Grandeurs et Mesures

Quelques phrases pour démarrer Répondre par correct ou incorrect :

1°) Ce segment fait 3cm.

2°) Ce segment a pour mesure 3cm.

3°) Cette surface est de 3cm2.

4°) L’aire de cette surface est de 3 cm2

5°) Il me faut 3m de ficelle.

6°) Si le périmètre d’une figure augmente, alors l’aire de cette figure augmente nécessairement aussi.

Le volume du cylindre

Etant donné un rectangle non carré, on peut

fabriquer deux cylindres dont ce rectangle

constitue la surface latérale :

Quelle est selon vous la bonne

réponse ?

Les deux cylindres ont le même volume

Le cylindre le plus haut a le plus grand

volume

Le cylindre le plus haut a le plus petit

volume

On ne peut pas savoir

Protocole expérimental

• Fabriquer deux cylindres avec deux rectangles en

carton superposables.

• Découper les bases pour qu’elles s’ajustent et

assembler les deux parties de façon étanche.

• Remplir l’un des cylindres à ras bord avec du

sable (ou de la semoule).

• Vider le sable dans l’autre cylindre.

• Observer le résultat et faire une conjecture.

Solution mathématique Notons respectivement L la longueur et l la largeur du

rectangle.

Volume du cylindre le plus haut

• La hauteur est égale à la longueur L.

• La base du cylindre est le cercle de périmètre l et de rayon r donc l = 2π×r d’où r = l / 2π

• Le volume du cylindre est égal au produit de l’aire du disque de base par la hauteur. V1 = A1 × h

• L’aire de la base du cylindre est donné par :

A1 = π × r2 = π ×(l/2π)2 = l2 / 4π

• Le volume du cylindre est donc égal à V1 = L × l2 / 4π

Volume du cylindre le moins haut

La base du cylindre est le cercle de périmètre L.

La hauteur est égale à la longueur l.

• L’aire de la base du cylindre est donnée par :

A2 = L2 / 4π

• Le volume du cylindre est donc égal à

V2 = l × L2 / 4π

Conclusion

Pour comparer V1 et V2, on calcule le rapport

V1/V2 = (L×l2 /4π) / (l×L2 /4π) = (Ll2 ×4π) / (l L2 ×4π)

V1/V2 = l / L comme l < L alors V1/V2 < 1 d’où V1 < V2

Pour tout rectangle non carré, le cylindre le plus haut a

le plus petit volume.

Le rapport du plus petit volume au plus grand volume

est égal à l/L.

• Ce problème historique qui se posait aux paysans a

été résolu par Galilée.

Quel est le plus grand rectangle?

Aire , périmètre,

encombrement?

Grandeur

Tout caractère d’un objet

susceptible de variation

chez cet objet ,

ou d’un objet à l’autre.

Un premier exemple très élémentaire :

le cardinal d’une collection

• Les objets sont les collections finies

• La grandeur est la taille de la collection ; elle peut être estimée à vue dans certains cas , sinon, la comparaison se fait par la correspondance terme à terme (protocole expérimental).

• L’étalon est l’unité au sens de « un objet »

• La mesure est le dénombrement associé à la structure numérique des entiers.

• On peut changer d’étalon : la dizaine

Différentes grandeurs

• Des grandeurs non repérables – par exemple : la gentillesse

• Des grandeurs repérables – par exemple la température

• Des grandeurs mesurables : – Relation d’équivalence : avoir la même longueur que

– Relation d’ordre total : être plus lourd que (au sens large)

– Un étalon permettant d’attribuer un nombre : la mesure m

– Addition telle que m(x+y) = m(x)+m(y)

– Multiplication telle que km(x) = m(kx)

Objets: segments,polygones,cercle

surfaces

solides

secteurs angulaires

Nombres:

mesure de

Grandeurs: longueur

aire

volume

angle

masse

Longueurs: • périmètre d’une face

• longueur d’une arête, longueur de

toutes arêtes (qui n’est pas la somme

des périmètres des faces).

Aire: •aire d’une face

•aire totale (qui est la somme des aires

de chaque face).

Volume: • à l’école: capacité, contenance

• au collège: volume

angles

masse

Avec le cube

De quoi parle- t- on ?

1. Paul et André ont acheté des chemises de

même taille

2. Paul et André portent tous deux des

chemises 42

3. Paul et André ont acheté la même chemise

De quoi parle- t- on ?

1. Le périmètre d’un carré est 4 fois la

longueur de son côté.

2. Le périmètre du carré est de 8 cm

3. Repasser le périmètre du carré en rouge

Pour comparer, il n’est pas toujours

nécessaire de mesurer, on peut

estimer à l’aide des sens (vue, toucher,

ouïe, kinesthésie) ou mettre en place

une procédure de comparaison.

Comparer sans mesurer : par superposition

Comparer sans mesurer : par déplacements et

superposition

Comparer sans mesurer : en reportant des

longueurs

Comparaison indirecte

Exemple d’une grandeur : la longueur

Cycle 1 :

Un objet a des critères

• Observer et comparer

pour distinguer des

critères,

• Classer

• ranger.

Cycle 2 :

Des objets sont

comparables selon un

critère

• comparaison directe

• comparaison indirecte

Le mesurage :

• Construire des objets définis

par des mesures

( unité de grandeur fixée),

• Mesurer des objets (grandeur

à mesurer précisée)

• Les unités sont le mètre et le

centimètre.

• Cycle 3 La mesure est un critère

fondamental

• Comparer des objets selon une

grandeur

• Opérer sur des grandeurs sans

mesurer.

• Estimer la mesure avant

l’utilisation d’instruments.

• Maîtriser les unités légales du

système métrique et de leurs

relations.

• Exprimer le résultat d’un

mesurage par un nombre ou

un encadrement

• Effectuer des calculs simples

sur les mesures (utilisation

des équivalences entre unités

usuelles de longueur)

• Calculer le périmètre d’un

polygone.

• Sixième - Effectuer, pour les

longueurs des changements

d’unités de mesure.

- Comparer

géométriquement des

périmètres.

- Calculer le périmètre d’un

polygone.

- Connaître et utiliser la

formule donnant la

longueur d’un cercle.

• Cinquième -. - Calculer le périmètre

d’une figure

(Pour les polygones, dont

le parallélogramme, la

compréhension de la notion

de périmètre suffit à la

détermination de procédés

de calcul ; les formules

sont donc inutiles).

Pour pouvoir parler de la longueur d’un

objet, il faut pouvoir se ramener à un

segment de droite.

Comparer la longueur de deux objets,

c’est comparer les segments de droite

correspondants.

Différents mots pour la grandeur

« longueur » :

Pour le cheval : la hauteur au garrot

Pour un oiseau : l’envergure

Pour un être humain : la taille ; le tour de taille -

de hanche - de cou ou de tête ; l’empan de la main

etc…

Pour un bâtiment : sa hauteur ; la longueur de sa

façade ; sa largeur ou sa profondeur ;

Pour une pièce : sa hauteur de plafond etc…

Les mots du domaine des longueurs sont assez nombreux. sans être exhaustifs, citons

• hauteur d’un monument, d’un arbre (par contre la hauteur du Soleil est un angle) ;

• altitude d’un sommet, d’un avion en vol ;

• dénivelé d’une route ;

• profondeur d’une piscine, d’un placard ;

• taille d’une personne, tour de cou, tour de taille ;

• distance entre deux lieux, entre deux points ;

• largeur d’un fleuve, d’un rectangle ;

• périmètre d’un polygone ;

• circonférence d’un cercle…

Il est important pour l’élève que tous ces mots, utilisés dans des contextes différents, se réfèrent au même concept, appelé en mathématiques « longueur ».

La longueur n’est pas nécessairement liée à

directement à l’encombrement :

Longueur d’un tuyau enroulé ;

Longueur de l’intestin ;

Longueur d’un coupon de tissu ;

Longueur de fil sur une bobine électrique

Longueur d’une spirale etc..

Longueur de tube des cuivres (cor, trompette,

tuba)

…

Des grandeurs sans

mesure

Sans mesurer, on peut anticiper

mentalement et/ou perceptivement les

résultats d’une comparaison

Classement des aires ?

Classement des périmètres ?

Dans un second temps, les

comparaisons amènent à des rapports

de grandeurs

Des rapports de grandeurs

Le secteur angulaire droit peut être recouvert exactement par trois secteurs

angulaires superposables au secteur angulaire jaune

L’angle droit est égal à 3 fois l’angle jaune du triangle

Des rapports de grandeurs

On peut recouvrir exactement le rectangle avec les deux cerf-

volant qui sont superposables.

L’aire du rectangle est égale à deux fois l’aire du cerf-volant

Sans utiliser la mesure, il est possible

de comparer des grandeurs ou de

trouver des rapports de grandeurs

En conclusion :

Des grandeurs aux

mesures

« Il est souvent commode, pour comparer

toutes les grandeurs d ’un même domaine, de

les comparer à une grandeur particulière...»:

l’unité.

Document d’accompagnement des

programmes 2002 de l’école

élémentaire

« Il devient dès lors possible d ’associer à

chaque grandeur un nombre, appelé sa

mesure relativement à cette unité »

On peut dans un premier temps, enrichir le

travail de comparaison de grandeur, de la

procédure par comptage d’unités*

Cette procédure devient plus efficace quand

il s’agit de transmettre par écrit, sans

dessin, des informations permettant de

construire un objet de même grandeur.

Différents étalons (Différentes formes) pour

une même unité

1L

1L 1L

Etalon

Objet ou instrument qui matérialise

une unité de mesure, et sert de

référence, de modèle légal : mètre

étalon, étalon de masse, de poids

etc..

(Le Petit Larousse Illustré, 1994)

Différents étalons (Différentes

formes) pour une même unité

A vous :

L’unité choisie est l’aire d’un carré de coté 1.

Dessiner au moins quatre étalons pour cette

unité (surfaces de formes différentes ayant

même aire).

Différents étalons pour une même unité

1 unité

D’après « le tour de l’aire … » (IREM de Lyon)

Le système métrique

• Des unités en relation les unes avec les autres dans des rapports qui sont des multiples de 10

• Un système très largement utilisé dans la plupart des pays pour la vie quotidienne et les activités scientifiques

• Les élèves doivent être familiarisés avec la signification des préfixes usuels ( Kilo, hecto…)

• Les exercices de transformations de mesure doivent rester raisonnables.

Le travail de mesure

La mesure peut être obtenue :

par une estimation,

par un mesurage,

par une lecture directe dans un

énoncé,

par un raisonnement et un calcul.

Estimation

Il est souhaitable d’apprendre à estimer

avant de procéder au mesurage,

Soit à l’œil, soit par geste, soit à partir

de mesures connues.

La mesure peut être obtenue :

par une estimation,

par un mesurage,

par une lecture directe dans un

énoncé,

par un raisonnement et un calcul.

Mesurage

La mesure est la plupart du temps obtenue par

lecture d’une graduation ( sauf pour les aires).

Une réflexion sur la précision des mesures doit

être menée lors des activités de mesurage.

La fabrication d’un instrument de mesure permet de

soulever la question du choix d’un étalon pour une

unité donnée, et de la graduation.

La mesure peut être obtenue :

par une estimation,

par un mesurage,

par une lecture directe dans un

énoncé,

par un raisonnement et un calcul.

Lecture directe

Dans des problèmes de mesures la prise

d’information peut se faire par mesurage,

par lecture de côtes, par calcul.

Le choix de la lecture directe de

l’information n’est pas toujours évident

pour l’élève.

Prise d’information

A

B C

Quelle est la mesure de BC ?

Mesurage

Lecture directe

A

B C

Quelle est la mesure de BC ?

7 cm

Prise d’information

Calcul

A

B C

Quelle est la mesure de BC ?

Sur ce dessin 1cm

représente 5 cm.

7 cm

Prise d’information

La mesure peut être obtenue :

par une estimation,

par un mesurage,

par une lecture directe dans un

énoncé,

par un raisonnement et un calcul.

12 cm

10 cm

Sophie a dessiné 3

étiquettes rectangulaires

toutes identiques sur une

plaque de carton, comme le

montre le dessin.

a) Calcule la longueur

réelle d’une étiquette

b) Calcule la largeur réelle

d’une étiquette

D ’après l’évaluation 6ième

Raisonnement et calcul

Raisonnement et calcul

B

A

La surface B est obtenue en collant

4 figures A comme le montre le dessin.

Calculer le périmètre de B.

4,5 m

6 m

7,5 m

Quelle est la masse inconnue ?

?

Raisonnement et calcul

? 100 ?

Combien de temps s’est écoulé entre 9 h 27 min et 11 h 5 min ?

33 min 1 heure 5 min + +

ou 2 heures

- (27min-5min) ou 1 heure

33 min 5 min

33min 1 heure 5 min + +

Avec des cadrans

Raisonnement et calcul

Exemples à l’école et au collège OBJET GRANDEUR MESURE

Segment

Contour d'une

surface plane

Longueur

Nombre d’unités

formule du périmètre du carré et du rectangle,

de la longueur du cercle.

Surface plane Aire Nombre d'unités.

formule de l’aire d’un rectangle, d’un triangle, d’un parallélogramme, d’une sphère.

Solide Volume ( capacité)

Masse

Nombre d'unités.

formule du volume du pavé droit, du prisme

droit, du cylindre de révolution, de la

pyramide, du cône de révolution, de la boule.

Secteur

angulaire angle Nombre d'unités (gabarit)

Pas de formule

Temps durée Pas de techniques de calculs

Reprise de Quelques phrases pour

démarrer Répondre par vrai ou faux :

1°) Ce segment fait 3cm.

2°) Ce segment a pour mesure 3cm.

3°) Cette surface est de 3cm2.

4°) L’aire de cette surface est de 3 cm2

5°) Il me faut 3m de ficelle.

6°) Si le périmètre d’une figure augmente, alors l’aire de cette figure augmente nécessairement aussi.

Réponses (du point de vue des mathématiques)

1°) Ce segment fait 3cm. INCORRECT

2°) Ce segment a pour mesure 3cm. INCORRECT

3°) Cette surface est de 3cm2. INCORRECT

4°) L’aire de cette surface est de 3 cm2 CORRECT

5°) Il me faut 3m de ficelle. INCORRECT

6°) Si le périmètre d’une figure augmente, alors l’aire de

cette figure augmente nécessairement aussi. FAUX