Mmo contemporain

ESSI 1re Anne - AUTOMATIQUE et Traitement du Signal: Les Deux Reprsentations du Signal - Page -1-

Page - 5 -

Les Deux Reprsentations du Signal

Afin dillustrer la fois les notions de grandeur physique, capteur, signal, chantillonnage ... considrons un son enregistr par un magntophone durant D secondes et mmoris sur une bande magntique. A lorigine, il sagit dune vibration de lair que le microphone (capteur, transducteur) transforme en un signal lectrique continu et que le magntophone traduit son tour par une aimantation variable sur la bande magntique.

Si maintenant ce son est enregistr par un ordinateur avec la frquence dchantillonnage sur des mots de B bits et plac dans le fichier son.wav, cest un signal discret , qui sera mmoris.

Reprsentation temporelle (exemple1.m)

Lutilitaire sndrec32.exe (ou magntophone de Windows) propose plusieurs qualits denregistrement. La qualit CD correspond , B = 16 bits par chantillon, et la strophonie. Un signal durant D=ncessite 16 17 Moctet, alors que ce sera 4 fois moins avec la qualit radio, , mono, 8 bit, ou moins encore pour la qualit tlphone 8kHz, mono ... Ainsi le fichier corbeille.wav de Windows utilise 20.1 koctet, et dure 0.84 s. On peut le visualiser laide de Matlab comme suit:

[y,fs,b]=wavread('corbeille'); % si corbeille.wav dans le rpertoire

t=[0:size(y,1)-1]/fs; % stro ( 2 vecteurs dans y

plot(t,y)

title('Son corbeille.wav')

xlabel('temps (s)')

ylabel('signal sonore')

fs, b % donne fs= 22050 et b = 8

Il existe deux reprsentations quivalentes pour le signal prcdent :

la fonction , reprsentation du signal au cours du temps, est la reprsentation usuelle, p. ex. sur lcran dun oscillo.

le spectre du signal, , donne la reprsentation frquencielle (avec la pulsation ou la frquence , selon lunit choisie ou , et), visible sur lcran dun analyseur de spectre. Remarque: on dnomme spectre du signal la quantit =si elle est relle, ou le module , ou son carr (* conjugaison complexe)

On passe de lune lautre par la transformation de Fourier , soit: et .Reprsentation frquencielle

Le son corbeille.wav prcdent est lu par Matlab, et son spectre est reprsent ci-contre laide des instructions suivantes:

[y,fs,b]=wavread('corbeille');

freq=-2048:2047; % 4096 chantillons (4096 frquences

spec=fft(y,4096); % rparties galement sur [0, fs[

spec2=fftshift(spec); % transforme en [-fs/2, fs/2[

freq=freq*fs/4096;

plot(freq,abs(spec2))

La transforme de Fourier est calcule laide de lalgorithme de transforme de Fourier rapide (ou fft), sur une fentre temporelle de 4096 points ). Le spectre obtenu contient aussi 4096 points. On fait une symtrie par rapport la frquence nulle (en abscisse).

Cas particulier des signaux priodiquesOn commence la discussion par le cas plus simple de la dcomposition en sries de Fourier des signaux T - priodiques (de priode ).

Pour un signal sinusodal de frquence (pulsation ) :

On dfinit une srie de Fouriercomme une somme de sinusodes de frquences multiples dune frquence fondamentale , ou (en ) appele fondamental F ou premier harmonique H1; la composante de pulsation , entier, est lharmonique de rang k ou Hk de frquence .Ainsi, quel est le spectre de la srie de Fourier suivante:

?Identifier la composante continue CC, le fondamental et les harmoniques de la srie avec leurs amplitudes.

Spectre de raies dune fonction priodique. Dcomposition en srie de Fourier

Sous des conditions gnrales, un signal priodique, de priode peut tre reconstruit laide dune srie de Fourier:

avec et .

Les et sont les coefficients de Fourier (ou les ):

est la composante continue, ou valeur moyenne,

dcrivent le fondamental ou premier harmonique

lharmonique n

Calcul des coefficients de Fourier

On note que les fonctions soit et soit forment une base de fonctions orthogonales pour le produit scalaire dfini comme la valeur moyenne de lintgrale du produit :

On a en effet: , mais galement

et .

En consquence, et au vu de la forme de , on a :

, que , et

(Comparer avec les formules dj vues en mathmatiques)

Convergence de cette dcomposition, phnomne de Gibbs:

La dcomposition en srie de Fourier dun signal contient a priori une infinit de termes. Pour reconstruire le signal, on est contraint de tronquer (dapproximer) lharmonique N. Les signaux discontinus tels que le signal carr ci-dessous sont difficiles reconstruire ; lorsque lon accumule les harmoniques, il apparat un phnomne doscillations amorties sur lapproximation dit phnomne de Gibbs.

Illustration du Phnomne de Gibbs:

Dcomposition du signal carr suivant en srie de Fourier :

On trouve: , ,, etpour impair, pour pair.

Soit

Allure du spectre associ ?

% Le script exemple3.m construit un carr l'aide d'une srie de Fourier tronque H15.

f=2*pi;

t=0:.01:1;

figure(1)

serie=(4/pi)*(sin(f*t)+ ...

sin(3*f*t)/3 + ...

sin(5*f*t)/5 + ...

sin(7*f*t)/7 + ...

sin(9*f*t)/9 +...

sin(11*f*t)/11+ ...

sin(13*f*t)/13+ ...

sin(15*f*t)/15);

plot(t,serie,t,sign(sin(f*t)),'r')

grid

Exercice: (exemple3.m)

Analyser les instructions suivantes qui reconstituent le signal en dents de scie ci-contre sur une seconde. A quel harmonique sarrte ton? Que dduire pour la dcomposition en srie de Fourier de ce signal? Comparer au cas prcdent du carr.

fs=8000;

t=0:1/fs:1;

f=1;

s=(8/pi^2)*(cos(2*pi*f*t)+ ... cos(6*pi*f*t)/9+ ... cos(10*pi*f*t)/25);

plot(t,s)

gridProprit fondamentale des filtres linaires

Un systme linaire et stationnaire (ou filtre linaire) peut tre reprsent comme on la dj dit par une fonction de transfert, une quation diffrentielle, ou un produit de convolution.

En rgime tabli (permanent), la rponse dun filtre linaire une entre sinusodale est sinusodale. Dmonstration: Cherchons une solution particulire sinusodale de lquation diffrentielle lorsque lentre est sinusodale:

est une quation gnrale dordre

Prenons une entre et une sortie complexes, soient et , sachant que .

La solution particulire vrifiant lquation diffrentielle, on a

en simplifiant par : .

Do lon tire: et .

Rponse harmonique (ou frquencielle):

Le premier rsultat donne le gain ou facteur dattnuation du filtre linaire, le second le dphasage du signal de sortie par rapport au signal dentre en fonction de . Gain et dphasage fonction de la frquence/pulsation constituent la rponse harmonique du filtre.

Par consquent, comment dduire la rponse harmonique dun filtre linaire de lquation diffrentielle? De la fonction de transfert?

Consquencede la proprit fondamentale:

Soit lentre priodique non sinusodale, dcompose en srie de Fourier; on applique chaque harmonique le facteur dattnuation et le dphasage du filtre cette pulsation, la sortie du filtre est alors la superposition des harmoniques attnues et dphases.

La dcomposition en srie de Fourier a t propose pour rsoudre lquation de propagation de la chaleur dont on connaissait la solution sinusodale.Non linarit applique un signal priodique

Inversement, une non linarit applique une entre sinusodale engendre des harmoniques supplmentaires.

Ainsi, le signal carr prcdent peut tre obtenu en passant un signal sinusodal dans la non linarit signe.

Cest une faon conomique de crer des harmoniques.

Filtrage:

Supposons que lon cherche retrouver le fondamental dun signal en supprimant les harmoniques ; on pourra procder en appliquant un filtre linaire qui prsente un gain unit la frquence du fondamental et un gain nul pour les autres harmoniques.

De faon gnrale, ces oprations slectives dattnuation ou damplification des raies du spectre dun signal constituent des oprations de filtrage de ce signal.

Exempledu Filtre de Butterworth((Ce filtre prsente un gain plat sans ondulation (ripple) vers les basses frquences, et une chute rapide du gain partir de la pulsation de coupure . Une possibilit de ralisation stable consiste mettre en srie des filtres du second ordre type tels ci-dessous avec un amortissement rduit valant :

(filtre Butterworth dordre n=2)

Ce filtre. La coupure des hautes frquences est de plus en plus raide quand n crot.on passe par quand .

1. Complter lallure de la courbe de gain de B(p) ci-dessous. Rajouter le gain dans le cas n=4 du filtre B(p)*B(p)

2. Donner la fonction de transfert du filtre de Butterworth dordre 4 si on souhaite avoir .

3. Calculer le filtre dordre 4 pour attnuer les harmoniques dun signal carr de priode et conserver le fondamental

Puissance vhicule par un signal(Th. Parseval)

Par dfinition, la puissance moyenne transporte par un signal de priode T est:

Si on applique la dcomposition en srie de Fourier, cest:

Le premier terme est la puissance moyenne associe la composante continue CC, la somme qui suit est la puissance vhicule par les harmoniques et les ondulations du signal .

Cette galit sappelle thorme de Parseval:

Elle indique comment la puissance moyenne transporte par le signal priodique se rpartit entre les raies du spectre.

On peut y ajouter un ensemble dindicateurs mesurant la distorsion, londulation, ... pour qualifier et analyser la forme du signal .

Transforme de Fourier

Quand on tend lanalyse prcdente des signaux priodiques au cas non priodique, en faisant tendre la priode T vers linfini, les raies harmoniques disparaissent, le spectre devient une fonction continue de et la srie de Fourier devient la transforme de Fourier :

En prenant comme variable la frquence (en Hz) au lieu de la pulsation (en rd/s), les formules de transforme et de transforme inverse sont plus symtriques:

Dans la suite, on utilisera la frquence pour viter le coefficient qui apparat dans les proprits de si on utilise la pulsation .

Cependant,

quelquesoit la variable utilise, on conserve .Comme pour la transforme de Laplace, on utilise des tables de transformes de Fourier des signaux usuels pour calculer le spectre dun signal, ou retrouver la reprsentation temporelle.

Rappel- Transforme de Laplace :

, variable (complexe) de Laplace.

Laplace et Fourier taient franais, et contemporains.

Le premier, astronome, physicien, mathmaticien, sorte de gnie universel, est parfois prsent comme le Newton franais.

Le second, beaucoup plus tourn vers les applications, a privilgi le lien entre Mathmatique et Physique, avec en particulier ses expriences et thories sur la propagation de la chaleur :

Joseph, Jean-Baptiste, Baron de Fourier, 1768-1830 , gouverneur de Haute Egypte, Prfet de Grenoble ...

Pierre, Simon, Marquis de Laplace, 1749 1827 ...

Dix proprits de la transforme de Fourier F

Semblables mais non identiques celles de la transforme de Laplace: est ici la frquence, on note s(t) le signal analys et sa transforme de Fourier

Linarit: est linaire

Produit de convolution et cartsien :

un produit dans le domaine temporel donne un produit de convolution sur les spectres et inversement, un produit dans le domaine frquenciel donne un produit de convolution temporel.

Thorme de translation frquencielle:

Thorme de translation temporelle:

Thorme de mise lchelle (dilatation dimage):

Transforme de la diffrenciation:

Thorme de Parseval:

Cest lnergie vhicule par le signal . On introduit alors ladensit spectrale dnergie la frquence soit .

Proprits de parit et dimparits(t) fonction paire du temps

INCORPORER Equation.3 paire et relles(t) impaire impaire et imaginaire pure

Proprit de dualitde :si alors

et

Proprit dite fondamentale:

signal rel

INCORPORER Equation.3 (*=complexe conjugu)

Exercice:

Comment faut il modifier ces proprits si lunit utilise pour le spectre nest pas le (frquence) mais le (pulsation) .

Seconde dmonstration en annexe: la rponse permanente dun filtre linaire une entre sinusodale est elle-mme sinusodale

La relation dentre sortie dun filtre linaire est un produit de convolution: .

Si on supposeune entre complexe ,on aura:

On reconnat la transforme de Fourier de la rponse impul-sionnelle , soit, quantit complexe. Cest donc: avec et .

Pour un entre relle , on en dduit que en utilisantla proprit fondamentale ci-dessus, soit : rel ( .

Fonctions et scripts Matlab pour les signaux sonores

Regroups dans le rpertoire Demos/ScriptsMatlab/SonsMatlab de lURL locale Automatique, avec le magntophone de Windows 95 (sndrec32.exe), avec des sons wav dans le sous rpertoire Bibli, ils permettent de crer, sauver, lire, visualiser, dcouper, analyser, couter, transformer, des signaux sonores enregistrs ou synth-tiss. Cest un noyau de base quil est facile denrichir quand on a compris les principes et les instructions offertes par Matlab.

function wav(action)

% lance le magntophone Win95 de SonsWav

% exemple: wav('/play /close Bibli/son2.wav')

% ou wav('/open Bibli/Chord.wav')

% ou encore wav('/new') ou /record, etc ...

if ~nargin, action=' /new', end;

str=['! sndrec32', action]

eval eval(str)

function [signal, fs, N, C]=litwav(fich,act)

% visualise un signal plac dans Bibli/fich.wav

[signal,fs,bit]=wavread(['Bibli/',fich]);

[N,C]=size(signal);

disp(['Signal dans Bibli/', fich, '.wav'])

disp(['fs = ',num2str(fs),'Hz'])

disp([num2str(N), ' chantillons ', ...

' sur ',num2str(bit),' bit'])

disp(['dure ',num2str((N-1)/fs),' seconde'])

if C==1 , disp('monophonie') ,

else disp('strophonie'), end

if nargin>1

t=[0:N-1]/fs;

plot(t,signal)

sound(signal,fs)

input('taper "Enter" pour fermer')

close

end

function sauvewav(vecteur,fs,fichier)

% cre Bibli/fichier.wav et met vecteur dedans avec la

% frquence d'chantillonnage fs (defaut: mono, 8bit)

switch nargin

case 1

fs=22050;

fichier='son';

case 2

fichier='son';

end

wavwrite(vecteur,fs,8,['Bibli/',fichier]);

function jouesinwav(notes,fichier)

% gnration d'un son sinusodal que l'on joue

% et que l'on place dans fichier.wav

if nargin