Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes 101- coefficient de réflexion II.4. Lignes fermées sur une charge Zr II.4.a. Coefficient de réflexion

Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes

1- coefficient de réflexion

II.4. Lignes fermées sur une charge

Zr

II.4.a. Coefficient de réflexion

x y=l-x

vx

ix

ZcZi

ei

Ligne chargée par une impédance quelconque


2- coefficient de réflexion


Au niveau de la charge :

Vx = Vx+ + Vx

-

ix = ix+ + ix

-

Vr = Vr+ + Vr

-

ir = ir+ + ir

-

Coefficient de réflexion : j

r

reRo

V

V

R

r

r

i

iR


3- adaptation


r

r

r

r

i

VZc

i

V

)1(

)1(

Ri

RV

ii

VVZr

i

V

r

r

rr

rr

r

r

)1(

)1(

R

RZcZr

ZcZr

ZcZrR

Avec une ligne donnée, la réflexion dépend uniquement de la charge placée à son extrémité

concept d’adaptation


4- point de courant


On va maintenant s’intéresser au coefficient de réflexion en x, la charge considérée est alors notée Zx

II.4.b. Réflexion au point de courant

Zx

x

vx

ix

Zi

ei

Rx


5- Rx


On a

x

x

x

x

x i

i

v

vR Zx

ix

vx

xx

γAei

xBx

γei

xZcxv γAe

xBZcxv γe

lr

γAei yr

xlrx

γeiγeγeii d’où

yrx

γeii

yrv

xv γe

yrv

xv γe


6- Rx


γy2γy2

r

r

xee

V

VR

ROn obtient alors

jeRoRor

yjyj

xeeeRo

22R

D’où

)2(2R

yjy

xeeRo

module argument


7- courant tension


ZcZx

ZcZx

x

ROn obtient alors, pour une ligne sans pertes :

II.4.c. Evolution des courants et tensions

On se place dans le cas de pertes négligeables ( #0)

xx jβBejβAex

i xZcxZcv jβBejβAe

x

rr iZrv or d’où

llZcllZr jβBejβAejβBejβAe


8- courant tension


ll jβ2Rejβ2e

ZcZr

ZcZr

A

B

On a de plus

ainsi :

xlRx jβejβ2ejβeA

xi

xlRxZcv jβejβ2ejβeA

x


9- courant tension

II.4. Lignes fermées sur une chargeEn x=0

On obtient

A0

i

xvxvv jβe0

jβe0x

B

0i

ZcAv

0ZcBv

0xixii jβe

0jβe

0x

En x=l lll

jβBejβAex

ii y

riy

ri

xi jβejβe

yrvy

rv

xv jβejβe


10- courant tension

II.4. Lignes fermées sur une chargeEn fonction de Vo et Zr :

ll jβeZcZr

ZcZrjβer

vo

v

En fonction de Vr et ir : Rrvvr

rv

rv 1

ZcZr

Zrrv

rv

2

ljZclZr

ljZcyZrox

sincos

sincosvv

yy Zcsinβr

jicosβr

vx

v


11- courant tension

II.4. Lignes fermées sur une chargeLigne avec pertes :

xx BeAex

i xZcxZcv BeAe

x

yriy

ri

xi ee

yrvy

rv

xv ee

xshoiZcxch

ov

xv


12- Impédance

II.4. Lignes fermées sur une chargeII.4.d. Impédance le long d’une ligne

Zr

x y=l-x

ZcZi

ei

Zxvx

ix

Zi

ei

RxZx est appelée impédance

ramenée à l’abscisse x

Attention à la différence entre Zc et Zx !!!


Ligne sans pertes :

13- Impédance


yjZZ

yjZZZZx

rc

crc

tan

tan

yZyjZ

yjZyZZ

i

vZx

cr

crc

x

x

cossin

sincos

ljZZ

ljZZZZo

rc

crc

tan

tan

En x=0Impédance

d’entrée d’une ligne


On définit l’impédance normalisée :

14- Impédance normalisée


βl2j

eR1

βl2jeR1

Zc

Zoo

z

Re

βl2j

eR1

oz

1o

z




Imaginaire

Réelle

Variation de l’impédance d’entrée

-1 +1

O1 O2

A

0

zo

O1A=zo-1O2A=zo+1

Re

βl2j

eR1

oz

1o

z

βl2, 21 AOAO

csteRAO

AORe

2

1




Réelle

-1 +1

O1 O2

0

Périodicité :

l augmente

selfique

capacitif

k2βl2

2l

kL’impédance varie le long de la ligne avec une période :

Imaginaire


Ligne avec pertes :

17- Impédance


ythZZ

ythZZZZx

rc

crc

2eR1

2eR1

Zc

Zoo

z

csteRe

β2j

e2eR1

oz

1o

z

zo

O2

Spirale logarithmique


18- quart d ’onde


On va maintenant s’intéresser au comportement

d ’une ligne sans pertes de longueur l=/4 (+k/2)

II.4.e. Ligne quart d’onde

Zr

l=/4

vr

ir

Zi

ei


19- quart d ’onde


On a alors :24

2

4

ljZZ

ljZZZZo

rc

crc

tan

tan

tand’où

or

r

c

Z

ZZo

2

Si Zr réel pur, alors Zo réel pur

Si Zr capacitif, alors Zo selfique

Si Zr selfique, alors Zo capacitif

Transformateur d’impédance


20- quart d ’onde


Transformateur quart d’onde

Applications de la ligne quart d’onde

50 75

l=/4

61

Isolateur quart d’onde

/4

75

612

Zo

0

2cZZo


21- types d’ondes


ZrZi

eiZc

ZcZr

ZcZrR

Zr0 11 R

10 R

Onde progressiveOP

Onde pseudo stationnaireOPS

Onde stationnaireOS


22- OP

II.5. Lignes en ondes progressives

Ligne chargée par son impédance caractéristique Zr=Zc

Ligne infiniment longue

Le phénomène d’onde progressive pure apparaît dans deux cas :


23- OP

II.5. Lignes en ondes progressivesII.5.a. Avec pertes

Cas où une ligne est fermée sur son impédance caractéristiqueCas que l’on recherche quand on veut transmettre

intégralement l’énergie

tjxxx

eγAeii tjxZc

xv

xv eγAe

xtjxitjxx o

eeeγAei

pas d’onde de retour !!

xtjxvtjxZcxv o

eeeγAe

Uniquement une onde se propageant vers les x>0


24- OP


x

t

T/2

T

Onde dont l’amplitude a une décroissance exponentielle

Période spatiale Période temporelle T

csteZi

vZx c

x

x

Tdt

dxvp


25- OP

II.5. Lignes en ondes progressivesExpressions de i et v

Zi

ei

Zc

io

ZcZi

ei io

ioo eZcZi

ZciZcv

xtxZcZi

ex

i

cosei

xtxZcZi

Zcexv i cose

vo

Différence de phase entre v et i


26- OP


oo ii

xtZcZi

ex

i

cosi

xtZcZi

Zcexv i

cos

Amplitudes constantes

II.5.b. Ligne sans pertes

oo vv C

LcsteZ

i

vZx c

x

x purement réel

x

t

T/2

T

Animation


27- OP

II.5. Lignes en ondes progressivesII.5.c. Retard de phase

Les lignes en onde progressive n ’introduisent que des pertes dues à l ’atténuation, mais elles induisent également une

retard de phase :

pv

l


28- OP



29- OS

II.6. Lignes en ondes stationnaires

Ligne terminée par un court-circuit

Ligne terminée par un circuit ouvert

Le phénomène d’onde stationnaire pure apparaît dans trois cas :

Ligne terminée par une charge purement réactive


30- OS


car Zr=0

II.6.a. Ligne court-circuitée

Zi

ei

C.C.

ir

vr

1

ZcZr

ZcZrR

1R


31- OS


yrvy

rv

xv jβejβe

or ici

r

r

r

r

i

i

v

vR 1

yrjvyy

rv

xv sin2jβejβe

d’où

rr

rr

ii

vv (revient à vr=0, correspond au CC) rrrr iiii 2

(sans pertes)


32- OS


2r

iZc

rv

Zc

ri

rv

yriyy

ri

xi cosjβejβe

De même

yrijZc

xv sin

yri

xi cos

tyri

txi coscos

,

tyiZctx

v r sinsin,

2sin

2sin

, ty

ri

txi

Quadrature dans le temps

Quadrature dans l ’espace


33- OS

II.6. Lignes en ondes stationnairesPas de terme de propagation

de phase

Onde stationnaire

i

v

y

y

tyri

txi coscos

,

tyiZctx

v r sinsin,


34- OS


v

i

t

t

Dans le temps :

Pour un x donné, tension et courant varient sinusoïdalement dans le temps


35- OS


x

onde stationnaire sans pertes

t

T

court-circuit

Dans le temps pour x fixé

animations

tension


36- OS


|v|

|i|

y 0

cour

t-ci

rcui

t

/4/2/4

Amplitudes max en fonction de y

ventre de tension

noeud de tension

ventre de courant

noeud de courant


37- OS


y 0

Variation de l’impédance

|Zx|y

rijZc

xv sin

yri

xi cos

yjZci

vxZ

x

x tan

imaginaire pur

/4/2/4


38- OS


y 0

|Zx|

/4/2/4

selfcapaselfcapa


39- OS


Une ligne en onde stationnaire (CC, CO ou jX) est un résonateur. La longueur de ligne en onde stationnaire permet alors de choisir le type de

résonance pour une application voulue.

Nombreuses applications en filtrage, antennes et CEM.


40- OS


car Zr infini

II.6.b. Ligne en circuit ouvert

Zi

ei

C.O.

ir

vr

1

ZcZr

ZcZrR

0

1

R


41- OS


yrvy

rv

xv jβejβe

r

r

r

r

i

i

v

vR 1

yrvyy

rv

xv cos2jβejβe

d’où

0

2

rrr

rrrr

iii

vvvv

(sans pertes)


42- OS


Zc

ri

rv

De même

yrv

xv cos

yZcrvj

xi sin

tyZcrv

txi cossin

,

tyvtx

v r sincos,

Quadrature dans le temps

Quadrature dans l ’espace

yrjiy

riy

ri

xi sin2jβejβe


43- OS

II.6. Lignes en ondes stationnairesPas de terme de propagation

de phase

Onde stationnaire

i

v

y

y

tyZcrv

txi cossin

,

tyvtx

v r sincos,


44- OS


v

i

t

t

Dans le temps :

Pour un x donné, tension et courant varient sinusoïdalement dans le temps


onde stationnaire sans pertes

circuit ouvert

courant

45- OS


animation


|v|

|i|

y 0

circ

uit o

uver

t

/4/2/4

Amplitudes max en fonction de y

ventre de tension

ventre de courant

46- OS


Variation de l’impédance

βycotanjZci

vxZ

x

x

imaginaire pur


47- OS

II.6. Lignes en ondes stationnairesII.6.c. Charge purement réactive

Zi

ei

ir

vr

ZcjX

ZcjXR

X

Rc

RcX

RcXR

atan2

122

22

jX


48- OS


tyri

txi cos

2sin

2sin

,

tyv

txv r sin

2cos

2cos

,

yXZc

yZcXrj

yjZrZc

yjZcZrZc

xZ

tanβ

tanβ

tanβ

tanβ

imaginaire pur


|v|

|i|

y 0

cour

t-ci

rcui

t

/4/2/4

49- OS


circ

uit o

uver

t

jXy 0

|Zx|

jX

animation


50- OS

II.7. Ondes pseudo stationnaires

Ligne terminée par une impédance Zr quelconque

Combinaison d’1 onde progressive et d’1 onde stationnaire

v y t V y t V y t

i y tV

Zy t

VZ

y t

p p st st

p

cp

st

cst

( , ) cos cos cos

( , ) cos sin sin

On montre que :

animations 25 75


51- OS

II.7. Ondes pseudo stationnairesII.7.a. Coefficient de réflexion

r

rj

r

r

i

ieRo

V

V RQuelques rappels :

ZcZr

ZcZrR

x

x

x

x

x i

i

v

vRCoefficient de réflexion ramené en x :

γy2γy2

r

r

xeeR

Rv

v

)2(2R

yjy

xeeRo

y

x eRo2

R

βy2x

RArg

nul si sans pertes


52- OS

II.7. Ondes pseudo stationnairesII.7.b. Détermination graphique

y

xv

xv 2jeRo1

On va chercher à déterminer les variations de v et i le long d ’une ligne (pertes négligeables)

xRxv

xv

xv

xv 1

OT

rv

rv

jeRo1


53- OS

II.7. Ondes pseudo stationnairesIm

Re

T

O

rv

rv

1

T’

ri

ri

Ro

rzZc

Zr

ri

rv

rirv

ri

ri

rv

rv

OT

OT

'

Impédance réduite


54- OS

II.7. Ondes pseudo stationnairesIm

Re

T

O

rv

rv

1

T’

ri

ri Ro

On parcourt un cercle centré en 1 de diamètre |Ro|

vers la charge

vers le générateur

M

M’

xR

xv

xv

xi

xi

AA’

2y

vx max quand M est en A

vx min quand M est en A’


55- OS


vx maximum quand M est en A, ix est alors minimum

En résumé :

vx minimum quand M est en A’, ix est alors maximum

Périodicité : 2y=2 y=

Écart entre un min et un max : /4

ix et vx sont en quadrature de phase


56- OS


0

1

Amplitude des oscillations en fonction de y

0 0.20.50.81

valeur de R

tension

courant

0

1

y

y

Enveloppe des signaux :

f(t) toujours sinusoïdale


57- OS

II.7. Ondes pseudo stationnairesII.7.c. Rapport d’ondes stationnaires

On définit le rapport d ’ondes stationnaires (ROS) ou VSWR (Voltage Standing Waves Ratio) comme suit :

R

R

i

i

1

1

min

max

minvmax

vρ

Onde progressive : =1Onde stationnaire : =infini

Onde pseudo stationnaire : plus augmente, plus l’onde est stationnaire

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