Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes 158- Smith II.8. Labaque de Smith Outil de calcul graphique permettant la représentation des grandeurs

Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes

1- Smith

II.8. L’abaque de Smith

Outil de calcul graphique permettant la représentation des grandeurs complexes

vues sur une ligne de transmission


2- Smith

II.8. L’abaque de SmithII.8.a. Rappels

Im

Re

T

O

rv

rv

1

T’ri

ri

Ro

rzZc

Zr

ri

rv

rirv

ri

ri

rv

rv

OT

OT

'

Impédance réduite


3- Smith


10 RIm

O1 Re

Im

O1 Re

Onde progressiveOP

Tout est concentré sur 1

Onde stationnaireOS

Cercle maximum

Onde pseudo stationnaireOPS

Valeurs intermédiaires


4- Smith


r

rj

r

r

i

ieRo

V

V R

γy2γy2

r

r

xeeR

Rv

v

)2(2R

yjy

xeeRo

Rx

RxZcZx

1

1

R

RZcZr

1

1

Impédance réduite :Rx

Rxzx

1

1

R

Rzr

1

1


5- Smith


1

1

x

xx z

zR

Sans pertes :)2(

Ryj

xeRo

jeRoxzxz

1

1

Représentation possible en polaire du coefficient de réflexion en un

point de la ligne

II.8.b. Construction en impédance


6- Smith


Ox

MjeRo

xzxz

1

1

Ro

Représentation polaire


7- Smith


O

M

jqpjeRo

Représentation cartésienne

Im

Re

q

p


8- Smith


jqpjeRo Im

O

M

Re

q

p

Ro

sin

cos

Roq

Rop

On pose l’impédance réduite sous la forme :

jurzx

jeRoxzxz

1

1 jur

jurjqp

1

1


9- Smith


22

2

1

1

1

rq

r

rp

On arrive à :

Cercles de centre (r/(1+r),0) et de rayon 1/(1+r)

Cercle r=0 correspond à une impédance purement imaginaire

Cercle r=1 correspond à Zx=Zc

Cercle r=infini correspond au point de partie réelle 1


10- Smith


5

21

0,6

0,3

- 0,6

- 0,3

- 1- 2

- 5

0Axe des réels

Axe p=1

0,2 0,5 1 2

Valeur de r

Valeur de u


11- Smith


5

210,6

0,3

- 0,6

- 0,3

- 1- 2

- 5

0 0,2 0,5 1 2

II.8.c. Utilisation de l’abaque

Si on connaît l’impédance

Calcul de l’impédance réduite

Exemple : zx=0.5-j0.6

zx


12- Smith


5

21

0,6

0,3

- 0,6

- 0,3

- 1- 2

- 5

0 0,2 0,5 1 2

zx

Déduction du coefficient de

réflexion

Ro


13- Smith


On trouve alors :

Rx = 0.48 e-j108°

1

1

x

xx z

zR

On peut vérifier :

Rx = -0.15 - j.0.46


14- Smith


Si la ligne est à pertes négligeables

csteRoRx

Les impédances réduites le long de la ligne décrivent un

cercle de rayon |Ro|


15- Smith


Le déplacement autour de l’abaque est gradué en

fraction de longueur d’onde

Tour complet : /2

Demi-tour : /4


16- Smith

II.8. L’abaque de SmithII.8.d. Exemple d’exploitation de l’abaque

Zi

ei

ZrRZc=50

Ligne 50 fermée sur une impédance Zr=25 +j75


17- Smith


Calcul de l ’impédance réduite (normalisation par rapport à Zc) :

zr=25/50+j.75/50zr=0.5+1.5j

r=0.5

u=1.5


18- Smith

II.8. L’abaque de SmithDétermination directe du

coefficient de réflexion au niveau de la charge :

R=0.75 ej64°

r=0.5

u=1.5

Lecture de

Lecture de |Ro|


19- Smith


Zi

ei

ZrRx1

Zc=50

On va maintenant chercher à déterminer le coefficient de réflexion et l ’impédance ramenée en un point à /4 de la charge

Zx1 /4


20- Smith


Impédance de la chargePour déterminer le nouveau point sur l’abaque, on part du

point de la charge, et on parcourt 0.25 vers le

générateur (revient ici à prendre l’opposé par rapport

au centre)


21- Smith

II.8. L’abaque de SmithOn trouve alors directement

le nouveau coefficient de réflexion :

Rx1=0.75 e-j116°

De même on trouve la nouvelle impédance réduite :

zx1 = 0.2 - 0.6j

D’où une impédance ramenée:

Zx1 = 10 - 30j


22- Smith


Zi

ei

ZrRx2

Zc=50

Si maintenant on cherche à déterminer le coefficient de réflexion et l ’impédance ramenée d’un point en revenant de

0.1vers la charge

Zx2 /4


23- Smith


Point précédent à 0.088 vers la charge

déplacement jusqu’au point à 0.188 vers la charge

Rq : on est toujours sur un cercle de rayon |Ro|

Impédance de la charge

Impédance à /4 de la charge

Déplacement de 0.1 vers la charge


24- Smith

II.8. L’abaque de SmithOn trouve alors directement

le nouveau coefficient de réflexion :

Rx2=0.75 e-j45°

De même on trouve la nouvelle impédance réduite :

zx2 = 0.9 - 2.1j

D’où une impédance ramenée:

Zx2 = 45 - 105j


25- Smith


On va détailler les autres données que l’on peut

extraire de la représentation sur l’abaque

II.8.e. Autres grandeurs


26- Smith


Zi

ei

ZrZc=50 R

Représentation des tensions et courants :

y

xv

xv 2jeRo1

xRxv

xv

xv

xv 1Tension :


27- Smith



rv

rv

Si on connaît l’impédance de la charge, on place son point

sur l’abaque

On parcourt alors la ligne en décrivant le cercle à |R|=cste


28- Smith


Impédance de la chargeOn peut suivre alors le long

de la ligne l’évolution de

passant par des valeurs min et max

xv

xv

xv

xv

maxmin

xv

xv

1+|R|

1-|R|


29- Smith



On connaît l’impédance de la charge, on place son point sur l’abaque et on prend le

point diamétralement opposé

On parcourt alors la ligne en décrivant le cercle à |R|=cste

Détermination du courant

ri

ri


30- Smith



xi

xi

On peut suivre alors le long de la ligne l’évolution de

passant par des valeurs min et max

xi

xi

1+|R|

1-|R|

xi

xi

v et i toujours en quadrature


31- Smith

II.8. L’abaque de SmithReprésentation des admittances :

Si on veut travailler en admittance et non plus en impédance

ZxxY

1 x

YZccYxY

xy .

admittance normalisée

Rx

Rxxy

1

1On a alors


32- Smith


jeRo

jeRoxz

1

1

jeRo

jeRoxy

1

1

Si on compare :

Ajout de à

yx est le symétrique de zx par rapport au centre de l ’abaque


33- Smith



Admittance de la charge


34- Smith

II.8. L’abaque de SmithAutres grandeurs :

R.O.S. : Le rapport d’ondes stationnaires ou VSWR ou SWR

R

R

i

i

1

1

min

max

minvmax

vρ

Erreur de traduction sur l’abaque en français correspondant à un abus de langage désignant

par T.O.S. (taux d’ondes stationnaires) ce qui est en réalité le R.O.S.

À l’origine, TOS=100Vr/Vi


35- Smith


ROS

ROS dB=20 log ROS

Coefficient de réflexion en dB : Return loss

valeur négative correspondant au rapport entre la puissance envoyée sur une charge et la

puissance réfléchie

RxPx

Pxlog20log10


36- Smith


Pertes d’adaptation en dB : Reflected lossvaleur négative correspondant au rapport entre la puissance

arrivant au niveau de la charge et la puissance transmise

21log10log10 Rx

Px

Px

Coefficient de réflexion en puissance :

Px

Px

Atténuation en dB : y


37- Smith


A avoir en tête, les ordres de grandeurs :

ROS Return loss (dB)

Puissance transmise (%)

Puissance réfléchie (%)

|R|

1

1.5

2

3

0

0.2

0.33

0.5

- infini

-14

-10

-6

100

96

90

75

0

4

10

25

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