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Géométrie euclidienne

A. Généralités.

1. Espaces affines euclidiens.

2. Isométries.

B. Le plan affine euclidien.

1. Droites.

2. Cercles.

3. Triangles.

4. Polygones.

5. Isométries, similitudes.

C. L’espace euclidien de dimension 3.

1. Produit mixte, produit vectoriel.

2. Droites et plans.

3. Sphères.

4. Isométries.

Pierre-Jean Hormière __________ Alors, pour me sauver du doute, J'ouvre un Euclide avec amour ; « Je voudrais l'homme fait par Euclide. Il propose, il prouve, et j'écoute, Et moi, dit Gauvain, je l'aimerais mieux fait par Homère » Et je suis inondé de jour. Victor Hugo Sully Prudhomme

Introduction

La géométrie des espaces affines euclidiens de dimensions 2 et 3 semble le mieux correspondre à notre intuition du monde sensible. Cependant, l’évolution de la physique a remis en cause ce point de vue : selon la théorie relativiste, le monde physique serait un espace-temps à 4 dimensions, non euclidien, l’axe des temps étant une demi-droite ouverte fortement courbée. Et la récente théorie des cordes, qui cherche à unifier mécanique quantique et relativité générale, l’une valable dans l’infini-ment petit, l’autre valable à grandes échelles, postule que les objets physiques fondamentaux ne sont pas des particules ponctuelles, mais de minuscules cordes sans épaisseur, infiniment plus petites que les quarks, vibrant dans un espace-temps à 11 dimensions, les 7 dimensions supplémentaires, inaccessibles à nos sens, étant, paraît-il, « refermées sur elles-mêmes en de minuscules boucles »… Par ailleurs, les paradoxes de découpage liés au troisième problème de Hilbert (travaux de Dehn, Sierpinski-Mazurkiewicz, Banach-Tarski), exposés dans les problèmes de géométrie, montrent les limites purement mathématiques du modèle affine euclidien. Cependant, il paraît difficile d’étudier les espaces non euclidiens à 11 dimensions avant d’étudier au préalable la géométrie euclidienne à 2 et 3 dimensions, fût-elle proto-scientifique...

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A. Généralités 1. Espaces affines euclidiens.

Définition : Un espace affine euclidien EEEE est un espace affine associé à un espace vectoriel euclidien E. La dimension de EEEE est celle de E.

On note x . y le produit scalaire de E, ||x || la norme associée.

Un espace affine euclidien EEEE est un espace métrique pour la distance d(A, B) = ||AB ||.

Propriétés particulières à la distance.

1) Théorème de Pythagore : ||AC ||2 = ||AB ||2 + ||BC ||2 si et seulement si le triangle ABC est rectangle en B.

2) On a ||AC || = ||AB || + ||BC || si et seulement si B appartient au segment AC.

Et l’on a ||AC || = ± ||AB || ± ||BC || si et seulement si A, B et C sont alignés. Ainsi, si A et B sont deux points distincts, la droite AB peut être définie

− d’un point de vue affine par (AB) = { M ; ∃λ ∈ R AM = λ. AB } − d’un point de vue métrique par (AB) = { M ; ||AB || = ± ||AM || ± ||MB || } 3) En dimension ≥ 2. Soient a, b, c trois réels > 0. Pour qu’il existe un vrai triangle ABC de côtés a, b, c, il faut et il suffit que a < b + c , b < c + a , c < a + b , ou encore que | b − c | < a < b + c. 4) Identité du parallélogramme : Si ABCD sont les sommets d’un parallélogramme, alors

||AD ||2 + ||BC ||2 = 2 ( ||AB ||2 + ||AC ||2 ) . 5) Identité de la médiane : Soit ABC un triangle. Si I est le milieu de BC, alors

4.||AI ||2 + ||BC ||2 = 2 ( ||AB ||2 + ||AC ||2 ) . Il en résulte que, pour que le triangle ABC soit isocèle en A, il faut et il suffit que la médiane et la hauteur issues de A coïncident.

Equation d’un hyperplan affine.

Un hyperplan affine est entièrement défini par un point A et un vecteur unitaire normal ω . Il a alors pour équation AM .ω = 0, ou encore, si l’on prend O pour origine : OM .ω = OA.ω . Si l’on rapporte E à un repère orthonormé (O, 1e , …, ne ), l’équation d’un hyperplan H est de la

forme : a1.x1 + … + an.xn = b.

Proposition : distance d’un point à un hyperplan. La distance du point M(x1,… , xn) à l’hyperplan H est donnée par

d(M, H) = 22

1

11

...

.....

n

nn

aa

xaxa

++++

.

Preuve : La fonction f(M) = a1.x1 + … + an.xn − b vérifie f(M) – f(P) = N . PM , où N (a1, … , an)

quels que soient M et P. Si P est la projection orthogonale de M sur H, il vient f(M) = N . PM .

Comme N etPM sont colinéaires, | f(M) | = ||N ||.||PM || = ||N ||.d(M, D). cqfd.

Proposition : Soient A et B deux points distincts de EEEE, I le milieu de [AB]. H = { M ∈ EEEE ; MA = MB } est l’hyperplan affine perpendiculaire en I au segment [AB]. On l’appelle hyperplan médiateur de [AB] (médiatrice si n = 2).

Exercice : Soient A0, A1, …, Ak k + 1 points affinement libres. Montrer que

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{ M ∈ EEEE ; MA0 = MA1 = … = MAk } est un sous-espace affine de dimension n−k de EEEE. En particulier, si (A0, A1, …, An) est un simplexe de EEEE, il y a un point unique situé à égale distance

des Ai. Autrement dit, il existe une unique sphère circonscrite au simplexe.

Exercice : Soient A et B deux points distincts de EEEE, k un réel > 0, et ≠ 1. Montrer que { M ∈ EEEE ; MA = k.MB } est une sphère centrée sur la droite AB.

2. Isométries. Définition 1 : Soit EEEE un espace affine euclidien. Une application ϕ : EEEE → EEEE est appelée isométrie si

(1) ∀(M, N) ∈ EEEE2 || )()( NM ϕϕ || = ||MN ||.

Dans cette définition, on ne suppose a priori ϕ, ni bijective, ni affine. Nous allons voir que ces deux propriétés découlent de la seule condition (1).

Théorème 1 : Pour que ϕ : EEEE → EEEE soit une isométrie, il faut et il suffit que ϕ soit une application affine telle que L(ϕ) ∈ O(E). En particulier, une isométrie est toujours bijective.

Preuve : 1) Si ϕ est une application affine telle que f = L(ϕ) ∈ O(E), c’est une isométrie car : || )()( NM ϕϕ || = || f( MN ) || = ||MN ||. De plus, ϕ est une bijection affine. 2) Soit ϕ une isométrie. Fixons une origine O de E, et notons O’ = ϕ(O). La composée ψ de ϕ avec la translation τ de vecteur OO' est une isométrie telle que ψ(O) = O.

Notons g(OM ) = )(MOψ . On a ||g(OM )|| = || )(MOψ || = || )()( MO ψψ || = ||OM ||.

(g(OM ) | g( 'OM )) = 2

1 [ || )(MOψ ||2 + || )'(MOψ ||2 − || )'()( MM ψψ ||2 ]

= 2

1 [ ||OM ||2 + || 'OM ||2 − || 'MM ||2 ] = (OM | 'OM ).

Par suite, après développement

|| g(OM ) + g( 'OM ) − g(OM + 'OM ) ||2 = || OM + 'OM − (OM + 'OM ) ||2 = 0 || λ.g(OM ) − g(λ.OM ) ||2 = || λ.OM − λ.OM ||2 = 0 g est linéaire, donc ϕ est affine. Cqfd.

Proposition 2 : L’ensemble Is(EEEE) des isométries de EEEE est un groupe pour la composition.

Les isométries positives forment un sous-groupe distingué de Is(EEEE), noté Is+(EEEE) ou Dep(EEEE) dont les

éléments sont appelés déplacements.

Preuve : Il est aisé de voir que Is(EEEE) est un sous-groupe du groupe GA(EEEE) des bijections affines de EEEE. Dep(EEEE) en est un sous-groupe distingué, en tant que noyau du morphisme ϕ → det(L(ϕ)) de Is(EEEE) dans R*, ou dans {±1}.

Exercice : Variante. Soit ϕ une isométrie bijective de EEEE. Montrer que l’image d’une droite est une droite. Conclure, via le théorème fondamental de la géométrie affine, que ϕ est une bijection affine.

Théorème 3 : Soient AAAA et BBBB deux parties de EEEE, ϕ : AAAA → BBBB une bijection telle que :

(2) ∀(M, N) ∈ AAAA×BBBB || )()( NM ϕϕ || = ||MN || . Il existe une isométrie de EEEE prolongeant ϕ. Si de plus AAAA est affinement génératrice, cette isométrie est unique.

Preuve : Notons pour simplifier M’ = ϕ(M), N’ = ϕ(N), etc. Comme ci-dessus, on montre que ∀A, B, C ∈ AAAA AB . AC = ''BA . ''CA (3).

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Supposons d’abord AAAA affinement génératrice. Il existe alors un (n+1)-uplet (A0, A1, …, An) de points

de AAAA qui est un simplexe de EEEE. Soit G la matrice de Gram des vecteurs iAA0 . Elle est inversible.

En vertu de (3), c’est aussi la matrice de Gram des vecteurs ''0 iAA . Il en résulte que (A’0, A’1, …,

A’ n) est aussi un simplexe de EEEE. Soit alors f la bijection affine telle que (∀i) A’ i = f(Ai) . Nous allons montrer que f est une isométrie de EEEE, prolongeant ϕ.

Soit M un point de AAAA . Il existe un n-uplet (x1, …, xn) tel que MA0 = x1. 10 AA + … + xn. nAA0

et un n-uplet (x’1, …, x’n) tel que ''0MA = x’1.

'1

'0 AA + … + x’n.

''0 nAA .

(x1, …, xn) est solution du système cramérien

nAAMA

AAMA

00

100

.......

. = G.

nx

x

...1

.

et (x’1, …, x’n) est solution du même système.

Donc (∀i) x’ i = xi et ''0MA = x1.

'1

'0 AA + … + xn.

''0 nAA = )()( 0 MfAf = )(

'0 MfA .

Ainsi ϕ(M) = M’ = f(M) : f prolonge ϕ. Si AAAA n’est pas affinement génératrice, considérer le sous-espace affine engendré. ___________

B. Le plan affine euclidien

Dans cette section, on se donne un plan affine euclidien EEEE, de direction vectorielle E, et l’on privilégie les méthodes « analytiques » sur les méthodes « géométriques ». Sauf mention expresse, les calculs seront menés en repère orthonormé. On pourrait utiliser les nombres complexes, mais ce point de vue est abordé dans un chapitre spécifique. Les figures sont réalisées avec Cabri géomètre ou avec Maple.

1. Droites. 1.1. Equations d’une droite.

Soit D la droite d’équation ax + by + c = 0.

Elle a pour vecteur normal N (a, b), pour vecteur directeur U (−b, a), et pour pente m = ba− (avec

la convention m = ∞ si b = 0 ; la droite est verticale). Les droites D et D’ sont : − parallèles ssi a.b’ − b.a’ = 0 , ou m = m’ − perpendiculaires ssi a.a’ + b.b’ = 0 , ou m.m’ = −1

Proposition 1: Soient M1(x1, y1) et M2(x2, y2) deux points distincts.

La droite M1M2 a pour équation 111

21

21

yyyxxx

= 0.

Corollaire : Les points M1(x1, y1), M2(x2, y2) et M3(x3, y3) sont alignés ssi 111321

321

yyyxxx

= 0.

1.2. Distance d’un point à une droite.

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Proposition 2 : La distance du point M(x, y) à la droite D d’équation : ax + by + c = 0, est donnée

par : d(M, D) = ²² ba

cbyax

+++

.

Preuve : La fonction f(M) = ax + by + c vérifie f(M) – f(P) = N . PM quels que soient M et P.

Si P est la projection orthogonale de M sur D, il vient f(M) = N . PM .

Comme N et PM sont colinéaires, | f(M) | = ||N ||.||PM || = ||N ||.d(M, D). cqfd.

Applications :

1) Bissectrices de deux droites. Soient D et D’ deux droites d’équations resp. ax + by + c = 0 , a’x + b’y + c’ = 0. Le lieu des points équidistants de D et D’ est la conique d’équation d(M, D)

2 = d(M, D’)

2.

Si les droites sont sécantes, c’est la réunion des deux bissectrices. Si elles sont parallèles, on peut alors prendre a = a’, b = b’, et on obtient une droite.

2) Distance de deux droites parallèles. Soient D et D’ des droites parallèles d’équations ax + by + c = 0 , resp. ax + by + c’ = 0.

La distance de D et D’ est donnée par : d(D, D’) = ²²

'

ba

cc

+−

Exercice : Soit T = ABC un triangle équilatéral. Un point intérieur M se projette en P, Q, R sur les côtés BC, CA, AB du triangle. Montrer que MP + MQ + MR = cte.

Exercice : Soit T = ABC un triangle quelconque. Un point intérieur M se projette en P, Q, R sur les côtés BC, CA, AB du triangle. Etudier les extrema de la fonction f(M) = MP + MQ + MR. Retrouver l’exercice précédent.

Exercice : Soient D et D’ deux droites de EEEE. Lieu des points M tels que d(M, D)2 + d(M, D’)

2 = m

2.

Exercice : le « lieu à quatre droites ». Etant données quatre droites Di (1 ≤ i ≤ 4) du plan, et un réel k > 0, trouver l’ensemble des points M du plan tels que d(M, D1).d(M, D2) = k.d(M, D3).d(M, D4).

N. B. : Ce problème, en suspens depuis les Grecs, fut résolu par Descartes. 1.3. Equation d’Euler d’une droite.

A tout couple (θ, p), on associe la droite D(θ, p) d’équation x.cos θ + y.sin θ = p (1) Si l’on introduit le vecteur )(θu = cos θ. i + sin θ. j , D(θ, p) est le lieu des points M tels que OM . )(θu = p. Autrement dit, c’est la droite perpendiculaire à )(θu au point H tel que OH = p. )(θu . Toute droite D admet une équation de la forme (1), appelée équation d’Euler de D. En fait, elle admet deux équations d’Euler (à 2π près) , car D(θ, p) = D(θ + π, −p). 1.4. Principe de Fermat.

Etant donnés une source lumineuse S et un point M situés d’un même côté d’une droite D, quel est le plus court trajet d’un rayon issu de S et qui vient éclairer M après avoir touché D ?

Mathématiquement, il s’agit de trouver P ∈ D tel que SP + PM soit minium.

Application au problème de l’indien.

Un indien I à cheval veut rejoindre son wigwam W. Le cheval doit d’abord se nourrir en bordure de plaine OP, puis s’abreuver en bordure de fleuve OF. Quel est le plus court trajet pour rejoindre le wigwam ? (On rappelle que John Wayne est mort).

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2. Cercles.

« Le pouvoir de l’Univers agit selon des cercles et toute chose tend à être ronde. »

Hehaka Sapa, chef indien.

2.1. Définition, équations.

Définition : On appelle cercle de centre Ω et de rayon R > 0 le lieu des points M tels que MΩ = R. On le note C(Ω, R).

Rapportons le plan à un repère orthonormé : si Ω (a, b), M(x, y) ∈ C(Ω, R) ⇔ ( x − a )2 + ( y − b )2 = R2 . Le cercle a donc pour équation : x

2 + y

2 − 2ax − 2by + a2 + b2 − R2 = 0 (1)

Réciproquement, soient α, β, γ trois réels, Γ l’ensemble des points M(x, y) tels que : x

2 + y

2 − 2αx − 2βy + γ = 0 (2)

• Si γ > α2 + β2 , Γ est le cercle C(Ω, R), où Ω(α, β) et R = ²² βαγ −− ;

• Si γ = α2 + β2 , Γ est réduit au point Ω ; • Si γ < α2 + β2 , Γ est vide (« cercle imaginaire »).

Paramétrisations de C(Ω, R) : x = a + R.cos θ , y = b + R.sin θ ou encore x = a + R.

²1²1

tt

+− , y = b +

²12

tRt+ .

Proposition 1 : intersection d’une droite et d’un cercle. Soit C le cercle d’équation (2). La droite D : ux + vy + w = 0 est

• tangente à C ssi ( au + bv + w )2 = R2 ( u2 + v2 ) • sécante à C ssi ( au + bv + w )2 < R2 ( u2 + v2 ) • extérieure à C ssi ( au + bv + w )2 > R2 ( u2 + v2 )

Preuve : Choisissons un repère orthonormé convenable tel que C ait pour équation X2 + Y

2 = R

2, et

D ait pour équation X = d, où d = d(Ω, D) = ²² ba

wbvau

+++

. Le système X2 + Y2 = R2 , X = d équivaut

au système X = d, Y2 = R

2 − d2 : discussion aisée.

Corollaire : L’équation tangentielle de C(Ω, R) est (ua + vb + w)2 = (u2 + v2).R2.

Proposition 2 : intersection de deux cercles. Soient C le cercle C(Ω, R), C’ le cercle C(Ω’, R’).

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S’ils sont concentriques, ils sont égaux s’ils ont même rayon, disjoints sinon. S’ils ne sont pas concentriques, ils se coupent en au plus deux points : • C et C’ se coupent en deux points ssi | R − R’ | < ΩΩ’ < R + R’. • C et C’ sont tangents ssi ΩΩ’ = R + R’ ou ΩΩ’ = | R − R’ | . • C et C’ ne se coupent pas ssi ΩΩ’ > R + R’ ou ΩΩ’ < | R − R’ | .

Preuve : Le cas où C et C’ sont concentriques est évident. Traitons l’autre cas.

♣ Si | R − R’ | < ΩΩ’ < R + R’, il existe deux points A et B tels que les triangles AΩΩ’ et BΩΩ’ aient pour côtés ΩΩ’, R et R’. A et B sont les deux points d’intersection des cercles C et C’. Ils sont symétriques par rapport à la droite des centres. ♦ Si ΩΩ’ > R + R’ ou ΩΩ’ < | R − R’ | , les deux cercles sont disjoints, soient extérieurs l’un à l’autre, soit intérieurs l’un à l’autre. ♥ Si ΩΩ’ = R + R’, il existe un point A et un seul tel que AΩ = R et AΩ’ = R’ ; il est situé sur le segment ΩΩ’ : les cercles sont tangents extérieurement. ♠ Si ΩΩ’ = | R − R’ | , il existe un point A et un seul tel que AΩ = R et AΩ’ = R’ ; il est situé sur le segment ΩΩ’ : les cercles sont tangents intérieurement.

Il y a donc cinq positions générales de deux cercles.

Analytiquement, soit d = ΩΩ’ ; choisissons un repère orthonormé tel que : C ait pour équation x

2 + y

2 − dx + d2/4 − R2 = 0 (1)

C’ ait pour équation x2 + y

2 + dx + d

2/4 − R’2 = 0 (2)

Par soustraction, (1, 2) équivaut à (1, 3), où 2dx = R’2 − R2 (3).

Elle a deux solutions ssi 2d2.( R

2 + R’

2 ) – ( R

2 − R’2 )2 − d4 > 0 .

Or cette condition se factorise ainsi : ( d + R + R’ ).( d − R – R’ ).( d + R − R’ ).( d – R + R’ ) < 0. Comme d > 0, elle équivaut à | R − R’ | < d < R + R’. Le cas où 2d

2.( R

2 + R’

2 ) – ( R

2 − R’2 )2 − d4 = 0 donne un point d’intersection double.

Remarque : Le théorème de Bezout relatif aux intersections de courbes algébriques affirme que deux cercles se coupent en 4 points. Il ne contredit qu’en apparence ce qui précède, car ce théorème se place dans le plan projectif complexe, et non dans le plan affine réel. En fait deux cercles passent par les points cycliques : cela fait déjà deux points. Les deux autres sont ceux dont on vient de discuter la réalité. Exercice : La trisection du demi-cercle. 1 Voilà comment les bâtisseurs de cathédrales faisaient pour couper en trois un demi-cercle de diamètre [B C] : ils joignaient le sommet A du triangle équilatéral ABC aux deux points qui divisent en trois le diamètre du cercle. Ils affirmaient alors que les intersections avec le cercle divisaient l’arc en trois. Cette construction est-elle exacte ?

Soit M le point où la droite (AJ) recoupe le demi-cercle. Je dis que le triangle JMO se déduit du triangle JAC par l’homothétie de centre J et de rapport – ½. Pourquoi ? Par suite, les droites (OM) et (CA) sont parallèles, et l’angle JOM = COM vaut π/3.

1 Le Monde, Affaire de logique n° 549, 11 septembre 2007.

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2.2. Angle au centre, angle inscrit, arcs capables.

Théorème : Si les trois points A, B, M appartiennent à un même cercle de centre O,

(MA , MB ) = 21 (OA, OB ) + kπ.

Théorème : Etant deux points distincts A et B et un réel θ, le lieu géométrique des points M tels que ( MA , MB ) = θ + kπ est un cercle passant par A et B : c’est le cercle capable de l’angle θ relatif à A et B.

Corollaire : Le lieu des points M tels que (MA , MB ) = θ + 2kπ est un arc de cercle d’extrémités A et B : c’est l’arc capable de l’angle θ relatif à A et B.

Cas particuliers : 1) Le lieu des points M tels que (MA , MB ) = kπ est la droite AB.

2) Le lieu des points M tels que (MA , MB ) = 2π + kπ est le cercle de diamètre AB.

3) Les arcs capables des angles θ et −θ relatifs à A et B sont symétriques par rapport à la droite AB.

Théorème : Pour que quatre points non alignés A, B, C et D soient cocycliques, il faut et il suffit que

(CA, CB) = (DA , DB ) + kπ. 2.3. Cercle circonscrit à un triangle, cocyclicité.

Proposition : Soient Mi(xi, yi) (1 ≤ i ≤ 3) trois points non alignés. Il existe un et un seul cercle passant par ces points ; c’est le cercle circonscrit au triangle M1M2M3.

Preuve : Comme les droites M1M2 et M2M3 ne sont pas parallèles, les médiatrices des segments M1M2 et M2M3 ne sont pas parallèles ; elles se coupent donc en un point Ω, qui est équidistant des trois sommets du triangle.

Proposition : Soient Mi(xi, yi) (1 ≤ i ≤ 3) trois points non alignés.

Le cercle circonscrit au triangle M1M2M3 a pour équation :

111122222222

²²

321

321

23

23

22

22

21

21

yyyyxxxxyxyxyxyx ++++

= 0.

Preuve : prenons les choses à l’envers. Notons D(x, y) le déterminant précédent. Si on le développe selon la première colonne, il est de la forme A(x

2 + y

2) + Bx + Cy + D, où le cofacteur A n’est pas

nul, car les points sont non alignés. D(x, y) = 0 est donc l’équation d’un cercle, réel ou imaginaire.

Mais D(xi, yi) = 0 (deux colonnes égales !), donc ce cercle passe par les trois points Mi(xi, yi).

Corollaire : Les quatre points Mi(xi, yi) (1 ≤ i ≤ 4) sont cocycliques ssi :

9

111122222222

²²

4321

4321

24

24

22

22

22

2211

yyyyxxxxyxyxyxyx ++++

= 0.

Proposition : Soient Mi(xi, yi) (1 ≤ i ≤ 4) quatre points du plan. On note dij = || ji MM ||

Les points sont cocycliques ssi :

00

00

243

242

241

234

232

231

224

223

221

214

213

212

dddddddddddd

= 0 (Cayley) .

Preuve : Introduire D =

122122122122

4424

24

3323

23

2222

22

1121

21

yxyxyxyxyxyxyxyx

−−+−−+−−+−−+

et ∆ = 24

24

23

23

22

22

21

21

4321

4321

1111

yxyxyxyxyyyyxxxx

++++ et leur produit.

Proposition : Soient Mi(xi, yi) (1 ≤ i ≤ 4) quatre points du plan. On note dij = || ji MM ||

M1M2M3M4 sont cocycliques ⇔ d12.d34 ± d23.d14 ± d13.d24 = 0 (Ptolémée) .

Preuve : Il suffit de développer le déterminant de Cayley.

Remarques : 1) Une autre preuve de la relation de Ptolémée repose sur les propriétés de l’inversion.

Soit i l’inversion de pôle A = M4 et de puissance 1 ; si l’on pose i(Mk) = M’k pour 1 ≤ k ≤ 3, on sait

que M’pM’ q = qp

qp

AMAMMM.

. Il en résulte que :

AM3.M1M2 + AM1.M2M3 − AM2.M3M1 = AM1.AM2.AM3.( M’1M’ 2 + M’2M’ 3 − M’ 1M’ 3 ) La conclusion est laissée au lecteur.

2) Application en trigonométrie : Soient AB un diamètre d’un cercle, C et D deux points situés entre A et B. La relation AB.CD = AC.BD + AD.BC revient à sin(a + b) = sin a.cos b + sin b.cos a. 2.4. Puissance d’un point par rapport à un cercle.

Théorème et définition : Soient C le cercle (O, R), M un point du plan. Une sécante variable issue

de M recoupe le cercle C en deux points P et Q. Le produit MP . MQ est constant, et égal à MO2 –

R2. On l’appelle puissance du point M par rapport au cercle C, et on le note PC(M).

Preuve : Le triangle OPQ étant isocèle, le milieu I de la corde PQ est en même temps le pied de la hauteur issue de O. Du

coup, MP . MQ = (MI + IP ).( MI + IQ )

= (MI + IP ).( MI − IP ) = MI

2 − IP2 = MO2 − OI2 − IP2

= MO2 − OP2 = MO2 − R2

en appliquant deux fois le théorème de Pythagore. Cqfd.

Discussion.

• M est extérieur au cercle C ssi PC(M) > 0. Seules certaines droites issues de M coupent C. Si T et T’ sont les points de contact des deux tangentes issues de M au cercle C, on a MT

2 = MT’

2 = PC(M).

• M est sur le cercle ssi PC(M) = 0.

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• M est intérieur au cercle C ssi PC(M) < 0.

Expression analytique de la puissance. Si C a pour équation x

2 + y

2 − 2α.x − 2β.y + γ = 0, pour tout point M de coordonnées (x, y), on a :

PC(M) = x2 + y

2 − 2α.x − 2β.y + γ .

PC(M) est donc une fonction polynomiale égale au premier membre de l’équation de C.

Théorème et définition : Soient C et C’ deux cercles non concentriques. Le lieu des points ayant même puissance par rapport à ces deux cercles est une droite perpendiculaire à la droite des centres, appelée axe radical des deux cercles.

Analytiquement, si C a pour équation x2 + y

2 − 2α.x − 2β.y + γ = 0,

et C’ pour équation x2 + y

2 − 2α’.x − 2β’.y + γ’ = 0,

leur axe radical a pour équation 2 (α’ − α).x + 2 (β’ − β).y + γ − γ’ = 0.

Remarque : Si les cercles sont concentriques, mais distincts, on peut considérer que l’axe radical est « rejeté à l’infini ». Si l‘on voulait rendre ce point de vue cohérent, il faudrait considérer les droites comme des cas particuliers (cas-limites) de cercles.

Compléments :

1) Si les cercles sont sécants, leur axe radical est la droite qui passe par leurs points communs. 2) S’ils sont tangents, c’est la tangente commune. 3) Dans tous les cas, la portion de l’axe radical extérieure aux deux cercles est le lieu des points d’où l’on peut leur mener des tangentes égales. 4) Si trois cercles ont des centres non alignés, il existe un et un seul point ayant même puissance par rapport aux trois cercles ; ce point est appelé centre radical des trois cercles. En effet, les axes radicaux des trois cercles, pris deux à deux, concourent en un même point 5) Construction de l’axe radical de deux cercles non sécants. Soient C et C’ ces deux cercles, O et O’ leurs centres respectifs. Traçons un cercle C’’ sécant à la fois à C et à C’. Les axes radicaux de C et C’’ d’une part, C’ et C’’ d’autre part sont faciles à tracer en vertu de 1) Ils se coupent en un point I. Il suffit de mener de I la perpendiculaire à la droite OO’. voir fig. ci-dessous.

Exercice : Cercles orthogonaux.

Deux cercles C = C(O, R) et C’ = C(O’, R’), sécants en A et B, sont dits orthogonaux si les tangentes à C et C’ en un de leurs points communs sont perpendiculaires. 1) Montrer l’équivalence des propriétés suivantes : a) C et C’ sont orthogonaux ;

b) OO’2 = R

2 + R’

2 ;

c) Le carré du rayon d’un des cercles est égal à la puissance de son centre par rapport à l’autre ; d) Un diamètre de l’un des cercles est divisé harmoniquement par l’autre. 2) Montrer que le lieu des centres des cercles orthogonaux à deux cercles donnés est la portion, extérieure à ces deux cercles, de leur axe radical.

11

3) Problème de Monge : Construire un cercle orthogonal à trois cercles donnés.

Exercice : Polarité par rapport à un cercle.

Deux points M et P sont dits conjugués par rapport au cercle C = C(O, R) si le cercle de diamètre MP est orthogonal au cercle C.

1) a) Montrer que M et P sont conjugués par rapport à C ssi OP .OM = R2. b) Si la droite MP coupe le cercle C en A et B, montrer que M et P sont conjugués par rapport à C ssi ABMP est une division harmonique.

2) a) Soit P un point ≠ O. Montrer que le lieu des conjugués de P par rapport à C est une droite ∆ perpendiculaire à OP, dite polaire de P par rapport à O. b) Soit ∆ une droite ne passant pas par O. Montrer qu’il existe un unique point P admettant ∆ pour polaire ; on l’appelle pôle de ∆. c) Indiquer comment construire la polaire d’un point, le pôle d’une droite (discuter).

3) Montrer que si la polaire d’un point P passe par M, la polaire de M passe par P. En déduire que : • les polaires des points d’une droite ∆ concourent au pôle de cette droite. • les pôles des droites issues d’un point P sont alignés sur la polaire ∆ du point P. 2.5. Faisceaux de cercles.

Définition : Soient C et C’ deux cercles non concentriques, d’axe radical ∆. On appelle faisceau de cercles de base (C, C’) l’ensemble FFFF des cercles Γ tels que C (ou C’) et Γ aient ∆ pour axe radical. Distinguons trois cas :

Premier cas : les cercles C et C’ sont sécants en A et B.

Les cercles du faisceau de base (C, C’) sont alors tous les cercles passant par les points A et B.

F est appelé faisceau de cercle de points de base A et B.

Deuxième cas : les cercles C et C’ sont tangents en A à la droite ∆. Les cercles du faisceau sont les cercles Γ tangents en A à ∆. A noter que le cercle-point A fait partie du faisceau FFFF.

Troisième cas : les cercles C et C’ ne se coupent pas.

Soit O l’intersection de l’axe radical ∆ et de la droite des centres. O a la même puissance P par rapport à tout cercle du faisceau, et cette puissance est positive. Les diamètres HK d’un tel cercle

vérifie OH .OK = P. Soient I et J les points de la droite des centres tels que OI2 = OJ2 = P. Les cercles-points I et J font partie du faisceau et se nomme point de Poncelet ou points-limites du faisceau. Les cercles du faisceau sont les cercles qui admettent pour extrémités d’un diamètre deux points divisant harmoniquement le segment IJ.

Remarque : Dans ce troisième cas, les deux cercles ont des points d’intersection imaginaires conjugués, et les cercles du faisceau sont ceux qui passent par ces points invisibles.

Théorème : Dans un faisceau de cercles, il existe un cercle et un seul passant par un point donné du plan.

Théorème : Soient A et B deux points distincts. Si k ≠ 1, le lieu des points M tels que MBMA = k est

un cercle appartenant au faisceau de points limites A et B.

Autrement dit, les lignes de niveau de MBMA sont les cercles du faisceau de points limites A et B.

Théorème : Soient C et C’ deux cercles non concentriques d’équations respectives : x

2 + y

2 − 2α.x − 2β.y + γ = 0 et x2 + y2 − 2α’.x − 2β’.y + γ’ = 0 .

Les cercles du faisceau de base (C, C’) sont les cercles réels C(λ, µ) ayant pour équation :

12

λ.( x2 + y2 − 2α.x − 2β.y + γ ) + µ.( x2 + y2 − 2α’.x − 2β’.y + γ’ ) = 0 . 2.6. Constructions géométriques à la règle et au compas.

On peut construire à la règle et au compas la médiatrice d’un segment, la bissectrice d’un angle, etc.

Problème 1 : Etant donnés deux segments a et b, construire à la règle et au compas leur moyenne géométrique.

Solution : Portons sur une droite deux segments de même sens OA = a et OB = b. Traçons un cercle quelconque passant par A et B. Soit OM une tangente issue de O à ce cercle. En vertu des propriétés

de la puissance, OM2 = OA.OB = a.b, donc OM = ab .

Autre solution : Sur les deux côtés d’un angle de sommet O portons respectivement OA = a et OB = b. Soit C le cercle passant par A et B centré sur la bissectrice extérieure de l’angle AOB. Si la bissectrice intérieure de cet angle coupe C en M et M’, on a OM

2 = OM’

2 = OA.OB = a.b.

Problème 2 : Construire à la règle et au compas deux segments connaissant leur somme et leur moyenne géométrique.

Solution : Soient s et m les deux segments donnés.

Il s’agit de construire les segments x et y tels que x + y = s et x.y = m2 .

Construisons un demi-cercle de centre O et de diamètre AB = s. Sur la tangente en A portons AM = m. Par M menons la parallèle ∆ à la droite (AB) ; elle coupe le demi-cercle en P et Q, et la médiatrice de AB en I.

On a alors : MP . MQ = MA2 = m2 et MP + MQ = 2.MI = 2.AO = s. Donc MP = x et MQ = y. Notons que les points P et Q n’existent que si la droite ∆ coupe le demi-cercle AB, c’est-à-dire si m ≤ s/2. Le cas m = s/2 correspond à x = y.

Pour des compléments sur les constructions à la règle et au compas et le corps des nombres constructibles, cf. mon chapitre de Théorie de Galois.

3. Triangles. Cf. Chapitre de géométrie du triangle.

4. Polygones. 4.1. Généralités.

Définition : On appelle polygone de n sommets A1A2…An tout n-uplet de points du plan. Polygone convexe. Somme des angles. Aire. Exercice : Soit ABCD un quadrilatère convexe. Montrer qu’en général, le centre de gravité du quadrilatère ABCD est distinct de celui de la plaque homogène ABCD. 4.2. Problème des isopérimètres.

Théorème 1 : Soit n un entier ≥ 3. De tous les polygones convexes à n côtés inscrits dans un cercle donné, le polygone régulier possède le plus périmètre et la plus grande aire.

Preuve : L’existence d’un polygone inscrit dans le cercle et de périmètre (ou d’aire) maximum découle d’un argument de compacité.

Soit C le cercle de centre O et de rayon R. Distinguons deux cas :

13

1) Le point O n’est pas à l’intérieur du polygone. Alors le périmètre de ce dernier est ≤ π.R et son

aire est ≤ πR²/2. Or, un polygone régulier à n côtés inscrit dans C a pour périmètre 2nRsinnπ et pour

aire 2

²nR sinnπ2 . Il s’ensuit, après étude de la fonction x → sin x − x/2 sur l’intervalle [0, π/3], que

le polygone régulier possède un plus grand périmètre et une plus grande aire que le polygone considéré.

2) Le point O est à l’intérieur du polygone P = A1A2…An inscrit dans le cercle C.

Notons θk = ( kOA , 1+kOA ), avec An+1 = A1. P a pour périmètre L(P) = 2R∑=

n

ki

1

)2/sin(θ et pour aire

A(P) = 2²R ∑

=

n

ki

1

sinθ , avec ∑=

n

ki

1

θ = 2π. Comme la fonction sin x est strictement concave sur [0, π],

L(P) et A(P) sont maximums lorsque θ1 = θ2 =… = θn , i.e. lorsque P est régulier.

Théorème 2 : Soit n un entier ≥ 3. De tous les polygones convexes à n côtés ayant un périmètre donné, le polygone régulier est celui qui possède la plus grande aire.

Preuve : On trouvera une preuve utilisant le formalisme des espaces hermitiens dans le chapitre ad hoc.

5. Isométries, similitudes.

« Tout est similitude, image, attrait, lien. »

Emile Verhaeren Dans ce paragraphe, on se donne un plan affine euclidien EEEE, de direction vectorielle E. On note : • Is(EEEE) le groupe des isométries affines de EEEE, • Dep(EEEE) le sous-groupe distingué des déplacements (ou isométries directes).

Exemples :

1) Les translations T(u ) sont des déplacements. Elles forment un sous-groupe TTTT de Dep(EEEE) iso-morphe à (E, +).

2) Les rotations Rot(A, θ) de centre A et d’angle θ sont des déplacements. Les rotations de centre donné A forment un sous-groupe de Dep(EEEE) isomorphe à (R/2πZ, +). 3) Si D est une droite EEEE, on appelle pliage la symétrie orthogonale S(D) = sD par rapport à D. Les pliages sont des antidéplacements. Théorème 1 : Structure des déplacements. Un déplacement de EEEE est, soit une translation, soit une rotation. Dans les deux cas, il est composé de deux pliages.

Preuve matricielle : Soient (O, i , j ) un repère orthonormé de EEEE, ϕ un déplacement.

Dans ce repère, la relation M’ = ϕ(M) se traduit par :

'

'

y

x =

0

0

y

x +

−

θθθθ

cossinsincos .

y

x

Si θ = 2kπ, ϕ est une translation. Sinon, 1 n’est pas valeur propre de la matrice

−

θθθθ

cossinsincos ; du

coup, ϕ a un unique point fixe A, et ϕ est la rotation de centre A et d’angle θ.

Montrons qu’un déplacement est composé de deux pliages. Commençons par composer deux pliages. Soient D et D’ deux droites, ϕ = sD’ o sD.

14

• Si D // D’, D’ est l’image de D par une translation de vecteur U ; ce vecteur est bien déterminé si on lui impose d’être orthogonal à la direction commune des deux droites. Alors ϕ est la translation de vecteur 2.U . • Si D ∩ D’ = {A}, D’ est l’image de D par une rotation de centre A et d’angle θ. Alors ϕ est la rotation de centre A et d’angle 2θ. Réciproquement, il résulte de cette étude que :

• la translation τ de vecteur V s’écrit τ = sD’ o sD, où D est une droite quelconque de direction

vectorielle orthogonale à V , et D’ la droite qui se déduit de D par la translation de vecteur V /2. • la rotation ρ de centre A et d’angle θ s’écrit ρ = sD’ o sD, où D est une droite quelconque passant par A, et D’ est la droite qui se déduit de D par la rotation de centre A et d’angle θ/2.

Preuve géométrique : A l’aide de cette étude, démontrons derechef qu’un déplacement ϕ est une translation ou une rotation. Choisissons un point A ; soit A’ = ϕ(A), τ la translation de vecteur AA' . On a (τ o ϕ)(A) = A, donc τoϕ est une isométrie vectorielle directe du plan E vectorialisé de E en A. C’est donc une rotation ρ de centre A et d’angle θ. Et ϕ = τ−1 o ρ. Si ρ est l’identité, ϕ est une translation. Si τ est l’identité, ϕ est une rotation. Sinon, soit D’ la droite passant par A et orthogonale au vecteur U de la translation τ−1. On peut écrire ρ = sD’ o sD et τ

−1 = sD’’ o sD’ , où D et D’’ sont des droites convenables.

De sorte que ϕ = sD’’ o sD : ϕ est la rotation de centre B = D ∩ D’’ et d’angle θ.

N.B. : On peut présenter autrement la discussion précédente, en distinguant deux cas, selon que ϕ ait un point fixe ou non.

Proposition et définition : Soit ϕ un déplacement. i) Si M et N deux points distincts quelconques, M’ = ϕ(M) et N’ = ϕ(N) leurs images, l’angle ( MN , ''NM ) est constant, et appelé angle du déplacement. ii) Les déplacements d’angle nul (mod. 2π) sont les translations. iii) Les déplacements d’angle θ non nul (mod. 2π) sont les rotations d’angle θ. iv) Le composé d’un déplacement d’angle α et d’un déplacement d’angle β est un déplacement d’angle α + β.

Preuve laissée en exercice.

Théorème 2 : Décomposition canonique des antidéplacements. Soit ϕ un antidéplacement de E. ϕ s’écrit de façon unique sous la forme ϕ = τ o σ, où σ est le pliage par rapport à D, et τ une translation de vecteur parallèle à D. ϕ est composée de un ou trois pliages. D est alors l’unique droite invariante par ϕ. ϕ un point fixe ssi c’est un pliage.

Preuve : Choisissons un point A ; soient A’ = ϕ(A), et τ la translation de vecteur AA' . On a (τ o ϕ)(A) = A, donc τ o ϕ est une isométrie vectorielle indirecte du plan E vectorialisé de EEEE en A. C’est donc une symétrie par rapport à une droite D passant par A.

Si A’ = A, ϕ est le pliage par rapport à D. Sinon, ϕ = τ−1 o sD.

1er cas : AA' est perpendiculaire à la direction vectorielle de D. Soit ∆ la médiatrice de AA’. Il est évident que s∆ o sD = τ

−1 , donc s∆ = τ

−1 o sD = ϕ.

2ème cas : AA' n’est pas perpendiculaire à la direction vectorielle de D.

Ecrivons 'AA = AB + AC , où AB est perpendiculaire à la direction vectorielle de D.

Alors ϕ = τ−1 o sD = T( AC ) o T(AB ) o sD = T( AC ) o s∆ , où ∆ est la médiatrice de AB. Les autres affirmations sont laissées en exercice.

15

Exercice : Le plan euclidien est rapporté à un repère orthonormé. Montrer que M(x, y) → M’(x’, y’),

où x’ = 6 − 135 x −

1312y , y’ = 4 −

1312x +

135 y est une réflexion. Trouver son miroir…

Exercice : 1) Soient ϕ = Rot(A, α) et ψ = Rot(B, β). Déterminer ψ o ϕ et ψ−1 o ϕ o ψ.

2) Soient τ = T(U ) et ϕ = Rot(A, α). Déterminer τ o ϕ et τ−1 o ϕ o τ. 3) En déduire que le groupe TTTT des translations est un sous-groupe distingué de Dep(EEEE), et que les déplacements de même angle sont les classes de conjugaison du groupe Dep(EEEE).

Exercice : A quelle condition deux déplacements du plan commutent-ils ?

Exercice : Montrer que Dep(EEEE) est engendré par le groupe TTTT des translations et le groupe des rotations de centre A.

Exercice : Soient A et B deux points distincts de EEEE. Montrer que le groupe Dep(EEEE) est engendré par le groupe des rotations de centre A et le groupe des rotations de centre B.

Exercice : On se donne trois droites concourantes en O. Trouver les triangles admettant ces droites comme médiatrices.

Exercice : Sur un segment [AB] on place un point C de manière quelconque. Au-dessus du segment, on construit les triangles isocèles APC et CQB d’angle au sommet 2π/3. Au-dessous, le triangle isocèle ARB d’angle au sommet 2π/3. Que dire du triangle PQR ?

Exercice : Sous-groupes finis de Dep(EEEE) et Is(EEEE). Soit G un sous-groupe fini de Is(EEEE). Montrer que ∃Α ∈ EEEE ∀ϕ ∈ G ϕ(A) = A. En déduire les sous-groupes finis de Dep(EEEE) et de Is(EEEE).

Problème : Mouvement plan sur plan. Une figure plane indéformable FFFF se déplace dans le plan affine

euclidien selon un mouvement de classe C1. Montrer qu’à chaque instant t, les normales aux

trajectoires des différents points de FFFF sont, soit parallèles, soit concourantes en un point C(t) appelé centre instantané de rotation du mouvement à l’instant t.

C. L’espace affine euclidien de dimension 3

Dans cette section, on note EEEE un espace affine euclidien de dimension 3, de direction vectorielle E.

1. Produit mixte, produit vectoriel. Dans ce §, nous supposons E et EEEE orientés.

1.1. Produit mixte.

Proposition : Si (U , V , W ) sont trois vecteurs de E, le déterminant du triplet (U , V , W ) dans une base orthonormée directe est indépendant de cette base. On l’appelle produit mixte des trois

vecteurs, et on le note [U , V , W ]. Propriétés du produit mixte :

1) C’est une forme trilinéaire alternée et antisymétrique.

2) On a [U , V , W ] = 0 ⇔ U , V , W sont liés.

3) On a [U , V , W ] > 0 ⇔ (U , V , W ) est une base directe. 4) Si l’on change l’orientation de E, le produit mixte est changé en son opposé.

5) Invariance par rotation. Si r est une rotation de E,

16

∀(U , V , W ) [ r(U ) , r(V ) , r(W )] = [U , V , W ]

6) Interprétation géométrique. [U , V , W ] mesure le volume du parallélépipède orienté construit

sur les vecteurs U , V , W .

7) On a : [U , V , W ]2 = Gram(U , V , W ). 1.2. Produit vectoriel.

Proposition : Soient U et V deux vecteurs de E. Il existe un unique vecteur, appelé produit

vectoriel des vecteurs U et V , et noté U ∧ V , tel que :

(∀W ∈ E) [U , V , W ] = ( U ∧ V ).W Propriétés du produit vectoriel :

1) L’application (U , V ) → U ∧ V est bilinéaire alternée.

2) U ∧ V = 0 ⇔ U et V sont liés.

3) Si (i , j ,k ) est une base orthonormée directe, on a i ∧ j =k , j ∧ k = i , k ∧ i = j .

4) Coordonnées dans une base orthonormée directe ( i , j ,k ).

Si U (x1, y1, z1) et V (x2, y2, z2) , alors U ∧ V (x2.y3 − x3.y2 , x3.y1 − x1.y3 , x1.y2 − x2.y1). 5) Construction géométrique du produit vectoriel.

Si U et V sont liés, U ∧ V = 0 . Si U et V sont libres, U ∧ V est l’unique vecteur perpendiculaire

à U et V , tel que (U , V ,U ∧ V ) est une base directe, et vérifiant ||U ∧ V || = ||U ||.||V ||.sin θ, où

θ est l’angle non orienté des vecteurs U et V .

||U ∧V || est l’aire du parallélogramme construit sur les vecteurs U et V .

6) Identité de Lagrange : ||U ∧ V ||2 + (U |V )2 = ||U ||2.||V ||2

7) Inégalité de Hadamard : | [U , V , W ] | ≤ ||U ||.||V ||.||W || , avec égalité ssi l’un des vecteurs est nul, ou s’ils sont deux à deux perpendiculaires.

8) Formule du double produit vectoriel : U ∧ ( V ∧ W ) = (U .W ).V − (U .V ).W

9) Formule de Jacobi : U ∧ ( V ∧W ) + V ∧ ( W ∧U ) + W ∧ ( U ∧V ) = 0 10) Invariance par rotation : Si r est une rotation de E, on a :

∀(U ,V ) ∈ E×E r(U ∧ V ) = r(U ) ∧ r(V ). 11) Applications antisymétriques.

Soit A∈ E un vecteur fixé. L’application f : X → A∧ X est linéaire et antisymétrique, en ce sens que ∀( X ,Y ) ∈ E×E f( X ).Y = − f(Y ). X , autrement dit f* = − f.

Réciproquement, pour tout endomorphisme antisymétrique f de E, il existe un unique vecteur A ∈ E

tel que l’on ait (∀ X ∈ E) f ( X ) = A∧ X .

12) Division vectorielle. Soient A et B deux vecteurs tels que A ≠ 0 . On a l’équivalence :

L’équation A ∧ X = B (E) a au moins une solution ⇔ A . B = 0.

Les solutions de l’équation (E) sont données par X = −²ABA∧ + λ A , où λ décrit R.

17

Exercice 1 : Vérifier l’identité (A∧ B ).(C ∧ D ) = DBCBDACA.... .

Exercice 2 : Vérifier l’identité :

(A∧ B ) ∧ (C ∧ D ) = [ A , B , D ].C − [ A , B ,C ]. D = [ C , D , A ]. B − [ C , D , B ]. A .

Exercice 3 : Vérifier l’identité : [ A∧ B , B ∧C , C ∧ A ] = [ A , B ,C ]2 .

Exercice 4 : Soient a, b, c, R des réels donnés. Dans R3 euclidien, nature de la surface d’équation :

( bz − cy )2 + ( cx − az )2 + ( ay − bx )2 = R2.

Exercice 5 : Soient ω un vecteur unitaire, R la rotation d’axe R.ω et d’angle θ. Montrer que : (∀U ∈ E) R(U ) = cos θ.U + sin θ .(ω ∧U ) + ( 1 − cos θ ).(ω .U ).ω .

Exercice 6 : SoitA ∈ E un vecteur non nul fixé. Interpréter géométriquement l’application f : X →

A ∧ X comme composée d’un orthoprojecteur, d’une rotation et d’une homothétie. Nature de f o f ?

Exercice 7 : SoitA ∈ E un vecteur fixé. Quelle est l’exponentielle de l’application f : X → A∧ X ? Nature géométrique ? Réciproque ?

Exercice 8 : 1) Soit u ∈ LLLL(E). Réduire l’expression :

Φ( x , y , z ) = [u( x ), y , z ] + [ x , u( y ), z ] + [ x , y , u(z )] 2) Montrer qu’il existe une unique v ∈ LLLL(E) telle que

∀( x , y ) ∈ E×E v(x ∧ y ) = u(x )∧ y + x ∧u( y ). Exprimer v à l’aide de Tr(u) et u*.

3) Soit u(x ) = a ∧ x , où a ∈ E. Trouver tr(u), u* et v. Retrouver la formule de Jacobi.

Exercice 9 : 1) Trouver les applications linéaires f : E → E telles que :

∀(U ,V ) ∈ E×E f(U ∧ V ) = f(U ) ∧ f(V ). 2) Trouver les applications f : E → E vérifiant cette condition.

Exercice 10 : Un cube unité, placé en position générale, se projette sur l’axe z’Oz en un segment de longueur L, et sur le plan xOy en un polygone d’aire A. Montrer que L = A. Remarque : Les produits scalaire, vectoriel et mixte permettraient de définir et d’étudier le corps des quaternions d’Hamilton. C’est fait dans le cours d’algèbre bilinéaire.

2. Droites et plans. Proposition : Soient Mi(xi, yi, zi) (1 ≤ i ≤ 3) trois points non alignés.

Le plan passant par M1, M2 et M3 a pour équation

1111321

321

321

zzzzyyyyxxxx

= 0.

Corollaire : Les quatre points Mi(xi, yi, zi) (1 ≤ i ≤ 4) sont coplanaires si et seulement si

11114321

4321

4321

zzzzyyyyxxxx

= 0.

Exercice : Ecrire l’équation du plan passant par les points A(a, 0, 0), B(0, b, 0) et C(0, 0, c).

18

Proposition : distance d’un point à un plan. La distance du point M(x, y, z) au plan P d’équation : ax + by + cz + d = 0, est donnée par :

d(M, P) = ²²² cba

dczbyax

+++++

Perpendiculaire commune et distance de deux droites.

Proposition : Soient D et D’ deux droites affines non parallèles. Il y a une et une seule droite rencontrant perpendiculairement D et D’.

Preuve : 1) Supposons D et D’ définies par points et vecteurs directeurs D(A, U ) D’(A’, U ’).

a) Cherchons P ∈ D et P’ ∈ D’ tels que 'PP ⊥ D et D’. Ecrivons AP = x.U et ''PA = x’.U ’.

'PP .U = 0 et 'PP .U ’ = 0 conduit à résoudre un système de Cramer.

b) En pratique, la perpendiculaire commune a pour direction U ∧∧∧∧U ’. Elle est l’intersection de deux

plans : le plan contenant D et parallèle à U ∧∧∧∧U ’, et le plan contenant D’ et parallèle à U ∧∧∧∧U ’. [AM , U ,U ∧∧∧∧U ’ ] = 0 et [ MA' , U ’, U ∧∧∧∧U ’ ] = 0 .

c) Distance des deux droites D et D’. Elle est donnée par la formule d(D, D’) = [ ]

'

',,'

UU

UUAA

∧.

Exercice : Former des équations de la perpendiculaire commune aux droites D et D’ ; calculer la (plus courte) distance de ces deux droites.

D : x = y = z D’ : x + y + z + 4 = 0 ; 3x – 2y + z – 5 = 0

D : x – y = z + 2 ; 3x + 4 = 2z – y D’ : 2x – 4y + z – 1 = 0 ; 3x – 6y + 4z + 3 = 0

D = z’Oz D’ : x = az + p ; y = bz + q

3. Sphères. Définition : On appelle sphère de centre Ω et de rayon R > 0 le lieu des points M tels que MΩ = R. On la note S(Ω, R).

Rapportons le plan à un repère orthonormé : si Ω (a, b, c), M(x, y, z) ∈ S(Ω, R) ⇔ ( x − a )2 + ( y − b )2 + ( z − c )2 = R2 . Le cercle a donc pour équation : x

2 + y

2 + z

2 − 2ax − 2by − 2cz + a2 + b2 + c2 − R2 = 0 (1)

Réciproquement, soient α, β, γ, δ quatre réels, Γ l’ensemble des points M(x, y) tels que : x

2 + y

2 − 2αx − 2βy − 2γz + δ = 0 (2)

• Si δ > α2 + β2 + γ2 , Γ est la sphère S(Ω, R), où Ω(α, β, γ) et R = ²²² γβαδ −−− ;

• Si δ = α2 + β2 + γ2 , Γ est réduit au point Ω ; • Si δ < α2 + β2 + γ2 , Γ est vide (« sphère imaginaire »).

Proposition : intersection d’un sphère et d’un plan. Soit S la sphère d’équation (2). Le plan P : ux + vy + wz + t = 0 est

• tangente à C ssi ( au + bv + cw )2 = R2 ( u2 + v2 ) • sécante à C ssi ( au + bv + cw )2 < R2 ( u2 + v2 ) • extérieure à C ssi ( au + bv + cw )2 > R2 ( u2 + v2 ) 3.2. Sphère circonscrite à un tétraèdre, cosphéricité.

19

Proposition : Soient Mi (1 ≤ i ≤ 4) quatre points non coplanaires. Il existe une et une seule sphère

passant par ces points ; c’est la sphère circonscrite au tétraèdre M1M2M3M4.

Elle a pour équation

11111222222222222222

²²²²²²²²²²²²²²²

4321

4321

4321

444333222111

zzzzzyyyyyxxxxx

zyxzyxzyxzyxzyx ++++++++++

= 0.

On en déduit une cns de cosphéricité ou coplanarité de cinq points. 3.3. Sphères orthogonales.

Exercices : cercles paratactiques de Bloch 2 . On dit que deux cercles sont paratactiques s’ils sont situés dans des plans orthogonaux, et ont un diamètre commun qui est découpé par les deux cercles selon une division harmonique. Montrer que toute sphère contenant l’un et toute sphère contenant l’autre sont orthogonales, et réciproquement.

Exercice : Soient C le cercle d’équations z = 0, x2 + y

2 − 2y – 1 = 0, D la droite d’équations x = z +

4, y = 2z + 3. Existence d’une sphère incluant C et tangente à D.

4. Isométries. Dans ce paragraphe, EEEE est un espace affine euclidien de dimension 3, de direction vectorielle E. On note • Is(EEEE) le groupe des isométries affines de EEEE, • Dep(EEEE) le sous-groupe distingué des déplacements (ou isométries directes).

Exemples :

1) Les translations T(u ) sont des déplacements. Elles forment un sous-groupe de Dep(EEEE) iso-morphe à (E, +).

2) Les rotations Rot(∆, θ) d’axe ∆ et d’angle θ sont des déplacements. Les rotations d’axe donné ∆ forment un sous-groupe de Dep(EEEE) isomorphe à (R/2πZ, +). 3) Si P est un plan affine de EEEE, on appelle pliage la symétrie orthogonale SP par rapport au plan P. Les pliages sont des antidéplacements.

Théorème : Structure des déplacements. Soit ϕ un déplacement de EEEE, différent de l’identité. 1er cas : ϕ est une translation. Il est alors composé de deux pliages par rapport à des plans parallèles. 2ème cas : ϕ est une rotation. Dans les deux cas, il est composé de deux pliages par rapport à des plans sécants selon l’axe de la rotation. 3ème cas : ϕ est un vissage, ou déplacement hélicoïdal. Il existe une unique droite ∆ globalement invariante par ϕ, et ϕ s’écrit de manière unique ϕ = Rot(∆, θ) o T(u ) = T(u ) o Rot(∆, θ), où u est

un vecteur parallèle à ∆. On la note ϕ = Viss(∆, θ, u ). ϕ est alors composé de trois pliages.

Théorème : Structure des antidéplacements. Soit ϕ un antidéplacement de EEEE.

2 André BLOCH (Besançon 1893 - Paris 1948) entra à l’École polytechnique en 1913 et fut mobilisé en 1914. Un accident au front le fit réformer. En novembre 1917, lors d’un repas, il tua son oncle, sa tante et un de ses frères. Interné à l’hôpital psychiatrique Saint-Maurice, puis à Charenton, il expliqua au docteur son geste en disant : « C'est une question de logique mathématique. Il y a eu des maladies mentales dans ma famille. » Il voyait son acte comme un devoir eugénique ! Patient modèle, il refusait de sortir, disant : « Les mathématiques me suffisent ». A l’hôpital, il travailla en effet dans de nombreux domaines : théorie des fonctions, géométrie, théorie des nombres, équations algébriques et cinématique. Il écrivit plusieurs articles importants, et corres-pondit avec Hadamard, qui lui rendit visite, Mittag-Leffler, Polya et Henri Cartan. Il y a une constante de Bloch en théorie des fonctions de variable complexe. L’Académie des sciences lui décerné le prix Becquerel peu avant sa mort.

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ϕ est, soit une symétrie plane, soit composée de trois symétries planes, ϕ = sP o sP1 o sP2 , le plan P étant perpendiculaire aux deux plans P1 et P2.

• Si P1//P2 , ϕ = sP o t = t o sP , où t est la translation de vecteur parallèle à P, double de la translation orthogonale amenant P1 sur P2.

• Si P1∩P2 = ∆ , ϕ = sP o r = r o sP , où r est la rotation d’axe ∆ perpendiculaire à P, d’angle double de celui des plans P1 et P2. Exercice : Quels sont les déplacements involutifs de EEEE ?

Exercice : Quels sont les sous-espaces affines de EEEE qui sont globalement invariants par un déplacement ?

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Exercices et problèmes

Exercice 1 : Dans R3 euclidien, à tout point M(x, y, z) on associe M’ = f(M), où

x’ = x.cos θ − y.sin θ , y’ = x.sin θ + y.cos θ , z’ = z + t . Soit M0 = (1, 0, 0), Mn+1 = f(Mn). Calculer θ et t tels que, pour tout n, Mn Mn+1 Mn+2 Mn+3 soit un tétraèdre régulier.

Exercice 2 : Soit (Ai, λi)1≤i≤p une famille de points de EEEE pondérés par les masses λi ∈ R.

1) On suppose ∑=

p

ii

1

λ ≠ 0. Calculer f(M) = ².1∑

=

p

iii MAλ . Lieu des points M tels que f(M) = cte ?

2) On suppose ∑=

p

ii

1

λ = 0, λ1, … , λq > 0, λq+1, …, λp < 0. Calculer f(M) = ².1∑

=

p

iii MAλ .

Lieu des points M tels que f(M) = cte ? Exercice 3 : Soient M, A, B, C quatre points de EEEE, A, B et C étant alignés.

Montrer la formule de Stewart : ||MA ||2. BC + ||MB ||2.CA + ||MC ||2. AB + AB . BC .CA = 0.

En déduire le lieu des points M tels que MBMA = k.

[ Introduire le point C de la droite AB tel que CA = k2.CB.] Problème : Deltheil-Caire, p. 33 Appareil à rotation : Deltheil-Caire, p. 37 Appareil à similitude : Deltheil-Caire, p. 82 ____________ Bibliographie

Robert Deltheil, Daniel Caire : Géométrie (Baillière) Camille Lebossé, Corentin Hémery : Géométrie (Nathan) Marcel Berger : Géométrie (Cédic Nathan) Claude Tisseron : Géométries affine, projective et euclidienne (Hermann) Yvonne et René Sortais : La géométrie du triangle (Hermann) Yvonne et René Sortais : Géométrie de l’espace et du plan (Hermann) Marc Guinot : Le paradoxe de Banach-Tarski (Aléas) Stan Wagon : The Banach-Tarski Paradox (Cambridge University Press)

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Agrégation de mathématiques 1985, Agrégation interne 2003, Capes 2004 Pour la Science, janvier 1998 et mars 1999 Maurice Mashaal : De la géométrie à 11 dimensions pour comprendre la Genèse ? (SMF) Encyclopedia universalis : Euclide, Hilbert, Banach, Tarski Problème sur les configurations entières : mon cours sur les Polynômes de Tchebychev

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