Géométriesymplectique et Mécaniquehamiltoniennelesfari.com/Note de cours/Lesfari (Geometrie symplectique... · 2019. 7. 14. · il n'y a aucun invariant local en géométrie symplectique,

Géométrie symplectiqueet

Mécanique hamiltonienne(Master Maths Fondamentales, 2009-2010, 2011-2012)

A. LesfariDépartement de Mathématiques

Faculté des SciencesUniversité Chouaïb DoukkaliB.P. 20, El-Jadida, Maroc.

E. mail : [email protected] Web : http://lesfari.com

Table des matières1 Elément I : Géométrie symplectique 2

1.1 Orbites coadjointes d'un groupe de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Application dans le cas du groupe SO(n) . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Dérivée de Lie et produit intérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Structure symplectique sur une variété . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.5 Lemme de Moser et théorème de Darboux . . . . . . . . . . . . . . . 291.6 Champs de vecteurs hamiltoniens, intégrales premières et théorème de

Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.7 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.8 Structure symplectique sur les orbites et application . . . . . . . . . 47

2 Elément II : Mécanique hamiltonienne 502.1 Champ de vecteurs, Groupes à un paramètre de diéomorphismes et

Opérateurs diérentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.2 Commutativité des champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.3 Variétés diéomorphes aux tores réels . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.4 Champ de vecteurs hamiltonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.5 Le théorème d'Arnold-Liouville et la complète intégrabilité des sys-

tèmes hamiltoniens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.6 Rotation d'un solide autour d'un point xe . . . . . . . . . . . . . . 732.7 Potentiel quartique, système de Garnier . . . . . . . . . . . . . . . . 87

1

A. Lesfari (G.S. et M.H.) 2

1 Elément I : Géométrie symplectiqueDans l'élément I, on étudie quelques notions sur les variétés symplectiques an

d'introduire les champs de vecteurs hamiltoniens. Il sera tout d'abord consacré àl'étude des orbites adjointes et coadjointes d'un groupe de Lie avec une applicationdans le cas du groupe spécial orthogonal SO(n). On y développe le calcul explicitedes structures symplectiques sur une variété diérentiable. Nous verrons commentdénir une structure symplectique sur l'orbite de la représentation coadjointe d'ungroupe de Lie. Une attention particulière est donnée aux groupes SO(3) et SO(4).On étudie aussi quelques propriétés sur la dérivée de Lie et le produit intérieur. Unepartie sera consacrée à l'étude d'un théorème central de la géométrie symplectique àsavoir le théorème de Darboux : les variétés symplectiques (M,ω) de dimension 2msont localement isomorphes à (R2m, ω). Plus précisément, si (M,ω) est une variétésymplectique de dimension 2m, alors au voisinage de chaque point de M , il existe descoordonnées locales (x1, ..., x2m) telles que : ω =

∑mk=1 dxk ∧ dxm+k. En particulier,

il n'y a aucun invariant local en géométrie symplectique, analogue à la courbureen géométrie riemannienne. La preuve classique donnée par Darboux du théorèmequi porte son nom se fait par récurrence sur la dimension de la variété. Nous endonnerons un aperçu et nous verrons une autre démonstration due à Weinstein et sebasant sur un résultat de Moser.

1.1 Orbites coadjointes d'un groupe de LieSoit G un groupe de Lie et g un élément de G. Le groupe de Lie G opère sur

lui-même par une translation à gauche :

Lg : G −→ G, h 7−→ gh,

et une translation à droite :

Rg : G −→ G, h 7−→ hg.

En vertu de l'associativité de la loi du groupe, on a

LgLh = Lgh,

RgLh = Rhg,

Lg−1 = L−1g ,

Rg−1 = R−1g .

En particulier, les applications Rg et Lg sont des diéomorphismes de G. En outre,toujours à cause de l'associativité, Rg et Lg commutent. Soit

R−1g Lg : G −→ G, h 7−→ ghg−1,

l'automorphisme intérieur du groupe G. Il laisse l'unité e du groupe G xe,

R−1g Lg(e) = geg−1 = e.


On peut dénir la dérivée de R−1g Lg en l'unité e, i.e, l'application induite des espaces

tangents comme suit

Adg : G −→ G, ξ 7−→ d

dtR−1

g Lg(etξ)∣∣∣∣t=0

,

où G = TeG est l'algèbre de Lie du groupe G ; c'est l'espace tangent à G en son unitée. Cette dénition a bien un sens car R−1

g Lg(etξ) est une courbe dans G et passe parl'identité en t = 0. Dès lors gξg−1 ∈ G, plus précisément, on aProposition 1 Pour tout élément ξ ∈ G, on a

Adg(ξ) = gξg−1, g ∈ G.

Démonstration : On a

Adg(ξ) =d

dtR−1


,

=d

dtgetξg−1

∣∣∣∣t=0

,

=d

dtg

( ∞∑

n=0

tnξn

n!

)g−1

∣∣∣∣∣t=0

,

=d

dt

∞∑

n=0

tn

n!gξng−1

∣∣∣∣∣t=0

,

=d

dt

∞∑

n=0

tn

n!gξg−1.gξg−1...gξg−1

︸︷︷︸n−fois

∣∣∣∣∣∣∣t=0

,

=d

dt

∞∑

n=0

tn

n!(gξg−1)n

∣∣∣∣∣t=0

,

=d

dtet(gξg−1)

∣∣∣∣t=0

,

= gξg−1,

ce qui achève la démonstration. ¤On vérie aisément que

Adgh = Adg.Adh.

En eet, on a

Adgh(ξ) = ghξ(gh)−1,

= ghξh−1g−1,

et

Adg.Adh(ξ) = Adg(hξh−1),= ghξh−1g−1.


Dénition 2 L'application

Adg : G −→ G, ξ 7−→ d

dtR−1


= gξg−1, g ∈ G,

s'appelle représentation adjointe du groupe G. L'orbite adjointe de ξ est dénie parOG(ξ) = Adg(ξ) : g ∈ G ⊂ G.

Proposition 3 L'application Adg est un homéomorphisme d'algèbre,Adg[ξ, η] = [Adgξ, Adgη], (ξ, η ∈ G).

Démonstration : On aAdg[ξ, η] = Adg(ξη − ηξ),

= g(ξη − ηξ)g−1,

= gξηg−1 − gηξg−1,

= gξg−1gηg−1 − gηg−1gξg−1,

= [gξg−1, gηg−1],= [Adgξ,Adgη],

la démonstration s'achève. ¤Considérons maintenant la fonction

Ad : G −→ End(G), g 7−→ Ad(g) ≡ Adg,

où End(G) est l'espace des opérateurs linéaires sur l'algèbre G. L'application Ad estdiérentiable et sa dérivée Ad∗e en l'unité du groupe G est une application linéairede l'algèbre TeG = G dans l'espace vectoriel TIEnd(G) = End(G). Cette applicationsera notée

ad ≡ Ad∗e : G −→ End(G), ξ 7−→ adξ =d

dtAdg(t)

∣∣∣∣t=0

,

où g(t) est un groupe à un paramètre avec ddtg(t)

∣∣t=0

= ξ et g(0) = e.Proposition 4 Soit ξ ∈ G et η ∈ End(G). En posant adξ ≡ Ad∗e(ξ), alors

adξ(η) = [ξ, η].

Démonstration : On aadξ(η) = Ad∗e(ξ)(η),

=d

dtAdg(t)(η)

∣∣∣∣t=0

,

=d

dt(g(t)ηg−1(t))

∣∣∣∣t=0

,

= g(t)ηg−1(t)∣∣t=0

− g(t)ηg−1(t)g(t)g−1(t)∣∣t=0

,

= g(0)η − ηg(0),= ξη − ηξ,

= [ξ, η],


ce qui achève la démonstration. ¤Soit T ∗g G l'espace cotangent au groupe G en g ; c'est le dual de l'espace tangent

TgG. Donc un élément ζ ∈ T ∗g G est une forme linéaire sur TgG et sa valeur surη ∈ TgG sera désignée par

ζ(η) ≡ 〈ζ, η〉.Soit G∗ = T ∗e G l'espace vectoriel dual de l'algèbre de Lie G ; c'est l'espace cotangentau groupe G en son unité e.

Dénition 5 L'opérateur dual Ad∗g : G∗ −→ G∗, de Adg est déni par

〈Ad∗g(ζ), η〉 = 〈ζ, Adgη〉, ζ ∈ G∗, η ∈ G.

Ad∗g s'appelle représentation coadjointe du groupe de Lie G. On dénit l'orbite coad-jointe (appelée aussi orbite de Kostant-Kirillov) au point x ∈ G∗ par

O∗G(x) = Ad∗g(x) : g ∈ G ⊂ G∗.

Proposition 6 On aAd∗gh = Ad∗h.Ad∗g.

Démonstration : En eet, soit ζ ∈ G∗, η ∈ G. On a

〈Ad∗gh(ζ), η〉 = 〈ζ, Adgh(η)〉,= 〈ζ, Adh.Adg(η)〉,= 〈Ad∗g(ζ), Adh(η)〉,= 〈Ad∗h.Ad∗g(ζ), η〉,

ce qui achève la démonstration. ¤Soit l'application

Ad∗ : G −→ End(G∗), g 7−→ Ad∗(g) ≡ Ad∗g,

et considérons sa dérivée en l'unité du groupe

ad∗ ≡ (Ad∗)∗e : G −→ End(G∗), ξ 7−→ ad∗ξ .

Proposition 7 Soit ξ, η ∈ G et ζ ∈ G∗. En posant

〈ad∗ξ(ζ), η〉 = 〈ζ, [ξ, η]〉 = 〈ξ, ζ, η〉,

où, : G × G∗ −→ G∗, (ξ, ζ) 7−→ ξ, ζ,

est une forme linéaire, alorsad∗ξ(ζ) = ξ, ζ.



〈ad∗ξ(ζ), η〉 = 〈(Ad∗)∗e(ζ), η〉,

= 〈 d

dtAd∗etξ(ζ)

∣∣∣∣t=0

, η〉, etξ∣∣∣t=0

= e,d

dtetξ

∣∣∣∣t=0

= ξ,

=d

dt〈Ad∗etξ(ζ), η〉

∣∣∣∣t=0

,

=d

dt〈ζ, Adetξ(η)〉

∣∣∣∣t=0

,

= 〈ζ,d

dtAdetξ(η)

∣∣∣∣t=0

〉,= 〈ζ, adξη〉,= 〈ζ, [ξ, η]〉,= 〈ξ, ζ, η〉,

et achève la démonstration. ¤

1.2 Application dans le cas du groupe SO(n)

Nous allons montrer dans cette partie, comment trouver l'orbite adjointe et l'or-bite coadjointe dans le cas du groupe SO(n). Rappelons que SO(n) est le groupespécial orthogonal d'ordre n, i.e., l'ensemble des matrices X de type n×n telles que :X>.X = I (ou X−1 = X>) et detX = 1. SO(n) est un goupe de Lie. L'espace tan-gent à l'identité du groupe SO(n), que l'on note so(n), est constitué par les matricesn×n antisymétriques, i.e., des matrices A telles que : A>+ A = 0. Le commutateurde deux matrices antisymétriques est encore une matrice antisymétrique,

A,B ∈ so(n) =⇒ [A, B] = AB −BA ∈ so(n).

Ce produit dénit une structure d'algèbre de Lie sur so(n) ; c'est l'algèbre de Lie dugroupe SO(n). En eet, soit X, Y ∈ SO(n). On a

(XY )−1 = Y −1.X−1,

= Y >.X>,

= (XY )>.

D'où X.Y ∈ SO(n). En outre, on a X = AX avec A ∈ so(n) et par conséquentl'espace tangent à l'identité de SO(n) est TISO(n) = so(n).

Soit

R−1Y LY : SO(n) −→ SO(n), X 7−→ Y XY −1, Y ∈ SO(n),

l'automorphisme intérieur du groupe SO(n). On vérie aisément que Y XY −1 ∈


SO(n). En eet, on a

(Y XY −1)−1 = Y X−1Y −1,

= Y X>Y >,

= (Y XY >)>,

= (Y XY −1)>.

Lors de la recherche de l'orbite coadjointe, nous aurons besoin du lemme évidentsuivant :

Lemme 8 L'algèbre de Lie so(n) munie du commutateur [, ] des matrices est iso-morphe à l'espace R

n(n−1)2 muni du produit vectoriel ∧. L'isomorphisme est donné

para ∧ b 7−→ [A,B] = AB −BA,

où a, b ∈ Rn(n−1)2 et A,B ∈ so(n).

Démonstration : Sans restreindre la généralité, nous allons donner la preuve dans lecas n = 3. Soit a = (a1, a2, a3) ∈ R3 et

A =

0 −a3 a2

a3 0 −a1

−a2 a1 0

∈ so(3).

Nous allons tout d'abord associer au produit scalaire de R3 la forme de Killing dansso(3),

(A, B) = −12tr(A.B).

En eet, on a(A,B) = a1b1 + a2b2 + a3b3,

et

A.B =

−a3b3 − a2b2 a2b1 a3b1

a1b2 −a3b3 − a1b1 a3b2

a1b3 a2b3 −a2b2 − a1b1

∈ so(3),

−12tr(A.B) = a1b1 + a2b2 + a3b3.

De même, au produit vectoriel de R3 est associé le commutateur des matrices,

a ∧ b = [A,B].

En eet, on aa ∧ b = (a2b3 − a2b2, a3b1 − a1b3, a1b2 − a2b1),


et

[A,B] = AB −BA,

=

0 a2b1 − a1b2 a3b1 − a1b3

a1b2 − a2b1 0 a3b2 − a2b3

a1b3 − a3b1 a2b3 − a3b2 0.

et achève la démonstration. ¤

Théorème 9 a) L'orbite de la représentation adjointe du groupe SO(n) est

OSO(n)(A) = Y AY −1 : Y ∈ SO(n), A ∈ so(n).

b) Soit A ∈ so(n). L'orbite coadjointe du groupe SO(n) est

O∗SO(n)(A) = Y −1AY : Y ∈ SO(n),ou encore

O∗SO(n)(A) = C ∈ so(n) : C = Y −1AY, spectre de C = spectre de A.c) Avec les notations de la proposition 7, on a

A,B = [B,A], (A,B ∈ so(n)).

Démonstration : a) Soit Y ∈ SO(n), A ∈ so(n). Par dénition, la représentationadjointe du groupe SO(n) est

AdY : so(n) −→ so(n), A 7−→ Y AY −1.

Il sut donc de bien s'assurer que Y AY −1 ∈ so(n). On a

(Y AY −1)> = (Y −1)>A>Y >,

= −Y AY >,

= −Y AY −1.

b) SoitAd : SO(n) −→ End(so(n)), Y 7−→ AdY ,

avecAdY (A) = Y AY −1, A ∈ so(n),

et soitad : so(n) −→ End(so(n)), Y (0) 7−→ adY (0),

avecadY (0)• = [Y (0), •] : so(n) −→ so(n), A 7−→ [Y (0), A],

où Y (t) est une courbe dans SO(n) avec Y (0) = I. Notons que puisque (Rn×n)∗ 'Rn×n, alors d'après le lemme précédent, on a aussi (so(n))∗ ' so(n). On peut doncdénir Ad∗ par

Ad∗Y : so(n) −→ so(n),


avec

〈Ad∗Y (A), B〉 = 〈A,AdY B〉, (A,B ∈ so(n)),= 〈A, Y BY −1〉,= −1

2tr(AY BY −1),

= −12tr(Y −1AY B),

= 〈Y −1AY, B〉,

d'oùAd∗Y (A) = Y −1AY.

On vérie aisément que Y −1AY ∈ so(n). En eet, on a

(Y −1AY )> = Y >A>(Y −1)> = −Y −1AY,

car Y ∈ SO(n) et A ∈ so(n). Donc

O∗SO(n)(A) = Y −1AY : Y ∈ SO(n),

ou ce qui revient au même

O∗SO(n)(A) = C ∈ so(n) : ∃Y ∈ SO(n), C = Y −1AY .

Notons que

det(C − λI) = det(Y −1AY − Y −1λIY ),= det(Y −1(A− λI)Y ),= detY −1. det(A− λI). detY,

= det(A− λI).

Dès lors, les matrices C et A ont même polynôme caractéristique, donc elles ontmême spectre. Par conséquent,

O∗SO(n)(A) = C ∈ so(n) : C = Y −1AY, spectre de C = spectre de A.

c) Appliquons maintenant la proposition 7 au cas du groupe SO(n). Reprenons laforme linéaire tout en sachant que (so(n))∗ = so(n),

, : so(n)× so(n) −→ so(n), (A,B) 7−→ A,B,

ainsi que les applications

Ad∗ : SO(n) −→ End(so(n)), Y 7−→ Ad∗Y (B) = Y −1BY, B ∈ so(n),

ad∗ : so(n) −→ End(so(n)), A 7−→ ad∗A,

où〈ad∗A(B), C〉 = 〈B, [A,C]〉 = 〈A,B, C〉.


On a

〈A,B, C〉 = 〈B, [A,C]〉,= −1

2tr(B.[A,C]),

= −12tr(BAC −BCA),

= −12tr([B, A].C),

= 〈[B, A], C〉.Dès lors, A,B = [B,A], et le théorème est démontré. ¤

1.3 Dérivée de Lie et produit intérieurSoit X un champ de vecteurs sur une variété diérentiable M . Etant donné un

point x ∈ M, on note gXt (x) (ou tout simplement gt(x)) la position de x après un

déplacement d'une durée t ∈ R. On a ainsi une application

gXt : M −→ M, t ∈ R,

qui est un diéomorphisme, en vertu de la théorie des équations diérentielles (voirthéorème ci-dessous). Plus précisément, au champ de vecteurs X est lié un groupeà un paramètre de diéomorphismes gX

t sur M c'est-à-dire une application diéren-tiable : M × R −→ M , vériant une loi de groupe :

i) ∀t ∈ R, gXt : M −→ M est un diéomorphisme de M sur M.

ii) ∀t, s ∈ R, gXt+s = gX

t gXs .

La condition ii) signie que la correspondance t 7−→ gXt , est un homomorphisme

du groupe additif R dans le groupe des diéomorphismes de M dans M. Elle impliqueque

gX−t =

(gXt

)−1,

car gX0 = idM est la transformation identique qui laisse chaque point invariant.

Dénition 10 Le groupe à un paramètre de diéomorphismes gXt sur M , que l'on

vient de décrire s'appelle ot et il admet le champ de vecteurs X pour champ devitesses

d

dtgXt (x) = X

(gXt (x)

),

avec la condition initiale gX0 (x) = x.

Evidemmentd

dtgXt (x)

∣∣∣∣t=0

= X (x) .

Donc par ces formules gXt (x) est la courbe sur la variété qui passe par x et telle que

la tangente en chaque point est le vecteur X(gXt (x)

).

Nous allons maintenant voir comment construire le ot gXt sur toute la variété

M.


Théorème 11 Le champ de vecteurs X est générateur d'un unique groupe à unparamètre de diéomorphismes de M.

Démonstration : a) Construction de gXt pour t assez petit. Pour x xé, l'équation

diérentielled

dtgXt (x) = X

(gXt (x)

),

fonction de t avec la condition initiale gX0 (x) = x, admet une solution unique gX

t

dénie au voisinage du point x0 et dépendant de façon C∞ de la condition initiale.Donc gX

t est localement un diéomorphisme. Dès lors pour chaque point x0 ∈ M,on peut trouver un voisinage U (x0) ⊂ M , un nombre réel positif ε ≡ ε (x0) tels quepour tout t ∈ ]−ε, ε[ , l'équation diérentielle en question avec sa condition initialeadmet une solution unique gX

t (x) diérentiable dénie dans U (x0) et vériant larelation de groupe

gXt+s (x) = gX

t gXs (x) ,

avec t, s, t + s ∈ ]−ε, ε[ . En eet, posons x1 = gXt (x) , t xé, et considérons la

solution de l'équation diérentielle satisfaisant dans le voisinage du point x0 à lacondition initiale gX

s=0 = x1. Cette solution vérie la même équation diérentielleet coincide en un point gX

t (x) = x1, avec la fonction gXt+s. Donc, par unicité de la

solution de l'équation diérentielle, les deux fonctions sont localement égales. Parconséquent, l'application gX

t est localement un diéomorphisme. Rappelons que lechamp de vecteurs X est supposé diérentiable (de classe C∞) et à support compactK. Du recouvrement de K formé par des ouverts U (x) , on peut extraire un sous-recouvrement ni (Ui) , puisque K est compact. Désignons par εi les nombres εcorrespondants aux Ui et posons

ε0 = inf (εi) , gXt (x) = x /∈ K.

Dès lors, l'équation en question admet une solution unique gXt sur M × ]−ε0, ε0[

vériant la relation du groupe

gXt+s = gX

t gXs ,

l'inverse de gXt étant gX−t et donc gX

t est un diéomorphisme pour t susammentpetit.b) Construction de gX

t pour tout t ∈ R. D'après a), il sut de construire gXt pour

t ∈ ]−∞,−ε0[∪]ε0,∞[ . Nous allons voir que les applications gXt se dénissent d'après

la loi de multiplication du groupe. Notons que t peut s'écrire sous la forme t = k ε02 +r,

avec k ∈ Z et r ∈ [0, ε0

2

[. Posons, pour t ∈ R∗+,

gXt = gX

ε02 · · · gX

ε02︸︷︷︸

k−fois

gXr ,

et pour t ∈ R∗−,gXt = gX

− ε02 · · · gX

− ε02︸︷︷︸

k−fois

gXr .


Les diéomorphismes gX± ε0

2

et gXr ont été dénis dans a), et on en déduit que pour

tout réel t, gXt est un diéomorphisme déni globalement sur M. ¤

Dénition 12 La dérivée de Lie d'une k-forme diérentielle ω par rapport à X estla k-forme diérentielle dénie par

LXω =d

dtg∗t ω

∣∣∣∣t=0

,

= limt→0

g∗t (ω(gt(p)))− ω(p)t

, p ∈ M.

En général, pour t 6= 0, on a

d

dtg∗t ω =

d

dsg∗t+sω

∣∣∣∣s=0

,

= g∗td

dsg∗sω

∣∣∣∣s=0

,

= g∗t (LXω). (1.1)

On vérie aisément que pour la k-forme diérentielle ω(gt(p)) au point gt(p),l'expression g∗t ω(gt(p)) est bien une k-forme diérentielle en p.

Pour tout t ∈ R, l'application gt : R −→ R étant un diéomorphisme alors dgt etdg−t sont des applications

dgt : TpM −→ Tgt(p)M,

etdg−t : Tgt(p) −→ TpM.

Dénition 13 La dérivée de Lie d'un champ de vecteurs Y dans la direction X estdéni par

LXY =d

dtg−tY

∣∣∣∣t=0

,

= limt→0

g−t(Y (gt(p)))− Y (p)t

.

En général, pour t 6= 0, on a

d

dtg−tY =

d

dsg−t−sY

∣∣∣∣s=0

,

= g−td

dsg−sY

∣∣∣∣s=0

,

= g−t(LY ).

Une opération intéressante sur les formes diérentielles est le produit intérieurque l'on dénit comme suit :


Dénition 14 Le produit intérieur d'une k-forme diérentielle ω par un champ devecteurs X sur une variété diérentiable M est une (k−1)-forme diérentielle, notéeiXω, dénie par

(iXω)(X1, ..., Xk−1) = ω(X,X1, ..., Xk−1),

où X1, ..., Xk−1 sont des champs de vecteurs.

On montre aisément que si ω est une k-forme diérentielle, λ une forme dié-rentielle de degré quelconque, X et Y deux champs de vecteurs, f une applicationlinéaire et a une constante, alors

iX+Y ω = iXω + iY ω,

iaXω = aiXω,

iXiY ω = −iY iXω,

iXiXω = 0,iX(fω) = f(iXω),iXf∗ω = f∗(ifXω),

iX(ω ∧ λ) = (iXω) ∧ λ + (−1)kω ∧ (iXλ).

Remarque 15 En coordonnées locales, le produit intérieur s'écrit comme suit : Si

X =m∑

j=1

Xj(x)∂

∂xj,

est l'expression locale du champ de vecteurs sur la variété M de dimension m et

ω =∑

i1<i2<...<ik

fi1...ik(x)dxi1 ∧ ... ∧ dxik ,

alors

iXω = ω(X, ·),

=∑

i2<i3<...<ik

m∑

j=1

fji2...ikXjdxi2 ∧ ... ∧ dxik

−∑

i1<i3<...<ik

m∑

j=1

fi1j...ikXjdxi1 ∧ dxi3 ∧ ... ∧ dxik

+ · · ·+ (−1)k−1∑

i1<i2<...<ik−1

m∑

j=1

fi1i2...jXjdxi1 ∧ dxi2 ∧ ... ∧ dxik−1,

= k∑

i2<i3<...<ik

m∑

j=1

fji2...ikXjdxi2 ∧ ... ∧ dxik .

D'oùi ∂

∂xj

ω =∂

∂(dxj)ω,

où on a mis dxj en première position dans ω.


Les propriétés suivantes interviennent souvent lors de la résolution de problèmespratiques utilisant les dérivées de Lie.Proposition 16 a) Si f : M −→ R est une fonction diérentiable, alors la dérivéede Lie de f est l'image de X par la diérentielle de f ,

LXf = df(X) = X.f.

b) LX et d commutent,LX d = d LX .

c) Soient X, X1, ..., Xk des champs de vecteurs sur M et ω une k-forme diérentielle.Alors

(LXω)(X1, ..., Xk) = LX(ω(X1, ..., Xk))−k∑

j=1

ω(X1, ..., LXXj , ..., Xk).

d) Pour toutes formes diérentielles ω et λ, on aLX(ω ∧ λ) = LXω ∧ λ + ω ∧ LXλ.

Démonstration : a) En eet, on a

LXf =d

dtg∗t f

∣∣∣∣t=0

,

=d

dtf gt

∣∣∣∣t=0

,

= df

(dgt

dt

)∣∣∣∣t=0

,

= df(X),= iXdf, (voir proposition 18)= X.f.

b) En eet, comme la diérentielle et l'image réciproque commutent, alors

d LXω = d d

dtg∗t ω

∣∣∣∣t=0

,

=d

dtg∗t dω

∣∣∣∣t=0

,

= LX dω.

c) On a

(LXω)(X1, ..., Xk) =d

dtg∗t ω(X1, ..., Xk)

∣∣∣∣t=0

,

=d

dtω(gt)(dgtX1, ..., dgtXk)

∣∣∣∣t=0

,

= LXω(gt)(dgtX1, ..., dgtXk)|t=0

+k∑

j=1

ω(gt)(

dgtX1, ...,d

dtdgtXj , ..., dgtXk

)∣∣∣∣∣∣t=0

,


et le résultat découle du fait que

d

dtdgtXj

∣∣∣∣t=0

= − d

dtdg−tXj

∣∣∣∣t=0

= −LXXj .

d) Il sut de considérer ω et λ de la forme

ω = fdxi1 ∧ ... ∧ dxik ,

λ = gdxj1 ∧ ... ∧ dxjl.

On aω ∧ λ = fgdxi1 ∧ ... ∧ dxik ∧ dxj1 ∧ ... ∧ dxjl

,

et

LX(ω ∧ λ)(X1, ..., Xk, Xk+1, ..., Xk+l)= (LXf).gdxi1 ∧ ... ∧ dxik ∧ dxj1 ∧ ... ∧ dxjl

(X1, ..., Xk, Xk+1, ..., Xk+l)+f(LXg)dxi1 ∧ ... ∧ dxik ∧ dxj1 ∧ ... ∧ dxjl

(X1, ..., Xk, Xk+1, ..., Xk+l),= ((LXω) ∧ λ + ω ∧ (LXλ))(X1, ..., Xk, Xk+1, ..., Xk+l),

et le résultat en découle. ¤

Proposition 17 Soient X et Y deux champs de vecteurs sur M . Alors, la dérivéede Lie LXY est le crochet de Lie [X,Y ].


LXY (f) = limt→0

dg−tY − Y

t(f),

= limt→0

dg−tY − dgtY

t(f),

= limt→0

Y (f)− dgtY (f)t

,

= limt→0

Y (f)− Y (f gt) g−1t

t.

Posons gt(x) ≡ g(t, x), et appliquons à g(t, x) la formule de Taylor avec reste intégral.Il existe donc h(t, x) tel que :

f(g(t, x)) = f(x) + th(t, x),

avech(0, x) =

∂

∂tf(g(t, x))(0, x).

D'après la dénition du vecteur tangent, on a

X(f) =∂

∂tf gt(x)(0, x),


d'oùh(0, x) = X(f)(x).

Dès lors,

LXY (f) = limt→0

(Y (f)− Y (f) g−1

t

t− Y (h(t, x)) g−1

t

),

= limt→0

((Y (f) gt − Y (f)) g−1

t

t− Y (h(t, x)) g−1

t

).

Commelimt→0

g−1t (x) = g−1

0 (x) = id.,

on en déduit que

LXY (f) = limt→0

(Y (f) gt − Y (f)

t− Y (h(0, x))

),

=∂

∂tY (f) gt(x)− Y (X(f)),

= X(Y (f))− Y (X(f)),= [X, Y ],

ce qui achève la démonstration. ¤

Théorème 18 Soient X un champ de vecteurs sur M et ω une k-forme diéren-tielle. Alors

LXω = d(iXω) + iX(dω).

Autrement dit, on a la formule d'homotopie (de Cartan)

LX = d iX + iX d.

(Cette propriété peut d'ailleurs servir de dénition).

Démonstration : Nous allons raisonner par récurrence sur le degré k de la formediérentielle ω. Posons

DX ≡ d iX + iX d.

Pour une 0-forme diérentielle, i.e., une fonction f , on a

DXf = d(iXf) + iX(df).

Or iXf = 0, d'oùd(iXf) = 0, iXdf = df(X),

et doncDXf = df(X).

Par ailleurs, on sait (proposition 16, a)) que

LXf = df(X) = X.f,


doncDXf = LXf.

Supposons que la formule en question est vraie pour une (k − 1)-forme diérentielleet montrons qu'elle l'est pour une k-forme diérentielle. Soit λ une (k − 1)-formediérentielle et posons

ω = df ∧ λ,

où f est une fonction. On a

LXω = LX(df ∧ λ),= LXdf ∧ λ + df ∧ LXλ, (proposition 16, d)),= dLXf ∧ λ + df ∧ LXλ, (car LXdf = dLXf, proposition 16, b)),= d(df(X)) ∧ λ + df ∧ LXλ, (car LXf = df(X), proposition 16, a)).

Par hypothèse de récurrence, on a

LXλ = d(iXλ) + iX(dλ),

et puisque iXdf = df(X), alors

LXω = d(iXdf) ∧ λ + df ∧ d(iXλ) + df ∧ iX(dλ). (1.2)

Par ailleurs, on a

iXd(df ∧ λ) = −iX(df ∧ dλ) = −(iXdf) ∧ dλ + df ∧ iX(dλ),

et

diX(df ∧ λ) = d (iXdf) ∧ λ− df ∧ iXλ) ,

= d(iXdf) ∧ λ + (iXdf) ∧ dλ + df ∧ d(iXλ), (car d(df) = 0),

d'où

diX(df ∧ λ) + iXd(df ∧ λ) = d(iXdf) ∧ λ + df ∧ d(iXλ) + df ∧ iX(dλ).

En comparant cette expression avec celle obtenue dans (1.2), on obtient nalement

LXω = d(iXω) + iX(dω),

et le théorème est démontré. ¤

Exemple 19 Montrons que pour une forme diérentielle ω, on a

iXLXω = LXiXω.

En eet, on a

iXLXω = iX(diXω) + iX(iXdω), (théorème 18)= iX(diXω), (car iXiX = 0),

etLXiXω = (d iX + iX d)iXω = iX(diXω),

d'où le résultat.


Proposition 20 Soient X et Y deux champs de vecteurs sur M et ω une formediérentielle. Alors,

LX+Y ω = LXω + LY ω,

etLfXω = fLXω + df ∧ iXω,

où f : M −→ R est une fonction diérentiable.

Démonstration : En eet, il sut d'utiliser le théorème 18,

LX+Y ω = d(iX+Y ω) + iX+Y (dω),= d(iXω + iY ω) + iX(dω) + iY (dω),= d(iXω) + iX(dω) + d(iY ω) + iY (dω),= LXω + LY ω.

De même, on a

LfXω = d(ifXω) + ifX(dω),= d(fiXω) + fiX(dω),= df ∧ iXω + fd(iXω) + fiX(dω),= df ∧ iXω + fLXω,


Remarque 21 En coordonnées locales, la dérivée de Lie de la forme diérentielle

ω =∑

i1<...<ik

fi1...ikdxi1 ∧ ... ∧ dxik ,

s'écrit comme suit : SiX =

m∑

j=1

Xj(x)∂

∂xj,

est l'expression locale du champ de vecteurs sur la variété M de dimension m, alors

LXω =m∑

j=1

LXj∂

∂xj

ω,

=m∑

j=1

(dXj ∧ i ∂

∂xj

ω + XjL ∂∂xj

ω

).

Or d'après la remarque 17, on sait que

i ∂∂xj

ω =∂

∂(dxj)ω = k

∑

i2<i3<...<ik

fji2...ikdxi2 ∧ dxi3 ∧ ... ∧ dxik ,


doncdXj ∧ i ∂

∂xj

ω = k∑

i1<i2<...<ik

fji2...ik

∂Xj

∂xi1

dxi1 ∧ ... ∧ dxik .

De même, en utilisant la proposition 16, c), on obtient

L ∂∂xj

ω =∑

i1<...<ik

∂fi1...ik

∂xjdxi1 ∧ ... ∧ dxik .

Comme[

∂∂xj

, ∂∂xl

]= 0, on obtient nalement

LXω =∑

i1<...<ik

m∑

j=1

(∂fi1...ik

∂xjXj + kfji2...ik

∂Xj

∂xi1

)dxi1 ∧ ... ∧ dxik .

Proposition 22 Si X et Y sont deux champs de vecteurs sur M , alors

a) [LX , iY ] = i[X,Y ].

b) [LX , LY ] = L[X,Y ].

Démonstration : La preuve consiste à montrer que pour une k-forme diérentielle ω,on a

[LX , iY ]ω = i[X,Y ]ω,

et[LX , LY ]ω = L[X,Y ]ω.

a) On va utiliser un raisonnement par récurrence en supposant tout d'abord quek = 1, i.e., ω = df . On a

[LX , iY ]df = LXiY df − iY LXdf,

= LX(Y.f)− iY dLXf, (car LX d = d LX)= X.(Y.f)− iY d(X.f), (car LXf = X.f)= X.(Y.f)− Y.(X.f),= [X, Y ].f,

= i[X,Y ]df.

Supposons que la formule en question est vraie pour une forme ω de degré inférieurou égal à k− 1. Soient λ et θ deux formes de degré inférieur ou égal à k− 1 de façon


à ce que : ω = λ ∧ θ soit une forme de degré k. On a

[LX , iY ]ω = LXiY ω − iY LXω,

= LXiY (λ ∧ θ)− iY LX(λ ∧ θ),= LX(iY λ ∧ θ + (−1)degλλ ∧ iY θ)− iY (LXλ ∧ θ + λ ∧ LXθ),= LXiY λ ∧ θ + iY λ ∧ LXθ + (−1)degλLXλ ∧ iY θ

+(−1)degλλ ∧ LXiY θ − iY LXλ ∧ θ − (−1)degλLXλ ∧ iY θ

−iY λ ∧ LXθ − (−1)degλλ ∧ iY LXθ,

= (LXiY λ− iY LXλ) ∧ θ + (−1)degλλ ∧ (LXiY θ − iY LXθ),= i[X,Y ]λ ∧ θ + (−1)degλλ ∧ i[X,Y ]θ,

= i[X,Y ](λ ∧ θ),= i[X,Y ]ω.

b) On a

[LX , LY ]ω = LXLY ω − LY LXω,

= LXdiY ω + LXiY dω − diY LXω − iY dLXω,

= dLXiY ω + LXiY dω − diY LXω − iY LXdω, (car LXdω = dLXω)= di[X,Y ]ω + i[X,Y ]dω, (d'après a))= L[X,Y ]ω,

et la démonstration s'achève. ¤

Remarque 23 En utilisant les résultats vus précédemment, on peut donner unepreuve rapide du théorème de Poincaré : dans le voisinage d'un point d'une variété,toute forme diérentielle fermée est exacte. En eet, considérons l'équation diéren-tielle

dx

dt= X(x) =

x

t,

ainsi que sa solution gt(x0) = x0t. Cette dernière est dénie au voisinage du pointx0, dépend de façon C∞ de la condition initiale et est un groupe à un paramètre dediéomorphismes. On a

g0(x0) = 0, g1(x0) = x0

etg∗0ω = 0, g∗1ω = ω.


Dès lors,

ω = g∗1ω − g∗0ω,

=∫ 1

0

d

dtg∗t ωdt,

=∫ 1

0g∗t (LXω)dt (d'après (3.1)),

=∫ 1

0g∗t (diXω)dt, (d'après théorème 18 et le fait que dω = 0)

=∫ 1

0dg∗t iXωdt, (car df∗ω = f∗dω).

On peut donc trouver une forme diérentielle λ telle que : ω = dλ, où

λ =∫ 1

0g∗t iXωdt.

1.4 Structure symplectique sur une variétéSoit M une variété diérentiable de dimension paire.

Dénition 24 Une structure symplectique (ou forme symplectique) sur M est une2-forme diérentielle ω fermée, i.e., dω = 0 et partout non dégénérée, i.e.,

∀p ∈ M, ∀ξ 6= 0, ∃η : ω (ξ, η) 6= 0, (ξ, η ∈ TpM) .

Le couple (M, ω) (ou simplement M) s'appelle variété symplectique.

Dès lors, en un point p ∈ M , on dispose d'une forme bilinéaire antisymétriquenon dégénérée sur l'espace tangent TpM , ce qui explique que la dimension de lavariété M est paire.

Exemple 25 L'espace M = R2m muni de la 2-forme

ω =m∑

k=1

dxk ∧ dyk,

(où x1, ..., xm, y1, ..., ym sont des coordonnées locales) est une variété symplectique.Les vecteurs

(∂

∂x1

)

p

, ...,

(∂

∂xm

)

p

,

(∂

∂y1

)

p

, ...,

(∂

∂ym

)

p

, p ∈ M

constituent une base symplectique de l'espace tangent TpM .


Exemple 26 L'espace Cm (coordonnées z1, ..., zm), muni de la forme

ω =i

2

m∑

k=1

dzk ∧ dzk,

est une variété symplectique. Notons que cette forme coincide avec celle de l'exempleprécédent moyannant l'identication Cm ' R2m, zk = xk + iyk.

Exemple 27 Comme autres exemples de variétés symplectiques, on peut citer lessurfaces de Riemann 1 (X, volX), les variétés kählériennes 2 ainsi que les variétésprojectives complexes.

Nous allons voir que le bré cotangent T ∗M (i.e., l'union de tous les espacescotangents à M) admet une structure symplectique naturelle. Les espaces de phasesdes systèmes hamiltoniens étudiés plus loin sont des variétés symplectiques et souventce sont des brés cotangents équipés de la structure canonique.

Proposition 28 Soit M une variété diérentiable de dimension m et soit T ∗M sonbré cotangent. Alors T ∗M possède une structure symplectique et dans les coordon-nées locales (x1, . . . , xm, y1, . . . , ym) , cette structure est donnée par

ω =m∑

k=1

dxk ∧ dyk.

Démonstration : Soit (U,ϕ) une carte locale au voisinage de p ∈ M ,

ϕ : U ⊂ M −→ Rm, p 7−→ ϕ(p) =m∑

k=1

xkek,

où ek sont les vecteurs de base de Rm. Considérons les projections canoniquesTM −→ M et T (T ∗M) −→ T ∗M , des brés tangents respectivement à M età T ∗M sur leurs bases. On note π∗ : T ∗M −→ M , la projection canonique etdπ∗ : T (T ∗M) −→ TM , son application linéaire tangente. On a

ϕ∗ : T ∗M −→ R2m, α 7−→ ϕ∗(α) =m∑

k=1

(xkek + ykεk),

où εk sont les formes de bases de T ∗Rm et α désigne αp ∈ T ∗M . Dès lors, si α estune 1-forme sur M et ξα est un vecteur tangent à T ∗M , alors

dϕ∗ : T (T ∗M) −→ TR2m = R2m, ξα 7−→ dϕ∗(ξα) =m∑

k=1

(βkek + γkεk),

1Ce sont des variétés analytiques de dimension 1 complexe (2 réelle) munies d'atlas dont leschangements de cartes sont holomorphes.

2Une variété kählérienne est une variété complexe munie d'une métrique hermitienne dont lapartie imaginaire, qui est une 2-forme ω de type (1, 1) relativement à la structure complexe, estfermée.


où βk, γk sont les composantes de ξα dans la carte locale de R2m. Posons

λα(ξα) = α(dπ∗ξα) = α(ξ),

où ξ est un vecteur tangent à M . Dans un système de coordonnées locales (x1, ..., xm, y1, ..., ym)compatible avec une trivialisation locale du bré tangent T ∗M , on a3

λα(ξα) = α

(m∑

k=1

βkek

),

=m∑

k=1

(xkek + ykεk)

m∑

j=1

βjej

,

=m∑

k=1

βkyk.

Soit λ la 1-forme sur T ∗M qui à α fait correspondre λα. On a

λ(α) =m∑

k=1

yk(α)dxk(α),

et

λ(α)(ξα) =m∑

k=1

yk(α)dxk(α)

m∑

j=1

βjej + γjεj

,

=m∑

k=1

ykβk,

= λα(ξα).

D'oùλ =

m∑

k=1

ykdxk.

La structure symplectique de T ∗M est donnée par la dérivée extérieure de λ, i.e., la2-forme ω = −dλ. On peut visualiser tout ceci à l'aide du diagramme suivant :

T ∗(T ∗M)↑λ

R λα(ξ)←− T (T ∗M) −→ T ∗M ϕ∗−→ R2m

↓dπ∗ ↓π∗R α(ξ)←− TM −→ M

ϕ−→ Rm

3Soit (x1, ..., xm) un système de coordonnées locales autour de p ∈ M . Comme tout α ∈ T ∗Mpeut s'écrire dans la base (dx1, ..., dxm) sous la forme α =

Pmk=1 αkdxk, alors en dénissant des

coordonnées locales y1, ..., ym par yk(α) = yk, k = 1, ..., m, la 1-forme λ s'écrit λ =Pm

k=1 ykdxk.


Evidemment, la forme ω est fermée : dω = 0 puisque d d = 0 et elle est nondégénérée. Pour montrer cette dernière propriété, on peut utiliser un calcul direct4 ou tout simplement remarquer que la forme est bien dénie indépendamment descoordonnées choisies. Dans le système de coordonnées locales (x1, ..., xm, y1, ..., ym)mentionné ci-dessus, cette forme symplectique s'écrit

ω =n∑

k=1

dxk ∧ dyk,


Dénition 29 La 1-forme λ dénie ci-dessus sur la bré cotangent T ∗M s'appelleforme de Liouville. Les formes λ et ω sont dites formes canoniques sur T ∗M .

Remarque 30 Pour qu'une 2-forme diérentielle ω fermée sur une variété diéren-tiable de dimension 2m soit symplectique, il faut et il sut que ωm soit une formevolume. Celà est dû au fait que la non-dégénérescence de ω est équivaut à ce que ωm

ne soit jamais nulle.

Proposition 31 Toute variété symplectique est orientable.

Démonstration : Dans un système de cartes symplectiques (x1, ..., x2m), on a

ω = dx1 ∧ dxm+1 + ... + dxm ∧ dx2m.

Dès lors

ωm = dx1 ∧ dxm+1 ∧ ... ∧ dxm ∧ dx2m,

= (−1)m(m−1)

2 dx1 ∧ dx2 ∧ ... ∧ dx2m,

ce qui signie que la 2m-forme ωm est une forme volume sur la variété M et donccelle-ci est orientable. Autrement dit, l'orientation associée à la forme diérentielleω est l'orientation canonique de R2m. ¤

4Soient ξ = (ξ1, ..., ξ2m) ∈ TpM et η = (η1, ..., η2m) ∈ TpM . On a

ω(ξ, η) =

mX

k=1

dxk ∧ dyk(ξ, η) =

mX

k=1

(dxk(ξ)dyk(η)− dxk(η)dyk(ξ)) .

Or dxk(ξ) = ξm+k((m + k)ièmecomposante de ξ) et dyk(ξ) = ξk(kièmecomposante de ξ), donc

ω(ξ, η) =

mX

k=1

(ξm+kηk − ηm+kξk) = (ξ1...ξ2m)

O −II O

0B@

η1

...η2m

1CA ,

avec O (resp. I) la matrice nulle (resp. unité) d'ordre m. Dès lors, pour tout x ∈ M et pour toutξ = (ξ1, ..., ξ2m) 6= 0, il existe η = (ξm+1, ..., ξ2m,−ξ1, ...,−ξm) tels que :

ω(ξ, η) =

mX

k=1

ξ2

m+k − ξ2k

6= 0,

car ξk 6= 0, ∀k = 1, ..., 2m.


Remarque 32 Toute variété orientable de dimension 2 est symplectique. Cela ré-sulte du fait que toute 2-forme diérentielle sur une variété de dimension 2 est tou-jours fermée. Par contre en dimensions paires plus grandes que 2, ceci n'est plusvrai.

Proposition 33 Soit α une 1-forme diérentielle sur la variété M et désignons parα∗λ l'image réciproque de la forme de Liouville λ sur le bré cotangent T ∗M . Alors,on a α∗λ = α.

Démonstration : Puisque α : M → T ∗M , on peut donc considérer l'image réciproqueα∗ : T ∗T ∗M → T ∗M , de la forme de Liouville λ : T ∗M → T ∗T ∗M , telle que, pourtout vecteur ξ tangent à M , on ait

α∗λ(ξ) = λ(α)(dαξ).

Comme dα est une application TM → TT ∗M , alors

α∗λ(ξ) = λ(α)(dαξ),= λα(dαξ),= αdπ∗dα(ξ),= αd(π∗α)(ξ),= α(ξ),

car π∗α(p) = p où p ∈ M et le résultat en découle. ¤

Dénition 34 Une sous-variété N d'une variété symplectique M est dite lagran-gienne si pour tout p ∈ N , l'espace tangent TpN coincide avec l'espace de congura-tion suivant :

η ∈ TpM : ωp(ξ, η) = 0,∀ξ ∈ TpN.

Sur l'espace ci-dessus la 2-forme∑

dxk ∧ dyk qui dénit la structure symplec-tique est identiquement nulle. Les sous-variétés lagrangiennes sont considérées parmiles plus importantes sous-variétés des variétés symplectiques. Notons que dimN =12 dimM et que pour tous champs de vecteurs X, Y sur N , on a ω(X, Y ) = 0.

Exemple 35 Si (x1, ..., xm, y1, ..., ym) est un système de coordonnées locales (voirproposition 28) sur un ouvert U ⊂ M , alors le sous-ensemble de U déni par y1 =... = ym = 0 est une sous-variété lagrangienne de M .

Remarque 36 La sous-variété α(M) (voir proposition 33) est lagrangienne dansT ∗M si et seulement si la forme α est fermée. En eet, on a

0 = α∗ω = α∗(−dλ) = −d(α∗λ) = −dα.

Soit M une variété diérentiable, T ∗M son bré cotangent muni de la formesymplectique ω, et

sα : U → T ∗M, p 7→ α(p),


une section sur un ouvert U ⊂ M . De l'expression locale de ω (proposition 28),on déduit que la section nulle du bré T ∗M est une sous-variété lagrangienne deT ∗M . Si sα(U) est une sous-variété lagrangienne de T ∗M , alors sα est dite sectionlagrangienne. On a (voir proposition 33), s∗αλ = α et d'après la remarque 36, sα(U)est une sous-variété lagrangienne de T ∗M si et seulement si la forme α est fermée.

Soient (M, ω) et (N, η) deux variétés symplectiques de même dimension et f :M −→ N , une application diérentiable.

Dénition 37 On dit que f est un morphisme symplectique s'il préserve les formessymplectiques, i.e., f vérie f∗η = ω. Lorsque f est un diéomorphisme, on dira quef est un diéomorphisme symplectique ou encore f est un symplectomorphisme.

Remarque 38 Un morphisme symplectique est un diéomorphisme local. En eet,la 2-forme ω étant non dégénérée alors la diérentielle

df(p) : TpM −→ TpM, p ∈ M,

est un isomorphisme linéaire. Par conséquent, f est un diéomorphisme local envertu du théorème d'inversion locale. Une autre preuve similaire, consiste à noterque

f∗ηm = (f∗η)m = ωm.

L'application f est de rang constant 2m car ωm et ηm sont des formes volumes surM et N respectivement. Et le résultat en découle.

Remarque 39 On déduit de la remarque précédente que les diéomorphismes sym-plectiques ou symplectomorphismes conservent la forme volume et donc l'orientation.Le déterminant du jacobien de la transformation est égal à +1.

Remarque 40 Si f : M −→ N est un symplectomorphisme, alors l'inverse f−1 :N −→ M est aussi un symplectomorphisme.

Soient (M, ω), (N, η) deux variétés symplectiques et

pr1 : M ×N −→ M, pr2 : M ×N −→ N,

les projections de M × N sur ses deux facteurs. Les deux formes pr∗1ω + pr∗2η etpr∗1ω−pr∗2η sur la variété produit M×N sont des formes symplectiques. Prenons le casoù dimM = dim N = 2m et considérons une application diérentiable f : M −→ N ,ainsi que son graphe déni par l'ensemble

A = (x, y) ∈ M ×N : y = f(x).Notons que l'application

g : M −→ A, x 7−→ (x, f(x)),

est un diéomorphisme. On montre que A est une sous-variété lagrangienne de dimen-sion 2m de (M×N, pr∗1ω−pr∗2η) si et seulement si l'image réciproque de pr∗1ω−pr∗2ηpar l'application g est la forme identiquement nulle sur M . Dès lors, pour que l'appli-cation diérentiable f soit un morphisme symplectique, il faut et il sut que le graphede f soit une sous-variété lagrangienne de la variété produit (M ×N, pr∗1ω − pr∗2η).


Proposition 41 a) Si f : M −→ M est un diémorphisme, alors f∗ : T ∗M −→T ∗M est un symplectomorphisme.b) Si g : T ∗M −→ T ∗M est un diémorphisme tel que : g∗λ = λ, alors il existe undiéomorphisme f : M −→ M tel que : g = f∗.

Démonstration : a) Montrons que f∗∗ω = ω. On a

f∗∗λ(α)(ξα) = λ(f∗(α))(df∗ξα),= f∗(α)dπ∗df∗(ξα),= α(dfdπ∗df∗(ξα)),= α(d(f π∗ f∗)(ξα)).

Or

f∗α = αf−1(p),

π∗f∗α = f−1(p),

doncf π∗ f∗(α) = p = π∗α,

d'oùf π∗ f∗ = π∗ (1.3)

et

f∗∗λ(α)(ξα) = α(dπ∗(ξα)),= λα(ξα),= λ(α)(ξα).

Dès lors, f∗∗λ = λ et donc f∗∗ω = ω.b) Comme g∗λ = λ, alors

g∗λ(η) = λ(dgη),= ω(ξ, dgη),= λ(η),= ω(ξ, η).

Par ailleurs, on a g∗ω = ω, d'où

ω(dgξ, dgη) = ω(ξ, η) = ω(ξ, dgη),

etω(dgξ − ξ, dgη) = 0, ∀η.

La forme ω étant non-dégénérée, on en déduit que dgξ = ξ et que g conserve lescourbes intégrales de ξ. Sur la section nulle du bré tangent (i.e., sur la variété), ona ξ = 0 et dès lors g|M est une application f : M −→ M . Montrons que :

f π∗ g = π∗ = f π∗ f∗.


En eet, en prenant la diérentielle, on obtient

df dπ∗ dg(ξ) = df dπ∗(ξ), car dg(ξ) = ξ,

= df(ξp), où ξp ≡ dπ∗(ξ),= ξp,

= dπ∗(ξ).

Dès lors, df dπ∗ dg = dπ∗ et f π∗ g = π∗. Or d'après (1.3), on a f π∗ f∗ = π∗,donc g = f∗. ¤

Proposition 42 Soit

I : T ∗xM −→ TxM, ω1ξ 7−→ ξ,

une application telle que :

ω1ξ (η) = ω (η, ξ) , ∀η ∈ TxM.

Alors I est l'isomorphisme engendré par la forme symplectique ω.

Démonstration : Désignons par I−1 l'application

I−1 : TxM −→ T ∗xM, ξ 7−→ I−1 (ξ) ≡ ω1ξ ,

avecI−1 (ξ) (η) = ω1

ξ (η) = ω (η, ξ) , ∀η ∈ TxM.

Comme ω est bilinéaire, on a

I−1 (ξ1 + ξ2) (η) = ω (η, ξ1 + ξ2) ,

= ω (η, ξ1) + ω (η, ξ2) ,

= I−1 (ξ1) (η) + I−1 (ξ2) (η) , ∀η ∈ TxM.

Pour montrer que l'application I−1 est bijective, il sut de montrer qu'elle est injec-tive puisque dimTxM = dimT ∗xM. On a

KerI−1 =ξ ∈ TxM : I−1 (ξ) (η) = 0, ∀η ∈ TxM

,

= ξ ∈ TxM : ω (η, ξ) = 0, ∀η ∈ TxM ,

= 0 ,

car la forme ω est non-dégénérée. Donc I−1 est un isomorphisme et par conséquentI est aussi un isomorphisme puisque on l'obtient par l'inverse d'un isomorphisme. ¤


1.5 Lemme de Moser et théorème de DarbouxNous allons étudier dans cette section un théorème central de la géométrie sym-

plectique à savoir le théorème de Darboux : les variétés symplectiques (M, ω) dedimension 2m sont localement isomorphes à (R2m, ω). Plus précisément, si (M,ω)est une variété symplectique de dimension 2m, alors au voisinage de chaque point deM , il existe des coordonnées locales (x1, ..., x2m) telles que :

ω =m∑

k=1

dxk ∧ dxm+k.

En particulier, il n'y a aucun invariant local en géométrie symplectique, analogueà la courbure en géométrie riemannienne. La preuve classique donnée par Darbouxdu théorème qui porte son nom se fait par récurrence sur la dimension de la variété(voir à ce sujet l'excellent livre d'Arnold [2]). Nous en donnerons un aperçu dans laremarque 45. Une autre preuve, se basant sur un résultat de Moser [18], a été donnéepar Weinstein (voir [23]). Nous allons dans ce qui suit donner une preuve du lemmede Moser et ensuite passer à la démonstration du théorème de Darboux.

Lemme 43 Soit ωt, 0 ≤ t ≤ 1, une famille de formes symplectiques diérentiablesen t. Alors, pour tout p ∈ M , il existe un voisinage U de p et une fonction gt : U −→U , telle que :

g∗0 = identité,g∗t ωt = ω0.

Démonstration : Cherchons une famille de champs de vecteurs Xt sur U tels que ceschamps engendrent localement un groupe à un paramètre de diéomorphismes gt

avecd

dtgt(p) = Xt(gt(p)), g0(p) = p.

Notons tout d'abord que la forme ωt est fermée (i.e., dωt = 0) ainsi que ddtωt puisque

dd

dtωt =

d

dtdωt = 0.

Dès lors, en dérivant la relation g∗t ωt = ω0 et en utilisant la formule

LXt = iXtd + diXt , (théorème 18),

tout en tenant compte du fait que ωt dépend du temps, on obtient l'expressiond

dtg∗t ωt = g∗t

(d

dtωt + LXtωt

),

= g∗t

(d

dtωt + diXtωt

).

D'après le lemme de Poincaré (remarque 23), la forme ∂∂tωt est exacte dans le voisi-

nage de p. Autrement dit, on peut trouver une forme λt telle que :d

dtωt = dλt.


D'oùd

dtg∗t ωt = g∗t d(λt + iXtωt). (1.4)

On veut montrer que pour tout p ∈ M , il existe un voisinage U de p et une fonctiongt : U −→ U , telle que : g∗0 = identité et g∗t ωt = ω0, donc telle que :

d

dtg∗t ωt = 0.

Et d'après (1.4), le problème revient à chercher Xt tel que :

λt + iXtωt = 0.

Comme la forme ωt est non dégénérée, alors l'équation ci-dessus est résoluble parrapport au champ de vecteurs Xt et dénit la famille gt pour 0 ≤ t ≤ 1. Plusprécisément, en coordonnées locales (xk) de la variété M de dimension 2m, avec(

∂∂xk

)une base de TM et (dxk) la base duale de

(∂

∂xk

), 1 ≤ k ≤ 2m, on a

λt =2m∑

k=1

λk(t, x)dxk,

Xt =2m∑

k=1

Xk(t, x)∂

∂xk,

ωt =2m∑

k,l=1k<l

ωk,l(t, x)dxk ∧ dxl,

iXtωt = 22m∑

l=1

(2m∑

k=1

ωk,lXk

)dxl.

Il faut donc résoudre le système d'équations en Xk(t, x) suivant :

λl(t, x) + 22m∑

k=1

ωk,l(t, x)Xk(t, x) = 0.

La forme ωt étant non dégénérée, alors la matrice (ωkl(t, x)) est non singulière et parconséquent, le système ci-dessus admet une solution unique. On détermine ainsi lechamp de vecteurs Xt et donc les fonctions g∗t telles que : g∗t ωt = ω0, ce qui achèvela démonstration. ¤

Théorème 44 Toute forme symplectique sur une variété M de dimension 2m estlocalement diéomorphe à la forme standard sur R2m. Autrement dit, si (M, ω) estune variété symplectique de dimension 2m, alors au voisinage de chaque point de M ,il existe des coordonnées locales (x1, ..., x2m) telles que :

ω =m∑

k=1

dxk ∧ dxm+k.


Démonstration : Soit ωt, 0 ≤ t ≤ 1, une famille de 2-formes diérentielles quidépend diérentiablement de t et posons

ωt = tω + (1− t)ω0,

avecω0 =

m∑

k=1

dxk ∧ dm+k,

où (x1, ..., x2m) sont des coordonnées locales de M . Notons que les 2-formes ωt sontfermées. Au point p ∈ M , on a ωt(p) = ω0(p) = ω(p). Par continuité, on peut trouverun petit voisinage de p où ωt(p) est non dégénérée. Donc les 2-formes ωt sont nondégénérées au voisinage de p et indépendantes de t en p. Autrement dit, ωt sont desformes symplectiques et d'après le lemme 43 de Moser, pour tout p ∈ M , il existe unvoisinage U de p et une fonction gt : U −→ U telle que : g∗t = identité et g∗t ωt = ω0.En dérivant cette relation par rapport à t, on obtient (comme dans la preuve dulemme de Moser),

d

dtg∗t ωt = 0,

g∗t

(d

dtωt + LXtωt

)= 0,

g∗t

(d

dtωt + diXtωt

)= 0.

Dès lors,diXtωt = − d

dtωt,

et comme la forme ddtωt est exacte dans le voisinage de p (lemme de Poincaré), alors

diXtωt = dθt,

où θt est une 1-forme diérentielle. Par ailleurs, ωt étant non dégénérée, l'équationiXtωt = θt est résoluble et détermine de manière unique le champ de vecteurs Xt

dépendant de t. Notons que pour t = 1, ω1 = ω et pour t = 0, ω0 = ω0 et en outre onpeut trouver g∗1 tel que : g∗1ω = ω0. Au champ de vecteurs Xt est associé la famillecherchée gt, 0 ≤ t ≤ 1, à un paramètre de diéomorphismes et la démonstrations'achève. ¤

Remarque 45 Comme nous l'avons signalé au début de cette section, nous allonsdonner un aperçu sur la preuve classique donnée par Darboux de son théorème. Onprocède par récurrence sur m. Supposons le résultat vrai pour m ≥ 1 et montronsqu'il est aussi pour m. Fixons x et soit xm+1 une fonction diérentiable sur M dontla diérentielle dxm+1 n'est pas nulle au point x. Soit X l'unique champ de vecteursdiérentiable satisfaisant à la relation

iXω = dxm+1.


Comme ce champ de vecteurs ne s'annule pas en x, alors on peut trouver une fonctionx1 dans un voisinage U de x telle que : X(x1) = 1. Considérons un champ de vecteursY sur U satisfaisant à la relation iY ω = −dx1. Puisque dω = 0, alors

LXω = LY ω = 0,

en vertu de la formule de Cartan (théorème 18). Dès lors

i[X,Y ]ω = LXiY ω,

= LX(iY ω)− iY (LXω),= LX(−dx1),= −d(X(x1)),= −d(1),= 0,

d'où [X, Y ] = 0, puisque ω est de rang en tout point égal à 2m. D'après le théorème deredressement 5, il s'ensuit qu'il existe des coordonnées locales x1, xm+1, z1, z2, ..., z2m−2

sur un voisinage U1 ⊂ U de x telles que :

X =∂

∂x1, Y =

∂

∂xm+1.

Considérons maintenant la forme diérentielle

λ = ω − dx1 ∧ dxm+1.

On a dλ = 0 etiXλ = LXλ = iY λ = LY λ = 0.

Donc λ s'exprime comme une 2-forme diérentielle uniquement en fonction des va-riables z1, z2, ..., z2m−2. En particulier, on a λm+1 = 0. Par ailleurs, on a

0 6= ωm = mdx1 ∧ dxm+1 ∧ λm−1.

La 2-forme λ est fermée et de rang maximal (rang moitié) m − 1 sur un ouvert deR2m−2. Il sut dès lors d'appliquer l'hypothèse de récurrence à λ.

Remarque 46 Supposons que la variété M soit compacte et connexe.a) Si ∫

Mωt =

∫

Mω0,

5Soient x ∈ M et X1, ..., Xr des champs de vecteurs diérentiables sur une variété M . On supposeque pour tous k, l = 1, ..., r, [Xk, Xl] = 0 et que X1(x), ..., Xr(x) sont linéairement indépendants.Alors, il existe un ouvert U de M contenant x et un système de coordonnées locales sur U tel que :

X1|U =∂

∂x1, ..., Xr|U =

∂

∂xr.


où ωt, 0 ≤ t ≤ 1 est une famille de formes volume, alors on peut trouver unefamille de diéomorphismes gt : M −→ M , telle que : g∗0 = identité et g∗t ωt = ω0.(Indication : il sut d'utiliser un raisonnement similaire à celui fait dans la preuvedu lemme 43 de Moser, à condition de remplacer le lemme de Poincaré qui n'est quelocal par le théorème de De Rham qui lui est global. Ce dernier signie qu'une formevolume ω sur M est exacte si et seulement si

∫M ω = 0).

b) Si ω1 et ω2 sont deux formes volume sur M , alors il existe un diéomorphisme gtel que

g∗ω1 = Cω2,

où C =R

M ω1RM ω2

est une constante.

1.6 Champs de vecteurs hamiltoniens, intégrales premières et théo-rème de Noether

On en déduit de ce qui précéde que la forme symplectique ω induit pour chaquefonction diérentiable H : M −→ R, appelée hamiltonien, un champ de vecteurshamilonien

IdH : M −→ TxM, x 7−→ IdH (x) .

Autrement dit, le système diérentiel déni par

dx (t)dt

= XH (x (t)) = IdH (x) ,

est un champ de vecteurs hamilonien associé à la fonction H. Les champs de vecteurshamiloniens forment une sous-algèbre de Lie de l'espace des champs de vecteurs.

Notons que le ot gtX (dénition 10) laisse invariante la forme symplectique ω.

Théorème 47 La matrice associée à un système hamiltonien forme une structuresymplectique.

Démonstration : Soit (x1, . . . , xm) un système de coordonnées locales sur M. On a

dx (t)dt

=m∑

k=1

∂H

∂xkI (dxk) =

m∑

k=1

∂H

∂xkξk, (1.5)

où I (dxk) = ξk ∈ TxM est déni de telle manière que :

∀η ∈ TxM, ηk = dxk (η) = ω(η, ξk

), (kiemecomposante de η).

En désignant par (η1, . . . , ηm) et(ξk1 , . . . , ξk

m

)les composantes de η et ξk respective-


ment, on obtient

ηk = ω

m∑

i=1

ηi∂

∂xi,

m∑

j=1

ξkj

∂

∂xj

,

=m∑

i=1

ηiω

(∂

∂xi,

∂

∂xj

)ξkj ,

= (η1, . . . , ηm) J−1

ξk1...

ξkm

,

où J−1 est la matrice dénie par

J−1 ≡(

ω

(∂

∂xi,

∂

∂xj

))

1≤i,j≤m

. (1.6)

Cette matrice est inversible. En eet, il sut de montrer que le rang de J−1 est m.Par l'absurde, on suppose que rgJ−1 6= m. Donc

m∑

i=1

aiω

(∂

∂xi,

∂

∂xj

)= 0, ∀1 ≤ j ≤ m,

avec ai non tous nuls. D'où

ω

(m∑

i=1

ai∂

∂xi,

∂

∂xj

)= 0, ∀1 ≤ j ≤ m.

Comme ω est non-dégénérée, alorsm∑

i=1

ai∂

∂xi= 0.

Or(

∂∂x1

, . . . , ∂∂xm

)est une base de TxM, donc ai = 0, ∀i, ce qui est absurde. Par

conséquent, on peut chercher ξk tel que :

J−1

ξk1...

ξkm

=

0...01 ! kieme place0...0

.


Comme la matrice J−1(1.6) est inversible, alors le système ci-dessus s'écrit

ξk1...

ξkm

= J

0...010...0

,

d'où ξk = kieme colonne de J, c'est-à-dire ξki = Jik, 1 ≤ i ≤ m, et par conséquent

ξk =m∑

i=1

Jik∂

∂xi.

On montre aisément que la matrice J est antisymétrique. En eet, ω étant symé-trique, i.e.,

ω

(∂

∂xi,

∂

∂xj

)= −ω

(∂

∂xj,

∂

∂xi

),

alors J−1 est antisymétrique. Dès lors,

I = J.J−1 =(J−1

)>.J> = −J−1.J,

et par conséquent J> = J . De (1.5) on déduit que :

dx (t)dt

=m∑

k=1

∂H

∂xk

m∑

i=1

Jik∂

∂xi

=m∑

i=1

(m∑

k=1

Jik∂H

∂xk

)∂

∂xi.

En écrivantdx (t)

dt=

m∑

i=1

dxi (t)dt

∂

∂xi,

on a l'équation suivante :

dxi (t)dt

=m∑

k=1

Jik∂H

∂xk, 1 ≤ i ≤ j ≤ m,

ou sous forme matricielledx (t)

dt= J (x)

∂H

∂x,

et qui n'est autre que le champ hamiltonien associé à la fonction H. Le théorème estdonc démontré. ¤

Une variété symplectique étant nécessairement de dimension paire, alors pourl'étude d'un système déni sur une variété de dimension impaire, on utilise une


généralisation de la notion de structure symplectique valable en dimension impaire.On munit la variété M d'une structure de Poisson (ou crochet de Poisson), i.e., d'uneapplication bilinéaire

, : C∞ (M)× C∞ (M) −→ C∞ (M) , (F, G) 7−→ F, G ,

où C∞ (M) est l'algèbre commutative des fonctions régulières sur M et

F,G = duF (XG) = XGF (u) = ω (XG, XF ) .

Ce crochet est antisymétrique F,G = −G,F, vérie la formule de Leibniz

FG, H = F G, H+ G F, H ,

et satisfait l'identité de Jacobi

H,F , G+ F, G ,H+ G,H , F = 0,

pour tous F, G,H ∈ C∞(M). La variété M est dite variété de Poisson ou encorevariété hamiltonienne. La formule de Leibniz assure que l'application suivante : G 7−→G,F est une dérivation. L'antisymétrie et l'identité de Jacobi assure que , est uncrochet de Lie, elles munissent C∞ (M) d'une structure d'algèbre de Lie de dimensioninnie. Lorsque cette structure de Poisson est non-dégénérée, on parlera plutôt destructure symplectique.

Considérons maintenant la variété M = Rn × Rn et soit p ∈ M. En vertu duthéorème 44 de Darboux, on peut choisir dans un voisinage du point p, un systèmede coordonnées locales (y1, . . . , yn, x1, . . . , xn) tel que la forme ω s'exprime sous laforme

ω =n∑

i=1

dxi ∧ dyi.

Dès lorsXH =

n∑

i=1

(∂H

∂xi

∂

∂yi− ∂H

∂yi

∂

∂xi

),

etXHF = H, F =

n∑

i=1

(∂H

∂xi

∂F

∂yi− ∂H

∂yi

∂F

∂xi

), ∀F ∈ C∞ (M) .

La variété M munie des coordonnées locales y1, . . . , yn, x1, . . . , xn et du crochet dePoisson canonique ci-dessus est une variété de Poisson.

Dénition 48 Toute fonction F vériant la propriété XHF = 0, est dite intégralepremière de XF , celà signie que F est constante sur les trajectoires de XH . Enparticulier, on a XHH = 0. Deux fonctions F et G sont dites en involution quandleur crochet F, G est nul.

Un résultat intéressant est fourni par le théorème de Poisson suivant :


Proposition 49 Si F et G sont deux intégrales premières d'un système de hamilto-nien H, alors F, G est aussi une intégrale première.

Démonstration : L'identité de Jacobi s'écrit

H,F , G+ F, G ,H+ G,H , F = 0.

Par hypothèse, on aH, F = H, G = 0,

d'oùF, G ,H = 0,

ce qui montre que F, G est une intégrale première et la démonstration s'achève. ¤

Remarque 50 Si on connait deux intégrales premières, on peut d'après le théorèmede Poisson trouver de nouvelles intégrales. Mais signalons tout de même que souventon retombe sur des intégrales premières connues ou une constante.

Soient M et N deux variétés diérentiables et f ∈ C∞(M, N). L'applicationlinéaire tangente à f au point p est l'application induite

f∗ : TpM −→ Tf(p)N,

entre les espaces tangents TpM et Tf(p)N , dénie par

f∗v(ϕ) = v(ϕ f),

où v ∈ TpM et ϕ ∈ C∞(N,R). Soit L : TM −→ R une fonction diérentiable (la-grangien) sur le bré tangent TM . On dit que (m,L) est invariant sous l'applicationdiérentiable g : M −→ M si pour tout v ∈ TM , on a

L(g∗v) = L(v).

Le théorème 51 de Noether ci-dessous, exprime l'existence d'une intégrale premièreassociée à une symétrie du lagrangien. Autrement dit, à chaque paramètre d'ungroupe de transformations correspond une quantité conservée. Une des conséquencesde l'invariance du lagrangien par rapport à un groupe de transformations est laconservation des générateurs du groupe. Par exemple, l'intégrale première associéeà l'invariance par rapport aux rotations est le moment cinétique. De même, l'inté-grale première associée à l'invariance par rapport aux translations est l'impulsion. Lethéorème de Noether s'applique à certaines classes de théories, décrites soit par unlagrangien ou un hamiltonien. Nous donnerons ci-dessous le théorème dans sa versionoriginale, qui s'applique aux théories décrites par un lagrangien. Il y a aussi une ver-sion qui s'applique aux théories décrites par un hamiltonien (voir par exemple [1]).On peut aussi généraliser le théorème de Noether au cas des systèmes non autonomes.


Théorème 51 Si (M, L) est invariant sous un groupe à un paramètre de diéomor-phismes gs : M −→ M, s ∈ R, g0 = E, alors le système d'équations de Lagrange,

d

dt

∂L

∂.q

=∂L

∂q,

correspondant à L admet une intégrale première I : TM −→ R avec

I(q,.q) =

∂L

∂.q

dgs (q)ds

∣∣∣∣s=0

≡ constante,

les q étant des coordonnées locales sur M .

Démonstration : Notons tout d'abord que l'intégrale première en question est indé-pendante du choix des coordonnées locales q sur M . On peut donc se contenter deconsidérer le cas M = Rn. Soit

f : R −→ M, t 7−→ q = f(t),

une solution du système d'équations de Lagrange ci-dessus. Par hypothèse, g∗s laisseL invariant, donc

gs f : R −→ M, t 7−→ gs f(t),

satisfait aussi au système d'équations de Lagrange. On translate la solution f(t) enconsidérant l'application

F : R× R −→ Rn, (s, t) 7−→ q = gs(f(t)).

Le fait que gs laisse invariant L implique que :

0 =∂L(F,

.F )

∂s,

=∂L

∂q

∂F

∂s+

∂L

∂.q

∂.F

∂s,

=∂L

∂q

∂q

∂s+

∂L

∂.q

∂.q

∂s. (1.7)

Comme F est aussi une solution du système d'équations de Lagrange, i.e.,d

dt

(∂L

∂.q

(F (s, t),

.F (s, t)

))=

∂L

∂q

(F (s, t),

.F (s, t)

),

alors en notant que :∂

.q

∂s=

d

dt

∂q

∂s,

l'équation (1.7) s'écrit sous la forme

0 =∂q

∂s

d

dt

(∂L

∂.q

(F (s, t),

.F (s, t)

))+

∂L

∂.q

d

dt

∂q

∂s,

=d

dt

(∂L

∂.q

(F (s, t),

.F (s, t)

) ∂q

∂s

),


ce qui achève la preuve du théorème. ¤Donnons-nous une autre formulation de la dénition du crochet de Poisson. Celui-

ci est donné parF,G =

⟨∂F

∂x, J

∂G

∂x

⟩=

∑

i,j

Jij∂F

∂xi

∂G

∂xj.

Nous allons chercher des conditions sur la matrice J (faciles à utiliser en pratique)pour que l'identité de Jacobi soit satisfaite. C'est l'objet de la proposition suivante :

Proposition 52 Si

2n∑

k=1

(Jkj

∂Jli

∂xk+ Jki

∂Jjl

∂xk+ Jkl

∂Jij

∂xk

)= 0, ∀1 ≤ i, j, l ≤ 2n,

alors J satisfait à l'identité de Jacobi.

Démonstration : Considérons l'identité de Jacobi

H, F, G+ F, G,H+ G, H, F = 0.

On a

H, F , G =⟨

∂ H, F∂x

, J∂G

∂x

⟩,

=∑

k,l

Jkl∂ H, F

∂xk

∂G

∂xl,

=∑

k,l

∑

i,j

Jkl∂Jij

∂xk

∂H

∂xi

∂F

∂xj

∂G

∂xl+

∑

k,l

∑

i,j

JklJij∂2H

∂xk∂xi

∂F

∂xj

∂G

∂xl

+∑

k,l

∑

i,j

JklJij∂H

∂xi

∂2F

∂xk∂xj

∂G

∂xl.


Par symétrie, nous avons immédiatement F,G ,H et G,H , F. D'où

H, F , G+ F,G ,H + G,H , F=

∑

k,l

∑

i,j

Jkl∂Jij

∂xk

∂H

∂xi

∂F

∂xj

∂G

∂xl

+∑

k,l

∑

i,j

JklJij∂2H

∂xk∂xi

∂F

∂xj

∂G

∂xl(1.8)

+∑

k,l

∑

i,j

JklJij∂H

∂xi

∂2F

∂xk∂xj

∂G

∂xl(1.9)

+∑

k,l

∑

i,j

Jkl∂Jij

∂xk

∂G

∂xi

∂H

∂xj

∂F

∂xl

+∑

k,l

∑

i,j

JklJij∂2G

∂xk∂xi

∂H

∂xj

∂F

∂xl(1.10)

+∑

k,l

∑

i,j

JklJij∂G

∂xi

∂2H

∂xk∂xj

∂F

∂xl(1.11)

+∑

k,l

∑

i,j

Jkl∂Jij

∂xk

∂F

∂xi

∂G

∂xj

∂H

∂xl

+∑

k,l

∑

i,j

JklJij∂2F

∂xk∂xi

∂G

∂xj

∂H

∂xl(1.12)

+∑

k,l

∑

i,j

JklJij∂F

∂xi

∂2G

∂xk∂xj

∂H

∂xl. (1.13)

Notons que les indices i, j, k et l jouent un rôle symétrique. Dès lors, en appliquantdans le terme (1.11) la permutation

i ←− l, j ←− k, k ←− i, l ←− j,

et en ajoutant le terme (1.8) on obtient l'expression

∑

k,l

∑

i,j

(JijJlk + JklJij)∂G

∂xl

∂2H

∂xi∂xk

∂F

∂xj= 0,

qui découle du lemme de Schwarz (sur l'interversion des dérivées secondes) et du faitque Jlk = −Jkl. Dans le terme (1.12) appliquons la permutation

i ←− k, j ←− l, k ←− j, l ←− i,

et ajoutons le terme (1.9). Et pour les mêmes raisons que ci-dessus, on obtient

∑

k,l

∑

i,j

(JjiJkl + JklJij)∂2F

∂xj∂xk

∂G

∂xl

∂H

∂xi= 0.


Enn dans le terme (1.13) appliquons la permutationi ←− l, j ←− k, k ←− i, l ←− j,

et ajoutons le terme (1.10). On obtient également∑

k,l

∑

i,j

(JijJlk + JklJij)∂F

∂xl

∂2G

∂xi∂xk

∂H

∂xj= 0.

DoncH, F , G+ F,G ,H + G,H , F

=∑

k,l

∑

i,j

Jkl∂Jij

∂xk

∂H

∂xi

∂F

∂xj

∂G

∂xl(1.14)

+∑

k,l

∑

i,j

Jkl∂Jij

∂xk

∂G

∂xi

∂H

∂xj

∂F

∂xl(1.15)

+∑

k,l

∑

i,j

Jkl∂Jij

∂xk

∂F

∂xi

∂G

∂xj

∂H

∂xl.

En appliquant les permutations d'indices suivantesi ←− l, j ←− i, k ←− k, l ←− j,

pour (1.14) eti ←− j, j ←− l, k ←− k, l ←− i,

pour (1.15), on obtientH, F , G + F,G ,H+ G,H , F

=∑

i,j,l

[∑

k

(Jkj

∂Jli

∂xk+ Jki

∂Jjl

∂xk+ Jkl

∂Jij

∂xk

)]∂H

∂xl

∂F

∂xi

∂G

∂xj.

Or l'idendité de Jacobi doit s'annuler, donc2n∑

k=1

(Jkj

∂Jli

∂xk+ Jki

∂Jjl

∂xk+ Jkl

∂Jij

∂xk

)= 0, ∀1 ≤ i, j, l ≤ 2n,

ce qui achève la démonstration. ¤Nous avons ainsi une caractérisation complète du champ de vecteurs hamiltonien

dx (t)dt

= XH (x (t)) = J∂H

∂x, x ∈ M, (1.16)

où H : M −→ R, est une fonction de classe C∞ (l'hamiltonien) et J = J (x) est unematrice réelle antisymétrique satisfaisant à l'identité de Jacobi :

H,F , G+ F, G ,H+ G,H , F = 0,

oùH,F =

⟨∂H

∂x, J

∂F

∂x

⟩=

∑

i,j

Jij∂H

∂xi

∂F

∂xj,

sont les crochets de Poisson.


1.7 ExemplesExemple 53 Si nous nous plaçons dans le cas où

J =(

O −II O

),

avec O (resp. I) la matrice nulle (resp. unité) d'ordre n, alors la condition (voirproposition précédente) sur J est trivialement remplie. En eet, ici la matrice J nedépend pas des variables xi et nous avons

H,F =⟨

∂H

∂x, J

∂F

∂x

⟩,

=2n∑

i=1

∂H

∂xi

2n∑

j=1

Jij∂F

∂xj,

=n∑

i=1

(∂H

∂xn+i

∂F

∂xi− ∂H

∂xi

∂F

∂xn+i

).

Nous retrouvons ainsi la dénition première du crochet de Poisson vu précédem-ment et que l'on rencontre dans le formalisme hamiltonien classique. En outre, leséquations (1.7) se transforment immédiatement en un système de n équations dié-rentielles :

dq1

dt=

∂H

∂p1,

...dqn

dt=

∂H

∂pn,

dp1

dt= −∂H

∂q1,

...dpn

dt= −∂H

∂qn,

oùq1 = x1, . . . , qn = xn, p1 = xn+1, . . . , pn = x2n.

Telles sont les équations de Hamilton, appelées aussi équations canoniques ; ellesmontrent qu'il sut de connaître la fonction hamiltonienne H pour déterminer leséquations du mouvement. On les interprète souvent en considérant que les variablespk et qk sont les coordonnées d'un point qui se meut dans un espace à 2n dimensions,appelé espace de phase. Le ot associé au système ci-dessus laisse évidemment in-variante chaque hypersurface d'énergie constante H = c. Les équations de Hamiltonci-dessus, peuvent encore s'écrire sous la forme

dqi

dt= H, qi =

∂H

∂pi,

dpi

dt= H, pi = −∂H

∂qi,


où 1 ≤ i ≤ n. Notons que les fonctions 1, qi, pi (1 ≤ i ≤ n), vérient les relations decommutation suivantes :

qi, qj = pi, pj = qi, 1 = pi, 1 = 0, pi, qj = δij , 1 ≤ i, j ≤ n.

Ces fonctions constituent une base d'une algèbre de Lie réelle, de dimension 2n + 1,appelée algèbre de Heisenberg.

Exemple 54 Les équations diérentielles non-linéaires de Hénon-Heiles sont dé-nies par

dy1

dt= x1,

dx1

dt= −Ay1 − 2y1y2,

dy2

dt= x2,

dx2

dt= −By2 − y2

1 − εy22,

où A,B sont des constantes. On peut réecrire les équations ci-dessus sous la formed'un champ de vecteurs hamiltonien

dx

dt= J

∂H

∂x, x = (y1, y2, x1, x2)>,

oùH =

12(x2

1 + x22 + Ay2

1 + By22) + y2

1y2 +ε

3y32,

est l'hamiltonien etJ =

(0 −II 0

)

est la matrice associée au champ de vecteurs.

Exemple 55 Les équations d'Euler du mouvement de rotation d'un solide autourd'un point xe, pris comme origine du repère lié au solide, lorsqu'aucune force exté-rieure n'est appliquée au système, peuvent s'écrire sous la forme

dm1

dt= (λ3 − λ2)m2m3,

dm2

dt= (λ1 − λ3)m1m3,

dm3

dt= (λ2 − λ1)m1m2.

où (m1,m2,m3) est le moment angulaire du solide et λi ≡ I−1i , I1, I2 et I3 étant

les moments d'inertie. Ces équations s'écrivent sous forme d'un champ de vecteurshamiltonien

dx

dt= J

∂H

∂x, x = (m1,m2,m3)

| ,

avecH =

12

(λ1m

21 + λ2m

22 + λ3m

23

),


l'hamiltonien. Pour déterminer la matrice J = (Jij)1≤i,j≤3, on procède comme suit :Comme J est antisymétrique, alors évidemment

Jii = 0, Jij = −Jji, 1 ≤ i, j ≤ 3,

d'où

J =

0 J12 J13

−J12 0 J23

−J13 −J23 0

.

Dès lors,

dm1dt

dm2dt

dm3dt

=

0 J12 J13

−J12 0 J23

−J13 −J23 0

λ1m1

λ2m2

λ3m3

, (1.17)

=

(λ3 − λ2) m2m3

(λ1 − λ3) m1m3

(λ2 − λ1) m1m2

. (1.18)

En comparant (1.17) et (1.18), on déduit immédiatement que :

J12 = −m3, J13 = m2, J23 = −m1,

et nalement

J =

0 −m3 m2

m3 0 −m1

−m2 m1 0

∈ so (3) ,

est la matrice du champ de vecteurs hamiltonien. On vérie aisément qu'elle satisfaità l'identité de Jacobi ou ce qui revient au même (d'après la proposition 52) à laformule :

3∑

k=1

(Jkj

∂Jli

∂mk+ Jki

∂Jjl

∂mk+ Jkl

∂Jij

∂mk

)= 0, ∀1 ≤ i, j, l ≤ 3.

Exemple 56 Les équations du ot géodésique sur le groupe SO(4) peuvent s'écriventsous la forme

dx1

dt= (λ3 − λ2) x2x3 + (λ6 − λ5) x5x6,

dx2

dt= (λ1 − λ3) x1x3 + (λ4 − λ6) x4x6,

dx3

dt= (λ2 − λ1) x1x2 + (λ5 − λ4) x4x5,

dx4

dt= (λ3 − λ5) x3x5 + (λ6 − λ2) x2x6,

dx5

dt= (λ4 − λ3) x3x4 + (λ1 − λ6) x1x6,

dx6

dt= (λ2 − λ4) x2x4 + (λ5 − λ1) x1x5,


où λ1, ..., λ6 sont des constantes. Ces équations forment un champ de vecteurs ha-miltonien

dx (t)dt

= J∂H

∂x, x ∈ R6,

avecH =

12

(λ1x

21 + λ2x

22 + · · ·+ λ6x

26

).

En procédant de façon similaire à l'exemple précédent, on obtient

J =

0 −x3 x2 0 −x6 x5

x3 0 −x1 x6 0 −x4

−x2 x1 0 −x5 x4 00 −x6 x5 0 −x3 x2

x6 0 −x4 x3 0 −x1

−x5 x4 0 −x2 x1 0

∈ so(6).

Exemple 57 Le mouvement de la toupie de Kowalewski est régi par les équations

dm

dt= m ∧ λm + γ ∧ l,

dγ

dt= γ ∧ λm,

où m, γ et l désignent respectivement le moment angulaire, le cosinus directeur del'axe des z (xé dans l'espace), le centre de gravité lequel peut se ramener à l =(1, 0, 0) et λm =

(m12 , m2

2 , m3

). Le système ci-dessus s'écrit sous la forme d'un champ

de vecteurs hamiltoniendx

dt= J

∂H

∂x, x = (m1,m2,m3, γ1, γ2, γ3)|,

avecH =

12

(m2

1 + m22

)+ m2

3 + 2γ1,

l'hamiltonien et

J =

0 −m3 m2 0 −γ3 γ2

m3 0 −m1 γ3 0 −γ1

−m2 m1 0 −γ2 γ1 00 −γ3 γ2 0 0 0γ3 0 −γ1 0 0 0−γ2 γ1 0 0 0 0

.

Exemple 58 Le mouvement d'un solide dans un uide parfait est décrit à l'aide deséquations de Kirchho :

dp

dt= p ∧ ∂H

∂l,

dl

dt= p ∧ ∂H

∂p+ l ∧ ∂H

∂l,


où p = (p1, p2, p3) ∈ R3, l = (l1, l2, l3) ∈ R3 et H l'hamiltonien. Le problème de cemouvement est un cas limite du ot géodésique sur SO(4). Dans le cas de Clebsch,on a

H =12

3∑

k=1

(akp

2k + bkl

2k

),

avec la conditiona2 − a3

b1+

a3 − a1

b2+

a1 − a2

b3= 0.

Le système ci-dessus peut s'écrire sous la forme d'un champ de vecteurs hamiltonien

dx

dt= J

∂H

∂x, x = (p1, p2, p3, l1, l2, l3)|,

où comme précédemment, on montre que

J =

0 0 0 0 −p3 p2

0 0 0 p3 0 −p1

0 0 0 −p2 p1 00 −p3 p2 0 −l3 l2p3 0 −p1 l3 0 −l1−p2 p1 0 −l2 l1 0

.

Exemple 59 Soitdf

dt=

n∑

k=1

(∂f

∂pkpk +

∂f

∂qkqk

)+

∂f

∂t,

la dérivée totale d'une fonction f(p, q, t) par rapport à t. En tenant compte des équa-tions d'Hamilton, on obtient l'expression

df

dt= f, H+

∂f

∂t.

On en déduit que f est une intégrale première d'un système décrit par un hamiltonienH(p, q, t) dépendant explicitement de t si et seulement si

f, H+∂f

∂t= 0, (1.19)

et évidemment si f ne dépend pas explicitement de t, on a f, H = 0. A titred'exemple, considérons un hamiltonien

H =1

2m(p2

1 + p22 + p2

3) + V (r, t), r =√

q21 + q2

2 + q23,

décrivant le mouvement d'une particule de masse m plongée dans un potentiel V (r, t).Les deux composantes du moment cinétique

H1 = q2p3 − q3p2,

H2 = q3p1 − q1p3,


sont des intégrales premières. D'après le théorème 49 de Poisson, on a

H1,H2 = q1p2 − q2p1 = H1,

ce qui montre que H3 est aussi une intégrale première. Notons aussi que : H3,H1 =H2 et H2, H3 = H1. Par conséquent, si dans un système deux composantes dumoment cinétique sont des intégrales premières, alors la troisième composante estaussi une intégrale première.

Exemple 60 On a déjà vu que dans un système conservatif, le hamiltonien H(p, q)est une intégrale première. Si F (p, q, t) désigne une autre intégrale première dépen-dant explicitement de t, alors d'après le théorème 49 de Poisson F,H est aussi uneintégrale première. Dès lors,

∂F

∂t= −F, H,

est une intègrale première en vertu de (1.19). De même, on a

∂F

∂t,H+

∂2F

∂t2= 0,

ce qui montre que ∂2F∂t2

= −∂F∂t ,H est aussi une intégrale première. Et ainsi de

suite, on montre que ∂kF∂tk

est une intégrale première. Par exemple, soit

H =1

2mp2 +

mω2

2q2,

l'hamiltonien de l'oscillateur harmonique. On vérie aisément que

F = q cosωt− 1mω

p sinωt,

et∂F

∂t= −ωq sinωt− 1

mωp cosωt,

sont des intégrales premières du système hamiltonien associé à H.

1.8 Structure symplectique sur les orbites et applicationNous allons voir dans cette partie, comment dénir une structure symplectique

sur l'orbite de la représentation coadjointe. Soit x ∈ G∗, ξ le vecteur tangent en xà l'orbite. Comme G∗ est un espace vectoriel, alors évidemment ξ ∈ TxG∗ = G∗.Rappelons que

O∗G(x) = Ad∗g(x) : g ∈ G ⊂ G∗.Pour x ∈ O∗G(x), il existe g ∈ G tel que : x = Ad∗g. Soit a ∈ G et eta un groupe à unparamètre dans G avec eta

∣∣t=0

= g et

d

dtAd∗eta(x)

∣∣∣∣t=0

= ξ.


Ord

dtAd∗eta(x)

∣∣∣∣t=0

≡ ad∗a(x) = a, x,

donc le vecteur ξ peut-être représenté comme le vecteur vitesse du mouvement de xsous l'action d'un groupe eta, a ∈ G. Autrement dit, tout vecteur ξ tangent à l'orbiteO∗G(x) s'exprime en fonction de a ∈ G par

ξ = a, x, a ∈ G, x ∈ G∗. (1.20)

Par conséquent, on peut déterminer la valeur d'une 2-forme Ω sur l'orbite O∗G(x)comme suit : soient ξ1 et ξ2 deux vecteurs tangents à l'orbite de x. D'après ce quiprécède, on a

ξ1 = a1, x, a1 ∈ G, x ∈ G∗,ξ2 = a2, x, a2 ∈ G, x ∈ G∗.

On vérie aisément que la 2-forme diérentielle

Ω(ξ1, ξ2)(x) = 〈x, [a1, a2]〉, a1, a2 ∈ G, x ∈ G∗, (1.21)

sur O∗G(x) est bien dénie ; sa valeur ne dépend pas du choix de a1 et a2. En outre,elle est antisymétrique, non-dégénérée et fermée.

Pour déterminer la structure symplectique sur l'orbite O∗SO(3)(X), on procèdecomme suit : D'après (1.21), on a

Ω(ξ1, ξ2)(X) = 〈X, [A,B]〉,où A,B ∈ so(3), X ∈ (so(3))∗ = so(3) et en vertu de (8.1),

ξ1 = A,X, ξ2 = B,X,sont deux vecteurs tangents à l'orbite en X ou ce qui revient au même d'après lethéorème 9 c),

ξ1 = [X, A], ξ2 = [X, B].

En utilisant le lemme 8, i.e., l'isomorphisme entre (so(3), [, ]) et (R3,∧), on a aussi

ξ1 = x ∧ a, ξ2 = x ∧ b,

avecΩ(ξ1, ξ2)(x) = 〈x, a ∧ b〉.

D'après le théorème 9 b), l'orbite coadjointe de SO(3) est

O∗SO(3)(A) = C ∈ so(3) : C = Y −1AY, spectre de C = spectre de A,où A ∈ so(3) et Y ∈ SO(3). Déterminons le spectre de la matrice

A =

0 −a3 a2

a3 0 −a1

−a2 a1 0

∈ so(3).


On adet(A− λI) = −λ(λ2 + a2

1 + a22 + a2

3) = 0,

d'où λ = 0, λ = ±i√

a21 + a2

2 + a23. Donc

O∗SO(3)(A) = C ∈ so(3) : c21 + c2

2 + c23 = r2,

avec

C =

0 −c3 c2

c3 0 −c1

−c2 c1 0

∈ so(3),

etr2 = a2

1 + a22 + a2

3.

L'algèbre so(3) étant isomorphe à R3, on en déduit que l'orbite O∗SO(3)(A) est iso-morphe à une sphère S2 de rayon r. Puisque les vecteurs ξ1, ξ2 appartiennent au plantangent TXO∗SO(3) en X, ils appartiennent aussi au plan tangent TxS2 en x. Soit

S2 =(y1, y2, y3) ∈ R3 : y2

1 + y22 + y2

3 = r2

,

la sphère de rayon r, alors le plan tangent à cette sphère en x de coordonnées(x1, x2, x3) est

TxS2 =(y1, y2, y3) ∈ R3 : y1x1 + y2x2 + y3x3 = 0

,

=(

y1, y2,−y1x1 + y2x2

x3

). (1.22)

Soit z = (z1, z2, z3) ∈ TxS2 et déterminons a = (a1, a2, a3) tel que : x ∧ a = z. Cettedernière est équivalente au système

0 −a3 a2

a3 0 −a1

−a2 a1 0

a1

a2

a3

=

z1

z2

− z1x1+z2x2x3

,

dont la solution est

a =(

x1a3 + z2

x3,x2a3 − z1

x3, a3

), a3 ∈ R.

La forme symplectique sur S2 que l'on cherche à déterminer étant intrinsèque, i.e.,ne dépend pas du choix des coordonnées locales, on peut donc choisir comme coor-données locales x1, x2 et le même raisonnement sera valable pour les autres cas, i.e.,x2, x3 et x3, x1. Nous allons donc calculer a et b relativement à la base

(∂

∂x1, ∂

∂x2

)

de TxS2 avec∂

∂x1=

(1, 0,−x1

x3

),

∂

∂x2=

(0, 1,−x2

x3

).

On aa = (a1, a2, a3) =

(x1b3 + 1

x3,x2b3

x3, b3

).


D'où

a ∧ b = (a2b3 − a3b2, a3b1 − a1b3, a1b2 − a2b1) ,

=(− b3

x3,a3

x3,x1b3 − x2a3 + 1

x23

).

Dès lors,Ω

(∂

∂x1,

∂

∂x2

)= (x, a ∧ b) =

1x3

,

et par conséquentΩ =

dx1 ∧ dx2

x3.

Comme nous l'avons déjà signalé la forme symplectique étant intrinsèque, on auranalement

Ω =dx1 ∧ dx2

x3=

dx2 ∧ dx3

x1=

dx3 ∧ dx1

x2.

Pour déterminer la structure symplectique sur l'orbite coadjointe du groupeSO(4), on peut suivre le même cheminement que dans le cas précédent mais le calculserait plus long. Par contre, on peut obtenir aisément le résultat en utilisant uneapproche géométrique en observant que so(4) se décompose en deux copies de so(3)et que les orbites génériques sont un produit de deux sphères. Plus précisément, àpartir de SO(4) = SO(3)⊗ SO(3), il est plus intéressant de considérer les coordon-nées (x1, x2, x3), (x4, x5, x6) avec (x1, x2, x3) ⊕ (x4, x5, x6) ∈ so(4) ' so(3) ⊕ so(3).On obtient

Ω = −x3dx1 ∧ dx2 − x6dx1 ∧ dx5 + x6dx2 ∧ dx4 − x3dx4 ∧ dx5.

2 Elément II : Mécanique hamiltonienneL'objectif de l'élément II, est une introduction à l'étude des systèmes hamilto-

niens intégrables. On commence par quelques dénitions et propriétés sur les champsde vecteurs, les groupes à un paramètre de diéomorphismes ou ots ainsi que lesopérateurs diérentiels. On montre qu'un champ de vecteurs diérentiable et à sup-port compact est générateur d'un unique groupe à un paramètre de diéomorphismesde cette variété ; on construit le ot sur toute la variété. Puis l'étude de commutati-vité des champs de vecteurs sera détaillée, avec des calculs explicites concernant unecondition nécessaire et susante fort utile pour vérier la commutativité des champsde vecteurs. On aborde ensuite l'étude des variétés diéomorphes aux tores réels. Lesvariétés de niveau communes des intégrales premières dénies par les groupes à unparamètre de diéomorphismes d'un système dynamique, sont invariantes du ot.La solution d'un problème non-linéaire se ramène actuellement, à l'étude de son otet de ces variétés invariantes. Le théorème d'Arnold-Liouville joue un rôle crucialdans l'étude de ces problèmes. Il permet, entre autres, d'étudier la situation topo-logique suivante : si les variétés invariantes sont compactes et connexes, alors ellessont diéomorphes aux tores réels sur lesquels le ot de phase détermine un mouve-ment quasi-périodique. Les équations du problème sont intégrables par quadratures


et le théorème en question montre un comportement très régulier des solutions. Onterminera par des applications à l'étude du problème de la rotation d'un corps solideautour d'un point xe.

2.1 Champ de vecteurs, Groupes à un paramètre de diéomor-phismes et Opérateurs diérentiels

Soit M une variété diérentiable de dimension m. Soit TM le bré tangent à M,i.e., l'union des espaces tangents à M en tous ses points x,

TM =⋃

x∈M

TxM.

Ce bré possède une structure naturelle de variété diérentiable de dimension 2met il nous permet de transporter imméditement aus variétés toute la théorie deséquations diérentielles ordinaires.

Dénition 61 Un champ de vecteurs (on dit aussi section du bré tangent) sur Mest une application, notée X, qui à tout point x ∈ M associe un vecteur tangentXx ∈ TxM . Autrement dit, c'est une application

X : M −→ TM,

telle que siπ : TM −→ M,

est la projection naturelle, on ait

π X = idM .

Notons que le diagrammeM

X−→ TM idM ↓π

M

est commutatif.Soit (x1, ..., xm) un système de coordonnées locales dans un voisinage U ⊂ M. Dansce système le champ de vecteurs X s'écrit sous la forme

X =m∑

k=1

fk (x)∂

∂xk, x ∈ U,

où les fonctionsf1, . . . , fm : U −→ R,

sont les composantes de X par rapport à (x1, ..., xm). Un champ de vecteurs Xest diérentiable si ses composantes fk (x) sont des fonctions diérentiables. Cettedénition de diérentiabilité ne dépend pas évidemment du choix du système de


coordonnées locales. En eet, si (y1, ..., ym) est un autre système de coordonnéeslocales dans U, alors

X =m∑

k=1

hk (x)∂

∂yk, x ∈ U,

oùh1, . . . , hm : U −→ R,

sont les composantes de X par rapport à (y1, ..., ym) et le résultat découle du faitque

hk (x) =m∑

l=1

∂yk

∂xlfl (x) , x ∈ U.

Au champ de vecteurs X correspond un système d'équations diérentielles

dx1

dt= f1 (x1, ..., xm) ,

... (2.1)dxm

dt= fm (x1, ..., xm) .

Dénition 62 Un champ de vecteurs diérentiable X sur M s'appelle système dy-namique.

Un champ de vecteurs s'écrit localement sous la forme (2.1).

Dénition 63 Une courbe intégrale (ou trajectoire) du champ de vecteurs X est unecourbe diérentiable

γ : I −→ M, t 7−→ γ (t) ,

telle que :∀t ∈ I,

dγ (t)dt

= X (γ (t)) ,

où I est un intervalle de R.

Sim∑

k=1

fk (x)∂

∂xk,

est l'expression locale de X, alors les courbes intégrales (ou trajectoires) de X sontles solutions γ (t) = xk (t) de (2.1).

On suppose dans la suite que le champ de vecteurs X est diérentiable (de classeC∞) et à support compact (i.e., X est nul en dehors d'un compact de M), ce quisera en particulier le cas si la variété M est compacte.

Etant donné un point x ∈ M, on note gXt (x) (ou tout simplement gt(x)) la

position de x après un déplacement d'une durée t ∈ R. On a ainsi une application

gXt : M −→ M, t ∈ R,


qui est un diéomorphisme, en vertu de la théorie des équations diérentielles (voirthéorème ci-dessous). Plus précisément, au champ de vecteurs X est lié un groupeà un paramètre de diéomorphismes gX

t sur M c'est-à-dire une application diéren-tiable (de classe C∞) : M × R −→ M, vériant une loi de groupe :

i) ∀t ∈ R, gXt : M −→ M est un diéomorphisme de M sur M .

ii) ∀t, s ∈ R, gXt+s = gX

t gXs .

La condition ii) signie que la correspondance t 7−→ gXt , est un homomorphisme

du groupe additif R dans le groupe des diéomorphismes de M dans M. Elle impliqueque

gX−t =

(gXt

)−1,

car gX0 = idM est la transformation identique qui laisse chaque point invariant.

Dénition 64 Le groupe à un paramètre de diéomorphismes gXt sur M , que l'on

vient de décrire s'appelle ot et il admet le champ de vecteurs X pour champ devitesses

d

dtgXt (x) = X

(gXt (x)

),

avec la condition initialegX0 (x) = x.

Evidemmentd

dtgXt (x)

∣∣∣∣t=0

= X (x) .

Donc par ces formules gXt (x) est la courbe sur la variété qui passe par x et telle que

la tangente en chaque point est le vecteur X(gXt (x)

).

Nous allons maintenant voir comment construire le ot gXt sur toute la variété

M.

Théorème 65 Le champ de vecteurs X est générateur d'un unique groupe à unparamètre de diéomorphismes de M.

Démonstration : a) Construction de gXt pour t assez petit. Pour x xé, l'équation

diérentielled

dtgXt (x) = X

(gXt

),

fonction de t avec la condition initiale

gX0 (x) = x,

admet une solution unique gXt dénie au voisinage du point x0 et dépendant de façon

C∞ de la condition initiale. Donc gXt est localement un diéomorphisme. Dès lors

pour chaque point x0 ∈ M, on peut trouver un voisinage U (x0) ⊂ M , un nombre réelpositif ε ≡ ε (x0) tels que pour tout t ∈ ]−ε, ε[, l'équation diérentielle en questionavec sa condition initiale admet une solution unique gX

t (x) diérentiable dénie dansU (x0) et vériant la relation de groupe

gXt+s (x) = gX

t gXs (x) ,


avec t, s, t + s ∈ ]−ε, ε[ . En eet, posons

x1 = gXt (x) , t xé,

et considérons la solution de l'équation diérentielle satisfaisant dans le voisinage dupoint x0 à la condition initiale

gXs=0 = x1.

Cette solution vérie la même équation diérentielle et coincide en un point

gXt (x) = x1,

avec la fonction gXt+s. Donc, par unicité de la solution de l'équation diérentielle,

les deux fonctions sont localement égales. Par conséquent, l'application gXt est lo-

calement un diéomorphisme. Rappelons que le champ de vecteurs X est supposédiérentiable (de classe C∞) et à support compact K. Du recouvrement de K formépar des ouverts U (x) , on peut extraire un sous-recouvrement ni (Ui) , puisque Kest compact. Désignons par εi les nombres ε correspondants aux Ui et posons

ε0 = inf (εi) , gXt (x) = x, x /∈ K.

Dès lors, l'équation en question admet une solution unique gXt sur M × ]−ε0, ε0[

vériant la relation du groupe

gXt+s = gX

t gXs ,

l'inverse de gXt étant gX−t et donc gX

t est un diéomorphisme pour t susammentpetit.b) Construction de gX

t pour tout t ∈ R. D'après a), il sut de construire gXt pour

t ∈ ]−∞,−ε0[∪]ε0,∞[ . Nous allons voir que les applications gXt se dénissent d'après

la loi de multiplication du groupe. Notons que t peut s'écrire sous la forme

t = kε0

2+ r,

avec k ∈ Z et r ∈ [0, ε0

2

[. Posons, pour t ∈ R∗+,

gXt = gX

ε02 · · · gX

ε02︸︷︷︸

k−fois

gXr ,

et pour t ∈ R∗−,gXt = gX

− ε02 · · · gX

− ε02︸︷︷︸

k−fois

gXr .

Les diéomorphismes gX± ε0

2

et gXr ont été dénis dans a), et on en déduit que pour

tout réel t, gXt est un diéomorphisme déni globalement sur M. ¤


Corollaire 66 Toute solution de l'équation diérentielle

dx (t)dt

= X (x (t)) , x ∈ M,

avec la condition initiale x (pour t = 0), est indéniment prolongeable. La valeurde la solution gX

t (x) à l'instant t est diérentiable par rapport à t et à la conditioninitiale x.

Avec un léger abus de notation, on peut écrire l'équation précédente sous la formedu système d'équations diérentielles (2.1) avec les conditions initiales x1, ..., xm pourt = 0.

Au champ de vecteurs X est lié l'opérateur diérentiel LX d'ordre 1. Il s'agit dela diérentiation des fonctions suivant la direction du champ de vecteurs X. On a

LX : C∞ (M) −→ C∞ (M) , F 7−→ LXF,

oùLXF (x) =

d

dtF

(gXt (x)

)∣∣∣∣t=0

, x ∈ M.

Ici C∞ (M) désigne l'ensemble des fonctions F : M −→ R, de classe C∞. L'opérateurLX est linéaire

LX (α1F1 + α2F2) = α1LXF1 + α2LXF2, (α1, α2 ∈ R) ,

et satisfait à la formule de Leibniz

LX (F1F2) = F1LXF2 + F2LXF1.

Comme LXF (x) ne dépend que des valeurs de F au voisinage de x, on peut doncappliquer l'opérateur LX à des fonctions dénies seulement au voisinage d'un point,sans avoir besoin de les prolonger à toute la variété M. Soit (x1, ..., xm) un systèmede coordonnées locales sur M. Dans ce système le champ de vecteurs X a pour com-posantes f1, . . . , fm et le ot gX

t est déni par le système d'équations diérentielles(2.1). Donc la dérivée de F = F (x1, ..., xm) suivant la direction de X s'écrit

LXF = f1∂F

∂x1+ · · ·+ fm

∂F

∂xm.

Autrement dit, dans les coordonnées (x1, ..., xm) l'opérateur LX s'écrit

LX = f1∂

∂x1+ · · ·+ fm

∂

∂xm,

ceci n'est autre que la forme générale de l'opérateur diérentiel linéaire du premierordre.


2.2 Commutativité des champs de vecteursDénition 67 On dit que deux champs de vecteurs X1 et X2 sur une variété Mcommutent (ou sont commutatifs) si et seulement si les ots correspondants com-mutent

gX1t1 gX2

t2(x) = gX2

t2 gX1

t1(x), ∀x ∈ M.

Le résultat suivant nous donne une condition nécessaire et susante, fort utile, pourvérier la commutativité de deux champs de vecteurs.

Théorème 68 Deux champs de vecteurs X1 et X2 sur une variété M commutent siet seulement si

[LX1 , LX2 ] ≡ LX1LX2 − LX2LX1 = 0.

Démonstration : a) Condition nécessaire. Montrons tout d'abord que : ∀F ∈ C∞ (M),∀x ∈ M , alors

∂2

∂t1∂t2

(F

(gX2t2 gX1

t1(x)

)− F

(gX1t1 gX2

t2(x)

))∣∣∣∣t2=t1=0

= (LX1LX2 − LX2LX1)F (x) .

En eet, d' après la dénition de LX2 , on a

∂

∂t2F

(gX2t2 gX1

t1(x)

)∣∣∣∣t2=0

= LX2F(gX1t1

(x))

.

D'où∂2

∂t1∂t2F

(gX2t2 gX1

t1(x)

)∣∣∣∣t2=t1=0

=∂

∂t1LX2F

(gX1t1

(x))∣∣∣∣

t1=0

,

=∂

∂t1G

(gX1t1

(x))∣∣∣∣

t1=0

où G ≡ LX2F,

= LX1G(x) par dénition de LX1 ,

= LX1LX2F (x) .

De même, on a

∂2

∂t2∂t1F

(gX1t1 gX2

t2(x)

)∣∣∣∣t1=0

= LX1F(gX2t2

(x))

,

et∂2

∂t2∂t1F

(gX1t1 gX2

t2(x)

)∣∣∣∣t2=t1=0

= LX2LX1F (x) .

Dès lors,

∂2

∂t2∂t1F

(gX1t1 gX2

t2(x)

)∣∣∣∣t1=0

− ∂2

∂t2∂t1F

(gX1t1 gX2

t2(x)

)∣∣∣∣t2=t1=0

=∂2

∂t1∂t2

(F

(gX2t2 gX1

t1(x)

)− F

(gX1t1 gX2

t2(x)

))∣∣∣∣t2=t1=0

,

= LX1LX2F (x)− LX2LX1F (x) .


Donc si X1 et X2 commutent sur la variété M c'est-à-dire si

gt1X1 gX2

t2(x) = gX2

t2 gX1

t1(x), ∀x ∈ M,

alors d'après la formule ci-dessus,

(LX1LX2 − LX2LX1) F (x) = 0, ∀F ∈ C∞ (M) , ∀x ∈ M,

et par conséquentLX1LX2 = LX2LX1 .

b) Condition susante. Montrons que

gX1t1 gX2

t2(x) = gX2

t2 gX1

t1(x), ∀x ∈ M,

ou encore que

F(gX1t1 gX2

t2(x)

)= F

(gX2t2 gX1

t1(x)

), ∀F ∈ C∞ (M) , ∀x ∈ M.

Posonsξ = gX1

t1 gX2

t2(x), ζ = gX2

t2 gX1

t1(x),

et développons en série de Taylor la fonction F (ξ)−F (ζ) autour de t1 = t2 = 0. Ona

F (ξ)− F (ζ) = F (x)− F (x)

+t1

(∂

∂t1(F (ξ)− F (ζ))

)∣∣∣∣t1=t2=0

+t2

(∂

∂t2(F (ξ)− F (ζ))

)∣∣∣∣t1=t2=0

+t212

(∂2

∂t21(F (ξ)− F (ζ))

)∣∣∣∣t1=t2=0

+t222

(∂2

∂t22(F (ξ)− F (ζ))

)∣∣∣∣t1=t2=0

+t1t2

(∂2

∂t1∂t2(F (ξ)− F (ζ))

)∣∣∣∣t1=t2=0

+ (t31, t

32, t

21t2, t1t

22

).


Calculons les diérents termes. On a

∂

∂t1F (ξ)

∣∣∣∣t1=t2=0

=∂

∂t1F

(gX1t1 gX2

t2(x)

)∣∣∣∣t1=t2=0

,

= Lx1 F(gX2t2

(x))∣∣∣

t2=0,

= Lx1F (x).∂

∂t1F (ζ)

∣∣∣∣t1=t2=0

=∂

∂t1F

(gX2t2 gX1

t1(x)

)∣∣∣∣t1=t2=0

,

=∂

∂t1G

(gX1t1

(x))∣∣∣∣

t1=0

où G = FgX2t2

∣∣∣t2=0

,

= Lx1G(x),

= Lx1 F(gX2t2

)∣∣∣t2=0

,

= Lx1F (x).

Dès lors,∂

∂t1(F (ξ)− F (ζ))

∣∣∣∣t1=t2=0

= 0.

Par symétrie, on a aussi

∂

∂t2(F (ξ)− F (ζ))

∣∣∣∣t1=t2=0

= 0.

De même, on a

∂2

∂t21(F (ξ)− F (ζ))

∣∣∣∣t1=t2=0

=∂2

∂t21

(F

(gX1t1 gX2

t2(x)

)− F

(gX2t2 gX1

t1(x)

))∣∣∣∣t1=t2=0

.


∂

∂t1F

(gX1t1 gX2

t2(x)

)=

∂

∂t1F

(gX1t1

(y))

où y = gX2t2

(x),

= LX1F(gX1t1

(y))

.

∂2

∂t21F

(gX1t1 gX2

t2(x)

)=

∂

∂t1LX1F

(gX1t1

(y))

,

= LX1LX1F(gX1t1

(y))

,

= LX1LX1F(gX1t1 gX2

t2(x)

)−→

t1=t2=0

LX1LX1F (x) .

∂

∂t1F

(gX2t2 gX1

t1(x)

)=

∂

∂t1G

(gX1t1

(x))

où G = FgX2t2

,

= LX1G(gX1t1

(x))

.

∂2

∂t21F

(gX2t2 gX1

t1(x)

)=

∂

∂t1LX1G

(gX1t1

(x))

,

= LX1LX1G(gX1t1

(x))

,

= LX1LX1F(gX2t2 gX1

t1(x)

)−→

t1=t2=0

LX1LX1F (x) .

Donc∂2

∂t21(F (ξ)− F (ζ))

∣∣∣∣t1=t2=0

= 0.

Il s'en suit, par symétrie, que∂2

∂t22(F (ξ)− F (ζ))

∣∣∣∣t1=t2=0

= 0.

Par ailleurs, on déduit de la condition nécessaire et du fait que les champs de vecteursX1 et X2 commutent, la relation suivante

∂2

∂t1∂t2(F (ξ) − F (ζ))|t1=t2=0

=∂2

∂t1∂t2

(F

(gX1t1 gX2

t2(x)

)− F

(gX2t2 gX1

t1(x)

))∣∣∣∣t1=t2=0

,

=∂2

∂t1∂t2(LX2LX1 − LX1LX2) F (x) ,

= 0.

Par conséquent

F(gX1t1 gX2

t2(x)

)− F

(gX2t2 gX1

t1(x)

)= (

t31, t32, t

21t2, t1t

22

).

Considérons tout d'abord des temps t1 et t2 de l'ordre de ε. On a un écart entre lesdeux nouveaux points de la variété, suivant que l'on applique le champ X1 avant X2,ou l'inverse, de l'ordre de ε3,

F(gX1t1 gX2

t2(x)

)− F

(gX2t2 gX1

t1(x)

)= o

(ε3

).


Maintenant, si t1 et t2 sont des temps xés quelconques, quadrillons l'espace entreles deux chemins par des carrés de côté ε. Chaque carré représente le petit espaceparcouru pendant un petit temps ε, soit suivant le champ X1, soit suivant le champX2. On a trouvé que lorsque l'espace entre deux chemins dière d'un carré on obtientune diérence de ε3. En modiant par étapes successives le chemin parcouru d'uncarré, on obtient

F(gX1t1 gX2

t2(x)

)− F

(gX2t2 gX1

t1(x)

)≤ t1t2

ε2o(ε3

),

par le fait qu'on a t1ε × t2

ε étapes intermédiaires. Ceci est valable pour tout ε, il sutde prendre ε susament petit, tendant vers zéro, pour que

t1t2ε2

o(ε3

)= t1t2o (ε) −→

ε→00,

ce qui achève la preuve du théorème. ¤

2.3 Variétés diéomorphes aux tores réelsThéorème 69 . On suppose que la variété diérentiable M de dimension m estcompacte, connexe, muni de m champs de vecteurs diérentiables (de classe C∞)X1, ..., Xm commutant deux à deux et linéairement indépendants en chaque point deM . Alors, la variété M est diéomorphe à un tore réel de dimension m.

Démonstration : Dénissons l'application

g : Rm −→ M, (t1, ..., tm) 7−→ g (t1, ..., tm) ,

oùg (t1, ..., tm) = gX1

t1 · · · gXm

tm (x) = gXmtm · · · gX1

t1(x) , x ∈ M.

a) L'application g est un diéomorphisme local. En eet, soit

gr ≡ g |U : U −→ M, (t1, ..., tm) 7−→ gr (t1, ..., tm) = gXmtm · · · gt1

X1(x) ,

la restriction de g sur un voisinage U de (0, ..., 0) dans Rm avec

x = gr (0, ..., 0) .

Montrons que l'application gr est de classe C∞. On a

∂

∂t1gX1t1

= X1(x) =(

dx1

dt, ...,

dxm

dt

),

avec

dx1dt = f1 (x1, ..., xm) ,

...dxmdt = fm (x1, ..., xm) ,


où f1, ..., fm sont des fonctions de la variété M dans R. De même, on a

∂2

∂t21gX1t1

= (d2x1

dt2, ...,

d2xm

dt2),

=

(m∑

k=1

∂f1

∂xk

dxk

dt, ...,

m∑

k=1

∂fm

∂xk

dxk

dt

),

∂3

∂t31gX1t1

= (d3x1

dt3, ...,

d3xm

dt3),

=

(m∑

k=1

m∑

l=1

∂2f1

∂xk∂xl

dxk

dt

dxl

dt+

∂f1

∂xk

d2xk

dt2, ...

...,m∑

k=1

m∑

l=1

∂2fm

∂xk∂xl

dxk

dt

dxl

dt+

∂fm

∂xk

d2xk

dt2

),

etc...Toutes ces expressions ont un sens car par hypothèse toutes les fonctions f1, ..., fm

sont de classe C∞. Un raisonnement similaire, montre que gX2t2

, ..., gXmtm sont aussi de

classe C∞. Comme la composée de fonctions de classe C∞ est de classe C∞, on endéduit que gr (t1, ..., tm) est de classe C∞. Montrons maintenant que la matrice jaco-bienne de gr en (0, . . . , 0) est inversible. Pour celà, posons

gr (t1, ..., tm) ≡ (G1 (t1, ..., tm) , ..., Gm (t1, ..., tm)) .

On a

det

∂G1∂t1

· · · ∂Gm∂t1... . . . ...

∂G1∂tm

· · · ∂Gm∂tm

= det

∂gr

∂t1...∂gr

∂tm

,

= det

∂∂t1

gXmtm · · · gX1

t1(x)

...∂

∂tmgXmtm · · · gX1

t1(x)

,

6= 0,

car les champs de vecteurs X1, ..., Xm sont linéairement indépendants en chaque pointde M . D'après le théorème d'inversion locale, il existe un voisinage susamment petitV ⊂ U de (0, . . . , 0) et un voisinage W de x tels que gr induise une bijection de Vsur W dont la réciproque

g−1r : W −→ V,

soit de classe C∞. Autrement dit, gr est un diéomorphisme de V sur gr (V ). Notonsque ce résultat est local car même si la matrice jacobienne ci-dessus est inversiblepout tout (t1, ..., tm), alors l'inverse globale de gr n'existe pas nécessairement.

b) L'application g est surjective. En eet, soit y ∈ M et déterminons (t1, ..., tm) ∈Rm tel que :

g (t1, ..., tm) = gXmtm · · · gX1

t1(x) = y.


Nous avons montré dans la partie a) que g est un diéomorphisme local. Donc pourtout point x1 contenu dans un voisinage de x, il existe (t1, ..., tm) ∈ Rm tel que :

gXmtm · · · gX1

t1(x) = x1.

Comme la variété M est connexe, on peut relier le point x au point y par une courbeC. Soit B1 une boule ouverte dans M contenant le point x1. Cette boule existepuisque M est compacte. Soit x2 ∈ C tel que x2 soit contenu dans la boule B1. Onraisonne comme précédemment, l'application g étant un diéomorphisme local, alorsil existe (t′1, ..., t

′m) ∈ Rm tel que :

g′tmXm · · · g′t1X1(x1) = x2.

Doncx2 = g′tmXm + tm · · · g′t1X1

+ t1 (x) .

De même, soit B2 une boule ouverte dans M contenant le point x2. Soit x3 ∈ C telque x3 soit contenu dans la boule B2. Comme l'application g est un diéomorphismelocal, alors il existe (t′′1, ..., t

′′m) ∈ Rm tel que :

g′′tmXm · · · g′′t1X1(x2) = x3.

Doncx3 = g′′tmXm + t′m + tm · · · g′′t1X1

+ t′1 + t1 (x) .

En continuant ainsi, on montre (après un nombre k ni d'étapes) l'existence d'unpoint

(t(k−1)1 , ..., t

(k−1)m

)∈ Rm, tel que :

g(k−1)

tmXm · · · g

(k−1)

t1X1(xk−1) = xk,

où xk ∈ C, xk contenu dans une boule ouverte Bk−1 de M, avec Bk−1 3 xk−1. Donc

xk = g(k−1)

tmXm+ t(k−2)

m + · · ·+ t′m + tm · · · g(k−1)

t1X1+ t

(k−2)1 + · · ·+ t′1 + t1 (x) , k ni.

Cette construction montre qu'on peut, en un nombre k ni d'étapes, recouvrir lacourbe C reliant le point x au point y par des voisinages de x; le point y jouantle rôle de xk. Notons que l'application g ne peut être injective. En eet, si g estinjective, on aurait d'après la partie a) une bijection entre un compact M et un noncompact Rm, ce qui est absurde.

c) Le groupe stationnaire

Λ =

(t1, ..., tm) ∈ Rm : g (t1, ..., tm) = gXmtm · · · gX1

t1(x) = x

,

est un sous-groupe discret de Rm indépendant du point x ∈ M. En eet, notons toutd'abord que Λ 6= ∅ car (0, ..., 0) ∈ Λ. Soit (t1, ..., tm) ∈ Λ, (t′1, ..., t

′m) ∈ Λ. On a

g (t1, ..., tm) = g(t′1, ..., t

′m

)= x.


Puisque les champs de vecteurs X1, ..., Xm sont commutatifs, alors

g(t1 + t′1, ..., tm + t′m

)= gXm

tm+t′m · · · gX1

t1+t′1(x) ,

= gXmt′m

· · · gX1

t′1 gXm

tm · · · gX1t1

(x) ,

= gXmt′m

· · · gX1

t′1(x) ,

= x,

g (−t1, ...,−tm) = gXm−tm · · · gX1−t1(x) ,

= gXm−tm · · · gX1−t1 gXm

tm · · · gX1t1

(x) ,

= gXm−tm · · · gX1−t1 gX1

t1 · · · gXm

tm (x) ,

= gXm−tm · · · gX2−t2 gX2

t2 · · · gXm

tm (x) ,

...= gXm−tm gXm

tm (x) ,

= x.

D'où (t1 + t′1, ..., tm + t′m) ∈ Λ et (−t1, ...,−tm) ∈ Λ. Donc Λ est stable pour l'addi-tion, l'inverse de (t1, ..., tm) est (−t1, ...,−tm) et par conséquent Λ est un sous-groupede Rm. Montrons que Λ est indépendant de x. Soit

Λ′ =(

t′1, ..., t′m

) ∈ Rm : g(t′1, ..., t

′m

)= gXm

t′m · · · gX1

t′1(y) = y

.

Par la surjectivité, on peut trouver (s1, ..., sm) ∈ Rm tel que :

gXmsm

· · · gX1s1

(x) = y,

Soit (t′1, ..., t′m) ∈ Λ′. On a

gXmt′m

· · · gX1

t′1(y) = y,

gXmt′m

· · · gX1

t′1 gXm

sm · · · gX1

s1(x) = gXm

sm · · · gX1

s1(x) ,

gXm−sm+t′m+sm

· · · gX1

−s1+t′1+s1(x) = x,

gXmt′m

· · · gX1

t′1(x) = x.

Par conséquent, (t′1, ..., t′m) ∈ Λ et donc Λ ne dépend pas de x. Pour montrer que

Λ est discret, on considère un voisinage V susamment petit du point (0, ..., 0) etun voisinage W du point x. D'après a), l'application g est un diéomorphisme local,donc

g : V −→ W,

est bijective et par conséquent aucun point de W\ (0, ..., 0) n'est envoyé sur x ; lespoints du sous-groupe Λ n'ont aucun point d'accumulation dans Rm.

d) La variété M est diéomorphe à un tore réel de dimension m. En eet, puisqueΛ est le noyau de g, il existe une surjection canonique

g : Rm/Λ → M, [(t1, ..., tm)] 7→ g [(t1, ..., tm)] = gXmtm · · · gX1

t1(x) .


En eet, soient (t1, ..., tm) et (s1, ..., sm) tels que :

g [(t1, ..., tm)] = g [(s1, ..., sm)] .

On agXmtm · · · gX1

t1(x) = gXm

sm · · · gX1

s1(x) ,

d'où

gX1−s1 · · · gXm−sm

gXmtm · · · gX1

t1(x) = gX1−s1

· · · gXm−sm gXm

sm · · · gX1

s1(x) ,

= gX1−s1 · · · g

Xm−1−sm−1

gXm−1sm−1

· · · gX1s1

(x) ,

...= gX1−s1

gX1s1

(x) ,

= x.

Comme X1, ..., Xm sont commutatifs, alors

gXmtm−sm

· · · gX1t1−s1

(x) = x,

et d'après ce qui précéde, on a

[(t1 − s1, ..., tm − sm)] = 0,[(t1, ..., tm)− (s1, ..., sm)] = 0,

[(t1, ..., tm)] = [(s1, ..., sm)] .

Par conséquent g est un diéomorphime. ¤

Remarque 70 En général , pour tout sous-groupe discret de Rm, il existe k vecteurslinéairement indépendants tels que ce groupe soit l'ensemble de toutes leurs combinai-sons linéaires entières. Par conséquent, le groupe stationnaire Λ (voir point c) dansla preuve du théorème) peut s'écrire sous la forme

Λ = Ze1 ⊕ · · · ⊕ Zek, 1 ≤ k ≤ m,

où e1, ..., em sont des vecteurs linéairement indépendants. En eet, pour xer lesidées, prenons m = 2 c'est-à-dire

Λ =

(t1, t2) ∈ R2 : g (t1, t2) = gX2t2 gX1

t1(x) = x

.

Ici, trois cas sont possibles :i) Λ = 0,ii) Λ = Ze1,iii) Λ = Ze1 ⊕ Ze2.

Le cas i) est à rejeter car nous avons un diéomorphisme entre Z2/ 0 (non com-pact) et M un compact, ce qui est impossible. Le second cas Z2/ Ze1 (un cylindre)est aussi à rejeter pour les mêmes raisons que dans le premier cas. Il reste le derniercas , qui est valable, car Z2/ Ze1 ⊕ Ze2 est un tore de dimension 2.


2.4 Champ de vecteurs hamiltonienSoit M une variété diérentiable de dimension paire.

Dénition 71 Une structure symplectique (ou forme symplectique) sur M est une2-forme diérentielle ω fermée, i.e., dω = 0 et partout non-dégénérée, i.e.,

∀x ∈ M,∀ξ 6= 0,∃η : ω (ξ, η) 6= 0, (ξ, η ∈ TxM) .

Le couple (M, ω) s'appelle variété symplectique.

Le bré cotangent T ∗M (l'union de tous les espaces cotangents à la variété M entous ses points) possède une structure symplectique naturelle. Dans les coordonnéeslocales (x1, . . . , xm, y1, . . . , ym) , cette structure est donnée par

ω =m∑

k=1

dxk ∧ dyk.

Proposition 72 SoitI : T ∗xM −→ TxM, ω1

ξ 7−→ ξ,

une application telle que :

ω1ξ (η) = ω (η, ξ) , ∀η ∈ TxM.

Alors I est l'isomorphisme engendré par la forme symplectique ω.

Démonstration : Désignons par I−1 l'application

I−1 : TxM −→ T ∗xM, ξ 7−→ I−1 (ξ) ≡ ω1ξ ,

avecI−1 (ξ) (η) = ω1

ξ (η) = ω (η, ξ) , ∀η ∈ TxM.

La forme ω étant bilinéaire, alors

I−1 (ξ1 + ξ2) (η) = ω (η, ξ1 + ξ2) ,

= ω (η, ξ1) + ω (η, ξ2) ,

= I−1 (ξ1) (η) + I−1 (ξ2) (η) , ∀η ∈ TxM.

Pour montrer que l'application I−1 est bijective, il sut de montrer qu'elle est injec-tive puisque dimTxM = dimT ∗xM. On a

KerI−1 =ξ ∈ TxM : I−1 (ξ) (η) = 0, ∀η ∈ TxM

,

= ξ ∈ TxM : ω (η, ξ) = 0, ∀η ∈ TxM ,

= 0 ,

car la forme ω est non-dégénérée. Donc I−1 est un isomorphisme et par conséquentI est aussi un isomorphisme puisque on l'obtient par l'inverse d'un isomorphisme. ¤


On en déduit que la forme symplectique ω induit pour chaque fonction diéren-tiable H : M −→ R, appelée hamiltonien, un champ de vecteurs hamilonien

IdH : M −→ TxM, x 7−→ IdH (x) .

Autrement dit, le système diérentiel déni par

dx (t)dt

= XH (x (t)) = IdH (x) ,

est un champ de vecteurs hamilonien associée à la fonction H.

Proposition 73 La matrice associée à un système hamiltonien forme une structuresymplectique.

Démonstration : Soit (x1, . . . , xm) un système de coordonnées locales sur M. On a

dx (t)dt

=m∑

k=1

∂H

∂xkI (dxk) =

m∑

k=1

∂H

∂xkξk, (2.2)

où I (dxk) = ξk ∈ TxM est déni de telle manière que :

∀η ∈ TxM, ηk = dxk (η) = ω(η, ξk

), ( kiemecomposante de η).

En désignant par (η1, . . . , ηm) et(ξk1 , . . . , ξk

m

)les composantes de η et ξk respective-

ment, on obtient

ηk = ω

m∑

i=1

ηi∂

∂xi,

m∑

j=1

ξkj

∂

∂xj

,

= (η1, . . . , ηm) J−1

ξk1...

ξkm

,

où J−1 est la matrice dénie par

J−1 ≡(

ω

(∂

∂xi,

∂

∂xj

))

1≤i,j≤m

.


Cette matrice est inversible 6. Par conséquent, on peut chercher ξk tel que :

J−1

ξk1...

ξkm

=

0...01 ! kieme place0...0

.

Comme la matrice J−1 est inversible, alors le système ci-dessus s'écrit

ξk1...

ξkm

= J

0...010...0

,

d'où ξk = kieme colonne de J, c'est-à-dire ξki = Jik, 1 ≤ i ≤ m, et par conséquent

ξk =m∑

i=1

Jik∂

∂xi.

6En eet, il sut de montrer que le rang de J−1 est m. Par l'absurde, on suppose que rgJ−1 6= m.Donc

mXi=1

aiω

∂

∂xi,

∂

∂xj

= 0, ∀1 ≤ j ≤ m,

avec ai non tous nuls. D'où

ω

mX

i=1

ai∂

∂xi,

∂

∂xj

!= 0, ∀1 ≤ j ≤ m.

Comme ω est non-dégénérée, alorsmX

i=1

ai∂

∂xi= 0.

Or

∂∂x1

, . . . , ∂∂xm

est une base de TxM, donc ai = 0, ∀i, ce qui est absurde.


On montre aisément que la matrice J est antisymétrique 7. De (2.2) on déduit que :

dx (t)dt

=m∑

k=1

∂H

∂xk

m∑

i=1

Jik∂

∂xi,

=m∑

i=1

(m∑

k=1

Jik∂H

∂xk

)∂

∂xi.

En écrivantdx (t)

dt=

m∑

i=1

dxi (t)dt

∂

∂xi,

on a l'équation suivante :

dxi (t)dt

=m∑

k=1

Jik∂H

∂xk, 1 ≤ i ≤ j ≤ m,

ou sous forme matricielledx (t)

dt= J (x)

∂H

∂x,

et qui n'est autre que le champ hamiltonien associé à la fonction H. ¤On munit la variété M du crochet de Poisson ou structure de Poisson

, : C∞ (M)× C∞ (M) −→ C∞ (M) , (F, G) 7−→ F, G ,

oùF,G = duF (XG) = XGF (u) = ω (XG, XF ) .

On montre que ce crochet est antisymétrique

F, G = −G,F ,

vérie la formule de Leibniz

FG, H = F G, H+ G F, H ,

et satisfait l'identité de Jacobi

H,F , G+ F, G ,H+ G,H , F = 0.

Lorsque cette structure de Poisson est non-dégénérée, on parlera plutôt de structuresymplectique.

7En eet, ω étant antisymétrique i.e.,

ω

∂

∂xi,

∂

∂xj

= −ω

∂

∂xj,

∂

∂xi

,

alors J−1 est antisymétrique. Dès lors,

I = J.J−1 =J−1> .J> = −J−1.J,

et par conséquent J> = J .


Considérons maintenant la variété M = Rn × Rn et soit p ∈ M. En vertu duthéorème de Darboux 8 [3], on peut choisir dans un voisinage du point p, un systèmede coordonnées locales (y1, . . . , yn, x1, . . . , xn) tel que la forme ω s'exprime sous laforme

ω =n∑

i=1

dxi ∧ dyi.

Dès lorsXH =

n∑

i=1

(∂H

∂xi

∂

∂yi− ∂H

∂yi

∂

∂xi

),

etXHF = H,F , ∀F ∈ C∞ (M) .

Dénition 74 Toute fonction F vériant la propriété XHF = 0, est dite intégralepremière de XH . Deux fonctions F et G sont dites en involution quand leur crochetF, G est nul.

Donnons-nous une autre formulation de la dénition du crochet de Poisson. Celui-ciest donnée par

F,G =⟨

∂F

∂x, J

∂G

∂x

⟩=

∑

i,j

Jij∂F

∂xi

∂G

∂xj.

Nous avons ainsi une caractérisation complète du champ de vecteurs hamiltonien

dx (t)dt

= XH (x (t)) = J∂H

∂x, x ∈ M, (2.3)

où H : M −→ R, est une fonction de classe C∞ (l'hamiltonien) et J = J (x) est unematrice antisymétrique satisfaisant à l'identité de Jacobi.

Exemple 75 Si nous nous plaçons dans le cas où

J =(

O −II O

),

avec O (resp. I) la matrice nulle (resp. unité) d'ordre n, alors la condition (voirproposition précédente) sur J est trivialement remplie. En eet, ici la matrice J nedépend pas des variables xi et nous avons

H,F =2n∑

i=1

∂H

∂xi

2n∑

j=1

Jij∂F

∂xj,

=n∑

i=1

(∂H

∂xn+i

∂F

∂xi− ∂H

∂xi

∂F

∂xn+i

).

8Toutes les structures symplectiques sur des variétés de dimension donnée sont localement équi-valentes.


Nous retrouvons ainsi la dénition première du crochet de Poisson que l'on ren-contre dans le formalisme hamiltonien classique. En outre, les équations (2.3) setransforment immédiatement en un système de n équations diérentielles :

dq1

dt=

∂H

∂p1,

...dqn

dt=

∂H

∂pn,

dp1

dt= −∂H

∂q1,

...dpn

dt= −∂H

∂qn,

où q1 = x1, . . . , qn = xn, p1 = xn+1, . . . , pn = x2n.Telles sont les équations de Hamilton, appelées aussi équations canoniques ; elles

montrent qu'il sut de connaître la fonction hamiltonienne H pour déterminer leséquations du mouvement. On les interprète souvent en considérant que les variablespk et qk sont les coordonnées d'un point qui se meut dans un espace à 2n dimensions,appelé espace de phase. Le ot associé au système ci-dessus laisse évidemment inva-riante chaque hypersurface d'énergie constante H = c.

2.5 Le théorème d'Arnold-Liouville et la complète intégrabilité dessystèmes hamiltoniens

Le théorème d'Arnold-Liouville joue un rôle crucial dans l'étude des systèmesintégrables. Il permet, entre autres, d'étudier la situation topologique suivante : si lesvariétés invariantes sont compactes et connexes, alors elles sont diéomorphes auxtores réels sur lequels le ot de phase détermine un mouvement quasi-périodique.Les équations du problème à étudier sont intégrables par quadratures c'est-à-dire lessolutions exactes s'expriment par un nombre ni de calculs d'intégrales et d'autresopérations algébriques. En outre, le théorème en question montre un comportementtrès régulier des solutions.

Théorème 76 Considérons le système hamiltonien (2.3) associé à la fonction H surla variété M de dimension m = 2n. On suppose que ce système admet n intégralespremières H1 = H, H2, ..., Hn, en involution, i.e.,

Hi,Hj = 0, 1 ≤ i, j ≤ n,

et fonctionnellement indépendantes, i.e.,dH1 ∧ . . . ∧ dHn 6= 0,

en tous les points d'un ouvert dense de M . Si les variétés invariantes

Mc ≡n⋂

i=1

x ∈ M : Hi (x) = ci, c = (ci) ∈ Rn ,


sont compactes et connexes, alors elles sont diéomorphes au tore réel Rn/reseau.

Démonstration : Par hypothèse la variété Mc est compacte et connexe. Donc d'aprèsle théorème 69, il sut de montrer que Mc est diérentiable, de dimension n et qu'elleest munie de n champs de vecteurs commutatifs. La diérentiabilité de cette variétédécoule de l'indépendance des vecteurs J ∂H1

∂x , . . . , J ∂Hn∂x . Comme m = 2n, alors les

intégrales premières Hi (x1, ..., x2n) , 1 ≤ i ≤ 2n, sont des fonctions des variablesx1, ..., xn, xn+1, ..., x2n. Dès lors,

dim x ∈ M : Hi = ci = 2n− 1,

dim (x ∈ M : Hi = ci ∩ x ∈ M : Hj = cj) = 2n− 2, i 6= j,

et donc dimMc = n. Soient Xi et Xj , 1 ≤ i, j ≤ n, des champs de vecteurs diéren-tiables (de classe C∞) sur M, donc sur la variété Mc aussi. Dénissons l'opérateurdiérentiel LX par

LX : C∞ (Mc) −→ C∞ (Mc) ,

avec F 7−→ LXF telle que :

LXF (x) =d

dtF

(gtX(x)

)∣∣∣∣t=0

, x ∈ Mc.

On a

LXiF = F,Hi ,

LXjLXiF = F, Hi ,Hj ,

et

LXiLXjF − LXjLXiF = F,Hj ,Hi − F, Hi ,Hj ,

= −Hj , F ,Hi − F, Hi ,Hj ,

= Hi,Hj , F ,

en vertu de l'identité de Jacobi. Comme Hi et Hj sont en involution, alors Hi,Hj =0 et par conséquent

[LXi , LXj

]= 0. ¤

Quitte à se restreindre à un ouvert invariant, on pourra toujours supposer queles bres de Mc ( c étant une valeur régulière) sont connexes.

Une des conséquences du théorème d'Arnold-Liouville, est l'importante notion decomplète intégrabilité du système (2.3). Nous allons distinguer deux cas :

a) 1ercas : det J 6= 0. Le rang de la matrice J est pair 9, m = 2n. On dit que lesystème (2.3) est Liouville-intégrable ou complètement intégrable s'il possède n inté-grales premières H1 = H,H2, ...,Hn, fonctionnellement indépendantes en involution.

9En eet, soit λ la valeur propre associée au vecteur propre Z. On a

JZ = λZ, Z 6= 0,

etZ∗JZ = λZ∗Z, Z∗ ≡ Z

>,


D'après le théorème d'Arnold-Liouville, si pour presque tous les ci ∈ R les variétésinvariantes

n⋂

i=1

x ∈ R2n : Hi (x) = ci

,

sont compactes et connexes, alors elles sont diéomorphes aux tore réel

Tn = Rn/reseau = (ϕ1, ..., ϕn) mod. 2π .

En outre les ots gtXi

(x) dénis par les champs de vecteurs XHi , 1 ≤ i ≤ n, sontdes mouvements rectilignes. Ces ots déterminent sur Tn un mouvement quasi-périodique, c'est-à-dire qu'en coordonnées angulaires ϕ1, ..., ϕn, on a

dϕk

dti= Hi, ϕk = ωi(c), ωi(c) = constantes.

Les équations du problème sont intégrables par quadratures.b) 2emecas : det J = 0. Dans ce cas, on réduit le problème à m = 2n + k et on

cherche k intégrales premières Hn+1, ...,Hn+k, dites triviales ou fonctions de Casimirtelles que :

J∂Hn+i

∂x= 0, 1 ≤ i ≤ k.

Puis ce qui a été dit dans a) s'applique ici pour la variété(

k⋂

i=1

x : Hn+i (x) = cn+i)∩ Rm,

de dimension m− k = 2n. Si les mêmes conditions sont remplies, alors les variétés

n+k⋂

i=1

x ∈ Rm : Hi (x) = ci ,

sont diéomorphes au tore réel de dimension n.

d'oùλ =

Z∗JZ

Z∗Z.

Comme J = J et J> et J> = −J , alors

Z∗JZ = Z>JZ = Z>JZ = (Z>JZ)> = Z∗J>Z = −Z∗JZ,

ce qui implique que Z∗JZ est soit nulle, soit imaginaire pur. Comme Z∗Z est réel, il s'ensuit quetoutes les valeurs propres de J sont soit nulles, soit imaginaires pures. Or JZ = λZ, donc si λ estune valeur propre, alors λ l'est également. Par conséquent, les valeurs propres (non nulles) de Jviennent par paires, d'où le résultat.


2.6 Rotation d'un solide autour d'un point xeL'un des problèmes les plus fondamentaux de la mécanique est l'étude du mouve-

ment de rotation d'un corps solide autour d'un point xe. Les équations diérentiellesde ce problème s'écrivent sous la forme

dM

dt= M ∧ Ω + µg Γ ∧ L, (2.4)

dΓdt

= Γ ∧ Ω,

où ∧ est le produit vectoriel dans R3, M = (m1, m2,m3) le moment angulaire dusolide, Ω =

(m1I1

, m2I2

, m3I3

)la vitesse angulaire, I1, I2 et I3, les moments d'inertie,

Γ = (γ1, γ2, γ3) le vecteur vertical unitaire, µ la masse du solide, g l'accélérationde la pesanteur, et enn, L = (l1, l2, l3) le vecteur unitaire ayant pour origine lepoint xe et dirigé vers le centre de gravité ; tous ces vecteurs sont considérés dansun système mobile dont les coordonnées sont xées aux axes principaux d'inertie.L'espace de conguration d'un solide avec un point xe est le groupe des rotationsSO (3). Celui-ci étant engendré par les sous groupes à un paramètre des rotations del'espace à trois dimensions,

A1 =

1 0 00 cos t − sin t0 sin t cos t

,

A2 =

cos t 0 sin t0 1 0

− sin t 0 cos t

,

A3 =

cos t − sin t 0sin t cos t 00 0 1

.

Rappelons que c'est le groupe des matrices orthogonales A d'ordre trois et le mou-vement de ce solide est décrit par une courbe sur ce groupe. L'espace des vitessesangulaires de toutes les rotations (i.e., l'ensemble des dérivées d

dtA(t)∣∣t=0

des courbesdiérentiables dans SO(3) passant par l'identité en t = 0 : A(0) = I) est l'algèbrede Lie du groupe SO (3) ; c'est l'algèbre so(3) des matrices antisymétriques d'ordretrois. Cette algèbre est engendrée comme espace vectoriel par les matrices

e1 =d

dtA1(t)

∣∣∣∣t=0

=

0 0 00 0 −10 1 0

,

e2 =d

dtA2(t)

∣∣∣∣t=0

=

0 0 10 0 0−1 0 0

,

e3 =d

dtA3(t)

∣∣∣∣t=0

=

0 −1 01 0 00 0 0

,


qui vérient les relations de commutation

[e1, e2] = e3, [e2, e3] = e1, [e3, e1] = e2.

On utilisera dans la suite le fait que si l'on identie (voir lemme 8) so (3) à R3 enenvoyant (e1, e2, e3) sur la base canonique de R3, le crochet de so (3) correspond auproduit vectoriel. En d'autres termes, considérons l'application

R3 −→ so(3), a = (a1, a2, a3) 7−→ A =

0 −a3 a2

a3 0 −a1

−a2 a1 0

,

laquelle dénit un isomorphisme entre les algèbres de Lie(R3,∧)

et (so(3), [, ]) où

a ∧ b 7−→ [A,B] = AB −BA.

En utilisant cet isomorphisme, on peut réecrire le systéme (2.4) sous la formedM

dt= [M, Ω] + µg [Γ, L] ,

dΓdt

= [Γ, Ω] ,

où

M = (Mij)1≤i,j≤3 ≡3∑

i=1

miei ≡

0 −m3 m2

m3 0 −m1

−m2 m1 0

∈ so (3) ,

Ω = (Ωij)1≤i,j≤3 ≡3∑

i=1

ωiei ≡

0 −ω3 ω2

ω3 0 −ω1

−ω2 ω1 0

∈ so (3) ,

Γ = (γij)1≤i,j≤3 ≡3∑

i=1

γiei ≡

0 −γ3 γ2

γ3 0 −γ1

−γ2 γ1 0

∈ so (3) ,

et

L =

0 −l3 l2l3 0 −l1−l2 l1 0

∈ so (3) ,

En tenant compte du fait que M = IΩ, alors les équations pécédentes deviennentdM

dt= [M, ΛM ] + µg [Γ, L] , (2.5)

dΓdt

= [Γ, ΛM ] ,

où

ΛM = (ΛijMij)1≤i,j≤3 ≡3∑

i=1

λimiei ≡

0 −λ3m3 λ2m2

λ3m3 0 −λ1m1

−λ2m2 λ1m1 0

∈ so (3) ,


avec λi ≡ 1Ii.

La résolution de ce problème a été analysée en premier lieu par Euler et en1758, il a publié [5] les équations (cas µ = 0) qui portent son nom. Les équationsd'Euler ont été intégrées par Jacobi [9] en termes de fonctions elliptiques et vers1851, Poinsot [21] leurs donna une interprétation géométrique remarquable. Avant,vers 1815 Lagrange avait trouvé un autre cas (I1 = I2, l1 = l2 = 0) d'intégrabilité,que Poisson a longuement examiné par la suite. Le problème continua d'attirer desmathématiciens mais durant une longue période, aucun résultat nouveau n'a puêtre obtenu. C'est alors vers 1888 que t son apparition un mémoire [10] du plushaut intérêt, contenant un nouveau cas (I1 = I2 = 2I3, l3 = 0) d'intégrabilitédù à Kowalewski. Pour ce remarquable travail, cette dame obtint le prix Bordinde l'académie des sciences de Paris. En fait, bien que le travail de Kowalewski esttout à fait important, on n'y voit pas du tout pourquoi il n'y aurait pas d'autrescas nouveaux d'intégrabilité. Cela, devait constituer le point de départ d'une sériede recherches acharnées sur la question d'existence de cas nouveaux d'intégrabilité.D'ailleurs parmi les résultats remarquables obtenus par Poincaré à l'aide des solutionspériodiques des équations de la dynamique se trouve le suivant (vers 1891) : pourqu'il existe, dans le mouvement d'un corps solide pesant autour d'un point xe, uneintégrale première algébrique ne se réduisant pas à une combinaison des intégralesclassiques, il est nécessaire que l'ellipsoïde d'inertie relatif au point de suspensionsoit de révolution. Il fallait attendre l'an 1906, quand Husson [8], travaillant sous ladirection d'Appell et de Painlevé, a le premier réglé complètement cette question derecherche de nouveaux cas d'intégrabilité. S'inspirant des recherches de Poincaré surle problème des trois corps et de Painlevé sur la généralisation du théorème de Bruns,Husson démontra que toute intégrale algébrique est une combinaison des intégralesclassiques sauf dans les cas d'Euler, de Lagrange et de Kowalewski.

Cas d'Euler :Dans ce cas, on a

l1 = l2 = l3 = 0,

c'est-à-dire le point xe est son centre de gravité. Autrement dit, Les équationsd'Euler10 du mouvement de rotation d'un solide autour d'un point xe, pris commeorigine du repère lié au solide, lorsqu'aucune force extérieure n'est appliquée ausystème, peuvent s'écrire sous la forme

dM

dt= [M, ΛM ] , (2.6)

ou sous forme explicite

dm1

dt= (λ3 − λ2)m2m3,

dm2

dt= (λ1 − λ3)m1m3, (2.7)

dm3

dt= (λ2 − λ1)m1m2,

10On parle aussi de mouvement d'Euler-Poinsot du solide


ou encore sous forme d'un champ de vecteurs hamiltonien

dx

dt= J

∂H

∂x, x = (m1, m2,m3)

| ,

avecH =

12

(λ1m

21 + λ2m

22 + λ3m

23

),

l'hamiltonien et

J =

0 −m3 m2

m3 0 −m1

−m2 m1 0

∈ so (3) .

On a det J = 0, donc m = 2n + k et m − k = rg J. Ici m = 3, rg J = 2 carJ est antisymétrique, donc n = k = 1. Pour l'étude de la complète intégrabilitéde ce système, il nous faut donc trouver deux intégrales premières. La première estconnue puisque c'est H1 = H. Pour déterminer la deuxième intégrale première H2, onprocède comme suit : On sait que H2 est triviale et doit donc satisfaire à J ∂H2

∂x = 0,c'est-à-dire

0 −m3 m2

m3 0 −m1

−m2 m1 0

∂H2∂m1∂H2∂m2∂H2∂m3

=

000

.

D'où∂H2

∂m1= m1,

∂H2

∂m2= m2,

∂H2

∂m3= m3,

et par conséquentH2 =

12

(m2

1 + m22 + m2

3

).

Nous avons réduit le problème àx ∈ R3 : H2 (x) = c2

∩ R3 =x ∈ R3 : H2 (x) = c2

.

Autrement dit, la variété réduite est une sphère de dimension 2. Les conditions duthéorème d'Arnold-Liouville étant satisfaites, le système en question est complète-ment intégrable et le vecteur J ∂H

∂x donne un ot sur une variété

2⋂

i=1

x ∈ R3 : Hi (x) = ci

, ci ∈ R,

diéomorphe à un tore réel de dimension 1 c'est-à-dire un cercle.Passons maintenant à la résolution explicite. On vient de voir que les équations

admettent deux intégrales premières quadratiques :

H1 =12

(λ1m

21 + λ2m

22 + λ3m

23

),

etH2 =

12

(m2

1 + m22 + m2

3

).


Nous supposerons que λ1, λ2, λ3 sont tous diérents de zero11. Dans ces conditions,H1 = 0 entraine m1 = m2 = m3 = 0 et donc H2 = 0 ; le solide est au repos. Nousécartons ce cas trivial et supposons dorénavant que H1 6= 0 et H2 6= 0. Lorsqueλ1 = λ2 = λ3, les équations (2.7) montrent évidemment que m1, m2 et m3 sont desconstantes. Supposons par exemple que λ1 = λ2, les équations (2.7) s'écrivent alors

dm1

dt= (λ3 − λ1)m2m3,

dm2

dt= (λ1 − λ3)m1m3,

dm3

dt= 0.

On déduit alors que m3 = constante ≡ A et

dm1

dt= A (λ3 − λ1) m2,

dm2

dt= A (λ1 − λ3) m1.

Notons qued

dt(m1 + im2) = iA(λ1 − λ3)(m1 + im2),

on obtientm1 + im2 = CeiA(λ1−λ3)t,

où C est une constante et donc

m1 = C cosA(λ1 − λ3)t,m2 = C sinA(λ1 − λ3)t,

L'intégration des équations d'Euler est délicate dans le cas général où λ1, λ2 et λ3

sont tous diérents ; les solutions s'expriment à l'aide de fonctions elliptiques. Dansla suite nous supposerons que λ1, λ2 et λ3 sont tous diérents et nous écartons lesautres cas triviaux qui ne posent aucune diculté pour la résolution des équationsen question. Pour xer les idées nous supposerons dans la suite que : λ1 > λ2 > λ3.Géométriquement, les équations

λ1m21 + λ2m

22 + λ3m

23 = 2H1, (2.8)

etm2

1 + m22 + m2

3 = 2H2 ≡ r2, (2.9)représentent respectivement les équations de la surface d'un ellipsoide de demi-axes :√

2H1λ1

(demi grand axe),√

2H1λ2

(demi axe moyen),√

2H1λ3

(demi petit axe), et d'unesphère de rayon r. Donc le mouvement du solide s'eectue sur l'intersection d'un

11C'est-à-dire que le solide n'est pas réduit à un point et n'est pas non plus concentré sur unedroite.


ellipsoide avec une sphère. Cette intersection a un sens car en comparant (2.8) à (2.9),on voit que 2H1

λ1< r2 < 2H1

λ3, ce qui signie géométriquement que le rayon de la sphère

(2.9) est compris entre le plus petit et le plus grand des demi-axes de l'ellipsoïde (2.8).Pour étudier l'allure des courbes d'intersection de l'ellipsoïde (2.8) avec la sphère(2.9), xons H1 > 0 et faisons varier le rayon r. Comme λ1 > λ2 > λ3, les demi-axesde l'ellipsoïde seront 2H1

λ1> 2H1

λ2> 2H1

λ3. Si le rayon r de la sphère est inférieur au demi

petit axe 2H1λ3

ou supérieur au demi grand axe 2H1λ1

, alors l'intersection en questionest vide ( et aucum mouvement réel ne correspond à ces valeurs de H1 et r). Lorsquele rayon r est égal à 2H1

λ3, alors l'intersection est composée de deux points. Lorsque le

rayon r augmente(

2H1λ3

< r < 2H1λ2

), on obtient deux courbes autour des extrémités

du demi petit axe. De même si r = 2H1λ1

, on obtient les deux extrémités du demigrand axe et si r est légérement inférieur à 2H1

λ1, on obtient deux courbes fermées

au voisinage de ces extrémités. Enn, si r = 2H1λ2

alors l'intersection en question estconstituée de deux cercles.

Théorème 77 Les équations diérentielles (2.7) d'Euler, s'intégrent au moyen defonctions elliptiques de Jacobi.

Démonstration : A partir des intégrales premières (2.8) et (2.9), on exprime m1 etm3 en fonction de m2. On introduit ensuite ces expressions dans la seconde équationdu système (2.7) pour obtenir une équation diérentielle en m2 et dm2

dt seulement.De manière plus détaillée, on tire aisément de (2.8) et (2.9) les relations suivantes

m21 =

2H1 − r2λ3 − (λ2 − λ3) m22

λ1 − λ3, (2.10)

m23 =

r2λ1 − 2H1 − (λ1 − λ2) m22

λ1 − λ3. (2.11)

En substituant ces expressions dans la seconde équation du système (5.4), on obtient

dm2

dt=

√(2H1 − r2λ3 − (λ2 − λ3) m2

2)(r2λ1 − 2H1 − (λ1 − λ2) m22).

En intégrant cette équation, on obtient une fonction t(m2) sous forme d'une intégraleelliptique. Pour réduire celle-ci à la forme standard, on peut supposer que r2 > 2H1

λ2

(sinon, il sut d'intervertir les indices 1 et 3 dans toutes les formules précédentes).On réecrit l'équation précédente, sous la forme

dm2√(2H1 − r2λ3)(r2λ1 − 2H1)dt

=√

(1− λ2 − λ3

2H1 − r2λ3m2

2)(1−λ1 − λ2

r2λ1 − 2H1m2

2).

En posant

τ = t√

(λ2 − λ3)(r2λ1 − 2H1),

s = m2

√λ2 − λ3

2H1 − r2λ3,


on obtientds

dτ=

√(1− s2)(1− (λ1 − λ2)(2H1 − r2λ3)

(λ2 − λ3)(r2λ1 − 2H1)s2),

ce qui suggère de choisir comme module des fonctions elliptiques

k2 =(λ1 − λ2)(2H1 − r2λ3)(λ2 − λ3)(r2λ1 − 2H1)

.

Les inégalités λ1 > λ2 > λ3, 2H1λ1

< r2 < 2H1λ3

et r2 > 2H1λ2

montrent qu'eectivement0 < k2 < 1. On obtient donc

ds

dτ=

√(1− s2)(1− k2s2).

Cette équation admet la solution12

τ =∫ s

0

ds√(1− s2)(1− k2s2)

.

C'est l'intégrale d'une diérentielle holomorphe sur une courbe elliptique

E : w2 = (1− s2)(1− k2s2).

La fonction inverse s(τ) constitue l'une des fonctions elliptiques de Jacobi : s = snτ,qui détermine également m2 en fonction du temps, i.e.,

m2 =

√2H1 − r2λ3

λ2 − λ3· snτ.

D'après les égalités (2.10) et (2.11), on sait que les fonctions m1 et m3 s'exprimentalgébriquement à l'aide de m2, donc

m1 =

√2H1 − r2λ3

λ1 − λ3·√

1− sn2τ ,

et

m3 =

√r2λ1 − 2H1

λ1 − λ3·√

1− k2sn2τ .

Compte tenu de la dénition des deux autres fonctions elliptiques (voir [13])

cnτ =√

1− sn2τ , dnτ =√

1− k2sn2τ ,

et du fait queτ = t

√(λ2 − λ3)(r2λ1 − 2H1),

12On convient de choisir l'origine des temps telle que m2 = 0 pour t = 0.


on obtient nalement les formules explicites suivantes :

m1 =

√2H1 − r2λ3

λ1 − λ3cn(t

√(λ2 − λ3)(r2λ1 − 2H1)),

m2 =

√2H1 − r2λ3

λ2 − λ3sn(t

√(λ2 − λ3)(r2λ1 − 2H1)), (2.12)

m3 =

√r2λ1 − 2H1

λ1 − λ3dn(t

√(λ2 − λ3)(r2λ1 − 2H1)).

Autrement dit, l'intégration des équations d'Euler s'eectue au moyen de fonctionselliptiques de Jacobi. ¤

Remarque 78 Notons que pour λ1 = λ2, on a k2 = 0. Dans ce cas, les fonctionselliptiques snτ, cnτ,dnτ se réduisent respectivement aux fonctions sin τ, cos τ, 1. Dèslors de (2.12), on tire aisément que

m1 =

√2H1 − r2λ3

λ1 − λ3cos

√(λ1 − λ3)(r2λ1 − 2H1)t,

m2 =

√2H1 − r2λ3

λ1 − λ3sin

√(λ1 − λ3)(r2λ1 − 2H1)t,

m3 =

√r2λ1 − 2H1

λ1 − λ3.

On retrouve les solutions établies précédemment avec

A =

√r2λ1 − 2H1

λ1 − λ3, C =

√2H1 − r2λ3

λ1 − λ3.

Cas de Lagrange :Dans ce cas, on a

I1 = I2, l1 = l2 = 0.

Il n'est pas dicile de montrer que dans ce cas aussi, l'intégration s'eectue à l'aidede fonctions elliptiques.

Cas de Kowalewski :Dans ce cas, on a

I1 = I2 = 2I3, l3 = 0.

L'étude de ce cas est compliquée. Le système diérentiel (2.5), s'écrit explicitement


sous la forme.m1 = m2m3,.m2 = −m1m3 + 2γ3,.m3 = −2γ2, (2.13).γ1 = 2m3γ2 −m2γ3,.γ2 = m1γ3 − 2m3γ1,.γ3 = m2γ1 −m1γ2,

où, sans restreindre la généralité, nous avons choisi l2 = 0, µgl1 = 1, I3 = 1 et nousavons utilisé la substitution t → 2t. Ces équations s'écrivent sous forme d'un champde vecteurs hamiltonien

dx

dt= J

∂H

∂x, x = (m1,m2,m3, γ1, γ2, γ3)|,

avecH =

12

(m2

1 + m22

)+ m2

3 + 2γ1,

l'hamiltonien et

J =

0 −m3 m2 0 −γ3 γ2

m3 0 −m1 γ3 0 −γ1

−m2 m1 0 −γ2 γ1 00 −γ3 γ2 0 0 0γ3 0 −γ1 0 0 0−γ2 γ1 0 0 0 0

Le système ci-dessus admet quatre intégrales premières

H1 ≡ H,

H2 = m1γ1 + m2γ2 + m3γ3, (2.14)H3 = γ2

1 + γ22 + γ2

3 ,

H4 =

((m1 + im2

2

)2

− (γ1 + iγ2)

)((m1 − im2

2

)2

− (γ1 − iγ2)

).

La quatrième intégrale première a été obtenue par Kowalewski [10]. Les intégralespremières H1 et H4 sont en involution,

H1,H4 = 〈∂H1

∂x, J

∂H4

∂x〉 = 0,

tandis que H1 et H3 sont triviaux,

J∂H2

∂x= J

∂H3

∂x= 0.

Soit

Mc =4⋂

k=1

x : Hk (x) = ck , (2.15)


la variété ane dénie par l'intersection des quatre constantes du mouvenent oùc = (c1, c2, c3 = 1, c4) n'est pas une valeur critique. Dans le théorème ci-dessous, onutilisera avec Kowalewski les notations suivantes : c1 = 6h1, c2 = 2h2 et c4 = k2.

Théorème 79 a) Soit

(m1,m2,m3, γ1, γ2, γ3) 7−→ (x1, x2,m3, y1, y2, γ3),

une transformation biunivoque de la variété ane Mc où

x1 =12(m1 + im2),

x2 =12(m1 − im2), (2.16)

y1 = x21 − (γ1 + iγ2) ,

y2 = x22 − (γ1 − iγ2) .

Alors, le quotient Mc/σ par l'involution

σ : Mc −→ Mc (x1, x2,m3, y1, y2, γ3) 7−→ (x1, x2,−m3, y1, y2,−γ3) , (2.17)

est une surface K de Kummer

K :

y1y2 = k2,y1R(x2) + y2R(x1) + R1 (x1, x2) + k2(x1 − x2)2 = 0,

(2.18)

oùR(x) = −x4 + 6h1x

2 − 4h2x + 1− k2, (2.19)est un polynôme de degré 4 en x et

R1(x1, x2) = −6h1x21x

22 + 4h2x1x2 (x1 + x2) (2.20)

− (1− k2

)(x1 + x2)

2 + 6h1

(1− k2

)− 4h22,

un autre polynôme de degré 2 en x1, x2. Les points de ramication de Mc sur K sontdonnés par les points xes de l'involution σ et sont en nombre de 8.

b) La surface K est un revêtement double du plan (x1, x2), ramié le long dedeux courbes elliptiques se coupant exactement aux 8 points xes de l'involution σ.Ces courbes donnent lieu à l'équation diérentielle d'Euler

dx1√R(x1)

± dx2√R(x2)

= 0,

à laquelle se trouvent liés les variables de Kowalewski

s1 =R (x1, x2)−

√R(x1)

√R(x2)

(x1 − x2)2 + 3h1,

s2 =R (x1, x2) +

√R(x1)

√R(x2)

(x1 − x2)2 + 3h1,


oùR(x1, x2) ≡ −x2

1x22 + 6h1x1x2 − 2h2(x1 + x2) + 1− k2, (2.21)

et peuvent être vues comme étant des formules d'addition pour la fonction elliptiquede Weierstrass.

c) En termes des variables s1 et s2, le système (2.13) devient

ds1√P5(s1)

± ds2√P5(s2)

= 0,

s1ds1√P5(s1)

± s2ds2√P5(s2)

= dt,

où P5(s) est un polynôme de cinquième degré et l'intégration s'eectue au moyen desfonctions hyperelliptiques de genre 2.

Démonstration : a) En utilisant le changement de variables (2.16), les équations(2.13) et (2.14) deviennent

.x1 = m3x1 − γ3,.x2 = −m3x2 + γ3,.m3 = −x2

1 + y1 + x22 − y2, (2.22)

.y1 = 2m3y1,.y2 = −2m3y1,.γ3 = x1(x2

2 − y2)− x2(x21 − y1),

et

y1y2 = k2,

m23 = 6h1 + y1 + y2 − (x1 + x2)2,

m3γ3 = 2h2 + x1y2 + x2y1 − x1x2(x1 + x2), (2.23)γ23 = 1− k2 + x2

1y2 + x22y1 − x2

1x22.

Notons que

σ : Mc −→ Mc (x1, x2,m3, y1, y2, γ3) 7−→ (x1, x2,−m3, y1, y2,−γ3) ,

est une involution sur Mc et que le quotient Mc/σ est une surface K de Kummer(2.18). Les points de ramication de Mc sur K sont donnés par les points xes del'involution σ. Pour déterminer ces points, on substitue m3 = γ3 = 0 dans le système(2.22) et on obtient

y1y2 = k2, (2.24)y1 + y2 = (x1 + x2)2 − 6h1, (2.25)

x2y1 + x1y2 = x1x2(x1 + x2)− 2h2, (2.26)x2

2y1 + x21y2 = x2

1x22 + k2 − 1. (2.27)


A partir des équations (2.25) et (2.27), on exprime y1 et y2 en fonction de x1 et x2.Ensuite, on remplace les expressions trouvées dans les équations (2.24) et (2.26). Onobtient

R(x1, x2) ≡ −x21x

22 + 6h1x1x2 − 2h2(x1 + x2) + 1− k2 = 0,

S(x1, x2) ≡ (x4

1 + 2x31x2 − 6h1x

21 + 1− k2

) (x4

2 + 2x1x32 − 6h1x

22 + 1− k2

)

+k2(x21 − x2

2)2 = 0.

Ces polynômes ont un facteur commun non nul si et seulement si le résultant Rés(R, S)des polynômes f et g est nul. On a

Rés(R, S) = −x101

[x4

1 + 6h1

(k2 − 1

)x2

1 +(k2 − 1

)2]2

.

Comme x1 = 0 est à exclure, la seule possibilité qui reste pour que Rés(R, S) = 0, cesont les 8 racines du polynôme (x4

1 + 6h1

(k2 − 1

)x2

1 +(k2 − 1

)2)2. Autrement dit,R et S s'intersectent aux 4 points doubles suivants :

√1− k2

2

(√(3h1 − 1)±

√(3h1 + 1)

), −

√1− k2

2

(√3h1 − 1∓

√3h1 + 1

).

b) Des équations (2.18), on déduit

y1 =−1

2R(x2)(R1(x1, x2) + k2(x1 − x2)2 + ∆

),

y2 =−1

2R(x1)(R1(x1, x2) + k2(x1 − x2)2 −∆

),

où∆2 =

(R1(x1, x2) + k2(x1 − x2)2

)2 − 4k2R(x1)R(x2) ≡ P (x1, x2).

Par conséquent, la surface K est un revêtement double de C2, ramié le long de lacourbe

C : P (x1, x2) = 0.

Le polynôme P (x1, x2) peut s'écrire sous la forme d'un produit de deux polynômes enx1, x2 que l'on note P (x1, x2, k) et P (x1, x2,−k). Ces polynômes sont symétriques,de degré 2 en chacune des variables x1, x2 et sont explicitement donnés par

P (x1, x2, k) = a(x1)x22 + 2b(x1)x2 − c(x1),

= a(x2)x21 + 2b(x2)x1 − c(x2),

où

a(x) = −2(k + 3h1)x2 + 4h2x− 1,

b(x) = 2h2x2 + (2k(k + 3h1)− 1)x− 2h2k,

c(x) = x2 + 4h2kx + 2(k2 − 1)(k + 3h1) + 4h22,


tandis que le polynôme P (x1, x2,−k) s'obtient de P (x1, x2, k) après avoir remplacék par −k. Notons que la courbe

C1 : P (x1, x2, k) = 0,

est elliptique :

x2 =−b(x1)±

√2(k + 3h1)− 4h2

2

√R(x1)

a(x1),

x2 =−b(x2)±

√2(k + 3h1)− 4h2

2

√R(x2)

a(x2),

où le polynôme R(x) est donné par (6.16). De même, la courbe

C2 : P (x1, x2,−k) = 0,

est aussi elliptique et on remarque que les deux courbes C1 et C2 se coupent exac-tement aux 8 points xes de l'involution σ. En diérentiant l'une des équationssymétriques dénissant les courbes C1 et C2, par exemple P (x1, x2, k) = 0, on obtient

∂P

∂x1x1 +

∂P

∂x2x2 = 0,

où∂P

∂x1= ±2

√2(k + 3h1)− 4h2

2

√R(x2),

∂P

∂x1= ±2

√2(k + 3h1)− 4h2

2

√R(x1),

et par conséquentx1√R(x1)

± x2√R(x2)

= 0. (2.28)

Puisque R(x1) et R(x2) sont deux polynômes du quatrième degré et ont même coef-cients, alors l'équation (2.28) n'est autre que l'équation d'Euler. D'après la théoriegénérale [7], l'intégrale de l'équation (2.28) peut s'écrire sous diérentes formes dontcelles-ci :

(i)R1(x1, x2) + 2sR(x1, x2)− s2(x1 − x2)2 = 0,

où R1(x1, x2) est donné par (2.20) et peut encore s'écrire sous la forme

R1(x1, x2) =R(x1)R(x2)−R2(x1, x2)

(x1 − x2)2,

où R(x) est donné par (2.19) et R(x1, x2) par (2.21).(ii) ou sous forme irrationnelle

R(x1, x2)∓√

R(x1)√

R(x2)(x1 − x2)2

+ 3h1 = s, (2.29)

≡

s1 pour le signe−s2 pour le signe+


Le polynôme R(x) étant de degré 4, on peut toujours le ramener à la forme 4x3 −g2x − g3 où g2 et g3 sont des constantes. Dès lors, la formule (2.29) peut être vuecomme étant la formule d'addition pour la fonction elliptique ℘ de Weierstrass :

2℘(u + v) =(℘(u) + ℘(v))

(2℘(u)℘(v)− 1

2g2

)− g3 − ℘′(u)℘′(v)

(℘(u) + ℘(v))2,

avec℘′2(u) =

(d℘

du

)2

= 4℘3 − g2℘− g3,

et ℘(u) = x, ℘(v) = y, ℘′2(u) = R(x), ℘′2(v) = R(y), R(x) = 4x3 − g2x − g3,2℘(u + v) = s, g2 = k2 − 1 + 3h2

1 et g3 = h1(k2 − 1− h21) + h2

2.c) En dehors du lieu de branchement de la surface K sur C2, l'équation d'Euler

n'est pas identiquement nulle et peut s'écrire sous la forme

x1√R(x1)

+x2√R(x2)

=s1√

4s31 − g2s1 − g3

6= 0,

x1√R(x1)

− x2√R(x2)

=s2√

4s32 − g2s2 − g3

6= 0.(2.30)

Des équations (2.23), on déduit que

(m3x1 − γ3)2 = R(x1) + (x1 − x2)2y1,

(m3x2 − γ3)2 = R(x2) + (x1 − x2)2y2,

(m3x1 − γ3)(m3x2 − γ3) = R(x1, x2),

et d'après (6.19), on trouve

x21 = R(x1) + (x1 − x2)2y1,

x22 = R(x2) + (x1 − x2)2y2.

Et compte tenu de (2.18) et (2.30), on obtient

s21

4s31 − g2s1 − g3

=

(x1√R(x1)

+x2√R(x2)

)2

,

=(x1 − x2)4

R(x1)R(x2)

[(R(x1, x2)−

√R(x1)

√R(x2)

(x1 − x2)2

)− k2

],

= 4(s1 − 3h1)2 − k2

(s1 − s2).

De même, on obtient

s22

4s32 − g2s2 − g3

=

(x1√R(x1)

− x2√R(x2)

)2

,

= 4(s2 − 3h1)2 − k2

(s2 − s1).


En termes des variables s1 et s2, le système (2.13) devients1√P (s1)

+s2√P (s2)

= 0,

s1s1√P (s1)

+s2s2√P (s2)

= idt,

oùP5(s) = ((s− 3h1)2 − k2)(4s3 − g2s− g3),

est un polynôme de degré cinq. Ces équations sont intégrables par la transformationd'Abel

H −→ Jac(H) = C2/Λ, p 7−→(∫ p

p0

θ1,

∫ p

p0

θ2

),

où H est la courbe hyperelliptique de genre 2 associée à l'équation

w2 = P5 (s) ,

Λ est le réseau engendré par les vecteurs n1 + Ωn2, (n1, n2) ∈ Z2, Ω est la matricedes périodes de H, (θ1, θ2) est une base de diérentielles holomorphes sur H, i.e.,

θ1 =ds√P5 (s)

, θ2 =sds√P5 (s)

,

et p0 est un point xé sur H. ¤

2.7 Potentiel quartique, système de GarnierConsidérons le hamiltonien

H =12

(x2

1 + x22

)− 12

(λ1y

21 + λ2y

22

)+

14

(y21 + y2

2

)2, (2.31)

où λ1 et λ2 sont des constantes. Le système correspondant est donné pardy1

dt= x1,

dy2

dt= x2, (2.32)

dx1

dt=

(λ1 − y2

1 − y22

)y1,

dx2

dt=

(λ2 − y2

2 − y21

)y2.

Proposition 80 Le système diérentiel (2.32) admet une paire de Lax de sorte quela fonction

H2 =14

((x1y2 − x2y1)

2 − (λ2y

41 + λ1y

42

)− (λ1 + λ2) y21y

22

)

+12

(λ1λ2

(y21 + y2

2

)− (λ2x

21 + λ1x

22

)).

est une intégrale première quartique et la linéarisation s'eectue sur la jacobienned'une courbe hyperelliptique de genre 2.


Démonstration : Nous allons montrer qu'il y a une autre intégrale première H2 quar-tique qui détermine avec H1 ≡ H (2.31), un système intégrable. Pour déterminerexplicitement cette intégrale première, on utilise la méthode de la courbe spectrale.Considérons la forme de Lax

d

dtA = [A,B] ,

où A et B sont des matrices à coecients dans une algèbre de Lie. Nous avonsdémontré précédemment que les coecients du polynôme caratéristique det(A−zI),ne dépendent pas du temps et ce sont des intégrales premières en involution. Enoutre, le ot se linéarise sur un tore algébrique complexe. Celui-ci étant engendrépar le réseau déni par la matrice des périodes de la courbe algébrique complexeprojective (ou courbe spectrale), d'équation ane

P (h, z) ≡ det (A− zI) = 0, (2.33)

et cette équation décrit une déformation isospectrale. Dans le cas de notre système,on choisit les matrices suivantes :

A =(

U VW −U

),

B =(

0 1R 0

),

où

V = −(h− λ1)(h− λ2)(

1 +12(

y21

h− λ1+

y22

h− λ2))

,

U =12(h− λ1)(h− λ2)

(x1y1

h− λ1+

x2y2

h− λ2

),

W = (h− λ1)(h− λ2)(

12(

x21

h− λ1+

x22

h− λ2)− h +

12(y2

1 + y22)

),

R = h− y21 − y2

2.

Explicitement, l'équation (2.33) fournit

H : z2 = P5 (h) , (2.34)= (h− λ1)(h− λ2)

(h3 − (λ1 + λ2)h2 + (λ1λ2 −H1)h−H2

),

avec H1 ≡ H donné dans (1) et

H2 = −14

(λ2y

41 + λ1y

42 + (λ1 + λ2)y2

1y22 − (x1y2 − x2y1)2

)

−12

(λ2x

21 + λ1x

22 − λ1λ2(y2

1 + y22)

).

On vérie aisément (calcul direct) que les deux intégrales premières H1 et H2 sonten involution :

H1,H2 =2∑

k=1

(∂H1

∂xk

∂H2

∂yk− ∂H1

∂yk

∂H2

∂xk

)= 0,


et que le système en question est intégrable. Le ot est donc linéaire dans la variétéjacobienne de la courbe d'équation ane (4). Le polynôme P5(h) étant de degré cinq,la courbe est de genre 2 et on a donc une linéarisation sur la jacobienne d'une courbehyperelliptique de genre 2. Introduisons deux coordonnées s1 et s2 sur la surfaceinvariante

Mc =2⋂

i=1

x ∈ C4 : Hi (x) = ci

,

telles que : Mc (si) = 0, λ1 6= λ2, i.e.,

s1 + s2 =12

(y21 + y2

2

)+ λ1 + λ2, (2.35)

s1s2 =12

(λ2y

21 + λ1y

22

)+ λ1λ2. (2.36)

Un calcul direct montre que :

ds1

dt= 2

√P5 (s1)

s1 − s2,

ds2

dt= 2

√P5 (s2)

s2 − s1,

où le polynôme P5 (s) est déni par (4). Ces équations s'intégrent via l'applicationd'Abel

H −→ Jac (H) = C2/Λ , p 7−→(∫ p

p0

ω1 ,

∫ p

p0

ω2

),

où H est la surface de Riemann hyperelliptique donnée par l'équation (4), Λ est leréseau engendré par les vecteurs n1+Ωn2, (n1, n2) ∈ Z2, Ω est la matrice des périodesde la surface de Riemann H et (ω1, ω2) une base de diérentielles holomorphes surH, i.e.,

ω1 =ds√P5 (s)

, ω2 =sds√P5 (s)

,

avec p0 un point xé. ¤

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Géométriesymplectique et Mécaniquehamiltoniennelesfari.com/Note de cours/Lesfari (Geometrie symplectique... · 2019. 7. 14. · il n'y a aucun invariant local en géométrie symplectique,