h Prepa Exercices Problemes Physique Mpsi Pcsi Ptsi

H PRPA

1ANNE

RE

POUR SENTRANER ET RUSSIR SA PRPA Plus de 300 exercices et extraits de concours corrigs Un rappel des connaissances essentielles Conseils, astuces et mthodes

EXERCICES ETPROBLMES

PHYSIQUEMPSI/PCSI/PTSI

H PRPA

PHYSIQUE

MPSI/PCSI/PTSI

Jean-Marie BRBEC

Tania CHABOUD

Thierry DESMARAIS

Alain FAVIER

Marc MNTRIER

Rgine NOL

EXERCICES ET

PROBLMES

1

ANNE

RE

Composition et mise en page : Laser Graphie

Maquette intrieure : Vronique Lefebvre

Maquette de couverture : Guylaine Moi

Relecture : Anne Panaget

Hachette Livre 2010, 43 quai de Grenelle, 75905 Paris Cedex 15

www.hachette-education.com

Tous droits de traduction, de reproduction et dadaptation rservs pour tous pays.

Le Code de la proprit intellectuelle nautorisant, aux termes des articles L. 122-4 et L. 122-5 dune part, que

les copies ou reproductions strictement rserves lusage priv du copiste et non destines une utilisation

collective, et, dautre part, que les analyses et les courtes citations dans un but dexemple et dillustration,

toute reprsentation ou reproduction intgrale ou partielle, faite sans le consentement de lauteur ou de ses

ayants droit ou ayants cause, est illicite .

Cette reprsentation ou reproduction par quelque procd que ce soit, sans autorisation de lditeur ou du Centre

franais de lexploitation du droit de copie (20, rue des Grands-Augustins, 75006 Paris), constituerait donc une

contrefaon sanctionne par les articles 425 et suivants du Code pnal.

I.S.B.N. 978-2-0118-1306-0

Quel est lobjet de cet ouvrage?

Nous avons labor cet ouvrage dexercices de premire anne de classes prparatoires aux

grandes coles avec deux objectifs principaux, lassimilation du cours par la mise en pratique,

et la prparation aux interrogations crites et orales, pendant lanne et aux concours :

Les rappels de cours complets permettent de voir rapidement les rsultats importants conna-

tre pour toute prparation dpreuves oralse ou crites, que ce soit une colle, ou un concours de

premire ou deuxime Anne.

Les exercices, choisis pour leur contenu, prparent toutes ces preuves.

Comment travailler de manire optimale avec cet ouvrage?

la suite de lnonc, il existe une partie conseils ; les solutions sont prsentes aprs len-

semble des noncs. Comment utiliser de manire optimale cette disposition?

Comme pour une preuve dcrit, il faut commencer par lire entirement un nonc : pour

rsoudre une question donne certaines informations peuvent tre prsentes dans les questions

suivantes.

Aprs une priode de rflexion correcte , fructueuse ou non, il est possible de lire la partie

conseils : cette partie peut se prsenter ainsi :

soit une ide de rsolution est propose ;

soit une question est pose pour la mise en vidence dun phnomne ;

soit un thorme est nonc,.

Si laide ne permet pas de rsoudre lexercice, il faut alors saider de la solution, quil ne suf-

fit pas de lire : aprs lecture il faut essayer de refaire lensemble de lexercice seul.

Dans un souci daide maximale ces prparations, et cette mthode de travail :

Les exercices choisis sont conformes aux nouveaux programmes.

Nous avons choisi des exercices ralistes :

ayant une application en physique, soit fondamentale, soit industrielle,

ou tant en relation avec lexplication dun phnomne observable.

Lors de la rsolution dun exercice, nous avons privilgi les arguments physiques, les sch-

mas et simulations (en faisant appel la mmoire visuelle), aux arguments mathmatiques ; mais

lorsque les calculs sont ncessaires, lensemble des tapes intermdiaires est prsent.

Lorsquun exercice peut tre rsolu par plusieurs mthodes intressantes, ces mthodes sont

prsentes et dveloppes.

Pour certains exercices nous mettons le lecteur en garde contre certaines erreurs que nous

voyons trop souvent lors dpreuves crites ou orales de concours.

Nous souhaitons que cet ouvrage puisse aider de manire efficace une majorit dtudiants

Les auteurs

vant-propos

A

PARTIE 1 MCANIQUE

Chapitre 1 Cinmatique du point Changement de rfrentiel ..... 9

Chapitre 2 Dynamique du point matriel................................................... 18

Chapitre 3 Puissance et nergie en rfrentiel galilen ....................... 28

Chapitre 4 Oscillateurs ....................................................................................... 40

Chapitre 5 Thorme du moment cintique ............................................. 59

Chapitre 6 Forces centrales conservatives

Interaction newtonienne ............................................................ 69

Chapitre 7 Mcanique en rfrentiel non galilen ................................. 83

Chapitre 8 Rfrentiels non galilens usuels ............................................ 95

Chapitre 9 Systme de deux points matriels .......................................... 111

PARTIE 2 OPTIQUE

Chapitre 1 Les bases de loptique gomtrique

Rflexion et rfraction ................................................................ 125

Chapitre 2 Formation dimages ..................................................................... 134

Chapitre 3 Miroirs et lentilles ......................................................................... 142

Chapitre 4 Instruments dobservation ........................................................ 164

Chapitre 5 Focomtrie ....................................................................................... 181

Chapitre 6 Le prisme, utilisation en spectroscopie ................................ 190

PARTIE 3 THERMODYNAMIQUE

Chapitre 1 quation dtat dun fluide........................................................ 201

Chapitre 2 Statique des fluides ...................................................................... 215

Chapitre 3 Premier principe de la thermodynamique.

Bilans dnergie .............................................................................. 227

Chapitre 4 Second principe. Bilans dentropie.......................................... 250

Chapitre 5 Corps pur diphas .......................................................................... 266

Chapitre 6 Machines thermiques ................................................................... 279

Hachette Livre, H-Prpa Exercices et problmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI

La photocopie non autorise est un dlit.

4

OMMAIRE

S

PARTIE 4 LECTRICIT

Chapitre 1 Rseaux linaires en rgime continu ..................................... 301

Chapitre 2 Rseaux linaires en rgime variable .................................... 320

Chapitre 3 Rseaux linaires en rgime sinusodal forc..................... 346

Chapitre 4 Amplificateur oprationnel........................................................ 363

Chapitre 5 Fonctions de transfert .................................................................. 383

PARTIE 5 LECTROMAGNTISME

Chapitre 1 Distributions, champ et potentiel lectrostatiques ......... 413

Chapitre 2 Le champ magntique permanent ......................................... 438

Chapitre 3 Diples lectrique et magntique .......................................... 462

Chapitre 4 Force de Lorentz ............................................................................ 485

Annexes...................................................................................................................... 510



5

71

Mcanique

1 Cinmatique du point Changement de rfrentiel ........................ 9

2 Dynamique du point matriel.................................................................... 18

3

Puissance et nergie en rfrentiel galilen ........................................ 28

4 Oscillateurs ........................................................................................................ 40

5

Thorme du moment cintique .............................................................. 59

6 Forces centrales conservatives Interaction newtonienne ................. 69

7 Mcanique en rfrentiel non galilen .................................................. 83

8

Rfrentiels non galilens usuels ............................................................. 95

9 Systme de deux points matriels ........................................................... 111

PARTIE



1Cinmatique du point

Changement de

rfrentiel

ESSENTIEL

9



LES OBJECTIFS

Prciser les caractristiques dun mouvement :

vitesse, acclration, trajectoire dans un rfrentiel

donn.

Apprendre choisir le bon systme de coordonnes

en fonction du problme tudi.

LES PRREQUIS

Notions sur lintgration des vecteurs vitesse et acc-

lration en tenant compte de conditions initiales.

LES OUTILS MATHMATIQUES

Notions sur lintgration vues en mathmatiques.

Systmes usuels de coordonnes

Coordonnes cartsiennes Coordonnes cylindriques

OM

= x e

x

+ y e

y

+ z e

z

; base (e

x

, e

y

, e

z

) (doc. 1). OM

= r e

r

+ z e

z

; base (e

r

, e

q

, e

z

) (doc. 2).

x

y

e

r

H

z

x

y

r

e

x

e

y

e

z

e

z

e

z

e

r

e

r

H

M

O

r

e

e

e

z

z

x

x

y

y

e

x

e

y

e

z

M

O

Doc. 1. Coordonnes cartsiennes (x , y , z) :

OM

= x e

x

+ y e

y

+ z e

z

.

Doc. 2. Coordonnes cylindriques (r , q , z) :

OH

= r e

r

; OM

= r e

r

+ z e

z

.

ESSENTIEL

Cinmatique du point Changement de rfrentiel

1

10



Coordonnes sphriques: OM

= r e

r

; base (e

r

, e

q

, e

j

) (doc. 3).

Reprsentations du mouvement

La trajectoire est constitue de lensemble des positions successives OM

(t) =

r (t) du point mobile M

tudi.

Dans lespace des vitesses, lensemble des positions successives ON

(t) = v

(t) constitue lhodogra-

phe du mouvement.

Dans lespace des phases, le point P repr par OP

= (OM

, ON

) dcrit la trajectoire de phase du

mobile. Pour un mouvement un degr de libert, le point de phase P se dplace dans le plan de phase :

OP

= (x(t), v(t)).

Vitesse dun point

Soit O un point fixe du rfrentiel . Le vecteur vitesse de M par rapport ce rfrentiel est :

v

(M)

/

=

/

Expression en coordonnes cartsiennes : v

(M)

/

=

x e

x

+

y e

y

+

z e

z

.

Expression en coordonnes cylindriques : v

(M)

/

=

r e

r

+ r

qe

q

+

z e

z

.

Acclration dun point

Le vecteur acclration de M par rapport ce rfrentiel est :

Expression en coordonnes cartsiennes : a

(M)

/

=

xe

x

+

ye

y

+

ze

z

.

Expression en coordonnes cylindriques : a

(M)

/

= (r r

q

2

) e

r

+ (r

q + 2

r

q )e

q

+

ze

z

;

ou encore : a

(M)

/

= (r r

q

2

) e

r

+ (r

2

q)e

q

+

ze

z

.

Mouvement circulaire

Le point M se dplace sur un cercle de centre O , de rayon R , daxe (Oz) . Il est repr par ses coor-

donnes polaires sur le cercle (r = R , q ) .

OM

= R e

r

;

1

r

d

dt

a

( )

d

2

d

/

M

OM

t

2

/ / /

=

d

d

v (M)

t

/

=

.

dOM

dt

e

z

O

z

x

y

r

M

H

e

r

e

x

e

y

u

e

e

e

r

u

u

e

e

e

r

s

i

n

y

H

H

M

x

z

r

Doc. 3.b. Plans : z = 0 et j = cte .

Doc. 3.a.

ESSENTIEL


1

11



v

(M)

/

= R

qe

q

= w

OM

, o w

= w e

z

;

a

(M)

/

= R

q

2

e

r

+ R

q e

q

(doc. 4).

Si le mouvement est circulaire uniforme, v = R

q est constante, donc a

(M)

/

est dirige suivant e

r

;

elle est centripte (doc. 5).

e

x

e

r

a

(M)

e

e

y

= e

z

e

z

= e

x

e

y

y

x

z

v

M

A

M

O

M

a

v

Doc. 5. Si |v

| = cte , lacclration du point M est

dirige suivant OM

: a

= e

r

.

v

2

R

Doc. 4. Mouvement circulaire dun point M dans

un cercle de rayon a :

v

= R

q e

q

et a

= R

q

2

e

r

+ R

q e

q

.

Conseils et piges viter

La vitesse (ou lacclration) dun point M dans un rfrentiel R donn peut sexprimer sur dif-

frents vecteurs de projections, mais cest toujours la mme vitesse (ou la mme acclration) !

Lors dune trajectoire courbe, il existe toujours une composante de lacclration dirige vers

lintrieur de la concavit de la trajectoire.

yN

1

yN

2

M

2

M

1

ya(M

1

)

ya(M

2

)



Ascension dun ballon sonde

Un ballon sonde a une vitesse dascension verticale v

0

ind-

pendante de son altitude. Le vent lui communique une vitesse

horizontale v

x

= proportionnelle laltitude z atteinte.

1 Dterminer les lois du mouvement x(t) et z(t) ainsi que

lquation de la trajectoire x(z).

2 Calculer le vecteur acclration du ballon.

Trajectoire et hodographe

dun mouvement plan

Un point M se dplace dans le plan (xOy) la vitesse :

v = v

0

(e

x

+ e

q

), o e

q

est le vecteur orthoradial de la base

locale des coordonnes polaires (r,q ).

1 tablir les quations polaire et cartsienne de la trajec-

toire caractriser.

2 Faire de mme pour lhodographe.

3 Faire le lien entre langle q = (

j

e

x

,

r ) et langle

j = (

j

e

x

,

v ).

Aller et retour sur un fleuve

Un rameur sentrane sur un fleuve en effectuant le parcours

aller et retour entre deux points A et B , distants de +. Il

rame vitesse constante v par rapport au courant. Le fleuve

coule de A vers B la vitesse u . Son entraneur lac-

compagne pied le long de la rive en marchant la vitesse

v sur le sol, il fait lui aussi laller et retour entre A et B .

z

t

c

5

4

3

Une course automobile

Deux pilotes amateurs prennent le dpart dune course

automobile sur un circuit prsentant une longue ligne droi-

te au dpart. Ils slancent de la mme ligne. Le premier, A,

dmarre avec une acclration constante de 4 m .s

2

, le

deuxime, B, a une voiture lgrement plus puissante et

dmarre avec une acclration constante de 5 m .s

2

. A a

cependant plus de rflexes que B et dmarre une seconde

avant.

1 Quelle dure faudra-t-il B pour rattraper A?

2 Quelle distance auront-ils parcourue quand B dou-

blera A?

3 Quelle seront les vitesses cet instant-l ?

4 Reprsenter x(t ) et v(t) et la trajectoire de phase de A

et B, en prcisant la position de lvnement B dpasse

A sur ces reprsentations des mouvements.

Mouvement dun point matriel

sur une parabole

Un point matriel M dcrit la courbe dquation polaire

o a est une constante positive, q

variant

de + .

1 Montrer que la trajectoire de M est une parabole. La

construire.

2 On suppose de plus que le module du vecteur vitesse

est toujours proportionnel r : v = kr , o k est une cons-

tante positive.

a. Calculer, en fonction de q , les composantes radiale et

orthoradiale du vecteur vitesse de M .

b. Dterminer la loi du mouvement q (t) en supposant

que q est nul linstant t = 0 et que q crot.

On donne

q

0

dq

q

q

cos

ln tan .= +

2 4

r acos

2

2

q

=

2

1

12

Exercices

Conseils

Dterminer lquation horaire du mouvement de

chaque voiture.

Conseils

Il suffit de passer du systme de coordonnes cart-

siennes (x, y) au systme de coordonnes polaires

(r,q ), et inversement, pour obtenir lune ou lautre des

quations recherches.

Conseils

1) Penser remplacer cos

2

q

2

par

1

2

(1 + cosq ) et

utiliser les relations entre (x , y) et (r , q ) pour don-

ner lquation de la trajectoire en coordonnes cart-

siennes.

2) La condition v = kr permet dexprimer

q en

fonction de q , donc de ne plus faire apparatre expli-

citement le temps dans les quations, mais seule-

ment q .



Seront-ils de retour en mme temps au point de dpart ? Si

non, lequel des deux (rameur ou entraneur) arrivera le pre-

mier en A? Commenter.

Chasseur et oiseau

Un oiseau se trouve sur une branche darbre, une hauteur

H au dessus du niveau du sol. Un chasseur se trouve sur le

sol la distance D du pied de larbre. Il vise loiseau et

tire. Au moment du coup de feu, loiseau, voyant la balle

sortir du canon, prend peur et se laisse tomber instantan-

ment en chute libre. chaque instant, lacclration de la

balle et de loiseau dans un rfrentiel fixe est g e

z

(laxe

(Oz) est la verticale ascendante). Loiseau est-il touch ?

Ltude sera faite :

a. dans le rfrentiel fixe ;

b. dans le rfrentiel li loiseau.

Quand il faut aller vite

Pour aller au secours dun nageur en dtresse, un matre-

nageur part du poste de secours situ au point A pour aller

jusquau nageur situ en B. Sachant que le sauveteur court

v

1

= 2 m .s

1

sur la plage et nage v

2

= 1 m .s

1

dans

7

6

leau, en quel point M doit-il entrer dans leau pour attein-

dre au plus vite le nageur? On situera ce point laide

dune relation entre v

1

, v

2

, i

1

et i

2

indiqus sur le schma.

Mouvement calcul partir de

la trajectoire et de lhodographe

(Daprs ENAC 02)

Dans le plan (xOy) du rfrentiel (O, e

x

, e

y

, e

z

) un mobi-

le ponctuel P dcrit la parabole dquation cartsienne :

y

2

= 2px avec p constante positive.

Sa vitesse

v (P/R), de composantes X, Y est telle que len-

semble des points N(X, Y), hodographe du mouvement de

ple O, a pour quation cartsienne : X

2

= 2qY avec q cons-

tante positive.

1 Exprimer X et Y en fonction de y.

2 Exprimer lacclration

a (P/R) du point P en fonction

du vecteur position

OP. Prciser la nature du mouvement

de P.

3 tablir les expressions de x et y en fonction du temps

t, sachant que le mobile passe en O linstant initial t = 0.

8

yu

x

yu

y

i

2

i

1

M

A

B

O

EXERCICES


1

13

Conseils

Utiliser la composition des vitesses en faisant atten-

tion au sens des vecteurs vitesse.

Conseils

Dterminer les trajectoires de loiseau et de la balle

dans le rfrentiel choisi et dterminer leur intersec-

tion.

14



Mouvement dun point matriel

sur une parabole

1 Sachant que cos

2

= (1 + cosq ), lquation polaire

scrit : r = 2a r cosq ; avec x = r cosq et y = r sinq, et en

levant au carr : r

2

= x

2

+ y

2

= (2a x)

2

, ce qui donne :

x = ,

parabole reprsente ci-dessous.

2 a.

et

II reste liminer

q en utilisant :

.

q ] ; + [ , est positif et

q est positif par hypo-

thse, donc :

q = k cos

et v

r

= ka ; v

q

= .

a.

q

2

+

= +2

4 4

ln tan .

q

k ctet

=

=k kdcos

cos

q

q

2

2

d

t

q

2

sin

q

2

cos

2

q

2

ka

cos

q

2

cos

q

2

v = = + =

kr r r

a

2 2 2

3

2

q

q

q

cos

v

q

q

q

q= =

r

a

cos

.

2

2

v

r

r

dr

d

a= = =

q

q

q

q

sin

cos

2

2

3

y

2a

2a

a

x

y

2

+ 4a

2

4a

q

2

1

2

Corrigs

Une course automobile

1 Nous avons :

x

A

(t) = a

A

t

2

et x

B

(t) = a

B

(t t

0

)

2

,

cette deuxime expression tant applicable t t

0

= 1 s.

Les deux voitures sont au mme niveau linstant t

1

, soit :

a

A

t

1

2

= a

B

(t

1

t

0

)

2

ce qui donne :

t

1

= t

0

. 9,5 s.

2 linstant t

1

:

d = x

A

(t

1

) = x

B

(t

1

) = a

A

t

1

2

1,8 . 10

2

m.

3 v

A

(t

1

) = a

A

t

1

38 m .s

1

et v

B

(t

1

) = a

B

(t

1

t

0

) 42 m .s

1

.

4

B

A

v

B

(t

1

)

v

A

(t

1

)

O

v

x

d

t

0

t

1

v

B

(t)

v

B

(t

1

)

v

A

(t

1

)

v

A

(t)

O

v

t

t

0

t

1

x

B

(t)

x

A

(t)

O

x

d

t

1

2

1

1

2

a

a

A

B

1

2

1

2

1

qdo sa tangente est positive.

Si q = 0 t = 0 , la constante est nulle.

Donc

Ascension dun ballon sonde

1 En coordonns cartsiennes, v

=

u

x

+

u

z

avec

et = v

0

.

Soit z = v

0

t car t = 0, z = 0 (le ballon dcolle).

= v

0

donne x = en supposant qu t = 0, x = 0.

En liminant le temps t, on obtient :

x = .

La trajectoire est une parabole.

2 a

=

u

x

+

u

z

.

Do a

=

u

x

.

Trajectoire et hodographe

dun mouvement plan

1

v = v

0

(e

x

+ e

q

) = v

0

(cosq e

r

+ (1 sinq ) e

q

).

Le dplacement lmentaire dOM

= d(re

r

) = dr.e

r

+ rdq .e

q

du point M est colinaire au vecteur vitesse, donc :

= , soit : = = d ln

.

ce qui donne lquation en coordonnes polaires :

r = r

0

=

o r est un paramtre (longueur) caractristique de la trajec-

toire.

On en dduit : r = r + r sin q, soit, avec x = r cos q et

y = r sinq, en levant au carr : r

2

= x

2

+ y

2

= (r + y)

2

, ce qui

donne finalement :

y =

qui est lquation dune parabole daxe (Oy).

2

0

v

z

t

c

1

2

t

t

c

x

2

r

2

2r

1 sinq

0

1 sinq

r

1 sinq

dr

rdq

cosq

1 sinq

dr

r

cosq dq

1 sinq

1 sinq

0

1 sinq

4

v

0

t

c

d

d

2

2

x

t

d

d

2

2

z

t

d

d

x

t

1

2

0

2

v

t

t

c

d

d

x

t

z

t

c

=

d

d

z

t

d

d

x

t

d

d

z

t

3

ln tan .

4 4 2

+ =

kt

+ + ] ; [ ] ; [

donc

4 4

0

2

2 v

= v

0

(e

x

+ e

q

) = v

0

((1 sinq )e

x

+ cosq e

y

), ce qui

donne lquation cartsienne de lhodographe :

(v

x

v

0

)

2

+ v

2

y

= v

0

2

qui permet didentifier le cercle de rayon v

0

et de centre de

coordonnes (v

0

, 0).

On remplace v

x

= v cosj et v

y

= v sinj dans lquation car-

tsienne de lhodographe, il vient :

v = 2 v

0

cosj

qui est lquation polaire de lhodographe.

3 On vite des calculs trigonomtriques en faisant un sch-

ma :

Le vecteur = e

x

+ e

q

est dirig selon la bissectrice des

axes (O, e

x

) et (O, e

q

), donc : 2j = + q, soit : j = + .

Aller et retour sur un fleuve

Le rameur effectue laller la vitesse v + u et le retour la

vitesse v u par rapport au sol.

v doit donc tre videmment suprieur u pour que le rameur

puisse remonter le courant et ainsi revenir son point de dpart.

La dure de son trajet aller et retour est :

t

r

= + = .

/

v + u

/

v u

2 /v

v

2

u

2

5

2

4

q

2

v

v

0

ye

N

ye

x

y

v

x

j

j

q

y

O

yv

N

ye

v

v

x

v

0

v

y

y

x

r/2

r

r

ye

N

yr

N

ye

r

CORRIGS


1

15



Son entraneur effectue laller et retour la vitesse v par rap-

port au sol donc la dure de son trajet est t

e

= . Donc :

t

r

= t

e

t

e

.

Lentraneur est arriv avant le rameur.

Le rameur perd plus de temps au retour quil nen gagne

laller. Dans le cas extrme o la vitesse v est peine sup-

rieure u , le trajet du retour pour le rameur sera trs long.

Chasseur et oiseau

a. On dtermine les trajectoires de loiseau et de la balle dans

le rfrentiel li au sol.

Oiseau : z

o

= g , do z

o

(la vitesse initiale de loiseau est nulle) ;

x

o

= 0 , do x

o

= D .

Balle : z

b

= g , + v

0

sina t ;

x

b

= 0 , do x

b

= v

0

cosa t ,

o v

0

est la vitesse initiale de la balle et a langle de tir : le

chasseur visant loiseau, tan a

Les deux trajectoires se rencontrent-elles? Si oui, au point de

rencontre x

b

= D , donc la rencontre a lieu linstant :

cet instant, z

b

z

o

= D tana H = 0 : loiseau est touch !

Attention: pour que loiseau soit effectivement touch, il faut

que la porte de la balle soit suprieure D (sinon les deux

trajectoires ne se coupent pas). Pour cela, il faut une vitesse v

0

suffisante.

Plus prcisment, la balle touche le sol linstant

donc en

Il faut que x

1

D donc que :

v

0

Cette condition correspond z(t

f

) 0 .

b. Dans le rfrentiel li loiseau, la balle a une acclration

gD

sin( )

.

2

x

v

g

1

0

2

2

=

sin( )

.

t

g

1

0

2

=

v sin

t

D

f

=

v

0

cos

.

. =

H

D

d'o z gt

b

=

1

2

2

0

0,5

1

1,5

2

54321

x

position initiale

de loiseau

point de rencontre

y

= +

1

2

2

gt H

6

1

1

u

v

2

2

2 /

v

nulle donc une trajectoire rectiligne uniforme la vitesse v

0

,

toujours dirige vers loiseau qui est donc touch.

Conclusion : il faut dire aux oiseaux de toujours se percher sur

des branches basses.

Quand il faut aller vite

Le matre-nageur parcourt AM en t

1

= et

MB en t

2

= .

AM = [(x x

A

)

2

+ y

2

A

]

1/2

BM = [(x x

B

)

2

+ y

2

B

]

1/2

La dure totale du trajet est :

T = t

1

+ t

2

.

T = [(x x

A

)

2

+ y

2

A

]

1/2

+ [(x x

B

)

2

+ y

2

B

]

1/2

.

On cherche x tel que T soit minimale.

= 0

Soit = 0

Si on introduit i

1

et i

2

, il vient :

.

scrit alors .

Remarque: la valeur de x trouve correspond bien un minimum

pour T. La dernire relation crite est analogue la loi de

Descartes pour la rfraction en optique : n

1

sin i

1

= n

2

sin i

2

.

Mouvement calcul partir de

la trajectoire et de lhodographe

(daprs ENAC 02)

1

v (P/ ) = Xe

x

+ Ye

y

avec

y

2

= 2px.

On peut driver par rapport au temps lquation de la trajec-

toire.

Il vient : = soit yY = pX

Dautre part : .

Si Y 0, on obtient , soit

avec y 0.

Si Y = 0, X = 0.

Si y = 0, X = 0 et puisque X

2

= 2qY Y = 0.

X qY

y

p

Y

2

2= =

2 2 p

x

t

d

d

2

2

2

q

y

p

Y Y= =

2 2

2

2

Y Y

qp

y

X

qp

y

= = =et

X q

2

2= =

2 2y

y

t

d

d

=

X

x

t

Y

y

t

= =

d

d

et

d

d

8

sin sini i

1

1

2

2

v v

=

sin

sin

i

x x

AM

i

x x

BM

A B

1 2

= =et

x x

AM

x x

BM

A B

v v

1 2

+

d

d

T

x

x x

x x y

x x

x x

A

A A

B

B

+

+

+

[( ) ]

[( )

/

v v

1

2 2 1 2

2

2

yy

B

2 1 2

]

/

1

1

v

1

2

v

MB

v

2

AM

v

1

7

CORRIGS


1

16



2

a (P/ ) = e

x

+ e

y

. On se place en dehors du

point O.

et

et

Or donc

On peut alors crire :

a (P/ ) =

OP.

Le mouvement du point P est acclration centrale par rap-

port O.

d

d

Y

t

qp

y

Y

q p

y

q p

y

y= = = =

2 4 8 8

2

3

2 4

5

2 4

6

.

dX

dt

qp

y

dy

dt

qp

y

Y

q p

y

= = = =

2 2 2 4

2 2

2 3

4

8

2 4

6

q p

y

x

y

p

=

2

2

dX

dt

q p

y

x= .

8

2 4

6

Y

qp

y

= =

2 4

2

2

X

qp

y

= =

2 2

d

d

X

t

d

d

Y

t

3 donc y

2

dy = 2qp

2

dt .

On intgre en tenant compte des conditions initiales t = 0

y = x = 0.

Il vient do

y = (6qp

2

t)

1/3

x

y

p p

qp t= =

2

2 2 3

2

2

2

6( )

/

1

3

2

3 2

y qp t=

Y

dy

dt

qp

y

= =

2

2

2

CORRIGS


1

17



2Dynamique du point

matriel

LES OBJECTIFS

Utiliser les lois de Newton pour :

dterminer les caractristiques dun mouvement ;

calculer certaines forces.

LES PRREQUIS

Expressions des vecteurs vitesse et acclration dans

divers systmes de coordonnes.


Notions sur lintgration vues en mathmatiques.

ESSENTIEL



18

Quantit de mouvement (ou impulsion)

La quantit de mouvement par rapport au rfrentiel R dun point matriel M, de masse m, est :

p

(M)

/

= mv

(M)

/

.

Lois de Newton

Les trois lois de Newton sont les lois fondamentales de la mcanique du point matriel.

Premire loi : principe dinertie

Il existe une classe de rfrentiels, appels rfrentiels galilens par rapport auxquels un point

matriel isol est en mouvement rectiligne uniforme.

Deuxime loi : relation fondamentale de la dynamique

Dans un rfrentiel galilen, la somme vectorielle des forces appliques un point M de masse

m et son acclration sont lies par :

F

M

= = ma

(M) .

Troisime loi : principe des actions rciproques

Les forces dinteraction exerces par deux points matriels M

1

et M

2

lun sur lautre sont oppo-

ses et colinaires laxe (M

1

M

2

).

d p

(M)

dt

ESSENTIEL

Dynamique du point matriel

2



volution dun systme mcanique

Les systmes mcaniques ont une volution unique pour des conditions initiales donnes (dter-

minisme mcanique).

Pour un systme autonome (ou libre), deux trajectoires de phase ne peuvent se couper.


Il faut toujours bien tudier les forces qui sexercent sur un systme, ici un point matriel.

19



2 On rajoute une poulie.

La poulie P

2

est fixe, la poulie P

1

se dplace paralllement

au plan inclin. Le fil est attach en A .

Dterminer lacclration du solide S

2

et les tensions des

fils.

tude dun pendule simple,

raction au point dattache

Un pendule simple (masse m, longueur ) est lch sans

vitesse initiale partir de la position q = : point matriel

M(m) et point de suspension sont alors dans le mme plan

horizontal. (IOM =

e

j t = 0). On demande de dterminer

les ractions R

x

(q ) et R

y

(q ) en O. Le fil est sans masse et

inextensible.

Un jeu denfant

Un enfant esquimau joue sur le toit de son igloo. Lenfant

se laisse glisser sans frottement depuis le sommet S de

ligloo, qui a la forme dune demi-sphre de rayon a et de

centre O. La position de lenfant, assimil un point mat-

riel M , de masse m, est repre par langle q = (Oz, OM),

(Oz) tant la verticale ascendante.

1 partir de quelle position (repre par langle q

0

)

lenfant perd-il le contact avec ligloo (on nglige bien sr

les frottements).

4

S

2

S

1

S

2

P

2

P

1

S

1

3

2

Un peintre ingnieux

Un peintre en btiment (de masse M = 90 kg) est assis sur

une chaise le long du mur quil doit peindre. Sa chaise est

suspendue une corde relie une poulie parfaite. Pour

grimper, le peintre tire sur lautre extrmit de la corde

avec une force de 680 N. La masse de la chaise est

m = 15 kg.

1 Dterminer lacclration du peintre et de la chaise.

Commenter son signe.

2 Quelle force le peintre exerce-t-il sur la chaise ?

3 Quelle quantit de peinture peut-il hisser avec lui ?

Plan inclin et poulies

Le solide S

1

, de masse m

1

, glisse sans frottements sur le

plan inclin. Le solide S

2

, de masse m

2

, se dplace verti-

calement. Les solides en translation sont considrs

comme des points matriels. Les poulies sont idales, les

fils sont inextensibles et sans masse.

Donnes : m

1

= 400 g, m

2

= 200 g et a = 30.

1 On considre le dispositif ci-aprs en haut :

Dterminer lacclration du solide S

2

et la tension du fil.

2

1

20

Exercices

Conseils

Faire un bilan des forces extrieures pour le systme

{peintre + chaise}, puis pour le systme {chaise seule}.

Conseils

1) Les deux solides ont la mme acclration (en

norme).

1) et 2) En utilisant le caractre parfait des poulies

(sans masse) et linextensibilit des fils, chercher une

relation simple entre les tensions des fils aux points

dattache sur chacun des deux solides.



2 Quel est le mouvement ultrieur de lenfant ? Quelle

est sa vitesse quand il retombe sur le sol ? Effectuer

lapplication numrique avec m = 30 kg, a = 2 m et

g = 9,8 m . s

2

. Commenter.

quilibre dun point

Un point M de masse m est li un cercle fixe dans le plan

vertical, de centre O et de rayon R . La liaison est suppose

sans frottements. Le point M est attir par lextrmit A du

diamtre horizontal AB par une force toujours dirige vers

A et dont le module est proportionnel la distance AM . La

position du point M est repre par langle q = (AB, OM) .

1 Dterminer les positions q = q

e

dquilibre du point M

sur le cercle.

2 Quand le point nest pas en quilibre, dterminer

lquation diffrentielle vrifie par q en utilisant la rela-

tion fondamentale de la dynamique, puis le thorme du

moment cintique en O .

3 On suppose que q reste proche de q

e

et on pose

q = q

e

+ u avec u



Le fil tant inextensible, donner la relation entre ,

0

, R

et q .

2 Exprimer les composantes de IOM suivant les vecteurs

unitaires

e

u

r

et

e

u

q

(cf. figure), en fonction de

0

, R et q .

3 En dduire les composantes de la vitesse

e

v de la parti-

cule M suivant les vecteurs

e

u

r

et

e

u

q

.

4 Montrer que la norme v de la vitesse reste constante au

cours du mouvement.

5 Dduire des questions 3) et 4) la relation entre q ,

q ,

0

, R et v

0

.

6 Exprimer q en fonction de t ,

0

, R et v

0

.

7 Dterminer linstant final t

f

pour lequel le fil est enti-

rement enroul autour du cylindre. Effectuer lapplication

numrique.

8 a) Dterminer la tension T du fil en fonction de t , m ,

0

, R et v

0

.

b) En ralit, il y a rupture du fil ds que sa tension dpas-

se la valeur T

rup

= 5 . 10

3

N. Dterminer linstant t

rup

et

langle q

rup

lorsquintervient la rupture du fil. Effectuer

lapplication numrique.

est fixe une particule M de masse m , astreinte glisser

sans frottement sur le plan horizontal (Oxy) . La partie

I

0

M non enroule du fil est tendue.

Donnes : R = 0,2 m ; m = 0,04 kg ;

0

= I

0

M = 0,5 m ;

v

0

= 0,1 m . s

1

.

1 linstant t = 0 , on communique la particule M une

vitesse v

0

horizontale perpendiculaire I

0

M et oriente

comme lindiquent les deux figures ci-dessous :

On admet que le fil reste tendu au cours du mouvement.

linstant t , on appelle q langle dont sest enroul le fil et

la longueur IM du fil non encore enroul.

y

x

z

R

v

0

u

r

u

Vue de dessus linstant t

trace

du fil t = 0

I

0

I

M (t = 0)

M (t)

x

z

y

O

v

0

Vue en perspective linstant t = 0

0

I

0

M (t = 0)

EXERCICES


2

22

Conseils

4) Projeter la relation fondamentale de la dynamique

sur

e

u

r

aprs avoir soigneusement inventori les for-

ces qui agissent sur le point matriel ainsi que leur

direction.

5) Attention au signe des diffrentes expressions.

6) En intgrant la relation obtenue la question 5),

tablir lquation du second degr vrifie par q .

La rsoudre en remarquant quune seule des deux

racines de cette quation correspond une fonction

q (t) croissante.

8) Projeter la relation fondamentale de la dynamique

sur

e

u

r

.

Un peintre ingnieux

1 Les forces appliques au systme {chaise + peintre} sont

le poids de lensemble, laction du fil sur la chaise et laction

du fil sur le peintre ; ces forces sont indiques en bleu sur le

schma ci-dessous.

Le fil tant inextensible et la poulie sans masse, les deux for-

ces T

1

sont gales et sont, en norme, gales la force que le

peintre exerce sur la corde (on notera T leur norme).

De mme, T = F

fil-chaise

.

La relation fondamentale de la dynamique applique ce sys-

tme scrit, en projection sur la verticale ascendante (Oz) :

(m + M)a = (m + M)g + 2T

Cette acclration est positive : partant du niveau du sol, le

peintre slve.

2 Les forces appliques la chaise seule sont son poids,

laction du fil et laction du peintre (F

= Fe

z

) . La relation

fondamentale de la dynamique applique la chaise seule,

projete sur (Oz) , donne :

ma = mg + F + T F = m(a + g) T = T = 486 N.

F < 0 : cette force est bien dirige vers le bas, le peintre

appuie sur la chaise (il exerce une force quivalente au

poids dune masse de 49,6 kg environ).

3 Le peintre et la chaise de masse m (peintures comprises)

montent si a 0, soit m M = 49 kg, donc la peinture

nexcde pas 34 kg, ce qui est raisonnable.

(Dautre part, il faut aussi obtenir F 0, sinon le peintre

risque de monter sans la chaise et la peinture, soit m M, ce

qui est une condition moins contraignante que la prcdente).

.

2

m.s

2T

g

m M

m + M

= +

+

=a g

T

m M

,

2

3 15

uT

1

uM

g

uF

uT

1

uF

fil-chaise

z

O

uF

fil-peintre

uF

peintre-fil

uF

Rmg

1 Plan inclin et poulies

1

En utilisant la relation fondamentale de la dynamique, en pro-

jection sur z

1

ou z

2

pour chaque mobile, il vient (en notant T

1

et T

2

les tensions du fil, les normes de T

1

et T

2

) :

m

1

z

1

= m

1

g sina + T

1

m

2

z

2

= m

2

g T

2

.

Le fil tant inextensible, on a :

.

z

1

=

.

z

2

.

Le fil tant de masse ngligeable, et la poulie idale : T

1

= T

2

.

Finalement, il vient :

z

1

=

z

2

= g

T

2

= g (1 + sina ).

Avec les valeurs numriques proposes :

z

1

=

z

2

= 0 (il y a

donc quilibre si la vitesse initiale est nulle), et T

2

= 1,96 N.

2

En reprenant les critures prcdentes, on a ici encore :

m

1

z

1

= m

1

g sina + T

1

m

2

z

2

= m

2

g T

2

Le fil 2 est inextensible, donc

.

z

2

=

.

z

1(poulie mobile)

, et le fil 1

tant inextensible, il vient encore

.

z

1(poulie mobile)

= .

Dautre part, ngliger les inerties des fils et poulies conduit

crire : T

2

= T

2

et T

2

= T

1

+ T

1

et T

1

= T

1

, soit : T

2

= 2T

1

.

On obtient donc :

2m

1

z

2

= m

1

g sina + T

1

et m

2

z

2

= m

2

g 2T

1

.

Soit encore :

z

2

= g

T

2

= (2 + sina)g

et numriquement :

z

2

= 1,1 m.s

2

et T

2

= 2,2 N.

2m

1

m

2

m

2

+ 4m

1

m

2

2m

1

sina

m

2

+ 4m

1

z

1

2

2

m

1

yg

m

2

yg

iR

1

iT

1

iT

1

iT

2

iT

2

z

1

z

2

a

S

2

S

1

m

1

m

2

m

1

+ m

2

m

2

m

1

sina

m

2

+ m

1

m

1

yg

m

2

yg

iR

1

iT

1

iT

2

z

1

z

2

a

S

2

S

1

23

Corrigs



La relation fondamentale de la dynamique

ma

(M) = P

+ R

projete sur e

r

et e

q

donne :

ma

q

2

= R mg cosq (1)

ma

q = mg sinq . (2)

Lenfant esquimau quittera le contact avec ligloo quand R

sera nul. Il faut donc exprimer R en fonction de q et, pour

cela, dterminer pralablement la relation entre

q

2

et q : on

multiplie la relation (2) par

q :

ma

q

q = mg

q sinq

o A est une constante dtermine par les conditions initia-

les q (0) = 0 et

q (0) = 0 , donc A = mg .

La relation recherche est ma

q

2

= 2mg(1 cosq) . On la

reporte dans lquation (1) : R = mg(3 cosq 2) .

R est positif tant que q reste infrieur :

2 Quand lenfant a quitt ligloo, il nest plus soumis qu son

poids. On choisit cet instant comme nouvelle origine des temps.

Les conditions initiales de ce nouveau mouvement sont :

x(0) = a sinq

0

= x

0

, z(0) = a cosq

0

= z

0

(point M

0

)

v

(0) = a

q

0

e

0

= a

q

0

(cosq

0

e

x

sinq

0

e

z

)

=

3

e

x

1

e

z

= v

0x

e

x

+ v

0 z

e

z

Le mouvement est parabolique, tangent ligloo au point

M

0

. Les lois horaires du mouvement sont :

.

Lenfant touche le sol linstant t

f

tel que z(t

f

) = 0 . On obtient :

(lautre racine est ngative).

Sa vitesse, quand il arrive sur le sol, est donc :

v

f

= v

0 x

e

x

+ (v

0 z

gt

f

)e

z

.

t

g

v v gz

f z z

= + +

( )

1

2

0 0

2

0

x t v t x

z t

gt

v t z

x

z

( )

( )

= +

= + +

0 0

2

0 0

2

2ga

3

2

3

5

9

q

0

2

3

48=

=arccos .

= +

1

2

2

ma mg A

q q cos ,

=

d

d

d

dt

ma

t

mg

1

2

2

q q( cos )

z

x

e

r

R

mg

e

M

CORRIGS


2

24



tude dun pendule simple,

raction au point dattache

Au point O, le fil tant sans masse, on a :

R

+ ( T

) = 0

.

Pour la masse m situe au point M, on peut apliquer le prin-

cipe fondamental de la dynamique dans la rfrentiel galilen

o se fait lexprience.

Soit : ma

(M) = mg

+ T

avec

a

=

q

2

u

r

+

q u

q

T

= Tu

r

.

On en dduit

m

q

2

= mg cos q T

m

q = mg sin q .

En multipliant lquation par

q , il vient :

m

q

q = mg sin q

q

m .

Les conditions initiales

q = 0 pour q = permettent dobte-

nir K = 0.

Do R

= T

= 3 mg cos q u

r

.

R

x

(q ) = 3 mg cos

2

q

R

y

(q ) = 3 mg sin q cos q.

Un jeu denfant

1 Les forces qui sexercent sur lenfant sont son poids

P

= mge

z

et la raction de ligloo R

= Re

r

(en labsence

de frottements).

ye

x

yu

r

m yg

yu

q

ye

y

yR

yT

y

x

O

M

q

4

2

1

2

2

m mg K

q q= +cos .

d

dt

d mg

1

2

2

q q

= ( cos )

3

CORRIGS


2

25



A.N. : v

0 x

= 2,41 m.s

1

; v

0 z

= 2,69 m.s

1

;

z

0

= 1,33 m ; t

f

= 0,315 s ; v

f

= 2,41 e

x

5,78 e

z

et v

f

= 6,26 m .s

1

= 22,5 km .h

1

.

Cette vitesse a la mme norme que celle quau-

rait lenfant sil tombait en chute libre depuis le sommet de

ligloo : le thorme de lnergie cintique (cf. chapitre sui-

vant) donne ce rsultat immdiatement.

quilibre dun point

1 Les forces appliques au point M sont :

son poids P

= mg

= mg(sinq e

r

+ cosq e

q

) ;

la raction du cercle N

= N e

r

(pas de frottements) ;

la force de rappel F

= k MA

:

F

Quand le point M est lquilibre, P

+ N

+ F

= 0 .

La force N

tant inconnue, on projette cette quation sur e

q

:

Il y a donc deux positions dquilibre :

q q q

1 2 1

=

= +arc ettan .

mg

kR

=tan .q

mg

kR

cos cos sinmg kRq

q q

+

=2

2 2

0

e

r

e

M

A R B

O

2

2

z

y

x

=

cos cos sink R e e

r

2

2 2 2

q q q

q

.

5

v

f

ga=

( )

2

2 La relation fondamentale de la dynamique scrit :

ma

= P

+ N

+ F

. Comme la question prcdente, on la

projette sur e

q

pour liminer N :

3 q

e

= q

1

ou q

2

.

q = q

e

+ u avec u

CORRIGS


2

26



La solution de lquation du mouvement est :

u = Ae

w t

+ Be

w t

.

Compte tenu des conditions initiales,

u(0) = u

0

= A + B et

u(0) = 0 = w(A B) ,

on obtient u(t) = u

0

ch(w t) : si on carte lgrement le point

de sa position dquilibre, il sen loigne encore plus, lqui-

libre est donc instable.

Pour q

e

= q

2

, cosq

2

et sinq

2

sont ngatifs. On pose alors :

Comme pour q

1

, on obtient :

w

2

= =

+

1

2

.

La solution de lquation du mouvement est :

u = Acosw t + Bsinw t avec A = u

0

et B = 0

en tenant compte des conditions initiales, do u(t) = u

0

cosw t :

si on carte lgrement le point de sa position dquilibre, il y

revient : lquilibre est donc stable.

Mouvement dune masse

accroche un ressort, impact

au point dattache (oral TPE)

lquilibre, les forces qui agissent sur m sont laction du

ressort, le poids et la ration du support, parallle Oy en

labsence de frottements.

En projection sur Ox : 0 = k(x

e

L

0

) + mg sin .

Au cours du mouvement : m

x = k(x L

0

) + mg sin

m

x = k(x x

e

).

En introduisant

0

, on obtient :

x +

0

2

x =

0

2

x

e

.

do x(t) = A cos

0

t + B sin

0

t + x

e

.

A t = 0 x(0) = A + x

e

= x

e

A = 0

x(0) = B

0

= v

0

B =

Donc x(t) = sin

0

t + x

e

.

x

e

t

1

T

0

T

0

2

w

0

O

x(t)

y

v

0

0

v

0

0

=

k

m

6

k

m cosq

2

k

2

m

2

g

2

R

2

cos sin .w q q

2 2 2

= +

k

m

g

R

x(t) peut sannuler si 0

v

0

x

e

0

.

On a impact en O t

1

avec t

1

.

= soit .

La vitesse au moment du choc vrifie :

x(t

1

) = v

0

cos

0

t

1

.

x(t

1

) = v

0

1

Enroulement dun fil

sur un cylindre

1 =

0

Rq puisque la longueur enroule vaut Rq.

2 OM

= OI

+ IM

= Ru

r

+ (l

0

Rq)u

q

.

3 , do, aprs simplification :

v

=

q (

0

Rq )u

r

.

4 Les forces qui sexercent sur le point M sont :

son poids P

;

la raction du plan horizontal R

;

la tension du fil T

.

Il ny a pas de frottements.

Les deux premires forces sont verticales, la dernire est

dirige par u

q

, donc

P

+ R

= 0

et m

d

d

v

t

= T

= T u

q

est

perpendiculaire v

, soit : v

. = 0, ce qui assure v = cte = v

0

.

5

q > 0 ,

0

Rq > 0 , la norme de la vitesse est donc

v =

q (

0

Rq) = v

0

.

6 Lquation prcdente sintgre en

0

q = v

0

t

(compte tenu des conditions initiales).

q(t) est donc la solution de lquation du second degr :

q

2

+ = 0 .

Donc : q (t) =

8

2

.

1

2

2

0

x

2

e

v

2

0

0

R

0

R

2v

0

t

R

0

0

x

e

v

sin

0 1

t t

x

e

1

0

0

0

1

=

Arc sin

v

T

0

4

T

0

0

2

=

x

e

v

0

0

2

0

q

R

2v

0

t

R

Rq

2

2

dv

dt

d

d

et

u

t

u

du

dt

u

r

r

= =q q

q

7

CORRIGS


2

27



q (t) tant croissant, on ne conserve que la solution avec le

signe :

q (t) =

1

6

1

.

7 Le fil est entirement enroul quand :

s

8 a. Pour dterminer la tension du fil, on projette la rela-

tion fondamentale de la dynamique sur u

q

, en utilisant

le fait que v

= v

0

u

r

, donc que a

=

q v

0

u

q

. Il vient

0

R

2Rv

0

t

2

0

K t

R

t

R

f

( ) , : ,= = = =

0 0

2

0

143

2

6 25 donc

v

T = mv

0

q (T est le module de la tension T

). En utilisant

lexpression de q(t) dtermine plus haut, on obtient :

T =

1

1

2

.

b. t

rup

=

1

2

= 6,09 s ;

q

rup

=

1

= 2,1 rad = 120 143 .

mv

2

0

0

2Rv

0

t

2

0

mv

2

0

0

T

rup

2

0

2Rv

0

0

R

mv

2

0

0

T

rup

3Puissance et nergie

en rfrentiel galilen

LES OBJECTIFS

Introduire la notion dnergie.

Utiliser le thorme de lnergie cintique pour

rsoudre les problmes un degr de libert.

LES PRREQUIS

Lois de Newton.


Intgration en mathmatiques.

Lecture de courbes, interprtation graphique de

solutions.

ESSENTIEL



28

Puissance, travail dune force dans un rfrentiel

La puissance dune force F

est gale au produit scalaire de cette force par la vitesse de dpla-

cement de son point dapplication :

= F

.

v.

Le travail dune force entre les instants t

1

et t

2

est gal

2

1

dt. Pour un point matriel, ce

travail est gal la circulation de F

:

=

r

2

r

1

F

. dr

.

Thormes de la puissance et de lnergie cintique

La puissance cintique (drive de lnergie cintique par rapport au temps) est gale

la puissance de toutes les forces sexerant sur le point matriel.

La variation dnergie cintique

K

=

K

(t

2

)

K

(t

1

) est gale au travail de toutes les

forces pendant lintervalle de temps [t

1

, t

2

].

Champ de forces conservatif

Un champ de forces est conservatif sil drive dune nergie potentielle

P

( r

) , telle que le tra-

vail lmentaire de la force vrifie :

= F

. dr

= d

P

.

d

K

dt

ESSENTIEL

Puissance et nergie en rfrentiel galilen

3



Quelques exemples dnergies potentielles

nergie mcanique

Lnergie mcanique dun point matriel est

M

=

P

+

K

.

La variation de

M

est gale au travail des forces qui ne drivent pas de lnergie potentielle,

donc au travail des forces non conservatives.

Mouvement conservatif un degr de libert

Lquation du mouvement peut se dduire de

M

= cte :

lvolution du point matriel est limite aux zones o lnergie potentielle reste infrieure

lnergie mcanique :

P

(x)

M

;

les trajectoires de phase dun systme conservatif sont des courbes nergie mcanique cons-

tante ;

les minima de

P

correspondent aux positions dquilibre stables et les maxima aux positions

dquilibre instables. La technique de linarisation, lorsquelle est justifie, permet de prciser la

nature du mouvement au voisinage de lquilibre.


Le travail dune force F

sobtient ainsi :

=

r

2

r

1

F

. dr

qui pour un point matriel se dduit de la formule gnrale toujours utilisable :

=

t

2

t

1

(t) dt

avec (t) = F

.

v (t)

avec

v (t) la vitesse du point dapplication de la force, ici le point matriel.

Pour un systme conservatif, penser ds que possible linvariance de lnergie mcanique pour

obtenir lquation dvolution du point matriel.

29

interaction force schma nergie potentielle

pesanteur F

= mg

= mge

z

P

= mgz + cte

interaction

F

= e

r

P

= + cte

newtonienne

ressort linaire F

= k(

0

)e

x

P

= k(

0

)

2

+ cte

x

O

y

F = k (

0

) e

x

0

1

2

K

r

K

r

2

y

x

O

OM = re

r

F =

e

r

M

K

r

2

z

x

O

F = mge

z



tude de la chute dun alpiniste

Lors dune escalade, un grimpeur sassure en passant sa

corde dans des anneaux mtalliques fixs au rocher. La

corde peut coulisser librement dans ces anneaux. Le fac-

teur de chute f est dfini comme le rapport de la hauteur

de chute tant que la corde nest pas tendue sur la longueur

L de corde utilise. Si au moment de la chute, la corde est

tendue, ce facteur de chute vaut f = (docs. 1 et 2) o

est la distance du grimpeur au dernier anneau. Dans des

conditions normales dutilisation f est compris entre 0

et 2. Pour les applications numriques, le poids P du

grimpeur sera pris gal 800 N.

Le maillon fragile dans la chane dassurance dun grim-

peur nest pas la corde (qui peut rsister des forces de

plus de 18 kN), ni les points o la corde est attache au

rocher (rsistance de lordre de 20 kN) mais le grimpeur

(une force de 12 kN exerce sur le bassin provoque sa rup-

ture) ! Les cordes utilises en escalade sont lastiques de

faon diminuer la force qui sexerce sur le grimpeur lors

de sa chute. On assimilera une corde de montagne dont la

longueur utilise est L un ressort de longueur

vide L et de raideur k = . Llasticit a de la corde

est une grandeur caractristique du matriau la constituant.

1 Soit un ressort vertical de raideur k et de longueur

vide L auquel est suspendue une masse m , de poids

P = mg (g dsignant le module du champ de pesanteur).

1

a L

2

L

4 m

5 m

5 m

anneau

fix

au rocher

point

d'attache

de la corde

point

d'attache

de la corde

Facteur de chute : f =

10 m

= 1,1

9 m

4 m

4 m

5 m

Facteur de chute : f =

8 m

Doc. 1 Doc. 2 Doc. 3

= 2

4 m

cble

3Distance minimale de freinage

Une voiture roulant 50 km . h

1

simmobilise sur une route

rectiligne et horizontale au bout dune distance de 40 m. En

supposant que la force de frottement entre le sol et la voi-

ture est constante, dterminer la distance de freinage si le

vhicule roule 80 km . h

1

. On ngligera la rsistance de

lair.

Carabine-jouet ressort

Une carabine-jouet ressort est modlise de la manire

suivante : un ressort de raideur k est plac dans un tube

cylindrique (en plastique) de longueur

0

gale la lon-

gueur vide du ressort. On dpose au bout du ressort une

balle en plastique de masse m et on comprime le ressort

dune longueur lintrieur du tube. Le tube tant inclin

de 60 par rapport lhorizontale, on libre le ressort qui

propulse instantanment la balle. On nglige le frottement

de la balle dans le tube et la rsistance de lair.

1 quelle vitesse v

0

la balle sort-elle du canon de la

carabine ?

2 Quelle hauteur h (par rapport la sortie de la carabi-

ne) la balle atteint-elle dans ces conditions ?

Avec quelle vitesse horizontale v

H

?

A.N. : Calculer v

0

, h et v

H

.

Donnes : m = 20 g , k = 400 N . m

1

et = 10 cm.

2

1

30

Exercices

Conseils

Appliquer le thorme de lnergie cintique entre le

dbut du freinage et larrt total.

Conseils

1) Utiliser la conservation de lnergie de la balle

aprs avoir soigneusement dtermin son nergie

potentielle que lon pourra, par exemple, choisir nulle

la sortie du canon.

2) Que peut-on dire de la composante horizontale de

la vitesse de la balle aprs la sortie du canon ? En

dduire le module de la vitesse au sommet de la tra-

jectoire, puis, en appliquant le thorme de lnergie

cintique entre la sortie du canon et le sommet, la

hauteur du tir.



linstant t = 0 , le ressort est non tendu et m a une vites-

se verticale, dirige vers le bas, de module v

0

. Dterminer

llongation maximale du ressort x

max

(mesure partir

de la longueur vide) et la force maximale F

max

quil

exerce sur la masse m .

2 En utilisant le rsultat de la question 1), exprimer la

force maximale F

max

exerce par la corde lors dune

chute de facteur f en fonction des donnes de lnonc.

Que remarquez-vous ?

3 Le corps humain peut rsister une force de lordre de

12 kN pendant un temps bref.

a) Une corde descalade est prvue pour que la force

maximale exerce sur lalpiniste soit de 9 kN dans les

conditions les plus dfavorables ( f = 2) .

i) Calculer llasticit de cette corde (prciser les units

de a).

ii) Calculer llongation maximale de cette corde et la

force maximale pour L = 10 m et f = 1 .

iii) Quen est-il pour le doc. 3 o la hauteur de chute est de

5 m et la longueur de la longe (corde laquelle est accro-

ch le grimpeur) est de 1 m.

b) Ltude prcdente ne tient pas compte des phnomnes

dissipatifs se produisant dans la corde. Llongation de la

corde est en fait infrieure celle calcule avec le modle

choisi. La corde ne se comporte pas comme un ressort.

Supposons que pendant toute la dure du freinage par la

corde, elle sallonge de faon maintenir 9 kN la force

quelle exerce sur le grimpeur. Calculer son longation

maximale pour L = 10 m, g = 1 puis L = 1 m, f = 5 .

c) Une corde utilise en splologie est dite statique car son

lasticit est faible (environ 5 10

6

SI). En revenant au

modle dune corde parfaitement lastique, partir de quel

facteur de chute y a-t-il danger de mort avec une telle corde ?

Anneau en mouvement

sur une hlice

Les quations en coordonnes polaires dune hlice rigide

daxe vertical Oz sont r = a et z = hq. Un petit anneau enfil

sur lhlice est abandonn sans vitesse initiale au point dal-

titude H = 2h. En assimilant lanneau un point matriel

4

mobile sans frottement, calculer le temps quil met pour

atteindre le plan horizontal z = 0.

Mouvement de trois lectrons

Trois lectrons sont retenus aux sommets dun triangle qui-

latral de ct a puis sont abandonns simultanment.

Dterminer la vitesse limite de chacun. Application num-

rique : m = 9 .10

31

kg, e = 1,6 .10

19

C, a = 2 .10

10

m,

e

0

= 1/36 .10

9

.

*Mouvement dun point

sur un cercle, liaison bilatrale,

puis unilatrale

On considre une gouttire G circulaire, verticale, de centre

O et de rayon R . On appelle (Oy) laxe vertical ascen-

dant. La position dun point P sur G est repre par langle

q entre OW

et OP

, o W est le point le plus bas du cercle.

1 Une petite perle P de masse m est enfile sur la gout-

tire (liaison bilatrale) qui joue donc le rle de glissire.

linstant t = 0 , on lance P depuis le point W avec une

vitesse v

0

. La perle glisse sans frottements le long de G .

a) Exprimer la vitesse de P en un point daltitude y en

fonction de v

0

, g , R et y .

b) tudier alors les diffrents mouvements possibles de P

suivant les valeurs de v

0

.

c) Dterminer la raction N

de la gouttire sur la perle.

tudier ses variations en fonction de y . Commenter.

d) On choisit ici v

0

= 25gR . Dterminer la loi horaire q(t) .

Quelle est la valeur maximale de q ?

Pour quelle valeur de t est-elle atteinte ?

Donne :

q

0

d

cos

ln tan= +

2 4

y

x

gouttire

O

R

P

g

6

5

EXERCICES


3

31

Conseils

Pour dterminer llongation extrme de la corde, qui

est le but des questions poses, il est inutile de rsou-

dre lquation du mouvement pour obtenir la loi

dvolution de la longueur de la corde au cours du

temps. Utiliser la conservation de lnergie, en exa-

minant soigneusement les conditions initiales pour

calculer la constante nergie mcanique, est bien suf-

fisant et nettement plus rapide.

Conseils

Comment volue la figure forme par les trois

lectrons ? Utiliser le point O, centre de gravit du

triangle initial pour reprer la position dun lectron.



On se placera dans ce cas par la suite.

2 Stabilit de lquilibre

a) Exprimer lnergie potentielle E

p

(z) associe ce

mouvement (on choisit E

p

(0) = 0) . Tracer lallure des

variations de E

p

(z) , et discuter la stabilit des positions

dquilibre obtenues.

b) Quelle est la pulsation w

0

des petites oscillations de la

sphre au voisinage de lquilibre stable ? (On lexprime-

ra en notant z

e

la position dquilibre stable.)

3 On a trac ci-dessous quelques trajectoires de phase

dans le plan

z,

pour diverses conditions initiales.

a) Peut-on prciser le type de conditions initiales qui a t

choisi, et le sens dvolution de la particule sur ces trajec-

toires ?

b) Proposer quelques commentaires pour les volutions

observes.

Navire moteur (Banque G2E08)

Un navire, de masse m = 10 000 tonnes, file en ligne droi-

te, la vitesse v

0

= 15 nuds.

La force de rsistance exerce par leau sur la coque du

bateau est du type : F = kv

2

o k est une constante et v la

vitesse du bateau.

Un nud correspond 1 mille nautique par heure et le

nautique est gal 1 852 m.

On se place dans un rfrentiel li au port qui sera suppo-

s galilen.

8

1

v/w

0

1 2 3 4 5

0

1

2

3

3 2 1

4

z

v

w

0

2 La gouttire G reprsente maintenant un des trous

dun parcours de golf miniature : la balle doit faire un loo-

ping complet lintrieur de G avant de poursuivre son

chemin (liaison unilatrale). La gouttire est videmment

ouverte en W et dcale pour que la balle puisse pour-

suivre son chemin. La balle est assimile un point mat-

riel P de masse m . Elle arrive au point W avec la

vitesse v

0

.

a) tudier les diffrents mouvements possibles de P sui-

vant les valeurs de v

0

.

Quelle valeur minimale de v

0

faut-il donner la balle pour

quelle effectue le tour complet ?

b) On choisit encore v

0

= 25gR . Pour quelle valeur de q

la balle quitte-t-elle le contact avec la gouttire ? quel

instant cela se produit-il ?

Mouvement dune particule

charge sur un axe

Laxe vertical (Oz) est matrialis par un fil fin sur lequel

peut coulisser sans frottement une trs petite sphre, de

masse m , portant la charge lectrique q positive.

Un cerceau de rayon R et daxe (Oz) , portant une char-

ge lectrique positive rpartie uniformment sur sa circon-

frence, cre un champ lectrique dont on admettra lex-

pression sur laxe (Oz) :

E

axe

(z) = a e

z

, o a est une constante positive.

1 Force subie

a) Exprimer la valeur algbrique F(z) de la force dorigi-

ne lectrique F

(z) = F(z) e

z

subie par la petite sphre.

Tracer lallure des variations de F(z) .

b) Pour quelles valeurs de la masse m est-il possible

dobtenir des positions dquilibre pour la petite sphre ?

7

z

(R

2

+ z

2

)

3

2

EXERCICES


3

32

Conseils

1) La perle effectue un tour complet si sa vitesse ne

sannule pas au cours de son mouvement. Le signe de

la raction de la gouttire (ou de la glissire, dans

cette question) na aucune importance ici, car la perle

est enfile sur la gouttire, donc le contact est tou-

jours assur.

Pour dterminer lquation du mouvement, isoler

d

d

q

t

partir du thorme de lnergie cintique en

faisant trs attention aux signes (on rappelle que

3x

2

= x ). Mettre ensuite cette quation sous la

forme dt = f(q) dq avant de lintgrer.

2) Dans ce cas, quand la raction de la gouttire san-

nule, la balle quitte le support : la gouttire ne joue plus

le rle de glissire. Il reste tudier, suivant les valeurs

de v

0

, si la raction sannule avant la vitesse ou non.

Conseils

1) lquilibre, la somme des forces doit sannuler.

2) Lquilibre stable correspond un minimum

dnergie potentielle. Pour de petits mouvements, on

peut essayer de linariser lquation du mouvement

au voisinage de lquilibre.



1 Calculer la constante k sachant que le moteur fournit

une puissance de 5 MW la vitesse v

0

.

2 Le navire stoppe ses machines la distance X au large

de la passe dentre dun port.

Dterminer lexpression de la vitesse du navire en fonc-

tion du temps t. On posera L = m /k.

3 En dduire la distance X parcourue par le navire en

fonction de L, v

0

et v

P

, la vitesse au niveau de la passe.

Calculer cette distance si on dsire atteindre la passe la

vitesse de 2 nuds.

4 Dterminer le temps q mis pour atteindre la passe.

5 Dterminer la vitesse, v

Q

, larrive du quai, un demi-

mille au-del de la passe dentre. On la calculera en

nuds puis en m/s.

6 Quelle est la solution durgence pour arrter le bateau?

tude dun looping

(daprs ICNA 06)

Une bille, assimile un point matriel M de masse m, est

lche sans vitesse initiale depuis le point A dune gout-

tire situ une hauteur h du point le plus bas O de la

gouttire. Cette dernire est termine en O par un guide

circulaire de rayon a, dispos verticalement. La bille, dont

on suppose que le mouvement a lieu sans frottement, peut

ventuellement quitter la gouttire vers lintrieur du cer-

cle. On dsigne par g

= ge

y

lacclration de la pesan-

teur (cf. figure ci-dessous).

A

x

h

a

C

M

O

y

ye

y

yg

ye

q

ye

r

ye

x

q

9

1 Calculer la norme v

0

de la vitesse de la bille en O.

2 Exprimer la norme v

M

de la vitesse de la bille en un

point M quelconque du cercle repr par langle q.

3 On dsigne par e

r

= le vecteur unitaire port

par le vecteur position ICM du point M.

crire lexpression de la raction R

= Re

r

du guide circu-

laire sur la bille.

4 Dterminer la hauteur minimale h

min

partir de laquel-

le il faut lcher la bille sans vitesse initiale pour quelle ait

un mouvement rvolutif dans le guide.

5 On lche la bille sans vitesse initiale depuis une hau-

teur h

0

= 2a. Calculer, en degrs, la valeur q

0

de langle q

pour laquelle la bille quitte le guide.

6 Calculer la valeur v

Ox

de la composante suivant laxe

Ox de la vitesse de la bille au moment o elle quitte le

guide.

7 Calculer la valeur maximale h

M

de la hauteur atteinte

dans ces conditions par la bille aprs quelle ait quitt le

guide.

CM

CM

EXERCICES


3

33

34



tude de la chute dun alpiniste

1 Notant x lallongement du ressort, lquation du mouve-

ment est :

mx

= kx + mg

dont lintgrale premire est, compte tenu des conditions

initiales :

mx

2

mgx + kx

2

= mv

0

2

.

Llongation maximale du ressort est la solution suprieure :

x

eq

= de lquation du second degr :

kx

2

2 mgx mv

0

2

= 0.

Soit : x

max

=

1 +

8

1 +

2

.

La force maximale vaut alors :

F

max

= mg

1 +

8

1 +

2

.

2 La hauteur de chute libre h qui donne une vitesse v

0

la

limite de tension de la corde est h = .

Le facteur de chute du cas tudi est donc f = , ce qui

permet dcrire la force maximale sous la forme :

F

max

= P

1 +

5

1 +

.

Ce rsultat ne dpend que du facteur de chute, pas de h : pour

une corde deux fois plus longue et une hauteur de chute deux

fois plus grande, la force maximale est inchange (le contact

avec la paroi risque tout de mme dtre un peu plus svre !).

Le cas le plus dfavorable correspond L minimum, pour

une hauteur de chute h donne, soit f = 2, cas du doc. 2 de

lnonc.

3 a) i. Llasticit de la corde est :

a = , mesure en N

1

.

Pour F

max

= 9 kN, P = 800 N, f = 2 , il faut que llasticit

de la corde soit a = 4,8 . 10

5

N

1

.

ii. Pour L = 10 m et f = 1 , llongation maximale est :

x

max

= aLP

1 +

5

1 +

= 3,2 m

et la force maximale vaut F

max

= 6,6 kN.

iii. Ce cas apparat catastrophique : la hauteur de chute est

importante alors que la partie extensible de la corde est trs

3

2 f

aP

2 fP

F

max

(F

max

2P)

2 f

aP

v

0

2

2gL

v

0

2

2g

k

m

v

0

g

mg

k

k

m

v

0

g

mg

k

1

2

1

2

1

2

Corrigs

Distance minimale de freinage

Soit F le module de frottement entre la voiture et le sol. Le

thorme de lnergie cintique entre le dbut du freinage (la

voiture la vitesse v ) et larrt scrit :

1

er

cas : 0

= Fd

1

;

2

e

cas : 0

= Fd

2

.

On en dduit =

2

= 2,56,

ce qui donne d

2

= 102,4 m, soit environ 100 m. La distance

de freinage a donc augment de 60 m !

Carabine-jouet ressort

1 Lnergie mcanique initiale de la balle est :

M

0

= mg sin a si on choisit lorigine des nergies

potentielles lextrmit du canon de la carabine. Quand la

balle sort du canon, son nergie est donc uniquement sous

forme dnergie cintique, elle vaut . La conservation de

lnergie mcanique (on nglige tout frottement) donne :

v

0

=

9

m

k

()

2

2g sina

v

0

= 14,1 m . s

1

51 km . h

1

.

2 Quand la balle est au sommet de sa trajectoire, sa vitesse

est horizontale. La seule force agissant sur la balle une fois

quelle a t tire est son poids, donc la composante horizon-

tale de la vitesse se conserve :

v

H

= v

0

cosa = 7,0 m . s

1

25 km . h

1

.

Le thorme de lnergie cintique entre linstant o la balle

sort du canon et celui o elle passe au sommet de sa trajectoire

parabolique scrit :

= mgh, donc h =

7,6 m .

v

2

0

sin

2

a

2g

mv

2

0

2

mv

2

H

2

mv

2

0

2

mv

2

2

2

mv

2

1

2

k ()

2

2

2

d

2

d

1

v

2

v

1

1

rduite. Cest pourtant ce qui est utilis dans le cas dune

excursion en via ferrata, mais le dispositif dassurance utili-

s est alors tout particulirement conu pour ce genre dex-

pdition : la fixation au harnais est un amortisseur.

A.N.

: f = 5 , L = 1 m et F

max

= 13,7 kN.

b) Pour ce nouveau modle, lquation du mouvement est :

mx = F + P

o le second membre est constant, soit :

m

.

x

2

+ (F P)x = mv

0

2

.

Il vient alors :

x

max

= = L .

A.N. : L = 10 m et f = 1 : x

max

= 1 m ;

L = 1 m et f = 5 : x

max

= 0,5 m.

c) Le facteur de chute est :

f = .

Pour F = 12 kN et a = 5 . 10

6

N

1

, on a f

max

= 0,39 .

Anneau en mouvement

sur une hlice

Lors du mouvement de lanneau, seul son poids travaille.

On peut appliquer le thorme de lnergie cintique entre

laltitude H et laltitude z.

mv

2

= mg(H z)

Sur lhlice OOM = au

r

+ z u

z

v

= a

qu

q

+ z

u

z

= a

qu

q

+ h

qu

z

v

2

= (a

2

+ h

2

)

q

2

Soit m(a

2

+ h

2

)

q

2

= mgh (2 q )

Lanneau part de q = 2 et arrive en q = 0, donc 0.

Soit = 92 q

= dt.

Lanneau atteint le sol pour t = T avec

= T.

T = 2

( )a h

gh

2 2

+

2

2 2

gh

a h+

d

2

0

2

2

2 2

gh

a h+

d

2

d

d

t

1

2

2

2 2

gh

a h+

d

d

t

1

2

4

aF

max

(F

max

2P)

2P

mv

0

2

2(F P)

f

F

P

1

1

2

1

2

Mouvement de trois lectrons

Au cours du temps, les lectrons restent positionns sur un tri-

angle quilatral dont le centre de gravit O est immobile.

Posons OA = x. OA = AH = AB sin = AB.

Llectron en A est soumis deux forces :

F

BA

de la part de

llectron en B et

F

CA

de la part de llectron en C de mme

norme.

F

BA

+

F

CA

= 2 cos u

x

= u

x

.

Cette force globale drive de lnergie potentielle E

p

(x) avec :

E

p

(x) =

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