆ
1ˆ
a
bx
ay
Attention une reacutegression de yx avec des
erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne une
erreur systeacutematique sur la pentehellip
Y
Linear regression
70
La reacutegression lineacuteaire yx ou xy
Attention une reacutegression de yx avec des erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne
une erreur systeacutematique sur la pentehellip
Diffeacuterence neacutegligeable dans une majoriteacute de cashellip
y = 10036x - 00354
-2
0
2
4
6
8
10
12
-2 0 2 4 6 8 10 12
y = 06669x + 16244
-2
0
2
4
6
8
10
12
-2 0 2 4 6 8 10 12
Reacutegression YX Reacutegression XY
36
71
Caracteacuteristiques de la reacutegression yx
Estimations de a et b
)(
)(
)x(x
)y)(yx(x
=a2
i
i
ii
xVar
yxCov
i
xayb
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
Calcul Excel agrave lrsquoaide debull Courbe de tendancebull droitereg
72
Erreur lieacutee agrave la mesure
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
2n
)y(yi
2
ii
yx
s
Ecart Type des reacutesidus
= ET de lrsquoerreur lieacutee agrave la mesure= ET de preacutediction que lrsquoon aurait (mecircmes conditions) si le modegravele eacutetait sans erreur
Mais le modegravele nrsquoest jamais exact
Erreur que lrsquoon aurait mecircme si le modegravele eacutetait parfait agrave cause de lrsquoerreur aleacuteatoire sur xhellipRepreacutesenteacutee par lrsquohellip
Rappel reacutesidu = eacutecart entre valeur preacutedite (sur droite de regression donc) et valeur expeacuterimentale
37
73
Erreur de modeacutelisation
Estimations incertitudes de a et b
baxy ˆ
Y
i
xyss
2
i
a
)x(xEcart type de la pente
i
i
i
xybn
x
ss2
i
2
)x(x
Ecart type de lrsquoordonneacutee agrave lrsquoorigine
Calcul Excel agrave lrsquoaide de la fonction laquo droitereg raquo
temps h tension
0 300E-05
1 440E-05
2 900E-05
3 900E-05
4 100E-04
formule =DROITEREG(YX11)
pente 00000186 00000336 OAO
s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO
R 0870821587 130792E-05 s(resid)
2022369447 3 N DL
34596E-09 5132E-10000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5TP5
Incertitude de preacutediction
74
2
2
11)ˆ(
xx
xX
mstYI
i
xy
bull m= nb eacutechantillons deacutetalonnagebull xi = valeurs deacutetalonnage dont moyenne xbull X = valeur deacutechantillon de preacutedictionbull Syx = eacutecart-type des reacutesidus
x
E Lieacutee agrave la mesure
E Type du modegravele
bull Si modegravele laquo parfait raquo (ou m grand) xystYI )ˆ(
bull Lrsquoincertitude augmente si X srsquoeacuteloigne de (problegraveme de lrsquoextrapolation) x
bull Deacutepend (un peuhellip) de X
I(pred)2=I(lieacutee agrave la mesure)2 + I(modelisation)2
TP6
38
75
Mesure de la qualiteacute dajustement dune reacutegression lineacuteaire
Var(Y) = Var( aX+b) + Var(e
information totale = information modeacuteliseacutee + information reacutesiduelle
Coef De deacutetermination
totale)Var(info
modeacuteliseacutee) Var(infodR
)()(
)(
YX
YXCovRc
Coef de correacutelation
Rd=Rc2
Y
76
Le coef de correacutelation utilisation
0
5
10
15
20
25
30
35
0 2 4 6 8 10 12
R=075
0
5
10
15
20
25
0 2 4 6 8 10 12
R=075
-100
0
100
200
300
400
500
600
0 5 10 15
R=075
Le cœfficient de correacutelation ne sert
agrave quantifier que les relations
lineacuteaires entre X et Yvariables
Il perd toute signification degraves lors
que les reacutesidus
R=08
R=08
R=08
39
77
Reacutegression lineacuteaire examen des reacutesidus
Veacuterification lineacuteariteacute
A corriger
eacuteventuellement avec
reacutegression non lineacuteaire
Deacutetection points
aberrants (outliers)A eacuteliminer apregraves
veacuterification et avec
preacutecautionshellip
Ri=yi-(axi+b)
Reacutesidu = information non
modeacuteliseacutee ideacutealement
erreur aleacuteatoire
residuals
paramegravetres modeacutelisation des donneacutees
ET bruit
v0
v1
a
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
850
900
950
y = 07063x - 39517
-100
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (m
V)
courant (mA)
Valeurs mesureacutees
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (
mV
)
courant (mA)
Graphe des reacutesidus mesure - droiteregr
78
Reacutegression non lineacuteaire reacutegression polynomiale
Ex courbe de
tendance dExcel
temps h
0
1
2
3
4
000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5
Permet de modeacuteliser la plupart des problegravemes peu non lineacuteaireshellip
demo TP7
40
79
Biblio amp liens utilesBouquins
Statistics for analytical Chemistry 3 rd ed JC Miller and JN Miller John Wiley amp Sons 1998
Multivariate Statistical Methods A Primer BFJ Monley Chapman amp Hall 1986
Modeacutelisation et estimation des erreurs de mesure M Neuilly CETAMA Lavoisier Paris 1993
Sites WWW
httpphysicsnistgovcuuUncertaintyindexhtml excellent site simple et succinct mais de reacutefeacuterence
sur la calcul des incertitudes ce document sen est beaucoup inspireacute Un cours plus complet de
statistiques est disponible agrave httpwwwitlnistgovdiv898handbook
httpswwwansesfrfrcontentguide-de-validation-des-mC3A9thodes-danalyses-des-laboratoires-de-rC3A9fC3A9rence Guide de lrsquoANSES Agence nationale de seacutecuriteacute sanitaire
de lrsquoalimentation de lrsquoenvironnement et du travail
httpwwwjybaudotfrStatsstatshtml Encyclopeacutedie des stats de Jean-Yves Baudot agrave la foi preacutecis vulgarisateur et marrant un challenge en statistiques
httpfrfreestatisticsinfoindexphp Collection de liens et surtout de Freewares sur les stats
8062
La norme AFNOR la plus utiliseacutee
httpwwwasqualabcomdocumentsqualitemetrologie19-unites_pifometriquespdf
3
Evaluation 2Examen (coef 34)
bull Preacuteparation plus speacutecifique lors du dernier TDbull 2 hbull Pas de documentsbull Formulaire fourni (4 pages)
Statistiques de la Mesure
Philippe Breuil octobre 2019
bullMesure Measurement
bullIncertitude uncertainty
bullEtalonnage Calibration
4
La Mesure
Mesure=
Instrument de mesure uniteacute de mesure meacutethode de mesurehellip
Mesurage = action de mesurer (measurement)
laquo Lobjectif dun mesurage consiste agrave deacuteterminer la valeur du mesurande (measurand) cest-agrave-dire la valeur de la grandeur particuliegravere agrave mesurer raquo (GUM 2008)
laquo En geacuteneacuteral le reacutesultat dun mesurage est seulement une approximation ou estimation de la valeur du mesurande et de ce fait est seulement complet lorsquil est accompagneacute par une expression de lincertitude de cette estimation raquo (GUM 2008)
Guide to the expression of Uncertainty in Measurement
Meacutetrologie
Meacutetrologie = science de la mesure
bullAspect physique et matheacutematique
bull Statistiques de la mesurebull - calcul des incertitudes
bull - Etalonnage
bull Moyens de mesure Capteurs
bullAspect leacutegal
bull Obligations lors drsquoune transaction commerciale
bull Obligations lors de la publication drsquoune mesure
bullAspect eacuteconomique
bull Traccedilabiliteacute et fiabiliteacute
bull Optimisation de la qualiteacute
5
Mesure drsquoune grandeur
Le mesurage se fait agrave laide dun instrument de mesure
bullPar comparaison ex megravetre rapporteurhellip
bull Plus geacuteneacuteralement lrsquoinstrument de mesure va servir agrave transformer un pheacutenomegravene physique en un autre plus facilement mesurable par lrsquointermeacutediaire drsquoun capteur
-- pHmegravetre grandeur chimique -gt grandeur eacutelectrique
-- boussole grandeur magneacutetique -gt grandeur geacuteomeacutetrique (angle)
Cf cours suivanthellip
10
Meacutetrologie chaine de mesure
Laboratoire National
drsquoEssais
NIST (US) PTB (D) NPL (UK)hellip
EtalonsCGPM tous les 4 ans
Comite Franccedilais drsquoaccreacuteditation
6
Uniteacutes de Mesure Systegraveme International
Systegraveme International (SI) baseacute sur 7 grandeurs eacutetalon
Uniteacutes de Mesure Systegraveme International
Systegraveme International (SI) 1960 baseacute sur le systegraveme meacutetrique (CGS puis MKSA)
7
Uniteacutes de Mesure
Autres uniteacutes autoriseacutees-Composeacutees agrave partir des uniteacutes primaires joule (J)=kgm2s-2
-Autoriseacutees car signification physique universelle degC heure eVhellip-Multiples puissances de 10
10-18 atto a
Vocabulaire (1)
14
Erreur absolue diffeacuterence entre la valeur reacuteelle et la mesure
Erreur relativeerreur |mesure| (x 100 si en )
Erreur systeacutematique erreur de valeur moyenne non nulle
Erreur aleacuteatoire erreur non preacutevisible de valeur moyenne nulle
Le vocabulaire est normaliseacute par le BIPMVIM Vocabulaire International de Meacutetrologie
8
Vocabulaire (2)
15
Sensibiliteacute drsquoun SDMdydx pour x donneacute (x=mesurande y=valeur fournie par le SDM)Ex capteur de pression mVhPa
Reacutesolution drsquoun SDM plus petite variation du mesurande deacutetectable
Incertitude laquo Paramegravetre non neacutegatif qui caracteacuterise la dispersion des valeurs attribueacutees agrave un mesurande agrave partir des informations utiliseacutees raquo
Incertitude relative incertitude|mesure|
Systegraveme de mesure
Vocabulaire (3)
16
Non lineacuteariteacute deacuteviation maximale par rapport agrave la courbe approximant la reacuteponse
Offset drsquoun SDM valeur du signal de sortie quand le mesurande est agrave 0
laquo Slew rate raquo vitesse maximale de variation du signal de sortie sans distorsion
Temps de reacuteponselaquo agrave X raquo Temps ou bout duquel en reacuteponse agrave un laquo eacutechelon raquo de
grandeur agrave mesurer le signal a atteind X de sa valeur asymptotique (typiquement 95)
Hysteresis drsquoun SDM aptitude drsquoun SDM dont le signal de sortie agrave lrsquoeacutetat stationnaire ne deacutepend pas que du mesurande mais aussi de lrsquohistoire des signaux anteacuterieurs
Systegraveme de mesure
9
Vocabulaire (4)
17
Deacuterive Lente variation du signal de sortie en fonction du temps ou de la tempeacuterature agrave entreacutee constante
Limite de deacutetection drsquoun SDM plus petite valeur non nulle mesurable pour une certaine probabiliteacute drsquoerreur sur le fait que la valeur vraie est nulle ou non
ReacutepeacutetabiliteacuteEtroitesse de lrsquoaccord entre les valeurs obtenues par des mesurages
reacutepeacuteteacutes dans les mecircmes conditions (lieacutee agrave erreur aleacuteatoire)
ReproductibiliteacuteEtroitesse de lrsquoaccord entre les valeurs obtenues par des mesurages
reacutepeacuteteacutes en faisant varier certaines conditions de mesure
Systegraveme de mesure
18
Quelques rappels sur lerreur et lincertitudehellip
Erreur systeacutematique eB
Systematic error
Erreur accidentelle ou aleacuteatoire eA
Random or accidental error
Mesure x drsquoune variable de valeur reacuteelle xR
ABRxx ee Erreur variable e=xR-x
10
19
Erreur systeacutematique ou aleacuteatoire
Par deacutefinition lerreur aleacuteatoire est impreacutevisible (et donc non corrigeable) et de valeur moyenne nulle
Le caractegravere systeacutematique ou aleacuteatoire de lerreur peut deacutependre du contextehellip
20
Erreur systeacutematique ou aleacuteatoire
Ex mesure dune masse agrave laide dune balance numeacuterique
ea Erreur aleacuteatoire non expliqueacutee
eT Deacuterive en tempeacuterature
eo Erreur opeacuterateur
eu Erreur propre agrave lappareil
es Erreur systeacutematique de la seacuterie ()
Erreur e= ea+eT+eo+eu+es
Conditions des expeacuteriences ea eT eo eu es
1 opeacuterateur le mecircme jour 1 appareil
Idem + eacutetaleacute sur plusieurs jours
Idem + plusieurs opeacuterateurs
Idem + tests sur un lot dappareils
11
Encore du vocabulairehellip
21
Erreur aleacuteatoire
Reacutepeacutetabiliteacute fideacuteliteacute
Variables influenccedilantes
Erreur systeacutematique
biaisjustesse
Reproductibiliteacute
exactitude
22
Caracteacuterisation de la mesure
Moyenne estimeacutee de n mesures dune mecircme valeur xR
n
ixn
x1
1
xR = valeur reacuteelle
R
n
xx
)lim(
(loi des grands nombres)
Estimated mean
Law of large numbers
(Si erreur aleacuteatoire)
2RxxV Variance (de lrsquoerreur aleacuteatoire)
Variance (of random error)Homogegravene au carreacute de la
grandeur mesureacutee
Caracteacuterisation de lrsquoerreur aleacuteatoire
=Moyenne du carreacute de lrsquoerreur
12
23
n
i xxn
s1
2)(1
1Ecart-type estimeacute de
lerreur aleacuteatoire
Ecart-type de lerreur aleacuteatoire
xr
Ecart type
relatif
n
RiRi xxn
xx1
22)(
1
Valeur reacuteelle
Agrave priori inconnuehellip
Standard deviation of random error
Ecart-type de
lerreur aleacuteatoire V
et s ont mecircme espeacuterancehellip
Homogegravene agrave la grandeur mesureacutee
n
ixn
x1
1
n
xx
)()(
Ecart-type de la moyenne de n mesures
24
Distributions drsquoerreurs (aleacuteatoires)
Gaussienne ou normale
Uniforme
Poissonnienne
Etchellip La plus reacutepandue gracircce au Theacuteoregraveme central limitehellip
e0
F(e)Courbe de distribution
de lerreur
Distributions of errors
Gaussian or normal
Uniform
Poissonnian
නminusinfin
0
119865 120576 119889120576 = න0
+infin
119865 120576 119889120576 = 05
A
Probabiliteacute P(A)= 119860 119865 120576 119889120576
13
25
Theacuteoregraveme central limite
Si une variable est la reacutesultante dungrand nombre de causes petites agrave effetadditif cette variable tend vers une loinormale
Cest agrave cause de cette interpreacutetation quela loi normale est tregraves souvent employeacuteecomme modegravele (malheureusement pastoujours agrave raison)
Demo
Central Limit Theorem
26
La distribution Gaussienne (ou normale)
0
01
02
03
04
05
3 2 0 2 3Ecart agrave la moyenne x-x = eacutecart-type
683 des valeurs
2 955 des valeurs
3 997 des valeurs
Proba largeur
50 067middotσ
68 1middotσ
70 104middotσ
87 15middotσ
90 165middotσ
95 196middotσ
99 256middotσ
997 3middotσ
999 328middotσ
99999 999 8 6middotσ
Tableau des coefficients laquo t raquo de Student
tXXprobaP R
=1-LOISTUDENT(tN2)
N= nb eacutechantillons utiliseacutes pour le calcul de s gt20
2
2
1
2
1)(
xx
exF
14
httpwwwjybaudotfrInferentielletstudenthtml
Le coefficient t de Student
tXXprobaP R
P=LOISTUDENT(tN2)
N= nb eacutechantillons utiliseacutes pour le calcul de s -1= nb de degreacutes de liberteacute
Coefs de Student t
intervalle de conf 900 950 980 990 999
p 01 005 002 001 0001
N=nb deg lib
1 631 1271 3182 6366 63662
2 292 430 696 992 3160
3 235 318 454 584 1292
4 213 278 375 460 861
5 202 257 336 403 687
6 194 245 314 371 596
7 189 236 300 350 541
8 186 231 290 336 504
9 183 226 282 325 478
10 181 223 276 317 459
12 178 218 268 305 432
14 176 214 262 298 414
17 174 211 257 290 397
20 172 209 253 285 385
30 170 204 246 275 365
40 168 202 242 270 355
50 168 201 240 268 350
100 166 198 236 263 339
100000 164 196 233 258 329
Relation eacutecart-type Gaussienne valable uniquement si eacutecart-type s parfaitement connu (n=infin)Pratiquement s issu dun calcul statistique-gtLoi de Student(tend vers gaussienne si n grand ngt20)
t=LOISTUDENTINVERSEBILATERALE(PN)
Rappel valable uniquement pour loi gaussienne
28
Distribution de Poisson
Ex comptage drsquoeacutevegravenements non simultaneacutes (deacutesinteacutegration radioactive queuehellip)
Moyenne m
Variance m
demo
15
29
Distribution Uniforme
Ex discreacutetisation de la mesurehellip
TP1
M-d2 M M+d2
d
Moyenne M
Ecart-type
Les tests drsquohypothegravese
30
Significance tests
bull Deacutemarche consistant agrave eacutevaluer une hypothegravese statistique agrave partir dun jeu de donneacutees (eacutechantillon)
bull Le reacutesultat du test nrsquoest pas absolu mais est une probabiliteacute qui est une aide agrave la validation ou non de lrsquohypothegravese initiale il ne constitue donc jamais une preuve
Tests parameacutetriques(hypothegravese sur distribution + ou ndash neacutecessaire)
1-sample T-test Comp Eacutechantillon agrave valeur de reacutefeacuterence intervalle de confiance
2-samples T-test Comparaison de 2 eacutechantillons
F-Test Comparaison de la variance de 2 eacutechantillons
ANOVA Analyse de variance analyse des variances de K eacutechantillons comparaison des moyennes
Chi-Square test Utilisation notamment pour veacuterifier une hypothegravese de distribution
Grubbsrsquo test Deacutetection des valeurs aberrantes (laquo outliers raquo)
Tests non parameacutetriques(pas drsquohypothegravese sur distribution)
Test WilcoxonMW Comparaison de 2 eacutechantillons meacutethode de rang
En rouge tests deacutecrits + loin sinon voir biblio ou google
16
31
95
one-sample T-test laquo simplifieacute raquoComparaison de la mesure M drsquoun eacutechantillon agrave une valeur de reacutefeacuterence R on suppose que la distribution est normale
Hypothegravesesbull laquo M est diffeacuterent de R raquobull laquo M est significativement diffeacuterent de R raquo
Cette hypothegravese de diffeacuterence H1 est retenue si sa probabiliteacute est supeacuterieure agrave 95 (par exemple) (ou si la probabiliteacute drsquoeacutegaliteacute est infeacuterieure agrave 5 (H2)
1 mesure M eacutecart-type estimeacute de la mesure s distr gaussienne
MR
-4srsquo -3srsquo -2srsquo ndashsrsquo 0 srsquo 2srsquo 3srsquo 4srsquo
Hypothegravese retenue si
stRM
si s est calculable laquo preacuteciseacutement raquo
(t=coef de Student)
H1 95 (ou H2 5)
H1 99 (ou H2 1)
H1 999 (ou H2 01)
t 196 256 328
Oui quasiment toujours agrave cause de lrsquoerreur aleacuteatoirehellip
bull laquo La diffeacuterence entre M et R nrsquoest pas due qursquoagrave lrsquoerreur aleacuteatoire raquo
ngt20 sinon tableau des coefs de Studenthellip
32
95
one-sample T-test laquo officiel raquo
Comparaison de la moyenne micro drsquoun eacutechantillon agrave une valeur de reacutefeacuterence R on suppose que la distribution est normaleHypothegravese laquo la diffeacuterence entre la moyenne de n mesures et une valeur de reacutefeacuterence nrsquoest pas due qursquoaux erreurs aleacuteatoires raquo
Cette hypothegravese est retenue si sa probabiliteacute est supeacuterieure agrave 95 (par exemple)
n mesures moyenne m eacutecart-type estimeacute de chaque mesure s
On montre (+ loinhellip) que lrsquoeacutecart-type estimeacute de la moyenne est n
ss
m R
-4srsquo -3srsquo -2srsquo ndashsrsquo 0 srsquo 2srsquo 3srsquo 4srsquo
Hypothegravese retenue si
n
stR m
si s est calculable laquo preacuteciseacutement raquo
(t=coef de Student)
H1 95 (ou H2 5)
H1 99 (ou H2 1)
H1 999 (ou H2 01)
t 196 256 328
17
one-sample T-test exemple
Hypothegravese laquo la diffeacuterenceentre la moyenne de npesages drsquoune masse eacutetalonde 1 kg et la valeur de cettemasse nrsquoest pas due qursquoauxerreurs aleacuteatoires raquo
n
stR m
n
s
Rt
m
1 104946993
2 111917309 Etalon R (kg) 10000
3 099865798
4 101040713
5 114655592
6 097054733
7 114894136
8 108005111 moyenne micro 104614199
9 103044121 Ecart-type s 005326172
10 098202478
11 105094267 00461
12 106252219
13 102608401
14 104961426 002381937 (t=2)
15 103483134 (n=20)
16 103475702
17 098306671
18 109287381
19 097490694
20 107697103
08
09
1
11
12
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
Rm
n
st
Il existe un laquo biais raquohellip
34
two-sample T-test
Comparaison de 2 moyennes de 2 eacutechantillons on suppose que la distribution est normaleHypothegravese laquo la diffeacuterence entre les 2 moyennes nrsquoest pas due qursquoaux erreurs aleacuteatoires raquo
Ech 1 Ech 2
Nb mesures n1 n2
Ecart type estimeacute s1 s2
Moyenne estimeacutee m1 m2
Comparaison de m1 et m2Peut se ramener agrave un 1-sample-test en comparant |m1-m2| agrave 0
On prend alors comme eacutecart-type de |m1-m2|
2
2
2
1
2
1
n
s
n
ss
(deacutemontreacute dans partie laquo lois de propagation de lrsquoerreur raquo)
Et le nombre de degreacutes de liberteacute est en 1ere approx n1+n2-2
st21 mmHypothegravese retenue si
Cette hypothegravese est retenue si sa probabiliteacute est supeacuterieure agrave 95 (par exemple)
2
2
2
1
2
121
n
s
n
st mm
18
two-sample T-test exemple
2
2
2
1
2
121
n
s
n
st mm
op1 op2 op1 op2
359385514 349673556 moyenne micro 354463973 355551443
358810682 350481358 eacutecart-type s 004510027 004809217
353371004 347201328
352760094 3553306 |micro1-micro2| 00108747344867115 357512954
351024893 355717682
360880932 362969549
353927667 366487781 00139361355719746 354702026
352552333 354598904 n 43 t=2
349798625 348741103
349706929 356409401 st 002787228
356771949 356622487
359781434 354564972
354032574 350388551
357799787 365577103
349003712 355839436
357276739 353637213
361263276 357229694
350544464 356392763
360261554
352637678
35652033
358384532
350903522
33
335
34
345
35
355
36
365
37
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25
2
2
2
1
2
1
n
s
n
ss
Hypothegravese laquo la diffeacuterence entre les moyennes de pesages drsquoune mecircme masse par 2 opeacuterateurs nrsquoest pas due qursquoaux erreurs aleacuteatoires raquo
1 2
Il existe un laquo biais entre les 2 opeacuterateursraquohellip
TP2
36
Intervalle de confianceLintervalle de confiance agrave p (95) drsquoune mesure x est un intervalle de valeurs qui a une probabiliteacute centreacutee p (95) de contenir la vraie valeur xR du paramegravetre estimeacute
xx
La calcul de et en fonction de la probabiliteacute P (geacuteneacuteralement 95) deacutepend de la loi de
distribution de lerreur
0
et = incertitude agrave p (95)
Distribution symeacutetrique
bull =
bullValeur moyenne de la mesure
= la plus probable0
Confidence interval
21)()( pxxPxxP RR
Distribution normale
19
37
Intervalle de confiance cas de la distribution normale
Lintervalle de confiance agrave p (95) drsquoune mesure x est un intervalle de valeurs qui a une probabiliteacute centreacutee p (95) de contenir la vraie valeur xR du paramegravetre estimeacute
xx
0
01
02
03
04
05
3 2 0 2 3Ecart agrave la moyenne x-x = eacutecart-type
683 des mesures
2 955 des mesures
3 997 des mesures
stxstx
Coefs de Student t
intervalle de conf 900 950 980 990 999
p 01 005 002 001 0001
deg lib
1 631 1271 3182 6366 63662
2 292 430 696 992 3160
3 235 318 454 584 1292
4 213 278 375 460 861
5 202 257 336 403 687
6 194 245 314 371 596
7 189 236 300 350 541
8 186 231 290 336 504
9 183 226 282 325 478
10 181 223 276 317 459
12 178 218 268 305 432
14 176 214 262 298 414
17 174 211 257 290 397
20 172 209 253 285 385
30 170 204 246 275 365
40 168 202 242 270 355
50 168 201 240 268 350
100 166 198 236 263 339
100000 164 196 233 258 329
38
Loi normale
95
Eacutecriture drsquoune mesure (distribution normale)
Le reacutesultat drsquoune mesure doit comporter 4 eacuteleacutements Ex CNO = 1253 ppb 17 ppb (agrave 95 ou t=2)
1 2 3 41 Valeur numeacuterique avec un nombre correct de deacutecimales2 Uniteacute3 Incertitude eacutelargie = t4 Le coefficient drsquoeacutelargissement t utiliseacute
Probabiliteacute en pour que la valeur reacuteelle
soit dans lrsquointervalle tsxtsx
1 Numerical value with a correct number of decimals2 Unit3 expanded uncertainty = ts4 Coverage factor t
20
39
Eacutevaluation de lrsquoincertitude
Eacutevaluation par analyse statistique de seacuteries de mesures (laquo type A raquo)
(geacuteneacuteralement mesure mais aussi simulation)
Eacutevaluation par calcul de lrsquoeffet sur lrsquoincertitude finale des diffeacuterentes
sources drsquoincertitude (laquo type B raquo laquo par tout autre moyen raquo) elles mecircme
eacutevalueacutees
par une meacutethode de type A
par des donneacutees constructeur drsquoeacutetalonnage etchellip
Il est alors neacutecessaire de connaicirctre les lois de propagation de
lrsquoerreurhellip
GUM Guide to the expression of Uncertainly in Measurement (1993)
Norme Franccedilaise X 07-020 AFNOR Aoucirct 1999
40
Eacutevaluation par analyse statistique de seacuteries de mesures
V
VERR
0
R0
R E
V mesureacute
0
0
RR
REV
Mesure et calcul avec un grand nombre N
de reacutesistances laquo eacutetalon raquo (R connu)
Calcul de lrsquoeacutecart-type
(en fait eacutecart-type estimeacute shellip)
Incertitude agrave 95 = t 2 (si Ngt15hellip)
Ne tient pas compte
-De lrsquoincertitude du Vmegravetre (V)
-Des incertitudes sur E R0 les reacutesistances
eacutetalonhellip
Exemple eacutevaluation drsquoune meacutethode de mesure drsquoune reacutesistance
21
41
Eacutevaluation par calcul de lrsquoeffet sur lrsquoincertitude finale des diffeacuterentes sources drsquoincertitude
V
VERR
0
2
2
0
2
0
2
0 )()()()(
V
V
ERE
V
RR
U
UER
(R0) (E) (V) connus
R0
R E
V mesureacute
Explication
Loi de propagation des eacutecart-types
combined standard uncertainty
Exemple eacutevaluation drsquoune meacutethode de mesure drsquoune reacutesistance
Quelle est la peseacutee la plus preacutecise
22
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes (1)
Exemple de la somme s=a+b
es
eb
ea
es=ea+ebRappel les erreurs srsquoajoutent algeacutebriquement
Et leur eacutecart-type
combined standard uncertainty for random amp independant errors
a b a+b282 151 433
261 171 432
264 168 432
345 202 548
332 190 523
279 208 488
317 155 472
270 209 479
310 186 496
340 156 495
moyenne 300 180 480 480 somme moyennes
variance 011 005 016 016 somme variances
ecartype 033 023 039 055 somme eacutecart-types
000
100
200
300
400
500
600
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
a
b
a+b
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes (2)
Exemple de la somme s=a+b
Erreur aleacuteatoire
)()()( bas
)()()( bVaraVarbaVar
Les eacutecart-types ne srsquoajoutent pas
Les variances si
22baba 222
baba
Les eacutecart-types srsquoajoutent quadratiquement Si les erreurs sont indeacutependantes et aleacuteatoires
23
Quelle est la peseacutee la plus preacutecise
2
2
2
1 PIPIPI
54321 PPPPPP
2)(5 pIPI
)(5 pIPI
gkgP 2425
Rappel loi de propagation drsquoune laquo petite raquo erreur
n
i
i
xx
fy
1
)(
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
)(xfy xdx
dfxfxxf )()(
xdx
dfy
Cas particulier produit-exposant
(Th accroissements finis)
Proprieacuteteacute de la deacuteriveacutee logarithmique
119910 =119886 119887 1198883
11988912
∆119910
119910=
∆119886
119886+
∆119887
119887+ 3
∆119888
119888- 12
∆119889
119889
24
Loi de propagation de la variance et de lrsquoeacutecart-type
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
La variance est additive donc si les variables xi sont indeacutependantes
)()(1
n
i
i
xVx
fyV
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fy
Ecart type V(x)=((x))2
)(2)()(1
1 11
2
2
2
ji
n
i
n
ij ji
i
n
i
xxx
f
x
fx
x
fy Cov
Cas geacuteneacuteral (variables non indeacutependantes)
(non deacutemontreacutehellip)
48
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires (1)
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fyI I
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
Incertitude pour une distr normale I(y)=t(y) geacuteneacuteralement t~2
Sibull mecircmes coefs drsquoeacutelargissement tbull variables xi indeacutependantes
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fy
25
49
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes cas particuliers (1)
Ex somme ou diffeacuterence
cbay
222 )()()()( cbay
i
ii xay i
ii xay 2))(()( Combinaison lineacuteaire
n
ixn
x1
1
n
xx
nx
n )()(
1)(
1
2
Application fondamentale en instrumentation La moyenne
Demo
Loi des grands nombres
50
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires cas particuliers (2)
Produits et puissances
i
iixAy
i i
ii
x
x
y
y2
)()(
Somme quadratique des eacutecart-types relatifs
x
x)(Proprieacuteteacute inteacuteressante des eacutecart-types relatifs
21
3
d
cbay
2222)(
21)(
3)()()(
d
d
c
c
b
b
a
a
y
y
Exemple
TP3
Idem pour incertitudes I si I=t partout
26
51
Lois de propagation des erreurs aleacuteatoires exemple de la droite drsquoeacutetalonnage
Etalonnage
Deacutebit D=aV
0 le D le 10 Lh
a=08 LhmV plusmn001 (t=2)
Inc Sur V 01 mV (t=2)
Incertitude relative sur deacutebit Den fonction du deacutebit
22)()()(
V
VI
a
aI
D
DI
V = tension fournie par capteurhellip
22)()(
D
VaI
a
aI
Mesure des faibles valeurs peu preacutecise
a = inverse de la sensibiliteacute
Si D 0
Calcul de lrsquoincertitude par simulation de lrsquoerreur aleacuteatoire
ou meacutethode de Monte-Carlo
Ex y=f(x1x2)
x1 et x2 ont des erreurs aleacuteatoires (pas forcement indeacutependantes) caracteacuteriseacutees par
leur eacutecart-type s1 et s2
bullSimuler un certain nombre drsquoexpeacuteriences avec les
mecircmes valeurs x1 et x2 + erreur aleacuteatoire (tirages ne)
yi=f(x1+e1x2+e2) N fois
bullCalcul de lrsquoeacutecart type des yi
bullLes ei sont calculeacutes agrave lrsquoaide drsquoun geacuteneacuterateur de nombre
aleacuteatoires agrave distribution adeacutequate (geacuteneacuteralement normale)
Excel =LOINORMALEINVERSE(ALEA()0eacutecart-type)TP4
27
Calcul de lrsquoincertitude par simulation de lrsquoerreur aleacuteatoire exemple
moyenne des D 50012 Dmax 100000
Deacutebit 50000 E Type des D 00526 a 08000
tension V 62500 Incertitude 01052 I(a) 00100
I(V) 01000
Ndeg tirage (400) erreur sur a erreur sur V valeur a valeur V D=aV
1 -00010 00253 07990 62753 50142
2 00011 -00518 08011 61982 49654
3 00032 00436 08032 62936 50551
4 -00098 00026 07902 62526 49407
5 00021 00867 08021 63367 50824
6 -00064 -00202 07936 62298 49437
7 00017 -00820 08017 61680 49450
8 -00065 00444 07935 62944 49949
9 00009 00757 08009 63257 50663
10 -00049 -00318 07951 62182 49439
11 00130 00109 08130 62609 50901
12 00004 00084 08004 62584 50092
13 -00046 00031 07954 62531 49737
14 -00024 00249 07976 62749 50049
15 00047 00311 08047 62811 50543
16 -00021 -00251 07979 62249 49668
D=aV
0 le D le 10 Lh
a=08 LhmV plusmn001 (t=2)
Inc Sur V = 01 mV (t=2)
Tirage aleacuteatoire normal
+
LOINORMALEINVERSE(ALEA()0eacutecart-type)
Les erreurs srsquoajoutent algeacutebriquement
54
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation
La discreacutetisation intervient lorsque les valeurs finales constituent un ensemble discret
Reacutesolution d du systegraveme drsquoacquisition agrave ne pas confondre avec lrsquoincertitude ou la sensibiliteacute
d
V
0
001
002
003
004
005
006
007
008
009
01
0 005 01
Tension reacuteelle
Ten
sion
aff
icheacutee
Discretization uncertainty
28
55
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (2)
32
d dEcart type de lrsquoerreur due agrave la discreacutetisation
295295
0
95
dIII Incertitude totale
5d 6d 7d
Erreur maxi d2
Approximatif Monte-Carlo parfois preacutefeacuterablehellip
Incertitude agrave 95 due agrave la discreacutetisation 2d 2975095 ddINon
058d 0485d
295 ddI
56
Le laquo Dithering raquo
La preacutesence drsquoerreur aleacuteatoire permet ici drsquoameacuteliorer la laquo preacutecision raquo de la mesure
Pas de laquo bruit raquo pas de moyennage Pas de laquo bruit raquo moyenne 50
signaux
laquo bruit raquo pas de moyennage laquo bruit raquo moyenne 50 signaux
La meacutethode du moyennage peut reacuteduire aussi lrsquoerreur de discreacutetisation (= quantification)
On peut gagner 1 bit de reacutesolution chaque fois que lrsquoon multiplie par 4 la freacutequence drsquoeacutechantillonnagehellip
hellip agrave condition que le signal avant numeacuterisation contienne un bruit (aleacuteatoire et indeacutependant) de valeur efficace supeacuterieure agrave la reacutesolution initialehellip
demo
29
57
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (3) les deacutecimales significatives
Ecriture drsquoun nombre avec un nombre de chiffres fini Erreur de discreacutetisation
Pour une mesure lrsquoeacutecart type de lrsquoerreur introduite doit ecirctre petit devant celui
de lrsquoerreur de mesure initiale
Ex mesure = 4382659872 Eacutecart-type mesure = 055 (soit 0125 en relatif)
Doit-on eacutecrire
4382659872
438265
4383
Mais les systegravemes numeacuteriques peuvent donner beaucoup de chiffres significatifshellip
438
58
Mesure afficheacutee
reacutesolution
ET erreur discreacutetisation
ET erreur finale drsquoerreur due agrave la discreacutetisation
438265987
0000001
29 10-7 055 lt 10-3
43827
001
29 10-3 0550008 10-3
4383
01
0029 05506 014
438
1
029 062 13
440
10
289 294 434
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (4) les deacutecimales significatives exemple
32
d d
22 )()( dxX
Ex mesure = 4382659872 Eacutecart-type mesure = (x)= 055 (soit 0125 en relatif)
bullOn peut choisir la reacutesolution immeacutediatement plus petite que lrsquoeacutecart-type de la mesure
bullLrsquoeacutecart-type (ou lrsquoincertitude) afficheacute ne doit pas avoir plus de 2 chiffres significatifs
30
Capabiliteacute drsquoun systegraveme de mesure
Va deacutependre de la toleacuterance deacutesireacuteehellip
hellip et du coucirct de la mesure
capabiliteacute dun moyen de mesure = rapport entre lincertitude U du moyen de mesure et la toleacuterance IT exigeacutee
Veacuterification de la toleacuterance
Normes franccedilaises
( toleacuterance = exigence du client en terme de caracteacuteristique mesurable)
Toleacuterance capabiliteacute drsquoun systegraveme de mesure
T
Notion de risque-risque laquo client raquo(piegravece agrave rejeter mais retenue)-risque laquo fabricant raquo(piegravece agrave retenir mais rejeteacutee)
Mesure moyenne
T
Piegravece agrave rejeterPiegravece agrave retenir
T=ToleacuteranceU=incertitude
Distrib des erreurs de fabrication
Val reacuteelle
31
Reacuteconciliation des donneacutees
61
D1
I(D1)
D2
I(D2)
D3
I(D3)
bull 3 mesures redondantes (car en theacuteorie D1=D2+D3)bull A cause des incertitudes on nrsquoa jamais exactement D1=D2+D3
bull Comment (in)valider les mesures
Reacuteconciliation des donneacutees
bull La redondance permet aussi de reacuteduire lrsquoincertitude (cf moyenne)
Dernier TPhellip
Limite de deacutetection - LDD (1)Limit of Detection - LOD
6280
Pic de signal ou bruit de fond
LDD plus petite valeur non nulle mesurable pour une certaine probabiliteacute drsquoerreur sur le fait que la valeur vraie est nulle ou non
Seuil de deacutecision deacutetection si (Mesure gt Seuil deacutecision)
2 types drsquoerreur de deacutecision Type 1 deacutetection signal alors qursquoil est absent (faux positif)
Type 2 non deacutetection signal alors qursquoil est preacutesent (faux neacutegatif)
32
Limite de deacutetection (2)
6380
Type 1 deacutetection signal alors qursquoil est absent (faux positif)
Exemple probabiliteacute de 5 drsquoerreur de type 1 ou 2
Type 2 non deacutetection signal alors qursquoil est preacutesent (faux neacutegatif)
165
5
Proba = 5 si seuil de deacutecision = 165
Si mecircme seuil de deacutecision (165) mecircme proba drsquoerreur si signal agrave 2 fois le seuil de deacutecision = 33
2x165
5
Limite de deacutetection (3)
0
0
0
0
0
0
0
0
165 33
Niveau signal
seuil de decision type 1 type 2 gt0
nb erreurs 9 9
bonnes deacutecisions 955
eacutecart type bruit analyseur 10
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
1
signal theacuteorique
signal reacuteel
seuil de deacutecision
erreur type 1
erreur type 2
-20 0 20 40 60 80
Si distr normale et probabiliteacute de 95LDD=33
On prend geacuteneacuteralement LDD=3 = eacutecart-type de la mesure laquo proche de zeacutero raquo
33
Etalonnage drsquoun systegraveme de mesure
Etalonnage laquo Opeacuteration consistant agrave eacutetablir une relation entre les valeurs de la grandeur indiqueacutees par un appareil de mesure et les valeurs correspondantes de la grandeur reacutealiseacutees par des eacutetalons raquo (VIM)
160
165
170
175
180
185
190
195
0 20 40 60 80 100
H
C pF
66
Etalonnage Creacuteation drsquoun modegravele de comportement
ETALONNAGE
Variables Xmesureacutees
(capteurs)
Variables Ymesureacutees(analyseshellip)
modegravele ou
Preacutedicteur F
Creacuteation modegravele
de comportement
Y=F(X)
PREDICTION
Variables Xmesureacutees(capteurs)
Estimation des
variables Y
Modegravele
Calcul de
preacutedictiontensions
Calibration Creation of a behavior model
34
67
Eacutetalonnage - calibrage
Eacutetalonnage (calibration) = calcul complet du modegravele neacutecessite un laquo grand raquo nombre drsquoexpeacuteriences
tension
pression
bull Calibrage ou ajustement de zeacutero (zero adjustment) = laquo recalage raquo du modegravele neacutecessite 1 expeacuterience (laquo zeacutero raquo) voire 2 (laquo zeacutero + gain raquo)
tension
pression
bullCorrection variations de fabrication
bullCorrection deacuterive
bullCorrection changement conditions expeacuterimentales (tempeacuterature tarage drsquoune balancehellip)
bullEtchellip
Si le modegravele nrsquoest pas lineacuteaire le calibrage ne peut corriger que de faibles variationshellip
68
Les moindres carreacutes
Meacutethode des moindres carreacutes (monovariable)
laquo minimal raquo pour lrsquoensemble des mesures en trouvant la
fonction optimale f
On veut modeacuteliser pour toutes les mesures (i) ෝ119962119946 = 119839(119961119946) en fait agrave partir
des expeacuteriences on a 119962119946 = 119839 119961119946 + 119942119946 ougrave 119942119946 = laquo reacutesidu raquo ou erreur
On utilise geacuteneacuteralement la distance Euclidienne
laquo minimale raquo en optimisant les 120637119947
The least Squares
120637119947 repreacutesente ici le ou les paramegravetres de la fonction agrave optimiser f (ex coefs polynocircme)
119942119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947
119946
119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947120784
35
69
La reacutegression lineacuteaire
Monovariable (y=f(x) ) + hypothegravese lineacuteaire (y=ax+b)
2 cas
X
Minimisations des erreurs sur Y
Reacutegression de yx
ybaxy e
Y
Minimisation des erreurs sur X
X
Reacutegression de xy
xbyax e ˆ
1ˆ
a
bx
ay
Attention une reacutegression de yx avec des
erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne une
erreur systeacutematique sur la pentehellip
Y
Linear regression
70
La reacutegression lineacuteaire yx ou xy
Attention une reacutegression de yx avec des erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne
une erreur systeacutematique sur la pentehellip
Diffeacuterence neacutegligeable dans une majoriteacute de cashellip
y = 10036x - 00354
-2
0
2
4
6
8
10
12
-2 0 2 4 6 8 10 12
y = 06669x + 16244
-2
0
2
4
6
8
10
12
-2 0 2 4 6 8 10 12
Reacutegression YX Reacutegression XY
36
71
Caracteacuteristiques de la reacutegression yx
Estimations de a et b
)(
)(
)x(x
)y)(yx(x
=a2
i
i
ii
xVar
yxCov
i
xayb
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
Calcul Excel agrave lrsquoaide debull Courbe de tendancebull droitereg
72
Erreur lieacutee agrave la mesure
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
2n
)y(yi
2
ii
yx
s
Ecart Type des reacutesidus
= ET de lrsquoerreur lieacutee agrave la mesure= ET de preacutediction que lrsquoon aurait (mecircmes conditions) si le modegravele eacutetait sans erreur
Mais le modegravele nrsquoest jamais exact
Erreur que lrsquoon aurait mecircme si le modegravele eacutetait parfait agrave cause de lrsquoerreur aleacuteatoire sur xhellipRepreacutesenteacutee par lrsquohellip
Rappel reacutesidu = eacutecart entre valeur preacutedite (sur droite de regression donc) et valeur expeacuterimentale
37
73
Erreur de modeacutelisation
Estimations incertitudes de a et b
baxy ˆ
Y
i
xyss
2
i
a
)x(xEcart type de la pente
i
i
i
xybn
x
ss2
i
2
)x(x
Ecart type de lrsquoordonneacutee agrave lrsquoorigine
Calcul Excel agrave lrsquoaide de la fonction laquo droitereg raquo
temps h tension
0 300E-05
1 440E-05
2 900E-05
3 900E-05
4 100E-04
formule =DROITEREG(YX11)
pente 00000186 00000336 OAO
s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO
R 0870821587 130792E-05 s(resid)
2022369447 3 N DL
34596E-09 5132E-10000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5TP5
Incertitude de preacutediction
74
2
2
11)ˆ(
xx
xX
mstYI
i
xy
bull m= nb eacutechantillons deacutetalonnagebull xi = valeurs deacutetalonnage dont moyenne xbull X = valeur deacutechantillon de preacutedictionbull Syx = eacutecart-type des reacutesidus
x
E Lieacutee agrave la mesure
E Type du modegravele
bull Si modegravele laquo parfait raquo (ou m grand) xystYI )ˆ(
bull Lrsquoincertitude augmente si X srsquoeacuteloigne de (problegraveme de lrsquoextrapolation) x
bull Deacutepend (un peuhellip) de X
I(pred)2=I(lieacutee agrave la mesure)2 + I(modelisation)2
TP6
38
75
Mesure de la qualiteacute dajustement dune reacutegression lineacuteaire
Var(Y) = Var( aX+b) + Var(e
information totale = information modeacuteliseacutee + information reacutesiduelle
Coef De deacutetermination
totale)Var(info
modeacuteliseacutee) Var(infodR
)()(
)(
YX
YXCovRc
Coef de correacutelation
Rd=Rc2
Y
76
Le coef de correacutelation utilisation
0
5
10
15
20
25
30
35
0 2 4 6 8 10 12
R=075
0
5
10
15
20
25
0 2 4 6 8 10 12
R=075
-100
0
100
200
300
400
500
600
0 5 10 15
R=075
Le cœfficient de correacutelation ne sert
agrave quantifier que les relations
lineacuteaires entre X et Yvariables
Il perd toute signification degraves lors
que les reacutesidus
R=08
R=08
R=08
39
77
Reacutegression lineacuteaire examen des reacutesidus
Veacuterification lineacuteariteacute
A corriger
eacuteventuellement avec
reacutegression non lineacuteaire
Deacutetection points
aberrants (outliers)A eacuteliminer apregraves
veacuterification et avec
preacutecautionshellip
Ri=yi-(axi+b)
Reacutesidu = information non
modeacuteliseacutee ideacutealement
erreur aleacuteatoire
residuals
paramegravetres modeacutelisation des donneacutees
ET bruit
v0
v1
a
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
850
900
950
y = 07063x - 39517
-100
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (m
V)
courant (mA)
Valeurs mesureacutees
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (
mV
)
courant (mA)
Graphe des reacutesidus mesure - droiteregr
78
Reacutegression non lineacuteaire reacutegression polynomiale
Ex courbe de
tendance dExcel
temps h
0
1
2
3
4
000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5
Permet de modeacuteliser la plupart des problegravemes peu non lineacuteaireshellip
demo TP7
40
79
Biblio amp liens utilesBouquins
Statistics for analytical Chemistry 3 rd ed JC Miller and JN Miller John Wiley amp Sons 1998
Multivariate Statistical Methods A Primer BFJ Monley Chapman amp Hall 1986
Modeacutelisation et estimation des erreurs de mesure M Neuilly CETAMA Lavoisier Paris 1993
Sites WWW
httpphysicsnistgovcuuUncertaintyindexhtml excellent site simple et succinct mais de reacutefeacuterence
sur la calcul des incertitudes ce document sen est beaucoup inspireacute Un cours plus complet de
statistiques est disponible agrave httpwwwitlnistgovdiv898handbook
httpswwwansesfrfrcontentguide-de-validation-des-mC3A9thodes-danalyses-des-laboratoires-de-rC3A9fC3A9rence Guide de lrsquoANSES Agence nationale de seacutecuriteacute sanitaire
de lrsquoalimentation de lrsquoenvironnement et du travail
httpwwwjybaudotfrStatsstatshtml Encyclopeacutedie des stats de Jean-Yves Baudot agrave la foi preacutecis vulgarisateur et marrant un challenge en statistiques
httpfrfreestatisticsinfoindexphp Collection de liens et surtout de Freewares sur les stats
8062
La norme AFNOR la plus utiliseacutee
httpwwwasqualabcomdocumentsqualitemetrologie19-unites_pifometriquespdf
4
La Mesure
Mesure=
Instrument de mesure uniteacute de mesure meacutethode de mesurehellip
Mesurage = action de mesurer (measurement)
laquo Lobjectif dun mesurage consiste agrave deacuteterminer la valeur du mesurande (measurand) cest-agrave-dire la valeur de la grandeur particuliegravere agrave mesurer raquo (GUM 2008)
laquo En geacuteneacuteral le reacutesultat dun mesurage est seulement une approximation ou estimation de la valeur du mesurande et de ce fait est seulement complet lorsquil est accompagneacute par une expression de lincertitude de cette estimation raquo (GUM 2008)
Guide to the expression of Uncertainty in Measurement
Meacutetrologie
Meacutetrologie = science de la mesure
bullAspect physique et matheacutematique
bull Statistiques de la mesurebull - calcul des incertitudes
bull - Etalonnage
bull Moyens de mesure Capteurs
bullAspect leacutegal
bull Obligations lors drsquoune transaction commerciale
bull Obligations lors de la publication drsquoune mesure
bullAspect eacuteconomique
bull Traccedilabiliteacute et fiabiliteacute
bull Optimisation de la qualiteacute
5
Mesure drsquoune grandeur
Le mesurage se fait agrave laide dun instrument de mesure
bullPar comparaison ex megravetre rapporteurhellip
bull Plus geacuteneacuteralement lrsquoinstrument de mesure va servir agrave transformer un pheacutenomegravene physique en un autre plus facilement mesurable par lrsquointermeacutediaire drsquoun capteur
-- pHmegravetre grandeur chimique -gt grandeur eacutelectrique
-- boussole grandeur magneacutetique -gt grandeur geacuteomeacutetrique (angle)
Cf cours suivanthellip
10
Meacutetrologie chaine de mesure
Laboratoire National
drsquoEssais
NIST (US) PTB (D) NPL (UK)hellip
EtalonsCGPM tous les 4 ans
Comite Franccedilais drsquoaccreacuteditation
6
Uniteacutes de Mesure Systegraveme International
Systegraveme International (SI) baseacute sur 7 grandeurs eacutetalon
Uniteacutes de Mesure Systegraveme International
Systegraveme International (SI) 1960 baseacute sur le systegraveme meacutetrique (CGS puis MKSA)
7
Uniteacutes de Mesure
Autres uniteacutes autoriseacutees-Composeacutees agrave partir des uniteacutes primaires joule (J)=kgm2s-2
-Autoriseacutees car signification physique universelle degC heure eVhellip-Multiples puissances de 10
10-18 atto a
Vocabulaire (1)
14
Erreur absolue diffeacuterence entre la valeur reacuteelle et la mesure
Erreur relativeerreur |mesure| (x 100 si en )
Erreur systeacutematique erreur de valeur moyenne non nulle
Erreur aleacuteatoire erreur non preacutevisible de valeur moyenne nulle
Le vocabulaire est normaliseacute par le BIPMVIM Vocabulaire International de Meacutetrologie
8
Vocabulaire (2)
15
Sensibiliteacute drsquoun SDMdydx pour x donneacute (x=mesurande y=valeur fournie par le SDM)Ex capteur de pression mVhPa
Reacutesolution drsquoun SDM plus petite variation du mesurande deacutetectable
Incertitude laquo Paramegravetre non neacutegatif qui caracteacuterise la dispersion des valeurs attribueacutees agrave un mesurande agrave partir des informations utiliseacutees raquo
Incertitude relative incertitude|mesure|
Systegraveme de mesure
Vocabulaire (3)
16
Non lineacuteariteacute deacuteviation maximale par rapport agrave la courbe approximant la reacuteponse
Offset drsquoun SDM valeur du signal de sortie quand le mesurande est agrave 0
laquo Slew rate raquo vitesse maximale de variation du signal de sortie sans distorsion
Temps de reacuteponselaquo agrave X raquo Temps ou bout duquel en reacuteponse agrave un laquo eacutechelon raquo de
grandeur agrave mesurer le signal a atteind X de sa valeur asymptotique (typiquement 95)
Hysteresis drsquoun SDM aptitude drsquoun SDM dont le signal de sortie agrave lrsquoeacutetat stationnaire ne deacutepend pas que du mesurande mais aussi de lrsquohistoire des signaux anteacuterieurs
Systegraveme de mesure
9
Vocabulaire (4)
17
Deacuterive Lente variation du signal de sortie en fonction du temps ou de la tempeacuterature agrave entreacutee constante
Limite de deacutetection drsquoun SDM plus petite valeur non nulle mesurable pour une certaine probabiliteacute drsquoerreur sur le fait que la valeur vraie est nulle ou non
ReacutepeacutetabiliteacuteEtroitesse de lrsquoaccord entre les valeurs obtenues par des mesurages
reacutepeacuteteacutes dans les mecircmes conditions (lieacutee agrave erreur aleacuteatoire)
ReproductibiliteacuteEtroitesse de lrsquoaccord entre les valeurs obtenues par des mesurages
reacutepeacuteteacutes en faisant varier certaines conditions de mesure
Systegraveme de mesure
18
Quelques rappels sur lerreur et lincertitudehellip
Erreur systeacutematique eB
Systematic error
Erreur accidentelle ou aleacuteatoire eA
Random or accidental error
Mesure x drsquoune variable de valeur reacuteelle xR
ABRxx ee Erreur variable e=xR-x
10
19
Erreur systeacutematique ou aleacuteatoire
Par deacutefinition lerreur aleacuteatoire est impreacutevisible (et donc non corrigeable) et de valeur moyenne nulle
Le caractegravere systeacutematique ou aleacuteatoire de lerreur peut deacutependre du contextehellip
20
Erreur systeacutematique ou aleacuteatoire
Ex mesure dune masse agrave laide dune balance numeacuterique
ea Erreur aleacuteatoire non expliqueacutee
eT Deacuterive en tempeacuterature
eo Erreur opeacuterateur
eu Erreur propre agrave lappareil
es Erreur systeacutematique de la seacuterie ()
Erreur e= ea+eT+eo+eu+es
Conditions des expeacuteriences ea eT eo eu es
1 opeacuterateur le mecircme jour 1 appareil
Idem + eacutetaleacute sur plusieurs jours
Idem + plusieurs opeacuterateurs
Idem + tests sur un lot dappareils
11
Encore du vocabulairehellip
21
Erreur aleacuteatoire
Reacutepeacutetabiliteacute fideacuteliteacute
Variables influenccedilantes
Erreur systeacutematique
biaisjustesse
Reproductibiliteacute
exactitude
22
Caracteacuterisation de la mesure
Moyenne estimeacutee de n mesures dune mecircme valeur xR
n
ixn
x1
1
xR = valeur reacuteelle
R
n
xx
)lim(
(loi des grands nombres)
Estimated mean
Law of large numbers
(Si erreur aleacuteatoire)
2RxxV Variance (de lrsquoerreur aleacuteatoire)
Variance (of random error)Homogegravene au carreacute de la
grandeur mesureacutee
Caracteacuterisation de lrsquoerreur aleacuteatoire
=Moyenne du carreacute de lrsquoerreur
12
23
n
i xxn
s1
2)(1
1Ecart-type estimeacute de
lerreur aleacuteatoire
Ecart-type de lerreur aleacuteatoire
xr
Ecart type
relatif
n
RiRi xxn
xx1
22)(
1
Valeur reacuteelle
Agrave priori inconnuehellip
Standard deviation of random error
Ecart-type de
lerreur aleacuteatoire V
et s ont mecircme espeacuterancehellip
Homogegravene agrave la grandeur mesureacutee
n
ixn
x1
1
n
xx
)()(
Ecart-type de la moyenne de n mesures
24
Distributions drsquoerreurs (aleacuteatoires)
Gaussienne ou normale
Uniforme
Poissonnienne
Etchellip La plus reacutepandue gracircce au Theacuteoregraveme central limitehellip
e0
F(e)Courbe de distribution
de lerreur
Distributions of errors
Gaussian or normal
Uniform
Poissonnian
නminusinfin
0
119865 120576 119889120576 = න0
+infin
119865 120576 119889120576 = 05
A
Probabiliteacute P(A)= 119860 119865 120576 119889120576
13
25
Theacuteoregraveme central limite
Si une variable est la reacutesultante dungrand nombre de causes petites agrave effetadditif cette variable tend vers une loinormale
Cest agrave cause de cette interpreacutetation quela loi normale est tregraves souvent employeacuteecomme modegravele (malheureusement pastoujours agrave raison)
Demo
Central Limit Theorem
26
La distribution Gaussienne (ou normale)
0
01
02
03
04
05
3 2 0 2 3Ecart agrave la moyenne x-x = eacutecart-type
683 des valeurs
2 955 des valeurs
3 997 des valeurs
Proba largeur
50 067middotσ
68 1middotσ
70 104middotσ
87 15middotσ
90 165middotσ
95 196middotσ
99 256middotσ
997 3middotσ
999 328middotσ
99999 999 8 6middotσ
Tableau des coefficients laquo t raquo de Student
tXXprobaP R
=1-LOISTUDENT(tN2)
N= nb eacutechantillons utiliseacutes pour le calcul de s gt20
2
2
1
2
1)(
xx
exF
14
httpwwwjybaudotfrInferentielletstudenthtml
Le coefficient t de Student
tXXprobaP R
P=LOISTUDENT(tN2)
N= nb eacutechantillons utiliseacutes pour le calcul de s -1= nb de degreacutes de liberteacute
Coefs de Student t
intervalle de conf 900 950 980 990 999
p 01 005 002 001 0001
N=nb deg lib
1 631 1271 3182 6366 63662
2 292 430 696 992 3160
3 235 318 454 584 1292
4 213 278 375 460 861
5 202 257 336 403 687
6 194 245 314 371 596
7 189 236 300 350 541
8 186 231 290 336 504
9 183 226 282 325 478
10 181 223 276 317 459
12 178 218 268 305 432
14 176 214 262 298 414
17 174 211 257 290 397
20 172 209 253 285 385
30 170 204 246 275 365
40 168 202 242 270 355
50 168 201 240 268 350
100 166 198 236 263 339
100000 164 196 233 258 329
Relation eacutecart-type Gaussienne valable uniquement si eacutecart-type s parfaitement connu (n=infin)Pratiquement s issu dun calcul statistique-gtLoi de Student(tend vers gaussienne si n grand ngt20)
t=LOISTUDENTINVERSEBILATERALE(PN)
Rappel valable uniquement pour loi gaussienne
28
Distribution de Poisson
Ex comptage drsquoeacutevegravenements non simultaneacutes (deacutesinteacutegration radioactive queuehellip)
Moyenne m
Variance m
demo
15
29
Distribution Uniforme
Ex discreacutetisation de la mesurehellip
TP1
M-d2 M M+d2
d
Moyenne M
Ecart-type
Les tests drsquohypothegravese
30
Significance tests
bull Deacutemarche consistant agrave eacutevaluer une hypothegravese statistique agrave partir dun jeu de donneacutees (eacutechantillon)
bull Le reacutesultat du test nrsquoest pas absolu mais est une probabiliteacute qui est une aide agrave la validation ou non de lrsquohypothegravese initiale il ne constitue donc jamais une preuve
Tests parameacutetriques(hypothegravese sur distribution + ou ndash neacutecessaire)
1-sample T-test Comp Eacutechantillon agrave valeur de reacutefeacuterence intervalle de confiance
2-samples T-test Comparaison de 2 eacutechantillons
F-Test Comparaison de la variance de 2 eacutechantillons
ANOVA Analyse de variance analyse des variances de K eacutechantillons comparaison des moyennes
Chi-Square test Utilisation notamment pour veacuterifier une hypothegravese de distribution
Grubbsrsquo test Deacutetection des valeurs aberrantes (laquo outliers raquo)
Tests non parameacutetriques(pas drsquohypothegravese sur distribution)
Test WilcoxonMW Comparaison de 2 eacutechantillons meacutethode de rang
En rouge tests deacutecrits + loin sinon voir biblio ou google
16
31
95
one-sample T-test laquo simplifieacute raquoComparaison de la mesure M drsquoun eacutechantillon agrave une valeur de reacutefeacuterence R on suppose que la distribution est normale
Hypothegravesesbull laquo M est diffeacuterent de R raquobull laquo M est significativement diffeacuterent de R raquo
Cette hypothegravese de diffeacuterence H1 est retenue si sa probabiliteacute est supeacuterieure agrave 95 (par exemple) (ou si la probabiliteacute drsquoeacutegaliteacute est infeacuterieure agrave 5 (H2)
1 mesure M eacutecart-type estimeacute de la mesure s distr gaussienne
MR
-4srsquo -3srsquo -2srsquo ndashsrsquo 0 srsquo 2srsquo 3srsquo 4srsquo
Hypothegravese retenue si
stRM
si s est calculable laquo preacuteciseacutement raquo
(t=coef de Student)
H1 95 (ou H2 5)
H1 99 (ou H2 1)
H1 999 (ou H2 01)
t 196 256 328
Oui quasiment toujours agrave cause de lrsquoerreur aleacuteatoirehellip
bull laquo La diffeacuterence entre M et R nrsquoest pas due qursquoagrave lrsquoerreur aleacuteatoire raquo
ngt20 sinon tableau des coefs de Studenthellip
32
95
one-sample T-test laquo officiel raquo
Comparaison de la moyenne micro drsquoun eacutechantillon agrave une valeur de reacutefeacuterence R on suppose que la distribution est normaleHypothegravese laquo la diffeacuterence entre la moyenne de n mesures et une valeur de reacutefeacuterence nrsquoest pas due qursquoaux erreurs aleacuteatoires raquo
Cette hypothegravese est retenue si sa probabiliteacute est supeacuterieure agrave 95 (par exemple)
n mesures moyenne m eacutecart-type estimeacute de chaque mesure s
On montre (+ loinhellip) que lrsquoeacutecart-type estimeacute de la moyenne est n
ss
m R
-4srsquo -3srsquo -2srsquo ndashsrsquo 0 srsquo 2srsquo 3srsquo 4srsquo
Hypothegravese retenue si
n
stR m
si s est calculable laquo preacuteciseacutement raquo
(t=coef de Student)
H1 95 (ou H2 5)
H1 99 (ou H2 1)
H1 999 (ou H2 01)
t 196 256 328
17
one-sample T-test exemple
Hypothegravese laquo la diffeacuterenceentre la moyenne de npesages drsquoune masse eacutetalonde 1 kg et la valeur de cettemasse nrsquoest pas due qursquoauxerreurs aleacuteatoires raquo
n
stR m
n
s
Rt
m
1 104946993
2 111917309 Etalon R (kg) 10000
3 099865798
4 101040713
5 114655592
6 097054733
7 114894136
8 108005111 moyenne micro 104614199
9 103044121 Ecart-type s 005326172
10 098202478
11 105094267 00461
12 106252219
13 102608401
14 104961426 002381937 (t=2)
15 103483134 (n=20)
16 103475702
17 098306671
18 109287381
19 097490694
20 107697103
08
09
1
11
12
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
Rm
n
st
Il existe un laquo biais raquohellip
34
two-sample T-test
Comparaison de 2 moyennes de 2 eacutechantillons on suppose que la distribution est normaleHypothegravese laquo la diffeacuterence entre les 2 moyennes nrsquoest pas due qursquoaux erreurs aleacuteatoires raquo
Ech 1 Ech 2
Nb mesures n1 n2
Ecart type estimeacute s1 s2
Moyenne estimeacutee m1 m2
Comparaison de m1 et m2Peut se ramener agrave un 1-sample-test en comparant |m1-m2| agrave 0
On prend alors comme eacutecart-type de |m1-m2|
2
2
2
1
2
1
n
s
n
ss
(deacutemontreacute dans partie laquo lois de propagation de lrsquoerreur raquo)
Et le nombre de degreacutes de liberteacute est en 1ere approx n1+n2-2
st21 mmHypothegravese retenue si
Cette hypothegravese est retenue si sa probabiliteacute est supeacuterieure agrave 95 (par exemple)
2
2
2
1
2
121
n
s
n
st mm
18
two-sample T-test exemple
2
2
2
1
2
121
n
s
n
st mm
op1 op2 op1 op2
359385514 349673556 moyenne micro 354463973 355551443
358810682 350481358 eacutecart-type s 004510027 004809217
353371004 347201328
352760094 3553306 |micro1-micro2| 00108747344867115 357512954
351024893 355717682
360880932 362969549
353927667 366487781 00139361355719746 354702026
352552333 354598904 n 43 t=2
349798625 348741103
349706929 356409401 st 002787228
356771949 356622487
359781434 354564972
354032574 350388551
357799787 365577103
349003712 355839436
357276739 353637213
361263276 357229694
350544464 356392763
360261554
352637678
35652033
358384532
350903522
33
335
34
345
35
355
36
365
37
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25
2
2
2
1
2
1
n
s
n
ss
Hypothegravese laquo la diffeacuterence entre les moyennes de pesages drsquoune mecircme masse par 2 opeacuterateurs nrsquoest pas due qursquoaux erreurs aleacuteatoires raquo
1 2
Il existe un laquo biais entre les 2 opeacuterateursraquohellip
TP2
36
Intervalle de confianceLintervalle de confiance agrave p (95) drsquoune mesure x est un intervalle de valeurs qui a une probabiliteacute centreacutee p (95) de contenir la vraie valeur xR du paramegravetre estimeacute
xx
La calcul de et en fonction de la probabiliteacute P (geacuteneacuteralement 95) deacutepend de la loi de
distribution de lerreur
0
et = incertitude agrave p (95)
Distribution symeacutetrique
bull =
bullValeur moyenne de la mesure
= la plus probable0
Confidence interval
21)()( pxxPxxP RR
Distribution normale
19
37
Intervalle de confiance cas de la distribution normale
Lintervalle de confiance agrave p (95) drsquoune mesure x est un intervalle de valeurs qui a une probabiliteacute centreacutee p (95) de contenir la vraie valeur xR du paramegravetre estimeacute
xx
0
01
02
03
04
05
3 2 0 2 3Ecart agrave la moyenne x-x = eacutecart-type
683 des mesures
2 955 des mesures
3 997 des mesures
stxstx
Coefs de Student t
intervalle de conf 900 950 980 990 999
p 01 005 002 001 0001
deg lib
1 631 1271 3182 6366 63662
2 292 430 696 992 3160
3 235 318 454 584 1292
4 213 278 375 460 861
5 202 257 336 403 687
6 194 245 314 371 596
7 189 236 300 350 541
8 186 231 290 336 504
9 183 226 282 325 478
10 181 223 276 317 459
12 178 218 268 305 432
14 176 214 262 298 414
17 174 211 257 290 397
20 172 209 253 285 385
30 170 204 246 275 365
40 168 202 242 270 355
50 168 201 240 268 350
100 166 198 236 263 339
100000 164 196 233 258 329
38
Loi normale
95
Eacutecriture drsquoune mesure (distribution normale)
Le reacutesultat drsquoune mesure doit comporter 4 eacuteleacutements Ex CNO = 1253 ppb 17 ppb (agrave 95 ou t=2)
1 2 3 41 Valeur numeacuterique avec un nombre correct de deacutecimales2 Uniteacute3 Incertitude eacutelargie = t4 Le coefficient drsquoeacutelargissement t utiliseacute
Probabiliteacute en pour que la valeur reacuteelle
soit dans lrsquointervalle tsxtsx
1 Numerical value with a correct number of decimals2 Unit3 expanded uncertainty = ts4 Coverage factor t
20
39
Eacutevaluation de lrsquoincertitude
Eacutevaluation par analyse statistique de seacuteries de mesures (laquo type A raquo)
(geacuteneacuteralement mesure mais aussi simulation)
Eacutevaluation par calcul de lrsquoeffet sur lrsquoincertitude finale des diffeacuterentes
sources drsquoincertitude (laquo type B raquo laquo par tout autre moyen raquo) elles mecircme
eacutevalueacutees
par une meacutethode de type A
par des donneacutees constructeur drsquoeacutetalonnage etchellip
Il est alors neacutecessaire de connaicirctre les lois de propagation de
lrsquoerreurhellip
GUM Guide to the expression of Uncertainly in Measurement (1993)
Norme Franccedilaise X 07-020 AFNOR Aoucirct 1999
40
Eacutevaluation par analyse statistique de seacuteries de mesures
V
VERR
0
R0
R E
V mesureacute
0
0
RR
REV
Mesure et calcul avec un grand nombre N
de reacutesistances laquo eacutetalon raquo (R connu)
Calcul de lrsquoeacutecart-type
(en fait eacutecart-type estimeacute shellip)
Incertitude agrave 95 = t 2 (si Ngt15hellip)
Ne tient pas compte
-De lrsquoincertitude du Vmegravetre (V)
-Des incertitudes sur E R0 les reacutesistances
eacutetalonhellip
Exemple eacutevaluation drsquoune meacutethode de mesure drsquoune reacutesistance
21
41
Eacutevaluation par calcul de lrsquoeffet sur lrsquoincertitude finale des diffeacuterentes sources drsquoincertitude
V
VERR
0
2
2
0
2
0
2
0 )()()()(
V
V
ERE
V
RR
U
UER
(R0) (E) (V) connus
R0
R E
V mesureacute
Explication
Loi de propagation des eacutecart-types
combined standard uncertainty
Exemple eacutevaluation drsquoune meacutethode de mesure drsquoune reacutesistance
Quelle est la peseacutee la plus preacutecise
22
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes (1)
Exemple de la somme s=a+b
es
eb
ea
es=ea+ebRappel les erreurs srsquoajoutent algeacutebriquement
Et leur eacutecart-type
combined standard uncertainty for random amp independant errors
a b a+b282 151 433
261 171 432
264 168 432
345 202 548
332 190 523
279 208 488
317 155 472
270 209 479
310 186 496
340 156 495
moyenne 300 180 480 480 somme moyennes
variance 011 005 016 016 somme variances
ecartype 033 023 039 055 somme eacutecart-types
000
100
200
300
400
500
600
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
a
b
a+b
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes (2)
Exemple de la somme s=a+b
Erreur aleacuteatoire
)()()( bas
)()()( bVaraVarbaVar
Les eacutecart-types ne srsquoajoutent pas
Les variances si
22baba 222
baba
Les eacutecart-types srsquoajoutent quadratiquement Si les erreurs sont indeacutependantes et aleacuteatoires
23
Quelle est la peseacutee la plus preacutecise
2
2
2
1 PIPIPI
54321 PPPPPP
2)(5 pIPI
)(5 pIPI
gkgP 2425
Rappel loi de propagation drsquoune laquo petite raquo erreur
n
i
i
xx
fy
1
)(
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
)(xfy xdx
dfxfxxf )()(
xdx
dfy
Cas particulier produit-exposant
(Th accroissements finis)
Proprieacuteteacute de la deacuteriveacutee logarithmique
119910 =119886 119887 1198883
11988912
∆119910
119910=
∆119886
119886+
∆119887
119887+ 3
∆119888
119888- 12
∆119889
119889
24
Loi de propagation de la variance et de lrsquoeacutecart-type
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
La variance est additive donc si les variables xi sont indeacutependantes
)()(1
n
i
i
xVx
fyV
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fy
Ecart type V(x)=((x))2
)(2)()(1
1 11
2
2
2
ji
n
i
n
ij ji
i
n
i
xxx
f
x
fx
x
fy Cov
Cas geacuteneacuteral (variables non indeacutependantes)
(non deacutemontreacutehellip)
48
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires (1)
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fyI I
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
Incertitude pour une distr normale I(y)=t(y) geacuteneacuteralement t~2
Sibull mecircmes coefs drsquoeacutelargissement tbull variables xi indeacutependantes
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fy
25
49
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes cas particuliers (1)
Ex somme ou diffeacuterence
cbay
222 )()()()( cbay
i
ii xay i
ii xay 2))(()( Combinaison lineacuteaire
n
ixn
x1
1
n
xx
nx
n )()(
1)(
1
2
Application fondamentale en instrumentation La moyenne
Demo
Loi des grands nombres
50
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires cas particuliers (2)
Produits et puissances
i
iixAy
i i
ii
x
x
y
y2
)()(
Somme quadratique des eacutecart-types relatifs
x
x)(Proprieacuteteacute inteacuteressante des eacutecart-types relatifs
21
3
d
cbay
2222)(
21)(
3)()()(
d
d
c
c
b
b
a
a
y
y
Exemple
TP3
Idem pour incertitudes I si I=t partout
26
51
Lois de propagation des erreurs aleacuteatoires exemple de la droite drsquoeacutetalonnage
Etalonnage
Deacutebit D=aV
0 le D le 10 Lh
a=08 LhmV plusmn001 (t=2)
Inc Sur V 01 mV (t=2)
Incertitude relative sur deacutebit Den fonction du deacutebit
22)()()(
V
VI
a
aI
D
DI
V = tension fournie par capteurhellip
22)()(
D
VaI
a
aI
Mesure des faibles valeurs peu preacutecise
a = inverse de la sensibiliteacute
Si D 0
Calcul de lrsquoincertitude par simulation de lrsquoerreur aleacuteatoire
ou meacutethode de Monte-Carlo
Ex y=f(x1x2)
x1 et x2 ont des erreurs aleacuteatoires (pas forcement indeacutependantes) caracteacuteriseacutees par
leur eacutecart-type s1 et s2
bullSimuler un certain nombre drsquoexpeacuteriences avec les
mecircmes valeurs x1 et x2 + erreur aleacuteatoire (tirages ne)
yi=f(x1+e1x2+e2) N fois
bullCalcul de lrsquoeacutecart type des yi
bullLes ei sont calculeacutes agrave lrsquoaide drsquoun geacuteneacuterateur de nombre
aleacuteatoires agrave distribution adeacutequate (geacuteneacuteralement normale)
Excel =LOINORMALEINVERSE(ALEA()0eacutecart-type)TP4
27
Calcul de lrsquoincertitude par simulation de lrsquoerreur aleacuteatoire exemple
moyenne des D 50012 Dmax 100000
Deacutebit 50000 E Type des D 00526 a 08000
tension V 62500 Incertitude 01052 I(a) 00100
I(V) 01000
Ndeg tirage (400) erreur sur a erreur sur V valeur a valeur V D=aV
1 -00010 00253 07990 62753 50142
2 00011 -00518 08011 61982 49654
3 00032 00436 08032 62936 50551
4 -00098 00026 07902 62526 49407
5 00021 00867 08021 63367 50824
6 -00064 -00202 07936 62298 49437
7 00017 -00820 08017 61680 49450
8 -00065 00444 07935 62944 49949
9 00009 00757 08009 63257 50663
10 -00049 -00318 07951 62182 49439
11 00130 00109 08130 62609 50901
12 00004 00084 08004 62584 50092
13 -00046 00031 07954 62531 49737
14 -00024 00249 07976 62749 50049
15 00047 00311 08047 62811 50543
16 -00021 -00251 07979 62249 49668
D=aV
0 le D le 10 Lh
a=08 LhmV plusmn001 (t=2)
Inc Sur V = 01 mV (t=2)
Tirage aleacuteatoire normal
+
LOINORMALEINVERSE(ALEA()0eacutecart-type)
Les erreurs srsquoajoutent algeacutebriquement
54
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation
La discreacutetisation intervient lorsque les valeurs finales constituent un ensemble discret
Reacutesolution d du systegraveme drsquoacquisition agrave ne pas confondre avec lrsquoincertitude ou la sensibiliteacute
d
V
0
001
002
003
004
005
006
007
008
009
01
0 005 01
Tension reacuteelle
Ten
sion
aff
icheacutee
Discretization uncertainty
28
55
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (2)
32
d dEcart type de lrsquoerreur due agrave la discreacutetisation
295295
0
95
dIII Incertitude totale
5d 6d 7d
Erreur maxi d2
Approximatif Monte-Carlo parfois preacutefeacuterablehellip
Incertitude agrave 95 due agrave la discreacutetisation 2d 2975095 ddINon
058d 0485d
295 ddI
56
Le laquo Dithering raquo
La preacutesence drsquoerreur aleacuteatoire permet ici drsquoameacuteliorer la laquo preacutecision raquo de la mesure
Pas de laquo bruit raquo pas de moyennage Pas de laquo bruit raquo moyenne 50
signaux
laquo bruit raquo pas de moyennage laquo bruit raquo moyenne 50 signaux
La meacutethode du moyennage peut reacuteduire aussi lrsquoerreur de discreacutetisation (= quantification)
On peut gagner 1 bit de reacutesolution chaque fois que lrsquoon multiplie par 4 la freacutequence drsquoeacutechantillonnagehellip
hellip agrave condition que le signal avant numeacuterisation contienne un bruit (aleacuteatoire et indeacutependant) de valeur efficace supeacuterieure agrave la reacutesolution initialehellip
demo
29
57
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (3) les deacutecimales significatives
Ecriture drsquoun nombre avec un nombre de chiffres fini Erreur de discreacutetisation
Pour une mesure lrsquoeacutecart type de lrsquoerreur introduite doit ecirctre petit devant celui
de lrsquoerreur de mesure initiale
Ex mesure = 4382659872 Eacutecart-type mesure = 055 (soit 0125 en relatif)
Doit-on eacutecrire
4382659872
438265
4383
Mais les systegravemes numeacuteriques peuvent donner beaucoup de chiffres significatifshellip
438
58
Mesure afficheacutee
reacutesolution
ET erreur discreacutetisation
ET erreur finale drsquoerreur due agrave la discreacutetisation
438265987
0000001
29 10-7 055 lt 10-3
43827
001
29 10-3 0550008 10-3
4383
01
0029 05506 014
438
1
029 062 13
440
10
289 294 434
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (4) les deacutecimales significatives exemple
32
d d
22 )()( dxX
Ex mesure = 4382659872 Eacutecart-type mesure = (x)= 055 (soit 0125 en relatif)
bullOn peut choisir la reacutesolution immeacutediatement plus petite que lrsquoeacutecart-type de la mesure
bullLrsquoeacutecart-type (ou lrsquoincertitude) afficheacute ne doit pas avoir plus de 2 chiffres significatifs
30
Capabiliteacute drsquoun systegraveme de mesure
Va deacutependre de la toleacuterance deacutesireacuteehellip
hellip et du coucirct de la mesure
capabiliteacute dun moyen de mesure = rapport entre lincertitude U du moyen de mesure et la toleacuterance IT exigeacutee
Veacuterification de la toleacuterance
Normes franccedilaises
( toleacuterance = exigence du client en terme de caracteacuteristique mesurable)
Toleacuterance capabiliteacute drsquoun systegraveme de mesure
T
Notion de risque-risque laquo client raquo(piegravece agrave rejeter mais retenue)-risque laquo fabricant raquo(piegravece agrave retenir mais rejeteacutee)
Mesure moyenne
T
Piegravece agrave rejeterPiegravece agrave retenir
T=ToleacuteranceU=incertitude
Distrib des erreurs de fabrication
Val reacuteelle
31
Reacuteconciliation des donneacutees
61
D1
I(D1)
D2
I(D2)
D3
I(D3)
bull 3 mesures redondantes (car en theacuteorie D1=D2+D3)bull A cause des incertitudes on nrsquoa jamais exactement D1=D2+D3
bull Comment (in)valider les mesures
Reacuteconciliation des donneacutees
bull La redondance permet aussi de reacuteduire lrsquoincertitude (cf moyenne)
Dernier TPhellip
Limite de deacutetection - LDD (1)Limit of Detection - LOD
6280
Pic de signal ou bruit de fond
LDD plus petite valeur non nulle mesurable pour une certaine probabiliteacute drsquoerreur sur le fait que la valeur vraie est nulle ou non
Seuil de deacutecision deacutetection si (Mesure gt Seuil deacutecision)
2 types drsquoerreur de deacutecision Type 1 deacutetection signal alors qursquoil est absent (faux positif)
Type 2 non deacutetection signal alors qursquoil est preacutesent (faux neacutegatif)
32
Limite de deacutetection (2)
6380
Type 1 deacutetection signal alors qursquoil est absent (faux positif)
Exemple probabiliteacute de 5 drsquoerreur de type 1 ou 2
Type 2 non deacutetection signal alors qursquoil est preacutesent (faux neacutegatif)
165
5
Proba = 5 si seuil de deacutecision = 165
Si mecircme seuil de deacutecision (165) mecircme proba drsquoerreur si signal agrave 2 fois le seuil de deacutecision = 33
2x165
5
Limite de deacutetection (3)
0
0
0
0
0
0
0
0
165 33
Niveau signal
seuil de decision type 1 type 2 gt0
nb erreurs 9 9
bonnes deacutecisions 955
eacutecart type bruit analyseur 10
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
1
signal theacuteorique
signal reacuteel
seuil de deacutecision
erreur type 1
erreur type 2
-20 0 20 40 60 80
Si distr normale et probabiliteacute de 95LDD=33
On prend geacuteneacuteralement LDD=3 = eacutecart-type de la mesure laquo proche de zeacutero raquo
33
Etalonnage drsquoun systegraveme de mesure
Etalonnage laquo Opeacuteration consistant agrave eacutetablir une relation entre les valeurs de la grandeur indiqueacutees par un appareil de mesure et les valeurs correspondantes de la grandeur reacutealiseacutees par des eacutetalons raquo (VIM)
160
165
170
175
180
185
190
195
0 20 40 60 80 100
H
C pF
66
Etalonnage Creacuteation drsquoun modegravele de comportement
ETALONNAGE
Variables Xmesureacutees
(capteurs)
Variables Ymesureacutees(analyseshellip)
modegravele ou
Preacutedicteur F
Creacuteation modegravele
de comportement
Y=F(X)
PREDICTION
Variables Xmesureacutees(capteurs)
Estimation des
variables Y
Modegravele
Calcul de
preacutedictiontensions
Calibration Creation of a behavior model
34
67
Eacutetalonnage - calibrage
Eacutetalonnage (calibration) = calcul complet du modegravele neacutecessite un laquo grand raquo nombre drsquoexpeacuteriences
tension
pression
bull Calibrage ou ajustement de zeacutero (zero adjustment) = laquo recalage raquo du modegravele neacutecessite 1 expeacuterience (laquo zeacutero raquo) voire 2 (laquo zeacutero + gain raquo)
tension
pression
bullCorrection variations de fabrication
bullCorrection deacuterive
bullCorrection changement conditions expeacuterimentales (tempeacuterature tarage drsquoune balancehellip)
bullEtchellip
Si le modegravele nrsquoest pas lineacuteaire le calibrage ne peut corriger que de faibles variationshellip
68
Les moindres carreacutes
Meacutethode des moindres carreacutes (monovariable)
laquo minimal raquo pour lrsquoensemble des mesures en trouvant la
fonction optimale f
On veut modeacuteliser pour toutes les mesures (i) ෝ119962119946 = 119839(119961119946) en fait agrave partir
des expeacuteriences on a 119962119946 = 119839 119961119946 + 119942119946 ougrave 119942119946 = laquo reacutesidu raquo ou erreur
On utilise geacuteneacuteralement la distance Euclidienne
laquo minimale raquo en optimisant les 120637119947
The least Squares
120637119947 repreacutesente ici le ou les paramegravetres de la fonction agrave optimiser f (ex coefs polynocircme)
119942119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947
119946
119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947120784
35
69
La reacutegression lineacuteaire
Monovariable (y=f(x) ) + hypothegravese lineacuteaire (y=ax+b)
2 cas
X
Minimisations des erreurs sur Y
Reacutegression de yx
ybaxy e
Y
Minimisation des erreurs sur X
X
Reacutegression de xy
xbyax e ˆ
1ˆ
a
bx
ay
Attention une reacutegression de yx avec des
erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne une
erreur systeacutematique sur la pentehellip
Y
Linear regression
70
La reacutegression lineacuteaire yx ou xy
Attention une reacutegression de yx avec des erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne
une erreur systeacutematique sur la pentehellip
Diffeacuterence neacutegligeable dans une majoriteacute de cashellip
y = 10036x - 00354
-2
0
2
4
6
8
10
12
-2 0 2 4 6 8 10 12
y = 06669x + 16244
-2
0
2
4
6
8
10
12
-2 0 2 4 6 8 10 12
Reacutegression YX Reacutegression XY
36
71
Caracteacuteristiques de la reacutegression yx
Estimations de a et b
)(
)(
)x(x
)y)(yx(x
=a2
i
i
ii
xVar
yxCov
i
xayb
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
Calcul Excel agrave lrsquoaide debull Courbe de tendancebull droitereg
72
Erreur lieacutee agrave la mesure
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
2n
)y(yi
2
ii
yx
s
Ecart Type des reacutesidus
= ET de lrsquoerreur lieacutee agrave la mesure= ET de preacutediction que lrsquoon aurait (mecircmes conditions) si le modegravele eacutetait sans erreur
Mais le modegravele nrsquoest jamais exact
Erreur que lrsquoon aurait mecircme si le modegravele eacutetait parfait agrave cause de lrsquoerreur aleacuteatoire sur xhellipRepreacutesenteacutee par lrsquohellip
Rappel reacutesidu = eacutecart entre valeur preacutedite (sur droite de regression donc) et valeur expeacuterimentale
37
73
Erreur de modeacutelisation
Estimations incertitudes de a et b
baxy ˆ
Y
i
xyss
2
i
a
)x(xEcart type de la pente
i
i
i
xybn
x
ss2
i
2
)x(x
Ecart type de lrsquoordonneacutee agrave lrsquoorigine
Calcul Excel agrave lrsquoaide de la fonction laquo droitereg raquo
temps h tension
0 300E-05
1 440E-05
2 900E-05
3 900E-05
4 100E-04
formule =DROITEREG(YX11)
pente 00000186 00000336 OAO
s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO
R 0870821587 130792E-05 s(resid)
2022369447 3 N DL
34596E-09 5132E-10000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5TP5
Incertitude de preacutediction
74
2
2
11)ˆ(
xx
xX
mstYI
i
xy
bull m= nb eacutechantillons deacutetalonnagebull xi = valeurs deacutetalonnage dont moyenne xbull X = valeur deacutechantillon de preacutedictionbull Syx = eacutecart-type des reacutesidus
x
E Lieacutee agrave la mesure
E Type du modegravele
bull Si modegravele laquo parfait raquo (ou m grand) xystYI )ˆ(
bull Lrsquoincertitude augmente si X srsquoeacuteloigne de (problegraveme de lrsquoextrapolation) x
bull Deacutepend (un peuhellip) de X
I(pred)2=I(lieacutee agrave la mesure)2 + I(modelisation)2
TP6
38
75
Mesure de la qualiteacute dajustement dune reacutegression lineacuteaire
Var(Y) = Var( aX+b) + Var(e
information totale = information modeacuteliseacutee + information reacutesiduelle
Coef De deacutetermination
totale)Var(info
modeacuteliseacutee) Var(infodR
)()(
)(
YX
YXCovRc
Coef de correacutelation
Rd=Rc2
Y
76
Le coef de correacutelation utilisation
0
5
10
15
20
25
30
35
0 2 4 6 8 10 12
R=075
0
5
10
15
20
25
0 2 4 6 8 10 12
R=075
-100
0
100
200
300
400
500
600
0 5 10 15
R=075
Le cœfficient de correacutelation ne sert
agrave quantifier que les relations
lineacuteaires entre X et Yvariables
Il perd toute signification degraves lors
que les reacutesidus
R=08
R=08
R=08
39
77
Reacutegression lineacuteaire examen des reacutesidus
Veacuterification lineacuteariteacute
A corriger
eacuteventuellement avec
reacutegression non lineacuteaire
Deacutetection points
aberrants (outliers)A eacuteliminer apregraves
veacuterification et avec
preacutecautionshellip
Ri=yi-(axi+b)
Reacutesidu = information non
modeacuteliseacutee ideacutealement
erreur aleacuteatoire
residuals
paramegravetres modeacutelisation des donneacutees
ET bruit
v0
v1
a
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
850
900
950
y = 07063x - 39517
-100
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (m
V)
courant (mA)
Valeurs mesureacutees
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (
mV
)
courant (mA)
Graphe des reacutesidus mesure - droiteregr
78
Reacutegression non lineacuteaire reacutegression polynomiale
Ex courbe de
tendance dExcel
temps h
0
1
2
3
4
000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5
Permet de modeacuteliser la plupart des problegravemes peu non lineacuteaireshellip
demo TP7
40
79
Biblio amp liens utilesBouquins
Statistics for analytical Chemistry 3 rd ed JC Miller and JN Miller John Wiley amp Sons 1998
Multivariate Statistical Methods A Primer BFJ Monley Chapman amp Hall 1986
Modeacutelisation et estimation des erreurs de mesure M Neuilly CETAMA Lavoisier Paris 1993
Sites WWW
httpphysicsnistgovcuuUncertaintyindexhtml excellent site simple et succinct mais de reacutefeacuterence
sur la calcul des incertitudes ce document sen est beaucoup inspireacute Un cours plus complet de
statistiques est disponible agrave httpwwwitlnistgovdiv898handbook
httpswwwansesfrfrcontentguide-de-validation-des-mC3A9thodes-danalyses-des-laboratoires-de-rC3A9fC3A9rence Guide de lrsquoANSES Agence nationale de seacutecuriteacute sanitaire
de lrsquoalimentation de lrsquoenvironnement et du travail
httpwwwjybaudotfrStatsstatshtml Encyclopeacutedie des stats de Jean-Yves Baudot agrave la foi preacutecis vulgarisateur et marrant un challenge en statistiques
httpfrfreestatisticsinfoindexphp Collection de liens et surtout de Freewares sur les stats
8062
La norme AFNOR la plus utiliseacutee
httpwwwasqualabcomdocumentsqualitemetrologie19-unites_pifometriquespdf
5
Mesure drsquoune grandeur
Le mesurage se fait agrave laide dun instrument de mesure
bullPar comparaison ex megravetre rapporteurhellip
bull Plus geacuteneacuteralement lrsquoinstrument de mesure va servir agrave transformer un pheacutenomegravene physique en un autre plus facilement mesurable par lrsquointermeacutediaire drsquoun capteur
-- pHmegravetre grandeur chimique -gt grandeur eacutelectrique
-- boussole grandeur magneacutetique -gt grandeur geacuteomeacutetrique (angle)
Cf cours suivanthellip
10
Meacutetrologie chaine de mesure
Laboratoire National
drsquoEssais
NIST (US) PTB (D) NPL (UK)hellip
EtalonsCGPM tous les 4 ans
Comite Franccedilais drsquoaccreacuteditation
6
Uniteacutes de Mesure Systegraveme International
Systegraveme International (SI) baseacute sur 7 grandeurs eacutetalon
Uniteacutes de Mesure Systegraveme International
Systegraveme International (SI) 1960 baseacute sur le systegraveme meacutetrique (CGS puis MKSA)
7
Uniteacutes de Mesure
Autres uniteacutes autoriseacutees-Composeacutees agrave partir des uniteacutes primaires joule (J)=kgm2s-2
-Autoriseacutees car signification physique universelle degC heure eVhellip-Multiples puissances de 10
10-18 atto a
Vocabulaire (1)
14
Erreur absolue diffeacuterence entre la valeur reacuteelle et la mesure
Erreur relativeerreur |mesure| (x 100 si en )
Erreur systeacutematique erreur de valeur moyenne non nulle
Erreur aleacuteatoire erreur non preacutevisible de valeur moyenne nulle
Le vocabulaire est normaliseacute par le BIPMVIM Vocabulaire International de Meacutetrologie
8
Vocabulaire (2)
15
Sensibiliteacute drsquoun SDMdydx pour x donneacute (x=mesurande y=valeur fournie par le SDM)Ex capteur de pression mVhPa
Reacutesolution drsquoun SDM plus petite variation du mesurande deacutetectable
Incertitude laquo Paramegravetre non neacutegatif qui caracteacuterise la dispersion des valeurs attribueacutees agrave un mesurande agrave partir des informations utiliseacutees raquo
Incertitude relative incertitude|mesure|
Systegraveme de mesure
Vocabulaire (3)
16
Non lineacuteariteacute deacuteviation maximale par rapport agrave la courbe approximant la reacuteponse
Offset drsquoun SDM valeur du signal de sortie quand le mesurande est agrave 0
laquo Slew rate raquo vitesse maximale de variation du signal de sortie sans distorsion
Temps de reacuteponselaquo agrave X raquo Temps ou bout duquel en reacuteponse agrave un laquo eacutechelon raquo de
grandeur agrave mesurer le signal a atteind X de sa valeur asymptotique (typiquement 95)
Hysteresis drsquoun SDM aptitude drsquoun SDM dont le signal de sortie agrave lrsquoeacutetat stationnaire ne deacutepend pas que du mesurande mais aussi de lrsquohistoire des signaux anteacuterieurs
Systegraveme de mesure
9
Vocabulaire (4)
17
Deacuterive Lente variation du signal de sortie en fonction du temps ou de la tempeacuterature agrave entreacutee constante
Limite de deacutetection drsquoun SDM plus petite valeur non nulle mesurable pour une certaine probabiliteacute drsquoerreur sur le fait que la valeur vraie est nulle ou non
ReacutepeacutetabiliteacuteEtroitesse de lrsquoaccord entre les valeurs obtenues par des mesurages
reacutepeacuteteacutes dans les mecircmes conditions (lieacutee agrave erreur aleacuteatoire)
ReproductibiliteacuteEtroitesse de lrsquoaccord entre les valeurs obtenues par des mesurages
reacutepeacuteteacutes en faisant varier certaines conditions de mesure
Systegraveme de mesure
18
Quelques rappels sur lerreur et lincertitudehellip
Erreur systeacutematique eB
Systematic error
Erreur accidentelle ou aleacuteatoire eA
Random or accidental error
Mesure x drsquoune variable de valeur reacuteelle xR
ABRxx ee Erreur variable e=xR-x
10
19
Erreur systeacutematique ou aleacuteatoire
Par deacutefinition lerreur aleacuteatoire est impreacutevisible (et donc non corrigeable) et de valeur moyenne nulle
Le caractegravere systeacutematique ou aleacuteatoire de lerreur peut deacutependre du contextehellip
20
Erreur systeacutematique ou aleacuteatoire
Ex mesure dune masse agrave laide dune balance numeacuterique
ea Erreur aleacuteatoire non expliqueacutee
eT Deacuterive en tempeacuterature
eo Erreur opeacuterateur
eu Erreur propre agrave lappareil
es Erreur systeacutematique de la seacuterie ()
Erreur e= ea+eT+eo+eu+es
Conditions des expeacuteriences ea eT eo eu es
1 opeacuterateur le mecircme jour 1 appareil
Idem + eacutetaleacute sur plusieurs jours
Idem + plusieurs opeacuterateurs
Idem + tests sur un lot dappareils
11
Encore du vocabulairehellip
21
Erreur aleacuteatoire
Reacutepeacutetabiliteacute fideacuteliteacute
Variables influenccedilantes
Erreur systeacutematique
biaisjustesse
Reproductibiliteacute
exactitude
22
Caracteacuterisation de la mesure
Moyenne estimeacutee de n mesures dune mecircme valeur xR
n
ixn
x1
1
xR = valeur reacuteelle
R
n
xx
)lim(
(loi des grands nombres)
Estimated mean
Law of large numbers
(Si erreur aleacuteatoire)
2RxxV Variance (de lrsquoerreur aleacuteatoire)
Variance (of random error)Homogegravene au carreacute de la
grandeur mesureacutee
Caracteacuterisation de lrsquoerreur aleacuteatoire
=Moyenne du carreacute de lrsquoerreur
12
23
n
i xxn
s1
2)(1
1Ecart-type estimeacute de
lerreur aleacuteatoire
Ecart-type de lerreur aleacuteatoire
xr
Ecart type
relatif
n
RiRi xxn
xx1
22)(
1
Valeur reacuteelle
Agrave priori inconnuehellip
Standard deviation of random error
Ecart-type de
lerreur aleacuteatoire V
et s ont mecircme espeacuterancehellip
Homogegravene agrave la grandeur mesureacutee
n
ixn
x1
1
n
xx
)()(
Ecart-type de la moyenne de n mesures
24
Distributions drsquoerreurs (aleacuteatoires)
Gaussienne ou normale
Uniforme
Poissonnienne
Etchellip La plus reacutepandue gracircce au Theacuteoregraveme central limitehellip
e0
F(e)Courbe de distribution
de lerreur
Distributions of errors
Gaussian or normal
Uniform
Poissonnian
නminusinfin
0
119865 120576 119889120576 = න0
+infin
119865 120576 119889120576 = 05
A
Probabiliteacute P(A)= 119860 119865 120576 119889120576
13
25
Theacuteoregraveme central limite
Si une variable est la reacutesultante dungrand nombre de causes petites agrave effetadditif cette variable tend vers une loinormale
Cest agrave cause de cette interpreacutetation quela loi normale est tregraves souvent employeacuteecomme modegravele (malheureusement pastoujours agrave raison)
Demo
Central Limit Theorem
26
La distribution Gaussienne (ou normale)
0
01
02
03
04
05
3 2 0 2 3Ecart agrave la moyenne x-x = eacutecart-type
683 des valeurs
2 955 des valeurs
3 997 des valeurs
Proba largeur
50 067middotσ
68 1middotσ
70 104middotσ
87 15middotσ
90 165middotσ
95 196middotσ
99 256middotσ
997 3middotσ
999 328middotσ
99999 999 8 6middotσ
Tableau des coefficients laquo t raquo de Student
tXXprobaP R
=1-LOISTUDENT(tN2)
N= nb eacutechantillons utiliseacutes pour le calcul de s gt20
2
2
1
2
1)(
xx
exF
14
httpwwwjybaudotfrInferentielletstudenthtml
Le coefficient t de Student
tXXprobaP R
P=LOISTUDENT(tN2)
N= nb eacutechantillons utiliseacutes pour le calcul de s -1= nb de degreacutes de liberteacute
Coefs de Student t
intervalle de conf 900 950 980 990 999
p 01 005 002 001 0001
N=nb deg lib
1 631 1271 3182 6366 63662
2 292 430 696 992 3160
3 235 318 454 584 1292
4 213 278 375 460 861
5 202 257 336 403 687
6 194 245 314 371 596
7 189 236 300 350 541
8 186 231 290 336 504
9 183 226 282 325 478
10 181 223 276 317 459
12 178 218 268 305 432
14 176 214 262 298 414
17 174 211 257 290 397
20 172 209 253 285 385
30 170 204 246 275 365
40 168 202 242 270 355
50 168 201 240 268 350
100 166 198 236 263 339
100000 164 196 233 258 329
Relation eacutecart-type Gaussienne valable uniquement si eacutecart-type s parfaitement connu (n=infin)Pratiquement s issu dun calcul statistique-gtLoi de Student(tend vers gaussienne si n grand ngt20)
t=LOISTUDENTINVERSEBILATERALE(PN)
Rappel valable uniquement pour loi gaussienne
28
Distribution de Poisson
Ex comptage drsquoeacutevegravenements non simultaneacutes (deacutesinteacutegration radioactive queuehellip)
Moyenne m
Variance m
demo
15
29
Distribution Uniforme
Ex discreacutetisation de la mesurehellip
TP1
M-d2 M M+d2
d
Moyenne M
Ecart-type
Les tests drsquohypothegravese
30
Significance tests
bull Deacutemarche consistant agrave eacutevaluer une hypothegravese statistique agrave partir dun jeu de donneacutees (eacutechantillon)
bull Le reacutesultat du test nrsquoest pas absolu mais est une probabiliteacute qui est une aide agrave la validation ou non de lrsquohypothegravese initiale il ne constitue donc jamais une preuve
Tests parameacutetriques(hypothegravese sur distribution + ou ndash neacutecessaire)
1-sample T-test Comp Eacutechantillon agrave valeur de reacutefeacuterence intervalle de confiance
2-samples T-test Comparaison de 2 eacutechantillons
F-Test Comparaison de la variance de 2 eacutechantillons
ANOVA Analyse de variance analyse des variances de K eacutechantillons comparaison des moyennes
Chi-Square test Utilisation notamment pour veacuterifier une hypothegravese de distribution
Grubbsrsquo test Deacutetection des valeurs aberrantes (laquo outliers raquo)
Tests non parameacutetriques(pas drsquohypothegravese sur distribution)
Test WilcoxonMW Comparaison de 2 eacutechantillons meacutethode de rang
En rouge tests deacutecrits + loin sinon voir biblio ou google
16
31
95
one-sample T-test laquo simplifieacute raquoComparaison de la mesure M drsquoun eacutechantillon agrave une valeur de reacutefeacuterence R on suppose que la distribution est normale
Hypothegravesesbull laquo M est diffeacuterent de R raquobull laquo M est significativement diffeacuterent de R raquo
Cette hypothegravese de diffeacuterence H1 est retenue si sa probabiliteacute est supeacuterieure agrave 95 (par exemple) (ou si la probabiliteacute drsquoeacutegaliteacute est infeacuterieure agrave 5 (H2)
1 mesure M eacutecart-type estimeacute de la mesure s distr gaussienne
MR
-4srsquo -3srsquo -2srsquo ndashsrsquo 0 srsquo 2srsquo 3srsquo 4srsquo
Hypothegravese retenue si
stRM
si s est calculable laquo preacuteciseacutement raquo
(t=coef de Student)
H1 95 (ou H2 5)
H1 99 (ou H2 1)
H1 999 (ou H2 01)
t 196 256 328
Oui quasiment toujours agrave cause de lrsquoerreur aleacuteatoirehellip
bull laquo La diffeacuterence entre M et R nrsquoest pas due qursquoagrave lrsquoerreur aleacuteatoire raquo
ngt20 sinon tableau des coefs de Studenthellip
32
95
one-sample T-test laquo officiel raquo
Comparaison de la moyenne micro drsquoun eacutechantillon agrave une valeur de reacutefeacuterence R on suppose que la distribution est normaleHypothegravese laquo la diffeacuterence entre la moyenne de n mesures et une valeur de reacutefeacuterence nrsquoest pas due qursquoaux erreurs aleacuteatoires raquo
Cette hypothegravese est retenue si sa probabiliteacute est supeacuterieure agrave 95 (par exemple)
n mesures moyenne m eacutecart-type estimeacute de chaque mesure s
On montre (+ loinhellip) que lrsquoeacutecart-type estimeacute de la moyenne est n
ss
m R
-4srsquo -3srsquo -2srsquo ndashsrsquo 0 srsquo 2srsquo 3srsquo 4srsquo
Hypothegravese retenue si
n
stR m
si s est calculable laquo preacuteciseacutement raquo
(t=coef de Student)
H1 95 (ou H2 5)
H1 99 (ou H2 1)
H1 999 (ou H2 01)
t 196 256 328
17
one-sample T-test exemple
Hypothegravese laquo la diffeacuterenceentre la moyenne de npesages drsquoune masse eacutetalonde 1 kg et la valeur de cettemasse nrsquoest pas due qursquoauxerreurs aleacuteatoires raquo
n
stR m
n
s
Rt
m
1 104946993
2 111917309 Etalon R (kg) 10000
3 099865798
4 101040713
5 114655592
6 097054733
7 114894136
8 108005111 moyenne micro 104614199
9 103044121 Ecart-type s 005326172
10 098202478
11 105094267 00461
12 106252219
13 102608401
14 104961426 002381937 (t=2)
15 103483134 (n=20)
16 103475702
17 098306671
18 109287381
19 097490694
20 107697103
08
09
1
11
12
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
Rm
n
st
Il existe un laquo biais raquohellip
34
two-sample T-test
Comparaison de 2 moyennes de 2 eacutechantillons on suppose que la distribution est normaleHypothegravese laquo la diffeacuterence entre les 2 moyennes nrsquoest pas due qursquoaux erreurs aleacuteatoires raquo
Ech 1 Ech 2
Nb mesures n1 n2
Ecart type estimeacute s1 s2
Moyenne estimeacutee m1 m2
Comparaison de m1 et m2Peut se ramener agrave un 1-sample-test en comparant |m1-m2| agrave 0
On prend alors comme eacutecart-type de |m1-m2|
2
2
2
1
2
1
n
s
n
ss
(deacutemontreacute dans partie laquo lois de propagation de lrsquoerreur raquo)
Et le nombre de degreacutes de liberteacute est en 1ere approx n1+n2-2
st21 mmHypothegravese retenue si
Cette hypothegravese est retenue si sa probabiliteacute est supeacuterieure agrave 95 (par exemple)
2
2
2
1
2
121
n
s
n
st mm
18
two-sample T-test exemple
2
2
2
1
2
121
n
s
n
st mm
op1 op2 op1 op2
359385514 349673556 moyenne micro 354463973 355551443
358810682 350481358 eacutecart-type s 004510027 004809217
353371004 347201328
352760094 3553306 |micro1-micro2| 00108747344867115 357512954
351024893 355717682
360880932 362969549
353927667 366487781 00139361355719746 354702026
352552333 354598904 n 43 t=2
349798625 348741103
349706929 356409401 st 002787228
356771949 356622487
359781434 354564972
354032574 350388551
357799787 365577103
349003712 355839436
357276739 353637213
361263276 357229694
350544464 356392763
360261554
352637678
35652033
358384532
350903522
33
335
34
345
35
355
36
365
37
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25
2
2
2
1
2
1
n
s
n
ss
Hypothegravese laquo la diffeacuterence entre les moyennes de pesages drsquoune mecircme masse par 2 opeacuterateurs nrsquoest pas due qursquoaux erreurs aleacuteatoires raquo
1 2
Il existe un laquo biais entre les 2 opeacuterateursraquohellip
TP2
36
Intervalle de confianceLintervalle de confiance agrave p (95) drsquoune mesure x est un intervalle de valeurs qui a une probabiliteacute centreacutee p (95) de contenir la vraie valeur xR du paramegravetre estimeacute
xx
La calcul de et en fonction de la probabiliteacute P (geacuteneacuteralement 95) deacutepend de la loi de
distribution de lerreur
0
et = incertitude agrave p (95)
Distribution symeacutetrique
bull =
bullValeur moyenne de la mesure
= la plus probable0
Confidence interval
21)()( pxxPxxP RR
Distribution normale
19
37
Intervalle de confiance cas de la distribution normale
Lintervalle de confiance agrave p (95) drsquoune mesure x est un intervalle de valeurs qui a une probabiliteacute centreacutee p (95) de contenir la vraie valeur xR du paramegravetre estimeacute
xx
0
01
02
03
04
05
3 2 0 2 3Ecart agrave la moyenne x-x = eacutecart-type
683 des mesures
2 955 des mesures
3 997 des mesures
stxstx
Coefs de Student t
intervalle de conf 900 950 980 990 999
p 01 005 002 001 0001
deg lib
1 631 1271 3182 6366 63662
2 292 430 696 992 3160
3 235 318 454 584 1292
4 213 278 375 460 861
5 202 257 336 403 687
6 194 245 314 371 596
7 189 236 300 350 541
8 186 231 290 336 504
9 183 226 282 325 478
10 181 223 276 317 459
12 178 218 268 305 432
14 176 214 262 298 414
17 174 211 257 290 397
20 172 209 253 285 385
30 170 204 246 275 365
40 168 202 242 270 355
50 168 201 240 268 350
100 166 198 236 263 339
100000 164 196 233 258 329
38
Loi normale
95
Eacutecriture drsquoune mesure (distribution normale)
Le reacutesultat drsquoune mesure doit comporter 4 eacuteleacutements Ex CNO = 1253 ppb 17 ppb (agrave 95 ou t=2)
1 2 3 41 Valeur numeacuterique avec un nombre correct de deacutecimales2 Uniteacute3 Incertitude eacutelargie = t4 Le coefficient drsquoeacutelargissement t utiliseacute
Probabiliteacute en pour que la valeur reacuteelle
soit dans lrsquointervalle tsxtsx
1 Numerical value with a correct number of decimals2 Unit3 expanded uncertainty = ts4 Coverage factor t
20
39
Eacutevaluation de lrsquoincertitude
Eacutevaluation par analyse statistique de seacuteries de mesures (laquo type A raquo)
(geacuteneacuteralement mesure mais aussi simulation)
Eacutevaluation par calcul de lrsquoeffet sur lrsquoincertitude finale des diffeacuterentes
sources drsquoincertitude (laquo type B raquo laquo par tout autre moyen raquo) elles mecircme
eacutevalueacutees
par une meacutethode de type A
par des donneacutees constructeur drsquoeacutetalonnage etchellip
Il est alors neacutecessaire de connaicirctre les lois de propagation de
lrsquoerreurhellip
GUM Guide to the expression of Uncertainly in Measurement (1993)
Norme Franccedilaise X 07-020 AFNOR Aoucirct 1999
40
Eacutevaluation par analyse statistique de seacuteries de mesures
V
VERR
0
R0
R E
V mesureacute
0
0
RR
REV
Mesure et calcul avec un grand nombre N
de reacutesistances laquo eacutetalon raquo (R connu)
Calcul de lrsquoeacutecart-type
(en fait eacutecart-type estimeacute shellip)
Incertitude agrave 95 = t 2 (si Ngt15hellip)
Ne tient pas compte
-De lrsquoincertitude du Vmegravetre (V)
-Des incertitudes sur E R0 les reacutesistances
eacutetalonhellip
Exemple eacutevaluation drsquoune meacutethode de mesure drsquoune reacutesistance
21
41
Eacutevaluation par calcul de lrsquoeffet sur lrsquoincertitude finale des diffeacuterentes sources drsquoincertitude
V
VERR
0
2
2
0
2
0
2
0 )()()()(
V
V
ERE
V
RR
U
UER
(R0) (E) (V) connus
R0
R E
V mesureacute
Explication
Loi de propagation des eacutecart-types
combined standard uncertainty
Exemple eacutevaluation drsquoune meacutethode de mesure drsquoune reacutesistance
Quelle est la peseacutee la plus preacutecise
22
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes (1)
Exemple de la somme s=a+b
es
eb
ea
es=ea+ebRappel les erreurs srsquoajoutent algeacutebriquement
Et leur eacutecart-type
combined standard uncertainty for random amp independant errors
a b a+b282 151 433
261 171 432
264 168 432
345 202 548
332 190 523
279 208 488
317 155 472
270 209 479
310 186 496
340 156 495
moyenne 300 180 480 480 somme moyennes
variance 011 005 016 016 somme variances
ecartype 033 023 039 055 somme eacutecart-types
000
100
200
300
400
500
600
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
a
b
a+b
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes (2)
Exemple de la somme s=a+b
Erreur aleacuteatoire
)()()( bas
)()()( bVaraVarbaVar
Les eacutecart-types ne srsquoajoutent pas
Les variances si
22baba 222
baba
Les eacutecart-types srsquoajoutent quadratiquement Si les erreurs sont indeacutependantes et aleacuteatoires
23
Quelle est la peseacutee la plus preacutecise
2
2
2
1 PIPIPI
54321 PPPPPP
2)(5 pIPI
)(5 pIPI
gkgP 2425
Rappel loi de propagation drsquoune laquo petite raquo erreur
n
i
i
xx
fy
1
)(
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
)(xfy xdx
dfxfxxf )()(
xdx
dfy
Cas particulier produit-exposant
(Th accroissements finis)
Proprieacuteteacute de la deacuteriveacutee logarithmique
119910 =119886 119887 1198883
11988912
∆119910
119910=
∆119886
119886+
∆119887
119887+ 3
∆119888
119888- 12
∆119889
119889
24
Loi de propagation de la variance et de lrsquoeacutecart-type
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
La variance est additive donc si les variables xi sont indeacutependantes
)()(1
n
i
i
xVx
fyV
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fy
Ecart type V(x)=((x))2
)(2)()(1
1 11
2
2
2
ji
n
i
n
ij ji
i
n
i
xxx
f
x
fx
x
fy Cov
Cas geacuteneacuteral (variables non indeacutependantes)
(non deacutemontreacutehellip)
48
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires (1)
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fyI I
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
Incertitude pour une distr normale I(y)=t(y) geacuteneacuteralement t~2
Sibull mecircmes coefs drsquoeacutelargissement tbull variables xi indeacutependantes
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fy
25
49
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes cas particuliers (1)
Ex somme ou diffeacuterence
cbay
222 )()()()( cbay
i
ii xay i
ii xay 2))(()( Combinaison lineacuteaire
n
ixn
x1
1
n
xx
nx
n )()(
1)(
1
2
Application fondamentale en instrumentation La moyenne
Demo
Loi des grands nombres
50
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires cas particuliers (2)
Produits et puissances
i
iixAy
i i
ii
x
x
y
y2
)()(
Somme quadratique des eacutecart-types relatifs
x
x)(Proprieacuteteacute inteacuteressante des eacutecart-types relatifs
21
3
d
cbay
2222)(
21)(
3)()()(
d
d
c
c
b
b
a
a
y
y
Exemple
TP3
Idem pour incertitudes I si I=t partout
26
51
Lois de propagation des erreurs aleacuteatoires exemple de la droite drsquoeacutetalonnage
Etalonnage
Deacutebit D=aV
0 le D le 10 Lh
a=08 LhmV plusmn001 (t=2)
Inc Sur V 01 mV (t=2)
Incertitude relative sur deacutebit Den fonction du deacutebit
22)()()(
V
VI
a
aI
D
DI
V = tension fournie par capteurhellip
22)()(
D
VaI
a
aI
Mesure des faibles valeurs peu preacutecise
a = inverse de la sensibiliteacute
Si D 0
Calcul de lrsquoincertitude par simulation de lrsquoerreur aleacuteatoire
ou meacutethode de Monte-Carlo
Ex y=f(x1x2)
x1 et x2 ont des erreurs aleacuteatoires (pas forcement indeacutependantes) caracteacuteriseacutees par
leur eacutecart-type s1 et s2
bullSimuler un certain nombre drsquoexpeacuteriences avec les
mecircmes valeurs x1 et x2 + erreur aleacuteatoire (tirages ne)
yi=f(x1+e1x2+e2) N fois
bullCalcul de lrsquoeacutecart type des yi
bullLes ei sont calculeacutes agrave lrsquoaide drsquoun geacuteneacuterateur de nombre
aleacuteatoires agrave distribution adeacutequate (geacuteneacuteralement normale)
Excel =LOINORMALEINVERSE(ALEA()0eacutecart-type)TP4
27
Calcul de lrsquoincertitude par simulation de lrsquoerreur aleacuteatoire exemple
moyenne des D 50012 Dmax 100000
Deacutebit 50000 E Type des D 00526 a 08000
tension V 62500 Incertitude 01052 I(a) 00100
I(V) 01000
Ndeg tirage (400) erreur sur a erreur sur V valeur a valeur V D=aV
1 -00010 00253 07990 62753 50142
2 00011 -00518 08011 61982 49654
3 00032 00436 08032 62936 50551
4 -00098 00026 07902 62526 49407
5 00021 00867 08021 63367 50824
6 -00064 -00202 07936 62298 49437
7 00017 -00820 08017 61680 49450
8 -00065 00444 07935 62944 49949
9 00009 00757 08009 63257 50663
10 -00049 -00318 07951 62182 49439
11 00130 00109 08130 62609 50901
12 00004 00084 08004 62584 50092
13 -00046 00031 07954 62531 49737
14 -00024 00249 07976 62749 50049
15 00047 00311 08047 62811 50543
16 -00021 -00251 07979 62249 49668
D=aV
0 le D le 10 Lh
a=08 LhmV plusmn001 (t=2)
Inc Sur V = 01 mV (t=2)
Tirage aleacuteatoire normal
+
LOINORMALEINVERSE(ALEA()0eacutecart-type)
Les erreurs srsquoajoutent algeacutebriquement
54
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation
La discreacutetisation intervient lorsque les valeurs finales constituent un ensemble discret
Reacutesolution d du systegraveme drsquoacquisition agrave ne pas confondre avec lrsquoincertitude ou la sensibiliteacute
d
V
0
001
002
003
004
005
006
007
008
009
01
0 005 01
Tension reacuteelle
Ten
sion
aff
icheacutee
Discretization uncertainty
28
55
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (2)
32
d dEcart type de lrsquoerreur due agrave la discreacutetisation
295295
0
95
dIII Incertitude totale
5d 6d 7d
Erreur maxi d2
Approximatif Monte-Carlo parfois preacutefeacuterablehellip
Incertitude agrave 95 due agrave la discreacutetisation 2d 2975095 ddINon
058d 0485d
295 ddI
56
Le laquo Dithering raquo
La preacutesence drsquoerreur aleacuteatoire permet ici drsquoameacuteliorer la laquo preacutecision raquo de la mesure
Pas de laquo bruit raquo pas de moyennage Pas de laquo bruit raquo moyenne 50
signaux
laquo bruit raquo pas de moyennage laquo bruit raquo moyenne 50 signaux
La meacutethode du moyennage peut reacuteduire aussi lrsquoerreur de discreacutetisation (= quantification)
On peut gagner 1 bit de reacutesolution chaque fois que lrsquoon multiplie par 4 la freacutequence drsquoeacutechantillonnagehellip
hellip agrave condition que le signal avant numeacuterisation contienne un bruit (aleacuteatoire et indeacutependant) de valeur efficace supeacuterieure agrave la reacutesolution initialehellip
demo
29
57
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (3) les deacutecimales significatives
Ecriture drsquoun nombre avec un nombre de chiffres fini Erreur de discreacutetisation
Pour une mesure lrsquoeacutecart type de lrsquoerreur introduite doit ecirctre petit devant celui
de lrsquoerreur de mesure initiale
Ex mesure = 4382659872 Eacutecart-type mesure = 055 (soit 0125 en relatif)
Doit-on eacutecrire
4382659872
438265
4383
Mais les systegravemes numeacuteriques peuvent donner beaucoup de chiffres significatifshellip
438
58
Mesure afficheacutee
reacutesolution
ET erreur discreacutetisation
ET erreur finale drsquoerreur due agrave la discreacutetisation
438265987
0000001
29 10-7 055 lt 10-3
43827
001
29 10-3 0550008 10-3
4383
01
0029 05506 014
438
1
029 062 13
440
10
289 294 434
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (4) les deacutecimales significatives exemple
32
d d
22 )()( dxX
Ex mesure = 4382659872 Eacutecart-type mesure = (x)= 055 (soit 0125 en relatif)
bullOn peut choisir la reacutesolution immeacutediatement plus petite que lrsquoeacutecart-type de la mesure
bullLrsquoeacutecart-type (ou lrsquoincertitude) afficheacute ne doit pas avoir plus de 2 chiffres significatifs
30
Capabiliteacute drsquoun systegraveme de mesure
Va deacutependre de la toleacuterance deacutesireacuteehellip
hellip et du coucirct de la mesure
capabiliteacute dun moyen de mesure = rapport entre lincertitude U du moyen de mesure et la toleacuterance IT exigeacutee
Veacuterification de la toleacuterance
Normes franccedilaises
( toleacuterance = exigence du client en terme de caracteacuteristique mesurable)
Toleacuterance capabiliteacute drsquoun systegraveme de mesure
T
Notion de risque-risque laquo client raquo(piegravece agrave rejeter mais retenue)-risque laquo fabricant raquo(piegravece agrave retenir mais rejeteacutee)
Mesure moyenne
T
Piegravece agrave rejeterPiegravece agrave retenir
T=ToleacuteranceU=incertitude
Distrib des erreurs de fabrication
Val reacuteelle
31
Reacuteconciliation des donneacutees
61
D1
I(D1)
D2
I(D2)
D3
I(D3)
bull 3 mesures redondantes (car en theacuteorie D1=D2+D3)bull A cause des incertitudes on nrsquoa jamais exactement D1=D2+D3
bull Comment (in)valider les mesures
Reacuteconciliation des donneacutees
bull La redondance permet aussi de reacuteduire lrsquoincertitude (cf moyenne)
Dernier TPhellip
Limite de deacutetection - LDD (1)Limit of Detection - LOD
6280
Pic de signal ou bruit de fond
LDD plus petite valeur non nulle mesurable pour une certaine probabiliteacute drsquoerreur sur le fait que la valeur vraie est nulle ou non
Seuil de deacutecision deacutetection si (Mesure gt Seuil deacutecision)
2 types drsquoerreur de deacutecision Type 1 deacutetection signal alors qursquoil est absent (faux positif)
Type 2 non deacutetection signal alors qursquoil est preacutesent (faux neacutegatif)
32
Limite de deacutetection (2)
6380
Type 1 deacutetection signal alors qursquoil est absent (faux positif)
Exemple probabiliteacute de 5 drsquoerreur de type 1 ou 2
Type 2 non deacutetection signal alors qursquoil est preacutesent (faux neacutegatif)
165
5
Proba = 5 si seuil de deacutecision = 165
Si mecircme seuil de deacutecision (165) mecircme proba drsquoerreur si signal agrave 2 fois le seuil de deacutecision = 33
2x165
5
Limite de deacutetection (3)
0
0
0
0
0
0
0
0
165 33
Niveau signal
seuil de decision type 1 type 2 gt0
nb erreurs 9 9
bonnes deacutecisions 955
eacutecart type bruit analyseur 10
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
1
signal theacuteorique
signal reacuteel
seuil de deacutecision
erreur type 1
erreur type 2
-20 0 20 40 60 80
Si distr normale et probabiliteacute de 95LDD=33
On prend geacuteneacuteralement LDD=3 = eacutecart-type de la mesure laquo proche de zeacutero raquo
33
Etalonnage drsquoun systegraveme de mesure
Etalonnage laquo Opeacuteration consistant agrave eacutetablir une relation entre les valeurs de la grandeur indiqueacutees par un appareil de mesure et les valeurs correspondantes de la grandeur reacutealiseacutees par des eacutetalons raquo (VIM)
160
165
170
175
180
185
190
195
0 20 40 60 80 100
H
C pF
66
Etalonnage Creacuteation drsquoun modegravele de comportement
ETALONNAGE
Variables Xmesureacutees
(capteurs)
Variables Ymesureacutees(analyseshellip)
modegravele ou
Preacutedicteur F
Creacuteation modegravele
de comportement
Y=F(X)
PREDICTION
Variables Xmesureacutees(capteurs)
Estimation des
variables Y
Modegravele
Calcul de
preacutedictiontensions
Calibration Creation of a behavior model
34
67
Eacutetalonnage - calibrage
Eacutetalonnage (calibration) = calcul complet du modegravele neacutecessite un laquo grand raquo nombre drsquoexpeacuteriences
tension
pression
bull Calibrage ou ajustement de zeacutero (zero adjustment) = laquo recalage raquo du modegravele neacutecessite 1 expeacuterience (laquo zeacutero raquo) voire 2 (laquo zeacutero + gain raquo)
tension
pression
bullCorrection variations de fabrication
bullCorrection deacuterive
bullCorrection changement conditions expeacuterimentales (tempeacuterature tarage drsquoune balancehellip)
bullEtchellip
Si le modegravele nrsquoest pas lineacuteaire le calibrage ne peut corriger que de faibles variationshellip
68
Les moindres carreacutes
Meacutethode des moindres carreacutes (monovariable)
laquo minimal raquo pour lrsquoensemble des mesures en trouvant la
fonction optimale f
On veut modeacuteliser pour toutes les mesures (i) ෝ119962119946 = 119839(119961119946) en fait agrave partir
des expeacuteriences on a 119962119946 = 119839 119961119946 + 119942119946 ougrave 119942119946 = laquo reacutesidu raquo ou erreur
On utilise geacuteneacuteralement la distance Euclidienne
laquo minimale raquo en optimisant les 120637119947
The least Squares
120637119947 repreacutesente ici le ou les paramegravetres de la fonction agrave optimiser f (ex coefs polynocircme)
119942119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947
119946
119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947120784
35
69
La reacutegression lineacuteaire
Monovariable (y=f(x) ) + hypothegravese lineacuteaire (y=ax+b)
2 cas
X
Minimisations des erreurs sur Y
Reacutegression de yx
ybaxy e
Y
Minimisation des erreurs sur X
X
Reacutegression de xy
xbyax e ˆ
1ˆ
a
bx
ay
Attention une reacutegression de yx avec des
erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne une
erreur systeacutematique sur la pentehellip
Y
Linear regression
70
La reacutegression lineacuteaire yx ou xy
Attention une reacutegression de yx avec des erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne
une erreur systeacutematique sur la pentehellip
Diffeacuterence neacutegligeable dans une majoriteacute de cashellip
y = 10036x - 00354
-2
0
2
4
6
8
10
12
-2 0 2 4 6 8 10 12
y = 06669x + 16244
-2
0
2
4
6
8
10
12
-2 0 2 4 6 8 10 12
Reacutegression YX Reacutegression XY
36
71
Caracteacuteristiques de la reacutegression yx
Estimations de a et b
)(
)(
)x(x
)y)(yx(x
=a2
i
i
ii
xVar
yxCov
i
xayb
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
Calcul Excel agrave lrsquoaide debull Courbe de tendancebull droitereg
72
Erreur lieacutee agrave la mesure
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
2n
)y(yi
2
ii
yx
s
Ecart Type des reacutesidus
= ET de lrsquoerreur lieacutee agrave la mesure= ET de preacutediction que lrsquoon aurait (mecircmes conditions) si le modegravele eacutetait sans erreur
Mais le modegravele nrsquoest jamais exact
Erreur que lrsquoon aurait mecircme si le modegravele eacutetait parfait agrave cause de lrsquoerreur aleacuteatoire sur xhellipRepreacutesenteacutee par lrsquohellip
Rappel reacutesidu = eacutecart entre valeur preacutedite (sur droite de regression donc) et valeur expeacuterimentale
37
73
Erreur de modeacutelisation
Estimations incertitudes de a et b
baxy ˆ
Y
i
xyss
2
i
a
)x(xEcart type de la pente
i
i
i
xybn
x
ss2
i
2
)x(x
Ecart type de lrsquoordonneacutee agrave lrsquoorigine
Calcul Excel agrave lrsquoaide de la fonction laquo droitereg raquo
temps h tension
0 300E-05
1 440E-05
2 900E-05
3 900E-05
4 100E-04
formule =DROITEREG(YX11)
pente 00000186 00000336 OAO
s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO
R 0870821587 130792E-05 s(resid)
2022369447 3 N DL
34596E-09 5132E-10000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5TP5
Incertitude de preacutediction
74
2
2
11)ˆ(
xx
xX
mstYI
i
xy
bull m= nb eacutechantillons deacutetalonnagebull xi = valeurs deacutetalonnage dont moyenne xbull X = valeur deacutechantillon de preacutedictionbull Syx = eacutecart-type des reacutesidus
x
E Lieacutee agrave la mesure
E Type du modegravele
bull Si modegravele laquo parfait raquo (ou m grand) xystYI )ˆ(
bull Lrsquoincertitude augmente si X srsquoeacuteloigne de (problegraveme de lrsquoextrapolation) x
bull Deacutepend (un peuhellip) de X
I(pred)2=I(lieacutee agrave la mesure)2 + I(modelisation)2
TP6
38
75
Mesure de la qualiteacute dajustement dune reacutegression lineacuteaire
Var(Y) = Var( aX+b) + Var(e
information totale = information modeacuteliseacutee + information reacutesiduelle
Coef De deacutetermination
totale)Var(info
modeacuteliseacutee) Var(infodR
)()(
)(
YX
YXCovRc
Coef de correacutelation
Rd=Rc2
Y
76
Le coef de correacutelation utilisation
0
5
10
15
20
25
30
35
0 2 4 6 8 10 12
R=075
0
5
10
15
20
25
0 2 4 6 8 10 12
R=075
-100
0
100
200
300
400
500
600
0 5 10 15
R=075
Le cœfficient de correacutelation ne sert
agrave quantifier que les relations
lineacuteaires entre X et Yvariables
Il perd toute signification degraves lors
que les reacutesidus
R=08
R=08
R=08
39
77
Reacutegression lineacuteaire examen des reacutesidus
Veacuterification lineacuteariteacute
A corriger
eacuteventuellement avec
reacutegression non lineacuteaire
Deacutetection points
aberrants (outliers)A eacuteliminer apregraves
veacuterification et avec
preacutecautionshellip
Ri=yi-(axi+b)
Reacutesidu = information non
modeacuteliseacutee ideacutealement
erreur aleacuteatoire
residuals
paramegravetres modeacutelisation des donneacutees
ET bruit
v0
v1
a
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
850
900
950
y = 07063x - 39517
-100
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (m
V)
courant (mA)
Valeurs mesureacutees
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (
mV
)
courant (mA)
Graphe des reacutesidus mesure - droiteregr
78
Reacutegression non lineacuteaire reacutegression polynomiale
Ex courbe de
tendance dExcel
temps h
0
1
2
3
4
000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5
Permet de modeacuteliser la plupart des problegravemes peu non lineacuteaireshellip
demo TP7
40
79
Biblio amp liens utilesBouquins
Statistics for analytical Chemistry 3 rd ed JC Miller and JN Miller John Wiley amp Sons 1998
Multivariate Statistical Methods A Primer BFJ Monley Chapman amp Hall 1986
Modeacutelisation et estimation des erreurs de mesure M Neuilly CETAMA Lavoisier Paris 1993
Sites WWW
httpphysicsnistgovcuuUncertaintyindexhtml excellent site simple et succinct mais de reacutefeacuterence
sur la calcul des incertitudes ce document sen est beaucoup inspireacute Un cours plus complet de
statistiques est disponible agrave httpwwwitlnistgovdiv898handbook
httpswwwansesfrfrcontentguide-de-validation-des-mC3A9thodes-danalyses-des-laboratoires-de-rC3A9fC3A9rence Guide de lrsquoANSES Agence nationale de seacutecuriteacute sanitaire
de lrsquoalimentation de lrsquoenvironnement et du travail
httpwwwjybaudotfrStatsstatshtml Encyclopeacutedie des stats de Jean-Yves Baudot agrave la foi preacutecis vulgarisateur et marrant un challenge en statistiques
httpfrfreestatisticsinfoindexphp Collection de liens et surtout de Freewares sur les stats
8062
La norme AFNOR la plus utiliseacutee
httpwwwasqualabcomdocumentsqualitemetrologie19-unites_pifometriquespdf
6
Uniteacutes de Mesure Systegraveme International
Systegraveme International (SI) baseacute sur 7 grandeurs eacutetalon
Uniteacutes de Mesure Systegraveme International
Systegraveme International (SI) 1960 baseacute sur le systegraveme meacutetrique (CGS puis MKSA)
7
Uniteacutes de Mesure
Autres uniteacutes autoriseacutees-Composeacutees agrave partir des uniteacutes primaires joule (J)=kgm2s-2
-Autoriseacutees car signification physique universelle degC heure eVhellip-Multiples puissances de 10
10-18 atto a
Vocabulaire (1)
14
Erreur absolue diffeacuterence entre la valeur reacuteelle et la mesure
Erreur relativeerreur |mesure| (x 100 si en )
Erreur systeacutematique erreur de valeur moyenne non nulle
Erreur aleacuteatoire erreur non preacutevisible de valeur moyenne nulle
Le vocabulaire est normaliseacute par le BIPMVIM Vocabulaire International de Meacutetrologie
8
Vocabulaire (2)
15
Sensibiliteacute drsquoun SDMdydx pour x donneacute (x=mesurande y=valeur fournie par le SDM)Ex capteur de pression mVhPa
Reacutesolution drsquoun SDM plus petite variation du mesurande deacutetectable
Incertitude laquo Paramegravetre non neacutegatif qui caracteacuterise la dispersion des valeurs attribueacutees agrave un mesurande agrave partir des informations utiliseacutees raquo
Incertitude relative incertitude|mesure|
Systegraveme de mesure
Vocabulaire (3)
16
Non lineacuteariteacute deacuteviation maximale par rapport agrave la courbe approximant la reacuteponse
Offset drsquoun SDM valeur du signal de sortie quand le mesurande est agrave 0
laquo Slew rate raquo vitesse maximale de variation du signal de sortie sans distorsion
Temps de reacuteponselaquo agrave X raquo Temps ou bout duquel en reacuteponse agrave un laquo eacutechelon raquo de
grandeur agrave mesurer le signal a atteind X de sa valeur asymptotique (typiquement 95)
Hysteresis drsquoun SDM aptitude drsquoun SDM dont le signal de sortie agrave lrsquoeacutetat stationnaire ne deacutepend pas que du mesurande mais aussi de lrsquohistoire des signaux anteacuterieurs
Systegraveme de mesure
9
Vocabulaire (4)
17
Deacuterive Lente variation du signal de sortie en fonction du temps ou de la tempeacuterature agrave entreacutee constante
Limite de deacutetection drsquoun SDM plus petite valeur non nulle mesurable pour une certaine probabiliteacute drsquoerreur sur le fait que la valeur vraie est nulle ou non
ReacutepeacutetabiliteacuteEtroitesse de lrsquoaccord entre les valeurs obtenues par des mesurages
reacutepeacuteteacutes dans les mecircmes conditions (lieacutee agrave erreur aleacuteatoire)
ReproductibiliteacuteEtroitesse de lrsquoaccord entre les valeurs obtenues par des mesurages
reacutepeacuteteacutes en faisant varier certaines conditions de mesure
Systegraveme de mesure
18
Quelques rappels sur lerreur et lincertitudehellip
Erreur systeacutematique eB
Systematic error
Erreur accidentelle ou aleacuteatoire eA
Random or accidental error
Mesure x drsquoune variable de valeur reacuteelle xR
ABRxx ee Erreur variable e=xR-x
10
19
Erreur systeacutematique ou aleacuteatoire
Par deacutefinition lerreur aleacuteatoire est impreacutevisible (et donc non corrigeable) et de valeur moyenne nulle
Le caractegravere systeacutematique ou aleacuteatoire de lerreur peut deacutependre du contextehellip
20
Erreur systeacutematique ou aleacuteatoire
Ex mesure dune masse agrave laide dune balance numeacuterique
ea Erreur aleacuteatoire non expliqueacutee
eT Deacuterive en tempeacuterature
eo Erreur opeacuterateur
eu Erreur propre agrave lappareil
es Erreur systeacutematique de la seacuterie ()
Erreur e= ea+eT+eo+eu+es
Conditions des expeacuteriences ea eT eo eu es
1 opeacuterateur le mecircme jour 1 appareil
Idem + eacutetaleacute sur plusieurs jours
Idem + plusieurs opeacuterateurs
Idem + tests sur un lot dappareils
11
Encore du vocabulairehellip
21
Erreur aleacuteatoire
Reacutepeacutetabiliteacute fideacuteliteacute
Variables influenccedilantes
Erreur systeacutematique
biaisjustesse
Reproductibiliteacute
exactitude
22
Caracteacuterisation de la mesure
Moyenne estimeacutee de n mesures dune mecircme valeur xR
n
ixn
x1
1
xR = valeur reacuteelle
R
n
xx
)lim(
(loi des grands nombres)
Estimated mean
Law of large numbers
(Si erreur aleacuteatoire)
2RxxV Variance (de lrsquoerreur aleacuteatoire)
Variance (of random error)Homogegravene au carreacute de la
grandeur mesureacutee
Caracteacuterisation de lrsquoerreur aleacuteatoire
=Moyenne du carreacute de lrsquoerreur
12
23
n
i xxn
s1
2)(1
1Ecart-type estimeacute de
lerreur aleacuteatoire
Ecart-type de lerreur aleacuteatoire
xr
Ecart type
relatif
n
RiRi xxn
xx1
22)(
1
Valeur reacuteelle
Agrave priori inconnuehellip
Standard deviation of random error
Ecart-type de
lerreur aleacuteatoire V
et s ont mecircme espeacuterancehellip
Homogegravene agrave la grandeur mesureacutee
n
ixn
x1
1
n
xx
)()(
Ecart-type de la moyenne de n mesures
24
Distributions drsquoerreurs (aleacuteatoires)
Gaussienne ou normale
Uniforme
Poissonnienne
Etchellip La plus reacutepandue gracircce au Theacuteoregraveme central limitehellip
e0
F(e)Courbe de distribution
de lerreur
Distributions of errors
Gaussian or normal
Uniform
Poissonnian
නminusinfin
0
119865 120576 119889120576 = න0
+infin
119865 120576 119889120576 = 05
A
Probabiliteacute P(A)= 119860 119865 120576 119889120576
13
25
Theacuteoregraveme central limite
Si une variable est la reacutesultante dungrand nombre de causes petites agrave effetadditif cette variable tend vers une loinormale
Cest agrave cause de cette interpreacutetation quela loi normale est tregraves souvent employeacuteecomme modegravele (malheureusement pastoujours agrave raison)
Demo
Central Limit Theorem
26
La distribution Gaussienne (ou normale)
0
01
02
03
04
05
3 2 0 2 3Ecart agrave la moyenne x-x = eacutecart-type
683 des valeurs
2 955 des valeurs
3 997 des valeurs
Proba largeur
50 067middotσ
68 1middotσ
70 104middotσ
87 15middotσ
90 165middotσ
95 196middotσ
99 256middotσ
997 3middotσ
999 328middotσ
99999 999 8 6middotσ
Tableau des coefficients laquo t raquo de Student
tXXprobaP R
=1-LOISTUDENT(tN2)
N= nb eacutechantillons utiliseacutes pour le calcul de s gt20
2
2
1
2
1)(
xx
exF
14
httpwwwjybaudotfrInferentielletstudenthtml
Le coefficient t de Student
tXXprobaP R
P=LOISTUDENT(tN2)
N= nb eacutechantillons utiliseacutes pour le calcul de s -1= nb de degreacutes de liberteacute
Coefs de Student t
intervalle de conf 900 950 980 990 999
p 01 005 002 001 0001
N=nb deg lib
1 631 1271 3182 6366 63662
2 292 430 696 992 3160
3 235 318 454 584 1292
4 213 278 375 460 861
5 202 257 336 403 687
6 194 245 314 371 596
7 189 236 300 350 541
8 186 231 290 336 504
9 183 226 282 325 478
10 181 223 276 317 459
12 178 218 268 305 432
14 176 214 262 298 414
17 174 211 257 290 397
20 172 209 253 285 385
30 170 204 246 275 365
40 168 202 242 270 355
50 168 201 240 268 350
100 166 198 236 263 339
100000 164 196 233 258 329
Relation eacutecart-type Gaussienne valable uniquement si eacutecart-type s parfaitement connu (n=infin)Pratiquement s issu dun calcul statistique-gtLoi de Student(tend vers gaussienne si n grand ngt20)
t=LOISTUDENTINVERSEBILATERALE(PN)
Rappel valable uniquement pour loi gaussienne
28
Distribution de Poisson
Ex comptage drsquoeacutevegravenements non simultaneacutes (deacutesinteacutegration radioactive queuehellip)
Moyenne m
Variance m
demo
15
29
Distribution Uniforme
Ex discreacutetisation de la mesurehellip
TP1
M-d2 M M+d2
d
Moyenne M
Ecart-type
Les tests drsquohypothegravese
30
Significance tests
bull Deacutemarche consistant agrave eacutevaluer une hypothegravese statistique agrave partir dun jeu de donneacutees (eacutechantillon)
bull Le reacutesultat du test nrsquoest pas absolu mais est une probabiliteacute qui est une aide agrave la validation ou non de lrsquohypothegravese initiale il ne constitue donc jamais une preuve
Tests parameacutetriques(hypothegravese sur distribution + ou ndash neacutecessaire)
1-sample T-test Comp Eacutechantillon agrave valeur de reacutefeacuterence intervalle de confiance
2-samples T-test Comparaison de 2 eacutechantillons
F-Test Comparaison de la variance de 2 eacutechantillons
ANOVA Analyse de variance analyse des variances de K eacutechantillons comparaison des moyennes
Chi-Square test Utilisation notamment pour veacuterifier une hypothegravese de distribution
Grubbsrsquo test Deacutetection des valeurs aberrantes (laquo outliers raquo)
Tests non parameacutetriques(pas drsquohypothegravese sur distribution)
Test WilcoxonMW Comparaison de 2 eacutechantillons meacutethode de rang
En rouge tests deacutecrits + loin sinon voir biblio ou google
16
31
95
one-sample T-test laquo simplifieacute raquoComparaison de la mesure M drsquoun eacutechantillon agrave une valeur de reacutefeacuterence R on suppose que la distribution est normale
Hypothegravesesbull laquo M est diffeacuterent de R raquobull laquo M est significativement diffeacuterent de R raquo
Cette hypothegravese de diffeacuterence H1 est retenue si sa probabiliteacute est supeacuterieure agrave 95 (par exemple) (ou si la probabiliteacute drsquoeacutegaliteacute est infeacuterieure agrave 5 (H2)
1 mesure M eacutecart-type estimeacute de la mesure s distr gaussienne
MR
-4srsquo -3srsquo -2srsquo ndashsrsquo 0 srsquo 2srsquo 3srsquo 4srsquo
Hypothegravese retenue si
stRM
si s est calculable laquo preacuteciseacutement raquo
(t=coef de Student)
H1 95 (ou H2 5)
H1 99 (ou H2 1)
H1 999 (ou H2 01)
t 196 256 328
Oui quasiment toujours agrave cause de lrsquoerreur aleacuteatoirehellip
bull laquo La diffeacuterence entre M et R nrsquoest pas due qursquoagrave lrsquoerreur aleacuteatoire raquo
ngt20 sinon tableau des coefs de Studenthellip
32
95
one-sample T-test laquo officiel raquo
Comparaison de la moyenne micro drsquoun eacutechantillon agrave une valeur de reacutefeacuterence R on suppose que la distribution est normaleHypothegravese laquo la diffeacuterence entre la moyenne de n mesures et une valeur de reacutefeacuterence nrsquoest pas due qursquoaux erreurs aleacuteatoires raquo
Cette hypothegravese est retenue si sa probabiliteacute est supeacuterieure agrave 95 (par exemple)
n mesures moyenne m eacutecart-type estimeacute de chaque mesure s
On montre (+ loinhellip) que lrsquoeacutecart-type estimeacute de la moyenne est n
ss
m R
-4srsquo -3srsquo -2srsquo ndashsrsquo 0 srsquo 2srsquo 3srsquo 4srsquo
Hypothegravese retenue si
n
stR m
si s est calculable laquo preacuteciseacutement raquo
(t=coef de Student)
H1 95 (ou H2 5)
H1 99 (ou H2 1)
H1 999 (ou H2 01)
t 196 256 328
17
one-sample T-test exemple
Hypothegravese laquo la diffeacuterenceentre la moyenne de npesages drsquoune masse eacutetalonde 1 kg et la valeur de cettemasse nrsquoest pas due qursquoauxerreurs aleacuteatoires raquo
n
stR m
n
s
Rt
m
1 104946993
2 111917309 Etalon R (kg) 10000
3 099865798
4 101040713
5 114655592
6 097054733
7 114894136
8 108005111 moyenne micro 104614199
9 103044121 Ecart-type s 005326172
10 098202478
11 105094267 00461
12 106252219
13 102608401
14 104961426 002381937 (t=2)
15 103483134 (n=20)
16 103475702
17 098306671
18 109287381
19 097490694
20 107697103
08
09
1
11
12
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
Rm
n
st
Il existe un laquo biais raquohellip
34
two-sample T-test
Comparaison de 2 moyennes de 2 eacutechantillons on suppose que la distribution est normaleHypothegravese laquo la diffeacuterence entre les 2 moyennes nrsquoest pas due qursquoaux erreurs aleacuteatoires raquo
Ech 1 Ech 2
Nb mesures n1 n2
Ecart type estimeacute s1 s2
Moyenne estimeacutee m1 m2
Comparaison de m1 et m2Peut se ramener agrave un 1-sample-test en comparant |m1-m2| agrave 0
On prend alors comme eacutecart-type de |m1-m2|
2
2
2
1
2
1
n
s
n
ss
(deacutemontreacute dans partie laquo lois de propagation de lrsquoerreur raquo)
Et le nombre de degreacutes de liberteacute est en 1ere approx n1+n2-2
st21 mmHypothegravese retenue si
Cette hypothegravese est retenue si sa probabiliteacute est supeacuterieure agrave 95 (par exemple)
2
2
2
1
2
121
n
s
n
st mm
18
two-sample T-test exemple
2
2
2
1
2
121
n
s
n
st mm
op1 op2 op1 op2
359385514 349673556 moyenne micro 354463973 355551443
358810682 350481358 eacutecart-type s 004510027 004809217
353371004 347201328
352760094 3553306 |micro1-micro2| 00108747344867115 357512954
351024893 355717682
360880932 362969549
353927667 366487781 00139361355719746 354702026
352552333 354598904 n 43 t=2
349798625 348741103
349706929 356409401 st 002787228
356771949 356622487
359781434 354564972
354032574 350388551
357799787 365577103
349003712 355839436
357276739 353637213
361263276 357229694
350544464 356392763
360261554
352637678
35652033
358384532
350903522
33
335
34
345
35
355
36
365
37
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25
2
2
2
1
2
1
n
s
n
ss
Hypothegravese laquo la diffeacuterence entre les moyennes de pesages drsquoune mecircme masse par 2 opeacuterateurs nrsquoest pas due qursquoaux erreurs aleacuteatoires raquo
1 2
Il existe un laquo biais entre les 2 opeacuterateursraquohellip
TP2
36
Intervalle de confianceLintervalle de confiance agrave p (95) drsquoune mesure x est un intervalle de valeurs qui a une probabiliteacute centreacutee p (95) de contenir la vraie valeur xR du paramegravetre estimeacute
xx
La calcul de et en fonction de la probabiliteacute P (geacuteneacuteralement 95) deacutepend de la loi de
distribution de lerreur
0
et = incertitude agrave p (95)
Distribution symeacutetrique
bull =
bullValeur moyenne de la mesure
= la plus probable0
Confidence interval
21)()( pxxPxxP RR
Distribution normale
19
37
Intervalle de confiance cas de la distribution normale
Lintervalle de confiance agrave p (95) drsquoune mesure x est un intervalle de valeurs qui a une probabiliteacute centreacutee p (95) de contenir la vraie valeur xR du paramegravetre estimeacute
xx
0
01
02
03
04
05
3 2 0 2 3Ecart agrave la moyenne x-x = eacutecart-type
683 des mesures
2 955 des mesures
3 997 des mesures
stxstx
Coefs de Student t
intervalle de conf 900 950 980 990 999
p 01 005 002 001 0001
deg lib
1 631 1271 3182 6366 63662
2 292 430 696 992 3160
3 235 318 454 584 1292
4 213 278 375 460 861
5 202 257 336 403 687
6 194 245 314 371 596
7 189 236 300 350 541
8 186 231 290 336 504
9 183 226 282 325 478
10 181 223 276 317 459
12 178 218 268 305 432
14 176 214 262 298 414
17 174 211 257 290 397
20 172 209 253 285 385
30 170 204 246 275 365
40 168 202 242 270 355
50 168 201 240 268 350
100 166 198 236 263 339
100000 164 196 233 258 329
38
Loi normale
95
Eacutecriture drsquoune mesure (distribution normale)
Le reacutesultat drsquoune mesure doit comporter 4 eacuteleacutements Ex CNO = 1253 ppb 17 ppb (agrave 95 ou t=2)
1 2 3 41 Valeur numeacuterique avec un nombre correct de deacutecimales2 Uniteacute3 Incertitude eacutelargie = t4 Le coefficient drsquoeacutelargissement t utiliseacute
Probabiliteacute en pour que la valeur reacuteelle
soit dans lrsquointervalle tsxtsx
1 Numerical value with a correct number of decimals2 Unit3 expanded uncertainty = ts4 Coverage factor t
20
39
Eacutevaluation de lrsquoincertitude
Eacutevaluation par analyse statistique de seacuteries de mesures (laquo type A raquo)
(geacuteneacuteralement mesure mais aussi simulation)
Eacutevaluation par calcul de lrsquoeffet sur lrsquoincertitude finale des diffeacuterentes
sources drsquoincertitude (laquo type B raquo laquo par tout autre moyen raquo) elles mecircme
eacutevalueacutees
par une meacutethode de type A
par des donneacutees constructeur drsquoeacutetalonnage etchellip
Il est alors neacutecessaire de connaicirctre les lois de propagation de
lrsquoerreurhellip
GUM Guide to the expression of Uncertainly in Measurement (1993)
Norme Franccedilaise X 07-020 AFNOR Aoucirct 1999
40
Eacutevaluation par analyse statistique de seacuteries de mesures
V
VERR
0
R0
R E
V mesureacute
0
0
RR
REV
Mesure et calcul avec un grand nombre N
de reacutesistances laquo eacutetalon raquo (R connu)
Calcul de lrsquoeacutecart-type
(en fait eacutecart-type estimeacute shellip)
Incertitude agrave 95 = t 2 (si Ngt15hellip)
Ne tient pas compte
-De lrsquoincertitude du Vmegravetre (V)
-Des incertitudes sur E R0 les reacutesistances
eacutetalonhellip
Exemple eacutevaluation drsquoune meacutethode de mesure drsquoune reacutesistance
21
41
Eacutevaluation par calcul de lrsquoeffet sur lrsquoincertitude finale des diffeacuterentes sources drsquoincertitude
V
VERR
0
2
2
0
2
0
2
0 )()()()(
V
V
ERE
V
RR
U
UER
(R0) (E) (V) connus
R0
R E
V mesureacute
Explication
Loi de propagation des eacutecart-types
combined standard uncertainty
Exemple eacutevaluation drsquoune meacutethode de mesure drsquoune reacutesistance
Quelle est la peseacutee la plus preacutecise
22
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes (1)
Exemple de la somme s=a+b
es
eb
ea
es=ea+ebRappel les erreurs srsquoajoutent algeacutebriquement
Et leur eacutecart-type
combined standard uncertainty for random amp independant errors
a b a+b282 151 433
261 171 432
264 168 432
345 202 548
332 190 523
279 208 488
317 155 472
270 209 479
310 186 496
340 156 495
moyenne 300 180 480 480 somme moyennes
variance 011 005 016 016 somme variances
ecartype 033 023 039 055 somme eacutecart-types
000
100
200
300
400
500
600
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
a
b
a+b
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes (2)
Exemple de la somme s=a+b
Erreur aleacuteatoire
)()()( bas
)()()( bVaraVarbaVar
Les eacutecart-types ne srsquoajoutent pas
Les variances si
22baba 222
baba
Les eacutecart-types srsquoajoutent quadratiquement Si les erreurs sont indeacutependantes et aleacuteatoires
23
Quelle est la peseacutee la plus preacutecise
2
2
2
1 PIPIPI
54321 PPPPPP
2)(5 pIPI
)(5 pIPI
gkgP 2425
Rappel loi de propagation drsquoune laquo petite raquo erreur
n
i
i
xx
fy
1
)(
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
)(xfy xdx
dfxfxxf )()(
xdx
dfy
Cas particulier produit-exposant
(Th accroissements finis)
Proprieacuteteacute de la deacuteriveacutee logarithmique
119910 =119886 119887 1198883
11988912
∆119910
119910=
∆119886
119886+
∆119887
119887+ 3
∆119888
119888- 12
∆119889
119889
24
Loi de propagation de la variance et de lrsquoeacutecart-type
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
La variance est additive donc si les variables xi sont indeacutependantes
)()(1
n
i
i
xVx
fyV
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fy
Ecart type V(x)=((x))2
)(2)()(1
1 11
2
2
2
ji
n
i
n
ij ji
i
n
i
xxx
f
x
fx
x
fy Cov
Cas geacuteneacuteral (variables non indeacutependantes)
(non deacutemontreacutehellip)
48
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires (1)
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fyI I
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
Incertitude pour une distr normale I(y)=t(y) geacuteneacuteralement t~2
Sibull mecircmes coefs drsquoeacutelargissement tbull variables xi indeacutependantes
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fy
25
49
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes cas particuliers (1)
Ex somme ou diffeacuterence
cbay
222 )()()()( cbay
i
ii xay i
ii xay 2))(()( Combinaison lineacuteaire
n
ixn
x1
1
n
xx
nx
n )()(
1)(
1
2
Application fondamentale en instrumentation La moyenne
Demo
Loi des grands nombres
50
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires cas particuliers (2)
Produits et puissances
i
iixAy
i i
ii
x
x
y
y2
)()(
Somme quadratique des eacutecart-types relatifs
x
x)(Proprieacuteteacute inteacuteressante des eacutecart-types relatifs
21
3
d
cbay
2222)(
21)(
3)()()(
d
d
c
c
b
b
a
a
y
y
Exemple
TP3
Idem pour incertitudes I si I=t partout
26
51
Lois de propagation des erreurs aleacuteatoires exemple de la droite drsquoeacutetalonnage
Etalonnage
Deacutebit D=aV
0 le D le 10 Lh
a=08 LhmV plusmn001 (t=2)
Inc Sur V 01 mV (t=2)
Incertitude relative sur deacutebit Den fonction du deacutebit
22)()()(
V
VI
a
aI
D
DI
V = tension fournie par capteurhellip
22)()(
D
VaI
a
aI
Mesure des faibles valeurs peu preacutecise
a = inverse de la sensibiliteacute
Si D 0
Calcul de lrsquoincertitude par simulation de lrsquoerreur aleacuteatoire
ou meacutethode de Monte-Carlo
Ex y=f(x1x2)
x1 et x2 ont des erreurs aleacuteatoires (pas forcement indeacutependantes) caracteacuteriseacutees par
leur eacutecart-type s1 et s2
bullSimuler un certain nombre drsquoexpeacuteriences avec les
mecircmes valeurs x1 et x2 + erreur aleacuteatoire (tirages ne)
yi=f(x1+e1x2+e2) N fois
bullCalcul de lrsquoeacutecart type des yi
bullLes ei sont calculeacutes agrave lrsquoaide drsquoun geacuteneacuterateur de nombre
aleacuteatoires agrave distribution adeacutequate (geacuteneacuteralement normale)
Excel =LOINORMALEINVERSE(ALEA()0eacutecart-type)TP4
27
Calcul de lrsquoincertitude par simulation de lrsquoerreur aleacuteatoire exemple
moyenne des D 50012 Dmax 100000
Deacutebit 50000 E Type des D 00526 a 08000
tension V 62500 Incertitude 01052 I(a) 00100
I(V) 01000
Ndeg tirage (400) erreur sur a erreur sur V valeur a valeur V D=aV
1 -00010 00253 07990 62753 50142
2 00011 -00518 08011 61982 49654
3 00032 00436 08032 62936 50551
4 -00098 00026 07902 62526 49407
5 00021 00867 08021 63367 50824
6 -00064 -00202 07936 62298 49437
7 00017 -00820 08017 61680 49450
8 -00065 00444 07935 62944 49949
9 00009 00757 08009 63257 50663
10 -00049 -00318 07951 62182 49439
11 00130 00109 08130 62609 50901
12 00004 00084 08004 62584 50092
13 -00046 00031 07954 62531 49737
14 -00024 00249 07976 62749 50049
15 00047 00311 08047 62811 50543
16 -00021 -00251 07979 62249 49668
D=aV
0 le D le 10 Lh
a=08 LhmV plusmn001 (t=2)
Inc Sur V = 01 mV (t=2)
Tirage aleacuteatoire normal
+
LOINORMALEINVERSE(ALEA()0eacutecart-type)
Les erreurs srsquoajoutent algeacutebriquement
54
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation
La discreacutetisation intervient lorsque les valeurs finales constituent un ensemble discret
Reacutesolution d du systegraveme drsquoacquisition agrave ne pas confondre avec lrsquoincertitude ou la sensibiliteacute
d
V
0
001
002
003
004
005
006
007
008
009
01
0 005 01
Tension reacuteelle
Ten
sion
aff
icheacutee
Discretization uncertainty
28
55
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (2)
32
d dEcart type de lrsquoerreur due agrave la discreacutetisation
295295
0
95
dIII Incertitude totale
5d 6d 7d
Erreur maxi d2
Approximatif Monte-Carlo parfois preacutefeacuterablehellip
Incertitude agrave 95 due agrave la discreacutetisation 2d 2975095 ddINon
058d 0485d
295 ddI
56
Le laquo Dithering raquo
La preacutesence drsquoerreur aleacuteatoire permet ici drsquoameacuteliorer la laquo preacutecision raquo de la mesure
Pas de laquo bruit raquo pas de moyennage Pas de laquo bruit raquo moyenne 50
signaux
laquo bruit raquo pas de moyennage laquo bruit raquo moyenne 50 signaux
La meacutethode du moyennage peut reacuteduire aussi lrsquoerreur de discreacutetisation (= quantification)
On peut gagner 1 bit de reacutesolution chaque fois que lrsquoon multiplie par 4 la freacutequence drsquoeacutechantillonnagehellip
hellip agrave condition que le signal avant numeacuterisation contienne un bruit (aleacuteatoire et indeacutependant) de valeur efficace supeacuterieure agrave la reacutesolution initialehellip
demo
29
57
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (3) les deacutecimales significatives
Ecriture drsquoun nombre avec un nombre de chiffres fini Erreur de discreacutetisation
Pour une mesure lrsquoeacutecart type de lrsquoerreur introduite doit ecirctre petit devant celui
de lrsquoerreur de mesure initiale
Ex mesure = 4382659872 Eacutecart-type mesure = 055 (soit 0125 en relatif)
Doit-on eacutecrire
4382659872
438265
4383
Mais les systegravemes numeacuteriques peuvent donner beaucoup de chiffres significatifshellip
438
58
Mesure afficheacutee
reacutesolution
ET erreur discreacutetisation
ET erreur finale drsquoerreur due agrave la discreacutetisation
438265987
0000001
29 10-7 055 lt 10-3
43827
001
29 10-3 0550008 10-3
4383
01
0029 05506 014
438
1
029 062 13
440
10
289 294 434
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (4) les deacutecimales significatives exemple
32
d d
22 )()( dxX
Ex mesure = 4382659872 Eacutecart-type mesure = (x)= 055 (soit 0125 en relatif)
bullOn peut choisir la reacutesolution immeacutediatement plus petite que lrsquoeacutecart-type de la mesure
bullLrsquoeacutecart-type (ou lrsquoincertitude) afficheacute ne doit pas avoir plus de 2 chiffres significatifs
30
Capabiliteacute drsquoun systegraveme de mesure
Va deacutependre de la toleacuterance deacutesireacuteehellip
hellip et du coucirct de la mesure
capabiliteacute dun moyen de mesure = rapport entre lincertitude U du moyen de mesure et la toleacuterance IT exigeacutee
Veacuterification de la toleacuterance
Normes franccedilaises
( toleacuterance = exigence du client en terme de caracteacuteristique mesurable)
Toleacuterance capabiliteacute drsquoun systegraveme de mesure
T
Notion de risque-risque laquo client raquo(piegravece agrave rejeter mais retenue)-risque laquo fabricant raquo(piegravece agrave retenir mais rejeteacutee)
Mesure moyenne
T
Piegravece agrave rejeterPiegravece agrave retenir
T=ToleacuteranceU=incertitude
Distrib des erreurs de fabrication
Val reacuteelle
31
Reacuteconciliation des donneacutees
61
D1
I(D1)
D2
I(D2)
D3
I(D3)
bull 3 mesures redondantes (car en theacuteorie D1=D2+D3)bull A cause des incertitudes on nrsquoa jamais exactement D1=D2+D3
bull Comment (in)valider les mesures
Reacuteconciliation des donneacutees
bull La redondance permet aussi de reacuteduire lrsquoincertitude (cf moyenne)
Dernier TPhellip
Limite de deacutetection - LDD (1)Limit of Detection - LOD
6280
Pic de signal ou bruit de fond
LDD plus petite valeur non nulle mesurable pour une certaine probabiliteacute drsquoerreur sur le fait que la valeur vraie est nulle ou non
Seuil de deacutecision deacutetection si (Mesure gt Seuil deacutecision)
2 types drsquoerreur de deacutecision Type 1 deacutetection signal alors qursquoil est absent (faux positif)
Type 2 non deacutetection signal alors qursquoil est preacutesent (faux neacutegatif)
32
Limite de deacutetection (2)
6380
Type 1 deacutetection signal alors qursquoil est absent (faux positif)
Exemple probabiliteacute de 5 drsquoerreur de type 1 ou 2
Type 2 non deacutetection signal alors qursquoil est preacutesent (faux neacutegatif)
165
5
Proba = 5 si seuil de deacutecision = 165
Si mecircme seuil de deacutecision (165) mecircme proba drsquoerreur si signal agrave 2 fois le seuil de deacutecision = 33
2x165
5
Limite de deacutetection (3)
0
0
0
0
0
0
0
0
165 33
Niveau signal
seuil de decision type 1 type 2 gt0
nb erreurs 9 9
bonnes deacutecisions 955
eacutecart type bruit analyseur 10
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
1
signal theacuteorique
signal reacuteel
seuil de deacutecision
erreur type 1
erreur type 2
-20 0 20 40 60 80
Si distr normale et probabiliteacute de 95LDD=33
On prend geacuteneacuteralement LDD=3 = eacutecart-type de la mesure laquo proche de zeacutero raquo
33
Etalonnage drsquoun systegraveme de mesure
Etalonnage laquo Opeacuteration consistant agrave eacutetablir une relation entre les valeurs de la grandeur indiqueacutees par un appareil de mesure et les valeurs correspondantes de la grandeur reacutealiseacutees par des eacutetalons raquo (VIM)
160
165
170
175
180
185
190
195
0 20 40 60 80 100
H
C pF
66
Etalonnage Creacuteation drsquoun modegravele de comportement
ETALONNAGE
Variables Xmesureacutees
(capteurs)
Variables Ymesureacutees(analyseshellip)
modegravele ou
Preacutedicteur F
Creacuteation modegravele
de comportement
Y=F(X)
PREDICTION
Variables Xmesureacutees(capteurs)
Estimation des
variables Y
Modegravele
Calcul de
preacutedictiontensions
Calibration Creation of a behavior model
34
67
Eacutetalonnage - calibrage
Eacutetalonnage (calibration) = calcul complet du modegravele neacutecessite un laquo grand raquo nombre drsquoexpeacuteriences
tension
pression
bull Calibrage ou ajustement de zeacutero (zero adjustment) = laquo recalage raquo du modegravele neacutecessite 1 expeacuterience (laquo zeacutero raquo) voire 2 (laquo zeacutero + gain raquo)
tension
pression
bullCorrection variations de fabrication
bullCorrection deacuterive
bullCorrection changement conditions expeacuterimentales (tempeacuterature tarage drsquoune balancehellip)
bullEtchellip
Si le modegravele nrsquoest pas lineacuteaire le calibrage ne peut corriger que de faibles variationshellip
68
Les moindres carreacutes
Meacutethode des moindres carreacutes (monovariable)
laquo minimal raquo pour lrsquoensemble des mesures en trouvant la
fonction optimale f
On veut modeacuteliser pour toutes les mesures (i) ෝ119962119946 = 119839(119961119946) en fait agrave partir
des expeacuteriences on a 119962119946 = 119839 119961119946 + 119942119946 ougrave 119942119946 = laquo reacutesidu raquo ou erreur
On utilise geacuteneacuteralement la distance Euclidienne
laquo minimale raquo en optimisant les 120637119947
The least Squares
120637119947 repreacutesente ici le ou les paramegravetres de la fonction agrave optimiser f (ex coefs polynocircme)
119942119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947
119946
119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947120784
35
69
La reacutegression lineacuteaire
Monovariable (y=f(x) ) + hypothegravese lineacuteaire (y=ax+b)
2 cas
X
Minimisations des erreurs sur Y
Reacutegression de yx
ybaxy e
Y
Minimisation des erreurs sur X
X
Reacutegression de xy
xbyax e ˆ
1ˆ
a
bx
ay
Attention une reacutegression de yx avec des
erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne une
erreur systeacutematique sur la pentehellip
Y
Linear regression
70
La reacutegression lineacuteaire yx ou xy
Attention une reacutegression de yx avec des erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne
une erreur systeacutematique sur la pentehellip
Diffeacuterence neacutegligeable dans une majoriteacute de cashellip
y = 10036x - 00354
-2
0
2
4
6
8
10
12
-2 0 2 4 6 8 10 12
y = 06669x + 16244
-2
0
2
4
6
8
10
12
-2 0 2 4 6 8 10 12
Reacutegression YX Reacutegression XY
36
71
Caracteacuteristiques de la reacutegression yx
Estimations de a et b
)(
)(
)x(x
)y)(yx(x
=a2
i
i
ii
xVar
yxCov
i
xayb
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
Calcul Excel agrave lrsquoaide debull Courbe de tendancebull droitereg
72
Erreur lieacutee agrave la mesure
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
2n
)y(yi
2
ii
yx
s
Ecart Type des reacutesidus
= ET de lrsquoerreur lieacutee agrave la mesure= ET de preacutediction que lrsquoon aurait (mecircmes conditions) si le modegravele eacutetait sans erreur
Mais le modegravele nrsquoest jamais exact
Erreur que lrsquoon aurait mecircme si le modegravele eacutetait parfait agrave cause de lrsquoerreur aleacuteatoire sur xhellipRepreacutesenteacutee par lrsquohellip
Rappel reacutesidu = eacutecart entre valeur preacutedite (sur droite de regression donc) et valeur expeacuterimentale
37
73
Erreur de modeacutelisation
Estimations incertitudes de a et b
baxy ˆ
Y
i
xyss
2
i
a
)x(xEcart type de la pente
i
i
i
xybn
x
ss2
i
2
)x(x
Ecart type de lrsquoordonneacutee agrave lrsquoorigine
Calcul Excel agrave lrsquoaide de la fonction laquo droitereg raquo
temps h tension
0 300E-05
1 440E-05
2 900E-05
3 900E-05
4 100E-04
formule =DROITEREG(YX11)
pente 00000186 00000336 OAO
s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO
R 0870821587 130792E-05 s(resid)
2022369447 3 N DL
34596E-09 5132E-10000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5TP5
Incertitude de preacutediction
74
2
2
11)ˆ(
xx
xX
mstYI
i
xy
bull m= nb eacutechantillons deacutetalonnagebull xi = valeurs deacutetalonnage dont moyenne xbull X = valeur deacutechantillon de preacutedictionbull Syx = eacutecart-type des reacutesidus
x
E Lieacutee agrave la mesure
E Type du modegravele
bull Si modegravele laquo parfait raquo (ou m grand) xystYI )ˆ(
bull Lrsquoincertitude augmente si X srsquoeacuteloigne de (problegraveme de lrsquoextrapolation) x
bull Deacutepend (un peuhellip) de X
I(pred)2=I(lieacutee agrave la mesure)2 + I(modelisation)2
TP6
38
75
Mesure de la qualiteacute dajustement dune reacutegression lineacuteaire
Var(Y) = Var( aX+b) + Var(e
information totale = information modeacuteliseacutee + information reacutesiduelle
Coef De deacutetermination
totale)Var(info
modeacuteliseacutee) Var(infodR
)()(
)(
YX
YXCovRc
Coef de correacutelation
Rd=Rc2
Y
76
Le coef de correacutelation utilisation
0
5
10
15
20
25
30
35
0 2 4 6 8 10 12
R=075
0
5
10
15
20
25
0 2 4 6 8 10 12
R=075
-100
0
100
200
300
400
500
600
0 5 10 15
R=075
Le cœfficient de correacutelation ne sert
agrave quantifier que les relations
lineacuteaires entre X et Yvariables
Il perd toute signification degraves lors
que les reacutesidus
R=08
R=08
R=08
39
77
Reacutegression lineacuteaire examen des reacutesidus
Veacuterification lineacuteariteacute
A corriger
eacuteventuellement avec
reacutegression non lineacuteaire
Deacutetection points
aberrants (outliers)A eacuteliminer apregraves
veacuterification et avec
preacutecautionshellip
Ri=yi-(axi+b)
Reacutesidu = information non
modeacuteliseacutee ideacutealement
erreur aleacuteatoire
residuals
paramegravetres modeacutelisation des donneacutees
ET bruit
v0
v1
a
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
850
900
950
y = 07063x - 39517
-100
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (m
V)
courant (mA)
Valeurs mesureacutees
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (
mV
)
courant (mA)
Graphe des reacutesidus mesure - droiteregr
78
Reacutegression non lineacuteaire reacutegression polynomiale
Ex courbe de
tendance dExcel
temps h
0
1
2
3
4
000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5
Permet de modeacuteliser la plupart des problegravemes peu non lineacuteaireshellip
demo TP7
40
79
Biblio amp liens utilesBouquins
Statistics for analytical Chemistry 3 rd ed JC Miller and JN Miller John Wiley amp Sons 1998
Multivariate Statistical Methods A Primer BFJ Monley Chapman amp Hall 1986
Modeacutelisation et estimation des erreurs de mesure M Neuilly CETAMA Lavoisier Paris 1993
Sites WWW
httpphysicsnistgovcuuUncertaintyindexhtml excellent site simple et succinct mais de reacutefeacuterence
sur la calcul des incertitudes ce document sen est beaucoup inspireacute Un cours plus complet de
statistiques est disponible agrave httpwwwitlnistgovdiv898handbook
httpswwwansesfrfrcontentguide-de-validation-des-mC3A9thodes-danalyses-des-laboratoires-de-rC3A9fC3A9rence Guide de lrsquoANSES Agence nationale de seacutecuriteacute sanitaire
de lrsquoalimentation de lrsquoenvironnement et du travail
httpwwwjybaudotfrStatsstatshtml Encyclopeacutedie des stats de Jean-Yves Baudot agrave la foi preacutecis vulgarisateur et marrant un challenge en statistiques
httpfrfreestatisticsinfoindexphp Collection de liens et surtout de Freewares sur les stats
8062
La norme AFNOR la plus utiliseacutee
httpwwwasqualabcomdocumentsqualitemetrologie19-unites_pifometriquespdf
7
Uniteacutes de Mesure
Autres uniteacutes autoriseacutees-Composeacutees agrave partir des uniteacutes primaires joule (J)=kgm2s-2
-Autoriseacutees car signification physique universelle degC heure eVhellip-Multiples puissances de 10
10-18 atto a
Vocabulaire (1)
14
Erreur absolue diffeacuterence entre la valeur reacuteelle et la mesure
Erreur relativeerreur |mesure| (x 100 si en )
Erreur systeacutematique erreur de valeur moyenne non nulle
Erreur aleacuteatoire erreur non preacutevisible de valeur moyenne nulle
Le vocabulaire est normaliseacute par le BIPMVIM Vocabulaire International de Meacutetrologie
8
Vocabulaire (2)
15
Sensibiliteacute drsquoun SDMdydx pour x donneacute (x=mesurande y=valeur fournie par le SDM)Ex capteur de pression mVhPa
Reacutesolution drsquoun SDM plus petite variation du mesurande deacutetectable
Incertitude laquo Paramegravetre non neacutegatif qui caracteacuterise la dispersion des valeurs attribueacutees agrave un mesurande agrave partir des informations utiliseacutees raquo
Incertitude relative incertitude|mesure|
Systegraveme de mesure
Vocabulaire (3)
16
Non lineacuteariteacute deacuteviation maximale par rapport agrave la courbe approximant la reacuteponse
Offset drsquoun SDM valeur du signal de sortie quand le mesurande est agrave 0
laquo Slew rate raquo vitesse maximale de variation du signal de sortie sans distorsion
Temps de reacuteponselaquo agrave X raquo Temps ou bout duquel en reacuteponse agrave un laquo eacutechelon raquo de
grandeur agrave mesurer le signal a atteind X de sa valeur asymptotique (typiquement 95)
Hysteresis drsquoun SDM aptitude drsquoun SDM dont le signal de sortie agrave lrsquoeacutetat stationnaire ne deacutepend pas que du mesurande mais aussi de lrsquohistoire des signaux anteacuterieurs
Systegraveme de mesure
9
Vocabulaire (4)
17
Deacuterive Lente variation du signal de sortie en fonction du temps ou de la tempeacuterature agrave entreacutee constante
Limite de deacutetection drsquoun SDM plus petite valeur non nulle mesurable pour une certaine probabiliteacute drsquoerreur sur le fait que la valeur vraie est nulle ou non
ReacutepeacutetabiliteacuteEtroitesse de lrsquoaccord entre les valeurs obtenues par des mesurages
reacutepeacuteteacutes dans les mecircmes conditions (lieacutee agrave erreur aleacuteatoire)
ReproductibiliteacuteEtroitesse de lrsquoaccord entre les valeurs obtenues par des mesurages
reacutepeacuteteacutes en faisant varier certaines conditions de mesure
Systegraveme de mesure
18
Quelques rappels sur lerreur et lincertitudehellip
Erreur systeacutematique eB
Systematic error
Erreur accidentelle ou aleacuteatoire eA
Random or accidental error
Mesure x drsquoune variable de valeur reacuteelle xR
ABRxx ee Erreur variable e=xR-x
10
19
Erreur systeacutematique ou aleacuteatoire
Par deacutefinition lerreur aleacuteatoire est impreacutevisible (et donc non corrigeable) et de valeur moyenne nulle
Le caractegravere systeacutematique ou aleacuteatoire de lerreur peut deacutependre du contextehellip
20
Erreur systeacutematique ou aleacuteatoire
Ex mesure dune masse agrave laide dune balance numeacuterique
ea Erreur aleacuteatoire non expliqueacutee
eT Deacuterive en tempeacuterature
eo Erreur opeacuterateur
eu Erreur propre agrave lappareil
es Erreur systeacutematique de la seacuterie ()
Erreur e= ea+eT+eo+eu+es
Conditions des expeacuteriences ea eT eo eu es
1 opeacuterateur le mecircme jour 1 appareil
Idem + eacutetaleacute sur plusieurs jours
Idem + plusieurs opeacuterateurs
Idem + tests sur un lot dappareils
11
Encore du vocabulairehellip
21
Erreur aleacuteatoire
Reacutepeacutetabiliteacute fideacuteliteacute
Variables influenccedilantes
Erreur systeacutematique
biaisjustesse
Reproductibiliteacute
exactitude
22
Caracteacuterisation de la mesure
Moyenne estimeacutee de n mesures dune mecircme valeur xR
n
ixn
x1
1
xR = valeur reacuteelle
R
n
xx
)lim(
(loi des grands nombres)
Estimated mean
Law of large numbers
(Si erreur aleacuteatoire)
2RxxV Variance (de lrsquoerreur aleacuteatoire)
Variance (of random error)Homogegravene au carreacute de la
grandeur mesureacutee
Caracteacuterisation de lrsquoerreur aleacuteatoire
=Moyenne du carreacute de lrsquoerreur
12
23
n
i xxn
s1
2)(1
1Ecart-type estimeacute de
lerreur aleacuteatoire
Ecart-type de lerreur aleacuteatoire
xr
Ecart type
relatif
n
RiRi xxn
xx1
22)(
1
Valeur reacuteelle
Agrave priori inconnuehellip
Standard deviation of random error
Ecart-type de
lerreur aleacuteatoire V
et s ont mecircme espeacuterancehellip
Homogegravene agrave la grandeur mesureacutee
n
ixn
x1
1
n
xx
)()(
Ecart-type de la moyenne de n mesures
24
Distributions drsquoerreurs (aleacuteatoires)
Gaussienne ou normale
Uniforme
Poissonnienne
Etchellip La plus reacutepandue gracircce au Theacuteoregraveme central limitehellip
e0
F(e)Courbe de distribution
de lerreur
Distributions of errors
Gaussian or normal
Uniform
Poissonnian
නminusinfin
0
119865 120576 119889120576 = න0
+infin
119865 120576 119889120576 = 05
A
Probabiliteacute P(A)= 119860 119865 120576 119889120576
13
25
Theacuteoregraveme central limite
Si une variable est la reacutesultante dungrand nombre de causes petites agrave effetadditif cette variable tend vers une loinormale
Cest agrave cause de cette interpreacutetation quela loi normale est tregraves souvent employeacuteecomme modegravele (malheureusement pastoujours agrave raison)
Demo
Central Limit Theorem
26
La distribution Gaussienne (ou normale)
0
01
02
03
04
05
3 2 0 2 3Ecart agrave la moyenne x-x = eacutecart-type
683 des valeurs
2 955 des valeurs
3 997 des valeurs
Proba largeur
50 067middotσ
68 1middotσ
70 104middotσ
87 15middotσ
90 165middotσ
95 196middotσ
99 256middotσ
997 3middotσ
999 328middotσ
99999 999 8 6middotσ
Tableau des coefficients laquo t raquo de Student
tXXprobaP R
=1-LOISTUDENT(tN2)
N= nb eacutechantillons utiliseacutes pour le calcul de s gt20
2
2
1
2
1)(
xx
exF
14
httpwwwjybaudotfrInferentielletstudenthtml
Le coefficient t de Student
tXXprobaP R
P=LOISTUDENT(tN2)
N= nb eacutechantillons utiliseacutes pour le calcul de s -1= nb de degreacutes de liberteacute
Coefs de Student t
intervalle de conf 900 950 980 990 999
p 01 005 002 001 0001
N=nb deg lib
1 631 1271 3182 6366 63662
2 292 430 696 992 3160
3 235 318 454 584 1292
4 213 278 375 460 861
5 202 257 336 403 687
6 194 245 314 371 596
7 189 236 300 350 541
8 186 231 290 336 504
9 183 226 282 325 478
10 181 223 276 317 459
12 178 218 268 305 432
14 176 214 262 298 414
17 174 211 257 290 397
20 172 209 253 285 385
30 170 204 246 275 365
40 168 202 242 270 355
50 168 201 240 268 350
100 166 198 236 263 339
100000 164 196 233 258 329
Relation eacutecart-type Gaussienne valable uniquement si eacutecart-type s parfaitement connu (n=infin)Pratiquement s issu dun calcul statistique-gtLoi de Student(tend vers gaussienne si n grand ngt20)
t=LOISTUDENTINVERSEBILATERALE(PN)
Rappel valable uniquement pour loi gaussienne
28
Distribution de Poisson
Ex comptage drsquoeacutevegravenements non simultaneacutes (deacutesinteacutegration radioactive queuehellip)
Moyenne m
Variance m
demo
15
29
Distribution Uniforme
Ex discreacutetisation de la mesurehellip
TP1
M-d2 M M+d2
d
Moyenne M
Ecart-type
Les tests drsquohypothegravese
30
Significance tests
bull Deacutemarche consistant agrave eacutevaluer une hypothegravese statistique agrave partir dun jeu de donneacutees (eacutechantillon)
bull Le reacutesultat du test nrsquoest pas absolu mais est une probabiliteacute qui est une aide agrave la validation ou non de lrsquohypothegravese initiale il ne constitue donc jamais une preuve
Tests parameacutetriques(hypothegravese sur distribution + ou ndash neacutecessaire)
1-sample T-test Comp Eacutechantillon agrave valeur de reacutefeacuterence intervalle de confiance
2-samples T-test Comparaison de 2 eacutechantillons
F-Test Comparaison de la variance de 2 eacutechantillons
ANOVA Analyse de variance analyse des variances de K eacutechantillons comparaison des moyennes
Chi-Square test Utilisation notamment pour veacuterifier une hypothegravese de distribution
Grubbsrsquo test Deacutetection des valeurs aberrantes (laquo outliers raquo)
Tests non parameacutetriques(pas drsquohypothegravese sur distribution)
Test WilcoxonMW Comparaison de 2 eacutechantillons meacutethode de rang
En rouge tests deacutecrits + loin sinon voir biblio ou google
16
31
95
one-sample T-test laquo simplifieacute raquoComparaison de la mesure M drsquoun eacutechantillon agrave une valeur de reacutefeacuterence R on suppose que la distribution est normale
Hypothegravesesbull laquo M est diffeacuterent de R raquobull laquo M est significativement diffeacuterent de R raquo
Cette hypothegravese de diffeacuterence H1 est retenue si sa probabiliteacute est supeacuterieure agrave 95 (par exemple) (ou si la probabiliteacute drsquoeacutegaliteacute est infeacuterieure agrave 5 (H2)
1 mesure M eacutecart-type estimeacute de la mesure s distr gaussienne
MR
-4srsquo -3srsquo -2srsquo ndashsrsquo 0 srsquo 2srsquo 3srsquo 4srsquo
Hypothegravese retenue si
stRM
si s est calculable laquo preacuteciseacutement raquo
(t=coef de Student)
H1 95 (ou H2 5)
H1 99 (ou H2 1)
H1 999 (ou H2 01)
t 196 256 328
Oui quasiment toujours agrave cause de lrsquoerreur aleacuteatoirehellip
bull laquo La diffeacuterence entre M et R nrsquoest pas due qursquoagrave lrsquoerreur aleacuteatoire raquo
ngt20 sinon tableau des coefs de Studenthellip
32
95
one-sample T-test laquo officiel raquo
Comparaison de la moyenne micro drsquoun eacutechantillon agrave une valeur de reacutefeacuterence R on suppose que la distribution est normaleHypothegravese laquo la diffeacuterence entre la moyenne de n mesures et une valeur de reacutefeacuterence nrsquoest pas due qursquoaux erreurs aleacuteatoires raquo
Cette hypothegravese est retenue si sa probabiliteacute est supeacuterieure agrave 95 (par exemple)
n mesures moyenne m eacutecart-type estimeacute de chaque mesure s
On montre (+ loinhellip) que lrsquoeacutecart-type estimeacute de la moyenne est n
ss
m R
-4srsquo -3srsquo -2srsquo ndashsrsquo 0 srsquo 2srsquo 3srsquo 4srsquo
Hypothegravese retenue si
n
stR m
si s est calculable laquo preacuteciseacutement raquo
(t=coef de Student)
H1 95 (ou H2 5)
H1 99 (ou H2 1)
H1 999 (ou H2 01)
t 196 256 328
17
one-sample T-test exemple
Hypothegravese laquo la diffeacuterenceentre la moyenne de npesages drsquoune masse eacutetalonde 1 kg et la valeur de cettemasse nrsquoest pas due qursquoauxerreurs aleacuteatoires raquo
n
stR m
n
s
Rt
m
1 104946993
2 111917309 Etalon R (kg) 10000
3 099865798
4 101040713
5 114655592
6 097054733
7 114894136
8 108005111 moyenne micro 104614199
9 103044121 Ecart-type s 005326172
10 098202478
11 105094267 00461
12 106252219
13 102608401
14 104961426 002381937 (t=2)
15 103483134 (n=20)
16 103475702
17 098306671
18 109287381
19 097490694
20 107697103
08
09
1
11
12
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
Rm
n
st
Il existe un laquo biais raquohellip
34
two-sample T-test
Comparaison de 2 moyennes de 2 eacutechantillons on suppose que la distribution est normaleHypothegravese laquo la diffeacuterence entre les 2 moyennes nrsquoest pas due qursquoaux erreurs aleacuteatoires raquo
Ech 1 Ech 2
Nb mesures n1 n2
Ecart type estimeacute s1 s2
Moyenne estimeacutee m1 m2
Comparaison de m1 et m2Peut se ramener agrave un 1-sample-test en comparant |m1-m2| agrave 0
On prend alors comme eacutecart-type de |m1-m2|
2
2
2
1
2
1
n
s
n
ss
(deacutemontreacute dans partie laquo lois de propagation de lrsquoerreur raquo)
Et le nombre de degreacutes de liberteacute est en 1ere approx n1+n2-2
st21 mmHypothegravese retenue si
Cette hypothegravese est retenue si sa probabiliteacute est supeacuterieure agrave 95 (par exemple)
2
2
2
1
2
121
n
s
n
st mm
18
two-sample T-test exemple
2
2
2
1
2
121
n
s
n
st mm
op1 op2 op1 op2
359385514 349673556 moyenne micro 354463973 355551443
358810682 350481358 eacutecart-type s 004510027 004809217
353371004 347201328
352760094 3553306 |micro1-micro2| 00108747344867115 357512954
351024893 355717682
360880932 362969549
353927667 366487781 00139361355719746 354702026
352552333 354598904 n 43 t=2
349798625 348741103
349706929 356409401 st 002787228
356771949 356622487
359781434 354564972
354032574 350388551
357799787 365577103
349003712 355839436
357276739 353637213
361263276 357229694
350544464 356392763
360261554
352637678
35652033
358384532
350903522
33
335
34
345
35
355
36
365
37
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25
2
2
2
1
2
1
n
s
n
ss
Hypothegravese laquo la diffeacuterence entre les moyennes de pesages drsquoune mecircme masse par 2 opeacuterateurs nrsquoest pas due qursquoaux erreurs aleacuteatoires raquo
1 2
Il existe un laquo biais entre les 2 opeacuterateursraquohellip
TP2
36
Intervalle de confianceLintervalle de confiance agrave p (95) drsquoune mesure x est un intervalle de valeurs qui a une probabiliteacute centreacutee p (95) de contenir la vraie valeur xR du paramegravetre estimeacute
xx
La calcul de et en fonction de la probabiliteacute P (geacuteneacuteralement 95) deacutepend de la loi de
distribution de lerreur
0
et = incertitude agrave p (95)
Distribution symeacutetrique
bull =
bullValeur moyenne de la mesure
= la plus probable0
Confidence interval
21)()( pxxPxxP RR
Distribution normale
19
37
Intervalle de confiance cas de la distribution normale
Lintervalle de confiance agrave p (95) drsquoune mesure x est un intervalle de valeurs qui a une probabiliteacute centreacutee p (95) de contenir la vraie valeur xR du paramegravetre estimeacute
xx
0
01
02
03
04
05
3 2 0 2 3Ecart agrave la moyenne x-x = eacutecart-type
683 des mesures
2 955 des mesures
3 997 des mesures
stxstx
Coefs de Student t
intervalle de conf 900 950 980 990 999
p 01 005 002 001 0001
deg lib
1 631 1271 3182 6366 63662
2 292 430 696 992 3160
3 235 318 454 584 1292
4 213 278 375 460 861
5 202 257 336 403 687
6 194 245 314 371 596
7 189 236 300 350 541
8 186 231 290 336 504
9 183 226 282 325 478
10 181 223 276 317 459
12 178 218 268 305 432
14 176 214 262 298 414
17 174 211 257 290 397
20 172 209 253 285 385
30 170 204 246 275 365
40 168 202 242 270 355
50 168 201 240 268 350
100 166 198 236 263 339
100000 164 196 233 258 329
38
Loi normale
95
Eacutecriture drsquoune mesure (distribution normale)
Le reacutesultat drsquoune mesure doit comporter 4 eacuteleacutements Ex CNO = 1253 ppb 17 ppb (agrave 95 ou t=2)
1 2 3 41 Valeur numeacuterique avec un nombre correct de deacutecimales2 Uniteacute3 Incertitude eacutelargie = t4 Le coefficient drsquoeacutelargissement t utiliseacute
Probabiliteacute en pour que la valeur reacuteelle
soit dans lrsquointervalle tsxtsx
1 Numerical value with a correct number of decimals2 Unit3 expanded uncertainty = ts4 Coverage factor t
20
39
Eacutevaluation de lrsquoincertitude
Eacutevaluation par analyse statistique de seacuteries de mesures (laquo type A raquo)
(geacuteneacuteralement mesure mais aussi simulation)
Eacutevaluation par calcul de lrsquoeffet sur lrsquoincertitude finale des diffeacuterentes
sources drsquoincertitude (laquo type B raquo laquo par tout autre moyen raquo) elles mecircme
eacutevalueacutees
par une meacutethode de type A
par des donneacutees constructeur drsquoeacutetalonnage etchellip
Il est alors neacutecessaire de connaicirctre les lois de propagation de
lrsquoerreurhellip
GUM Guide to the expression of Uncertainly in Measurement (1993)
Norme Franccedilaise X 07-020 AFNOR Aoucirct 1999
40
Eacutevaluation par analyse statistique de seacuteries de mesures
V
VERR
0
R0
R E
V mesureacute
0
0
RR
REV
Mesure et calcul avec un grand nombre N
de reacutesistances laquo eacutetalon raquo (R connu)
Calcul de lrsquoeacutecart-type
(en fait eacutecart-type estimeacute shellip)
Incertitude agrave 95 = t 2 (si Ngt15hellip)
Ne tient pas compte
-De lrsquoincertitude du Vmegravetre (V)
-Des incertitudes sur E R0 les reacutesistances
eacutetalonhellip
Exemple eacutevaluation drsquoune meacutethode de mesure drsquoune reacutesistance
21
41
Eacutevaluation par calcul de lrsquoeffet sur lrsquoincertitude finale des diffeacuterentes sources drsquoincertitude
V
VERR
0
2
2
0
2
0
2
0 )()()()(
V
V
ERE
V
RR
U
UER
(R0) (E) (V) connus
R0
R E
V mesureacute
Explication
Loi de propagation des eacutecart-types
combined standard uncertainty
Exemple eacutevaluation drsquoune meacutethode de mesure drsquoune reacutesistance
Quelle est la peseacutee la plus preacutecise
22
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes (1)
Exemple de la somme s=a+b
es
eb
ea
es=ea+ebRappel les erreurs srsquoajoutent algeacutebriquement
Et leur eacutecart-type
combined standard uncertainty for random amp independant errors
a b a+b282 151 433
261 171 432
264 168 432
345 202 548
332 190 523
279 208 488
317 155 472
270 209 479
310 186 496
340 156 495
moyenne 300 180 480 480 somme moyennes
variance 011 005 016 016 somme variances
ecartype 033 023 039 055 somme eacutecart-types
000
100
200
300
400
500
600
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
a
b
a+b
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes (2)
Exemple de la somme s=a+b
Erreur aleacuteatoire
)()()( bas
)()()( bVaraVarbaVar
Les eacutecart-types ne srsquoajoutent pas
Les variances si
22baba 222
baba
Les eacutecart-types srsquoajoutent quadratiquement Si les erreurs sont indeacutependantes et aleacuteatoires
23
Quelle est la peseacutee la plus preacutecise
2
2
2
1 PIPIPI
54321 PPPPPP
2)(5 pIPI
)(5 pIPI
gkgP 2425
Rappel loi de propagation drsquoune laquo petite raquo erreur
n
i
i
xx
fy
1
)(
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
)(xfy xdx
dfxfxxf )()(
xdx
dfy
Cas particulier produit-exposant
(Th accroissements finis)
Proprieacuteteacute de la deacuteriveacutee logarithmique
119910 =119886 119887 1198883
11988912
∆119910
119910=
∆119886
119886+
∆119887
119887+ 3
∆119888
119888- 12
∆119889
119889
24
Loi de propagation de la variance et de lrsquoeacutecart-type
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
La variance est additive donc si les variables xi sont indeacutependantes
)()(1
n
i
i
xVx
fyV
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fy
Ecart type V(x)=((x))2
)(2)()(1
1 11
2
2
2
ji
n
i
n
ij ji
i
n
i
xxx
f
x
fx
x
fy Cov
Cas geacuteneacuteral (variables non indeacutependantes)
(non deacutemontreacutehellip)
48
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires (1)
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fyI I
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
Incertitude pour une distr normale I(y)=t(y) geacuteneacuteralement t~2
Sibull mecircmes coefs drsquoeacutelargissement tbull variables xi indeacutependantes
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fy
25
49
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes cas particuliers (1)
Ex somme ou diffeacuterence
cbay
222 )()()()( cbay
i
ii xay i
ii xay 2))(()( Combinaison lineacuteaire
n
ixn
x1
1
n
xx
nx
n )()(
1)(
1
2
Application fondamentale en instrumentation La moyenne
Demo
Loi des grands nombres
50
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires cas particuliers (2)
Produits et puissances
i
iixAy
i i
ii
x
x
y
y2
)()(
Somme quadratique des eacutecart-types relatifs
x
x)(Proprieacuteteacute inteacuteressante des eacutecart-types relatifs
21
3
d
cbay
2222)(
21)(
3)()()(
d
d
c
c
b
b
a
a
y
y
Exemple
TP3
Idem pour incertitudes I si I=t partout
26
51
Lois de propagation des erreurs aleacuteatoires exemple de la droite drsquoeacutetalonnage
Etalonnage
Deacutebit D=aV
0 le D le 10 Lh
a=08 LhmV plusmn001 (t=2)
Inc Sur V 01 mV (t=2)
Incertitude relative sur deacutebit Den fonction du deacutebit
22)()()(
V
VI
a
aI
D
DI
V = tension fournie par capteurhellip
22)()(
D
VaI
a
aI
Mesure des faibles valeurs peu preacutecise
a = inverse de la sensibiliteacute
Si D 0
Calcul de lrsquoincertitude par simulation de lrsquoerreur aleacuteatoire
ou meacutethode de Monte-Carlo
Ex y=f(x1x2)
x1 et x2 ont des erreurs aleacuteatoires (pas forcement indeacutependantes) caracteacuteriseacutees par
leur eacutecart-type s1 et s2
bullSimuler un certain nombre drsquoexpeacuteriences avec les
mecircmes valeurs x1 et x2 + erreur aleacuteatoire (tirages ne)
yi=f(x1+e1x2+e2) N fois
bullCalcul de lrsquoeacutecart type des yi
bullLes ei sont calculeacutes agrave lrsquoaide drsquoun geacuteneacuterateur de nombre
aleacuteatoires agrave distribution adeacutequate (geacuteneacuteralement normale)
Excel =LOINORMALEINVERSE(ALEA()0eacutecart-type)TP4
27
Calcul de lrsquoincertitude par simulation de lrsquoerreur aleacuteatoire exemple
moyenne des D 50012 Dmax 100000
Deacutebit 50000 E Type des D 00526 a 08000
tension V 62500 Incertitude 01052 I(a) 00100
I(V) 01000
Ndeg tirage (400) erreur sur a erreur sur V valeur a valeur V D=aV
1 -00010 00253 07990 62753 50142
2 00011 -00518 08011 61982 49654
3 00032 00436 08032 62936 50551
4 -00098 00026 07902 62526 49407
5 00021 00867 08021 63367 50824
6 -00064 -00202 07936 62298 49437
7 00017 -00820 08017 61680 49450
8 -00065 00444 07935 62944 49949
9 00009 00757 08009 63257 50663
10 -00049 -00318 07951 62182 49439
11 00130 00109 08130 62609 50901
12 00004 00084 08004 62584 50092
13 -00046 00031 07954 62531 49737
14 -00024 00249 07976 62749 50049
15 00047 00311 08047 62811 50543
16 -00021 -00251 07979 62249 49668
D=aV
0 le D le 10 Lh
a=08 LhmV plusmn001 (t=2)
Inc Sur V = 01 mV (t=2)
Tirage aleacuteatoire normal
+
LOINORMALEINVERSE(ALEA()0eacutecart-type)
Les erreurs srsquoajoutent algeacutebriquement
54
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation
La discreacutetisation intervient lorsque les valeurs finales constituent un ensemble discret
Reacutesolution d du systegraveme drsquoacquisition agrave ne pas confondre avec lrsquoincertitude ou la sensibiliteacute
d
V
0
001
002
003
004
005
006
007
008
009
01
0 005 01
Tension reacuteelle
Ten
sion
aff
icheacutee
Discretization uncertainty
28
55
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (2)
32
d dEcart type de lrsquoerreur due agrave la discreacutetisation
295295
0
95
dIII Incertitude totale
5d 6d 7d
Erreur maxi d2
Approximatif Monte-Carlo parfois preacutefeacuterablehellip
Incertitude agrave 95 due agrave la discreacutetisation 2d 2975095 ddINon
058d 0485d
295 ddI
56
Le laquo Dithering raquo
La preacutesence drsquoerreur aleacuteatoire permet ici drsquoameacuteliorer la laquo preacutecision raquo de la mesure
Pas de laquo bruit raquo pas de moyennage Pas de laquo bruit raquo moyenne 50
signaux
laquo bruit raquo pas de moyennage laquo bruit raquo moyenne 50 signaux
La meacutethode du moyennage peut reacuteduire aussi lrsquoerreur de discreacutetisation (= quantification)
On peut gagner 1 bit de reacutesolution chaque fois que lrsquoon multiplie par 4 la freacutequence drsquoeacutechantillonnagehellip
hellip agrave condition que le signal avant numeacuterisation contienne un bruit (aleacuteatoire et indeacutependant) de valeur efficace supeacuterieure agrave la reacutesolution initialehellip
demo
29
57
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (3) les deacutecimales significatives
Ecriture drsquoun nombre avec un nombre de chiffres fini Erreur de discreacutetisation
Pour une mesure lrsquoeacutecart type de lrsquoerreur introduite doit ecirctre petit devant celui
de lrsquoerreur de mesure initiale
Ex mesure = 4382659872 Eacutecart-type mesure = 055 (soit 0125 en relatif)
Doit-on eacutecrire
4382659872
438265
4383
Mais les systegravemes numeacuteriques peuvent donner beaucoup de chiffres significatifshellip
438
58
Mesure afficheacutee
reacutesolution
ET erreur discreacutetisation
ET erreur finale drsquoerreur due agrave la discreacutetisation
438265987
0000001
29 10-7 055 lt 10-3
43827
001
29 10-3 0550008 10-3
4383
01
0029 05506 014
438
1
029 062 13
440
10
289 294 434
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (4) les deacutecimales significatives exemple
32
d d
22 )()( dxX
Ex mesure = 4382659872 Eacutecart-type mesure = (x)= 055 (soit 0125 en relatif)
bullOn peut choisir la reacutesolution immeacutediatement plus petite que lrsquoeacutecart-type de la mesure
bullLrsquoeacutecart-type (ou lrsquoincertitude) afficheacute ne doit pas avoir plus de 2 chiffres significatifs
30
Capabiliteacute drsquoun systegraveme de mesure
Va deacutependre de la toleacuterance deacutesireacuteehellip
hellip et du coucirct de la mesure
capabiliteacute dun moyen de mesure = rapport entre lincertitude U du moyen de mesure et la toleacuterance IT exigeacutee
Veacuterification de la toleacuterance
Normes franccedilaises
( toleacuterance = exigence du client en terme de caracteacuteristique mesurable)
Toleacuterance capabiliteacute drsquoun systegraveme de mesure
T
Notion de risque-risque laquo client raquo(piegravece agrave rejeter mais retenue)-risque laquo fabricant raquo(piegravece agrave retenir mais rejeteacutee)
Mesure moyenne
T
Piegravece agrave rejeterPiegravece agrave retenir
T=ToleacuteranceU=incertitude
Distrib des erreurs de fabrication
Val reacuteelle
31
Reacuteconciliation des donneacutees
61
D1
I(D1)
D2
I(D2)
D3
I(D3)
bull 3 mesures redondantes (car en theacuteorie D1=D2+D3)bull A cause des incertitudes on nrsquoa jamais exactement D1=D2+D3
bull Comment (in)valider les mesures
Reacuteconciliation des donneacutees
bull La redondance permet aussi de reacuteduire lrsquoincertitude (cf moyenne)
Dernier TPhellip
Limite de deacutetection - LDD (1)Limit of Detection - LOD
6280
Pic de signal ou bruit de fond
LDD plus petite valeur non nulle mesurable pour une certaine probabiliteacute drsquoerreur sur le fait que la valeur vraie est nulle ou non
Seuil de deacutecision deacutetection si (Mesure gt Seuil deacutecision)
2 types drsquoerreur de deacutecision Type 1 deacutetection signal alors qursquoil est absent (faux positif)
Type 2 non deacutetection signal alors qursquoil est preacutesent (faux neacutegatif)
32
Limite de deacutetection (2)
6380
Type 1 deacutetection signal alors qursquoil est absent (faux positif)
Exemple probabiliteacute de 5 drsquoerreur de type 1 ou 2
Type 2 non deacutetection signal alors qursquoil est preacutesent (faux neacutegatif)
165
5
Proba = 5 si seuil de deacutecision = 165
Si mecircme seuil de deacutecision (165) mecircme proba drsquoerreur si signal agrave 2 fois le seuil de deacutecision = 33
2x165
5
Limite de deacutetection (3)
0
0
0
0
0
0
0
0
165 33
Niveau signal
seuil de decision type 1 type 2 gt0
nb erreurs 9 9
bonnes deacutecisions 955
eacutecart type bruit analyseur 10
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
1
signal theacuteorique
signal reacuteel
seuil de deacutecision
erreur type 1
erreur type 2
-20 0 20 40 60 80
Si distr normale et probabiliteacute de 95LDD=33
On prend geacuteneacuteralement LDD=3 = eacutecart-type de la mesure laquo proche de zeacutero raquo
33
Etalonnage drsquoun systegraveme de mesure
Etalonnage laquo Opeacuteration consistant agrave eacutetablir une relation entre les valeurs de la grandeur indiqueacutees par un appareil de mesure et les valeurs correspondantes de la grandeur reacutealiseacutees par des eacutetalons raquo (VIM)
160
165
170
175
180
185
190
195
0 20 40 60 80 100
H
C pF
66
Etalonnage Creacuteation drsquoun modegravele de comportement
ETALONNAGE
Variables Xmesureacutees
(capteurs)
Variables Ymesureacutees(analyseshellip)
modegravele ou
Preacutedicteur F
Creacuteation modegravele
de comportement
Y=F(X)
PREDICTION
Variables Xmesureacutees(capteurs)
Estimation des
variables Y
Modegravele
Calcul de
preacutedictiontensions
Calibration Creation of a behavior model
34
67
Eacutetalonnage - calibrage
Eacutetalonnage (calibration) = calcul complet du modegravele neacutecessite un laquo grand raquo nombre drsquoexpeacuteriences
tension
pression
bull Calibrage ou ajustement de zeacutero (zero adjustment) = laquo recalage raquo du modegravele neacutecessite 1 expeacuterience (laquo zeacutero raquo) voire 2 (laquo zeacutero + gain raquo)
tension
pression
bullCorrection variations de fabrication
bullCorrection deacuterive
bullCorrection changement conditions expeacuterimentales (tempeacuterature tarage drsquoune balancehellip)
bullEtchellip
Si le modegravele nrsquoest pas lineacuteaire le calibrage ne peut corriger que de faibles variationshellip
68
Les moindres carreacutes
Meacutethode des moindres carreacutes (monovariable)
laquo minimal raquo pour lrsquoensemble des mesures en trouvant la
fonction optimale f
On veut modeacuteliser pour toutes les mesures (i) ෝ119962119946 = 119839(119961119946) en fait agrave partir
des expeacuteriences on a 119962119946 = 119839 119961119946 + 119942119946 ougrave 119942119946 = laquo reacutesidu raquo ou erreur
On utilise geacuteneacuteralement la distance Euclidienne
laquo minimale raquo en optimisant les 120637119947
The least Squares
120637119947 repreacutesente ici le ou les paramegravetres de la fonction agrave optimiser f (ex coefs polynocircme)
119942119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947
119946
119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947120784
35
69
La reacutegression lineacuteaire
Monovariable (y=f(x) ) + hypothegravese lineacuteaire (y=ax+b)
2 cas
X
Minimisations des erreurs sur Y
Reacutegression de yx
ybaxy e
Y
Minimisation des erreurs sur X
X
Reacutegression de xy
xbyax e ˆ
1ˆ
a
bx
ay
Attention une reacutegression de yx avec des
erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne une
erreur systeacutematique sur la pentehellip
Y
Linear regression
70
La reacutegression lineacuteaire yx ou xy
Attention une reacutegression de yx avec des erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne
une erreur systeacutematique sur la pentehellip
Diffeacuterence neacutegligeable dans une majoriteacute de cashellip
y = 10036x - 00354
-2
0
2
4
6
8
10
12
-2 0 2 4 6 8 10 12
y = 06669x + 16244
-2
0
2
4
6
8
10
12
-2 0 2 4 6 8 10 12
Reacutegression YX Reacutegression XY
36
71
Caracteacuteristiques de la reacutegression yx
Estimations de a et b
)(
)(
)x(x
)y)(yx(x
=a2
i
i
ii
xVar
yxCov
i
xayb
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
Calcul Excel agrave lrsquoaide debull Courbe de tendancebull droitereg
72
Erreur lieacutee agrave la mesure
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
2n
)y(yi
2
ii
yx
s
Ecart Type des reacutesidus
= ET de lrsquoerreur lieacutee agrave la mesure= ET de preacutediction que lrsquoon aurait (mecircmes conditions) si le modegravele eacutetait sans erreur
Mais le modegravele nrsquoest jamais exact
Erreur que lrsquoon aurait mecircme si le modegravele eacutetait parfait agrave cause de lrsquoerreur aleacuteatoire sur xhellipRepreacutesenteacutee par lrsquohellip
Rappel reacutesidu = eacutecart entre valeur preacutedite (sur droite de regression donc) et valeur expeacuterimentale
37
73
Erreur de modeacutelisation
Estimations incertitudes de a et b
baxy ˆ
Y
i
xyss
2
i
a
)x(xEcart type de la pente
i
i
i
xybn
x
ss2
i
2
)x(x
Ecart type de lrsquoordonneacutee agrave lrsquoorigine
Calcul Excel agrave lrsquoaide de la fonction laquo droitereg raquo
temps h tension
0 300E-05
1 440E-05
2 900E-05
3 900E-05
4 100E-04
formule =DROITEREG(YX11)
pente 00000186 00000336 OAO
s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO
R 0870821587 130792E-05 s(resid)
2022369447 3 N DL
34596E-09 5132E-10000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5TP5
Incertitude de preacutediction
74
2
2
11)ˆ(
xx
xX
mstYI
i
xy
bull m= nb eacutechantillons deacutetalonnagebull xi = valeurs deacutetalonnage dont moyenne xbull X = valeur deacutechantillon de preacutedictionbull Syx = eacutecart-type des reacutesidus
x
E Lieacutee agrave la mesure
E Type du modegravele
bull Si modegravele laquo parfait raquo (ou m grand) xystYI )ˆ(
bull Lrsquoincertitude augmente si X srsquoeacuteloigne de (problegraveme de lrsquoextrapolation) x
bull Deacutepend (un peuhellip) de X
I(pred)2=I(lieacutee agrave la mesure)2 + I(modelisation)2
TP6
38
75
Mesure de la qualiteacute dajustement dune reacutegression lineacuteaire
Var(Y) = Var( aX+b) + Var(e
information totale = information modeacuteliseacutee + information reacutesiduelle
Coef De deacutetermination
totale)Var(info
modeacuteliseacutee) Var(infodR
)()(
)(
YX
YXCovRc
Coef de correacutelation
Rd=Rc2
Y
76
Le coef de correacutelation utilisation
0
5
10
15
20
25
30
35
0 2 4 6 8 10 12
R=075
0
5
10
15
20
25
0 2 4 6 8 10 12
R=075
-100
0
100
200
300
400
500
600
0 5 10 15
R=075
Le cœfficient de correacutelation ne sert
agrave quantifier que les relations
lineacuteaires entre X et Yvariables
Il perd toute signification degraves lors
que les reacutesidus
R=08
R=08
R=08
39
77
Reacutegression lineacuteaire examen des reacutesidus
Veacuterification lineacuteariteacute
A corriger
eacuteventuellement avec
reacutegression non lineacuteaire
Deacutetection points
aberrants (outliers)A eacuteliminer apregraves
veacuterification et avec
preacutecautionshellip
Ri=yi-(axi+b)
Reacutesidu = information non
modeacuteliseacutee ideacutealement
erreur aleacuteatoire
residuals
paramegravetres modeacutelisation des donneacutees
ET bruit
v0
v1
a
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
850
900
950
y = 07063x - 39517
-100
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (m
V)
courant (mA)
Valeurs mesureacutees
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (
mV
)
courant (mA)
Graphe des reacutesidus mesure - droiteregr
78
Reacutegression non lineacuteaire reacutegression polynomiale
Ex courbe de
tendance dExcel
temps h
0
1
2
3
4
000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5
Permet de modeacuteliser la plupart des problegravemes peu non lineacuteaireshellip
demo TP7
40
79
Biblio amp liens utilesBouquins
Statistics for analytical Chemistry 3 rd ed JC Miller and JN Miller John Wiley amp Sons 1998
Multivariate Statistical Methods A Primer BFJ Monley Chapman amp Hall 1986
Modeacutelisation et estimation des erreurs de mesure M Neuilly CETAMA Lavoisier Paris 1993
Sites WWW
httpphysicsnistgovcuuUncertaintyindexhtml excellent site simple et succinct mais de reacutefeacuterence
sur la calcul des incertitudes ce document sen est beaucoup inspireacute Un cours plus complet de
statistiques est disponible agrave httpwwwitlnistgovdiv898handbook
httpswwwansesfrfrcontentguide-de-validation-des-mC3A9thodes-danalyses-des-laboratoires-de-rC3A9fC3A9rence Guide de lrsquoANSES Agence nationale de seacutecuriteacute sanitaire
de lrsquoalimentation de lrsquoenvironnement et du travail
httpwwwjybaudotfrStatsstatshtml Encyclopeacutedie des stats de Jean-Yves Baudot agrave la foi preacutecis vulgarisateur et marrant un challenge en statistiques
httpfrfreestatisticsinfoindexphp Collection de liens et surtout de Freewares sur les stats
8062
La norme AFNOR la plus utiliseacutee
httpwwwasqualabcomdocumentsqualitemetrologie19-unites_pifometriquespdf
8
Vocabulaire (2)
15
Sensibiliteacute drsquoun SDMdydx pour x donneacute (x=mesurande y=valeur fournie par le SDM)Ex capteur de pression mVhPa
Reacutesolution drsquoun SDM plus petite variation du mesurande deacutetectable
Incertitude laquo Paramegravetre non neacutegatif qui caracteacuterise la dispersion des valeurs attribueacutees agrave un mesurande agrave partir des informations utiliseacutees raquo
Incertitude relative incertitude|mesure|
Systegraveme de mesure
Vocabulaire (3)
16
Non lineacuteariteacute deacuteviation maximale par rapport agrave la courbe approximant la reacuteponse
Offset drsquoun SDM valeur du signal de sortie quand le mesurande est agrave 0
laquo Slew rate raquo vitesse maximale de variation du signal de sortie sans distorsion
Temps de reacuteponselaquo agrave X raquo Temps ou bout duquel en reacuteponse agrave un laquo eacutechelon raquo de
grandeur agrave mesurer le signal a atteind X de sa valeur asymptotique (typiquement 95)
Hysteresis drsquoun SDM aptitude drsquoun SDM dont le signal de sortie agrave lrsquoeacutetat stationnaire ne deacutepend pas que du mesurande mais aussi de lrsquohistoire des signaux anteacuterieurs
Systegraveme de mesure
9
Vocabulaire (4)
17
Deacuterive Lente variation du signal de sortie en fonction du temps ou de la tempeacuterature agrave entreacutee constante
Limite de deacutetection drsquoun SDM plus petite valeur non nulle mesurable pour une certaine probabiliteacute drsquoerreur sur le fait que la valeur vraie est nulle ou non
ReacutepeacutetabiliteacuteEtroitesse de lrsquoaccord entre les valeurs obtenues par des mesurages
reacutepeacuteteacutes dans les mecircmes conditions (lieacutee agrave erreur aleacuteatoire)
ReproductibiliteacuteEtroitesse de lrsquoaccord entre les valeurs obtenues par des mesurages
reacutepeacuteteacutes en faisant varier certaines conditions de mesure
Systegraveme de mesure
18
Quelques rappels sur lerreur et lincertitudehellip
Erreur systeacutematique eB
Systematic error
Erreur accidentelle ou aleacuteatoire eA
Random or accidental error
Mesure x drsquoune variable de valeur reacuteelle xR
ABRxx ee Erreur variable e=xR-x
10
19
Erreur systeacutematique ou aleacuteatoire
Par deacutefinition lerreur aleacuteatoire est impreacutevisible (et donc non corrigeable) et de valeur moyenne nulle
Le caractegravere systeacutematique ou aleacuteatoire de lerreur peut deacutependre du contextehellip
20
Erreur systeacutematique ou aleacuteatoire
Ex mesure dune masse agrave laide dune balance numeacuterique
ea Erreur aleacuteatoire non expliqueacutee
eT Deacuterive en tempeacuterature
eo Erreur opeacuterateur
eu Erreur propre agrave lappareil
es Erreur systeacutematique de la seacuterie ()
Erreur e= ea+eT+eo+eu+es
Conditions des expeacuteriences ea eT eo eu es
1 opeacuterateur le mecircme jour 1 appareil
Idem + eacutetaleacute sur plusieurs jours
Idem + plusieurs opeacuterateurs
Idem + tests sur un lot dappareils
11
Encore du vocabulairehellip
21
Erreur aleacuteatoire
Reacutepeacutetabiliteacute fideacuteliteacute
Variables influenccedilantes
Erreur systeacutematique
biaisjustesse
Reproductibiliteacute
exactitude
22
Caracteacuterisation de la mesure
Moyenne estimeacutee de n mesures dune mecircme valeur xR
n
ixn
x1
1
xR = valeur reacuteelle
R
n
xx
)lim(
(loi des grands nombres)
Estimated mean
Law of large numbers
(Si erreur aleacuteatoire)
2RxxV Variance (de lrsquoerreur aleacuteatoire)
Variance (of random error)Homogegravene au carreacute de la
grandeur mesureacutee
Caracteacuterisation de lrsquoerreur aleacuteatoire
=Moyenne du carreacute de lrsquoerreur
12
23
n
i xxn
s1
2)(1
1Ecart-type estimeacute de
lerreur aleacuteatoire
Ecart-type de lerreur aleacuteatoire
xr
Ecart type
relatif
n
RiRi xxn
xx1
22)(
1
Valeur reacuteelle
Agrave priori inconnuehellip
Standard deviation of random error
Ecart-type de
lerreur aleacuteatoire V
et s ont mecircme espeacuterancehellip
Homogegravene agrave la grandeur mesureacutee
n
ixn
x1
1
n
xx
)()(
Ecart-type de la moyenne de n mesures
24
Distributions drsquoerreurs (aleacuteatoires)
Gaussienne ou normale
Uniforme
Poissonnienne
Etchellip La plus reacutepandue gracircce au Theacuteoregraveme central limitehellip
e0
F(e)Courbe de distribution
de lerreur
Distributions of errors
Gaussian or normal
Uniform
Poissonnian
නminusinfin
0
119865 120576 119889120576 = න0
+infin
119865 120576 119889120576 = 05
A
Probabiliteacute P(A)= 119860 119865 120576 119889120576
13
25
Theacuteoregraveme central limite
Si une variable est la reacutesultante dungrand nombre de causes petites agrave effetadditif cette variable tend vers une loinormale
Cest agrave cause de cette interpreacutetation quela loi normale est tregraves souvent employeacuteecomme modegravele (malheureusement pastoujours agrave raison)
Demo
Central Limit Theorem
26
La distribution Gaussienne (ou normale)
0
01
02
03
04
05
3 2 0 2 3Ecart agrave la moyenne x-x = eacutecart-type
683 des valeurs
2 955 des valeurs
3 997 des valeurs
Proba largeur
50 067middotσ
68 1middotσ
70 104middotσ
87 15middotσ
90 165middotσ
95 196middotσ
99 256middotσ
997 3middotσ
999 328middotσ
99999 999 8 6middotσ
Tableau des coefficients laquo t raquo de Student
tXXprobaP R
=1-LOISTUDENT(tN2)
N= nb eacutechantillons utiliseacutes pour le calcul de s gt20
2
2
1
2
1)(
xx
exF
14
httpwwwjybaudotfrInferentielletstudenthtml
Le coefficient t de Student
tXXprobaP R
P=LOISTUDENT(tN2)
N= nb eacutechantillons utiliseacutes pour le calcul de s -1= nb de degreacutes de liberteacute
Coefs de Student t
intervalle de conf 900 950 980 990 999
p 01 005 002 001 0001
N=nb deg lib
1 631 1271 3182 6366 63662
2 292 430 696 992 3160
3 235 318 454 584 1292
4 213 278 375 460 861
5 202 257 336 403 687
6 194 245 314 371 596
7 189 236 300 350 541
8 186 231 290 336 504
9 183 226 282 325 478
10 181 223 276 317 459
12 178 218 268 305 432
14 176 214 262 298 414
17 174 211 257 290 397
20 172 209 253 285 385
30 170 204 246 275 365
40 168 202 242 270 355
50 168 201 240 268 350
100 166 198 236 263 339
100000 164 196 233 258 329
Relation eacutecart-type Gaussienne valable uniquement si eacutecart-type s parfaitement connu (n=infin)Pratiquement s issu dun calcul statistique-gtLoi de Student(tend vers gaussienne si n grand ngt20)
t=LOISTUDENTINVERSEBILATERALE(PN)
Rappel valable uniquement pour loi gaussienne
28
Distribution de Poisson
Ex comptage drsquoeacutevegravenements non simultaneacutes (deacutesinteacutegration radioactive queuehellip)
Moyenne m
Variance m
demo
15
29
Distribution Uniforme
Ex discreacutetisation de la mesurehellip
TP1
M-d2 M M+d2
d
Moyenne M
Ecart-type
Les tests drsquohypothegravese
30
Significance tests
bull Deacutemarche consistant agrave eacutevaluer une hypothegravese statistique agrave partir dun jeu de donneacutees (eacutechantillon)
bull Le reacutesultat du test nrsquoest pas absolu mais est une probabiliteacute qui est une aide agrave la validation ou non de lrsquohypothegravese initiale il ne constitue donc jamais une preuve
Tests parameacutetriques(hypothegravese sur distribution + ou ndash neacutecessaire)
1-sample T-test Comp Eacutechantillon agrave valeur de reacutefeacuterence intervalle de confiance
2-samples T-test Comparaison de 2 eacutechantillons
F-Test Comparaison de la variance de 2 eacutechantillons
ANOVA Analyse de variance analyse des variances de K eacutechantillons comparaison des moyennes
Chi-Square test Utilisation notamment pour veacuterifier une hypothegravese de distribution
Grubbsrsquo test Deacutetection des valeurs aberrantes (laquo outliers raquo)
Tests non parameacutetriques(pas drsquohypothegravese sur distribution)
Test WilcoxonMW Comparaison de 2 eacutechantillons meacutethode de rang
En rouge tests deacutecrits + loin sinon voir biblio ou google
16
31
95
one-sample T-test laquo simplifieacute raquoComparaison de la mesure M drsquoun eacutechantillon agrave une valeur de reacutefeacuterence R on suppose que la distribution est normale
Hypothegravesesbull laquo M est diffeacuterent de R raquobull laquo M est significativement diffeacuterent de R raquo
Cette hypothegravese de diffeacuterence H1 est retenue si sa probabiliteacute est supeacuterieure agrave 95 (par exemple) (ou si la probabiliteacute drsquoeacutegaliteacute est infeacuterieure agrave 5 (H2)
1 mesure M eacutecart-type estimeacute de la mesure s distr gaussienne
MR
-4srsquo -3srsquo -2srsquo ndashsrsquo 0 srsquo 2srsquo 3srsquo 4srsquo
Hypothegravese retenue si
stRM
si s est calculable laquo preacuteciseacutement raquo
(t=coef de Student)
H1 95 (ou H2 5)
H1 99 (ou H2 1)
H1 999 (ou H2 01)
t 196 256 328
Oui quasiment toujours agrave cause de lrsquoerreur aleacuteatoirehellip
bull laquo La diffeacuterence entre M et R nrsquoest pas due qursquoagrave lrsquoerreur aleacuteatoire raquo
ngt20 sinon tableau des coefs de Studenthellip
32
95
one-sample T-test laquo officiel raquo
Comparaison de la moyenne micro drsquoun eacutechantillon agrave une valeur de reacutefeacuterence R on suppose que la distribution est normaleHypothegravese laquo la diffeacuterence entre la moyenne de n mesures et une valeur de reacutefeacuterence nrsquoest pas due qursquoaux erreurs aleacuteatoires raquo
Cette hypothegravese est retenue si sa probabiliteacute est supeacuterieure agrave 95 (par exemple)
n mesures moyenne m eacutecart-type estimeacute de chaque mesure s
On montre (+ loinhellip) que lrsquoeacutecart-type estimeacute de la moyenne est n
ss
m R
-4srsquo -3srsquo -2srsquo ndashsrsquo 0 srsquo 2srsquo 3srsquo 4srsquo
Hypothegravese retenue si
n
stR m
si s est calculable laquo preacuteciseacutement raquo
(t=coef de Student)
H1 95 (ou H2 5)
H1 99 (ou H2 1)
H1 999 (ou H2 01)
t 196 256 328
17
one-sample T-test exemple
Hypothegravese laquo la diffeacuterenceentre la moyenne de npesages drsquoune masse eacutetalonde 1 kg et la valeur de cettemasse nrsquoest pas due qursquoauxerreurs aleacuteatoires raquo
n
stR m
n
s
Rt
m
1 104946993
2 111917309 Etalon R (kg) 10000
3 099865798
4 101040713
5 114655592
6 097054733
7 114894136
8 108005111 moyenne micro 104614199
9 103044121 Ecart-type s 005326172
10 098202478
11 105094267 00461
12 106252219
13 102608401
14 104961426 002381937 (t=2)
15 103483134 (n=20)
16 103475702
17 098306671
18 109287381
19 097490694
20 107697103
08
09
1
11
12
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
Rm
n
st
Il existe un laquo biais raquohellip
34
two-sample T-test
Comparaison de 2 moyennes de 2 eacutechantillons on suppose que la distribution est normaleHypothegravese laquo la diffeacuterence entre les 2 moyennes nrsquoest pas due qursquoaux erreurs aleacuteatoires raquo
Ech 1 Ech 2
Nb mesures n1 n2
Ecart type estimeacute s1 s2
Moyenne estimeacutee m1 m2
Comparaison de m1 et m2Peut se ramener agrave un 1-sample-test en comparant |m1-m2| agrave 0
On prend alors comme eacutecart-type de |m1-m2|
2
2
2
1
2
1
n
s
n
ss
(deacutemontreacute dans partie laquo lois de propagation de lrsquoerreur raquo)
Et le nombre de degreacutes de liberteacute est en 1ere approx n1+n2-2
st21 mmHypothegravese retenue si
Cette hypothegravese est retenue si sa probabiliteacute est supeacuterieure agrave 95 (par exemple)
2
2
2
1
2
121
n
s
n
st mm
18
two-sample T-test exemple
2
2
2
1
2
121
n
s
n
st mm
op1 op2 op1 op2
359385514 349673556 moyenne micro 354463973 355551443
358810682 350481358 eacutecart-type s 004510027 004809217
353371004 347201328
352760094 3553306 |micro1-micro2| 00108747344867115 357512954
351024893 355717682
360880932 362969549
353927667 366487781 00139361355719746 354702026
352552333 354598904 n 43 t=2
349798625 348741103
349706929 356409401 st 002787228
356771949 356622487
359781434 354564972
354032574 350388551
357799787 365577103
349003712 355839436
357276739 353637213
361263276 357229694
350544464 356392763
360261554
352637678
35652033
358384532
350903522
33
335
34
345
35
355
36
365
37
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25
2
2
2
1
2
1
n
s
n
ss
Hypothegravese laquo la diffeacuterence entre les moyennes de pesages drsquoune mecircme masse par 2 opeacuterateurs nrsquoest pas due qursquoaux erreurs aleacuteatoires raquo
1 2
Il existe un laquo biais entre les 2 opeacuterateursraquohellip
TP2
36
Intervalle de confianceLintervalle de confiance agrave p (95) drsquoune mesure x est un intervalle de valeurs qui a une probabiliteacute centreacutee p (95) de contenir la vraie valeur xR du paramegravetre estimeacute
xx
La calcul de et en fonction de la probabiliteacute P (geacuteneacuteralement 95) deacutepend de la loi de
distribution de lerreur
0
et = incertitude agrave p (95)
Distribution symeacutetrique
bull =
bullValeur moyenne de la mesure
= la plus probable0
Confidence interval
21)()( pxxPxxP RR
Distribution normale
19
37
Intervalle de confiance cas de la distribution normale
Lintervalle de confiance agrave p (95) drsquoune mesure x est un intervalle de valeurs qui a une probabiliteacute centreacutee p (95) de contenir la vraie valeur xR du paramegravetre estimeacute
xx
0
01
02
03
04
05
3 2 0 2 3Ecart agrave la moyenne x-x = eacutecart-type
683 des mesures
2 955 des mesures
3 997 des mesures
stxstx
Coefs de Student t
intervalle de conf 900 950 980 990 999
p 01 005 002 001 0001
deg lib
1 631 1271 3182 6366 63662
2 292 430 696 992 3160
3 235 318 454 584 1292
4 213 278 375 460 861
5 202 257 336 403 687
6 194 245 314 371 596
7 189 236 300 350 541
8 186 231 290 336 504
9 183 226 282 325 478
10 181 223 276 317 459
12 178 218 268 305 432
14 176 214 262 298 414
17 174 211 257 290 397
20 172 209 253 285 385
30 170 204 246 275 365
40 168 202 242 270 355
50 168 201 240 268 350
100 166 198 236 263 339
100000 164 196 233 258 329
38
Loi normale
95
Eacutecriture drsquoune mesure (distribution normale)
Le reacutesultat drsquoune mesure doit comporter 4 eacuteleacutements Ex CNO = 1253 ppb 17 ppb (agrave 95 ou t=2)
1 2 3 41 Valeur numeacuterique avec un nombre correct de deacutecimales2 Uniteacute3 Incertitude eacutelargie = t4 Le coefficient drsquoeacutelargissement t utiliseacute
Probabiliteacute en pour que la valeur reacuteelle
soit dans lrsquointervalle tsxtsx
1 Numerical value with a correct number of decimals2 Unit3 expanded uncertainty = ts4 Coverage factor t
20
39
Eacutevaluation de lrsquoincertitude
Eacutevaluation par analyse statistique de seacuteries de mesures (laquo type A raquo)
(geacuteneacuteralement mesure mais aussi simulation)
Eacutevaluation par calcul de lrsquoeffet sur lrsquoincertitude finale des diffeacuterentes
sources drsquoincertitude (laquo type B raquo laquo par tout autre moyen raquo) elles mecircme
eacutevalueacutees
par une meacutethode de type A
par des donneacutees constructeur drsquoeacutetalonnage etchellip
Il est alors neacutecessaire de connaicirctre les lois de propagation de
lrsquoerreurhellip
GUM Guide to the expression of Uncertainly in Measurement (1993)
Norme Franccedilaise X 07-020 AFNOR Aoucirct 1999
40
Eacutevaluation par analyse statistique de seacuteries de mesures
V
VERR
0
R0
R E
V mesureacute
0
0
RR
REV
Mesure et calcul avec un grand nombre N
de reacutesistances laquo eacutetalon raquo (R connu)
Calcul de lrsquoeacutecart-type
(en fait eacutecart-type estimeacute shellip)
Incertitude agrave 95 = t 2 (si Ngt15hellip)
Ne tient pas compte
-De lrsquoincertitude du Vmegravetre (V)
-Des incertitudes sur E R0 les reacutesistances
eacutetalonhellip
Exemple eacutevaluation drsquoune meacutethode de mesure drsquoune reacutesistance
21
41
Eacutevaluation par calcul de lrsquoeffet sur lrsquoincertitude finale des diffeacuterentes sources drsquoincertitude
V
VERR
0
2
2
0
2
0
2
0 )()()()(
V
V
ERE
V
RR
U
UER
(R0) (E) (V) connus
R0
R E
V mesureacute
Explication
Loi de propagation des eacutecart-types
combined standard uncertainty
Exemple eacutevaluation drsquoune meacutethode de mesure drsquoune reacutesistance
Quelle est la peseacutee la plus preacutecise
22
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes (1)
Exemple de la somme s=a+b
es
eb
ea
es=ea+ebRappel les erreurs srsquoajoutent algeacutebriquement
Et leur eacutecart-type
combined standard uncertainty for random amp independant errors
a b a+b282 151 433
261 171 432
264 168 432
345 202 548
332 190 523
279 208 488
317 155 472
270 209 479
310 186 496
340 156 495
moyenne 300 180 480 480 somme moyennes
variance 011 005 016 016 somme variances
ecartype 033 023 039 055 somme eacutecart-types
000
100
200
300
400
500
600
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
a
b
a+b
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes (2)
Exemple de la somme s=a+b
Erreur aleacuteatoire
)()()( bas
)()()( bVaraVarbaVar
Les eacutecart-types ne srsquoajoutent pas
Les variances si
22baba 222
baba
Les eacutecart-types srsquoajoutent quadratiquement Si les erreurs sont indeacutependantes et aleacuteatoires
23
Quelle est la peseacutee la plus preacutecise
2
2
2
1 PIPIPI
54321 PPPPPP
2)(5 pIPI
)(5 pIPI
gkgP 2425
Rappel loi de propagation drsquoune laquo petite raquo erreur
n
i
i
xx
fy
1
)(
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
)(xfy xdx
dfxfxxf )()(
xdx
dfy
Cas particulier produit-exposant
(Th accroissements finis)
Proprieacuteteacute de la deacuteriveacutee logarithmique
119910 =119886 119887 1198883
11988912
∆119910
119910=
∆119886
119886+
∆119887
119887+ 3
∆119888
119888- 12
∆119889
119889
24
Loi de propagation de la variance et de lrsquoeacutecart-type
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
La variance est additive donc si les variables xi sont indeacutependantes
)()(1
n
i
i
xVx
fyV
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fy
Ecart type V(x)=((x))2
)(2)()(1
1 11
2
2
2
ji
n
i
n
ij ji
i
n
i
xxx
f
x
fx
x
fy Cov
Cas geacuteneacuteral (variables non indeacutependantes)
(non deacutemontreacutehellip)
48
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires (1)
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fyI I
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
Incertitude pour une distr normale I(y)=t(y) geacuteneacuteralement t~2
Sibull mecircmes coefs drsquoeacutelargissement tbull variables xi indeacutependantes
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fy
25
49
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes cas particuliers (1)
Ex somme ou diffeacuterence
cbay
222 )()()()( cbay
i
ii xay i
ii xay 2))(()( Combinaison lineacuteaire
n
ixn
x1
1
n
xx
nx
n )()(
1)(
1
2
Application fondamentale en instrumentation La moyenne
Demo
Loi des grands nombres
50
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires cas particuliers (2)
Produits et puissances
i
iixAy
i i
ii
x
x
y
y2
)()(
Somme quadratique des eacutecart-types relatifs
x
x)(Proprieacuteteacute inteacuteressante des eacutecart-types relatifs
21
3
d
cbay
2222)(
21)(
3)()()(
d
d
c
c
b
b
a
a
y
y
Exemple
TP3
Idem pour incertitudes I si I=t partout
26
51
Lois de propagation des erreurs aleacuteatoires exemple de la droite drsquoeacutetalonnage
Etalonnage
Deacutebit D=aV
0 le D le 10 Lh
a=08 LhmV plusmn001 (t=2)
Inc Sur V 01 mV (t=2)
Incertitude relative sur deacutebit Den fonction du deacutebit
22)()()(
V
VI
a
aI
D
DI
V = tension fournie par capteurhellip
22)()(
D
VaI
a
aI
Mesure des faibles valeurs peu preacutecise
a = inverse de la sensibiliteacute
Si D 0
Calcul de lrsquoincertitude par simulation de lrsquoerreur aleacuteatoire
ou meacutethode de Monte-Carlo
Ex y=f(x1x2)
x1 et x2 ont des erreurs aleacuteatoires (pas forcement indeacutependantes) caracteacuteriseacutees par
leur eacutecart-type s1 et s2
bullSimuler un certain nombre drsquoexpeacuteriences avec les
mecircmes valeurs x1 et x2 + erreur aleacuteatoire (tirages ne)
yi=f(x1+e1x2+e2) N fois
bullCalcul de lrsquoeacutecart type des yi
bullLes ei sont calculeacutes agrave lrsquoaide drsquoun geacuteneacuterateur de nombre
aleacuteatoires agrave distribution adeacutequate (geacuteneacuteralement normale)
Excel =LOINORMALEINVERSE(ALEA()0eacutecart-type)TP4
27
Calcul de lrsquoincertitude par simulation de lrsquoerreur aleacuteatoire exemple
moyenne des D 50012 Dmax 100000
Deacutebit 50000 E Type des D 00526 a 08000
tension V 62500 Incertitude 01052 I(a) 00100
I(V) 01000
Ndeg tirage (400) erreur sur a erreur sur V valeur a valeur V D=aV
1 -00010 00253 07990 62753 50142
2 00011 -00518 08011 61982 49654
3 00032 00436 08032 62936 50551
4 -00098 00026 07902 62526 49407
5 00021 00867 08021 63367 50824
6 -00064 -00202 07936 62298 49437
7 00017 -00820 08017 61680 49450
8 -00065 00444 07935 62944 49949
9 00009 00757 08009 63257 50663
10 -00049 -00318 07951 62182 49439
11 00130 00109 08130 62609 50901
12 00004 00084 08004 62584 50092
13 -00046 00031 07954 62531 49737
14 -00024 00249 07976 62749 50049
15 00047 00311 08047 62811 50543
16 -00021 -00251 07979 62249 49668
D=aV
0 le D le 10 Lh
a=08 LhmV plusmn001 (t=2)
Inc Sur V = 01 mV (t=2)
Tirage aleacuteatoire normal
+
LOINORMALEINVERSE(ALEA()0eacutecart-type)
Les erreurs srsquoajoutent algeacutebriquement
54
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation
La discreacutetisation intervient lorsque les valeurs finales constituent un ensemble discret
Reacutesolution d du systegraveme drsquoacquisition agrave ne pas confondre avec lrsquoincertitude ou la sensibiliteacute
d
V
0
001
002
003
004
005
006
007
008
009
01
0 005 01
Tension reacuteelle
Ten
sion
aff
icheacutee
Discretization uncertainty
28
55
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (2)
32
d dEcart type de lrsquoerreur due agrave la discreacutetisation
295295
0
95
dIII Incertitude totale
5d 6d 7d
Erreur maxi d2
Approximatif Monte-Carlo parfois preacutefeacuterablehellip
Incertitude agrave 95 due agrave la discreacutetisation 2d 2975095 ddINon
058d 0485d
295 ddI
56
Le laquo Dithering raquo
La preacutesence drsquoerreur aleacuteatoire permet ici drsquoameacuteliorer la laquo preacutecision raquo de la mesure
Pas de laquo bruit raquo pas de moyennage Pas de laquo bruit raquo moyenne 50
signaux
laquo bruit raquo pas de moyennage laquo bruit raquo moyenne 50 signaux
La meacutethode du moyennage peut reacuteduire aussi lrsquoerreur de discreacutetisation (= quantification)
On peut gagner 1 bit de reacutesolution chaque fois que lrsquoon multiplie par 4 la freacutequence drsquoeacutechantillonnagehellip
hellip agrave condition que le signal avant numeacuterisation contienne un bruit (aleacuteatoire et indeacutependant) de valeur efficace supeacuterieure agrave la reacutesolution initialehellip
demo
29
57
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (3) les deacutecimales significatives
Ecriture drsquoun nombre avec un nombre de chiffres fini Erreur de discreacutetisation
Pour une mesure lrsquoeacutecart type de lrsquoerreur introduite doit ecirctre petit devant celui
de lrsquoerreur de mesure initiale
Ex mesure = 4382659872 Eacutecart-type mesure = 055 (soit 0125 en relatif)
Doit-on eacutecrire
4382659872
438265
4383
Mais les systegravemes numeacuteriques peuvent donner beaucoup de chiffres significatifshellip
438
58
Mesure afficheacutee
reacutesolution
ET erreur discreacutetisation
ET erreur finale drsquoerreur due agrave la discreacutetisation
438265987
0000001
29 10-7 055 lt 10-3
43827
001
29 10-3 0550008 10-3
4383
01
0029 05506 014
438
1
029 062 13
440
10
289 294 434
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (4) les deacutecimales significatives exemple
32
d d
22 )()( dxX
Ex mesure = 4382659872 Eacutecart-type mesure = (x)= 055 (soit 0125 en relatif)
bullOn peut choisir la reacutesolution immeacutediatement plus petite que lrsquoeacutecart-type de la mesure
bullLrsquoeacutecart-type (ou lrsquoincertitude) afficheacute ne doit pas avoir plus de 2 chiffres significatifs
30
Capabiliteacute drsquoun systegraveme de mesure
Va deacutependre de la toleacuterance deacutesireacuteehellip
hellip et du coucirct de la mesure
capabiliteacute dun moyen de mesure = rapport entre lincertitude U du moyen de mesure et la toleacuterance IT exigeacutee
Veacuterification de la toleacuterance
Normes franccedilaises
( toleacuterance = exigence du client en terme de caracteacuteristique mesurable)
Toleacuterance capabiliteacute drsquoun systegraveme de mesure
T
Notion de risque-risque laquo client raquo(piegravece agrave rejeter mais retenue)-risque laquo fabricant raquo(piegravece agrave retenir mais rejeteacutee)
Mesure moyenne
T
Piegravece agrave rejeterPiegravece agrave retenir
T=ToleacuteranceU=incertitude
Distrib des erreurs de fabrication
Val reacuteelle
31
Reacuteconciliation des donneacutees
61
D1
I(D1)
D2
I(D2)
D3
I(D3)
bull 3 mesures redondantes (car en theacuteorie D1=D2+D3)bull A cause des incertitudes on nrsquoa jamais exactement D1=D2+D3
bull Comment (in)valider les mesures
Reacuteconciliation des donneacutees
bull La redondance permet aussi de reacuteduire lrsquoincertitude (cf moyenne)
Dernier TPhellip
Limite de deacutetection - LDD (1)Limit of Detection - LOD
6280
Pic de signal ou bruit de fond
LDD plus petite valeur non nulle mesurable pour une certaine probabiliteacute drsquoerreur sur le fait que la valeur vraie est nulle ou non
Seuil de deacutecision deacutetection si (Mesure gt Seuil deacutecision)
2 types drsquoerreur de deacutecision Type 1 deacutetection signal alors qursquoil est absent (faux positif)
Type 2 non deacutetection signal alors qursquoil est preacutesent (faux neacutegatif)
32
Limite de deacutetection (2)
6380
Type 1 deacutetection signal alors qursquoil est absent (faux positif)
Exemple probabiliteacute de 5 drsquoerreur de type 1 ou 2
Type 2 non deacutetection signal alors qursquoil est preacutesent (faux neacutegatif)
165
5
Proba = 5 si seuil de deacutecision = 165
Si mecircme seuil de deacutecision (165) mecircme proba drsquoerreur si signal agrave 2 fois le seuil de deacutecision = 33
2x165
5
Limite de deacutetection (3)
0
0
0
0
0
0
0
0
165 33
Niveau signal
seuil de decision type 1 type 2 gt0
nb erreurs 9 9
bonnes deacutecisions 955
eacutecart type bruit analyseur 10
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
1
signal theacuteorique
signal reacuteel
seuil de deacutecision
erreur type 1
erreur type 2
-20 0 20 40 60 80
Si distr normale et probabiliteacute de 95LDD=33
On prend geacuteneacuteralement LDD=3 = eacutecart-type de la mesure laquo proche de zeacutero raquo
33
Etalonnage drsquoun systegraveme de mesure
Etalonnage laquo Opeacuteration consistant agrave eacutetablir une relation entre les valeurs de la grandeur indiqueacutees par un appareil de mesure et les valeurs correspondantes de la grandeur reacutealiseacutees par des eacutetalons raquo (VIM)
160
165
170
175
180
185
190
195
0 20 40 60 80 100
H
C pF
66
Etalonnage Creacuteation drsquoun modegravele de comportement
ETALONNAGE
Variables Xmesureacutees
(capteurs)
Variables Ymesureacutees(analyseshellip)
modegravele ou
Preacutedicteur F
Creacuteation modegravele
de comportement
Y=F(X)
PREDICTION
Variables Xmesureacutees(capteurs)
Estimation des
variables Y
Modegravele
Calcul de
preacutedictiontensions
Calibration Creation of a behavior model
34
67
Eacutetalonnage - calibrage
Eacutetalonnage (calibration) = calcul complet du modegravele neacutecessite un laquo grand raquo nombre drsquoexpeacuteriences
tension
pression
bull Calibrage ou ajustement de zeacutero (zero adjustment) = laquo recalage raquo du modegravele neacutecessite 1 expeacuterience (laquo zeacutero raquo) voire 2 (laquo zeacutero + gain raquo)
tension
pression
bullCorrection variations de fabrication
bullCorrection deacuterive
bullCorrection changement conditions expeacuterimentales (tempeacuterature tarage drsquoune balancehellip)
bullEtchellip
Si le modegravele nrsquoest pas lineacuteaire le calibrage ne peut corriger que de faibles variationshellip
68
Les moindres carreacutes
Meacutethode des moindres carreacutes (monovariable)
laquo minimal raquo pour lrsquoensemble des mesures en trouvant la
fonction optimale f
On veut modeacuteliser pour toutes les mesures (i) ෝ119962119946 = 119839(119961119946) en fait agrave partir
des expeacuteriences on a 119962119946 = 119839 119961119946 + 119942119946 ougrave 119942119946 = laquo reacutesidu raquo ou erreur
On utilise geacuteneacuteralement la distance Euclidienne
laquo minimale raquo en optimisant les 120637119947
The least Squares
120637119947 repreacutesente ici le ou les paramegravetres de la fonction agrave optimiser f (ex coefs polynocircme)
119942119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947
119946
119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947120784
35
69
La reacutegression lineacuteaire
Monovariable (y=f(x) ) + hypothegravese lineacuteaire (y=ax+b)
2 cas
X
Minimisations des erreurs sur Y
Reacutegression de yx
ybaxy e
Y
Minimisation des erreurs sur X
X
Reacutegression de xy
xbyax e ˆ
1ˆ
a
bx
ay
Attention une reacutegression de yx avec des
erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne une
erreur systeacutematique sur la pentehellip
Y
Linear regression
70
La reacutegression lineacuteaire yx ou xy
Attention une reacutegression de yx avec des erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne
une erreur systeacutematique sur la pentehellip
Diffeacuterence neacutegligeable dans une majoriteacute de cashellip
y = 10036x - 00354
-2
0
2
4
6
8
10
12
-2 0 2 4 6 8 10 12
y = 06669x + 16244
-2
0
2
4
6
8
10
12
-2 0 2 4 6 8 10 12
Reacutegression YX Reacutegression XY
36
71
Caracteacuteristiques de la reacutegression yx
Estimations de a et b
)(
)(
)x(x
)y)(yx(x
=a2
i
i
ii
xVar
yxCov
i
xayb
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
Calcul Excel agrave lrsquoaide debull Courbe de tendancebull droitereg
72
Erreur lieacutee agrave la mesure
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
2n
)y(yi
2
ii
yx
s
Ecart Type des reacutesidus
= ET de lrsquoerreur lieacutee agrave la mesure= ET de preacutediction que lrsquoon aurait (mecircmes conditions) si le modegravele eacutetait sans erreur
Mais le modegravele nrsquoest jamais exact
Erreur que lrsquoon aurait mecircme si le modegravele eacutetait parfait agrave cause de lrsquoerreur aleacuteatoire sur xhellipRepreacutesenteacutee par lrsquohellip
Rappel reacutesidu = eacutecart entre valeur preacutedite (sur droite de regression donc) et valeur expeacuterimentale
37
73
Erreur de modeacutelisation
Estimations incertitudes de a et b
baxy ˆ
Y
i
xyss
2
i
a
)x(xEcart type de la pente
i
i
i
xybn
x
ss2
i
2
)x(x
Ecart type de lrsquoordonneacutee agrave lrsquoorigine
Calcul Excel agrave lrsquoaide de la fonction laquo droitereg raquo
temps h tension
0 300E-05
1 440E-05
2 900E-05
3 900E-05
4 100E-04
formule =DROITEREG(YX11)
pente 00000186 00000336 OAO
s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO
R 0870821587 130792E-05 s(resid)
2022369447 3 N DL
34596E-09 5132E-10000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5TP5
Incertitude de preacutediction
74
2
2
11)ˆ(
xx
xX
mstYI
i
xy
bull m= nb eacutechantillons deacutetalonnagebull xi = valeurs deacutetalonnage dont moyenne xbull X = valeur deacutechantillon de preacutedictionbull Syx = eacutecart-type des reacutesidus
x
E Lieacutee agrave la mesure
E Type du modegravele
bull Si modegravele laquo parfait raquo (ou m grand) xystYI )ˆ(
bull Lrsquoincertitude augmente si X srsquoeacuteloigne de (problegraveme de lrsquoextrapolation) x
bull Deacutepend (un peuhellip) de X
I(pred)2=I(lieacutee agrave la mesure)2 + I(modelisation)2
TP6
38
75
Mesure de la qualiteacute dajustement dune reacutegression lineacuteaire
Var(Y) = Var( aX+b) + Var(e
information totale = information modeacuteliseacutee + information reacutesiduelle
Coef De deacutetermination
totale)Var(info
modeacuteliseacutee) Var(infodR
)()(
)(
YX
YXCovRc
Coef de correacutelation
Rd=Rc2
Y
76
Le coef de correacutelation utilisation
0
5
10
15
20
25
30
35
0 2 4 6 8 10 12
R=075
0
5
10
15
20
25
0 2 4 6 8 10 12
R=075
-100
0
100
200
300
400
500
600
0 5 10 15
R=075
Le cœfficient de correacutelation ne sert
agrave quantifier que les relations
lineacuteaires entre X et Yvariables
Il perd toute signification degraves lors
que les reacutesidus
R=08
R=08
R=08
39
77
Reacutegression lineacuteaire examen des reacutesidus
Veacuterification lineacuteariteacute
A corriger
eacuteventuellement avec
reacutegression non lineacuteaire
Deacutetection points
aberrants (outliers)A eacuteliminer apregraves
veacuterification et avec
preacutecautionshellip
Ri=yi-(axi+b)
Reacutesidu = information non
modeacuteliseacutee ideacutealement
erreur aleacuteatoire
residuals
paramegravetres modeacutelisation des donneacutees
ET bruit
v0
v1
a
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
850
900
950
y = 07063x - 39517
-100
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (m
V)
courant (mA)
Valeurs mesureacutees
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (
mV
)
courant (mA)
Graphe des reacutesidus mesure - droiteregr
78
Reacutegression non lineacuteaire reacutegression polynomiale
Ex courbe de
tendance dExcel
temps h
0
1
2
3
4
000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5
Permet de modeacuteliser la plupart des problegravemes peu non lineacuteaireshellip
demo TP7
40
79
Biblio amp liens utilesBouquins
Statistics for analytical Chemistry 3 rd ed JC Miller and JN Miller John Wiley amp Sons 1998
Multivariate Statistical Methods A Primer BFJ Monley Chapman amp Hall 1986
Modeacutelisation et estimation des erreurs de mesure M Neuilly CETAMA Lavoisier Paris 1993
Sites WWW
httpphysicsnistgovcuuUncertaintyindexhtml excellent site simple et succinct mais de reacutefeacuterence
sur la calcul des incertitudes ce document sen est beaucoup inspireacute Un cours plus complet de
statistiques est disponible agrave httpwwwitlnistgovdiv898handbook
httpswwwansesfrfrcontentguide-de-validation-des-mC3A9thodes-danalyses-des-laboratoires-de-rC3A9fC3A9rence Guide de lrsquoANSES Agence nationale de seacutecuriteacute sanitaire
de lrsquoalimentation de lrsquoenvironnement et du travail
httpwwwjybaudotfrStatsstatshtml Encyclopeacutedie des stats de Jean-Yves Baudot agrave la foi preacutecis vulgarisateur et marrant un challenge en statistiques
httpfrfreestatisticsinfoindexphp Collection de liens et surtout de Freewares sur les stats
8062
La norme AFNOR la plus utiliseacutee
httpwwwasqualabcomdocumentsqualitemetrologie19-unites_pifometriquespdf
9
Vocabulaire (4)
17
Deacuterive Lente variation du signal de sortie en fonction du temps ou de la tempeacuterature agrave entreacutee constante
Limite de deacutetection drsquoun SDM plus petite valeur non nulle mesurable pour une certaine probabiliteacute drsquoerreur sur le fait que la valeur vraie est nulle ou non
ReacutepeacutetabiliteacuteEtroitesse de lrsquoaccord entre les valeurs obtenues par des mesurages
reacutepeacuteteacutes dans les mecircmes conditions (lieacutee agrave erreur aleacuteatoire)
ReproductibiliteacuteEtroitesse de lrsquoaccord entre les valeurs obtenues par des mesurages
reacutepeacuteteacutes en faisant varier certaines conditions de mesure
Systegraveme de mesure
18
Quelques rappels sur lerreur et lincertitudehellip
Erreur systeacutematique eB
Systematic error
Erreur accidentelle ou aleacuteatoire eA
Random or accidental error
Mesure x drsquoune variable de valeur reacuteelle xR
ABRxx ee Erreur variable e=xR-x
10
19
Erreur systeacutematique ou aleacuteatoire
Par deacutefinition lerreur aleacuteatoire est impreacutevisible (et donc non corrigeable) et de valeur moyenne nulle
Le caractegravere systeacutematique ou aleacuteatoire de lerreur peut deacutependre du contextehellip
20
Erreur systeacutematique ou aleacuteatoire
Ex mesure dune masse agrave laide dune balance numeacuterique
ea Erreur aleacuteatoire non expliqueacutee
eT Deacuterive en tempeacuterature
eo Erreur opeacuterateur
eu Erreur propre agrave lappareil
es Erreur systeacutematique de la seacuterie ()
Erreur e= ea+eT+eo+eu+es
Conditions des expeacuteriences ea eT eo eu es
1 opeacuterateur le mecircme jour 1 appareil
Idem + eacutetaleacute sur plusieurs jours
Idem + plusieurs opeacuterateurs
Idem + tests sur un lot dappareils
11
Encore du vocabulairehellip
21
Erreur aleacuteatoire
Reacutepeacutetabiliteacute fideacuteliteacute
Variables influenccedilantes
Erreur systeacutematique
biaisjustesse
Reproductibiliteacute
exactitude
22
Caracteacuterisation de la mesure
Moyenne estimeacutee de n mesures dune mecircme valeur xR
n
ixn
x1
1
xR = valeur reacuteelle
R
n
xx
)lim(
(loi des grands nombres)
Estimated mean
Law of large numbers
(Si erreur aleacuteatoire)
2RxxV Variance (de lrsquoerreur aleacuteatoire)
Variance (of random error)Homogegravene au carreacute de la
grandeur mesureacutee
Caracteacuterisation de lrsquoerreur aleacuteatoire
=Moyenne du carreacute de lrsquoerreur
12
23
n
i xxn
s1
2)(1
1Ecart-type estimeacute de
lerreur aleacuteatoire
Ecart-type de lerreur aleacuteatoire
xr
Ecart type
relatif
n
RiRi xxn
xx1
22)(
1
Valeur reacuteelle
Agrave priori inconnuehellip
Standard deviation of random error
Ecart-type de
lerreur aleacuteatoire V
et s ont mecircme espeacuterancehellip
Homogegravene agrave la grandeur mesureacutee
n
ixn
x1
1
n
xx
)()(
Ecart-type de la moyenne de n mesures
24
Distributions drsquoerreurs (aleacuteatoires)
Gaussienne ou normale
Uniforme
Poissonnienne
Etchellip La plus reacutepandue gracircce au Theacuteoregraveme central limitehellip
e0
F(e)Courbe de distribution
de lerreur
Distributions of errors
Gaussian or normal
Uniform
Poissonnian
නminusinfin
0
119865 120576 119889120576 = න0
+infin
119865 120576 119889120576 = 05
A
Probabiliteacute P(A)= 119860 119865 120576 119889120576
13
25
Theacuteoregraveme central limite
Si une variable est la reacutesultante dungrand nombre de causes petites agrave effetadditif cette variable tend vers une loinormale
Cest agrave cause de cette interpreacutetation quela loi normale est tregraves souvent employeacuteecomme modegravele (malheureusement pastoujours agrave raison)
Demo
Central Limit Theorem
26
La distribution Gaussienne (ou normale)
0
01
02
03
04
05
3 2 0 2 3Ecart agrave la moyenne x-x = eacutecart-type
683 des valeurs
2 955 des valeurs
3 997 des valeurs
Proba largeur
50 067middotσ
68 1middotσ
70 104middotσ
87 15middotσ
90 165middotσ
95 196middotσ
99 256middotσ
997 3middotσ
999 328middotσ
99999 999 8 6middotσ
Tableau des coefficients laquo t raquo de Student
tXXprobaP R
=1-LOISTUDENT(tN2)
N= nb eacutechantillons utiliseacutes pour le calcul de s gt20
2
2
1
2
1)(
xx
exF
14
httpwwwjybaudotfrInferentielletstudenthtml
Le coefficient t de Student
tXXprobaP R
P=LOISTUDENT(tN2)
N= nb eacutechantillons utiliseacutes pour le calcul de s -1= nb de degreacutes de liberteacute
Coefs de Student t
intervalle de conf 900 950 980 990 999
p 01 005 002 001 0001
N=nb deg lib
1 631 1271 3182 6366 63662
2 292 430 696 992 3160
3 235 318 454 584 1292
4 213 278 375 460 861
5 202 257 336 403 687
6 194 245 314 371 596
7 189 236 300 350 541
8 186 231 290 336 504
9 183 226 282 325 478
10 181 223 276 317 459
12 178 218 268 305 432
14 176 214 262 298 414
17 174 211 257 290 397
20 172 209 253 285 385
30 170 204 246 275 365
40 168 202 242 270 355
50 168 201 240 268 350
100 166 198 236 263 339
100000 164 196 233 258 329
Relation eacutecart-type Gaussienne valable uniquement si eacutecart-type s parfaitement connu (n=infin)Pratiquement s issu dun calcul statistique-gtLoi de Student(tend vers gaussienne si n grand ngt20)
t=LOISTUDENTINVERSEBILATERALE(PN)
Rappel valable uniquement pour loi gaussienne
28
Distribution de Poisson
Ex comptage drsquoeacutevegravenements non simultaneacutes (deacutesinteacutegration radioactive queuehellip)
Moyenne m
Variance m
demo
15
29
Distribution Uniforme
Ex discreacutetisation de la mesurehellip
TP1
M-d2 M M+d2
d
Moyenne M
Ecart-type
Les tests drsquohypothegravese
30
Significance tests
bull Deacutemarche consistant agrave eacutevaluer une hypothegravese statistique agrave partir dun jeu de donneacutees (eacutechantillon)
bull Le reacutesultat du test nrsquoest pas absolu mais est une probabiliteacute qui est une aide agrave la validation ou non de lrsquohypothegravese initiale il ne constitue donc jamais une preuve
Tests parameacutetriques(hypothegravese sur distribution + ou ndash neacutecessaire)
1-sample T-test Comp Eacutechantillon agrave valeur de reacutefeacuterence intervalle de confiance
2-samples T-test Comparaison de 2 eacutechantillons
F-Test Comparaison de la variance de 2 eacutechantillons
ANOVA Analyse de variance analyse des variances de K eacutechantillons comparaison des moyennes
Chi-Square test Utilisation notamment pour veacuterifier une hypothegravese de distribution
Grubbsrsquo test Deacutetection des valeurs aberrantes (laquo outliers raquo)
Tests non parameacutetriques(pas drsquohypothegravese sur distribution)
Test WilcoxonMW Comparaison de 2 eacutechantillons meacutethode de rang
En rouge tests deacutecrits + loin sinon voir biblio ou google
16
31
95
one-sample T-test laquo simplifieacute raquoComparaison de la mesure M drsquoun eacutechantillon agrave une valeur de reacutefeacuterence R on suppose que la distribution est normale
Hypothegravesesbull laquo M est diffeacuterent de R raquobull laquo M est significativement diffeacuterent de R raquo
Cette hypothegravese de diffeacuterence H1 est retenue si sa probabiliteacute est supeacuterieure agrave 95 (par exemple) (ou si la probabiliteacute drsquoeacutegaliteacute est infeacuterieure agrave 5 (H2)
1 mesure M eacutecart-type estimeacute de la mesure s distr gaussienne
MR
-4srsquo -3srsquo -2srsquo ndashsrsquo 0 srsquo 2srsquo 3srsquo 4srsquo
Hypothegravese retenue si
stRM
si s est calculable laquo preacuteciseacutement raquo
(t=coef de Student)
H1 95 (ou H2 5)
H1 99 (ou H2 1)
H1 999 (ou H2 01)
t 196 256 328
Oui quasiment toujours agrave cause de lrsquoerreur aleacuteatoirehellip
bull laquo La diffeacuterence entre M et R nrsquoest pas due qursquoagrave lrsquoerreur aleacuteatoire raquo
ngt20 sinon tableau des coefs de Studenthellip
32
95
one-sample T-test laquo officiel raquo
Comparaison de la moyenne micro drsquoun eacutechantillon agrave une valeur de reacutefeacuterence R on suppose que la distribution est normaleHypothegravese laquo la diffeacuterence entre la moyenne de n mesures et une valeur de reacutefeacuterence nrsquoest pas due qursquoaux erreurs aleacuteatoires raquo
Cette hypothegravese est retenue si sa probabiliteacute est supeacuterieure agrave 95 (par exemple)
n mesures moyenne m eacutecart-type estimeacute de chaque mesure s
On montre (+ loinhellip) que lrsquoeacutecart-type estimeacute de la moyenne est n
ss
m R
-4srsquo -3srsquo -2srsquo ndashsrsquo 0 srsquo 2srsquo 3srsquo 4srsquo
Hypothegravese retenue si
n
stR m
si s est calculable laquo preacuteciseacutement raquo
(t=coef de Student)
H1 95 (ou H2 5)
H1 99 (ou H2 1)
H1 999 (ou H2 01)
t 196 256 328
17
one-sample T-test exemple
Hypothegravese laquo la diffeacuterenceentre la moyenne de npesages drsquoune masse eacutetalonde 1 kg et la valeur de cettemasse nrsquoest pas due qursquoauxerreurs aleacuteatoires raquo
n
stR m
n
s
Rt
m
1 104946993
2 111917309 Etalon R (kg) 10000
3 099865798
4 101040713
5 114655592
6 097054733
7 114894136
8 108005111 moyenne micro 104614199
9 103044121 Ecart-type s 005326172
10 098202478
11 105094267 00461
12 106252219
13 102608401
14 104961426 002381937 (t=2)
15 103483134 (n=20)
16 103475702
17 098306671
18 109287381
19 097490694
20 107697103
08
09
1
11
12
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
Rm
n
st
Il existe un laquo biais raquohellip
34
two-sample T-test
Comparaison de 2 moyennes de 2 eacutechantillons on suppose que la distribution est normaleHypothegravese laquo la diffeacuterence entre les 2 moyennes nrsquoest pas due qursquoaux erreurs aleacuteatoires raquo
Ech 1 Ech 2
Nb mesures n1 n2
Ecart type estimeacute s1 s2
Moyenne estimeacutee m1 m2
Comparaison de m1 et m2Peut se ramener agrave un 1-sample-test en comparant |m1-m2| agrave 0
On prend alors comme eacutecart-type de |m1-m2|
2
2
2
1
2
1
n
s
n
ss
(deacutemontreacute dans partie laquo lois de propagation de lrsquoerreur raquo)
Et le nombre de degreacutes de liberteacute est en 1ere approx n1+n2-2
st21 mmHypothegravese retenue si
Cette hypothegravese est retenue si sa probabiliteacute est supeacuterieure agrave 95 (par exemple)
2
2
2
1
2
121
n
s
n
st mm
18
two-sample T-test exemple
2
2
2
1
2
121
n
s
n
st mm
op1 op2 op1 op2
359385514 349673556 moyenne micro 354463973 355551443
358810682 350481358 eacutecart-type s 004510027 004809217
353371004 347201328
352760094 3553306 |micro1-micro2| 00108747344867115 357512954
351024893 355717682
360880932 362969549
353927667 366487781 00139361355719746 354702026
352552333 354598904 n 43 t=2
349798625 348741103
349706929 356409401 st 002787228
356771949 356622487
359781434 354564972
354032574 350388551
357799787 365577103
349003712 355839436
357276739 353637213
361263276 357229694
350544464 356392763
360261554
352637678
35652033
358384532
350903522
33
335
34
345
35
355
36
365
37
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25
2
2
2
1
2
1
n
s
n
ss
Hypothegravese laquo la diffeacuterence entre les moyennes de pesages drsquoune mecircme masse par 2 opeacuterateurs nrsquoest pas due qursquoaux erreurs aleacuteatoires raquo
1 2
Il existe un laquo biais entre les 2 opeacuterateursraquohellip
TP2
36
Intervalle de confianceLintervalle de confiance agrave p (95) drsquoune mesure x est un intervalle de valeurs qui a une probabiliteacute centreacutee p (95) de contenir la vraie valeur xR du paramegravetre estimeacute
xx
La calcul de et en fonction de la probabiliteacute P (geacuteneacuteralement 95) deacutepend de la loi de
distribution de lerreur
0
et = incertitude agrave p (95)
Distribution symeacutetrique
bull =
bullValeur moyenne de la mesure
= la plus probable0
Confidence interval
21)()( pxxPxxP RR
Distribution normale
19
37
Intervalle de confiance cas de la distribution normale
Lintervalle de confiance agrave p (95) drsquoune mesure x est un intervalle de valeurs qui a une probabiliteacute centreacutee p (95) de contenir la vraie valeur xR du paramegravetre estimeacute
xx
0
01
02
03
04
05
3 2 0 2 3Ecart agrave la moyenne x-x = eacutecart-type
683 des mesures
2 955 des mesures
3 997 des mesures
stxstx
Coefs de Student t
intervalle de conf 900 950 980 990 999
p 01 005 002 001 0001
deg lib
1 631 1271 3182 6366 63662
2 292 430 696 992 3160
3 235 318 454 584 1292
4 213 278 375 460 861
5 202 257 336 403 687
6 194 245 314 371 596
7 189 236 300 350 541
8 186 231 290 336 504
9 183 226 282 325 478
10 181 223 276 317 459
12 178 218 268 305 432
14 176 214 262 298 414
17 174 211 257 290 397
20 172 209 253 285 385
30 170 204 246 275 365
40 168 202 242 270 355
50 168 201 240 268 350
100 166 198 236 263 339
100000 164 196 233 258 329
38
Loi normale
95
Eacutecriture drsquoune mesure (distribution normale)
Le reacutesultat drsquoune mesure doit comporter 4 eacuteleacutements Ex CNO = 1253 ppb 17 ppb (agrave 95 ou t=2)
1 2 3 41 Valeur numeacuterique avec un nombre correct de deacutecimales2 Uniteacute3 Incertitude eacutelargie = t4 Le coefficient drsquoeacutelargissement t utiliseacute
Probabiliteacute en pour que la valeur reacuteelle
soit dans lrsquointervalle tsxtsx
1 Numerical value with a correct number of decimals2 Unit3 expanded uncertainty = ts4 Coverage factor t
20
39
Eacutevaluation de lrsquoincertitude
Eacutevaluation par analyse statistique de seacuteries de mesures (laquo type A raquo)
(geacuteneacuteralement mesure mais aussi simulation)
Eacutevaluation par calcul de lrsquoeffet sur lrsquoincertitude finale des diffeacuterentes
sources drsquoincertitude (laquo type B raquo laquo par tout autre moyen raquo) elles mecircme
eacutevalueacutees
par une meacutethode de type A
par des donneacutees constructeur drsquoeacutetalonnage etchellip
Il est alors neacutecessaire de connaicirctre les lois de propagation de
lrsquoerreurhellip
GUM Guide to the expression of Uncertainly in Measurement (1993)
Norme Franccedilaise X 07-020 AFNOR Aoucirct 1999
40
Eacutevaluation par analyse statistique de seacuteries de mesures
V
VERR
0
R0
R E
V mesureacute
0
0
RR
REV
Mesure et calcul avec un grand nombre N
de reacutesistances laquo eacutetalon raquo (R connu)
Calcul de lrsquoeacutecart-type
(en fait eacutecart-type estimeacute shellip)
Incertitude agrave 95 = t 2 (si Ngt15hellip)
Ne tient pas compte
-De lrsquoincertitude du Vmegravetre (V)
-Des incertitudes sur E R0 les reacutesistances
eacutetalonhellip
Exemple eacutevaluation drsquoune meacutethode de mesure drsquoune reacutesistance
21
41
Eacutevaluation par calcul de lrsquoeffet sur lrsquoincertitude finale des diffeacuterentes sources drsquoincertitude
V
VERR
0
2
2
0
2
0
2
0 )()()()(
V
V
ERE
V
RR
U
UER
(R0) (E) (V) connus
R0
R E
V mesureacute
Explication
Loi de propagation des eacutecart-types
combined standard uncertainty
Exemple eacutevaluation drsquoune meacutethode de mesure drsquoune reacutesistance
Quelle est la peseacutee la plus preacutecise
22
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes (1)
Exemple de la somme s=a+b
es
eb
ea
es=ea+ebRappel les erreurs srsquoajoutent algeacutebriquement
Et leur eacutecart-type
combined standard uncertainty for random amp independant errors
a b a+b282 151 433
261 171 432
264 168 432
345 202 548
332 190 523
279 208 488
317 155 472
270 209 479
310 186 496
340 156 495
moyenne 300 180 480 480 somme moyennes
variance 011 005 016 016 somme variances
ecartype 033 023 039 055 somme eacutecart-types
000
100
200
300
400
500
600
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
a
b
a+b
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes (2)
Exemple de la somme s=a+b
Erreur aleacuteatoire
)()()( bas
)()()( bVaraVarbaVar
Les eacutecart-types ne srsquoajoutent pas
Les variances si
22baba 222
baba
Les eacutecart-types srsquoajoutent quadratiquement Si les erreurs sont indeacutependantes et aleacuteatoires
23
Quelle est la peseacutee la plus preacutecise
2
2
2
1 PIPIPI
54321 PPPPPP
2)(5 pIPI
)(5 pIPI
gkgP 2425
Rappel loi de propagation drsquoune laquo petite raquo erreur
n
i
i
xx
fy
1
)(
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
)(xfy xdx
dfxfxxf )()(
xdx
dfy
Cas particulier produit-exposant
(Th accroissements finis)
Proprieacuteteacute de la deacuteriveacutee logarithmique
119910 =119886 119887 1198883
11988912
∆119910
119910=
∆119886
119886+
∆119887
119887+ 3
∆119888
119888- 12
∆119889
119889
24
Loi de propagation de la variance et de lrsquoeacutecart-type
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
La variance est additive donc si les variables xi sont indeacutependantes
)()(1
n
i
i
xVx
fyV
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fy
Ecart type V(x)=((x))2
)(2)()(1
1 11
2
2
2
ji
n
i
n
ij ji
i
n
i
xxx
f
x
fx
x
fy Cov
Cas geacuteneacuteral (variables non indeacutependantes)
(non deacutemontreacutehellip)
48
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires (1)
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fyI I
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
Incertitude pour une distr normale I(y)=t(y) geacuteneacuteralement t~2
Sibull mecircmes coefs drsquoeacutelargissement tbull variables xi indeacutependantes
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fy
25
49
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes cas particuliers (1)
Ex somme ou diffeacuterence
cbay
222 )()()()( cbay
i
ii xay i
ii xay 2))(()( Combinaison lineacuteaire
n
ixn
x1
1
n
xx
nx
n )()(
1)(
1
2
Application fondamentale en instrumentation La moyenne
Demo
Loi des grands nombres
50
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires cas particuliers (2)
Produits et puissances
i
iixAy
i i
ii
x
x
y
y2
)()(
Somme quadratique des eacutecart-types relatifs
x
x)(Proprieacuteteacute inteacuteressante des eacutecart-types relatifs
21
3
d
cbay
2222)(
21)(
3)()()(
d
d
c
c
b
b
a
a
y
y
Exemple
TP3
Idem pour incertitudes I si I=t partout
26
51
Lois de propagation des erreurs aleacuteatoires exemple de la droite drsquoeacutetalonnage
Etalonnage
Deacutebit D=aV
0 le D le 10 Lh
a=08 LhmV plusmn001 (t=2)
Inc Sur V 01 mV (t=2)
Incertitude relative sur deacutebit Den fonction du deacutebit
22)()()(
V
VI
a
aI
D
DI
V = tension fournie par capteurhellip
22)()(
D
VaI
a
aI
Mesure des faibles valeurs peu preacutecise
a = inverse de la sensibiliteacute
Si D 0
Calcul de lrsquoincertitude par simulation de lrsquoerreur aleacuteatoire
ou meacutethode de Monte-Carlo
Ex y=f(x1x2)
x1 et x2 ont des erreurs aleacuteatoires (pas forcement indeacutependantes) caracteacuteriseacutees par
leur eacutecart-type s1 et s2
bullSimuler un certain nombre drsquoexpeacuteriences avec les
mecircmes valeurs x1 et x2 + erreur aleacuteatoire (tirages ne)
yi=f(x1+e1x2+e2) N fois
bullCalcul de lrsquoeacutecart type des yi
bullLes ei sont calculeacutes agrave lrsquoaide drsquoun geacuteneacuterateur de nombre
aleacuteatoires agrave distribution adeacutequate (geacuteneacuteralement normale)
Excel =LOINORMALEINVERSE(ALEA()0eacutecart-type)TP4
27
Calcul de lrsquoincertitude par simulation de lrsquoerreur aleacuteatoire exemple
moyenne des D 50012 Dmax 100000
Deacutebit 50000 E Type des D 00526 a 08000
tension V 62500 Incertitude 01052 I(a) 00100
I(V) 01000
Ndeg tirage (400) erreur sur a erreur sur V valeur a valeur V D=aV
1 -00010 00253 07990 62753 50142
2 00011 -00518 08011 61982 49654
3 00032 00436 08032 62936 50551
4 -00098 00026 07902 62526 49407
5 00021 00867 08021 63367 50824
6 -00064 -00202 07936 62298 49437
7 00017 -00820 08017 61680 49450
8 -00065 00444 07935 62944 49949
9 00009 00757 08009 63257 50663
10 -00049 -00318 07951 62182 49439
11 00130 00109 08130 62609 50901
12 00004 00084 08004 62584 50092
13 -00046 00031 07954 62531 49737
14 -00024 00249 07976 62749 50049
15 00047 00311 08047 62811 50543
16 -00021 -00251 07979 62249 49668
D=aV
0 le D le 10 Lh
a=08 LhmV plusmn001 (t=2)
Inc Sur V = 01 mV (t=2)
Tirage aleacuteatoire normal
+
LOINORMALEINVERSE(ALEA()0eacutecart-type)
Les erreurs srsquoajoutent algeacutebriquement
54
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation
La discreacutetisation intervient lorsque les valeurs finales constituent un ensemble discret
Reacutesolution d du systegraveme drsquoacquisition agrave ne pas confondre avec lrsquoincertitude ou la sensibiliteacute
d
V
0
001
002
003
004
005
006
007
008
009
01
0 005 01
Tension reacuteelle
Ten
sion
aff
icheacutee
Discretization uncertainty
28
55
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (2)
32
d dEcart type de lrsquoerreur due agrave la discreacutetisation
295295
0
95
dIII Incertitude totale
5d 6d 7d
Erreur maxi d2
Approximatif Monte-Carlo parfois preacutefeacuterablehellip
Incertitude agrave 95 due agrave la discreacutetisation 2d 2975095 ddINon
058d 0485d
295 ddI
56
Le laquo Dithering raquo
La preacutesence drsquoerreur aleacuteatoire permet ici drsquoameacuteliorer la laquo preacutecision raquo de la mesure
Pas de laquo bruit raquo pas de moyennage Pas de laquo bruit raquo moyenne 50
signaux
laquo bruit raquo pas de moyennage laquo bruit raquo moyenne 50 signaux
La meacutethode du moyennage peut reacuteduire aussi lrsquoerreur de discreacutetisation (= quantification)
On peut gagner 1 bit de reacutesolution chaque fois que lrsquoon multiplie par 4 la freacutequence drsquoeacutechantillonnagehellip
hellip agrave condition que le signal avant numeacuterisation contienne un bruit (aleacuteatoire et indeacutependant) de valeur efficace supeacuterieure agrave la reacutesolution initialehellip
demo
29
57
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (3) les deacutecimales significatives
Ecriture drsquoun nombre avec un nombre de chiffres fini Erreur de discreacutetisation
Pour une mesure lrsquoeacutecart type de lrsquoerreur introduite doit ecirctre petit devant celui
de lrsquoerreur de mesure initiale
Ex mesure = 4382659872 Eacutecart-type mesure = 055 (soit 0125 en relatif)
Doit-on eacutecrire
4382659872
438265
4383
Mais les systegravemes numeacuteriques peuvent donner beaucoup de chiffres significatifshellip
438
58
Mesure afficheacutee
reacutesolution
ET erreur discreacutetisation
ET erreur finale drsquoerreur due agrave la discreacutetisation
438265987
0000001
29 10-7 055 lt 10-3
43827
001
29 10-3 0550008 10-3
4383
01
0029 05506 014
438
1
029 062 13
440
10
289 294 434
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (4) les deacutecimales significatives exemple
32
d d
22 )()( dxX
Ex mesure = 4382659872 Eacutecart-type mesure = (x)= 055 (soit 0125 en relatif)
bullOn peut choisir la reacutesolution immeacutediatement plus petite que lrsquoeacutecart-type de la mesure
bullLrsquoeacutecart-type (ou lrsquoincertitude) afficheacute ne doit pas avoir plus de 2 chiffres significatifs
30
Capabiliteacute drsquoun systegraveme de mesure
Va deacutependre de la toleacuterance deacutesireacuteehellip
hellip et du coucirct de la mesure
capabiliteacute dun moyen de mesure = rapport entre lincertitude U du moyen de mesure et la toleacuterance IT exigeacutee
Veacuterification de la toleacuterance
Normes franccedilaises
( toleacuterance = exigence du client en terme de caracteacuteristique mesurable)
Toleacuterance capabiliteacute drsquoun systegraveme de mesure
T
Notion de risque-risque laquo client raquo(piegravece agrave rejeter mais retenue)-risque laquo fabricant raquo(piegravece agrave retenir mais rejeteacutee)
Mesure moyenne
T
Piegravece agrave rejeterPiegravece agrave retenir
T=ToleacuteranceU=incertitude
Distrib des erreurs de fabrication
Val reacuteelle
31
Reacuteconciliation des donneacutees
61
D1
I(D1)
D2
I(D2)
D3
I(D3)
bull 3 mesures redondantes (car en theacuteorie D1=D2+D3)bull A cause des incertitudes on nrsquoa jamais exactement D1=D2+D3
bull Comment (in)valider les mesures
Reacuteconciliation des donneacutees
bull La redondance permet aussi de reacuteduire lrsquoincertitude (cf moyenne)
Dernier TPhellip
Limite de deacutetection - LDD (1)Limit of Detection - LOD
6280
Pic de signal ou bruit de fond
LDD plus petite valeur non nulle mesurable pour une certaine probabiliteacute drsquoerreur sur le fait que la valeur vraie est nulle ou non
Seuil de deacutecision deacutetection si (Mesure gt Seuil deacutecision)
2 types drsquoerreur de deacutecision Type 1 deacutetection signal alors qursquoil est absent (faux positif)
Type 2 non deacutetection signal alors qursquoil est preacutesent (faux neacutegatif)
32
Limite de deacutetection (2)
6380
Type 1 deacutetection signal alors qursquoil est absent (faux positif)
Exemple probabiliteacute de 5 drsquoerreur de type 1 ou 2
Type 2 non deacutetection signal alors qursquoil est preacutesent (faux neacutegatif)
165
5
Proba = 5 si seuil de deacutecision = 165
Si mecircme seuil de deacutecision (165) mecircme proba drsquoerreur si signal agrave 2 fois le seuil de deacutecision = 33
2x165
5
Limite de deacutetection (3)
0
0
0
0
0
0
0
0
165 33
Niveau signal
seuil de decision type 1 type 2 gt0
nb erreurs 9 9
bonnes deacutecisions 955
eacutecart type bruit analyseur 10
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
1
signal theacuteorique
signal reacuteel
seuil de deacutecision
erreur type 1
erreur type 2
-20 0 20 40 60 80
Si distr normale et probabiliteacute de 95LDD=33
On prend geacuteneacuteralement LDD=3 = eacutecart-type de la mesure laquo proche de zeacutero raquo
33
Etalonnage drsquoun systegraveme de mesure
Etalonnage laquo Opeacuteration consistant agrave eacutetablir une relation entre les valeurs de la grandeur indiqueacutees par un appareil de mesure et les valeurs correspondantes de la grandeur reacutealiseacutees par des eacutetalons raquo (VIM)
160
165
170
175
180
185
190
195
0 20 40 60 80 100
H
C pF
66
Etalonnage Creacuteation drsquoun modegravele de comportement
ETALONNAGE
Variables Xmesureacutees
(capteurs)
Variables Ymesureacutees(analyseshellip)
modegravele ou
Preacutedicteur F
Creacuteation modegravele
de comportement
Y=F(X)
PREDICTION
Variables Xmesureacutees(capteurs)
Estimation des
variables Y
Modegravele
Calcul de
preacutedictiontensions
Calibration Creation of a behavior model
34
67
Eacutetalonnage - calibrage
Eacutetalonnage (calibration) = calcul complet du modegravele neacutecessite un laquo grand raquo nombre drsquoexpeacuteriences
tension
pression
bull Calibrage ou ajustement de zeacutero (zero adjustment) = laquo recalage raquo du modegravele neacutecessite 1 expeacuterience (laquo zeacutero raquo) voire 2 (laquo zeacutero + gain raquo)
tension
pression
bullCorrection variations de fabrication
bullCorrection deacuterive
bullCorrection changement conditions expeacuterimentales (tempeacuterature tarage drsquoune balancehellip)
bullEtchellip
Si le modegravele nrsquoest pas lineacuteaire le calibrage ne peut corriger que de faibles variationshellip
68
Les moindres carreacutes
Meacutethode des moindres carreacutes (monovariable)
laquo minimal raquo pour lrsquoensemble des mesures en trouvant la
fonction optimale f
On veut modeacuteliser pour toutes les mesures (i) ෝ119962119946 = 119839(119961119946) en fait agrave partir
des expeacuteriences on a 119962119946 = 119839 119961119946 + 119942119946 ougrave 119942119946 = laquo reacutesidu raquo ou erreur
On utilise geacuteneacuteralement la distance Euclidienne
laquo minimale raquo en optimisant les 120637119947
The least Squares
120637119947 repreacutesente ici le ou les paramegravetres de la fonction agrave optimiser f (ex coefs polynocircme)
119942119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947
119946
119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947120784
35
69
La reacutegression lineacuteaire
Monovariable (y=f(x) ) + hypothegravese lineacuteaire (y=ax+b)
2 cas
X
Minimisations des erreurs sur Y
Reacutegression de yx
ybaxy e
Y
Minimisation des erreurs sur X
X
Reacutegression de xy
xbyax e ˆ
1ˆ
a
bx
ay
Attention une reacutegression de yx avec des
erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne une
erreur systeacutematique sur la pentehellip
Y
Linear regression
70
La reacutegression lineacuteaire yx ou xy
Attention une reacutegression de yx avec des erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne
une erreur systeacutematique sur la pentehellip
Diffeacuterence neacutegligeable dans une majoriteacute de cashellip
y = 10036x - 00354
-2
0
2
4
6
8
10
12
-2 0 2 4 6 8 10 12
y = 06669x + 16244
-2
0
2
4
6
8
10
12
-2 0 2 4 6 8 10 12
Reacutegression YX Reacutegression XY
36
71
Caracteacuteristiques de la reacutegression yx
Estimations de a et b
)(
)(
)x(x
)y)(yx(x
=a2
i
i
ii
xVar
yxCov
i
xayb
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
Calcul Excel agrave lrsquoaide debull Courbe de tendancebull droitereg
72
Erreur lieacutee agrave la mesure
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
2n
)y(yi
2
ii
yx
s
Ecart Type des reacutesidus
= ET de lrsquoerreur lieacutee agrave la mesure= ET de preacutediction que lrsquoon aurait (mecircmes conditions) si le modegravele eacutetait sans erreur
Mais le modegravele nrsquoest jamais exact
Erreur que lrsquoon aurait mecircme si le modegravele eacutetait parfait agrave cause de lrsquoerreur aleacuteatoire sur xhellipRepreacutesenteacutee par lrsquohellip
Rappel reacutesidu = eacutecart entre valeur preacutedite (sur droite de regression donc) et valeur expeacuterimentale
37
73
Erreur de modeacutelisation
Estimations incertitudes de a et b
baxy ˆ
Y
i
xyss
2
i
a
)x(xEcart type de la pente
i
i
i
xybn
x
ss2
i
2
)x(x
Ecart type de lrsquoordonneacutee agrave lrsquoorigine
Calcul Excel agrave lrsquoaide de la fonction laquo droitereg raquo
temps h tension
0 300E-05
1 440E-05
2 900E-05
3 900E-05
4 100E-04
formule =DROITEREG(YX11)
pente 00000186 00000336 OAO
s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO
R 0870821587 130792E-05 s(resid)
2022369447 3 N DL
34596E-09 5132E-10000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5TP5
Incertitude de preacutediction
74
2
2
11)ˆ(
xx
xX
mstYI
i
xy
bull m= nb eacutechantillons deacutetalonnagebull xi = valeurs deacutetalonnage dont moyenne xbull X = valeur deacutechantillon de preacutedictionbull Syx = eacutecart-type des reacutesidus
x
E Lieacutee agrave la mesure
E Type du modegravele
bull Si modegravele laquo parfait raquo (ou m grand) xystYI )ˆ(
bull Lrsquoincertitude augmente si X srsquoeacuteloigne de (problegraveme de lrsquoextrapolation) x
bull Deacutepend (un peuhellip) de X
I(pred)2=I(lieacutee agrave la mesure)2 + I(modelisation)2
TP6
38
75
Mesure de la qualiteacute dajustement dune reacutegression lineacuteaire
Var(Y) = Var( aX+b) + Var(e
information totale = information modeacuteliseacutee + information reacutesiduelle
Coef De deacutetermination
totale)Var(info
modeacuteliseacutee) Var(infodR
)()(
)(
YX
YXCovRc
Coef de correacutelation
Rd=Rc2
Y
76
Le coef de correacutelation utilisation
0
5
10
15
20
25
30
35
0 2 4 6 8 10 12
R=075
0
5
10
15
20
25
0 2 4 6 8 10 12
R=075
-100
0
100
200
300
400
500
600
0 5 10 15
R=075
Le cœfficient de correacutelation ne sert
agrave quantifier que les relations
lineacuteaires entre X et Yvariables
Il perd toute signification degraves lors
que les reacutesidus
R=08
R=08
R=08
39
77
Reacutegression lineacuteaire examen des reacutesidus
Veacuterification lineacuteariteacute
A corriger
eacuteventuellement avec
reacutegression non lineacuteaire
Deacutetection points
aberrants (outliers)A eacuteliminer apregraves
veacuterification et avec
preacutecautionshellip
Ri=yi-(axi+b)
Reacutesidu = information non
modeacuteliseacutee ideacutealement
erreur aleacuteatoire
residuals
paramegravetres modeacutelisation des donneacutees
ET bruit
v0
v1
a
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
850
900
950
y = 07063x - 39517
-100
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (m
V)
courant (mA)
Valeurs mesureacutees
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (
mV
)
courant (mA)
Graphe des reacutesidus mesure - droiteregr
78
Reacutegression non lineacuteaire reacutegression polynomiale
Ex courbe de
tendance dExcel
temps h
0
1
2
3
4
000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5
Permet de modeacuteliser la plupart des problegravemes peu non lineacuteaireshellip
demo TP7
40
79
Biblio amp liens utilesBouquins
Statistics for analytical Chemistry 3 rd ed JC Miller and JN Miller John Wiley amp Sons 1998
Multivariate Statistical Methods A Primer BFJ Monley Chapman amp Hall 1986
Modeacutelisation et estimation des erreurs de mesure M Neuilly CETAMA Lavoisier Paris 1993
Sites WWW
httpphysicsnistgovcuuUncertaintyindexhtml excellent site simple et succinct mais de reacutefeacuterence
sur la calcul des incertitudes ce document sen est beaucoup inspireacute Un cours plus complet de
statistiques est disponible agrave httpwwwitlnistgovdiv898handbook
httpswwwansesfrfrcontentguide-de-validation-des-mC3A9thodes-danalyses-des-laboratoires-de-rC3A9fC3A9rence Guide de lrsquoANSES Agence nationale de seacutecuriteacute sanitaire
de lrsquoalimentation de lrsquoenvironnement et du travail
httpwwwjybaudotfrStatsstatshtml Encyclopeacutedie des stats de Jean-Yves Baudot agrave la foi preacutecis vulgarisateur et marrant un challenge en statistiques
httpfrfreestatisticsinfoindexphp Collection de liens et surtout de Freewares sur les stats
8062
La norme AFNOR la plus utiliseacutee
httpwwwasqualabcomdocumentsqualitemetrologie19-unites_pifometriquespdf
10
19
Erreur systeacutematique ou aleacuteatoire
Par deacutefinition lerreur aleacuteatoire est impreacutevisible (et donc non corrigeable) et de valeur moyenne nulle
Le caractegravere systeacutematique ou aleacuteatoire de lerreur peut deacutependre du contextehellip
20
Erreur systeacutematique ou aleacuteatoire
Ex mesure dune masse agrave laide dune balance numeacuterique
ea Erreur aleacuteatoire non expliqueacutee
eT Deacuterive en tempeacuterature
eo Erreur opeacuterateur
eu Erreur propre agrave lappareil
es Erreur systeacutematique de la seacuterie ()
Erreur e= ea+eT+eo+eu+es
Conditions des expeacuteriences ea eT eo eu es
1 opeacuterateur le mecircme jour 1 appareil
Idem + eacutetaleacute sur plusieurs jours
Idem + plusieurs opeacuterateurs
Idem + tests sur un lot dappareils
11
Encore du vocabulairehellip
21
Erreur aleacuteatoire
Reacutepeacutetabiliteacute fideacuteliteacute
Variables influenccedilantes
Erreur systeacutematique
biaisjustesse
Reproductibiliteacute
exactitude
22
Caracteacuterisation de la mesure
Moyenne estimeacutee de n mesures dune mecircme valeur xR
n
ixn
x1
1
xR = valeur reacuteelle
R
n
xx
)lim(
(loi des grands nombres)
Estimated mean
Law of large numbers
(Si erreur aleacuteatoire)
2RxxV Variance (de lrsquoerreur aleacuteatoire)
Variance (of random error)Homogegravene au carreacute de la
grandeur mesureacutee
Caracteacuterisation de lrsquoerreur aleacuteatoire
=Moyenne du carreacute de lrsquoerreur
12
23
n
i xxn
s1
2)(1
1Ecart-type estimeacute de
lerreur aleacuteatoire
Ecart-type de lerreur aleacuteatoire
xr
Ecart type
relatif
n
RiRi xxn
xx1
22)(
1
Valeur reacuteelle
Agrave priori inconnuehellip
Standard deviation of random error
Ecart-type de
lerreur aleacuteatoire V
et s ont mecircme espeacuterancehellip
Homogegravene agrave la grandeur mesureacutee
n
ixn
x1
1
n
xx
)()(
Ecart-type de la moyenne de n mesures
24
Distributions drsquoerreurs (aleacuteatoires)
Gaussienne ou normale
Uniforme
Poissonnienne
Etchellip La plus reacutepandue gracircce au Theacuteoregraveme central limitehellip
e0
F(e)Courbe de distribution
de lerreur
Distributions of errors
Gaussian or normal
Uniform
Poissonnian
නminusinfin
0
119865 120576 119889120576 = න0
+infin
119865 120576 119889120576 = 05
A
Probabiliteacute P(A)= 119860 119865 120576 119889120576
13
25
Theacuteoregraveme central limite
Si une variable est la reacutesultante dungrand nombre de causes petites agrave effetadditif cette variable tend vers une loinormale
Cest agrave cause de cette interpreacutetation quela loi normale est tregraves souvent employeacuteecomme modegravele (malheureusement pastoujours agrave raison)
Demo
Central Limit Theorem
26
La distribution Gaussienne (ou normale)
0
01
02
03
04
05
3 2 0 2 3Ecart agrave la moyenne x-x = eacutecart-type
683 des valeurs
2 955 des valeurs
3 997 des valeurs
Proba largeur
50 067middotσ
68 1middotσ
70 104middotσ
87 15middotσ
90 165middotσ
95 196middotσ
99 256middotσ
997 3middotσ
999 328middotσ
99999 999 8 6middotσ
Tableau des coefficients laquo t raquo de Student
tXXprobaP R
=1-LOISTUDENT(tN2)
N= nb eacutechantillons utiliseacutes pour le calcul de s gt20
2
2
1
2
1)(
xx
exF
14
httpwwwjybaudotfrInferentielletstudenthtml
Le coefficient t de Student
tXXprobaP R
P=LOISTUDENT(tN2)
N= nb eacutechantillons utiliseacutes pour le calcul de s -1= nb de degreacutes de liberteacute
Coefs de Student t
intervalle de conf 900 950 980 990 999
p 01 005 002 001 0001
N=nb deg lib
1 631 1271 3182 6366 63662
2 292 430 696 992 3160
3 235 318 454 584 1292
4 213 278 375 460 861
5 202 257 336 403 687
6 194 245 314 371 596
7 189 236 300 350 541
8 186 231 290 336 504
9 183 226 282 325 478
10 181 223 276 317 459
12 178 218 268 305 432
14 176 214 262 298 414
17 174 211 257 290 397
20 172 209 253 285 385
30 170 204 246 275 365
40 168 202 242 270 355
50 168 201 240 268 350
100 166 198 236 263 339
100000 164 196 233 258 329
Relation eacutecart-type Gaussienne valable uniquement si eacutecart-type s parfaitement connu (n=infin)Pratiquement s issu dun calcul statistique-gtLoi de Student(tend vers gaussienne si n grand ngt20)
t=LOISTUDENTINVERSEBILATERALE(PN)
Rappel valable uniquement pour loi gaussienne
28
Distribution de Poisson
Ex comptage drsquoeacutevegravenements non simultaneacutes (deacutesinteacutegration radioactive queuehellip)
Moyenne m
Variance m
demo
15
29
Distribution Uniforme
Ex discreacutetisation de la mesurehellip
TP1
M-d2 M M+d2
d
Moyenne M
Ecart-type
Les tests drsquohypothegravese
30
Significance tests
bull Deacutemarche consistant agrave eacutevaluer une hypothegravese statistique agrave partir dun jeu de donneacutees (eacutechantillon)
bull Le reacutesultat du test nrsquoest pas absolu mais est une probabiliteacute qui est une aide agrave la validation ou non de lrsquohypothegravese initiale il ne constitue donc jamais une preuve
Tests parameacutetriques(hypothegravese sur distribution + ou ndash neacutecessaire)
1-sample T-test Comp Eacutechantillon agrave valeur de reacutefeacuterence intervalle de confiance
2-samples T-test Comparaison de 2 eacutechantillons
F-Test Comparaison de la variance de 2 eacutechantillons
ANOVA Analyse de variance analyse des variances de K eacutechantillons comparaison des moyennes
Chi-Square test Utilisation notamment pour veacuterifier une hypothegravese de distribution
Grubbsrsquo test Deacutetection des valeurs aberrantes (laquo outliers raquo)
Tests non parameacutetriques(pas drsquohypothegravese sur distribution)
Test WilcoxonMW Comparaison de 2 eacutechantillons meacutethode de rang
En rouge tests deacutecrits + loin sinon voir biblio ou google
16
31
95
one-sample T-test laquo simplifieacute raquoComparaison de la mesure M drsquoun eacutechantillon agrave une valeur de reacutefeacuterence R on suppose que la distribution est normale
Hypothegravesesbull laquo M est diffeacuterent de R raquobull laquo M est significativement diffeacuterent de R raquo
Cette hypothegravese de diffeacuterence H1 est retenue si sa probabiliteacute est supeacuterieure agrave 95 (par exemple) (ou si la probabiliteacute drsquoeacutegaliteacute est infeacuterieure agrave 5 (H2)
1 mesure M eacutecart-type estimeacute de la mesure s distr gaussienne
MR
-4srsquo -3srsquo -2srsquo ndashsrsquo 0 srsquo 2srsquo 3srsquo 4srsquo
Hypothegravese retenue si
stRM
si s est calculable laquo preacuteciseacutement raquo
(t=coef de Student)
H1 95 (ou H2 5)
H1 99 (ou H2 1)
H1 999 (ou H2 01)
t 196 256 328
Oui quasiment toujours agrave cause de lrsquoerreur aleacuteatoirehellip
bull laquo La diffeacuterence entre M et R nrsquoest pas due qursquoagrave lrsquoerreur aleacuteatoire raquo
ngt20 sinon tableau des coefs de Studenthellip
32
95
one-sample T-test laquo officiel raquo
Comparaison de la moyenne micro drsquoun eacutechantillon agrave une valeur de reacutefeacuterence R on suppose que la distribution est normaleHypothegravese laquo la diffeacuterence entre la moyenne de n mesures et une valeur de reacutefeacuterence nrsquoest pas due qursquoaux erreurs aleacuteatoires raquo
Cette hypothegravese est retenue si sa probabiliteacute est supeacuterieure agrave 95 (par exemple)
n mesures moyenne m eacutecart-type estimeacute de chaque mesure s
On montre (+ loinhellip) que lrsquoeacutecart-type estimeacute de la moyenne est n
ss
m R
-4srsquo -3srsquo -2srsquo ndashsrsquo 0 srsquo 2srsquo 3srsquo 4srsquo
Hypothegravese retenue si
n
stR m
si s est calculable laquo preacuteciseacutement raquo
(t=coef de Student)
H1 95 (ou H2 5)
H1 99 (ou H2 1)
H1 999 (ou H2 01)
t 196 256 328
17
one-sample T-test exemple
Hypothegravese laquo la diffeacuterenceentre la moyenne de npesages drsquoune masse eacutetalonde 1 kg et la valeur de cettemasse nrsquoest pas due qursquoauxerreurs aleacuteatoires raquo
n
stR m
n
s
Rt
m
1 104946993
2 111917309 Etalon R (kg) 10000
3 099865798
4 101040713
5 114655592
6 097054733
7 114894136
8 108005111 moyenne micro 104614199
9 103044121 Ecart-type s 005326172
10 098202478
11 105094267 00461
12 106252219
13 102608401
14 104961426 002381937 (t=2)
15 103483134 (n=20)
16 103475702
17 098306671
18 109287381
19 097490694
20 107697103
08
09
1
11
12
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
Rm
n
st
Il existe un laquo biais raquohellip
34
two-sample T-test
Comparaison de 2 moyennes de 2 eacutechantillons on suppose que la distribution est normaleHypothegravese laquo la diffeacuterence entre les 2 moyennes nrsquoest pas due qursquoaux erreurs aleacuteatoires raquo
Ech 1 Ech 2
Nb mesures n1 n2
Ecart type estimeacute s1 s2
Moyenne estimeacutee m1 m2
Comparaison de m1 et m2Peut se ramener agrave un 1-sample-test en comparant |m1-m2| agrave 0
On prend alors comme eacutecart-type de |m1-m2|
2
2
2
1
2
1
n
s
n
ss
(deacutemontreacute dans partie laquo lois de propagation de lrsquoerreur raquo)
Et le nombre de degreacutes de liberteacute est en 1ere approx n1+n2-2
st21 mmHypothegravese retenue si
Cette hypothegravese est retenue si sa probabiliteacute est supeacuterieure agrave 95 (par exemple)
2
2
2
1
2
121
n
s
n
st mm
18
two-sample T-test exemple
2
2
2
1
2
121
n
s
n
st mm
op1 op2 op1 op2
359385514 349673556 moyenne micro 354463973 355551443
358810682 350481358 eacutecart-type s 004510027 004809217
353371004 347201328
352760094 3553306 |micro1-micro2| 00108747344867115 357512954
351024893 355717682
360880932 362969549
353927667 366487781 00139361355719746 354702026
352552333 354598904 n 43 t=2
349798625 348741103
349706929 356409401 st 002787228
356771949 356622487
359781434 354564972
354032574 350388551
357799787 365577103
349003712 355839436
357276739 353637213
361263276 357229694
350544464 356392763
360261554
352637678
35652033
358384532
350903522
33
335
34
345
35
355
36
365
37
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25
2
2
2
1
2
1
n
s
n
ss
Hypothegravese laquo la diffeacuterence entre les moyennes de pesages drsquoune mecircme masse par 2 opeacuterateurs nrsquoest pas due qursquoaux erreurs aleacuteatoires raquo
1 2
Il existe un laquo biais entre les 2 opeacuterateursraquohellip
TP2
36
Intervalle de confianceLintervalle de confiance agrave p (95) drsquoune mesure x est un intervalle de valeurs qui a une probabiliteacute centreacutee p (95) de contenir la vraie valeur xR du paramegravetre estimeacute
xx
La calcul de et en fonction de la probabiliteacute P (geacuteneacuteralement 95) deacutepend de la loi de
distribution de lerreur
0
et = incertitude agrave p (95)
Distribution symeacutetrique
bull =
bullValeur moyenne de la mesure
= la plus probable0
Confidence interval
21)()( pxxPxxP RR
Distribution normale
19
37
Intervalle de confiance cas de la distribution normale
Lintervalle de confiance agrave p (95) drsquoune mesure x est un intervalle de valeurs qui a une probabiliteacute centreacutee p (95) de contenir la vraie valeur xR du paramegravetre estimeacute
xx
0
01
02
03
04
05
3 2 0 2 3Ecart agrave la moyenne x-x = eacutecart-type
683 des mesures
2 955 des mesures
3 997 des mesures
stxstx
Coefs de Student t
intervalle de conf 900 950 980 990 999
p 01 005 002 001 0001
deg lib
1 631 1271 3182 6366 63662
2 292 430 696 992 3160
3 235 318 454 584 1292
4 213 278 375 460 861
5 202 257 336 403 687
6 194 245 314 371 596
7 189 236 300 350 541
8 186 231 290 336 504
9 183 226 282 325 478
10 181 223 276 317 459
12 178 218 268 305 432
14 176 214 262 298 414
17 174 211 257 290 397
20 172 209 253 285 385
30 170 204 246 275 365
40 168 202 242 270 355
50 168 201 240 268 350
100 166 198 236 263 339
100000 164 196 233 258 329
38
Loi normale
95
Eacutecriture drsquoune mesure (distribution normale)
Le reacutesultat drsquoune mesure doit comporter 4 eacuteleacutements Ex CNO = 1253 ppb 17 ppb (agrave 95 ou t=2)
1 2 3 41 Valeur numeacuterique avec un nombre correct de deacutecimales2 Uniteacute3 Incertitude eacutelargie = t4 Le coefficient drsquoeacutelargissement t utiliseacute
Probabiliteacute en pour que la valeur reacuteelle
soit dans lrsquointervalle tsxtsx
1 Numerical value with a correct number of decimals2 Unit3 expanded uncertainty = ts4 Coverage factor t
20
39
Eacutevaluation de lrsquoincertitude
Eacutevaluation par analyse statistique de seacuteries de mesures (laquo type A raquo)
(geacuteneacuteralement mesure mais aussi simulation)
Eacutevaluation par calcul de lrsquoeffet sur lrsquoincertitude finale des diffeacuterentes
sources drsquoincertitude (laquo type B raquo laquo par tout autre moyen raquo) elles mecircme
eacutevalueacutees
par une meacutethode de type A
par des donneacutees constructeur drsquoeacutetalonnage etchellip
Il est alors neacutecessaire de connaicirctre les lois de propagation de
lrsquoerreurhellip
GUM Guide to the expression of Uncertainly in Measurement (1993)
Norme Franccedilaise X 07-020 AFNOR Aoucirct 1999
40
Eacutevaluation par analyse statistique de seacuteries de mesures
V
VERR
0
R0
R E
V mesureacute
0
0
RR
REV
Mesure et calcul avec un grand nombre N
de reacutesistances laquo eacutetalon raquo (R connu)
Calcul de lrsquoeacutecart-type
(en fait eacutecart-type estimeacute shellip)
Incertitude agrave 95 = t 2 (si Ngt15hellip)
Ne tient pas compte
-De lrsquoincertitude du Vmegravetre (V)
-Des incertitudes sur E R0 les reacutesistances
eacutetalonhellip
Exemple eacutevaluation drsquoune meacutethode de mesure drsquoune reacutesistance
21
41
Eacutevaluation par calcul de lrsquoeffet sur lrsquoincertitude finale des diffeacuterentes sources drsquoincertitude
V
VERR
0
2
2
0
2
0
2
0 )()()()(
V
V
ERE
V
RR
U
UER
(R0) (E) (V) connus
R0
R E
V mesureacute
Explication
Loi de propagation des eacutecart-types
combined standard uncertainty
Exemple eacutevaluation drsquoune meacutethode de mesure drsquoune reacutesistance
Quelle est la peseacutee la plus preacutecise
22
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes (1)
Exemple de la somme s=a+b
es
eb
ea
es=ea+ebRappel les erreurs srsquoajoutent algeacutebriquement
Et leur eacutecart-type
combined standard uncertainty for random amp independant errors
a b a+b282 151 433
261 171 432
264 168 432
345 202 548
332 190 523
279 208 488
317 155 472
270 209 479
310 186 496
340 156 495
moyenne 300 180 480 480 somme moyennes
variance 011 005 016 016 somme variances
ecartype 033 023 039 055 somme eacutecart-types
000
100
200
300
400
500
600
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
a
b
a+b
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes (2)
Exemple de la somme s=a+b
Erreur aleacuteatoire
)()()( bas
)()()( bVaraVarbaVar
Les eacutecart-types ne srsquoajoutent pas
Les variances si
22baba 222
baba
Les eacutecart-types srsquoajoutent quadratiquement Si les erreurs sont indeacutependantes et aleacuteatoires
23
Quelle est la peseacutee la plus preacutecise
2
2
2
1 PIPIPI
54321 PPPPPP
2)(5 pIPI
)(5 pIPI
gkgP 2425
Rappel loi de propagation drsquoune laquo petite raquo erreur
n
i
i
xx
fy
1
)(
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
)(xfy xdx
dfxfxxf )()(
xdx
dfy
Cas particulier produit-exposant
(Th accroissements finis)
Proprieacuteteacute de la deacuteriveacutee logarithmique
119910 =119886 119887 1198883
11988912
∆119910
119910=
∆119886
119886+
∆119887
119887+ 3
∆119888
119888- 12
∆119889
119889
24
Loi de propagation de la variance et de lrsquoeacutecart-type
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
La variance est additive donc si les variables xi sont indeacutependantes
)()(1
n
i
i
xVx
fyV
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fy
Ecart type V(x)=((x))2
)(2)()(1
1 11
2
2
2
ji
n
i
n
ij ji
i
n
i
xxx
f
x
fx
x
fy Cov
Cas geacuteneacuteral (variables non indeacutependantes)
(non deacutemontreacutehellip)
48
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires (1)
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fyI I
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
Incertitude pour une distr normale I(y)=t(y) geacuteneacuteralement t~2
Sibull mecircmes coefs drsquoeacutelargissement tbull variables xi indeacutependantes
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fy
25
49
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes cas particuliers (1)
Ex somme ou diffeacuterence
cbay
222 )()()()( cbay
i
ii xay i
ii xay 2))(()( Combinaison lineacuteaire
n
ixn
x1
1
n
xx
nx
n )()(
1)(
1
2
Application fondamentale en instrumentation La moyenne
Demo
Loi des grands nombres
50
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires cas particuliers (2)
Produits et puissances
i
iixAy
i i
ii
x
x
y
y2
)()(
Somme quadratique des eacutecart-types relatifs
x
x)(Proprieacuteteacute inteacuteressante des eacutecart-types relatifs
21
3
d
cbay
2222)(
21)(
3)()()(
d
d
c
c
b
b
a
a
y
y
Exemple
TP3
Idem pour incertitudes I si I=t partout
26
51
Lois de propagation des erreurs aleacuteatoires exemple de la droite drsquoeacutetalonnage
Etalonnage
Deacutebit D=aV
0 le D le 10 Lh
a=08 LhmV plusmn001 (t=2)
Inc Sur V 01 mV (t=2)
Incertitude relative sur deacutebit Den fonction du deacutebit
22)()()(
V
VI
a
aI
D
DI
V = tension fournie par capteurhellip
22)()(
D
VaI
a
aI
Mesure des faibles valeurs peu preacutecise
a = inverse de la sensibiliteacute
Si D 0
Calcul de lrsquoincertitude par simulation de lrsquoerreur aleacuteatoire
ou meacutethode de Monte-Carlo
Ex y=f(x1x2)
x1 et x2 ont des erreurs aleacuteatoires (pas forcement indeacutependantes) caracteacuteriseacutees par
leur eacutecart-type s1 et s2
bullSimuler un certain nombre drsquoexpeacuteriences avec les
mecircmes valeurs x1 et x2 + erreur aleacuteatoire (tirages ne)
yi=f(x1+e1x2+e2) N fois
bullCalcul de lrsquoeacutecart type des yi
bullLes ei sont calculeacutes agrave lrsquoaide drsquoun geacuteneacuterateur de nombre
aleacuteatoires agrave distribution adeacutequate (geacuteneacuteralement normale)
Excel =LOINORMALEINVERSE(ALEA()0eacutecart-type)TP4
27
Calcul de lrsquoincertitude par simulation de lrsquoerreur aleacuteatoire exemple
moyenne des D 50012 Dmax 100000
Deacutebit 50000 E Type des D 00526 a 08000
tension V 62500 Incertitude 01052 I(a) 00100
I(V) 01000
Ndeg tirage (400) erreur sur a erreur sur V valeur a valeur V D=aV
1 -00010 00253 07990 62753 50142
2 00011 -00518 08011 61982 49654
3 00032 00436 08032 62936 50551
4 -00098 00026 07902 62526 49407
5 00021 00867 08021 63367 50824
6 -00064 -00202 07936 62298 49437
7 00017 -00820 08017 61680 49450
8 -00065 00444 07935 62944 49949
9 00009 00757 08009 63257 50663
10 -00049 -00318 07951 62182 49439
11 00130 00109 08130 62609 50901
12 00004 00084 08004 62584 50092
13 -00046 00031 07954 62531 49737
14 -00024 00249 07976 62749 50049
15 00047 00311 08047 62811 50543
16 -00021 -00251 07979 62249 49668
D=aV
0 le D le 10 Lh
a=08 LhmV plusmn001 (t=2)
Inc Sur V = 01 mV (t=2)
Tirage aleacuteatoire normal
+
LOINORMALEINVERSE(ALEA()0eacutecart-type)
Les erreurs srsquoajoutent algeacutebriquement
54
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation
La discreacutetisation intervient lorsque les valeurs finales constituent un ensemble discret
Reacutesolution d du systegraveme drsquoacquisition agrave ne pas confondre avec lrsquoincertitude ou la sensibiliteacute
d
V
0
001
002
003
004
005
006
007
008
009
01
0 005 01
Tension reacuteelle
Ten
sion
aff
icheacutee
Discretization uncertainty
28
55
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (2)
32
d dEcart type de lrsquoerreur due agrave la discreacutetisation
295295
0
95
dIII Incertitude totale
5d 6d 7d
Erreur maxi d2
Approximatif Monte-Carlo parfois preacutefeacuterablehellip
Incertitude agrave 95 due agrave la discreacutetisation 2d 2975095 ddINon
058d 0485d
295 ddI
56
Le laquo Dithering raquo
La preacutesence drsquoerreur aleacuteatoire permet ici drsquoameacuteliorer la laquo preacutecision raquo de la mesure
Pas de laquo bruit raquo pas de moyennage Pas de laquo bruit raquo moyenne 50
signaux
laquo bruit raquo pas de moyennage laquo bruit raquo moyenne 50 signaux
La meacutethode du moyennage peut reacuteduire aussi lrsquoerreur de discreacutetisation (= quantification)
On peut gagner 1 bit de reacutesolution chaque fois que lrsquoon multiplie par 4 la freacutequence drsquoeacutechantillonnagehellip
hellip agrave condition que le signal avant numeacuterisation contienne un bruit (aleacuteatoire et indeacutependant) de valeur efficace supeacuterieure agrave la reacutesolution initialehellip
demo
29
57
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (3) les deacutecimales significatives
Ecriture drsquoun nombre avec un nombre de chiffres fini Erreur de discreacutetisation
Pour une mesure lrsquoeacutecart type de lrsquoerreur introduite doit ecirctre petit devant celui
de lrsquoerreur de mesure initiale
Ex mesure = 4382659872 Eacutecart-type mesure = 055 (soit 0125 en relatif)
Doit-on eacutecrire
4382659872
438265
4383
Mais les systegravemes numeacuteriques peuvent donner beaucoup de chiffres significatifshellip
438
58
Mesure afficheacutee
reacutesolution
ET erreur discreacutetisation
ET erreur finale drsquoerreur due agrave la discreacutetisation
438265987
0000001
29 10-7 055 lt 10-3
43827
001
29 10-3 0550008 10-3
4383
01
0029 05506 014
438
1
029 062 13
440
10
289 294 434
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (4) les deacutecimales significatives exemple
32
d d
22 )()( dxX
Ex mesure = 4382659872 Eacutecart-type mesure = (x)= 055 (soit 0125 en relatif)
bullOn peut choisir la reacutesolution immeacutediatement plus petite que lrsquoeacutecart-type de la mesure
bullLrsquoeacutecart-type (ou lrsquoincertitude) afficheacute ne doit pas avoir plus de 2 chiffres significatifs
30
Capabiliteacute drsquoun systegraveme de mesure
Va deacutependre de la toleacuterance deacutesireacuteehellip
hellip et du coucirct de la mesure
capabiliteacute dun moyen de mesure = rapport entre lincertitude U du moyen de mesure et la toleacuterance IT exigeacutee
Veacuterification de la toleacuterance
Normes franccedilaises
( toleacuterance = exigence du client en terme de caracteacuteristique mesurable)
Toleacuterance capabiliteacute drsquoun systegraveme de mesure
T
Notion de risque-risque laquo client raquo(piegravece agrave rejeter mais retenue)-risque laquo fabricant raquo(piegravece agrave retenir mais rejeteacutee)
Mesure moyenne
T
Piegravece agrave rejeterPiegravece agrave retenir
T=ToleacuteranceU=incertitude
Distrib des erreurs de fabrication
Val reacuteelle
31
Reacuteconciliation des donneacutees
61
D1
I(D1)
D2
I(D2)
D3
I(D3)
bull 3 mesures redondantes (car en theacuteorie D1=D2+D3)bull A cause des incertitudes on nrsquoa jamais exactement D1=D2+D3
bull Comment (in)valider les mesures
Reacuteconciliation des donneacutees
bull La redondance permet aussi de reacuteduire lrsquoincertitude (cf moyenne)
Dernier TPhellip
Limite de deacutetection - LDD (1)Limit of Detection - LOD
6280
Pic de signal ou bruit de fond
LDD plus petite valeur non nulle mesurable pour une certaine probabiliteacute drsquoerreur sur le fait que la valeur vraie est nulle ou non
Seuil de deacutecision deacutetection si (Mesure gt Seuil deacutecision)
2 types drsquoerreur de deacutecision Type 1 deacutetection signal alors qursquoil est absent (faux positif)
Type 2 non deacutetection signal alors qursquoil est preacutesent (faux neacutegatif)
32
Limite de deacutetection (2)
6380
Type 1 deacutetection signal alors qursquoil est absent (faux positif)
Exemple probabiliteacute de 5 drsquoerreur de type 1 ou 2
Type 2 non deacutetection signal alors qursquoil est preacutesent (faux neacutegatif)
165
5
Proba = 5 si seuil de deacutecision = 165
Si mecircme seuil de deacutecision (165) mecircme proba drsquoerreur si signal agrave 2 fois le seuil de deacutecision = 33
2x165
5
Limite de deacutetection (3)
0
0
0
0
0
0
0
0
165 33
Niveau signal
seuil de decision type 1 type 2 gt0
nb erreurs 9 9
bonnes deacutecisions 955
eacutecart type bruit analyseur 10
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
1
signal theacuteorique
signal reacuteel
seuil de deacutecision
erreur type 1
erreur type 2
-20 0 20 40 60 80
Si distr normale et probabiliteacute de 95LDD=33
On prend geacuteneacuteralement LDD=3 = eacutecart-type de la mesure laquo proche de zeacutero raquo
33
Etalonnage drsquoun systegraveme de mesure
Etalonnage laquo Opeacuteration consistant agrave eacutetablir une relation entre les valeurs de la grandeur indiqueacutees par un appareil de mesure et les valeurs correspondantes de la grandeur reacutealiseacutees par des eacutetalons raquo (VIM)
160
165
170
175
180
185
190
195
0 20 40 60 80 100
H
C pF
66
Etalonnage Creacuteation drsquoun modegravele de comportement
ETALONNAGE
Variables Xmesureacutees
(capteurs)
Variables Ymesureacutees(analyseshellip)
modegravele ou
Preacutedicteur F
Creacuteation modegravele
de comportement
Y=F(X)
PREDICTION
Variables Xmesureacutees(capteurs)
Estimation des
variables Y
Modegravele
Calcul de
preacutedictiontensions
Calibration Creation of a behavior model
34
67
Eacutetalonnage - calibrage
Eacutetalonnage (calibration) = calcul complet du modegravele neacutecessite un laquo grand raquo nombre drsquoexpeacuteriences
tension
pression
bull Calibrage ou ajustement de zeacutero (zero adjustment) = laquo recalage raquo du modegravele neacutecessite 1 expeacuterience (laquo zeacutero raquo) voire 2 (laquo zeacutero + gain raquo)
tension
pression
bullCorrection variations de fabrication
bullCorrection deacuterive
bullCorrection changement conditions expeacuterimentales (tempeacuterature tarage drsquoune balancehellip)
bullEtchellip
Si le modegravele nrsquoest pas lineacuteaire le calibrage ne peut corriger que de faibles variationshellip
68
Les moindres carreacutes
Meacutethode des moindres carreacutes (monovariable)
laquo minimal raquo pour lrsquoensemble des mesures en trouvant la
fonction optimale f
On veut modeacuteliser pour toutes les mesures (i) ෝ119962119946 = 119839(119961119946) en fait agrave partir
des expeacuteriences on a 119962119946 = 119839 119961119946 + 119942119946 ougrave 119942119946 = laquo reacutesidu raquo ou erreur
On utilise geacuteneacuteralement la distance Euclidienne
laquo minimale raquo en optimisant les 120637119947
The least Squares
120637119947 repreacutesente ici le ou les paramegravetres de la fonction agrave optimiser f (ex coefs polynocircme)
119942119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947
119946
119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947120784
35
69
La reacutegression lineacuteaire
Monovariable (y=f(x) ) + hypothegravese lineacuteaire (y=ax+b)
2 cas
X
Minimisations des erreurs sur Y
Reacutegression de yx
ybaxy e
Y
Minimisation des erreurs sur X
X
Reacutegression de xy
xbyax e ˆ
1ˆ
a
bx
ay
Attention une reacutegression de yx avec des
erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne une
erreur systeacutematique sur la pentehellip
Y
Linear regression
70
La reacutegression lineacuteaire yx ou xy
Attention une reacutegression de yx avec des erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne
une erreur systeacutematique sur la pentehellip
Diffeacuterence neacutegligeable dans une majoriteacute de cashellip
y = 10036x - 00354
-2
0
2
4
6
8
10
12
-2 0 2 4 6 8 10 12
y = 06669x + 16244
-2
0
2
4
6
8
10
12
-2 0 2 4 6 8 10 12
Reacutegression YX Reacutegression XY
36
71
Caracteacuteristiques de la reacutegression yx
Estimations de a et b
)(
)(
)x(x
)y)(yx(x
=a2
i
i
ii
xVar
yxCov
i
xayb
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
Calcul Excel agrave lrsquoaide debull Courbe de tendancebull droitereg
72
Erreur lieacutee agrave la mesure
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
2n
)y(yi
2
ii
yx
s
Ecart Type des reacutesidus
= ET de lrsquoerreur lieacutee agrave la mesure= ET de preacutediction que lrsquoon aurait (mecircmes conditions) si le modegravele eacutetait sans erreur
Mais le modegravele nrsquoest jamais exact
Erreur que lrsquoon aurait mecircme si le modegravele eacutetait parfait agrave cause de lrsquoerreur aleacuteatoire sur xhellipRepreacutesenteacutee par lrsquohellip
Rappel reacutesidu = eacutecart entre valeur preacutedite (sur droite de regression donc) et valeur expeacuterimentale
37
73
Erreur de modeacutelisation
Estimations incertitudes de a et b
baxy ˆ
Y
i
xyss
2
i
a
)x(xEcart type de la pente
i
i
i
xybn
x
ss2
i
2
)x(x
Ecart type de lrsquoordonneacutee agrave lrsquoorigine
Calcul Excel agrave lrsquoaide de la fonction laquo droitereg raquo
temps h tension
0 300E-05
1 440E-05
2 900E-05
3 900E-05
4 100E-04
formule =DROITEREG(YX11)
pente 00000186 00000336 OAO
s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO
R 0870821587 130792E-05 s(resid)
2022369447 3 N DL
34596E-09 5132E-10000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5TP5
Incertitude de preacutediction
74
2
2
11)ˆ(
xx
xX
mstYI
i
xy
bull m= nb eacutechantillons deacutetalonnagebull xi = valeurs deacutetalonnage dont moyenne xbull X = valeur deacutechantillon de preacutedictionbull Syx = eacutecart-type des reacutesidus
x
E Lieacutee agrave la mesure
E Type du modegravele
bull Si modegravele laquo parfait raquo (ou m grand) xystYI )ˆ(
bull Lrsquoincertitude augmente si X srsquoeacuteloigne de (problegraveme de lrsquoextrapolation) x
bull Deacutepend (un peuhellip) de X
I(pred)2=I(lieacutee agrave la mesure)2 + I(modelisation)2
TP6
38
75
Mesure de la qualiteacute dajustement dune reacutegression lineacuteaire
Var(Y) = Var( aX+b) + Var(e
information totale = information modeacuteliseacutee + information reacutesiduelle
Coef De deacutetermination
totale)Var(info
modeacuteliseacutee) Var(infodR
)()(
)(
YX
YXCovRc
Coef de correacutelation
Rd=Rc2
Y
76
Le coef de correacutelation utilisation
0
5
10
15
20
25
30
35
0 2 4 6 8 10 12
R=075
0
5
10
15
20
25
0 2 4 6 8 10 12
R=075
-100
0
100
200
300
400
500
600
0 5 10 15
R=075
Le cœfficient de correacutelation ne sert
agrave quantifier que les relations
lineacuteaires entre X et Yvariables
Il perd toute signification degraves lors
que les reacutesidus
R=08
R=08
R=08
39
77
Reacutegression lineacuteaire examen des reacutesidus
Veacuterification lineacuteariteacute
A corriger
eacuteventuellement avec
reacutegression non lineacuteaire
Deacutetection points
aberrants (outliers)A eacuteliminer apregraves
veacuterification et avec
preacutecautionshellip
Ri=yi-(axi+b)
Reacutesidu = information non
modeacuteliseacutee ideacutealement
erreur aleacuteatoire
residuals
paramegravetres modeacutelisation des donneacutees
ET bruit
v0
v1
a
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
850
900
950
y = 07063x - 39517
-100
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (m
V)
courant (mA)
Valeurs mesureacutees
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (
mV
)
courant (mA)
Graphe des reacutesidus mesure - droiteregr
78
Reacutegression non lineacuteaire reacutegression polynomiale
Ex courbe de
tendance dExcel
temps h
0
1
2
3
4
000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5
Permet de modeacuteliser la plupart des problegravemes peu non lineacuteaireshellip
demo TP7
40
79
Biblio amp liens utilesBouquins
Statistics for analytical Chemistry 3 rd ed JC Miller and JN Miller John Wiley amp Sons 1998
Multivariate Statistical Methods A Primer BFJ Monley Chapman amp Hall 1986
Modeacutelisation et estimation des erreurs de mesure M Neuilly CETAMA Lavoisier Paris 1993
Sites WWW
httpphysicsnistgovcuuUncertaintyindexhtml excellent site simple et succinct mais de reacutefeacuterence
sur la calcul des incertitudes ce document sen est beaucoup inspireacute Un cours plus complet de
statistiques est disponible agrave httpwwwitlnistgovdiv898handbook
httpswwwansesfrfrcontentguide-de-validation-des-mC3A9thodes-danalyses-des-laboratoires-de-rC3A9fC3A9rence Guide de lrsquoANSES Agence nationale de seacutecuriteacute sanitaire
de lrsquoalimentation de lrsquoenvironnement et du travail
httpwwwjybaudotfrStatsstatshtml Encyclopeacutedie des stats de Jean-Yves Baudot agrave la foi preacutecis vulgarisateur et marrant un challenge en statistiques
httpfrfreestatisticsinfoindexphp Collection de liens et surtout de Freewares sur les stats
8062
La norme AFNOR la plus utiliseacutee
httpwwwasqualabcomdocumentsqualitemetrologie19-unites_pifometriquespdf
11
Encore du vocabulairehellip
21
Erreur aleacuteatoire
Reacutepeacutetabiliteacute fideacuteliteacute
Variables influenccedilantes
Erreur systeacutematique
biaisjustesse
Reproductibiliteacute
exactitude
22
Caracteacuterisation de la mesure
Moyenne estimeacutee de n mesures dune mecircme valeur xR
n
ixn
x1
1
xR = valeur reacuteelle
R
n
xx
)lim(
(loi des grands nombres)
Estimated mean
Law of large numbers
(Si erreur aleacuteatoire)
2RxxV Variance (de lrsquoerreur aleacuteatoire)
Variance (of random error)Homogegravene au carreacute de la
grandeur mesureacutee
Caracteacuterisation de lrsquoerreur aleacuteatoire
=Moyenne du carreacute de lrsquoerreur
12
23
n
i xxn
s1
2)(1
1Ecart-type estimeacute de
lerreur aleacuteatoire
Ecart-type de lerreur aleacuteatoire
xr
Ecart type
relatif
n
RiRi xxn
xx1
22)(
1
Valeur reacuteelle
Agrave priori inconnuehellip
Standard deviation of random error
Ecart-type de
lerreur aleacuteatoire V
et s ont mecircme espeacuterancehellip
Homogegravene agrave la grandeur mesureacutee
n
ixn
x1
1
n
xx
)()(
Ecart-type de la moyenne de n mesures
24
Distributions drsquoerreurs (aleacuteatoires)
Gaussienne ou normale
Uniforme
Poissonnienne
Etchellip La plus reacutepandue gracircce au Theacuteoregraveme central limitehellip
e0
F(e)Courbe de distribution
de lerreur
Distributions of errors
Gaussian or normal
Uniform
Poissonnian
නminusinfin
0
119865 120576 119889120576 = න0
+infin
119865 120576 119889120576 = 05
A
Probabiliteacute P(A)= 119860 119865 120576 119889120576
13
25
Theacuteoregraveme central limite
Si une variable est la reacutesultante dungrand nombre de causes petites agrave effetadditif cette variable tend vers une loinormale
Cest agrave cause de cette interpreacutetation quela loi normale est tregraves souvent employeacuteecomme modegravele (malheureusement pastoujours agrave raison)
Demo
Central Limit Theorem
26
La distribution Gaussienne (ou normale)
0
01
02
03
04
05
3 2 0 2 3Ecart agrave la moyenne x-x = eacutecart-type
683 des valeurs
2 955 des valeurs
3 997 des valeurs
Proba largeur
50 067middotσ
68 1middotσ
70 104middotσ
87 15middotσ
90 165middotσ
95 196middotσ
99 256middotσ
997 3middotσ
999 328middotσ
99999 999 8 6middotσ
Tableau des coefficients laquo t raquo de Student
tXXprobaP R
=1-LOISTUDENT(tN2)
N= nb eacutechantillons utiliseacutes pour le calcul de s gt20
2
2
1
2
1)(
xx
exF
14
httpwwwjybaudotfrInferentielletstudenthtml
Le coefficient t de Student
tXXprobaP R
P=LOISTUDENT(tN2)
N= nb eacutechantillons utiliseacutes pour le calcul de s -1= nb de degreacutes de liberteacute
Coefs de Student t
intervalle de conf 900 950 980 990 999
p 01 005 002 001 0001
N=nb deg lib
1 631 1271 3182 6366 63662
2 292 430 696 992 3160
3 235 318 454 584 1292
4 213 278 375 460 861
5 202 257 336 403 687
6 194 245 314 371 596
7 189 236 300 350 541
8 186 231 290 336 504
9 183 226 282 325 478
10 181 223 276 317 459
12 178 218 268 305 432
14 176 214 262 298 414
17 174 211 257 290 397
20 172 209 253 285 385
30 170 204 246 275 365
40 168 202 242 270 355
50 168 201 240 268 350
100 166 198 236 263 339
100000 164 196 233 258 329
Relation eacutecart-type Gaussienne valable uniquement si eacutecart-type s parfaitement connu (n=infin)Pratiquement s issu dun calcul statistique-gtLoi de Student(tend vers gaussienne si n grand ngt20)
t=LOISTUDENTINVERSEBILATERALE(PN)
Rappel valable uniquement pour loi gaussienne
28
Distribution de Poisson
Ex comptage drsquoeacutevegravenements non simultaneacutes (deacutesinteacutegration radioactive queuehellip)
Moyenne m
Variance m
demo
15
29
Distribution Uniforme
Ex discreacutetisation de la mesurehellip
TP1
M-d2 M M+d2
d
Moyenne M
Ecart-type
Les tests drsquohypothegravese
30
Significance tests
bull Deacutemarche consistant agrave eacutevaluer une hypothegravese statistique agrave partir dun jeu de donneacutees (eacutechantillon)
bull Le reacutesultat du test nrsquoest pas absolu mais est une probabiliteacute qui est une aide agrave la validation ou non de lrsquohypothegravese initiale il ne constitue donc jamais une preuve
Tests parameacutetriques(hypothegravese sur distribution + ou ndash neacutecessaire)
1-sample T-test Comp Eacutechantillon agrave valeur de reacutefeacuterence intervalle de confiance
2-samples T-test Comparaison de 2 eacutechantillons
F-Test Comparaison de la variance de 2 eacutechantillons
ANOVA Analyse de variance analyse des variances de K eacutechantillons comparaison des moyennes
Chi-Square test Utilisation notamment pour veacuterifier une hypothegravese de distribution
Grubbsrsquo test Deacutetection des valeurs aberrantes (laquo outliers raquo)
Tests non parameacutetriques(pas drsquohypothegravese sur distribution)
Test WilcoxonMW Comparaison de 2 eacutechantillons meacutethode de rang
En rouge tests deacutecrits + loin sinon voir biblio ou google
16
31
95
one-sample T-test laquo simplifieacute raquoComparaison de la mesure M drsquoun eacutechantillon agrave une valeur de reacutefeacuterence R on suppose que la distribution est normale
Hypothegravesesbull laquo M est diffeacuterent de R raquobull laquo M est significativement diffeacuterent de R raquo
Cette hypothegravese de diffeacuterence H1 est retenue si sa probabiliteacute est supeacuterieure agrave 95 (par exemple) (ou si la probabiliteacute drsquoeacutegaliteacute est infeacuterieure agrave 5 (H2)
1 mesure M eacutecart-type estimeacute de la mesure s distr gaussienne
MR
-4srsquo -3srsquo -2srsquo ndashsrsquo 0 srsquo 2srsquo 3srsquo 4srsquo
Hypothegravese retenue si
stRM
si s est calculable laquo preacuteciseacutement raquo
(t=coef de Student)
H1 95 (ou H2 5)
H1 99 (ou H2 1)
H1 999 (ou H2 01)
t 196 256 328
Oui quasiment toujours agrave cause de lrsquoerreur aleacuteatoirehellip
bull laquo La diffeacuterence entre M et R nrsquoest pas due qursquoagrave lrsquoerreur aleacuteatoire raquo
ngt20 sinon tableau des coefs de Studenthellip
32
95
one-sample T-test laquo officiel raquo
Comparaison de la moyenne micro drsquoun eacutechantillon agrave une valeur de reacutefeacuterence R on suppose que la distribution est normaleHypothegravese laquo la diffeacuterence entre la moyenne de n mesures et une valeur de reacutefeacuterence nrsquoest pas due qursquoaux erreurs aleacuteatoires raquo
Cette hypothegravese est retenue si sa probabiliteacute est supeacuterieure agrave 95 (par exemple)
n mesures moyenne m eacutecart-type estimeacute de chaque mesure s
On montre (+ loinhellip) que lrsquoeacutecart-type estimeacute de la moyenne est n
ss
m R
-4srsquo -3srsquo -2srsquo ndashsrsquo 0 srsquo 2srsquo 3srsquo 4srsquo
Hypothegravese retenue si
n
stR m
si s est calculable laquo preacuteciseacutement raquo
(t=coef de Student)
H1 95 (ou H2 5)
H1 99 (ou H2 1)
H1 999 (ou H2 01)
t 196 256 328
17
one-sample T-test exemple
Hypothegravese laquo la diffeacuterenceentre la moyenne de npesages drsquoune masse eacutetalonde 1 kg et la valeur de cettemasse nrsquoest pas due qursquoauxerreurs aleacuteatoires raquo
n
stR m
n
s
Rt
m
1 104946993
2 111917309 Etalon R (kg) 10000
3 099865798
4 101040713
5 114655592
6 097054733
7 114894136
8 108005111 moyenne micro 104614199
9 103044121 Ecart-type s 005326172
10 098202478
11 105094267 00461
12 106252219
13 102608401
14 104961426 002381937 (t=2)
15 103483134 (n=20)
16 103475702
17 098306671
18 109287381
19 097490694
20 107697103
08
09
1
11
12
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
Rm
n
st
Il existe un laquo biais raquohellip
34
two-sample T-test
Comparaison de 2 moyennes de 2 eacutechantillons on suppose que la distribution est normaleHypothegravese laquo la diffeacuterence entre les 2 moyennes nrsquoest pas due qursquoaux erreurs aleacuteatoires raquo
Ech 1 Ech 2
Nb mesures n1 n2
Ecart type estimeacute s1 s2
Moyenne estimeacutee m1 m2
Comparaison de m1 et m2Peut se ramener agrave un 1-sample-test en comparant |m1-m2| agrave 0
On prend alors comme eacutecart-type de |m1-m2|
2
2
2
1
2
1
n
s
n
ss
(deacutemontreacute dans partie laquo lois de propagation de lrsquoerreur raquo)
Et le nombre de degreacutes de liberteacute est en 1ere approx n1+n2-2
st21 mmHypothegravese retenue si
Cette hypothegravese est retenue si sa probabiliteacute est supeacuterieure agrave 95 (par exemple)
2
2
2
1
2
121
n
s
n
st mm
18
two-sample T-test exemple
2
2
2
1
2
121
n
s
n
st mm
op1 op2 op1 op2
359385514 349673556 moyenne micro 354463973 355551443
358810682 350481358 eacutecart-type s 004510027 004809217
353371004 347201328
352760094 3553306 |micro1-micro2| 00108747344867115 357512954
351024893 355717682
360880932 362969549
353927667 366487781 00139361355719746 354702026
352552333 354598904 n 43 t=2
349798625 348741103
349706929 356409401 st 002787228
356771949 356622487
359781434 354564972
354032574 350388551
357799787 365577103
349003712 355839436
357276739 353637213
361263276 357229694
350544464 356392763
360261554
352637678
35652033
358384532
350903522
33
335
34
345
35
355
36
365
37
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25
2
2
2
1
2
1
n
s
n
ss
Hypothegravese laquo la diffeacuterence entre les moyennes de pesages drsquoune mecircme masse par 2 opeacuterateurs nrsquoest pas due qursquoaux erreurs aleacuteatoires raquo
1 2
Il existe un laquo biais entre les 2 opeacuterateursraquohellip
TP2
36
Intervalle de confianceLintervalle de confiance agrave p (95) drsquoune mesure x est un intervalle de valeurs qui a une probabiliteacute centreacutee p (95) de contenir la vraie valeur xR du paramegravetre estimeacute
xx
La calcul de et en fonction de la probabiliteacute P (geacuteneacuteralement 95) deacutepend de la loi de
distribution de lerreur
0
et = incertitude agrave p (95)
Distribution symeacutetrique
bull =
bullValeur moyenne de la mesure
= la plus probable0
Confidence interval
21)()( pxxPxxP RR
Distribution normale
19
37
Intervalle de confiance cas de la distribution normale
Lintervalle de confiance agrave p (95) drsquoune mesure x est un intervalle de valeurs qui a une probabiliteacute centreacutee p (95) de contenir la vraie valeur xR du paramegravetre estimeacute
xx
0
01
02
03
04
05
3 2 0 2 3Ecart agrave la moyenne x-x = eacutecart-type
683 des mesures
2 955 des mesures
3 997 des mesures
stxstx
Coefs de Student t
intervalle de conf 900 950 980 990 999
p 01 005 002 001 0001
deg lib
1 631 1271 3182 6366 63662
2 292 430 696 992 3160
3 235 318 454 584 1292
4 213 278 375 460 861
5 202 257 336 403 687
6 194 245 314 371 596
7 189 236 300 350 541
8 186 231 290 336 504
9 183 226 282 325 478
10 181 223 276 317 459
12 178 218 268 305 432
14 176 214 262 298 414
17 174 211 257 290 397
20 172 209 253 285 385
30 170 204 246 275 365
40 168 202 242 270 355
50 168 201 240 268 350
100 166 198 236 263 339
100000 164 196 233 258 329
38
Loi normale
95
Eacutecriture drsquoune mesure (distribution normale)
Le reacutesultat drsquoune mesure doit comporter 4 eacuteleacutements Ex CNO = 1253 ppb 17 ppb (agrave 95 ou t=2)
1 2 3 41 Valeur numeacuterique avec un nombre correct de deacutecimales2 Uniteacute3 Incertitude eacutelargie = t4 Le coefficient drsquoeacutelargissement t utiliseacute
Probabiliteacute en pour que la valeur reacuteelle
soit dans lrsquointervalle tsxtsx
1 Numerical value with a correct number of decimals2 Unit3 expanded uncertainty = ts4 Coverage factor t
20
39
Eacutevaluation de lrsquoincertitude
Eacutevaluation par analyse statistique de seacuteries de mesures (laquo type A raquo)
(geacuteneacuteralement mesure mais aussi simulation)
Eacutevaluation par calcul de lrsquoeffet sur lrsquoincertitude finale des diffeacuterentes
sources drsquoincertitude (laquo type B raquo laquo par tout autre moyen raquo) elles mecircme
eacutevalueacutees
par une meacutethode de type A
par des donneacutees constructeur drsquoeacutetalonnage etchellip
Il est alors neacutecessaire de connaicirctre les lois de propagation de
lrsquoerreurhellip
GUM Guide to the expression of Uncertainly in Measurement (1993)
Norme Franccedilaise X 07-020 AFNOR Aoucirct 1999
40
Eacutevaluation par analyse statistique de seacuteries de mesures
V
VERR
0
R0
R E
V mesureacute
0
0
RR
REV
Mesure et calcul avec un grand nombre N
de reacutesistances laquo eacutetalon raquo (R connu)
Calcul de lrsquoeacutecart-type
(en fait eacutecart-type estimeacute shellip)
Incertitude agrave 95 = t 2 (si Ngt15hellip)
Ne tient pas compte
-De lrsquoincertitude du Vmegravetre (V)
-Des incertitudes sur E R0 les reacutesistances
eacutetalonhellip
Exemple eacutevaluation drsquoune meacutethode de mesure drsquoune reacutesistance
21
41
Eacutevaluation par calcul de lrsquoeffet sur lrsquoincertitude finale des diffeacuterentes sources drsquoincertitude
V
VERR
0
2
2
0
2
0
2
0 )()()()(
V
V
ERE
V
RR
U
UER
(R0) (E) (V) connus
R0
R E
V mesureacute
Explication
Loi de propagation des eacutecart-types
combined standard uncertainty
Exemple eacutevaluation drsquoune meacutethode de mesure drsquoune reacutesistance
Quelle est la peseacutee la plus preacutecise
22
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes (1)
Exemple de la somme s=a+b
es
eb
ea
es=ea+ebRappel les erreurs srsquoajoutent algeacutebriquement
Et leur eacutecart-type
combined standard uncertainty for random amp independant errors
a b a+b282 151 433
261 171 432
264 168 432
345 202 548
332 190 523
279 208 488
317 155 472
270 209 479
310 186 496
340 156 495
moyenne 300 180 480 480 somme moyennes
variance 011 005 016 016 somme variances
ecartype 033 023 039 055 somme eacutecart-types
000
100
200
300
400
500
600
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
a
b
a+b
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes (2)
Exemple de la somme s=a+b
Erreur aleacuteatoire
)()()( bas
)()()( bVaraVarbaVar
Les eacutecart-types ne srsquoajoutent pas
Les variances si
22baba 222
baba
Les eacutecart-types srsquoajoutent quadratiquement Si les erreurs sont indeacutependantes et aleacuteatoires
23
Quelle est la peseacutee la plus preacutecise
2
2
2
1 PIPIPI
54321 PPPPPP
2)(5 pIPI
)(5 pIPI
gkgP 2425
Rappel loi de propagation drsquoune laquo petite raquo erreur
n
i
i
xx
fy
1
)(
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
)(xfy xdx
dfxfxxf )()(
xdx
dfy
Cas particulier produit-exposant
(Th accroissements finis)
Proprieacuteteacute de la deacuteriveacutee logarithmique
119910 =119886 119887 1198883
11988912
∆119910
119910=
∆119886
119886+
∆119887
119887+ 3
∆119888
119888- 12
∆119889
119889
24
Loi de propagation de la variance et de lrsquoeacutecart-type
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
La variance est additive donc si les variables xi sont indeacutependantes
)()(1
n
i
i
xVx
fyV
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fy
Ecart type V(x)=((x))2
)(2)()(1
1 11
2
2
2
ji
n
i
n
ij ji
i
n
i
xxx
f
x
fx
x
fy Cov
Cas geacuteneacuteral (variables non indeacutependantes)
(non deacutemontreacutehellip)
48
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires (1)
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fyI I
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
Incertitude pour une distr normale I(y)=t(y) geacuteneacuteralement t~2
Sibull mecircmes coefs drsquoeacutelargissement tbull variables xi indeacutependantes
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fy
25
49
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes cas particuliers (1)
Ex somme ou diffeacuterence
cbay
222 )()()()( cbay
i
ii xay i
ii xay 2))(()( Combinaison lineacuteaire
n
ixn
x1
1
n
xx
nx
n )()(
1)(
1
2
Application fondamentale en instrumentation La moyenne
Demo
Loi des grands nombres
50
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires cas particuliers (2)
Produits et puissances
i
iixAy
i i
ii
x
x
y
y2
)()(
Somme quadratique des eacutecart-types relatifs
x
x)(Proprieacuteteacute inteacuteressante des eacutecart-types relatifs
21
3
d
cbay
2222)(
21)(
3)()()(
d
d
c
c
b
b
a
a
y
y
Exemple
TP3
Idem pour incertitudes I si I=t partout
26
51
Lois de propagation des erreurs aleacuteatoires exemple de la droite drsquoeacutetalonnage
Etalonnage
Deacutebit D=aV
0 le D le 10 Lh
a=08 LhmV plusmn001 (t=2)
Inc Sur V 01 mV (t=2)
Incertitude relative sur deacutebit Den fonction du deacutebit
22)()()(
V
VI
a
aI
D
DI
V = tension fournie par capteurhellip
22)()(
D
VaI
a
aI
Mesure des faibles valeurs peu preacutecise
a = inverse de la sensibiliteacute
Si D 0
Calcul de lrsquoincertitude par simulation de lrsquoerreur aleacuteatoire
ou meacutethode de Monte-Carlo
Ex y=f(x1x2)
x1 et x2 ont des erreurs aleacuteatoires (pas forcement indeacutependantes) caracteacuteriseacutees par
leur eacutecart-type s1 et s2
bullSimuler un certain nombre drsquoexpeacuteriences avec les
mecircmes valeurs x1 et x2 + erreur aleacuteatoire (tirages ne)
yi=f(x1+e1x2+e2) N fois
bullCalcul de lrsquoeacutecart type des yi
bullLes ei sont calculeacutes agrave lrsquoaide drsquoun geacuteneacuterateur de nombre
aleacuteatoires agrave distribution adeacutequate (geacuteneacuteralement normale)
Excel =LOINORMALEINVERSE(ALEA()0eacutecart-type)TP4
27
Calcul de lrsquoincertitude par simulation de lrsquoerreur aleacuteatoire exemple
moyenne des D 50012 Dmax 100000
Deacutebit 50000 E Type des D 00526 a 08000
tension V 62500 Incertitude 01052 I(a) 00100
I(V) 01000
Ndeg tirage (400) erreur sur a erreur sur V valeur a valeur V D=aV
1 -00010 00253 07990 62753 50142
2 00011 -00518 08011 61982 49654
3 00032 00436 08032 62936 50551
4 -00098 00026 07902 62526 49407
5 00021 00867 08021 63367 50824
6 -00064 -00202 07936 62298 49437
7 00017 -00820 08017 61680 49450
8 -00065 00444 07935 62944 49949
9 00009 00757 08009 63257 50663
10 -00049 -00318 07951 62182 49439
11 00130 00109 08130 62609 50901
12 00004 00084 08004 62584 50092
13 -00046 00031 07954 62531 49737
14 -00024 00249 07976 62749 50049
15 00047 00311 08047 62811 50543
16 -00021 -00251 07979 62249 49668
D=aV
0 le D le 10 Lh
a=08 LhmV plusmn001 (t=2)
Inc Sur V = 01 mV (t=2)
Tirage aleacuteatoire normal
+
LOINORMALEINVERSE(ALEA()0eacutecart-type)
Les erreurs srsquoajoutent algeacutebriquement
54
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation
La discreacutetisation intervient lorsque les valeurs finales constituent un ensemble discret
Reacutesolution d du systegraveme drsquoacquisition agrave ne pas confondre avec lrsquoincertitude ou la sensibiliteacute
d
V
0
001
002
003
004
005
006
007
008
009
01
0 005 01
Tension reacuteelle
Ten
sion
aff
icheacutee
Discretization uncertainty
28
55
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (2)
32
d dEcart type de lrsquoerreur due agrave la discreacutetisation
295295
0
95
dIII Incertitude totale
5d 6d 7d
Erreur maxi d2
Approximatif Monte-Carlo parfois preacutefeacuterablehellip
Incertitude agrave 95 due agrave la discreacutetisation 2d 2975095 ddINon
058d 0485d
295 ddI
56
Le laquo Dithering raquo
La preacutesence drsquoerreur aleacuteatoire permet ici drsquoameacuteliorer la laquo preacutecision raquo de la mesure
Pas de laquo bruit raquo pas de moyennage Pas de laquo bruit raquo moyenne 50
signaux
laquo bruit raquo pas de moyennage laquo bruit raquo moyenne 50 signaux
La meacutethode du moyennage peut reacuteduire aussi lrsquoerreur de discreacutetisation (= quantification)
On peut gagner 1 bit de reacutesolution chaque fois que lrsquoon multiplie par 4 la freacutequence drsquoeacutechantillonnagehellip
hellip agrave condition que le signal avant numeacuterisation contienne un bruit (aleacuteatoire et indeacutependant) de valeur efficace supeacuterieure agrave la reacutesolution initialehellip
demo
29
57
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (3) les deacutecimales significatives
Ecriture drsquoun nombre avec un nombre de chiffres fini Erreur de discreacutetisation
Pour une mesure lrsquoeacutecart type de lrsquoerreur introduite doit ecirctre petit devant celui
de lrsquoerreur de mesure initiale
Ex mesure = 4382659872 Eacutecart-type mesure = 055 (soit 0125 en relatif)
Doit-on eacutecrire
4382659872
438265
4383
Mais les systegravemes numeacuteriques peuvent donner beaucoup de chiffres significatifshellip
438
58
Mesure afficheacutee
reacutesolution
ET erreur discreacutetisation
ET erreur finale drsquoerreur due agrave la discreacutetisation
438265987
0000001
29 10-7 055 lt 10-3
43827
001
29 10-3 0550008 10-3
4383
01
0029 05506 014
438
1
029 062 13
440
10
289 294 434
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (4) les deacutecimales significatives exemple
32
d d
22 )()( dxX
Ex mesure = 4382659872 Eacutecart-type mesure = (x)= 055 (soit 0125 en relatif)
bullOn peut choisir la reacutesolution immeacutediatement plus petite que lrsquoeacutecart-type de la mesure
bullLrsquoeacutecart-type (ou lrsquoincertitude) afficheacute ne doit pas avoir plus de 2 chiffres significatifs
30
Capabiliteacute drsquoun systegraveme de mesure
Va deacutependre de la toleacuterance deacutesireacuteehellip
hellip et du coucirct de la mesure
capabiliteacute dun moyen de mesure = rapport entre lincertitude U du moyen de mesure et la toleacuterance IT exigeacutee
Veacuterification de la toleacuterance
Normes franccedilaises
( toleacuterance = exigence du client en terme de caracteacuteristique mesurable)
Toleacuterance capabiliteacute drsquoun systegraveme de mesure
T
Notion de risque-risque laquo client raquo(piegravece agrave rejeter mais retenue)-risque laquo fabricant raquo(piegravece agrave retenir mais rejeteacutee)
Mesure moyenne
T
Piegravece agrave rejeterPiegravece agrave retenir
T=ToleacuteranceU=incertitude
Distrib des erreurs de fabrication
Val reacuteelle
31
Reacuteconciliation des donneacutees
61
D1
I(D1)
D2
I(D2)
D3
I(D3)
bull 3 mesures redondantes (car en theacuteorie D1=D2+D3)bull A cause des incertitudes on nrsquoa jamais exactement D1=D2+D3
bull Comment (in)valider les mesures
Reacuteconciliation des donneacutees
bull La redondance permet aussi de reacuteduire lrsquoincertitude (cf moyenne)
Dernier TPhellip
Limite de deacutetection - LDD (1)Limit of Detection - LOD
6280
Pic de signal ou bruit de fond
LDD plus petite valeur non nulle mesurable pour une certaine probabiliteacute drsquoerreur sur le fait que la valeur vraie est nulle ou non
Seuil de deacutecision deacutetection si (Mesure gt Seuil deacutecision)
2 types drsquoerreur de deacutecision Type 1 deacutetection signal alors qursquoil est absent (faux positif)
Type 2 non deacutetection signal alors qursquoil est preacutesent (faux neacutegatif)
32
Limite de deacutetection (2)
6380
Type 1 deacutetection signal alors qursquoil est absent (faux positif)
Exemple probabiliteacute de 5 drsquoerreur de type 1 ou 2
Type 2 non deacutetection signal alors qursquoil est preacutesent (faux neacutegatif)
165
5
Proba = 5 si seuil de deacutecision = 165
Si mecircme seuil de deacutecision (165) mecircme proba drsquoerreur si signal agrave 2 fois le seuil de deacutecision = 33
2x165
5
Limite de deacutetection (3)
0
0
0
0
0
0
0
0
165 33
Niveau signal
seuil de decision type 1 type 2 gt0
nb erreurs 9 9
bonnes deacutecisions 955
eacutecart type bruit analyseur 10
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
1
signal theacuteorique
signal reacuteel
seuil de deacutecision
erreur type 1
erreur type 2
-20 0 20 40 60 80
Si distr normale et probabiliteacute de 95LDD=33
On prend geacuteneacuteralement LDD=3 = eacutecart-type de la mesure laquo proche de zeacutero raquo
33
Etalonnage drsquoun systegraveme de mesure
Etalonnage laquo Opeacuteration consistant agrave eacutetablir une relation entre les valeurs de la grandeur indiqueacutees par un appareil de mesure et les valeurs correspondantes de la grandeur reacutealiseacutees par des eacutetalons raquo (VIM)
160
165
170
175
180
185
190
195
0 20 40 60 80 100
H
C pF
66
Etalonnage Creacuteation drsquoun modegravele de comportement
ETALONNAGE
Variables Xmesureacutees
(capteurs)
Variables Ymesureacutees(analyseshellip)
modegravele ou
Preacutedicteur F
Creacuteation modegravele
de comportement
Y=F(X)
PREDICTION
Variables Xmesureacutees(capteurs)
Estimation des
variables Y
Modegravele
Calcul de
preacutedictiontensions
Calibration Creation of a behavior model
34
67
Eacutetalonnage - calibrage
Eacutetalonnage (calibration) = calcul complet du modegravele neacutecessite un laquo grand raquo nombre drsquoexpeacuteriences
tension
pression
bull Calibrage ou ajustement de zeacutero (zero adjustment) = laquo recalage raquo du modegravele neacutecessite 1 expeacuterience (laquo zeacutero raquo) voire 2 (laquo zeacutero + gain raquo)
tension
pression
bullCorrection variations de fabrication
bullCorrection deacuterive
bullCorrection changement conditions expeacuterimentales (tempeacuterature tarage drsquoune balancehellip)
bullEtchellip
Si le modegravele nrsquoest pas lineacuteaire le calibrage ne peut corriger que de faibles variationshellip
68
Les moindres carreacutes
Meacutethode des moindres carreacutes (monovariable)
laquo minimal raquo pour lrsquoensemble des mesures en trouvant la
fonction optimale f
On veut modeacuteliser pour toutes les mesures (i) ෝ119962119946 = 119839(119961119946) en fait agrave partir
des expeacuteriences on a 119962119946 = 119839 119961119946 + 119942119946 ougrave 119942119946 = laquo reacutesidu raquo ou erreur
On utilise geacuteneacuteralement la distance Euclidienne
laquo minimale raquo en optimisant les 120637119947
The least Squares
120637119947 repreacutesente ici le ou les paramegravetres de la fonction agrave optimiser f (ex coefs polynocircme)
119942119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947
119946
119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947120784
35
69
La reacutegression lineacuteaire
Monovariable (y=f(x) ) + hypothegravese lineacuteaire (y=ax+b)
2 cas
X
Minimisations des erreurs sur Y
Reacutegression de yx
ybaxy e
Y
Minimisation des erreurs sur X
X
Reacutegression de xy
xbyax e ˆ
1ˆ
a
bx
ay
Attention une reacutegression de yx avec des
erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne une
erreur systeacutematique sur la pentehellip
Y
Linear regression
70
La reacutegression lineacuteaire yx ou xy
Attention une reacutegression de yx avec des erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne
une erreur systeacutematique sur la pentehellip
Diffeacuterence neacutegligeable dans une majoriteacute de cashellip
y = 10036x - 00354
-2
0
2
4
6
8
10
12
-2 0 2 4 6 8 10 12
y = 06669x + 16244
-2
0
2
4
6
8
10
12
-2 0 2 4 6 8 10 12
Reacutegression YX Reacutegression XY
36
71
Caracteacuteristiques de la reacutegression yx
Estimations de a et b
)(
)(
)x(x
)y)(yx(x
=a2
i
i
ii
xVar
yxCov
i
xayb
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
Calcul Excel agrave lrsquoaide debull Courbe de tendancebull droitereg
72
Erreur lieacutee agrave la mesure
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
2n
)y(yi
2
ii
yx
s
Ecart Type des reacutesidus
= ET de lrsquoerreur lieacutee agrave la mesure= ET de preacutediction que lrsquoon aurait (mecircmes conditions) si le modegravele eacutetait sans erreur
Mais le modegravele nrsquoest jamais exact
Erreur que lrsquoon aurait mecircme si le modegravele eacutetait parfait agrave cause de lrsquoerreur aleacuteatoire sur xhellipRepreacutesenteacutee par lrsquohellip
Rappel reacutesidu = eacutecart entre valeur preacutedite (sur droite de regression donc) et valeur expeacuterimentale
37
73
Erreur de modeacutelisation
Estimations incertitudes de a et b
baxy ˆ
Y
i
xyss
2
i
a
)x(xEcart type de la pente
i
i
i
xybn
x
ss2
i
2
)x(x
Ecart type de lrsquoordonneacutee agrave lrsquoorigine
Calcul Excel agrave lrsquoaide de la fonction laquo droitereg raquo
temps h tension
0 300E-05
1 440E-05
2 900E-05
3 900E-05
4 100E-04
formule =DROITEREG(YX11)
pente 00000186 00000336 OAO
s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO
R 0870821587 130792E-05 s(resid)
2022369447 3 N DL
34596E-09 5132E-10000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5TP5
Incertitude de preacutediction
74
2
2
11)ˆ(
xx
xX
mstYI
i
xy
bull m= nb eacutechantillons deacutetalonnagebull xi = valeurs deacutetalonnage dont moyenne xbull X = valeur deacutechantillon de preacutedictionbull Syx = eacutecart-type des reacutesidus
x
E Lieacutee agrave la mesure
E Type du modegravele
bull Si modegravele laquo parfait raquo (ou m grand) xystYI )ˆ(
bull Lrsquoincertitude augmente si X srsquoeacuteloigne de (problegraveme de lrsquoextrapolation) x
bull Deacutepend (un peuhellip) de X
I(pred)2=I(lieacutee agrave la mesure)2 + I(modelisation)2
TP6
38
75
Mesure de la qualiteacute dajustement dune reacutegression lineacuteaire
Var(Y) = Var( aX+b) + Var(e
information totale = information modeacuteliseacutee + information reacutesiduelle
Coef De deacutetermination
totale)Var(info
modeacuteliseacutee) Var(infodR
)()(
)(
YX
YXCovRc
Coef de correacutelation
Rd=Rc2
Y
76
Le coef de correacutelation utilisation
0
5
10
15
20
25
30
35
0 2 4 6 8 10 12
R=075
0
5
10
15
20
25
0 2 4 6 8 10 12
R=075
-100
0
100
200
300
400
500
600
0 5 10 15
R=075
Le cœfficient de correacutelation ne sert
agrave quantifier que les relations
lineacuteaires entre X et Yvariables
Il perd toute signification degraves lors
que les reacutesidus
R=08
R=08
R=08
39
77
Reacutegression lineacuteaire examen des reacutesidus
Veacuterification lineacuteariteacute
A corriger
eacuteventuellement avec
reacutegression non lineacuteaire
Deacutetection points
aberrants (outliers)A eacuteliminer apregraves
veacuterification et avec
preacutecautionshellip
Ri=yi-(axi+b)
Reacutesidu = information non
modeacuteliseacutee ideacutealement
erreur aleacuteatoire
residuals
paramegravetres modeacutelisation des donneacutees
ET bruit
v0
v1
a
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
850
900
950
y = 07063x - 39517
-100
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (m
V)
courant (mA)
Valeurs mesureacutees
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (
mV
)
courant (mA)
Graphe des reacutesidus mesure - droiteregr
78
Reacutegression non lineacuteaire reacutegression polynomiale
Ex courbe de
tendance dExcel
temps h
0
1
2
3
4
000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5
Permet de modeacuteliser la plupart des problegravemes peu non lineacuteaireshellip
demo TP7
40
79
Biblio amp liens utilesBouquins
Statistics for analytical Chemistry 3 rd ed JC Miller and JN Miller John Wiley amp Sons 1998
Multivariate Statistical Methods A Primer BFJ Monley Chapman amp Hall 1986
Modeacutelisation et estimation des erreurs de mesure M Neuilly CETAMA Lavoisier Paris 1993
Sites WWW
httpphysicsnistgovcuuUncertaintyindexhtml excellent site simple et succinct mais de reacutefeacuterence
sur la calcul des incertitudes ce document sen est beaucoup inspireacute Un cours plus complet de
statistiques est disponible agrave httpwwwitlnistgovdiv898handbook
httpswwwansesfrfrcontentguide-de-validation-des-mC3A9thodes-danalyses-des-laboratoires-de-rC3A9fC3A9rence Guide de lrsquoANSES Agence nationale de seacutecuriteacute sanitaire
de lrsquoalimentation de lrsquoenvironnement et du travail
httpwwwjybaudotfrStatsstatshtml Encyclopeacutedie des stats de Jean-Yves Baudot agrave la foi preacutecis vulgarisateur et marrant un challenge en statistiques
httpfrfreestatisticsinfoindexphp Collection de liens et surtout de Freewares sur les stats
8062
La norme AFNOR la plus utiliseacutee
httpwwwasqualabcomdocumentsqualitemetrologie19-unites_pifometriquespdf
12
23
n
i xxn
s1
2)(1
1Ecart-type estimeacute de
lerreur aleacuteatoire
Ecart-type de lerreur aleacuteatoire
xr
Ecart type
relatif
n
RiRi xxn
xx1
22)(
1
Valeur reacuteelle
Agrave priori inconnuehellip
Standard deviation of random error
Ecart-type de
lerreur aleacuteatoire V
et s ont mecircme espeacuterancehellip
Homogegravene agrave la grandeur mesureacutee
n
ixn
x1
1
n
xx
)()(
Ecart-type de la moyenne de n mesures
24
Distributions drsquoerreurs (aleacuteatoires)
Gaussienne ou normale
Uniforme
Poissonnienne
Etchellip La plus reacutepandue gracircce au Theacuteoregraveme central limitehellip
e0
F(e)Courbe de distribution
de lerreur
Distributions of errors
Gaussian or normal
Uniform
Poissonnian
නminusinfin
0
119865 120576 119889120576 = න0
+infin
119865 120576 119889120576 = 05
A
Probabiliteacute P(A)= 119860 119865 120576 119889120576
13
25
Theacuteoregraveme central limite
Si une variable est la reacutesultante dungrand nombre de causes petites agrave effetadditif cette variable tend vers une loinormale
Cest agrave cause de cette interpreacutetation quela loi normale est tregraves souvent employeacuteecomme modegravele (malheureusement pastoujours agrave raison)
Demo
Central Limit Theorem
26
La distribution Gaussienne (ou normale)
0
01
02
03
04
05
3 2 0 2 3Ecart agrave la moyenne x-x = eacutecart-type
683 des valeurs
2 955 des valeurs
3 997 des valeurs
Proba largeur
50 067middotσ
68 1middotσ
70 104middotσ
87 15middotσ
90 165middotσ
95 196middotσ
99 256middotσ
997 3middotσ
999 328middotσ
99999 999 8 6middotσ
Tableau des coefficients laquo t raquo de Student
tXXprobaP R
=1-LOISTUDENT(tN2)
N= nb eacutechantillons utiliseacutes pour le calcul de s gt20
2
2
1
2
1)(
xx
exF
14
httpwwwjybaudotfrInferentielletstudenthtml
Le coefficient t de Student
tXXprobaP R
P=LOISTUDENT(tN2)
N= nb eacutechantillons utiliseacutes pour le calcul de s -1= nb de degreacutes de liberteacute
Coefs de Student t
intervalle de conf 900 950 980 990 999
p 01 005 002 001 0001
N=nb deg lib
1 631 1271 3182 6366 63662
2 292 430 696 992 3160
3 235 318 454 584 1292
4 213 278 375 460 861
5 202 257 336 403 687
6 194 245 314 371 596
7 189 236 300 350 541
8 186 231 290 336 504
9 183 226 282 325 478
10 181 223 276 317 459
12 178 218 268 305 432
14 176 214 262 298 414
17 174 211 257 290 397
20 172 209 253 285 385
30 170 204 246 275 365
40 168 202 242 270 355
50 168 201 240 268 350
100 166 198 236 263 339
100000 164 196 233 258 329
Relation eacutecart-type Gaussienne valable uniquement si eacutecart-type s parfaitement connu (n=infin)Pratiquement s issu dun calcul statistique-gtLoi de Student(tend vers gaussienne si n grand ngt20)
t=LOISTUDENTINVERSEBILATERALE(PN)
Rappel valable uniquement pour loi gaussienne
28
Distribution de Poisson
Ex comptage drsquoeacutevegravenements non simultaneacutes (deacutesinteacutegration radioactive queuehellip)
Moyenne m
Variance m
demo
15
29
Distribution Uniforme
Ex discreacutetisation de la mesurehellip
TP1
M-d2 M M+d2
d
Moyenne M
Ecart-type
Les tests drsquohypothegravese
30
Significance tests
bull Deacutemarche consistant agrave eacutevaluer une hypothegravese statistique agrave partir dun jeu de donneacutees (eacutechantillon)
bull Le reacutesultat du test nrsquoest pas absolu mais est une probabiliteacute qui est une aide agrave la validation ou non de lrsquohypothegravese initiale il ne constitue donc jamais une preuve
Tests parameacutetriques(hypothegravese sur distribution + ou ndash neacutecessaire)
1-sample T-test Comp Eacutechantillon agrave valeur de reacutefeacuterence intervalle de confiance
2-samples T-test Comparaison de 2 eacutechantillons
F-Test Comparaison de la variance de 2 eacutechantillons
ANOVA Analyse de variance analyse des variances de K eacutechantillons comparaison des moyennes
Chi-Square test Utilisation notamment pour veacuterifier une hypothegravese de distribution
Grubbsrsquo test Deacutetection des valeurs aberrantes (laquo outliers raquo)
Tests non parameacutetriques(pas drsquohypothegravese sur distribution)
Test WilcoxonMW Comparaison de 2 eacutechantillons meacutethode de rang
En rouge tests deacutecrits + loin sinon voir biblio ou google
16
31
95
one-sample T-test laquo simplifieacute raquoComparaison de la mesure M drsquoun eacutechantillon agrave une valeur de reacutefeacuterence R on suppose que la distribution est normale
Hypothegravesesbull laquo M est diffeacuterent de R raquobull laquo M est significativement diffeacuterent de R raquo
Cette hypothegravese de diffeacuterence H1 est retenue si sa probabiliteacute est supeacuterieure agrave 95 (par exemple) (ou si la probabiliteacute drsquoeacutegaliteacute est infeacuterieure agrave 5 (H2)
1 mesure M eacutecart-type estimeacute de la mesure s distr gaussienne
MR
-4srsquo -3srsquo -2srsquo ndashsrsquo 0 srsquo 2srsquo 3srsquo 4srsquo
Hypothegravese retenue si
stRM
si s est calculable laquo preacuteciseacutement raquo
(t=coef de Student)
H1 95 (ou H2 5)
H1 99 (ou H2 1)
H1 999 (ou H2 01)
t 196 256 328
Oui quasiment toujours agrave cause de lrsquoerreur aleacuteatoirehellip
bull laquo La diffeacuterence entre M et R nrsquoest pas due qursquoagrave lrsquoerreur aleacuteatoire raquo
ngt20 sinon tableau des coefs de Studenthellip
32
95
one-sample T-test laquo officiel raquo
Comparaison de la moyenne micro drsquoun eacutechantillon agrave une valeur de reacutefeacuterence R on suppose que la distribution est normaleHypothegravese laquo la diffeacuterence entre la moyenne de n mesures et une valeur de reacutefeacuterence nrsquoest pas due qursquoaux erreurs aleacuteatoires raquo
Cette hypothegravese est retenue si sa probabiliteacute est supeacuterieure agrave 95 (par exemple)
n mesures moyenne m eacutecart-type estimeacute de chaque mesure s
On montre (+ loinhellip) que lrsquoeacutecart-type estimeacute de la moyenne est n
ss
m R
-4srsquo -3srsquo -2srsquo ndashsrsquo 0 srsquo 2srsquo 3srsquo 4srsquo
Hypothegravese retenue si
n
stR m
si s est calculable laquo preacuteciseacutement raquo
(t=coef de Student)
H1 95 (ou H2 5)
H1 99 (ou H2 1)
H1 999 (ou H2 01)
t 196 256 328
17
one-sample T-test exemple
Hypothegravese laquo la diffeacuterenceentre la moyenne de npesages drsquoune masse eacutetalonde 1 kg et la valeur de cettemasse nrsquoest pas due qursquoauxerreurs aleacuteatoires raquo
n
stR m
n
s
Rt
m
1 104946993
2 111917309 Etalon R (kg) 10000
3 099865798
4 101040713
5 114655592
6 097054733
7 114894136
8 108005111 moyenne micro 104614199
9 103044121 Ecart-type s 005326172
10 098202478
11 105094267 00461
12 106252219
13 102608401
14 104961426 002381937 (t=2)
15 103483134 (n=20)
16 103475702
17 098306671
18 109287381
19 097490694
20 107697103
08
09
1
11
12
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
Rm
n
st
Il existe un laquo biais raquohellip
34
two-sample T-test
Comparaison de 2 moyennes de 2 eacutechantillons on suppose que la distribution est normaleHypothegravese laquo la diffeacuterence entre les 2 moyennes nrsquoest pas due qursquoaux erreurs aleacuteatoires raquo
Ech 1 Ech 2
Nb mesures n1 n2
Ecart type estimeacute s1 s2
Moyenne estimeacutee m1 m2
Comparaison de m1 et m2Peut se ramener agrave un 1-sample-test en comparant |m1-m2| agrave 0
On prend alors comme eacutecart-type de |m1-m2|
2
2
2
1
2
1
n
s
n
ss
(deacutemontreacute dans partie laquo lois de propagation de lrsquoerreur raquo)
Et le nombre de degreacutes de liberteacute est en 1ere approx n1+n2-2
st21 mmHypothegravese retenue si
Cette hypothegravese est retenue si sa probabiliteacute est supeacuterieure agrave 95 (par exemple)
2
2
2
1
2
121
n
s
n
st mm
18
two-sample T-test exemple
2
2
2
1
2
121
n
s
n
st mm
op1 op2 op1 op2
359385514 349673556 moyenne micro 354463973 355551443
358810682 350481358 eacutecart-type s 004510027 004809217
353371004 347201328
352760094 3553306 |micro1-micro2| 00108747344867115 357512954
351024893 355717682
360880932 362969549
353927667 366487781 00139361355719746 354702026
352552333 354598904 n 43 t=2
349798625 348741103
349706929 356409401 st 002787228
356771949 356622487
359781434 354564972
354032574 350388551
357799787 365577103
349003712 355839436
357276739 353637213
361263276 357229694
350544464 356392763
360261554
352637678
35652033
358384532
350903522
33
335
34
345
35
355
36
365
37
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25
2
2
2
1
2
1
n
s
n
ss
Hypothegravese laquo la diffeacuterence entre les moyennes de pesages drsquoune mecircme masse par 2 opeacuterateurs nrsquoest pas due qursquoaux erreurs aleacuteatoires raquo
1 2
Il existe un laquo biais entre les 2 opeacuterateursraquohellip
TP2
36
Intervalle de confianceLintervalle de confiance agrave p (95) drsquoune mesure x est un intervalle de valeurs qui a une probabiliteacute centreacutee p (95) de contenir la vraie valeur xR du paramegravetre estimeacute
xx
La calcul de et en fonction de la probabiliteacute P (geacuteneacuteralement 95) deacutepend de la loi de
distribution de lerreur
0
et = incertitude agrave p (95)
Distribution symeacutetrique
bull =
bullValeur moyenne de la mesure
= la plus probable0
Confidence interval
21)()( pxxPxxP RR
Distribution normale
19
37
Intervalle de confiance cas de la distribution normale
Lintervalle de confiance agrave p (95) drsquoune mesure x est un intervalle de valeurs qui a une probabiliteacute centreacutee p (95) de contenir la vraie valeur xR du paramegravetre estimeacute
xx
0
01
02
03
04
05
3 2 0 2 3Ecart agrave la moyenne x-x = eacutecart-type
683 des mesures
2 955 des mesures
3 997 des mesures
stxstx
Coefs de Student t
intervalle de conf 900 950 980 990 999
p 01 005 002 001 0001
deg lib
1 631 1271 3182 6366 63662
2 292 430 696 992 3160
3 235 318 454 584 1292
4 213 278 375 460 861
5 202 257 336 403 687
6 194 245 314 371 596
7 189 236 300 350 541
8 186 231 290 336 504
9 183 226 282 325 478
10 181 223 276 317 459
12 178 218 268 305 432
14 176 214 262 298 414
17 174 211 257 290 397
20 172 209 253 285 385
30 170 204 246 275 365
40 168 202 242 270 355
50 168 201 240 268 350
100 166 198 236 263 339
100000 164 196 233 258 329
38
Loi normale
95
Eacutecriture drsquoune mesure (distribution normale)
Le reacutesultat drsquoune mesure doit comporter 4 eacuteleacutements Ex CNO = 1253 ppb 17 ppb (agrave 95 ou t=2)
1 2 3 41 Valeur numeacuterique avec un nombre correct de deacutecimales2 Uniteacute3 Incertitude eacutelargie = t4 Le coefficient drsquoeacutelargissement t utiliseacute
Probabiliteacute en pour que la valeur reacuteelle
soit dans lrsquointervalle tsxtsx
1 Numerical value with a correct number of decimals2 Unit3 expanded uncertainty = ts4 Coverage factor t
20
39
Eacutevaluation de lrsquoincertitude
Eacutevaluation par analyse statistique de seacuteries de mesures (laquo type A raquo)
(geacuteneacuteralement mesure mais aussi simulation)
Eacutevaluation par calcul de lrsquoeffet sur lrsquoincertitude finale des diffeacuterentes
sources drsquoincertitude (laquo type B raquo laquo par tout autre moyen raquo) elles mecircme
eacutevalueacutees
par une meacutethode de type A
par des donneacutees constructeur drsquoeacutetalonnage etchellip
Il est alors neacutecessaire de connaicirctre les lois de propagation de
lrsquoerreurhellip
GUM Guide to the expression of Uncertainly in Measurement (1993)
Norme Franccedilaise X 07-020 AFNOR Aoucirct 1999
40
Eacutevaluation par analyse statistique de seacuteries de mesures
V
VERR
0
R0
R E
V mesureacute
0
0
RR
REV
Mesure et calcul avec un grand nombre N
de reacutesistances laquo eacutetalon raquo (R connu)
Calcul de lrsquoeacutecart-type
(en fait eacutecart-type estimeacute shellip)
Incertitude agrave 95 = t 2 (si Ngt15hellip)
Ne tient pas compte
-De lrsquoincertitude du Vmegravetre (V)
-Des incertitudes sur E R0 les reacutesistances
eacutetalonhellip
Exemple eacutevaluation drsquoune meacutethode de mesure drsquoune reacutesistance
21
41
Eacutevaluation par calcul de lrsquoeffet sur lrsquoincertitude finale des diffeacuterentes sources drsquoincertitude
V
VERR
0
2
2
0
2
0
2
0 )()()()(
V
V
ERE
V
RR
U
UER
(R0) (E) (V) connus
R0
R E
V mesureacute
Explication
Loi de propagation des eacutecart-types
combined standard uncertainty
Exemple eacutevaluation drsquoune meacutethode de mesure drsquoune reacutesistance
Quelle est la peseacutee la plus preacutecise
22
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes (1)
Exemple de la somme s=a+b
es
eb
ea
es=ea+ebRappel les erreurs srsquoajoutent algeacutebriquement
Et leur eacutecart-type
combined standard uncertainty for random amp independant errors
a b a+b282 151 433
261 171 432
264 168 432
345 202 548
332 190 523
279 208 488
317 155 472
270 209 479
310 186 496
340 156 495
moyenne 300 180 480 480 somme moyennes
variance 011 005 016 016 somme variances
ecartype 033 023 039 055 somme eacutecart-types
000
100
200
300
400
500
600
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
a
b
a+b
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes (2)
Exemple de la somme s=a+b
Erreur aleacuteatoire
)()()( bas
)()()( bVaraVarbaVar
Les eacutecart-types ne srsquoajoutent pas
Les variances si
22baba 222
baba
Les eacutecart-types srsquoajoutent quadratiquement Si les erreurs sont indeacutependantes et aleacuteatoires
23
Quelle est la peseacutee la plus preacutecise
2
2
2
1 PIPIPI
54321 PPPPPP
2)(5 pIPI
)(5 pIPI
gkgP 2425
Rappel loi de propagation drsquoune laquo petite raquo erreur
n
i
i
xx
fy
1
)(
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
)(xfy xdx
dfxfxxf )()(
xdx
dfy
Cas particulier produit-exposant
(Th accroissements finis)
Proprieacuteteacute de la deacuteriveacutee logarithmique
119910 =119886 119887 1198883
11988912
∆119910
119910=
∆119886
119886+
∆119887
119887+ 3
∆119888
119888- 12
∆119889
119889
24
Loi de propagation de la variance et de lrsquoeacutecart-type
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
La variance est additive donc si les variables xi sont indeacutependantes
)()(1
n
i
i
xVx
fyV
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fy
Ecart type V(x)=((x))2
)(2)()(1
1 11
2
2
2
ji
n
i
n
ij ji
i
n
i
xxx
f
x
fx
x
fy Cov
Cas geacuteneacuteral (variables non indeacutependantes)
(non deacutemontreacutehellip)
48
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires (1)
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fyI I
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
Incertitude pour une distr normale I(y)=t(y) geacuteneacuteralement t~2
Sibull mecircmes coefs drsquoeacutelargissement tbull variables xi indeacutependantes
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fy
25
49
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes cas particuliers (1)
Ex somme ou diffeacuterence
cbay
222 )()()()( cbay
i
ii xay i
ii xay 2))(()( Combinaison lineacuteaire
n
ixn
x1
1
n
xx
nx
n )()(
1)(
1
2
Application fondamentale en instrumentation La moyenne
Demo
Loi des grands nombres
50
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires cas particuliers (2)
Produits et puissances
i
iixAy
i i
ii
x
x
y
y2
)()(
Somme quadratique des eacutecart-types relatifs
x
x)(Proprieacuteteacute inteacuteressante des eacutecart-types relatifs
21
3
d
cbay
2222)(
21)(
3)()()(
d
d
c
c
b
b
a
a
y
y
Exemple
TP3
Idem pour incertitudes I si I=t partout
26
51
Lois de propagation des erreurs aleacuteatoires exemple de la droite drsquoeacutetalonnage
Etalonnage
Deacutebit D=aV
0 le D le 10 Lh
a=08 LhmV plusmn001 (t=2)
Inc Sur V 01 mV (t=2)
Incertitude relative sur deacutebit Den fonction du deacutebit
22)()()(
V
VI
a
aI
D
DI
V = tension fournie par capteurhellip
22)()(
D
VaI
a
aI
Mesure des faibles valeurs peu preacutecise
a = inverse de la sensibiliteacute
Si D 0
Calcul de lrsquoincertitude par simulation de lrsquoerreur aleacuteatoire
ou meacutethode de Monte-Carlo
Ex y=f(x1x2)
x1 et x2 ont des erreurs aleacuteatoires (pas forcement indeacutependantes) caracteacuteriseacutees par
leur eacutecart-type s1 et s2
bullSimuler un certain nombre drsquoexpeacuteriences avec les
mecircmes valeurs x1 et x2 + erreur aleacuteatoire (tirages ne)
yi=f(x1+e1x2+e2) N fois
bullCalcul de lrsquoeacutecart type des yi
bullLes ei sont calculeacutes agrave lrsquoaide drsquoun geacuteneacuterateur de nombre
aleacuteatoires agrave distribution adeacutequate (geacuteneacuteralement normale)
Excel =LOINORMALEINVERSE(ALEA()0eacutecart-type)TP4
27
Calcul de lrsquoincertitude par simulation de lrsquoerreur aleacuteatoire exemple
moyenne des D 50012 Dmax 100000
Deacutebit 50000 E Type des D 00526 a 08000
tension V 62500 Incertitude 01052 I(a) 00100
I(V) 01000
Ndeg tirage (400) erreur sur a erreur sur V valeur a valeur V D=aV
1 -00010 00253 07990 62753 50142
2 00011 -00518 08011 61982 49654
3 00032 00436 08032 62936 50551
4 -00098 00026 07902 62526 49407
5 00021 00867 08021 63367 50824
6 -00064 -00202 07936 62298 49437
7 00017 -00820 08017 61680 49450
8 -00065 00444 07935 62944 49949
9 00009 00757 08009 63257 50663
10 -00049 -00318 07951 62182 49439
11 00130 00109 08130 62609 50901
12 00004 00084 08004 62584 50092
13 -00046 00031 07954 62531 49737
14 -00024 00249 07976 62749 50049
15 00047 00311 08047 62811 50543
16 -00021 -00251 07979 62249 49668
D=aV
0 le D le 10 Lh
a=08 LhmV plusmn001 (t=2)
Inc Sur V = 01 mV (t=2)
Tirage aleacuteatoire normal
+
LOINORMALEINVERSE(ALEA()0eacutecart-type)
Les erreurs srsquoajoutent algeacutebriquement
54
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation
La discreacutetisation intervient lorsque les valeurs finales constituent un ensemble discret
Reacutesolution d du systegraveme drsquoacquisition agrave ne pas confondre avec lrsquoincertitude ou la sensibiliteacute
d
V
0
001
002
003
004
005
006
007
008
009
01
0 005 01
Tension reacuteelle
Ten
sion
aff
icheacutee
Discretization uncertainty
28
55
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (2)
32
d dEcart type de lrsquoerreur due agrave la discreacutetisation
295295
0
95
dIII Incertitude totale
5d 6d 7d
Erreur maxi d2
Approximatif Monte-Carlo parfois preacutefeacuterablehellip
Incertitude agrave 95 due agrave la discreacutetisation 2d 2975095 ddINon
058d 0485d
295 ddI
56
Le laquo Dithering raquo
La preacutesence drsquoerreur aleacuteatoire permet ici drsquoameacuteliorer la laquo preacutecision raquo de la mesure
Pas de laquo bruit raquo pas de moyennage Pas de laquo bruit raquo moyenne 50
signaux
laquo bruit raquo pas de moyennage laquo bruit raquo moyenne 50 signaux
La meacutethode du moyennage peut reacuteduire aussi lrsquoerreur de discreacutetisation (= quantification)
On peut gagner 1 bit de reacutesolution chaque fois que lrsquoon multiplie par 4 la freacutequence drsquoeacutechantillonnagehellip
hellip agrave condition que le signal avant numeacuterisation contienne un bruit (aleacuteatoire et indeacutependant) de valeur efficace supeacuterieure agrave la reacutesolution initialehellip
demo
29
57
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (3) les deacutecimales significatives
Ecriture drsquoun nombre avec un nombre de chiffres fini Erreur de discreacutetisation
Pour une mesure lrsquoeacutecart type de lrsquoerreur introduite doit ecirctre petit devant celui
de lrsquoerreur de mesure initiale
Ex mesure = 4382659872 Eacutecart-type mesure = 055 (soit 0125 en relatif)
Doit-on eacutecrire
4382659872
438265
4383
Mais les systegravemes numeacuteriques peuvent donner beaucoup de chiffres significatifshellip
438
58
Mesure afficheacutee
reacutesolution
ET erreur discreacutetisation
ET erreur finale drsquoerreur due agrave la discreacutetisation
438265987
0000001
29 10-7 055 lt 10-3
43827
001
29 10-3 0550008 10-3
4383
01
0029 05506 014
438
1
029 062 13
440
10
289 294 434
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (4) les deacutecimales significatives exemple
32
d d
22 )()( dxX
Ex mesure = 4382659872 Eacutecart-type mesure = (x)= 055 (soit 0125 en relatif)
bullOn peut choisir la reacutesolution immeacutediatement plus petite que lrsquoeacutecart-type de la mesure
bullLrsquoeacutecart-type (ou lrsquoincertitude) afficheacute ne doit pas avoir plus de 2 chiffres significatifs
30
Capabiliteacute drsquoun systegraveme de mesure
Va deacutependre de la toleacuterance deacutesireacuteehellip
hellip et du coucirct de la mesure
capabiliteacute dun moyen de mesure = rapport entre lincertitude U du moyen de mesure et la toleacuterance IT exigeacutee
Veacuterification de la toleacuterance
Normes franccedilaises
( toleacuterance = exigence du client en terme de caracteacuteristique mesurable)
Toleacuterance capabiliteacute drsquoun systegraveme de mesure
T
Notion de risque-risque laquo client raquo(piegravece agrave rejeter mais retenue)-risque laquo fabricant raquo(piegravece agrave retenir mais rejeteacutee)
Mesure moyenne
T
Piegravece agrave rejeterPiegravece agrave retenir
T=ToleacuteranceU=incertitude
Distrib des erreurs de fabrication
Val reacuteelle
31
Reacuteconciliation des donneacutees
61
D1
I(D1)
D2
I(D2)
D3
I(D3)
bull 3 mesures redondantes (car en theacuteorie D1=D2+D3)bull A cause des incertitudes on nrsquoa jamais exactement D1=D2+D3
bull Comment (in)valider les mesures
Reacuteconciliation des donneacutees
bull La redondance permet aussi de reacuteduire lrsquoincertitude (cf moyenne)
Dernier TPhellip
Limite de deacutetection - LDD (1)Limit of Detection - LOD
6280
Pic de signal ou bruit de fond
LDD plus petite valeur non nulle mesurable pour une certaine probabiliteacute drsquoerreur sur le fait que la valeur vraie est nulle ou non
Seuil de deacutecision deacutetection si (Mesure gt Seuil deacutecision)
2 types drsquoerreur de deacutecision Type 1 deacutetection signal alors qursquoil est absent (faux positif)
Type 2 non deacutetection signal alors qursquoil est preacutesent (faux neacutegatif)
32
Limite de deacutetection (2)
6380
Type 1 deacutetection signal alors qursquoil est absent (faux positif)
Exemple probabiliteacute de 5 drsquoerreur de type 1 ou 2
Type 2 non deacutetection signal alors qursquoil est preacutesent (faux neacutegatif)
165
5
Proba = 5 si seuil de deacutecision = 165
Si mecircme seuil de deacutecision (165) mecircme proba drsquoerreur si signal agrave 2 fois le seuil de deacutecision = 33
2x165
5
Limite de deacutetection (3)
0
0
0
0
0
0
0
0
165 33
Niveau signal
seuil de decision type 1 type 2 gt0
nb erreurs 9 9
bonnes deacutecisions 955
eacutecart type bruit analyseur 10
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
1
signal theacuteorique
signal reacuteel
seuil de deacutecision
erreur type 1
erreur type 2
-20 0 20 40 60 80
Si distr normale et probabiliteacute de 95LDD=33
On prend geacuteneacuteralement LDD=3 = eacutecart-type de la mesure laquo proche de zeacutero raquo
33
Etalonnage drsquoun systegraveme de mesure
Etalonnage laquo Opeacuteration consistant agrave eacutetablir une relation entre les valeurs de la grandeur indiqueacutees par un appareil de mesure et les valeurs correspondantes de la grandeur reacutealiseacutees par des eacutetalons raquo (VIM)
160
165
170
175
180
185
190
195
0 20 40 60 80 100
H
C pF
66
Etalonnage Creacuteation drsquoun modegravele de comportement
ETALONNAGE
Variables Xmesureacutees
(capteurs)
Variables Ymesureacutees(analyseshellip)
modegravele ou
Preacutedicteur F
Creacuteation modegravele
de comportement
Y=F(X)
PREDICTION
Variables Xmesureacutees(capteurs)
Estimation des
variables Y
Modegravele
Calcul de
preacutedictiontensions
Calibration Creation of a behavior model
34
67
Eacutetalonnage - calibrage
Eacutetalonnage (calibration) = calcul complet du modegravele neacutecessite un laquo grand raquo nombre drsquoexpeacuteriences
tension
pression
bull Calibrage ou ajustement de zeacutero (zero adjustment) = laquo recalage raquo du modegravele neacutecessite 1 expeacuterience (laquo zeacutero raquo) voire 2 (laquo zeacutero + gain raquo)
tension
pression
bullCorrection variations de fabrication
bullCorrection deacuterive
bullCorrection changement conditions expeacuterimentales (tempeacuterature tarage drsquoune balancehellip)
bullEtchellip
Si le modegravele nrsquoest pas lineacuteaire le calibrage ne peut corriger que de faibles variationshellip
68
Les moindres carreacutes
Meacutethode des moindres carreacutes (monovariable)
laquo minimal raquo pour lrsquoensemble des mesures en trouvant la
fonction optimale f
On veut modeacuteliser pour toutes les mesures (i) ෝ119962119946 = 119839(119961119946) en fait agrave partir
des expeacuteriences on a 119962119946 = 119839 119961119946 + 119942119946 ougrave 119942119946 = laquo reacutesidu raquo ou erreur
On utilise geacuteneacuteralement la distance Euclidienne
laquo minimale raquo en optimisant les 120637119947
The least Squares
120637119947 repreacutesente ici le ou les paramegravetres de la fonction agrave optimiser f (ex coefs polynocircme)
119942119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947
119946
119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947120784
35
69
La reacutegression lineacuteaire
Monovariable (y=f(x) ) + hypothegravese lineacuteaire (y=ax+b)
2 cas
X
Minimisations des erreurs sur Y
Reacutegression de yx
ybaxy e
Y
Minimisation des erreurs sur X
X
Reacutegression de xy
xbyax e ˆ
1ˆ
a
bx
ay
Attention une reacutegression de yx avec des
erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne une
erreur systeacutematique sur la pentehellip
Y
Linear regression
70
La reacutegression lineacuteaire yx ou xy
Attention une reacutegression de yx avec des erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne
une erreur systeacutematique sur la pentehellip
Diffeacuterence neacutegligeable dans une majoriteacute de cashellip
y = 10036x - 00354
-2
0
2
4
6
8
10
12
-2 0 2 4 6 8 10 12
y = 06669x + 16244
-2
0
2
4
6
8
10
12
-2 0 2 4 6 8 10 12
Reacutegression YX Reacutegression XY
36
71
Caracteacuteristiques de la reacutegression yx
Estimations de a et b
)(
)(
)x(x
)y)(yx(x
=a2
i
i
ii
xVar
yxCov
i
xayb
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
Calcul Excel agrave lrsquoaide debull Courbe de tendancebull droitereg
72
Erreur lieacutee agrave la mesure
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
2n
)y(yi
2
ii
yx
s
Ecart Type des reacutesidus
= ET de lrsquoerreur lieacutee agrave la mesure= ET de preacutediction que lrsquoon aurait (mecircmes conditions) si le modegravele eacutetait sans erreur
Mais le modegravele nrsquoest jamais exact
Erreur que lrsquoon aurait mecircme si le modegravele eacutetait parfait agrave cause de lrsquoerreur aleacuteatoire sur xhellipRepreacutesenteacutee par lrsquohellip
Rappel reacutesidu = eacutecart entre valeur preacutedite (sur droite de regression donc) et valeur expeacuterimentale
37
73
Erreur de modeacutelisation
Estimations incertitudes de a et b
baxy ˆ
Y
i
xyss
2
i
a
)x(xEcart type de la pente
i
i
i
xybn
x
ss2
i
2
)x(x
Ecart type de lrsquoordonneacutee agrave lrsquoorigine
Calcul Excel agrave lrsquoaide de la fonction laquo droitereg raquo
temps h tension
0 300E-05
1 440E-05
2 900E-05
3 900E-05
4 100E-04
formule =DROITEREG(YX11)
pente 00000186 00000336 OAO
s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO
R 0870821587 130792E-05 s(resid)
2022369447 3 N DL
34596E-09 5132E-10000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5TP5
Incertitude de preacutediction
74
2
2
11)ˆ(
xx
xX
mstYI
i
xy
bull m= nb eacutechantillons deacutetalonnagebull xi = valeurs deacutetalonnage dont moyenne xbull X = valeur deacutechantillon de preacutedictionbull Syx = eacutecart-type des reacutesidus
x
E Lieacutee agrave la mesure
E Type du modegravele
bull Si modegravele laquo parfait raquo (ou m grand) xystYI )ˆ(
bull Lrsquoincertitude augmente si X srsquoeacuteloigne de (problegraveme de lrsquoextrapolation) x
bull Deacutepend (un peuhellip) de X
I(pred)2=I(lieacutee agrave la mesure)2 + I(modelisation)2
TP6
38
75
Mesure de la qualiteacute dajustement dune reacutegression lineacuteaire
Var(Y) = Var( aX+b) + Var(e
information totale = information modeacuteliseacutee + information reacutesiduelle
Coef De deacutetermination
totale)Var(info
modeacuteliseacutee) Var(infodR
)()(
)(
YX
YXCovRc
Coef de correacutelation
Rd=Rc2
Y
76
Le coef de correacutelation utilisation
0
5
10
15
20
25
30
35
0 2 4 6 8 10 12
R=075
0
5
10
15
20
25
0 2 4 6 8 10 12
R=075
-100
0
100
200
300
400
500
600
0 5 10 15
R=075
Le cœfficient de correacutelation ne sert
agrave quantifier que les relations
lineacuteaires entre X et Yvariables
Il perd toute signification degraves lors
que les reacutesidus
R=08
R=08
R=08
39
77
Reacutegression lineacuteaire examen des reacutesidus
Veacuterification lineacuteariteacute
A corriger
eacuteventuellement avec
reacutegression non lineacuteaire
Deacutetection points
aberrants (outliers)A eacuteliminer apregraves
veacuterification et avec
preacutecautionshellip
Ri=yi-(axi+b)
Reacutesidu = information non
modeacuteliseacutee ideacutealement
erreur aleacuteatoire
residuals
paramegravetres modeacutelisation des donneacutees
ET bruit
v0
v1
a
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
850
900
950
y = 07063x - 39517
-100
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (m
V)
courant (mA)
Valeurs mesureacutees
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (
mV
)
courant (mA)
Graphe des reacutesidus mesure - droiteregr
78
Reacutegression non lineacuteaire reacutegression polynomiale
Ex courbe de
tendance dExcel
temps h
0
1
2
3
4
000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5
Permet de modeacuteliser la plupart des problegravemes peu non lineacuteaireshellip
demo TP7
40
79
Biblio amp liens utilesBouquins
Statistics for analytical Chemistry 3 rd ed JC Miller and JN Miller John Wiley amp Sons 1998
Multivariate Statistical Methods A Primer BFJ Monley Chapman amp Hall 1986
Modeacutelisation et estimation des erreurs de mesure M Neuilly CETAMA Lavoisier Paris 1993
Sites WWW
httpphysicsnistgovcuuUncertaintyindexhtml excellent site simple et succinct mais de reacutefeacuterence
sur la calcul des incertitudes ce document sen est beaucoup inspireacute Un cours plus complet de
statistiques est disponible agrave httpwwwitlnistgovdiv898handbook
httpswwwansesfrfrcontentguide-de-validation-des-mC3A9thodes-danalyses-des-laboratoires-de-rC3A9fC3A9rence Guide de lrsquoANSES Agence nationale de seacutecuriteacute sanitaire
de lrsquoalimentation de lrsquoenvironnement et du travail
httpwwwjybaudotfrStatsstatshtml Encyclopeacutedie des stats de Jean-Yves Baudot agrave la foi preacutecis vulgarisateur et marrant un challenge en statistiques
httpfrfreestatisticsinfoindexphp Collection de liens et surtout de Freewares sur les stats
8062
La norme AFNOR la plus utiliseacutee
httpwwwasqualabcomdocumentsqualitemetrologie19-unites_pifometriquespdf
13
25
Theacuteoregraveme central limite
Si une variable est la reacutesultante dungrand nombre de causes petites agrave effetadditif cette variable tend vers une loinormale
Cest agrave cause de cette interpreacutetation quela loi normale est tregraves souvent employeacuteecomme modegravele (malheureusement pastoujours agrave raison)
Demo
Central Limit Theorem
26
La distribution Gaussienne (ou normale)
0
01
02
03
04
05
3 2 0 2 3Ecart agrave la moyenne x-x = eacutecart-type
683 des valeurs
2 955 des valeurs
3 997 des valeurs
Proba largeur
50 067middotσ
68 1middotσ
70 104middotσ
87 15middotσ
90 165middotσ
95 196middotσ
99 256middotσ
997 3middotσ
999 328middotσ
99999 999 8 6middotσ
Tableau des coefficients laquo t raquo de Student
tXXprobaP R
=1-LOISTUDENT(tN2)
N= nb eacutechantillons utiliseacutes pour le calcul de s gt20
2
2
1
2
1)(
xx
exF
14
httpwwwjybaudotfrInferentielletstudenthtml
Le coefficient t de Student
tXXprobaP R
P=LOISTUDENT(tN2)
N= nb eacutechantillons utiliseacutes pour le calcul de s -1= nb de degreacutes de liberteacute
Coefs de Student t
intervalle de conf 900 950 980 990 999
p 01 005 002 001 0001
N=nb deg lib
1 631 1271 3182 6366 63662
2 292 430 696 992 3160
3 235 318 454 584 1292
4 213 278 375 460 861
5 202 257 336 403 687
6 194 245 314 371 596
7 189 236 300 350 541
8 186 231 290 336 504
9 183 226 282 325 478
10 181 223 276 317 459
12 178 218 268 305 432
14 176 214 262 298 414
17 174 211 257 290 397
20 172 209 253 285 385
30 170 204 246 275 365
40 168 202 242 270 355
50 168 201 240 268 350
100 166 198 236 263 339
100000 164 196 233 258 329
Relation eacutecart-type Gaussienne valable uniquement si eacutecart-type s parfaitement connu (n=infin)Pratiquement s issu dun calcul statistique-gtLoi de Student(tend vers gaussienne si n grand ngt20)
t=LOISTUDENTINVERSEBILATERALE(PN)
Rappel valable uniquement pour loi gaussienne
28
Distribution de Poisson
Ex comptage drsquoeacutevegravenements non simultaneacutes (deacutesinteacutegration radioactive queuehellip)
Moyenne m
Variance m
demo
15
29
Distribution Uniforme
Ex discreacutetisation de la mesurehellip
TP1
M-d2 M M+d2
d
Moyenne M
Ecart-type
Les tests drsquohypothegravese
30
Significance tests
bull Deacutemarche consistant agrave eacutevaluer une hypothegravese statistique agrave partir dun jeu de donneacutees (eacutechantillon)
bull Le reacutesultat du test nrsquoest pas absolu mais est une probabiliteacute qui est une aide agrave la validation ou non de lrsquohypothegravese initiale il ne constitue donc jamais une preuve
Tests parameacutetriques(hypothegravese sur distribution + ou ndash neacutecessaire)
1-sample T-test Comp Eacutechantillon agrave valeur de reacutefeacuterence intervalle de confiance
2-samples T-test Comparaison de 2 eacutechantillons
F-Test Comparaison de la variance de 2 eacutechantillons
ANOVA Analyse de variance analyse des variances de K eacutechantillons comparaison des moyennes
Chi-Square test Utilisation notamment pour veacuterifier une hypothegravese de distribution
Grubbsrsquo test Deacutetection des valeurs aberrantes (laquo outliers raquo)
Tests non parameacutetriques(pas drsquohypothegravese sur distribution)
Test WilcoxonMW Comparaison de 2 eacutechantillons meacutethode de rang
En rouge tests deacutecrits + loin sinon voir biblio ou google
16
31
95
one-sample T-test laquo simplifieacute raquoComparaison de la mesure M drsquoun eacutechantillon agrave une valeur de reacutefeacuterence R on suppose que la distribution est normale
Hypothegravesesbull laquo M est diffeacuterent de R raquobull laquo M est significativement diffeacuterent de R raquo
Cette hypothegravese de diffeacuterence H1 est retenue si sa probabiliteacute est supeacuterieure agrave 95 (par exemple) (ou si la probabiliteacute drsquoeacutegaliteacute est infeacuterieure agrave 5 (H2)
1 mesure M eacutecart-type estimeacute de la mesure s distr gaussienne
MR
-4srsquo -3srsquo -2srsquo ndashsrsquo 0 srsquo 2srsquo 3srsquo 4srsquo
Hypothegravese retenue si
stRM
si s est calculable laquo preacuteciseacutement raquo
(t=coef de Student)
H1 95 (ou H2 5)
H1 99 (ou H2 1)
H1 999 (ou H2 01)
t 196 256 328
Oui quasiment toujours agrave cause de lrsquoerreur aleacuteatoirehellip
bull laquo La diffeacuterence entre M et R nrsquoest pas due qursquoagrave lrsquoerreur aleacuteatoire raquo
ngt20 sinon tableau des coefs de Studenthellip
32
95
one-sample T-test laquo officiel raquo
Comparaison de la moyenne micro drsquoun eacutechantillon agrave une valeur de reacutefeacuterence R on suppose que la distribution est normaleHypothegravese laquo la diffeacuterence entre la moyenne de n mesures et une valeur de reacutefeacuterence nrsquoest pas due qursquoaux erreurs aleacuteatoires raquo
Cette hypothegravese est retenue si sa probabiliteacute est supeacuterieure agrave 95 (par exemple)
n mesures moyenne m eacutecart-type estimeacute de chaque mesure s
On montre (+ loinhellip) que lrsquoeacutecart-type estimeacute de la moyenne est n
ss
m R
-4srsquo -3srsquo -2srsquo ndashsrsquo 0 srsquo 2srsquo 3srsquo 4srsquo
Hypothegravese retenue si
n
stR m
si s est calculable laquo preacuteciseacutement raquo
(t=coef de Student)
H1 95 (ou H2 5)
H1 99 (ou H2 1)
H1 999 (ou H2 01)
t 196 256 328
17
one-sample T-test exemple
Hypothegravese laquo la diffeacuterenceentre la moyenne de npesages drsquoune masse eacutetalonde 1 kg et la valeur de cettemasse nrsquoest pas due qursquoauxerreurs aleacuteatoires raquo
n
stR m
n
s
Rt
m
1 104946993
2 111917309 Etalon R (kg) 10000
3 099865798
4 101040713
5 114655592
6 097054733
7 114894136
8 108005111 moyenne micro 104614199
9 103044121 Ecart-type s 005326172
10 098202478
11 105094267 00461
12 106252219
13 102608401
14 104961426 002381937 (t=2)
15 103483134 (n=20)
16 103475702
17 098306671
18 109287381
19 097490694
20 107697103
08
09
1
11
12
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
Rm
n
st
Il existe un laquo biais raquohellip
34
two-sample T-test
Comparaison de 2 moyennes de 2 eacutechantillons on suppose que la distribution est normaleHypothegravese laquo la diffeacuterence entre les 2 moyennes nrsquoest pas due qursquoaux erreurs aleacuteatoires raquo
Ech 1 Ech 2
Nb mesures n1 n2
Ecart type estimeacute s1 s2
Moyenne estimeacutee m1 m2
Comparaison de m1 et m2Peut se ramener agrave un 1-sample-test en comparant |m1-m2| agrave 0
On prend alors comme eacutecart-type de |m1-m2|
2
2
2
1
2
1
n
s
n
ss
(deacutemontreacute dans partie laquo lois de propagation de lrsquoerreur raquo)
Et le nombre de degreacutes de liberteacute est en 1ere approx n1+n2-2
st21 mmHypothegravese retenue si
Cette hypothegravese est retenue si sa probabiliteacute est supeacuterieure agrave 95 (par exemple)
2
2
2
1
2
121
n
s
n
st mm
18
two-sample T-test exemple
2
2
2
1
2
121
n
s
n
st mm
op1 op2 op1 op2
359385514 349673556 moyenne micro 354463973 355551443
358810682 350481358 eacutecart-type s 004510027 004809217
353371004 347201328
352760094 3553306 |micro1-micro2| 00108747344867115 357512954
351024893 355717682
360880932 362969549
353927667 366487781 00139361355719746 354702026
352552333 354598904 n 43 t=2
349798625 348741103
349706929 356409401 st 002787228
356771949 356622487
359781434 354564972
354032574 350388551
357799787 365577103
349003712 355839436
357276739 353637213
361263276 357229694
350544464 356392763
360261554
352637678
35652033
358384532
350903522
33
335
34
345
35
355
36
365
37
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25
2
2
2
1
2
1
n
s
n
ss
Hypothegravese laquo la diffeacuterence entre les moyennes de pesages drsquoune mecircme masse par 2 opeacuterateurs nrsquoest pas due qursquoaux erreurs aleacuteatoires raquo
1 2
Il existe un laquo biais entre les 2 opeacuterateursraquohellip
TP2
36
Intervalle de confianceLintervalle de confiance agrave p (95) drsquoune mesure x est un intervalle de valeurs qui a une probabiliteacute centreacutee p (95) de contenir la vraie valeur xR du paramegravetre estimeacute
xx
La calcul de et en fonction de la probabiliteacute P (geacuteneacuteralement 95) deacutepend de la loi de
distribution de lerreur
0
et = incertitude agrave p (95)
Distribution symeacutetrique
bull =
bullValeur moyenne de la mesure
= la plus probable0
Confidence interval
21)()( pxxPxxP RR
Distribution normale
19
37
Intervalle de confiance cas de la distribution normale
Lintervalle de confiance agrave p (95) drsquoune mesure x est un intervalle de valeurs qui a une probabiliteacute centreacutee p (95) de contenir la vraie valeur xR du paramegravetre estimeacute
xx
0
01
02
03
04
05
3 2 0 2 3Ecart agrave la moyenne x-x = eacutecart-type
683 des mesures
2 955 des mesures
3 997 des mesures
stxstx
Coefs de Student t
intervalle de conf 900 950 980 990 999
p 01 005 002 001 0001
deg lib
1 631 1271 3182 6366 63662
2 292 430 696 992 3160
3 235 318 454 584 1292
4 213 278 375 460 861
5 202 257 336 403 687
6 194 245 314 371 596
7 189 236 300 350 541
8 186 231 290 336 504
9 183 226 282 325 478
10 181 223 276 317 459
12 178 218 268 305 432
14 176 214 262 298 414
17 174 211 257 290 397
20 172 209 253 285 385
30 170 204 246 275 365
40 168 202 242 270 355
50 168 201 240 268 350
100 166 198 236 263 339
100000 164 196 233 258 329
38
Loi normale
95
Eacutecriture drsquoune mesure (distribution normale)
Le reacutesultat drsquoune mesure doit comporter 4 eacuteleacutements Ex CNO = 1253 ppb 17 ppb (agrave 95 ou t=2)
1 2 3 41 Valeur numeacuterique avec un nombre correct de deacutecimales2 Uniteacute3 Incertitude eacutelargie = t4 Le coefficient drsquoeacutelargissement t utiliseacute
Probabiliteacute en pour que la valeur reacuteelle
soit dans lrsquointervalle tsxtsx
1 Numerical value with a correct number of decimals2 Unit3 expanded uncertainty = ts4 Coverage factor t
20
39
Eacutevaluation de lrsquoincertitude
Eacutevaluation par analyse statistique de seacuteries de mesures (laquo type A raquo)
(geacuteneacuteralement mesure mais aussi simulation)
Eacutevaluation par calcul de lrsquoeffet sur lrsquoincertitude finale des diffeacuterentes
sources drsquoincertitude (laquo type B raquo laquo par tout autre moyen raquo) elles mecircme
eacutevalueacutees
par une meacutethode de type A
par des donneacutees constructeur drsquoeacutetalonnage etchellip
Il est alors neacutecessaire de connaicirctre les lois de propagation de
lrsquoerreurhellip
GUM Guide to the expression of Uncertainly in Measurement (1993)
Norme Franccedilaise X 07-020 AFNOR Aoucirct 1999
40
Eacutevaluation par analyse statistique de seacuteries de mesures
V
VERR
0
R0
R E
V mesureacute
0
0
RR
REV
Mesure et calcul avec un grand nombre N
de reacutesistances laquo eacutetalon raquo (R connu)
Calcul de lrsquoeacutecart-type
(en fait eacutecart-type estimeacute shellip)
Incertitude agrave 95 = t 2 (si Ngt15hellip)
Ne tient pas compte
-De lrsquoincertitude du Vmegravetre (V)
-Des incertitudes sur E R0 les reacutesistances
eacutetalonhellip
Exemple eacutevaluation drsquoune meacutethode de mesure drsquoune reacutesistance
21
41
Eacutevaluation par calcul de lrsquoeffet sur lrsquoincertitude finale des diffeacuterentes sources drsquoincertitude
V
VERR
0
2
2
0
2
0
2
0 )()()()(
V
V
ERE
V
RR
U
UER
(R0) (E) (V) connus
R0
R E
V mesureacute
Explication
Loi de propagation des eacutecart-types
combined standard uncertainty
Exemple eacutevaluation drsquoune meacutethode de mesure drsquoune reacutesistance
Quelle est la peseacutee la plus preacutecise
22
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes (1)
Exemple de la somme s=a+b
es
eb
ea
es=ea+ebRappel les erreurs srsquoajoutent algeacutebriquement
Et leur eacutecart-type
combined standard uncertainty for random amp independant errors
a b a+b282 151 433
261 171 432
264 168 432
345 202 548
332 190 523
279 208 488
317 155 472
270 209 479
310 186 496
340 156 495
moyenne 300 180 480 480 somme moyennes
variance 011 005 016 016 somme variances
ecartype 033 023 039 055 somme eacutecart-types
000
100
200
300
400
500
600
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
a
b
a+b
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes (2)
Exemple de la somme s=a+b
Erreur aleacuteatoire
)()()( bas
)()()( bVaraVarbaVar
Les eacutecart-types ne srsquoajoutent pas
Les variances si
22baba 222
baba
Les eacutecart-types srsquoajoutent quadratiquement Si les erreurs sont indeacutependantes et aleacuteatoires
23
Quelle est la peseacutee la plus preacutecise
2
2
2
1 PIPIPI
54321 PPPPPP
2)(5 pIPI
)(5 pIPI
gkgP 2425
Rappel loi de propagation drsquoune laquo petite raquo erreur
n
i
i
xx
fy
1
)(
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
)(xfy xdx
dfxfxxf )()(
xdx
dfy
Cas particulier produit-exposant
(Th accroissements finis)
Proprieacuteteacute de la deacuteriveacutee logarithmique
119910 =119886 119887 1198883
11988912
∆119910
119910=
∆119886
119886+
∆119887
119887+ 3
∆119888
119888- 12
∆119889
119889
24
Loi de propagation de la variance et de lrsquoeacutecart-type
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
La variance est additive donc si les variables xi sont indeacutependantes
)()(1
n
i
i
xVx
fyV
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fy
Ecart type V(x)=((x))2
)(2)()(1
1 11
2
2
2
ji
n
i
n
ij ji
i
n
i
xxx
f
x
fx
x
fy Cov
Cas geacuteneacuteral (variables non indeacutependantes)
(non deacutemontreacutehellip)
48
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires (1)
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fyI I
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
Incertitude pour une distr normale I(y)=t(y) geacuteneacuteralement t~2
Sibull mecircmes coefs drsquoeacutelargissement tbull variables xi indeacutependantes
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fy
25
49
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes cas particuliers (1)
Ex somme ou diffeacuterence
cbay
222 )()()()( cbay
i
ii xay i
ii xay 2))(()( Combinaison lineacuteaire
n
ixn
x1
1
n
xx
nx
n )()(
1)(
1
2
Application fondamentale en instrumentation La moyenne
Demo
Loi des grands nombres
50
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires cas particuliers (2)
Produits et puissances
i
iixAy
i i
ii
x
x
y
y2
)()(
Somme quadratique des eacutecart-types relatifs
x
x)(Proprieacuteteacute inteacuteressante des eacutecart-types relatifs
21
3
d
cbay
2222)(
21)(
3)()()(
d
d
c
c
b
b
a
a
y
y
Exemple
TP3
Idem pour incertitudes I si I=t partout
26
51
Lois de propagation des erreurs aleacuteatoires exemple de la droite drsquoeacutetalonnage
Etalonnage
Deacutebit D=aV
0 le D le 10 Lh
a=08 LhmV plusmn001 (t=2)
Inc Sur V 01 mV (t=2)
Incertitude relative sur deacutebit Den fonction du deacutebit
22)()()(
V
VI
a
aI
D
DI
V = tension fournie par capteurhellip
22)()(
D
VaI
a
aI
Mesure des faibles valeurs peu preacutecise
a = inverse de la sensibiliteacute
Si D 0
Calcul de lrsquoincertitude par simulation de lrsquoerreur aleacuteatoire
ou meacutethode de Monte-Carlo
Ex y=f(x1x2)
x1 et x2 ont des erreurs aleacuteatoires (pas forcement indeacutependantes) caracteacuteriseacutees par
leur eacutecart-type s1 et s2
bullSimuler un certain nombre drsquoexpeacuteriences avec les
mecircmes valeurs x1 et x2 + erreur aleacuteatoire (tirages ne)
yi=f(x1+e1x2+e2) N fois
bullCalcul de lrsquoeacutecart type des yi
bullLes ei sont calculeacutes agrave lrsquoaide drsquoun geacuteneacuterateur de nombre
aleacuteatoires agrave distribution adeacutequate (geacuteneacuteralement normale)
Excel =LOINORMALEINVERSE(ALEA()0eacutecart-type)TP4
27
Calcul de lrsquoincertitude par simulation de lrsquoerreur aleacuteatoire exemple
moyenne des D 50012 Dmax 100000
Deacutebit 50000 E Type des D 00526 a 08000
tension V 62500 Incertitude 01052 I(a) 00100
I(V) 01000
Ndeg tirage (400) erreur sur a erreur sur V valeur a valeur V D=aV
1 -00010 00253 07990 62753 50142
2 00011 -00518 08011 61982 49654
3 00032 00436 08032 62936 50551
4 -00098 00026 07902 62526 49407
5 00021 00867 08021 63367 50824
6 -00064 -00202 07936 62298 49437
7 00017 -00820 08017 61680 49450
8 -00065 00444 07935 62944 49949
9 00009 00757 08009 63257 50663
10 -00049 -00318 07951 62182 49439
11 00130 00109 08130 62609 50901
12 00004 00084 08004 62584 50092
13 -00046 00031 07954 62531 49737
14 -00024 00249 07976 62749 50049
15 00047 00311 08047 62811 50543
16 -00021 -00251 07979 62249 49668
D=aV
0 le D le 10 Lh
a=08 LhmV plusmn001 (t=2)
Inc Sur V = 01 mV (t=2)
Tirage aleacuteatoire normal
+
LOINORMALEINVERSE(ALEA()0eacutecart-type)
Les erreurs srsquoajoutent algeacutebriquement
54
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation
La discreacutetisation intervient lorsque les valeurs finales constituent un ensemble discret
Reacutesolution d du systegraveme drsquoacquisition agrave ne pas confondre avec lrsquoincertitude ou la sensibiliteacute
d
V
0
001
002
003
004
005
006
007
008
009
01
0 005 01
Tension reacuteelle
Ten
sion
aff
icheacutee
Discretization uncertainty
28
55
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (2)
32
d dEcart type de lrsquoerreur due agrave la discreacutetisation
295295
0
95
dIII Incertitude totale
5d 6d 7d
Erreur maxi d2
Approximatif Monte-Carlo parfois preacutefeacuterablehellip
Incertitude agrave 95 due agrave la discreacutetisation 2d 2975095 ddINon
058d 0485d
295 ddI
56
Le laquo Dithering raquo
La preacutesence drsquoerreur aleacuteatoire permet ici drsquoameacuteliorer la laquo preacutecision raquo de la mesure
Pas de laquo bruit raquo pas de moyennage Pas de laquo bruit raquo moyenne 50
signaux
laquo bruit raquo pas de moyennage laquo bruit raquo moyenne 50 signaux
La meacutethode du moyennage peut reacuteduire aussi lrsquoerreur de discreacutetisation (= quantification)
On peut gagner 1 bit de reacutesolution chaque fois que lrsquoon multiplie par 4 la freacutequence drsquoeacutechantillonnagehellip
hellip agrave condition que le signal avant numeacuterisation contienne un bruit (aleacuteatoire et indeacutependant) de valeur efficace supeacuterieure agrave la reacutesolution initialehellip
demo
29
57
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (3) les deacutecimales significatives
Ecriture drsquoun nombre avec un nombre de chiffres fini Erreur de discreacutetisation
Pour une mesure lrsquoeacutecart type de lrsquoerreur introduite doit ecirctre petit devant celui
de lrsquoerreur de mesure initiale
Ex mesure = 4382659872 Eacutecart-type mesure = 055 (soit 0125 en relatif)
Doit-on eacutecrire
4382659872
438265
4383
Mais les systegravemes numeacuteriques peuvent donner beaucoup de chiffres significatifshellip
438
58
Mesure afficheacutee
reacutesolution
ET erreur discreacutetisation
ET erreur finale drsquoerreur due agrave la discreacutetisation
438265987
0000001
29 10-7 055 lt 10-3
43827
001
29 10-3 0550008 10-3
4383
01
0029 05506 014
438
1
029 062 13
440
10
289 294 434
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (4) les deacutecimales significatives exemple
32
d d
22 )()( dxX
Ex mesure = 4382659872 Eacutecart-type mesure = (x)= 055 (soit 0125 en relatif)
bullOn peut choisir la reacutesolution immeacutediatement plus petite que lrsquoeacutecart-type de la mesure
bullLrsquoeacutecart-type (ou lrsquoincertitude) afficheacute ne doit pas avoir plus de 2 chiffres significatifs
30
Capabiliteacute drsquoun systegraveme de mesure
Va deacutependre de la toleacuterance deacutesireacuteehellip
hellip et du coucirct de la mesure
capabiliteacute dun moyen de mesure = rapport entre lincertitude U du moyen de mesure et la toleacuterance IT exigeacutee
Veacuterification de la toleacuterance
Normes franccedilaises
( toleacuterance = exigence du client en terme de caracteacuteristique mesurable)
Toleacuterance capabiliteacute drsquoun systegraveme de mesure
T
Notion de risque-risque laquo client raquo(piegravece agrave rejeter mais retenue)-risque laquo fabricant raquo(piegravece agrave retenir mais rejeteacutee)
Mesure moyenne
T
Piegravece agrave rejeterPiegravece agrave retenir
T=ToleacuteranceU=incertitude
Distrib des erreurs de fabrication
Val reacuteelle
31
Reacuteconciliation des donneacutees
61
D1
I(D1)
D2
I(D2)
D3
I(D3)
bull 3 mesures redondantes (car en theacuteorie D1=D2+D3)bull A cause des incertitudes on nrsquoa jamais exactement D1=D2+D3
bull Comment (in)valider les mesures
Reacuteconciliation des donneacutees
bull La redondance permet aussi de reacuteduire lrsquoincertitude (cf moyenne)
Dernier TPhellip
Limite de deacutetection - LDD (1)Limit of Detection - LOD
6280
Pic de signal ou bruit de fond
LDD plus petite valeur non nulle mesurable pour une certaine probabiliteacute drsquoerreur sur le fait que la valeur vraie est nulle ou non
Seuil de deacutecision deacutetection si (Mesure gt Seuil deacutecision)
2 types drsquoerreur de deacutecision Type 1 deacutetection signal alors qursquoil est absent (faux positif)
Type 2 non deacutetection signal alors qursquoil est preacutesent (faux neacutegatif)
32
Limite de deacutetection (2)
6380
Type 1 deacutetection signal alors qursquoil est absent (faux positif)
Exemple probabiliteacute de 5 drsquoerreur de type 1 ou 2
Type 2 non deacutetection signal alors qursquoil est preacutesent (faux neacutegatif)
165
5
Proba = 5 si seuil de deacutecision = 165
Si mecircme seuil de deacutecision (165) mecircme proba drsquoerreur si signal agrave 2 fois le seuil de deacutecision = 33
2x165
5
Limite de deacutetection (3)
0
0
0
0
0
0
0
0
165 33
Niveau signal
seuil de decision type 1 type 2 gt0
nb erreurs 9 9
bonnes deacutecisions 955
eacutecart type bruit analyseur 10
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
1
signal theacuteorique
signal reacuteel
seuil de deacutecision
erreur type 1
erreur type 2
-20 0 20 40 60 80
Si distr normale et probabiliteacute de 95LDD=33
On prend geacuteneacuteralement LDD=3 = eacutecart-type de la mesure laquo proche de zeacutero raquo
33
Etalonnage drsquoun systegraveme de mesure
Etalonnage laquo Opeacuteration consistant agrave eacutetablir une relation entre les valeurs de la grandeur indiqueacutees par un appareil de mesure et les valeurs correspondantes de la grandeur reacutealiseacutees par des eacutetalons raquo (VIM)
160
165
170
175
180
185
190
195
0 20 40 60 80 100
H
C pF
66
Etalonnage Creacuteation drsquoun modegravele de comportement
ETALONNAGE
Variables Xmesureacutees
(capteurs)
Variables Ymesureacutees(analyseshellip)
modegravele ou
Preacutedicteur F
Creacuteation modegravele
de comportement
Y=F(X)
PREDICTION
Variables Xmesureacutees(capteurs)
Estimation des
variables Y
Modegravele
Calcul de
preacutedictiontensions
Calibration Creation of a behavior model
34
67
Eacutetalonnage - calibrage
Eacutetalonnage (calibration) = calcul complet du modegravele neacutecessite un laquo grand raquo nombre drsquoexpeacuteriences
tension
pression
bull Calibrage ou ajustement de zeacutero (zero adjustment) = laquo recalage raquo du modegravele neacutecessite 1 expeacuterience (laquo zeacutero raquo) voire 2 (laquo zeacutero + gain raquo)
tension
pression
bullCorrection variations de fabrication
bullCorrection deacuterive
bullCorrection changement conditions expeacuterimentales (tempeacuterature tarage drsquoune balancehellip)
bullEtchellip
Si le modegravele nrsquoest pas lineacuteaire le calibrage ne peut corriger que de faibles variationshellip
68
Les moindres carreacutes
Meacutethode des moindres carreacutes (monovariable)
laquo minimal raquo pour lrsquoensemble des mesures en trouvant la
fonction optimale f
On veut modeacuteliser pour toutes les mesures (i) ෝ119962119946 = 119839(119961119946) en fait agrave partir
des expeacuteriences on a 119962119946 = 119839 119961119946 + 119942119946 ougrave 119942119946 = laquo reacutesidu raquo ou erreur
On utilise geacuteneacuteralement la distance Euclidienne
laquo minimale raquo en optimisant les 120637119947
The least Squares
120637119947 repreacutesente ici le ou les paramegravetres de la fonction agrave optimiser f (ex coefs polynocircme)
119942119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947
119946
119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947120784
35
69
La reacutegression lineacuteaire
Monovariable (y=f(x) ) + hypothegravese lineacuteaire (y=ax+b)
2 cas
X
Minimisations des erreurs sur Y
Reacutegression de yx
ybaxy e
Y
Minimisation des erreurs sur X
X
Reacutegression de xy
xbyax e ˆ
1ˆ
a
bx
ay
Attention une reacutegression de yx avec des
erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne une
erreur systeacutematique sur la pentehellip
Y
Linear regression
70
La reacutegression lineacuteaire yx ou xy
Attention une reacutegression de yx avec des erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne
une erreur systeacutematique sur la pentehellip
Diffeacuterence neacutegligeable dans une majoriteacute de cashellip
y = 10036x - 00354
-2
0
2
4
6
8
10
12
-2 0 2 4 6 8 10 12
y = 06669x + 16244
-2
0
2
4
6
8
10
12
-2 0 2 4 6 8 10 12
Reacutegression YX Reacutegression XY
36
71
Caracteacuteristiques de la reacutegression yx
Estimations de a et b
)(
)(
)x(x
)y)(yx(x
=a2
i
i
ii
xVar
yxCov
i
xayb
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
Calcul Excel agrave lrsquoaide debull Courbe de tendancebull droitereg
72
Erreur lieacutee agrave la mesure
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
2n
)y(yi
2
ii
yx
s
Ecart Type des reacutesidus
= ET de lrsquoerreur lieacutee agrave la mesure= ET de preacutediction que lrsquoon aurait (mecircmes conditions) si le modegravele eacutetait sans erreur
Mais le modegravele nrsquoest jamais exact
Erreur que lrsquoon aurait mecircme si le modegravele eacutetait parfait agrave cause de lrsquoerreur aleacuteatoire sur xhellipRepreacutesenteacutee par lrsquohellip
Rappel reacutesidu = eacutecart entre valeur preacutedite (sur droite de regression donc) et valeur expeacuterimentale
37
73
Erreur de modeacutelisation
Estimations incertitudes de a et b
baxy ˆ
Y
i
xyss
2
i
a
)x(xEcart type de la pente
i
i
i
xybn
x
ss2
i
2
)x(x
Ecart type de lrsquoordonneacutee agrave lrsquoorigine
Calcul Excel agrave lrsquoaide de la fonction laquo droitereg raquo
temps h tension
0 300E-05
1 440E-05
2 900E-05
3 900E-05
4 100E-04
formule =DROITEREG(YX11)
pente 00000186 00000336 OAO
s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO
R 0870821587 130792E-05 s(resid)
2022369447 3 N DL
34596E-09 5132E-10000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5TP5
Incertitude de preacutediction
74
2
2
11)ˆ(
xx
xX
mstYI
i
xy
bull m= nb eacutechantillons deacutetalonnagebull xi = valeurs deacutetalonnage dont moyenne xbull X = valeur deacutechantillon de preacutedictionbull Syx = eacutecart-type des reacutesidus
x
E Lieacutee agrave la mesure
E Type du modegravele
bull Si modegravele laquo parfait raquo (ou m grand) xystYI )ˆ(
bull Lrsquoincertitude augmente si X srsquoeacuteloigne de (problegraveme de lrsquoextrapolation) x
bull Deacutepend (un peuhellip) de X
I(pred)2=I(lieacutee agrave la mesure)2 + I(modelisation)2
TP6
38
75
Mesure de la qualiteacute dajustement dune reacutegression lineacuteaire
Var(Y) = Var( aX+b) + Var(e
information totale = information modeacuteliseacutee + information reacutesiduelle
Coef De deacutetermination
totale)Var(info
modeacuteliseacutee) Var(infodR
)()(
)(
YX
YXCovRc
Coef de correacutelation
Rd=Rc2
Y
76
Le coef de correacutelation utilisation
0
5
10
15
20
25
30
35
0 2 4 6 8 10 12
R=075
0
5
10
15
20
25
0 2 4 6 8 10 12
R=075
-100
0
100
200
300
400
500
600
0 5 10 15
R=075
Le cœfficient de correacutelation ne sert
agrave quantifier que les relations
lineacuteaires entre X et Yvariables
Il perd toute signification degraves lors
que les reacutesidus
R=08
R=08
R=08
39
77
Reacutegression lineacuteaire examen des reacutesidus
Veacuterification lineacuteariteacute
A corriger
eacuteventuellement avec
reacutegression non lineacuteaire
Deacutetection points
aberrants (outliers)A eacuteliminer apregraves
veacuterification et avec
preacutecautionshellip
Ri=yi-(axi+b)
Reacutesidu = information non
modeacuteliseacutee ideacutealement
erreur aleacuteatoire
residuals
paramegravetres modeacutelisation des donneacutees
ET bruit
v0
v1
a
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
850
900
950
y = 07063x - 39517
-100
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (m
V)
courant (mA)
Valeurs mesureacutees
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (
mV
)
courant (mA)
Graphe des reacutesidus mesure - droiteregr
78
Reacutegression non lineacuteaire reacutegression polynomiale
Ex courbe de
tendance dExcel
temps h
0
1
2
3
4
000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5
Permet de modeacuteliser la plupart des problegravemes peu non lineacuteaireshellip
demo TP7
40
79
Biblio amp liens utilesBouquins
Statistics for analytical Chemistry 3 rd ed JC Miller and JN Miller John Wiley amp Sons 1998
Multivariate Statistical Methods A Primer BFJ Monley Chapman amp Hall 1986
Modeacutelisation et estimation des erreurs de mesure M Neuilly CETAMA Lavoisier Paris 1993
Sites WWW
httpphysicsnistgovcuuUncertaintyindexhtml excellent site simple et succinct mais de reacutefeacuterence
sur la calcul des incertitudes ce document sen est beaucoup inspireacute Un cours plus complet de
statistiques est disponible agrave httpwwwitlnistgovdiv898handbook
httpswwwansesfrfrcontentguide-de-validation-des-mC3A9thodes-danalyses-des-laboratoires-de-rC3A9fC3A9rence Guide de lrsquoANSES Agence nationale de seacutecuriteacute sanitaire
de lrsquoalimentation de lrsquoenvironnement et du travail
httpwwwjybaudotfrStatsstatshtml Encyclopeacutedie des stats de Jean-Yves Baudot agrave la foi preacutecis vulgarisateur et marrant un challenge en statistiques
httpfrfreestatisticsinfoindexphp Collection de liens et surtout de Freewares sur les stats
8062
La norme AFNOR la plus utiliseacutee
httpwwwasqualabcomdocumentsqualitemetrologie19-unites_pifometriquespdf
14
httpwwwjybaudotfrInferentielletstudenthtml
Le coefficient t de Student
tXXprobaP R
P=LOISTUDENT(tN2)
N= nb eacutechantillons utiliseacutes pour le calcul de s -1= nb de degreacutes de liberteacute
Coefs de Student t
intervalle de conf 900 950 980 990 999
p 01 005 002 001 0001
N=nb deg lib
1 631 1271 3182 6366 63662
2 292 430 696 992 3160
3 235 318 454 584 1292
4 213 278 375 460 861
5 202 257 336 403 687
6 194 245 314 371 596
7 189 236 300 350 541
8 186 231 290 336 504
9 183 226 282 325 478
10 181 223 276 317 459
12 178 218 268 305 432
14 176 214 262 298 414
17 174 211 257 290 397
20 172 209 253 285 385
30 170 204 246 275 365
40 168 202 242 270 355
50 168 201 240 268 350
100 166 198 236 263 339
100000 164 196 233 258 329
Relation eacutecart-type Gaussienne valable uniquement si eacutecart-type s parfaitement connu (n=infin)Pratiquement s issu dun calcul statistique-gtLoi de Student(tend vers gaussienne si n grand ngt20)
t=LOISTUDENTINVERSEBILATERALE(PN)
Rappel valable uniquement pour loi gaussienne
28
Distribution de Poisson
Ex comptage drsquoeacutevegravenements non simultaneacutes (deacutesinteacutegration radioactive queuehellip)
Moyenne m
Variance m
demo
15
29
Distribution Uniforme
Ex discreacutetisation de la mesurehellip
TP1
M-d2 M M+d2
d
Moyenne M
Ecart-type
Les tests drsquohypothegravese
30
Significance tests
bull Deacutemarche consistant agrave eacutevaluer une hypothegravese statistique agrave partir dun jeu de donneacutees (eacutechantillon)
bull Le reacutesultat du test nrsquoest pas absolu mais est une probabiliteacute qui est une aide agrave la validation ou non de lrsquohypothegravese initiale il ne constitue donc jamais une preuve
Tests parameacutetriques(hypothegravese sur distribution + ou ndash neacutecessaire)
1-sample T-test Comp Eacutechantillon agrave valeur de reacutefeacuterence intervalle de confiance
2-samples T-test Comparaison de 2 eacutechantillons
F-Test Comparaison de la variance de 2 eacutechantillons
ANOVA Analyse de variance analyse des variances de K eacutechantillons comparaison des moyennes
Chi-Square test Utilisation notamment pour veacuterifier une hypothegravese de distribution
Grubbsrsquo test Deacutetection des valeurs aberrantes (laquo outliers raquo)
Tests non parameacutetriques(pas drsquohypothegravese sur distribution)
Test WilcoxonMW Comparaison de 2 eacutechantillons meacutethode de rang
En rouge tests deacutecrits + loin sinon voir biblio ou google
16
31
95
one-sample T-test laquo simplifieacute raquoComparaison de la mesure M drsquoun eacutechantillon agrave une valeur de reacutefeacuterence R on suppose que la distribution est normale
Hypothegravesesbull laquo M est diffeacuterent de R raquobull laquo M est significativement diffeacuterent de R raquo
Cette hypothegravese de diffeacuterence H1 est retenue si sa probabiliteacute est supeacuterieure agrave 95 (par exemple) (ou si la probabiliteacute drsquoeacutegaliteacute est infeacuterieure agrave 5 (H2)
1 mesure M eacutecart-type estimeacute de la mesure s distr gaussienne
MR
-4srsquo -3srsquo -2srsquo ndashsrsquo 0 srsquo 2srsquo 3srsquo 4srsquo
Hypothegravese retenue si
stRM
si s est calculable laquo preacuteciseacutement raquo
(t=coef de Student)
H1 95 (ou H2 5)
H1 99 (ou H2 1)
H1 999 (ou H2 01)
t 196 256 328
Oui quasiment toujours agrave cause de lrsquoerreur aleacuteatoirehellip
bull laquo La diffeacuterence entre M et R nrsquoest pas due qursquoagrave lrsquoerreur aleacuteatoire raquo
ngt20 sinon tableau des coefs de Studenthellip
32
95
one-sample T-test laquo officiel raquo
Comparaison de la moyenne micro drsquoun eacutechantillon agrave une valeur de reacutefeacuterence R on suppose que la distribution est normaleHypothegravese laquo la diffeacuterence entre la moyenne de n mesures et une valeur de reacutefeacuterence nrsquoest pas due qursquoaux erreurs aleacuteatoires raquo
Cette hypothegravese est retenue si sa probabiliteacute est supeacuterieure agrave 95 (par exemple)
n mesures moyenne m eacutecart-type estimeacute de chaque mesure s
On montre (+ loinhellip) que lrsquoeacutecart-type estimeacute de la moyenne est n
ss
m R
-4srsquo -3srsquo -2srsquo ndashsrsquo 0 srsquo 2srsquo 3srsquo 4srsquo
Hypothegravese retenue si
n
stR m
si s est calculable laquo preacuteciseacutement raquo
(t=coef de Student)
H1 95 (ou H2 5)
H1 99 (ou H2 1)
H1 999 (ou H2 01)
t 196 256 328
17
one-sample T-test exemple
Hypothegravese laquo la diffeacuterenceentre la moyenne de npesages drsquoune masse eacutetalonde 1 kg et la valeur de cettemasse nrsquoest pas due qursquoauxerreurs aleacuteatoires raquo
n
stR m
n
s
Rt
m
1 104946993
2 111917309 Etalon R (kg) 10000
3 099865798
4 101040713
5 114655592
6 097054733
7 114894136
8 108005111 moyenne micro 104614199
9 103044121 Ecart-type s 005326172
10 098202478
11 105094267 00461
12 106252219
13 102608401
14 104961426 002381937 (t=2)
15 103483134 (n=20)
16 103475702
17 098306671
18 109287381
19 097490694
20 107697103
08
09
1
11
12
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
Rm
n
st
Il existe un laquo biais raquohellip
34
two-sample T-test
Comparaison de 2 moyennes de 2 eacutechantillons on suppose que la distribution est normaleHypothegravese laquo la diffeacuterence entre les 2 moyennes nrsquoest pas due qursquoaux erreurs aleacuteatoires raquo
Ech 1 Ech 2
Nb mesures n1 n2
Ecart type estimeacute s1 s2
Moyenne estimeacutee m1 m2
Comparaison de m1 et m2Peut se ramener agrave un 1-sample-test en comparant |m1-m2| agrave 0
On prend alors comme eacutecart-type de |m1-m2|
2
2
2
1
2
1
n
s
n
ss
(deacutemontreacute dans partie laquo lois de propagation de lrsquoerreur raquo)
Et le nombre de degreacutes de liberteacute est en 1ere approx n1+n2-2
st21 mmHypothegravese retenue si
Cette hypothegravese est retenue si sa probabiliteacute est supeacuterieure agrave 95 (par exemple)
2
2
2
1
2
121
n
s
n
st mm
18
two-sample T-test exemple
2
2
2
1
2
121
n
s
n
st mm
op1 op2 op1 op2
359385514 349673556 moyenne micro 354463973 355551443
358810682 350481358 eacutecart-type s 004510027 004809217
353371004 347201328
352760094 3553306 |micro1-micro2| 00108747344867115 357512954
351024893 355717682
360880932 362969549
353927667 366487781 00139361355719746 354702026
352552333 354598904 n 43 t=2
349798625 348741103
349706929 356409401 st 002787228
356771949 356622487
359781434 354564972
354032574 350388551
357799787 365577103
349003712 355839436
357276739 353637213
361263276 357229694
350544464 356392763
360261554
352637678
35652033
358384532
350903522
33
335
34
345
35
355
36
365
37
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25
2
2
2
1
2
1
n
s
n
ss
Hypothegravese laquo la diffeacuterence entre les moyennes de pesages drsquoune mecircme masse par 2 opeacuterateurs nrsquoest pas due qursquoaux erreurs aleacuteatoires raquo
1 2
Il existe un laquo biais entre les 2 opeacuterateursraquohellip
TP2
36
Intervalle de confianceLintervalle de confiance agrave p (95) drsquoune mesure x est un intervalle de valeurs qui a une probabiliteacute centreacutee p (95) de contenir la vraie valeur xR du paramegravetre estimeacute
xx
La calcul de et en fonction de la probabiliteacute P (geacuteneacuteralement 95) deacutepend de la loi de
distribution de lerreur
0
et = incertitude agrave p (95)
Distribution symeacutetrique
bull =
bullValeur moyenne de la mesure
= la plus probable0
Confidence interval
21)()( pxxPxxP RR
Distribution normale
19
37
Intervalle de confiance cas de la distribution normale
Lintervalle de confiance agrave p (95) drsquoune mesure x est un intervalle de valeurs qui a une probabiliteacute centreacutee p (95) de contenir la vraie valeur xR du paramegravetre estimeacute
xx
0
01
02
03
04
05
3 2 0 2 3Ecart agrave la moyenne x-x = eacutecart-type
683 des mesures
2 955 des mesures
3 997 des mesures
stxstx
Coefs de Student t
intervalle de conf 900 950 980 990 999
p 01 005 002 001 0001
deg lib
1 631 1271 3182 6366 63662
2 292 430 696 992 3160
3 235 318 454 584 1292
4 213 278 375 460 861
5 202 257 336 403 687
6 194 245 314 371 596
7 189 236 300 350 541
8 186 231 290 336 504
9 183 226 282 325 478
10 181 223 276 317 459
12 178 218 268 305 432
14 176 214 262 298 414
17 174 211 257 290 397
20 172 209 253 285 385
30 170 204 246 275 365
40 168 202 242 270 355
50 168 201 240 268 350
100 166 198 236 263 339
100000 164 196 233 258 329
38
Loi normale
95
Eacutecriture drsquoune mesure (distribution normale)
Le reacutesultat drsquoune mesure doit comporter 4 eacuteleacutements Ex CNO = 1253 ppb 17 ppb (agrave 95 ou t=2)
1 2 3 41 Valeur numeacuterique avec un nombre correct de deacutecimales2 Uniteacute3 Incertitude eacutelargie = t4 Le coefficient drsquoeacutelargissement t utiliseacute
Probabiliteacute en pour que la valeur reacuteelle
soit dans lrsquointervalle tsxtsx
1 Numerical value with a correct number of decimals2 Unit3 expanded uncertainty = ts4 Coverage factor t
20
39
Eacutevaluation de lrsquoincertitude
Eacutevaluation par analyse statistique de seacuteries de mesures (laquo type A raquo)
(geacuteneacuteralement mesure mais aussi simulation)
Eacutevaluation par calcul de lrsquoeffet sur lrsquoincertitude finale des diffeacuterentes
sources drsquoincertitude (laquo type B raquo laquo par tout autre moyen raquo) elles mecircme
eacutevalueacutees
par une meacutethode de type A
par des donneacutees constructeur drsquoeacutetalonnage etchellip
Il est alors neacutecessaire de connaicirctre les lois de propagation de
lrsquoerreurhellip
GUM Guide to the expression of Uncertainly in Measurement (1993)
Norme Franccedilaise X 07-020 AFNOR Aoucirct 1999
40
Eacutevaluation par analyse statistique de seacuteries de mesures
V
VERR
0
R0
R E
V mesureacute
0
0
RR
REV
Mesure et calcul avec un grand nombre N
de reacutesistances laquo eacutetalon raquo (R connu)
Calcul de lrsquoeacutecart-type
(en fait eacutecart-type estimeacute shellip)
Incertitude agrave 95 = t 2 (si Ngt15hellip)
Ne tient pas compte
-De lrsquoincertitude du Vmegravetre (V)
-Des incertitudes sur E R0 les reacutesistances
eacutetalonhellip
Exemple eacutevaluation drsquoune meacutethode de mesure drsquoune reacutesistance
21
41
Eacutevaluation par calcul de lrsquoeffet sur lrsquoincertitude finale des diffeacuterentes sources drsquoincertitude
V
VERR
0
2
2
0
2
0
2
0 )()()()(
V
V
ERE
V
RR
U
UER
(R0) (E) (V) connus
R0
R E
V mesureacute
Explication
Loi de propagation des eacutecart-types
combined standard uncertainty
Exemple eacutevaluation drsquoune meacutethode de mesure drsquoune reacutesistance
Quelle est la peseacutee la plus preacutecise
22
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes (1)
Exemple de la somme s=a+b
es
eb
ea
es=ea+ebRappel les erreurs srsquoajoutent algeacutebriquement
Et leur eacutecart-type
combined standard uncertainty for random amp independant errors
a b a+b282 151 433
261 171 432
264 168 432
345 202 548
332 190 523
279 208 488
317 155 472
270 209 479
310 186 496
340 156 495
moyenne 300 180 480 480 somme moyennes
variance 011 005 016 016 somme variances
ecartype 033 023 039 055 somme eacutecart-types
000
100
200
300
400
500
600
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
a
b
a+b
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes (2)
Exemple de la somme s=a+b
Erreur aleacuteatoire
)()()( bas
)()()( bVaraVarbaVar
Les eacutecart-types ne srsquoajoutent pas
Les variances si
22baba 222
baba
Les eacutecart-types srsquoajoutent quadratiquement Si les erreurs sont indeacutependantes et aleacuteatoires
23
Quelle est la peseacutee la plus preacutecise
2
2
2
1 PIPIPI
54321 PPPPPP
2)(5 pIPI
)(5 pIPI
gkgP 2425
Rappel loi de propagation drsquoune laquo petite raquo erreur
n
i
i
xx
fy
1
)(
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
)(xfy xdx
dfxfxxf )()(
xdx
dfy
Cas particulier produit-exposant
(Th accroissements finis)
Proprieacuteteacute de la deacuteriveacutee logarithmique
119910 =119886 119887 1198883
11988912
∆119910
119910=
∆119886
119886+
∆119887
119887+ 3
∆119888
119888- 12
∆119889
119889
24
Loi de propagation de la variance et de lrsquoeacutecart-type
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
La variance est additive donc si les variables xi sont indeacutependantes
)()(1
n
i
i
xVx
fyV
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fy
Ecart type V(x)=((x))2
)(2)()(1
1 11
2
2
2
ji
n
i
n
ij ji
i
n
i
xxx
f
x
fx
x
fy Cov
Cas geacuteneacuteral (variables non indeacutependantes)
(non deacutemontreacutehellip)
48
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires (1)
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fyI I
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
Incertitude pour une distr normale I(y)=t(y) geacuteneacuteralement t~2
Sibull mecircmes coefs drsquoeacutelargissement tbull variables xi indeacutependantes
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fy
25
49
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes cas particuliers (1)
Ex somme ou diffeacuterence
cbay
222 )()()()( cbay
i
ii xay i
ii xay 2))(()( Combinaison lineacuteaire
n
ixn
x1
1
n
xx
nx
n )()(
1)(
1
2
Application fondamentale en instrumentation La moyenne
Demo
Loi des grands nombres
50
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires cas particuliers (2)
Produits et puissances
i
iixAy
i i
ii
x
x
y
y2
)()(
Somme quadratique des eacutecart-types relatifs
x
x)(Proprieacuteteacute inteacuteressante des eacutecart-types relatifs
21
3
d
cbay
2222)(
21)(
3)()()(
d
d
c
c
b
b
a
a
y
y
Exemple
TP3
Idem pour incertitudes I si I=t partout
26
51
Lois de propagation des erreurs aleacuteatoires exemple de la droite drsquoeacutetalonnage
Etalonnage
Deacutebit D=aV
0 le D le 10 Lh
a=08 LhmV plusmn001 (t=2)
Inc Sur V 01 mV (t=2)
Incertitude relative sur deacutebit Den fonction du deacutebit
22)()()(
V
VI
a
aI
D
DI
V = tension fournie par capteurhellip
22)()(
D
VaI
a
aI
Mesure des faibles valeurs peu preacutecise
a = inverse de la sensibiliteacute
Si D 0
Calcul de lrsquoincertitude par simulation de lrsquoerreur aleacuteatoire
ou meacutethode de Monte-Carlo
Ex y=f(x1x2)
x1 et x2 ont des erreurs aleacuteatoires (pas forcement indeacutependantes) caracteacuteriseacutees par
leur eacutecart-type s1 et s2
bullSimuler un certain nombre drsquoexpeacuteriences avec les
mecircmes valeurs x1 et x2 + erreur aleacuteatoire (tirages ne)
yi=f(x1+e1x2+e2) N fois
bullCalcul de lrsquoeacutecart type des yi
bullLes ei sont calculeacutes agrave lrsquoaide drsquoun geacuteneacuterateur de nombre
aleacuteatoires agrave distribution adeacutequate (geacuteneacuteralement normale)
Excel =LOINORMALEINVERSE(ALEA()0eacutecart-type)TP4
27
Calcul de lrsquoincertitude par simulation de lrsquoerreur aleacuteatoire exemple
moyenne des D 50012 Dmax 100000
Deacutebit 50000 E Type des D 00526 a 08000
tension V 62500 Incertitude 01052 I(a) 00100
I(V) 01000
Ndeg tirage (400) erreur sur a erreur sur V valeur a valeur V D=aV
1 -00010 00253 07990 62753 50142
2 00011 -00518 08011 61982 49654
3 00032 00436 08032 62936 50551
4 -00098 00026 07902 62526 49407
5 00021 00867 08021 63367 50824
6 -00064 -00202 07936 62298 49437
7 00017 -00820 08017 61680 49450
8 -00065 00444 07935 62944 49949
9 00009 00757 08009 63257 50663
10 -00049 -00318 07951 62182 49439
11 00130 00109 08130 62609 50901
12 00004 00084 08004 62584 50092
13 -00046 00031 07954 62531 49737
14 -00024 00249 07976 62749 50049
15 00047 00311 08047 62811 50543
16 -00021 -00251 07979 62249 49668
D=aV
0 le D le 10 Lh
a=08 LhmV plusmn001 (t=2)
Inc Sur V = 01 mV (t=2)
Tirage aleacuteatoire normal
+
LOINORMALEINVERSE(ALEA()0eacutecart-type)
Les erreurs srsquoajoutent algeacutebriquement
54
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation
La discreacutetisation intervient lorsque les valeurs finales constituent un ensemble discret
Reacutesolution d du systegraveme drsquoacquisition agrave ne pas confondre avec lrsquoincertitude ou la sensibiliteacute
d
V
0
001
002
003
004
005
006
007
008
009
01
0 005 01
Tension reacuteelle
Ten
sion
aff
icheacutee
Discretization uncertainty
28
55
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (2)
32
d dEcart type de lrsquoerreur due agrave la discreacutetisation
295295
0
95
dIII Incertitude totale
5d 6d 7d
Erreur maxi d2
Approximatif Monte-Carlo parfois preacutefeacuterablehellip
Incertitude agrave 95 due agrave la discreacutetisation 2d 2975095 ddINon
058d 0485d
295 ddI
56
Le laquo Dithering raquo
La preacutesence drsquoerreur aleacuteatoire permet ici drsquoameacuteliorer la laquo preacutecision raquo de la mesure
Pas de laquo bruit raquo pas de moyennage Pas de laquo bruit raquo moyenne 50
signaux
laquo bruit raquo pas de moyennage laquo bruit raquo moyenne 50 signaux
La meacutethode du moyennage peut reacuteduire aussi lrsquoerreur de discreacutetisation (= quantification)
On peut gagner 1 bit de reacutesolution chaque fois que lrsquoon multiplie par 4 la freacutequence drsquoeacutechantillonnagehellip
hellip agrave condition que le signal avant numeacuterisation contienne un bruit (aleacuteatoire et indeacutependant) de valeur efficace supeacuterieure agrave la reacutesolution initialehellip
demo
29
57
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (3) les deacutecimales significatives
Ecriture drsquoun nombre avec un nombre de chiffres fini Erreur de discreacutetisation
Pour une mesure lrsquoeacutecart type de lrsquoerreur introduite doit ecirctre petit devant celui
de lrsquoerreur de mesure initiale
Ex mesure = 4382659872 Eacutecart-type mesure = 055 (soit 0125 en relatif)
Doit-on eacutecrire
4382659872
438265
4383
Mais les systegravemes numeacuteriques peuvent donner beaucoup de chiffres significatifshellip
438
58
Mesure afficheacutee
reacutesolution
ET erreur discreacutetisation
ET erreur finale drsquoerreur due agrave la discreacutetisation
438265987
0000001
29 10-7 055 lt 10-3
43827
001
29 10-3 0550008 10-3
4383
01
0029 05506 014
438
1
029 062 13
440
10
289 294 434
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (4) les deacutecimales significatives exemple
32
d d
22 )()( dxX
Ex mesure = 4382659872 Eacutecart-type mesure = (x)= 055 (soit 0125 en relatif)
bullOn peut choisir la reacutesolution immeacutediatement plus petite que lrsquoeacutecart-type de la mesure
bullLrsquoeacutecart-type (ou lrsquoincertitude) afficheacute ne doit pas avoir plus de 2 chiffres significatifs
30
Capabiliteacute drsquoun systegraveme de mesure
Va deacutependre de la toleacuterance deacutesireacuteehellip
hellip et du coucirct de la mesure
capabiliteacute dun moyen de mesure = rapport entre lincertitude U du moyen de mesure et la toleacuterance IT exigeacutee
Veacuterification de la toleacuterance
Normes franccedilaises
( toleacuterance = exigence du client en terme de caracteacuteristique mesurable)
Toleacuterance capabiliteacute drsquoun systegraveme de mesure
T
Notion de risque-risque laquo client raquo(piegravece agrave rejeter mais retenue)-risque laquo fabricant raquo(piegravece agrave retenir mais rejeteacutee)
Mesure moyenne
T
Piegravece agrave rejeterPiegravece agrave retenir
T=ToleacuteranceU=incertitude
Distrib des erreurs de fabrication
Val reacuteelle
31
Reacuteconciliation des donneacutees
61
D1
I(D1)
D2
I(D2)
D3
I(D3)
bull 3 mesures redondantes (car en theacuteorie D1=D2+D3)bull A cause des incertitudes on nrsquoa jamais exactement D1=D2+D3
bull Comment (in)valider les mesures
Reacuteconciliation des donneacutees
bull La redondance permet aussi de reacuteduire lrsquoincertitude (cf moyenne)
Dernier TPhellip
Limite de deacutetection - LDD (1)Limit of Detection - LOD
6280
Pic de signal ou bruit de fond
LDD plus petite valeur non nulle mesurable pour une certaine probabiliteacute drsquoerreur sur le fait que la valeur vraie est nulle ou non
Seuil de deacutecision deacutetection si (Mesure gt Seuil deacutecision)
2 types drsquoerreur de deacutecision Type 1 deacutetection signal alors qursquoil est absent (faux positif)
Type 2 non deacutetection signal alors qursquoil est preacutesent (faux neacutegatif)
32
Limite de deacutetection (2)
6380
Type 1 deacutetection signal alors qursquoil est absent (faux positif)
Exemple probabiliteacute de 5 drsquoerreur de type 1 ou 2
Type 2 non deacutetection signal alors qursquoil est preacutesent (faux neacutegatif)
165
5
Proba = 5 si seuil de deacutecision = 165
Si mecircme seuil de deacutecision (165) mecircme proba drsquoerreur si signal agrave 2 fois le seuil de deacutecision = 33
2x165
5
Limite de deacutetection (3)
0
0
0
0
0
0
0
0
165 33
Niveau signal
seuil de decision type 1 type 2 gt0
nb erreurs 9 9
bonnes deacutecisions 955
eacutecart type bruit analyseur 10
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
1
signal theacuteorique
signal reacuteel
seuil de deacutecision
erreur type 1
erreur type 2
-20 0 20 40 60 80
Si distr normale et probabiliteacute de 95LDD=33
On prend geacuteneacuteralement LDD=3 = eacutecart-type de la mesure laquo proche de zeacutero raquo
33
Etalonnage drsquoun systegraveme de mesure
Etalonnage laquo Opeacuteration consistant agrave eacutetablir une relation entre les valeurs de la grandeur indiqueacutees par un appareil de mesure et les valeurs correspondantes de la grandeur reacutealiseacutees par des eacutetalons raquo (VIM)
160
165
170
175
180
185
190
195
0 20 40 60 80 100
H
C pF
66
Etalonnage Creacuteation drsquoun modegravele de comportement
ETALONNAGE
Variables Xmesureacutees
(capteurs)
Variables Ymesureacutees(analyseshellip)
modegravele ou
Preacutedicteur F
Creacuteation modegravele
de comportement
Y=F(X)
PREDICTION
Variables Xmesureacutees(capteurs)
Estimation des
variables Y
Modegravele
Calcul de
preacutedictiontensions
Calibration Creation of a behavior model
34
67
Eacutetalonnage - calibrage
Eacutetalonnage (calibration) = calcul complet du modegravele neacutecessite un laquo grand raquo nombre drsquoexpeacuteriences
tension
pression
bull Calibrage ou ajustement de zeacutero (zero adjustment) = laquo recalage raquo du modegravele neacutecessite 1 expeacuterience (laquo zeacutero raquo) voire 2 (laquo zeacutero + gain raquo)
tension
pression
bullCorrection variations de fabrication
bullCorrection deacuterive
bullCorrection changement conditions expeacuterimentales (tempeacuterature tarage drsquoune balancehellip)
bullEtchellip
Si le modegravele nrsquoest pas lineacuteaire le calibrage ne peut corriger que de faibles variationshellip
68
Les moindres carreacutes
Meacutethode des moindres carreacutes (monovariable)
laquo minimal raquo pour lrsquoensemble des mesures en trouvant la
fonction optimale f
On veut modeacuteliser pour toutes les mesures (i) ෝ119962119946 = 119839(119961119946) en fait agrave partir
des expeacuteriences on a 119962119946 = 119839 119961119946 + 119942119946 ougrave 119942119946 = laquo reacutesidu raquo ou erreur
On utilise geacuteneacuteralement la distance Euclidienne
laquo minimale raquo en optimisant les 120637119947
The least Squares
120637119947 repreacutesente ici le ou les paramegravetres de la fonction agrave optimiser f (ex coefs polynocircme)
119942119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947
119946
119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947120784
35
69
La reacutegression lineacuteaire
Monovariable (y=f(x) ) + hypothegravese lineacuteaire (y=ax+b)
2 cas
X
Minimisations des erreurs sur Y
Reacutegression de yx
ybaxy e
Y
Minimisation des erreurs sur X
X
Reacutegression de xy
xbyax e ˆ
1ˆ
a
bx
ay
Attention une reacutegression de yx avec des
erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne une
erreur systeacutematique sur la pentehellip
Y
Linear regression
70
La reacutegression lineacuteaire yx ou xy
Attention une reacutegression de yx avec des erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne
une erreur systeacutematique sur la pentehellip
Diffeacuterence neacutegligeable dans une majoriteacute de cashellip
y = 10036x - 00354
-2
0
2
4
6
8
10
12
-2 0 2 4 6 8 10 12
y = 06669x + 16244
-2
0
2
4
6
8
10
12
-2 0 2 4 6 8 10 12
Reacutegression YX Reacutegression XY
36
71
Caracteacuteristiques de la reacutegression yx
Estimations de a et b
)(
)(
)x(x
)y)(yx(x
=a2
i
i
ii
xVar
yxCov
i
xayb
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
Calcul Excel agrave lrsquoaide debull Courbe de tendancebull droitereg
72
Erreur lieacutee agrave la mesure
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
2n
)y(yi
2
ii
yx
s
Ecart Type des reacutesidus
= ET de lrsquoerreur lieacutee agrave la mesure= ET de preacutediction que lrsquoon aurait (mecircmes conditions) si le modegravele eacutetait sans erreur
Mais le modegravele nrsquoest jamais exact
Erreur que lrsquoon aurait mecircme si le modegravele eacutetait parfait agrave cause de lrsquoerreur aleacuteatoire sur xhellipRepreacutesenteacutee par lrsquohellip
Rappel reacutesidu = eacutecart entre valeur preacutedite (sur droite de regression donc) et valeur expeacuterimentale
37
73
Erreur de modeacutelisation
Estimations incertitudes de a et b
baxy ˆ
Y
i
xyss
2
i
a
)x(xEcart type de la pente
i
i
i
xybn
x
ss2
i
2
)x(x
Ecart type de lrsquoordonneacutee agrave lrsquoorigine
Calcul Excel agrave lrsquoaide de la fonction laquo droitereg raquo
temps h tension
0 300E-05
1 440E-05
2 900E-05
3 900E-05
4 100E-04
formule =DROITEREG(YX11)
pente 00000186 00000336 OAO
s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO
R 0870821587 130792E-05 s(resid)
2022369447 3 N DL
34596E-09 5132E-10000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5TP5
Incertitude de preacutediction
74
2
2
11)ˆ(
xx
xX
mstYI
i
xy
bull m= nb eacutechantillons deacutetalonnagebull xi = valeurs deacutetalonnage dont moyenne xbull X = valeur deacutechantillon de preacutedictionbull Syx = eacutecart-type des reacutesidus
x
E Lieacutee agrave la mesure
E Type du modegravele
bull Si modegravele laquo parfait raquo (ou m grand) xystYI )ˆ(
bull Lrsquoincertitude augmente si X srsquoeacuteloigne de (problegraveme de lrsquoextrapolation) x
bull Deacutepend (un peuhellip) de X
I(pred)2=I(lieacutee agrave la mesure)2 + I(modelisation)2
TP6
38
75
Mesure de la qualiteacute dajustement dune reacutegression lineacuteaire
Var(Y) = Var( aX+b) + Var(e
information totale = information modeacuteliseacutee + information reacutesiduelle
Coef De deacutetermination
totale)Var(info
modeacuteliseacutee) Var(infodR
)()(
)(
YX
YXCovRc
Coef de correacutelation
Rd=Rc2
Y
76
Le coef de correacutelation utilisation
0
5
10
15
20
25
30
35
0 2 4 6 8 10 12
R=075
0
5
10
15
20
25
0 2 4 6 8 10 12
R=075
-100
0
100
200
300
400
500
600
0 5 10 15
R=075
Le cœfficient de correacutelation ne sert
agrave quantifier que les relations
lineacuteaires entre X et Yvariables
Il perd toute signification degraves lors
que les reacutesidus
R=08
R=08
R=08
39
77
Reacutegression lineacuteaire examen des reacutesidus
Veacuterification lineacuteariteacute
A corriger
eacuteventuellement avec
reacutegression non lineacuteaire
Deacutetection points
aberrants (outliers)A eacuteliminer apregraves
veacuterification et avec
preacutecautionshellip
Ri=yi-(axi+b)
Reacutesidu = information non
modeacuteliseacutee ideacutealement
erreur aleacuteatoire
residuals
paramegravetres modeacutelisation des donneacutees
ET bruit
v0
v1
a
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
850
900
950
y = 07063x - 39517
-100
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (m
V)
courant (mA)
Valeurs mesureacutees
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (
mV
)
courant (mA)
Graphe des reacutesidus mesure - droiteregr
78
Reacutegression non lineacuteaire reacutegression polynomiale
Ex courbe de
tendance dExcel
temps h
0
1
2
3
4
000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5
Permet de modeacuteliser la plupart des problegravemes peu non lineacuteaireshellip
demo TP7
40
79
Biblio amp liens utilesBouquins
Statistics for analytical Chemistry 3 rd ed JC Miller and JN Miller John Wiley amp Sons 1998
Multivariate Statistical Methods A Primer BFJ Monley Chapman amp Hall 1986
Modeacutelisation et estimation des erreurs de mesure M Neuilly CETAMA Lavoisier Paris 1993
Sites WWW
httpphysicsnistgovcuuUncertaintyindexhtml excellent site simple et succinct mais de reacutefeacuterence
sur la calcul des incertitudes ce document sen est beaucoup inspireacute Un cours plus complet de
statistiques est disponible agrave httpwwwitlnistgovdiv898handbook
httpswwwansesfrfrcontentguide-de-validation-des-mC3A9thodes-danalyses-des-laboratoires-de-rC3A9fC3A9rence Guide de lrsquoANSES Agence nationale de seacutecuriteacute sanitaire
de lrsquoalimentation de lrsquoenvironnement et du travail
httpwwwjybaudotfrStatsstatshtml Encyclopeacutedie des stats de Jean-Yves Baudot agrave la foi preacutecis vulgarisateur et marrant un challenge en statistiques
httpfrfreestatisticsinfoindexphp Collection de liens et surtout de Freewares sur les stats
8062
La norme AFNOR la plus utiliseacutee
httpwwwasqualabcomdocumentsqualitemetrologie19-unites_pifometriquespdf
15
29
Distribution Uniforme
Ex discreacutetisation de la mesurehellip
TP1
M-d2 M M+d2
d
Moyenne M
Ecart-type
Les tests drsquohypothegravese
30
Significance tests
bull Deacutemarche consistant agrave eacutevaluer une hypothegravese statistique agrave partir dun jeu de donneacutees (eacutechantillon)
bull Le reacutesultat du test nrsquoest pas absolu mais est une probabiliteacute qui est une aide agrave la validation ou non de lrsquohypothegravese initiale il ne constitue donc jamais une preuve
Tests parameacutetriques(hypothegravese sur distribution + ou ndash neacutecessaire)
1-sample T-test Comp Eacutechantillon agrave valeur de reacutefeacuterence intervalle de confiance
2-samples T-test Comparaison de 2 eacutechantillons
F-Test Comparaison de la variance de 2 eacutechantillons
ANOVA Analyse de variance analyse des variances de K eacutechantillons comparaison des moyennes
Chi-Square test Utilisation notamment pour veacuterifier une hypothegravese de distribution
Grubbsrsquo test Deacutetection des valeurs aberrantes (laquo outliers raquo)
Tests non parameacutetriques(pas drsquohypothegravese sur distribution)
Test WilcoxonMW Comparaison de 2 eacutechantillons meacutethode de rang
En rouge tests deacutecrits + loin sinon voir biblio ou google
16
31
95
one-sample T-test laquo simplifieacute raquoComparaison de la mesure M drsquoun eacutechantillon agrave une valeur de reacutefeacuterence R on suppose que la distribution est normale
Hypothegravesesbull laquo M est diffeacuterent de R raquobull laquo M est significativement diffeacuterent de R raquo
Cette hypothegravese de diffeacuterence H1 est retenue si sa probabiliteacute est supeacuterieure agrave 95 (par exemple) (ou si la probabiliteacute drsquoeacutegaliteacute est infeacuterieure agrave 5 (H2)
1 mesure M eacutecart-type estimeacute de la mesure s distr gaussienne
MR
-4srsquo -3srsquo -2srsquo ndashsrsquo 0 srsquo 2srsquo 3srsquo 4srsquo
Hypothegravese retenue si
stRM
si s est calculable laquo preacuteciseacutement raquo
(t=coef de Student)
H1 95 (ou H2 5)
H1 99 (ou H2 1)
H1 999 (ou H2 01)
t 196 256 328
Oui quasiment toujours agrave cause de lrsquoerreur aleacuteatoirehellip
bull laquo La diffeacuterence entre M et R nrsquoest pas due qursquoagrave lrsquoerreur aleacuteatoire raquo
ngt20 sinon tableau des coefs de Studenthellip
32
95
one-sample T-test laquo officiel raquo
Comparaison de la moyenne micro drsquoun eacutechantillon agrave une valeur de reacutefeacuterence R on suppose que la distribution est normaleHypothegravese laquo la diffeacuterence entre la moyenne de n mesures et une valeur de reacutefeacuterence nrsquoest pas due qursquoaux erreurs aleacuteatoires raquo
Cette hypothegravese est retenue si sa probabiliteacute est supeacuterieure agrave 95 (par exemple)
n mesures moyenne m eacutecart-type estimeacute de chaque mesure s
On montre (+ loinhellip) que lrsquoeacutecart-type estimeacute de la moyenne est n
ss
m R
-4srsquo -3srsquo -2srsquo ndashsrsquo 0 srsquo 2srsquo 3srsquo 4srsquo
Hypothegravese retenue si
n
stR m
si s est calculable laquo preacuteciseacutement raquo
(t=coef de Student)
H1 95 (ou H2 5)
H1 99 (ou H2 1)
H1 999 (ou H2 01)
t 196 256 328
17
one-sample T-test exemple
Hypothegravese laquo la diffeacuterenceentre la moyenne de npesages drsquoune masse eacutetalonde 1 kg et la valeur de cettemasse nrsquoest pas due qursquoauxerreurs aleacuteatoires raquo
n
stR m
n
s
Rt
m
1 104946993
2 111917309 Etalon R (kg) 10000
3 099865798
4 101040713
5 114655592
6 097054733
7 114894136
8 108005111 moyenne micro 104614199
9 103044121 Ecart-type s 005326172
10 098202478
11 105094267 00461
12 106252219
13 102608401
14 104961426 002381937 (t=2)
15 103483134 (n=20)
16 103475702
17 098306671
18 109287381
19 097490694
20 107697103
08
09
1
11
12
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
Rm
n
st
Il existe un laquo biais raquohellip
34
two-sample T-test
Comparaison de 2 moyennes de 2 eacutechantillons on suppose que la distribution est normaleHypothegravese laquo la diffeacuterence entre les 2 moyennes nrsquoest pas due qursquoaux erreurs aleacuteatoires raquo
Ech 1 Ech 2
Nb mesures n1 n2
Ecart type estimeacute s1 s2
Moyenne estimeacutee m1 m2
Comparaison de m1 et m2Peut se ramener agrave un 1-sample-test en comparant |m1-m2| agrave 0
On prend alors comme eacutecart-type de |m1-m2|
2
2
2
1
2
1
n
s
n
ss
(deacutemontreacute dans partie laquo lois de propagation de lrsquoerreur raquo)
Et le nombre de degreacutes de liberteacute est en 1ere approx n1+n2-2
st21 mmHypothegravese retenue si
Cette hypothegravese est retenue si sa probabiliteacute est supeacuterieure agrave 95 (par exemple)
2
2
2
1
2
121
n
s
n
st mm
18
two-sample T-test exemple
2
2
2
1
2
121
n
s
n
st mm
op1 op2 op1 op2
359385514 349673556 moyenne micro 354463973 355551443
358810682 350481358 eacutecart-type s 004510027 004809217
353371004 347201328
352760094 3553306 |micro1-micro2| 00108747344867115 357512954
351024893 355717682
360880932 362969549
353927667 366487781 00139361355719746 354702026
352552333 354598904 n 43 t=2
349798625 348741103
349706929 356409401 st 002787228
356771949 356622487
359781434 354564972
354032574 350388551
357799787 365577103
349003712 355839436
357276739 353637213
361263276 357229694
350544464 356392763
360261554
352637678
35652033
358384532
350903522
33
335
34
345
35
355
36
365
37
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25
2
2
2
1
2
1
n
s
n
ss
Hypothegravese laquo la diffeacuterence entre les moyennes de pesages drsquoune mecircme masse par 2 opeacuterateurs nrsquoest pas due qursquoaux erreurs aleacuteatoires raquo
1 2
Il existe un laquo biais entre les 2 opeacuterateursraquohellip
TP2
36
Intervalle de confianceLintervalle de confiance agrave p (95) drsquoune mesure x est un intervalle de valeurs qui a une probabiliteacute centreacutee p (95) de contenir la vraie valeur xR du paramegravetre estimeacute
xx
La calcul de et en fonction de la probabiliteacute P (geacuteneacuteralement 95) deacutepend de la loi de
distribution de lerreur
0
et = incertitude agrave p (95)
Distribution symeacutetrique
bull =
bullValeur moyenne de la mesure
= la plus probable0
Confidence interval
21)()( pxxPxxP RR
Distribution normale
19
37
Intervalle de confiance cas de la distribution normale
Lintervalle de confiance agrave p (95) drsquoune mesure x est un intervalle de valeurs qui a une probabiliteacute centreacutee p (95) de contenir la vraie valeur xR du paramegravetre estimeacute
xx
0
01
02
03
04
05
3 2 0 2 3Ecart agrave la moyenne x-x = eacutecart-type
683 des mesures
2 955 des mesures
3 997 des mesures
stxstx
Coefs de Student t
intervalle de conf 900 950 980 990 999
p 01 005 002 001 0001
deg lib
1 631 1271 3182 6366 63662
2 292 430 696 992 3160
3 235 318 454 584 1292
4 213 278 375 460 861
5 202 257 336 403 687
6 194 245 314 371 596
7 189 236 300 350 541
8 186 231 290 336 504
9 183 226 282 325 478
10 181 223 276 317 459
12 178 218 268 305 432
14 176 214 262 298 414
17 174 211 257 290 397
20 172 209 253 285 385
30 170 204 246 275 365
40 168 202 242 270 355
50 168 201 240 268 350
100 166 198 236 263 339
100000 164 196 233 258 329
38
Loi normale
95
Eacutecriture drsquoune mesure (distribution normale)
Le reacutesultat drsquoune mesure doit comporter 4 eacuteleacutements Ex CNO = 1253 ppb 17 ppb (agrave 95 ou t=2)
1 2 3 41 Valeur numeacuterique avec un nombre correct de deacutecimales2 Uniteacute3 Incertitude eacutelargie = t4 Le coefficient drsquoeacutelargissement t utiliseacute
Probabiliteacute en pour que la valeur reacuteelle
soit dans lrsquointervalle tsxtsx
1 Numerical value with a correct number of decimals2 Unit3 expanded uncertainty = ts4 Coverage factor t
20
39
Eacutevaluation de lrsquoincertitude
Eacutevaluation par analyse statistique de seacuteries de mesures (laquo type A raquo)
(geacuteneacuteralement mesure mais aussi simulation)
Eacutevaluation par calcul de lrsquoeffet sur lrsquoincertitude finale des diffeacuterentes
sources drsquoincertitude (laquo type B raquo laquo par tout autre moyen raquo) elles mecircme
eacutevalueacutees
par une meacutethode de type A
par des donneacutees constructeur drsquoeacutetalonnage etchellip
Il est alors neacutecessaire de connaicirctre les lois de propagation de
lrsquoerreurhellip
GUM Guide to the expression of Uncertainly in Measurement (1993)
Norme Franccedilaise X 07-020 AFNOR Aoucirct 1999
40
Eacutevaluation par analyse statistique de seacuteries de mesures
V
VERR
0
R0
R E
V mesureacute
0
0
RR
REV
Mesure et calcul avec un grand nombre N
de reacutesistances laquo eacutetalon raquo (R connu)
Calcul de lrsquoeacutecart-type
(en fait eacutecart-type estimeacute shellip)
Incertitude agrave 95 = t 2 (si Ngt15hellip)
Ne tient pas compte
-De lrsquoincertitude du Vmegravetre (V)
-Des incertitudes sur E R0 les reacutesistances
eacutetalonhellip
Exemple eacutevaluation drsquoune meacutethode de mesure drsquoune reacutesistance
21
41
Eacutevaluation par calcul de lrsquoeffet sur lrsquoincertitude finale des diffeacuterentes sources drsquoincertitude
V
VERR
0
2
2
0
2
0
2
0 )()()()(
V
V
ERE
V
RR
U
UER
(R0) (E) (V) connus
R0
R E
V mesureacute
Explication
Loi de propagation des eacutecart-types
combined standard uncertainty
Exemple eacutevaluation drsquoune meacutethode de mesure drsquoune reacutesistance
Quelle est la peseacutee la plus preacutecise
22
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes (1)
Exemple de la somme s=a+b
es
eb
ea
es=ea+ebRappel les erreurs srsquoajoutent algeacutebriquement
Et leur eacutecart-type
combined standard uncertainty for random amp independant errors
a b a+b282 151 433
261 171 432
264 168 432
345 202 548
332 190 523
279 208 488
317 155 472
270 209 479
310 186 496
340 156 495
moyenne 300 180 480 480 somme moyennes
variance 011 005 016 016 somme variances
ecartype 033 023 039 055 somme eacutecart-types
000
100
200
300
400
500
600
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
a
b
a+b
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes (2)
Exemple de la somme s=a+b
Erreur aleacuteatoire
)()()( bas
)()()( bVaraVarbaVar
Les eacutecart-types ne srsquoajoutent pas
Les variances si
22baba 222
baba
Les eacutecart-types srsquoajoutent quadratiquement Si les erreurs sont indeacutependantes et aleacuteatoires
23
Quelle est la peseacutee la plus preacutecise
2
2
2
1 PIPIPI
54321 PPPPPP
2)(5 pIPI
)(5 pIPI
gkgP 2425
Rappel loi de propagation drsquoune laquo petite raquo erreur
n
i
i
xx
fy
1
)(
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
)(xfy xdx
dfxfxxf )()(
xdx
dfy
Cas particulier produit-exposant
(Th accroissements finis)
Proprieacuteteacute de la deacuteriveacutee logarithmique
119910 =119886 119887 1198883
11988912
∆119910
119910=
∆119886
119886+
∆119887
119887+ 3
∆119888
119888- 12
∆119889
119889
24
Loi de propagation de la variance et de lrsquoeacutecart-type
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
La variance est additive donc si les variables xi sont indeacutependantes
)()(1
n
i
i
xVx
fyV
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fy
Ecart type V(x)=((x))2
)(2)()(1
1 11
2
2
2
ji
n
i
n
ij ji
i
n
i
xxx
f
x
fx
x
fy Cov
Cas geacuteneacuteral (variables non indeacutependantes)
(non deacutemontreacutehellip)
48
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires (1)
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fyI I
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
Incertitude pour une distr normale I(y)=t(y) geacuteneacuteralement t~2
Sibull mecircmes coefs drsquoeacutelargissement tbull variables xi indeacutependantes
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fy
25
49
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes cas particuliers (1)
Ex somme ou diffeacuterence
cbay
222 )()()()( cbay
i
ii xay i
ii xay 2))(()( Combinaison lineacuteaire
n
ixn
x1
1
n
xx
nx
n )()(
1)(
1
2
Application fondamentale en instrumentation La moyenne
Demo
Loi des grands nombres
50
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires cas particuliers (2)
Produits et puissances
i
iixAy
i i
ii
x
x
y
y2
)()(
Somme quadratique des eacutecart-types relatifs
x
x)(Proprieacuteteacute inteacuteressante des eacutecart-types relatifs
21
3
d
cbay
2222)(
21)(
3)()()(
d
d
c
c
b
b
a
a
y
y
Exemple
TP3
Idem pour incertitudes I si I=t partout
26
51
Lois de propagation des erreurs aleacuteatoires exemple de la droite drsquoeacutetalonnage
Etalonnage
Deacutebit D=aV
0 le D le 10 Lh
a=08 LhmV plusmn001 (t=2)
Inc Sur V 01 mV (t=2)
Incertitude relative sur deacutebit Den fonction du deacutebit
22)()()(
V
VI
a
aI
D
DI
V = tension fournie par capteurhellip
22)()(
D
VaI
a
aI
Mesure des faibles valeurs peu preacutecise
a = inverse de la sensibiliteacute
Si D 0
Calcul de lrsquoincertitude par simulation de lrsquoerreur aleacuteatoire
ou meacutethode de Monte-Carlo
Ex y=f(x1x2)
x1 et x2 ont des erreurs aleacuteatoires (pas forcement indeacutependantes) caracteacuteriseacutees par
leur eacutecart-type s1 et s2
bullSimuler un certain nombre drsquoexpeacuteriences avec les
mecircmes valeurs x1 et x2 + erreur aleacuteatoire (tirages ne)
yi=f(x1+e1x2+e2) N fois
bullCalcul de lrsquoeacutecart type des yi
bullLes ei sont calculeacutes agrave lrsquoaide drsquoun geacuteneacuterateur de nombre
aleacuteatoires agrave distribution adeacutequate (geacuteneacuteralement normale)
Excel =LOINORMALEINVERSE(ALEA()0eacutecart-type)TP4
27
Calcul de lrsquoincertitude par simulation de lrsquoerreur aleacuteatoire exemple
moyenne des D 50012 Dmax 100000
Deacutebit 50000 E Type des D 00526 a 08000
tension V 62500 Incertitude 01052 I(a) 00100
I(V) 01000
Ndeg tirage (400) erreur sur a erreur sur V valeur a valeur V D=aV
1 -00010 00253 07990 62753 50142
2 00011 -00518 08011 61982 49654
3 00032 00436 08032 62936 50551
4 -00098 00026 07902 62526 49407
5 00021 00867 08021 63367 50824
6 -00064 -00202 07936 62298 49437
7 00017 -00820 08017 61680 49450
8 -00065 00444 07935 62944 49949
9 00009 00757 08009 63257 50663
10 -00049 -00318 07951 62182 49439
11 00130 00109 08130 62609 50901
12 00004 00084 08004 62584 50092
13 -00046 00031 07954 62531 49737
14 -00024 00249 07976 62749 50049
15 00047 00311 08047 62811 50543
16 -00021 -00251 07979 62249 49668
D=aV
0 le D le 10 Lh
a=08 LhmV plusmn001 (t=2)
Inc Sur V = 01 mV (t=2)
Tirage aleacuteatoire normal
+
LOINORMALEINVERSE(ALEA()0eacutecart-type)
Les erreurs srsquoajoutent algeacutebriquement
54
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation
La discreacutetisation intervient lorsque les valeurs finales constituent un ensemble discret
Reacutesolution d du systegraveme drsquoacquisition agrave ne pas confondre avec lrsquoincertitude ou la sensibiliteacute
d
V
0
001
002
003
004
005
006
007
008
009
01
0 005 01
Tension reacuteelle
Ten
sion
aff
icheacutee
Discretization uncertainty
28
55
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (2)
32
d dEcart type de lrsquoerreur due agrave la discreacutetisation
295295
0
95
dIII Incertitude totale
5d 6d 7d
Erreur maxi d2
Approximatif Monte-Carlo parfois preacutefeacuterablehellip
Incertitude agrave 95 due agrave la discreacutetisation 2d 2975095 ddINon
058d 0485d
295 ddI
56
Le laquo Dithering raquo
La preacutesence drsquoerreur aleacuteatoire permet ici drsquoameacuteliorer la laquo preacutecision raquo de la mesure
Pas de laquo bruit raquo pas de moyennage Pas de laquo bruit raquo moyenne 50
signaux
laquo bruit raquo pas de moyennage laquo bruit raquo moyenne 50 signaux
La meacutethode du moyennage peut reacuteduire aussi lrsquoerreur de discreacutetisation (= quantification)
On peut gagner 1 bit de reacutesolution chaque fois que lrsquoon multiplie par 4 la freacutequence drsquoeacutechantillonnagehellip
hellip agrave condition que le signal avant numeacuterisation contienne un bruit (aleacuteatoire et indeacutependant) de valeur efficace supeacuterieure agrave la reacutesolution initialehellip
demo
29
57
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (3) les deacutecimales significatives
Ecriture drsquoun nombre avec un nombre de chiffres fini Erreur de discreacutetisation
Pour une mesure lrsquoeacutecart type de lrsquoerreur introduite doit ecirctre petit devant celui
de lrsquoerreur de mesure initiale
Ex mesure = 4382659872 Eacutecart-type mesure = 055 (soit 0125 en relatif)
Doit-on eacutecrire
4382659872
438265
4383
Mais les systegravemes numeacuteriques peuvent donner beaucoup de chiffres significatifshellip
438
58
Mesure afficheacutee
reacutesolution
ET erreur discreacutetisation
ET erreur finale drsquoerreur due agrave la discreacutetisation
438265987
0000001
29 10-7 055 lt 10-3
43827
001
29 10-3 0550008 10-3
4383
01
0029 05506 014
438
1
029 062 13
440
10
289 294 434
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (4) les deacutecimales significatives exemple
32
d d
22 )()( dxX
Ex mesure = 4382659872 Eacutecart-type mesure = (x)= 055 (soit 0125 en relatif)
bullOn peut choisir la reacutesolution immeacutediatement plus petite que lrsquoeacutecart-type de la mesure
bullLrsquoeacutecart-type (ou lrsquoincertitude) afficheacute ne doit pas avoir plus de 2 chiffres significatifs
30
Capabiliteacute drsquoun systegraveme de mesure
Va deacutependre de la toleacuterance deacutesireacuteehellip
hellip et du coucirct de la mesure
capabiliteacute dun moyen de mesure = rapport entre lincertitude U du moyen de mesure et la toleacuterance IT exigeacutee
Veacuterification de la toleacuterance
Normes franccedilaises
( toleacuterance = exigence du client en terme de caracteacuteristique mesurable)
Toleacuterance capabiliteacute drsquoun systegraveme de mesure
T
Notion de risque-risque laquo client raquo(piegravece agrave rejeter mais retenue)-risque laquo fabricant raquo(piegravece agrave retenir mais rejeteacutee)
Mesure moyenne
T
Piegravece agrave rejeterPiegravece agrave retenir
T=ToleacuteranceU=incertitude
Distrib des erreurs de fabrication
Val reacuteelle
31
Reacuteconciliation des donneacutees
61
D1
I(D1)
D2
I(D2)
D3
I(D3)
bull 3 mesures redondantes (car en theacuteorie D1=D2+D3)bull A cause des incertitudes on nrsquoa jamais exactement D1=D2+D3
bull Comment (in)valider les mesures
Reacuteconciliation des donneacutees
bull La redondance permet aussi de reacuteduire lrsquoincertitude (cf moyenne)
Dernier TPhellip
Limite de deacutetection - LDD (1)Limit of Detection - LOD
6280
Pic de signal ou bruit de fond
LDD plus petite valeur non nulle mesurable pour une certaine probabiliteacute drsquoerreur sur le fait que la valeur vraie est nulle ou non
Seuil de deacutecision deacutetection si (Mesure gt Seuil deacutecision)
2 types drsquoerreur de deacutecision Type 1 deacutetection signal alors qursquoil est absent (faux positif)
Type 2 non deacutetection signal alors qursquoil est preacutesent (faux neacutegatif)
32
Limite de deacutetection (2)
6380
Type 1 deacutetection signal alors qursquoil est absent (faux positif)
Exemple probabiliteacute de 5 drsquoerreur de type 1 ou 2
Type 2 non deacutetection signal alors qursquoil est preacutesent (faux neacutegatif)
165
5
Proba = 5 si seuil de deacutecision = 165
Si mecircme seuil de deacutecision (165) mecircme proba drsquoerreur si signal agrave 2 fois le seuil de deacutecision = 33
2x165
5
Limite de deacutetection (3)
0
0
0
0
0
0
0
0
165 33
Niveau signal
seuil de decision type 1 type 2 gt0
nb erreurs 9 9
bonnes deacutecisions 955
eacutecart type bruit analyseur 10
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
1
signal theacuteorique
signal reacuteel
seuil de deacutecision
erreur type 1
erreur type 2
-20 0 20 40 60 80
Si distr normale et probabiliteacute de 95LDD=33
On prend geacuteneacuteralement LDD=3 = eacutecart-type de la mesure laquo proche de zeacutero raquo
33
Etalonnage drsquoun systegraveme de mesure
Etalonnage laquo Opeacuteration consistant agrave eacutetablir une relation entre les valeurs de la grandeur indiqueacutees par un appareil de mesure et les valeurs correspondantes de la grandeur reacutealiseacutees par des eacutetalons raquo (VIM)
160
165
170
175
180
185
190
195
0 20 40 60 80 100
H
C pF
66
Etalonnage Creacuteation drsquoun modegravele de comportement
ETALONNAGE
Variables Xmesureacutees
(capteurs)
Variables Ymesureacutees(analyseshellip)
modegravele ou
Preacutedicteur F
Creacuteation modegravele
de comportement
Y=F(X)
PREDICTION
Variables Xmesureacutees(capteurs)
Estimation des
variables Y
Modegravele
Calcul de
preacutedictiontensions
Calibration Creation of a behavior model
34
67
Eacutetalonnage - calibrage
Eacutetalonnage (calibration) = calcul complet du modegravele neacutecessite un laquo grand raquo nombre drsquoexpeacuteriences
tension
pression
bull Calibrage ou ajustement de zeacutero (zero adjustment) = laquo recalage raquo du modegravele neacutecessite 1 expeacuterience (laquo zeacutero raquo) voire 2 (laquo zeacutero + gain raquo)
tension
pression
bullCorrection variations de fabrication
bullCorrection deacuterive
bullCorrection changement conditions expeacuterimentales (tempeacuterature tarage drsquoune balancehellip)
bullEtchellip
Si le modegravele nrsquoest pas lineacuteaire le calibrage ne peut corriger que de faibles variationshellip
68
Les moindres carreacutes
Meacutethode des moindres carreacutes (monovariable)
laquo minimal raquo pour lrsquoensemble des mesures en trouvant la
fonction optimale f
On veut modeacuteliser pour toutes les mesures (i) ෝ119962119946 = 119839(119961119946) en fait agrave partir
des expeacuteriences on a 119962119946 = 119839 119961119946 + 119942119946 ougrave 119942119946 = laquo reacutesidu raquo ou erreur
On utilise geacuteneacuteralement la distance Euclidienne
laquo minimale raquo en optimisant les 120637119947
The least Squares
120637119947 repreacutesente ici le ou les paramegravetres de la fonction agrave optimiser f (ex coefs polynocircme)
119942119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947
119946
119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947120784
35
69
La reacutegression lineacuteaire
Monovariable (y=f(x) ) + hypothegravese lineacuteaire (y=ax+b)
2 cas
X
Minimisations des erreurs sur Y
Reacutegression de yx
ybaxy e
Y
Minimisation des erreurs sur X
X
Reacutegression de xy
xbyax e ˆ
1ˆ
a
bx
ay
Attention une reacutegression de yx avec des
erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne une
erreur systeacutematique sur la pentehellip
Y
Linear regression
70
La reacutegression lineacuteaire yx ou xy
Attention une reacutegression de yx avec des erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne
une erreur systeacutematique sur la pentehellip
Diffeacuterence neacutegligeable dans une majoriteacute de cashellip
y = 10036x - 00354
-2
0
2
4
6
8
10
12
-2 0 2 4 6 8 10 12
y = 06669x + 16244
-2
0
2
4
6
8
10
12
-2 0 2 4 6 8 10 12
Reacutegression YX Reacutegression XY
36
71
Caracteacuteristiques de la reacutegression yx
Estimations de a et b
)(
)(
)x(x
)y)(yx(x
=a2
i
i
ii
xVar
yxCov
i
xayb
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
Calcul Excel agrave lrsquoaide debull Courbe de tendancebull droitereg
72
Erreur lieacutee agrave la mesure
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
2n
)y(yi
2
ii
yx
s
Ecart Type des reacutesidus
= ET de lrsquoerreur lieacutee agrave la mesure= ET de preacutediction que lrsquoon aurait (mecircmes conditions) si le modegravele eacutetait sans erreur
Mais le modegravele nrsquoest jamais exact
Erreur que lrsquoon aurait mecircme si le modegravele eacutetait parfait agrave cause de lrsquoerreur aleacuteatoire sur xhellipRepreacutesenteacutee par lrsquohellip
Rappel reacutesidu = eacutecart entre valeur preacutedite (sur droite de regression donc) et valeur expeacuterimentale
37
73
Erreur de modeacutelisation
Estimations incertitudes de a et b
baxy ˆ
Y
i
xyss
2
i
a
)x(xEcart type de la pente
i
i
i
xybn
x
ss2
i
2
)x(x
Ecart type de lrsquoordonneacutee agrave lrsquoorigine
Calcul Excel agrave lrsquoaide de la fonction laquo droitereg raquo
temps h tension
0 300E-05
1 440E-05
2 900E-05
3 900E-05
4 100E-04
formule =DROITEREG(YX11)
pente 00000186 00000336 OAO
s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO
R 0870821587 130792E-05 s(resid)
2022369447 3 N DL
34596E-09 5132E-10000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5TP5
Incertitude de preacutediction
74
2
2
11)ˆ(
xx
xX
mstYI
i
xy
bull m= nb eacutechantillons deacutetalonnagebull xi = valeurs deacutetalonnage dont moyenne xbull X = valeur deacutechantillon de preacutedictionbull Syx = eacutecart-type des reacutesidus
x
E Lieacutee agrave la mesure
E Type du modegravele
bull Si modegravele laquo parfait raquo (ou m grand) xystYI )ˆ(
bull Lrsquoincertitude augmente si X srsquoeacuteloigne de (problegraveme de lrsquoextrapolation) x
bull Deacutepend (un peuhellip) de X
I(pred)2=I(lieacutee agrave la mesure)2 + I(modelisation)2
TP6
38
75
Mesure de la qualiteacute dajustement dune reacutegression lineacuteaire
Var(Y) = Var( aX+b) + Var(e
information totale = information modeacuteliseacutee + information reacutesiduelle
Coef De deacutetermination
totale)Var(info
modeacuteliseacutee) Var(infodR
)()(
)(
YX
YXCovRc
Coef de correacutelation
Rd=Rc2
Y
76
Le coef de correacutelation utilisation
0
5
10
15
20
25
30
35
0 2 4 6 8 10 12
R=075
0
5
10
15
20
25
0 2 4 6 8 10 12
R=075
-100
0
100
200
300
400
500
600
0 5 10 15
R=075
Le cœfficient de correacutelation ne sert
agrave quantifier que les relations
lineacuteaires entre X et Yvariables
Il perd toute signification degraves lors
que les reacutesidus
R=08
R=08
R=08
39
77
Reacutegression lineacuteaire examen des reacutesidus
Veacuterification lineacuteariteacute
A corriger
eacuteventuellement avec
reacutegression non lineacuteaire
Deacutetection points
aberrants (outliers)A eacuteliminer apregraves
veacuterification et avec
preacutecautionshellip
Ri=yi-(axi+b)
Reacutesidu = information non
modeacuteliseacutee ideacutealement
erreur aleacuteatoire
residuals
paramegravetres modeacutelisation des donneacutees
ET bruit
v0
v1
a
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
850
900
950
y = 07063x - 39517
-100
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (m
V)
courant (mA)
Valeurs mesureacutees
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (
mV
)
courant (mA)
Graphe des reacutesidus mesure - droiteregr
78
Reacutegression non lineacuteaire reacutegression polynomiale
Ex courbe de
tendance dExcel
temps h
0
1
2
3
4
000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5
Permet de modeacuteliser la plupart des problegravemes peu non lineacuteaireshellip
demo TP7
40
79
Biblio amp liens utilesBouquins
Statistics for analytical Chemistry 3 rd ed JC Miller and JN Miller John Wiley amp Sons 1998
Multivariate Statistical Methods A Primer BFJ Monley Chapman amp Hall 1986
Modeacutelisation et estimation des erreurs de mesure M Neuilly CETAMA Lavoisier Paris 1993
Sites WWW
httpphysicsnistgovcuuUncertaintyindexhtml excellent site simple et succinct mais de reacutefeacuterence
sur la calcul des incertitudes ce document sen est beaucoup inspireacute Un cours plus complet de
statistiques est disponible agrave httpwwwitlnistgovdiv898handbook
httpswwwansesfrfrcontentguide-de-validation-des-mC3A9thodes-danalyses-des-laboratoires-de-rC3A9fC3A9rence Guide de lrsquoANSES Agence nationale de seacutecuriteacute sanitaire
de lrsquoalimentation de lrsquoenvironnement et du travail
httpwwwjybaudotfrStatsstatshtml Encyclopeacutedie des stats de Jean-Yves Baudot agrave la foi preacutecis vulgarisateur et marrant un challenge en statistiques
httpfrfreestatisticsinfoindexphp Collection de liens et surtout de Freewares sur les stats
8062
La norme AFNOR la plus utiliseacutee
httpwwwasqualabcomdocumentsqualitemetrologie19-unites_pifometriquespdf
16
31
95
one-sample T-test laquo simplifieacute raquoComparaison de la mesure M drsquoun eacutechantillon agrave une valeur de reacutefeacuterence R on suppose que la distribution est normale
Hypothegravesesbull laquo M est diffeacuterent de R raquobull laquo M est significativement diffeacuterent de R raquo
Cette hypothegravese de diffeacuterence H1 est retenue si sa probabiliteacute est supeacuterieure agrave 95 (par exemple) (ou si la probabiliteacute drsquoeacutegaliteacute est infeacuterieure agrave 5 (H2)
1 mesure M eacutecart-type estimeacute de la mesure s distr gaussienne
MR
-4srsquo -3srsquo -2srsquo ndashsrsquo 0 srsquo 2srsquo 3srsquo 4srsquo
Hypothegravese retenue si
stRM
si s est calculable laquo preacuteciseacutement raquo
(t=coef de Student)
H1 95 (ou H2 5)
H1 99 (ou H2 1)
H1 999 (ou H2 01)
t 196 256 328
Oui quasiment toujours agrave cause de lrsquoerreur aleacuteatoirehellip
bull laquo La diffeacuterence entre M et R nrsquoest pas due qursquoagrave lrsquoerreur aleacuteatoire raquo
ngt20 sinon tableau des coefs de Studenthellip
32
95
one-sample T-test laquo officiel raquo
Comparaison de la moyenne micro drsquoun eacutechantillon agrave une valeur de reacutefeacuterence R on suppose que la distribution est normaleHypothegravese laquo la diffeacuterence entre la moyenne de n mesures et une valeur de reacutefeacuterence nrsquoest pas due qursquoaux erreurs aleacuteatoires raquo
Cette hypothegravese est retenue si sa probabiliteacute est supeacuterieure agrave 95 (par exemple)
n mesures moyenne m eacutecart-type estimeacute de chaque mesure s
On montre (+ loinhellip) que lrsquoeacutecart-type estimeacute de la moyenne est n
ss
m R
-4srsquo -3srsquo -2srsquo ndashsrsquo 0 srsquo 2srsquo 3srsquo 4srsquo
Hypothegravese retenue si
n
stR m
si s est calculable laquo preacuteciseacutement raquo
(t=coef de Student)
H1 95 (ou H2 5)
H1 99 (ou H2 1)
H1 999 (ou H2 01)
t 196 256 328
17
one-sample T-test exemple
Hypothegravese laquo la diffeacuterenceentre la moyenne de npesages drsquoune masse eacutetalonde 1 kg et la valeur de cettemasse nrsquoest pas due qursquoauxerreurs aleacuteatoires raquo
n
stR m
n
s
Rt
m
1 104946993
2 111917309 Etalon R (kg) 10000
3 099865798
4 101040713
5 114655592
6 097054733
7 114894136
8 108005111 moyenne micro 104614199
9 103044121 Ecart-type s 005326172
10 098202478
11 105094267 00461
12 106252219
13 102608401
14 104961426 002381937 (t=2)
15 103483134 (n=20)
16 103475702
17 098306671
18 109287381
19 097490694
20 107697103
08
09
1
11
12
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
Rm
n
st
Il existe un laquo biais raquohellip
34
two-sample T-test
Comparaison de 2 moyennes de 2 eacutechantillons on suppose que la distribution est normaleHypothegravese laquo la diffeacuterence entre les 2 moyennes nrsquoest pas due qursquoaux erreurs aleacuteatoires raquo
Ech 1 Ech 2
Nb mesures n1 n2
Ecart type estimeacute s1 s2
Moyenne estimeacutee m1 m2
Comparaison de m1 et m2Peut se ramener agrave un 1-sample-test en comparant |m1-m2| agrave 0
On prend alors comme eacutecart-type de |m1-m2|
2
2
2
1
2
1
n
s
n
ss
(deacutemontreacute dans partie laquo lois de propagation de lrsquoerreur raquo)
Et le nombre de degreacutes de liberteacute est en 1ere approx n1+n2-2
st21 mmHypothegravese retenue si
Cette hypothegravese est retenue si sa probabiliteacute est supeacuterieure agrave 95 (par exemple)
2
2
2
1
2
121
n
s
n
st mm
18
two-sample T-test exemple
2
2
2
1
2
121
n
s
n
st mm
op1 op2 op1 op2
359385514 349673556 moyenne micro 354463973 355551443
358810682 350481358 eacutecart-type s 004510027 004809217
353371004 347201328
352760094 3553306 |micro1-micro2| 00108747344867115 357512954
351024893 355717682
360880932 362969549
353927667 366487781 00139361355719746 354702026
352552333 354598904 n 43 t=2
349798625 348741103
349706929 356409401 st 002787228
356771949 356622487
359781434 354564972
354032574 350388551
357799787 365577103
349003712 355839436
357276739 353637213
361263276 357229694
350544464 356392763
360261554
352637678
35652033
358384532
350903522
33
335
34
345
35
355
36
365
37
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25
2
2
2
1
2
1
n
s
n
ss
Hypothegravese laquo la diffeacuterence entre les moyennes de pesages drsquoune mecircme masse par 2 opeacuterateurs nrsquoest pas due qursquoaux erreurs aleacuteatoires raquo
1 2
Il existe un laquo biais entre les 2 opeacuterateursraquohellip
TP2
36
Intervalle de confianceLintervalle de confiance agrave p (95) drsquoune mesure x est un intervalle de valeurs qui a une probabiliteacute centreacutee p (95) de contenir la vraie valeur xR du paramegravetre estimeacute
xx
La calcul de et en fonction de la probabiliteacute P (geacuteneacuteralement 95) deacutepend de la loi de
distribution de lerreur
0
et = incertitude agrave p (95)
Distribution symeacutetrique
bull =
bullValeur moyenne de la mesure
= la plus probable0
Confidence interval
21)()( pxxPxxP RR
Distribution normale
19
37
Intervalle de confiance cas de la distribution normale
Lintervalle de confiance agrave p (95) drsquoune mesure x est un intervalle de valeurs qui a une probabiliteacute centreacutee p (95) de contenir la vraie valeur xR du paramegravetre estimeacute
xx
0
01
02
03
04
05
3 2 0 2 3Ecart agrave la moyenne x-x = eacutecart-type
683 des mesures
2 955 des mesures
3 997 des mesures
stxstx
Coefs de Student t
intervalle de conf 900 950 980 990 999
p 01 005 002 001 0001
deg lib
1 631 1271 3182 6366 63662
2 292 430 696 992 3160
3 235 318 454 584 1292
4 213 278 375 460 861
5 202 257 336 403 687
6 194 245 314 371 596
7 189 236 300 350 541
8 186 231 290 336 504
9 183 226 282 325 478
10 181 223 276 317 459
12 178 218 268 305 432
14 176 214 262 298 414
17 174 211 257 290 397
20 172 209 253 285 385
30 170 204 246 275 365
40 168 202 242 270 355
50 168 201 240 268 350
100 166 198 236 263 339
100000 164 196 233 258 329
38
Loi normale
95
Eacutecriture drsquoune mesure (distribution normale)
Le reacutesultat drsquoune mesure doit comporter 4 eacuteleacutements Ex CNO = 1253 ppb 17 ppb (agrave 95 ou t=2)
1 2 3 41 Valeur numeacuterique avec un nombre correct de deacutecimales2 Uniteacute3 Incertitude eacutelargie = t4 Le coefficient drsquoeacutelargissement t utiliseacute
Probabiliteacute en pour que la valeur reacuteelle
soit dans lrsquointervalle tsxtsx
1 Numerical value with a correct number of decimals2 Unit3 expanded uncertainty = ts4 Coverage factor t
20
39
Eacutevaluation de lrsquoincertitude
Eacutevaluation par analyse statistique de seacuteries de mesures (laquo type A raquo)
(geacuteneacuteralement mesure mais aussi simulation)
Eacutevaluation par calcul de lrsquoeffet sur lrsquoincertitude finale des diffeacuterentes
sources drsquoincertitude (laquo type B raquo laquo par tout autre moyen raquo) elles mecircme
eacutevalueacutees
par une meacutethode de type A
par des donneacutees constructeur drsquoeacutetalonnage etchellip
Il est alors neacutecessaire de connaicirctre les lois de propagation de
lrsquoerreurhellip
GUM Guide to the expression of Uncertainly in Measurement (1993)
Norme Franccedilaise X 07-020 AFNOR Aoucirct 1999
40
Eacutevaluation par analyse statistique de seacuteries de mesures
V
VERR
0
R0
R E
V mesureacute
0
0
RR
REV
Mesure et calcul avec un grand nombre N
de reacutesistances laquo eacutetalon raquo (R connu)
Calcul de lrsquoeacutecart-type
(en fait eacutecart-type estimeacute shellip)
Incertitude agrave 95 = t 2 (si Ngt15hellip)
Ne tient pas compte
-De lrsquoincertitude du Vmegravetre (V)
-Des incertitudes sur E R0 les reacutesistances
eacutetalonhellip
Exemple eacutevaluation drsquoune meacutethode de mesure drsquoune reacutesistance
21
41
Eacutevaluation par calcul de lrsquoeffet sur lrsquoincertitude finale des diffeacuterentes sources drsquoincertitude
V
VERR
0
2
2
0
2
0
2
0 )()()()(
V
V
ERE
V
RR
U
UER
(R0) (E) (V) connus
R0
R E
V mesureacute
Explication
Loi de propagation des eacutecart-types
combined standard uncertainty
Exemple eacutevaluation drsquoune meacutethode de mesure drsquoune reacutesistance
Quelle est la peseacutee la plus preacutecise
22
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes (1)
Exemple de la somme s=a+b
es
eb
ea
es=ea+ebRappel les erreurs srsquoajoutent algeacutebriquement
Et leur eacutecart-type
combined standard uncertainty for random amp independant errors
a b a+b282 151 433
261 171 432
264 168 432
345 202 548
332 190 523
279 208 488
317 155 472
270 209 479
310 186 496
340 156 495
moyenne 300 180 480 480 somme moyennes
variance 011 005 016 016 somme variances
ecartype 033 023 039 055 somme eacutecart-types
000
100
200
300
400
500
600
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
a
b
a+b
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes (2)
Exemple de la somme s=a+b
Erreur aleacuteatoire
)()()( bas
)()()( bVaraVarbaVar
Les eacutecart-types ne srsquoajoutent pas
Les variances si
22baba 222
baba
Les eacutecart-types srsquoajoutent quadratiquement Si les erreurs sont indeacutependantes et aleacuteatoires
23
Quelle est la peseacutee la plus preacutecise
2
2
2
1 PIPIPI
54321 PPPPPP
2)(5 pIPI
)(5 pIPI
gkgP 2425
Rappel loi de propagation drsquoune laquo petite raquo erreur
n
i
i
xx
fy
1
)(
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
)(xfy xdx
dfxfxxf )()(
xdx
dfy
Cas particulier produit-exposant
(Th accroissements finis)
Proprieacuteteacute de la deacuteriveacutee logarithmique
119910 =119886 119887 1198883
11988912
∆119910
119910=
∆119886
119886+
∆119887
119887+ 3
∆119888
119888- 12
∆119889
119889
24
Loi de propagation de la variance et de lrsquoeacutecart-type
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
La variance est additive donc si les variables xi sont indeacutependantes
)()(1
n
i
i
xVx
fyV
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fy
Ecart type V(x)=((x))2
)(2)()(1
1 11
2
2
2
ji
n
i
n
ij ji
i
n
i
xxx
f
x
fx
x
fy Cov
Cas geacuteneacuteral (variables non indeacutependantes)
(non deacutemontreacutehellip)
48
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires (1)
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fyI I
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
Incertitude pour une distr normale I(y)=t(y) geacuteneacuteralement t~2
Sibull mecircmes coefs drsquoeacutelargissement tbull variables xi indeacutependantes
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fy
25
49
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes cas particuliers (1)
Ex somme ou diffeacuterence
cbay
222 )()()()( cbay
i
ii xay i
ii xay 2))(()( Combinaison lineacuteaire
n
ixn
x1
1
n
xx
nx
n )()(
1)(
1
2
Application fondamentale en instrumentation La moyenne
Demo
Loi des grands nombres
50
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires cas particuliers (2)
Produits et puissances
i
iixAy
i i
ii
x
x
y
y2
)()(
Somme quadratique des eacutecart-types relatifs
x
x)(Proprieacuteteacute inteacuteressante des eacutecart-types relatifs
21
3
d
cbay
2222)(
21)(
3)()()(
d
d
c
c
b
b
a
a
y
y
Exemple
TP3
Idem pour incertitudes I si I=t partout
26
51
Lois de propagation des erreurs aleacuteatoires exemple de la droite drsquoeacutetalonnage
Etalonnage
Deacutebit D=aV
0 le D le 10 Lh
a=08 LhmV plusmn001 (t=2)
Inc Sur V 01 mV (t=2)
Incertitude relative sur deacutebit Den fonction du deacutebit
22)()()(
V
VI
a
aI
D
DI
V = tension fournie par capteurhellip
22)()(
D
VaI
a
aI
Mesure des faibles valeurs peu preacutecise
a = inverse de la sensibiliteacute
Si D 0
Calcul de lrsquoincertitude par simulation de lrsquoerreur aleacuteatoire
ou meacutethode de Monte-Carlo
Ex y=f(x1x2)
x1 et x2 ont des erreurs aleacuteatoires (pas forcement indeacutependantes) caracteacuteriseacutees par
leur eacutecart-type s1 et s2
bullSimuler un certain nombre drsquoexpeacuteriences avec les
mecircmes valeurs x1 et x2 + erreur aleacuteatoire (tirages ne)
yi=f(x1+e1x2+e2) N fois
bullCalcul de lrsquoeacutecart type des yi
bullLes ei sont calculeacutes agrave lrsquoaide drsquoun geacuteneacuterateur de nombre
aleacuteatoires agrave distribution adeacutequate (geacuteneacuteralement normale)
Excel =LOINORMALEINVERSE(ALEA()0eacutecart-type)TP4
27
Calcul de lrsquoincertitude par simulation de lrsquoerreur aleacuteatoire exemple
moyenne des D 50012 Dmax 100000
Deacutebit 50000 E Type des D 00526 a 08000
tension V 62500 Incertitude 01052 I(a) 00100
I(V) 01000
Ndeg tirage (400) erreur sur a erreur sur V valeur a valeur V D=aV
1 -00010 00253 07990 62753 50142
2 00011 -00518 08011 61982 49654
3 00032 00436 08032 62936 50551
4 -00098 00026 07902 62526 49407
5 00021 00867 08021 63367 50824
6 -00064 -00202 07936 62298 49437
7 00017 -00820 08017 61680 49450
8 -00065 00444 07935 62944 49949
9 00009 00757 08009 63257 50663
10 -00049 -00318 07951 62182 49439
11 00130 00109 08130 62609 50901
12 00004 00084 08004 62584 50092
13 -00046 00031 07954 62531 49737
14 -00024 00249 07976 62749 50049
15 00047 00311 08047 62811 50543
16 -00021 -00251 07979 62249 49668
D=aV
0 le D le 10 Lh
a=08 LhmV plusmn001 (t=2)
Inc Sur V = 01 mV (t=2)
Tirage aleacuteatoire normal
+
LOINORMALEINVERSE(ALEA()0eacutecart-type)
Les erreurs srsquoajoutent algeacutebriquement
54
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation
La discreacutetisation intervient lorsque les valeurs finales constituent un ensemble discret
Reacutesolution d du systegraveme drsquoacquisition agrave ne pas confondre avec lrsquoincertitude ou la sensibiliteacute
d
V
0
001
002
003
004
005
006
007
008
009
01
0 005 01
Tension reacuteelle
Ten
sion
aff
icheacutee
Discretization uncertainty
28
55
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (2)
32
d dEcart type de lrsquoerreur due agrave la discreacutetisation
295295
0
95
dIII Incertitude totale
5d 6d 7d
Erreur maxi d2
Approximatif Monte-Carlo parfois preacutefeacuterablehellip
Incertitude agrave 95 due agrave la discreacutetisation 2d 2975095 ddINon
058d 0485d
295 ddI
56
Le laquo Dithering raquo
La preacutesence drsquoerreur aleacuteatoire permet ici drsquoameacuteliorer la laquo preacutecision raquo de la mesure
Pas de laquo bruit raquo pas de moyennage Pas de laquo bruit raquo moyenne 50
signaux
laquo bruit raquo pas de moyennage laquo bruit raquo moyenne 50 signaux
La meacutethode du moyennage peut reacuteduire aussi lrsquoerreur de discreacutetisation (= quantification)
On peut gagner 1 bit de reacutesolution chaque fois que lrsquoon multiplie par 4 la freacutequence drsquoeacutechantillonnagehellip
hellip agrave condition que le signal avant numeacuterisation contienne un bruit (aleacuteatoire et indeacutependant) de valeur efficace supeacuterieure agrave la reacutesolution initialehellip
demo
29
57
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (3) les deacutecimales significatives
Ecriture drsquoun nombre avec un nombre de chiffres fini Erreur de discreacutetisation
Pour une mesure lrsquoeacutecart type de lrsquoerreur introduite doit ecirctre petit devant celui
de lrsquoerreur de mesure initiale
Ex mesure = 4382659872 Eacutecart-type mesure = 055 (soit 0125 en relatif)
Doit-on eacutecrire
4382659872
438265
4383
Mais les systegravemes numeacuteriques peuvent donner beaucoup de chiffres significatifshellip
438
58
Mesure afficheacutee
reacutesolution
ET erreur discreacutetisation
ET erreur finale drsquoerreur due agrave la discreacutetisation
438265987
0000001
29 10-7 055 lt 10-3
43827
001
29 10-3 0550008 10-3
4383
01
0029 05506 014
438
1
029 062 13
440
10
289 294 434
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (4) les deacutecimales significatives exemple
32
d d
22 )()( dxX
Ex mesure = 4382659872 Eacutecart-type mesure = (x)= 055 (soit 0125 en relatif)
bullOn peut choisir la reacutesolution immeacutediatement plus petite que lrsquoeacutecart-type de la mesure
bullLrsquoeacutecart-type (ou lrsquoincertitude) afficheacute ne doit pas avoir plus de 2 chiffres significatifs
30
Capabiliteacute drsquoun systegraveme de mesure
Va deacutependre de la toleacuterance deacutesireacuteehellip
hellip et du coucirct de la mesure
capabiliteacute dun moyen de mesure = rapport entre lincertitude U du moyen de mesure et la toleacuterance IT exigeacutee
Veacuterification de la toleacuterance
Normes franccedilaises
( toleacuterance = exigence du client en terme de caracteacuteristique mesurable)
Toleacuterance capabiliteacute drsquoun systegraveme de mesure
T
Notion de risque-risque laquo client raquo(piegravece agrave rejeter mais retenue)-risque laquo fabricant raquo(piegravece agrave retenir mais rejeteacutee)
Mesure moyenne
T
Piegravece agrave rejeterPiegravece agrave retenir
T=ToleacuteranceU=incertitude
Distrib des erreurs de fabrication
Val reacuteelle
31
Reacuteconciliation des donneacutees
61
D1
I(D1)
D2
I(D2)
D3
I(D3)
bull 3 mesures redondantes (car en theacuteorie D1=D2+D3)bull A cause des incertitudes on nrsquoa jamais exactement D1=D2+D3
bull Comment (in)valider les mesures
Reacuteconciliation des donneacutees
bull La redondance permet aussi de reacuteduire lrsquoincertitude (cf moyenne)
Dernier TPhellip
Limite de deacutetection - LDD (1)Limit of Detection - LOD
6280
Pic de signal ou bruit de fond
LDD plus petite valeur non nulle mesurable pour une certaine probabiliteacute drsquoerreur sur le fait que la valeur vraie est nulle ou non
Seuil de deacutecision deacutetection si (Mesure gt Seuil deacutecision)
2 types drsquoerreur de deacutecision Type 1 deacutetection signal alors qursquoil est absent (faux positif)
Type 2 non deacutetection signal alors qursquoil est preacutesent (faux neacutegatif)
32
Limite de deacutetection (2)
6380
Type 1 deacutetection signal alors qursquoil est absent (faux positif)
Exemple probabiliteacute de 5 drsquoerreur de type 1 ou 2
Type 2 non deacutetection signal alors qursquoil est preacutesent (faux neacutegatif)
165
5
Proba = 5 si seuil de deacutecision = 165
Si mecircme seuil de deacutecision (165) mecircme proba drsquoerreur si signal agrave 2 fois le seuil de deacutecision = 33
2x165
5
Limite de deacutetection (3)
0
0
0
0
0
0
0
0
165 33
Niveau signal
seuil de decision type 1 type 2 gt0
nb erreurs 9 9
bonnes deacutecisions 955
eacutecart type bruit analyseur 10
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
1
signal theacuteorique
signal reacuteel
seuil de deacutecision
erreur type 1
erreur type 2
-20 0 20 40 60 80
Si distr normale et probabiliteacute de 95LDD=33
On prend geacuteneacuteralement LDD=3 = eacutecart-type de la mesure laquo proche de zeacutero raquo
33
Etalonnage drsquoun systegraveme de mesure
Etalonnage laquo Opeacuteration consistant agrave eacutetablir une relation entre les valeurs de la grandeur indiqueacutees par un appareil de mesure et les valeurs correspondantes de la grandeur reacutealiseacutees par des eacutetalons raquo (VIM)
160
165
170
175
180
185
190
195
0 20 40 60 80 100
H
C pF
66
Etalonnage Creacuteation drsquoun modegravele de comportement
ETALONNAGE
Variables Xmesureacutees
(capteurs)
Variables Ymesureacutees(analyseshellip)
modegravele ou
Preacutedicteur F
Creacuteation modegravele
de comportement
Y=F(X)
PREDICTION
Variables Xmesureacutees(capteurs)
Estimation des
variables Y
Modegravele
Calcul de
preacutedictiontensions
Calibration Creation of a behavior model
34
67
Eacutetalonnage - calibrage
Eacutetalonnage (calibration) = calcul complet du modegravele neacutecessite un laquo grand raquo nombre drsquoexpeacuteriences
tension
pression
bull Calibrage ou ajustement de zeacutero (zero adjustment) = laquo recalage raquo du modegravele neacutecessite 1 expeacuterience (laquo zeacutero raquo) voire 2 (laquo zeacutero + gain raquo)
tension
pression
bullCorrection variations de fabrication
bullCorrection deacuterive
bullCorrection changement conditions expeacuterimentales (tempeacuterature tarage drsquoune balancehellip)
bullEtchellip
Si le modegravele nrsquoest pas lineacuteaire le calibrage ne peut corriger que de faibles variationshellip
68
Les moindres carreacutes
Meacutethode des moindres carreacutes (monovariable)
laquo minimal raquo pour lrsquoensemble des mesures en trouvant la
fonction optimale f
On veut modeacuteliser pour toutes les mesures (i) ෝ119962119946 = 119839(119961119946) en fait agrave partir
des expeacuteriences on a 119962119946 = 119839 119961119946 + 119942119946 ougrave 119942119946 = laquo reacutesidu raquo ou erreur
On utilise geacuteneacuteralement la distance Euclidienne
laquo minimale raquo en optimisant les 120637119947
The least Squares
120637119947 repreacutesente ici le ou les paramegravetres de la fonction agrave optimiser f (ex coefs polynocircme)
119942119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947
119946
119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947120784
35
69
La reacutegression lineacuteaire
Monovariable (y=f(x) ) + hypothegravese lineacuteaire (y=ax+b)
2 cas
X
Minimisations des erreurs sur Y
Reacutegression de yx
ybaxy e
Y
Minimisation des erreurs sur X
X
Reacutegression de xy
xbyax e ˆ
1ˆ
a
bx
ay
Attention une reacutegression de yx avec des
erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne une
erreur systeacutematique sur la pentehellip
Y
Linear regression
70
La reacutegression lineacuteaire yx ou xy
Attention une reacutegression de yx avec des erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne
une erreur systeacutematique sur la pentehellip
Diffeacuterence neacutegligeable dans une majoriteacute de cashellip
y = 10036x - 00354
-2
0
2
4
6
8
10
12
-2 0 2 4 6 8 10 12
y = 06669x + 16244
-2
0
2
4
6
8
10
12
-2 0 2 4 6 8 10 12
Reacutegression YX Reacutegression XY
36
71
Caracteacuteristiques de la reacutegression yx
Estimations de a et b
)(
)(
)x(x
)y)(yx(x
=a2
i
i
ii
xVar
yxCov
i
xayb
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
Calcul Excel agrave lrsquoaide debull Courbe de tendancebull droitereg
72
Erreur lieacutee agrave la mesure
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
2n
)y(yi
2
ii
yx
s
Ecart Type des reacutesidus
= ET de lrsquoerreur lieacutee agrave la mesure= ET de preacutediction que lrsquoon aurait (mecircmes conditions) si le modegravele eacutetait sans erreur
Mais le modegravele nrsquoest jamais exact
Erreur que lrsquoon aurait mecircme si le modegravele eacutetait parfait agrave cause de lrsquoerreur aleacuteatoire sur xhellipRepreacutesenteacutee par lrsquohellip
Rappel reacutesidu = eacutecart entre valeur preacutedite (sur droite de regression donc) et valeur expeacuterimentale
37
73
Erreur de modeacutelisation
Estimations incertitudes de a et b
baxy ˆ
Y
i
xyss
2
i
a
)x(xEcart type de la pente
i
i
i
xybn
x
ss2
i
2
)x(x
Ecart type de lrsquoordonneacutee agrave lrsquoorigine
Calcul Excel agrave lrsquoaide de la fonction laquo droitereg raquo
temps h tension
0 300E-05
1 440E-05
2 900E-05
3 900E-05
4 100E-04
formule =DROITEREG(YX11)
pente 00000186 00000336 OAO
s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO
R 0870821587 130792E-05 s(resid)
2022369447 3 N DL
34596E-09 5132E-10000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5TP5
Incertitude de preacutediction
74
2
2
11)ˆ(
xx
xX
mstYI
i
xy
bull m= nb eacutechantillons deacutetalonnagebull xi = valeurs deacutetalonnage dont moyenne xbull X = valeur deacutechantillon de preacutedictionbull Syx = eacutecart-type des reacutesidus
x
E Lieacutee agrave la mesure
E Type du modegravele
bull Si modegravele laquo parfait raquo (ou m grand) xystYI )ˆ(
bull Lrsquoincertitude augmente si X srsquoeacuteloigne de (problegraveme de lrsquoextrapolation) x
bull Deacutepend (un peuhellip) de X
I(pred)2=I(lieacutee agrave la mesure)2 + I(modelisation)2
TP6
38
75
Mesure de la qualiteacute dajustement dune reacutegression lineacuteaire
Var(Y) = Var( aX+b) + Var(e
information totale = information modeacuteliseacutee + information reacutesiduelle
Coef De deacutetermination
totale)Var(info
modeacuteliseacutee) Var(infodR
)()(
)(
YX
YXCovRc
Coef de correacutelation
Rd=Rc2
Y
76
Le coef de correacutelation utilisation
0
5
10
15
20
25
30
35
0 2 4 6 8 10 12
R=075
0
5
10
15
20
25
0 2 4 6 8 10 12
R=075
-100
0
100
200
300
400
500
600
0 5 10 15
R=075
Le cœfficient de correacutelation ne sert
agrave quantifier que les relations
lineacuteaires entre X et Yvariables
Il perd toute signification degraves lors
que les reacutesidus
R=08
R=08
R=08
39
77
Reacutegression lineacuteaire examen des reacutesidus
Veacuterification lineacuteariteacute
A corriger
eacuteventuellement avec
reacutegression non lineacuteaire
Deacutetection points
aberrants (outliers)A eacuteliminer apregraves
veacuterification et avec
preacutecautionshellip
Ri=yi-(axi+b)
Reacutesidu = information non
modeacuteliseacutee ideacutealement
erreur aleacuteatoire
residuals
paramegravetres modeacutelisation des donneacutees
ET bruit
v0
v1
a
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
850
900
950
y = 07063x - 39517
-100
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (m
V)
courant (mA)
Valeurs mesureacutees
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (
mV
)
courant (mA)
Graphe des reacutesidus mesure - droiteregr
78
Reacutegression non lineacuteaire reacutegression polynomiale
Ex courbe de
tendance dExcel
temps h
0
1
2
3
4
000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5
Permet de modeacuteliser la plupart des problegravemes peu non lineacuteaireshellip
demo TP7
40
79
Biblio amp liens utilesBouquins
Statistics for analytical Chemistry 3 rd ed JC Miller and JN Miller John Wiley amp Sons 1998
Multivariate Statistical Methods A Primer BFJ Monley Chapman amp Hall 1986
Modeacutelisation et estimation des erreurs de mesure M Neuilly CETAMA Lavoisier Paris 1993
Sites WWW
httpphysicsnistgovcuuUncertaintyindexhtml excellent site simple et succinct mais de reacutefeacuterence
sur la calcul des incertitudes ce document sen est beaucoup inspireacute Un cours plus complet de
statistiques est disponible agrave httpwwwitlnistgovdiv898handbook
httpswwwansesfrfrcontentguide-de-validation-des-mC3A9thodes-danalyses-des-laboratoires-de-rC3A9fC3A9rence Guide de lrsquoANSES Agence nationale de seacutecuriteacute sanitaire
de lrsquoalimentation de lrsquoenvironnement et du travail
httpwwwjybaudotfrStatsstatshtml Encyclopeacutedie des stats de Jean-Yves Baudot agrave la foi preacutecis vulgarisateur et marrant un challenge en statistiques
httpfrfreestatisticsinfoindexphp Collection de liens et surtout de Freewares sur les stats
8062
La norme AFNOR la plus utiliseacutee
httpwwwasqualabcomdocumentsqualitemetrologie19-unites_pifometriquespdf
17
one-sample T-test exemple
Hypothegravese laquo la diffeacuterenceentre la moyenne de npesages drsquoune masse eacutetalonde 1 kg et la valeur de cettemasse nrsquoest pas due qursquoauxerreurs aleacuteatoires raquo
n
stR m
n
s
Rt
m
1 104946993
2 111917309 Etalon R (kg) 10000
3 099865798
4 101040713
5 114655592
6 097054733
7 114894136
8 108005111 moyenne micro 104614199
9 103044121 Ecart-type s 005326172
10 098202478
11 105094267 00461
12 106252219
13 102608401
14 104961426 002381937 (t=2)
15 103483134 (n=20)
16 103475702
17 098306671
18 109287381
19 097490694
20 107697103
08
09
1
11
12
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
Rm
n
st
Il existe un laquo biais raquohellip
34
two-sample T-test
Comparaison de 2 moyennes de 2 eacutechantillons on suppose que la distribution est normaleHypothegravese laquo la diffeacuterence entre les 2 moyennes nrsquoest pas due qursquoaux erreurs aleacuteatoires raquo
Ech 1 Ech 2
Nb mesures n1 n2
Ecart type estimeacute s1 s2
Moyenne estimeacutee m1 m2
Comparaison de m1 et m2Peut se ramener agrave un 1-sample-test en comparant |m1-m2| agrave 0
On prend alors comme eacutecart-type de |m1-m2|
2
2
2
1
2
1
n
s
n
ss
(deacutemontreacute dans partie laquo lois de propagation de lrsquoerreur raquo)
Et le nombre de degreacutes de liberteacute est en 1ere approx n1+n2-2
st21 mmHypothegravese retenue si
Cette hypothegravese est retenue si sa probabiliteacute est supeacuterieure agrave 95 (par exemple)
2
2
2
1
2
121
n
s
n
st mm
18
two-sample T-test exemple
2
2
2
1
2
121
n
s
n
st mm
op1 op2 op1 op2
359385514 349673556 moyenne micro 354463973 355551443
358810682 350481358 eacutecart-type s 004510027 004809217
353371004 347201328
352760094 3553306 |micro1-micro2| 00108747344867115 357512954
351024893 355717682
360880932 362969549
353927667 366487781 00139361355719746 354702026
352552333 354598904 n 43 t=2
349798625 348741103
349706929 356409401 st 002787228
356771949 356622487
359781434 354564972
354032574 350388551
357799787 365577103
349003712 355839436
357276739 353637213
361263276 357229694
350544464 356392763
360261554
352637678
35652033
358384532
350903522
33
335
34
345
35
355
36
365
37
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25
2
2
2
1
2
1
n
s
n
ss
Hypothegravese laquo la diffeacuterence entre les moyennes de pesages drsquoune mecircme masse par 2 opeacuterateurs nrsquoest pas due qursquoaux erreurs aleacuteatoires raquo
1 2
Il existe un laquo biais entre les 2 opeacuterateursraquohellip
TP2
36
Intervalle de confianceLintervalle de confiance agrave p (95) drsquoune mesure x est un intervalle de valeurs qui a une probabiliteacute centreacutee p (95) de contenir la vraie valeur xR du paramegravetre estimeacute
xx
La calcul de et en fonction de la probabiliteacute P (geacuteneacuteralement 95) deacutepend de la loi de
distribution de lerreur
0
et = incertitude agrave p (95)
Distribution symeacutetrique
bull =
bullValeur moyenne de la mesure
= la plus probable0
Confidence interval
21)()( pxxPxxP RR
Distribution normale
19
37
Intervalle de confiance cas de la distribution normale
Lintervalle de confiance agrave p (95) drsquoune mesure x est un intervalle de valeurs qui a une probabiliteacute centreacutee p (95) de contenir la vraie valeur xR du paramegravetre estimeacute
xx
0
01
02
03
04
05
3 2 0 2 3Ecart agrave la moyenne x-x = eacutecart-type
683 des mesures
2 955 des mesures
3 997 des mesures
stxstx
Coefs de Student t
intervalle de conf 900 950 980 990 999
p 01 005 002 001 0001
deg lib
1 631 1271 3182 6366 63662
2 292 430 696 992 3160
3 235 318 454 584 1292
4 213 278 375 460 861
5 202 257 336 403 687
6 194 245 314 371 596
7 189 236 300 350 541
8 186 231 290 336 504
9 183 226 282 325 478
10 181 223 276 317 459
12 178 218 268 305 432
14 176 214 262 298 414
17 174 211 257 290 397
20 172 209 253 285 385
30 170 204 246 275 365
40 168 202 242 270 355
50 168 201 240 268 350
100 166 198 236 263 339
100000 164 196 233 258 329
38
Loi normale
95
Eacutecriture drsquoune mesure (distribution normale)
Le reacutesultat drsquoune mesure doit comporter 4 eacuteleacutements Ex CNO = 1253 ppb 17 ppb (agrave 95 ou t=2)
1 2 3 41 Valeur numeacuterique avec un nombre correct de deacutecimales2 Uniteacute3 Incertitude eacutelargie = t4 Le coefficient drsquoeacutelargissement t utiliseacute
Probabiliteacute en pour que la valeur reacuteelle
soit dans lrsquointervalle tsxtsx
1 Numerical value with a correct number of decimals2 Unit3 expanded uncertainty = ts4 Coverage factor t
20
39
Eacutevaluation de lrsquoincertitude
Eacutevaluation par analyse statistique de seacuteries de mesures (laquo type A raquo)
(geacuteneacuteralement mesure mais aussi simulation)
Eacutevaluation par calcul de lrsquoeffet sur lrsquoincertitude finale des diffeacuterentes
sources drsquoincertitude (laquo type B raquo laquo par tout autre moyen raquo) elles mecircme
eacutevalueacutees
par une meacutethode de type A
par des donneacutees constructeur drsquoeacutetalonnage etchellip
Il est alors neacutecessaire de connaicirctre les lois de propagation de
lrsquoerreurhellip
GUM Guide to the expression of Uncertainly in Measurement (1993)
Norme Franccedilaise X 07-020 AFNOR Aoucirct 1999
40
Eacutevaluation par analyse statistique de seacuteries de mesures
V
VERR
0
R0
R E
V mesureacute
0
0
RR
REV
Mesure et calcul avec un grand nombre N
de reacutesistances laquo eacutetalon raquo (R connu)
Calcul de lrsquoeacutecart-type
(en fait eacutecart-type estimeacute shellip)
Incertitude agrave 95 = t 2 (si Ngt15hellip)
Ne tient pas compte
-De lrsquoincertitude du Vmegravetre (V)
-Des incertitudes sur E R0 les reacutesistances
eacutetalonhellip
Exemple eacutevaluation drsquoune meacutethode de mesure drsquoune reacutesistance
21
41
Eacutevaluation par calcul de lrsquoeffet sur lrsquoincertitude finale des diffeacuterentes sources drsquoincertitude
V
VERR
0
2
2
0
2
0
2
0 )()()()(
V
V
ERE
V
RR
U
UER
(R0) (E) (V) connus
R0
R E
V mesureacute
Explication
Loi de propagation des eacutecart-types
combined standard uncertainty
Exemple eacutevaluation drsquoune meacutethode de mesure drsquoune reacutesistance
Quelle est la peseacutee la plus preacutecise
22
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes (1)
Exemple de la somme s=a+b
es
eb
ea
es=ea+ebRappel les erreurs srsquoajoutent algeacutebriquement
Et leur eacutecart-type
combined standard uncertainty for random amp independant errors
a b a+b282 151 433
261 171 432
264 168 432
345 202 548
332 190 523
279 208 488
317 155 472
270 209 479
310 186 496
340 156 495
moyenne 300 180 480 480 somme moyennes
variance 011 005 016 016 somme variances
ecartype 033 023 039 055 somme eacutecart-types
000
100
200
300
400
500
600
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
a
b
a+b
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes (2)
Exemple de la somme s=a+b
Erreur aleacuteatoire
)()()( bas
)()()( bVaraVarbaVar
Les eacutecart-types ne srsquoajoutent pas
Les variances si
22baba 222
baba
Les eacutecart-types srsquoajoutent quadratiquement Si les erreurs sont indeacutependantes et aleacuteatoires
23
Quelle est la peseacutee la plus preacutecise
2
2
2
1 PIPIPI
54321 PPPPPP
2)(5 pIPI
)(5 pIPI
gkgP 2425
Rappel loi de propagation drsquoune laquo petite raquo erreur
n
i
i
xx
fy
1
)(
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
)(xfy xdx
dfxfxxf )()(
xdx
dfy
Cas particulier produit-exposant
(Th accroissements finis)
Proprieacuteteacute de la deacuteriveacutee logarithmique
119910 =119886 119887 1198883
11988912
∆119910
119910=
∆119886
119886+
∆119887
119887+ 3
∆119888
119888- 12
∆119889
119889
24
Loi de propagation de la variance et de lrsquoeacutecart-type
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
La variance est additive donc si les variables xi sont indeacutependantes
)()(1
n
i
i
xVx
fyV
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fy
Ecart type V(x)=((x))2
)(2)()(1
1 11
2
2
2
ji
n
i
n
ij ji
i
n
i
xxx
f
x
fx
x
fy Cov
Cas geacuteneacuteral (variables non indeacutependantes)
(non deacutemontreacutehellip)
48
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires (1)
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fyI I
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
Incertitude pour une distr normale I(y)=t(y) geacuteneacuteralement t~2
Sibull mecircmes coefs drsquoeacutelargissement tbull variables xi indeacutependantes
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fy
25
49
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes cas particuliers (1)
Ex somme ou diffeacuterence
cbay
222 )()()()( cbay
i
ii xay i
ii xay 2))(()( Combinaison lineacuteaire
n
ixn
x1
1
n
xx
nx
n )()(
1)(
1
2
Application fondamentale en instrumentation La moyenne
Demo
Loi des grands nombres
50
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires cas particuliers (2)
Produits et puissances
i
iixAy
i i
ii
x
x
y
y2
)()(
Somme quadratique des eacutecart-types relatifs
x
x)(Proprieacuteteacute inteacuteressante des eacutecart-types relatifs
21
3
d
cbay
2222)(
21)(
3)()()(
d
d
c
c
b
b
a
a
y
y
Exemple
TP3
Idem pour incertitudes I si I=t partout
26
51
Lois de propagation des erreurs aleacuteatoires exemple de la droite drsquoeacutetalonnage
Etalonnage
Deacutebit D=aV
0 le D le 10 Lh
a=08 LhmV plusmn001 (t=2)
Inc Sur V 01 mV (t=2)
Incertitude relative sur deacutebit Den fonction du deacutebit
22)()()(
V
VI
a
aI
D
DI
V = tension fournie par capteurhellip
22)()(
D
VaI
a
aI
Mesure des faibles valeurs peu preacutecise
a = inverse de la sensibiliteacute
Si D 0
Calcul de lrsquoincertitude par simulation de lrsquoerreur aleacuteatoire
ou meacutethode de Monte-Carlo
Ex y=f(x1x2)
x1 et x2 ont des erreurs aleacuteatoires (pas forcement indeacutependantes) caracteacuteriseacutees par
leur eacutecart-type s1 et s2
bullSimuler un certain nombre drsquoexpeacuteriences avec les
mecircmes valeurs x1 et x2 + erreur aleacuteatoire (tirages ne)
yi=f(x1+e1x2+e2) N fois
bullCalcul de lrsquoeacutecart type des yi
bullLes ei sont calculeacutes agrave lrsquoaide drsquoun geacuteneacuterateur de nombre
aleacuteatoires agrave distribution adeacutequate (geacuteneacuteralement normale)
Excel =LOINORMALEINVERSE(ALEA()0eacutecart-type)TP4
27
Calcul de lrsquoincertitude par simulation de lrsquoerreur aleacuteatoire exemple
moyenne des D 50012 Dmax 100000
Deacutebit 50000 E Type des D 00526 a 08000
tension V 62500 Incertitude 01052 I(a) 00100
I(V) 01000
Ndeg tirage (400) erreur sur a erreur sur V valeur a valeur V D=aV
1 -00010 00253 07990 62753 50142
2 00011 -00518 08011 61982 49654
3 00032 00436 08032 62936 50551
4 -00098 00026 07902 62526 49407
5 00021 00867 08021 63367 50824
6 -00064 -00202 07936 62298 49437
7 00017 -00820 08017 61680 49450
8 -00065 00444 07935 62944 49949
9 00009 00757 08009 63257 50663
10 -00049 -00318 07951 62182 49439
11 00130 00109 08130 62609 50901
12 00004 00084 08004 62584 50092
13 -00046 00031 07954 62531 49737
14 -00024 00249 07976 62749 50049
15 00047 00311 08047 62811 50543
16 -00021 -00251 07979 62249 49668
D=aV
0 le D le 10 Lh
a=08 LhmV plusmn001 (t=2)
Inc Sur V = 01 mV (t=2)
Tirage aleacuteatoire normal
+
LOINORMALEINVERSE(ALEA()0eacutecart-type)
Les erreurs srsquoajoutent algeacutebriquement
54
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation
La discreacutetisation intervient lorsque les valeurs finales constituent un ensemble discret
Reacutesolution d du systegraveme drsquoacquisition agrave ne pas confondre avec lrsquoincertitude ou la sensibiliteacute
d
V
0
001
002
003
004
005
006
007
008
009
01
0 005 01
Tension reacuteelle
Ten
sion
aff
icheacutee
Discretization uncertainty
28
55
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (2)
32
d dEcart type de lrsquoerreur due agrave la discreacutetisation
295295
0
95
dIII Incertitude totale
5d 6d 7d
Erreur maxi d2
Approximatif Monte-Carlo parfois preacutefeacuterablehellip
Incertitude agrave 95 due agrave la discreacutetisation 2d 2975095 ddINon
058d 0485d
295 ddI
56
Le laquo Dithering raquo
La preacutesence drsquoerreur aleacuteatoire permet ici drsquoameacuteliorer la laquo preacutecision raquo de la mesure
Pas de laquo bruit raquo pas de moyennage Pas de laquo bruit raquo moyenne 50
signaux
laquo bruit raquo pas de moyennage laquo bruit raquo moyenne 50 signaux
La meacutethode du moyennage peut reacuteduire aussi lrsquoerreur de discreacutetisation (= quantification)
On peut gagner 1 bit de reacutesolution chaque fois que lrsquoon multiplie par 4 la freacutequence drsquoeacutechantillonnagehellip
hellip agrave condition que le signal avant numeacuterisation contienne un bruit (aleacuteatoire et indeacutependant) de valeur efficace supeacuterieure agrave la reacutesolution initialehellip
demo
29
57
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (3) les deacutecimales significatives
Ecriture drsquoun nombre avec un nombre de chiffres fini Erreur de discreacutetisation
Pour une mesure lrsquoeacutecart type de lrsquoerreur introduite doit ecirctre petit devant celui
de lrsquoerreur de mesure initiale
Ex mesure = 4382659872 Eacutecart-type mesure = 055 (soit 0125 en relatif)
Doit-on eacutecrire
4382659872
438265
4383
Mais les systegravemes numeacuteriques peuvent donner beaucoup de chiffres significatifshellip
438
58
Mesure afficheacutee
reacutesolution
ET erreur discreacutetisation
ET erreur finale drsquoerreur due agrave la discreacutetisation
438265987
0000001
29 10-7 055 lt 10-3
43827
001
29 10-3 0550008 10-3
4383
01
0029 05506 014
438
1
029 062 13
440
10
289 294 434
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (4) les deacutecimales significatives exemple
32
d d
22 )()( dxX
Ex mesure = 4382659872 Eacutecart-type mesure = (x)= 055 (soit 0125 en relatif)
bullOn peut choisir la reacutesolution immeacutediatement plus petite que lrsquoeacutecart-type de la mesure
bullLrsquoeacutecart-type (ou lrsquoincertitude) afficheacute ne doit pas avoir plus de 2 chiffres significatifs
30
Capabiliteacute drsquoun systegraveme de mesure
Va deacutependre de la toleacuterance deacutesireacuteehellip
hellip et du coucirct de la mesure
capabiliteacute dun moyen de mesure = rapport entre lincertitude U du moyen de mesure et la toleacuterance IT exigeacutee
Veacuterification de la toleacuterance
Normes franccedilaises
( toleacuterance = exigence du client en terme de caracteacuteristique mesurable)
Toleacuterance capabiliteacute drsquoun systegraveme de mesure
T
Notion de risque-risque laquo client raquo(piegravece agrave rejeter mais retenue)-risque laquo fabricant raquo(piegravece agrave retenir mais rejeteacutee)
Mesure moyenne
T
Piegravece agrave rejeterPiegravece agrave retenir
T=ToleacuteranceU=incertitude
Distrib des erreurs de fabrication
Val reacuteelle
31
Reacuteconciliation des donneacutees
61
D1
I(D1)
D2
I(D2)
D3
I(D3)
bull 3 mesures redondantes (car en theacuteorie D1=D2+D3)bull A cause des incertitudes on nrsquoa jamais exactement D1=D2+D3
bull Comment (in)valider les mesures
Reacuteconciliation des donneacutees
bull La redondance permet aussi de reacuteduire lrsquoincertitude (cf moyenne)
Dernier TPhellip
Limite de deacutetection - LDD (1)Limit of Detection - LOD
6280
Pic de signal ou bruit de fond
LDD plus petite valeur non nulle mesurable pour une certaine probabiliteacute drsquoerreur sur le fait que la valeur vraie est nulle ou non
Seuil de deacutecision deacutetection si (Mesure gt Seuil deacutecision)
2 types drsquoerreur de deacutecision Type 1 deacutetection signal alors qursquoil est absent (faux positif)
Type 2 non deacutetection signal alors qursquoil est preacutesent (faux neacutegatif)
32
Limite de deacutetection (2)
6380
Type 1 deacutetection signal alors qursquoil est absent (faux positif)
Exemple probabiliteacute de 5 drsquoerreur de type 1 ou 2
Type 2 non deacutetection signal alors qursquoil est preacutesent (faux neacutegatif)
165
5
Proba = 5 si seuil de deacutecision = 165
Si mecircme seuil de deacutecision (165) mecircme proba drsquoerreur si signal agrave 2 fois le seuil de deacutecision = 33
2x165
5
Limite de deacutetection (3)
0
0
0
0
0
0
0
0
165 33
Niveau signal
seuil de decision type 1 type 2 gt0
nb erreurs 9 9
bonnes deacutecisions 955
eacutecart type bruit analyseur 10
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
1
signal theacuteorique
signal reacuteel
seuil de deacutecision
erreur type 1
erreur type 2
-20 0 20 40 60 80
Si distr normale et probabiliteacute de 95LDD=33
On prend geacuteneacuteralement LDD=3 = eacutecart-type de la mesure laquo proche de zeacutero raquo
33
Etalonnage drsquoun systegraveme de mesure
Etalonnage laquo Opeacuteration consistant agrave eacutetablir une relation entre les valeurs de la grandeur indiqueacutees par un appareil de mesure et les valeurs correspondantes de la grandeur reacutealiseacutees par des eacutetalons raquo (VIM)
160
165
170
175
180
185
190
195
0 20 40 60 80 100
H
C pF
66
Etalonnage Creacuteation drsquoun modegravele de comportement
ETALONNAGE
Variables Xmesureacutees
(capteurs)
Variables Ymesureacutees(analyseshellip)
modegravele ou
Preacutedicteur F
Creacuteation modegravele
de comportement
Y=F(X)
PREDICTION
Variables Xmesureacutees(capteurs)
Estimation des
variables Y
Modegravele
Calcul de
preacutedictiontensions
Calibration Creation of a behavior model
34
67
Eacutetalonnage - calibrage
Eacutetalonnage (calibration) = calcul complet du modegravele neacutecessite un laquo grand raquo nombre drsquoexpeacuteriences
tension
pression
bull Calibrage ou ajustement de zeacutero (zero adjustment) = laquo recalage raquo du modegravele neacutecessite 1 expeacuterience (laquo zeacutero raquo) voire 2 (laquo zeacutero + gain raquo)
tension
pression
bullCorrection variations de fabrication
bullCorrection deacuterive
bullCorrection changement conditions expeacuterimentales (tempeacuterature tarage drsquoune balancehellip)
bullEtchellip
Si le modegravele nrsquoest pas lineacuteaire le calibrage ne peut corriger que de faibles variationshellip
68
Les moindres carreacutes
Meacutethode des moindres carreacutes (monovariable)
laquo minimal raquo pour lrsquoensemble des mesures en trouvant la
fonction optimale f
On veut modeacuteliser pour toutes les mesures (i) ෝ119962119946 = 119839(119961119946) en fait agrave partir
des expeacuteriences on a 119962119946 = 119839 119961119946 + 119942119946 ougrave 119942119946 = laquo reacutesidu raquo ou erreur
On utilise geacuteneacuteralement la distance Euclidienne
laquo minimale raquo en optimisant les 120637119947
The least Squares
120637119947 repreacutesente ici le ou les paramegravetres de la fonction agrave optimiser f (ex coefs polynocircme)
119942119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947
119946
119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947120784
35
69
La reacutegression lineacuteaire
Monovariable (y=f(x) ) + hypothegravese lineacuteaire (y=ax+b)
2 cas
X
Minimisations des erreurs sur Y
Reacutegression de yx
ybaxy e
Y
Minimisation des erreurs sur X
X
Reacutegression de xy
xbyax e ˆ
1ˆ
a
bx
ay
Attention une reacutegression de yx avec des
erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne une
erreur systeacutematique sur la pentehellip
Y
Linear regression
70
La reacutegression lineacuteaire yx ou xy
Attention une reacutegression de yx avec des erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne
une erreur systeacutematique sur la pentehellip
Diffeacuterence neacutegligeable dans une majoriteacute de cashellip
y = 10036x - 00354
-2
0
2
4
6
8
10
12
-2 0 2 4 6 8 10 12
y = 06669x + 16244
-2
0
2
4
6
8
10
12
-2 0 2 4 6 8 10 12
Reacutegression YX Reacutegression XY
36
71
Caracteacuteristiques de la reacutegression yx
Estimations de a et b
)(
)(
)x(x
)y)(yx(x
=a2
i
i
ii
xVar
yxCov
i
xayb
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
Calcul Excel agrave lrsquoaide debull Courbe de tendancebull droitereg
72
Erreur lieacutee agrave la mesure
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
2n
)y(yi
2
ii
yx
s
Ecart Type des reacutesidus
= ET de lrsquoerreur lieacutee agrave la mesure= ET de preacutediction que lrsquoon aurait (mecircmes conditions) si le modegravele eacutetait sans erreur
Mais le modegravele nrsquoest jamais exact
Erreur que lrsquoon aurait mecircme si le modegravele eacutetait parfait agrave cause de lrsquoerreur aleacuteatoire sur xhellipRepreacutesenteacutee par lrsquohellip
Rappel reacutesidu = eacutecart entre valeur preacutedite (sur droite de regression donc) et valeur expeacuterimentale
37
73
Erreur de modeacutelisation
Estimations incertitudes de a et b
baxy ˆ
Y
i
xyss
2
i
a
)x(xEcart type de la pente
i
i
i
xybn
x
ss2
i
2
)x(x
Ecart type de lrsquoordonneacutee agrave lrsquoorigine
Calcul Excel agrave lrsquoaide de la fonction laquo droitereg raquo
temps h tension
0 300E-05
1 440E-05
2 900E-05
3 900E-05
4 100E-04
formule =DROITEREG(YX11)
pente 00000186 00000336 OAO
s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO
R 0870821587 130792E-05 s(resid)
2022369447 3 N DL
34596E-09 5132E-10000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5TP5
Incertitude de preacutediction
74
2
2
11)ˆ(
xx
xX
mstYI
i
xy
bull m= nb eacutechantillons deacutetalonnagebull xi = valeurs deacutetalonnage dont moyenne xbull X = valeur deacutechantillon de preacutedictionbull Syx = eacutecart-type des reacutesidus
x
E Lieacutee agrave la mesure
E Type du modegravele
bull Si modegravele laquo parfait raquo (ou m grand) xystYI )ˆ(
bull Lrsquoincertitude augmente si X srsquoeacuteloigne de (problegraveme de lrsquoextrapolation) x
bull Deacutepend (un peuhellip) de X
I(pred)2=I(lieacutee agrave la mesure)2 + I(modelisation)2
TP6
38
75
Mesure de la qualiteacute dajustement dune reacutegression lineacuteaire
Var(Y) = Var( aX+b) + Var(e
information totale = information modeacuteliseacutee + information reacutesiduelle
Coef De deacutetermination
totale)Var(info
modeacuteliseacutee) Var(infodR
)()(
)(
YX
YXCovRc
Coef de correacutelation
Rd=Rc2
Y
76
Le coef de correacutelation utilisation
0
5
10
15
20
25
30
35
0 2 4 6 8 10 12
R=075
0
5
10
15
20
25
0 2 4 6 8 10 12
R=075
-100
0
100
200
300
400
500
600
0 5 10 15
R=075
Le cœfficient de correacutelation ne sert
agrave quantifier que les relations
lineacuteaires entre X et Yvariables
Il perd toute signification degraves lors
que les reacutesidus
R=08
R=08
R=08
39
77
Reacutegression lineacuteaire examen des reacutesidus
Veacuterification lineacuteariteacute
A corriger
eacuteventuellement avec
reacutegression non lineacuteaire
Deacutetection points
aberrants (outliers)A eacuteliminer apregraves
veacuterification et avec
preacutecautionshellip
Ri=yi-(axi+b)
Reacutesidu = information non
modeacuteliseacutee ideacutealement
erreur aleacuteatoire
residuals
paramegravetres modeacutelisation des donneacutees
ET bruit
v0
v1
a
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
850
900
950
y = 07063x - 39517
-100
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (m
V)
courant (mA)
Valeurs mesureacutees
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (
mV
)
courant (mA)
Graphe des reacutesidus mesure - droiteregr
78
Reacutegression non lineacuteaire reacutegression polynomiale
Ex courbe de
tendance dExcel
temps h
0
1
2
3
4
000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5
Permet de modeacuteliser la plupart des problegravemes peu non lineacuteaireshellip
demo TP7
40
79
Biblio amp liens utilesBouquins
Statistics for analytical Chemistry 3 rd ed JC Miller and JN Miller John Wiley amp Sons 1998
Multivariate Statistical Methods A Primer BFJ Monley Chapman amp Hall 1986
Modeacutelisation et estimation des erreurs de mesure M Neuilly CETAMA Lavoisier Paris 1993
Sites WWW
httpphysicsnistgovcuuUncertaintyindexhtml excellent site simple et succinct mais de reacutefeacuterence
sur la calcul des incertitudes ce document sen est beaucoup inspireacute Un cours plus complet de
statistiques est disponible agrave httpwwwitlnistgovdiv898handbook
httpswwwansesfrfrcontentguide-de-validation-des-mC3A9thodes-danalyses-des-laboratoires-de-rC3A9fC3A9rence Guide de lrsquoANSES Agence nationale de seacutecuriteacute sanitaire
de lrsquoalimentation de lrsquoenvironnement et du travail
httpwwwjybaudotfrStatsstatshtml Encyclopeacutedie des stats de Jean-Yves Baudot agrave la foi preacutecis vulgarisateur et marrant un challenge en statistiques
httpfrfreestatisticsinfoindexphp Collection de liens et surtout de Freewares sur les stats
8062
La norme AFNOR la plus utiliseacutee
httpwwwasqualabcomdocumentsqualitemetrologie19-unites_pifometriquespdf
18
two-sample T-test exemple
2
2
2
1
2
121
n
s
n
st mm
op1 op2 op1 op2
359385514 349673556 moyenne micro 354463973 355551443
358810682 350481358 eacutecart-type s 004510027 004809217
353371004 347201328
352760094 3553306 |micro1-micro2| 00108747344867115 357512954
351024893 355717682
360880932 362969549
353927667 366487781 00139361355719746 354702026
352552333 354598904 n 43 t=2
349798625 348741103
349706929 356409401 st 002787228
356771949 356622487
359781434 354564972
354032574 350388551
357799787 365577103
349003712 355839436
357276739 353637213
361263276 357229694
350544464 356392763
360261554
352637678
35652033
358384532
350903522
33
335
34
345
35
355
36
365
37
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25
2
2
2
1
2
1
n
s
n
ss
Hypothegravese laquo la diffeacuterence entre les moyennes de pesages drsquoune mecircme masse par 2 opeacuterateurs nrsquoest pas due qursquoaux erreurs aleacuteatoires raquo
1 2
Il existe un laquo biais entre les 2 opeacuterateursraquohellip
TP2
36
Intervalle de confianceLintervalle de confiance agrave p (95) drsquoune mesure x est un intervalle de valeurs qui a une probabiliteacute centreacutee p (95) de contenir la vraie valeur xR du paramegravetre estimeacute
xx
La calcul de et en fonction de la probabiliteacute P (geacuteneacuteralement 95) deacutepend de la loi de
distribution de lerreur
0
et = incertitude agrave p (95)
Distribution symeacutetrique
bull =
bullValeur moyenne de la mesure
= la plus probable0
Confidence interval
21)()( pxxPxxP RR
Distribution normale
19
37
Intervalle de confiance cas de la distribution normale
Lintervalle de confiance agrave p (95) drsquoune mesure x est un intervalle de valeurs qui a une probabiliteacute centreacutee p (95) de contenir la vraie valeur xR du paramegravetre estimeacute
xx
0
01
02
03
04
05
3 2 0 2 3Ecart agrave la moyenne x-x = eacutecart-type
683 des mesures
2 955 des mesures
3 997 des mesures
stxstx
Coefs de Student t
intervalle de conf 900 950 980 990 999
p 01 005 002 001 0001
deg lib
1 631 1271 3182 6366 63662
2 292 430 696 992 3160
3 235 318 454 584 1292
4 213 278 375 460 861
5 202 257 336 403 687
6 194 245 314 371 596
7 189 236 300 350 541
8 186 231 290 336 504
9 183 226 282 325 478
10 181 223 276 317 459
12 178 218 268 305 432
14 176 214 262 298 414
17 174 211 257 290 397
20 172 209 253 285 385
30 170 204 246 275 365
40 168 202 242 270 355
50 168 201 240 268 350
100 166 198 236 263 339
100000 164 196 233 258 329
38
Loi normale
95
Eacutecriture drsquoune mesure (distribution normale)
Le reacutesultat drsquoune mesure doit comporter 4 eacuteleacutements Ex CNO = 1253 ppb 17 ppb (agrave 95 ou t=2)
1 2 3 41 Valeur numeacuterique avec un nombre correct de deacutecimales2 Uniteacute3 Incertitude eacutelargie = t4 Le coefficient drsquoeacutelargissement t utiliseacute
Probabiliteacute en pour que la valeur reacuteelle
soit dans lrsquointervalle tsxtsx
1 Numerical value with a correct number of decimals2 Unit3 expanded uncertainty = ts4 Coverage factor t
20
39
Eacutevaluation de lrsquoincertitude
Eacutevaluation par analyse statistique de seacuteries de mesures (laquo type A raquo)
(geacuteneacuteralement mesure mais aussi simulation)
Eacutevaluation par calcul de lrsquoeffet sur lrsquoincertitude finale des diffeacuterentes
sources drsquoincertitude (laquo type B raquo laquo par tout autre moyen raquo) elles mecircme
eacutevalueacutees
par une meacutethode de type A
par des donneacutees constructeur drsquoeacutetalonnage etchellip
Il est alors neacutecessaire de connaicirctre les lois de propagation de
lrsquoerreurhellip
GUM Guide to the expression of Uncertainly in Measurement (1993)
Norme Franccedilaise X 07-020 AFNOR Aoucirct 1999
40
Eacutevaluation par analyse statistique de seacuteries de mesures
V
VERR
0
R0
R E
V mesureacute
0
0
RR
REV
Mesure et calcul avec un grand nombre N
de reacutesistances laquo eacutetalon raquo (R connu)
Calcul de lrsquoeacutecart-type
(en fait eacutecart-type estimeacute shellip)
Incertitude agrave 95 = t 2 (si Ngt15hellip)
Ne tient pas compte
-De lrsquoincertitude du Vmegravetre (V)
-Des incertitudes sur E R0 les reacutesistances
eacutetalonhellip
Exemple eacutevaluation drsquoune meacutethode de mesure drsquoune reacutesistance
21
41
Eacutevaluation par calcul de lrsquoeffet sur lrsquoincertitude finale des diffeacuterentes sources drsquoincertitude
V
VERR
0
2
2
0
2
0
2
0 )()()()(
V
V
ERE
V
RR
U
UER
(R0) (E) (V) connus
R0
R E
V mesureacute
Explication
Loi de propagation des eacutecart-types
combined standard uncertainty
Exemple eacutevaluation drsquoune meacutethode de mesure drsquoune reacutesistance
Quelle est la peseacutee la plus preacutecise
22
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes (1)
Exemple de la somme s=a+b
es
eb
ea
es=ea+ebRappel les erreurs srsquoajoutent algeacutebriquement
Et leur eacutecart-type
combined standard uncertainty for random amp independant errors
a b a+b282 151 433
261 171 432
264 168 432
345 202 548
332 190 523
279 208 488
317 155 472
270 209 479
310 186 496
340 156 495
moyenne 300 180 480 480 somme moyennes
variance 011 005 016 016 somme variances
ecartype 033 023 039 055 somme eacutecart-types
000
100
200
300
400
500
600
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
a
b
a+b
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes (2)
Exemple de la somme s=a+b
Erreur aleacuteatoire
)()()( bas
)()()( bVaraVarbaVar
Les eacutecart-types ne srsquoajoutent pas
Les variances si
22baba 222
baba
Les eacutecart-types srsquoajoutent quadratiquement Si les erreurs sont indeacutependantes et aleacuteatoires
23
Quelle est la peseacutee la plus preacutecise
2
2
2
1 PIPIPI
54321 PPPPPP
2)(5 pIPI
)(5 pIPI
gkgP 2425
Rappel loi de propagation drsquoune laquo petite raquo erreur
n
i
i
xx
fy
1
)(
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
)(xfy xdx
dfxfxxf )()(
xdx
dfy
Cas particulier produit-exposant
(Th accroissements finis)
Proprieacuteteacute de la deacuteriveacutee logarithmique
119910 =119886 119887 1198883
11988912
∆119910
119910=
∆119886
119886+
∆119887
119887+ 3
∆119888
119888- 12
∆119889
119889
24
Loi de propagation de la variance et de lrsquoeacutecart-type
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
La variance est additive donc si les variables xi sont indeacutependantes
)()(1
n
i
i
xVx
fyV
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fy
Ecart type V(x)=((x))2
)(2)()(1
1 11
2
2
2
ji
n
i
n
ij ji
i
n
i
xxx
f
x
fx
x
fy Cov
Cas geacuteneacuteral (variables non indeacutependantes)
(non deacutemontreacutehellip)
48
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires (1)
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fyI I
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
Incertitude pour une distr normale I(y)=t(y) geacuteneacuteralement t~2
Sibull mecircmes coefs drsquoeacutelargissement tbull variables xi indeacutependantes
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fy
25
49
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes cas particuliers (1)
Ex somme ou diffeacuterence
cbay
222 )()()()( cbay
i
ii xay i
ii xay 2))(()( Combinaison lineacuteaire
n
ixn
x1
1
n
xx
nx
n )()(
1)(
1
2
Application fondamentale en instrumentation La moyenne
Demo
Loi des grands nombres
50
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires cas particuliers (2)
Produits et puissances
i
iixAy
i i
ii
x
x
y
y2
)()(
Somme quadratique des eacutecart-types relatifs
x
x)(Proprieacuteteacute inteacuteressante des eacutecart-types relatifs
21
3
d
cbay
2222)(
21)(
3)()()(
d
d
c
c
b
b
a
a
y
y
Exemple
TP3
Idem pour incertitudes I si I=t partout
26
51
Lois de propagation des erreurs aleacuteatoires exemple de la droite drsquoeacutetalonnage
Etalonnage
Deacutebit D=aV
0 le D le 10 Lh
a=08 LhmV plusmn001 (t=2)
Inc Sur V 01 mV (t=2)
Incertitude relative sur deacutebit Den fonction du deacutebit
22)()()(
V
VI
a
aI
D
DI
V = tension fournie par capteurhellip
22)()(
D
VaI
a
aI
Mesure des faibles valeurs peu preacutecise
a = inverse de la sensibiliteacute
Si D 0
Calcul de lrsquoincertitude par simulation de lrsquoerreur aleacuteatoire
ou meacutethode de Monte-Carlo
Ex y=f(x1x2)
x1 et x2 ont des erreurs aleacuteatoires (pas forcement indeacutependantes) caracteacuteriseacutees par
leur eacutecart-type s1 et s2
bullSimuler un certain nombre drsquoexpeacuteriences avec les
mecircmes valeurs x1 et x2 + erreur aleacuteatoire (tirages ne)
yi=f(x1+e1x2+e2) N fois
bullCalcul de lrsquoeacutecart type des yi
bullLes ei sont calculeacutes agrave lrsquoaide drsquoun geacuteneacuterateur de nombre
aleacuteatoires agrave distribution adeacutequate (geacuteneacuteralement normale)
Excel =LOINORMALEINVERSE(ALEA()0eacutecart-type)TP4
27
Calcul de lrsquoincertitude par simulation de lrsquoerreur aleacuteatoire exemple
moyenne des D 50012 Dmax 100000
Deacutebit 50000 E Type des D 00526 a 08000
tension V 62500 Incertitude 01052 I(a) 00100
I(V) 01000
Ndeg tirage (400) erreur sur a erreur sur V valeur a valeur V D=aV
1 -00010 00253 07990 62753 50142
2 00011 -00518 08011 61982 49654
3 00032 00436 08032 62936 50551
4 -00098 00026 07902 62526 49407
5 00021 00867 08021 63367 50824
6 -00064 -00202 07936 62298 49437
7 00017 -00820 08017 61680 49450
8 -00065 00444 07935 62944 49949
9 00009 00757 08009 63257 50663
10 -00049 -00318 07951 62182 49439
11 00130 00109 08130 62609 50901
12 00004 00084 08004 62584 50092
13 -00046 00031 07954 62531 49737
14 -00024 00249 07976 62749 50049
15 00047 00311 08047 62811 50543
16 -00021 -00251 07979 62249 49668
D=aV
0 le D le 10 Lh
a=08 LhmV plusmn001 (t=2)
Inc Sur V = 01 mV (t=2)
Tirage aleacuteatoire normal
+
LOINORMALEINVERSE(ALEA()0eacutecart-type)
Les erreurs srsquoajoutent algeacutebriquement
54
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation
La discreacutetisation intervient lorsque les valeurs finales constituent un ensemble discret
Reacutesolution d du systegraveme drsquoacquisition agrave ne pas confondre avec lrsquoincertitude ou la sensibiliteacute
d
V
0
001
002
003
004
005
006
007
008
009
01
0 005 01
Tension reacuteelle
Ten
sion
aff
icheacutee
Discretization uncertainty
28
55
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (2)
32
d dEcart type de lrsquoerreur due agrave la discreacutetisation
295295
0
95
dIII Incertitude totale
5d 6d 7d
Erreur maxi d2
Approximatif Monte-Carlo parfois preacutefeacuterablehellip
Incertitude agrave 95 due agrave la discreacutetisation 2d 2975095 ddINon
058d 0485d
295 ddI
56
Le laquo Dithering raquo
La preacutesence drsquoerreur aleacuteatoire permet ici drsquoameacuteliorer la laquo preacutecision raquo de la mesure
Pas de laquo bruit raquo pas de moyennage Pas de laquo bruit raquo moyenne 50
signaux
laquo bruit raquo pas de moyennage laquo bruit raquo moyenne 50 signaux
La meacutethode du moyennage peut reacuteduire aussi lrsquoerreur de discreacutetisation (= quantification)
On peut gagner 1 bit de reacutesolution chaque fois que lrsquoon multiplie par 4 la freacutequence drsquoeacutechantillonnagehellip
hellip agrave condition que le signal avant numeacuterisation contienne un bruit (aleacuteatoire et indeacutependant) de valeur efficace supeacuterieure agrave la reacutesolution initialehellip
demo
29
57
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (3) les deacutecimales significatives
Ecriture drsquoun nombre avec un nombre de chiffres fini Erreur de discreacutetisation
Pour une mesure lrsquoeacutecart type de lrsquoerreur introduite doit ecirctre petit devant celui
de lrsquoerreur de mesure initiale
Ex mesure = 4382659872 Eacutecart-type mesure = 055 (soit 0125 en relatif)
Doit-on eacutecrire
4382659872
438265
4383
Mais les systegravemes numeacuteriques peuvent donner beaucoup de chiffres significatifshellip
438
58
Mesure afficheacutee
reacutesolution
ET erreur discreacutetisation
ET erreur finale drsquoerreur due agrave la discreacutetisation
438265987
0000001
29 10-7 055 lt 10-3
43827
001
29 10-3 0550008 10-3
4383
01
0029 05506 014
438
1
029 062 13
440
10
289 294 434
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (4) les deacutecimales significatives exemple
32
d d
22 )()( dxX
Ex mesure = 4382659872 Eacutecart-type mesure = (x)= 055 (soit 0125 en relatif)
bullOn peut choisir la reacutesolution immeacutediatement plus petite que lrsquoeacutecart-type de la mesure
bullLrsquoeacutecart-type (ou lrsquoincertitude) afficheacute ne doit pas avoir plus de 2 chiffres significatifs
30
Capabiliteacute drsquoun systegraveme de mesure
Va deacutependre de la toleacuterance deacutesireacuteehellip
hellip et du coucirct de la mesure
capabiliteacute dun moyen de mesure = rapport entre lincertitude U du moyen de mesure et la toleacuterance IT exigeacutee
Veacuterification de la toleacuterance
Normes franccedilaises
( toleacuterance = exigence du client en terme de caracteacuteristique mesurable)
Toleacuterance capabiliteacute drsquoun systegraveme de mesure
T
Notion de risque-risque laquo client raquo(piegravece agrave rejeter mais retenue)-risque laquo fabricant raquo(piegravece agrave retenir mais rejeteacutee)
Mesure moyenne
T
Piegravece agrave rejeterPiegravece agrave retenir
T=ToleacuteranceU=incertitude
Distrib des erreurs de fabrication
Val reacuteelle
31
Reacuteconciliation des donneacutees
61
D1
I(D1)
D2
I(D2)
D3
I(D3)
bull 3 mesures redondantes (car en theacuteorie D1=D2+D3)bull A cause des incertitudes on nrsquoa jamais exactement D1=D2+D3
bull Comment (in)valider les mesures
Reacuteconciliation des donneacutees
bull La redondance permet aussi de reacuteduire lrsquoincertitude (cf moyenne)
Dernier TPhellip
Limite de deacutetection - LDD (1)Limit of Detection - LOD
6280
Pic de signal ou bruit de fond
LDD plus petite valeur non nulle mesurable pour une certaine probabiliteacute drsquoerreur sur le fait que la valeur vraie est nulle ou non
Seuil de deacutecision deacutetection si (Mesure gt Seuil deacutecision)
2 types drsquoerreur de deacutecision Type 1 deacutetection signal alors qursquoil est absent (faux positif)
Type 2 non deacutetection signal alors qursquoil est preacutesent (faux neacutegatif)
32
Limite de deacutetection (2)
6380
Type 1 deacutetection signal alors qursquoil est absent (faux positif)
Exemple probabiliteacute de 5 drsquoerreur de type 1 ou 2
Type 2 non deacutetection signal alors qursquoil est preacutesent (faux neacutegatif)
165
5
Proba = 5 si seuil de deacutecision = 165
Si mecircme seuil de deacutecision (165) mecircme proba drsquoerreur si signal agrave 2 fois le seuil de deacutecision = 33
2x165
5
Limite de deacutetection (3)
0
0
0
0
0
0
0
0
165 33
Niveau signal
seuil de decision type 1 type 2 gt0
nb erreurs 9 9
bonnes deacutecisions 955
eacutecart type bruit analyseur 10
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
1
signal theacuteorique
signal reacuteel
seuil de deacutecision
erreur type 1
erreur type 2
-20 0 20 40 60 80
Si distr normale et probabiliteacute de 95LDD=33
On prend geacuteneacuteralement LDD=3 = eacutecart-type de la mesure laquo proche de zeacutero raquo
33
Etalonnage drsquoun systegraveme de mesure
Etalonnage laquo Opeacuteration consistant agrave eacutetablir une relation entre les valeurs de la grandeur indiqueacutees par un appareil de mesure et les valeurs correspondantes de la grandeur reacutealiseacutees par des eacutetalons raquo (VIM)
160
165
170
175
180
185
190
195
0 20 40 60 80 100
H
C pF
66
Etalonnage Creacuteation drsquoun modegravele de comportement
ETALONNAGE
Variables Xmesureacutees
(capteurs)
Variables Ymesureacutees(analyseshellip)
modegravele ou
Preacutedicteur F
Creacuteation modegravele
de comportement
Y=F(X)
PREDICTION
Variables Xmesureacutees(capteurs)
Estimation des
variables Y
Modegravele
Calcul de
preacutedictiontensions
Calibration Creation of a behavior model
34
67
Eacutetalonnage - calibrage
Eacutetalonnage (calibration) = calcul complet du modegravele neacutecessite un laquo grand raquo nombre drsquoexpeacuteriences
tension
pression
bull Calibrage ou ajustement de zeacutero (zero adjustment) = laquo recalage raquo du modegravele neacutecessite 1 expeacuterience (laquo zeacutero raquo) voire 2 (laquo zeacutero + gain raquo)
tension
pression
bullCorrection variations de fabrication
bullCorrection deacuterive
bullCorrection changement conditions expeacuterimentales (tempeacuterature tarage drsquoune balancehellip)
bullEtchellip
Si le modegravele nrsquoest pas lineacuteaire le calibrage ne peut corriger que de faibles variationshellip
68
Les moindres carreacutes
Meacutethode des moindres carreacutes (monovariable)
laquo minimal raquo pour lrsquoensemble des mesures en trouvant la
fonction optimale f
On veut modeacuteliser pour toutes les mesures (i) ෝ119962119946 = 119839(119961119946) en fait agrave partir
des expeacuteriences on a 119962119946 = 119839 119961119946 + 119942119946 ougrave 119942119946 = laquo reacutesidu raquo ou erreur
On utilise geacuteneacuteralement la distance Euclidienne
laquo minimale raquo en optimisant les 120637119947
The least Squares
120637119947 repreacutesente ici le ou les paramegravetres de la fonction agrave optimiser f (ex coefs polynocircme)
119942119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947
119946
119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947120784
35
69
La reacutegression lineacuteaire
Monovariable (y=f(x) ) + hypothegravese lineacuteaire (y=ax+b)
2 cas
X
Minimisations des erreurs sur Y
Reacutegression de yx
ybaxy e
Y
Minimisation des erreurs sur X
X
Reacutegression de xy
xbyax e ˆ
1ˆ
a
bx
ay
Attention une reacutegression de yx avec des
erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne une
erreur systeacutematique sur la pentehellip
Y
Linear regression
70
La reacutegression lineacuteaire yx ou xy
Attention une reacutegression de yx avec des erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne
une erreur systeacutematique sur la pentehellip
Diffeacuterence neacutegligeable dans une majoriteacute de cashellip
y = 10036x - 00354
-2
0
2
4
6
8
10
12
-2 0 2 4 6 8 10 12
y = 06669x + 16244
-2
0
2
4
6
8
10
12
-2 0 2 4 6 8 10 12
Reacutegression YX Reacutegression XY
36
71
Caracteacuteristiques de la reacutegression yx
Estimations de a et b
)(
)(
)x(x
)y)(yx(x
=a2
i
i
ii
xVar
yxCov
i
xayb
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
Calcul Excel agrave lrsquoaide debull Courbe de tendancebull droitereg
72
Erreur lieacutee agrave la mesure
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
2n
)y(yi
2
ii
yx
s
Ecart Type des reacutesidus
= ET de lrsquoerreur lieacutee agrave la mesure= ET de preacutediction que lrsquoon aurait (mecircmes conditions) si le modegravele eacutetait sans erreur
Mais le modegravele nrsquoest jamais exact
Erreur que lrsquoon aurait mecircme si le modegravele eacutetait parfait agrave cause de lrsquoerreur aleacuteatoire sur xhellipRepreacutesenteacutee par lrsquohellip
Rappel reacutesidu = eacutecart entre valeur preacutedite (sur droite de regression donc) et valeur expeacuterimentale
37
73
Erreur de modeacutelisation
Estimations incertitudes de a et b
baxy ˆ
Y
i
xyss
2
i
a
)x(xEcart type de la pente
i
i
i
xybn
x
ss2
i
2
)x(x
Ecart type de lrsquoordonneacutee agrave lrsquoorigine
Calcul Excel agrave lrsquoaide de la fonction laquo droitereg raquo
temps h tension
0 300E-05
1 440E-05
2 900E-05
3 900E-05
4 100E-04
formule =DROITEREG(YX11)
pente 00000186 00000336 OAO
s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO
R 0870821587 130792E-05 s(resid)
2022369447 3 N DL
34596E-09 5132E-10000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5TP5
Incertitude de preacutediction
74
2
2
11)ˆ(
xx
xX
mstYI
i
xy
bull m= nb eacutechantillons deacutetalonnagebull xi = valeurs deacutetalonnage dont moyenne xbull X = valeur deacutechantillon de preacutedictionbull Syx = eacutecart-type des reacutesidus
x
E Lieacutee agrave la mesure
E Type du modegravele
bull Si modegravele laquo parfait raquo (ou m grand) xystYI )ˆ(
bull Lrsquoincertitude augmente si X srsquoeacuteloigne de (problegraveme de lrsquoextrapolation) x
bull Deacutepend (un peuhellip) de X
I(pred)2=I(lieacutee agrave la mesure)2 + I(modelisation)2
TP6
38
75
Mesure de la qualiteacute dajustement dune reacutegression lineacuteaire
Var(Y) = Var( aX+b) + Var(e
information totale = information modeacuteliseacutee + information reacutesiduelle
Coef De deacutetermination
totale)Var(info
modeacuteliseacutee) Var(infodR
)()(
)(
YX
YXCovRc
Coef de correacutelation
Rd=Rc2
Y
76
Le coef de correacutelation utilisation
0
5
10
15
20
25
30
35
0 2 4 6 8 10 12
R=075
0
5
10
15
20
25
0 2 4 6 8 10 12
R=075
-100
0
100
200
300
400
500
600
0 5 10 15
R=075
Le cœfficient de correacutelation ne sert
agrave quantifier que les relations
lineacuteaires entre X et Yvariables
Il perd toute signification degraves lors
que les reacutesidus
R=08
R=08
R=08
39
77
Reacutegression lineacuteaire examen des reacutesidus
Veacuterification lineacuteariteacute
A corriger
eacuteventuellement avec
reacutegression non lineacuteaire
Deacutetection points
aberrants (outliers)A eacuteliminer apregraves
veacuterification et avec
preacutecautionshellip
Ri=yi-(axi+b)
Reacutesidu = information non
modeacuteliseacutee ideacutealement
erreur aleacuteatoire
residuals
paramegravetres modeacutelisation des donneacutees
ET bruit
v0
v1
a
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
850
900
950
y = 07063x - 39517
-100
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (m
V)
courant (mA)
Valeurs mesureacutees
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (
mV
)
courant (mA)
Graphe des reacutesidus mesure - droiteregr
78
Reacutegression non lineacuteaire reacutegression polynomiale
Ex courbe de
tendance dExcel
temps h
0
1
2
3
4
000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5
Permet de modeacuteliser la plupart des problegravemes peu non lineacuteaireshellip
demo TP7
40
79
Biblio amp liens utilesBouquins
Statistics for analytical Chemistry 3 rd ed JC Miller and JN Miller John Wiley amp Sons 1998
Multivariate Statistical Methods A Primer BFJ Monley Chapman amp Hall 1986
Modeacutelisation et estimation des erreurs de mesure M Neuilly CETAMA Lavoisier Paris 1993
Sites WWW
httpphysicsnistgovcuuUncertaintyindexhtml excellent site simple et succinct mais de reacutefeacuterence
sur la calcul des incertitudes ce document sen est beaucoup inspireacute Un cours plus complet de
statistiques est disponible agrave httpwwwitlnistgovdiv898handbook
httpswwwansesfrfrcontentguide-de-validation-des-mC3A9thodes-danalyses-des-laboratoires-de-rC3A9fC3A9rence Guide de lrsquoANSES Agence nationale de seacutecuriteacute sanitaire
de lrsquoalimentation de lrsquoenvironnement et du travail
httpwwwjybaudotfrStatsstatshtml Encyclopeacutedie des stats de Jean-Yves Baudot agrave la foi preacutecis vulgarisateur et marrant un challenge en statistiques
httpfrfreestatisticsinfoindexphp Collection de liens et surtout de Freewares sur les stats
8062
La norme AFNOR la plus utiliseacutee
httpwwwasqualabcomdocumentsqualitemetrologie19-unites_pifometriquespdf
19
37
Intervalle de confiance cas de la distribution normale
Lintervalle de confiance agrave p (95) drsquoune mesure x est un intervalle de valeurs qui a une probabiliteacute centreacutee p (95) de contenir la vraie valeur xR du paramegravetre estimeacute
xx
0
01
02
03
04
05
3 2 0 2 3Ecart agrave la moyenne x-x = eacutecart-type
683 des mesures
2 955 des mesures
3 997 des mesures
stxstx
Coefs de Student t
intervalle de conf 900 950 980 990 999
p 01 005 002 001 0001
deg lib
1 631 1271 3182 6366 63662
2 292 430 696 992 3160
3 235 318 454 584 1292
4 213 278 375 460 861
5 202 257 336 403 687
6 194 245 314 371 596
7 189 236 300 350 541
8 186 231 290 336 504
9 183 226 282 325 478
10 181 223 276 317 459
12 178 218 268 305 432
14 176 214 262 298 414
17 174 211 257 290 397
20 172 209 253 285 385
30 170 204 246 275 365
40 168 202 242 270 355
50 168 201 240 268 350
100 166 198 236 263 339
100000 164 196 233 258 329
38
Loi normale
95
Eacutecriture drsquoune mesure (distribution normale)
Le reacutesultat drsquoune mesure doit comporter 4 eacuteleacutements Ex CNO = 1253 ppb 17 ppb (agrave 95 ou t=2)
1 2 3 41 Valeur numeacuterique avec un nombre correct de deacutecimales2 Uniteacute3 Incertitude eacutelargie = t4 Le coefficient drsquoeacutelargissement t utiliseacute
Probabiliteacute en pour que la valeur reacuteelle
soit dans lrsquointervalle tsxtsx
1 Numerical value with a correct number of decimals2 Unit3 expanded uncertainty = ts4 Coverage factor t
20
39
Eacutevaluation de lrsquoincertitude
Eacutevaluation par analyse statistique de seacuteries de mesures (laquo type A raquo)
(geacuteneacuteralement mesure mais aussi simulation)
Eacutevaluation par calcul de lrsquoeffet sur lrsquoincertitude finale des diffeacuterentes
sources drsquoincertitude (laquo type B raquo laquo par tout autre moyen raquo) elles mecircme
eacutevalueacutees
par une meacutethode de type A
par des donneacutees constructeur drsquoeacutetalonnage etchellip
Il est alors neacutecessaire de connaicirctre les lois de propagation de
lrsquoerreurhellip
GUM Guide to the expression of Uncertainly in Measurement (1993)
Norme Franccedilaise X 07-020 AFNOR Aoucirct 1999
40
Eacutevaluation par analyse statistique de seacuteries de mesures
V
VERR
0
R0
R E
V mesureacute
0
0
RR
REV
Mesure et calcul avec un grand nombre N
de reacutesistances laquo eacutetalon raquo (R connu)
Calcul de lrsquoeacutecart-type
(en fait eacutecart-type estimeacute shellip)
Incertitude agrave 95 = t 2 (si Ngt15hellip)
Ne tient pas compte
-De lrsquoincertitude du Vmegravetre (V)
-Des incertitudes sur E R0 les reacutesistances
eacutetalonhellip
Exemple eacutevaluation drsquoune meacutethode de mesure drsquoune reacutesistance
21
41
Eacutevaluation par calcul de lrsquoeffet sur lrsquoincertitude finale des diffeacuterentes sources drsquoincertitude
V
VERR
0
2
2
0
2
0
2
0 )()()()(
V
V
ERE
V
RR
U
UER
(R0) (E) (V) connus
R0
R E
V mesureacute
Explication
Loi de propagation des eacutecart-types
combined standard uncertainty
Exemple eacutevaluation drsquoune meacutethode de mesure drsquoune reacutesistance
Quelle est la peseacutee la plus preacutecise
22
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes (1)
Exemple de la somme s=a+b
es
eb
ea
es=ea+ebRappel les erreurs srsquoajoutent algeacutebriquement
Et leur eacutecart-type
combined standard uncertainty for random amp independant errors
a b a+b282 151 433
261 171 432
264 168 432
345 202 548
332 190 523
279 208 488
317 155 472
270 209 479
310 186 496
340 156 495
moyenne 300 180 480 480 somme moyennes
variance 011 005 016 016 somme variances
ecartype 033 023 039 055 somme eacutecart-types
000
100
200
300
400
500
600
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
a
b
a+b
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes (2)
Exemple de la somme s=a+b
Erreur aleacuteatoire
)()()( bas
)()()( bVaraVarbaVar
Les eacutecart-types ne srsquoajoutent pas
Les variances si
22baba 222
baba
Les eacutecart-types srsquoajoutent quadratiquement Si les erreurs sont indeacutependantes et aleacuteatoires
23
Quelle est la peseacutee la plus preacutecise
2
2
2
1 PIPIPI
54321 PPPPPP
2)(5 pIPI
)(5 pIPI
gkgP 2425
Rappel loi de propagation drsquoune laquo petite raquo erreur
n
i
i
xx
fy
1
)(
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
)(xfy xdx
dfxfxxf )()(
xdx
dfy
Cas particulier produit-exposant
(Th accroissements finis)
Proprieacuteteacute de la deacuteriveacutee logarithmique
119910 =119886 119887 1198883
11988912
∆119910
119910=
∆119886
119886+
∆119887
119887+ 3
∆119888
119888- 12
∆119889
119889
24
Loi de propagation de la variance et de lrsquoeacutecart-type
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
La variance est additive donc si les variables xi sont indeacutependantes
)()(1
n
i
i
xVx
fyV
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fy
Ecart type V(x)=((x))2
)(2)()(1
1 11
2
2
2
ji
n
i
n
ij ji
i
n
i
xxx
f
x
fx
x
fy Cov
Cas geacuteneacuteral (variables non indeacutependantes)
(non deacutemontreacutehellip)
48
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires (1)
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fyI I
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
Incertitude pour une distr normale I(y)=t(y) geacuteneacuteralement t~2
Sibull mecircmes coefs drsquoeacutelargissement tbull variables xi indeacutependantes
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fy
25
49
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes cas particuliers (1)
Ex somme ou diffeacuterence
cbay
222 )()()()( cbay
i
ii xay i
ii xay 2))(()( Combinaison lineacuteaire
n
ixn
x1
1
n
xx
nx
n )()(
1)(
1
2
Application fondamentale en instrumentation La moyenne
Demo
Loi des grands nombres
50
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires cas particuliers (2)
Produits et puissances
i
iixAy
i i
ii
x
x
y
y2
)()(
Somme quadratique des eacutecart-types relatifs
x
x)(Proprieacuteteacute inteacuteressante des eacutecart-types relatifs
21
3
d
cbay
2222)(
21)(
3)()()(
d
d
c
c
b
b
a
a
y
y
Exemple
TP3
Idem pour incertitudes I si I=t partout
26
51
Lois de propagation des erreurs aleacuteatoires exemple de la droite drsquoeacutetalonnage
Etalonnage
Deacutebit D=aV
0 le D le 10 Lh
a=08 LhmV plusmn001 (t=2)
Inc Sur V 01 mV (t=2)
Incertitude relative sur deacutebit Den fonction du deacutebit
22)()()(
V
VI
a
aI
D
DI
V = tension fournie par capteurhellip
22)()(
D
VaI
a
aI
Mesure des faibles valeurs peu preacutecise
a = inverse de la sensibiliteacute
Si D 0
Calcul de lrsquoincertitude par simulation de lrsquoerreur aleacuteatoire
ou meacutethode de Monte-Carlo
Ex y=f(x1x2)
x1 et x2 ont des erreurs aleacuteatoires (pas forcement indeacutependantes) caracteacuteriseacutees par
leur eacutecart-type s1 et s2
bullSimuler un certain nombre drsquoexpeacuteriences avec les
mecircmes valeurs x1 et x2 + erreur aleacuteatoire (tirages ne)
yi=f(x1+e1x2+e2) N fois
bullCalcul de lrsquoeacutecart type des yi
bullLes ei sont calculeacutes agrave lrsquoaide drsquoun geacuteneacuterateur de nombre
aleacuteatoires agrave distribution adeacutequate (geacuteneacuteralement normale)
Excel =LOINORMALEINVERSE(ALEA()0eacutecart-type)TP4
27
Calcul de lrsquoincertitude par simulation de lrsquoerreur aleacuteatoire exemple
moyenne des D 50012 Dmax 100000
Deacutebit 50000 E Type des D 00526 a 08000
tension V 62500 Incertitude 01052 I(a) 00100
I(V) 01000
Ndeg tirage (400) erreur sur a erreur sur V valeur a valeur V D=aV
1 -00010 00253 07990 62753 50142
2 00011 -00518 08011 61982 49654
3 00032 00436 08032 62936 50551
4 -00098 00026 07902 62526 49407
5 00021 00867 08021 63367 50824
6 -00064 -00202 07936 62298 49437
7 00017 -00820 08017 61680 49450
8 -00065 00444 07935 62944 49949
9 00009 00757 08009 63257 50663
10 -00049 -00318 07951 62182 49439
11 00130 00109 08130 62609 50901
12 00004 00084 08004 62584 50092
13 -00046 00031 07954 62531 49737
14 -00024 00249 07976 62749 50049
15 00047 00311 08047 62811 50543
16 -00021 -00251 07979 62249 49668
D=aV
0 le D le 10 Lh
a=08 LhmV plusmn001 (t=2)
Inc Sur V = 01 mV (t=2)
Tirage aleacuteatoire normal
+
LOINORMALEINVERSE(ALEA()0eacutecart-type)
Les erreurs srsquoajoutent algeacutebriquement
54
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation
La discreacutetisation intervient lorsque les valeurs finales constituent un ensemble discret
Reacutesolution d du systegraveme drsquoacquisition agrave ne pas confondre avec lrsquoincertitude ou la sensibiliteacute
d
V
0
001
002
003
004
005
006
007
008
009
01
0 005 01
Tension reacuteelle
Ten
sion
aff
icheacutee
Discretization uncertainty
28
55
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (2)
32
d dEcart type de lrsquoerreur due agrave la discreacutetisation
295295
0
95
dIII Incertitude totale
5d 6d 7d
Erreur maxi d2
Approximatif Monte-Carlo parfois preacutefeacuterablehellip
Incertitude agrave 95 due agrave la discreacutetisation 2d 2975095 ddINon
058d 0485d
295 ddI
56
Le laquo Dithering raquo
La preacutesence drsquoerreur aleacuteatoire permet ici drsquoameacuteliorer la laquo preacutecision raquo de la mesure
Pas de laquo bruit raquo pas de moyennage Pas de laquo bruit raquo moyenne 50
signaux
laquo bruit raquo pas de moyennage laquo bruit raquo moyenne 50 signaux
La meacutethode du moyennage peut reacuteduire aussi lrsquoerreur de discreacutetisation (= quantification)
On peut gagner 1 bit de reacutesolution chaque fois que lrsquoon multiplie par 4 la freacutequence drsquoeacutechantillonnagehellip
hellip agrave condition que le signal avant numeacuterisation contienne un bruit (aleacuteatoire et indeacutependant) de valeur efficace supeacuterieure agrave la reacutesolution initialehellip
demo
29
57
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (3) les deacutecimales significatives
Ecriture drsquoun nombre avec un nombre de chiffres fini Erreur de discreacutetisation
Pour une mesure lrsquoeacutecart type de lrsquoerreur introduite doit ecirctre petit devant celui
de lrsquoerreur de mesure initiale
Ex mesure = 4382659872 Eacutecart-type mesure = 055 (soit 0125 en relatif)
Doit-on eacutecrire
4382659872
438265
4383
Mais les systegravemes numeacuteriques peuvent donner beaucoup de chiffres significatifshellip
438
58
Mesure afficheacutee
reacutesolution
ET erreur discreacutetisation
ET erreur finale drsquoerreur due agrave la discreacutetisation
438265987
0000001
29 10-7 055 lt 10-3
43827
001
29 10-3 0550008 10-3
4383
01
0029 05506 014
438
1
029 062 13
440
10
289 294 434
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (4) les deacutecimales significatives exemple
32
d d
22 )()( dxX
Ex mesure = 4382659872 Eacutecart-type mesure = (x)= 055 (soit 0125 en relatif)
bullOn peut choisir la reacutesolution immeacutediatement plus petite que lrsquoeacutecart-type de la mesure
bullLrsquoeacutecart-type (ou lrsquoincertitude) afficheacute ne doit pas avoir plus de 2 chiffres significatifs
30
Capabiliteacute drsquoun systegraveme de mesure
Va deacutependre de la toleacuterance deacutesireacuteehellip
hellip et du coucirct de la mesure
capabiliteacute dun moyen de mesure = rapport entre lincertitude U du moyen de mesure et la toleacuterance IT exigeacutee
Veacuterification de la toleacuterance
Normes franccedilaises
( toleacuterance = exigence du client en terme de caracteacuteristique mesurable)
Toleacuterance capabiliteacute drsquoun systegraveme de mesure
T
Notion de risque-risque laquo client raquo(piegravece agrave rejeter mais retenue)-risque laquo fabricant raquo(piegravece agrave retenir mais rejeteacutee)
Mesure moyenne
T
Piegravece agrave rejeterPiegravece agrave retenir
T=ToleacuteranceU=incertitude
Distrib des erreurs de fabrication
Val reacuteelle
31
Reacuteconciliation des donneacutees
61
D1
I(D1)
D2
I(D2)
D3
I(D3)
bull 3 mesures redondantes (car en theacuteorie D1=D2+D3)bull A cause des incertitudes on nrsquoa jamais exactement D1=D2+D3
bull Comment (in)valider les mesures
Reacuteconciliation des donneacutees
bull La redondance permet aussi de reacuteduire lrsquoincertitude (cf moyenne)
Dernier TPhellip
Limite de deacutetection - LDD (1)Limit of Detection - LOD
6280
Pic de signal ou bruit de fond
LDD plus petite valeur non nulle mesurable pour une certaine probabiliteacute drsquoerreur sur le fait que la valeur vraie est nulle ou non
Seuil de deacutecision deacutetection si (Mesure gt Seuil deacutecision)
2 types drsquoerreur de deacutecision Type 1 deacutetection signal alors qursquoil est absent (faux positif)
Type 2 non deacutetection signal alors qursquoil est preacutesent (faux neacutegatif)
32
Limite de deacutetection (2)
6380
Type 1 deacutetection signal alors qursquoil est absent (faux positif)
Exemple probabiliteacute de 5 drsquoerreur de type 1 ou 2
Type 2 non deacutetection signal alors qursquoil est preacutesent (faux neacutegatif)
165
5
Proba = 5 si seuil de deacutecision = 165
Si mecircme seuil de deacutecision (165) mecircme proba drsquoerreur si signal agrave 2 fois le seuil de deacutecision = 33
2x165
5
Limite de deacutetection (3)
0
0
0
0
0
0
0
0
165 33
Niveau signal
seuil de decision type 1 type 2 gt0
nb erreurs 9 9
bonnes deacutecisions 955
eacutecart type bruit analyseur 10
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
1
signal theacuteorique
signal reacuteel
seuil de deacutecision
erreur type 1
erreur type 2
-20 0 20 40 60 80
Si distr normale et probabiliteacute de 95LDD=33
On prend geacuteneacuteralement LDD=3 = eacutecart-type de la mesure laquo proche de zeacutero raquo
33
Etalonnage drsquoun systegraveme de mesure
Etalonnage laquo Opeacuteration consistant agrave eacutetablir une relation entre les valeurs de la grandeur indiqueacutees par un appareil de mesure et les valeurs correspondantes de la grandeur reacutealiseacutees par des eacutetalons raquo (VIM)
160
165
170
175
180
185
190
195
0 20 40 60 80 100
H
C pF
66
Etalonnage Creacuteation drsquoun modegravele de comportement
ETALONNAGE
Variables Xmesureacutees
(capteurs)
Variables Ymesureacutees(analyseshellip)
modegravele ou
Preacutedicteur F
Creacuteation modegravele
de comportement
Y=F(X)
PREDICTION
Variables Xmesureacutees(capteurs)
Estimation des
variables Y
Modegravele
Calcul de
preacutedictiontensions
Calibration Creation of a behavior model
34
67
Eacutetalonnage - calibrage
Eacutetalonnage (calibration) = calcul complet du modegravele neacutecessite un laquo grand raquo nombre drsquoexpeacuteriences
tension
pression
bull Calibrage ou ajustement de zeacutero (zero adjustment) = laquo recalage raquo du modegravele neacutecessite 1 expeacuterience (laquo zeacutero raquo) voire 2 (laquo zeacutero + gain raquo)
tension
pression
bullCorrection variations de fabrication
bullCorrection deacuterive
bullCorrection changement conditions expeacuterimentales (tempeacuterature tarage drsquoune balancehellip)
bullEtchellip
Si le modegravele nrsquoest pas lineacuteaire le calibrage ne peut corriger que de faibles variationshellip
68
Les moindres carreacutes
Meacutethode des moindres carreacutes (monovariable)
laquo minimal raquo pour lrsquoensemble des mesures en trouvant la
fonction optimale f
On veut modeacuteliser pour toutes les mesures (i) ෝ119962119946 = 119839(119961119946) en fait agrave partir
des expeacuteriences on a 119962119946 = 119839 119961119946 + 119942119946 ougrave 119942119946 = laquo reacutesidu raquo ou erreur
On utilise geacuteneacuteralement la distance Euclidienne
laquo minimale raquo en optimisant les 120637119947
The least Squares
120637119947 repreacutesente ici le ou les paramegravetres de la fonction agrave optimiser f (ex coefs polynocircme)
119942119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947
119946
119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947120784
35
69
La reacutegression lineacuteaire
Monovariable (y=f(x) ) + hypothegravese lineacuteaire (y=ax+b)
2 cas
X
Minimisations des erreurs sur Y
Reacutegression de yx
ybaxy e
Y
Minimisation des erreurs sur X
X
Reacutegression de xy
xbyax e ˆ
1ˆ
a
bx
ay
Attention une reacutegression de yx avec des
erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne une
erreur systeacutematique sur la pentehellip
Y
Linear regression
70
La reacutegression lineacuteaire yx ou xy
Attention une reacutegression de yx avec des erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne
une erreur systeacutematique sur la pentehellip
Diffeacuterence neacutegligeable dans une majoriteacute de cashellip
y = 10036x - 00354
-2
0
2
4
6
8
10
12
-2 0 2 4 6 8 10 12
y = 06669x + 16244
-2
0
2
4
6
8
10
12
-2 0 2 4 6 8 10 12
Reacutegression YX Reacutegression XY
36
71
Caracteacuteristiques de la reacutegression yx
Estimations de a et b
)(
)(
)x(x
)y)(yx(x
=a2
i
i
ii
xVar
yxCov
i
xayb
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
Calcul Excel agrave lrsquoaide debull Courbe de tendancebull droitereg
72
Erreur lieacutee agrave la mesure
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
2n
)y(yi
2
ii
yx
s
Ecart Type des reacutesidus
= ET de lrsquoerreur lieacutee agrave la mesure= ET de preacutediction que lrsquoon aurait (mecircmes conditions) si le modegravele eacutetait sans erreur
Mais le modegravele nrsquoest jamais exact
Erreur que lrsquoon aurait mecircme si le modegravele eacutetait parfait agrave cause de lrsquoerreur aleacuteatoire sur xhellipRepreacutesenteacutee par lrsquohellip
Rappel reacutesidu = eacutecart entre valeur preacutedite (sur droite de regression donc) et valeur expeacuterimentale
37
73
Erreur de modeacutelisation
Estimations incertitudes de a et b
baxy ˆ
Y
i
xyss
2
i
a
)x(xEcart type de la pente
i
i
i
xybn
x
ss2
i
2
)x(x
Ecart type de lrsquoordonneacutee agrave lrsquoorigine
Calcul Excel agrave lrsquoaide de la fonction laquo droitereg raquo
temps h tension
0 300E-05
1 440E-05
2 900E-05
3 900E-05
4 100E-04
formule =DROITEREG(YX11)
pente 00000186 00000336 OAO
s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO
R 0870821587 130792E-05 s(resid)
2022369447 3 N DL
34596E-09 5132E-10000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5TP5
Incertitude de preacutediction
74
2
2
11)ˆ(
xx
xX
mstYI
i
xy
bull m= nb eacutechantillons deacutetalonnagebull xi = valeurs deacutetalonnage dont moyenne xbull X = valeur deacutechantillon de preacutedictionbull Syx = eacutecart-type des reacutesidus
x
E Lieacutee agrave la mesure
E Type du modegravele
bull Si modegravele laquo parfait raquo (ou m grand) xystYI )ˆ(
bull Lrsquoincertitude augmente si X srsquoeacuteloigne de (problegraveme de lrsquoextrapolation) x
bull Deacutepend (un peuhellip) de X
I(pred)2=I(lieacutee agrave la mesure)2 + I(modelisation)2
TP6
38
75
Mesure de la qualiteacute dajustement dune reacutegression lineacuteaire
Var(Y) = Var( aX+b) + Var(e
information totale = information modeacuteliseacutee + information reacutesiduelle
Coef De deacutetermination
totale)Var(info
modeacuteliseacutee) Var(infodR
)()(
)(
YX
YXCovRc
Coef de correacutelation
Rd=Rc2
Y
76
Le coef de correacutelation utilisation
0
5
10
15
20
25
30
35
0 2 4 6 8 10 12
R=075
0
5
10
15
20
25
0 2 4 6 8 10 12
R=075
-100
0
100
200
300
400
500
600
0 5 10 15
R=075
Le cœfficient de correacutelation ne sert
agrave quantifier que les relations
lineacuteaires entre X et Yvariables
Il perd toute signification degraves lors
que les reacutesidus
R=08
R=08
R=08
39
77
Reacutegression lineacuteaire examen des reacutesidus
Veacuterification lineacuteariteacute
A corriger
eacuteventuellement avec
reacutegression non lineacuteaire
Deacutetection points
aberrants (outliers)A eacuteliminer apregraves
veacuterification et avec
preacutecautionshellip
Ri=yi-(axi+b)
Reacutesidu = information non
modeacuteliseacutee ideacutealement
erreur aleacuteatoire
residuals
paramegravetres modeacutelisation des donneacutees
ET bruit
v0
v1
a
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
850
900
950
y = 07063x - 39517
-100
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (m
V)
courant (mA)
Valeurs mesureacutees
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (
mV
)
courant (mA)
Graphe des reacutesidus mesure - droiteregr
78
Reacutegression non lineacuteaire reacutegression polynomiale
Ex courbe de
tendance dExcel
temps h
0
1
2
3
4
000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5
Permet de modeacuteliser la plupart des problegravemes peu non lineacuteaireshellip
demo TP7
40
79
Biblio amp liens utilesBouquins
Statistics for analytical Chemistry 3 rd ed JC Miller and JN Miller John Wiley amp Sons 1998
Multivariate Statistical Methods A Primer BFJ Monley Chapman amp Hall 1986
Modeacutelisation et estimation des erreurs de mesure M Neuilly CETAMA Lavoisier Paris 1993
Sites WWW
httpphysicsnistgovcuuUncertaintyindexhtml excellent site simple et succinct mais de reacutefeacuterence
sur la calcul des incertitudes ce document sen est beaucoup inspireacute Un cours plus complet de
statistiques est disponible agrave httpwwwitlnistgovdiv898handbook
httpswwwansesfrfrcontentguide-de-validation-des-mC3A9thodes-danalyses-des-laboratoires-de-rC3A9fC3A9rence Guide de lrsquoANSES Agence nationale de seacutecuriteacute sanitaire
de lrsquoalimentation de lrsquoenvironnement et du travail
httpwwwjybaudotfrStatsstatshtml Encyclopeacutedie des stats de Jean-Yves Baudot agrave la foi preacutecis vulgarisateur et marrant un challenge en statistiques
httpfrfreestatisticsinfoindexphp Collection de liens et surtout de Freewares sur les stats
8062
La norme AFNOR la plus utiliseacutee
httpwwwasqualabcomdocumentsqualitemetrologie19-unites_pifometriquespdf
20
39
Eacutevaluation de lrsquoincertitude
Eacutevaluation par analyse statistique de seacuteries de mesures (laquo type A raquo)
(geacuteneacuteralement mesure mais aussi simulation)
Eacutevaluation par calcul de lrsquoeffet sur lrsquoincertitude finale des diffeacuterentes
sources drsquoincertitude (laquo type B raquo laquo par tout autre moyen raquo) elles mecircme
eacutevalueacutees
par une meacutethode de type A
par des donneacutees constructeur drsquoeacutetalonnage etchellip
Il est alors neacutecessaire de connaicirctre les lois de propagation de
lrsquoerreurhellip
GUM Guide to the expression of Uncertainly in Measurement (1993)
Norme Franccedilaise X 07-020 AFNOR Aoucirct 1999
40
Eacutevaluation par analyse statistique de seacuteries de mesures
V
VERR
0
R0
R E
V mesureacute
0
0
RR
REV
Mesure et calcul avec un grand nombre N
de reacutesistances laquo eacutetalon raquo (R connu)
Calcul de lrsquoeacutecart-type
(en fait eacutecart-type estimeacute shellip)
Incertitude agrave 95 = t 2 (si Ngt15hellip)
Ne tient pas compte
-De lrsquoincertitude du Vmegravetre (V)
-Des incertitudes sur E R0 les reacutesistances
eacutetalonhellip
Exemple eacutevaluation drsquoune meacutethode de mesure drsquoune reacutesistance
21
41
Eacutevaluation par calcul de lrsquoeffet sur lrsquoincertitude finale des diffeacuterentes sources drsquoincertitude
V
VERR
0
2
2
0
2
0
2
0 )()()()(
V
V
ERE
V
RR
U
UER
(R0) (E) (V) connus
R0
R E
V mesureacute
Explication
Loi de propagation des eacutecart-types
combined standard uncertainty
Exemple eacutevaluation drsquoune meacutethode de mesure drsquoune reacutesistance
Quelle est la peseacutee la plus preacutecise
22
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes (1)
Exemple de la somme s=a+b
es
eb
ea
es=ea+ebRappel les erreurs srsquoajoutent algeacutebriquement
Et leur eacutecart-type
combined standard uncertainty for random amp independant errors
a b a+b282 151 433
261 171 432
264 168 432
345 202 548
332 190 523
279 208 488
317 155 472
270 209 479
310 186 496
340 156 495
moyenne 300 180 480 480 somme moyennes
variance 011 005 016 016 somme variances
ecartype 033 023 039 055 somme eacutecart-types
000
100
200
300
400
500
600
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
a
b
a+b
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes (2)
Exemple de la somme s=a+b
Erreur aleacuteatoire
)()()( bas
)()()( bVaraVarbaVar
Les eacutecart-types ne srsquoajoutent pas
Les variances si
22baba 222
baba
Les eacutecart-types srsquoajoutent quadratiquement Si les erreurs sont indeacutependantes et aleacuteatoires
23
Quelle est la peseacutee la plus preacutecise
2
2
2
1 PIPIPI
54321 PPPPPP
2)(5 pIPI
)(5 pIPI
gkgP 2425
Rappel loi de propagation drsquoune laquo petite raquo erreur
n
i
i
xx
fy
1
)(
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
)(xfy xdx
dfxfxxf )()(
xdx
dfy
Cas particulier produit-exposant
(Th accroissements finis)
Proprieacuteteacute de la deacuteriveacutee logarithmique
119910 =119886 119887 1198883
11988912
∆119910
119910=
∆119886
119886+
∆119887
119887+ 3
∆119888
119888- 12
∆119889
119889
24
Loi de propagation de la variance et de lrsquoeacutecart-type
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
La variance est additive donc si les variables xi sont indeacutependantes
)()(1
n
i
i
xVx
fyV
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fy
Ecart type V(x)=((x))2
)(2)()(1
1 11
2
2
2
ji
n
i
n
ij ji
i
n
i
xxx
f
x
fx
x
fy Cov
Cas geacuteneacuteral (variables non indeacutependantes)
(non deacutemontreacutehellip)
48
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires (1)
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fyI I
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
Incertitude pour une distr normale I(y)=t(y) geacuteneacuteralement t~2
Sibull mecircmes coefs drsquoeacutelargissement tbull variables xi indeacutependantes
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fy
25
49
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes cas particuliers (1)
Ex somme ou diffeacuterence
cbay
222 )()()()( cbay
i
ii xay i
ii xay 2))(()( Combinaison lineacuteaire
n
ixn
x1
1
n
xx
nx
n )()(
1)(
1
2
Application fondamentale en instrumentation La moyenne
Demo
Loi des grands nombres
50
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires cas particuliers (2)
Produits et puissances
i
iixAy
i i
ii
x
x
y
y2
)()(
Somme quadratique des eacutecart-types relatifs
x
x)(Proprieacuteteacute inteacuteressante des eacutecart-types relatifs
21
3
d
cbay
2222)(
21)(
3)()()(
d
d
c
c
b
b
a
a
y
y
Exemple
TP3
Idem pour incertitudes I si I=t partout
26
51
Lois de propagation des erreurs aleacuteatoires exemple de la droite drsquoeacutetalonnage
Etalonnage
Deacutebit D=aV
0 le D le 10 Lh
a=08 LhmV plusmn001 (t=2)
Inc Sur V 01 mV (t=2)
Incertitude relative sur deacutebit Den fonction du deacutebit
22)()()(
V
VI
a
aI
D
DI
V = tension fournie par capteurhellip
22)()(
D
VaI
a
aI
Mesure des faibles valeurs peu preacutecise
a = inverse de la sensibiliteacute
Si D 0
Calcul de lrsquoincertitude par simulation de lrsquoerreur aleacuteatoire
ou meacutethode de Monte-Carlo
Ex y=f(x1x2)
x1 et x2 ont des erreurs aleacuteatoires (pas forcement indeacutependantes) caracteacuteriseacutees par
leur eacutecart-type s1 et s2
bullSimuler un certain nombre drsquoexpeacuteriences avec les
mecircmes valeurs x1 et x2 + erreur aleacuteatoire (tirages ne)
yi=f(x1+e1x2+e2) N fois
bullCalcul de lrsquoeacutecart type des yi
bullLes ei sont calculeacutes agrave lrsquoaide drsquoun geacuteneacuterateur de nombre
aleacuteatoires agrave distribution adeacutequate (geacuteneacuteralement normale)
Excel =LOINORMALEINVERSE(ALEA()0eacutecart-type)TP4
27
Calcul de lrsquoincertitude par simulation de lrsquoerreur aleacuteatoire exemple
moyenne des D 50012 Dmax 100000
Deacutebit 50000 E Type des D 00526 a 08000
tension V 62500 Incertitude 01052 I(a) 00100
I(V) 01000
Ndeg tirage (400) erreur sur a erreur sur V valeur a valeur V D=aV
1 -00010 00253 07990 62753 50142
2 00011 -00518 08011 61982 49654
3 00032 00436 08032 62936 50551
4 -00098 00026 07902 62526 49407
5 00021 00867 08021 63367 50824
6 -00064 -00202 07936 62298 49437
7 00017 -00820 08017 61680 49450
8 -00065 00444 07935 62944 49949
9 00009 00757 08009 63257 50663
10 -00049 -00318 07951 62182 49439
11 00130 00109 08130 62609 50901
12 00004 00084 08004 62584 50092
13 -00046 00031 07954 62531 49737
14 -00024 00249 07976 62749 50049
15 00047 00311 08047 62811 50543
16 -00021 -00251 07979 62249 49668
D=aV
0 le D le 10 Lh
a=08 LhmV plusmn001 (t=2)
Inc Sur V = 01 mV (t=2)
Tirage aleacuteatoire normal
+
LOINORMALEINVERSE(ALEA()0eacutecart-type)
Les erreurs srsquoajoutent algeacutebriquement
54
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation
La discreacutetisation intervient lorsque les valeurs finales constituent un ensemble discret
Reacutesolution d du systegraveme drsquoacquisition agrave ne pas confondre avec lrsquoincertitude ou la sensibiliteacute
d
V
0
001
002
003
004
005
006
007
008
009
01
0 005 01
Tension reacuteelle
Ten
sion
aff
icheacutee
Discretization uncertainty
28
55
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (2)
32
d dEcart type de lrsquoerreur due agrave la discreacutetisation
295295
0
95
dIII Incertitude totale
5d 6d 7d
Erreur maxi d2
Approximatif Monte-Carlo parfois preacutefeacuterablehellip
Incertitude agrave 95 due agrave la discreacutetisation 2d 2975095 ddINon
058d 0485d
295 ddI
56
Le laquo Dithering raquo
La preacutesence drsquoerreur aleacuteatoire permet ici drsquoameacuteliorer la laquo preacutecision raquo de la mesure
Pas de laquo bruit raquo pas de moyennage Pas de laquo bruit raquo moyenne 50
signaux
laquo bruit raquo pas de moyennage laquo bruit raquo moyenne 50 signaux
La meacutethode du moyennage peut reacuteduire aussi lrsquoerreur de discreacutetisation (= quantification)
On peut gagner 1 bit de reacutesolution chaque fois que lrsquoon multiplie par 4 la freacutequence drsquoeacutechantillonnagehellip
hellip agrave condition que le signal avant numeacuterisation contienne un bruit (aleacuteatoire et indeacutependant) de valeur efficace supeacuterieure agrave la reacutesolution initialehellip
demo
29
57
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (3) les deacutecimales significatives
Ecriture drsquoun nombre avec un nombre de chiffres fini Erreur de discreacutetisation
Pour une mesure lrsquoeacutecart type de lrsquoerreur introduite doit ecirctre petit devant celui
de lrsquoerreur de mesure initiale
Ex mesure = 4382659872 Eacutecart-type mesure = 055 (soit 0125 en relatif)
Doit-on eacutecrire
4382659872
438265
4383
Mais les systegravemes numeacuteriques peuvent donner beaucoup de chiffres significatifshellip
438
58
Mesure afficheacutee
reacutesolution
ET erreur discreacutetisation
ET erreur finale drsquoerreur due agrave la discreacutetisation
438265987
0000001
29 10-7 055 lt 10-3
43827
001
29 10-3 0550008 10-3
4383
01
0029 05506 014
438
1
029 062 13
440
10
289 294 434
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (4) les deacutecimales significatives exemple
32
d d
22 )()( dxX
Ex mesure = 4382659872 Eacutecart-type mesure = (x)= 055 (soit 0125 en relatif)
bullOn peut choisir la reacutesolution immeacutediatement plus petite que lrsquoeacutecart-type de la mesure
bullLrsquoeacutecart-type (ou lrsquoincertitude) afficheacute ne doit pas avoir plus de 2 chiffres significatifs
30
Capabiliteacute drsquoun systegraveme de mesure
Va deacutependre de la toleacuterance deacutesireacuteehellip
hellip et du coucirct de la mesure
capabiliteacute dun moyen de mesure = rapport entre lincertitude U du moyen de mesure et la toleacuterance IT exigeacutee
Veacuterification de la toleacuterance
Normes franccedilaises
( toleacuterance = exigence du client en terme de caracteacuteristique mesurable)
Toleacuterance capabiliteacute drsquoun systegraveme de mesure
T
Notion de risque-risque laquo client raquo(piegravece agrave rejeter mais retenue)-risque laquo fabricant raquo(piegravece agrave retenir mais rejeteacutee)
Mesure moyenne
T
Piegravece agrave rejeterPiegravece agrave retenir
T=ToleacuteranceU=incertitude
Distrib des erreurs de fabrication
Val reacuteelle
31
Reacuteconciliation des donneacutees
61
D1
I(D1)
D2
I(D2)
D3
I(D3)
bull 3 mesures redondantes (car en theacuteorie D1=D2+D3)bull A cause des incertitudes on nrsquoa jamais exactement D1=D2+D3
bull Comment (in)valider les mesures
Reacuteconciliation des donneacutees
bull La redondance permet aussi de reacuteduire lrsquoincertitude (cf moyenne)
Dernier TPhellip
Limite de deacutetection - LDD (1)Limit of Detection - LOD
6280
Pic de signal ou bruit de fond
LDD plus petite valeur non nulle mesurable pour une certaine probabiliteacute drsquoerreur sur le fait que la valeur vraie est nulle ou non
Seuil de deacutecision deacutetection si (Mesure gt Seuil deacutecision)
2 types drsquoerreur de deacutecision Type 1 deacutetection signal alors qursquoil est absent (faux positif)
Type 2 non deacutetection signal alors qursquoil est preacutesent (faux neacutegatif)
32
Limite de deacutetection (2)
6380
Type 1 deacutetection signal alors qursquoil est absent (faux positif)
Exemple probabiliteacute de 5 drsquoerreur de type 1 ou 2
Type 2 non deacutetection signal alors qursquoil est preacutesent (faux neacutegatif)
165
5
Proba = 5 si seuil de deacutecision = 165
Si mecircme seuil de deacutecision (165) mecircme proba drsquoerreur si signal agrave 2 fois le seuil de deacutecision = 33
2x165
5
Limite de deacutetection (3)
0
0
0
0
0
0
0
0
165 33
Niveau signal
seuil de decision type 1 type 2 gt0
nb erreurs 9 9
bonnes deacutecisions 955
eacutecart type bruit analyseur 10
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
1
signal theacuteorique
signal reacuteel
seuil de deacutecision
erreur type 1
erreur type 2
-20 0 20 40 60 80
Si distr normale et probabiliteacute de 95LDD=33
On prend geacuteneacuteralement LDD=3 = eacutecart-type de la mesure laquo proche de zeacutero raquo
33
Etalonnage drsquoun systegraveme de mesure
Etalonnage laquo Opeacuteration consistant agrave eacutetablir une relation entre les valeurs de la grandeur indiqueacutees par un appareil de mesure et les valeurs correspondantes de la grandeur reacutealiseacutees par des eacutetalons raquo (VIM)
160
165
170
175
180
185
190
195
0 20 40 60 80 100
H
C pF
66
Etalonnage Creacuteation drsquoun modegravele de comportement
ETALONNAGE
Variables Xmesureacutees
(capteurs)
Variables Ymesureacutees(analyseshellip)
modegravele ou
Preacutedicteur F
Creacuteation modegravele
de comportement
Y=F(X)
PREDICTION
Variables Xmesureacutees(capteurs)
Estimation des
variables Y
Modegravele
Calcul de
preacutedictiontensions
Calibration Creation of a behavior model
34
67
Eacutetalonnage - calibrage
Eacutetalonnage (calibration) = calcul complet du modegravele neacutecessite un laquo grand raquo nombre drsquoexpeacuteriences
tension
pression
bull Calibrage ou ajustement de zeacutero (zero adjustment) = laquo recalage raquo du modegravele neacutecessite 1 expeacuterience (laquo zeacutero raquo) voire 2 (laquo zeacutero + gain raquo)
tension
pression
bullCorrection variations de fabrication
bullCorrection deacuterive
bullCorrection changement conditions expeacuterimentales (tempeacuterature tarage drsquoune balancehellip)
bullEtchellip
Si le modegravele nrsquoest pas lineacuteaire le calibrage ne peut corriger que de faibles variationshellip
68
Les moindres carreacutes
Meacutethode des moindres carreacutes (monovariable)
laquo minimal raquo pour lrsquoensemble des mesures en trouvant la
fonction optimale f
On veut modeacuteliser pour toutes les mesures (i) ෝ119962119946 = 119839(119961119946) en fait agrave partir
des expeacuteriences on a 119962119946 = 119839 119961119946 + 119942119946 ougrave 119942119946 = laquo reacutesidu raquo ou erreur
On utilise geacuteneacuteralement la distance Euclidienne
laquo minimale raquo en optimisant les 120637119947
The least Squares
120637119947 repreacutesente ici le ou les paramegravetres de la fonction agrave optimiser f (ex coefs polynocircme)
119942119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947
119946
119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947120784
35
69
La reacutegression lineacuteaire
Monovariable (y=f(x) ) + hypothegravese lineacuteaire (y=ax+b)
2 cas
X
Minimisations des erreurs sur Y
Reacutegression de yx
ybaxy e
Y
Minimisation des erreurs sur X
X
Reacutegression de xy
xbyax e ˆ
1ˆ
a
bx
ay
Attention une reacutegression de yx avec des
erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne une
erreur systeacutematique sur la pentehellip
Y
Linear regression
70
La reacutegression lineacuteaire yx ou xy
Attention une reacutegression de yx avec des erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne
une erreur systeacutematique sur la pentehellip
Diffeacuterence neacutegligeable dans une majoriteacute de cashellip
y = 10036x - 00354
-2
0
2
4
6
8
10
12
-2 0 2 4 6 8 10 12
y = 06669x + 16244
-2
0
2
4
6
8
10
12
-2 0 2 4 6 8 10 12
Reacutegression YX Reacutegression XY
36
71
Caracteacuteristiques de la reacutegression yx
Estimations de a et b
)(
)(
)x(x
)y)(yx(x
=a2
i
i
ii
xVar
yxCov
i
xayb
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
Calcul Excel agrave lrsquoaide debull Courbe de tendancebull droitereg
72
Erreur lieacutee agrave la mesure
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
2n
)y(yi
2
ii
yx
s
Ecart Type des reacutesidus
= ET de lrsquoerreur lieacutee agrave la mesure= ET de preacutediction que lrsquoon aurait (mecircmes conditions) si le modegravele eacutetait sans erreur
Mais le modegravele nrsquoest jamais exact
Erreur que lrsquoon aurait mecircme si le modegravele eacutetait parfait agrave cause de lrsquoerreur aleacuteatoire sur xhellipRepreacutesenteacutee par lrsquohellip
Rappel reacutesidu = eacutecart entre valeur preacutedite (sur droite de regression donc) et valeur expeacuterimentale
37
73
Erreur de modeacutelisation
Estimations incertitudes de a et b
baxy ˆ
Y
i
xyss
2
i
a
)x(xEcart type de la pente
i
i
i
xybn
x
ss2
i
2
)x(x
Ecart type de lrsquoordonneacutee agrave lrsquoorigine
Calcul Excel agrave lrsquoaide de la fonction laquo droitereg raquo
temps h tension
0 300E-05
1 440E-05
2 900E-05
3 900E-05
4 100E-04
formule =DROITEREG(YX11)
pente 00000186 00000336 OAO
s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO
R 0870821587 130792E-05 s(resid)
2022369447 3 N DL
34596E-09 5132E-10000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5TP5
Incertitude de preacutediction
74
2
2
11)ˆ(
xx
xX
mstYI
i
xy
bull m= nb eacutechantillons deacutetalonnagebull xi = valeurs deacutetalonnage dont moyenne xbull X = valeur deacutechantillon de preacutedictionbull Syx = eacutecart-type des reacutesidus
x
E Lieacutee agrave la mesure
E Type du modegravele
bull Si modegravele laquo parfait raquo (ou m grand) xystYI )ˆ(
bull Lrsquoincertitude augmente si X srsquoeacuteloigne de (problegraveme de lrsquoextrapolation) x
bull Deacutepend (un peuhellip) de X
I(pred)2=I(lieacutee agrave la mesure)2 + I(modelisation)2
TP6
38
75
Mesure de la qualiteacute dajustement dune reacutegression lineacuteaire
Var(Y) = Var( aX+b) + Var(e
information totale = information modeacuteliseacutee + information reacutesiduelle
Coef De deacutetermination
totale)Var(info
modeacuteliseacutee) Var(infodR
)()(
)(
YX
YXCovRc
Coef de correacutelation
Rd=Rc2
Y
76
Le coef de correacutelation utilisation
0
5
10
15
20
25
30
35
0 2 4 6 8 10 12
R=075
0
5
10
15
20
25
0 2 4 6 8 10 12
R=075
-100
0
100
200
300
400
500
600
0 5 10 15
R=075
Le cœfficient de correacutelation ne sert
agrave quantifier que les relations
lineacuteaires entre X et Yvariables
Il perd toute signification degraves lors
que les reacutesidus
R=08
R=08
R=08
39
77
Reacutegression lineacuteaire examen des reacutesidus
Veacuterification lineacuteariteacute
A corriger
eacuteventuellement avec
reacutegression non lineacuteaire
Deacutetection points
aberrants (outliers)A eacuteliminer apregraves
veacuterification et avec
preacutecautionshellip
Ri=yi-(axi+b)
Reacutesidu = information non
modeacuteliseacutee ideacutealement
erreur aleacuteatoire
residuals
paramegravetres modeacutelisation des donneacutees
ET bruit
v0
v1
a
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
850
900
950
y = 07063x - 39517
-100
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (m
V)
courant (mA)
Valeurs mesureacutees
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (
mV
)
courant (mA)
Graphe des reacutesidus mesure - droiteregr
78
Reacutegression non lineacuteaire reacutegression polynomiale
Ex courbe de
tendance dExcel
temps h
0
1
2
3
4
000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5
Permet de modeacuteliser la plupart des problegravemes peu non lineacuteaireshellip
demo TP7
40
79
Biblio amp liens utilesBouquins
Statistics for analytical Chemistry 3 rd ed JC Miller and JN Miller John Wiley amp Sons 1998
Multivariate Statistical Methods A Primer BFJ Monley Chapman amp Hall 1986
Modeacutelisation et estimation des erreurs de mesure M Neuilly CETAMA Lavoisier Paris 1993
Sites WWW
httpphysicsnistgovcuuUncertaintyindexhtml excellent site simple et succinct mais de reacutefeacuterence
sur la calcul des incertitudes ce document sen est beaucoup inspireacute Un cours plus complet de
statistiques est disponible agrave httpwwwitlnistgovdiv898handbook
httpswwwansesfrfrcontentguide-de-validation-des-mC3A9thodes-danalyses-des-laboratoires-de-rC3A9fC3A9rence Guide de lrsquoANSES Agence nationale de seacutecuriteacute sanitaire
de lrsquoalimentation de lrsquoenvironnement et du travail
httpwwwjybaudotfrStatsstatshtml Encyclopeacutedie des stats de Jean-Yves Baudot agrave la foi preacutecis vulgarisateur et marrant un challenge en statistiques
httpfrfreestatisticsinfoindexphp Collection de liens et surtout de Freewares sur les stats
8062
La norme AFNOR la plus utiliseacutee
httpwwwasqualabcomdocumentsqualitemetrologie19-unites_pifometriquespdf
21
41
Eacutevaluation par calcul de lrsquoeffet sur lrsquoincertitude finale des diffeacuterentes sources drsquoincertitude
V
VERR
0
2
2
0
2
0
2
0 )()()()(
V
V
ERE
V
RR
U
UER
(R0) (E) (V) connus
R0
R E
V mesureacute
Explication
Loi de propagation des eacutecart-types
combined standard uncertainty
Exemple eacutevaluation drsquoune meacutethode de mesure drsquoune reacutesistance
Quelle est la peseacutee la plus preacutecise
22
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes (1)
Exemple de la somme s=a+b
es
eb
ea
es=ea+ebRappel les erreurs srsquoajoutent algeacutebriquement
Et leur eacutecart-type
combined standard uncertainty for random amp independant errors
a b a+b282 151 433
261 171 432
264 168 432
345 202 548
332 190 523
279 208 488
317 155 472
270 209 479
310 186 496
340 156 495
moyenne 300 180 480 480 somme moyennes
variance 011 005 016 016 somme variances
ecartype 033 023 039 055 somme eacutecart-types
000
100
200
300
400
500
600
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
a
b
a+b
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes (2)
Exemple de la somme s=a+b
Erreur aleacuteatoire
)()()( bas
)()()( bVaraVarbaVar
Les eacutecart-types ne srsquoajoutent pas
Les variances si
22baba 222
baba
Les eacutecart-types srsquoajoutent quadratiquement Si les erreurs sont indeacutependantes et aleacuteatoires
23
Quelle est la peseacutee la plus preacutecise
2
2
2
1 PIPIPI
54321 PPPPPP
2)(5 pIPI
)(5 pIPI
gkgP 2425
Rappel loi de propagation drsquoune laquo petite raquo erreur
n
i
i
xx
fy
1
)(
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
)(xfy xdx
dfxfxxf )()(
xdx
dfy
Cas particulier produit-exposant
(Th accroissements finis)
Proprieacuteteacute de la deacuteriveacutee logarithmique
119910 =119886 119887 1198883
11988912
∆119910
119910=
∆119886
119886+
∆119887
119887+ 3
∆119888
119888- 12
∆119889
119889
24
Loi de propagation de la variance et de lrsquoeacutecart-type
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
La variance est additive donc si les variables xi sont indeacutependantes
)()(1
n
i
i
xVx
fyV
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fy
Ecart type V(x)=((x))2
)(2)()(1
1 11
2
2
2
ji
n
i
n
ij ji
i
n
i
xxx
f
x
fx
x
fy Cov
Cas geacuteneacuteral (variables non indeacutependantes)
(non deacutemontreacutehellip)
48
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires (1)
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fyI I
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
Incertitude pour une distr normale I(y)=t(y) geacuteneacuteralement t~2
Sibull mecircmes coefs drsquoeacutelargissement tbull variables xi indeacutependantes
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fy
25
49
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes cas particuliers (1)
Ex somme ou diffeacuterence
cbay
222 )()()()( cbay
i
ii xay i
ii xay 2))(()( Combinaison lineacuteaire
n
ixn
x1
1
n
xx
nx
n )()(
1)(
1
2
Application fondamentale en instrumentation La moyenne
Demo
Loi des grands nombres
50
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires cas particuliers (2)
Produits et puissances
i
iixAy
i i
ii
x
x
y
y2
)()(
Somme quadratique des eacutecart-types relatifs
x
x)(Proprieacuteteacute inteacuteressante des eacutecart-types relatifs
21
3
d
cbay
2222)(
21)(
3)()()(
d
d
c
c
b
b
a
a
y
y
Exemple
TP3
Idem pour incertitudes I si I=t partout
26
51
Lois de propagation des erreurs aleacuteatoires exemple de la droite drsquoeacutetalonnage
Etalonnage
Deacutebit D=aV
0 le D le 10 Lh
a=08 LhmV plusmn001 (t=2)
Inc Sur V 01 mV (t=2)
Incertitude relative sur deacutebit Den fonction du deacutebit
22)()()(
V
VI
a
aI
D
DI
V = tension fournie par capteurhellip
22)()(
D
VaI
a
aI
Mesure des faibles valeurs peu preacutecise
a = inverse de la sensibiliteacute
Si D 0
Calcul de lrsquoincertitude par simulation de lrsquoerreur aleacuteatoire
ou meacutethode de Monte-Carlo
Ex y=f(x1x2)
x1 et x2 ont des erreurs aleacuteatoires (pas forcement indeacutependantes) caracteacuteriseacutees par
leur eacutecart-type s1 et s2
bullSimuler un certain nombre drsquoexpeacuteriences avec les
mecircmes valeurs x1 et x2 + erreur aleacuteatoire (tirages ne)
yi=f(x1+e1x2+e2) N fois
bullCalcul de lrsquoeacutecart type des yi
bullLes ei sont calculeacutes agrave lrsquoaide drsquoun geacuteneacuterateur de nombre
aleacuteatoires agrave distribution adeacutequate (geacuteneacuteralement normale)
Excel =LOINORMALEINVERSE(ALEA()0eacutecart-type)TP4
27
Calcul de lrsquoincertitude par simulation de lrsquoerreur aleacuteatoire exemple
moyenne des D 50012 Dmax 100000
Deacutebit 50000 E Type des D 00526 a 08000
tension V 62500 Incertitude 01052 I(a) 00100
I(V) 01000
Ndeg tirage (400) erreur sur a erreur sur V valeur a valeur V D=aV
1 -00010 00253 07990 62753 50142
2 00011 -00518 08011 61982 49654
3 00032 00436 08032 62936 50551
4 -00098 00026 07902 62526 49407
5 00021 00867 08021 63367 50824
6 -00064 -00202 07936 62298 49437
7 00017 -00820 08017 61680 49450
8 -00065 00444 07935 62944 49949
9 00009 00757 08009 63257 50663
10 -00049 -00318 07951 62182 49439
11 00130 00109 08130 62609 50901
12 00004 00084 08004 62584 50092
13 -00046 00031 07954 62531 49737
14 -00024 00249 07976 62749 50049
15 00047 00311 08047 62811 50543
16 -00021 -00251 07979 62249 49668
D=aV
0 le D le 10 Lh
a=08 LhmV plusmn001 (t=2)
Inc Sur V = 01 mV (t=2)
Tirage aleacuteatoire normal
+
LOINORMALEINVERSE(ALEA()0eacutecart-type)
Les erreurs srsquoajoutent algeacutebriquement
54
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation
La discreacutetisation intervient lorsque les valeurs finales constituent un ensemble discret
Reacutesolution d du systegraveme drsquoacquisition agrave ne pas confondre avec lrsquoincertitude ou la sensibiliteacute
d
V
0
001
002
003
004
005
006
007
008
009
01
0 005 01
Tension reacuteelle
Ten
sion
aff
icheacutee
Discretization uncertainty
28
55
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (2)
32
d dEcart type de lrsquoerreur due agrave la discreacutetisation
295295
0
95
dIII Incertitude totale
5d 6d 7d
Erreur maxi d2
Approximatif Monte-Carlo parfois preacutefeacuterablehellip
Incertitude agrave 95 due agrave la discreacutetisation 2d 2975095 ddINon
058d 0485d
295 ddI
56
Le laquo Dithering raquo
La preacutesence drsquoerreur aleacuteatoire permet ici drsquoameacuteliorer la laquo preacutecision raquo de la mesure
Pas de laquo bruit raquo pas de moyennage Pas de laquo bruit raquo moyenne 50
signaux
laquo bruit raquo pas de moyennage laquo bruit raquo moyenne 50 signaux
La meacutethode du moyennage peut reacuteduire aussi lrsquoerreur de discreacutetisation (= quantification)
On peut gagner 1 bit de reacutesolution chaque fois que lrsquoon multiplie par 4 la freacutequence drsquoeacutechantillonnagehellip
hellip agrave condition que le signal avant numeacuterisation contienne un bruit (aleacuteatoire et indeacutependant) de valeur efficace supeacuterieure agrave la reacutesolution initialehellip
demo
29
57
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (3) les deacutecimales significatives
Ecriture drsquoun nombre avec un nombre de chiffres fini Erreur de discreacutetisation
Pour une mesure lrsquoeacutecart type de lrsquoerreur introduite doit ecirctre petit devant celui
de lrsquoerreur de mesure initiale
Ex mesure = 4382659872 Eacutecart-type mesure = 055 (soit 0125 en relatif)
Doit-on eacutecrire
4382659872
438265
4383
Mais les systegravemes numeacuteriques peuvent donner beaucoup de chiffres significatifshellip
438
58
Mesure afficheacutee
reacutesolution
ET erreur discreacutetisation
ET erreur finale drsquoerreur due agrave la discreacutetisation
438265987
0000001
29 10-7 055 lt 10-3
43827
001
29 10-3 0550008 10-3
4383
01
0029 05506 014
438
1
029 062 13
440
10
289 294 434
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (4) les deacutecimales significatives exemple
32
d d
22 )()( dxX
Ex mesure = 4382659872 Eacutecart-type mesure = (x)= 055 (soit 0125 en relatif)
bullOn peut choisir la reacutesolution immeacutediatement plus petite que lrsquoeacutecart-type de la mesure
bullLrsquoeacutecart-type (ou lrsquoincertitude) afficheacute ne doit pas avoir plus de 2 chiffres significatifs
30
Capabiliteacute drsquoun systegraveme de mesure
Va deacutependre de la toleacuterance deacutesireacuteehellip
hellip et du coucirct de la mesure
capabiliteacute dun moyen de mesure = rapport entre lincertitude U du moyen de mesure et la toleacuterance IT exigeacutee
Veacuterification de la toleacuterance
Normes franccedilaises
( toleacuterance = exigence du client en terme de caracteacuteristique mesurable)
Toleacuterance capabiliteacute drsquoun systegraveme de mesure
T
Notion de risque-risque laquo client raquo(piegravece agrave rejeter mais retenue)-risque laquo fabricant raquo(piegravece agrave retenir mais rejeteacutee)
Mesure moyenne
T
Piegravece agrave rejeterPiegravece agrave retenir
T=ToleacuteranceU=incertitude
Distrib des erreurs de fabrication
Val reacuteelle
31
Reacuteconciliation des donneacutees
61
D1
I(D1)
D2
I(D2)
D3
I(D3)
bull 3 mesures redondantes (car en theacuteorie D1=D2+D3)bull A cause des incertitudes on nrsquoa jamais exactement D1=D2+D3
bull Comment (in)valider les mesures
Reacuteconciliation des donneacutees
bull La redondance permet aussi de reacuteduire lrsquoincertitude (cf moyenne)
Dernier TPhellip
Limite de deacutetection - LDD (1)Limit of Detection - LOD
6280
Pic de signal ou bruit de fond
LDD plus petite valeur non nulle mesurable pour une certaine probabiliteacute drsquoerreur sur le fait que la valeur vraie est nulle ou non
Seuil de deacutecision deacutetection si (Mesure gt Seuil deacutecision)
2 types drsquoerreur de deacutecision Type 1 deacutetection signal alors qursquoil est absent (faux positif)
Type 2 non deacutetection signal alors qursquoil est preacutesent (faux neacutegatif)
32
Limite de deacutetection (2)
6380
Type 1 deacutetection signal alors qursquoil est absent (faux positif)
Exemple probabiliteacute de 5 drsquoerreur de type 1 ou 2
Type 2 non deacutetection signal alors qursquoil est preacutesent (faux neacutegatif)
165
5
Proba = 5 si seuil de deacutecision = 165
Si mecircme seuil de deacutecision (165) mecircme proba drsquoerreur si signal agrave 2 fois le seuil de deacutecision = 33
2x165
5
Limite de deacutetection (3)
0
0
0
0
0
0
0
0
165 33
Niveau signal
seuil de decision type 1 type 2 gt0
nb erreurs 9 9
bonnes deacutecisions 955
eacutecart type bruit analyseur 10
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
1
signal theacuteorique
signal reacuteel
seuil de deacutecision
erreur type 1
erreur type 2
-20 0 20 40 60 80
Si distr normale et probabiliteacute de 95LDD=33
On prend geacuteneacuteralement LDD=3 = eacutecart-type de la mesure laquo proche de zeacutero raquo
33
Etalonnage drsquoun systegraveme de mesure
Etalonnage laquo Opeacuteration consistant agrave eacutetablir une relation entre les valeurs de la grandeur indiqueacutees par un appareil de mesure et les valeurs correspondantes de la grandeur reacutealiseacutees par des eacutetalons raquo (VIM)
160
165
170
175
180
185
190
195
0 20 40 60 80 100
H
C pF
66
Etalonnage Creacuteation drsquoun modegravele de comportement
ETALONNAGE
Variables Xmesureacutees
(capteurs)
Variables Ymesureacutees(analyseshellip)
modegravele ou
Preacutedicteur F
Creacuteation modegravele
de comportement
Y=F(X)
PREDICTION
Variables Xmesureacutees(capteurs)
Estimation des
variables Y
Modegravele
Calcul de
preacutedictiontensions
Calibration Creation of a behavior model
34
67
Eacutetalonnage - calibrage
Eacutetalonnage (calibration) = calcul complet du modegravele neacutecessite un laquo grand raquo nombre drsquoexpeacuteriences
tension
pression
bull Calibrage ou ajustement de zeacutero (zero adjustment) = laquo recalage raquo du modegravele neacutecessite 1 expeacuterience (laquo zeacutero raquo) voire 2 (laquo zeacutero + gain raquo)
tension
pression
bullCorrection variations de fabrication
bullCorrection deacuterive
bullCorrection changement conditions expeacuterimentales (tempeacuterature tarage drsquoune balancehellip)
bullEtchellip
Si le modegravele nrsquoest pas lineacuteaire le calibrage ne peut corriger que de faibles variationshellip
68
Les moindres carreacutes
Meacutethode des moindres carreacutes (monovariable)
laquo minimal raquo pour lrsquoensemble des mesures en trouvant la
fonction optimale f
On veut modeacuteliser pour toutes les mesures (i) ෝ119962119946 = 119839(119961119946) en fait agrave partir
des expeacuteriences on a 119962119946 = 119839 119961119946 + 119942119946 ougrave 119942119946 = laquo reacutesidu raquo ou erreur
On utilise geacuteneacuteralement la distance Euclidienne
laquo minimale raquo en optimisant les 120637119947
The least Squares
120637119947 repreacutesente ici le ou les paramegravetres de la fonction agrave optimiser f (ex coefs polynocircme)
119942119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947
119946
119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947120784
35
69
La reacutegression lineacuteaire
Monovariable (y=f(x) ) + hypothegravese lineacuteaire (y=ax+b)
2 cas
X
Minimisations des erreurs sur Y
Reacutegression de yx
ybaxy e
Y
Minimisation des erreurs sur X
X
Reacutegression de xy
xbyax e ˆ
1ˆ
a
bx
ay
Attention une reacutegression de yx avec des
erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne une
erreur systeacutematique sur la pentehellip
Y
Linear regression
70
La reacutegression lineacuteaire yx ou xy
Attention une reacutegression de yx avec des erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne
une erreur systeacutematique sur la pentehellip
Diffeacuterence neacutegligeable dans une majoriteacute de cashellip
y = 10036x - 00354
-2
0
2
4
6
8
10
12
-2 0 2 4 6 8 10 12
y = 06669x + 16244
-2
0
2
4
6
8
10
12
-2 0 2 4 6 8 10 12
Reacutegression YX Reacutegression XY
36
71
Caracteacuteristiques de la reacutegression yx
Estimations de a et b
)(
)(
)x(x
)y)(yx(x
=a2
i
i
ii
xVar
yxCov
i
xayb
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
Calcul Excel agrave lrsquoaide debull Courbe de tendancebull droitereg
72
Erreur lieacutee agrave la mesure
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
2n
)y(yi
2
ii
yx
s
Ecart Type des reacutesidus
= ET de lrsquoerreur lieacutee agrave la mesure= ET de preacutediction que lrsquoon aurait (mecircmes conditions) si le modegravele eacutetait sans erreur
Mais le modegravele nrsquoest jamais exact
Erreur que lrsquoon aurait mecircme si le modegravele eacutetait parfait agrave cause de lrsquoerreur aleacuteatoire sur xhellipRepreacutesenteacutee par lrsquohellip
Rappel reacutesidu = eacutecart entre valeur preacutedite (sur droite de regression donc) et valeur expeacuterimentale
37
73
Erreur de modeacutelisation
Estimations incertitudes de a et b
baxy ˆ
Y
i
xyss
2
i
a
)x(xEcart type de la pente
i
i
i
xybn
x
ss2
i
2
)x(x
Ecart type de lrsquoordonneacutee agrave lrsquoorigine
Calcul Excel agrave lrsquoaide de la fonction laquo droitereg raquo
temps h tension
0 300E-05
1 440E-05
2 900E-05
3 900E-05
4 100E-04
formule =DROITEREG(YX11)
pente 00000186 00000336 OAO
s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO
R 0870821587 130792E-05 s(resid)
2022369447 3 N DL
34596E-09 5132E-10000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5TP5
Incertitude de preacutediction
74
2
2
11)ˆ(
xx
xX
mstYI
i
xy
bull m= nb eacutechantillons deacutetalonnagebull xi = valeurs deacutetalonnage dont moyenne xbull X = valeur deacutechantillon de preacutedictionbull Syx = eacutecart-type des reacutesidus
x
E Lieacutee agrave la mesure
E Type du modegravele
bull Si modegravele laquo parfait raquo (ou m grand) xystYI )ˆ(
bull Lrsquoincertitude augmente si X srsquoeacuteloigne de (problegraveme de lrsquoextrapolation) x
bull Deacutepend (un peuhellip) de X
I(pred)2=I(lieacutee agrave la mesure)2 + I(modelisation)2
TP6
38
75
Mesure de la qualiteacute dajustement dune reacutegression lineacuteaire
Var(Y) = Var( aX+b) + Var(e
information totale = information modeacuteliseacutee + information reacutesiduelle
Coef De deacutetermination
totale)Var(info
modeacuteliseacutee) Var(infodR
)()(
)(
YX
YXCovRc
Coef de correacutelation
Rd=Rc2
Y
76
Le coef de correacutelation utilisation
0
5
10
15
20
25
30
35
0 2 4 6 8 10 12
R=075
0
5
10
15
20
25
0 2 4 6 8 10 12
R=075
-100
0
100
200
300
400
500
600
0 5 10 15
R=075
Le cœfficient de correacutelation ne sert
agrave quantifier que les relations
lineacuteaires entre X et Yvariables
Il perd toute signification degraves lors
que les reacutesidus
R=08
R=08
R=08
39
77
Reacutegression lineacuteaire examen des reacutesidus
Veacuterification lineacuteariteacute
A corriger
eacuteventuellement avec
reacutegression non lineacuteaire
Deacutetection points
aberrants (outliers)A eacuteliminer apregraves
veacuterification et avec
preacutecautionshellip
Ri=yi-(axi+b)
Reacutesidu = information non
modeacuteliseacutee ideacutealement
erreur aleacuteatoire
residuals
paramegravetres modeacutelisation des donneacutees
ET bruit
v0
v1
a
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
850
900
950
y = 07063x - 39517
-100
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (m
V)
courant (mA)
Valeurs mesureacutees
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (
mV
)
courant (mA)
Graphe des reacutesidus mesure - droiteregr
78
Reacutegression non lineacuteaire reacutegression polynomiale
Ex courbe de
tendance dExcel
temps h
0
1
2
3
4
000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5
Permet de modeacuteliser la plupart des problegravemes peu non lineacuteaireshellip
demo TP7
40
79
Biblio amp liens utilesBouquins
Statistics for analytical Chemistry 3 rd ed JC Miller and JN Miller John Wiley amp Sons 1998
Multivariate Statistical Methods A Primer BFJ Monley Chapman amp Hall 1986
Modeacutelisation et estimation des erreurs de mesure M Neuilly CETAMA Lavoisier Paris 1993
Sites WWW
httpphysicsnistgovcuuUncertaintyindexhtml excellent site simple et succinct mais de reacutefeacuterence
sur la calcul des incertitudes ce document sen est beaucoup inspireacute Un cours plus complet de
statistiques est disponible agrave httpwwwitlnistgovdiv898handbook
httpswwwansesfrfrcontentguide-de-validation-des-mC3A9thodes-danalyses-des-laboratoires-de-rC3A9fC3A9rence Guide de lrsquoANSES Agence nationale de seacutecuriteacute sanitaire
de lrsquoalimentation de lrsquoenvironnement et du travail
httpwwwjybaudotfrStatsstatshtml Encyclopeacutedie des stats de Jean-Yves Baudot agrave la foi preacutecis vulgarisateur et marrant un challenge en statistiques
httpfrfreestatisticsinfoindexphp Collection de liens et surtout de Freewares sur les stats
8062
La norme AFNOR la plus utiliseacutee
httpwwwasqualabcomdocumentsqualitemetrologie19-unites_pifometriquespdf
22
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes (1)
Exemple de la somme s=a+b
es
eb
ea
es=ea+ebRappel les erreurs srsquoajoutent algeacutebriquement
Et leur eacutecart-type
combined standard uncertainty for random amp independant errors
a b a+b282 151 433
261 171 432
264 168 432
345 202 548
332 190 523
279 208 488
317 155 472
270 209 479
310 186 496
340 156 495
moyenne 300 180 480 480 somme moyennes
variance 011 005 016 016 somme variances
ecartype 033 023 039 055 somme eacutecart-types
000
100
200
300
400
500
600
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
a
b
a+b
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes (2)
Exemple de la somme s=a+b
Erreur aleacuteatoire
)()()( bas
)()()( bVaraVarbaVar
Les eacutecart-types ne srsquoajoutent pas
Les variances si
22baba 222
baba
Les eacutecart-types srsquoajoutent quadratiquement Si les erreurs sont indeacutependantes et aleacuteatoires
23
Quelle est la peseacutee la plus preacutecise
2
2
2
1 PIPIPI
54321 PPPPPP
2)(5 pIPI
)(5 pIPI
gkgP 2425
Rappel loi de propagation drsquoune laquo petite raquo erreur
n
i
i
xx
fy
1
)(
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
)(xfy xdx
dfxfxxf )()(
xdx
dfy
Cas particulier produit-exposant
(Th accroissements finis)
Proprieacuteteacute de la deacuteriveacutee logarithmique
119910 =119886 119887 1198883
11988912
∆119910
119910=
∆119886
119886+
∆119887
119887+ 3
∆119888
119888- 12
∆119889
119889
24
Loi de propagation de la variance et de lrsquoeacutecart-type
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
La variance est additive donc si les variables xi sont indeacutependantes
)()(1
n
i
i
xVx
fyV
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fy
Ecart type V(x)=((x))2
)(2)()(1
1 11
2
2
2
ji
n
i
n
ij ji
i
n
i
xxx
f
x
fx
x
fy Cov
Cas geacuteneacuteral (variables non indeacutependantes)
(non deacutemontreacutehellip)
48
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires (1)
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fyI I
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
Incertitude pour une distr normale I(y)=t(y) geacuteneacuteralement t~2
Sibull mecircmes coefs drsquoeacutelargissement tbull variables xi indeacutependantes
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fy
25
49
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes cas particuliers (1)
Ex somme ou diffeacuterence
cbay
222 )()()()( cbay
i
ii xay i
ii xay 2))(()( Combinaison lineacuteaire
n
ixn
x1
1
n
xx
nx
n )()(
1)(
1
2
Application fondamentale en instrumentation La moyenne
Demo
Loi des grands nombres
50
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires cas particuliers (2)
Produits et puissances
i
iixAy
i i
ii
x
x
y
y2
)()(
Somme quadratique des eacutecart-types relatifs
x
x)(Proprieacuteteacute inteacuteressante des eacutecart-types relatifs
21
3
d
cbay
2222)(
21)(
3)()()(
d
d
c
c
b
b
a
a
y
y
Exemple
TP3
Idem pour incertitudes I si I=t partout
26
51
Lois de propagation des erreurs aleacuteatoires exemple de la droite drsquoeacutetalonnage
Etalonnage
Deacutebit D=aV
0 le D le 10 Lh
a=08 LhmV plusmn001 (t=2)
Inc Sur V 01 mV (t=2)
Incertitude relative sur deacutebit Den fonction du deacutebit
22)()()(
V
VI
a
aI
D
DI
V = tension fournie par capteurhellip
22)()(
D
VaI
a
aI
Mesure des faibles valeurs peu preacutecise
a = inverse de la sensibiliteacute
Si D 0
Calcul de lrsquoincertitude par simulation de lrsquoerreur aleacuteatoire
ou meacutethode de Monte-Carlo
Ex y=f(x1x2)
x1 et x2 ont des erreurs aleacuteatoires (pas forcement indeacutependantes) caracteacuteriseacutees par
leur eacutecart-type s1 et s2
bullSimuler un certain nombre drsquoexpeacuteriences avec les
mecircmes valeurs x1 et x2 + erreur aleacuteatoire (tirages ne)
yi=f(x1+e1x2+e2) N fois
bullCalcul de lrsquoeacutecart type des yi
bullLes ei sont calculeacutes agrave lrsquoaide drsquoun geacuteneacuterateur de nombre
aleacuteatoires agrave distribution adeacutequate (geacuteneacuteralement normale)
Excel =LOINORMALEINVERSE(ALEA()0eacutecart-type)TP4
27
Calcul de lrsquoincertitude par simulation de lrsquoerreur aleacuteatoire exemple
moyenne des D 50012 Dmax 100000
Deacutebit 50000 E Type des D 00526 a 08000
tension V 62500 Incertitude 01052 I(a) 00100
I(V) 01000
Ndeg tirage (400) erreur sur a erreur sur V valeur a valeur V D=aV
1 -00010 00253 07990 62753 50142
2 00011 -00518 08011 61982 49654
3 00032 00436 08032 62936 50551
4 -00098 00026 07902 62526 49407
5 00021 00867 08021 63367 50824
6 -00064 -00202 07936 62298 49437
7 00017 -00820 08017 61680 49450
8 -00065 00444 07935 62944 49949
9 00009 00757 08009 63257 50663
10 -00049 -00318 07951 62182 49439
11 00130 00109 08130 62609 50901
12 00004 00084 08004 62584 50092
13 -00046 00031 07954 62531 49737
14 -00024 00249 07976 62749 50049
15 00047 00311 08047 62811 50543
16 -00021 -00251 07979 62249 49668
D=aV
0 le D le 10 Lh
a=08 LhmV plusmn001 (t=2)
Inc Sur V = 01 mV (t=2)
Tirage aleacuteatoire normal
+
LOINORMALEINVERSE(ALEA()0eacutecart-type)
Les erreurs srsquoajoutent algeacutebriquement
54
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation
La discreacutetisation intervient lorsque les valeurs finales constituent un ensemble discret
Reacutesolution d du systegraveme drsquoacquisition agrave ne pas confondre avec lrsquoincertitude ou la sensibiliteacute
d
V
0
001
002
003
004
005
006
007
008
009
01
0 005 01
Tension reacuteelle
Ten
sion
aff
icheacutee
Discretization uncertainty
28
55
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (2)
32
d dEcart type de lrsquoerreur due agrave la discreacutetisation
295295
0
95
dIII Incertitude totale
5d 6d 7d
Erreur maxi d2
Approximatif Monte-Carlo parfois preacutefeacuterablehellip
Incertitude agrave 95 due agrave la discreacutetisation 2d 2975095 ddINon
058d 0485d
295 ddI
56
Le laquo Dithering raquo
La preacutesence drsquoerreur aleacuteatoire permet ici drsquoameacuteliorer la laquo preacutecision raquo de la mesure
Pas de laquo bruit raquo pas de moyennage Pas de laquo bruit raquo moyenne 50
signaux
laquo bruit raquo pas de moyennage laquo bruit raquo moyenne 50 signaux
La meacutethode du moyennage peut reacuteduire aussi lrsquoerreur de discreacutetisation (= quantification)
On peut gagner 1 bit de reacutesolution chaque fois que lrsquoon multiplie par 4 la freacutequence drsquoeacutechantillonnagehellip
hellip agrave condition que le signal avant numeacuterisation contienne un bruit (aleacuteatoire et indeacutependant) de valeur efficace supeacuterieure agrave la reacutesolution initialehellip
demo
29
57
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (3) les deacutecimales significatives
Ecriture drsquoun nombre avec un nombre de chiffres fini Erreur de discreacutetisation
Pour une mesure lrsquoeacutecart type de lrsquoerreur introduite doit ecirctre petit devant celui
de lrsquoerreur de mesure initiale
Ex mesure = 4382659872 Eacutecart-type mesure = 055 (soit 0125 en relatif)
Doit-on eacutecrire
4382659872
438265
4383
Mais les systegravemes numeacuteriques peuvent donner beaucoup de chiffres significatifshellip
438
58
Mesure afficheacutee
reacutesolution
ET erreur discreacutetisation
ET erreur finale drsquoerreur due agrave la discreacutetisation
438265987
0000001
29 10-7 055 lt 10-3
43827
001
29 10-3 0550008 10-3
4383
01
0029 05506 014
438
1
029 062 13
440
10
289 294 434
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (4) les deacutecimales significatives exemple
32
d d
22 )()( dxX
Ex mesure = 4382659872 Eacutecart-type mesure = (x)= 055 (soit 0125 en relatif)
bullOn peut choisir la reacutesolution immeacutediatement plus petite que lrsquoeacutecart-type de la mesure
bullLrsquoeacutecart-type (ou lrsquoincertitude) afficheacute ne doit pas avoir plus de 2 chiffres significatifs
30
Capabiliteacute drsquoun systegraveme de mesure
Va deacutependre de la toleacuterance deacutesireacuteehellip
hellip et du coucirct de la mesure
capabiliteacute dun moyen de mesure = rapport entre lincertitude U du moyen de mesure et la toleacuterance IT exigeacutee
Veacuterification de la toleacuterance
Normes franccedilaises
( toleacuterance = exigence du client en terme de caracteacuteristique mesurable)
Toleacuterance capabiliteacute drsquoun systegraveme de mesure
T
Notion de risque-risque laquo client raquo(piegravece agrave rejeter mais retenue)-risque laquo fabricant raquo(piegravece agrave retenir mais rejeteacutee)
Mesure moyenne
T
Piegravece agrave rejeterPiegravece agrave retenir
T=ToleacuteranceU=incertitude
Distrib des erreurs de fabrication
Val reacuteelle
31
Reacuteconciliation des donneacutees
61
D1
I(D1)
D2
I(D2)
D3
I(D3)
bull 3 mesures redondantes (car en theacuteorie D1=D2+D3)bull A cause des incertitudes on nrsquoa jamais exactement D1=D2+D3
bull Comment (in)valider les mesures
Reacuteconciliation des donneacutees
bull La redondance permet aussi de reacuteduire lrsquoincertitude (cf moyenne)
Dernier TPhellip
Limite de deacutetection - LDD (1)Limit of Detection - LOD
6280
Pic de signal ou bruit de fond
LDD plus petite valeur non nulle mesurable pour une certaine probabiliteacute drsquoerreur sur le fait que la valeur vraie est nulle ou non
Seuil de deacutecision deacutetection si (Mesure gt Seuil deacutecision)
2 types drsquoerreur de deacutecision Type 1 deacutetection signal alors qursquoil est absent (faux positif)
Type 2 non deacutetection signal alors qursquoil est preacutesent (faux neacutegatif)
32
Limite de deacutetection (2)
6380
Type 1 deacutetection signal alors qursquoil est absent (faux positif)
Exemple probabiliteacute de 5 drsquoerreur de type 1 ou 2
Type 2 non deacutetection signal alors qursquoil est preacutesent (faux neacutegatif)
165
5
Proba = 5 si seuil de deacutecision = 165
Si mecircme seuil de deacutecision (165) mecircme proba drsquoerreur si signal agrave 2 fois le seuil de deacutecision = 33
2x165
5
Limite de deacutetection (3)
0
0
0
0
0
0
0
0
165 33
Niveau signal
seuil de decision type 1 type 2 gt0
nb erreurs 9 9
bonnes deacutecisions 955
eacutecart type bruit analyseur 10
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
1
signal theacuteorique
signal reacuteel
seuil de deacutecision
erreur type 1
erreur type 2
-20 0 20 40 60 80
Si distr normale et probabiliteacute de 95LDD=33
On prend geacuteneacuteralement LDD=3 = eacutecart-type de la mesure laquo proche de zeacutero raquo
33
Etalonnage drsquoun systegraveme de mesure
Etalonnage laquo Opeacuteration consistant agrave eacutetablir une relation entre les valeurs de la grandeur indiqueacutees par un appareil de mesure et les valeurs correspondantes de la grandeur reacutealiseacutees par des eacutetalons raquo (VIM)
160
165
170
175
180
185
190
195
0 20 40 60 80 100
H
C pF
66
Etalonnage Creacuteation drsquoun modegravele de comportement
ETALONNAGE
Variables Xmesureacutees
(capteurs)
Variables Ymesureacutees(analyseshellip)
modegravele ou
Preacutedicteur F
Creacuteation modegravele
de comportement
Y=F(X)
PREDICTION
Variables Xmesureacutees(capteurs)
Estimation des
variables Y
Modegravele
Calcul de
preacutedictiontensions
Calibration Creation of a behavior model
34
67
Eacutetalonnage - calibrage
Eacutetalonnage (calibration) = calcul complet du modegravele neacutecessite un laquo grand raquo nombre drsquoexpeacuteriences
tension
pression
bull Calibrage ou ajustement de zeacutero (zero adjustment) = laquo recalage raquo du modegravele neacutecessite 1 expeacuterience (laquo zeacutero raquo) voire 2 (laquo zeacutero + gain raquo)
tension
pression
bullCorrection variations de fabrication
bullCorrection deacuterive
bullCorrection changement conditions expeacuterimentales (tempeacuterature tarage drsquoune balancehellip)
bullEtchellip
Si le modegravele nrsquoest pas lineacuteaire le calibrage ne peut corriger que de faibles variationshellip
68
Les moindres carreacutes
Meacutethode des moindres carreacutes (monovariable)
laquo minimal raquo pour lrsquoensemble des mesures en trouvant la
fonction optimale f
On veut modeacuteliser pour toutes les mesures (i) ෝ119962119946 = 119839(119961119946) en fait agrave partir
des expeacuteriences on a 119962119946 = 119839 119961119946 + 119942119946 ougrave 119942119946 = laquo reacutesidu raquo ou erreur
On utilise geacuteneacuteralement la distance Euclidienne
laquo minimale raquo en optimisant les 120637119947
The least Squares
120637119947 repreacutesente ici le ou les paramegravetres de la fonction agrave optimiser f (ex coefs polynocircme)
119942119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947
119946
119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947120784
35
69
La reacutegression lineacuteaire
Monovariable (y=f(x) ) + hypothegravese lineacuteaire (y=ax+b)
2 cas
X
Minimisations des erreurs sur Y
Reacutegression de yx
ybaxy e
Y
Minimisation des erreurs sur X
X
Reacutegression de xy
xbyax e ˆ
1ˆ
a
bx
ay
Attention une reacutegression de yx avec des
erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne une
erreur systeacutematique sur la pentehellip
Y
Linear regression
70
La reacutegression lineacuteaire yx ou xy
Attention une reacutegression de yx avec des erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne
une erreur systeacutematique sur la pentehellip
Diffeacuterence neacutegligeable dans une majoriteacute de cashellip
y = 10036x - 00354
-2
0
2
4
6
8
10
12
-2 0 2 4 6 8 10 12
y = 06669x + 16244
-2
0
2
4
6
8
10
12
-2 0 2 4 6 8 10 12
Reacutegression YX Reacutegression XY
36
71
Caracteacuteristiques de la reacutegression yx
Estimations de a et b
)(
)(
)x(x
)y)(yx(x
=a2
i
i
ii
xVar
yxCov
i
xayb
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
Calcul Excel agrave lrsquoaide debull Courbe de tendancebull droitereg
72
Erreur lieacutee agrave la mesure
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
2n
)y(yi
2
ii
yx
s
Ecart Type des reacutesidus
= ET de lrsquoerreur lieacutee agrave la mesure= ET de preacutediction que lrsquoon aurait (mecircmes conditions) si le modegravele eacutetait sans erreur
Mais le modegravele nrsquoest jamais exact
Erreur que lrsquoon aurait mecircme si le modegravele eacutetait parfait agrave cause de lrsquoerreur aleacuteatoire sur xhellipRepreacutesenteacutee par lrsquohellip
Rappel reacutesidu = eacutecart entre valeur preacutedite (sur droite de regression donc) et valeur expeacuterimentale
37
73
Erreur de modeacutelisation
Estimations incertitudes de a et b
baxy ˆ
Y
i
xyss
2
i
a
)x(xEcart type de la pente
i
i
i
xybn
x
ss2
i
2
)x(x
Ecart type de lrsquoordonneacutee agrave lrsquoorigine
Calcul Excel agrave lrsquoaide de la fonction laquo droitereg raquo
temps h tension
0 300E-05
1 440E-05
2 900E-05
3 900E-05
4 100E-04
formule =DROITEREG(YX11)
pente 00000186 00000336 OAO
s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO
R 0870821587 130792E-05 s(resid)
2022369447 3 N DL
34596E-09 5132E-10000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5TP5
Incertitude de preacutediction
74
2
2
11)ˆ(
xx
xX
mstYI
i
xy
bull m= nb eacutechantillons deacutetalonnagebull xi = valeurs deacutetalonnage dont moyenne xbull X = valeur deacutechantillon de preacutedictionbull Syx = eacutecart-type des reacutesidus
x
E Lieacutee agrave la mesure
E Type du modegravele
bull Si modegravele laquo parfait raquo (ou m grand) xystYI )ˆ(
bull Lrsquoincertitude augmente si X srsquoeacuteloigne de (problegraveme de lrsquoextrapolation) x
bull Deacutepend (un peuhellip) de X
I(pred)2=I(lieacutee agrave la mesure)2 + I(modelisation)2
TP6
38
75
Mesure de la qualiteacute dajustement dune reacutegression lineacuteaire
Var(Y) = Var( aX+b) + Var(e
information totale = information modeacuteliseacutee + information reacutesiduelle
Coef De deacutetermination
totale)Var(info
modeacuteliseacutee) Var(infodR
)()(
)(
YX
YXCovRc
Coef de correacutelation
Rd=Rc2
Y
76
Le coef de correacutelation utilisation
0
5
10
15
20
25
30
35
0 2 4 6 8 10 12
R=075
0
5
10
15
20
25
0 2 4 6 8 10 12
R=075
-100
0
100
200
300
400
500
600
0 5 10 15
R=075
Le cœfficient de correacutelation ne sert
agrave quantifier que les relations
lineacuteaires entre X et Yvariables
Il perd toute signification degraves lors
que les reacutesidus
R=08
R=08
R=08
39
77
Reacutegression lineacuteaire examen des reacutesidus
Veacuterification lineacuteariteacute
A corriger
eacuteventuellement avec
reacutegression non lineacuteaire
Deacutetection points
aberrants (outliers)A eacuteliminer apregraves
veacuterification et avec
preacutecautionshellip
Ri=yi-(axi+b)
Reacutesidu = information non
modeacuteliseacutee ideacutealement
erreur aleacuteatoire
residuals
paramegravetres modeacutelisation des donneacutees
ET bruit
v0
v1
a
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
850
900
950
y = 07063x - 39517
-100
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (m
V)
courant (mA)
Valeurs mesureacutees
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (
mV
)
courant (mA)
Graphe des reacutesidus mesure - droiteregr
78
Reacutegression non lineacuteaire reacutegression polynomiale
Ex courbe de
tendance dExcel
temps h
0
1
2
3
4
000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5
Permet de modeacuteliser la plupart des problegravemes peu non lineacuteaireshellip
demo TP7
40
79
Biblio amp liens utilesBouquins
Statistics for analytical Chemistry 3 rd ed JC Miller and JN Miller John Wiley amp Sons 1998
Multivariate Statistical Methods A Primer BFJ Monley Chapman amp Hall 1986
Modeacutelisation et estimation des erreurs de mesure M Neuilly CETAMA Lavoisier Paris 1993
Sites WWW
httpphysicsnistgovcuuUncertaintyindexhtml excellent site simple et succinct mais de reacutefeacuterence
sur la calcul des incertitudes ce document sen est beaucoup inspireacute Un cours plus complet de
statistiques est disponible agrave httpwwwitlnistgovdiv898handbook
httpswwwansesfrfrcontentguide-de-validation-des-mC3A9thodes-danalyses-des-laboratoires-de-rC3A9fC3A9rence Guide de lrsquoANSES Agence nationale de seacutecuriteacute sanitaire
de lrsquoalimentation de lrsquoenvironnement et du travail
httpwwwjybaudotfrStatsstatshtml Encyclopeacutedie des stats de Jean-Yves Baudot agrave la foi preacutecis vulgarisateur et marrant un challenge en statistiques
httpfrfreestatisticsinfoindexphp Collection de liens et surtout de Freewares sur les stats
8062
La norme AFNOR la plus utiliseacutee
httpwwwasqualabcomdocumentsqualitemetrologie19-unites_pifometriquespdf
23
Quelle est la peseacutee la plus preacutecise
2
2
2
1 PIPIPI
54321 PPPPPP
2)(5 pIPI
)(5 pIPI
gkgP 2425
Rappel loi de propagation drsquoune laquo petite raquo erreur
n
i
i
xx
fy
1
)(
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
)(xfy xdx
dfxfxxf )()(
xdx
dfy
Cas particulier produit-exposant
(Th accroissements finis)
Proprieacuteteacute de la deacuteriveacutee logarithmique
119910 =119886 119887 1198883
11988912
∆119910
119910=
∆119886
119886+
∆119887
119887+ 3
∆119888
119888- 12
∆119889
119889
24
Loi de propagation de la variance et de lrsquoeacutecart-type
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
La variance est additive donc si les variables xi sont indeacutependantes
)()(1
n
i
i
xVx
fyV
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fy
Ecart type V(x)=((x))2
)(2)()(1
1 11
2
2
2
ji
n
i
n
ij ji
i
n
i
xxx
f
x
fx
x
fy Cov
Cas geacuteneacuteral (variables non indeacutependantes)
(non deacutemontreacutehellip)
48
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires (1)
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fyI I
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
Incertitude pour une distr normale I(y)=t(y) geacuteneacuteralement t~2
Sibull mecircmes coefs drsquoeacutelargissement tbull variables xi indeacutependantes
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fy
25
49
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes cas particuliers (1)
Ex somme ou diffeacuterence
cbay
222 )()()()( cbay
i
ii xay i
ii xay 2))(()( Combinaison lineacuteaire
n
ixn
x1
1
n
xx
nx
n )()(
1)(
1
2
Application fondamentale en instrumentation La moyenne
Demo
Loi des grands nombres
50
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires cas particuliers (2)
Produits et puissances
i
iixAy
i i
ii
x
x
y
y2
)()(
Somme quadratique des eacutecart-types relatifs
x
x)(Proprieacuteteacute inteacuteressante des eacutecart-types relatifs
21
3
d
cbay
2222)(
21)(
3)()()(
d
d
c
c
b
b
a
a
y
y
Exemple
TP3
Idem pour incertitudes I si I=t partout
26
51
Lois de propagation des erreurs aleacuteatoires exemple de la droite drsquoeacutetalonnage
Etalonnage
Deacutebit D=aV
0 le D le 10 Lh
a=08 LhmV plusmn001 (t=2)
Inc Sur V 01 mV (t=2)
Incertitude relative sur deacutebit Den fonction du deacutebit
22)()()(
V
VI
a
aI
D
DI
V = tension fournie par capteurhellip
22)()(
D
VaI
a
aI
Mesure des faibles valeurs peu preacutecise
a = inverse de la sensibiliteacute
Si D 0
Calcul de lrsquoincertitude par simulation de lrsquoerreur aleacuteatoire
ou meacutethode de Monte-Carlo
Ex y=f(x1x2)
x1 et x2 ont des erreurs aleacuteatoires (pas forcement indeacutependantes) caracteacuteriseacutees par
leur eacutecart-type s1 et s2
bullSimuler un certain nombre drsquoexpeacuteriences avec les
mecircmes valeurs x1 et x2 + erreur aleacuteatoire (tirages ne)
yi=f(x1+e1x2+e2) N fois
bullCalcul de lrsquoeacutecart type des yi
bullLes ei sont calculeacutes agrave lrsquoaide drsquoun geacuteneacuterateur de nombre
aleacuteatoires agrave distribution adeacutequate (geacuteneacuteralement normale)
Excel =LOINORMALEINVERSE(ALEA()0eacutecart-type)TP4
27
Calcul de lrsquoincertitude par simulation de lrsquoerreur aleacuteatoire exemple
moyenne des D 50012 Dmax 100000
Deacutebit 50000 E Type des D 00526 a 08000
tension V 62500 Incertitude 01052 I(a) 00100
I(V) 01000
Ndeg tirage (400) erreur sur a erreur sur V valeur a valeur V D=aV
1 -00010 00253 07990 62753 50142
2 00011 -00518 08011 61982 49654
3 00032 00436 08032 62936 50551
4 -00098 00026 07902 62526 49407
5 00021 00867 08021 63367 50824
6 -00064 -00202 07936 62298 49437
7 00017 -00820 08017 61680 49450
8 -00065 00444 07935 62944 49949
9 00009 00757 08009 63257 50663
10 -00049 -00318 07951 62182 49439
11 00130 00109 08130 62609 50901
12 00004 00084 08004 62584 50092
13 -00046 00031 07954 62531 49737
14 -00024 00249 07976 62749 50049
15 00047 00311 08047 62811 50543
16 -00021 -00251 07979 62249 49668
D=aV
0 le D le 10 Lh
a=08 LhmV plusmn001 (t=2)
Inc Sur V = 01 mV (t=2)
Tirage aleacuteatoire normal
+
LOINORMALEINVERSE(ALEA()0eacutecart-type)
Les erreurs srsquoajoutent algeacutebriquement
54
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation
La discreacutetisation intervient lorsque les valeurs finales constituent un ensemble discret
Reacutesolution d du systegraveme drsquoacquisition agrave ne pas confondre avec lrsquoincertitude ou la sensibiliteacute
d
V
0
001
002
003
004
005
006
007
008
009
01
0 005 01
Tension reacuteelle
Ten
sion
aff
icheacutee
Discretization uncertainty
28
55
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (2)
32
d dEcart type de lrsquoerreur due agrave la discreacutetisation
295295
0
95
dIII Incertitude totale
5d 6d 7d
Erreur maxi d2
Approximatif Monte-Carlo parfois preacutefeacuterablehellip
Incertitude agrave 95 due agrave la discreacutetisation 2d 2975095 ddINon
058d 0485d
295 ddI
56
Le laquo Dithering raquo
La preacutesence drsquoerreur aleacuteatoire permet ici drsquoameacuteliorer la laquo preacutecision raquo de la mesure
Pas de laquo bruit raquo pas de moyennage Pas de laquo bruit raquo moyenne 50
signaux
laquo bruit raquo pas de moyennage laquo bruit raquo moyenne 50 signaux
La meacutethode du moyennage peut reacuteduire aussi lrsquoerreur de discreacutetisation (= quantification)
On peut gagner 1 bit de reacutesolution chaque fois que lrsquoon multiplie par 4 la freacutequence drsquoeacutechantillonnagehellip
hellip agrave condition que le signal avant numeacuterisation contienne un bruit (aleacuteatoire et indeacutependant) de valeur efficace supeacuterieure agrave la reacutesolution initialehellip
demo
29
57
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (3) les deacutecimales significatives
Ecriture drsquoun nombre avec un nombre de chiffres fini Erreur de discreacutetisation
Pour une mesure lrsquoeacutecart type de lrsquoerreur introduite doit ecirctre petit devant celui
de lrsquoerreur de mesure initiale
Ex mesure = 4382659872 Eacutecart-type mesure = 055 (soit 0125 en relatif)
Doit-on eacutecrire
4382659872
438265
4383
Mais les systegravemes numeacuteriques peuvent donner beaucoup de chiffres significatifshellip
438
58
Mesure afficheacutee
reacutesolution
ET erreur discreacutetisation
ET erreur finale drsquoerreur due agrave la discreacutetisation
438265987
0000001
29 10-7 055 lt 10-3
43827
001
29 10-3 0550008 10-3
4383
01
0029 05506 014
438
1
029 062 13
440
10
289 294 434
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (4) les deacutecimales significatives exemple
32
d d
22 )()( dxX
Ex mesure = 4382659872 Eacutecart-type mesure = (x)= 055 (soit 0125 en relatif)
bullOn peut choisir la reacutesolution immeacutediatement plus petite que lrsquoeacutecart-type de la mesure
bullLrsquoeacutecart-type (ou lrsquoincertitude) afficheacute ne doit pas avoir plus de 2 chiffres significatifs
30
Capabiliteacute drsquoun systegraveme de mesure
Va deacutependre de la toleacuterance deacutesireacuteehellip
hellip et du coucirct de la mesure
capabiliteacute dun moyen de mesure = rapport entre lincertitude U du moyen de mesure et la toleacuterance IT exigeacutee
Veacuterification de la toleacuterance
Normes franccedilaises
( toleacuterance = exigence du client en terme de caracteacuteristique mesurable)
Toleacuterance capabiliteacute drsquoun systegraveme de mesure
T
Notion de risque-risque laquo client raquo(piegravece agrave rejeter mais retenue)-risque laquo fabricant raquo(piegravece agrave retenir mais rejeteacutee)
Mesure moyenne
T
Piegravece agrave rejeterPiegravece agrave retenir
T=ToleacuteranceU=incertitude
Distrib des erreurs de fabrication
Val reacuteelle
31
Reacuteconciliation des donneacutees
61
D1
I(D1)
D2
I(D2)
D3
I(D3)
bull 3 mesures redondantes (car en theacuteorie D1=D2+D3)bull A cause des incertitudes on nrsquoa jamais exactement D1=D2+D3
bull Comment (in)valider les mesures
Reacuteconciliation des donneacutees
bull La redondance permet aussi de reacuteduire lrsquoincertitude (cf moyenne)
Dernier TPhellip
Limite de deacutetection - LDD (1)Limit of Detection - LOD
6280
Pic de signal ou bruit de fond
LDD plus petite valeur non nulle mesurable pour une certaine probabiliteacute drsquoerreur sur le fait que la valeur vraie est nulle ou non
Seuil de deacutecision deacutetection si (Mesure gt Seuil deacutecision)
2 types drsquoerreur de deacutecision Type 1 deacutetection signal alors qursquoil est absent (faux positif)
Type 2 non deacutetection signal alors qursquoil est preacutesent (faux neacutegatif)
32
Limite de deacutetection (2)
6380
Type 1 deacutetection signal alors qursquoil est absent (faux positif)
Exemple probabiliteacute de 5 drsquoerreur de type 1 ou 2
Type 2 non deacutetection signal alors qursquoil est preacutesent (faux neacutegatif)
165
5
Proba = 5 si seuil de deacutecision = 165
Si mecircme seuil de deacutecision (165) mecircme proba drsquoerreur si signal agrave 2 fois le seuil de deacutecision = 33
2x165
5
Limite de deacutetection (3)
0
0
0
0
0
0
0
0
165 33
Niveau signal
seuil de decision type 1 type 2 gt0
nb erreurs 9 9
bonnes deacutecisions 955
eacutecart type bruit analyseur 10
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
1
signal theacuteorique
signal reacuteel
seuil de deacutecision
erreur type 1
erreur type 2
-20 0 20 40 60 80
Si distr normale et probabiliteacute de 95LDD=33
On prend geacuteneacuteralement LDD=3 = eacutecart-type de la mesure laquo proche de zeacutero raquo
33
Etalonnage drsquoun systegraveme de mesure
Etalonnage laquo Opeacuteration consistant agrave eacutetablir une relation entre les valeurs de la grandeur indiqueacutees par un appareil de mesure et les valeurs correspondantes de la grandeur reacutealiseacutees par des eacutetalons raquo (VIM)
160
165
170
175
180
185
190
195
0 20 40 60 80 100
H
C pF
66
Etalonnage Creacuteation drsquoun modegravele de comportement
ETALONNAGE
Variables Xmesureacutees
(capteurs)
Variables Ymesureacutees(analyseshellip)
modegravele ou
Preacutedicteur F
Creacuteation modegravele
de comportement
Y=F(X)
PREDICTION
Variables Xmesureacutees(capteurs)
Estimation des
variables Y
Modegravele
Calcul de
preacutedictiontensions
Calibration Creation of a behavior model
34
67
Eacutetalonnage - calibrage
Eacutetalonnage (calibration) = calcul complet du modegravele neacutecessite un laquo grand raquo nombre drsquoexpeacuteriences
tension
pression
bull Calibrage ou ajustement de zeacutero (zero adjustment) = laquo recalage raquo du modegravele neacutecessite 1 expeacuterience (laquo zeacutero raquo) voire 2 (laquo zeacutero + gain raquo)
tension
pression
bullCorrection variations de fabrication
bullCorrection deacuterive
bullCorrection changement conditions expeacuterimentales (tempeacuterature tarage drsquoune balancehellip)
bullEtchellip
Si le modegravele nrsquoest pas lineacuteaire le calibrage ne peut corriger que de faibles variationshellip
68
Les moindres carreacutes
Meacutethode des moindres carreacutes (monovariable)
laquo minimal raquo pour lrsquoensemble des mesures en trouvant la
fonction optimale f
On veut modeacuteliser pour toutes les mesures (i) ෝ119962119946 = 119839(119961119946) en fait agrave partir
des expeacuteriences on a 119962119946 = 119839 119961119946 + 119942119946 ougrave 119942119946 = laquo reacutesidu raquo ou erreur
On utilise geacuteneacuteralement la distance Euclidienne
laquo minimale raquo en optimisant les 120637119947
The least Squares
120637119947 repreacutesente ici le ou les paramegravetres de la fonction agrave optimiser f (ex coefs polynocircme)
119942119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947
119946
119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947120784
35
69
La reacutegression lineacuteaire
Monovariable (y=f(x) ) + hypothegravese lineacuteaire (y=ax+b)
2 cas
X
Minimisations des erreurs sur Y
Reacutegression de yx
ybaxy e
Y
Minimisation des erreurs sur X
X
Reacutegression de xy
xbyax e ˆ
1ˆ
a
bx
ay
Attention une reacutegression de yx avec des
erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne une
erreur systeacutematique sur la pentehellip
Y
Linear regression
70
La reacutegression lineacuteaire yx ou xy
Attention une reacutegression de yx avec des erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne
une erreur systeacutematique sur la pentehellip
Diffeacuterence neacutegligeable dans une majoriteacute de cashellip
y = 10036x - 00354
-2
0
2
4
6
8
10
12
-2 0 2 4 6 8 10 12
y = 06669x + 16244
-2
0
2
4
6
8
10
12
-2 0 2 4 6 8 10 12
Reacutegression YX Reacutegression XY
36
71
Caracteacuteristiques de la reacutegression yx
Estimations de a et b
)(
)(
)x(x
)y)(yx(x
=a2
i
i
ii
xVar
yxCov
i
xayb
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
Calcul Excel agrave lrsquoaide debull Courbe de tendancebull droitereg
72
Erreur lieacutee agrave la mesure
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
2n
)y(yi
2
ii
yx
s
Ecart Type des reacutesidus
= ET de lrsquoerreur lieacutee agrave la mesure= ET de preacutediction que lrsquoon aurait (mecircmes conditions) si le modegravele eacutetait sans erreur
Mais le modegravele nrsquoest jamais exact
Erreur que lrsquoon aurait mecircme si le modegravele eacutetait parfait agrave cause de lrsquoerreur aleacuteatoire sur xhellipRepreacutesenteacutee par lrsquohellip
Rappel reacutesidu = eacutecart entre valeur preacutedite (sur droite de regression donc) et valeur expeacuterimentale
37
73
Erreur de modeacutelisation
Estimations incertitudes de a et b
baxy ˆ
Y
i
xyss
2
i
a
)x(xEcart type de la pente
i
i
i
xybn
x
ss2
i
2
)x(x
Ecart type de lrsquoordonneacutee agrave lrsquoorigine
Calcul Excel agrave lrsquoaide de la fonction laquo droitereg raquo
temps h tension
0 300E-05
1 440E-05
2 900E-05
3 900E-05
4 100E-04
formule =DROITEREG(YX11)
pente 00000186 00000336 OAO
s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO
R 0870821587 130792E-05 s(resid)
2022369447 3 N DL
34596E-09 5132E-10000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5TP5
Incertitude de preacutediction
74
2
2
11)ˆ(
xx
xX
mstYI
i
xy
bull m= nb eacutechantillons deacutetalonnagebull xi = valeurs deacutetalonnage dont moyenne xbull X = valeur deacutechantillon de preacutedictionbull Syx = eacutecart-type des reacutesidus
x
E Lieacutee agrave la mesure
E Type du modegravele
bull Si modegravele laquo parfait raquo (ou m grand) xystYI )ˆ(
bull Lrsquoincertitude augmente si X srsquoeacuteloigne de (problegraveme de lrsquoextrapolation) x
bull Deacutepend (un peuhellip) de X
I(pred)2=I(lieacutee agrave la mesure)2 + I(modelisation)2
TP6
38
75
Mesure de la qualiteacute dajustement dune reacutegression lineacuteaire
Var(Y) = Var( aX+b) + Var(e
information totale = information modeacuteliseacutee + information reacutesiduelle
Coef De deacutetermination
totale)Var(info
modeacuteliseacutee) Var(infodR
)()(
)(
YX
YXCovRc
Coef de correacutelation
Rd=Rc2
Y
76
Le coef de correacutelation utilisation
0
5
10
15
20
25
30
35
0 2 4 6 8 10 12
R=075
0
5
10
15
20
25
0 2 4 6 8 10 12
R=075
-100
0
100
200
300
400
500
600
0 5 10 15
R=075
Le cœfficient de correacutelation ne sert
agrave quantifier que les relations
lineacuteaires entre X et Yvariables
Il perd toute signification degraves lors
que les reacutesidus
R=08
R=08
R=08
39
77
Reacutegression lineacuteaire examen des reacutesidus
Veacuterification lineacuteariteacute
A corriger
eacuteventuellement avec
reacutegression non lineacuteaire
Deacutetection points
aberrants (outliers)A eacuteliminer apregraves
veacuterification et avec
preacutecautionshellip
Ri=yi-(axi+b)
Reacutesidu = information non
modeacuteliseacutee ideacutealement
erreur aleacuteatoire
residuals
paramegravetres modeacutelisation des donneacutees
ET bruit
v0
v1
a
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
850
900
950
y = 07063x - 39517
-100
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (m
V)
courant (mA)
Valeurs mesureacutees
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (
mV
)
courant (mA)
Graphe des reacutesidus mesure - droiteregr
78
Reacutegression non lineacuteaire reacutegression polynomiale
Ex courbe de
tendance dExcel
temps h
0
1
2
3
4
000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5
Permet de modeacuteliser la plupart des problegravemes peu non lineacuteaireshellip
demo TP7
40
79
Biblio amp liens utilesBouquins
Statistics for analytical Chemistry 3 rd ed JC Miller and JN Miller John Wiley amp Sons 1998
Multivariate Statistical Methods A Primer BFJ Monley Chapman amp Hall 1986
Modeacutelisation et estimation des erreurs de mesure M Neuilly CETAMA Lavoisier Paris 1993
Sites WWW
httpphysicsnistgovcuuUncertaintyindexhtml excellent site simple et succinct mais de reacutefeacuterence
sur la calcul des incertitudes ce document sen est beaucoup inspireacute Un cours plus complet de
statistiques est disponible agrave httpwwwitlnistgovdiv898handbook
httpswwwansesfrfrcontentguide-de-validation-des-mC3A9thodes-danalyses-des-laboratoires-de-rC3A9fC3A9rence Guide de lrsquoANSES Agence nationale de seacutecuriteacute sanitaire
de lrsquoalimentation de lrsquoenvironnement et du travail
httpwwwjybaudotfrStatsstatshtml Encyclopeacutedie des stats de Jean-Yves Baudot agrave la foi preacutecis vulgarisateur et marrant un challenge en statistiques
httpfrfreestatisticsinfoindexphp Collection de liens et surtout de Freewares sur les stats
8062
La norme AFNOR la plus utiliseacutee
httpwwwasqualabcomdocumentsqualitemetrologie19-unites_pifometriquespdf
24
Loi de propagation de la variance et de lrsquoeacutecart-type
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
La variance est additive donc si les variables xi sont indeacutependantes
)()(1
n
i
i
xVx
fyV
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fy
Ecart type V(x)=((x))2
)(2)()(1
1 11
2
2
2
ji
n
i
n
ij ji
i
n
i
xxx
f
x
fx
x
fy Cov
Cas geacuteneacuteral (variables non indeacutependantes)
(non deacutemontreacutehellip)
48
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires (1)
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fyI I
)( 1 ixxfy Fonction quelconque
Incertitude pour une distr normale I(y)=t(y) geacuteneacuteralement t~2
Sibull mecircmes coefs drsquoeacutelargissement tbull variables xi indeacutependantes
)()(1
2
2
i
n
i
xx
fy
25
49
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes cas particuliers (1)
Ex somme ou diffeacuterence
cbay
222 )()()()( cbay
i
ii xay i
ii xay 2))(()( Combinaison lineacuteaire
n
ixn
x1
1
n
xx
nx
n )()(
1)(
1
2
Application fondamentale en instrumentation La moyenne
Demo
Loi des grands nombres
50
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires cas particuliers (2)
Produits et puissances
i
iixAy
i i
ii
x
x
y
y2
)()(
Somme quadratique des eacutecart-types relatifs
x
x)(Proprieacuteteacute inteacuteressante des eacutecart-types relatifs
21
3
d
cbay
2222)(
21)(
3)()()(
d
d
c
c
b
b
a
a
y
y
Exemple
TP3
Idem pour incertitudes I si I=t partout
26
51
Lois de propagation des erreurs aleacuteatoires exemple de la droite drsquoeacutetalonnage
Etalonnage
Deacutebit D=aV
0 le D le 10 Lh
a=08 LhmV plusmn001 (t=2)
Inc Sur V 01 mV (t=2)
Incertitude relative sur deacutebit Den fonction du deacutebit
22)()()(
V
VI
a
aI
D
DI
V = tension fournie par capteurhellip
22)()(
D
VaI
a
aI
Mesure des faibles valeurs peu preacutecise
a = inverse de la sensibiliteacute
Si D 0
Calcul de lrsquoincertitude par simulation de lrsquoerreur aleacuteatoire
ou meacutethode de Monte-Carlo
Ex y=f(x1x2)
x1 et x2 ont des erreurs aleacuteatoires (pas forcement indeacutependantes) caracteacuteriseacutees par
leur eacutecart-type s1 et s2
bullSimuler un certain nombre drsquoexpeacuteriences avec les
mecircmes valeurs x1 et x2 + erreur aleacuteatoire (tirages ne)
yi=f(x1+e1x2+e2) N fois
bullCalcul de lrsquoeacutecart type des yi
bullLes ei sont calculeacutes agrave lrsquoaide drsquoun geacuteneacuterateur de nombre
aleacuteatoires agrave distribution adeacutequate (geacuteneacuteralement normale)
Excel =LOINORMALEINVERSE(ALEA()0eacutecart-type)TP4
27
Calcul de lrsquoincertitude par simulation de lrsquoerreur aleacuteatoire exemple
moyenne des D 50012 Dmax 100000
Deacutebit 50000 E Type des D 00526 a 08000
tension V 62500 Incertitude 01052 I(a) 00100
I(V) 01000
Ndeg tirage (400) erreur sur a erreur sur V valeur a valeur V D=aV
1 -00010 00253 07990 62753 50142
2 00011 -00518 08011 61982 49654
3 00032 00436 08032 62936 50551
4 -00098 00026 07902 62526 49407
5 00021 00867 08021 63367 50824
6 -00064 -00202 07936 62298 49437
7 00017 -00820 08017 61680 49450
8 -00065 00444 07935 62944 49949
9 00009 00757 08009 63257 50663
10 -00049 -00318 07951 62182 49439
11 00130 00109 08130 62609 50901
12 00004 00084 08004 62584 50092
13 -00046 00031 07954 62531 49737
14 -00024 00249 07976 62749 50049
15 00047 00311 08047 62811 50543
16 -00021 -00251 07979 62249 49668
D=aV
0 le D le 10 Lh
a=08 LhmV plusmn001 (t=2)
Inc Sur V = 01 mV (t=2)
Tirage aleacuteatoire normal
+
LOINORMALEINVERSE(ALEA()0eacutecart-type)
Les erreurs srsquoajoutent algeacutebriquement
54
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation
La discreacutetisation intervient lorsque les valeurs finales constituent un ensemble discret
Reacutesolution d du systegraveme drsquoacquisition agrave ne pas confondre avec lrsquoincertitude ou la sensibiliteacute
d
V
0
001
002
003
004
005
006
007
008
009
01
0 005 01
Tension reacuteelle
Ten
sion
aff
icheacutee
Discretization uncertainty
28
55
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (2)
32
d dEcart type de lrsquoerreur due agrave la discreacutetisation
295295
0
95
dIII Incertitude totale
5d 6d 7d
Erreur maxi d2
Approximatif Monte-Carlo parfois preacutefeacuterablehellip
Incertitude agrave 95 due agrave la discreacutetisation 2d 2975095 ddINon
058d 0485d
295 ddI
56
Le laquo Dithering raquo
La preacutesence drsquoerreur aleacuteatoire permet ici drsquoameacuteliorer la laquo preacutecision raquo de la mesure
Pas de laquo bruit raquo pas de moyennage Pas de laquo bruit raquo moyenne 50
signaux
laquo bruit raquo pas de moyennage laquo bruit raquo moyenne 50 signaux
La meacutethode du moyennage peut reacuteduire aussi lrsquoerreur de discreacutetisation (= quantification)
On peut gagner 1 bit de reacutesolution chaque fois que lrsquoon multiplie par 4 la freacutequence drsquoeacutechantillonnagehellip
hellip agrave condition que le signal avant numeacuterisation contienne un bruit (aleacuteatoire et indeacutependant) de valeur efficace supeacuterieure agrave la reacutesolution initialehellip
demo
29
57
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (3) les deacutecimales significatives
Ecriture drsquoun nombre avec un nombre de chiffres fini Erreur de discreacutetisation
Pour une mesure lrsquoeacutecart type de lrsquoerreur introduite doit ecirctre petit devant celui
de lrsquoerreur de mesure initiale
Ex mesure = 4382659872 Eacutecart-type mesure = 055 (soit 0125 en relatif)
Doit-on eacutecrire
4382659872
438265
4383
Mais les systegravemes numeacuteriques peuvent donner beaucoup de chiffres significatifshellip
438
58
Mesure afficheacutee
reacutesolution
ET erreur discreacutetisation
ET erreur finale drsquoerreur due agrave la discreacutetisation
438265987
0000001
29 10-7 055 lt 10-3
43827
001
29 10-3 0550008 10-3
4383
01
0029 05506 014
438
1
029 062 13
440
10
289 294 434
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (4) les deacutecimales significatives exemple
32
d d
22 )()( dxX
Ex mesure = 4382659872 Eacutecart-type mesure = (x)= 055 (soit 0125 en relatif)
bullOn peut choisir la reacutesolution immeacutediatement plus petite que lrsquoeacutecart-type de la mesure
bullLrsquoeacutecart-type (ou lrsquoincertitude) afficheacute ne doit pas avoir plus de 2 chiffres significatifs
30
Capabiliteacute drsquoun systegraveme de mesure
Va deacutependre de la toleacuterance deacutesireacuteehellip
hellip et du coucirct de la mesure
capabiliteacute dun moyen de mesure = rapport entre lincertitude U du moyen de mesure et la toleacuterance IT exigeacutee
Veacuterification de la toleacuterance
Normes franccedilaises
( toleacuterance = exigence du client en terme de caracteacuteristique mesurable)
Toleacuterance capabiliteacute drsquoun systegraveme de mesure
T
Notion de risque-risque laquo client raquo(piegravece agrave rejeter mais retenue)-risque laquo fabricant raquo(piegravece agrave retenir mais rejeteacutee)
Mesure moyenne
T
Piegravece agrave rejeterPiegravece agrave retenir
T=ToleacuteranceU=incertitude
Distrib des erreurs de fabrication
Val reacuteelle
31
Reacuteconciliation des donneacutees
61
D1
I(D1)
D2
I(D2)
D3
I(D3)
bull 3 mesures redondantes (car en theacuteorie D1=D2+D3)bull A cause des incertitudes on nrsquoa jamais exactement D1=D2+D3
bull Comment (in)valider les mesures
Reacuteconciliation des donneacutees
bull La redondance permet aussi de reacuteduire lrsquoincertitude (cf moyenne)
Dernier TPhellip
Limite de deacutetection - LDD (1)Limit of Detection - LOD
6280
Pic de signal ou bruit de fond
LDD plus petite valeur non nulle mesurable pour une certaine probabiliteacute drsquoerreur sur le fait que la valeur vraie est nulle ou non
Seuil de deacutecision deacutetection si (Mesure gt Seuil deacutecision)
2 types drsquoerreur de deacutecision Type 1 deacutetection signal alors qursquoil est absent (faux positif)
Type 2 non deacutetection signal alors qursquoil est preacutesent (faux neacutegatif)
32
Limite de deacutetection (2)
6380
Type 1 deacutetection signal alors qursquoil est absent (faux positif)
Exemple probabiliteacute de 5 drsquoerreur de type 1 ou 2
Type 2 non deacutetection signal alors qursquoil est preacutesent (faux neacutegatif)
165
5
Proba = 5 si seuil de deacutecision = 165
Si mecircme seuil de deacutecision (165) mecircme proba drsquoerreur si signal agrave 2 fois le seuil de deacutecision = 33
2x165
5
Limite de deacutetection (3)
0
0
0
0
0
0
0
0
165 33
Niveau signal
seuil de decision type 1 type 2 gt0
nb erreurs 9 9
bonnes deacutecisions 955
eacutecart type bruit analyseur 10
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
1
signal theacuteorique
signal reacuteel
seuil de deacutecision
erreur type 1
erreur type 2
-20 0 20 40 60 80
Si distr normale et probabiliteacute de 95LDD=33
On prend geacuteneacuteralement LDD=3 = eacutecart-type de la mesure laquo proche de zeacutero raquo
33
Etalonnage drsquoun systegraveme de mesure
Etalonnage laquo Opeacuteration consistant agrave eacutetablir une relation entre les valeurs de la grandeur indiqueacutees par un appareil de mesure et les valeurs correspondantes de la grandeur reacutealiseacutees par des eacutetalons raquo (VIM)
160
165
170
175
180
185
190
195
0 20 40 60 80 100
H
C pF
66
Etalonnage Creacuteation drsquoun modegravele de comportement
ETALONNAGE
Variables Xmesureacutees
(capteurs)
Variables Ymesureacutees(analyseshellip)
modegravele ou
Preacutedicteur F
Creacuteation modegravele
de comportement
Y=F(X)
PREDICTION
Variables Xmesureacutees(capteurs)
Estimation des
variables Y
Modegravele
Calcul de
preacutedictiontensions
Calibration Creation of a behavior model
34
67
Eacutetalonnage - calibrage
Eacutetalonnage (calibration) = calcul complet du modegravele neacutecessite un laquo grand raquo nombre drsquoexpeacuteriences
tension
pression
bull Calibrage ou ajustement de zeacutero (zero adjustment) = laquo recalage raquo du modegravele neacutecessite 1 expeacuterience (laquo zeacutero raquo) voire 2 (laquo zeacutero + gain raquo)
tension
pression
bullCorrection variations de fabrication
bullCorrection deacuterive
bullCorrection changement conditions expeacuterimentales (tempeacuterature tarage drsquoune balancehellip)
bullEtchellip
Si le modegravele nrsquoest pas lineacuteaire le calibrage ne peut corriger que de faibles variationshellip
68
Les moindres carreacutes
Meacutethode des moindres carreacutes (monovariable)
laquo minimal raquo pour lrsquoensemble des mesures en trouvant la
fonction optimale f
On veut modeacuteliser pour toutes les mesures (i) ෝ119962119946 = 119839(119961119946) en fait agrave partir
des expeacuteriences on a 119962119946 = 119839 119961119946 + 119942119946 ougrave 119942119946 = laquo reacutesidu raquo ou erreur
On utilise geacuteneacuteralement la distance Euclidienne
laquo minimale raquo en optimisant les 120637119947
The least Squares
120637119947 repreacutesente ici le ou les paramegravetres de la fonction agrave optimiser f (ex coefs polynocircme)
119942119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947
119946
119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947120784
35
69
La reacutegression lineacuteaire
Monovariable (y=f(x) ) + hypothegravese lineacuteaire (y=ax+b)
2 cas
X
Minimisations des erreurs sur Y
Reacutegression de yx
ybaxy e
Y
Minimisation des erreurs sur X
X
Reacutegression de xy
xbyax e ˆ
1ˆ
a
bx
ay
Attention une reacutegression de yx avec des
erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne une
erreur systeacutematique sur la pentehellip
Y
Linear regression
70
La reacutegression lineacuteaire yx ou xy
Attention une reacutegression de yx avec des erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne
une erreur systeacutematique sur la pentehellip
Diffeacuterence neacutegligeable dans une majoriteacute de cashellip
y = 10036x - 00354
-2
0
2
4
6
8
10
12
-2 0 2 4 6 8 10 12
y = 06669x + 16244
-2
0
2
4
6
8
10
12
-2 0 2 4 6 8 10 12
Reacutegression YX Reacutegression XY
36
71
Caracteacuteristiques de la reacutegression yx
Estimations de a et b
)(
)(
)x(x
)y)(yx(x
=a2
i
i
ii
xVar
yxCov
i
xayb
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
Calcul Excel agrave lrsquoaide debull Courbe de tendancebull droitereg
72
Erreur lieacutee agrave la mesure
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
2n
)y(yi
2
ii
yx
s
Ecart Type des reacutesidus
= ET de lrsquoerreur lieacutee agrave la mesure= ET de preacutediction que lrsquoon aurait (mecircmes conditions) si le modegravele eacutetait sans erreur
Mais le modegravele nrsquoest jamais exact
Erreur que lrsquoon aurait mecircme si le modegravele eacutetait parfait agrave cause de lrsquoerreur aleacuteatoire sur xhellipRepreacutesenteacutee par lrsquohellip
Rappel reacutesidu = eacutecart entre valeur preacutedite (sur droite de regression donc) et valeur expeacuterimentale
37
73
Erreur de modeacutelisation
Estimations incertitudes de a et b
baxy ˆ
Y
i
xyss
2
i
a
)x(xEcart type de la pente
i
i
i
xybn
x
ss2
i
2
)x(x
Ecart type de lrsquoordonneacutee agrave lrsquoorigine
Calcul Excel agrave lrsquoaide de la fonction laquo droitereg raquo
temps h tension
0 300E-05
1 440E-05
2 900E-05
3 900E-05
4 100E-04
formule =DROITEREG(YX11)
pente 00000186 00000336 OAO
s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO
R 0870821587 130792E-05 s(resid)
2022369447 3 N DL
34596E-09 5132E-10000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5TP5
Incertitude de preacutediction
74
2
2
11)ˆ(
xx
xX
mstYI
i
xy
bull m= nb eacutechantillons deacutetalonnagebull xi = valeurs deacutetalonnage dont moyenne xbull X = valeur deacutechantillon de preacutedictionbull Syx = eacutecart-type des reacutesidus
x
E Lieacutee agrave la mesure
E Type du modegravele
bull Si modegravele laquo parfait raquo (ou m grand) xystYI )ˆ(
bull Lrsquoincertitude augmente si X srsquoeacuteloigne de (problegraveme de lrsquoextrapolation) x
bull Deacutepend (un peuhellip) de X
I(pred)2=I(lieacutee agrave la mesure)2 + I(modelisation)2
TP6
38
75
Mesure de la qualiteacute dajustement dune reacutegression lineacuteaire
Var(Y) = Var( aX+b) + Var(e
information totale = information modeacuteliseacutee + information reacutesiduelle
Coef De deacutetermination
totale)Var(info
modeacuteliseacutee) Var(infodR
)()(
)(
YX
YXCovRc
Coef de correacutelation
Rd=Rc2
Y
76
Le coef de correacutelation utilisation
0
5
10
15
20
25
30
35
0 2 4 6 8 10 12
R=075
0
5
10
15
20
25
0 2 4 6 8 10 12
R=075
-100
0
100
200
300
400
500
600
0 5 10 15
R=075
Le cœfficient de correacutelation ne sert
agrave quantifier que les relations
lineacuteaires entre X et Yvariables
Il perd toute signification degraves lors
que les reacutesidus
R=08
R=08
R=08
39
77
Reacutegression lineacuteaire examen des reacutesidus
Veacuterification lineacuteariteacute
A corriger
eacuteventuellement avec
reacutegression non lineacuteaire
Deacutetection points
aberrants (outliers)A eacuteliminer apregraves
veacuterification et avec
preacutecautionshellip
Ri=yi-(axi+b)
Reacutesidu = information non
modeacuteliseacutee ideacutealement
erreur aleacuteatoire
residuals
paramegravetres modeacutelisation des donneacutees
ET bruit
v0
v1
a
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
850
900
950
y = 07063x - 39517
-100
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (m
V)
courant (mA)
Valeurs mesureacutees
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (
mV
)
courant (mA)
Graphe des reacutesidus mesure - droiteregr
78
Reacutegression non lineacuteaire reacutegression polynomiale
Ex courbe de
tendance dExcel
temps h
0
1
2
3
4
000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5
Permet de modeacuteliser la plupart des problegravemes peu non lineacuteaireshellip
demo TP7
40
79
Biblio amp liens utilesBouquins
Statistics for analytical Chemistry 3 rd ed JC Miller and JN Miller John Wiley amp Sons 1998
Multivariate Statistical Methods A Primer BFJ Monley Chapman amp Hall 1986
Modeacutelisation et estimation des erreurs de mesure M Neuilly CETAMA Lavoisier Paris 1993
Sites WWW
httpphysicsnistgovcuuUncertaintyindexhtml excellent site simple et succinct mais de reacutefeacuterence
sur la calcul des incertitudes ce document sen est beaucoup inspireacute Un cours plus complet de
statistiques est disponible agrave httpwwwitlnistgovdiv898handbook
httpswwwansesfrfrcontentguide-de-validation-des-mC3A9thodes-danalyses-des-laboratoires-de-rC3A9fC3A9rence Guide de lrsquoANSES Agence nationale de seacutecuriteacute sanitaire
de lrsquoalimentation de lrsquoenvironnement et du travail
httpwwwjybaudotfrStatsstatshtml Encyclopeacutedie des stats de Jean-Yves Baudot agrave la foi preacutecis vulgarisateur et marrant un challenge en statistiques
httpfrfreestatisticsinfoindexphp Collection de liens et surtout de Freewares sur les stats
8062
La norme AFNOR la plus utiliseacutee
httpwwwasqualabcomdocumentsqualitemetrologie19-unites_pifometriquespdf
25
49
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes cas particuliers (1)
Ex somme ou diffeacuterence
cbay
222 )()()()( cbay
i
ii xay i
ii xay 2))(()( Combinaison lineacuteaire
n
ixn
x1
1
n
xx
nx
n )()(
1)(
1
2
Application fondamentale en instrumentation La moyenne
Demo
Loi des grands nombres
50
Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires cas particuliers (2)
Produits et puissances
i
iixAy
i i
ii
x
x
y
y2
)()(
Somme quadratique des eacutecart-types relatifs
x
x)(Proprieacuteteacute inteacuteressante des eacutecart-types relatifs
21
3
d
cbay
2222)(
21)(
3)()()(
d
d
c
c
b
b
a
a
y
y
Exemple
TP3
Idem pour incertitudes I si I=t partout
26
51
Lois de propagation des erreurs aleacuteatoires exemple de la droite drsquoeacutetalonnage
Etalonnage
Deacutebit D=aV
0 le D le 10 Lh
a=08 LhmV plusmn001 (t=2)
Inc Sur V 01 mV (t=2)
Incertitude relative sur deacutebit Den fonction du deacutebit
22)()()(
V
VI
a
aI
D
DI
V = tension fournie par capteurhellip
22)()(
D
VaI
a
aI
Mesure des faibles valeurs peu preacutecise
a = inverse de la sensibiliteacute
Si D 0
Calcul de lrsquoincertitude par simulation de lrsquoerreur aleacuteatoire
ou meacutethode de Monte-Carlo
Ex y=f(x1x2)
x1 et x2 ont des erreurs aleacuteatoires (pas forcement indeacutependantes) caracteacuteriseacutees par
leur eacutecart-type s1 et s2
bullSimuler un certain nombre drsquoexpeacuteriences avec les
mecircmes valeurs x1 et x2 + erreur aleacuteatoire (tirages ne)
yi=f(x1+e1x2+e2) N fois
bullCalcul de lrsquoeacutecart type des yi
bullLes ei sont calculeacutes agrave lrsquoaide drsquoun geacuteneacuterateur de nombre
aleacuteatoires agrave distribution adeacutequate (geacuteneacuteralement normale)
Excel =LOINORMALEINVERSE(ALEA()0eacutecart-type)TP4
27
Calcul de lrsquoincertitude par simulation de lrsquoerreur aleacuteatoire exemple
moyenne des D 50012 Dmax 100000
Deacutebit 50000 E Type des D 00526 a 08000
tension V 62500 Incertitude 01052 I(a) 00100
I(V) 01000
Ndeg tirage (400) erreur sur a erreur sur V valeur a valeur V D=aV
1 -00010 00253 07990 62753 50142
2 00011 -00518 08011 61982 49654
3 00032 00436 08032 62936 50551
4 -00098 00026 07902 62526 49407
5 00021 00867 08021 63367 50824
6 -00064 -00202 07936 62298 49437
7 00017 -00820 08017 61680 49450
8 -00065 00444 07935 62944 49949
9 00009 00757 08009 63257 50663
10 -00049 -00318 07951 62182 49439
11 00130 00109 08130 62609 50901
12 00004 00084 08004 62584 50092
13 -00046 00031 07954 62531 49737
14 -00024 00249 07976 62749 50049
15 00047 00311 08047 62811 50543
16 -00021 -00251 07979 62249 49668
D=aV
0 le D le 10 Lh
a=08 LhmV plusmn001 (t=2)
Inc Sur V = 01 mV (t=2)
Tirage aleacuteatoire normal
+
LOINORMALEINVERSE(ALEA()0eacutecart-type)
Les erreurs srsquoajoutent algeacutebriquement
54
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation
La discreacutetisation intervient lorsque les valeurs finales constituent un ensemble discret
Reacutesolution d du systegraveme drsquoacquisition agrave ne pas confondre avec lrsquoincertitude ou la sensibiliteacute
d
V
0
001
002
003
004
005
006
007
008
009
01
0 005 01
Tension reacuteelle
Ten
sion
aff
icheacutee
Discretization uncertainty
28
55
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (2)
32
d dEcart type de lrsquoerreur due agrave la discreacutetisation
295295
0
95
dIII Incertitude totale
5d 6d 7d
Erreur maxi d2
Approximatif Monte-Carlo parfois preacutefeacuterablehellip
Incertitude agrave 95 due agrave la discreacutetisation 2d 2975095 ddINon
058d 0485d
295 ddI
56
Le laquo Dithering raquo
La preacutesence drsquoerreur aleacuteatoire permet ici drsquoameacuteliorer la laquo preacutecision raquo de la mesure
Pas de laquo bruit raquo pas de moyennage Pas de laquo bruit raquo moyenne 50
signaux
laquo bruit raquo pas de moyennage laquo bruit raquo moyenne 50 signaux
La meacutethode du moyennage peut reacuteduire aussi lrsquoerreur de discreacutetisation (= quantification)
On peut gagner 1 bit de reacutesolution chaque fois que lrsquoon multiplie par 4 la freacutequence drsquoeacutechantillonnagehellip
hellip agrave condition que le signal avant numeacuterisation contienne un bruit (aleacuteatoire et indeacutependant) de valeur efficace supeacuterieure agrave la reacutesolution initialehellip
demo
29
57
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (3) les deacutecimales significatives
Ecriture drsquoun nombre avec un nombre de chiffres fini Erreur de discreacutetisation
Pour une mesure lrsquoeacutecart type de lrsquoerreur introduite doit ecirctre petit devant celui
de lrsquoerreur de mesure initiale
Ex mesure = 4382659872 Eacutecart-type mesure = 055 (soit 0125 en relatif)
Doit-on eacutecrire
4382659872
438265
4383
Mais les systegravemes numeacuteriques peuvent donner beaucoup de chiffres significatifshellip
438
58
Mesure afficheacutee
reacutesolution
ET erreur discreacutetisation
ET erreur finale drsquoerreur due agrave la discreacutetisation
438265987
0000001
29 10-7 055 lt 10-3
43827
001
29 10-3 0550008 10-3
4383
01
0029 05506 014
438
1
029 062 13
440
10
289 294 434
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (4) les deacutecimales significatives exemple
32
d d
22 )()( dxX
Ex mesure = 4382659872 Eacutecart-type mesure = (x)= 055 (soit 0125 en relatif)
bullOn peut choisir la reacutesolution immeacutediatement plus petite que lrsquoeacutecart-type de la mesure
bullLrsquoeacutecart-type (ou lrsquoincertitude) afficheacute ne doit pas avoir plus de 2 chiffres significatifs
30
Capabiliteacute drsquoun systegraveme de mesure
Va deacutependre de la toleacuterance deacutesireacuteehellip
hellip et du coucirct de la mesure
capabiliteacute dun moyen de mesure = rapport entre lincertitude U du moyen de mesure et la toleacuterance IT exigeacutee
Veacuterification de la toleacuterance
Normes franccedilaises
( toleacuterance = exigence du client en terme de caracteacuteristique mesurable)
Toleacuterance capabiliteacute drsquoun systegraveme de mesure
T
Notion de risque-risque laquo client raquo(piegravece agrave rejeter mais retenue)-risque laquo fabricant raquo(piegravece agrave retenir mais rejeteacutee)
Mesure moyenne
T
Piegravece agrave rejeterPiegravece agrave retenir
T=ToleacuteranceU=incertitude
Distrib des erreurs de fabrication
Val reacuteelle
31
Reacuteconciliation des donneacutees
61
D1
I(D1)
D2
I(D2)
D3
I(D3)
bull 3 mesures redondantes (car en theacuteorie D1=D2+D3)bull A cause des incertitudes on nrsquoa jamais exactement D1=D2+D3
bull Comment (in)valider les mesures
Reacuteconciliation des donneacutees
bull La redondance permet aussi de reacuteduire lrsquoincertitude (cf moyenne)
Dernier TPhellip
Limite de deacutetection - LDD (1)Limit of Detection - LOD
6280
Pic de signal ou bruit de fond
LDD plus petite valeur non nulle mesurable pour une certaine probabiliteacute drsquoerreur sur le fait que la valeur vraie est nulle ou non
Seuil de deacutecision deacutetection si (Mesure gt Seuil deacutecision)
2 types drsquoerreur de deacutecision Type 1 deacutetection signal alors qursquoil est absent (faux positif)
Type 2 non deacutetection signal alors qursquoil est preacutesent (faux neacutegatif)
32
Limite de deacutetection (2)
6380
Type 1 deacutetection signal alors qursquoil est absent (faux positif)
Exemple probabiliteacute de 5 drsquoerreur de type 1 ou 2
Type 2 non deacutetection signal alors qursquoil est preacutesent (faux neacutegatif)
165
5
Proba = 5 si seuil de deacutecision = 165
Si mecircme seuil de deacutecision (165) mecircme proba drsquoerreur si signal agrave 2 fois le seuil de deacutecision = 33
2x165
5
Limite de deacutetection (3)
0
0
0
0
0
0
0
0
165 33
Niveau signal
seuil de decision type 1 type 2 gt0
nb erreurs 9 9
bonnes deacutecisions 955
eacutecart type bruit analyseur 10
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
1
signal theacuteorique
signal reacuteel
seuil de deacutecision
erreur type 1
erreur type 2
-20 0 20 40 60 80
Si distr normale et probabiliteacute de 95LDD=33
On prend geacuteneacuteralement LDD=3 = eacutecart-type de la mesure laquo proche de zeacutero raquo
33
Etalonnage drsquoun systegraveme de mesure
Etalonnage laquo Opeacuteration consistant agrave eacutetablir une relation entre les valeurs de la grandeur indiqueacutees par un appareil de mesure et les valeurs correspondantes de la grandeur reacutealiseacutees par des eacutetalons raquo (VIM)
160
165
170
175
180
185
190
195
0 20 40 60 80 100
H
C pF
66
Etalonnage Creacuteation drsquoun modegravele de comportement
ETALONNAGE
Variables Xmesureacutees
(capteurs)
Variables Ymesureacutees(analyseshellip)
modegravele ou
Preacutedicteur F
Creacuteation modegravele
de comportement
Y=F(X)
PREDICTION
Variables Xmesureacutees(capteurs)
Estimation des
variables Y
Modegravele
Calcul de
preacutedictiontensions
Calibration Creation of a behavior model
34
67
Eacutetalonnage - calibrage
Eacutetalonnage (calibration) = calcul complet du modegravele neacutecessite un laquo grand raquo nombre drsquoexpeacuteriences
tension
pression
bull Calibrage ou ajustement de zeacutero (zero adjustment) = laquo recalage raquo du modegravele neacutecessite 1 expeacuterience (laquo zeacutero raquo) voire 2 (laquo zeacutero + gain raquo)
tension
pression
bullCorrection variations de fabrication
bullCorrection deacuterive
bullCorrection changement conditions expeacuterimentales (tempeacuterature tarage drsquoune balancehellip)
bullEtchellip
Si le modegravele nrsquoest pas lineacuteaire le calibrage ne peut corriger que de faibles variationshellip
68
Les moindres carreacutes
Meacutethode des moindres carreacutes (monovariable)
laquo minimal raquo pour lrsquoensemble des mesures en trouvant la
fonction optimale f
On veut modeacuteliser pour toutes les mesures (i) ෝ119962119946 = 119839(119961119946) en fait agrave partir
des expeacuteriences on a 119962119946 = 119839 119961119946 + 119942119946 ougrave 119942119946 = laquo reacutesidu raquo ou erreur
On utilise geacuteneacuteralement la distance Euclidienne
laquo minimale raquo en optimisant les 120637119947
The least Squares
120637119947 repreacutesente ici le ou les paramegravetres de la fonction agrave optimiser f (ex coefs polynocircme)
119942119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947
119946
119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947120784
35
69
La reacutegression lineacuteaire
Monovariable (y=f(x) ) + hypothegravese lineacuteaire (y=ax+b)
2 cas
X
Minimisations des erreurs sur Y
Reacutegression de yx
ybaxy e
Y
Minimisation des erreurs sur X
X
Reacutegression de xy
xbyax e ˆ
1ˆ
a
bx
ay
Attention une reacutegression de yx avec des
erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne une
erreur systeacutematique sur la pentehellip
Y
Linear regression
70
La reacutegression lineacuteaire yx ou xy
Attention une reacutegression de yx avec des erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne
une erreur systeacutematique sur la pentehellip
Diffeacuterence neacutegligeable dans une majoriteacute de cashellip
y = 10036x - 00354
-2
0
2
4
6
8
10
12
-2 0 2 4 6 8 10 12
y = 06669x + 16244
-2
0
2
4
6
8
10
12
-2 0 2 4 6 8 10 12
Reacutegression YX Reacutegression XY
36
71
Caracteacuteristiques de la reacutegression yx
Estimations de a et b
)(
)(
)x(x
)y)(yx(x
=a2
i
i
ii
xVar
yxCov
i
xayb
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
Calcul Excel agrave lrsquoaide debull Courbe de tendancebull droitereg
72
Erreur lieacutee agrave la mesure
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
2n
)y(yi
2
ii
yx
s
Ecart Type des reacutesidus
= ET de lrsquoerreur lieacutee agrave la mesure= ET de preacutediction que lrsquoon aurait (mecircmes conditions) si le modegravele eacutetait sans erreur
Mais le modegravele nrsquoest jamais exact
Erreur que lrsquoon aurait mecircme si le modegravele eacutetait parfait agrave cause de lrsquoerreur aleacuteatoire sur xhellipRepreacutesenteacutee par lrsquohellip
Rappel reacutesidu = eacutecart entre valeur preacutedite (sur droite de regression donc) et valeur expeacuterimentale
37
73
Erreur de modeacutelisation
Estimations incertitudes de a et b
baxy ˆ
Y
i
xyss
2
i
a
)x(xEcart type de la pente
i
i
i
xybn
x
ss2
i
2
)x(x
Ecart type de lrsquoordonneacutee agrave lrsquoorigine
Calcul Excel agrave lrsquoaide de la fonction laquo droitereg raquo
temps h tension
0 300E-05
1 440E-05
2 900E-05
3 900E-05
4 100E-04
formule =DROITEREG(YX11)
pente 00000186 00000336 OAO
s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO
R 0870821587 130792E-05 s(resid)
2022369447 3 N DL
34596E-09 5132E-10000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5TP5
Incertitude de preacutediction
74
2
2
11)ˆ(
xx
xX
mstYI
i
xy
bull m= nb eacutechantillons deacutetalonnagebull xi = valeurs deacutetalonnage dont moyenne xbull X = valeur deacutechantillon de preacutedictionbull Syx = eacutecart-type des reacutesidus
x
E Lieacutee agrave la mesure
E Type du modegravele
bull Si modegravele laquo parfait raquo (ou m grand) xystYI )ˆ(
bull Lrsquoincertitude augmente si X srsquoeacuteloigne de (problegraveme de lrsquoextrapolation) x
bull Deacutepend (un peuhellip) de X
I(pred)2=I(lieacutee agrave la mesure)2 + I(modelisation)2
TP6
38
75
Mesure de la qualiteacute dajustement dune reacutegression lineacuteaire
Var(Y) = Var( aX+b) + Var(e
information totale = information modeacuteliseacutee + information reacutesiduelle
Coef De deacutetermination
totale)Var(info
modeacuteliseacutee) Var(infodR
)()(
)(
YX
YXCovRc
Coef de correacutelation
Rd=Rc2
Y
76
Le coef de correacutelation utilisation
0
5
10
15
20
25
30
35
0 2 4 6 8 10 12
R=075
0
5
10
15
20
25
0 2 4 6 8 10 12
R=075
-100
0
100
200
300
400
500
600
0 5 10 15
R=075
Le cœfficient de correacutelation ne sert
agrave quantifier que les relations
lineacuteaires entre X et Yvariables
Il perd toute signification degraves lors
que les reacutesidus
R=08
R=08
R=08
39
77
Reacutegression lineacuteaire examen des reacutesidus
Veacuterification lineacuteariteacute
A corriger
eacuteventuellement avec
reacutegression non lineacuteaire
Deacutetection points
aberrants (outliers)A eacuteliminer apregraves
veacuterification et avec
preacutecautionshellip
Ri=yi-(axi+b)
Reacutesidu = information non
modeacuteliseacutee ideacutealement
erreur aleacuteatoire
residuals
paramegravetres modeacutelisation des donneacutees
ET bruit
v0
v1
a
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
850
900
950
y = 07063x - 39517
-100
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (m
V)
courant (mA)
Valeurs mesureacutees
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (
mV
)
courant (mA)
Graphe des reacutesidus mesure - droiteregr
78
Reacutegression non lineacuteaire reacutegression polynomiale
Ex courbe de
tendance dExcel
temps h
0
1
2
3
4
000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5
Permet de modeacuteliser la plupart des problegravemes peu non lineacuteaireshellip
demo TP7
40
79
Biblio amp liens utilesBouquins
Statistics for analytical Chemistry 3 rd ed JC Miller and JN Miller John Wiley amp Sons 1998
Multivariate Statistical Methods A Primer BFJ Monley Chapman amp Hall 1986
Modeacutelisation et estimation des erreurs de mesure M Neuilly CETAMA Lavoisier Paris 1993
Sites WWW
httpphysicsnistgovcuuUncertaintyindexhtml excellent site simple et succinct mais de reacutefeacuterence
sur la calcul des incertitudes ce document sen est beaucoup inspireacute Un cours plus complet de
statistiques est disponible agrave httpwwwitlnistgovdiv898handbook
httpswwwansesfrfrcontentguide-de-validation-des-mC3A9thodes-danalyses-des-laboratoires-de-rC3A9fC3A9rence Guide de lrsquoANSES Agence nationale de seacutecuriteacute sanitaire
de lrsquoalimentation de lrsquoenvironnement et du travail
httpwwwjybaudotfrStatsstatshtml Encyclopeacutedie des stats de Jean-Yves Baudot agrave la foi preacutecis vulgarisateur et marrant un challenge en statistiques
httpfrfreestatisticsinfoindexphp Collection de liens et surtout de Freewares sur les stats
8062
La norme AFNOR la plus utiliseacutee
httpwwwasqualabcomdocumentsqualitemetrologie19-unites_pifometriquespdf
26
51
Lois de propagation des erreurs aleacuteatoires exemple de la droite drsquoeacutetalonnage
Etalonnage
Deacutebit D=aV
0 le D le 10 Lh
a=08 LhmV plusmn001 (t=2)
Inc Sur V 01 mV (t=2)
Incertitude relative sur deacutebit Den fonction du deacutebit
22)()()(
V
VI
a
aI
D
DI
V = tension fournie par capteurhellip
22)()(
D
VaI
a
aI
Mesure des faibles valeurs peu preacutecise
a = inverse de la sensibiliteacute
Si D 0
Calcul de lrsquoincertitude par simulation de lrsquoerreur aleacuteatoire
ou meacutethode de Monte-Carlo
Ex y=f(x1x2)
x1 et x2 ont des erreurs aleacuteatoires (pas forcement indeacutependantes) caracteacuteriseacutees par
leur eacutecart-type s1 et s2
bullSimuler un certain nombre drsquoexpeacuteriences avec les
mecircmes valeurs x1 et x2 + erreur aleacuteatoire (tirages ne)
yi=f(x1+e1x2+e2) N fois
bullCalcul de lrsquoeacutecart type des yi
bullLes ei sont calculeacutes agrave lrsquoaide drsquoun geacuteneacuterateur de nombre
aleacuteatoires agrave distribution adeacutequate (geacuteneacuteralement normale)
Excel =LOINORMALEINVERSE(ALEA()0eacutecart-type)TP4
27
Calcul de lrsquoincertitude par simulation de lrsquoerreur aleacuteatoire exemple
moyenne des D 50012 Dmax 100000
Deacutebit 50000 E Type des D 00526 a 08000
tension V 62500 Incertitude 01052 I(a) 00100
I(V) 01000
Ndeg tirage (400) erreur sur a erreur sur V valeur a valeur V D=aV
1 -00010 00253 07990 62753 50142
2 00011 -00518 08011 61982 49654
3 00032 00436 08032 62936 50551
4 -00098 00026 07902 62526 49407
5 00021 00867 08021 63367 50824
6 -00064 -00202 07936 62298 49437
7 00017 -00820 08017 61680 49450
8 -00065 00444 07935 62944 49949
9 00009 00757 08009 63257 50663
10 -00049 -00318 07951 62182 49439
11 00130 00109 08130 62609 50901
12 00004 00084 08004 62584 50092
13 -00046 00031 07954 62531 49737
14 -00024 00249 07976 62749 50049
15 00047 00311 08047 62811 50543
16 -00021 -00251 07979 62249 49668
D=aV
0 le D le 10 Lh
a=08 LhmV plusmn001 (t=2)
Inc Sur V = 01 mV (t=2)
Tirage aleacuteatoire normal
+
LOINORMALEINVERSE(ALEA()0eacutecart-type)
Les erreurs srsquoajoutent algeacutebriquement
54
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation
La discreacutetisation intervient lorsque les valeurs finales constituent un ensemble discret
Reacutesolution d du systegraveme drsquoacquisition agrave ne pas confondre avec lrsquoincertitude ou la sensibiliteacute
d
V
0
001
002
003
004
005
006
007
008
009
01
0 005 01
Tension reacuteelle
Ten
sion
aff
icheacutee
Discretization uncertainty
28
55
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (2)
32
d dEcart type de lrsquoerreur due agrave la discreacutetisation
295295
0
95
dIII Incertitude totale
5d 6d 7d
Erreur maxi d2
Approximatif Monte-Carlo parfois preacutefeacuterablehellip
Incertitude agrave 95 due agrave la discreacutetisation 2d 2975095 ddINon
058d 0485d
295 ddI
56
Le laquo Dithering raquo
La preacutesence drsquoerreur aleacuteatoire permet ici drsquoameacuteliorer la laquo preacutecision raquo de la mesure
Pas de laquo bruit raquo pas de moyennage Pas de laquo bruit raquo moyenne 50
signaux
laquo bruit raquo pas de moyennage laquo bruit raquo moyenne 50 signaux
La meacutethode du moyennage peut reacuteduire aussi lrsquoerreur de discreacutetisation (= quantification)
On peut gagner 1 bit de reacutesolution chaque fois que lrsquoon multiplie par 4 la freacutequence drsquoeacutechantillonnagehellip
hellip agrave condition que le signal avant numeacuterisation contienne un bruit (aleacuteatoire et indeacutependant) de valeur efficace supeacuterieure agrave la reacutesolution initialehellip
demo
29
57
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (3) les deacutecimales significatives
Ecriture drsquoun nombre avec un nombre de chiffres fini Erreur de discreacutetisation
Pour une mesure lrsquoeacutecart type de lrsquoerreur introduite doit ecirctre petit devant celui
de lrsquoerreur de mesure initiale
Ex mesure = 4382659872 Eacutecart-type mesure = 055 (soit 0125 en relatif)
Doit-on eacutecrire
4382659872
438265
4383
Mais les systegravemes numeacuteriques peuvent donner beaucoup de chiffres significatifshellip
438
58
Mesure afficheacutee
reacutesolution
ET erreur discreacutetisation
ET erreur finale drsquoerreur due agrave la discreacutetisation
438265987
0000001
29 10-7 055 lt 10-3
43827
001
29 10-3 0550008 10-3
4383
01
0029 05506 014
438
1
029 062 13
440
10
289 294 434
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (4) les deacutecimales significatives exemple
32
d d
22 )()( dxX
Ex mesure = 4382659872 Eacutecart-type mesure = (x)= 055 (soit 0125 en relatif)
bullOn peut choisir la reacutesolution immeacutediatement plus petite que lrsquoeacutecart-type de la mesure
bullLrsquoeacutecart-type (ou lrsquoincertitude) afficheacute ne doit pas avoir plus de 2 chiffres significatifs
30
Capabiliteacute drsquoun systegraveme de mesure
Va deacutependre de la toleacuterance deacutesireacuteehellip
hellip et du coucirct de la mesure
capabiliteacute dun moyen de mesure = rapport entre lincertitude U du moyen de mesure et la toleacuterance IT exigeacutee
Veacuterification de la toleacuterance
Normes franccedilaises
( toleacuterance = exigence du client en terme de caracteacuteristique mesurable)
Toleacuterance capabiliteacute drsquoun systegraveme de mesure
T
Notion de risque-risque laquo client raquo(piegravece agrave rejeter mais retenue)-risque laquo fabricant raquo(piegravece agrave retenir mais rejeteacutee)
Mesure moyenne
T
Piegravece agrave rejeterPiegravece agrave retenir
T=ToleacuteranceU=incertitude
Distrib des erreurs de fabrication
Val reacuteelle
31
Reacuteconciliation des donneacutees
61
D1
I(D1)
D2
I(D2)
D3
I(D3)
bull 3 mesures redondantes (car en theacuteorie D1=D2+D3)bull A cause des incertitudes on nrsquoa jamais exactement D1=D2+D3
bull Comment (in)valider les mesures
Reacuteconciliation des donneacutees
bull La redondance permet aussi de reacuteduire lrsquoincertitude (cf moyenne)
Dernier TPhellip
Limite de deacutetection - LDD (1)Limit of Detection - LOD
6280
Pic de signal ou bruit de fond
LDD plus petite valeur non nulle mesurable pour une certaine probabiliteacute drsquoerreur sur le fait que la valeur vraie est nulle ou non
Seuil de deacutecision deacutetection si (Mesure gt Seuil deacutecision)
2 types drsquoerreur de deacutecision Type 1 deacutetection signal alors qursquoil est absent (faux positif)
Type 2 non deacutetection signal alors qursquoil est preacutesent (faux neacutegatif)
32
Limite de deacutetection (2)
6380
Type 1 deacutetection signal alors qursquoil est absent (faux positif)
Exemple probabiliteacute de 5 drsquoerreur de type 1 ou 2
Type 2 non deacutetection signal alors qursquoil est preacutesent (faux neacutegatif)
165
5
Proba = 5 si seuil de deacutecision = 165
Si mecircme seuil de deacutecision (165) mecircme proba drsquoerreur si signal agrave 2 fois le seuil de deacutecision = 33
2x165
5
Limite de deacutetection (3)
0
0
0
0
0
0
0
0
165 33
Niveau signal
seuil de decision type 1 type 2 gt0
nb erreurs 9 9
bonnes deacutecisions 955
eacutecart type bruit analyseur 10
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
1
signal theacuteorique
signal reacuteel
seuil de deacutecision
erreur type 1
erreur type 2
-20 0 20 40 60 80
Si distr normale et probabiliteacute de 95LDD=33
On prend geacuteneacuteralement LDD=3 = eacutecart-type de la mesure laquo proche de zeacutero raquo
33
Etalonnage drsquoun systegraveme de mesure
Etalonnage laquo Opeacuteration consistant agrave eacutetablir une relation entre les valeurs de la grandeur indiqueacutees par un appareil de mesure et les valeurs correspondantes de la grandeur reacutealiseacutees par des eacutetalons raquo (VIM)
160
165
170
175
180
185
190
195
0 20 40 60 80 100
H
C pF
66
Etalonnage Creacuteation drsquoun modegravele de comportement
ETALONNAGE
Variables Xmesureacutees
(capteurs)
Variables Ymesureacutees(analyseshellip)
modegravele ou
Preacutedicteur F
Creacuteation modegravele
de comportement
Y=F(X)
PREDICTION
Variables Xmesureacutees(capteurs)
Estimation des
variables Y
Modegravele
Calcul de
preacutedictiontensions
Calibration Creation of a behavior model
34
67
Eacutetalonnage - calibrage
Eacutetalonnage (calibration) = calcul complet du modegravele neacutecessite un laquo grand raquo nombre drsquoexpeacuteriences
tension
pression
bull Calibrage ou ajustement de zeacutero (zero adjustment) = laquo recalage raquo du modegravele neacutecessite 1 expeacuterience (laquo zeacutero raquo) voire 2 (laquo zeacutero + gain raquo)
tension
pression
bullCorrection variations de fabrication
bullCorrection deacuterive
bullCorrection changement conditions expeacuterimentales (tempeacuterature tarage drsquoune balancehellip)
bullEtchellip
Si le modegravele nrsquoest pas lineacuteaire le calibrage ne peut corriger que de faibles variationshellip
68
Les moindres carreacutes
Meacutethode des moindres carreacutes (monovariable)
laquo minimal raquo pour lrsquoensemble des mesures en trouvant la
fonction optimale f
On veut modeacuteliser pour toutes les mesures (i) ෝ119962119946 = 119839(119961119946) en fait agrave partir
des expeacuteriences on a 119962119946 = 119839 119961119946 + 119942119946 ougrave 119942119946 = laquo reacutesidu raquo ou erreur
On utilise geacuteneacuteralement la distance Euclidienne
laquo minimale raquo en optimisant les 120637119947
The least Squares
120637119947 repreacutesente ici le ou les paramegravetres de la fonction agrave optimiser f (ex coefs polynocircme)
119942119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947
119946
119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947120784
35
69
La reacutegression lineacuteaire
Monovariable (y=f(x) ) + hypothegravese lineacuteaire (y=ax+b)
2 cas
X
Minimisations des erreurs sur Y
Reacutegression de yx
ybaxy e
Y
Minimisation des erreurs sur X
X
Reacutegression de xy
xbyax e ˆ
1ˆ
a
bx
ay
Attention une reacutegression de yx avec des
erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne une
erreur systeacutematique sur la pentehellip
Y
Linear regression
70
La reacutegression lineacuteaire yx ou xy
Attention une reacutegression de yx avec des erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne
une erreur systeacutematique sur la pentehellip
Diffeacuterence neacutegligeable dans une majoriteacute de cashellip
y = 10036x - 00354
-2
0
2
4
6
8
10
12
-2 0 2 4 6 8 10 12
y = 06669x + 16244
-2
0
2
4
6
8
10
12
-2 0 2 4 6 8 10 12
Reacutegression YX Reacutegression XY
36
71
Caracteacuteristiques de la reacutegression yx
Estimations de a et b
)(
)(
)x(x
)y)(yx(x
=a2
i
i
ii
xVar
yxCov
i
xayb
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
Calcul Excel agrave lrsquoaide debull Courbe de tendancebull droitereg
72
Erreur lieacutee agrave la mesure
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
2n
)y(yi
2
ii
yx
s
Ecart Type des reacutesidus
= ET de lrsquoerreur lieacutee agrave la mesure= ET de preacutediction que lrsquoon aurait (mecircmes conditions) si le modegravele eacutetait sans erreur
Mais le modegravele nrsquoest jamais exact
Erreur que lrsquoon aurait mecircme si le modegravele eacutetait parfait agrave cause de lrsquoerreur aleacuteatoire sur xhellipRepreacutesenteacutee par lrsquohellip
Rappel reacutesidu = eacutecart entre valeur preacutedite (sur droite de regression donc) et valeur expeacuterimentale
37
73
Erreur de modeacutelisation
Estimations incertitudes de a et b
baxy ˆ
Y
i
xyss
2
i
a
)x(xEcart type de la pente
i
i
i
xybn
x
ss2
i
2
)x(x
Ecart type de lrsquoordonneacutee agrave lrsquoorigine
Calcul Excel agrave lrsquoaide de la fonction laquo droitereg raquo
temps h tension
0 300E-05
1 440E-05
2 900E-05
3 900E-05
4 100E-04
formule =DROITEREG(YX11)
pente 00000186 00000336 OAO
s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO
R 0870821587 130792E-05 s(resid)
2022369447 3 N DL
34596E-09 5132E-10000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5TP5
Incertitude de preacutediction
74
2
2
11)ˆ(
xx
xX
mstYI
i
xy
bull m= nb eacutechantillons deacutetalonnagebull xi = valeurs deacutetalonnage dont moyenne xbull X = valeur deacutechantillon de preacutedictionbull Syx = eacutecart-type des reacutesidus
x
E Lieacutee agrave la mesure
E Type du modegravele
bull Si modegravele laquo parfait raquo (ou m grand) xystYI )ˆ(
bull Lrsquoincertitude augmente si X srsquoeacuteloigne de (problegraveme de lrsquoextrapolation) x
bull Deacutepend (un peuhellip) de X
I(pred)2=I(lieacutee agrave la mesure)2 + I(modelisation)2
TP6
38
75
Mesure de la qualiteacute dajustement dune reacutegression lineacuteaire
Var(Y) = Var( aX+b) + Var(e
information totale = information modeacuteliseacutee + information reacutesiduelle
Coef De deacutetermination
totale)Var(info
modeacuteliseacutee) Var(infodR
)()(
)(
YX
YXCovRc
Coef de correacutelation
Rd=Rc2
Y
76
Le coef de correacutelation utilisation
0
5
10
15
20
25
30
35
0 2 4 6 8 10 12
R=075
0
5
10
15
20
25
0 2 4 6 8 10 12
R=075
-100
0
100
200
300
400
500
600
0 5 10 15
R=075
Le cœfficient de correacutelation ne sert
agrave quantifier que les relations
lineacuteaires entre X et Yvariables
Il perd toute signification degraves lors
que les reacutesidus
R=08
R=08
R=08
39
77
Reacutegression lineacuteaire examen des reacutesidus
Veacuterification lineacuteariteacute
A corriger
eacuteventuellement avec
reacutegression non lineacuteaire
Deacutetection points
aberrants (outliers)A eacuteliminer apregraves
veacuterification et avec
preacutecautionshellip
Ri=yi-(axi+b)
Reacutesidu = information non
modeacuteliseacutee ideacutealement
erreur aleacuteatoire
residuals
paramegravetres modeacutelisation des donneacutees
ET bruit
v0
v1
a
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
850
900
950
y = 07063x - 39517
-100
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (m
V)
courant (mA)
Valeurs mesureacutees
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (
mV
)
courant (mA)
Graphe des reacutesidus mesure - droiteregr
78
Reacutegression non lineacuteaire reacutegression polynomiale
Ex courbe de
tendance dExcel
temps h
0
1
2
3
4
000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5
Permet de modeacuteliser la plupart des problegravemes peu non lineacuteaireshellip
demo TP7
40
79
Biblio amp liens utilesBouquins
Statistics for analytical Chemistry 3 rd ed JC Miller and JN Miller John Wiley amp Sons 1998
Multivariate Statistical Methods A Primer BFJ Monley Chapman amp Hall 1986
Modeacutelisation et estimation des erreurs de mesure M Neuilly CETAMA Lavoisier Paris 1993
Sites WWW
httpphysicsnistgovcuuUncertaintyindexhtml excellent site simple et succinct mais de reacutefeacuterence
sur la calcul des incertitudes ce document sen est beaucoup inspireacute Un cours plus complet de
statistiques est disponible agrave httpwwwitlnistgovdiv898handbook
httpswwwansesfrfrcontentguide-de-validation-des-mC3A9thodes-danalyses-des-laboratoires-de-rC3A9fC3A9rence Guide de lrsquoANSES Agence nationale de seacutecuriteacute sanitaire
de lrsquoalimentation de lrsquoenvironnement et du travail
httpwwwjybaudotfrStatsstatshtml Encyclopeacutedie des stats de Jean-Yves Baudot agrave la foi preacutecis vulgarisateur et marrant un challenge en statistiques
httpfrfreestatisticsinfoindexphp Collection de liens et surtout de Freewares sur les stats
8062
La norme AFNOR la plus utiliseacutee
httpwwwasqualabcomdocumentsqualitemetrologie19-unites_pifometriquespdf
27
Calcul de lrsquoincertitude par simulation de lrsquoerreur aleacuteatoire exemple
moyenne des D 50012 Dmax 100000
Deacutebit 50000 E Type des D 00526 a 08000
tension V 62500 Incertitude 01052 I(a) 00100
I(V) 01000
Ndeg tirage (400) erreur sur a erreur sur V valeur a valeur V D=aV
1 -00010 00253 07990 62753 50142
2 00011 -00518 08011 61982 49654
3 00032 00436 08032 62936 50551
4 -00098 00026 07902 62526 49407
5 00021 00867 08021 63367 50824
6 -00064 -00202 07936 62298 49437
7 00017 -00820 08017 61680 49450
8 -00065 00444 07935 62944 49949
9 00009 00757 08009 63257 50663
10 -00049 -00318 07951 62182 49439
11 00130 00109 08130 62609 50901
12 00004 00084 08004 62584 50092
13 -00046 00031 07954 62531 49737
14 -00024 00249 07976 62749 50049
15 00047 00311 08047 62811 50543
16 -00021 -00251 07979 62249 49668
D=aV
0 le D le 10 Lh
a=08 LhmV plusmn001 (t=2)
Inc Sur V = 01 mV (t=2)
Tirage aleacuteatoire normal
+
LOINORMALEINVERSE(ALEA()0eacutecart-type)
Les erreurs srsquoajoutent algeacutebriquement
54
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation
La discreacutetisation intervient lorsque les valeurs finales constituent un ensemble discret
Reacutesolution d du systegraveme drsquoacquisition agrave ne pas confondre avec lrsquoincertitude ou la sensibiliteacute
d
V
0
001
002
003
004
005
006
007
008
009
01
0 005 01
Tension reacuteelle
Ten
sion
aff
icheacutee
Discretization uncertainty
28
55
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (2)
32
d dEcart type de lrsquoerreur due agrave la discreacutetisation
295295
0
95
dIII Incertitude totale
5d 6d 7d
Erreur maxi d2
Approximatif Monte-Carlo parfois preacutefeacuterablehellip
Incertitude agrave 95 due agrave la discreacutetisation 2d 2975095 ddINon
058d 0485d
295 ddI
56
Le laquo Dithering raquo
La preacutesence drsquoerreur aleacuteatoire permet ici drsquoameacuteliorer la laquo preacutecision raquo de la mesure
Pas de laquo bruit raquo pas de moyennage Pas de laquo bruit raquo moyenne 50
signaux
laquo bruit raquo pas de moyennage laquo bruit raquo moyenne 50 signaux
La meacutethode du moyennage peut reacuteduire aussi lrsquoerreur de discreacutetisation (= quantification)
On peut gagner 1 bit de reacutesolution chaque fois que lrsquoon multiplie par 4 la freacutequence drsquoeacutechantillonnagehellip
hellip agrave condition que le signal avant numeacuterisation contienne un bruit (aleacuteatoire et indeacutependant) de valeur efficace supeacuterieure agrave la reacutesolution initialehellip
demo
29
57
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (3) les deacutecimales significatives
Ecriture drsquoun nombre avec un nombre de chiffres fini Erreur de discreacutetisation
Pour une mesure lrsquoeacutecart type de lrsquoerreur introduite doit ecirctre petit devant celui
de lrsquoerreur de mesure initiale
Ex mesure = 4382659872 Eacutecart-type mesure = 055 (soit 0125 en relatif)
Doit-on eacutecrire
4382659872
438265
4383
Mais les systegravemes numeacuteriques peuvent donner beaucoup de chiffres significatifshellip
438
58
Mesure afficheacutee
reacutesolution
ET erreur discreacutetisation
ET erreur finale drsquoerreur due agrave la discreacutetisation
438265987
0000001
29 10-7 055 lt 10-3
43827
001
29 10-3 0550008 10-3
4383
01
0029 05506 014
438
1
029 062 13
440
10
289 294 434
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (4) les deacutecimales significatives exemple
32
d d
22 )()( dxX
Ex mesure = 4382659872 Eacutecart-type mesure = (x)= 055 (soit 0125 en relatif)
bullOn peut choisir la reacutesolution immeacutediatement plus petite que lrsquoeacutecart-type de la mesure
bullLrsquoeacutecart-type (ou lrsquoincertitude) afficheacute ne doit pas avoir plus de 2 chiffres significatifs
30
Capabiliteacute drsquoun systegraveme de mesure
Va deacutependre de la toleacuterance deacutesireacuteehellip
hellip et du coucirct de la mesure
capabiliteacute dun moyen de mesure = rapport entre lincertitude U du moyen de mesure et la toleacuterance IT exigeacutee
Veacuterification de la toleacuterance
Normes franccedilaises
( toleacuterance = exigence du client en terme de caracteacuteristique mesurable)
Toleacuterance capabiliteacute drsquoun systegraveme de mesure
T
Notion de risque-risque laquo client raquo(piegravece agrave rejeter mais retenue)-risque laquo fabricant raquo(piegravece agrave retenir mais rejeteacutee)
Mesure moyenne
T
Piegravece agrave rejeterPiegravece agrave retenir
T=ToleacuteranceU=incertitude
Distrib des erreurs de fabrication
Val reacuteelle
31
Reacuteconciliation des donneacutees
61
D1
I(D1)
D2
I(D2)
D3
I(D3)
bull 3 mesures redondantes (car en theacuteorie D1=D2+D3)bull A cause des incertitudes on nrsquoa jamais exactement D1=D2+D3
bull Comment (in)valider les mesures
Reacuteconciliation des donneacutees
bull La redondance permet aussi de reacuteduire lrsquoincertitude (cf moyenne)
Dernier TPhellip
Limite de deacutetection - LDD (1)Limit of Detection - LOD
6280
Pic de signal ou bruit de fond
LDD plus petite valeur non nulle mesurable pour une certaine probabiliteacute drsquoerreur sur le fait que la valeur vraie est nulle ou non
Seuil de deacutecision deacutetection si (Mesure gt Seuil deacutecision)
2 types drsquoerreur de deacutecision Type 1 deacutetection signal alors qursquoil est absent (faux positif)
Type 2 non deacutetection signal alors qursquoil est preacutesent (faux neacutegatif)
32
Limite de deacutetection (2)
6380
Type 1 deacutetection signal alors qursquoil est absent (faux positif)
Exemple probabiliteacute de 5 drsquoerreur de type 1 ou 2
Type 2 non deacutetection signal alors qursquoil est preacutesent (faux neacutegatif)
165
5
Proba = 5 si seuil de deacutecision = 165
Si mecircme seuil de deacutecision (165) mecircme proba drsquoerreur si signal agrave 2 fois le seuil de deacutecision = 33
2x165
5
Limite de deacutetection (3)
0
0
0
0
0
0
0
0
165 33
Niveau signal
seuil de decision type 1 type 2 gt0
nb erreurs 9 9
bonnes deacutecisions 955
eacutecart type bruit analyseur 10
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
1
signal theacuteorique
signal reacuteel
seuil de deacutecision
erreur type 1
erreur type 2
-20 0 20 40 60 80
Si distr normale et probabiliteacute de 95LDD=33
On prend geacuteneacuteralement LDD=3 = eacutecart-type de la mesure laquo proche de zeacutero raquo
33
Etalonnage drsquoun systegraveme de mesure
Etalonnage laquo Opeacuteration consistant agrave eacutetablir une relation entre les valeurs de la grandeur indiqueacutees par un appareil de mesure et les valeurs correspondantes de la grandeur reacutealiseacutees par des eacutetalons raquo (VIM)
160
165
170
175
180
185
190
195
0 20 40 60 80 100
H
C pF
66
Etalonnage Creacuteation drsquoun modegravele de comportement
ETALONNAGE
Variables Xmesureacutees
(capteurs)
Variables Ymesureacutees(analyseshellip)
modegravele ou
Preacutedicteur F
Creacuteation modegravele
de comportement
Y=F(X)
PREDICTION
Variables Xmesureacutees(capteurs)
Estimation des
variables Y
Modegravele
Calcul de
preacutedictiontensions
Calibration Creation of a behavior model
34
67
Eacutetalonnage - calibrage
Eacutetalonnage (calibration) = calcul complet du modegravele neacutecessite un laquo grand raquo nombre drsquoexpeacuteriences
tension
pression
bull Calibrage ou ajustement de zeacutero (zero adjustment) = laquo recalage raquo du modegravele neacutecessite 1 expeacuterience (laquo zeacutero raquo) voire 2 (laquo zeacutero + gain raquo)
tension
pression
bullCorrection variations de fabrication
bullCorrection deacuterive
bullCorrection changement conditions expeacuterimentales (tempeacuterature tarage drsquoune balancehellip)
bullEtchellip
Si le modegravele nrsquoest pas lineacuteaire le calibrage ne peut corriger que de faibles variationshellip
68
Les moindres carreacutes
Meacutethode des moindres carreacutes (monovariable)
laquo minimal raquo pour lrsquoensemble des mesures en trouvant la
fonction optimale f
On veut modeacuteliser pour toutes les mesures (i) ෝ119962119946 = 119839(119961119946) en fait agrave partir
des expeacuteriences on a 119962119946 = 119839 119961119946 + 119942119946 ougrave 119942119946 = laquo reacutesidu raquo ou erreur
On utilise geacuteneacuteralement la distance Euclidienne
laquo minimale raquo en optimisant les 120637119947
The least Squares
120637119947 repreacutesente ici le ou les paramegravetres de la fonction agrave optimiser f (ex coefs polynocircme)
119942119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947
119946
119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947120784
35
69
La reacutegression lineacuteaire
Monovariable (y=f(x) ) + hypothegravese lineacuteaire (y=ax+b)
2 cas
X
Minimisations des erreurs sur Y
Reacutegression de yx
ybaxy e
Y
Minimisation des erreurs sur X
X
Reacutegression de xy
xbyax e ˆ
1ˆ
a
bx
ay
Attention une reacutegression de yx avec des
erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne une
erreur systeacutematique sur la pentehellip
Y
Linear regression
70
La reacutegression lineacuteaire yx ou xy
Attention une reacutegression de yx avec des erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne
une erreur systeacutematique sur la pentehellip
Diffeacuterence neacutegligeable dans une majoriteacute de cashellip
y = 10036x - 00354
-2
0
2
4
6
8
10
12
-2 0 2 4 6 8 10 12
y = 06669x + 16244
-2
0
2
4
6
8
10
12
-2 0 2 4 6 8 10 12
Reacutegression YX Reacutegression XY
36
71
Caracteacuteristiques de la reacutegression yx
Estimations de a et b
)(
)(
)x(x
)y)(yx(x
=a2
i
i
ii
xVar
yxCov
i
xayb
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
Calcul Excel agrave lrsquoaide debull Courbe de tendancebull droitereg
72
Erreur lieacutee agrave la mesure
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
2n
)y(yi
2
ii
yx
s
Ecart Type des reacutesidus
= ET de lrsquoerreur lieacutee agrave la mesure= ET de preacutediction que lrsquoon aurait (mecircmes conditions) si le modegravele eacutetait sans erreur
Mais le modegravele nrsquoest jamais exact
Erreur que lrsquoon aurait mecircme si le modegravele eacutetait parfait agrave cause de lrsquoerreur aleacuteatoire sur xhellipRepreacutesenteacutee par lrsquohellip
Rappel reacutesidu = eacutecart entre valeur preacutedite (sur droite de regression donc) et valeur expeacuterimentale
37
73
Erreur de modeacutelisation
Estimations incertitudes de a et b
baxy ˆ
Y
i
xyss
2
i
a
)x(xEcart type de la pente
i
i
i
xybn
x
ss2
i
2
)x(x
Ecart type de lrsquoordonneacutee agrave lrsquoorigine
Calcul Excel agrave lrsquoaide de la fonction laquo droitereg raquo
temps h tension
0 300E-05
1 440E-05
2 900E-05
3 900E-05
4 100E-04
formule =DROITEREG(YX11)
pente 00000186 00000336 OAO
s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO
R 0870821587 130792E-05 s(resid)
2022369447 3 N DL
34596E-09 5132E-10000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5TP5
Incertitude de preacutediction
74
2
2
11)ˆ(
xx
xX
mstYI
i
xy
bull m= nb eacutechantillons deacutetalonnagebull xi = valeurs deacutetalonnage dont moyenne xbull X = valeur deacutechantillon de preacutedictionbull Syx = eacutecart-type des reacutesidus
x
E Lieacutee agrave la mesure
E Type du modegravele
bull Si modegravele laquo parfait raquo (ou m grand) xystYI )ˆ(
bull Lrsquoincertitude augmente si X srsquoeacuteloigne de (problegraveme de lrsquoextrapolation) x
bull Deacutepend (un peuhellip) de X
I(pred)2=I(lieacutee agrave la mesure)2 + I(modelisation)2
TP6
38
75
Mesure de la qualiteacute dajustement dune reacutegression lineacuteaire
Var(Y) = Var( aX+b) + Var(e
information totale = information modeacuteliseacutee + information reacutesiduelle
Coef De deacutetermination
totale)Var(info
modeacuteliseacutee) Var(infodR
)()(
)(
YX
YXCovRc
Coef de correacutelation
Rd=Rc2
Y
76
Le coef de correacutelation utilisation
0
5
10
15
20
25
30
35
0 2 4 6 8 10 12
R=075
0
5
10
15
20
25
0 2 4 6 8 10 12
R=075
-100
0
100
200
300
400
500
600
0 5 10 15
R=075
Le cœfficient de correacutelation ne sert
agrave quantifier que les relations
lineacuteaires entre X et Yvariables
Il perd toute signification degraves lors
que les reacutesidus
R=08
R=08
R=08
39
77
Reacutegression lineacuteaire examen des reacutesidus
Veacuterification lineacuteariteacute
A corriger
eacuteventuellement avec
reacutegression non lineacuteaire
Deacutetection points
aberrants (outliers)A eacuteliminer apregraves
veacuterification et avec
preacutecautionshellip
Ri=yi-(axi+b)
Reacutesidu = information non
modeacuteliseacutee ideacutealement
erreur aleacuteatoire
residuals
paramegravetres modeacutelisation des donneacutees
ET bruit
v0
v1
a
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
850
900
950
y = 07063x - 39517
-100
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (m
V)
courant (mA)
Valeurs mesureacutees
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (
mV
)
courant (mA)
Graphe des reacutesidus mesure - droiteregr
78
Reacutegression non lineacuteaire reacutegression polynomiale
Ex courbe de
tendance dExcel
temps h
0
1
2
3
4
000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5
Permet de modeacuteliser la plupart des problegravemes peu non lineacuteaireshellip
demo TP7
40
79
Biblio amp liens utilesBouquins
Statistics for analytical Chemistry 3 rd ed JC Miller and JN Miller John Wiley amp Sons 1998
Multivariate Statistical Methods A Primer BFJ Monley Chapman amp Hall 1986
Modeacutelisation et estimation des erreurs de mesure M Neuilly CETAMA Lavoisier Paris 1993
Sites WWW
httpphysicsnistgovcuuUncertaintyindexhtml excellent site simple et succinct mais de reacutefeacuterence
sur la calcul des incertitudes ce document sen est beaucoup inspireacute Un cours plus complet de
statistiques est disponible agrave httpwwwitlnistgovdiv898handbook
httpswwwansesfrfrcontentguide-de-validation-des-mC3A9thodes-danalyses-des-laboratoires-de-rC3A9fC3A9rence Guide de lrsquoANSES Agence nationale de seacutecuriteacute sanitaire
de lrsquoalimentation de lrsquoenvironnement et du travail
httpwwwjybaudotfrStatsstatshtml Encyclopeacutedie des stats de Jean-Yves Baudot agrave la foi preacutecis vulgarisateur et marrant un challenge en statistiques
httpfrfreestatisticsinfoindexphp Collection de liens et surtout de Freewares sur les stats
8062
La norme AFNOR la plus utiliseacutee
httpwwwasqualabcomdocumentsqualitemetrologie19-unites_pifometriquespdf
28
55
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (2)
32
d dEcart type de lrsquoerreur due agrave la discreacutetisation
295295
0
95
dIII Incertitude totale
5d 6d 7d
Erreur maxi d2
Approximatif Monte-Carlo parfois preacutefeacuterablehellip
Incertitude agrave 95 due agrave la discreacutetisation 2d 2975095 ddINon
058d 0485d
295 ddI
56
Le laquo Dithering raquo
La preacutesence drsquoerreur aleacuteatoire permet ici drsquoameacuteliorer la laquo preacutecision raquo de la mesure
Pas de laquo bruit raquo pas de moyennage Pas de laquo bruit raquo moyenne 50
signaux
laquo bruit raquo pas de moyennage laquo bruit raquo moyenne 50 signaux
La meacutethode du moyennage peut reacuteduire aussi lrsquoerreur de discreacutetisation (= quantification)
On peut gagner 1 bit de reacutesolution chaque fois que lrsquoon multiplie par 4 la freacutequence drsquoeacutechantillonnagehellip
hellip agrave condition que le signal avant numeacuterisation contienne un bruit (aleacuteatoire et indeacutependant) de valeur efficace supeacuterieure agrave la reacutesolution initialehellip
demo
29
57
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (3) les deacutecimales significatives
Ecriture drsquoun nombre avec un nombre de chiffres fini Erreur de discreacutetisation
Pour une mesure lrsquoeacutecart type de lrsquoerreur introduite doit ecirctre petit devant celui
de lrsquoerreur de mesure initiale
Ex mesure = 4382659872 Eacutecart-type mesure = 055 (soit 0125 en relatif)
Doit-on eacutecrire
4382659872
438265
4383
Mais les systegravemes numeacuteriques peuvent donner beaucoup de chiffres significatifshellip
438
58
Mesure afficheacutee
reacutesolution
ET erreur discreacutetisation
ET erreur finale drsquoerreur due agrave la discreacutetisation
438265987
0000001
29 10-7 055 lt 10-3
43827
001
29 10-3 0550008 10-3
4383
01
0029 05506 014
438
1
029 062 13
440
10
289 294 434
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (4) les deacutecimales significatives exemple
32
d d
22 )()( dxX
Ex mesure = 4382659872 Eacutecart-type mesure = (x)= 055 (soit 0125 en relatif)
bullOn peut choisir la reacutesolution immeacutediatement plus petite que lrsquoeacutecart-type de la mesure
bullLrsquoeacutecart-type (ou lrsquoincertitude) afficheacute ne doit pas avoir plus de 2 chiffres significatifs
30
Capabiliteacute drsquoun systegraveme de mesure
Va deacutependre de la toleacuterance deacutesireacuteehellip
hellip et du coucirct de la mesure
capabiliteacute dun moyen de mesure = rapport entre lincertitude U du moyen de mesure et la toleacuterance IT exigeacutee
Veacuterification de la toleacuterance
Normes franccedilaises
( toleacuterance = exigence du client en terme de caracteacuteristique mesurable)
Toleacuterance capabiliteacute drsquoun systegraveme de mesure
T
Notion de risque-risque laquo client raquo(piegravece agrave rejeter mais retenue)-risque laquo fabricant raquo(piegravece agrave retenir mais rejeteacutee)
Mesure moyenne
T
Piegravece agrave rejeterPiegravece agrave retenir
T=ToleacuteranceU=incertitude
Distrib des erreurs de fabrication
Val reacuteelle
31
Reacuteconciliation des donneacutees
61
D1
I(D1)
D2
I(D2)
D3
I(D3)
bull 3 mesures redondantes (car en theacuteorie D1=D2+D3)bull A cause des incertitudes on nrsquoa jamais exactement D1=D2+D3
bull Comment (in)valider les mesures
Reacuteconciliation des donneacutees
bull La redondance permet aussi de reacuteduire lrsquoincertitude (cf moyenne)
Dernier TPhellip
Limite de deacutetection - LDD (1)Limit of Detection - LOD
6280
Pic de signal ou bruit de fond
LDD plus petite valeur non nulle mesurable pour une certaine probabiliteacute drsquoerreur sur le fait que la valeur vraie est nulle ou non
Seuil de deacutecision deacutetection si (Mesure gt Seuil deacutecision)
2 types drsquoerreur de deacutecision Type 1 deacutetection signal alors qursquoil est absent (faux positif)
Type 2 non deacutetection signal alors qursquoil est preacutesent (faux neacutegatif)
32
Limite de deacutetection (2)
6380
Type 1 deacutetection signal alors qursquoil est absent (faux positif)
Exemple probabiliteacute de 5 drsquoerreur de type 1 ou 2
Type 2 non deacutetection signal alors qursquoil est preacutesent (faux neacutegatif)
165
5
Proba = 5 si seuil de deacutecision = 165
Si mecircme seuil de deacutecision (165) mecircme proba drsquoerreur si signal agrave 2 fois le seuil de deacutecision = 33
2x165
5
Limite de deacutetection (3)
0
0
0
0
0
0
0
0
165 33
Niveau signal
seuil de decision type 1 type 2 gt0
nb erreurs 9 9
bonnes deacutecisions 955
eacutecart type bruit analyseur 10
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
1
signal theacuteorique
signal reacuteel
seuil de deacutecision
erreur type 1
erreur type 2
-20 0 20 40 60 80
Si distr normale et probabiliteacute de 95LDD=33
On prend geacuteneacuteralement LDD=3 = eacutecart-type de la mesure laquo proche de zeacutero raquo
33
Etalonnage drsquoun systegraveme de mesure
Etalonnage laquo Opeacuteration consistant agrave eacutetablir une relation entre les valeurs de la grandeur indiqueacutees par un appareil de mesure et les valeurs correspondantes de la grandeur reacutealiseacutees par des eacutetalons raquo (VIM)
160
165
170
175
180
185
190
195
0 20 40 60 80 100
H
C pF
66
Etalonnage Creacuteation drsquoun modegravele de comportement
ETALONNAGE
Variables Xmesureacutees
(capteurs)
Variables Ymesureacutees(analyseshellip)
modegravele ou
Preacutedicteur F
Creacuteation modegravele
de comportement
Y=F(X)
PREDICTION
Variables Xmesureacutees(capteurs)
Estimation des
variables Y
Modegravele
Calcul de
preacutedictiontensions
Calibration Creation of a behavior model
34
67
Eacutetalonnage - calibrage
Eacutetalonnage (calibration) = calcul complet du modegravele neacutecessite un laquo grand raquo nombre drsquoexpeacuteriences
tension
pression
bull Calibrage ou ajustement de zeacutero (zero adjustment) = laquo recalage raquo du modegravele neacutecessite 1 expeacuterience (laquo zeacutero raquo) voire 2 (laquo zeacutero + gain raquo)
tension
pression
bullCorrection variations de fabrication
bullCorrection deacuterive
bullCorrection changement conditions expeacuterimentales (tempeacuterature tarage drsquoune balancehellip)
bullEtchellip
Si le modegravele nrsquoest pas lineacuteaire le calibrage ne peut corriger que de faibles variationshellip
68
Les moindres carreacutes
Meacutethode des moindres carreacutes (monovariable)
laquo minimal raquo pour lrsquoensemble des mesures en trouvant la
fonction optimale f
On veut modeacuteliser pour toutes les mesures (i) ෝ119962119946 = 119839(119961119946) en fait agrave partir
des expeacuteriences on a 119962119946 = 119839 119961119946 + 119942119946 ougrave 119942119946 = laquo reacutesidu raquo ou erreur
On utilise geacuteneacuteralement la distance Euclidienne
laquo minimale raquo en optimisant les 120637119947
The least Squares
120637119947 repreacutesente ici le ou les paramegravetres de la fonction agrave optimiser f (ex coefs polynocircme)
119942119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947
119946
119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947120784
35
69
La reacutegression lineacuteaire
Monovariable (y=f(x) ) + hypothegravese lineacuteaire (y=ax+b)
2 cas
X
Minimisations des erreurs sur Y
Reacutegression de yx
ybaxy e
Y
Minimisation des erreurs sur X
X
Reacutegression de xy
xbyax e ˆ
1ˆ
a
bx
ay
Attention une reacutegression de yx avec des
erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne une
erreur systeacutematique sur la pentehellip
Y
Linear regression
70
La reacutegression lineacuteaire yx ou xy
Attention une reacutegression de yx avec des erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne
une erreur systeacutematique sur la pentehellip
Diffeacuterence neacutegligeable dans une majoriteacute de cashellip
y = 10036x - 00354
-2
0
2
4
6
8
10
12
-2 0 2 4 6 8 10 12
y = 06669x + 16244
-2
0
2
4
6
8
10
12
-2 0 2 4 6 8 10 12
Reacutegression YX Reacutegression XY
36
71
Caracteacuteristiques de la reacutegression yx
Estimations de a et b
)(
)(
)x(x
)y)(yx(x
=a2
i
i
ii
xVar
yxCov
i
xayb
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
Calcul Excel agrave lrsquoaide debull Courbe de tendancebull droitereg
72
Erreur lieacutee agrave la mesure
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
2n
)y(yi
2
ii
yx
s
Ecart Type des reacutesidus
= ET de lrsquoerreur lieacutee agrave la mesure= ET de preacutediction que lrsquoon aurait (mecircmes conditions) si le modegravele eacutetait sans erreur
Mais le modegravele nrsquoest jamais exact
Erreur que lrsquoon aurait mecircme si le modegravele eacutetait parfait agrave cause de lrsquoerreur aleacuteatoire sur xhellipRepreacutesenteacutee par lrsquohellip
Rappel reacutesidu = eacutecart entre valeur preacutedite (sur droite de regression donc) et valeur expeacuterimentale
37
73
Erreur de modeacutelisation
Estimations incertitudes de a et b
baxy ˆ
Y
i
xyss
2
i
a
)x(xEcart type de la pente
i
i
i
xybn
x
ss2
i
2
)x(x
Ecart type de lrsquoordonneacutee agrave lrsquoorigine
Calcul Excel agrave lrsquoaide de la fonction laquo droitereg raquo
temps h tension
0 300E-05
1 440E-05
2 900E-05
3 900E-05
4 100E-04
formule =DROITEREG(YX11)
pente 00000186 00000336 OAO
s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO
R 0870821587 130792E-05 s(resid)
2022369447 3 N DL
34596E-09 5132E-10000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5TP5
Incertitude de preacutediction
74
2
2
11)ˆ(
xx
xX
mstYI
i
xy
bull m= nb eacutechantillons deacutetalonnagebull xi = valeurs deacutetalonnage dont moyenne xbull X = valeur deacutechantillon de preacutedictionbull Syx = eacutecart-type des reacutesidus
x
E Lieacutee agrave la mesure
E Type du modegravele
bull Si modegravele laquo parfait raquo (ou m grand) xystYI )ˆ(
bull Lrsquoincertitude augmente si X srsquoeacuteloigne de (problegraveme de lrsquoextrapolation) x
bull Deacutepend (un peuhellip) de X
I(pred)2=I(lieacutee agrave la mesure)2 + I(modelisation)2
TP6
38
75
Mesure de la qualiteacute dajustement dune reacutegression lineacuteaire
Var(Y) = Var( aX+b) + Var(e
information totale = information modeacuteliseacutee + information reacutesiduelle
Coef De deacutetermination
totale)Var(info
modeacuteliseacutee) Var(infodR
)()(
)(
YX
YXCovRc
Coef de correacutelation
Rd=Rc2
Y
76
Le coef de correacutelation utilisation
0
5
10
15
20
25
30
35
0 2 4 6 8 10 12
R=075
0
5
10
15
20
25
0 2 4 6 8 10 12
R=075
-100
0
100
200
300
400
500
600
0 5 10 15
R=075
Le cœfficient de correacutelation ne sert
agrave quantifier que les relations
lineacuteaires entre X et Yvariables
Il perd toute signification degraves lors
que les reacutesidus
R=08
R=08
R=08
39
77
Reacutegression lineacuteaire examen des reacutesidus
Veacuterification lineacuteariteacute
A corriger
eacuteventuellement avec
reacutegression non lineacuteaire
Deacutetection points
aberrants (outliers)A eacuteliminer apregraves
veacuterification et avec
preacutecautionshellip
Ri=yi-(axi+b)
Reacutesidu = information non
modeacuteliseacutee ideacutealement
erreur aleacuteatoire
residuals
paramegravetres modeacutelisation des donneacutees
ET bruit
v0
v1
a
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
850
900
950
y = 07063x - 39517
-100
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (m
V)
courant (mA)
Valeurs mesureacutees
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (
mV
)
courant (mA)
Graphe des reacutesidus mesure - droiteregr
78
Reacutegression non lineacuteaire reacutegression polynomiale
Ex courbe de
tendance dExcel
temps h
0
1
2
3
4
000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5
Permet de modeacuteliser la plupart des problegravemes peu non lineacuteaireshellip
demo TP7
40
79
Biblio amp liens utilesBouquins
Statistics for analytical Chemistry 3 rd ed JC Miller and JN Miller John Wiley amp Sons 1998
Multivariate Statistical Methods A Primer BFJ Monley Chapman amp Hall 1986
Modeacutelisation et estimation des erreurs de mesure M Neuilly CETAMA Lavoisier Paris 1993
Sites WWW
httpphysicsnistgovcuuUncertaintyindexhtml excellent site simple et succinct mais de reacutefeacuterence
sur la calcul des incertitudes ce document sen est beaucoup inspireacute Un cours plus complet de
statistiques est disponible agrave httpwwwitlnistgovdiv898handbook
httpswwwansesfrfrcontentguide-de-validation-des-mC3A9thodes-danalyses-des-laboratoires-de-rC3A9fC3A9rence Guide de lrsquoANSES Agence nationale de seacutecuriteacute sanitaire
de lrsquoalimentation de lrsquoenvironnement et du travail
httpwwwjybaudotfrStatsstatshtml Encyclopeacutedie des stats de Jean-Yves Baudot agrave la foi preacutecis vulgarisateur et marrant un challenge en statistiques
httpfrfreestatisticsinfoindexphp Collection de liens et surtout de Freewares sur les stats
8062
La norme AFNOR la plus utiliseacutee
httpwwwasqualabcomdocumentsqualitemetrologie19-unites_pifometriquespdf
29
57
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (3) les deacutecimales significatives
Ecriture drsquoun nombre avec un nombre de chiffres fini Erreur de discreacutetisation
Pour une mesure lrsquoeacutecart type de lrsquoerreur introduite doit ecirctre petit devant celui
de lrsquoerreur de mesure initiale
Ex mesure = 4382659872 Eacutecart-type mesure = 055 (soit 0125 en relatif)
Doit-on eacutecrire
4382659872
438265
4383
Mais les systegravemes numeacuteriques peuvent donner beaucoup de chiffres significatifshellip
438
58
Mesure afficheacutee
reacutesolution
ET erreur discreacutetisation
ET erreur finale drsquoerreur due agrave la discreacutetisation
438265987
0000001
29 10-7 055 lt 10-3
43827
001
29 10-3 0550008 10-3
4383
01
0029 05506 014
438
1
029 062 13
440
10
289 294 434
lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (4) les deacutecimales significatives exemple
32
d d
22 )()( dxX
Ex mesure = 4382659872 Eacutecart-type mesure = (x)= 055 (soit 0125 en relatif)
bullOn peut choisir la reacutesolution immeacutediatement plus petite que lrsquoeacutecart-type de la mesure
bullLrsquoeacutecart-type (ou lrsquoincertitude) afficheacute ne doit pas avoir plus de 2 chiffres significatifs
30
Capabiliteacute drsquoun systegraveme de mesure
Va deacutependre de la toleacuterance deacutesireacuteehellip
hellip et du coucirct de la mesure
capabiliteacute dun moyen de mesure = rapport entre lincertitude U du moyen de mesure et la toleacuterance IT exigeacutee
Veacuterification de la toleacuterance
Normes franccedilaises
( toleacuterance = exigence du client en terme de caracteacuteristique mesurable)
Toleacuterance capabiliteacute drsquoun systegraveme de mesure
T
Notion de risque-risque laquo client raquo(piegravece agrave rejeter mais retenue)-risque laquo fabricant raquo(piegravece agrave retenir mais rejeteacutee)
Mesure moyenne
T
Piegravece agrave rejeterPiegravece agrave retenir
T=ToleacuteranceU=incertitude
Distrib des erreurs de fabrication
Val reacuteelle
31
Reacuteconciliation des donneacutees
61
D1
I(D1)
D2
I(D2)
D3
I(D3)
bull 3 mesures redondantes (car en theacuteorie D1=D2+D3)bull A cause des incertitudes on nrsquoa jamais exactement D1=D2+D3
bull Comment (in)valider les mesures
Reacuteconciliation des donneacutees
bull La redondance permet aussi de reacuteduire lrsquoincertitude (cf moyenne)
Dernier TPhellip
Limite de deacutetection - LDD (1)Limit of Detection - LOD
6280
Pic de signal ou bruit de fond
LDD plus petite valeur non nulle mesurable pour une certaine probabiliteacute drsquoerreur sur le fait que la valeur vraie est nulle ou non
Seuil de deacutecision deacutetection si (Mesure gt Seuil deacutecision)
2 types drsquoerreur de deacutecision Type 1 deacutetection signal alors qursquoil est absent (faux positif)
Type 2 non deacutetection signal alors qursquoil est preacutesent (faux neacutegatif)
32
Limite de deacutetection (2)
6380
Type 1 deacutetection signal alors qursquoil est absent (faux positif)
Exemple probabiliteacute de 5 drsquoerreur de type 1 ou 2
Type 2 non deacutetection signal alors qursquoil est preacutesent (faux neacutegatif)
165
5
Proba = 5 si seuil de deacutecision = 165
Si mecircme seuil de deacutecision (165) mecircme proba drsquoerreur si signal agrave 2 fois le seuil de deacutecision = 33
2x165
5
Limite de deacutetection (3)
0
0
0
0
0
0
0
0
165 33
Niveau signal
seuil de decision type 1 type 2 gt0
nb erreurs 9 9
bonnes deacutecisions 955
eacutecart type bruit analyseur 10
-20
-10
0
10
20
30
40
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1
signal theacuteorique
signal reacuteel
seuil de deacutecision
erreur type 1
erreur type 2
-20 0 20 40 60 80
Si distr normale et probabiliteacute de 95LDD=33
On prend geacuteneacuteralement LDD=3 = eacutecart-type de la mesure laquo proche de zeacutero raquo
33
Etalonnage drsquoun systegraveme de mesure
Etalonnage laquo Opeacuteration consistant agrave eacutetablir une relation entre les valeurs de la grandeur indiqueacutees par un appareil de mesure et les valeurs correspondantes de la grandeur reacutealiseacutees par des eacutetalons raquo (VIM)
160
165
170
175
180
185
190
195
0 20 40 60 80 100
H
C pF
66
Etalonnage Creacuteation drsquoun modegravele de comportement
ETALONNAGE
Variables Xmesureacutees
(capteurs)
Variables Ymesureacutees(analyseshellip)
modegravele ou
Preacutedicteur F
Creacuteation modegravele
de comportement
Y=F(X)
PREDICTION
Variables Xmesureacutees(capteurs)
Estimation des
variables Y
Modegravele
Calcul de
preacutedictiontensions
Calibration Creation of a behavior model
34
67
Eacutetalonnage - calibrage
Eacutetalonnage (calibration) = calcul complet du modegravele neacutecessite un laquo grand raquo nombre drsquoexpeacuteriences
tension
pression
bull Calibrage ou ajustement de zeacutero (zero adjustment) = laquo recalage raquo du modegravele neacutecessite 1 expeacuterience (laquo zeacutero raquo) voire 2 (laquo zeacutero + gain raquo)
tension
pression
bullCorrection variations de fabrication
bullCorrection deacuterive
bullCorrection changement conditions expeacuterimentales (tempeacuterature tarage drsquoune balancehellip)
bullEtchellip
Si le modegravele nrsquoest pas lineacuteaire le calibrage ne peut corriger que de faibles variationshellip
68
Les moindres carreacutes
Meacutethode des moindres carreacutes (monovariable)
laquo minimal raquo pour lrsquoensemble des mesures en trouvant la
fonction optimale f
On veut modeacuteliser pour toutes les mesures (i) ෝ119962119946 = 119839(119961119946) en fait agrave partir
des expeacuteriences on a 119962119946 = 119839 119961119946 + 119942119946 ougrave 119942119946 = laquo reacutesidu raquo ou erreur
On utilise geacuteneacuteralement la distance Euclidienne
laquo minimale raquo en optimisant les 120637119947
The least Squares
120637119947 repreacutesente ici le ou les paramegravetres de la fonction agrave optimiser f (ex coefs polynocircme)
119942119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947
119946
119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947120784
35
69
La reacutegression lineacuteaire
Monovariable (y=f(x) ) + hypothegravese lineacuteaire (y=ax+b)
2 cas
X
Minimisations des erreurs sur Y
Reacutegression de yx
ybaxy e
Y
Minimisation des erreurs sur X
X
Reacutegression de xy
xbyax e ˆ
1ˆ
a
bx
ay
Attention une reacutegression de yx avec des
erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne une
erreur systeacutematique sur la pentehellip
Y
Linear regression
70
La reacutegression lineacuteaire yx ou xy
Attention une reacutegression de yx avec des erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne
une erreur systeacutematique sur la pentehellip
Diffeacuterence neacutegligeable dans une majoriteacute de cashellip
y = 10036x - 00354
-2
0
2
4
6
8
10
12
-2 0 2 4 6 8 10 12
y = 06669x + 16244
-2
0
2
4
6
8
10
12
-2 0 2 4 6 8 10 12
Reacutegression YX Reacutegression XY
36
71
Caracteacuteristiques de la reacutegression yx
Estimations de a et b
)(
)(
)x(x
)y)(yx(x
=a2
i
i
ii
xVar
yxCov
i
xayb
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
Calcul Excel agrave lrsquoaide debull Courbe de tendancebull droitereg
72
Erreur lieacutee agrave la mesure
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
2n
)y(yi
2
ii
yx
s
Ecart Type des reacutesidus
= ET de lrsquoerreur lieacutee agrave la mesure= ET de preacutediction que lrsquoon aurait (mecircmes conditions) si le modegravele eacutetait sans erreur
Mais le modegravele nrsquoest jamais exact
Erreur que lrsquoon aurait mecircme si le modegravele eacutetait parfait agrave cause de lrsquoerreur aleacuteatoire sur xhellipRepreacutesenteacutee par lrsquohellip
Rappel reacutesidu = eacutecart entre valeur preacutedite (sur droite de regression donc) et valeur expeacuterimentale
37
73
Erreur de modeacutelisation
Estimations incertitudes de a et b
baxy ˆ
Y
i
xyss
2
i
a
)x(xEcart type de la pente
i
i
i
xybn
x
ss2
i
2
)x(x
Ecart type de lrsquoordonneacutee agrave lrsquoorigine
Calcul Excel agrave lrsquoaide de la fonction laquo droitereg raquo
temps h tension
0 300E-05
1 440E-05
2 900E-05
3 900E-05
4 100E-04
formule =DROITEREG(YX11)
pente 00000186 00000336 OAO
s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO
R 0870821587 130792E-05 s(resid)
2022369447 3 N DL
34596E-09 5132E-10000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5TP5
Incertitude de preacutediction
74
2
2
11)ˆ(
xx
xX
mstYI
i
xy
bull m= nb eacutechantillons deacutetalonnagebull xi = valeurs deacutetalonnage dont moyenne xbull X = valeur deacutechantillon de preacutedictionbull Syx = eacutecart-type des reacutesidus
x
E Lieacutee agrave la mesure
E Type du modegravele
bull Si modegravele laquo parfait raquo (ou m grand) xystYI )ˆ(
bull Lrsquoincertitude augmente si X srsquoeacuteloigne de (problegraveme de lrsquoextrapolation) x
bull Deacutepend (un peuhellip) de X
I(pred)2=I(lieacutee agrave la mesure)2 + I(modelisation)2
TP6
38
75
Mesure de la qualiteacute dajustement dune reacutegression lineacuteaire
Var(Y) = Var( aX+b) + Var(e
information totale = information modeacuteliseacutee + information reacutesiduelle
Coef De deacutetermination
totale)Var(info
modeacuteliseacutee) Var(infodR
)()(
)(
YX
YXCovRc
Coef de correacutelation
Rd=Rc2
Y
76
Le coef de correacutelation utilisation
0
5
10
15
20
25
30
35
0 2 4 6 8 10 12
R=075
0
5
10
15
20
25
0 2 4 6 8 10 12
R=075
-100
0
100
200
300
400
500
600
0 5 10 15
R=075
Le cœfficient de correacutelation ne sert
agrave quantifier que les relations
lineacuteaires entre X et Yvariables
Il perd toute signification degraves lors
que les reacutesidus
R=08
R=08
R=08
39
77
Reacutegression lineacuteaire examen des reacutesidus
Veacuterification lineacuteariteacute
A corriger
eacuteventuellement avec
reacutegression non lineacuteaire
Deacutetection points
aberrants (outliers)A eacuteliminer apregraves
veacuterification et avec
preacutecautionshellip
Ri=yi-(axi+b)
Reacutesidu = information non
modeacuteliseacutee ideacutealement
erreur aleacuteatoire
residuals
paramegravetres modeacutelisation des donneacutees
ET bruit
v0
v1
a
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
850
900
950
y = 07063x - 39517
-100
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (m
V)
courant (mA)
Valeurs mesureacutees
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (
mV
)
courant (mA)
Graphe des reacutesidus mesure - droiteregr
78
Reacutegression non lineacuteaire reacutegression polynomiale
Ex courbe de
tendance dExcel
temps h
0
1
2
3
4
000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5
Permet de modeacuteliser la plupart des problegravemes peu non lineacuteaireshellip
demo TP7
40
79
Biblio amp liens utilesBouquins
Statistics for analytical Chemistry 3 rd ed JC Miller and JN Miller John Wiley amp Sons 1998
Multivariate Statistical Methods A Primer BFJ Monley Chapman amp Hall 1986
Modeacutelisation et estimation des erreurs de mesure M Neuilly CETAMA Lavoisier Paris 1993
Sites WWW
httpphysicsnistgovcuuUncertaintyindexhtml excellent site simple et succinct mais de reacutefeacuterence
sur la calcul des incertitudes ce document sen est beaucoup inspireacute Un cours plus complet de
statistiques est disponible agrave httpwwwitlnistgovdiv898handbook
httpswwwansesfrfrcontentguide-de-validation-des-mC3A9thodes-danalyses-des-laboratoires-de-rC3A9fC3A9rence Guide de lrsquoANSES Agence nationale de seacutecuriteacute sanitaire
de lrsquoalimentation de lrsquoenvironnement et du travail
httpwwwjybaudotfrStatsstatshtml Encyclopeacutedie des stats de Jean-Yves Baudot agrave la foi preacutecis vulgarisateur et marrant un challenge en statistiques
httpfrfreestatisticsinfoindexphp Collection de liens et surtout de Freewares sur les stats
8062
La norme AFNOR la plus utiliseacutee
httpwwwasqualabcomdocumentsqualitemetrologie19-unites_pifometriquespdf
30
Capabiliteacute drsquoun systegraveme de mesure
Va deacutependre de la toleacuterance deacutesireacuteehellip
hellip et du coucirct de la mesure
capabiliteacute dun moyen de mesure = rapport entre lincertitude U du moyen de mesure et la toleacuterance IT exigeacutee
Veacuterification de la toleacuterance
Normes franccedilaises
( toleacuterance = exigence du client en terme de caracteacuteristique mesurable)
Toleacuterance capabiliteacute drsquoun systegraveme de mesure
T
Notion de risque-risque laquo client raquo(piegravece agrave rejeter mais retenue)-risque laquo fabricant raquo(piegravece agrave retenir mais rejeteacutee)
Mesure moyenne
T
Piegravece agrave rejeterPiegravece agrave retenir
T=ToleacuteranceU=incertitude
Distrib des erreurs de fabrication
Val reacuteelle
31
Reacuteconciliation des donneacutees
61
D1
I(D1)
D2
I(D2)
D3
I(D3)
bull 3 mesures redondantes (car en theacuteorie D1=D2+D3)bull A cause des incertitudes on nrsquoa jamais exactement D1=D2+D3
bull Comment (in)valider les mesures
Reacuteconciliation des donneacutees
bull La redondance permet aussi de reacuteduire lrsquoincertitude (cf moyenne)
Dernier TPhellip
Limite de deacutetection - LDD (1)Limit of Detection - LOD
6280
Pic de signal ou bruit de fond
LDD plus petite valeur non nulle mesurable pour une certaine probabiliteacute drsquoerreur sur le fait que la valeur vraie est nulle ou non
Seuil de deacutecision deacutetection si (Mesure gt Seuil deacutecision)
2 types drsquoerreur de deacutecision Type 1 deacutetection signal alors qursquoil est absent (faux positif)
Type 2 non deacutetection signal alors qursquoil est preacutesent (faux neacutegatif)
32
Limite de deacutetection (2)
6380
Type 1 deacutetection signal alors qursquoil est absent (faux positif)
Exemple probabiliteacute de 5 drsquoerreur de type 1 ou 2
Type 2 non deacutetection signal alors qursquoil est preacutesent (faux neacutegatif)
165
5
Proba = 5 si seuil de deacutecision = 165
Si mecircme seuil de deacutecision (165) mecircme proba drsquoerreur si signal agrave 2 fois le seuil de deacutecision = 33
2x165
5
Limite de deacutetection (3)
0
0
0
0
0
0
0
0
165 33
Niveau signal
seuil de decision type 1 type 2 gt0
nb erreurs 9 9
bonnes deacutecisions 955
eacutecart type bruit analyseur 10
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
1
signal theacuteorique
signal reacuteel
seuil de deacutecision
erreur type 1
erreur type 2
-20 0 20 40 60 80
Si distr normale et probabiliteacute de 95LDD=33
On prend geacuteneacuteralement LDD=3 = eacutecart-type de la mesure laquo proche de zeacutero raquo
33
Etalonnage drsquoun systegraveme de mesure
Etalonnage laquo Opeacuteration consistant agrave eacutetablir une relation entre les valeurs de la grandeur indiqueacutees par un appareil de mesure et les valeurs correspondantes de la grandeur reacutealiseacutees par des eacutetalons raquo (VIM)
160
165
170
175
180
185
190
195
0 20 40 60 80 100
H
C pF
66
Etalonnage Creacuteation drsquoun modegravele de comportement
ETALONNAGE
Variables Xmesureacutees
(capteurs)
Variables Ymesureacutees(analyseshellip)
modegravele ou
Preacutedicteur F
Creacuteation modegravele
de comportement
Y=F(X)
PREDICTION
Variables Xmesureacutees(capteurs)
Estimation des
variables Y
Modegravele
Calcul de
preacutedictiontensions
Calibration Creation of a behavior model
34
67
Eacutetalonnage - calibrage
Eacutetalonnage (calibration) = calcul complet du modegravele neacutecessite un laquo grand raquo nombre drsquoexpeacuteriences
tension
pression
bull Calibrage ou ajustement de zeacutero (zero adjustment) = laquo recalage raquo du modegravele neacutecessite 1 expeacuterience (laquo zeacutero raquo) voire 2 (laquo zeacutero + gain raquo)
tension
pression
bullCorrection variations de fabrication
bullCorrection deacuterive
bullCorrection changement conditions expeacuterimentales (tempeacuterature tarage drsquoune balancehellip)
bullEtchellip
Si le modegravele nrsquoest pas lineacuteaire le calibrage ne peut corriger que de faibles variationshellip
68
Les moindres carreacutes
Meacutethode des moindres carreacutes (monovariable)
laquo minimal raquo pour lrsquoensemble des mesures en trouvant la
fonction optimale f
On veut modeacuteliser pour toutes les mesures (i) ෝ119962119946 = 119839(119961119946) en fait agrave partir
des expeacuteriences on a 119962119946 = 119839 119961119946 + 119942119946 ougrave 119942119946 = laquo reacutesidu raquo ou erreur
On utilise geacuteneacuteralement la distance Euclidienne
laquo minimale raquo en optimisant les 120637119947
The least Squares
120637119947 repreacutesente ici le ou les paramegravetres de la fonction agrave optimiser f (ex coefs polynocircme)
119942119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947
119946
119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947120784
35
69
La reacutegression lineacuteaire
Monovariable (y=f(x) ) + hypothegravese lineacuteaire (y=ax+b)
2 cas
X
Minimisations des erreurs sur Y
Reacutegression de yx
ybaxy e
Y
Minimisation des erreurs sur X
X
Reacutegression de xy
xbyax e ˆ
1ˆ
a
bx
ay
Attention une reacutegression de yx avec des
erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne une
erreur systeacutematique sur la pentehellip
Y
Linear regression
70
La reacutegression lineacuteaire yx ou xy
Attention une reacutegression de yx avec des erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne
une erreur systeacutematique sur la pentehellip
Diffeacuterence neacutegligeable dans une majoriteacute de cashellip
y = 10036x - 00354
-2
0
2
4
6
8
10
12
-2 0 2 4 6 8 10 12
y = 06669x + 16244
-2
0
2
4
6
8
10
12
-2 0 2 4 6 8 10 12
Reacutegression YX Reacutegression XY
36
71
Caracteacuteristiques de la reacutegression yx
Estimations de a et b
)(
)(
)x(x
)y)(yx(x
=a2
i
i
ii
xVar
yxCov
i
xayb
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
Calcul Excel agrave lrsquoaide debull Courbe de tendancebull droitereg
72
Erreur lieacutee agrave la mesure
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
2n
)y(yi
2
ii
yx
s
Ecart Type des reacutesidus
= ET de lrsquoerreur lieacutee agrave la mesure= ET de preacutediction que lrsquoon aurait (mecircmes conditions) si le modegravele eacutetait sans erreur
Mais le modegravele nrsquoest jamais exact
Erreur que lrsquoon aurait mecircme si le modegravele eacutetait parfait agrave cause de lrsquoerreur aleacuteatoire sur xhellipRepreacutesenteacutee par lrsquohellip
Rappel reacutesidu = eacutecart entre valeur preacutedite (sur droite de regression donc) et valeur expeacuterimentale
37
73
Erreur de modeacutelisation
Estimations incertitudes de a et b
baxy ˆ
Y
i
xyss
2
i
a
)x(xEcart type de la pente
i
i
i
xybn
x
ss2
i
2
)x(x
Ecart type de lrsquoordonneacutee agrave lrsquoorigine
Calcul Excel agrave lrsquoaide de la fonction laquo droitereg raquo
temps h tension
0 300E-05
1 440E-05
2 900E-05
3 900E-05
4 100E-04
formule =DROITEREG(YX11)
pente 00000186 00000336 OAO
s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO
R 0870821587 130792E-05 s(resid)
2022369447 3 N DL
34596E-09 5132E-10000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5TP5
Incertitude de preacutediction
74
2
2
11)ˆ(
xx
xX
mstYI
i
xy
bull m= nb eacutechantillons deacutetalonnagebull xi = valeurs deacutetalonnage dont moyenne xbull X = valeur deacutechantillon de preacutedictionbull Syx = eacutecart-type des reacutesidus
x
E Lieacutee agrave la mesure
E Type du modegravele
bull Si modegravele laquo parfait raquo (ou m grand) xystYI )ˆ(
bull Lrsquoincertitude augmente si X srsquoeacuteloigne de (problegraveme de lrsquoextrapolation) x
bull Deacutepend (un peuhellip) de X
I(pred)2=I(lieacutee agrave la mesure)2 + I(modelisation)2
TP6
38
75
Mesure de la qualiteacute dajustement dune reacutegression lineacuteaire
Var(Y) = Var( aX+b) + Var(e
information totale = information modeacuteliseacutee + information reacutesiduelle
Coef De deacutetermination
totale)Var(info
modeacuteliseacutee) Var(infodR
)()(
)(
YX
YXCovRc
Coef de correacutelation
Rd=Rc2
Y
76
Le coef de correacutelation utilisation
0
5
10
15
20
25
30
35
0 2 4 6 8 10 12
R=075
0
5
10
15
20
25
0 2 4 6 8 10 12
R=075
-100
0
100
200
300
400
500
600
0 5 10 15
R=075
Le cœfficient de correacutelation ne sert
agrave quantifier que les relations
lineacuteaires entre X et Yvariables
Il perd toute signification degraves lors
que les reacutesidus
R=08
R=08
R=08
39
77
Reacutegression lineacuteaire examen des reacutesidus
Veacuterification lineacuteariteacute
A corriger
eacuteventuellement avec
reacutegression non lineacuteaire
Deacutetection points
aberrants (outliers)A eacuteliminer apregraves
veacuterification et avec
preacutecautionshellip
Ri=yi-(axi+b)
Reacutesidu = information non
modeacuteliseacutee ideacutealement
erreur aleacuteatoire
residuals
paramegravetres modeacutelisation des donneacutees
ET bruit
v0
v1
a
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
850
900
950
y = 07063x - 39517
-100
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (m
V)
courant (mA)
Valeurs mesureacutees
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (
mV
)
courant (mA)
Graphe des reacutesidus mesure - droiteregr
78
Reacutegression non lineacuteaire reacutegression polynomiale
Ex courbe de
tendance dExcel
temps h
0
1
2
3
4
000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5
Permet de modeacuteliser la plupart des problegravemes peu non lineacuteaireshellip
demo TP7
40
79
Biblio amp liens utilesBouquins
Statistics for analytical Chemistry 3 rd ed JC Miller and JN Miller John Wiley amp Sons 1998
Multivariate Statistical Methods A Primer BFJ Monley Chapman amp Hall 1986
Modeacutelisation et estimation des erreurs de mesure M Neuilly CETAMA Lavoisier Paris 1993
Sites WWW
httpphysicsnistgovcuuUncertaintyindexhtml excellent site simple et succinct mais de reacutefeacuterence
sur la calcul des incertitudes ce document sen est beaucoup inspireacute Un cours plus complet de
statistiques est disponible agrave httpwwwitlnistgovdiv898handbook
httpswwwansesfrfrcontentguide-de-validation-des-mC3A9thodes-danalyses-des-laboratoires-de-rC3A9fC3A9rence Guide de lrsquoANSES Agence nationale de seacutecuriteacute sanitaire
de lrsquoalimentation de lrsquoenvironnement et du travail
httpwwwjybaudotfrStatsstatshtml Encyclopeacutedie des stats de Jean-Yves Baudot agrave la foi preacutecis vulgarisateur et marrant un challenge en statistiques
httpfrfreestatisticsinfoindexphp Collection de liens et surtout de Freewares sur les stats
8062
La norme AFNOR la plus utiliseacutee
httpwwwasqualabcomdocumentsqualitemetrologie19-unites_pifometriquespdf
31
Reacuteconciliation des donneacutees
61
D1
I(D1)
D2
I(D2)
D3
I(D3)
bull 3 mesures redondantes (car en theacuteorie D1=D2+D3)bull A cause des incertitudes on nrsquoa jamais exactement D1=D2+D3
bull Comment (in)valider les mesures
Reacuteconciliation des donneacutees
bull La redondance permet aussi de reacuteduire lrsquoincertitude (cf moyenne)
Dernier TPhellip
Limite de deacutetection - LDD (1)Limit of Detection - LOD
6280
Pic de signal ou bruit de fond
LDD plus petite valeur non nulle mesurable pour une certaine probabiliteacute drsquoerreur sur le fait que la valeur vraie est nulle ou non
Seuil de deacutecision deacutetection si (Mesure gt Seuil deacutecision)
2 types drsquoerreur de deacutecision Type 1 deacutetection signal alors qursquoil est absent (faux positif)
Type 2 non deacutetection signal alors qursquoil est preacutesent (faux neacutegatif)
32
Limite de deacutetection (2)
6380
Type 1 deacutetection signal alors qursquoil est absent (faux positif)
Exemple probabiliteacute de 5 drsquoerreur de type 1 ou 2
Type 2 non deacutetection signal alors qursquoil est preacutesent (faux neacutegatif)
165
5
Proba = 5 si seuil de deacutecision = 165
Si mecircme seuil de deacutecision (165) mecircme proba drsquoerreur si signal agrave 2 fois le seuil de deacutecision = 33
2x165
5
Limite de deacutetection (3)
0
0
0
0
0
0
0
0
165 33
Niveau signal
seuil de decision type 1 type 2 gt0
nb erreurs 9 9
bonnes deacutecisions 955
eacutecart type bruit analyseur 10
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
1
signal theacuteorique
signal reacuteel
seuil de deacutecision
erreur type 1
erreur type 2
-20 0 20 40 60 80
Si distr normale et probabiliteacute de 95LDD=33
On prend geacuteneacuteralement LDD=3 = eacutecart-type de la mesure laquo proche de zeacutero raquo
33
Etalonnage drsquoun systegraveme de mesure
Etalonnage laquo Opeacuteration consistant agrave eacutetablir une relation entre les valeurs de la grandeur indiqueacutees par un appareil de mesure et les valeurs correspondantes de la grandeur reacutealiseacutees par des eacutetalons raquo (VIM)
160
165
170
175
180
185
190
195
0 20 40 60 80 100
H
C pF
66
Etalonnage Creacuteation drsquoun modegravele de comportement
ETALONNAGE
Variables Xmesureacutees
(capteurs)
Variables Ymesureacutees(analyseshellip)
modegravele ou
Preacutedicteur F
Creacuteation modegravele
de comportement
Y=F(X)
PREDICTION
Variables Xmesureacutees(capteurs)
Estimation des
variables Y
Modegravele
Calcul de
preacutedictiontensions
Calibration Creation of a behavior model
34
67
Eacutetalonnage - calibrage
Eacutetalonnage (calibration) = calcul complet du modegravele neacutecessite un laquo grand raquo nombre drsquoexpeacuteriences
tension
pression
bull Calibrage ou ajustement de zeacutero (zero adjustment) = laquo recalage raquo du modegravele neacutecessite 1 expeacuterience (laquo zeacutero raquo) voire 2 (laquo zeacutero + gain raquo)
tension
pression
bullCorrection variations de fabrication
bullCorrection deacuterive
bullCorrection changement conditions expeacuterimentales (tempeacuterature tarage drsquoune balancehellip)
bullEtchellip
Si le modegravele nrsquoest pas lineacuteaire le calibrage ne peut corriger que de faibles variationshellip
68
Les moindres carreacutes
Meacutethode des moindres carreacutes (monovariable)
laquo minimal raquo pour lrsquoensemble des mesures en trouvant la
fonction optimale f
On veut modeacuteliser pour toutes les mesures (i) ෝ119962119946 = 119839(119961119946) en fait agrave partir
des expeacuteriences on a 119962119946 = 119839 119961119946 + 119942119946 ougrave 119942119946 = laquo reacutesidu raquo ou erreur
On utilise geacuteneacuteralement la distance Euclidienne
laquo minimale raquo en optimisant les 120637119947
The least Squares
120637119947 repreacutesente ici le ou les paramegravetres de la fonction agrave optimiser f (ex coefs polynocircme)
119942119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947
119946
119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947120784
35
69
La reacutegression lineacuteaire
Monovariable (y=f(x) ) + hypothegravese lineacuteaire (y=ax+b)
2 cas
X
Minimisations des erreurs sur Y
Reacutegression de yx
ybaxy e
Y
Minimisation des erreurs sur X
X
Reacutegression de xy
xbyax e ˆ
1ˆ
a
bx
ay
Attention une reacutegression de yx avec des
erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne une
erreur systeacutematique sur la pentehellip
Y
Linear regression
70
La reacutegression lineacuteaire yx ou xy
Attention une reacutegression de yx avec des erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne
une erreur systeacutematique sur la pentehellip
Diffeacuterence neacutegligeable dans une majoriteacute de cashellip
y = 10036x - 00354
-2
0
2
4
6
8
10
12
-2 0 2 4 6 8 10 12
y = 06669x + 16244
-2
0
2
4
6
8
10
12
-2 0 2 4 6 8 10 12
Reacutegression YX Reacutegression XY
36
71
Caracteacuteristiques de la reacutegression yx
Estimations de a et b
)(
)(
)x(x
)y)(yx(x
=a2
i
i
ii
xVar
yxCov
i
xayb
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
Calcul Excel agrave lrsquoaide debull Courbe de tendancebull droitereg
72
Erreur lieacutee agrave la mesure
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
2n
)y(yi
2
ii
yx
s
Ecart Type des reacutesidus
= ET de lrsquoerreur lieacutee agrave la mesure= ET de preacutediction que lrsquoon aurait (mecircmes conditions) si le modegravele eacutetait sans erreur
Mais le modegravele nrsquoest jamais exact
Erreur que lrsquoon aurait mecircme si le modegravele eacutetait parfait agrave cause de lrsquoerreur aleacuteatoire sur xhellipRepreacutesenteacutee par lrsquohellip
Rappel reacutesidu = eacutecart entre valeur preacutedite (sur droite de regression donc) et valeur expeacuterimentale
37
73
Erreur de modeacutelisation
Estimations incertitudes de a et b
baxy ˆ
Y
i
xyss
2
i
a
)x(xEcart type de la pente
i
i
i
xybn
x
ss2
i
2
)x(x
Ecart type de lrsquoordonneacutee agrave lrsquoorigine
Calcul Excel agrave lrsquoaide de la fonction laquo droitereg raquo
temps h tension
0 300E-05
1 440E-05
2 900E-05
3 900E-05
4 100E-04
formule =DROITEREG(YX11)
pente 00000186 00000336 OAO
s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO
R 0870821587 130792E-05 s(resid)
2022369447 3 N DL
34596E-09 5132E-10000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5TP5
Incertitude de preacutediction
74
2
2
11)ˆ(
xx
xX
mstYI
i
xy
bull m= nb eacutechantillons deacutetalonnagebull xi = valeurs deacutetalonnage dont moyenne xbull X = valeur deacutechantillon de preacutedictionbull Syx = eacutecart-type des reacutesidus
x
E Lieacutee agrave la mesure
E Type du modegravele
bull Si modegravele laquo parfait raquo (ou m grand) xystYI )ˆ(
bull Lrsquoincertitude augmente si X srsquoeacuteloigne de (problegraveme de lrsquoextrapolation) x
bull Deacutepend (un peuhellip) de X
I(pred)2=I(lieacutee agrave la mesure)2 + I(modelisation)2
TP6
38
75
Mesure de la qualiteacute dajustement dune reacutegression lineacuteaire
Var(Y) = Var( aX+b) + Var(e
information totale = information modeacuteliseacutee + information reacutesiduelle
Coef De deacutetermination
totale)Var(info
modeacuteliseacutee) Var(infodR
)()(
)(
YX
YXCovRc
Coef de correacutelation
Rd=Rc2
Y
76
Le coef de correacutelation utilisation
0
5
10
15
20
25
30
35
0 2 4 6 8 10 12
R=075
0
5
10
15
20
25
0 2 4 6 8 10 12
R=075
-100
0
100
200
300
400
500
600
0 5 10 15
R=075
Le cœfficient de correacutelation ne sert
agrave quantifier que les relations
lineacuteaires entre X et Yvariables
Il perd toute signification degraves lors
que les reacutesidus
R=08
R=08
R=08
39
77
Reacutegression lineacuteaire examen des reacutesidus
Veacuterification lineacuteariteacute
A corriger
eacuteventuellement avec
reacutegression non lineacuteaire
Deacutetection points
aberrants (outliers)A eacuteliminer apregraves
veacuterification et avec
preacutecautionshellip
Ri=yi-(axi+b)
Reacutesidu = information non
modeacuteliseacutee ideacutealement
erreur aleacuteatoire
residuals
paramegravetres modeacutelisation des donneacutees
ET bruit
v0
v1
a
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
850
900
950
y = 07063x - 39517
-100
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (m
V)
courant (mA)
Valeurs mesureacutees
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (
mV
)
courant (mA)
Graphe des reacutesidus mesure - droiteregr
78
Reacutegression non lineacuteaire reacutegression polynomiale
Ex courbe de
tendance dExcel
temps h
0
1
2
3
4
000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5
Permet de modeacuteliser la plupart des problegravemes peu non lineacuteaireshellip
demo TP7
40
79
Biblio amp liens utilesBouquins
Statistics for analytical Chemistry 3 rd ed JC Miller and JN Miller John Wiley amp Sons 1998
Multivariate Statistical Methods A Primer BFJ Monley Chapman amp Hall 1986
Modeacutelisation et estimation des erreurs de mesure M Neuilly CETAMA Lavoisier Paris 1993
Sites WWW
httpphysicsnistgovcuuUncertaintyindexhtml excellent site simple et succinct mais de reacutefeacuterence
sur la calcul des incertitudes ce document sen est beaucoup inspireacute Un cours plus complet de
statistiques est disponible agrave httpwwwitlnistgovdiv898handbook
httpswwwansesfrfrcontentguide-de-validation-des-mC3A9thodes-danalyses-des-laboratoires-de-rC3A9fC3A9rence Guide de lrsquoANSES Agence nationale de seacutecuriteacute sanitaire
de lrsquoalimentation de lrsquoenvironnement et du travail
httpwwwjybaudotfrStatsstatshtml Encyclopeacutedie des stats de Jean-Yves Baudot agrave la foi preacutecis vulgarisateur et marrant un challenge en statistiques
httpfrfreestatisticsinfoindexphp Collection de liens et surtout de Freewares sur les stats
8062
La norme AFNOR la plus utiliseacutee
httpwwwasqualabcomdocumentsqualitemetrologie19-unites_pifometriquespdf
32
Limite de deacutetection (2)
6380
Type 1 deacutetection signal alors qursquoil est absent (faux positif)
Exemple probabiliteacute de 5 drsquoerreur de type 1 ou 2
Type 2 non deacutetection signal alors qursquoil est preacutesent (faux neacutegatif)
165
5
Proba = 5 si seuil de deacutecision = 165
Si mecircme seuil de deacutecision (165) mecircme proba drsquoerreur si signal agrave 2 fois le seuil de deacutecision = 33
2x165
5
Limite de deacutetection (3)
0
0
0
0
0
0
0
0
165 33
Niveau signal
seuil de decision type 1 type 2 gt0
nb erreurs 9 9
bonnes deacutecisions 955
eacutecart type bruit analyseur 10
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
1
signal theacuteorique
signal reacuteel
seuil de deacutecision
erreur type 1
erreur type 2
-20 0 20 40 60 80
Si distr normale et probabiliteacute de 95LDD=33
On prend geacuteneacuteralement LDD=3 = eacutecart-type de la mesure laquo proche de zeacutero raquo
33
Etalonnage drsquoun systegraveme de mesure
Etalonnage laquo Opeacuteration consistant agrave eacutetablir une relation entre les valeurs de la grandeur indiqueacutees par un appareil de mesure et les valeurs correspondantes de la grandeur reacutealiseacutees par des eacutetalons raquo (VIM)
160
165
170
175
180
185
190
195
0 20 40 60 80 100
H
C pF
66
Etalonnage Creacuteation drsquoun modegravele de comportement
ETALONNAGE
Variables Xmesureacutees
(capteurs)
Variables Ymesureacutees(analyseshellip)
modegravele ou
Preacutedicteur F
Creacuteation modegravele
de comportement
Y=F(X)
PREDICTION
Variables Xmesureacutees(capteurs)
Estimation des
variables Y
Modegravele
Calcul de
preacutedictiontensions
Calibration Creation of a behavior model
34
67
Eacutetalonnage - calibrage
Eacutetalonnage (calibration) = calcul complet du modegravele neacutecessite un laquo grand raquo nombre drsquoexpeacuteriences
tension
pression
bull Calibrage ou ajustement de zeacutero (zero adjustment) = laquo recalage raquo du modegravele neacutecessite 1 expeacuterience (laquo zeacutero raquo) voire 2 (laquo zeacutero + gain raquo)
tension
pression
bullCorrection variations de fabrication
bullCorrection deacuterive
bullCorrection changement conditions expeacuterimentales (tempeacuterature tarage drsquoune balancehellip)
bullEtchellip
Si le modegravele nrsquoest pas lineacuteaire le calibrage ne peut corriger que de faibles variationshellip
68
Les moindres carreacutes
Meacutethode des moindres carreacutes (monovariable)
laquo minimal raquo pour lrsquoensemble des mesures en trouvant la
fonction optimale f
On veut modeacuteliser pour toutes les mesures (i) ෝ119962119946 = 119839(119961119946) en fait agrave partir
des expeacuteriences on a 119962119946 = 119839 119961119946 + 119942119946 ougrave 119942119946 = laquo reacutesidu raquo ou erreur
On utilise geacuteneacuteralement la distance Euclidienne
laquo minimale raquo en optimisant les 120637119947
The least Squares
120637119947 repreacutesente ici le ou les paramegravetres de la fonction agrave optimiser f (ex coefs polynocircme)
119942119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947
119946
119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947120784
35
69
La reacutegression lineacuteaire
Monovariable (y=f(x) ) + hypothegravese lineacuteaire (y=ax+b)
2 cas
X
Minimisations des erreurs sur Y
Reacutegression de yx
ybaxy e
Y
Minimisation des erreurs sur X
X
Reacutegression de xy
xbyax e ˆ
1ˆ
a
bx
ay
Attention une reacutegression de yx avec des
erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne une
erreur systeacutematique sur la pentehellip
Y
Linear regression
70
La reacutegression lineacuteaire yx ou xy
Attention une reacutegression de yx avec des erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne
une erreur systeacutematique sur la pentehellip
Diffeacuterence neacutegligeable dans une majoriteacute de cashellip
y = 10036x - 00354
-2
0
2
4
6
8
10
12
-2 0 2 4 6 8 10 12
y = 06669x + 16244
-2
0
2
4
6
8
10
12
-2 0 2 4 6 8 10 12
Reacutegression YX Reacutegression XY
36
71
Caracteacuteristiques de la reacutegression yx
Estimations de a et b
)(
)(
)x(x
)y)(yx(x
=a2
i
i
ii
xVar
yxCov
i
xayb
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
Calcul Excel agrave lrsquoaide debull Courbe de tendancebull droitereg
72
Erreur lieacutee agrave la mesure
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
2n
)y(yi
2
ii
yx
s
Ecart Type des reacutesidus
= ET de lrsquoerreur lieacutee agrave la mesure= ET de preacutediction que lrsquoon aurait (mecircmes conditions) si le modegravele eacutetait sans erreur
Mais le modegravele nrsquoest jamais exact
Erreur que lrsquoon aurait mecircme si le modegravele eacutetait parfait agrave cause de lrsquoerreur aleacuteatoire sur xhellipRepreacutesenteacutee par lrsquohellip
Rappel reacutesidu = eacutecart entre valeur preacutedite (sur droite de regression donc) et valeur expeacuterimentale
37
73
Erreur de modeacutelisation
Estimations incertitudes de a et b
baxy ˆ
Y
i
xyss
2
i
a
)x(xEcart type de la pente
i
i
i
xybn
x
ss2
i
2
)x(x
Ecart type de lrsquoordonneacutee agrave lrsquoorigine
Calcul Excel agrave lrsquoaide de la fonction laquo droitereg raquo
temps h tension
0 300E-05
1 440E-05
2 900E-05
3 900E-05
4 100E-04
formule =DROITEREG(YX11)
pente 00000186 00000336 OAO
s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO
R 0870821587 130792E-05 s(resid)
2022369447 3 N DL
34596E-09 5132E-10000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5TP5
Incertitude de preacutediction
74
2
2
11)ˆ(
xx
xX
mstYI
i
xy
bull m= nb eacutechantillons deacutetalonnagebull xi = valeurs deacutetalonnage dont moyenne xbull X = valeur deacutechantillon de preacutedictionbull Syx = eacutecart-type des reacutesidus
x
E Lieacutee agrave la mesure
E Type du modegravele
bull Si modegravele laquo parfait raquo (ou m grand) xystYI )ˆ(
bull Lrsquoincertitude augmente si X srsquoeacuteloigne de (problegraveme de lrsquoextrapolation) x
bull Deacutepend (un peuhellip) de X
I(pred)2=I(lieacutee agrave la mesure)2 + I(modelisation)2
TP6
38
75
Mesure de la qualiteacute dajustement dune reacutegression lineacuteaire
Var(Y) = Var( aX+b) + Var(e
information totale = information modeacuteliseacutee + information reacutesiduelle
Coef De deacutetermination
totale)Var(info
modeacuteliseacutee) Var(infodR
)()(
)(
YX
YXCovRc
Coef de correacutelation
Rd=Rc2
Y
76
Le coef de correacutelation utilisation
0
5
10
15
20
25
30
35
0 2 4 6 8 10 12
R=075
0
5
10
15
20
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0 2 4 6 8 10 12
R=075
-100
0
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200
300
400
500
600
0 5 10 15
R=075
Le cœfficient de correacutelation ne sert
agrave quantifier que les relations
lineacuteaires entre X et Yvariables
Il perd toute signification degraves lors
que les reacutesidus
R=08
R=08
R=08
39
77
Reacutegression lineacuteaire examen des reacutesidus
Veacuterification lineacuteariteacute
A corriger
eacuteventuellement avec
reacutegression non lineacuteaire
Deacutetection points
aberrants (outliers)A eacuteliminer apregraves
veacuterification et avec
preacutecautionshellip
Ri=yi-(axi+b)
Reacutesidu = information non
modeacuteliseacutee ideacutealement
erreur aleacuteatoire
residuals
paramegravetres modeacutelisation des donneacutees
ET bruit
v0
v1
a
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
850
900
950
y = 07063x - 39517
-100
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (m
V)
courant (mA)
Valeurs mesureacutees
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (
mV
)
courant (mA)
Graphe des reacutesidus mesure - droiteregr
78
Reacutegression non lineacuteaire reacutegression polynomiale
Ex courbe de
tendance dExcel
temps h
0
1
2
3
4
000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5
Permet de modeacuteliser la plupart des problegravemes peu non lineacuteaireshellip
demo TP7
40
79
Biblio amp liens utilesBouquins
Statistics for analytical Chemistry 3 rd ed JC Miller and JN Miller John Wiley amp Sons 1998
Multivariate Statistical Methods A Primer BFJ Monley Chapman amp Hall 1986
Modeacutelisation et estimation des erreurs de mesure M Neuilly CETAMA Lavoisier Paris 1993
Sites WWW
httpphysicsnistgovcuuUncertaintyindexhtml excellent site simple et succinct mais de reacutefeacuterence
sur la calcul des incertitudes ce document sen est beaucoup inspireacute Un cours plus complet de
statistiques est disponible agrave httpwwwitlnistgovdiv898handbook
httpswwwansesfrfrcontentguide-de-validation-des-mC3A9thodes-danalyses-des-laboratoires-de-rC3A9fC3A9rence Guide de lrsquoANSES Agence nationale de seacutecuriteacute sanitaire
de lrsquoalimentation de lrsquoenvironnement et du travail
httpwwwjybaudotfrStatsstatshtml Encyclopeacutedie des stats de Jean-Yves Baudot agrave la foi preacutecis vulgarisateur et marrant un challenge en statistiques
httpfrfreestatisticsinfoindexphp Collection de liens et surtout de Freewares sur les stats
8062
La norme AFNOR la plus utiliseacutee
httpwwwasqualabcomdocumentsqualitemetrologie19-unites_pifometriquespdf
33
Etalonnage drsquoun systegraveme de mesure
Etalonnage laquo Opeacuteration consistant agrave eacutetablir une relation entre les valeurs de la grandeur indiqueacutees par un appareil de mesure et les valeurs correspondantes de la grandeur reacutealiseacutees par des eacutetalons raquo (VIM)
160
165
170
175
180
185
190
195
0 20 40 60 80 100
H
C pF
66
Etalonnage Creacuteation drsquoun modegravele de comportement
ETALONNAGE
Variables Xmesureacutees
(capteurs)
Variables Ymesureacutees(analyseshellip)
modegravele ou
Preacutedicteur F
Creacuteation modegravele
de comportement
Y=F(X)
PREDICTION
Variables Xmesureacutees(capteurs)
Estimation des
variables Y
Modegravele
Calcul de
preacutedictiontensions
Calibration Creation of a behavior model
34
67
Eacutetalonnage - calibrage
Eacutetalonnage (calibration) = calcul complet du modegravele neacutecessite un laquo grand raquo nombre drsquoexpeacuteriences
tension
pression
bull Calibrage ou ajustement de zeacutero (zero adjustment) = laquo recalage raquo du modegravele neacutecessite 1 expeacuterience (laquo zeacutero raquo) voire 2 (laquo zeacutero + gain raquo)
tension
pression
bullCorrection variations de fabrication
bullCorrection deacuterive
bullCorrection changement conditions expeacuterimentales (tempeacuterature tarage drsquoune balancehellip)
bullEtchellip
Si le modegravele nrsquoest pas lineacuteaire le calibrage ne peut corriger que de faibles variationshellip
68
Les moindres carreacutes
Meacutethode des moindres carreacutes (monovariable)
laquo minimal raquo pour lrsquoensemble des mesures en trouvant la
fonction optimale f
On veut modeacuteliser pour toutes les mesures (i) ෝ119962119946 = 119839(119961119946) en fait agrave partir
des expeacuteriences on a 119962119946 = 119839 119961119946 + 119942119946 ougrave 119942119946 = laquo reacutesidu raquo ou erreur
On utilise geacuteneacuteralement la distance Euclidienne
laquo minimale raquo en optimisant les 120637119947
The least Squares
120637119947 repreacutesente ici le ou les paramegravetres de la fonction agrave optimiser f (ex coefs polynocircme)
119942119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947
119946
119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947120784
35
69
La reacutegression lineacuteaire
Monovariable (y=f(x) ) + hypothegravese lineacuteaire (y=ax+b)
2 cas
X
Minimisations des erreurs sur Y
Reacutegression de yx
ybaxy e
Y
Minimisation des erreurs sur X
X
Reacutegression de xy
xbyax e ˆ
1ˆ
a
bx
ay
Attention une reacutegression de yx avec des
erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne une
erreur systeacutematique sur la pentehellip
Y
Linear regression
70
La reacutegression lineacuteaire yx ou xy
Attention une reacutegression de yx avec des erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne
une erreur systeacutematique sur la pentehellip
Diffeacuterence neacutegligeable dans une majoriteacute de cashellip
y = 10036x - 00354
-2
0
2
4
6
8
10
12
-2 0 2 4 6 8 10 12
y = 06669x + 16244
-2
0
2
4
6
8
10
12
-2 0 2 4 6 8 10 12
Reacutegression YX Reacutegression XY
36
71
Caracteacuteristiques de la reacutegression yx
Estimations de a et b
)(
)(
)x(x
)y)(yx(x
=a2
i
i
ii
xVar
yxCov
i
xayb
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
Calcul Excel agrave lrsquoaide debull Courbe de tendancebull droitereg
72
Erreur lieacutee agrave la mesure
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
2n
)y(yi
2
ii
yx
s
Ecart Type des reacutesidus
= ET de lrsquoerreur lieacutee agrave la mesure= ET de preacutediction que lrsquoon aurait (mecircmes conditions) si le modegravele eacutetait sans erreur
Mais le modegravele nrsquoest jamais exact
Erreur que lrsquoon aurait mecircme si le modegravele eacutetait parfait agrave cause de lrsquoerreur aleacuteatoire sur xhellipRepreacutesenteacutee par lrsquohellip
Rappel reacutesidu = eacutecart entre valeur preacutedite (sur droite de regression donc) et valeur expeacuterimentale
37
73
Erreur de modeacutelisation
Estimations incertitudes de a et b
baxy ˆ
Y
i
xyss
2
i
a
)x(xEcart type de la pente
i
i
i
xybn
x
ss2
i
2
)x(x
Ecart type de lrsquoordonneacutee agrave lrsquoorigine
Calcul Excel agrave lrsquoaide de la fonction laquo droitereg raquo
temps h tension
0 300E-05
1 440E-05
2 900E-05
3 900E-05
4 100E-04
formule =DROITEREG(YX11)
pente 00000186 00000336 OAO
s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO
R 0870821587 130792E-05 s(resid)
2022369447 3 N DL
34596E-09 5132E-10000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5TP5
Incertitude de preacutediction
74
2
2
11)ˆ(
xx
xX
mstYI
i
xy
bull m= nb eacutechantillons deacutetalonnagebull xi = valeurs deacutetalonnage dont moyenne xbull X = valeur deacutechantillon de preacutedictionbull Syx = eacutecart-type des reacutesidus
x
E Lieacutee agrave la mesure
E Type du modegravele
bull Si modegravele laquo parfait raquo (ou m grand) xystYI )ˆ(
bull Lrsquoincertitude augmente si X srsquoeacuteloigne de (problegraveme de lrsquoextrapolation) x
bull Deacutepend (un peuhellip) de X
I(pred)2=I(lieacutee agrave la mesure)2 + I(modelisation)2
TP6
38
75
Mesure de la qualiteacute dajustement dune reacutegression lineacuteaire
Var(Y) = Var( aX+b) + Var(e
information totale = information modeacuteliseacutee + information reacutesiduelle
Coef De deacutetermination
totale)Var(info
modeacuteliseacutee) Var(infodR
)()(
)(
YX
YXCovRc
Coef de correacutelation
Rd=Rc2
Y
76
Le coef de correacutelation utilisation
0
5
10
15
20
25
30
35
0 2 4 6 8 10 12
R=075
0
5
10
15
20
25
0 2 4 6 8 10 12
R=075
-100
0
100
200
300
400
500
600
0 5 10 15
R=075
Le cœfficient de correacutelation ne sert
agrave quantifier que les relations
lineacuteaires entre X et Yvariables
Il perd toute signification degraves lors
que les reacutesidus
R=08
R=08
R=08
39
77
Reacutegression lineacuteaire examen des reacutesidus
Veacuterification lineacuteariteacute
A corriger
eacuteventuellement avec
reacutegression non lineacuteaire
Deacutetection points
aberrants (outliers)A eacuteliminer apregraves
veacuterification et avec
preacutecautionshellip
Ri=yi-(axi+b)
Reacutesidu = information non
modeacuteliseacutee ideacutealement
erreur aleacuteatoire
residuals
paramegravetres modeacutelisation des donneacutees
ET bruit
v0
v1
a
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
850
900
950
y = 07063x - 39517
-100
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (m
V)
courant (mA)
Valeurs mesureacutees
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (
mV
)
courant (mA)
Graphe des reacutesidus mesure - droiteregr
78
Reacutegression non lineacuteaire reacutegression polynomiale
Ex courbe de
tendance dExcel
temps h
0
1
2
3
4
000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5
Permet de modeacuteliser la plupart des problegravemes peu non lineacuteaireshellip
demo TP7
40
79
Biblio amp liens utilesBouquins
Statistics for analytical Chemistry 3 rd ed JC Miller and JN Miller John Wiley amp Sons 1998
Multivariate Statistical Methods A Primer BFJ Monley Chapman amp Hall 1986
Modeacutelisation et estimation des erreurs de mesure M Neuilly CETAMA Lavoisier Paris 1993
Sites WWW
httpphysicsnistgovcuuUncertaintyindexhtml excellent site simple et succinct mais de reacutefeacuterence
sur la calcul des incertitudes ce document sen est beaucoup inspireacute Un cours plus complet de
statistiques est disponible agrave httpwwwitlnistgovdiv898handbook
httpswwwansesfrfrcontentguide-de-validation-des-mC3A9thodes-danalyses-des-laboratoires-de-rC3A9fC3A9rence Guide de lrsquoANSES Agence nationale de seacutecuriteacute sanitaire
de lrsquoalimentation de lrsquoenvironnement et du travail
httpwwwjybaudotfrStatsstatshtml Encyclopeacutedie des stats de Jean-Yves Baudot agrave la foi preacutecis vulgarisateur et marrant un challenge en statistiques
httpfrfreestatisticsinfoindexphp Collection de liens et surtout de Freewares sur les stats
8062
La norme AFNOR la plus utiliseacutee
httpwwwasqualabcomdocumentsqualitemetrologie19-unites_pifometriquespdf
34
67
Eacutetalonnage - calibrage
Eacutetalonnage (calibration) = calcul complet du modegravele neacutecessite un laquo grand raquo nombre drsquoexpeacuteriences
tension
pression
bull Calibrage ou ajustement de zeacutero (zero adjustment) = laquo recalage raquo du modegravele neacutecessite 1 expeacuterience (laquo zeacutero raquo) voire 2 (laquo zeacutero + gain raquo)
tension
pression
bullCorrection variations de fabrication
bullCorrection deacuterive
bullCorrection changement conditions expeacuterimentales (tempeacuterature tarage drsquoune balancehellip)
bullEtchellip
Si le modegravele nrsquoest pas lineacuteaire le calibrage ne peut corriger que de faibles variationshellip
68
Les moindres carreacutes
Meacutethode des moindres carreacutes (monovariable)
laquo minimal raquo pour lrsquoensemble des mesures en trouvant la
fonction optimale f
On veut modeacuteliser pour toutes les mesures (i) ෝ119962119946 = 119839(119961119946) en fait agrave partir
des expeacuteriences on a 119962119946 = 119839 119961119946 + 119942119946 ougrave 119942119946 = laquo reacutesidu raquo ou erreur
On utilise geacuteneacuteralement la distance Euclidienne
laquo minimale raquo en optimisant les 120637119947
The least Squares
120637119947 repreacutesente ici le ou les paramegravetres de la fonction agrave optimiser f (ex coefs polynocircme)
119942119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947
119946
119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947120784
35
69
La reacutegression lineacuteaire
Monovariable (y=f(x) ) + hypothegravese lineacuteaire (y=ax+b)
2 cas
X
Minimisations des erreurs sur Y
Reacutegression de yx
ybaxy e
Y
Minimisation des erreurs sur X
X
Reacutegression de xy
xbyax e ˆ
1ˆ
a
bx
ay
Attention une reacutegression de yx avec des
erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne une
erreur systeacutematique sur la pentehellip
Y
Linear regression
70
La reacutegression lineacuteaire yx ou xy
Attention une reacutegression de yx avec des erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne
une erreur systeacutematique sur la pentehellip
Diffeacuterence neacutegligeable dans une majoriteacute de cashellip
y = 10036x - 00354
-2
0
2
4
6
8
10
12
-2 0 2 4 6 8 10 12
y = 06669x + 16244
-2
0
2
4
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12
-2 0 2 4 6 8 10 12
Reacutegression YX Reacutegression XY
36
71
Caracteacuteristiques de la reacutegression yx
Estimations de a et b
)(
)(
)x(x
)y)(yx(x
=a2
i
i
ii
xVar
yxCov
i
xayb
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
Calcul Excel agrave lrsquoaide debull Courbe de tendancebull droitereg
72
Erreur lieacutee agrave la mesure
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
2n
)y(yi
2
ii
yx
s
Ecart Type des reacutesidus
= ET de lrsquoerreur lieacutee agrave la mesure= ET de preacutediction que lrsquoon aurait (mecircmes conditions) si le modegravele eacutetait sans erreur
Mais le modegravele nrsquoest jamais exact
Erreur que lrsquoon aurait mecircme si le modegravele eacutetait parfait agrave cause de lrsquoerreur aleacuteatoire sur xhellipRepreacutesenteacutee par lrsquohellip
Rappel reacutesidu = eacutecart entre valeur preacutedite (sur droite de regression donc) et valeur expeacuterimentale
37
73
Erreur de modeacutelisation
Estimations incertitudes de a et b
baxy ˆ
Y
i
xyss
2
i
a
)x(xEcart type de la pente
i
i
i
xybn
x
ss2
i
2
)x(x
Ecart type de lrsquoordonneacutee agrave lrsquoorigine
Calcul Excel agrave lrsquoaide de la fonction laquo droitereg raquo
temps h tension
0 300E-05
1 440E-05
2 900E-05
3 900E-05
4 100E-04
formule =DROITEREG(YX11)
pente 00000186 00000336 OAO
s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO
R 0870821587 130792E-05 s(resid)
2022369447 3 N DL
34596E-09 5132E-10000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5TP5
Incertitude de preacutediction
74
2
2
11)ˆ(
xx
xX
mstYI
i
xy
bull m= nb eacutechantillons deacutetalonnagebull xi = valeurs deacutetalonnage dont moyenne xbull X = valeur deacutechantillon de preacutedictionbull Syx = eacutecart-type des reacutesidus
x
E Lieacutee agrave la mesure
E Type du modegravele
bull Si modegravele laquo parfait raquo (ou m grand) xystYI )ˆ(
bull Lrsquoincertitude augmente si X srsquoeacuteloigne de (problegraveme de lrsquoextrapolation) x
bull Deacutepend (un peuhellip) de X
I(pred)2=I(lieacutee agrave la mesure)2 + I(modelisation)2
TP6
38
75
Mesure de la qualiteacute dajustement dune reacutegression lineacuteaire
Var(Y) = Var( aX+b) + Var(e
information totale = information modeacuteliseacutee + information reacutesiduelle
Coef De deacutetermination
totale)Var(info
modeacuteliseacutee) Var(infodR
)()(
)(
YX
YXCovRc
Coef de correacutelation
Rd=Rc2
Y
76
Le coef de correacutelation utilisation
0
5
10
15
20
25
30
35
0 2 4 6 8 10 12
R=075
0
5
10
15
20
25
0 2 4 6 8 10 12
R=075
-100
0
100
200
300
400
500
600
0 5 10 15
R=075
Le cœfficient de correacutelation ne sert
agrave quantifier que les relations
lineacuteaires entre X et Yvariables
Il perd toute signification degraves lors
que les reacutesidus
R=08
R=08
R=08
39
77
Reacutegression lineacuteaire examen des reacutesidus
Veacuterification lineacuteariteacute
A corriger
eacuteventuellement avec
reacutegression non lineacuteaire
Deacutetection points
aberrants (outliers)A eacuteliminer apregraves
veacuterification et avec
preacutecautionshellip
Ri=yi-(axi+b)
Reacutesidu = information non
modeacuteliseacutee ideacutealement
erreur aleacuteatoire
residuals
paramegravetres modeacutelisation des donneacutees
ET bruit
v0
v1
a
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
850
900
950
y = 07063x - 39517
-100
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600
700
800
900
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (m
V)
courant (mA)
Valeurs mesureacutees
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (
mV
)
courant (mA)
Graphe des reacutesidus mesure - droiteregr
78
Reacutegression non lineacuteaire reacutegression polynomiale
Ex courbe de
tendance dExcel
temps h
0
1
2
3
4
000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5
Permet de modeacuteliser la plupart des problegravemes peu non lineacuteaireshellip
demo TP7
40
79
Biblio amp liens utilesBouquins
Statistics for analytical Chemistry 3 rd ed JC Miller and JN Miller John Wiley amp Sons 1998
Multivariate Statistical Methods A Primer BFJ Monley Chapman amp Hall 1986
Modeacutelisation et estimation des erreurs de mesure M Neuilly CETAMA Lavoisier Paris 1993
Sites WWW
httpphysicsnistgovcuuUncertaintyindexhtml excellent site simple et succinct mais de reacutefeacuterence
sur la calcul des incertitudes ce document sen est beaucoup inspireacute Un cours plus complet de
statistiques est disponible agrave httpwwwitlnistgovdiv898handbook
httpswwwansesfrfrcontentguide-de-validation-des-mC3A9thodes-danalyses-des-laboratoires-de-rC3A9fC3A9rence Guide de lrsquoANSES Agence nationale de seacutecuriteacute sanitaire
de lrsquoalimentation de lrsquoenvironnement et du travail
httpwwwjybaudotfrStatsstatshtml Encyclopeacutedie des stats de Jean-Yves Baudot agrave la foi preacutecis vulgarisateur et marrant un challenge en statistiques
httpfrfreestatisticsinfoindexphp Collection de liens et surtout de Freewares sur les stats
8062
La norme AFNOR la plus utiliseacutee
httpwwwasqualabcomdocumentsqualitemetrologie19-unites_pifometriquespdf
35
69
La reacutegression lineacuteaire
Monovariable (y=f(x) ) + hypothegravese lineacuteaire (y=ax+b)
2 cas
X
Minimisations des erreurs sur Y
Reacutegression de yx
ybaxy e
Y
Minimisation des erreurs sur X
X
Reacutegression de xy
xbyax e ˆ
1ˆ
a
bx
ay
Attention une reacutegression de yx avec des
erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne une
erreur systeacutematique sur la pentehellip
Y
Linear regression
70
La reacutegression lineacuteaire yx ou xy
Attention une reacutegression de yx avec des erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne
une erreur systeacutematique sur la pentehellip
Diffeacuterence neacutegligeable dans une majoriteacute de cashellip
y = 10036x - 00354
-2
0
2
4
6
8
10
12
-2 0 2 4 6 8 10 12
y = 06669x + 16244
-2
0
2
4
6
8
10
12
-2 0 2 4 6 8 10 12
Reacutegression YX Reacutegression XY
36
71
Caracteacuteristiques de la reacutegression yx
Estimations de a et b
)(
)(
)x(x
)y)(yx(x
=a2
i
i
ii
xVar
yxCov
i
xayb
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
Calcul Excel agrave lrsquoaide debull Courbe de tendancebull droitereg
72
Erreur lieacutee agrave la mesure
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
2n
)y(yi
2
ii
yx
s
Ecart Type des reacutesidus
= ET de lrsquoerreur lieacutee agrave la mesure= ET de preacutediction que lrsquoon aurait (mecircmes conditions) si le modegravele eacutetait sans erreur
Mais le modegravele nrsquoest jamais exact
Erreur que lrsquoon aurait mecircme si le modegravele eacutetait parfait agrave cause de lrsquoerreur aleacuteatoire sur xhellipRepreacutesenteacutee par lrsquohellip
Rappel reacutesidu = eacutecart entre valeur preacutedite (sur droite de regression donc) et valeur expeacuterimentale
37
73
Erreur de modeacutelisation
Estimations incertitudes de a et b
baxy ˆ
Y
i
xyss
2
i
a
)x(xEcart type de la pente
i
i
i
xybn
x
ss2
i
2
)x(x
Ecart type de lrsquoordonneacutee agrave lrsquoorigine
Calcul Excel agrave lrsquoaide de la fonction laquo droitereg raquo
temps h tension
0 300E-05
1 440E-05
2 900E-05
3 900E-05
4 100E-04
formule =DROITEREG(YX11)
pente 00000186 00000336 OAO
s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO
R 0870821587 130792E-05 s(resid)
2022369447 3 N DL
34596E-09 5132E-10000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5TP5
Incertitude de preacutediction
74
2
2
11)ˆ(
xx
xX
mstYI
i
xy
bull m= nb eacutechantillons deacutetalonnagebull xi = valeurs deacutetalonnage dont moyenne xbull X = valeur deacutechantillon de preacutedictionbull Syx = eacutecart-type des reacutesidus
x
E Lieacutee agrave la mesure
E Type du modegravele
bull Si modegravele laquo parfait raquo (ou m grand) xystYI )ˆ(
bull Lrsquoincertitude augmente si X srsquoeacuteloigne de (problegraveme de lrsquoextrapolation) x
bull Deacutepend (un peuhellip) de X
I(pred)2=I(lieacutee agrave la mesure)2 + I(modelisation)2
TP6
38
75
Mesure de la qualiteacute dajustement dune reacutegression lineacuteaire
Var(Y) = Var( aX+b) + Var(e
information totale = information modeacuteliseacutee + information reacutesiduelle
Coef De deacutetermination
totale)Var(info
modeacuteliseacutee) Var(infodR
)()(
)(
YX
YXCovRc
Coef de correacutelation
Rd=Rc2
Y
76
Le coef de correacutelation utilisation
0
5
10
15
20
25
30
35
0 2 4 6 8 10 12
R=075
0
5
10
15
20
25
0 2 4 6 8 10 12
R=075
-100
0
100
200
300
400
500
600
0 5 10 15
R=075
Le cœfficient de correacutelation ne sert
agrave quantifier que les relations
lineacuteaires entre X et Yvariables
Il perd toute signification degraves lors
que les reacutesidus
R=08
R=08
R=08
39
77
Reacutegression lineacuteaire examen des reacutesidus
Veacuterification lineacuteariteacute
A corriger
eacuteventuellement avec
reacutegression non lineacuteaire
Deacutetection points
aberrants (outliers)A eacuteliminer apregraves
veacuterification et avec
preacutecautionshellip
Ri=yi-(axi+b)
Reacutesidu = information non
modeacuteliseacutee ideacutealement
erreur aleacuteatoire
residuals
paramegravetres modeacutelisation des donneacutees
ET bruit
v0
v1
a
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
850
900
950
y = 07063x - 39517
-100
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (m
V)
courant (mA)
Valeurs mesureacutees
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (
mV
)
courant (mA)
Graphe des reacutesidus mesure - droiteregr
78
Reacutegression non lineacuteaire reacutegression polynomiale
Ex courbe de
tendance dExcel
temps h
0
1
2
3
4
000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5
Permet de modeacuteliser la plupart des problegravemes peu non lineacuteaireshellip
demo TP7
40
79
Biblio amp liens utilesBouquins
Statistics for analytical Chemistry 3 rd ed JC Miller and JN Miller John Wiley amp Sons 1998
Multivariate Statistical Methods A Primer BFJ Monley Chapman amp Hall 1986
Modeacutelisation et estimation des erreurs de mesure M Neuilly CETAMA Lavoisier Paris 1993
Sites WWW
httpphysicsnistgovcuuUncertaintyindexhtml excellent site simple et succinct mais de reacutefeacuterence
sur la calcul des incertitudes ce document sen est beaucoup inspireacute Un cours plus complet de
statistiques est disponible agrave httpwwwitlnistgovdiv898handbook
httpswwwansesfrfrcontentguide-de-validation-des-mC3A9thodes-danalyses-des-laboratoires-de-rC3A9fC3A9rence Guide de lrsquoANSES Agence nationale de seacutecuriteacute sanitaire
de lrsquoalimentation de lrsquoenvironnement et du travail
httpwwwjybaudotfrStatsstatshtml Encyclopeacutedie des stats de Jean-Yves Baudot agrave la foi preacutecis vulgarisateur et marrant un challenge en statistiques
httpfrfreestatisticsinfoindexphp Collection de liens et surtout de Freewares sur les stats
8062
La norme AFNOR la plus utiliseacutee
httpwwwasqualabcomdocumentsqualitemetrologie19-unites_pifometriquespdf
36
71
Caracteacuteristiques de la reacutegression yx
Estimations de a et b
)(
)(
)x(x
)y)(yx(x
=a2
i
i
ii
xVar
yxCov
i
xayb
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
Calcul Excel agrave lrsquoaide debull Courbe de tendancebull droitereg
72
Erreur lieacutee agrave la mesure
Minimisations des erreurs
sur Y
baxy ˆ
Y
2n
)y(yi
2
ii
yx
s
Ecart Type des reacutesidus
= ET de lrsquoerreur lieacutee agrave la mesure= ET de preacutediction que lrsquoon aurait (mecircmes conditions) si le modegravele eacutetait sans erreur
Mais le modegravele nrsquoest jamais exact
Erreur que lrsquoon aurait mecircme si le modegravele eacutetait parfait agrave cause de lrsquoerreur aleacuteatoire sur xhellipRepreacutesenteacutee par lrsquohellip
Rappel reacutesidu = eacutecart entre valeur preacutedite (sur droite de regression donc) et valeur expeacuterimentale
37
73
Erreur de modeacutelisation
Estimations incertitudes de a et b
baxy ˆ
Y
i
xyss
2
i
a
)x(xEcart type de la pente
i
i
i
xybn
x
ss2
i
2
)x(x
Ecart type de lrsquoordonneacutee agrave lrsquoorigine
Calcul Excel agrave lrsquoaide de la fonction laquo droitereg raquo
temps h tension
0 300E-05
1 440E-05
2 900E-05
3 900E-05
4 100E-04
formule =DROITEREG(YX11)
pente 00000186 00000336 OAO
s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO
R 0870821587 130792E-05 s(resid)
2022369447 3 N DL
34596E-09 5132E-10000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5TP5
Incertitude de preacutediction
74
2
2
11)ˆ(
xx
xX
mstYI
i
xy
bull m= nb eacutechantillons deacutetalonnagebull xi = valeurs deacutetalonnage dont moyenne xbull X = valeur deacutechantillon de preacutedictionbull Syx = eacutecart-type des reacutesidus
x
E Lieacutee agrave la mesure
E Type du modegravele
bull Si modegravele laquo parfait raquo (ou m grand) xystYI )ˆ(
bull Lrsquoincertitude augmente si X srsquoeacuteloigne de (problegraveme de lrsquoextrapolation) x
bull Deacutepend (un peuhellip) de X
I(pred)2=I(lieacutee agrave la mesure)2 + I(modelisation)2
TP6
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75
Mesure de la qualiteacute dajustement dune reacutegression lineacuteaire
Var(Y) = Var( aX+b) + Var(e
information totale = information modeacuteliseacutee + information reacutesiduelle
Coef De deacutetermination
totale)Var(info
modeacuteliseacutee) Var(infodR
)()(
)(
YX
YXCovRc
Coef de correacutelation
Rd=Rc2
Y
76
Le coef de correacutelation utilisation
0
5
10
15
20
25
30
35
0 2 4 6 8 10 12
R=075
0
5
10
15
20
25
0 2 4 6 8 10 12
R=075
-100
0
100
200
300
400
500
600
0 5 10 15
R=075
Le cœfficient de correacutelation ne sert
agrave quantifier que les relations
lineacuteaires entre X et Yvariables
Il perd toute signification degraves lors
que les reacutesidus
R=08
R=08
R=08
39
77
Reacutegression lineacuteaire examen des reacutesidus
Veacuterification lineacuteariteacute
A corriger
eacuteventuellement avec
reacutegression non lineacuteaire
Deacutetection points
aberrants (outliers)A eacuteliminer apregraves
veacuterification et avec
preacutecautionshellip
Ri=yi-(axi+b)
Reacutesidu = information non
modeacuteliseacutee ideacutealement
erreur aleacuteatoire
residuals
paramegravetres modeacutelisation des donneacutees
ET bruit
v0
v1
a
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
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550
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650
700
750
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850
900
950
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-100
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (m
V)
courant (mA)
Valeurs mesureacutees
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (
mV
)
courant (mA)
Graphe des reacutesidus mesure - droiteregr
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Reacutegression non lineacuteaire reacutegression polynomiale
Ex courbe de
tendance dExcel
temps h
0
1
2
3
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000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5
Permet de modeacuteliser la plupart des problegravemes peu non lineacuteaireshellip
demo TP7
40
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Biblio amp liens utilesBouquins
Statistics for analytical Chemistry 3 rd ed JC Miller and JN Miller John Wiley amp Sons 1998
Multivariate Statistical Methods A Primer BFJ Monley Chapman amp Hall 1986
Modeacutelisation et estimation des erreurs de mesure M Neuilly CETAMA Lavoisier Paris 1993
Sites WWW
httpphysicsnistgovcuuUncertaintyindexhtml excellent site simple et succinct mais de reacutefeacuterence
sur la calcul des incertitudes ce document sen est beaucoup inspireacute Un cours plus complet de
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httpswwwansesfrfrcontentguide-de-validation-des-mC3A9thodes-danalyses-des-laboratoires-de-rC3A9fC3A9rence Guide de lrsquoANSES Agence nationale de seacutecuriteacute sanitaire
de lrsquoalimentation de lrsquoenvironnement et du travail
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Erreur de modeacutelisation
Estimations incertitudes de a et b
baxy ˆ
Y
i
xyss
2
i
a
)x(xEcart type de la pente
i
i
i
xybn
x
ss2
i
2
)x(x
Ecart type de lrsquoordonneacutee agrave lrsquoorigine
Calcul Excel agrave lrsquoaide de la fonction laquo droitereg raquo
temps h tension
0 300E-05
1 440E-05
2 900E-05
3 900E-05
4 100E-04
formule =DROITEREG(YX11)
pente 00000186 00000336 OAO
s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO
R 0870821587 130792E-05 s(resid)
2022369447 3 N DL
34596E-09 5132E-10000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5TP5
Incertitude de preacutediction
74
2
2
11)ˆ(
xx
xX
mstYI
i
xy
bull m= nb eacutechantillons deacutetalonnagebull xi = valeurs deacutetalonnage dont moyenne xbull X = valeur deacutechantillon de preacutedictionbull Syx = eacutecart-type des reacutesidus
x
E Lieacutee agrave la mesure
E Type du modegravele
bull Si modegravele laquo parfait raquo (ou m grand) xystYI )ˆ(
bull Lrsquoincertitude augmente si X srsquoeacuteloigne de (problegraveme de lrsquoextrapolation) x
bull Deacutepend (un peuhellip) de X
I(pred)2=I(lieacutee agrave la mesure)2 + I(modelisation)2
TP6
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Mesure de la qualiteacute dajustement dune reacutegression lineacuteaire
Var(Y) = Var( aX+b) + Var(e
information totale = information modeacuteliseacutee + information reacutesiduelle
Coef De deacutetermination
totale)Var(info
modeacuteliseacutee) Var(infodR
)()(
)(
YX
YXCovRc
Coef de correacutelation
Rd=Rc2
Y
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Le coef de correacutelation utilisation
0
5
10
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0 2 4 6 8 10 12
R=075
0
5
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R=075
-100
0
100
200
300
400
500
600
0 5 10 15
R=075
Le cœfficient de correacutelation ne sert
agrave quantifier que les relations
lineacuteaires entre X et Yvariables
Il perd toute signification degraves lors
que les reacutesidus
R=08
R=08
R=08
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Reacutegression lineacuteaire examen des reacutesidus
Veacuterification lineacuteariteacute
A corriger
eacuteventuellement avec
reacutegression non lineacuteaire
Deacutetection points
aberrants (outliers)A eacuteliminer apregraves
veacuterification et avec
preacutecautionshellip
Ri=yi-(axi+b)
Reacutesidu = information non
modeacuteliseacutee ideacutealement
erreur aleacuteatoire
residuals
paramegravetres modeacutelisation des donneacutees
ET bruit
v0
v1
a
0
50
100
150
200
250
300
350
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y = 07063x - 39517
-100
0
100
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700
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0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (m
V)
courant (mA)
Valeurs mesureacutees
-100
-80
-60
-40
-20
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n (
mV
)
courant (mA)
Graphe des reacutesidus mesure - droiteregr
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Reacutegression non lineacuteaire reacutegression polynomiale
Ex courbe de
tendance dExcel
temps h
0
1
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000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5
Permet de modeacuteliser la plupart des problegravemes peu non lineacuteaireshellip
demo TP7
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Multivariate Statistical Methods A Primer BFJ Monley Chapman amp Hall 1986
Modeacutelisation et estimation des erreurs de mesure M Neuilly CETAMA Lavoisier Paris 1993
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Mesure de la qualiteacute dajustement dune reacutegression lineacuteaire
Var(Y) = Var( aX+b) + Var(e
information totale = information modeacuteliseacutee + information reacutesiduelle
Coef De deacutetermination
totale)Var(info
modeacuteliseacutee) Var(infodR
)()(
)(
YX
YXCovRc
Coef de correacutelation
Rd=Rc2
Y
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Le coef de correacutelation utilisation
0
5
10
15
20
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0 2 4 6 8 10 12
R=075
0
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15
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0 2 4 6 8 10 12
R=075
-100
0
100
200
300
400
500
600
0 5 10 15
R=075
Le cœfficient de correacutelation ne sert
agrave quantifier que les relations
lineacuteaires entre X et Yvariables
Il perd toute signification degraves lors
que les reacutesidus
R=08
R=08
R=08
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Veacuterification lineacuteariteacute
A corriger
eacuteventuellement avec
reacutegression non lineacuteaire
Deacutetection points
aberrants (outliers)A eacuteliminer apregraves
veacuterification et avec
preacutecautionshellip
Ri=yi-(axi+b)
Reacutesidu = information non
modeacuteliseacutee ideacutealement
erreur aleacuteatoire
residuals
paramegravetres modeacutelisation des donneacutees
ET bruit
v0
v1
a
0
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150
200
250
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-100
0
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ten
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n (m
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Valeurs mesureacutees
-100
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0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
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n (
mV
)
courant (mA)
Graphe des reacutesidus mesure - droiteregr
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Reacutegression non lineacuteaire reacutegression polynomiale
Ex courbe de
tendance dExcel
temps h
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79
Biblio amp liens utilesBouquins
Statistics for analytical Chemistry 3 rd ed JC Miller and JN Miller John Wiley amp Sons 1998
Multivariate Statistical Methods A Primer BFJ Monley Chapman amp Hall 1986
Modeacutelisation et estimation des erreurs de mesure M Neuilly CETAMA Lavoisier Paris 1993
Sites WWW
httpphysicsnistgovcuuUncertaintyindexhtml excellent site simple et succinct mais de reacutefeacuterence
sur la calcul des incertitudes ce document sen est beaucoup inspireacute Un cours plus complet de
statistiques est disponible agrave httpwwwitlnistgovdiv898handbook
httpswwwansesfrfrcontentguide-de-validation-des-mC3A9thodes-danalyses-des-laboratoires-de-rC3A9fC3A9rence Guide de lrsquoANSES Agence nationale de seacutecuriteacute sanitaire
de lrsquoalimentation de lrsquoenvironnement et du travail
httpwwwjybaudotfrStatsstatshtml Encyclopeacutedie des stats de Jean-Yves Baudot agrave la foi preacutecis vulgarisateur et marrant un challenge en statistiques
httpfrfreestatisticsinfoindexphp Collection de liens et surtout de Freewares sur les stats
8062
La norme AFNOR la plus utiliseacutee
httpwwwasqualabcomdocumentsqualitemetrologie19-unites_pifometriquespdf
39
77
Reacutegression lineacuteaire examen des reacutesidus
Veacuterification lineacuteariteacute
A corriger
eacuteventuellement avec
reacutegression non lineacuteaire
Deacutetection points
aberrants (outliers)A eacuteliminer apregraves
veacuterification et avec
preacutecautionshellip
Ri=yi-(axi+b)
Reacutesidu = information non
modeacuteliseacutee ideacutealement
erreur aleacuteatoire
residuals
paramegravetres modeacutelisation des donneacutees
ET bruit
v0
v1
a
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
850
900
950
y = 07063x - 39517
-100
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (m
V)
courant (mA)
Valeurs mesureacutees
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
ten
sio
n (
mV
)
courant (mA)
Graphe des reacutesidus mesure - droiteregr
78
Reacutegression non lineacuteaire reacutegression polynomiale
Ex courbe de
tendance dExcel
temps h
0
1
2
3
4
000E+00
200E-05
400E-05
600E-05
800E-05
100E-04
120E-04
0 1 2 3 4 5
Permet de modeacuteliser la plupart des problegravemes peu non lineacuteaireshellip
demo TP7
40
79
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Statistics for analytical Chemistry 3 rd ed JC Miller and JN Miller John Wiley amp Sons 1998
Multivariate Statistical Methods A Primer BFJ Monley Chapman amp Hall 1986
Modeacutelisation et estimation des erreurs de mesure M Neuilly CETAMA Lavoisier Paris 1993
Sites WWW
httpphysicsnistgovcuuUncertaintyindexhtml excellent site simple et succinct mais de reacutefeacuterence
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8062
La norme AFNOR la plus utiliseacutee
httpwwwasqualabcomdocumentsqualitemetrologie19-unites_pifometriquespdf
40
79
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Statistics for analytical Chemistry 3 rd ed JC Miller and JN Miller John Wiley amp Sons 1998
Multivariate Statistical Methods A Primer BFJ Monley Chapman amp Hall 1986
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