GPS Principes et Méthodes

LE SYSTEME GPS

PRINCIPES

METHODES

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Généralités

CHAPITRE I

GENERALITES

I. INTRODUCTION

La définition de la forme de la Terre est une préoccupation très ancienne.

Déjà, en 240 avant J.C., ERATOSTHENE1 déterminait le rayon approximatif de la Terre en mesurant la hauteur du soleil en deux villes égyptiennes le jour du solstice d'été.

La géodésie était née.

Cette science se propose d'étudier la forme et la structure numérique des surfaces de niveau terrestre dans leur description géométrique d'une part, dans leurs relations avec la pesanteur d'autre part. Elle apporte une attention particulière à la surface d'altitude nulle, le géoïde, coïncidant avec le niveau moyen des mers prolongé sous les continents. Cette surface se distingue de l'ellipsoïde qui décrit la forme modélisée de la Terre, abstraction faite des irrégularités du relief.

Pendant longtemps, la géodésie a reposé sur l'utilisation de mesures d'angles dans l'espace. En effet, s'il était très facile de réaliser une mesure d'angle entre deux points très éloignés avec une grande précision, le mesurage précis d'une distance se limitait à de très courtes portées.

L'apparition d'appareils électromagnétiques de mesure des distances révolutionna les techniques tant de géodésie que de topométrie.

Le principe de détermination d'une distance à partir du temps de propagation d'un signal entre deux points est désormais couramment utilisé. En effet, les mesures les plus fines que la technologie permet de réaliser sont les mesures de durée ou d'intervalle de temps entre deux instants.

Une contrainte demeurait néanmoins : assurer l' inter-visibilité des points à déterminer sur le terrain.

Dès l'apparition du premier satellite artificiel SPOUTNIK 1, le 4 octobre 1957, les géodésiens ont vu tout l'intérêt de mesures entre des points au sol et des satellites. En effet, le satellite, durant son passage au dessus de l'horizon est visible depuis une zone très étendue de la surface terrestre, permettant ainsi de s'affranchir de la condition d' inter-visibilité.

1 ERATOSTHENE (276-194 av J.C.) : astronome, mathématicien et géographe grec.

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Généralités

Un champ d'investigations nouveau s'ouvrait non seulement à la géodésie mais aussi à de nombreuses autres activités telles que les télécommunications, la géographie physique et économique, la physique, la médecine, le renseignement militaire, les sciences de l'univers.

II. LES SYSTEMES DE GEODESIE SPATIALE

La réalisation des premiers satellites artificiels a bouleversé les données de la géodésie et accru ses possibilités :

Ä d'une part, ils constituent des cibles élevées, visibles de points très éloignés et permettent des liaisons à plusieurs centaines de kilomètres.

Ä d'autre part, les satellites étant soumis aux lois de l'attraction newtonienne, l'étude de leurs orbites permet une analyse plus fine du champ de pesanteur terrestre.

Les applications géodésiques sont très nombreuses :

Ä détermination de la forme et des dimensions de la Terre ;

Ä établissement de modèles du potentiel terrestre ;

Ä positionnement en points isolés ou en groupes de points ;

Ä réajustement des réseaux géodésiques traditionnels ;

Ä connexion de systèmes géodésiques différents ;

Ä géodynamique : marées, mouvements du pôle, dérive des continents.

Ces différentes mesures sont utilisées dans deux méthodes de détermination : géométrique ou dynamique.

A. Géodésie géométrique

1. Photographie sur fond d'étoiles

La photographie sur fond d'étoiles est une technique développée dans les années 60. Le principe peut s'exposer schématiquement comme suit.

Le satellite artificiel joue le rôle de mire géodésique auxiliaire. Il émet des signaux lumineux instantanés que l'on photographie sur fond d'étoiles de plusieurs stations terrestres différentes. La connaissance en chaque station de l'heure précise de la prise de vues permet par mesure et interpolation sur les plaques de déterminer la position des éclairs dans le système terrestre.

Si plusieurs éclairs successifs sont enregistrés par les mêmes stations dont certaines à déterminer, les visées correspondantes définissent à partir des positions calculées des éclairs des intersections inverses qui se recoupent sur les stations inconnues les définissant ainsi en position dans système général de coordonnées : c'est une triangulation spatiale, que deux points connus en position suffisent à définir.

Les satellites utilisés étaient de plusieurs types :

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Généralités

Ä certains (ANNA, GEOS B) émettaient des signaux lumineux (salve de 5 à 7 éclairs espacés de une seconde) à un instant bien précis : ils sont dits actifs.

Ä d'autres, dits passifs (GEOS A, STARLETTE), réfléchissaient grâce à des prismes cataphotes tout signal lumineux émis depuis une station terrestre.

Ä les satellites ECHO et PAGEOS étaient des ballons d'une dizaine de mètres de rayon revêtus d'une couche métallisée réfléchissant le soleil. Ils étaient lancés pliés et se déployaient dans le vide par sublimation d'un composé chimique déposé à l'intérieur. Ils laissaient sur la plaque photographique une trace très brillante comparable à l'éclat de l'étoile polaire ou de l'étoile VEGA.

2. Télémétrie laser

Le développement de la technologie des émissions laser a permis la détermination précise de la distance entre une station terrestre et un satellite. Le principe mis en oeuvre est simple. Un émetteur laser envoie une impulsion qui est retransmise par un réflecteur vers un télescope récepteur placé tout à coté de l'émetteur.

L'observation est le temps de propagation aller et retour qui fournit la distance recherchée.

L'émission et la réception peuvent avoir lieu au niveau du satellite ou à l'opposé depuis une station terrestre. Les cibles permettant des mesures laser sont des satellites (STARLETT, LAGEOS, STELLA, DIADEME , ...) ou des rétros-réflecteurs déposées sur le sol lunaire lors des missions Apollo ou Lunakhod.

Les résultats de ces mesures ont une précision décimétrique et ont favorisé la détermination des paramètres de rotation de la Terre, l'étude des marées et des mouvements de l'écorce terrestre.

Cette technique présente néanmoins l'inconvénient majeur de ne pouvoir être utilisée que par ciel parfaitement dégagé.

3. L'altimétrie radar

Une nouvelle technique de géodésie spatiale allait voir le jour lors d'un vol de Skylab en 1974 : l'altimétrie radar.

Le satellite émet des impulsions radar qui sont réfléchies par le milieu (terre, mer ou glace) et reçues à bord du satellite. La mesure du temps de propagation du signal permet de déterminer la distance entre le satellite et le milieu. En outre, la forme de la tache (intersection entre l'impulsion et le milieu réfléchissant) renseigne sur la nature du milieu.

Cette technique a été particulièrement utilisée au dessus des océans où le rayon de la tache ne dépend que de la hauteur des vagues.

Ainsi, diverses missions (GEOS 3, SEASAT, GEOSAT) allaient avoir des répercussions de premier ordre sur la détermination du géoïde au niveau des océans.

4. L'interférométrie à très longue distance (ou V.L.B.I.)

Cette technique repose sur l'analyse d'un signal radioélectrique émis par une source située à l'infini et reçu en deux stations distinctes très éloignées l'une de l'autre.

A la sortie de chacun des deux récepteurs, ces signaux sont enregistrés sur support magnétique. Pour en assurer l'exploitation, il est nécessaire de disposer d'une référence

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Généralités

temporelle. Aussi, parallèlement au signal sont enregistrés des repères temporels issus d'horloges atomiques. Ces informations sont ensuite acheminées vers un centre de calcul où les signaux sont ajoutés ou corrélés.

La "frange", désignant le signal ainsi obtenu en sortie, permet de déterminer le temps de retard (r) correspondant à la différence de temps d'arrivée du même train d'onde aux deux récepteurs.

On appelle ligne de base ( ) le vecteur joignant les deux stations réceptrices.

Soit S la source du signal situé à l'infini, on a :

où r représente le temps de retard de réception de l' onde en B et c la vitesse de propagation de l'onde.

On peut aussi écrire :

Or, on a :

Donc :

avec , étant un vecteur unitaire.

On obtient alors :

La source émettrice peut être artificielle (satellite HIPPARCUS, sonde VEGA) ou naturelle (quasar extragalactique, radio-étoile de type pulsar).

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Généralités

Actuellement, une douzaine de radiotélescopes dans le monde est équipée pour faire des observations V.L.B.I. et est utilisée en géodésie pour la mesure des distances intercontinentales, avec une précision décimétrique, assurant ainsi la connexion de réseaux nationaux.

Une campagne VLBI a eu lieu en Europe en 1989, à l'initiative de la commission EUREF. Elle a permis de déterminer 6 points dont 3 en France (Toulouse, Brest et Grasse). C'est sur la base de ces points qu'a été établi le Réseau de Référence Français (RRF) confectionné par l' IGN, lors de la campagne GPS de 1990.

B. Géodésie dynamique

1. Le système TRANSIT

Le système TRANSIT est un système de satellites artificiels mis au point et entretenus depuis 1958 par l'U.S. NAVY, pour assurer la navigation de sous-marins nucléaires américains. Il est également connu sous le sigle N.N.S.S. (Navy Navigation Satellite System).

Initialement réservé à des besoins militaires, il a pu être utilisé progressivement pour des applications civiles à partir de 1967.

Peu à peu, les appareils récepteurs s'améliorant et les méthodes de détermination des données orbitales précises progressant également, des applications de topographie terrestre de base moyenne à longue ont pu être envisagées, ouvrant la voie à l'ère des applications de topographie et de la géodésie spatiale.

Le nombre de satellites mis en orbite est variable, mais reste dans une fourchette de 4 à 7 et plus généralement 5. Les orbites sont polaires, quasi-circulaires et d'altitude moyenne 1000 km. La période d'observation est inférieure à deux heures.

La détermination de la position d'un point au sol peut être obtenue en accumulant et en traitant dans les récepteurs les résultats de mesures successives de variation de la distance entre un satellite et le point d'observation, sur une période de temps de 15 minutes environ (les données de position du satellite sur son orbite référencées à la terre étant supposées connues).

A cette fin, chaque satellite transmet des signaux radioélectriques sur deux fréquences voisines de 400 et 150 Mhz. Ces fréquences porteuses stables sont pour les récepteurs placés au sol la base des mesures de variation de phase en fonction du temps (effet Doppler, voir chapitre III) permettant de déterminer sur un intervalle de temps court les variation de la distance satellite/point d'observation.

Pour calculer la solution de sa position, l'observateur devra connaitre les éphémérides caractérisant l'orbite du satellite (calculées et transmises par des stations de controle au sol) et une indication de temps aussi précise que possible.

Le lieu de tous les points de l'espace où l'on mesurerait à un instant donné la même altération de fréquence est un hyperboloïde de révolution. La ligne d'intersection de cet hyperboloïde avec la surface terrestre est un lieu géométrique pour l'emplacement du récepteur. Un deuxième lieu géométrique est obtenu par une mesure analogue un instant plus tard. La position du récepteur est l'intersection de ces lieux géométriques. En pratique, cette position est calculée par le principe des moindres carrés à partir d'un grand nombre d'hyperboloïdes.

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Généralités

Une telle utilisation immédiate des signaux des satellites TRANSIT caractérise la plupart des applications de navigation. Les indications de position sont généralement établies en longitude, latitude et élévation, basées sur un ellipsoïde géocentrique.

La précision ainsi obtenue est de l'ordre de 50 m si le point d'observation est fixe. Elle peut atteindre 100 à 300 m si le récepteur est installé sur une plate-forme mouvante.

2. Le système NAVSTAR-GPS

Ce nouveau système de satellites constitue pour les Etats-Unis l'étape suivante de l'avènement des moyens de navigation et de localisation à base spatiale.

Le système GPS de positionnement par satellites a été développé depuis 1972 par le département de la défense des Etats-Unis. Initialement, c'était un système de radionavigation (positionnement de mobiles) destiné à des fins militaires. Appelé NAVSTAR GPS (NAVigation Satellite Timing And Ranging), ce système est maintenant utilisable dans le domaine de la géodésie et de la topométrie

La présentation de ce système est développée dans le chapitre V.

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Caractères généraux des mouvements périodiques

CHAPITRE II

CARACTERES GENERAUX DES MOUVEMENTS PERIODIQUES

I. GENERALITES-DEFINITIONS

A. Mouvement sinusoïdal

On dit qu'un mouvement vibratoire est sinusoïdal quand son élongation y, dans un repère (O,t,y) orienté , varie comme le sinus d'un angle qui est fonction linéaire du temps.

L'équation horaire d'un tel mouvement est alors :

y = a sin (wt+j)

avec :

Ä a amplitude du mouvement ;

Ä wt+j angle variable en fonction du temps appelé phase à l'instant t ;

Ä w pulsation du mouvement ;

Ä j constante, valeur de la phase à l'instant t = 0, appelée phase initiale.

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B. Périodicité du mouvement

Suivons la propagation de l'onde à partir d' un instant quelconque t.

Au bout d'un certain temps T, quand la phase aura augmenté de 2p radians, le sinus et par suite y auront repris les mêmes valeurs. Ainsi, à partir d'un instant t quelconque, le mouvement se reproduit identique à lui-même, chaque fois que le temps augmente de T.

Un tel mouvement est dit périodique.

On appelle période l'intervalle de temps constant T qui sépare deux passages consécutifs de l'onde au même point dans le même sens.

On peut écrire, d'après la définition de T :

On obtient donc :

T exprimé en secondes et w en radians par seconde.

On appelle oscillation le mouvement qu'effectue l'onde pendant une période.

La fréquence, notée f, est le nombre d'oscillations ( ou nombre de cycles ) par seconde.

Puisque chaque oscillation dure T, on a :

exprimée en s-1 ou hertz (hz).

La longueur d'onde est la distance parcourue par l'onde pendant une période T. Elle est notée l. On a, v étant la vitesse de propagation de l'onde :

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C. Représentation de Fresnel2

Le vecteur , de module a, tourne

dans un plan (OX,OY) autour de son origine O, avec une vitesse angulaire constante w.

Si à l'instant initial t = 0, l'angle

a la valeur j, il a à

l'instant t, la valeur wt+j

Projetons le vecteur tournant sur l'axe OY. La valeur algébrique de sa projection est à

l' instant t : y = a sin (wt+j)

Ainsi :

Ä le mouvement de la projection de l'extrémité du vecteur tournant sur l'axe OY est un mouvement sinusoïdal, d'amplitude a, égale au module du vecteur ;

Ä la pulsation w du mouvement sinusoïdal est égale à la vitesse angulaire du vecteur tournant ;

Ä la phase initiale j est égale à l'angle que fait le vecteur tournant avec l'axe OX à l'instant initial t=0.

Réciproquement, on peut faire correspondre un vecteur tournant à toute fonction sinusoïdale de la forme y = a sin (wt+j)

Une telle représentation est dite représentation de Fresnel.

D. Différence de phase entre deux fonctions sinusoïdales

Soit par exemple la fonction

et la fonction

Ces deux fonctions ont même pulsation et donc même période.

La représentation vectorielle de Fresnel donne immédiatement leur différence de phase (ou déphasage) j :

2FRESNEL Augustin (1788-1827) : physicien français, créateur de l'optique vibratoire.

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A cette différence de phase correspond un décalage horaire, égal au temps q que mettrait le

vecteur tournant pour passer de la direction OM2 à la direction OM1.

On a :

Ce retard de y2 par rapport à y1 mesure sur l'axe des temps le décalage des deux sinusoïdes

représentatives.

Valeurs particulières du déphasage :

Ä : on a j = 0.

Le décalage horaire est nul ou vaut un nombre entier de périodes.

y1 et y2 varient en phase : elles s'annulent aux mêmes instants et atteignent ensemble

leurs valeurs maximales et minimales.

Ä (ou )

Le décalage horaire vaut une demi-période (ou un nombre impair de demi-périodes).

y1 et y2 sont dits en opposition de phase : elles s'annulent en même temps mais l' une est

maximale quand l'autre est minimale, et réciproquement.

II. ONDES HERTZIENNES

A. Définitions

On appelle onde électromagnétique, ou onde hertzienne, l'ensemble des deux champs électrique et magnétique qui se propagent en même temps et à la même vitesse, ou célérité, en transportant de l'énergie rayonnante.

MAXWELL3 conclut, dès 1865, dans une étude théorique, à l'existence des ondes électromagnétiques. Il précisa leur constitution, calcula l'énergie qu'elle transportent. Il conclut également que leur célérité est égale à celle de la lumière dans l'air.

3MAXWELL James Clerk (1831-1879) : physicien écossais. On peut le considérer comme l'un des inventeurs de la T.S.F dont il établit les fondements théoriques.

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Notée c, elle a pour valeur c = 3.108 ms-1.

Quelques années plus tard, HERTZ4 mit expérimentalement en évidence l'existence des ondes électromagnétiques sur un oscillateur amorti qui porte son nom.

B. Constitution d'une onde électromagnétique

L'onde électromagnétique est caractérisée par deux vecteurs et , dont les intensités

varient sinusoïdalement avec la même fréquence f et avec la même phase.

est le champ électrique.

est le vecteur induction magnétique.

Les ondes hertziennes sont essentiellement caractérisées par la grandeur de leur longueur d'onde.

4HERTZ Heinrich (1857-1894) : physicien allemand. Il découvre les ondes électromagnétiques et montre qu'elles suivent les mêmes lois que la lumière (1888).

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Le tableau suivant classe, en fonction de la longueur d'onde les différentes ondes électromagnétiques.

LIBELLE VALEUR DE LA LONGUEUR D'ONDE

UTILISATION

GRANDES ONDES(ou ondes longues)

l > 800 m télécommunications maritimesradiodiffusion

PETITES ONDES(ou ondes moyennes)

800 > l >100 m radiodiffusion

ONDES COURTES 100 > l > 10 m radiodiffusionradiotéléphonie

ONDES TRES COURTES(ou métriques, décimétriques, centimétriques)

l< 10 m radiodiffusion en modulation de fréquencetélévision

radarrelais téléphoniques hertziens

La portée des ondes hertziennes est influencée par des phénomènes complexes faisant que le sol, la mer et surtout l'ionosphère se montrent plus ou moins réfléchissants ou absorbants pour telle "bande" de longueur d'onde plutôt que pour telle autre.

C'est ainsi, par exemple, que les ondes longues et moyennes peuvent contourner le globe grâce à une série de réflexions entre le sol et l'ionosphère.

Par contre, les ondes très courtes ne sont pas renvoyées par l'ionosphère et peuvent atteindre la Lune ou les satellites artificiels (ou être émises par ceux-ci).

Remarque :

L' ionosphère est une couche de la très haute atmosphère (entre 100 et 500 km d'altitude) où le rayonnement solaire entretient une ionisation intense des molécules gazeuses qui donne à cette couche les propriétés d'une couche conductrice. Ces propriétés varient avec l'heure du jour, la saison, l'activité solaire...

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L’effet Doppler

CHAPITRE III

L'EFFET DOPPLER

I. DEFINITIONS

Effet Doppler5 -Fizeau6: c'est la modification dans le temps de la fréquence d'une onde progressive par suite du mouvement de la source de radiation ou d'un observateur.

L'effet Doppler - Fizeau permet donc un mesurage de distances à partir d'une variation de fréquence.

Cet effet se manifeste avec tous les types d'ondes. Il est particulièrement et facilement observable avec les ondes sonores.

Exemples :

� variation de la fréquence de l'onde émise par une sirène d'un camion de pompiers en mouvement.

� variation de la fréquence de l'onde émise par un train en mouvement et perçue par un observateur lui-même en mouvement, dans un autre train roulant en sens inverse.

II. MISE EN EQUATION DE L'EFFET DOPPLER-FIZEAU

A. Equation générale

En physique non relativiste, la fréquence modifiée fD est donnée en fonction de la fréquence primitive f par la formule générale :

avec :

Ä V = vitesse de l'onde émise ;

Ä VO = vitesse de l'observateur O ;

Ä qO angle formé par et ;

5 DOPPLER Christian (1803-1853) : physicien autrichien. Il découvre en 1842 l'effet auquel son nom reste attaché.

6 FIZEAU (Armand Hyppolyte Louis) (1819-1896) Professeur à l' Ecole Polytechnique en 1863. Il fut le premier à mesurer la vitesse de la lumière sans faire appel aux observations astronomiques (1849). Il appliqua à l'optique les lois acoustiques de Doppler.

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L’effet Doppler

Ä VS = vitesse de la source S ; Ä qS angle formé par et .

Application numérique :

Soit une onde acoustique, animée d'une vitesse V = 300 ms-1.

Soit un observateur animé d'une vitesse = 100 km/h = 28 ms.-1.

Soit une source émettrice animée d'une vitesse = 200 km/h = 56 ms.-1.

Soit qO = p/4 rad et qS = 3p/4 rad.

Soit f = 100 MHz = 108 Hz la fréquence de l'onde émise.

On obtient :

B. Cas particuliers

Ils sont résumés dans le tableau suivant :

f(MHz)

V(ms-1)

VO

(ms-1)VS

(ms-1)

qO

(rad)qS

(rad)fD

(MHz)Observations

100 300 0 56 0 p 123 Observateur immobileSource se rapproche

100 300 0 56 0 0 84.3 Observateur immobileSource s'éloigne

100 300 28 0 0 0 109.3 Observateur se rapprocheSource immobile

100 300 28 0 p 0 90.6 Observateur s'éloigneSource immobile

100 300 28 56 p/2 p/2 100 Déplacement perpendiculaire à OS : effet Doppler nul

100 3700 28 28 0 0 100 Déplacement dans le même sens et de même vitesse : effet Doppler

nul100 300 28 56 p 0 76 Déplacement de sens contraire sur

l'axe OS

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L’effet Doppler

III. APPLICATION AUX ONDES ELECTROMAGNETIQUES

A. Equation

Les résultats précédents sont rigoureux pour les ondes élastiques (ondes acoustiques par exemple).

Ils ne sont qu'approximatifs pour les ondes électromagnétiques.

L'effet Doppler-Fizeau dépendra alors de la vitesse relative Vr de la source par rapport à

l'observateur.

En effet, dans le cas des ondes électromagnétiques, on a :

et

avec c = vitesse de la lumière = 300000 kms-1 = 106 ms.-1

L'expression générale devient alors :

Or peut s'écrire sous la forme suivante (développement limité) en négligeant

les termes de second degré :

On obtient alors :

Cette équation peut s'écrire sous la forme (en négligeant les termes du second degré) :

Soit :

où = vitesse relative de la source par rapport à l'observateur.

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L’effet Doppler

B. Variation en distance

Appliquée aux satellites, cette équation peut se mettre sous la forme :

où dR représente la variation en distance entre observateur et source (satellite).

Soit :

En intégrant par rapport au temps (entre t1 et t2), on obtient :

Cette relation exprime la variation en distance en fonction de la variation de fréquence dans le temps.

Dans le système GPS, on observera des variations de fréquence émise par le satellite pour en déduire la distance antenne/satellite.

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Lois de Kepler

CHAPITRE IV

LOIS DE KEPLER

Le mouvement d'un satellite sur son orbite obéit aux lois de KEPLER7.

A. Première loi (ou loi des orbites elliptiques)(1605)

Les orbites des planètes sont des ellipses dont le Soleil occupe l'un des foyers. Par extension, l'orbite d'un satellite S gravitant autour de la Terre, est une ellipse dont un foyer est au centre de la Terre.

Le plan de cette ellipse est invariable par rapport aux étoiles.

On définit :

Ø a : demi-grand axe ;

Ø b : demi-petit axe ;

Ø e : excentricité ;

Ø P : périgée - point de l'orbite au plus près de O ;

Ø A : apogée - point de l'orbite le plus loin de O ;

Ø F1 et F2 : foyers

7KEPLER Johannes (1571-1630) : astronome allemand. Partisan convaincu du système héliocentrique de Copernic, il découvrit les lois du mouvement des planètes en 1609 et 1619. On lui doit aussi des tables du mouvement des planètes.

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Lois de Kepler

B. Deuxième loi (loi des aires)(1609)

Les planètes décrivent, autour du Soleil, des trajectoires planes. Les aires balayées par le rayon vecteur joignant le centre du Soleil au centre d'une planète sont proportionnelles au temps employé à les décrire. Par extension, l'orbite du satellite est décrite suivant la loi des aires par le rayon vecteur centre Terre / satellite.

Le mouvement de chaque planète est tel que, pendant des durées égales, les aires balayées par le rayon vecteur sont égales.

La deuxième loi de Kepler s'écrit alors :

où :

Ä h est la constante des aires ;

Ä (r,q) sont les coordonnées polaires de la planète, l'origine des coordonnées coïncidant avec le soleil ;

Ä est l'aire élémentaire balayée pendant l'intervalle de temps dt.

En d'autres termes, la vitesse du satellite est d'autant plus importante qu'il se rapproche du périgée. Au contraire, celle-ci est minimale à l'apogée.

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Lois de Kepler

C. Troisième loi (1619)

Le carré du temps de révolution sidéral d'une planète autour du Soleil est proportionnel au cube du demi-grand axe a de l'orbite.

Ainsi, la période T du satellite est telle que :

(1)

avec :

Ä G : constante newtonienne d'attraction universelle : G = 6.664.10-8 cm3g-1s-2;

Ä M : masse de la Terre ;

Ä m : masse du satellite ;

Ä T : période de révolution ;

Ä a : demi-grand axe de l'ellipse décrite.

Or, la pesanteur g (d'après la loi de gravitation de Newton) a pour expression :

En remplaçant dans (1), on obtient :

en considérant que G(M+m) » GM

Ce qui donne :

(2)

Cette relation permet de déterminer, connaissant la valeur de a, la période T du satellite. Elle permet aussi, en imposant la période, de déterminer a.

Ainsi, un satellite "gravitant" à la surface terrestre (ce qui entraîne a = R) aurait pour période :

Soit T0 = 5075 s = 1 h 24 mn ,avec :

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Lois de Kepler

Ä R = 6400 km ;

Ä g = 9.81 ms-2

L'expression (2) peut s'écrire aussi en fonction de T0 :

On obtient donc l'expression de la période d'un satellite en fonction de son éloignement.

Applications numériques :

Pour une hauteur h de gravitation donnée, on calcule la valeur de a = h + R (rayon de la Terre).

On en déduit alors la période T du satellite :

HAUTEUR DEMI-GRAND AXE PERIODE

1000 km 7400 km 1 h 45 mn

20 000 km 26 400 km 11 h 50 mn

36 000 km 42 400 km 24 h

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Le système GPS

CHAPITRE V

LE SYSTEME G.P.S.

I. PRESENTATION

Dans le courant des années 70, le département de la Défense des Etats-Unis (DOD) a cherché à imaginer un nouveau système militaire de navigation plus performant afin de remplacer à terme le système TRANSIT/NNSS, appelé à disparaître progressivement.

Ce système devait :

Ä remplir toutes les conditions d'un système militaire (résistance aux tentatives de destruction, de brouillage intentionnel, de l'abus par une force hostile...)

Ä permettre à tout instant, en tout endroit de la surface terrestre, de fournir à un utilisateur autorisé (fixe ou mobile) sa position ou sa vitesse dans un système de référence mondial, ainsi qu'une information de temps.

La précision envisagée pour un positionnement absolu et immédiat d'un utilisateur militaire est d'environ 20 m (niveau de fiabilité de 95%).

Dès 1978, les premiers satellites prototypes du système global de positionnement GPS ont été lancés sur orbite et ont pu être utilisés en vraie grandeur. Ce système est en partie déclassifié et peut être utilisé pour des applications civiles.

Initialement destiné à la navigation, il a démontré très rapidement ses possibilités dans le domaine de la géodésie.

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Le système GPS

II. LES COMPOSANTES DU SYSTEME GPS

Ce système est constitué de trois entités distinctes : Ø le secteur spatial ;

Ø le secteur de contrôle ;

Ø le secteur utilisateur.

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Le système GPS

A. Le secteur spatial

1. La constellation

Le secteur spatial est constitué des satellites de la constellation NAVSTAR GPS. La réception de 4 satellites au minimum, simultanément et à tout moment doit être possible en tout point du globe.

La constellation finale comprend 24 satellites dont 3 dits de secours.

La durée de vie de ces satellites est estimée à 7 ou 8 ans. Aussi, ils sont remplacés au fur et à mesure de leur défaillance (le programme de lancement des satellites a été ralenti par l'explosion de la navette spatiale "Challenger"). Il existe six plans orbitaux inclinés de 55 °

par rapport au plan de l'équateur.

Chacun est identifié par un numéro "P.R.N." (Pseudo Random Noise) ainsi que par un numéro d'ordre de lancement.

Les satellites pèsent environ 900 kg, ils ont une orbite quasi circulaire et évoluent à environ 20 200 km d'altitude.

La période de révolution est de 12 heures sidérales (soit 11 heures 58 minutes). Chaque satellite fait donc deux fois le tour de la Terre en 24 h sidérales, soit 23 h 56 mn. En conséquence, les satellites sont visibles 4 minutes plus tôt chaque jour.

Les fonctions que doivent assurer ces satellites G.P.S. sont les suivantes :

Ø maintenir une échelle de temps très précise (grâce à des horloges au césium et au rubidium embarquées à bord) ;

Ø émettre deux signaux ultra-stables en fréquence, modulés en phase par des codes pseudo-aléatoires sur les deux fréquences spécifiques du système (voir ci-dessous)

Ø recevoir et stocker les informations en provenance du segment de contrôle ;

Ø effectuer des manoeuvres orbitales limitées en fonction des ordres émis par le segment de contrôle ;

Ø effectuer à bord des calculs limités ;

Ø retransmettre de l'information au sol.

L'alimentation en courant électrique est assurée par des panneaux solaires ayant une surface de 7.25 m².

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Le système GPS

2. Les signaux

Chaque satellite émet continûment sur deux fréquences porteuses :

Ä la fréquence L1 à 1575,42 Mhz (longueur d'onde 19 cm) ;

Ä la fréquence L2 à 1227,60 Mhz (longueur d'onde 24 cm).

qui sont un multiple de la fréquence de 10,23 Mhz de l'oscillateur atomique du satellite.

Elles sont modulées en phase par des codes pseudo-aléatoires (ou P.R.N. pour Pseudo Random Noise car ces codes sont perçus comme un "pseudo bruit de fond") de deux types :

Ä la fréquence L1 par le code C/A (Coarse Acquisition ou "approximatif") pour un

usage civil (positionnement standard) ; sa fréquence porteuse est modulée par une fréquence de 1,023 mhz (longueur d'onde 300 m environ), la période du code est d'une milliseconde.

Ä les fréquences L1 et L2.par un code P à destination militaire (positionnement précis).

Sa fréquence porteuse est modulée par une fréquence de 10,23 mhz (longueur d'onde 30 m environ), la période du code est de 267 jours.

Les fréquences porteuses et celles initialisant les signaux codés sont cohérentes et issues de la même source de fréquence très stable pilotée par un groupe de résonateurs au césium embarqué sur chaque satellite.

Les équations des deux ondes porteuses peuvent alors s'écrire sous la forme :

où :Ä a1 et a2 sont les amplitudes de L1 et L2 ;

Ä P(t), C/A(t) et D(t) sont des fonctions du temps qui représentent respectivement les codes P et C/A, ainsi que les données du message.

Les codes C/A et P sont uniques et propres à chaque satellite.

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Le système GPS

Le codage correspond à une inversion éventuelle de phase de 180 °. Cet événement est appelé transition de code ou image miroir. Cela revient à décoder une série de bits sur l'onde porteuse ( "1" pour une inversion de phase, "0" sinon).

Exemple de modulation de la phase par changement de parité :

Remarque : modulation d'amplitude ou modulation de phase (de fréquence)

Pour transmettre entre des points des signaux dont la portée est très limitée, on utilise le plus souvent, comme véhicule de liaison, une onde électromagnétique dont on modifie une ou plusieurs caractéristiques en fonction du signal à transporter. Cette combinaison de deux grandeurs, suivant une loi de combinaison non linéaire déterminée, se nomme modulation.

Elle doit permettre la transmission du message entre les points d'émission et de réception et autoriser, sans ambiguïté, sa restitution à la réception. L'onde porteuse ainsi modulée peut être transmise par câbles (téléphonie) ou rayonnée par une antenne (radiodiffusion, télévision,...) avec la puissance convenable pour être captée par des postes récepteurs où elle est "démodulée", afin de restituer le signal original de modulation : l'information.

3. Accès aux signaux

a L’accès sélectif

L'accès sélectif (S/A ou sélective avaliability) était une dégradation volontaire du système G.P.S. Il avait pour but de refuser l’accès à la précision maximale du GPS aux civils et aux puissances étrangères hostiles par dégradation volontaire des informations transmises par les horloges des satellites. Il concernait essentiellement le positionnement absolu. Il a été supprimé en Mai 2000.

b L’anti- leurrage

L’anti-leurrage ou antibrouillage (A-S ou anti spoofing) est une autre dégradation volontaire du système G.P.S. Elle est destinée à éviter le brouillage du système par un utilisateur qui renverrait en léger différé un signal proche du GPS (en fréquence et en code).

Le code P est alors crypté pour le transformer en signal appelé code Y. Aucune mesure n'est alors possible en code P, seul le code C/A reste disponible.

Cependant, si ces mesures sur la fréquence L2 ne sont pas nécessaires en mesure de phase, elles permettent d'accélérer les calculs d'ambiguïtés entières. De plus, pour pouvoir traiter la phase, le récepteur doit pouvoir retrouver une onde débarrassée des codes.

En effet, lorsqu'il y a AS, le code P(t) connu est remplacé par le code Y(t) = P(t) + W(t), où W(t) est inconnu. On a alors :

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Le système GPS

Les constructeurs ont mis au point les différents processus suivants qui permettent, soit d'éliminer, soit de reconstituer le code Y :

Ä élévation du signal au carré ;

Ä corrélation croisée ;

Ä corrélation avec le code et élévation au carré ;

Ä technologie Z.

1. Elévation du signal au carré ou méthode du squaring :

Cette méthode consiste à multiplier l'onde par elle-même, ce qui peut se mettre sous la forme :

(1)

L' élévation au carré des fonctions Y(t) et D(t) donne des fonctions constantes égales à 1.

L'équation (1) peut alors s'écrire sous la forme : où

K représente une valeur constante connue.

La fréquence est doublée, la longueur d'onde est donc divisée par deux. Ce signal est alors très sensible aux interférences. Le signal est de moins bonne qualité.

Cette méthode élimine les codes : aucune mesure de code ne peut être faite sur la fréquence L2.

2. Méthode de la corrélation croisée :

Cette méthode consiste à multiplier L1 et L2, sans que le récepteur ne génère de code.

Le produit se met alors sous la forme :

les termes et K' étant des quantités connues

La mesure se fait alors sur des longueurs d'ondes complètes sur L1 et L2. Elle est donc

plus précise que la méthode précédente. De plus, le bruit est aussi plus faible.

3. Corrélation avec le code et élévation au carré (code-aided squaring) :

Le récepteur génère le code P et fait la corrélation avec le code L2- P. Aprés corrélation,

seule la partie inconnue W du code P reste sur L2 : elle est éliminée par élévation au carré.

Cette méthode améliore le signal, mais la mesure se fait sur une demi longueur d'onde.

4. Technique Z : lecture du code Y avec reconstitution des codes W et P :

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Le système GPS

Le récepteur génère le code P et fait la corrélation avec le code Y sur L1 et L2.Après

corrélation, seule la partie inconnue W du code reste sur L1 et L2. Le récepteur détermine une

estimation du code W sur chacune des ondes, chaque estimation étant retirée sur l'autre onde.

On obtient ainsi un signal pur, le meilleur possible en ce qui concerne les interférences, avec une longueur d'onde entière et qui permet les mesures les plus précises en un temps court.

En résumé :

CODE ET METHODE UTILISEE

LONGUEUR D'ONDE

BRUIT UTILISATION DU CODE P

AS off P l2 x 1 oui

AS on W : squaring x 4 non

AS on W : code aided

squaring

x 2 non

AS on W : corrélation

croisée

l2 x 4 non

AS on W : Z tracking l2 x 1.01 oui

4. Le message de navigation

Sur les deux fréquences L1 et L2 est modulé un code particulier qui fournit ce qu'on

appelle le message des satellites.

Ce message se compose des informations suivantes :

Ø orbite du satellite ;

Ø formule de correction d'horloge ;

Ø identification de chaque intervalle de temps standard ;

Ø almanach de la constellation.

Le message ainsi transmis se compose de registres, feuillets et mots.

Un mot comprend 30 bits de 1/50 seconde, soit en tout 0,6 seconde.

Un feuillet comprend 10 mots, soit 6 secondes.

Un registre comprend 5 feuillets et contient les informations propres à un satellite.

Pour obtenir les informations relatives à toute la constellation, il convient d'enregistrer 25 registres consécutifs, soit 12 minutes 30 de réception.

Ces informations sont décodées par le récepteur pour informer l'utilisateur sur les hauteurs et positions en temps réel des satellites.

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Le système GPS

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Le système GPS

B. Le secteur de contrôle

Le secteur de contrôle comprend cinq stations de contrôle qui sont :

Ø HAWAII ;

Ø ASCENSION ;

Ø KWAJALEIN ;

Ø DIEGO GARCIA ;

Ø COLORADO SPRINGS.

Les missions de ces stations de contrôle sont :

ð pour les 4 premières :

Ø enregistrer les messages émis par les satellites ;

Ø calculer les paramètres des orbites (éphémérides) et les coefficients de correction d'horloge ;

ð pour la station de COLORADO SPRINGS :

Ø piloter les satellites et leur transmettre les informations sur toute la constellation (les prévisions d'orbites ainsi que les coefficients de correction d'horloge sont transmis 3 fois par jour aux satellites).

Une station complémentaire, celle de SUNNYVALE est une station de secours.

En cas de nécessité (militaire notamment), l'accès aux signaux G.P.S. peut être restreint et le système protégé par un antibrouillage.

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Le système GPS

C. Le secteur utilisateur

1. Les utilisateurs

Le secteur utilisateur se compose de tous les utilisateurs civils ou militaires du système G.P.S., c'est à dire toute personne possédant un récepteur adapté.

Ces récepteurs peuvent enregistrer sur une ou deux fréquences (L1 et/ou L2) deux types de

mesures : les mesures de code ou les mesures de phase.

Les applications du G.P.S. sont très nombreuses : navigation spatiale, maritime ou terrestre, topographie, surveillance des barrages hydrauliques, tectonique, calcul de la dérive des continents ...

Un récepteur est appelé récepteur géodésique s'il peut enregistrer les mesures de phase GPS (qui sont les mesures les plus précises) sur l'une au moins des deux fréquences.

2. Catégorie de matériel

Les matériels utilisés peuvent être rangés en deux grandes catégories :

Äles récepteurs monofréquences ;

Äles récepteurs bifréquences.

a Les récepteurs monofréquence

On trouve dans cette catégorie les appareils :

Äqui captent uniquement le code C/A sur la porteuse L1 ;

Äqui captent le code C/A et la fréquence L1 ;

Äqui captent les codes C/A et P et la fréquence L1.

b Les récepteurs bifréquence

On trouve dans cette catégorie les appareils :

Äqui captent le code C/A sur la porteuse L1 et les fréquences L1 et L2 ;

Äqui captent le code C/A sur la porteuse L1, le code P sur la porteuse L2 et les

fréquences L1 et L2 ;

Äqui captent les codes C/A et P sur la porteuse L1, le code P sur la porteuse L2 et les

fréquences L1 et L2.

c Matériel utilisé à la DGI

Le matériel utilisé au Cadastre lors d'un chantier traité par G.P.S. se compose de récepteurs bi-fréquence.

En pratique, il s'agit de récepteurs ou antennes comprenant le dispositif électronique qui permet de capter les ondes émises par les satellites, de générer les signaux correspondants et d'effectuer des mesures de pseudo-distance et de phase.

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Le système GPS

Un capteur sera relié à un contrôleur permettant la gestion des observations : démarrage, arrêt de la session, visualisation d'informations sur la constellation, enregistrement des données, transmission radio ou GSM des données ou réception radio ou GSM de ces données.

Il est nécessaire d'utiliser deux ensembles capteur - contrôleur au moins pour réaliser un chantier, la méthode différentielle étant mise en œuvre.

Les résultats de la mission G.P.S. pourront être obtenus grâce :

Ä au traitement des données issues des différentes sessions d'observation par un logiciel de post - traitement.

Ce logiciel fourni avec le matériel d'observation fonctionne sur micro-ordinateur de type PC. Selon les constructeurs, la présentation de ces matériels peut varier sensiblement.

Cette méthode sera obligatoirement mise en œuvre si l’on utilise des équipements « temps différé ».

On pourra également utiliser cette méthode si l’on utilise des équipements « temps réel » avec option enregistrement des données et post – traitement.

Ä au calcul immédiat sur le terrain, le logiciel de traitement étant installé directement sur le contrôleur.

Cette méthode sera mise en œuvre si l’on utilise des équipements « temps réel » avec option liaison radio ou transmission GSM (liaison téléphonique).

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Le système GPS

III. PRINCIPE DE FONCTIONNEMENT

A. La détermination de la distance satellite / récepteur

Toutes les positions GPS sont basées sur la mesure de distance entre le satellite et le capteur au sol.

5Le calcul s'appuie sur le principe suivant : en connaissant la distance entre le récepteur au sol et trois points connus (les satellites), il est possible d’en déterminer la position par rapport à ces trois points. La distance vers un satellite situe la position du capteur sur la surface de la sphère imaginaire ayant le satellite pour centre et pour rayon la distance mesurée.

La position du capteur pourra par conséquent être définie comme l'intersection de trois sphères imaginaires, puis calculée.

En réalité, compte tenu des biais d'horloges, 4 satellites au moins sont nécessaires pour déterminer un point.

Deux méthodes vont être utilisées :

Ä La mesure du temps de parcours d’un code

Ä La détermination du nombre de longueurs d’onde et fraction de longueur d’onde entre le satellite et le capteur.

1. La mesure de pseudo-distance

a Principe

Le principe de cette mesure consiste à déterminer la distance entre le satellite et le récepteur en mesurant le temps de parcours d’un code.

Pour déterminer une de ces distances, le récepteur génère une réplique du code satellite, synchronisée avec le code satellite. Au sein de l'électronique du récepteur, une corrélation est réalisée entre le signal généré par le récepteur et le signal reçu. Le maximum de corrélation correspond à une transition de code qui permet de déterminer sans ambiguïté le temps d'émission de cet événement (dans l'échelle de temps du satellite).

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Le système GPS

Il suffit alors de noter le temps affiché par l'horloge du récepteur, généralement un quartz de bonne qualité, pour déterminer le temps de réception de cette transition de code particulière (dans l'échelle de temps du récepteur).

On dispose ainsi d'une mesure du temps de propagation du signal (code), pour un événement bien défini (la transition de code) ; elle s'effectue par comparaison entre le signal reçu et celui généré par le récepteur.

2. La mesure de phase

a Principe

La résolution de la mesure de pseudo-distance est insuffisante pour permettre d'atteindre une précision centimétrique en raison des erreurs multiples qui affectent la mesure du temps de parcours (voir infra).

On va donc, au lieu de mesurer un temps de parcours pour déterminer la distance satellite/récepteur, mesurer le nombre de fois que l'onde se reproduit identique à elle-même.

Ce nombre correspond au nombre de cycles, entiers et fraction de cycle, nécessaires pour parcourir la distance satellite/récepteur.

Exemples :

� Soit une onde de longueur d'onde l = 1 m. Elle parcourt la distance D = SR.

On mesure le nombre de cycles N = 10.

On a donc :D = N l = 10 m

� Le nombre de cycles mesurés est N = 10,25 = 10 + 0,25 = 10 + 1/4

On peut décomposer 10,25 cycles en 10 cycles entiers et 1/4 de cycle.

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Le système GPS

Cas général :

La distance parcourue par l'onde est égale au nombre de cycles entiers multipliés par la longueur d'onde plus la fraction de cycle multipliée par la longueur d'onde.

Soit :

N et Fr sont des valeurs numériques sans unité

Fr est directement mesuré sur le phasemètre8 du récepteur. La précision de mesure est

estimée à ± 2°.

Le problème va être de déterminer le nombre entier N à n'importe quel moment de la mesure. En effet, il n'existe aucun moyen direct pour mesurer la valeur entière. La précision de la distance satellite/récepteur dépendra directement de la détermination de N par le calcul.

La valeur N s'appelle ambiguïté de phase. C'est une inconnue dans le calcul des coordonnées des points déterminés par GPS.

Il s'agit alors de relier la valeur Fr mesurée à la distance D réelle, cherchée avec précision.

A l'instant T0 du verrouillage, la distance satellite/récepteur peut s'écrire :

Exprimée en nombre de cycles C, on peut écrire :

8 phasemètre : dispositif permettant de mesurer la différence de phase entre deux grandeurs électriques alternatives de même fréquence.

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Le système GPS

b Mesure de la phase de battement

Le récepteur va comparer le signal émis par le satellite et un signal qu'il va lui-même générer. Cette onde générée sera de fréquence identique à celle émise par le satellite. La différence entre ces deux signaux s'appelle phase de battement.

Le signe de cette différence traduira le fait que le satellite s'est éloigné ou au contraire s'est rapproché.

En effet, si le satellite s'éloigne (ou se rapproche), la fréquence de l'onde émise sera modifiée de l'effet Doppler (voir chapitre III). Il y aura donc décalage entre l'onde reçue par le récepteur et l'onde générée par celui-ci au moment du verrouillage.

Par contre, si le satellite reste à distance constante (vitesse radiale nulle), la fréquence émise ne sera pas modifiée de l'effet Doppler. La phase de battement sera nulle.

La mesure de la phase de battement permettra de mesurer la variation de distance satellite/récepteur.

Remarque :

Il est possible de compter les cycles de la phase de battement entre deux instants car sa fréquence est nettement inférieure à celle de l'onde émise par le satellite.

c Mise en équation : Variation de fréquence par rapport au temps

Désignons par :

Ä fs la fréquence de l'onde émise par le satellite ;

Ä fD la fréquence reçue par le récepteur, différente de fs à cause de l'effet Doppler ;

Ä fr la fréquence de l'onde émise par le récepteur.

Entre les instants T0 et T (temps pris au niveau de l'horloge du récepteur), le nombre de

cycles liés à la phase de battement aura pour expression :

(1)

Soit :

Ü représente le nombre de cycles reçus par le récepteur. Or, ce nombre est

égal au nombre de cycles émis par le satellite. Il n'y a pas durant le parcours de l'onde entre le satellite et le récepteur de création de cycles. On applique donc le principe de la conservation des cycles.

On peut donc écrire :

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Le système GPS

où t0 et t sont les temps relatifs à l'horloge du satellite.

Ü représente le nombre de cycles émis par le récepteur.

L'équation (1) devient alors :

(2)

Or, les fréquences du satellite et du récepteur sont générées par des oscillateurs qui assurent une stabilité sur un intervalle de temps court : on considérera fs et fr indépendantes

du temps. Les temps T-T0 et t-t0 représentent des quantités très peu importantes.


(3)

B. Les sources d’erreurs

Il existe différentes sources d’erreurs pouvant fausser la position la position GPS de quelques mètres à plusieurs dizaines de mètres. Ce sont :

Ä les erreurs d’horloges du satellite et du capteur ;

Ä les biais de propagation des signaux dans la troposphère et l’atmosphère ;

Ä l’affaiblissement de la précision (GDOP)

Ä les trajets multiples ;

Ä les dégradations volontaires des messages (voir le paragraphe « Accès aux signaux »)

1. Les erreurs d’horloges

Les dérives des horloges embarquées à bord sont corrigées par le secteur de contrôle (voir supra).

Par contre, ne sont pas corrigées les erreurs de l’horloge du capteur utilisé. L’incidence de ces erreurs va en particulier affecter la mesure du temps de parcours de l’onde (voir ci-dessous).

2. Les biais de propagation

Le signal émis par un satellite peut être ralenti durant sa traversée de l’ionosphère. Ceci va influer sur le calcul de la distance satellite / récepteur puisque la vitesse de la lumière (vitesse de propagation des ondes hertziennes) n’est plus constante (elle n’est constante que dans le vide).

Ces biais de propagation dépendront :

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Le système GPS

Ä De la hauteur du satellite au-dessus de l’horizon

L’épaisseur de ionosphère à traverser sera plus importante pour un satellite « rasant » que pour un satellite situé au zénith.

Ä De l’activité solaire

Des modèles de biais existent (on parlera alors de modèles de ionosphère) : ils interviendront dans le calcul des vecteurs. Si l’on dispose de suffisamment de temps d’observation, un modèle local peut être déterminé par le système de calcul.

L’utilisation de capteurs bi-fréquence atténue les effets de la traversée de l’ionosphère. Il existe une corrélation entre la fréquence de l’onde émise par le satellite et le ralentissement dû à la traversée de l’ionosphère. Une étude comparative se fera alors sur les deux fréquences reçues par le capteur.

3. Affaiblissement de la précision

Le GDOP est un coefficient d'affaiblissement de la précision. Il permet d'évaluer la géométrie de la constellation satellitaire.

Ä Un faible GDOP garantie une bonne géométrie.

Ä Un GDOP élevé traduit une constellation défavorable.

Plus la valeur du GDOP est faible, plus grande est la précision des résultats obtenus. Les observations devront être réalisées avec un GDOP inférieur à 8.

Exemples de configuration des satellites :Situation n°1 :

Position des satellites dans l’espace mauvaise intersection des sphères

Situation n°2 :

Position des satellites dans l’espace bonne intersection des sphères

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Le système GPS

Dans ce cas, le GDOP n’est pas bon, car les lieux de détermination (sphères) s’intersectent de manière imprécise.

a Sélection des bonnes fenêtres GPS

Une session d'une quinzaine de minutes permet d'enregistrer le message GPS contenant les éphémérides des satellites (voir supra).

Le logiciel de post - traitement permettra, grâce à ces observations, de visualiser les fenêtres correspondant à de bonnes conditions d'observation. Une bonne fenêtre GPS contient au moins quatre satellites avec un GDOP £ 8 et un angle de coupure de 15° par rapport à la station de référence et au récepteur mobile.

Cela permet, préalablement aux travaux, d'organiser un chantier.

b Gestion des masques

Il convient, pour avoir une fenêtre d'observation aussi large que possible, d'éviter les obstacles naturels (bâtiments, arbres ...) à proximité des sites choisis. En particulier, on évitera les obstacles au delà de 15° d'élévation.

Si l'on ne peut pas faire autrement, l’opérateur relèvera les "masques" (orientation et élévation des obstacles) existant autour du site pour pouvoir les intégrer aux données du logiciel et ainsi prévoir les meilleures fenêtres d'observation.

Cet inconvénient est devenu moindre au fil des progrès réalisés par les constructeurs,. Si au démarrage de la session le GDOP est trop élevé, en consultant le contrôleur, on peut prévoir son évolution et décider soit de changer de site pour revenir à un moment propice, soit attendre sur place un meilleur GDOP s'il doit diminuer.

4. Trajets multiples

Outre les obstacles, il convient d'éviter la proximité de surfaces réfléchissantes (ex : toits métalliques, grande étendue d’eau,…). En effet, des signaux vont tout d’abord arriver sur ces surfaces puis être orientés par réflexion sur le capteur. La distance mesurée dans ces conditions sera alors erronée.

5. Incidence de ces erreurs sur les mesures

a Mesure de code

Le temps de propagation mesuré pour déterminer la distance satellite/récepteur est biaisé car il comporte un terme dû au décalage d'horloge inévitable entre l'horloge du récepteur et celle du satellite et des biais de propagation du signal, d'où le terme de pseudo-distance.

Compte tenu des différentes mesures de pseudo-distances, la position du récepteur s'inscrit dans un volume d'indécision.

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Le système GPS

Soit le schéma suivant :

où :

Ä S1, S2, ...représentent les différents satellites ;

Ä dt1, dt2, ... représentent les biais d'horloge des satellites 1, 2 ,...;

Ä dT représente le biais d'horloge du récepteur ;

Ä R1, R2, ...représentent les distances vraies entre les satellites et le récepteur ;

Ä e1,e2, ... représentent les erreurs de propagation.

Considérons un satellite qui émet un signal au temps absolu GPS ta.

Ce signal est reçu par le récepteur au temps absolu Ta.

En théorie, la distance vraie R va être déduite du temps de parcours absolu

DT = Ta - tasoit : R = c.DT = c(Ta - ta)

Or, le temps absolu n'est pas mesurable. On mesure par contre sur une échelle des temps modifiée par les biais d'horloge, soit : DT' = T - t

où :

Ä t est le temps mesuré sur l'horloge réelle du satellite : t = ta - dt ;

Ä T est le temps mesuré sur l'horloge réelle du récepteur : T = Ta - dT.

La pseudo-distance s'écrit alors :

En réintégrant les biais de propagation, on obtient :

Cette équation est appelée Equation de la pseudo-distance.

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Le système GPS

b Mesure de phase

L’équation définie précédemment fait apparaître un terme qui dépend du temps mesuré par le satellite ainsi qu’un terme fonction du temps mesuré par le récepteur.

Les différents biais vus ci-dessus vont donc avoir une incidence sur la mesure de phase.

(1) Equation de temps

Les échelles de temps des récepteurs sont telles que :

où

Ä Ta représente le temps absolu du récepteur ;

Ä dT représente une combinaison de plusieurs erreurs :

ð désynchronisation de l'horloge ;

ð dérive de la fréquence (vieillissement) ;

ð différence de la fréquence par rapport à la valeur nominale ...

De même, les échelles de temps des satellites sont telles que :

où

Ä ta représente le temps absolu du satellite ;

Ä dt représente une combinaison de plusieurs erreurs, les mêmes qui génèrent dT auxquelles il convient d'ajouter un facteur résultant de la relativité.

On a alors : Ta = ta + durée de la propagation

Soit :

où

Ä représente la variation de temps due à la relativité ;

Ä représente la variation de distance satellite/récepteur due à la traversée de la ionosphère ;

Ä représente la variation de distance satellite/récepteur due à la traversée de la troposphère ;

Ä représente la variation de distance due à la relativité ;

Ä représente le retard électronique d'horloge du récepteur ;

Ä représente le retard électronique d'horloge du satellite ;

Ä c est la vitesse de propagation de l'onde, c'est-à-dire la vitesse de la lumière.

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Le système GPS


(2) Ecriture de la phase de battement

En remplaçant t par son expression dans (3), on obtient :

Ajoutons le terme T0-T0 au facteur de fs.

On obtient, en développant :

équation dans laquelle :

Ä représente la distance (exprimée en nombre de cycles) entre le satellite et le

récepteur, à l' instant t ;

Ä représente la phase de battement, entre les instants T et T0 ;

Remarque :

Si on considère que la fréquence émise par le satellite et la fréquence émise par le récepteur sont égales, alors on peut écrire :

Ä représente la correction (en nombre de cycles) de la

propagation de l'onde.

On la notera :

Ä est un terme constant qui donne le nombre de cycles avant verrouillage. Ce n'est pas forcément un nombre entier de cycles (ambiguïté N), mais on peut l'écrire sous la forme nombre entier plus une fraction de cycle, soit :

Ä est un terme de correction des horloges du récepteur et du satellite par rapport au temps absolu ;

Ä correspond à la correction électronique des oscillateurs.

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Le système GPS

Pour simplifier l'écriture de l'équation de la phase, on considérera que :

Ä ;

Ä les retards électroniques et les termes de relativité sont négligeables.

On obtient alors :

(4)

, phase de battement, correspond bien à la variation de distance entre les instants T et T0.

En effet :

Ä représente la distance, au temps T, entre le récepteur et le

satellite ;

Ä est la distance au moment du verrouillage, soit à l'instant T0.

Si l'on ne tient compte que de la variation de phase après T0, on peut soustraire ,

valeur connue car mesurée à l'aide du phasemètre.


(5)

En multipliant par et en posant , on obtient :

(6)

Cette équation (6) exprime les mêmes rapports entre les variables que l'équation (5). On ne change que l'unité : l'équation (5) est exprimée en nombre de cycles, alors que l'équation (6) est exprimée en unité de longueur.

Aux biais prés, cette équation montre que l'on mesure dans le récepteur la variation de distance satellite/récepteur de l'instant T0 (moment du verrouillage) à un instant postérieur T.

(3) Précision

La précision de cette méthode s'exprimera par la précision avec laquelle on peut mesurer la fraction de phase, soit technologiquement environ 2° sur 360°.

L1 ayant une longueur d'onde de 19 cm, la précision de la mesure est de l'ordre de :

à condition de considérer les erreurs en position dues aux différents biais comme nulles.

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Le système GPS

Il faut donc trouver une méthode qui permette d'éliminer toutes ces erreurs

Ä traversée de la ionosphère et de la troposphère ;

Ä biais d'horloge récepteur ;

Ä biais d'horloge satellite.

Soit au total une erreur environ de l’ordre de 10 à 20 m.

On utilisera donc une méthode différentielle qui annulera les erreurs systématiques liées soit au satellite, soit au récepteur.

(4) La méthode différentielle

Elimination des biais d'horloge récepteur (simple différence)

L'équation liée au satellite 1 s'écrit :

L'équation liée au satellite 2 s'écrit :

La simple différence entre ces deux équations permet d'éliminer cdT :

Elimination des biais d'horloge satellite (simple différence)

L'équation liée au récepteur A s'écrit :

L'équation liée au récepteur B s'écrit :

La simple différence entre ces deux équations permet d'éliminer cdt :

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Le système GPS

Elimination des biais d'horloge satellite et récepteurs : doubles différences

On considérera deux satellites et deux récepteurs aux mêmes instants.

On obtient :

Le terme correspondant aux biais d'horloges, a disparu.

De plus, si les conditions atmosphériques sont similaires en A et B, on peut écrire :

On obtient alors :

Il faut maintenant éliminer les ambiguïtés.

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Le système GPS

Elimination des ambiguïtés : triples différences

Une triple différence combine des doubles différences sur les mêmes récepteurs et mêmes satellites, à des instants différents.

Ä les distances entre les satellites et les récepteurs sont différentes.

On a donc :

Ä de t1 à t2, le même récepteur suit le (ou les ) même(s) satellite(s) : les ambiguïtés

N1A, N1B, N2A et N2B sont indépendantes du temps : elles disparaissent par différence.

Finalement, on obtient :

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Le système GPS

IV. LES TYPES DE POSITIONNEMENT

1. Positionnement absolu

L'utilisateur muni d'un récepteur mesure la distance entre sa station et plusieurs satellites à l'aide des codes C/A ou P. Chaque mesure de distance définissant une sphère, dont le centre est le satellite, trois satellites au minimum seront nécessaires pour obtenir un point d'intersection des trois sphères.

Ce type de positionnement est peu précis : de quelques mètres à 100 mètres suivant la qualité des éphémérides et les dégradations volontaires.

L'intérêt de cette méthode est l'obtention d'une position instantanée. Son utilisation principale est la navigation sur terre ou sur mer.

Soit O le centre de l'ellipsoïde WGS 84.

Soit M le point dont on cherche les coordonnées (X ,Y ,Z) dans le repère lié à cet ellipsoïde.

On a :


Or, la position du satellite est connue et la norme du vecteur (soit la distance séparant M et S) est mesurée. On en déduit donc la position du récepteur.

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Le système GPS

2. Positionnement relatif

La distance est calculée soit à partir des codes P ou C/A, soit à partir de mesures de phase sur les ondes porteuses L1 et L2, simultanément en deux stations sur les mêmes satellites. Le

résultat est le vecteur entre les deux stations.

Les coordonnées (X1,Y1,Z1) de la station M1 et (X2,Y2,Z2) de la station M2 sont à déterminer.

On a :

Or, on peut écrire :

Soit :

La gamme de précision varie de quelques mètres en pseudo-distance à 2 mm ± 10-6D ( à 10-8D) en mesure de phase (mode géodésique statique).

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V. LES TYPES DE TRAITEMENT

1. Temps différé ou post – traitement

C’est la méthode de travail la plus ancienne : la station de référence et la station itinérante doivent enregistrer simultanément les observations faites sur un nombre communs de satellites (4 au minimum).

Le temps de station peut varier en fonction de la distance entre les points, du matériel utilisé,…

Le calcul des points stationnés se fait ensuite au bureau sur un logiciel de post – traitement.

2. Temps réel

Comme en post – traitement, les deux stations doivent capter au moins 4 satellites communs.

La station de référence doit être installée sur un point de coordonnées connues.

Elle transmettra alors ses coordonnées ainsi que les observations réalisées vers la station itinérante, où les calculs des points stationnés seront effectués directement sur le terrain. On pourra alors n’enregistrer que les coordonnées calculées.

La transmission des données se fera soit par l’intermédiaire :

Ä de modem – radio ;

Ä de téléphones portables GSM.

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VI. LES MODES DE POSITIONNEMENT

A. Le mode statique

Dans le mode statique, un récepteur G.P.S. est positionné sur un point connu, l'autre (ou les autres) sont eux placés sur un (ou des) point(s) inconnu(s) à déterminer. On réalise ainsi la détermination d'une ligne de base.

Une session est la période pendant laquelle le contact est maintenu entre un nombre suffisant de satellites (au moins 4) et les deux récepteurs permettant de recueillir suffisamment de mesures pour calculer le point nouveau.

La durée de cette session dépend de la longueur des vecteurs.

Les constructeurs proposent des récepteurs capables de raccourcir ce temps "d'observation" à quelques minutes si la distance entre les deux récepteurs ne dépasse pas la dizaine de kilomètres, ce qui est généralement le cas pour un chantier de canevas d'ensemble.

Ce mode s'appelle le statique-rapide.

Une fois la session effectuée, on conserve un récepteur sur une des extrémités de la ligne de base, appelée station de référence provisoire ou pivot, et on déplace l'autre récepteur sur un nouveau point à déterminer pour réaliser une nouvelle session.

On peut ainsi de proche en proche déterminer tous les points du chantier.

Les différences de coordonnées entre le récepteur sur le pivot et le récepteur sur un point inconnu peuvent être déterminées avec une précision de 1/100 000 (1 cm au km).

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B. Le mode cinématique

Le mode cinématique "vrai" consiste à placer un récepteur sur un point connu pendant qu'un autre récepteur se déplace.

A tout moment pendant la session, le contact doit être maintenu entre les récepteurs et les satellites. Cette méthode est essentiellement utilisée en trajectographie et peu utile pour la réalisation d'un canevas d'ensemble.

Toutefois, une technique proche de celle-ci appelée stop and go permet de compléter utilement la méthode statique.

Après avoir déterminé une ligne de base, le récepteur mobile est positionné quelques instants (quelquefois quelques secondes suffisent) sur des points que l'on veut déterminer. Ces points peuvent être assimilés soit à des points rattachés (stations excentrées par exemple), soit à des points de canevas polygonal ou de détail soit encore à des points d'appui doublés lors d'une stéréopréparation.

La difficulté de la technique stop and go consiste à maintenir le contact entre les satellites et les deux récepteurs pendant le déplacement du récepteur mobile. A défaut, on génère des sauts de cycles qui vont augmenter le nombre d'ambiguïtés et donc le temps d'observation.

Cette méthode est actuellement délaissée au profit de la méthode « temps réel ».

C. La réoccupation (ou pseudo-cinématique)

Ce mode particulier permet d'éviter un des principaux inconvénients de la méthode statique qui est la durée des sessions. En effet, on a vu que le mode statique demande des sessions assez longues pour permettre à la configuration satellitaire de varier suffisamment.

L'idée est de conserver un récepteur fixe (référence) et de déplacer un récepteur (mobile) sur les points inconnus en "stationnant" (plusieurs minutes) deux fois chaque point à deux époques espacées d’environ deux heures. On obtient ainsi des fichiers de mesures à deux époques différentes pour lesquelles la constellation a suffisamment évolué. En fusionnant les deux fichiers, on se ramène à un calcul analogue à celui pratiqué en mode statique.

Cette méthode est en réalité peu pratiquée du fait de l'apparition du mode statique rapide.

Toutefois, elle peut se révéler utile si lors d'une session le récepteur ne capte pas suffisamment de satellites (récepteur défaillant ou constellation défavorable). En effet, en réoccupant le site plus tard, on obtiendra un second fichier de mesures qui, ajouté au premier, permettra la détermination du point.

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VII. METHODES MISES EN ŒUVRE SUR LE TERRAIN

Les deux méthodes les plus utilisées sont celle de la polygonale ou celle du pivot.

A. Polygonale

Cette méthode consiste à former une polygonale double. Toutes les antennes sont mobiles. Elles vont permettre de recueillir les observations sur les sommets des triangles simultanément. Ensuite, deux antennes restent en station alors que la troisième se déplace sur le troisième sommet du triangle suivant. On obtient ainsi une chaîne de triangles, ayant deux à deux une base commune.

Cette méthode peut être mise en œuvre pour des chantiers présentant une forme longiligne, de longueur supérieure à 10 km.

Elle présente l'avantage d'optimiser le temps d'observation, chaque antenne étant mobile. De plus, les points étant reliés entre eux par plusieurs vecteurs, leur détermination est possible, même en présence de vecteurs défaillants. Cependant, elle nécessite des liaisons radio entre les opérateurs, les observations devant être faites simultanément, et impose le suivi d'un planning rigoureux. De plus, elle nécessite de disposer de trois antennes.

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B. Méthode du pivot

Cette méthode consiste à créer sur le chantier une ou plusieurs stations de référence (appelées pivots) à partir desquelles on détermine, grâce à un (ou plusieurs) récepteur(s) itinérant(s), des points nouveaux.

La méthode du pivot présente l'avantage d'une grande souplesse d'utilisation. Les antennes mobiles sont indépendantes l'une par rapport à l'autre, elles doivent seulement être couvertes par les observations du pivot.

1. Cas d'un "petit" chantier

La longueur des vecteurs limitée à 5 km détermine la taille maximale d'un chantier mis en œuvre avec une seule station de référence.

Sur la station de référence est positionnée une antenne, en observation continue. Pendant ce temps, une ou plusieurs antenne(s) mobile(s) se déplace(nt) sur tous les points nouveaux à déterminer ainsi que sur les points de la NTF qui serviront d'appui au rattachement au système local.

Le contrôle est assuré par l'observation de vecteurs indépendants (la définition de vecteurs indépendants est donnée dans la notice « Les levers cadastraux réalisés par la technique du positionnement par satellites »). Les mêmes vecteurs sont réobservés à des époques et avec une constellation satellitaire différentes.

2. Cas d'un chantier important

Plusieurs stations de référence seront choisies de manière à couvrir la totalité du chantier par des vecteurs de longueur inférieure à 5 km.

Dans ce cas, les opérations de terrain consistent, outre l'observation des points nouveaux, à relier toutes les stations de référence par une double détermination de vecteurs.

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CHAPITRE I - GENERALITES.......................................................................................2

I. INTRODUCTION................................................................................................................................................2

II. LES SYSTEMES DE GEODESIE SPATIALE................................................................................................3A. Géodésie géométrique.......................................................................................................................................3

1. Photographie sur fond d'étoiles.........................................................................................................................32. Télémétrie laser.................................................................................................................................................43. L'altimétrie radar...............................................................................................................................................44. L'interférométrie à très longue distance (ou V.L.B.I.)......................................................................................4

B. Géodésie dynamique.........................................................................................................................................61. Le système TRANSIT.......................................................................................................................................62. Le système NAVSTAR-GPS............................................................................................................................7

CHAPITRE II - CARACTERES GENERAUX DES MOUVEMENTS PERIODIQUES.....8

I. GENERALITES-DEFINITIONS.......................................................................................................................8A. Mouvement sinusoïdal......................................................................................................................................8B. Périodicité du mouvement.................................................................................................................................9C. Représentation de Fresnel...............................................................................................................................10D. Différence de phase entre deux fonctions sinusoïdales...................................................................................10

II. ONDES HERTZIENNES..................................................................................................................................11A. Définitions.......................................................................................................................................................11B. Constitution d'une onde électromagnétique....................................................................................................12

CHAPITRE III - L'EFFET DOPPLER.............................................................................15

I. DEFINITIONS...................................................................................................................................................15

II. MISE EN EQUATION DE L'EFFET DOPPLER-FIZEAU.........................................................................15A. Equation générale............................................................................................................................................15B. Cas particuliers................................................................................................................................................16

III. APPLICATION AUX ONDES ELECTROMAGNETIQUES......................................................................17A. Equation..........................................................................................................................................................17B. Variation en distance.......................................................................................................................................18

CHAPITRE IV - LOIS DE KEPLER...............................................................................19A. Première loi (ou loi des orbites elliptiques)(1605)..........................................................................................19B. Deuxième loi (loi des aires)(1609)..................................................................................................................20C. Troisième loi (1619)........................................................................................................................................21

CHAPITRE V - LE SYSTEME G.P.S.............................................................................23

I. PRESENTATION..............................................................................................................................................23

II. LES COMPOSANTES DU SYSTEME GPS...................................................................................................24A. Le secteur spatial.............................................................................................................................................25

1. La constellation...............................................................................................................................................252. Les signaux......................................................................................................................................................263. Accès aux signaux...........................................................................................................................................27

a L’accès sélectif...........................................................................................................................................27b L’anti- leurrage...........................................................................................................................................27

4. Le message de navigation...............................................................................................................................29

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Le système GPS

B. Le secteur de contrôle.....................................................................................................................................31C. Le secteur utilisateur.......................................................................................................................................32

1. Les utilisateurs.................................................................................................................................................322. Catégorie de matériel......................................................................................................................................32

a Les récepteurs monofréquence...................................................................................................................32b Les récepteurs bifréquence.........................................................................................................................32c Matériel utilisé à la DGI.............................................................................................................................32

III. PRINCIPE DE FONCTIONNEMENT............................................................................................................34A. La détermination de la distance satellite / récepteur.......................................................................................34

1. La mesure de pseudo-distance.........................................................................................................................34a Principe.......................................................................................................................................................34

2. La mesure de phase.........................................................................................................................................35a Principe.......................................................................................................................................................35b Mesure de la phase de battement................................................................................................................37c Mise en équation : Variation de fréquence par rapport au temps...............................................................37

B. Les sources d’erreurs.......................................................................................................................................381. Les erreurs d’horloges.....................................................................................................................................382. Les biais de propagation..................................................................................................................................383. Affaiblissement de la précision.......................................................................................................................39

a Sélection des bonnes fenêtres GPS.............................................................................................................40b Gestion des masques...................................................................................................................................40

4. Trajets multiples..............................................................................................................................................405. Incidence de ces erreurs sur les mesures.........................................................................................................40

a Mesure de code...........................................................................................................................................40b Mesure de phase.........................................................................................................................................42

IV. LES TYPES DE POSITIONNEMENT............................................................................................................481. Positionnement absolu.....................................................................................................................................482. Positionnement relatif.....................................................................................................................................49

V. LES TYPES DE TRAITEMENT.....................................................................................................................501. Temps différé ou post – traitement.................................................................................................................502. Temps réel.......................................................................................................................................................50

VI. LES MODES DE POSITIONNEMENT..........................................................................................................51A. Le mode statique.............................................................................................................................................51B. Le mode cinématique......................................................................................................................................52C. La réoccupation (ou pseudo-cinématique)......................................................................................................52

VII. METHODES MISES EN ŒUVRE SUR LE TERRAIN...........................................................................53A. Polygonale.......................................................................................................................................................53B. Méthode du pivot............................................................................................................................................54

1. Cas d'un "petit" chantier..................................................................................................................................542. Cas d'un chantier important.............................................................................................................................54

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Documents

GPS Principes et Méthodes