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los sjEuientes eTercícjos x e y7a variab.ie tiem¡:o t :

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2,t Por e_l e7e X se Lienen dos puntos que ttenen,reS¡lecL i rr¿rn"r-o, I as 7 el¡es de,i nc-,rímtento

'¡c'o;-rda'J sÉ a'-ejc,'J-r i.rrr pr--r:os. ei irir. Je-t rrr.)'¿n ,= I inomen t c :je s Ll Cil crJ e¡l i,r.<:.)

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4) Se esta formando urfa ]tol-a Ce n-Lerre de modo .tile -su','JIL¿me, se LilCToJr:€ilL3 i una lasa Ce B pte- /rru n..su-ponoa que cuanco el r1 i ametro ce la bof a ce niewe esde 6 p;es detrene su crecin-Lento y cotrúenze aderretjrse a una üasa Ce 0.25 piet/mtn. Calcul_e latasa a 7a q-ue eJ rad.Lo wa.ria cuando éste es Ce 2Pf e-q .

llna escá f era o'e 25 p-zes Ce lonqituC esta apoyadacontra una parec .,,erticaL. La -base de la escaiera sejala horrzontai.:mente alejándoLa Ce -La pared a 3pLe/seg- Determtnar que tan rápid.o se cesliza hacíaa):ajo La parte supe::ior ce ia escalera cuanco su basese encuerTtra a i5 p-les ce La parec. (ver d]bujo erl: ^; +-,-^'7 ..J IL=- LL!\)Ll)/

una esca-lera de 7 m ce Tcngttuc está a¡:oyada sobreuri.a pareC. Si l_a _base ie fa escale_za se erurur-ahorizontaltnente hacia ia pared. a ur,a lasa cie 1.5 m/s,, qué tan rápid.o se d-eslíza hacía arríl:a La partesup,e;rio1: de 7a esca_ic-¡.a ;<alt.¡e j-a pa;:eC :ua;:cjc ,;i: isscse encuentra a 2 metros ce fa pared ? (ver cibujoon , ór l. l¡n lri\¿ _1 Lttvlg/

Dos automów:-Zes , nno va hac,.a aL este a una Lasa ce9a ]rn/h, Y e-l otro hacia ar sur a 60 km/h, s€ ctrtg-enbacía La interseccíón de dos carreteras. . A que Lasase est-án aproxima.nco ullo al otro en el'instante enque e-l prLmer autc>mó-.,if esta a 0.2 lorl Ce lar¡tersección y e-l seErundo se encgenLra a a.75 l¡n deeli cba intersección ?. (Ver Cittulo pn Lerthofd)

Una 7ám¡>ara se encuentra suspenCr efa a 75 p1es sob_r-euna c:-lle ho¡: -onLaf i' rect:, si un hombre oe 6 piesce escá tura camtna alejándose ce r-a 7anry>ara e unatasa de 5 pte¡seg, . cpé tan rapido se alarga susombra ? ó A que tasa se despJ.aza la punt-a de Lasonil;:a del hotrú:re ? (Ver itbu7o en L,ettitoid)

Lln á-"r)- {)tíj -v-u€-l-á

50J pi.t¿"r;eE á]."¡z ae ii.n fatc

hecla ¡i oeste (j(_)n iJna -,,ejacrC.ad rlei]¡rá a I t_u_r¡; de ^4üüa Álaes ]1- un ravo ,ce

Ce ¡:a s trec u_b_rcaCc en t--le¡-::.: , ¡ nc-lie

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6rn I i p,e r ¿e t nf er L,:: ,iei a-,'ion . ¿ 2ue tan :-.rp.r ao c/-l rael rayc Ce Luz cuando eJ a¡ríón se encuentra a urlar-,i stancra hortzontaf Ce 200A pres a7 este ie-l f aro ? .

(Vet aibulo en LeitkofC)

ia) rJn l-¡ornb,¡:e de 6 pies-,iie estatura car¿rina hac¿a un,edi f tcio a uná tasa Ce 5 pie/seq, sl en e_l prso se

' encuentra urla 7ánrysara a 5a pies ce-l ec:fi cio, . quetan ráptdo se acorta fa somlsra ce-z homl:re proy,ectadaen el e'lificio cuando é7 está a 30 pies ce éste ?(Ver dtbujo en leiLtrol-d)

77) iln ciiamante ce beisbol es un cuadracc de g0 p-res de7ad¡> Un bateador le pega a ra bola y corre hacía a7a prímsr¡, base a ür7a ¡relocíCai de 24 pies/sega) ¿Con qué veLocírlad. djsrn-Lnuye su ,-lisüancra a _l-a

segttnda base cuanco está a l_a mitad. ce7 cam:no a7a prímera? -- lc-- -i

-r':'' '¡::,"É

b) ¿Con qué ¡reLociCad aumenta su rli stancia a fatercera -base el-t ese momentc? .tll..ln

1 )'. /-. ^-t^L/.) u-lrr¿La cantidad d.e agrua fluye a Lr.rla tasa de 2 m3/mj.nhacia af interíor d.e ¿rx d.epósito cuya fornta es ia cleür7 cono inwertido de 76 m de altura y 4 m ce racii o. ¿crie tan rápid.o sube e-l ni¡rer d.eL aqua cuanco ésta haif.anraco 5 m d-e profunii dad ? .

*Yua uuarluu

(Ver dibujo erl .LeitholdJ

't Q\-J¿ La iongituC de ¿r, a3:re-¡acTero es Ce 72 p-.es y sus

e><tremos ürenen r-a forina d.e url tríangru7o isósceTesLnwerttcl-o qüe tiene una aTtura de 3 pres y su basemice 3 pies- se int-roduce aq'..a a-l abrewacero a unata-sa de 2 piás',/mtn. ¿ q^ue tan rapiCo sube e_l ,:r*fieL agTJa cuando esta t_iene ürja profunrltCad de 1 pie ?

,/-14) Al merlioriía er, ]tarco A esrá a 100 r.{rn ar oesüe d.etfbarco E A naweq:a ltacia a-l sur a 35 km/k y B haciaa-l norte , a 25 ]tn/h .Con ,Tue ,¡<.--.! ¿t¿.t daC ca:nj:ra lar-1 i.sLanc-ra e:rtre -ros os a las cuar-rc ae r¿¡ tarde./

r'':'I LIn-r ar;e¡-:iá est,,l .iL¡'-i..r: Llr*r i:i--te -s;i,¡= 1.i s;-::,e¡^f:c:e-.r: i :ati-¿i- i.i tlrlá l,if lr:il. -rr .:l ¡¡it;r.. .1. _ i,, :: ._::. i_.a f a Ii:ll::i :.:s,f ¡iÉ] 5..t ,c,, t¡.--. -...,.r. -rl :_t_] .>r ¡11¿:]a:r aj.stai_- _: -5 ,:le-,:

'-@,"5ffi

P/ n^l*ó t' nrróJ l^¡¡¿u c1¿ c

pS ,i¡: ),) Tt;oq 2

ciJanclo fa canticac ce cuerda su€1,¿ta(l,r'a' .-;ihrrin óñ T^;t^^i-)\I Y *! J:y¿ J v cit Le_L LtlQ_L(l)

i6.) Cierta cantr-dac de ace-Lte f_luye hacta aL inteacr deun cepó-si tc qrre trene f orma ce cono inwertíd.o á unatasa ie 3n m-'/m:-n. §.r e_¿ depósito tiene un. raclio de2 .5 m en su parte superlor y ¿:rta aLtura de 10 m, óqxe tan ;:apico waría e-l niwer ce-z aceite cuando ésteha alcanzaCo B tn Ce profunrttCa¿ ?

77 ) La me,i, d¿i ce ui)o ce -ros ángttros acrudos de Lrrl/- ri: r¡,'^ ¡¡nL I -L-Llcittgu io rectángru70 cec'-ece a ü,,-a tasa ce 7 f

36rad/s - s¿ 13 Tong:¡ tuc ce ra rtipotenusa es cons tante y. de 4a cm, determ:ne qüé Lan rápido \Íaraa el á_¡-ea cel

tríánou-t o cuan,io l 3 ;ner,-, da cei. áncur o aqud.o es ce a .,.ar)-

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Un deposico cónico (con e-Z werttce abajo) m¿de 1Apies de anchura en su parte ¡ruís a_lüa y ü¿ene 72 ptt>sde profunc¿ ca-c- sr se hecha aq,,.a en ér a razón ce 70rl-i aa ¡:iiri ^^-v^=r geri-'-LUL)- por nlnuto, cal cu-l_ar _la razón de cambioCe la p-.cfu,-rii,-jad iel aq..ia cuando) la profunrlict.ad es-c,i es /

/una esca-le.a cie 20 píes de ro'Áqttud esLa recargad.aso,b.-e urr Le-r:rap-lén j.ncf inado a 5a- con respecto a iaborízontal- Si la i:ase cle 7a esca]era se rmlerzehorizontaTme¡rüe hacia ar- terraprén a .,rTa tasa de 7r>i rr/<Le!-/ D/ ¿ 9ue tan rápico se cesTíza fa parte superrorCe fa escalera- cuando ta base está a 4 pieg deLterrap_len ? .

20) üna esca-rera de 30 píes de T0nqituc está apoyadacontra una parec, ce ¿noao q'ire su extrema su¡:error seCesliza hacia anajo a u,7a tasa de 0.5 pie/s, , cttále-q l3 Lasa Ce wari; ¡: 1§n Ce 7a mecTi6l¿ de1 áng:u1.o aguCof trr,,a-'o ,,cr r-r esc;-Zera :an el oisc _.ua.,:oo ei pxrret,^.c,iL.,:ir: j_- c_;,1 .i iE pr.,s : h:-+ el pjst _:",,/ :: CtL:i.- - =l,r- -=r¡hol jr

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21) La -iongritui de un abrevade,¡-o es d.e i? Fies :. suse,:-:t-¡-e¡nos t¿ete¡ fa forma cie un trLangLiTo rso.sce_Zes]ir1'ertido crue t¿ene üna alf-ura ce 3 pres y su _base¡nrce 3 pie-<- se rnlroduce aEua aJ abrevadero a unaLJsá ce 2 pres'/r;, n. ¿ qalc tan raptio su¡e =' nrrze-Lie-l awa cuanics esLa Ljezre¡ una prcfuncriai ie I pre ?

Yt/ )

se acerca a é_f a farazón Ce catrbio de

dos respuestas) .

23) Dos Tados ce 'r:¡ trtánq-aJ.o m¿cen 4 mts y 5 mts , y e-2.ángu7o entre el-Lcs alrmenta con u¡a rapicez d.e a.a6'rad/seg calcuae ra rapíciez con q,.n er área deltriángu7o se incrementa cuand, e-Z anguTo entre _ros

)i ' t-.-:..- pr:-r-e - i-.i-ú.iu¡a e:o ,Lo i t-ec; cie LTri ec-ii f acio Ce 72/ner'-os I e-¡anta una viga d_e l_a Ín-LSrna T0nqitud hasLacoTocarTa en ¡:osr ciort l.ertical . La cuerrla se re6,oge arazórt ce -0.2 m/s caTcule la razón de caml>to¡'-erttcaT y horizontaT d.eL e-xt¡e-rno de 7a wiga cuand.oésta ürene una altura Ce 6 m

tJn canal- ce aq,..a -o,- exüre:nos we::trca-Zes en farma d.etrapec.o rsósce-res t.ene f as c¿mensiones q..,e se ciaránen cTase- S-r se bomL;ea ag,Lta a razón constante de7/'2 m:/s, .cuan rápico s¿rbe e-r ni¡re] de-l ag11a cuand,fa profunCtiad Ce-l agu.a es Ce i/.1 m?

..,e-! oci dad. de SA krn/h. .CuáJ es -la7a dt stancía e¡tre _7.os Cos?. (Son

Lln,a -¡ia de ferrocarriT ct-uzaanguTo Ce 60" Una 1ocornoi_c;a-qe aleja ie eJ- a fa -¡eLoctCaCautomó-¡íl Ci sta Ce1 cruce 76A

Lrna carreLera L;a7o ulfdrsta i6A tn Cel cruce yCe 700 hn/n. UnfTt \/

en Lrna -ls_la e 2 mtl 7as de lar_ 3 zon corrs tan Le Ce 6 g rados ¡:orse muer¡e e_7" haz de-l faro a fo

*---- ! ^ -iln ;f uil to a 3 mr] 7 as de l pun toei rr¡-i.-- proxt-mo il larc"

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25) rJn faro está -¿ntcadoc,csta . E'¡ -farc orra aseqn_z:rio . .Cuán ráptd_ol arg;o Ce _ia costa ens¡L.:-e * r cos ta t; rl*tf es

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Pa ra soluciona r P roblernasseguir los pasos siguíentes :

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de razÓn de cambio es conveniente

1) tlacer un dibuja o esquema

2 ) Asignar va riables .

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Determinar una ecuacíón que involucre las variableS antesasignadas .

Derivar imptícitamente la ecuación. Generalmente se derive Con

respecto a! tíernpo .

Eva{uar los valores conocidos de las variables, Y de esta maneraenconirar ei ciato que se oese.¡ caícuiar .

Además de to anterior, se a'ebe tener en cuenta !o siguiente :

" Si la variable disminuye conforme transcurre el tiempo entonces larazón de can¡bio {tterivaciai se considera negativa ; en caso contrario,positivo'"

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UNÍVERS.ÍDAD ÜE EL S,AÁ"YÁ#OffiFAC# LTAD MU [-TÍ DIS,CÍ FLÍ NARTA DE CCCf§§trTÉ

», EPANTA M ENTA D E § NG EN§ E RÍA,

GU.[A DE EJERCTCÍOS ruO 4,{ fuIATEM&TECÁ TÍ DE ÍNGENÍER,rAI

Para J.as sigruientes funciones determinar Los extremo*sen 7os interval-os cerrad-os Qts se índt ¿¿n :

a) f (v) : x' 8* + 76 ert l-os ínterwaTos [-.4-,4] ;-[--'3', Z ]'b) f (x) :

c) f (><) :.-dJ f (x) :'"e) f (x) :'f, f (x) :

h) f lv) :-- ): c !-= \L,/ L i j-,'

j) r(x) :

(x - 2)'/u e;ra [1,5Je<1is 2x er? [ -1 ,1]',* - 'A en [0,4](x * 1)'/u en [-2,1]i -- ix =--3)-2,'= en [-5,4]lZx-3lent1 ;2]

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trá:rirt¡: y bi u-n tnl:tir:i<: "

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Deterzntne e-l área máxirna posíble de un tectáttqalo deperímetro 2C0 n-

En un jard.in rectanguTar se han colocado 700 pies decerca.Encuentre 7as climensíones de] jardinrectanglr-f,ar de tnayor área q-ue puede cercarse con -l-os

700 píes -

Realice e-tr ejercicio anterior consíderando que e-L

jardin está situada de modo qúe e-L Lad.o de una casasirrze camo 7ímíte, y el matería7 para cercar seemysTeará en -7-os otros tres Tados -

Un rectángu1o con Tados paraleTos a 7os ejescoord-enados tíene utt wértíce en ef- origen, 1)r7o eIf e-Z

eTe x positiwo, 17rto en el eje y positivo y su cuartowértice er7 eJ prtmer cuadrante, sobre 7a recta conecuacíón 2x + y : 1-00 - ¿Cuá7 es e-I área máxarna

posíb7e de dicho rectángu7o?.

Un fabricante de cajas de cartón hace cajas abiertaso.-ri - r- -i,=z?e nrrarfr?.daS d-e Caf tón Clg L2 Clr. d-ed PAJ- LlL úe Y¿i;-+J +-:'-'J

Lado, cortartdo cuadraCos íguaJes en las caaXroesq-uinas y dobTand.o f os tados hacia arríba. DetertrLínela Tongítitd del Tado de 7os cuadraCos q-r:e se cortaránde mod.o que eJ vo|umen de 7a ca j a sea máxímo; adetn:ás

caTcuTe este .¡oluntert.

ün fabrícante de cajas cie cartón qaíere eTaborarcajas abíertas a partír de trozos rectanquTares de

cartón con di:nensio¡?es de 70 pulg. por 77 puTE',cortand-o cuad.rados en 7as cuatro esquínas y dobTanCo

-i-os Lados hacía arrlba. Se desea detertrúnar 7aTongrítud de7 7ad.o de -l-os cuadrados que se debencortar de modo que 7a caja tenga e7 mayor volumenposíbJe; además caTcule diclto volumen.(Ver dibujo erl Leíthold)

.Los purrtos A y B están eIr las orillas de un río rectcde 3 kn d.e ancho y so"¡l opuestos uno de-l- otro - E7punto C está en 7a misma orí77a que B pero a 2ki7órr¡etros de B ría abajo" [Jna compañía telefónicadesea tenie:: u:? cabj e ie A a C donde ej- costo porkílómetro de cabje en tíerra es de $1A,A00 y el cab-7e

::ttj:e:cá-t:-,:t: {}:: de :;i2 ,5CÜ " Se a ? ifr-f :r-iri:;-o eri i¿ ;xf sll1'

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oríLia que B y C de tnodo qtle el- cabTe se tienda Ce Aa P y Tuego a c. Determine 7a cli stancia ce B a P loaTa

e-7. cual e-l- costo de-l- cabTe tenclido sea e7 menorposibLe. (Ver dibujo en LeithoTd-) .

(Jna is-la está ulsícaáa en eJ. punta A, 4 l«n mar ad.entrodei Punto rn:ás cercano B de una pTaya recta . Unamujer, en 7a ís7a, desea a7 punto C, a 6 l{frl de Bplaya abajo, 7& mujer puede rli rígírse hacía a7 puntoP , entre B y C, en un bote de remos a 5 km/h ydespués camínar de P a C a g l«o/h. Determine 7a rutaque debe seguír de A a C para 77egar en eL menortiem¡so posible - (Ver dibujo er? Leithold)

HaLTar el woTumen máiimo de un co¡ro círcuTar recto"inscríto ert una esfera qae tíene uÍ) radi o de 6 pu7g.

12) Calcular e-L ¡roJ-umen máximo d..e ufl cí7índro circularrecto inscríto en u::.a esfera qae tiene un radio de 6puTg-

i3) i-lai]-¿ ias ,itmertstarTes Ce7 cílindro círcuTar recto,de máximo sro.,]-tjDínen, q-ue puecie ser á¡:scrito e¡? url coítocircuTar recto de radío r : 5 an y altura h : L2 qn.

14) DetenaLne el- wolumen máxímo posibTe de un ciTindrocircuTar recto si el- área total de su superfície( A : 27¡r7z + 2fir') , j.ncTuyendo 7os dos extremos

círcularesl es L50fi.'

15) Deterznine e-7. área máxíwa posíble de un rectángu7o cond.íagona-Les, cad.a l)rta, de Tongitud 1-6.

16) tln cona circular recto de radi o r y altura h tienetlna a1tura clíag:onal dad.a por L : -;'-; b' ¿Cuá7 ese7 troaumen más<i-¡no posible de ut7 cono corT alturarii agonaT de 10?

77) Un rectángut o de perímetro fíjo 36 gira en torno deúÍ1o de sus Tados / coÍ) 7o que se forrna u;l ciTindrocircular recto. ¿Cuál es e7 volumen máxímo posibJepara ese cil índro?.

18) Determtne el área de7 rectang:u7o más grande qr:e tengados wértices en e7'eje x y 7os otros dos en 7aParábo7a Y : g x' arríba de-l- eje ;<.

19) Dos postes, Ce 72 y 28 pies de aTtura, distan 30pies- Hay que conectar-l-os merl'íante un ca_ble que estéatad.o en aLgxn punto del sue.I-o entre e-7.-Los . ¿En qaépunto ha de aÍlarrarse al sueTo con e-L fin Ce utiTízar7a menor cantíclad de cable que sea pos ibl-e? .

20 ) Se Ll a¡na ventar'a de Norman a La f ormada. por urr.sen-ícírcuLo unido a una ventana rectanguTarorclinaria. HaTl-ar 7as climensíones de trna ventana deNorman qae tengia 76 píes de perimetro y, área máxima.

..".-.-..-.,... 21) Un4 wíga de ynlde=ra tiene :urTa sección rectanguTar deaTtura b y anchura -,/r- Su resiscériCiá -R es-¡?i v¿¿tame¡¡ie proporcionaL a--7-2 'ntá7es son 7as rlimensiorles Ce 7a wiga trráswlJ ¿l-L1d-rg§ §(/lJ -¿d.¡

resis tente que se puede cortar en lJrt tronco Ce 24puTgadas de di ámetro? -

22) Un trozo de alarnbre Ce 1-0 p:es de Tong:ítud se cortaen dos parües. Con una partes se haie un triáag'tt7oequiTátero y con 7a otra lr-z: cuadrad.o. ¿Cómo debecortarse eL aTanr¡bre de modo que: a) e-l área totaL deLas d.os f iguras.sea 7a minima posible; b) el áreatotal de J.as dos fíguras sea 7a máxima posTbJ-e

23) Una caja cerrada con base cuadrada tiene un sroTumende 2000 Pufd . E7 materiaT de 7a tapa y de La -base

materíaJ- para J-os -l-ados cuesta 1- 5 centar¡os 7apuTg:ada. cuadrada. Calcul e ias dímensiones Ce la cajade modo que el costo de7 maLerial sea nrínímo.

24) Un tanqtte rectanga:iar e-b¿-*rto, cuyro vciume:z e.s de i25l,Ít-, tjcne iasc cuaj:'ad;. E-L ccstr-- ,Jei- ma.teriai para

7a. base r,* ¡t¡. +.1 *.r neiTo c¿adt:e_CC "y eL dei

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