Hassan Al Husseini - Stockage UP edel Nuxeo

THÈSE

Pour l'obtention du grade deDOCTEUR DE L'UNIVERSITÉ DE POITIERS

UFR des sciences fondamentales et appliquéesPôle poitevin de recherche pour l'ingénieur en mécanique, matériaux et énergétique -

PPRIMME (Poitiers)(Diplôme National - Arrêté du 7 août 2006)

École doctorale : Sciences et ingénierie en matériaux, mécanique, énergétique etaéronautique - SIMMEA (Poitiers)

Secteur de recherche : Mécanique des solides, des matériaux, des structures et dessurfaces

Présentée par :Hassan Al Husseini

Adaptation de la méthode de corrélationd'images numériques pour la gestion des discontinuités

du milieu et de la transformation

Directeur(s) de Thèse :Fabrice Brémand, Jean-Christophe Dupré, Pascal Doumalin, Arnaud Germaneau

Soutenue le 04 juillet 2014 devant le jury

Jury :

Président Jérôme Molimard Professeur, ENSM de Saint-Étienne

Rapporteur Gérard Mauvoisin Maître de conférences, Université de Rennes 1

Rapporteur Octavian Pop Maître de conférences, Université de Limoges

Membre Fabrice Brémand Professeur des Universités, Université de Poitiers

Pour citer cette thèse :Hassan Al Husseini. Adaptation de la méthode de corrélation d'images numériques pour la gestion desdiscontinuités du milieu et de la transformation [En ligne]. Thèse Mécanique des solides, des matériaux, desstructures et des surfaces. Poitiers : Université de Poitiers, 2014. Disponible sur Internet <http://theses.univ-poitiers.fr>

false

THESE pour l’obtention du Grade de

DOCTEUR DE L’UNIVERSITE DE POITIERS Faculté des Sciences Fondamentales et Appliquées

(Diplôme National - Arrêté du 7 août 2006)

Ecole Doctorale : Sciences et Ingénierie en Matériaux, Mécanique, Energétique et Aéronautique (SI-MMEA)

Secteur de Recherche : Mécanique des solides, des matériaux, des structures et des surfaces

Présentée par :

Hassan AL HUSSEINI

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ADAPTATION DE LA METHODE DE CORRELATION D’IMAGES NUMERIQUES POUR LA GESTION DES

DISCONTINUITES DU MILIEU ET DE LA TRANSFORMATION

************************

Directeur de Thèse : Fabrice BREMAND Jean-Christophe DUPRE Pascal DOUMALIN Arnaud GERMANEAU

************************

Date de soutenance : 04 juillet 2014

Devant la Commission d’Examen

************************

JURY

M. G. MAUVOISIN, Maître de conférences, HDR, Université de Rennes Rapporteur

M. O. POP, Maître de conférences, HDR, Université de Limoges Rapporteur

M. J. MOLIMARD, Professeur, ENSM de Saint-Étienne Examinateur

M. F. BREMAND, Professeur, Université de Poitiers Examinateur

3

Introduction générale


4

Les méthodes optiques de mesure de champs offrent la possibilité de faire des mesures

sans contact et non-invasives de grandeurs mécaniques en surface ou en volume. L’intérêt

grandissant dans le développement de ces méthodes se justifie par les exigences des

industriels à obtenir d’une part des matériaux très résistants mécaniquement, présentant par

exemple une meilleure tenue en température permettant de reculer les limites d’utilisation en

environnement moteur ou structures hypersoniques et d’autre part des matériaux qui se

déforment facilement et qui absorbent les chocs afin d’assurer la sécurité d’un conducteur

d’une voiture par exemple. En donnant accès aux champs de déplacement et de déformation

(méthode des grilles, suivi de marqueurs, corrélation d’images numériques (CIN ), …), il est

possible de caractériser ces matériaux en calculant soit leurs déformations maximales soit

leur aptitude à fissurer à travers la détermination des facteurs d’intensité de contraintes et

d’ouverture de fissures.

Par ailleurs, comme ces méthodes donnent accès à des champs de déplacement

expérimentaux, elles constituent de fait un outil de validation des modèles numériques qui

essayent de reproduire par simulation les essais expérimentaux de caractérisation de ces

matériaux afin de prédire leur comportement et optimiser leur dimensionnement dès l’étape

de conception.

A cause de leur principe de mesure qui est sans contact et qui se base sur la

propagation de la lumière, leur champ d’investigation est très large. Bien évidemment, il ne

s’arrête pas à la caractérisation mécanique des matériaux mais englobe aussi l’analyse de la

réponse mécanique 2D, 2D1/2 ou encore 3D des structures. Il existe pour chaque domaine

d’application des techniques précises à utiliser [1-5] : « corrélation d’images numériques »,

« suivi de marqueur » et « méthode des grilles » pour des mesures en 2D. « stéréovision »,

« techniques du moiré d’ombre » ou « de projection » pour les mesures en 2D1/2 et

« photoélasticimétrie » pour les mesures en 3D. Néanmoins, ces méthodes et notamment la

méthode de corrélation d’images numériques ont été développées pour être mis en œuvre dans

un contexte de mécanique des milieux continus, les marqueurs étant la texture artificielle ou

naturelle de la surface de mesure. Leur principale limitation est liée à l'utilisation d'un

domaine local sur lequel la mesure est effectuée. Du fait de sa forme et de sa taille

usuellement prismatique et donc non-adaptables à la forme, la taille et la cinématique de la

surface étudiée, toute mesure auprès d’un bord s’avère très compliquée. En effet, deux cas se

présentent :


5

ce bord peut être existant dès l’état initial. Il s’agit bien entendu des frontières initiales

de la surface de mesure avec l’extérieur.

ce bord peut apparaitre également à l’état déformé telle une fissure.

Il suffit de développer un peu plus les idées précédentes pour voir que l’origine de

notre problème est a priori dans le modèle de milieu continu utilisé qui n’est plus valable pour

les deux cas de figures.

En effet, dans la démarche expérimentale usuelle, pour suivre les déformations d’un

solide ou l’écoulement d’un fluide, l’observateur est conduit à procéder au marquage

d’éléments matériels constitutifs du système étudié à un instant initial. Il doit repérer ensuite

leur évolution géométrique. Le concept intuitif de continuité se réfère à l’évolution des

positions géométriques de ces éléments marqués au cours du temps : des éléments matériels

voisins à un instant donné demeurent voisins au cours du temps et leurs évolutions sont

comparables.

Plus précisément, lors de l’évolution du système pour des particules voisines à

l’intérieur d’un domaine matériel, on souhaite assurer :

L’évolution comparable des propriétés physiques introduisant la notion de continuité

du domaine,

La conservation de la proximité géométrique qui introduit la notion de continuité de la

transformation à l’échelle du domaine considéré [6].

Les méthodes optiques de mesure permettent de rendre compte de deux modes

d’observations : Une description lagrangienne du mouvement et une autre dite eulérienne.

Le cadre d’utilisation de ces deux descriptions i.e. celui de la mécanique des milieux

continus impose que les domaines et les transformations qu’ils subissent soient continus et

plus précisément [6, 7] :

La continuité du domaine matériel étudié. A titre d’exemple, il sera compliqué

d’étudier des milieux diphasiques qui rentrent dans le cadre du premier cas de figure

présenté ci-dessus,

et la continuité de la transformation matérielle. Par exemple, la gestion des

transformations discontinues comme une fissure et qui rentre dans le cadre du

deuxième cas de figure évoqué ci-dessus, ne pourra avoir lieu.


6

Par conséquent, nous pouvons dire que l’origine du problème exposé, telle que nous le

voyons, relève d’une inadéquation entre le choix d’un modèle et une situation de mesure à

gérer. En effet, nous utilisons une formulation mathématique issue du concept de la continuité

pour l’appliquer directement au contexte de la discontinuité. La question qui se pose

maintenant c’est de savoir comment remédier à ce problème ?

Ce problème qui est au cœur des débats des spécialistes de la corrélation et des

mécaniciens constitue un défi à ne pas négliger pour un chercheur. Il semble à la fois

complexe et très intéressant car sa résolution élargira le champ d’investigation de la méthode

pour englober les milieux discontinus, c’est-à-dire les frontières initiales de l’objet ou

apparaissant au cours d’un processus de déformation, telles des fissures. Le rôle du

métrologue et du mécanicien, n’est-ce pas de connaître essentiellement les limites de

résistance mécanique d’un matériau ou d’une structure et de prédire leurs comportements

mécaniques dans un contexte d’utilisation précis afin d’y éviter des situations catastrophiques

de rupture ? Nous convenons qu’il faut se rapprocher des zones concernées par les

discontinuités où ces limites peuvent être transgressées afin d’apporter des réponses claires à

la question qui vient d’être posée. Pour le faire, il est important d’adapter la CIN à la gestion

des discontinuités du milieu et de la transformation qui peuvent avoir lieu dans un espace de

mesure.

Tout au long de ce mémoire de thèse, nous allons essayer de clarifier les multiples

facettes de la problématique dans le but d’y apporter des réponses très précises. Pour cela, le

manuscrit va s’articuler autour de quatre parties :

Au premier chapitre, nous exposons, le cadre général de la mécanique des milieux

continus. Avant de présenter ensuite succinctement quelques techniques optiques parmi les

plus utilisées en détaillant précisément la prise en compte des discontinuités, nous ferons un

bref rappel sur la méthode de corrélation. Cette partie constitue un point de départ dans

l’extension des performances de la corrélation numérique vers la prise en compte des

discontinuités. Parmi les techniques abordées, nous nous limitons à la technique des grilles et

les techniques de moiré qui utilisent des codages pseudo-périodiques et des algorithmes à

décalage de phase.

Le deuxième chapitre présente une étude succincte d’influence sur la précision de

mesure par CIN ou DIC en anglais (Digital Image Corrélation), des paramètres principaux et

son contexte de mise en œuvre. Le but est de préparer le terrain à une étude « propre » sur


7

l’influence de la discontinuité uniquement sur la précision de mesure par CIN au chapitre III.

Pour cela, nous allons décrire la procédure de corrélation en allant de l’acquisition des images

jusqu’à l’obtention d’un champ de déplacement en passant par la définition des fenêtres de

corrélation et des paramètres de calculs. Nous allons mettre en évidence les sources d’erreurs

en balayant un à un les paramètres principaux pouvant avoir une influence sur la précision de

mesure par CIN.

Au troisième chapitre, nous attaquerons l’étude d’influence de la discontinuité sur la

précision de mesure par CIN dans deux cas de figure : bord existant à l’état initial et qui ne

change pas d’aspect optique jusqu’à l’état final (conservation du bord) ; bord apparaissant ou

qui change d’aspect optique en passant d’un état à une autre. Cette étude va permettre de

décrire les cas de figures où la CIN n’arrive pas à gérer des discontinuités du milieu ou de la

transformation.

Le chapitre IV apporte la réponse à notre problématique. En effet, une solution pour

calculer les champs de déplacement et de déformation est proposée. Nous expliquons en détail

la manière dont cette solution est implémentée informatiquement dans le logiciel Correla

(développé par l'équipe PEM de l'Institut Pprime) et les précautions à prendre lors de son

utilisation. Enfin, une application permettant de tester la validité de la solution sur des cas

d’ouverture et de fermeture de fissure est proposée afin de caractériser les mécanismes de

déformations qui rentrent en jeu lors d’un chargement appliqué sur une éprouvette en

polycarbonate.

8

9

Chapitre I. Méthodes de mesures

expérimentales de champs mécaniques en

présence d’une discontinuité

Introduction

10

Introduction

Ce premier chapitre est consacré à une étude bibliographique dédiée à la gestion des

discontinuités d'ordre optique ou mécanique dans les techniques optiques de mesure avec

l'objectif de voir comment il est possible d'améliorer la technique de corrélation d'images pour

la mesure des déplacements en présence de discontinuités.

Nous exposons, dans un premier temps, le cadre général de la mécanique des milieux

continus. Avant de présenter ensuite succinctement quelques techniques optiques parmi les

plus utilisées en détaillant précisément la prise en compte des discontinuités, nous ferons un

bref rappel sur la méthode de corrélation. Parmi les techniques abordées, nous nous limitons à

la technique des grilles et aux techniques de moiré qui utilisent des codages pseudo-

périodiques et des algorithmes à décalage de phase.

Dans une deuxième partie nous confrontons et discutons les idées et les possibilités

offertes dans le but d'étendre les performances de la corrélation numérique vers la prise en

compte des discontinuités.

I. Cinématique d’un milieu continu

I.1. Généralité

Géométriquement parlant, la modélisation du milieu continu classique part de l’idée

que le système mécanique considéré est représenté par un domaine Ω dont les « dΩ »

représentent les constituants élémentaires appelés « particules » et les les frontières (voir

Figure 1).

Chapitre I. Méthodes de mesures expérimentales

11

Figure 1 : Configurations d’un système mécanique que l’on désignera dans la suite du chapitre par la lettre « S ».

Le concept de continuité étant lié à l’observation de l’évolution du système, on

souhaite assurer au cours de celle-ci pour des particules voisines à l’intérieur d’un domaine

matériel :

L’évolution comparable des propriétés physiques de l’ensemble des particules. Ce qui

n’est pas toujours évident car la continuité parfaite d’un domaine matériel n’existe

pas. De fait la continuité du domaine matériel ne pourra qu’être une approximation.

Suivant le degré de respect de cette hypothèse, l’étude du domaine menée sera plus ou

moins entachée d’erreur. Tout est question d’échelle.

La conservation de leur proximité géométrique. Si la modélisation milieu continu est

relativement réussie à l’échelle considérée, toute transformation du milieu doit

pouvoir être considérée comme continue à l’échelle de l’élément considéré.

On se propose maintenant de donner une formulation mathématique précise du

concept intuitif de continuité exposé précédemment.

Ainsi, en se référant au marquage des éléments matériels constitutifs évoqué

précédemment, la transformation matérielle consiste à :

X

x

O

Domaine matériel

Configuration initiale

Domaine matériel

Configuration déformée

1

2 )(XU

t

t

0

0

tk

0k

0d

td

‎I. Cinématique d’un milieu continu

12

identifier les éléments constituant le système par leur position géométrique dans une

configuration prise comme référence et notée , c’est-à-dire par la variable

vectorielle , (voir Figure 1).

exprimer la valeur de toute grandeur physique dans la configuration actuelle en

fonction de la particule à laquelle elle est attachée et de l’instant actuel, c’est-à-dire en

fonction des variables et . Ainsi le vecteur-position de l’élément constitutif situé initialement en

dans la configuration est donné par :

(1)

Dans la formule (1), est une fonction vectorielle définie sur le domaine initial , et

qui vérifie, : (2)

La correspondance géométrique entre les configurations (spatiales) de référence et

déformée est décrite ainsi par la fonction . Cette fonction décrit la transformation

matérielle du domaine. En fonction de la variable t, c’est toute l’évolution géométrique du

domaine qui est donnée.

Cependant, quelques hypothèses de régularité spatiale et temporelle doivent être

satisfaites par la fonction pour qu’une description lagrangienne du mouvement du système

mécanique S puisse avoir un sens. On se propose maintenant d’exposer ces hypothèses.

I.2. Hypothèses de continuité

L’ensemble des conditions mathématiques que doit satisfaire pour permettre de

rendre compte du concept de continuité dégagé dans l’introduction de ce chapitre représente

ce que l’on appelle les « hypothèses de continuité ».

On propose maintenant de revoir le fondement mathématique de ces hypothèses :

est une bijection de sur . Elle admet donc une fonction réciproque nommée .

et sont des fonctions continues par rapport à l’ensemble des variables d’espace et

de temps.


13

Ces hypothèses permettent de déduire des critères qui permettent d’examiner la

validité de cette modélisation vis-à-vis de l’expérience [6] :

Deux particules qui occupent dans la configuration de référence des positions

« infiniment voisines », restent infiniment voisines dans toute autre configuration.

Des particules qui occupent dans la configuration de référence un domaine connexe,

occupent dans la configuration déformée un domaine connexe de même ordre (courbe,

surface, volume).

Les particules qui se trouvent dans la configuration de référence, à l’intérieur d’un

domaine fermé, restent à tout instant t à l’intérieur du domaine déformé.

est continue et continûment dérivable de même que On en déduit que le jacobien

de (ou de ) est continu par rapport à et t et de plus comme deux particules ne

peuvent occuper le même espace, le jacobien ne peut être nul. On en déduit qu’il garde

un signe constant au cours de la transformation.

Vu les critères énoncés, nous convenons qu’un milieu diphasique par exemple un

mélange de deux liquides non-missibles ne peut être traité par la modélisation d’un milieu

continu. Des transformations non continues du type dislocation, fissuration, etc... ne peuvent

être traitées non plus par la modélisation « milieu continu ». Pour que la modélisation de

milieu continu puisse tenir compte de certains phénomènes qui impliquent des discontinuités

du milieu et de la transformation, il est nécessaire d’affaiblir les « hypothèses de continuité »

[7-10]. En effet, comme toute modélisation physique, la modélisation de milieu continu doit

être induite et validée par l’expérience en comparant les résultats auxquels elle mène avec des

résultats expérimentaux significatifs.

I.3. En présence de discontinuité

Les fissures rencontrées en mécanique de la rupture, les surfaces de glissement, la

localisation de la déformation en mécanique des solides et bien d’autres exemples

représentent des cas où la conservation de la proximité de deux points initialement voisins au

cours de l’évolution fait défaut. Afin de traiter plus commodément les phénomènes en

question, on est amené à nuancer quelque peu les hypothèses mathématiques en rapport avec

le concept intuitif de continuité. Ainsi, il convient de permettre des discontinuités de au

franchissement de certaines frontières.

‎II . Méthode de corrélation d’images numériques

14

Autrement dit, il convient de modifier les hypothèses de continuité en imposant la

continuité par morceaux de et de ses dérivées. Pour rendre compte de la modélisation

« milieu continu », plusieurs petits domaines continus seront ainsi définis à la place d’un

grand domaine discontinu.

II. Méthode de corrélation d’images numériques

Le même traitement est utilisé pour les milieux non continus par exemple les milieux

diphasiques. Il sera possible de mener de telles études en considérant la continuité spatiale par

morceaux des domaines. Nous allons voir maintenant comment toutes ces notions, en rapport

avec le concept de mécanique des milieux continus, sont reprises dans le cadre de la méthode

de corrélation d’images numériques ? Comment un problème de gestion de discontinuités du

milieu et de la transformation se manifeste-t-il dans ce cadre de mise en œuvre du concept de

continuité ?

II.1. Description de la méthode

Développée dans les années 80 par [11, 12], cette technique constitue une autre

alternative aux méthodes classiques intrusives adoptées pour les mesures locales de champs

de déplacement ou de déformation dans les structures mécaniques telles que les méthodes qui

utilisent des jauges de déformation ou les extensomètres.

Pour suivre les déformations d’un solide, l’observateur est conduit, dans la démarche

expérimentale usuelle, à procéder au marquage d’éléments matériels constitutifs du système à

un instant de référence et à repérer ensuite son évolution géométrique au cours du

chargement. La méthode de corrélation d’images numériques offre la possibilité de

déterminer les champs de déplacements et de déformations en certains points de la surface des

objets par comparaison de deux images prises à différents états de chargement, l’une dans la

configuration de référence et l’autre dans une configuration déformée. La surface de la

structure à étudier est recouverte d’un motif aléatoire. En corrélant les niveaux de gris des

deux images, on peut estimer le déplacement de différents points de l’image initiale vers

l’image déformée.

La démarche suivie est donc conforme au concept décrit par la mécanique des milieux

continus.


15

Figure 2 : Etat de référence et état déformé liés par un déplacement et une déformation homogène : méthode de corrélation d’images numériques.

La surface de l'objet est enregistrée par une caméra CCD sous forme discrète.

L’élément constitutif le plus fin qui puisse être quantifiable via une caméra est donc de la

taille du pixel. Considérons deux fonctions discrètes et représentant

respectivement les niveaux de gris associés au marquage d’un point matériel appartenant à un

domaine sur une image initiale et sur une image déformée. et représentent

respectivement les coordonnées d’un point matériel dans les deux configurations « état

initial » et « état déformé ».

L'opération classique de corrélation donne le degré de ressemblance entre deux

images à un déplacement près. Ainsi il est possible de déterminer le vecteur position

vérifiant la relation :

(3)

Cette opération ne peut être réalisée que sur un voisinage entourant les points M0 et

M. Pour cela, une fenêtre d’analyse, représentant le domaine matériel, est donc définie sur

plusieurs pixels. Le déplacement moyen ainsi trouvé sera représentatif de l’ensemble des

pixels représentant le domaine. Il sera affecté au centre de ce domaine (voir Figure 2).

On déduit des formules (1) et (3) qu’il faut trouver, pour tout le domaine, la fonction

vectorielle de la forme :

(4)

X

x

Domaine matériel


O

Domaine matériel


1

2

)(XU

)(Xf

)(xg M

0M

t

t

0

0

tk

0k

Fenêtre d’analyse


Pixel

Pixel


16

qui définit la transformation matérielle permettant la correspondance entre un domaine à l’état

initial et son homologue à l’état déformé.

Pour décrire le mouvement d’un domaine matériel, les hypothèses de la continuité et

les critères auxquels elles mènent doivent être vérifiés (voir § ‎I.2), à savoir :

Continuité par morceaux du système ou continuité du domaine matériel.

Continuité par morceaux de la transformation matérielle à l’échelle du système

ou sa continuité simple à l’échelle du domaine.

La transformation sera essentiellement caractérisée par la donnée du champ vectoriel

de déplacement déduite de la formule (4). L’hypothèse de continuité de la transformation dans

ce cas-là se traduit par le fait que les fonctions scalaires du champ vectoriel de déplacement

doivent être des fonctions continues des variables d’espace et de temps.

Il est évident que ces hypothèses ne peuvent être respectées en présence d’un milieu et

d’une transformation discontinues. Il convient donc d’affaiblir les hypothèses de continuité

pour rendre le modèle de milieu continu plus pertinent vis-à-vis de la description de

phénomènes discontinus.

II.2. Pertinence du modèle géométrique du milieu continu :

transposition à la méthode de corrélation d’images

numériques

Pour certains types de déformations qui posent des problèmes de compatibilité

géométrique avec la continuité du milieu telle une fissuration dans un domaine matériel,

l’hypothèse de continuité de la transformation matérielle ne peut être satisfaite. En effet, une

discontinuité de type fissure est approchée mathématiquement d’après la théorie de la SDA

(Strong Discontinuity Approach) par un saut dans le champ de déplacement (Figure 3, [8,

13]). La transformation matérielle ne peut plus être traitée comme une fonction continue des

variables d’espaces et de temps.


17

Figure 3 : Domaine divisé en deux sous-domaines indépendants à cause d’une discontinuité [13].

Par ailleurs, il est important que chaque fenêtre d’analyse ou point de mesure soit

défini autour de la matière. Derrière chaque marquage, il doit y avoir de la matière.

Cependant, il peut arriver qu’un trou ou une zone vide se manifeste à l’endroit d’une fenêtre

d’analyse couvrant un domaine matériel, à l’état initial ou au cours du chargement.

L’observateur intercepte à ce moment-là ce qui est derrière le trou et/ou dans certains cas une

perturbation en provenance du système d’acquisition par exemple, le bruit numérique de la

caméra. La corrélation confond ce bruit avec du vrai marquage en rapport avec la surface

soumise aux mesures. On se retrouve au final avec deux blocs identifiables à la place d’un

seul. Chaque bloc ayant sa propre cinématique. Par conséquent, une description du

mouvement ne peut être utilisée dans ce cas car l’hypothèse de continuité du milieu n’y est

plus vérifiée.

Il existe différentes origines de discontinuités :

D’une part, nous pouvons avoir à faire à une discontinuité du milieu qui affecte la

fenêtre d’analyse à cause des incompatibilités en termes de forme et de taille entre le

domaine matériel (aspect quelconque, état non-connecté ou creux) et la fenêtre

d’analyse (aspect rectangulaire ou carré) (voir Figure 4). Ces discontinuités se forment

au niveau des bords de l’objet de mesure avec l’extérieur.

D’autre part, nous pouvons avoir à faire à des discontinuités dans la transformation

matérielle survenant au cours du chargement tel le cas d’une fissure.


18

Figure 4 : Schéma illustrant une incompatibilité en termes de forme et de taille entre fenêtre d'analyse et objet de mesure.

L’espace de mesure doit donc être exempt de ces deux types de discontinuités pour

que toute étude puisse y être menée. A cause de la dépendance spatiale dans le traitement des

données, entre les pixels d’une même fenêtre, il suffit qu’une discontinuité du milieu affecte

la fenêtre en un ou plusieurs pixels pour que la mesure soit erronée.

Dans le cadre de la méthode de corrélation d’images numériques, la pertinence du

modèle de milieu continu pour décrire des phénomènes discontinus peut être ainsi critiquée

pour deux raisons :

La forte dépendance spatiale entre pixels à l’intérieur d’une même fenêtre d’analyse et

les forme (carrée ou rectangulaire) et taille fixes des fenêtres d’analyse ne permettent

pas de discrétiser une surface de taille et forme quelconques de l’objet de mesure, dans

le respect de la notion de continuité du domaine matérielle.

La forte dépendance spatiale entre pixels et les forme et taille fixes des fenêtres

d’analyse ne permettent pas de discrétiser la surface de l’objet conformément à la

transformation mécanique apparente et dans le respect de la notion de transformation

continue.

Le problème étant identifié, comment a-t-il été traité dans la littérature ?

Fenêtre d’analysede forme carrée

Objet creux de forme quelconque

Zones vides


19

III. Etat de l’art sur la mesure en présence de

discontinuités

III.1. Mesure par corrélation

Des solutions existent pour traiter le problème de gestion des discontinuités. Elles

s’inspirent pour la plupart de l’idée d’affaiblissement des hypothèses de continuités. La notion

de continuité (milieu et transformation) est donc considérée par morceaux.

Pour que la notion de continuité par morceaux retrouve tout son aspect local dans le

traitement d’un espace de mesure, il est nécessaire que les formes et tailles des fenêtres

d’analyse puissent être, elles aussi, adaptables par morceaux selon le type de discontinuité

rencontrée. La plupart des méthodes classiques (algorithmes commerciaux) de mesure ne vont

pas jusqu’au bout de ce raisonnement qui se doit d’être totalement local alors qu’il ne l’est pas

en réalité.

Pour solutionner le problème, plusieurs techniques ont vu le jour. La méthode

proposée par [14] permet de s’affranchir du caractère figé de la forme et de la taille des

fenêtres d’analyse en adaptant localement chacune d’elles à la cinématique du système étudié.

La fenêtre d’analyse peut être ainsi divisée en deux parties dans le cas d’un domaine matériel

subissant une fissure où il est important que chaque partie soit traitée indépendamment de

l’autre dans le respect des hypothèses de régularité d’espace et de temps (voir Figure 5).

‎III . Etat de l’art sur la mesure en présence de discontinuités

20

Figure 5 : (a) Méthode de corrélation d’images numériques standard : transformation d’une fenêtre de référence en fenêtre déformée. (b) Méthode de corrélation d’images numériques avec division de

fenêtres : La fenêtre déformée est divisée en deux pour accompagner la discontinuité de déplacement [14].

Bien que cette technique ait quelques limites comme l’incapacité de gérer plus de deux

discontinuités de transformation à la fois dans une même fenêtre d’analyse et que son

utilisation soit strictement réservée aux discontinuités dont le contour évolue linéairement en

fonction du temps et de l’espace, elle s’inscrit dans la nouvelle mouvance de gestion de

discontinuités dans l’espace de mesure.

D’autres auteurs [5, 15-19] intègrent une fonction d’Heaviside dans la formulation de

la transformation matérielle. Les auteurs en question s’inspirent directement des œuvres des

auteurs de la théorie de la SDA qui consiste à traiter la discontinuité dans le champ de

déplacement en utilisant la notion de continuité par morceaux [8-10, 20, 21]. La fonction

d’Heaviside permet alors de traiter une seule cinématique à la fois conformément à une

description lagrangienne du mouvement en adaptant forme et taille de la fenêtre d’analyse à la

cinématique encourue par le domaine matériel.

Ces méthodes sont en règle générale efficaces pour le traitement des discontinuités

dans la transformation. Cependant, leur mode opératoire orienté exclusivement « traitement

des discontinuités dans la transformation » est moins approprié aux situations impliquant des

discontinuités nettes dans le milieu dès l’état initial. Par exemple, le problème de traitement

des discontinuités du milieu comme un trou présent à l’état initial à l’intérieur de la fenêtre

d’analyse ne semble pas être posé de manière claire et indépendante de celui du traitement de

la discontinuité dans la transformation matérielle.


21

Tout cela nous incite à regarder comment d’autres techniques optiques gèrent les deux

types de discontinuités ? Avec la technique de corrélation d’images numériques, le champ de

déplacement est codé dans la variation spatiale d’une intensité lumineuse que l’on appelle

mouchetis. Comme nous l’avons vu précédemment, un minimum de continuité spatiale est

exigé à l’intérieur de la fenêtre d’analyse pour en récupérer l’information recherchée sur le

champ de déplacements. Une recherche bibliographique succincte va permettre de voir que

d’autres techniques optiques utilisent le même concept pour réaliser une mesure. En outre, le

type du codage change. Il devient périodique ou pseudo-périodique. Il s’agit des méthodes de

phase à savoir la méthode des grilles, l'interférométrie, les méthodes de moiré…

III.2. Les méthodes optiques de mesure de champs à codage

de phase

III.2.1. Principe de la mesure par champ de phase

III.2.1.1. Généralité

Les méthodes de phase sont utilisées pour rechercher une information spatiale

caractérisant une grandeur mécanique (forme, déplacements plan ou hors-plan, déformations,

contraintes). Généralement, elles font intervenir un traitement partiellement ou totalement

spatial. Cette opération nécessite une certaine continuité spatiale et un domaine compatible

avec la nature des franges ou des traits utilisés Il est donc intéressant de voir comment se

présente la gestion des discontinuités pour ces techniques.

Pour expliquer le problème, nous allons écrire la formule liant l’espace physique en

donnant la valeur du niveau de gris I(x, y) en un point M de coordonnées (x, y) donné dans un

état quelconque [3, 22, 23] :

(5)

où B(x,y) est l’intensité moyenne du pixel au point M(x,y), A(x,y) et respectivement,

l’amplitude de la modulation et la phase de la porteuse en ce point. La Figure 6 permet de voir

que A(x,y) et B(x,y) sont liés respectivement au contraste et à la luminosité. Le mesurande

(c’est-à-dire la grandeur mécanique recherchée) est directement codé dans ce réseau de

franges à travers la phase . On dit qu’il module la fonction cosinus. Pour extraire le

‎II I. Etat de l’art sur la mesure en présence de discontinuités

22

mesurande, il convient de démoduler la fonction cosinus. Cette image de franges est

généralement enregistrée par une caméra CCD, les coordonnées x et y sont donc transformées

en coordonnées pixels i, j par l'intermédiaire d'un grandissement.

Figure 6 : Exemple et profil d’une image comportant des franges [24].

III.2.1.2. Technique à une seule image

La résolution de l'équation (5) à partir d'une seule image ne peut être réalisée que sous

certaines hypothèses simplificatrices sur B(i,j) et A(i,j) afin de n'avoir plus que la phase

((i,j)) inconnue. Plusieurs solutions existent :

Analyse locale :

On suppose que A(i,j) = A = cte et que B(i,j) = B = cte. Dans ces conditions, B et A

peuvent être déterminés respectivement par la valeur moyenne et l'écart-type par une analyse

statistique de l'histogramme. Ainsi en chaque pixel la phase (i,j) est donnée par une fonction

Arccos telle que :

(6)

Cette technique est difficilement utilisable puisqu'elle est très sensible au bruit et

suppose des hypothèses très fortes sur les conditions d'éclairage. De plus la phase est donnée

par une fonction cosinus inverse comprise dans l'intervalle [0, [ et qui de plus est continue.

Analyse sur une fenêtre (voisinage)

Les conditions précédentes étant trop contraignantes, on suppose alors que A(i,j) et

B(i,j) sont peu variables localement sur une petite fenêtre de la taille d'une période. La phase à

Profil

Niveau de gris

Pixel

Amplitude de modulation A(x, y)

Fond continu B(x, y)

Réseau de franges


23

l'origine de cette fenêtre peut être obtenue par une analyse spectrale basée sur un calcul de

transformée de Fourier discrète telle que :

(7)

Où Im(+1) (resp. Re(+1)) représente la partie imaginaire (resp. réelle) du spectre à l'ordre 1.

Cette technique est peu sensible aux variations de A(i,j) et B(i,j). La difficulté repose sur la

taille de la fenêtre qui doit recouvrir un nombre N entier de périodes (ici on a choisi N=1,

mais on peut choisir N plus grand). Dans le cas où le nombre de franges n'est pas entier;

l'erreur sur la phase est importante. Il faut donc adapter la taille de la fenêtre en fonction de la

variation de la période. De plus cette méthode ne fonctionne pas si les franges ont des formes

quelconques (par exemple si elles forment des boucles fermées) [24].

Il est aussi possible d'utiliser les pixels voisins pour augmenter le nombre

d'informations et ainsi d'accroitre le nombre d'équations permettant de calculer la phase sans

faire d'hypothèse sur A(i,j) et B(i,j). Cette procédure est connue sous la dénomination de

"Méthode des grilles" que nous détaillerons dans les paragraphes suivants. Plusieurs

algorithmes ont été élaborés ces dernières années [25-30].

Pour l'ensemble de ces techniques à une image, le calcul de la phase en chaque pixel

est spatial en utilisant les données des pixels voisins.

III.2.1.3. Quasi hétérodynage

Pour extraire la phase à partir de l'équation (5), nous avons besoin de plusieurs

équations, d'où la nécessité de plusieurs images. Les techniques développées [31], [3], [32],

[23, 33] et [34] s’inspirent directement d’une technique ancienne de transmission de signaux

radio, l’hétérodynage. On peut également citer les travaux de [35], [36], [37], [38], [39], [40],

[3] et [26]. Les moyens numériques d’acquisition et de traitement d’images, de plus en plus

accessibles, ont permis d’appliquer cette méthode aux images par l’introduction de décalages

discrets de la phase, d’où le nom de méthode « quasi-hétérodyne » ou à décalage de phase.

Le principe général de ces méthodes consiste à obtenir expérimentalement au moins

trois images du même état physique en injectant trois déphasages différents 1, 2 et 3

connus. Cela permet alors d'écrire un système d'au moins trois équations à trois inconnues :


24

(8)

La résolution de ce système permet de déterminer les trois inconnues au pixel (i,j) :

l’amplitude de modulation , le fond continu et la fonction de phase . On

obtient :

(9)

Cette formulation générale qui nécessite trois images, suppose des valeurs

quelconques des déphasages 1, 2 et 3. Néanmoins, il existe des formules plus simples qui

utilisent des valeurs particulières de 1, 2 et 3 [32, 34]. De même des techniques à plus

d'images déphasées existent [27, 41-44]. Toutes ces méthodes ont en commun de donner la

valeur de la phase en un pixel donné (i, j) sans utiliser les pixels voisins par une fonction

tangente inverse. Ainsi avec la fonction ATAN2, on obtient la phase dans un intervalle

]-,+].

III.2.1.4. Dépliement de phase

Puisque la phase est détectée modulo . Il faut utiliser un processus de recalage de

phases pour pouvoir déterminer une phase continue et enlever les discontinuités du champ de

phase. Cette procédure est appelée « dépliement de la phase » et permet donc de restaurer la

continuité du champ de phase. La procédure n'est pas triviale dans le cas de franges de forme

quelconque. Cependant, on peut schématiser le processus simplement en ajoutant ou

retranchant 2 à la valeur de la phase (i,j) à chaque fois qu'une discontinuité d'au moins ou

- est détectée sur le voisinage du pixel (i,j) [22, 45]. Le principe est schématisé ci-dessous

(voir Figure 7). Si de plus on souhaite obtenir une valeur absolue de la phase, il est nécessaire

de définir en un pixel donné un ordre de frange (appelé ordre de frange initial) défini par

l'utilisateur.


25

Figure 7 : Schéma d’un processus de recalage de phase pour un signal unidimensionnel en partant d’une frange initiale [45].

III.2.1.5. Discussion

Les techniques à décalage de phase s'effectuent donc en deux étapes : dans un premier

temps le calcul de la phase locale entre ]-,+] puis la détermination définitive du champ

continu de phase [46].

3


26

Technique Détermination de la phase Restauration de la continuité

à une image

Utilisation des pixels voisins

Déphasage spatial

Détection des discontinuités

dans le voisinage

à plusieurs images

Détermination locale

Déphasage temporel

Détection des discontinuités

dans le voisinage

Tableau 1 : résumé des techniques d'analyse de phase

Dans le tableau précédent, on voit bien que l'analyse de phase utilise le voisinage d'un

pixel. Mais que se passe-t-il quand une discontinuité optique apparaît dans l’espace de

mesure ? Nous allons, dans la suite, examiner plusieurs méthodes à décalage de phase et voir

si les solutions proposées pour surmonter les discontinuités sont applicables à la méthode de

corrélation d’images. Nous limiterons l'analyse à quelques méthodes très utilisées : la

méthode des grilles et le moiré de projection.

III.2.2. Méthode des grilles

III.2.2.1. Présentation générale

La méthode des grilles repose sur un codage dit « périodique » de la surface à analyser

(voir Figure 9). Le plus souvent, ce codage est composé de lignes croisées pour la mesure des

deux composantes du déplacement (voir Figure 8). En pratique, ce codage s’obtient par le

transfert d’une grille sur la surface étudiée [46-48].

Figure 8 : Grille croisée [49].

La grille transforme le champ de déplacements en une variable angulaire, i.e. une

fonction de modulation spatiale. Ensuite, pour accéder au champ de déplacements d’une


27

surface, il suffit d’extraire la phase de l'image par un algorithme appelé N-uplets [49] que l'on

ne détaille pas ici. Cette technique repose donc sur l'analyse de phase dans le voisinage du

pixel considéré. Deux limitations sont à noter, les franges de l’image doivent posséder un pas

ne variant que très peu (<10%), et les franges doivent rester orientées dans la même direction

(<10%).

Figure 9 : Schéma du principe de la méthode des grilles.

Une autre technique à une image appelée « Modulated Phase Correlation » [24]

consiste à interpoler localement les franges à l’aide d’une représentation mathématique

simplifiée. On considère (voir Figure 10) alors que sur une petite fenêtre D (32x32 pixels2 par

exemple), A(i,j) et B(i,i) sont des constantes et que la phase est exprimée par :

0)sin()cos(p

2),( (10)

Avec p le pas local de la frange, son inclinaison locale et 0 la phase au centre du

domaine D.

En tout point (x,y) de l’image, la phase (x,y) peut alors être calculée à partir de la

minimisation sur le domaine D, des différences entre l’image et la formulation mathématique.

ddabIpBAD

2

0 ),()),(cos(),(),(),,,,( (11)

Une fois la minimisation de réalisée, on accède à la phase du domaine D à partir de la

solution mathématique trouvée. La seule limitation de la méthode est que le domaine D

d’analyse doit posséder des dimensions supérieures au pas des franges.

Système d’acquisition : Carte + caméra

Système de traitement Objet

Réseau de traits Avant le chargement Après le chargement


28

(b) (a)

Figure 10 : Principe de la MPC : a) réseau de franges à analyser, b) approche par un réseau virtuel de franges [24].

Puisque l’extraction de la phase est spatiale, c’est-à-dire à l’aide d’une seule image,

des problèmes dans le calcul de la phase et son dépliement vont apparaitre essentiellement dus

aux discontinuités optiques présentes aux frontières des domaines analysés (cas d'objets de

formes quelconques -effets de bord- ou encore d'objets non-connectés).

En l’absence d’instructions de l’expérimentateur, au niveau d’un bord, l’algorithme va

utiliser forcément des points comportant du bruit et qui appartiennent à l’extérieur de l’objet.

Le calcul de la phase en ces points devient par conséquent problématique. Il est d’autant plus

problématique qu’il induit en erreur le dépliement de phase qui va propager l’erreur provenant

à l’origine de l’étape de calcul de phase.

En toute logique, il faudrait exclure ces points du calcul pour espérer calculer

correctement les déplacements. Pour ce faire, un masque peut être utilisé pour exclure les

points du calcul de phase lui-même et aussi du processus de dépliement de phases [50, 51].

C’est comme si l’on reconsidérait la continuité de phase du milieu par morceaux.

La méthode de grille rencontre manifestement des difficultés dès lors qu’une

discontinuité matérielle apparaît à la surface de l’objet. Cette discontinuité perturbe la

périodicité du signal et conduit à des mesures de déplacements erronés. Un masque est utilisé

pour résoudre ce problème.


29

III.2.3. Projection de franges ou moiré de projection


Cette méthode est utilisée pour mesurer le relief d’un objet. Elle consiste à projeter

dans un premier temps un réseau de franges parallèles sur un plan de référence, puis à projeter

ce même réseau sur l’objet dont on veut faire la mesure du relief [52]. Le principe de la

méthode est illustré sur la Figure 11.

Figure 11 : Schéma de principe du moiré de projection [24].

Le principe de la méthode consiste alors à comparer séparément les deux réseaux de

franges et à soustraire leur champ de phase respectif afin d’obtenir le relief de l’objet. Cette

manière de faire est connue sous le nom de la méthode de projection de lumière structurée

[28]. La mesure de la phase s'effectue par une technique quasi-hétérodyne généralement à 8

images déphasées d'une quantité connue. Ces 8 images sont projetées les unes à la suite des

autres par un vidéo projecteur et enregistrées par une caméra CCD. Il s'agit donc d'une

technique à déphasage temporel. On peut noter que les images projetées sont parfaitement

connues puisqu'elles sont générées numériquement au préalable par l'utilisateur.

III.2.3.2. Gestion des discontinuités

Selon la forme des objets, il se peut que le relief varie brutalement dans certaines

zones bien localisées de leurs surfaces. On peut alors assister à des sauts partiels ou entiers de

frange et en l’occurrence on peut voir apparaître des discontinuités de phase. Ce phénomène

est bien illustré par exemple sur la Figure 12.


Système de traitement

Video projecteur

1 Plan de référence

2 Objet


30

(a) (b) (c)

Figure 12 : Schémas de cas de variation brutale de relief engendrant des discontinuités.

Il est aussi illustré sur la Figure 13 dans les zones entourées en blanc lors de la mesure

du relief d’une statuette. Dans la zone I, nous pouvons voir qu’une frange disparaît presque

entièrement, car la variation de relief en cette zone est trop brutale. Dans la deuxième zone,

c’est le contour du nez qui engendre la discontinuité. Dans ce cas, les discontinuités peuvent

affecter plusieurs franges. Par ailleurs, si les causes des discontinuités sont différentes, leur

impact sur l’étape de recalage de phase est identique. En fait on ne sait pas parfaitement

identifier l'ordre de frange lors du processus de dépliement de phase (l'analyse de la continuité

de la phase dans le voisinage de certains pixels peut être incohérente).


31

Figure 13 : Image d'un réseau projeté sur un objet au relief variant brutalement. Les zones de discontinuités de franges

(ou de phases) sont entourées par des ellipses blanches [45].

Des solutions ont été développées pour résoudre ce problème spatialement à condition

que le saut de phase ne dépasse pas la période. Ces solutions utilisent toutes le même

principe : un masque de discontinuité de phase [22, 45]. Cette solution consiste tout

simplement à identifier puis à éliminer les points problématiques du calcul de la phase et de

son dépliement. La discontinuité de phase est tout simplement reconsidérée comme continue

par morceaux.

Cependant d'autres moyens plus récents ont été avantageusement développés, il s'agit

de la projection de plusieurs autres images binaires (blanc-noir) de traits périodiques selon

une variation de pas définie par le code binaire réfléchi appelé code Gray [22, 45, 53]. La

mesure de la phase dépliée n'est donc plus spatiale mais temporelle, chaque pixel étant

indépendant les uns des autres. Cependant cette technique nécessite beaucoup d'images.


32

III.2.4. Moiré d'ombre


Cette méthode est basée sur le même principe que la technique précédente de moiré de

projection. Cependant, les franges, issues de la superposition du réseau de traits et de son

ombre projetée sur la surface d'un objet, représentent les lignes de niveaux de l'objet par

rapport au plan du réseau de traits (Figure 14). On se rend facilement compte que ces franges

ont des formes assez compliquées et que notamment elles peuvent formées des boucles. Le

champ de phase dépliée n'est donc plus monotone [20].



Source lumineuse

Réseau de référence

Objet

Figure 14 : Schéma de principe du moiré d'ombre [24].

III.2.4.2. Gestion des discontinuités

La gestion des discontinuités dans le cas du moiré d'ombre est très similaire à celle

présentée précédemment dans le cas du moiré de projection. Cependant on peut remarquer

que la levée des ambiguïtés par utilisation du code Gray n'est pas possible. Il faut donc

toujours utiliser un masque objet et un masque discontinuité.


33

III.3. Bilan sur la gestion des discontinuités

Dans les deux techniques décrites dans les paragraphes précédents, on constate une

double gestion des discontinuités.

Pour gérer les effets de bords et donc l'absence d'information dans les images de

franges, un masque appelé "masque objet" a été mis en place.

Pour gérer les défauts dans les systèmes de franges et donc s'affranchir des aberrations

dans les calculs de dépliement de la phase, un masque appelé "masque discontinuité"

est nécessaire

III.3.1. Discontinuité de franges et masque-discontinuité

La procédure du masque [22] a été développé pour localiser les discontinuités et les

exclure du calcul lors du dépliement de la phase. Elle a été réutilisée dans [45]. Elle se base

sur la valeur de la dérivée seconde de la phase en un pixel de coordonnées pour le

valider ou l’éliminer du calcul. La valeur de cette dérivée doit être au moins égale à 5 radians.

Au-delà, le point est éliminé du calcul.

Le calcul s’effectue à l’aide des 7 points dans le voisinage du pixel d'études. Il est

répété dans les trois directions de l’espace afin de détecter les discontinuités dans toutes les

directions. Cette étape intervient après le calcul de la phase. Si le point est écarté du processus

de recalage de phase, à cause d’une discontinuité de phase, la valeur du pixel du masque est

mise à 0 en terme de niveau de gris sinon elle est mise à 255 (voir Figure 15).

III.3.2. Discontinuité de phase au bord et masque-objet

Dans le but d’offrir la possibilité d’effectuer le calcul aux bords pour les méthodes à

décalage de phase spatial, une procédure a été mise en place pour identifier et éliminer les

points de l’image qui n’appartiennent pas à l’objet [22].

Cette méthode est tout simplement basée sur le fond continu de l’image. Comme la

projection du réseau est effectuée avec un certain angle d’inclinaison et que l’objet d’étude est

seul dans le champ de vision de la caméra CCD, alors les points de l’image n’appartenant pas

à l’objet varient très peu en intensité lumineuse (niveau de gris). Un test simple est alors

effectué pour chaque point de l’image pour savoir s’il doit être éliminé ou pas du calcul :


34

(12)

et

et

alors le pixel (i,j) est en dehors de l’objet de mesure.

Où représente l’intensité seuil objet qui permet la définition de la variation

minimale de niveau de gris entre deux images de réseaux déphasés. Sa valeur est définie par

l’utilisateur de manière à déterminer le contour de l’objet. L’image du masque objet est

binaire où un niveau de gris nul est attribué aux points en dehors de l’objet et égale à 255 pour

les autres (voir Figure 15).

Figure 15 : Masques appliqués pour une technique de projection de frange [45].

À ce stade de la discussion, on aimerait savoir si les solutions proposées dans le cadre

des méthodes de phases pour gérer les discontinuités de franges ou les discontinuités de bords

peuvent être transposées au cas de la technique de corrélation d’images numériques ? Pour

Masque

discontinuité


35

répondre à cette question, un certain rapprochement doit être fait entre la méthode de

corrélation d’images numériques et les méthodes à codage périodiques. Ceci va être le but de

la section suivante.

IV. Comparaison des techniques de mesures en présence

de discontinuité

Entre un état initial et un état final, les déplacements des points matériels de l’objet

emmènent avec eux la luminance locale. Les deux catégories de méthodes (à codage aléatoire

ou pseudo périodique) utilisent cette luminescence pour déduire la valeur du mesurande.

Les différences essentielles entre ces deux catégories de méthodes est dans le codage

qui est soit harmonique, soit aléatoire :

Le codage aléatoire n’est pas en lui-même quantitatif, dans la mesure où aucun

nombre n’est attaché localement à la surface ; l’information se trouve donc dans

l’unicité de la morphologie locale.

En outre, le codage de phase est quantitatif. Il s’agit de la détection de la phase d’un

signal sinusoïdal qui est plus résolvante que l'analyse par corrélation sur un signal de

type aléatoire.

Néanmoins, dans les deux cas de figure, la méthode d’analyse apparie les points

correspondants entre les deux images, ceux ayant la même signature locale dans le cas de la

technique de corrélation d’images ou ceux possédant la même phase locale dans le cas des

méthodes à codage périodique.

IV.1. Comparaison en terme de résolution spatiale

Parmi les méthodes à codage périodique, nous avons décrit la méthode des grilles qui

se rapproche de la méthode de corrélation par un traitement spatial des images, et les

techniques de projection de frange ou de traits et de moiré d'ombre qui reposent, suivant les

configurations choisies, sur une analyse spatiale (masque objet et masque discontinuité) ou

sur une analyse locale (donc temporelle) dans le cas de l'utilisation d'images de code Gray.

Une comparaison en termes de résolution spatiale est ensuite effectuée entre la méthode des

grilles et la méthode de corrélation d’images.

‎IV . Comparaison des techniques de mesures en présence de discontinuité

36

Méthode de corrélation d’images numériques : La résolution spatiale est égale à la

taille de la fenêtre d’analyse choisie pour faire la corrélation. Dans ce cas, la taille de

la fenêtre d’analyse est au minimum d’un nombre donné de pixels en sachant qu’un

grain doit couvrir au minimum deux pixels.

Méthode des grilles : Comme il y a trois inconnues, il faut au moins trois points

d’échantillonnage par période (trois équations) pour détecter la phase locale. Dans ce

cas, la fenêtre d’analyse correspond à une période (taille minimale 3x3 pixels). Le

dépliement de la phase est facilité avec cette méthode car la phase est monotone, les

discontinuités du champ de phase sont donc réduites voire inexistantes. Le masque

objet a donc la taille de la fenêtre d'analyse.

Moiré de projection et moiré d'ombre : La détermination de la phase est locale.

Cependant, deux cas existent pour le dépliement de la phase : en cas d'utilisation du

code Gray, la détermination complète de la phase est parfaitement locale ; en cas

d'utilisation des masques (objet et discontinuité) la taille de la fenêtre peut être

considérée comme celle de l'image surtout si la phase n'est pas monotone comme dans

le cas du moiré d'ombre (les franges peuvent formées des boucles).

En comparant ces méthodes, nous pouvons dire que lorsqu’il s’agit d’une fenêtre

d’analyse de la dimension d’une période ou de la signature optique, la dépendance spatiale et

la résolution spatiale sont deux notions équivalentes. Néanmoins, lorsqu’il s’agit de l’étape de

dépliement de phase, la taille de la fenêtre d’analyse revient à la taille de la surface. La

résolution spatiale reste quant à elle de la taille de la période (voire celle d'un pixel). Il est

évident dans ce cas-là que le terme dépendance spatiale ne veut plus dire la même chose que

résolution spatiale et que le terme résolution spatiale ne convient plus pour mener la

comparaison.

Par conséquent, pour comparer les deux catégories de méthode, il est évident que la

comparaison doit être conduite en termes de fenêtre d’analyse.

IV.2. Comparaison en terme de discontinuités

Pour la corrélation, la présence des deux types de discontinuités (mécanique et

optique) perturbe l'analyse car l’algorithme de la méthode ne permet pas toujours d’aller

jusqu’au bout du raisonnement à caractère local du concept de continuité par morceaux (voir

§ ‎I.2 ). La continuité par morceaux est un traitement local de l’information tandis que le choix


37

figé des formes des fenêtres d’analyse n’a rien de local dans son concept puisqu'il ne tient pas

compte de la forme du milieu et qu'il ne respecte pas les hypothèses de continuités.

En outre, dans le cas des méthodes à codage aléatoire, il ne suffit pas d’avoir une

continuité spatiale et optique du codage pour accéder au déplacement. Par exemple : Dans le

cas d’une discontinuité de transformation matérielle (mécanique) affectant une fenêtre

d’analyse, il arrive que la fenêtre garde son intégrité spatiale optique i.e. sa signature alors

qu’il en est autrement mécaniquement : deux cinématiques différentes peuvent avoir lieu au

sein de la fenêtre sans qu’il y ait forcément de discontinuité apparente du milieu comme un

trou ou une déchirure détectable optiquement, par exemple une fissure qui s’ouvre en mode II

de rupture. Le cas échéant, la condition de continuité spatiale optique de la surface n’est pas

suffisante pour traiter la surface de l’objet. Il faut que la continuité optique du milieu soit

associée à une certaine réalité mécanique de continuité de la surface de l’objet pour qu’elle

soit traitable.

La situation est légèrement différente avec les méthodes à codage périodique dans le

sens où il n’est pas évident de lier continuité mécanique et optique. Certaines techniques

s'affranchissent très bien des discontinuités, d'autres se rapprochent plus de la corrélation

d'images dans un contexte de dépendance spatiale. Ainsi, nous pouvons dire que dans le cas

des méthodes à codage périodique, il est suffisant d’avoir une continuité optique et spatiale du

codage pour que la surface de l’objet de mesure puisse être traitée à condition que cette même

surface restitue correctement les franges.

Par ailleurs, il s’est avéré que la dépendance spatiale dans le traitement des pixels

permettant l’accès à l’information mécanique dans le cadre des méthodes à codage périodique

est plus importante que dans le cadre de la méthode de corrélation d’images. Dans le cadre

des méthodes à codage périodique, la dépendance spatiale entre pixels peut s’étaler à

l’ensemble de la surface notamment lors du dépliement de la phase alors qu’elle ne dépasse

pas la fenêtre d’analyse dans le cadre de la méthode de corrélation d’images. Le traitement

des discontinuités est d’autant plus indispensable dans le cadre des méthodes à codage

périodique qu’une erreur d’évaluation de phase, à cause d’une discontinuité optique, peut se

propager et affecter l’ensemble du calcul en rapport avec la surface étudiée. L’intérêt porté à

ces méthodes pour gérer les discontinuités dans le cadre de la méthode à corrélation d’images

se justifie d’ailleurs par cette forte dépendance spatiale dans le traitement des pixels

permettant d’accéder à l’information mécanique.

Conclusion

38

Conclusion

Les discontinuités mécaniques et optiques peuvent être liées de manière directe dans

le cadre de la méthode de corrélation d’images numériques car le mouvement suivi est celui

d’un bloc de pixels constituant un unique point de mesure. En parallèle, il est important

d’avoir une continuité optique et mécanique afin que chaque bloc ayant sa propre signature

optique puisse être identifié et suivi optiquement de manière indépendante de son voisin tout

au long de son mouvement. La dépendance spatiale entre les pixels d’un même bloc existe

donc mécaniquement mais optiquement aussi.

Dans le cadre des méthodes de mesure à codage périodique, l'information peut être

obtenue indépendamment en chaque pixel. Il n’y a donc pas de dépendance spatiale entre

pixels au sens mécanique du terme. Cependant, d’un point de vue analyse, ces pixels peuvent

être :

soit liés spatialement par la fenêtre d’analyse pour l’étape calcul de phase et par toute

la surface pour l’étape dépliement de phase (cas de la méthode des grilles);

soit liés spatialement par la surface uniquement à l’étape dépliement de phase (cas du

moiré de projection sans code Gray);

soit être à la fois indépendants spatialement pour les deux étapes de la procédure

d’analyse des franges (cas du moiré de projection avec code Gray);

Le dernier cas ne nous intéresse pas car il ne comporte pas de notion de dépendance

spatiale ou de traitement spatial. Tout au long du chapitre, nous avons fait référence aux deux

premiers cas uniquement car ils partagent la notion de dépendance spatiale entre pixels avec

la méthode de corrélation d’images numériques.

Deux outils différents sont déployés pour résoudre le problème dans le cadre des

méthodes à codage périodique selon la situation qui s’impose :

Masque objet dont la fonction essentielle est d’exclure les pixels de la procédure

d’analyse des franges ou de traits. Ce masque intervient lorsque la discontinuité

optique du milieu est essentiellement due à la discontinuité spatiale du milieu.

Masque discontinuité dont la fonction est de séparer deux signaux. Ce masque

intervient lorsqu’il y a discontinuité optique du milieu malgré sa continuité spatiale.


39

La question qui se pose maintenant est de voir s'il est possible d'appliquer ces masques

à la méthode de corrélation d’images numériques. Cependant, la mise en œuvre de ces deux

idées pour la gestion des discontinuités nécessite la connaissance parfaite de la méthode de

corrélation d’images numériques (principe, algorithmes, performances). Pour cela, une étude

plus poussée sur la méthode de corrélation d’images va être menée aux deux chapitres

suivants.

40

41

Chapitre II. Présentation de la corrélation

d'images numériques pour la mesure de

déplacements

Introduction

42

Introduction

L’application des masques précédents à la méthode de Corrélation d’Images

Numériques nécessite de connaitre le principe de fonctionnement de la méthode et la manière

dont opère « Correla » pour mesurer des champs de déplacement et de déformation. Cela va

nous permettre d’une part d’identifier les principaux paramètres ayant une influence sur la

précision de mesure par CIN et d’autre part à préparer l’étude qui viendra au chapitre suivant

sur l’influence de la discontinuité sur la précision de mesure.

Cette étude va se faire en deux parties : la première partie consacrée à l’étude

d’influence de tout paramètre autre que ceux de la discontinuité est abordée dans ce chapitre.

La deuxième partie consacrée à l’étude d’influence de la discontinuité uniquement sera

abordée au troisième chapitre.

Pour le chapitre courant, dans un premier temps, les différentes étapes de la procédure

de corrélation sont décrites en allant de l’acquisition des images jusqu’à l’obtention d’un

champ de déplacement en passant par la définition des fenêtres de corrélation et des

paramètres de calculs. La seconde partie de ce chapitre présente ensuite les études d’influence

en mettant en évidence les sources d’erreurs dues aux facteurs principaux qui peuvent influer

sur les résultats. Ces facteurs peuvent être liés aux conditions expérimentales (éclairage,

grandissement,…) mais aussi aux arguments nécessaires à la procédure de corrélation (taille

de fenêtres de corrélation, interpolation,…).

Chapitre II. Présentation de la corrélation d'images numériques

43

V. Méthode de corrélation d’images numériques

Pour opérer une mesure avec la CIN, un élément clé pour une mesure de qualité est la

qualité de l’image. En effet, comme nous l’avons expliqué précédemment (voir Chapitre I ; §

II), la CIN utilise une texture d’image qui permet d’identifier de manière unique chaque

élément de surface à l’état initial et d’assurer ainsi son suivi temporel jusqu’à l’état déformé

pour en déduire son déplacement. Par ailleurs, les niveaux de gris sont censés avoir une large

dynamique de telle sorte à couvrir la profondeur des niveaux de gris de l’encodage des images

qui dépend du codage de la caméra qui va de 8 à 16-bits. Il est souhaitable que les images ne

montrent pas de saturation en niveau de gris. En effet, les pixels ne pourront pas avoir des

valeurs de niveau de gris en dessous ou au-delà des deux valeurs extrêmes définissant les

seuils de perceptibilité des niveaux de gris par la caméra. Si l’image révèle qu’une bonne

partie des pixels affichent des niveaux de gris qui se situent en-dessous du seuil minimal et/ou

au-delà du seuil maximal, la sensibilité de la méthode à la détection des déplacements va

certainement diminuer. En effet, les contrastes forts d’un pixel à l’autre rendent la CIN plus

sensible aux petits déplacements. Pour cela, nous pouvons dire de manière générale que la

dynamique des niveaux de gris doit être assez large afin de couvrir le mieux possible la

profondeur des niveaux de gris de l’encodage des images.

Par conséquent, nous pouvons en déduire qu’un des gros avantages de cette méthode

est qu’elle peut exploiter la texture de certains matériaux dont le contraste de pixel en pixel

est naturellement élevé à l’échelle de l’observation. Certaines applications de la CIN ont

montré d’ailleurs qu’il est possible d’effectuer des mesures sur des matériaux en acier

inoxydable 304L ou encore en carbure de silice car la texture de la surface est propice à ce

genre de mesures [5]. D’autres le sont moins et nécessitent le dépôt d’une texture artificielle

sur leur surface via la pulvérisation de fines gouttelettes de peinture noire sur un fond blanc

(ou inversement) [5, 54, 55].

V.1. Principe de la méthode

La technique de Corrélation d’Images Numériques consiste à mettre en

correspondance deux images de la surface étudiée à deux états mécaniques différents : un état

‎V. Méthode de corrélation d’images numériques

44

dit « de référence » et un autre dit « déformé » [11, 12, 56]. La correspondance entre les deux

images s’effectue sur des sous-domaines, de forme carrée ou rectangulaire, dont les positions

sont définies par une grille virtuelle de points de mesure régulièrement espacés établie à l’état

de référence. La corrélation doit permettre pour chaque domaine D, de position dans

l’image initiale, de retrouver la position de son homologue dans l’image déformée en

évaluant le degré de ressemblance des niveaux de gris de chaque sous-domaine (voir Figure

16). La corrélation d’images numériques exploite l’évolution du motif présent sur la surface

de l’échantillon pendant sa déformation. Ce motif se doit d’être une signature de chaque

élément ou sous-domaine de surface et doit être seulement convecté par le champ de

déplacement sans autre altération. Ainsi, afin de déterminer la meilleure correspondance entre

deux états de déformation, la procédure de corrélation autorise chaque sous-domaine à se

déplacer et également à se déformer. La CIN fournit donc les composantes du vecteur

déplacement de chaque sous-domaine D représentant ainsi le mouvement entre les deux

images, modélisé par la transformation matérielle :

(13)

L’ensemble des valeurs de pour tous les sous-domaines forme le champ discret de

déplacement mesuré sur la surface de l’échantillon.

Figure 16 : Etat de référence et état déformé liés par un déplacement et une déformation homogène : méthode de corrélation d’images numériques.

Pour mener correctement cette procédure, il est nécessaire de disposer d’un motif sur

chaque sous-domaine présentant des variations spatiales de niveaux de gris. Pour cela,

X

x

Domaine matériel


O

Domaine matériel


1

2

)(XU

)(Xf

)(xg M

0M

t

t

0

0

tk

0k



Pixel

Pixel


45

différents motifs peuvent être employés. Suivant le support, il est parfois possible d’utiliser la

texture naturelle des surfaces ou bien d’apporter un motif artificiel si cette texture naturelle ne

fournit pas de variations de niveaux de gris suffisantes. Le motif peut être une grille régulière

de traits (obtenue par marquage ou gravure) ou bien aléatoire comme le dépôt d’une poudre

ou la projection d’une peinture.

La mise en correspondance des sous-domaines entre les deux images par la procédure de

corrélation suppose la conservation du flux optique (intensité des niveaux de gris) durant tout

le chargement. Il devrait donc y avoir égalité entre les grandeurs et qui sont les

niveaux de gris d’un même sous-domaine respectivement à l’état de référence et à l’état

déformé : soit encore . Cette relation pourrait conduire à la

détermination du vecteur déplacement mais l’égalité ne peut pas être vérifiée parfaitement.

La détermination du déplacement nécessite donc la minimisation de la quantité . Cependant, dans cette expression la transformation matérielle est inconnue

mais elle peut être approximée localement sur chaque sous-domaine. Sur le domaine D centré

sur le point à l’état de référence, la transformation matérielle est approchée par le

développement limité du déplacement :

(14)

A l’ordre 0, les variations de déplacement sur le domaine D sont supposées nulles et la

transformation correspond alors uniquement à un déplacement de solide rigide :

(15)

Dans ce cas, la transformation matérielle locale est définie par deux paramètres correspondant

aux composantes du vecteur déplacement : . A l’ordre 1, la transformation correspond à une translation et un gradient local homogène sur

le domaine, les variations du champ de déplacement étant supposées linéaires :


46

(16)

Cette transformation matérielle locale prend en compte la rotation de solide rigide et la

déformation locale homogène du sous-domaine D. Elle est définie par six paramètres : les

composantes du vecteur déplacement ainsi que les quatre composantes du gradient .

Si l’évolution de la transformation réelle est non-linéaire sur D, la transformation

apparente doit manifester un caractère non linéaire aussi. Dans ce cas-là, il est plus

judicieux d'utiliser une transformation non-linéaire (d’ordre 2 ou plus, [57]) dont la

forme est donnée par la formule 1 en prenant n = 2.

Le choix de l’ordre de l’approximation doit être adapté aux mécanismes de

déformation mis en jeu. La détermination des valeurs optimales des paramètres de la

transformation approchée et en particulier des composantes du vecteur déplacement sur

chaque domaine de corrélation D nécessite la minimisation de la quantité , appelée coefficient de corrélation.

V.2. Coefficient de corrélation

Il existe différentes définitions du coefficient de corrélation dans la littérature. Elles

peuvent cependant être regroupées en deux familles : la première se basant sur la différence

au sens des moindres carrés des niveaux de gris et la seconde utilisant le produit scalaire de

ces niveaux [11, 58-60]. Néanmoins, à partir de ces deux formulations, d’autres expressions

ont été développées ultérieurement. Nous allons décrire brièvement ces formulations et

préciser celle qui a été sélectionnée pour notre étude :

Une formulation de type moindres carrés [61, 62] :

(17)

où :

- D est le domaine de corrélation.


47

- et étant respectivement les coordonnées des pixels de référence et

déformés des domaines homologues.

- , les niveaux de gris des pixels des domaines homologues dans les

images de référence et déformée.

Dans cette expression, représente la somme quadratique des différences des

niveaux de gris des domaines de corrélations de référence et déformés. Le domaine de

corrélation le plus ressemblant à son homologue dans l’image de référence est retrouvé

lorsque le minimum de est atteint.

Une formulation utilisant la notion du produit scalaire [61] :

(18) représente le produit scalaire entre les deux vecteurs et dont les composantes

sont les niveaux de gris des deux domaines de corrélation homologues.

(19)

Quand les deux vecteurs sont presque colinéaires et que est au maximum, le

domaine de corrélation à l’état déformé le plus ressemblant à son homologue à l’état de

référence a été retrouvé. Le produit scalaire des deux vecteurs est donc égal aux produits des

normes euclidiennes de chacun :

(20)

Une formulation alternative dérivée de consiste en une minimisation d’un

coefficient en retranchant 1 à la valeur normalisée de [58, 62, 63], d’où :

(21)

Une autre formulation dérivée de permet d’être insensible aux variations de

luminosité ou de contraste qui peuvent apparaître entre les deux images. Pour cela,


48

elle évalue la ressemblance des variations de niveaux de gris par rapport à la moyenne

sur chaque domaine de corrélation [59, 64, 65] :

(22)

C’est cette formulation qui va être employée par la suite pour les différents essais.

V.3. Interpolation subpixel

Une image numérique est un ensemble de valeurs discrètes correspondant aux niveaux

de gris en chaque pixel. Cependant dans une grande majorité de cas, on souhaite pouvoir

atteindre des déplacements en fraction de pixel avec la procédure de corrélation. Pour cela, il

existe différentes techniques regroupées en deux familles :

Interpolation des pics de corrélation [66]

Le coefficient de corrélation est calculé sur des valeurs entières de pixel mais la valeur

optimale peut se trouver entre deux pixels. Pour cela, cette technique consiste à interpoler le

coefficient de corrélation. Ainsi, la position subpixel est déduite directement du pic optimal

de corrélation ce qui donne la position subpixel des niveaux de gris se trouvant dans l’image

déformée. Une interpolation par un bipolynôme d’ordre 2 sur les deux directions x et y

généralement permet de retrouver le pic de corrélation « sub-pixel » [67]

Interpolation des niveaux de gris [68]

Un moyen d’obtenir des niveaux de gris entre deux pixels juxtaposés est de les

restituer par interpolation. Plusieurs schémas d’interpolation existent : interpolation par le

plus proche voisin [69, 70], interpolation bilinéaire par les 4 premiers voisins [56],

interpolation bicubique par les 16 voisins,…[58]. L’interpolation n’est toutefois pas sans

conséquences sur la mesure des déplacements, étant donné qu’elle restitue des niveaux de gris

approximés. En effet, l’interpolation peut entraîner des erreurs qui se traduisent par une

courbe en S correspondant à une surévaluation ou une sous-évaluation des composantes du

vecteur déplacement en fonction de la partie fractionnaire de cette composante [71, 72].

Le choix du type d’interpolation adéquat se fait généralement en testant plusieurs

types d’interpolation dans la mesure d’un champ donné et en optant finalement pour le type

d’interpolation qui engendre le moins d’erreur vis-à-vis des résultats obtenus. Par exemple,

dans [73], les auteurs montrent qu’une interpolation bilinéaire engendre moins d’erreurs


49

qu’une interpolation biquintique pour des images MEB (Microscope Electronique à Balayage)

qui sont des images très bruitées et ce à cause du phénomène de runge. Les mêmes auteurs

utilisent un autre type d’interpolation pour des mesures sur des sols argileux à savoir une

interpolation bipolynômiale d’ordre 5 [74]. Dans notre cas, une partie des essais sera réalisée

avec des images bruitées, nous avons donc fait le choix d’utiliser une interpolation bilinéaire

pour interpoler les niveaux de gris des pixels des images déformées [75].

V.4. Algorithmes d’optimisation

Une procédure numérique d’optimisation est utilisée pour rechercher le minimum du

coefficient de corrélation et pour déterminer les valeurs optimales des paramètres de la

transformation matérielle. La plupart des algorithmes itératifs employés adopte une méthode

de descente avec un gradient comme la méthode Newton ou du premier gradient [54, 57, 76,

77]. Ces algorithmes présentent l’avantage de converger rapidement vers un minimum.

Cependant, il peut arriver que ce minimum soit « local ». Pour augmenter les chances de

convergence vers le minimum « global » correspondant à la solution, il faut que la valeur

d’initialisation de ces algorithmes soit suffisamment proche de ce minimum. Pour cela, la

procédure se déroule en deux étapes [58]. La première est une étape grossière où la meilleure

translation est déterminée au pixel près par une procédure itérative de corrélation de tous les

pixels d’une zone de recherche. La seconde étape consiste à rechercher la valeur finale à partir

des résultats de la première étape par optimisation sur les valeurs non entières des niveaux

gris.

C’est l’étape grossière qui permet de déterminer la valeur d’initialisation pour l’étape

fine de telle manière à ce que les risques de divergence du minimum global soient réduits au

cours de cette étape. Pour cela, au cours de l’étape grossière, une stratégie assez particulière

qui n’a pas besoin d’être initiée est développée pour permettre d’explorer tous les

déplacements possibles sur une zone de recherche centrée sur le domaine de corrélation afin

d’éviter d’être piégée par un minimum local lors de l’étape fine. La première étape dite

« grossière » consiste alors à calculer dans un premier temps tous les coefficients de

corrélation sur cette zone de recherche. Un algorithme de recherche d’un maximum est utilisé

dans un deuxième temps pour trouver la position du pic de corrélation maximale au pixel

près. La différence entre les deux positions homologues du domaine de corrélation

correspondant aux deux états « de référence » et « déformé » donne les composantes du

‎VI. Paramètres d’influence

50

vecteur déplacement (u,v) avec une résolution au pixel près. Vient alors la deuxième étape

dite « fine ».

Une fois les valeurs initiales déterminées, les données d’entrée de l’étape fine sont les

paramètres du vecteur de forme, réunissant les paramètres de la transformation matérielle

paramétrée que l’on nommera ). Les paramètres suffisent pour se

situer au plus proche du minimum car l’hypothèse de petites déformations permet de négliger

les composants ) du vecteur au passage de l’état initial à l’état déformé et de

réduire ainsi le temps de calcul nécessaire à déterminer les 4 valeurs initiales des 4 gradients.

La méthode classique de Newton est ensuite utilisée pour converger vers le minimum global.

La zone de recherche utilisée lors de l’étape « grossière » est ensuite recentrée autour de la

partie entière de la nouvelle position pour entamer la prochaine opération d’optimisation.

V.5. Logiciel de corrélation

L’acquisition et la visualisation des images ainsi que la procédure de corrélation sont

effectuées par le logiciel Correla [67] développé par l’axe PEM de l’Institut Pprime.

VI. Paramètres d’influence

Plusieurs paramètres peuvent avoir une influence sur la précision de mesure par

corrélation d’images numériques. Ils constituent des sources d’erreurs plus ou moins

importantes. Les erreurs qu’ils engendrent peuvent être séparées en deux catégories:

Erreurs liées aux conditions environnementales (conditions d’éclairage, mouvements

inattendus, etc…)

Erreurs liées aux paramètres de calcul de la procédure de corrélation (taille du

domaine de corrélation, type d’interpolation, transformation matérielle utilisée, etc…)

Le but de cette partie est d’étudier et de comprendre l’influence des différents

paramètres qui peuvent être sources d’erreurs de mesure. Cette analyse devrait mettre en

évidence les effets de chacun sur la mesure du déplacement et de voir comment les atténuer

ou les éliminer.


51

Pour cela, il est nécessaire de procéder par étapes. L’influence de chaque paramètre va

être étudiée en lui attribuant différentes valeurs au cours d’un même essai expérimental. Les

courbes d’erreur vont ensuite être tracées pour toutes les valeurs des paramètres.

Les paramètres qui vont être étudiés sont le grandissement, la discrétisation, la taille

du grain, le type d’interpolation, la taille du domaine de corrélation, les conditions

d’éclairage. Il est important de comprendre l’influence de ces paramètres ou de leur

association dans certains cas comme le grandissement et la discrétisation afin d’avoir la

configuration optimale de mesure permettant d’étudier l’influence des discontinuités

ultérieurement. Pour cela, plusieurs essais subpixels de translation sont réalisés pour estimer

l’influence de chaque paramètre sur la précision de mesure. L’intérêt pour ces essais est

justifié par plusieurs points :

Ce sont des essais de déplacement de solide rigide dont les valeurs imposées sont

connues, il ne peut pas y avoir d’erreur d’estimation de la transformation [78]. Ainsi,

la transformation paramétrée va comporter uniquement les composantes du vecteur de

translation.

La chaîne de mesure est relativement simple et ne nécessite pas le déploiement de

matériels très sophistiqués. Le risque d’erreur en provenance de la chaine de mesure

est ainsi réduit.

Le type des essais n’endommage pas l’échantillon. Ainsi, pour vérifier la répétabilité

d’un résultat dû par exemple à l’éclairage, il n’est pas nécessaire de changer de

mouchetis et de toucher ainsi à la chaîne de mesure contrairement à un essai de

déformation.

VI.1. Procédure expérimentale

Plusieurs essais subpixels de translation sont réalisés pour estimer l’influence de

chaque paramètre sur la précision de mesure (voir Figure 17). Pour cela, un grandissement de

1 mm/pixel est utilisé pour des incréments de déplacement imposés de 0.05 mm à l’aide d’une

platine de translation micrométrique. L’objet observé est une plaque comportant différents

mouchetis.


52

Figure 17 : Schéma du montage utilisé pour l'analyse de l'influence des paramètres.

Pour étudier l’influence d’un paramètre donné, la taille du grain par exemple, il est

important que les autres paramètres tels que l’éclairage ou les erreurs liées aux déplacements

imposés varient peu et de la même manière d’un mouchetis à l’autre. C’est pour cela que les

mouchetis variant en fonction du paramètre étudié sont disposés sur une même plaque (Figure

18). Ces mouchetis subissent ainsi les mêmes conditions expérimentales. Les mouchetis sont

obtenus en vaporisant de la peinture noire sur un fond blanc. Le codage de la caméra utilisée

est de 8-bits.



.: .: .: .: .:

.: .: .: .: .: .: .: .: .: .:

.: .: .: .: .:

Avant chargement

Après chargement

.: .: .: .: .: .: .: .: .: .:

Eclairage

x

y

Sens de translation

Mouchetis

Plaque

Platine


53

Figure 18 : Les trois mouchetis A, B et C posés sur la même plaque.

Valeur mini

Valeur maxi

moyenne Écart-type Taille du grain

moyen

Mouchetis A 44 255 111,97 33,29 4

Mouchetis B 38 255 107,62 37,40 5

Mouchetis C 32 255 98,72 42,73 8

Tableau 2 : Caractéristiques des trois mouchetis A, B et C

Figure 19 : Les histogrammes des trois mouchetis A, B et C (de gauche à droite)

Les trois mouchetis sont statistiquement caractérisés par leurs histogrammes (voir

Figure 19) et la taille du grain moyen issue du calcul de l'autocorrélation (voir Tableau 2). Ces

Mouchetis A Mouchetis B Mouchetis C


54

histogrammes ne manifestent aucune saturation en niveau de gris ce qui veut dire que pour

l’éclairage fourni, la dynamique offerte par la caméra est largement suffisante.

VI.2. Evaluation de l’erreur de mesure

Afin de quantifier l’erreur de mesure, deux grandeurs sont calculées : L’erreur

systématique )u,u(Ecart imposémesuré et l’erreur aléatoire [75, 79].

L’erreur systématique )u,u(Ecart imposémesuré représente la moyenne des écarts entre les

déplacements mesurés et un déplacement imposé pour tous les points de mesure de la

grille de corrélation :

(23)

avec : où N représente le nombre de points de mesure en rapport avec un

état.

L’erreur aléatoire est calculée soit en local soit en global. L’erreur aléatoire locale représente l’écart type de tous les écarts pour un incrément de déplacement

imposé. L’erreur aléatoire globale représente l’écart-type de tous les écarts

pour toutes les valeurs des déplacements imposés.

L’écart-type global (ou l’erreur aléatoire globale) et l’écart-type local (ou l’erreur

aléatoire locale) ont tous les deux la même expression mathématique :

(24)

avec : où N représente le nombre de points de mesure tout état confondu

(erreur globale) ou pour un seul état (erreur locale).

L’incertitude de mesure en local comme en global permet d’atteindre un

niveau de confiance de 95 % [79].


55

VI.3. Effet de l’interpolation

Pour obtenir un déplacement avec une résolution subpixel on choisit d'interpoler les

niveaux de gris de l'image déformée. Cette interpolation engendre de manière systématique

des erreurs car les valeurs interpolées peuvent différer des intensités lumineuses réelles. Cette

erreur a une forme en « S », pour une interpolation polynomiale, ce qui correspond à une

surévaluation ou une sous-évaluation des composantes du vecteur déplacement [71, 75]. Cet

effet est montré sur la Figure 20 qui correspond à un essai de déplacement de 2 pixels avec un

pas de 0,1 pixel. On constate que les erreurs sont minimales pour les déplacements de 0; 0,5;

1; 1,5 et 2 pixels et sont maximales pour des déplacements autour de 0,25; 0,75;1,25 et 1,75

pixels.

Figure 20 : Mouchetis B :Evolution de l’erreur systématique et de l'erreur aléatoire en fonction du déplacement imposé.

VI.4. Influence de la taille du domaine de corrélation

Le mouchetis B est utilisé pour étudier l’influence de la taille du domaine de

corrélation (ses caractéristiques statistiques sont données dans le Tableau 2). Les erreurs

aléatoires locale et globale sont ensuite tracées en fonction de la taille du domaine pour dix

tailles différentes de domaines (ou fenêtres) : 8 × 8 pixel², 12 × 12 pixel², 16 × 16 pixel², 20 ×


56

20 pixel², 24 × 24 pixel², 30 × 30 pixel², 32 × 32 pixel², 48 × 48 pixel², 60 × 60 pixel², 64 × 64

pixel². Ces erreurs sont représentées sur la Figure 21. Il s’avère que plus la taille du domaine

d’analyse augmente, plus l’erreur aléatoire décroît. Cela semble être conforme avec des

résultats issus d’études précédentes [76, 80, 81].

Figure 21 : Erreur aléatoire calculée en fonction de la taille du domaine pour : les déplacements u [0 ; 2] pixels (erreur aléatoire globale), un déplacement nul u=0 pixel (erreur aléatoire locale). Le domaine

est de forme carrée.

L’augmentation de la taille des domaines est favorable à la corrélation pour ces essais

de déplacement de corps rigide. L’intérêt de cette démarche est justifié par le fait que la

transformation matérielle réelle est bien décrite par la transformation paramétrée . Ainsi,

plus il y a de pixels dans le domaine, moins l’erreur aléatoire est importante. L’erreur

aléatoire baisse en . N étant le nombre de pixels dans le domaine. Cela peut nous

amener à utiliser en général des fenêtres ayant les plus grandes dimensions possibles.

Néanmoins, il ne faut pas oublier que l’augmentation de la taille des fenêtres augmente la

base de mesure et par conséquent ne permet pas la prise en compte spatiale d'effets locaux.

Cela nous pousse à chercher un certain compromis entre taille de fenêtre et incertitude de

mesure.

Une faible incertitude sur la mesure des déplacements s’obtient avec une taille

importante du domaine au détriment d’une fine résolution sur les mesures de déplacements

[82]. Deux points de vue se dégagent :

0

0,01

0,02

0,03

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68

Dimensions d'un domaine (côté en pixel)

Erreur aléatoire globale (pixel)

Erreur aléatoire locale (pixel)


57

En diminuant la taille des domaines et en augmentant leur nombre et en l’occurrence

leur distribution spatiale, il y a tout simplement moins de matière à décrire à l’intérieur

du domaine mais plus de points de mesure pour décrire la transformation dans sa

globalité.

En augmentant la taille des domaines et en diminuant leur nombre et en l’occurrence

leur distribution spatiale, il y a tout simplement plus de matière à décrire à l’intérieur

du domaine mais moins de points de mesure pour décrire la transformation dans sa

globalité.

Ainsi, pour de grandes tailles de domaine de corrélation, il convient d’ajouter plus de

paramètres qu’une simple translation à l'approximation de la transformation matérielle pour

mieux approcher localement la transformation réelle. Cependant, la transformation, approchée

par morceaux sur chaque domaine, sera forcément moins bien représentée globalement,‎en

effet, le champ de déplacement discret obtenu sera calculé en moins de points.

Par la suite, notre choix s’est fixé sur le domaine 32 × 32 pixels2 (voir Figure 21) qui

semble être un bon compromis entre taille des fenêtres et incertitude de mesure.

VI.5. Influence des conditions d’éclairage

La condition sur la conservation du flux optique doit être respectée afin de permettre

l’estimation correcte de la transformation matérielle à partir des niveaux de gris. Cependant, il

peut y avoir des variations d’intensité lumineuse (contraste et luminosité) qui nuisent à cette

condition. Afin d'évaluer l'influence des variations d'éclairage caractérisées par l’écart-type

des niveaux de gris des mouchetis (qui s’apparente à une notion de contraste), on propose de

comparer l'écart-type global sur les résultats de déplacements subpixels. Les trois mouchetis

A, B et C précédents sont à nouveau utilisés pour cette étude dans les mêmes conditions que

précédemment mais avec un éclairage faible (voir Figure 22 et Figure 23). Les données

statistiques figurent dans le Tableau 3.


58

Figure 22 : Les trois mouchetis A, B et C en faible éclairage.

Figure 23 : Les histogrammes des trois mouchetis A, B et C (de gauche à droite) en faible éclairage.

Valeur mini

Valeur maxi

moyenne Écart-type Taille du grain

moyen

Mouchetis A 20 135 58,14 16,92 4

Mouchetis B 22 158 63,17 21,92 5

Mouchetis C 18 175 64,24 28,48 8

Tableau 3 : Caractéristiques des trois mouchetis A, B et C en faible éclairage

Ainsi un essai de translation (de 2 pixels avec un pas de 0,1 pixel) est effectué deux

fois avec les trois mêmes mouchetis sous deux configurations d’éclairage différentes (fort et

faible). La fenêtre de corrélation utilisée a une taille de 32 par 32 pixels, le décalage entre

deux fenêtres est de 10 pixels. L'écart-type global est montré au Tableau 4 :

Plati e équipée d’u

Mouchetis C Mouchetis D Mouchetis E

Mouchetis A Mouchetis B Mouchetis C


59

Eclairage fort Eclairage faible Mouchetis A 0,01753 0,02436 Mouchetis B 0,01556 0,02111 Mouchetis C 0,01581 0,01279

Tableau 4 : Ecart-type global en fonction des conditions d'éclairage sur les écarts en

déplacements.

A partir du Tableau 4, on constate :

Pour un même éclairage, l'erreur diminue en fonction de l'augmentation du contraste

(écart-type des niveaux de gris),

Même si en moyenne, un éclairage fort semble produire une erreur plus faible, les

valeurs obtenues sont du même ordre de grandeur pour ces deux conditions d'éclairage

Conclusion

Dans la première partie de ce chapitre, les fondements théoriques de la CIN ont été

exposés notamment le principe de la méthode, l’interpolation choisie et l’algorithme

d’optimisation utilisé. Dans la deuxième partie, une étude d’influence de plusieurs paramètres

pertinents a pu être menée.

Nous avons pu constater l’influence de l’interpolation sur l’erreur systématique qui

donne à cette erreur la forme d’une courbe en « S ».

Par ailleurs, l’influence de la taille du domaine sur l’erreur aléatoire a pu être prouvée.

Il s’est avéré que plus la taille du domaine augmente, plus cette erreur baisse. Cela nous a

amené à discuter ensuite d’un certain compromis entre taille de domaine et incertitude de

mesure. A l’issue de cette discussion, nous avons pu sélectionner la taille de domaine

optimale de 32 × 32 pixels² en rapport avec une taille de grains comprise entre 4 et 8 pixels.

En faisant varier l’intensité lumineuse pour deux essais de translation subpixels et en

comparant l’erreur aléatoire qu’engendrent ces variations, nous avons pu montrer

expérimentalement que les variations d’intensité lumineuse ont peu d’effet sur l’erreur.

Fort d’une configuration de mesure « optimale », la voie est maintenant libre pour

découvrir d’autres facettes de la CIN. Un terrain à explorer est notamment celui de la gestion

d’un bord dans l’espace de mesure. Pour l’instant, le champ d’applications de la CIN est

limité à des zones dont les frontières sont de forme « carrée » ou « rectangulaire » et en

Conclusion

60

l’occurrence adaptée à la forme du domaine de corrélation qui est également « carrée » ou

« rectangulaire ». Des frontières de formes « non carrés » ou « non rectangulaires »

impliquent forcément la présence d’un « extérieur non désirable » à l’intérieur du domaine

(ou fenêtre) de corrélation si des mesures sur les bords doivent être faits. La qualité « non

désirable » de cet extérieur est justifiée par le fait que les points de l’extérieur ne sont pas

gérés par la transformation matérielle qui gère le mouvement du domaine de corrélation. Ces

points vont donc induire en erreur la mesure par CIN.

Il est évident que si la fenêtre utilisée est de forme incompatible avec celle du bord, il

va se produire une erreur d’estimation des déplacements car la transformation matérielle est

forcément non-adéquate. Etant donné que les décorrélations de fenêtres arrivent en même

temps que les zones de non-mesure (ou discontinuité) rentrent en jeu ou qu’une altération du

mouchetis aux bords se produit, une question devrait se poser sur l’implication de ces zones et

de l’altération du bord dans le processus de décorrélation. Dans le chapitre suivant, une étude

va permettre de répondre à ces questions et de clarifier ainsi l’origine de la décorrélation.

61

Chapitre III. CIN standard : Mesure sur un

bord

Introduction

62

Introduction

Dans le premier chapitre, nous avons pu justifier la difficulté d’effectuer des mesures

sur un bord par l’impossibilité d’adapter localement la forme de la fenêtre d’analyse à la

forme du bord. Ce bord étant défini par les zones en provenance de l’extérieur i.e. les « zones

de non-mesure » et les zones couvertes de mouchetis i.e. les « zones de mesure ». L’absence

de moyens d’adaptation locale de la forme et de la taille des fenêtres à celle du bord ne permet

pas de rendre compte du modèle de milieu continu et nous conduit tout droit vers une

situation où des zones en provenance de l’extérieur de la surface de mesure se retrouvent à

l’intérieur de la fenêtre de mesure. Une étude supplémentaire doit être établie pour

comprendre en plus l’influence du bord sur la précision de mesure et les processus de

décorrélation.

La problématique abordée ici peut se résumer à l'aide des deux figures suivantes [83]:

La présence d’un bord dès l’état de référence à l’intérieur du domaine de corrélation

(Figure 24) et sa conservation tout au long du chargement.

Figure 24 : Répartition des domaines de forme carrée au bord d’une éprouvette de forme non-carrée.

La formation de nouveaux bords à l’intérieur d’un domaine de corrélation par rapport

à l’état de référence et leur altération entre états (Figure 25).

Extérieur

Fenêtre carré

Frontière ou

Bord

Eprouvette

Chapitre III. CIN standard : Mesure sur un bord

63

Figure 25 : Formation de nouveaux bords à l’intérieur de trois domaines suite à l'apparition d’une fissure : (a) Image de référence. (b) Image déformée. (c) Non-compatibilité des formes des deux lèvres

d’une fissure marquant la dégradation du mouchetis aux bords de cette fissure.

Ce chapitre s’articule donc autour de deux parties.

La première partie permet d’aborder l’aspect « conservation du bord » lors d’une

mesure sur une frontière à partir d'un modèle académique (on définira alors quelques

paramètres) représentant un domaine de corrélation à cheval entre l’extérieur et

l’intérieur de la surface de mesure. Le bord existe à l’état initial et se conserve

physiquement et optiquement le long du processus de mesure.

La deuxième section est consacrée à l’aspect « altération du bord » lors d’une mesure

sur un bord. Le même modèle académique sera utilisé en jouant sur les paramètres.

Cette section traite les cas d’un bord qui existe à l’état initial et qui ne se conserve pas

physiquement ou optiquement le long du processus de mesure. Elle traite aussi le cas

d’un bord qui n’existe pas à l’état initial et qui apparaît au cours du processus de

mesure.

Une association adéquate d’un modèle académique de domaine de corrélation et du

cas académique approprié est censée reproduire une situation réelle de présence de bord à

l’intérieur du domaine de corrélation avec (ou sans) effet d’altération de bord. Pour cela le

bord et les zones de non-mesures sont paramétrés en fonction de plusieurs critères (forme,

niveau de gris global et taille de la zone de non-mesure par rapport à la zone de mesure,

(a) (b)

(c)

Introduction

64

etc…). Pour déduire l’influence d’un paramètre dans le cadre d’un cas académique précis, la

démarche est la suivante :

Dans un premier temps, un essai de translation sub-pixel sur un mouchetis ne

comportant pas de bord est réalisé. La précision de mesure est ensuite calculée. Ainsi,

la première courbe d’erreur de référence est obtenue.

Ensuite, deux types d’essais réels de translation sub-pixel simulant l’existence d’un

bord à l’intérieur du domaine (avec ou sans effet d’altération) sont réalisés.

L’influence de paramètres tels que la taille du domaine, la taille de la zone de non-

mesure ou l’extérieur, etc… peut ainsi être étudiée. Les précisions de mesure liées aux

paramètres en question sont quantifiées.

Ensuite, un bilan va permettre une confrontation critique des résultats issus de

l'analyse précédente. Il va permettre ainsi de quantifier l’erreur due à la présence d’un bord

dans une fenêtre d’analyse dans les deux cas de figures proposés à savoir « conservation et

altération du bord ».

VII. Conservation du bord

L'objectif est d'observer l’influence de la présence d'un bord dans le domaine de

corrélation sur la précision de mesure. Dans ce paragraphe, nous considérons le bord (et les

zones qui l’accompagnent) comme étant invariant au cours des essais.

VII.1. Procédure expérimentale

Pour la CIN, la conservation d’un bord s’obtient si d’un point de vue optique

l’hypothèse de conservation du flux optique entre les images initiale et déformée est satisfaite

pour les deux surfaces qui se trouvent de part et d’autre du bord et qui définissent ce bord.

La Figure 26 et la Figure 27 illustrent la construction d'un modèle académique à partir

d'une situation réelle. Le modèle consiste à reproduire une mesure où les domaines de

corrélation sont situés sur la frontière et sont donc constitués de pixels imageant le mouchetis

et de pixels correspondant à l'extérieur.


65

Figure 26 : Schématisation d'une situation réelle en présence d’un bord à l’intérieur d’un domaine de corrélation : (a) zone d'intérêt ZOI. (b) Etat d'un domaine au bord.

Figure 27 : Schématisation du modèle académique en présence d’un bord à l’intérieur d’un domaine de corrélation : (a) zone d'intérêt ZOI. (b) Etat d'un domaine au bord.

La ZOI est donc discrétisée en domaines de corrélation dont le modèle académique est

basé sur la Figure 27. Un essai de translation sub-pixel est ensuite effectué en utilisant une

platine micrométrique qui permet d’imposer les mêmes déplacements à l'ensemble bande

uniforme et mouchetis. Ainsi on peut évaluer l'erreur de mesure en déplacement en présence

d'une frontière avec une démarche similaire à celle utilisée au chapitre II .

‎VII. Conservation du bord

66

VII.1.1. Réalisation du modèle académique

Pour réaliser le modèle académique simplifié montré sur la Figure 27, il suffit

d’apposer sur une même surface, côte à côte, à la fois une bande uniforme représentant la

zone extérieure et un mouchetis représentant l'échantillon. L'ensemble est porté par une même

platine de mesure. Les domaines de corrélation sont ensuite définis sur le bord en étant à

cheval entre les deux zones en questions.

Néanmoins, de manière à pouvoir comparer les résultats, plusieurs précautions doivent

être prises :

La bande uniforme doit être disposée dans la zone d'intérêt (ZOI) de la même manière

pour tous les domaines de corrélation.

La bande uniforme doit se trouver toujours à la même position pour tous les domaines.

La bande uniforme doit avoir une forme unique en relation avec la forme des

domaines (carrée ou rectangle) pour éviter que certains domaines comportent plus de

zone uniforme que d’autres.

VII.1.2. Paramétrage du bord

Pour décrire le modèle, il est nécessaire de choisir des paramètres géométriques,

physiques et optiques montrés sur la Figure 28.

(a) (b)

Figure 28 : Modèle académique d’une fenêtre sur un bord

Bord

Masque Mouchetis

y

x


67

Différence de niveaux de gris

Il s’agit de la différence des niveaux de gris moyens entre la partie du modèle

académique qui représente la zone de mesure (mouchetis de mesure) et la partie qui

représente la zone de non-mesure (bande noire). Ce paramètre est fortement lié aux gradients

moyens de niveaux de gris au niveau du bord. Il s’écrit :

(25)

Où : représente la moyenne des niveaux de gris donnée par l’histogramme des niveaux de

gris propre à la bande uniforme. L’indice B désignant la partie Bande. représente la moyenne des niveaux de gris donnée par l’histogramme des niveaux de

gris propre au mouchetis. L’indice S désignant la partie Speckle.

Ce paramètre peut varier entre des valeurs négatives et positives, en relation avec

la dynamique de la caméra, de manière à simuler les différents cas possibles pouvant être

rencontrés expérimentalement.

Ecart-type des niveaux de gris de la bande uniforme

Ce paramètre est obtenu par l'histogramme calculé sur la zone uniforme. Il correspond

au contraste. Dans le cas présent, il est proche de zéro voire nul.

Ecart-type des niveaux de gris du mouchetis

Ce paramètre est obtenu par l'histogramme calculé sur le mouchetis. Il correspond au

contraste qui doit rester constant et être suffisamment important pour un bon calcul de la

corrélation.

Taille du domaine D

La taille du domaine a été choisie au chapitre II , Elle reste constante et égale à 32

pixels par 32 pixels.

Largeur du mouchetis d et largeur de la bande uniforme La largeur d du mouchetis et la largeur de la bande uniforme sont liées par :

D = d + (26)


68

Puisque D est fixée, on va examiner l'influence de la taille de la bande uniforme

dans le domaine. Ce paramètre varie entre 0 (configuration de référence) et 28 pixels, ce qui

laisse un mouchetis de 4 pixels de largeur au minimum.

VII.1.3. Mise en œuvre expérimentale

L'objectif est de quantifier les erreurs de mesures en fonction des variations des

paramètres définis précédemment pour une série de déplacements subpixels. Il est donc

nécessaire de pouvoir découpler les effets de chacun des paramètres. Ce n'est pas toujours

facile notamment dans le cas de la variation IB (niveau de gris moyen de la bande uniforme)

qui ne doit pas entrainer de variation de B ni de modification du mouchetis.

Pour réaliser ceci expérimentalement, on réalise la mesure sur le bord d'un mouchetis

avec un arrière-plan uniforme constitué d'un support plan avec une intensité lumineuse

variable en fonction de sa couleur et de l'orientation du projecteur. Ce support joue le rôle de

la bande uniforme. Une attention particulière a été portée sur les conditions d'éclairage pour

rester dans les exigences définies au chapitre II .

Un éclairage très fort permet d’obtenir des saturations de tous les pixels en blanc i.e.

le niveau de gris le plus haut avec un écart-type nul des niveaux de gris caractérisé par un pic

sur la Figure 29.

Il est plus difficile d’obtenir cette configuration avec un éclairage faible. Néanmoins,

avec un éclairage très faible, il est possible d’atteindre sur la bande uniforme un histogramme

présentant un écart-type très faible (voir Figure 30 (c)).


69

(a)

(b) (c)

Figure 29 : Essai sub-pixel de translation avec une zone de corrélation se trouvant au bord et un éclairage du masque le saturant en blanc : (a) Image réelle du domaine et de l’essai. (b) Histogramme

des niveaux de gris de la partie mouchetis du domaine. (c) Histogramme des niveaux de gris de la partie masque du domaine (saturée en blanc).

Mouchetis

Bande uniforme


70

(a)

(b) (c)

Figure 30 : Essai sub-pixel de translation avec une zone de corrélation se trouvant au bord et un éclairage de la zone de non-mesure relativement faible : (a) Image réelle du domaine et de l’essai. (b) Histogramme des niveaux de gris de la partie mouchetis du domaine. (c) Histogramme des niveaux de

gris de la partie masque du domaine.

Pour les niveaux de gris intermédiaires, d’un point de vue technique, il est plus

difficile d’obtenir un pic net fixé sur une valeur bien précise. L’éclairage va forcément faire

apparaître des artéfacts en rapport avec la structure du support de la zone de non-mesure (voir

Figure 31). Ces artéfacts vont confier à la zone de non-mesure un aspect de mouchetis qui

favorise une situation de conflit avec le mouchetis de la zone de mesure. Pour limiter cet effet,

il faut espérer que l’écart-type des niveaux de gris de la bande représentant la zone de non-

mesure reste relativement faible. Le mouchetis doit quant à lui garder, dans la mesure du

possible, toujours la même allure i.e. le même histogramme de niveaux de gris.

Mouchetis

Bande uniforme


71

Figure 31 : Calcul des histogrammes des deux parties d’un domaine de corrélation : (a) Modèle académique. (b1) Partie masque (ou zone de non-mesure). (b2) L’histogramme des niveaux de gris de la partie masque. (c1) Partie mouchetis (ou zone de mesure). (c2) L’histogramme des niveaux

de gris de la partie mouchetis. Caméra 8-bits.

VII.2. Résultats

VII.2.1. Influence de la taille de la bande uniforme

La taille du domaine étant importante (32 pixels de large), pour augmenter

statistiquement le nombre de points de mesure, le décalage entres domaines sera réduit à 4

pixels parallèlement au bord. Il y aura donc du chevauchement entre domaines. En outre, la

résolution spatiale suivant x reste de l’ordre de la taille du domaine et non pas du décalage

entre les domaines (voir Chapitre II ; § VI.4).

Dans la configuration expérimentale utilisée, en rapport avec les niveaux de gris, la

conservation temporelle de l'histogramme (HNG) de la bande uniforme, i.e. et , doit être

satisfaite au mieux. Pour observer l’influence de la taille de la bande, les variations des autres

paramètres doivent être fortement réduites.

La Figure 32 montre la configuration utilisée pour étudier l’influence de sur la

précision de mesure et le Tableau 5 rassemble les valeurs des principaux paramètres.

(a)

(b1)

(b2)

(c1)

(c2)

Mouchetis Bande uniforme


72

(a)

Figure 32 : Essai sub-pixel de translation avec une zone de corrélation se trouvant au bord et un éclairage de la zone de non-mesure relativement faible : (a) Image réelle du domaine et de l’essai.

Grandissement 0,2 mm par pixel

Domaine 32 x 32 pixels2

ZOI 32 x 448 pixels2

décalage dy = 4 pixels

Nombre de domaines 105

Bande uniforme IB = 35,24 B = 26,3

Mouchetis Is = 600,76 s = 100,3Tableau 5 : Valeurs des différents paramètres en rapport avec la ZOI (Masque et Mouchetis), les

domaines de corrélation et l’image (grandissement) associées à la configuration requise pour étudier l’influence de la taille du masque sur la précision de mesure.

La ZOI est répartie en 105 domaines avec chevauchement. La Figure 33 montre

l’erreur systématique ainsi que les erreurs aléatoires pour chaque déplacement imposé quand

=0 pixel. Cette courbe est assimilée à la courbe de référence.


73

Figure 33 : Erreur systématique (( )) et erreur aléatoire en fonction du déplacement pour la partie mouchetis (=0 pixel).

La courbe d’erreur systématique montrée sur la Figure 33 possède bien une forme en

« S » du fait de l'interpolation sur les niveaux de gris. La valeur absolue de l’amplitude de l’erreur systématique est égale à 0,015 pixel pour le

segment [0 ; 0,5] pixel. Elle est de l’ordre de 0,030 pixel pour le segment [0,5 ; 1] pixel.

L’amplitude moyenne de l’erreur est de 0.0256 pixel. L’écart-type de tous les écarts est égal à 0,019 pixel.

Pour observer l’influence de sur l’erreur, nous déplaçons la ZOI (voir Figure 32 (b))

par rapport à la position du bord afin de faire varier la proportion de pixels de la bande

uniforme par rapport au mouchetis.


74

Figure 34 : Erreur systématique ( ) en fonction du déplacement pour différentes largeurs de la bande uniforme ().

D’après la Figure 34, dès qu'une zone uniforme ( > 0) apparait avec une valeur

élevée de NG, l’erreur systématique diminue. On constate aussi qu'elle est faible pour =2

pixels et qu'elle augmente légèrement avec la croissance de sans atteindre la courbe de

référence même quand =28 pixels. Ce constat semble indiquer que la perte de mouchetis au

détriment de la zone uniforme s’avère bénéfique à la corrélation. Mais en fait, la transition

bande/mouchetis provoque un gradient élevé de niveaux de gris qui améliore le calcul du

coefficient de corrélation. Regardons en détails l'ensemble des courbes de la Figure 34 :

Pour la courbe de référence, on dispose de 32 colonnes de pixels i.e. 31 gradients

locaux du mouchetis. Lorsque =2 pixels, 2 gradients locaux du mouchetis cèdent la place à

un gradient local quasi-nul de la bande uniforme et un gradient local fort bande/mouchetis. Ce

dernier gradient local arrive à lui seul non seulement à compenser la perte des deux gradients

locaux initialement présents pour =0 mais en plus à améliorer la précision de mesure par

rapport à la courbe de référence. La Figure 35 schématise les niveaux de gris d'un segment le

long de l'axe x pour les deux cas =0 et =2 pixels permettant ainsi de bien visualiser les

gradients en niveaux de gris.


75

Figure 35 : Profils d'un segment le long de l'axe x pour les deux cas =0 et =2 pixels.

À partir de =2 pixels et jusqu’à =28 pixels, le nombre de gradients locaux du

mouchetis diminue ce qui a pour conséquence l'augmentation de l'erreur systématique. La

Figure 36 montre la courbe d'erreur pour =28 pixels.

Figure 36 : Erreur systématique ( ) en fonction du déplacement pour une largeur du masque de 28 pixels.

La Figure 37 montre l'erreur aléatoire globale en fonction de la largeur de la

bande uniforme. Cette évolution confirme les deux points précédents. De plus, on constate


76

que cette courbe d'erreur possède deux comportements selon . En effet, l'évolution se fait

selon deux pentes différentes : plus ou moins stabilité si [2 ; 20] et progression linéaire

rapide si [22 ; 28]. Finalement pour une largeur > 20 pixels (d<12 pixels) le gradient

fort bande/mouchetis ne compense plus la perte des gradients des niveaux de gris du

mouchetis. Ce constat peut se retrouver sur les courbes (voir chapitre II ; Figure 21) montrant

l'évolution de l'erreur aléatoire globale en fonction de la dimension du domaine où l'erreur

augmente fortement pour une dimension inférieure à 12 pixels.

Figure 37 : Erreur aléatoire ( ) ou l’incertitude globale sur tous les déplacements en fonction de la largeur du masque .

En résumé de ce paragraphe, comme les valeurs de l'erreur aléatoire globale croissent

modérément en fonction de jusqu’à une valeur de =20 pixels, l’expérimentateur dispose

d’une marge de manœuvre assez importante pour positionner les domaines de corrélation par

rapport aux frontières de l'échantillon. Cette marge de manœuvre semble intéressante mais est

certainement conditionnée par les caractéristiques de l'histogramme de la bande uniforme.

Pour cette analyse on a choisi une valeur importante pour NG. Le paragraphe suivant est

consacré à l'analyse de l'influence de ce paramètre sur l'erreur de mesure.

VII.2.2. Influence de la différence de niveaux de gris NG

Le but de ce paragraphe est d'analyser l'influence de la différence des niveaux de gris

NG entre la bande uniforme et le mouchetis. Pour cela, on modifie les valeurs de IB tout en

essayant de limiter les variations de B et en maintenant constantes IS et S du mouchetis. Pour


77

effectuer cette étude, nous avons sélectionnés 6 essais respectant les hypothèses

précédemment formulées (voir Tableau 6).

Configuration expérimentale Numéro de l’essai Masque Mouchetis NG

IM M IS S

Conservation du bord (masque en arrière plan)

1 35 9 601 100 -566

2 96 8 615 117 -519

3 190 17 572 91 -382

4 495 40 607 83 -112

5 682 27 652 106 +30

6 1010 8 620 98 +390

Tableau 6 : Moyenne et écart-types des niveaux de gris des histogrammes des niveaux de gris de la partie masque (IM,M) et de la partie mouchetis (IS,S) pour des essais respectant « a priori » la

configuration « conservation du bord ». NG étant la différence des moyennes de niveaux entre la partie masque et la partie mouchetis.

Figure 38 : Incertitude globale ( ) sur tous les déplacements en fonction de la largeur pour les six essais.

A la vue de la Figure 38, la première chose observée est que les erreurs engendrées par

les différentes configurations sont du même ordre de grandeur jusqu’à une largeur de 16

pixels environ. Au-delà de cette valeur dite critique, deux configurations affichent des erreurs

importantes. Ce sont les essais 4 et 5 concernés par les valeurs les plus élevées de B et les


78

valeurs absolues de NG les plus basses On observe aussi que les configurations dont les

NG extrêmes (NG=-566 et NG=+390) sont assez équivalentes et se rejoignent.

Cependant, il est difficile de déduire une tendance nette sur l’évolution de l’erreur σα glob

en fonction de NG ou même de (=B-S).

Compte tenu des données à notre disposition, tout ce qui est possible de faire pour

l’instant est de séparer en deux groupes, selon les erreurs engendrées, toutes les configurations

à disposition:

Le groupe 1 des deux configurations qui engendrent le plus d’erreurs.

Le groupe 2 des configurations qui donnent des erreurs relativement faibles.

Ainsi, nous pouvons dire qu’une tendance existe entre ces deux groupes de

configurations en fonction de NG et de B. Cette tendance se traduit par le fait que plus NG

diminue et plus B augmente, plus les erreurs sont importantes. Est-ce le cas pour les

différentes configurations d’un même groupe ?

Compte tenu de la Figure 38, la réponse est a priori non pour le groupe 1 car plus NG

augmente, moins l’erreur est importante. Néanmoins, pour ce groupe, ce qui en ressort plutôt

est que plus B augmente, plus l’erreur augmente. Par conséquent, à ce stade de la discussion,

la question qui peut se poser est de savoir si cette tendance est due seulement à l’écart-type de

l’histogramme de la bande uniforme B ou qu’elle est en rapport avec NG uniquement en

intégrant un autre phénomène perturbateur ? La réponse à cette question vient peut-être de

l'analyse du deuxième groupe de configurations car il possède plus de données.

Pour le groupe 2, est-ce que la tendance erreur en fonction de NG et de B existe?

Existe-t-il un rôle de B dans le bruitage de la tendance recherchée ?

Pour répondre à ces questions et tout d’abord à la deuxième question, la Figure 38

apporte peut être un indice. En effet, la figure en question montre que, bien que la partie

masque de la configuration numéro 2 (NG=-519) affiche un écart-type faible (B =8)

comparée à la configuration numéro 3 (NG=-382) où B=17, l’erreur engendrée par la

configuration numéro 3 s’avère être moins importante. En plus, σα glob3 est supérieure à σα glob2

bien que |NG3| soit inférieure à |NG2|. En ne se fiant qu’à ce résultat, il est presque possible

de dire qu’il n’existe ni de tendance en fonction de B ni en fonction de NG. Cependant, une

autre comparaison incite fortement à dire le contraire. Malgré des NGs très éloignées et


79

situées aux deux extrêmes de l’échelle des NGs (NG1=-566 et NG6=+390), les valeurs

d’erreurs σα glob1 et σα glob6 sont presque égales. Ce résultat ne peut être le fruit du hasard et doit

être analysé scrupuleusement. Si ces deux courbes se sont presque superposées c’est que les

deux configurations qui les engendrent sont en quelque sorte quasi- équivalentes. Quelle est

donc la nature de cette équivalence ?

Ces deux courbes se superposent peut être grâce à des B relativement proches

(B1=B6). Pour bien comprendre ce qui se passe, il convient de tenir compte de plus de

paramètres à la fois. La configuration numéro 6 apporte un indice. Sa zone masque comporte

l’écart-type B le plus faible des configurations associées à l’intensité moyenne des niveaux de

gris IB la plus élevée de toutes les configurations. Sa bande uniforme est caractérisée par un

histogramme en forme de pic de Dirac visible sur l’image à l’état initial de la configuration

numéro 6 (voir Figure 29(c)) similaire à l’histogramme de la configuration numéro 1.

L’équivalence entre les deux cas est plutôt une équivalence en termes d’aspects

d’histogramme de la bande uniforme. Par conséquent, nous pouvons dire que la tendance de

l'erreur en fonction de NG ne peut être observée que si les conditions qui permettent cette

observation sont réunies à savoir une bande uniforme quasiment non-bruitée.

Maintenant que l’existence d’une tendance « erreur en fonction de NG » est plus ou

moins prouvée grâce à la confrontation configuration 1-configuration 6, une tentative pour

expliquer les résultats issus des autres configurations peut être entamée à condition que leurs

configurations soient « semblables » en terme histogramme.

En effet, si la configuration numéro 3 affiche l’erreur la plus faible, la bande est loin

d’être uniforme et son écart-type B3 ne ressemble pas aux pics des deux configurations 1 et 6.

Il est difficile de la comparer aux autres configurations. Cependant malgré un léger bruit ou

pseudo-mouchetis figurant sur la bande, la mesure par CIN se comporte plutôt bien.

Par ailleurs, en suivant toujours la même logique, il est possible d’expliquer d’autres

résultats incompréhensibles jusqu’alors. En effet, la comparaison entre deux configurations

ayant des NG assez proches devrait aussi se conclure par un rapprochement des erreurs.

Cependant, en comparant les configurations 1 et 2, on constate qu'il n'en est pas ainsi, alors

que les différences de niveaux de gris sont équivalentes (NG|=-566 et NG2=-519) on

obtient σα glob2 > σα glob1. Ceci peut s'expliquer par le fait que la bande de la configuration 2 est

certainement moins uniforme (présence d'un mouchetis) que la bande de la configuration 1


80

d’où la supériorité en terme d’erreur σα glob de la configuration numéro 2 par rapport à la

configuration numéro 1.

L’implication de ce pseudo-mouchetis dans l’augmentation de l’erreur de mesure peut

également être prouvée d’une manière encore plus nette à l’aide d’une seule configuration.

Prenons la configuration numéro 6. Pour illustrer notre propos, nous augmentons la hauteur de

la ZOI en intégrant des zones bruitées donc contenant un mouchetis (voir Figure 39).

Figure 39 : Elargissement de la ZOI de la configuration numéro 6 (NG6=+390) en vue d’intégrer les

zones bruitées se trouvant au-dessus et en-dessous de la ZOI initiale.

L’erreur σα glob6 en fonction de est tracée sur la Figure 40 pour les deux ZOI. Il est

ainsi possible de voir à quel point la mesure se dégrade à cause des zones de pseudo-

mouchetis en passant de l’ordre du centième de pixel au pixel en présence de ces zones pour

=30 pixel bien entendu (Tableau 7).


81

Figure 40 : Représentation graphique des valeurs d’incertitude globale de mesure ( ) en fonction de la taille du masque () entre un masque sans bruit de la configuration numéro 6 (NG6=+390) et un

masque avec bruit de la même configuration.

Tableau 7 : Comparaison des valeurs d’incertitude globale de mesure ( ) pour différentes tailles de masque () entre une bande sans bruit de la configuration numéro 6 (NG6=+390) et une bande

avec bruit de la même configuration.

VII.2.3. Existence d’un minimum d’erreur aléatoire globale

A ce stade de la discussion, il est intéressant de vérifier si le minimum d’erreur qui est

apparu en fonction de (voir Figure 37) pour NG extrémum et qui a été argumenté

précédemment (§ VII.2.1) peut être retrouvé pour toutes les configurations. Pour cela, à partir

de la Figure 41, on va se focaliser sur les courbes d’erreur entre =0 et =4 pixels valeurs

correspondant à l'apparition du bord

00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

11.11.2

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32‎(pixel)

σ α g

lob

(p

ixe

l)

ΔNG=+390 (masque bruité)ΔNG=+390 (masque saturé)

p(Pixel)

Configuration 6 (masque saturé) Configuration 6 (masque bruité)

16 0,013 0,016

18 0,0132 0,02

20 0,015 0,025

22 0,018 0,04

24 0,016 0,08

28 0,019 0,4

30 0,02 1,13

σα glob

(pixel)

(pixel)


82

En regardant la Figure 41, le comportement des courbes d’erreurs semble montrer en

général des minimas locaux pour =1 pixel ou pour =2 pixels. Cela peut se justifier par

l’expérimentation. En effet, il n’est pas évident de voir nettement la frontière entre le

mouchetis et la zone uniforme de manière à aligner le masque sur le bord lorsque IB est très

faible. Ainsi un alignement au centième de millimètre près entre mouchetis et grille CCD de

la caméra est quasi-impossible à obtenir. Il en résulte un bord légèrement incliné et en

l’occurrence réparti sur une colonne de deux pixels. Par conséquent, pour cette étude, le bord

ne sera complètement intégré au domaine que pour =2 pixels.

Figure 41 : Incertitude globale ( ) en fonction de la largeur du masque dans un intervalle de valeurs situées entre 0 et 4 pixels.

On constate que toutes les configurations possèdent un minimum soit pour =1 pixel

soit pour =2 pixels, sauf la configuration 6, qui donne une erreur toujours croissante.

Pour bien comprendre ce qui se passe, nous allons inspecter les erreurs locales de la

configuration 6. L’erreur locale σα loc en fonction du déplacement imposé sera tracée pour trois

valeurs différentes de i.e. =0, 1 et 4 pixels.

En observant la Figure 42, il s’avère qu’au passage de =0 pixel à =1 pixel, une

réelle amélioration de l’erreur locale (σα loc par déplacement imposé) a lieu pour tous les

déplacements ou presque. En revanche, quand passe de 1 à 4 pixels, l’erreur σα loc pour =4

pixels passe quasiment tout le temps au-dessus de σα loc pour =1 pixel (voir Figure 42). Bien

qu’en observation locale, un minimum d’erreur existe en fonction de pour =1 pixel, il

semble être absent lorsque l’erreur est observée en global. On note au passage que même

l’erreur σα loc pour =4 pixels est globalement inférieure de σα loc pour =0 pixel. Ainsi, nous

pouvons dire que la tendance générale observée pour les autres configurations pour σα glob

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018

0.02

0 1 2 3 4

‎(pixel)

σ α g

lob

(p

ixe

l)

ΔNG=-566

ΔNG=-519

ΔNG=-382

ΔNG=-112

ΔNG=+30

ΔNG=+390(masque saturé)

(pixel)


83

semble être vérifiée uniquement en local pour la configuration numéro 6. Le fait que la

tendance ne soit pas observable en global est probablement dû aux variations locales très

importantes et incompréhensibles de σα loc dans les passages de zéro à 0,1 pixel et de 0,9 à un

pixel en termes de déplacements imposés.

Ainsi, de manière générale, nous pouvons dire qu’un minimum d’erreur existe bel-et-

bien lors de la rentrée du bord dans le domaine de corrélation. Nous pouvons dire également

que s’il y a des divergences entre les erreurs locales et globales, il faut se fier à l’évolution de

l’ensemble des σα loc uniquement. En effet, Comme nous venons de le voir, l’indicateur

d’erreur globale observé peut être biaisé par les problèmes de minimisation assez fréquents en

zéro et un pixel [84] et qui sont caractérisés par la formation de deux populations de points

pour les déplacements entiers.

Figure 42 : Incertitude locale ( ) en fonction du déplacement pour la configuration 6 et pour une largeur de bande entre 0 et 4 pixels.

Maintenant, il serait intéressant d’observer l’influence sur l’erreur systématique de la

présence de ce bord à l’intérieur du domaine.

VII.2.4. Existence d’un minimum d’erreur systématique globale

On reprend individuellement les six configurations pour lesquelles on regarde

l'influence de sur l'erreur systématique.

Configuration 1 : ΔNG=-566


84

La configuration expérimentale qui donne les erreurs de la Figure 43 est la même que

celle utilisée précédemment pour montrer l’influence de la taille de la zone de non-mesure

(voir Figure 34).

Figure 43 : Erreur systématique ( ) en fonction du déplacement pour différentes valeurs de largeur de masque correspondant à la configuration N°1.

Tableau 8 : Valeurs de la largeur de bande () et valeurs d’amplitudes des courbes d’erreur systématique pour la configuration N°1 (NG1=-566).

Pour ΔNG=-566, il est nettement visible sur la Figure 43 que, quel que soit , l’aspect

en « S » des courbes en fonction du déplacement imposé est conservé. En moyenne, est de

l’ordre de 0.0186 pixel avec le bord et de 0.0256 pixel sans le bord (voir Tableau 8).


85

Le bord semble être bien géré par l’interpolation et en l’occurrence améliore la

précision car l’erreur systématique baisse à l’entrée du bord dans le

domaine lors de la transition de =0 pixel à =2 pixels. Entre =2 pixel et =28 pixels, varie relativement peu, de l’ordre du 3/1000ème de pixel. Par ailleurs, l’écart des entre =0

pixel et =30 pixels est de l’ordre de +5/10000ème de pixel ce qui est vraiment très négligeable

aussi. La contribution du bord dans l’amélioration de la précision compense jusqu’à =30

pixels de masque i.e. une perte de 30 pixels de largeur en mouchetis et de leurs gradients.


Pour ΔNG=-519, la forme en « S » de l'erreur reste plus ou moins observable (voir

Figure 44) quelle que soit la valeur de . Cependant, elle est bruitée probablement à cause

d’un conflit entre le mouchetis de mesure et le pseudo-mouchetis sur la bande. En effet, la

moyenne des est de l’ordre de 0.0245 pixel avec le bord et = 0.0241 pixel sans le bord

(Tableau 9). Il est possible de dire que le bord n'altère pas trop la précision de mesure.


ΔNG=-519

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Déplacement imposé (pixel)

Err

eu

r s

ys

tém

ati

qu

e

(pix

el)

=0px=2px=4px=8px=12px=16px=18px=20px=22px=24px=28px=30px


86

Tableau 9 : Valeurs de taille du masque () avec les valeurs d’amplitudes des courbes d’erreur systématique qui leurs correspondent pour la configuration N°2 (NG2=-519).


En outre, pour ΔNG=-382, bien que la forme en « S » des courbes d’erreur

systématique soit encore visible (voir Figure 45). La contribution du bord à l’amélioration de

la précision est palpable lors de la transition =0 pixel à =1 pixel car baisse quand

passe de 0 pixel à 1 pixel (Tableau 10). À partir de =1 pixel, varie relativement peu

jusqu’à =12 pixels. De =16 pixels à =28 pixels, baisse en moyenne par rapport aux

valeurs précédentes. Ensuite, rejoint la moyenne des valeurs de la courbe pour entre 1

pixel et 12 pixels. Les données sont non-cohérentes avec la logique expliquée précédemment.

Après que ait atteint un minimum en =1 pixel annonçant la rentrée du bord dans le

domaine, la précision devrait se dégrader avec le remplacement du vrai mouchetis par du

pseudo-mouchetis.


87



Pour aller plus loin dans l'analyse, la comparaison entre les courbes pour les différents

va se faire en terme d’écart-type des écarts entre et (σα loc) en fonction de . Pour cela, l’écart-type local σα loc est tracé pour =0 pixel, pour =1 pixel (premier

minimum local atteint en terme de ) puis pour =2 pixels (premier point après le premier

minimum) et enfin pour =28 pixels (deuxième minimum local atteint en terme de )

(Figure 46).

ΔNG=-382

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1


Err

eu

r s

yté

ma

tiq

ue

(pix

el)



88

a)

b)

Figure 46 : Comparaison des graphiques d’incertitudes locales ( ) en fonction du déplacement pour la configuration numéro 3 (NG3=-382) entres : =0 et 1 pixel (a). =2 et 28 pixels (b).

En observant la Figure 46(a), il s’avère qu’entre =0 pixel et =1 pixel, une réelle

amélioration a eu lieu en terme d’erreur locale pour tous les déplacements ou presque. En

revanche, la courbe d’erreur σα loc pour =28 pixels est quasiment tout le temps au-dessus de

σα loc pour =2 pixels (voir Figure 46(b)). Cependant, les variations des différents σα loc d’un

déplacement imposé à un autre pour =28 pixels sont faibles comparées au même type de

variations observé pour =2 pixels. Cela a pour effet de surtout « gonfler » les indicateurs

globaux de précision et σα glob. Ainsi, σα glob va montrer une amélioration de la précision dans

le passage de =2 pixels à =28 pixels bien qu’en local, σα local dit le contraire. Cela explique

ΔNG=-382

0

0.003

0.006

0.009

0.012

0.015

0.018

0.021

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1


σα‎loc‎(pixel)

=2px=28px=2px =28px

ΔNG=-382

0

0.003

0.006

0.009

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1


σα‎loc‎(pixel)

=0px=1px=0px =1px


89

probablement les aberrances observées précédemment dans les résultats d’erreur

systématique.


Pour ΔNG=-112, le conflit de mouchetis est plus prononcé ce qui a pour effet de faire

disparaître l’aspect en « S » des courbes d’erreur systématique au fur et à mesure que la

quantité de mouchetis de la bande augmente (voir Figure 47). En moyenne, est de l’ordre

de 0,0345 pixel et de 0,0116 pixel lorsque = 0 (Tableau 11). La contribution du bord à

l’amélioration de la précision est donc négligeable par rapport au problème suscité par le

conflit entre mouchetis. Par ailleurs, un minimum semble être atteint en =2 pixels proche de

la valeur atteinte en =1 pixel. D'où σα glob semble être plus sensible à la rentrée du bord dans

le domaine.


ΔNG=-112

-0.2-0.18-0.16-0.14-0.12

-0.1-0.08-0.06-0.04-0.02

00.020.04

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1


Err

eu

r s

yté

ma

tiq

ue

(pix

el)



90


Configuration 5 : ΔNG=+30

Pour ΔNG=+30, le conflit de mouchetis est relativement moins prononcé que dans le

cas de la configuration 4 mais il est bien présent tout de même. La disparition de l’aspect en

« S » des courbes d’erreur systématique au fur et à mesure que augmente semble confirmer

cette version des faits (voir Figure 48). En effet, moyen est de l’ordre de 0.0234 pixel et de 0.0160 pixel pour = 0 (voir Tableau 12). La contribution du bord à l’amélioration de la

précision ne compense pas le problème assez récurent de conflit entre mouchetis.


ΔNG=+30

-0.16

-0.14

-0.12

-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1


Err

eu

r s

ys

tém

ati

qu

e

(pix

el)



91

Tableau 12 : Valeurs de tailles du masque () avec les valeurs d’amplitudes des courbes d’erreur systématique qui leurs correspondent pour la configuration N°5 (NG5=+30).

Configuration 6 : ΔNG=+390

Pour ΔNG=+390, l’aspect en « S » est à nouveau retrouvé (voir Figure 49). moyen

est de l’ordre de 0.02 pixel et = 0.0136 pixel lorsque = 0 (Tableau 13). Des problèmes de minimisation créent deux populations de points pour des déplacements imposés nuls et

égal à 1 pixel. En effet, l’erreur systématique augmente pour =0

pixel à =2 pixels. Ensuite, entre =4 pixels et =12 pixels, une baisse de a lieu puis continue de croître de =12 pixels jusqu’à la fin. Par ailleurs, une simple comparaison des deux Figure 49(a) et (b) montre que la saturation de la bande "uniforme" induit un décalage négatif des valeurs d'erreurs et un mouchetis présent dans la bande induit un décalage en

fonction du déplacement imposé et de .

Tableau 13 : Valeurs de tailles du masque () avec les valeurs d’amplitudes des courbes d’erreur systématique qui leurs correspondent pour la configuration N°6 (NG5=+390).


92

(a)

(b)

Figure 49 : Erreur systématique ( ) en fonction du déplacement pour différentes valeurs de correspondant à la configuration N°6 : (a) bande uniforme, (b) bande bruitée.

ΔNG=+390‎(masque‎saturé)

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1


Err

eu

r s

yté

ma

tiq

ue

(pix

el)


ΔNG=+390‎(masque‎bruité)

-0.14

-0.12

-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1


Err

eu

r s

yté

ma

tiq

ue

(pix

el)



93

VII.3. Conclusion 1

Il n’est pas toujours évident de dégager des tendances en fonction de la largeur de la

bande ou de la différence des niveaux de gris ΔNG. En effet, les tendances ne peuvent être

observables qu’entre les configurations dont les conditions expérimentales sont relativement

proches.

Ainsi, il a été établi et notamment grâce à la confrontation bande "uniforme" bande

bruitée de la configuration 6 que l’existence d’un pseudo-mouchetis sur la partie bande créait

des situations de conflit entre mouchetis. Il s’avère que ce conflit augmente énormément

l’amplitude de l’erreur systématique. Ainsi, deux situations issues d’une même configuration

deviennent incomparables à cause de ce bruit. Quand ce pseudo-mouchetis disparait, les

courbes d’erreurs globales associées à des ΔNG presque opposés, se rapprochent.

Par ailleurs, une tendance en fonction de a pu être établie pour toutes les

configurations (avec ou sans présence de mouchetis dans la bande). En effet, pour chaque

configuration l’amplitude de l’erreur systématique pour =0 pixel et la moyenne des

amplitudes des erreurs systématiques pour les autres ont été comparées. Il s’avère que, de

manière générale, la moyenne des amplitudes de l’erreur systématique est plus importante

avec =0 pixel sauf quand le pseudo-mouchetis est visible (Tableau 14). On note au passage

que ce résultat rejoint la conclusion de la confrontation masque saturé-masque bruité de la

configuration 6 (Tableau 13).


94

Tableau 14 : Valeurs des différences des moyennes de niveaux de gris entre la partie masque et la partie mouchetis (ΔNG) associées au degré de visibilité du pseudo-mouchetis. Valeurs des amplitudes

d’erreurs systématiques correspondantes (avec ou sans masque).

En plus, il s’avère que les précisions locale et globale s’améliorent en général avec

l’ajout d’un gradient bande-mouchetis dans le domaine. Plus le gradient est important,

meilleure est la précision (voir Tableau 15 et Tableau 16). Deux types de minima globaux

σα glob= f() et local σα loc= f() ont pu être mis en évidence pour =1 ou 2pixels. Ces minima

sont d’autant plus marqués que |ΔNG| est grand et d’autant moins visibles que la minimisation

aux déplacements entiers causent des problèmes (voir Tableau 17 et Tableau 18).

Tableau 15 : Valeurs des différences des moyennes de niveaux de gris entre la bande et le mouchetis

(ΔNG). Amélioration de la précision globale par intégration de la bande dans la ZOI.

Tableau 16 : Différences des moyennes de niveaux de gris entre la bande et la partie mouchetis. Amélioration de la précision locale par intégration du masque dans la ZOI.

N° de Configuration ΔNG Améliration de la précision locale

(Par ajout de gradient masque-mouchetis)

1 -566 ++++

2 -519 +++

3 -382 ++

4 -112 Négligeable

5 +30 Aucune

6 +390 ++++


95

Tableau 17 : Influence du gradient des niveaux de gris au bord sur la variation d’incertitude globale

pour le tronçon [0 ; min], min étant la valeur de pour laquelle l’incertitude globale atteint un minimum local lors de l’insertion du gradient bande-mouchetis dans le domaine.

Tableau 18 : Influence du gradient des niveaux de gris au bord sur la variation d’incertitude locale pour le tronçon [0 ; min]. min étant la valeur de pour laquelle l’incertitude locale par déplacement imposé atteint un minimum local lors de l’insertion du gradient bande-mouchetis dans le domaine.

N° de Configuration ΔNG Existe ce d'u i i u σ α local=f(p)

(en 1 ou 2 pixels)

1 -566 ++++

2 -519 +++

3 -382 ++

4 -112 +

5 +30 -

6 +390 ++ (sauf pour ux=0 et 1 pixel)

‎VIII. Altération du bord

96

VIII. Altération du bord

Cette deuxième étude a pour but de montrer l'influence de la formation d’un bord à

l’intérieur d’un domaine de corrélation, comme le montre la Figure 25(c). Lors de la

formation d’un bord, les mouchetis évoluent et nous allons observer l’influence de cette

altération du bord sur la précision de mesure. Pour cela, un essai mécanique de translation

sera effectué en prenant soin de travailler sur le bord de l'échantillon comme pour l'étude

précédente. Mais, pour ce cas, la bande uniforme reste fixe tout au long de l’essai tandis que

le mouchetis placé derrière la bande est translaté. Il y a donc apparition d'un nouveau

mouchetis sur le bord, c'est ce que par la suite on va appeler "altération du bord".

VIII.1. Procédure expérimentale

Pour obtenir cette configuration, on utilise la même procédure expérimentale et les

mêmes outils d'analyse. Le modèle académique est légèrement modifié pour provoquer

l'apparition d'un nouveau mouchetis sur le bord dans la zone d'études.

VIII.1.1. Réalisation du modèle académique

Pour créer un bord fixe par rapport au mouchetis, à chaque étape du déplacement

imposé, on positionne une zone fixe uniforme et numérique sur le mouchetis (voir Figure 50).

Cette zone est positionnée strictement au même endroit et sera donc appelée "masque" dans la

suite de l'étude. Néanmoins, cette zone étant créée par simulation, il est possible de faire en

sorte qu’un pseudo-mouchetis soit simulé pour approcher le problème de conflit de

mouchetis. Ce pseudo-mouchetis sera mieux contrôlé qu’un bruit qui apparait par hasard et

dont les propriétés ne peuvent pas être modifiées.


97

Figure 50 : Schématisation du modèle académique avec altération du bord.

VIII.1.2. Paramétrage du bord

Figure 51 : Modèle académique 3D d’une fenêtre sur un bord avec à droite le mouchetis de la zone de mesure et à gauche le masque.

Les paramètres définis précédemment vont tous être utilisés (voir Figure 51).

Cependant l'indice B (représentant les paramètres de la bande uniforme) est remplacé par

l'indice M comme "Masque". Un paramètre supplémentaire en rapport avec la notion conflit

de mouchetis est défini par le rapport des écarts-types des niveaux de gris :

(27)

Bord

Masque Mouchetis

y

x

Masque fixe devant

le mouchetis Mouchetis


98

VIII.1.3. Mise en œuvre expérimentale

Bien que d’apparence plus difficile, le cas académique associé à la configuration

« altération du bord » est techniquement plus simple à obtenir que celui proposé dans le cadre

de la configuration « conservation du bord ». Tous les problèmes en rapport avec les

conditions d’éclairage du mouchetis et du masque à cause de la proximité des deux zones à

étudier qui faisaient que l’HNG du mouchetis était souvent affecté par les variations des

paramètres liées aux changements de l’HNG du masque qui se trouvait à côté, vont pouvoir

être évités. Les problèmes d’apparition de « faux mouchetis » seront également éliminés. En

effet, le masque étant simulé et son HNG contrôlé, il n’y aura plus aucune raison pour que

l’éclairage du mouchetis à proximité soit perturbé et surtout plus de raisons d’apparitions de

« faux mouchetis ».

Figure 52 : Définition des ZOI pour le cas « altération de bord ».

Par ailleurs, bien que le masque soit simulé, le mouchetis lui reste réel. D’un point de

vue technique, la configuration « altération du bord » s’obtient en créant sur des images

réelles translatées issues d’un essai réel de translation, un masque dont la position est toujours

fixe au pixel près (voir Figure 52). Pour une meilleure analyse statistique de l'erreur de

mesure, le nombre de domaine de corrélation (32 x 32 pixels²) est augmenté en définissant

une ZOI contenant trois bandes verticales. On conserve aussi la valeur de 4 pixels pour les

décalages verticaux. Ainsi, quand le mouchetis est translaté, le masque reste fixe et laisse

x

Masque fixe

Mouchetis mobile

Modèle académique

y

x


99

apparaître d’un côté de nouveaux grains et fait disparaitre autant de l’autre côté. Selon le sens

de translation, ces grains peuvent apparaitre d’un côté et disparaitre de l’autre. L’apparition ou

la disparition des grains va induire un changement des gradients locaux au niveau du bord i.e.

une « altération du bord ». Suivant le même principe, le même effet aurait pu être obtenu à

l’aide d’un masque réel, en le plaçant devant l’image du mouchetis au cours de l’essai de

translation. Cependant, les mêmes problèmes rencontrés lors de la création d’un masque réel

dans la configuration « altération du bord » risquent d’émerger. De la même manière, il serait

difficile de distinguer entre les effets d’ordre « artéfacts » et ceux qui sont dus à l’« altération

du bord » proprement dite.

VIII.2. Résultats

VIII.2.1. Influence de la taille du masque

Pour cette étude d’influence sur la précision de mesure, on fixe le masque tel que IM=0

et M=0. et la Figure 53 montre l'histogramme du mouchetis où IS=580 et S=140.

Figure 53 : Histogramme des niveaux de gris de la partie mouchetis d’un domaine au bord (IS=580 et S=140).

La taille du masque varie de 0 à 24 pixels. Comme précédemment, la courbe de

référence est obtenue pour =0 pixel, elle est montrée sur la Figure 54. La courbe d’erreur

systématique possède bien la forme en « S ». Pour cette courbe, l’amplitude moyenne est

de 0.0316 pixel et l'erreur aléatoire globale σα glob est de 0.0237 pixel.


100

Figure 54 : Erreur systématique ( ) et erreur aléatoire ( en fonction du déplacement pour =0pixel.

Si la valeur de est non nulle (voir Figure 55) l'erreur systématique augmente en

fonction du déplacement imposé. De plus pour un déplacement donné, cette erreur croit avec

.

Figure 55 : Erreur systématique ( ) en fonction du déplacement pour différentes valeurs de largeur de masque correspondant à une valeur de différence de moyennes de

niveaux de gris entre masque et mouchetis de -580.

A chaque translation, la CIN est confrontée à un problème de nouveaux gradients qui

n’existaient pas à l’état de référence et qui sont potentiellement corrélables. L’erreur est

d’autant plus importante que ce gradient masque-mouchetis est très fort. Ensuite, plus

augmente, plus l’erreur est importante car des pixels de la zone mouchetis sont remplacés par

des pixels de niveaux nuls (aucun gradient). Par ailleurs, la moyenne des est de l’ordre de

=0px


101

0.3064 pixel si ≠0 et = 0.0316 pixel pour =0 (Tableau 19). La variation la plus

importante de cette amplitude a tout de même eu lieu lors de la rentrée du bord dans le

domaine de corrélation (entre =0 pixel et =2 pixels y compris).

Par ailleurs, l’évolution de σα loc semble augmenter avec l’évolution de l’erreur

systématique, ce qui peut se justifier par les mêmes raisons qui sont à l’origine de l’erreur

systématique (voir Figure 55).

Tableau 19 : Valeurs de taille du masque () avec les valeurs d’amplitudes des courbes d’erreur systématique qui leurs correspondent pour NG=-580.

VIII.2.2. Influence du niveau de gris du masque

L’influence du niveau de gris IM du masque va être étudiée en termes de différence

des niveaux de gris NG entre masque et mouchetis (Is = 580 et s = 140). Les variations

dans l’histogramme du masque concernent l’intensité moyenne des niveaux de gris IM

comprises entre 0 et 980 pour M toujours égal à 0. Pour effectuer cette étude, nous avons

réalisé 6 essais dont les paramètres sont regroupés dans le Tableau 20.

Configuration expérimentale Numéro de l’essai Masque Mouchetis NG

IM M IS S

Masque mobile (Arrière-plan)

1 0 0 580 140 -580 2 180 0 580 140 -400

3 380 0 580 140 -200 4 580 0 580 140 0 5 780 0 580 140 +200 6 980 0 580 140 +400

Tableau 20 : Caractéristiques des essais pour l'analyse de l'influence de IM.

Chaque configuration est analysée séparément, le cas ΔNG=-580 a déjà été exposé

dans le paragraphe précédent.

ΔNG=-580 p(pixel) (pixel)

0 0,0316

2 0,2495

4 0,2574

8 0,2732

12 0,2954

16 0,3191

20 0,3560

24 0,3940

pixel)


102

Etude pour NG = -400

Les courbes d'erreurs sont montrées sur la Figure 56 et d'après le Tableau 21, on

constate que la moyenne des est de l’ordre de 0.21 pixel si ≠0 et = 0.0316 pixel pour

=0. L’écart entre la moyenne des (avec bord) et (sans bord) diminue du 1/3 à peu

près en passant de ΔNG=-580 à ΔNG=-400. Cependant, il faut aller plus loin dans les valeurs

imposées à ΔNG pour savoir s’il existe une tendance dans l’évolution de l’amplitude de

l’erreur systématique en fonction de ΔNG. D’autres courbes pour d’autres ΔNG sont

nécessaires pour affirmer ou infirmer cette tendance.

Figure 56 : Erreur systématique ( ) en fonction du déplacement pour différentes valeurs de largeur de masque pour NG=-400.


103


Etude pour NG = -200

Au vu des résultats de la Figure 57, le rapprochement entre l’ensemble des courbes

d’erreur systématique pour les différents imposés par rapport à la courbe de référence se

confirme. D’après le Tableau 22, La moyenne des est de l’ordre de 0.0971 pixel avec le

bord et est égale à 0.0316 pixel sans le bord. Ces valeurs confirment pour l'instant la

tendance précédente.

Configuration N° 2 p(masque fixe) (pixel) (pixel)

0 0,0316

2 0,1581

4 0,1638

8 0,1759

12 0,1952

16 0,2153

20 0,2577

24 0,3042

(pixel)


104


Figure 57 : Erreur systématique ( ) en fonction du déplacement pour différentes valeurs de largeur de masque pour NG=-200.

Etude pour NG = 0

D’après la Figure 58, le rapprochement entre l’ensemble des courbes d’erreurs

systématiques pour les différents imposés par rapport à la courbe de référence se confirme

davantage. Selon le Tableau 23, la moyenne des est de l’ordre de 0.0744 pixel avec le

bord et est égale à 0.0316 pixel sans le bord. Pour ΔNG = 0, l’écart entre la moyenne des (avec bord) et (sans bord) semble être au minimum. Cet écart ne peut pas être nul car le

domaine de corrélation possède une zone fixe et une zone mobile (mouchetis).


0 0,0316

2 0,0687

4 0,0695

8 0,0753

12 0,0860

16 0,0966

20 0,1248

24 0,1586

(pixel)


105

Figure 58 : Erreur systématique ( ) en fonction du déplacement pour différentes valeurs de largeur de masque pour NG=0.

Tableau 23 : Valeurs de taille du masque () avec les valeurs d’amplitudes des courbes d’erreur systématique qui leurs correspondent pour NG=0.

Etudes pour NG = +200 et NG = +400

Pour ces deux cas on se limite seulement à trois valeurs de pour comparer les

tendances aux valeurs positives de NG par rapport aux valeurs négatives. L’erreur

systématique est tracée uniquement pour trois valeurs de =8 pixels, =16 pixels et =24

pixels.


0 0,0316

2 0,0269

4 0,2555

8 0,0288

12 0,0351

16 0,0443

20 0,0544

24 0,0759

(pixel)


106

Figure 59 : Erreur systématique ( ) en fonction du déplacement pour différentes valeurs de largeur de masque pour NG=+200.

Figure 60 : Erreur systématique ( ) en fonction du déplacement pour différentes valeurs de largeur de masque pour NG=+400.


107

Tableau 24 : Valeurs de taille du masque () avec les valeurs d’amplitudes des courbes d’erreur systématique qui leurs correspondent pour NG=+200.

Tableau 25 : Valeurs de taille du masque () avec les valeurs d’amplitudes des courbes d’erreur systématique qui leurs correspondent pour NG=+400.

La Figure 59 et la Figure 60 ainsi que le Tableau 24 et le Tableau 25 confirment

conjointement la tendance de l’erreur systématique en fonction de . En effet, pour un même

ΔNG, plus augmente, plus l’erreur augmente.

Par ailleurs, en comparant d’une part les résultats du Tableau 21 et du Tableau 24 et

d’autre part les résultats du Tableau 22 et du Tableau 25, il en sort que l’amplitude moyenne

de l’erreur systématique présente, pour une valeur fixée de , une symétrie en fonction de

ΔNG. Autrement dit : . La Figure 61 confirme graphiquement cette

symétrie de l’erreur systématique en fonction de ΔNG.


0 0,0316

8 0,0831

16 0,1200

24 0,1801


0 0,0316

8 0,1851

16 0,2372

24 0,3158

(pixel)

(pixel)


108

Figure 61 : Erreur systématique ( ) en fonction du déplacement pour différentes valeurs de (ΔNG) correspondant à une largeur de masque 8 pixels.

VIII.2.3. Influence du bruit dans la partie masque

Il est intéressant de voir maintenant quelle est l’influence de la présence d’un bruit

blanc dans la partie masque. En effet, dans l’étape qui suit l’apparition d’une fissure à

l’intérieur d’un domaine de corrélation, deux configurations de bruit peuvent exister :

Un bruit aléatoire qui se conserve d’un état à un autre représentant un arrière-plan fixe.

Un bruit aléatoire qui ne se conserve pas d’un état à un autre représentant une

altération du matériau ou des conditions d'éclairage.

Pour mener à bien cette étude d'influence, on considère que IM = IS et on utilise le

paramètre R qui varie entre 0 et 1. On note que la situation de conflit de mouchetis est

d’autant plus favorisée que le ratio est proche de un et d’autant moins favorisée que se

rapproche de zéro. Par ailleurs afin de favoriser la situation de conflit, il convient de répartir

le domaine en deux parties égales pour = 16.

Le bruit est généré par une fonction aléatoire définie de valeur moyenne nulle. Pour

reproduire les deux cas précédents soit le bruit est identique pour chaque état de déplacement

(conservation du bruit) soit un nouveau tirage est effectué pour chaque déplacement imposé

(non-conservation du bruit). Ce bruit peut être considéré comme un pseudo-mouchetis dont

les paramètres (IM et M) sont quasi stables.

= 8 pixels


109

VIII.2.3.1. Non-conservation du bruit

Les valeurs imposées à Rσ sont de 0 ; 0,07 ; 0,5 et 1. Les amplitudes d’erreur qui y

correspondent figurent dans le Tableau 26.

D’après la Figure 62, plus augmente, plus augmente car de nouveaux gradients

apparaissent à chaque déplacement imposé au bord. La CIN aperçoit donc deux mouvements :

un lié au masque fixe (déplacement nul) et un autre au mouchetis. Les 15 autres colonnes de

gradients compteront peu à l’égard de la CIN. Les valeurs détectées seront certainement en

dessous de celles imposées car la corrélation va moyenner. Par ailleurs, est d’autant plus

importante que les valeurs des gradients au bord sont plus importantes. En effet, quand Rσ

augmente, i.e. = , ces gradients augmentent. Le masque est encore plus visible qu’avant.

Par conséquent, l’erreur croît davantage.

Figure 62 : Courbes d’erreurs systématiques et erreurs aléatoires locales en fonction du déplacement pour =0 pixel (courbe de référence) et =16 pixels, R variant entre 0 et 1 pour la configuration « bruit variable » avec ΔNG =0.


110

Tableau 26 : Valeurs de l'amplitude de l'erreur systématique en fonction de Rσ pour la configuration

« bruit variable » avec ΔNG =0.

VIII.2.3.2. Conservation du bruit

Figure 63 : Courbes d’erreurs systématiques et erreurs aléatoires locales en fonction du déplacement pour =0 pixel (courbe de référence) et =16 pixels, R variant entre 0 et 1 pour la configuration « bruit constant » avec ΔNG =0.

La Figure 63 montre la même tendance que le cas précédent dans l’évolution de

l’erreur en fonction du déplacement. Les courbes sont en revanche décalées davantage par

rapport au cas précédent : comparaison des Tableau 26 et Tableau 27. Cela peut s’expliquer

par le fait qu’en plus des gradients du bord, qui contribueront à la détection de la position fixe

du masque, 15 autres colonnes de gradients du masque viennent faire un contre poids en face

des 15 gradients du mouchetis. La position fixe du masque est mieux détectée d’où une sous-

estimation plus importante du déplacement imposé. Le résultat est une sorte de moyenne

pondérée de deux mouvements : celui du masque fixe nettement mieux détecté que pour le cas

précédent et celui du déplacement d’un mouchetis aussi bien détecté.

p Rσ

(pixel) (pixel) (pixel)

0 0 0,0319

0 0,0443

0,07 0,0702

0,5 0,2140

1 0,3435

16


111

Tableau 27 : Valeurs de l'amplitude de l'erreur systématique en fonction de Rσ pour la configuration « bruit constant » avec ΔNG =0.

VIII.2.4. Comparaison entre l'apparition et la disparition des grains

Par ailleurs, les résultats obtenus jusqu’à présent rentrent dans le cadre de la

configuration « altération du bord » avec apparition de grains. Avant d’en faire une généralité,

il convient de vérifier si les mêmes résultats sont obtenus quand les grains disparaissent au

bord. Pour cela, il suffit de lancer une corrélation en prenant comme image de référence la

dernière image de la séquence d’images qui a fait apparaître des grains.

p σ

0 0 0,0319

0 0,0443

0,07 0,0733

0,5 0,2484

1 0,3773

16

p Rσ

(pixel) (pixel) (pixel)

0 0 0,0319


112

(a)

(b)

Figure 64 : Courbes d’erreur systématique entre « disparition de grains » et « apparition de grains » pour : (a) une valeur fixe de et différentes valeurs de ΔNG. (b) une valeur fixe de ΔNG et

différentes valeurs de .

Les résultats de la Figure 64 confirment que les mêmes tendances en fonction de et

ΔNG existent dans les deux cas de figure à savoir apparition et disparition du grain au bord.

La symétrie des courbes observée à la fois sur la Figure 64(a) et la Figure 64(b) est due tout

simplement au sens du déplacement. Sinon, en valeur absolue, les valeurs des erreurs

systématiques sont presque égales. Dans les deux cas, le principe reste le même et consiste à

faire apparaître de nouveaux gradients au bord qui n’existaient pas à l’état de référence. Par

conséquent, les résultats obtenus en faisant apparaître des grains au bord peuvent être

généralisés au cas « altération du bord ».

=8‎pixels

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1


Err

eu

r (p

ixe

l)

ΔNG= - 580 | Disparition du grainΔNG= - 400 | Disparition du grainΔNG= - 200 | Disparition du grainΔNG= - 580 | Apparition du grainΔNG= - 400 | Apparition du grainΔNG= - 200 | Apparition du grain

ΔNG=-580

-1-0.9-0.8-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.1

00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1


Err

eu

r (p

ixe

l)

=8px | Disparition du grain=16px | Disparition du grain=24px | Disparition du grain=8px | Apparition du grain=16px | Apparition du grain=24px | Apparition du grain

= 8 pixels


113

VIII.3. Conclusion 2

Tout d’abord, grâce à la configuration « altération du bord », deux tendances en

fonction de ΔNG et de ont pu être dégagées. En effet, pour une valeur fixée de ΔNG, plus

augmente, plus l’erreur systématique augmente. L’erreur est composée en quelque sorte de

deux parties, une erreur liée à la détection de la position fixe du masque et une autre liée à la

perte de mouchetis. Une fois que le bord est rentré dans le domaine, quand augmente, c’est

l’erreur liée à la perte de pixels qui augmente. Par ailleurs, pour une valeur fixée de , plus

|ΔNG| augmente, plus la position fixe du masque est visible par la CIN et plus l’erreur

systématique augmente.

Deuxièmement, qu'il y ait conservation du bruit ou non, les gradients aux bords

continuent à perturber les résultats de la corrélation de même que la position fixe du masque.

Pour observer l’influence du bruit, on a annulé ΔNG. Il s’est avéré qu’un bruit conservé

contribue à mieux détecter la position fixe liée au masque qu’un bruit non-conservé ce qui

introduit une erreur plus importante.

Enfin, il a été prouvé que les tendances obtenues pour le cas apparition du grain sont

de nouveau valables pour le cas disparition de grains. Par conséquent, tous les résultats

obtenus dans le cas « apparition du grain » sont valides dans un contexte plus large, celui de

l’« altération du bord ».

IX. Confrontation des résultats

Les deux parties de l’étude ont permis de rendre compte de l’influence du bord sur la

corrélation. Dans la partie « conservation du bord », une tendance en fonction de ΔNG a pu

être mise en évidence et notamment grâce aux configurations expérimentales où ΔNG est le

plus important. La partie « altération du bord » a permis de confirmer cette tendance mais en

terme d’erreur systématique, l’étude étant faite en se basant essentiellement sur le calcul de

l’erreur systématique.

Par ailleurs, la tendance « décalage de l’erreur systématique en fonction du

déplacement imposé » qui apparaissait pour certaines configurations expérimentales de la

‎IX . Confrontation des résultats

114

configuration « conservation du bord » et qui s’accentuait lors de l’augmentation de , a été

retrouvée dans le cas « altération du bord ». Une certaine analogie peut donc être faite entre le

pseudo-mouchetis réel qui apparaissait dans le cas « altération du bord» et le bruit non-

conservé simulé du cas « altération du bord ». Dans les deux cas, les gradients aux bords

jouent un rôle négatif dans la détermination des déplacements en entachant la mesure des

déplacements assurée par le mouchetis par un bruit de mesure engendré par le masque. Le

déplacement final mesuré n’est qu’une moyenne pondérée des deux zones détectées, mobile et

immobile. De la même manière, un lien peut être établi entre le pseudo-mouchetis de la

configuration numéro 3 et le cas « conservation du bruit». Contrairement au cas « bruit simulé

non-conservé » ou « pseudo-mouchetis réel non-conservé », les gradients arrivent à détecter

cette fois-ci deux états. L’un étant statique et l’autre mobile. Dans le cas « pseudo-mouchetis

réel conservé », les gradients du pseudo-mouchetis de la configuration numéro 3 contribuent à

la détection du mouvement de l’objet de mesure. En revanche, dans le cas « conservation du

bruit », ils vont dans le sens de la partie immobile. Ainsi, une amélioration de la précision est

obtenue pour la configuration 3 et une dégradation de la précision est obtenue pour le cas

« conservation du bruit ».

Conclusion

L’influence du bord dans la mesure des champs de déplacements a pu être mise en

évidence grâce à deux configurations censées reproduire le cas réel sous ses deux aspects, à

savoir « conservation du bord » et « altération du bord ». Un bord a été paramétré pour

représenter trois composantes communes aux deux aspects évoqués, à savoir :

problème de perte de mouchetis.

Gestion de la forme d'une frontière.

Un mélange des deux problèmes.

Ensuite, une étude d’influence a pu être entamée. Il s’est avéré que le bord qui se

conserve diminue l’erreur aléatoire grâce aux gradients supplémentaires qu’il apporte à la

CIN. Dans un contexte réel de mesure, cela se traduit par la possibilité d’effectuer des

mesures sur le bord à condition que la zone de non-mesure ne comporte pas de bruit à défaut

un bruit très léger. Cela revient à dire qu’un arrière-plan saturé en un niveau de gris moyen

donnant le gradient le plus fort au bord va résoudre le problème de mesure. Cependant, bien

que cette démarche puisse être réalisable tout autour du mouchetis lors d'une mesure sur une


115

frontière présente dès l’état initial, il est impossible d’approcher de la même manière une

mesure sur une frontière qui apparait suite à une fissure par exemple.

Par ailleurs, le cas d’une fissure qui s’ouvre peut être approché par le cas d’un bord

qui ne se conserve pas avec en plus, une présence de bruit non-conservé sur la zone de non-

mesure. En effet, lors de l’ouverture d’une fissure, le conflit de mouchetis ainsi que la

formation de forts gradients au bord se sont avérés comme étant les deux problèmes majeurs

de la corrélation :

Mouchetis fixe sur la zone de non-mesure et mouchetis mobile sur l'objet.

Deux mouchetis mobiles mais avec des déplacements différents

On constate ainsi que plus le gradient est fort au bord, plus la précision va se dégrader.

Ainsi, la CIN en étant face à cette situation va donner au mieux comme résultat de

déplacement, une moyenne pondérée des déplacements des trois zones.

Enfin, tous les cas qui viennent d’être cités semblent pointer vers une solution qui

consiste à exclure les zones de non-mesures de la corrélation en adaptant la forme et la taille

des domaines de corrélation à la forme du bord tout en gardant les gradients au bord dans la

configuration « conservation du bord » où l’apport des gradients s’est avéré comme étant

bénéfique à la corrélation. Cette solution consiste à utiliser un masque capable d’adapter la

forme et la taille des domaines à la forme du bord qui s’inspire de la théorie de la SDA

(Strong Discontinuity Approach) et des masques discontinuités et objet présentés au chapitre

I. Dans le chapitre suivant, Tous les aspects liés au fonctionnement du masque et à son

implémentation dans notre logiciel de corrélation, vont être abordés de manière détaillée.

116

117

Chapitre IV. CIN adaptée : gestion d’un

bord dans la mesure du champ de

déplacements d’une surface 2D

Introduction

118

Introduction

La CIN dite « standard » permet de mesurer des champs de déplacements sur une

surface 2D, en définissant une ZOI discrétisée en domaines dont la forme et la transformation

matérielle sont les mêmes en tout point. Comme nous venons de le montrer dans le chapitre

précédent, la situation se complique davantage dès lors qu’un bord doit être géré dans les

domaines de corrélation. En effet, dès que la forme et la taille d’un domaine ne s’adaptent pas

à la taille et la forme d’une partie de la surface de mesure à la frontière (le domaine est alors

constitué d’une partie mouchetis et d’une zone n’appartenant pas à l’échantillon), la

transformation matérielle ne peut être considérée comme étant localement continue. Le

surdimensionnement du domaine dans cette partie de la ZOI est donc fatal à la CIN car le

matériau ne peut plus être considéré comme étant un milieu continu à l’échelle du domaine.

Par ailleurs, le même raisonnement peut s’appliquer au cas d’une fissure. En effet,

l’apparition d’une fissure dans un domaine de corrélation peut être considérée comme un

conflit entre deux zones qui sont indépendantes l’une de l’autre. Chacune des deux zones a

son propre mouvement à l’intérieur du domaine. De la même manière que précédemment, le

milieu ne peut plus être considéré comme étant continu à l’échelle du domaine. Par

conséquent, la formulation proposée par la mécanique des milieux continus ne peut plus être

appliquée aux cas impliquant une discontinuité dans le champ de déplacement à l’échelle du

domaine.

Ainsi, avec la CIN standard, il convient toujours de sélectionner les zones où le

matériau demeure localement continu à l’échelle du domaine compte tenu de la taille et de la

forme des domaines qui ne sont pas adaptables. Ce n’est qu’après cette phase de sélection de

domaines que la procédure de corrélation peut être entamée.

Ce chapitre a pour but de présenter une nouvelle stratégie pour la corrélation afin de

pouvoir faire des mesures de champs déplacements sur les frontières du mouchetis, qu’elles

soient natives ou bien qu’elles apparaissent durant un essai mécanique. Cette nouvelle

méthode appelée CIN « adaptée » consiste à lever les limites de la CIN standard en adaptant

la taille et la forme des domaines localement, à la taille et la forme de la partie de la surface de

mesure qui se retrouve à la frontière en utilisant un masque.

Ce chapitre va s’articuler autour de trois parties :

Chapitre IV. CIN adaptée

119

Dans la première partie, le principe de la CIN adaptée va être expliqué de manière

détaillée. Le champ d’investigation de la CIN adaptée va ainsi être exploré à travers deux

configurations : conservation du bord et altération physique du bord. Le problème de

détection du bord en vue d’automatiser l’adaptation locale de la discrétisation sera donc

également abordé.

Dans la deuxième partie, la définition et l’implantation du masque dans l’algorithme

de corrélation pour le calcul des champs de déplacements et de déformations vont être

exposées.

La troisième partie présente une application de la CIN adaptée sur un cas réel de

fissuration où les résultats seront comparés avec ceux obtenus avec la CIN standard.

X. CIN « adaptée »

Le principe de la CIN dite « adaptée » (CIN-A) consiste à ramener tout contexte

d’étude à celui de mécanique des milieux continus en adaptant localement la forme et la taille

du domaine à la géométrie du mouchetis. Par conséquent, la transformation matérielle peut, à

nouveau, être considérée comme étant localement continue ainsi une approximation de cette

transformation peut être utilisée pour déterminer les déplacements.

Dans le cas d’une mesure sur un bord présent dès l’état de référence, la taille et la

forme des domaines doivent épouser les frontières du mouchetis. Cependant en présence

d'une singularité qui apparaît au cours du chargement par exemple lors de l’apparition d’une

fissure, il est nécessaire de mettre en place une stratégie d'adaptation et d'évolution de la

forme des domaines de corrélation.

La solution que nous proposons est basée sur l'utilisation d'un masque qui va

permettre de conserver les zones corrélables du mouchetis et d'éliminer les zones hors

frontières.

‎X. CIN « adaptée »

120

X.1. Fonctionnement du masque

X.1.1. Principe

La Figure 65 montre un exemple de situations soulignant les limites de la mesure par

CIN :

Au niveau du bord gauche, les domaines de corrélation se retrouvent donc avec des

zones de non-mesure (Figure 65 (a)).

Au niveau de la fissure, les domaines concernés doivent gérer simultanément le

mouvement de trois zones dont une zone de non-mesure au milieu (Figure 65(b)).

Figure 65 : (a) Domaines avec un bord présent dès l’état de référence. (b) Domaines avec un bord

apparaissant au cours du processus de déformation.

L'objectif essentiel de l'utilisation d’un masque est d'adapter localement une grille

régulière à la forme et taille de la surface de mesure et sa cinématique afin de pouvoir accéder

à des mesures sur les bords. La Figure 66 montre une solution permettant de résoudre les

difficultés précédentes :

Exclusion des zones de non-mesure de la corrélation dans les domaines du bord

(Figure 66 (a)).

Séparation des domaines en plusieurs sous-domaines pour récupérer les déplacements

correspondants à ces zones de mesure indépendantes (Figure 66 (b)).

(a)(b)


121

Figure 66 : Adaptation locale de : (a) la géométrie des domaines au mouchetis. (b) la discrétisation

spatiale des domaines à la cinématique.

La mise en place de ces deux situations va être traitée séparément dans les

paragraphes qui suivent en commençant par la gestion des bords existants à l'état initial.

X.1.2. Gestion d'un bord existant

Pour un bord présent dès l’état de référence (voir Figure 65 (a)) et qui se conserve

physiquement lors du passage d’un état de charge à un autre, la construction du masque

consiste à repérer sur l’image de référence (initiale) les coordonnées des pixels des zones de

non-mesure en vue de leur exclusion de la corrélation. Une opération classique de seuillage

est alors utilisée et conduit ainsi à la création d'une image binaire appelée "masque" (Figure

67) en affectant une valeur différente de niveau de gris à chaque zone. L’algorithme de

corrélation (voir chapitre II, § V.4) a été modifié pour prendre en compte le masque en

vérifiant, pour deux domaines de corrélation initiaux appariés, si leurs pixels appartiennent

aux zones de mesures. Cette opération permet alors de modifier et d'adapter la forme du

domaine de corrélation à la géométrie du bord (Figure 68).

(a)(b)


122

Figure 68 : Adaptation de la taille et forme des domaines de corrélation à la taille et forme de la ZOI.

Puisque la forme d'un domaine de corrélation devient irrégulière, il est nécessaire

d'adapter aussi le calcul des centres géométriques par une opération classique de traitement

d'images appliquée sur le masque. Cependant la manière dont la ZOI est balayée, i.e. le

passage d’un domaine à un autre de la ZOI, ne nécessite pas de traitement particulier. Sur la

(a) (b)

Figure 67 : Construction d’un masque à partir de l’image de référence par seuillage : (a) image de référence. (b) masque.


123

Figure 68, on visualise bien les formes géométriques irrégulières et la position (+) des centres

géométriques.

X.1.3. Gestion d'un bord apparaissant au cours de l'essai

Pour un bord qui apparaît physiquement au cours d'un essai, comme le montre la Figure

69 dans le cas de la fissuration, la démarche doit être légèrement modifiée. En effet, si le

masque est construit à partir de n’importe quelle image pour un bord natif, il doit être

absolument construit à partir de l’image où la discontinuité a fait le plus long parcours, pour

un bord qui apparait. Ensuite, il est appliqué à toutes les images comme précédemment. Par

exemple : si la mesure est établie pour un cas d'ouverture de fissure, le masque sera bien

entendu construit à partir de l’image où la fissure (ou la discontinuité dans le champ de

déplacements) a fait le plus long parcours (voir Figure 69(a)). Ce masque sera ensuite

appliqué à toutes les images.


124

(a) (b)

(c)

(d)

Figure 69 : Adaptation locale de la discrétisation spatiale de la ZOI à sa cinématique dans une image de référence : (a) Image où la fissure a fait la plus longue distance. (b) Masque discontinuité. (c) ZOI initialement discrétisée (d) Adaptation locale de la taille et de la forme des domaines à la ZOI au bord

apparaissant.

Selon les cas, les domaines identifiés à l’état de référence peuvent :

soit être divisés en deux ou plusieurs parties avec adaptation de leur taille et de leur

forme à celle du bord.


125

soit leur taille et leur forme sont adaptées au bord et le restant du domaine est exclu de

la corrélation.

Par ailleurs, étant donné que la discrétisation spatiale de la ZOI va changer et que le

nombre de domaines va augmenter par rapport à la grille obtenue avec la CIN standard (voir

Figure 70 (b) par rapport à la Figure 70 (a)), le décalage entre les différents domaines ne va

plus être constant (Figure 70 (b)). Par conséquent, le balayage de la ZOI par pas constant ne

peut pas se poursuivre comme précédemment.

Figure 70 : Changement du type de grille après le passage d’une discontinuité. (a) Etat de la grille régulière avant le passage de la discontinuité avec un pas constant entre les différents domaines. (b)

Etat de la grille après le passage de la discontinuité avec un pas qui n’est pas constant entres les domaines.

Ainsi, il convient de mettre au point une autre manière pour balayer spatialement la

ZOI. Le balayage spatial de la ZOI se doit d’être adaptatif, c’est-à-dire, il doit pouvoir gérer à

la fois un balayage par pas constant et variable de la ZOI. La manière dont la ZOI va être

balayée sera expliquée au paragraphe 2.

Néanmoins, avant la validation de la méthode du masque, il convient d’étudier

l’influence de l’utilisation d’un masque sur la précision de mesure. Le problème est le

suivant : l’utilisation du masque signifie l’exclusion des pixels de la zone de non-mesure de la

corrélation. Quel est l’influence de l’exclusion des pixels de la zone de non-mesure de la

corrélation ? Existe-t-il un seuil d’exclusion pour lequel l’utilité du masque devient moindre ?

Pour répondre à ces questions, dans la section suivante, un cas académique issu du

chapitre II impliquant la présence de zone de non-mesure dans le domaine de corrélation va

(b) (a) X

Y

it+dy

it+dy+y

it+dy

jt+dx

it+2×dy

jt+dx+x jt+dx

it

jt jt jt+2×dx

it


126

être exposé. L’influence du masque sur la précision de mesure sera déduite de la confrontation

des précisions obtenues pour le cas où la zone de non-mesure est exclue du domaine de

corrélation et le cas où la zone de non-mesure est incluse dans le domaine de corrélation.

X.1.4. Influence du masque sur la précision de mesure

L'analyse des influences a déjà été montrée au chapitre III (voir § VII .2 et VIII.2).

Nous en rappelons ici les conclusions adaptées à la mise en œuvre des masques.

l’utilisation du masque d'exclusion de pixels en rapport avec l’ « altération du bord »

améliore l’erreur systématique et en l’occurrence la précision de mesure.

la taille D des domaines de corrélation va être réduite (on ne prend pas en compte la

partie masque), cela se traduit dans les résultats sous forme d’une hétérogénéité des

précisions de mesure car la taille et la forme varient on fonction de la géométrie du

bord.

L'étape suivante consiste à voir s'il est possible de mettre un processus automatique de

détection de masque à partir du coefficient de corrélation.

X.2. Détection d’un bord

Nous rappelons que le coefficient de corrélation (voir chapitre II, § V.2) est la quantité

scalaire qui permet de quantifier le degré de ressemblance entre deux domaines homologues

entre l’état de référence et un état déformé. La position x correspondant à l’optimum du

coefficient de corrélation est directement liée à la position d’un domaine homologue

recherché à l’état déformé. Il est donc intéressant de savoir si la présence d’une zone de non-

mesure à l’intérieur du domaine de corrélation va diminuer l’optimum de coefficient de

corrélation. Ainsi, les positions des optima de corrélation affichant des valeurs aberrantes

aideraient à relier la présence d’une discontinuité faible ou forte en termes de niveaux de gris

à l’intérieur du domaine avec un mécanisme de discontinuité faible ou forte dans le champ de

déplacement et en l’occurrence d’un bord apparaissant à l’intérieur du domaine inspecté.

Pour cette étude on utilise les mêmes essais qu’au chapitre III. Les différentes

configurations sont présentées dans le Tableau 28.


127

Tableau 28 : Configurations en présence de discontinuités dans le champ de déplacement à l’intérieur du domaine de corrélation.

Le premier cas exposé est un cas purement expérimental où il n’y a quasiment pas de

pseudo-mouchetis dans la zone de non-mesure (IM=35 ; M=9). D’après l’étude faite au

chapitre III (voir § VI I.3, Tableau 15), la discontinuité de niveaux de gris est a priori

« favorable » à la corrélation.

Le deuxième cas est aussi un cas expérimental. Il est analogue au cas précédent mais

avec les deux mouchetis présentant des caractéristiques plus proches et variation du bruit sur

un des deux mouchetis. D’après l’étude faite au chapitre III sur le cas en question, la

discontinuité de niveaux de gris est a priori « défavorable » à la corrélation (voir chapitre III,

§ VI I.3, Tableau 14).

Les deux derniers cas impliquent des mécanismes de discontinuités faibles et fortes de

différents degrés à l’aide de modèles « semi-expérimentaux ». Le modèle étant considéré

« semi-expérimental » car la zone de non-meure est entièrement simulée tandis que l’essai et

le mouchetis sont quant à eux réels. Deux situations différentes sont observables selon la

nature du bruit simulé. A titre d’exemple, quand le bruit simulé dans la zone de non-mesure

est variant d’un état à un autre, le mécanisme de discontinuité dans le champ de déplacement

est celui d’un domaine à cheval entre une porosité bruité (bruit de caméra uniquement) et le

mouchetis de mesure. Quand le bruit simulé dans la zone de non-mesure est constant d’un état

à un autre, le mécanisme de discontinuité dans le champ de déplacement est celui d’une

fissure i.e. d’un bord qui apparaît et évolue physiquement et temporellement. Les différents

mécanismes de discontinuités s’accentuent suivant la valeur M attribué au masque

représentant la zone de non-mesure. D’après l’étude faite au chapitre III sur le cas en

question, plus M augmente, plus la discontinuité de niveau de gris est active et plus elle est


128

considérée comme étant « défavorable » à la corrélation (voir Chapitre III ; § VII.2.2 et §

VI I.3; Tableau 7et Tableau 14).

En outre, la Figure 71(b) montre que le bord dans le cas 2 (voir chapitre III, § VII.2.4,

configuration 4, Figure 47 et Tableau 11) n’arrive pas à compenser la perte de pixels suite à

l’élargissement du masque ( augmentant). Bien que les deux mouchetis aient un mouvement

dans la même direction, plus augmente, plus l’erreur augmente. En réalité, dès la rentrée du

gradient (pseudo-mouchetis – mouchetis) dans le domaine, le mécanisme de conflit des deux

mouchetis se met en place. D’une part, un pseudo-mouchetis associé à un gradient au bord

affiche un déplacement avec une certaine précision et d’autre part le vrai mouchetis associé au

même gradient affiche un autre déplacement avec une précision différente. Une discontinuité

dans le champ de déplacement prend alors forme. Lorsque augmente, la part du pseudo-

mouchetis dans la contribution au déplacement total devient plus importante et l’erreur aussi.

En effet, le bruit variable dans la zone de non-mesure ne joue pas en faveur de la corrélation.

(a)

(b)

Figure 71 : Coefficients de corrélation C4 (voir chapitre II ; formule 22) en fonction du déplacement pour différentes valeurs de : (a) la différence des moyennes de

niveaux de gris au bord NG= -566. (b) la différence des moyennes de niveaux de gris au bord NG= -112.

ΔNG=-566

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1


Co

eff

icie

nt

de

co

rré

lati

on

=0px=4px=8px=16px=20px=24px=28px=30px

ΔNG=-112

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1


Co

eff

icie

nt

de

co

rre

lati

on

=0px=4px=8px=16px=20px=24px=28px=30px


129

Cependant, il améliore l’optimum du coefficient de corrélation C4 sans pour autant améliorer

la précision de mesure. Par conséquent, la valeur de l’optimum de corrélation ne peut

renseigner sur la position du mécanisme de discontinuité même en cas de bruit constant.

(a) (b)

Figure 72 : Coefficients de corrélation C4 (voir chapitre II ; formule (22)) en fonction du déplacement pour =16 pixels, NG=0 et différentes valeurs de R : (a) Bruit variable entres états (b) Bruit

constant entre états.

Par ailleurs, la Figure 72(a) montre que dans le cadre d’un bruit variable entres états de

charge, plus l’écart-type du bruit de la zone de non-mesure augmente, plus l’optimum de

corrélation augmente. De la même manière que précédemment, la valeur du pic de corrélation

ne peut donc être utilisée pour repérer la position de la discontinuité dans le champ de

déplacement. Ce résultat semble être en accord avec le cas 2 (voir chapitre III, § VI I.2.4,

configuration 4, Figure 47 et Tableau 11). Après tout, c’est logique car la nature du bruit est la

même dans les deux cas. Les deux bruits des deux zones de non-mesure sont variables entre

états de charges.

En outre, la Figure 72(b) montre que dans le cadre d’un bruit constant entre états de

charge, à partir d’un déplacement imposé égal à 0,7 pixel, plus l’écart-type du bruit augmente,

plus l’optimum de corrélation C4 s’améliore. Pour un déplacement imposé compris entre 0 et

0,7 pixel, aucune tendance n’est observable. Etant donné que ce cas s’approche du cas d’une

fissure en mode I (ouverte) ou en mode II (fermée) et qu’il n’existe pas de lien évident entre

la valeur de l’optimum de corrélation et l’intensité du mécanisme, la valeur de l’optimum de

corrélation ne peut être utilisée pour détecter la présence d’une discontinuité.

En conclusion, l’automatisation du masque à l’aide de l’optimum du coefficient de

corrélation ne peut s’appliquer à aucun des cas exposés ni aux mécanismes qui leurs sont

associés.

‎XI. Implantation dans l’algorithme de la CIN standard

130

XI. Implantation dans l’algorithme de la CIN standard

La CIN adaptée, comme son nom l’indique, adapte le système de discrétisation de la

CIN standard dans la gestion des mesures sur un bord sous ses deux aspects :

Mesure sur un bord existant. Le rôle du masque consiste alors à exclure la totalité des

pixels de la zone de non-mesure. Il opère une adaptation de la taille et de la forme des

domaines à la taille et la forme de la ZOI.

Apparition d'un bord. Le masque agit alors à deux niveaux différents :

o Niveau 1 : adaptation de la taille et de la forme des domaines à la taille et la

forme de la ZOI par exclusion des pixels du bord.

o Niveau 2 : division des domaines suivant la cinématique de la ZOI.

Ces deux cas de gestion de bord peuvent être traités de la même manière. De plus

comme le nombre de domaines peut évoluer (niveau 2), la méthode de balayage spatial

standard doit être adaptée. Pour cela deux étapes sont nécessaires : la détection du masque et

l'identification des domaines.

XI.1. Mise en œuvre pratique

XI.1.1. Détection du masque

La détection du masque est définie à partir d'un module de seuillage existant dans

correla. La technique de seuillage est souvent utilisée pour délimiter le contour d'objets en

traitement d'images. En effet, les zones à ôter ont souvent des niveaux de gris très différents

des niveaux de gris du mouchetis. L'intensité seuil est choisie par l'utilisateur en pointant un

pixel externe proche du mouchetis. Cette opération n'est pas toujours suffisante notamment

dans le cas de l'apparition d'un bord. Dans ce cas, les pixels sont exclus manuellement par

l'utilisateur qui intervient directement sur le masque.

Ce masque va définir les zones où les domaines matériels peuvent être définis et

identifiés à l’état initial et où la zone de recherche peut s’établir dans l’image déformée

(Figure 66). Dans ces conditions, on n'est plus en présence d'une grille régulière de domaines

de corrélation. A ce titre il faut modifier l'opération de balayage de la CIN standard et

identifier chaque domaine.


131

XI.1.2. Identification des domaines

On définit en premier la taille des domaines de corrélation et les incréments de

balayage sur une grille régulière. Cette géométrie initiale est superposée au masque précédent,

ce qui fait apparaitre des domaines plus petits, plus nombreux et de formes irrégulières (voir

Figure 73). Chaque domaine se voit attribuer automatiquement un numéro (valeur entière non

nulle) spécifique reporté en chacun de ses propres pixels. La valeur d'identification 0 est

conservée en chaque pixel exclu du masque. Ainsi à l’issue de cette étape, chaque pixel du

masque initial est parfaitement identifié et affecté à un seul domaine de corrélation. De plus

lors de cette même étape, le calcul de la position du centre géométrique de chaque domaine

est effectué ce qui permet d'affecter en ce point les valeurs du déplacement (Figure 73(c)).

Figure 73 : Obtention du masque et de la grille finale. Repérage des centres géométriques des nouveaux domaines.

XI.2. Calcul du champ de déplacements

Le calcul des déplacements se fait en commençant par le domaine identifié avec le

numéro 1 selon les deux étapes grossière et fine définies au chapitre II. Puis vient alors le tour

‎XI. Implantation dans l’algorithme de la CIN standard

132

du domaine identifié avec le numéro 2 et ainsi de suite pour tous les domaines. Les valeurs

des vecteurs déplacements sont attribuées aux centres géométriques de chaque domaine.

Le contour des domaines est redessiné à chaque état à partir des valeurs

d'identification. En effet, les pixels de la frontière sont détectés dès qu’une différence de

niveaux de gris d’une valeur de 1 ou plus est trouvée entre deux pixels voisins. Bien entendu,

la frontière finale visualisée pour chaque domaine à l’état déformé tient compte de la

transformation matérielle estimée localement pour le domaine en question.

XI.3. Calcul du champ de déformations

XI.3.1. Champ de déformations

On sait que : la position x(x,y) dans l’image déformée correspondant à la position X(X,Y) dans l’image de référence est donnée par la famille de transformations matérielles . Le vecteur déplacement U(u,v) au point X(X,Y) est obtenu par différence des

coordonnées des centres des deux domaines homologues.

Le gradient F au point X de la transformation matérielle est un tenseur dont les

composantes sont définies par :

(28)

F peut-être exprimé autrement :

(29)

H étant le tenseur gradient du déplacement dont les composantes sont :

(30)

Le tenseur des déformations 2D de Green Lagrange peut alors être calculé par:

(31)

Pour déterminer les composantes du tenseur des déformations, il existe plusieurs

solutions. Celle qui sera retenue est le calcul du tenseur gradient du déplacement par

différences finies des composantes du déplacement entre positions voisines de mesure.


133

XI.3.2. Détermination du tenseur des déformations par différences finies

Nous avons vu que le déplacement calculé par la CIN adaptée est attribué au centre

géométrique de chaque domaine de corrélation de la grille adaptée. Ensuite, les composantes

du tenseur gradient de déplacement en chaque point sont déterminées par différences finies à

partir des domaines voisins. Deux vecteurs (IL, JK) sont définis à partir de 4 domaines voisins

(nommés dans un souci de clarté I, J, K et L). Le point C, de coordonnées (Xc, Yc), défini à

l'intersection de ces deux vecteurs, est appelé centre de la base de mesure (Figure 74). La

même démarche est aussi utilisée pour déterminer la position du point matériel xc à l’état

déformé.

Figure 74 : Base de mesure et définition de son centre

La recherche des domaines voisins commence à partir du centre du premier domaine

repéré par le nombre I (Figure 74)). Un balayage spatial en coordonnées polaires va permettre

de trouver les centres des deux domaines les plus proches J et K (ces centres étant identifiés

par leur numéro propre). Le milieu de ces deux derniers points permet de définir l'origine du

balayage suivant nécessaire pour déterminer le quatrième point L. L'avantage de cette solution

réside dans l'optimisation des directions de recherche. Cependant, plusieurs contraintes

doivent être respectées :

Vérification que les deux segments (IL, JK) ont bien une intersection commune.

Vérification que aucun des deux vecteurs (IL, JK) ne traverse une zone de non mesure

(Figure 75) à l'aide du masque (Figure 73(b)).

‎XII. Applications

134

Figure 75 : Schéma explicatif de la construction des bases de mesure de déformations

en présence de discontinuités.

Le calcul des déformations s'effectue donc classiquement en chaque point

d’intersection des vecteurs (IL, JK) à l'aide de l'équation (28) aux dérivées partielles en

écrivant les coordonnées de leurs vecteurs homologues (il , jk) à l’état déformé :

JKFILFJK

JKF

IL

ILF

jk

jkjk

JKFILFJK

JKF

IL

ILF

il

ilil

yyyxY

Xyy

Y

Xyx

y

x

xyxxY

Xxy

Y

Xxx

y

x

(32)

La résolution numérique du système d’équations (32) permet de trouver les

composantes du tenseur gradient F. Comme la grille définie à l’état initial n’est pas régulière

(Figure 75), les composantes du tenseur gradient de déplacement H sont calculées par

différences finies pour un maillage non-régulier [85]. Ensuite, le tenseur de Green-Lagrange

peut être calculé à l’aide de la formule (31).

XII. Applications

La méthode développée sera testée sur une éprouvette en polycarbonate en ouverture

et fermeture de fissure en mode I. Le but étant de montrer l'apport de la CIN adaptée face à la

CIN classique. Dans un premier temps, on présente le cas classique de l'ouverture de fissure et

notamment comment le masque est employé pour la mesure des champs de déplacement.

Dans un second temps, on reprend le même essai mais en inversant l'ordre de la séquence


135

d'images pour schématiser un essai de fermeture. L'idée est de montrer les différentes

évolutions dans le masque.

XII.1. Ouverture de fissure

XII.1.1. Mesure des déplacements

Le problème de l'ouverture de fissure est de définir le masque dont la géométrie

évolue constamment. En effet à l'état initial on peut définir la forme du mouchetis (contour

extérieur) mais on ne sait pas forcément où se situe la fissure. Il est nécessaire de visionner

toute la séquence d'images et repérer la position de la zone fissurée pour pouvoir l'exclure. Sur

l'image correspondant à l'apparition de la fissure, on complète le masque en liaison avec les

lèvres de la fissure (voir Figure 76).

Figure 76 : Définition du masque pour un cas d’ouverture de fissure : (a) image déformée, (b) masque excluant la fissure, (c) mouchetis et domaines

Les vecteurs déplacements et les domaines obtenus avec la CIN adaptée pour cinq

états : l’état de référence, trois états intermédiaires et l’état final sont respectivement

visualisés sur les Figure 77 (a), (b), (c), (d) et (e).


136

(a) (b)

(c) (d)

(e)

Figure 77 : Visualisation du champ de déplacements avec la CIN adaptée aux bords d’une fissure s’ouvrant en mode I et qui se trouve à la surface d’une éprouvette testée en traction pour : l’état de

référence (a). états intermédiaires (b), (c) et (d). l’état final (e).

XII.1.2. Comparaison avec les résultats de la CIN standard

A l'aide de la même série d'images nous avons utilisé la CIN standard en ouverture de

fissure. Les résultats de la Figure 78, montrent un sérieux problème de suivi des domaines

entourant la fissure comme envisagé.


137

(a) (b)

(c) (d)

(e)

Figure 78 : Visualisation du champ de déplacements avec la CIN standard aux bords d’une fissure s’ouvrant en mode I à la surface d’une éprouvette testée en traction pour : l’état de référence (a). états

intermédiaires (b), (c) et (d). l’état final (e).

La comparaison de ces résultats avec les résultats obtenus suite au traitement du même

cas par la CIN adaptée (Figure 77) montre que l’adaptation locale de la discrétisation du

mouchetis aux bords d'une fissure qui s’ouvre résout le problème relatif à la gestion de la

transformation matérielle discontinue. La ZOI étant mieux discrétisée, le calcul des vecteurs

déplacements devient possible à proximité de la fissure.

XII.2. Fermeture de fissure

Un cas de fermeture de fissure peut être vu comme un cas d’ouverture de fissure. Tout

est question d’ordre dans la séquence d’images utilisée pour calculer champs de déplacement

et de déformation. Ainsi, pour obtenir le cas de fermeture de fissures, l’ordre des images dans

la séquence d’images donnant l’ouverture de fissure est inversé. Donc, la procédure de


138

corrélation sera opérée sur une séquence d’images affichant une fermeture de fissure qui était

à la base une séquence d’images affichant une ouverture. Étant donné que les deux tests sont

issus de la même série d’images, la confrontation des résultats obtenus est plus facile à

réaliser.

XII.2.1. Construction du masque

La première étape de gestion de la taille et forme des domaines consiste en la

détermination du masque à partir de l’état initial. Le masque obtenu est représenté sur le

mouchetis par la Figure 79(c). L’étape suivante consiste à adapter la grille initiale (voir Figure

79(b)) selon le masque afin d’obtenir la grille adaptée (voir Figure 79(d)). La procédure de

corrélation peut être ensuite entamée.

Figure 79 : Adaptation de la grille régulière grâce au masque pour obtenir la grille adaptée avec des domaines de forme adaptée. (a) Image initiale. (b) Grille régulière. (c) Grille adaptée. (d) Masque.

On remarque bien que les domaines anciennement affectés par une transformation

matérielle discontinue (autour de la fissure) ont été remplacés par deux domaines plus petits

comportant chacun une transformation matérielle continue.


139

XII.2.2. Mesure des champs de déplacements

La Figure 80 montre les vecteurs déplacements affectés aux centres des domaines de

corrélation pour cinq états de chargement. Aucune décorrélation particulière entre les

domaines homologues jusqu’à la fermeture totale de la fissure n'est apparue (Figure 80).

(a) (b)

(c) (d)

(e)

Figure 80 : Visualisation du champ de déplacements avec la CIN adaptée aux bords d’une fissure se

refermant à la surface d’une éprouvette testée en traction pour : l’état de référence (a). états intermédiaires (b), (c) et (d). l’état final (e).

XII.2.3. Calcul du champ de déformations

La Figure 81 montre les zones de calculs de déformations. On note bien que la

détermination des déformations ne s'effectue pas au travers de la fissure.


140

(a) (b)

(c)

Figure 81 : Visualisation (avec la CIN adaptée) des bases de mesure de déformation (sous forme de croix). Etat de référence (a). Cumul d’affichage des bases d’un état intermédiaire et des états

précédents (b). Cumul d’affichage de bases de l’état final et des états précédents (c).

La visualisation des croix de déformation permet de voir que le calcul des vecteurs

déplacements des différents domaines du bord se poursuit correctement et se traduit sur les

Figure 81(b) et (c) par un calcul précis des positions des centres géométriques des bases de

mesure auxquelles les déformations seront attribuées.

Par ailleurs, les cartographies (voir Figure 82) des déformations Eyy suivant y et des

déformations de cisaillement (Exy) confirment que, grâce au masque, le calcul des

déformations s'effectue correctement au bord droit de l’éprouvette. Par conséquent, les

valeurs affichées sont assez représentatives de la déformation réelle subie par la surface de

l’éprouvette.


141

Figure 82 : Cartographies des composants Eyy et Exy du tenseur de déformations attribuées aux centres géométriques de bases de mesure identifiés à l’état initial pour trois états différents : Etat 2 (a-1 et b-

1). Etat intermédiaire (a-2 et b-2). Etat final (a-3 et b-3). Calcul avec la CIN adaptée.

Eyy Exy

(a-1) (b-1)

(a-2) (b-2)

(a-3) (b-3)


142

XII.2.4. Comparaison avec les résultats de la CIN standard

XII.2.4.1. Détermination du champ de déplacement

Le but de ce paragraphe est de montrer une comparaison des résultats précédents avec

ceux obtenus par corrélation classique. Dans un premier temps, nous avons choisi une

répartition de domaines de corrélation en relation avec la géométrie de la fissure. En effet on

peut constater sur la Figure 83 qu'aucun domaine n'est coupé par la fissure. La discussion est

menée simplement sur trois états de déformations (état initial, intermédiaire et final) et pour

trois zones d'analyse :

Une zone (appelée I) où les domaines comportent un extérieur et un mouchetis se

conservant à la fois physiquement et optiquement (zone encadrée uniquement en bleu

à gauche de l’image ; Figure 83). Les résultats montrent que la discontinuité des

niveaux de gris n’induit pas de discontinuité dans le champ de déplacements si bien

que les domaines assurent sans problème le suivi des déplacements de la surface dans

cette zone. Le bord dans ce cas est donc favorable à la corrélation. Ce résultat semble

en accord avec les résultats du chapitre III.

Une zone (appelée II) où les domaines comportent un extérieur qui disparaît

physiquement et un mouchetis qui se conserve à la fois physiquement et optiquement

(zone encadrée uniquement en rouge à droite de l’image ; Figure 83). Comme

précédemment les choses se passent exactement de la même manière que pour les

domaines de la zone I. Le bord dans ce cas est aussi favorable à la corrélation. Grâce à

cette discrétisation particulière de la ZOI, le problème de gestion de la transformation

matérielle a été remplacé par un problème de discontinuité de niveau de gris induisant

uniquement une perte d’information tout à fait admissible par la corrélation.

Une zone (appelée III) où les domaines comportent un mouchetis (en bordure de la

zone d'acquisition) qui apparaît progressivement et un extérieur (hors image) se

conservant physiquement et optiquement (zone encadrée uniquement en bleu à droite

de l’image ; Figure 83). On remarque que les domaines de cette zone ne permettent

pas de déterminer correctement un déplacement. En effet, le cadre d’acquisition de la

caméra étant fixe et le mouchetis mobile, à chaque nouvelle acquisition d’images, de

nouveaux grains apparaissent au niveau du bord. L'analyse correspondante a été traitée

au chapitre III. La CIN standard corrèle en même temps un masque fixe et un


143

mouchetis mobile. La discontinuité dans le champ de déplacement n’étant pas gérée

par la CIN standard, le suivi des domaines ne peut être assuré correctement

(a) (b)

(c)

Figure 83 : Visualisation du champ de déplacements avec la CIN standard aux bords d’une éprouvette testée en fermeturede fissure : l’état de référence (a). un état intermédiaire (b). l’état final (c). Les

domaines comportent un extérieur : se conservant physiquement (zones encadrées en bleu), disparaissant progressivement (zone encadrée en rouge), les deux à la fois (zone doublement

encadrée).

Dans un second temps, nous avons choisi une répartition de domaines de corrélation

sans se soucier de la géométrie de la fissure (Figure 84). On constate que quatre domaines de

corrélation sont traversés par la fissure (zone encadrée en rouge) où il existe visiblement un

problème de gestion de transformation matérielle discontinue.


144

(a) (b)

(c) (d)

(e)

Figure 84 : Visualisation du champ de déplacements avec la CIN standard aux bords d’une fissure se refermant à la surface d’une éprouvette : l’état de référence (a), états intermédiaires (b), (c) et (d),

l’état final (e).

Il est important de noter que le problème exposé persiste tant qu’un fort gradient est

associé à chacune des deux zones mouchetis du domaine i.e. tant que la zone de non-mesure

est visible (Figure 84(b), (c) et (a)). Une fois cette zone disparue, le suivi des domaines se

poursuit normalement en privilégiant les parties mouchetis dont les tailles sont les plus

importantes (Figure 84(d), (e)). Les vecteurs déplacements prennent alors les sens et direction

des parties mouchetis identifiées comme étant les plus importantes à l’intérieur du domaine.


145

On en conclut que l’adaptation locale de la discrétisation, de la taille et de la forme

des domaines aux alentours des bords permet d’obtenir de meilleurs résultats en termes de

déplacements.

XII.2.4.2. Champ de déformation par CIN standard

La visualisation des bases de mesure de calcul des déformations va permettre de

visualiser les aberrations dans le calcul des déformations suite à l’utilisation de la CIN

standard. Chaque base de mesure est représentée par une croix, cumulée d'état en état, qui est

l’intersection des deux diagonales de la base de mesure (voir Figure 85).

On constate une première remarque venant du calcul par différences finies des

déformations au niveau de la fissure. Le centre des bases de mesure s’affiche donc dans une

zone de non-mesure où il n’existe pas de matière. Le deuxième souci se manifeste au niveau

du bord droit des images. La visualisation des croix de déformation permet de voir que le

calcul imprécis des vecteurs déplacements des différents domaines du bord se répercute

directement sur le calcul des déformations.


146

(a)

(b)

(c)

Figure 85 : Visualisation (avec la CIN standard) des bases de mesure de déformation (sous forme de croix) : Etat de référence (a). Cumul d’affichage des bases d’un état intermédiaire et des états

précédents (b). Cumul d’affichage de bases de l’état final et des états précédents (c).

Par ailleurs, les cartographies des déformations (Eyy) d’une part (voir Figure 86 (a-1),

(b-1) et (c-1)) et des déformations de cisaillement (Exy) d’autre part (voir Figure 86 (a-1), (b-

1) et (c-1)) montrent bien les erreurs identifiées précédemment.


147

Figure 86 : Cartographies des composants Eyy et Exy du tenseur de déformations attribuées aux centres géométriques de bases de mesure identifiés à l’état initial pour trois états différents : Etat 2 (a-1 et b-

1). Etat intermédiaire (a-2 et b-2). Etat final (a-3 et b-3). Calcul avec la CIN standard.

Eyy Exy

(a-1) (b-1)

(a-2) (b-2)

(a-3) (b-3)


148

Conclusion

Le manque de flexibilité du système de discrétisation utilisé par la CIN standard pour

gérer des discontinuités dans la ZOI a été pointé du doigt tout au long de ce chapitre. Il s’est

révélé comme étant la cause principale d'erreurs en présence de discontinuités de niveaux de

gris ou en présence de bords. En revanche, la CIN adaptée, de par sa faculté à adapter la

discrétisation de la ZOI à la géométrie du mouchetis, apporte des solutions aux problèmes

exposés. Ainsi, les zones, qui étaient jusqu’alors inaccessibles à cause d’une défaillance dans

la manière de discrétiser, deviennent totalement accessibles avec la CIN adaptée.

L'intérêt du masque a été montré sur un bord existant physiquement dès l’état de

référence et un bord apparaissant ou évoluant physiquement au cours de l’essai pendant la

fermeture et l’ouverture de fissure. Dans les deux cas, l’utilisation de la CIN adaptée a

amélioré les calculs des déplacements et des déformations par rapport à la CIN standard. La

visualisation des vecteurs déplacements et des croix de déformation en même temps que le

calcul des déplacements et des déformations a permis d’apprécier cette amélioration. Cette

visualisation a permis d’identifier les aberrations commises par la CIN standard d’une part

dans le calcul des déplacements et des déformations et d’autre part dans l’attribution des

vecteurs déplacements aux centres des domaines et dans l’attribution des déformations aux

centres des bases de mesure de déformations. En effet, les domaines étant mal définis

géométriquement, le calcul de leurs centres est erroné. Il en résulte que bien que le calcul de

déplacement puisse être bon et notamment s’il y a conservation du bord i.e. au bord gauche

des images, l’attribution de la déformation sera erronée car le calcul des centres des domaines

est faux et celui des centres de bases de mesure de déformations aussi.

Dans le cas où le bord n’est pas conservé, la CIN standard donne des résultats erronés

en déplacements et en déformations contrairement à la CIN adaptée.

149

Conclusion générale et perspectives


150

RAPPEL DES OBJECTIFS

L’objectif principal de cette thèse est de faire évoluer la méthode de corrélation

d’images numériques afin d’assurer la gestion d’une part des discontinuités du milieu et

d’autre part des discontinuités de transformation matérielle. En effet, le problème se présente

de la manière suivante : Comment discrétiser un objet de forme quelconque et dont la

cinématique est discontinue par des éléments de discrétisation ayant tous la même forme et les

mêmes dimensions et dont les transformations matérielles ne peuvent être que de type

continu ? Par ailleurs, le traitement des discontinuités est-il toujours obligatoire ? Y a-t-il un

seuil au-delà duquel nous ne pouvons tolérer des discontinuités dans le milieu ou dans la

transformation et en-dessous duquel elles peuvent être tolérées ?

SYNTHESE DES PRINCIPAUX RESULTATS

Une synthèse bibliographique a été menée dans un premier temps et a été dédiée à la

gestion des discontinuités d'ordre optique ou mécanique dans les techniques optiques de

mesure. Son objectif était de voir comment il est possible d'améliorer la technique de

corrélation d'images pour la mesure des déplacements en présence de discontinuités. Parmi les

techniques abordées, nous nous sommes limités à la technique des grilles et les techniques de

moiré qui utilisent des codages pseudo-périodiques et des algorithmes à décalage de phase.

Dans cette étude, il s’est avéré que pour les méthodes dont le traitement de

l’information se fait dans des fenêtres d’analyse, il existe une dépendance spatiale entre les

pixels dans le cadre de cette fenêtre.

Dans le cadre des méthodes de mesure à codage périodique, cette dépendance spatiale

se traduit par le fait que, d’un point de vue analyse, ces pixels peuvent être :

soit liés spatialement par la fenêtre d’analyse pour l’étape calcul de phase et par toute

la surface pour l’étape dépliement de phase (cas de la méthode des grilles);

soit liés spatialement par la surface uniquement à l’étape dépliement de phase (cas du

moiré de projection sans code Gray);

Deux outils différents sont déployés pour résoudre le problème dans le cadre des

méthodes à codage périodique selon la situation qui s’impose :


151

Un masque objet dont la fonction essentielle est d’exclure les pixels de la procédure

d’analyse des franges ou de traits. Ce masque intervient lorsque la discontinuité

optique du milieu est essentiellement due à la discontinuité spatiale du milieu.

Un masque discontinuité dont la fonction est de séparer deux signaux. Ce masque

intervient lorsqu’il y a discontinuité optique du milieu malgré sa continuité spatiale.

La démarche a été d'essayer d'appliquer ces masques à la méthode de corrélation

d’images numériques. Cependant, leur mise en œuvre pour la gestion des discontinuités

nécessite une connaissance parfaite de la méthode (principe, algorithmes, performances) afin

de dire à quel moment ces masques peuvent être déployés ? Pour répondre à cette question, il

a fallu séparer clairement les effets dus à la discontinuité des effets dus à d’autres paramètres

que la discontinuité. Cela est passé par une étude plus poussée sur la méthode de corrélation

d’images afin d’identifier d’une part les principaux paramètres qui qualifient la CIN et qui

dictent ses performances et d’autre part d’étudier leur influence sur la précision de mesure par

CIN.

Parmi les résultats obtenus, nous avons pu constater l’influence de l’interpolation sur

l’erreur systématique qui donne à cette erreur la forme d’une courbe en « S ». Par ailleurs,

l’influence de la taille du domaine sur l’erreur aléatoire a pu être prouvée. Il s’est avéré que

plus la taille du domaine augmente, plus cette erreur baisse. Cela nous a amené à discuter

ensuite d’un certain compromis entre taille de domaine et incertitude de mesure. A l’issue de

cette discussion, nous avons pu sélectionner la taille de domaine optimale de 32 × 32 pixels²

en rapport avec une taille de grains comprise entre 4 et 8 pixels. Nous avons pu montrer

expérimentalement que les variations d’intensité lumineuse ont peu d’effet sur l’erreur.

Etant donné que la discontinuité est un paramètre assez complexe à gérer, le troisième

chapitre a été consacré dans sa totalité à l’étude d’influence de la discontinuité sur la précision

de mesure. L’influence du bord dans la mesure des champs de déplacements a pu être mise en

évidence grâce à deux configurations censées reproduire le cas réel sous ses deux aspects, à

savoir « conservation du bord » et « altération du bord ». Ces deux dernières notions résument

respectivement deux situations :

Un bord qui existe à l’état initial et qui se conserve physiquement et optiquement le

long du processus de mesure,


152

et un bord qui n’existe pas à l’état initial et qui apparaît au cours du processus de

mesure.

Un bord a été paramétré pour représenter trois composantes communes aux deux

aspects évoqués, à savoir :

problème de perte de mouchetis.

Gestion de la forme d'une frontière.

Un mélange des deux problèmes.

Ensuite, l’étude d’influence au sens propre du terme a pu être entamée. Il s’est avéré

que le bord qui se conserve diminue l’erreur aléatoire grâce aux gradients supplémentaires

qu’il apporte à la CIN. Dans un contexte réel de mesure, cela se traduit par la possibilité

d’effectuer des mesures sur le bord à condition que la zone de non-mesure ne comporte pas de

bruit ou à défaut un bruit très léger. Cela revient à dire qu’un arrière-plan saturé en un niveau

de gris moyen donnant le gradient le plus fort au bord va résoudre le problème de mesure.

Cependant, bien que cette démarche puisse être réalisable tout autour du mouchetis lors d'une

mesure sur une frontière présente dès l’état initial, il est impossible d’approcher de la même

manière une mesure sur une frontière qui apparait suite à une fissure par exemple à cause de

la présence des deux mouchetis actifs à la fois, entourant de part et d’autre cette fissure.

Par ailleurs, le cas d’une fissure qui s’ouvre peut être approché par l’association

complexe de deux bords qui ne se conservent pas avec en plus, une présence de bruit non-

conservé sur la zone de non-mesure. En effet, lors de l’ouverture d’une fissure, le conflit de

mouchetis ainsi que la formation de forts gradients au bord se sont avérés comme étant les

deux problèmes majeurs de la corrélation :

Mouchetis fixe sur la zone de non-mesure et mouchetis mobile sur l'objet.

Deux mouchetis mobiles mais avec des déplacements différents

On constate ainsi que plus le gradient est fort au bord, plus la précision va se dégrader.

Ainsi, la CIN en étant face à cette situation va donner au mieux comme résultat de

déplacement, une moyenne pondérée des déplacements des trois zones.

« Y a-t-il un seuil au-delà duquel nous ne pouvons tolérer des discontinuités et

en-dessous duquel elles peuvent être tolérées ? »

Nous avons déduit du chapitre III que certains gradients peuvent être bénéfiques à la

corrélation mais par principe de précaution, ils doivent être exclus de la corrélation. Ainsi,


153

nous préférons exclure les zones de non-mesures de la corrélation en adaptant la forme et la

taille des domaines de corrélation à la forme du bord. Cette solution consiste à utiliser un

masque capable d’adapter la forme et la taille des domaines à la forme du bord en s’inspirant

de la théorie de la SDA (Strong Discontinuity Approach) et des masques discontinuités et

objet présentés au chapitre I.

De retour à la question posée au départ « comment discrétiser un objet de forme

quelconque et dont la cinématique est discontinue par des éléments de discrétisation

ayant tous la même forme et les mêmes dimensions et dont les transformations

matérielles ne peuvent être que de type continu ? »

Il est impossible d’opérer une mesure de la sorte sans se retrouver avec des

discontinuités dans la zone de mesure (milieu et transformation). Deux solutions existent :

Soit nous adaptons localement la forme de la transformation matérielle afin qu’elle puisse

tenir compte localement des transformations discontinues. Ainsi, la forme et les dimensions

des fenêtres changent suivant la transformation. Soit nous adaptons localement la forme et les

dimensions des fenêtres uniquement et nous gardons le même type de transformation

matérielle continue. Comme nous l’avons décrit précédemment, notre solution inspirée des

masques consiste à adapter localement la forme et les dimensions des fenêtres et non pas la

transformation.

Dans le chapitre IV , tous les aspects liés au fonctionnement du masque et à son

implémentation dans Correla, ont été abordés de manière détaillée.

Le masque permet de rediscrétiser la surface de mesure conformément au modèle de

milieu continu en adaptant la forme et la taille des fenêtres de corrélation à la forme et la taille

de la ZOI tout en tenant compte des transformations matérielles discontinus qu’elle est

susceptible de subir aux états déformés. Pour le construire, il suffit de revisionner les images

pour voir les états où des discontinuités dans la transformation commencent à apparaitre et à

adapter la grille régulière à l’état initial à la nouvelle situation. Les fenêtres ne sont donc plus

réparties régulièrement sur la surface. Ainsi, aucune discontinuité n’est présente dans l’espace

de mesure : le masque est défini à partir de l’état où la discontinuité y prend forme pour la

première fois. Il en résulte des masques avec une petite zone d’exclusion pour les fissures qui

s’ouvrent et des masques avec une grande zone d’exclusion pour les fissures qui se ferment.

De plus, le balayage spatial des fenêtres doit être modifié afin de gérer un pas non-constant

entre fenêtres et des bases non-régulières pour le calcul des déformations.


154

Par ailleurs, une instruction a été intégrée à Correla afin de ne pas opérer de calcul de

déformations là où la cinétique observée est celle d’une fissure.

L'intérêt du masque a été montré sur une application de la mécanique de la rupture en

effectuant un essai de traction sur une éprouvette en polycarbonate. Le masque a été testé

dans plusieurs cas de figure : bord existant physiquement dès l’état de référence et bord

apparaissant ou évoluant physiquement au cours de l’essai pendant la fermeture et l’ouverture

de fissure. Dans les deux cas de figure, l’utilisation de la CIN adaptée a amélioré les calculs

des déplacements et des déformations par rapport à la CIN standard. La visualisation des

vecteurs déplacements et des croix de déformation en même temps que le calcul des

déplacements et des déformations a permis d’apprécier cette amélioration.

PERSPECTIVES

La CIN adaptée a été mise en application sur un seul exemple. Il serait maintenant

intéressant de l'appliquer à d'autres problèmes mécaniques. Par exemple dans le cas de la

fissuration, les champs de déplacement étant mieux déterminés proche de la fissure, la

détermination du facteur d'intensité de contraintes peut être mieux effectuée en utilisant une

série de Williams. D'autres exemples sur les composites ou les matériaux poreux peuvent être

envisagés où les phases présentent des comportements mécaniques différents.

Du point de vue du développement de la méthode, il reste encore quelques

améliorations à apporter comme la construction automatique du masque, la prise en compte

d'un masque évolutif à chaque état…

La transposition de cette méthode en trois dimensions permettrait d'aborder les

problèmes de discontinuités aux applications volumiques.

i

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viii

Liste des figures

Figure 1 : Configurations d’un système mécanique que l’on désignera dans la suite du

chapitre par la lettre « S ». ........................................................................................................ 11

Figure 2 : Etat de référence et état déformé liés par un déplacement et une déformation

homogène : méthode de corrélation d’images numériques. ..................................................... 15

Figure 3 : Domaine divisé en deux sous-domaines indépendants à cause d’une

discontinuité [13]. ..................................................................................................................... 17

Figure 4 : Schéma illustrant une incompatibilité en termes de forme et de taille entre

fenêtre d'analyse et objet de mesure. ........................................................................................ 18

Figure 5 : (a) Méthode de corrélation d’images numériques standard : transformation

d’une fenêtre de référence en fenêtre déformée. (b) Méthode de corrélation d’images

numériques avec division de fenêtres : La fenêtre déformée est divisée en deux pour

accompagner la discontinuité de déplacement [14]. ................................................................ 20

Figure 6 : Exemple et profil d’une image comportant des franges [24]. ..................... 22

Figure 7 : Schéma d’un processus de recalage de phase pour un signal

unidimensionnel en partant d’une frange initiale [45]. ............................................................ 25

Figure 8 : Grille croisée [49]. ....................................................................................... 26

Figure 9 : Schéma du principe de la méthode des grilles............................................. 27

Figure 10 : Principe de la MPC : a) réseau de franges à analyser, b) approche par un

réseau virtuel de franges [24]. .................................................................................................. 28

Figure 11 : Schéma de principe du moiré de projection [24]. ...................................... 29

Figure 12 : Schémas de cas de variation brutale de relief engendrant des

discontinuités. ........................................................................................................................... 30

Figure 13 : Image d'un réseau projeté sur un objet au relief variant brutalement. Les

zones de discontinuités de franges (ou de phases) sont entourées par des ellipses

blanches [45]. ........................................................................................................................... 31

Figure 14 : Schéma de principe du moiré d'ombre [24]. .............................................. 32

Figure 15 : Masques appliqués pour une technique de projection de frange [45]. ...... 34

Figure 16 : Etat de référence et état déformé liés par un déplacement et une

déformation homogène : méthode de corrélation d’images numériques. ................................ 44

Figure 17 : Schéma du montage utilisé pour l'analyse de l'influence des paramètres. 52

Liste des figures

ix

Figure 18 : Les trois mouchetis A, B et C posés sur la même plaque. ......................... 53

Figure 19 : Les histogrammes des trois mouchetis A, B et C (de gauche à droite) ..... 53

Figure 20 : Mouchetis B :Evolution de l’erreur systématique et de l'erreur aléatoire en

fonction du déplacement imposé. ............................................................................................. 55

Figure 21 : Erreur aléatoire calculée en fonction de la taille du domaine pour : les

déplacements u [0 ; 2] pixels (erreur aléatoire globale), un déplacement nul u=0 pixel (erreur

aléatoire locale). Le domaine est de forme carrée. ................................................................... 56

Figure 22 : Les trois mouchetis A, B et C en faible éclairage. .................................... 58

Figure 23 : Les histogrammes des trois mouchetis A, B et C (de gauche à droite) en

faible éclairage. ........................................................................................................................ 58

Figure 24 : Répartition des domaines de forme carrée au bord d’une éprouvette de

forme non-carrée. ..................................................................................................................... 62

Figure 25 : Formation de nouveaux bords à l’intérieur de trois domaines suite à

l'apparition d’une fissure : (a) Image de référence. (b) Image déformée. (c) Non-compatibilité

des formes des deux lèvres d’une fissure marquant la dégradation du mouchetis aux bords de

cette fissure. .............................................................................................................................. 63

Figure 26 : Schématisation d'une situation réelle en présence d’un bord à l’intérieur

d’un domaine de corrélation : (a) zone d'intérêt ZOI. (b) Etat d'un domaine au bord. ............ 65

Figure 27 : Schématisation du modèle académique en présence d’un bord à l’intérieur

d’un domaine de corrélation : (a) zone d'intérêt ZOI. (b) Etat d'un domaine au bord. ............ 65

Figure 28 : Modèle académique d’une fenêtre sur un bord ......................................... 66

Figure 29 : Essai sub-pixel de translation avec une zone de corrélation se trouvant au

bord et un éclairage du masque le saturant en blanc : (a) Image réelle du domaine et de l’essai.

(b) Histogramme des niveaux de gris de la partie mouchetis du domaine. (c) Histogramme des

niveaux de gris de la partie masque du domaine (saturée en blanc). ....................................... 69


bord et un éclairage de la zone de non-mesure relativement faible : (a) Image réelle du

domaine et de l’essai. (b) Histogramme des niveaux de gris de la partie mouchetis du

domaine. (c) Histogramme des niveaux de gris de la partie masque du domaine. .................. 70

Figure 31 : Calcul des histogrammes des deux parties d’un domaine de corrélation :

(a) Modèle académique. (b1) Partie masque (ou zone de non-mesure). (b2) L’histogramme

des niveaux de gris de la partie masque. (c1) Partie mouchetis (ou zone de mesure). (c2)

L’histogramme des niveaux de gris de la partie mouchetis. Caméra 8-bits. ............................ 71

Liste des figures

x


bord et un éclairage de la zone de non-mesure relativement faible : (a) Image réelle du

domaine et de l’essai. ............................................................................................................... 72

Figure 33 : Erreur systématique (( )) et erreur aléatoire en

fonction du déplacement pour la partie mouchetis (=0 pixel). ................................. 73

Figure 34 : Erreur systématique ( ) en fonction du déplacement pour différentes largeurs de la bande uniforme (). ................................................... 74

Figure 35 : Profils d'un segment le long de l'axe x pour les deux cas =0 et =2

pixels. ....................................................................................................................................... 75

Figure 36 : Erreur systématique ( ) en fonction du déplacement pour une largeur du masque de 28 pixels. ............................................................... 75

Figure 37 : Erreur aléatoire ( ) ou l’incertitude globale sur tous les déplacements en fonction de la largeur du masque . ....................................................................... 76

Figure 38 : Incertitude globale ( ) sur tous les déplacements en fonction

de la largeur pour les six essais. ............................................................................................ 77

Figure 39 : Elargissement de la ZOI de la configuration numéro 6 (NG6=+390) en

vue d’intégrer les zones bruitées se trouvant au-dessus et en-dessous de la ZOI initiale. ....... 80

Figure 40 : Représentation graphique des valeurs d’incertitude globale de mesure

( ) en fonction de la taille du masque () entre un masque sans bruit de la configuration

numéro 6 (NG6=+390) et un masque avec bruit de la même configuration. ......................... 81

Figure 41 : Incertitude globale ( ) en fonction de la largeur du masque dans un

intervalle de valeurs situées entre 0 et 4 pixels. ....................................................................... 82

Figure 42 : Incertitude locale ( ) en fonction du déplacement pour la

configuration 6 et pour une largeur de bande entre 0 et 4 pixels. ......................................... 83


.................................................................................................................................................. 84


.................................................................................................................................................. 85

Liste des figures

xi


.................................................................................................................................................. 87

Figure 46 : Comparaison des graphiques d’incertitudes locales ( ) en fonction du

déplacement pour la configuration numéro 3 (NG3=-382) entres : =0 et 1 pixel (a).

=2 et 28 pixels (b). ................................................................................................................. 88


.................................................................................................................................................. 89

Figure 48 : Erreur systématique ( ) en fonction du

déplacement pour différentes valeurs de largeur de masque correspondant à la

configuration N°5. .................................................................................................................... 90

Figure 49 : Erreur systématique ( ) en fonction du déplacement pour différentes valeurs de correspondant à la configuration N°6 : (a) bande

uniforme, (b) bande bruitée. ..................................................................................................... 92

Figure 50 : Schématisation du modèle académique avec altération du bord. .............. 97

Figure 51 : Modèle académique 3D d’une fenêtre sur un bord avec à droite le

mouchetis de la zone de mesure et à gauche le masque. .......................................................... 97

Figure 52 : Définition des ZOI pour le cas « altération de bord ». .............................. 98

Figure 53 : Histogramme des niveaux de gris de la partie mouchetis d’un domaine au

bord (IS=580 et S=140). .......................................................................................................... 99

Figure 54 : Erreur systématique ( ) et erreur aléatoire ( en fonction du déplacement pour =0pixel. ............................................................. 100

Figure 55 : Erreur systématique ( ) en fonction du déplacement pour différentes valeurs de largeur de masque correspondant à une valeur de

différence de moyennes de niveaux de gris entre masque et mouchetis de -580. .................. 100

Figure 56 : Erreur systématique ( ) en fonction du déplacement pour différentes valeurs de largeur de masque pour NG=-400. ......................... 102

Figure 57 : Erreur systématique ( ) en fonction du déplacement pour différentes valeurs de largeur de masque pour NG=-200. ......................... 104

Liste des figures

xii

Figure 58 : Erreur systématique ( ) en fonction du déplacement pour différentes valeurs de largeur de masque pour NG=0. .............................. 105

Figure 59 : Erreur systématique ( ) en fonction du déplacement pour différentes valeurs de largeur de masque pour NG=+200. ......................... 106

Figure 60 : Erreur systématique ( ) en fonction du déplacement pour différentes valeurs de largeur de masque pour NG=+400. ......................... 106

Figure 61 : Erreur systématique ( ) en fonction du déplacement pour différentes valeurs de (ΔNG) correspondant à une largeur de masque 8

pixels. ..................................................................................................................................... 108

Figure 62 : Courbes d’erreurs systématiques et erreurs aléatoires locales en fonction

du déplacement pour =0 pixel (courbe de référence) et =16 pixels, R variant entre

0 et 1 pour la configuration « bruit variable » avec ΔNG =0. ................................................ 109

Figure 63 : Courbes d’erreurs systématiques et erreurs aléatoires locales en fonction

du déplacement pour =0 pixel (courbe de référence) et =16 pixels, R variant entre

0 et 1 pour la configuration « bruit constant » avec ΔNG =0. ............................................... 110

Figure 64 : Courbes d’erreur systématique entre « disparition de grains » et

« apparition de grains » pour : (a) une valeur fixe de et différentes valeurs de ΔNG. (b) une

valeur fixe de ΔNG et différentes valeurs de . .................................................................... 112

Figure 65 : (a) Domaines avec un bord présent dès l’état de référence. (b) Domaines

avec un bord apparaissant au cours du processus de déformation. ........................................ 120

Figure 66 : Adaptation locale de : (a) la géométrie des domaines au mouchetis. (b) la

discrétisation spatiale des domaines à la cinématique............................................................ 121

Figure 67 : Construction d’un masque à partir de l’image de référence par seuillage :

(a) image de référence. (b) masque. ....................................................................................... 122

Figure 68 : Adaptation de la taille et forme des domaines de corrélation à la taille et

forme de la ZOI. ..................................................................................................................... 122

Figure 69 : Adaptation locale de la discrétisation spatiale de la ZOI à sa cinématique

dans une image de référence : (a) Image où la fissure a fait la plus longue distance. (b)

Masque discontinuité. (c) ZOI initialement discrétisée (d) Adaptation locale de la taille et de

la forme des domaines à la ZOI au bord apparaissant. ........................................................... 124

Figure 70 : Changement du type de grille après le passage d’une discontinuité. (a) Etat

de la grille régulière avant le passage de la discontinuité avec un pas constant entre les

Liste des figures

xiii

différents domaines. (b) Etat de la grille après le passage de la discontinuité avec un pas qui

n’est pas constant entres les domaines. .................................................................................. 125

Figure 71 : Coefficients de corrélation C4 (voir chapitre II ; formule 22) en fonction du

déplacement pour différentes valeurs de : (a) la différence des moyennes de niveaux

de gris au bord NG= -566. (b) la différence des moyennes de niveaux de gris au bord NG=

-112. ........................................................................................................................................ 128

Figure 72 : Coefficients de corrélation C4 (voir chapitre II ; formule (22)) en fonction

du déplacement pour =16 pixels, NG=0 et différentes valeurs de R : (a) Bruit

variable entres états (b) Bruit constant entre états. ................................................................. 129

Figure 73 : Obtention du masque et de la grille finale. Repérage des centres

géométriques des nouveaux domaines. .................................................................................. 131

Figure 74 : Base de mesure et définition de son centre ............................................. 133

Figure 75 : Schéma explicatif de la construction des bases de mesure de déformations

en présence de discontinuités. ................................................................................................ 134

Figure 76 : Définition du masque pour un cas d’ouverture de fissure : (a) image

déformée, (b) masque excluant la fissure, (c) mouchetis et domaines ................................... 135

Figure 77 : Visualisation du champ de déplacements avec la CIN adaptée aux bords

d’une fissure s’ouvrant en mode I et qui se trouve à la surface d’une éprouvette testée en

traction pour : l’état de référence (a). états intermédiaires (b), (c) et (d). l’état final (e). ...... 136

Figure 78 : Visualisation du champ de déplacements avec la CIN standard aux bords

d’une fissure s’ouvrant en mode I à la surface d’une éprouvette testée en traction pour : l’état

de référence (a). états intermédiaires (b), (c) et (d). l’état final (e). ....................................... 137

Figure 79 : Adaptation de la grille régulière grâce au masque pour obtenir la grille

adaptée avec des domaines de forme adaptée. (a) Image initiale. (b) Grille régulière. (c) Grille

adaptée. (d) Masque. .............................................................................................................. 138

Figure 80 : Visualisation du champ de déplacements avec la CIN adaptée aux bords

d’une fissure se refermant à la surface d’une éprouvette testée en traction pour : l’état de

référence (a). états intermédiaires (b), (c) et (d). l’état final (e). ............................................ 139

Figure 81 : Visualisation (avec la CIN adaptée) des bases de mesure de déformation

(sous forme de croix). Etat de référence (a). Cumul d’affichage des bases d’un état

intermédiaire et des états précédents (b). Cumul d’affichage de bases de l’état final et des états

précédents (c). ........................................................................................................................ 140

Liste des figures

xiv

Figure 82 : Cartographies des composants Eyy et Exy du tenseur de déformations

attribuées aux centres géométriques de bases de mesure identifiés à l’état initial pour trois

états différents : Etat 2 (a-1 et b-1). Etat intermédiaire (a-2 et b-2). Etat final (a-3 et b-3).

Calcul avec la CIN adaptée. ................................................................................................... 141


d’une éprouvette testée en fermeturede fissure : l’état de référence (a). un état intermédiaire

(b). l’état final (c). Les domaines comportent un extérieur : se conservant physiquement

(zones encadrées en bleu), disparaissant progressivement (zone encadrée en rouge), les deux

à la fois (zone doublement encadrée). .................................................................................... 143


d’une fissure se refermant à la surface d’une éprouvette : l’état de référence (a), états

intermédiaires (b), (c) et (d), l’état final (e). .......................................................................... 144

Figure 85 : Visualisation (avec la CIN standard) des bases de mesure de déformation

(sous forme de croix) : Etat de référence (a). Cumul d’affichage des bases d’un état

intermédiaire et des états précédents (b). Cumul d’affichage de bases de l’état final et des états

précédents (c). ........................................................................................................................ 146

Figure 86 : Cartographies des composants Eyy et Exy du tenseur de déformations

attribuées aux centres géométriques de bases de mesure identifiés à l’état initial pour trois

états différents : Etat 2 (a-1 et b-1). Etat intermédiaire (a-2 et b-2). Etat final (a-3 et b-3).

Calcul avec la CIN standard. .................................................................................................. 147

xv

Liste des tableaux

Tableau 1 : résumé des techniques d'analyse de phase ................................................ 26

Tableau 2 : Caractéristiques des trois mouchetis A, B et C ......................................... 53

Tableau 3 : Caractéristiques des trois mouchetis A, B et C en faible éclairage ........... 58

Tableau 4 : Ecart-type global en fonction des conditions d'éclairage sur les écarts en

déplacements. ........................................................................................................................... 59

Tableau 5 : Valeurs des différents paramètres en rapport avec la ZOI (Masque et

Mouchetis), les domaines de corrélation et l’image (grandissement) associées à la

configuration requise pour étudier l’influence de la taille du masque sur la précision de

mesure. ..................................................................................................................................... 72

Tableau 6 : Moyenne et écart-types des niveaux de gris des histogrammes des niveaux

de gris de la partie masque (IM,M) et de la partie mouchetis (IS,S) pour des essais respectant

« a priori » la configuration « conservation du bord ». NG étant la différence des moyennes

de niveaux entre la partie masque et la partie mouchetis. ........................................................ 77

Tableau 7 : Comparaison des valeurs d’incertitude globale de mesure ( ) pour

différentes tailles de masque () entre une bande sans bruit de la configuration numéro 6

(NG6=+390) et une bande avec bruit de la même configuration. .......................................... 81

Tableau 8 : Valeurs de la largeur de bande () et valeurs d’amplitudes des courbes

d’erreur systématique pour la configuration N°1 (NG1=-566). ............................................. 84

Tableau 9 : Valeurs de taille du masque () avec les valeurs d’amplitudes des courbes

d’erreur systématique qui leurs correspondent pour la configuration N°2 (NG2=-519)........ 86

Tableau 10 : Valeurs de taille du masque () avec les valeurs d’amplitudes des

courbes d’erreur systématique qui leurs correspondent pour la configuration N°3 (NG3=-

382). .......................................................................................................................................... 87


courbes d’erreur systématique qui leurs correspondent pour la configuration N°4 (NG4=-

112). .......................................................................................................................................... 90

Tableau 12 : Valeurs de tailles du masque () avec les valeurs d’amplitudes des

courbes d’erreur systématique qui leurs correspondent pour la configuration N°5

(NG5=+30). ............................................................................................................................ 91

Liste des tableaux

xvi

Tableau 13 : Valeurs de tailles du masque () avec les valeurs d’amplitudes des

courbes d’erreur systématique qui leurs correspondent pour la configuration N°6

(NG5=+390). .......................................................................................................................... 91

Tableau 14 : Valeurs des différences des moyennes de niveaux de gris entre la partie

masque et la partie mouchetis (ΔNG) associées au degré de visibilité du pseudo-mouchetis.

Valeurs des amplitudes d’erreurs systématiques correspondantes (avec ou sans masque). ..... 94

Tableau 15 : Valeurs des différences des moyennes de niveaux de gris entre la bande

et le mouchetis (ΔNG). Amélioration de la précision globale par intégration de la bande dans

la ZOI. ...................................................................................................................................... 94

Tableau 16 : Différences des moyennes de niveaux de gris entre la bande et la partie

mouchetis. Amélioration de la précision locale par intégration du masque dans la ZOI. ........ 94

Tableau 17 : Influence du gradient des niveaux de gris au bord sur la variation

d’incertitude globale pour le tronçon [0 ; min], min étant la valeur de pour laquelle

l’incertitude globale atteint un minimum local lors de l’insertion du gradient bande-mouchetis

dans le domaine. ....................................................................................................................... 95

Tableau 18 : Influence du gradient des niveaux de gris au bord sur la variation

d’incertitude locale pour le tronçon [0 ; min]. min étant la valeur de pour laquelle

l’incertitude locale par déplacement imposé atteint un minimum local lors de l’insertion du

gradient bande-mouchetis dans le domaine. ............................................................................ 95


courbes d’erreur systématique qui leurs correspondent pour NG=-580. ............................. 101

Tableau 20 : Caractéristiques des essais pour l'analyse de l'influence de IM. ............ 101






courbes d’erreur systématique qui leurs correspondent pour NG=0. .................................. 105


courbes d’erreur systématique qui leurs correspondent pour NG=+200. ............................ 107


courbes d’erreur systématique qui leurs correspondent pour NG=+400. ............................ 107

Liste des tableaux

xvii

Tableau 26 : Valeurs de l'amplitude de l'erreur systématique en fonction de Rσ pour la

configuration « bruit variable » avec ΔNG =0. ...................................................................... 110

Tableau 27 : Valeurs de l'amplitude de l'erreur systématique en fonction de Rσ pour la

configuration « bruit constant » avec ΔNG =0. ...................................................................... 111

Tableau 28 : Configurations en présence de discontinuités dans le champ de

déplacement à l’intérieur du domaine de corrélation. ............................................................ 127

xviii

Remerciements

xix

Remerciements

Pour clore ce manuscrit, je souhaite adresser mes remerciements les plus sincères aux personnes (physiques et morales) qui m'ont apporté leur aide et qui ont contribué à l'élaboration de ce manuscrit ainsi qu’à la réussite de ma thèse.

Je tiens donc à remercier en premier lieu l’institut PPrime ainsi que le ministère de l’enseignement supérieur pour le financement de cette étude.

J'exprime tout d’abord ma reconnaissance à mon directeur de thèse Fabrice Brémand pour son encadrement scientifique, son soutien, sa disponibilité, ses conseils, son écoute ainsi que la confiance qu’il m'a témoigné tout au long des ces années de thèse.

Je suis très honoré que Jérôme Molimard, professeur à l’Ecole des Mines de Saint-Etienne, ait accepté d'examiner ce travail et de présider mon jury de thèse. Je l’en remercie.

Je remercie sincèrement Octavian Pop, HDR et maitre de conférences de l’université de Limoges, pour avoir accepté de rapporter mes travaux de thèse. De même, je remercie Gérard Mauvoisin, HDR et maître de conférences de l’université de Rennes. Qu'ils trouvent ici l'expression de ma sincère gratitude.

De façon générale, je remercie très sincèrement l’ensemble des membres du jury pour ses remarques et suggestions pertinentes. J’ai tenté au mieux de les prendre en compte pour la version finale de ce manuscrit.

De plus, pour leurs conseils et leur disponibilité, je tiens à remercier sincèrement mes co-encadrants Jean-Christophe Dupré et Arnaud Germaneau. Je remercie Pascal Doumalin, qui a pu m’accorder de son temps malgré sa charge d’enseignement.

J’exprime toute ma gratitude envers Valéry Valle, professeur de l’université de Poitiers. Pour moi tu es l’exemple à suivre de l’enseignant-chercheur. Aussi bien pédagogue et voué à ses enseignements que grand chercheur. Non seulement tu possèdes des compétences scientifiques exceptionnelles que tu sais transmettre mais également des qualités humaines indéniables. Merci pour tout le temps que tu m’as accordé malgré tes grandes responsabilités. Tes conseils et les nombreuses discussions que nous avons eues ensemble furent très instructifs. Cette thèse en est le fruit. Même si tu n’étais pas officiellement mon encadrant, je te voyais comme tel. Je n’ai pas assez de mots pour exprimer toute ma reconnaissance. Encore une fois MERCI.

Je ne saurais oublier Djamila Lagache pour sa joie de vivre et sa grande gentillesse envers moi et de façon générale envers tout le monde. Tu as été un véritable soutien durant les périodes de galères. Merci mon amie. Restes telle que tu es !

Un grand merci à Mathieu Maillet et Sébastien Sabourin pour leur aide technique et informatique.

Remerciements

xx

Je remercie également Michel Fillon, Mohamad Hajjam, Jean Bouyer, Pascal Jolly, Mathieu Maillet et Sébastien Sabourin pour les bons moments passés ensemble.

Je profite de ce manuscrit pour remercier Mourad Bentahar, HDR et maître de conférences et Rachid El Guerjouma, Professeur et actuel Président de l’Université du Maine, pour m’avoir accueilli en stage de master au sein du laboratoire d’acoustique du Mans (LAUM) et m’avoir initié à la recherche.

J’adresse un très grand merci à mes amis, compagnons de laboratoire et voisins de bureau pour avoir apporté de la bonne humeur dans le travail et à l’extérieur: Elias, Mohand, Ismaëlle, André, Fabien, Pierre, Andrei, Yohan, Yann …

Une pensée à mes parents, frères et sœurs ainsi que tous les membres de ma famille et ma belle-famille qui ont suivi de loin mon évolution et qui m’ont soutenu tout au long de cette thèse et de ma vie. Un merci particulier va à mon beau-père et ami Mah’d El-Mufleh pour son soutien indéfectible. Ses conseils ont largement contribué à l’aboutissement de mon projet de thèse et d’autres projets dans ma vie. De plus, je voudrais remercier ma belle-mère Catherine pour sa gentillesse. De manière générale, je voudrais leur exprimer tous deux mon admiration pour leur sens du sacrifice.

Je tiens à exprimer également toute ma gratitude pour ma sœur Soukaina Al Husseini, Docteur en pharmacie qui a toujours été pour moi un exemple à suivre. A travers ces lignes, qu’elle trouve l’expression de ma profonde admiration et mon grand amour.

Enfin, je voudrais dédier mon travail à Amelène Al Husseini et m’adresser à elle pour la remercier d’avoir toujours cru en moi. Ton soutien et ton amour m’ont permis de rebondir à chaque obstacle de cette thèse. Enfin, comment terminer ces remerciements sans exprimer tout mon amour à mon fils.

Table des matières

xxi

Table des matières

Introduction générale 3

Chapitre I. Méthodes de mesures expérimentales de champs mécaniques en présence d’une discontinuité 9

Introduction 10

I. Cinématique d’un milieu continu 10

I.1. Généralité 10

I.2. Hypothèses de continuité 12

I.3. En présence de discontinuité 13

II. Méthode de corrélation d’images numériques 14

II.1. Description de la méthode 14

II.2. Pertinence du modèle géométrique du milieu continu : transposition à la méthode de corrélation d’images numériques 16

III. Etat de l’art sur la mesure en présence de discontinuités 19

III.1. Mesure par corrélation 19

III.2. Les méthodes optiques de mesure de champs à codage de phase

21

III.3. Bilan sur la gestion des discontinuités 33

IV. Comparaison des techniques de mesures en présence de

discontinuité 35

IV.1. Comparaison en terme de résolution spatiale 35

IV.2. Comparaison en terme de discontinuités 36

Conclusion 38

Table des matières

xxii

Chapitre II. Présentation de la corrélation d'images

numériques pour la mesure de déplacements 41

Introduction 42

V. Méthode de corrélation d’images numériques 43

V.1. Principe de la méthode 43

V.2. Coefficient de corrélation 46

V.3. Interpolation subpixel 48

V.4. Algorithmes d’optimisation 49

V.5. Logiciel de corrélation 50

VI. Paramètres d’influence 50

VI.1. Procédure expérimentale 51

VI.2. Evaluation de l’erreur de mesure 54

VI.3. Effet de l’interpolation 55

VI.4. Influence de la taille du domaine de corrélation 55

VI.5. Influence des conditions d’éclairage 57

Conclusion 59

Chapitre III. CIN standard : Mesure sur un bord 61

Introduction 62

VII. Conservation du bord 64

VII.1. Procédure expérimentale 64

VII.2. Résultats 71

VII.3. Conclusion 1 93

VIII. Altération du bord 96

VIII.1. Procédure expérimentale 96

VIII.2. Résultats 99

VIII.3. Conclusion 2 113

IX. Confrontation des résultats 113

Conclusion 114

Table des matières

xxiii

Chapitre IV. CIN adaptée : gestion d’un bord dans la mesure du champ de déplacements d’une surface 2D 117

Introduction 118

X. CIN « adaptée » 119

X.1. Fonctionnement du masque 120

X.2. Détection d’un bord 126

XI. Implantation dans l’algorithme de la CIN standard 130

XI.1. Mise en œuvre pratique 130

XI.2. Calcul du champ de déplacements 131

XI.3. Calcul du champ de déformations 132

XII. Applications 134

XII.1. Ouverture de fissure 135

XII.2. Fermeture de fissure 137

Conclusion 148

Conclusion générale et perspectives 149

REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES I

LISTE DES FIGURES VIII

LISTE DES TABLEAUX XV

REMERCIEMENTS XIX

TABLE DES MATIERES XXI

RESUME : XXIV

Adaptation de la méthode de corrélation d’images numériques pour la gestion des discontinuités du milieu et de la transformation.

Résumé :

Le travail présenté dans ce mémoire consiste à adapter la méthode de corrélation d’images numériques (CIN) pour la gestion des discontinuités du milieu et de la transformation. Le cadre d’utilisation des méthodes optiques de mesure i.e. celui de la mécanique des milieux continus, impose une continuité matérielle : i) du domaine et ii) de la transformation. Pour traiter les discontinuités en question, on peut reconsidérer la continuité (milieu et transformation) par morceaux. Dans le cadre de la CIN, cela se traduit par la possibilité d’adapter localement la forme et la taille des fenêtres de corrélation à la zone d’intérêt et à sa cinématique. Pour ce faire, il est possible d’utiliser des masques : un masque-objet pour traiter les discontinuités du milieu et un masque-discontinuité pour traiter les discontinuités de la transformation. Cependant, avant l’implémentation des masques dans la procédure de corrélation, plusieurs essais expérimentaux de déplacement sur des modèles comportant les deux types de discontinuité, ont été conduits. Ces essais ont permis de prouver l’influence des discontinuités sur la dégradation de la précision de mesure par CIN. Ensuite, des essais de traction ont été menés sur une éprouvette en polycarbonate conduisant à un mode I d’ouverture ou de fermeture de fissure. Après l’implémentation des masques dans le logiciel de corrélation Correla, le calcul des champs de déplacement et de déformation a été opéré avec succès à la surface de cette éprouvette, démontrant ainsi l’efficacité de la CIN adaptée.

Mots clés : CIN, Mesure des champs de déplacement / de déformation ; discontinuités du milieu/de la transformation ; fissure ; masque.

Adaptation of the digital image correlation method for handling material and transformation discontinuities.

Abstract:

The development of the digital image correlation method (DIC) for the management of discontinuities of the material and the transformation is discussed in this thesis. As we know, the framework for the use of the optical measurement methods i.e. of continuum mechanics requires a continuity of: i) domain and ii) transformation. To treat those discontinuities, we can consider a piecewise continuity (material and transformation). In the case of DIC method, this can be done by adapting locally the shape and size of the correlation subsets to the zone of interest and its kinematics. A novel way to do it, is by using masks: an object mask to process material discontinuities and a discontinuity mask to process transformation discontinuities. However before the implementation of masks in the correlation process, several experimental displacement tests on models reproducing the two types of discontinuity at small scale were performed. Those tests proved the influence of discontinuities on the degradation of the measurement accuracy by DIC. Then, tensile tests were conducted on a polycarbonate made specimen knowing a mode I opening or closing crack. After implementing masks in the correlation software Correla, the calculation of displacement and deformation fields was successfully performed on the surface of this specimen for all its edges, demonstrating the effectiveness of the adapted DIC.

Key words: DIC, Measurement of displacement field / strain field; discontinuities of material / transformation; crack; mask.

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Hassan Al Husseini - Stockage UP edel Nuxeo