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(Hitta) Esp Vectoriel Distributions
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Espaces vectoriels topologiques
Distributions et EDP
Cours Master - 2008/2009
M. HITTA AmaraUniv. 8 Mai 1945
Guelma
12 Janvier 2009
Universite 8 Mai 1945 - Guelma
COURS - Master
Espaces Vectoriels Localement Convexes
Distributions, Espaces de Sobolev & E.d.p.
Mr HITTA AmaraEmail : [email protected]
2008-2009
Table des Matieres
1 Espaces vectoriels topologiques 5
1.1 Notations et Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Regularisation de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Partition de l’unite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Semi-normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Topologie determinee par une famille de semi-normes . . . . . . . . . . . . 12
2 Espaces vectoriels localement convexes 15
2.1 Ensembles convexes, equilibres et absorbants . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Jauges ou fonctionnelles de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Applications et formes lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4 Dualite dans les E.V.T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5 Topologie limite inductive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.6 Topologie des espaces de fonctions tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 Distributions 31
3.1 Definitions et proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 Derivees partielles au sens des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3 Multiplication des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4 Transformations de distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.4.1 Translation d’une distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.4.2 Symetrie d’une distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.4.3 Changement d’echelle et distributions homogenes . . . . . . . . . . 47
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3.5 Topologies sur l’espace D′(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.6 Topologies sur l’espace E′(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.7 Limites de distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4 Convolutions de distributions 53
4.1 Produit tensoriel de distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2 Convolution de deux distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2.1 Motivation et definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2.2 Proprietes de la convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2.3 Solutions fondamentales de certaines equations aux derivees partielles 60
5 Transformations de Fourier, Espaces S et S′ 67
6 Espaces de Sobolev 69
6.1 L’integration par partie et derivations faibles . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.2 Espace de Sobolev H1(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Chapitre 1Espaces vectoriels topologiques
1.1 Notations et Rappels
Etant donne un entier n ≥ 1, les elements de Nn sont appeles multi-indices. Pour α =
(α1, α2, · · · , αn) ∈ Nn le nombre |α| = α1 + · · · + αn est appele longueur du multi-indice
α. Pour k compris entre 1 et n, on note l’operateur de derivation par rapport a la k-ieme
variable par ∂k = ∂/∂xk et
∂α = ∂α11 · · ·∂αn
n =∂|α|
∂xα11 ∂x
α22 · · ·∂xαn
n
.
Soit k un entier superieur a 1. On dit que f : Ω → K est de classe Ck si toutes les
derivees partielles de f existent et sont continues jusqu’a l’ordre k. L’ordre dans lequel
sont effectuees les derivations est indifferent d’apres la theoreme de Schwarz. On note
Ck(Ω) l’ensemble des fonctions de classe Ck sur Ω.
On dit que f : Ω → K est de classe C∞ si elle est de classe Ck sur Ω pour chaque entier
k ≥ 1. On pose C∞(Ω) l’ensemble des fonctions de classe C∞ sur Ω, note d’apres Laurent
Schwatrz, par
E(Ω) = C∞(Ω)
On a
C∞(Ω) ⊂ · · · ⊂ Ck(Ω) ⊂ · · · ⊂ C1(Ω) ⊂ C(Ω).
Nous rappelons que :
E(Ω) = C∞(Ω) =⋂
k≥0
Ck(Ω).
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On designera par Lp(Ω) l’espace des fonctions de puissance p integrable a valeurs dans K.
Muni da la norme
‖f‖p =
[∫
Ω
|f(x)|pdx]
1p
,
l’espace Lp(Ω) est un espace de Banach. Si p ≥ 1, on designe par Lpℓoc(Ω) l’espace de
fonctions f ∈ Lpℓoc(K), pour tout compact K de Ω.
1.2 Regularisation de fonctions
Definition 1.2.1 Soit f une fonction reelle definie sur un ouvert Ω ⊂ Rn. On appelle
support de f l’ensemble
supp(f) = x ∈ Ω : f(x) 6= 0.
Le support de f est alors le plus petit ferme de Rn a l’exterieure duquel la fonction f est
nul.
On note par Ckc (Ω) l’ensemble des fonctions de Ck(Ω) qui sont a support compact dans Ω.
L’objectif est de construire des fonctions permettant, en particulier, de separer deux
fermes disjoints. Ces fonctions seront utilisees dans les techniques de convolution et de
regularisation de fonctions et de distributions.
Une fonction test (ou fonction d’essai) sur Ω est, par defintion, une fonction de classe
C∞ definie sur Ω a support compact dans Ω.
L’espace vectoriel de ces fonctions tests sur Ω, dans la notation de L. Schwartz, est
D(Ω) = C∞c (Ω).
Cet espace, equipe d’une topologie appropriee que l’on precisera, jouera un role important
dans la definition des distributions sur Ω.
La fonction suivante
ρ(x) =
exp
(
1
|x|2 − 1
)
si |x| ≤ 1
0 si |x| > 1.
est C∞ a support la boule fermee de centre 0 et de rayon 1 dans Rn, notee B1(0). En
divisant ρ par l’integrale de ρ sur Rn, on obtient une autre fonction C∞ de support B1(0),
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notee α, telle que∫
Rn α(x)dx = 1. Pour tout ε > 0, on definit
αε(x) =1
εnα
(
x
ε
)
.
On voit clairement que :
① αε ∈ Cα
c(Rn).
② Le support de αε est Bε(0), boule fermee de centre 0 et de rayon ε.
③∫
Rn
αε(x)dx = 1.
A l’aide de la famille (αε)ε>0, on peut regulariser les Lp-fonctions discontinues c’est-a-dire
qu’on peut montrer qu’elles peuvent etre approchees par des fonctions tests. C’est la
vocation principale du theoreme qui suivra.
Definition 1.2.2 Une fonction f definie sur Ω est dite localement integrable sur Ω si f
est integrable (au sens de Lebesgue) sur chaque compact K ⊂ Ω.
Ainsi, f est localement integrable sur Ω si, pour tout compact K ⊂ Ω, le produit f.χK
est integrable sur Ω, ou χK est la fonction caracteristique de K, qui est egale a 1 sur K
et 0 a l’exterieure de K.
Definition 1.2.3 Soit f ∈ L1ℓoc(R
n) une fonction localement integrable sur Rn. La fonc-
tion
fε(x) =
∫
Rn
f(x − y)αε(y)dy =
∫
Rn
f(x)αε(x − y)dy
est dite la convolution de f par αε, notee par f ∗ αε ou αε ∗ f .
Theoreme 1.2.1 Soit f une fonction localement integrable sur Rn, alors
① La convolution fε est une fonction C∞ dans Rn.
② Si f est a support compact K, le support de fε est contenu dans un ε-voisinage
de K definie par Kε = K +Bε(0) =⋃
x∈K
Bε(x).
③ Si f est continue, alors la suite (fε)ε>0 converge uniformement vers f sur tout
compact de Rn.
④ Si f ∈ Lp(Rn), 1 ≤ p < +∞, alors la suite (fε)ε>0 converge vers f dans Lp(Rn).
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Preuve :
① Comme l’integrale definissant fε(x) est prise sur des compacts de Rn donc on peut
deriver sous le signe integrale.
② Si x ∈ Rn et d(x,K) > ε alors x /∈ Kε = K + Bε(0). Donc, pour tout y ∈ K,
x − y /∈ Bε(0) = suppαε donc αε(x − y) = 0. Il s’en suit que l’integrale definissant
fε(x) vaut 0pour tout x /∈ suppfε, ce qui assure que le support de fε(x) est contenu
dans Kε.
③ Supposons que f est une fonction continue et fixons K ′ un compact quelconque de
Rn. Comme f est uniformement continue sur K ′, pour tout η > 0, il existe δ > 0
tel que |f(x− y) − f(x)| < η pour tout x ∈ K ′ et |y| < δ (y est dans un voisinage
de 0 dans R). En choisissant ε < δ il vient que
|fε(x) − f(x)| ≤∫
Rn
|f(x− y) − f(x)|αε(y)dy < η,
pour tout x ∈ K ′, ce qui montre que fε converge uniformement vers f sur K ′ lorsque
ε tend vers 0.
④ Supposons que f ∈ Lp(Rn), 1 ≤ p < +∞. D’apres le theoreme de densite, f peut etre
approchees dans Lp(Rn) par des fonctions continues a supports compacts. D’autre
part, en utilisant l’inegalite de Minkowski dans sa forme integrale on montre que si
f ∈ Lp(Rn) alors fε ∈ Lp(Rn) telle que ‖fε‖p ≤ ‖f‖p.
Soit η > 0 et g ∈ Cc(Rn) telle que ‖f − g‖p <
η3. Il s’ensuit que ‖fε − gε‖p ≤
‖f − g‖p <η3. Ecrivons
‖fε − f‖p ≤ ‖fε − gε‖p + ‖gε − g‖p + ‖g − f‖p.
Comme g est continue a support compact, alors d’apres ③, la suite (gε)ε>0 converge
uniformement vers g sur Rn, donc gε → g dans Lp(Rn). En choisissant ε assez petit,
on en deduit que ‖gε − g‖ < η
3. Finalement, on obtient ‖fε − f‖ < η.
Ce theoreme justifie la definition suivante :
Definition 1.2.4 La famille (αε)ε>0 est dite famille regularisante des fonctions definies
sur Rn. Si ε = i−1, la suite de fonctions
αi(x) = inα(ix), i = 1, 2, · · ·
est dite suite regularisante de fonctions.
Corollaire 1.2.5 Soit Ω un ouvert de Rn. L’espace C∞c (Ω) est un dense dans Lp(Ω),
1 ≤ p < +∞.
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Corollaire 1.2.6 Soit K un compact de Ω. Il existe une fonction ϕ ∈ C∞c (Ω) telle que
0 ≤ ϕ ≤ 1 et ϕ = 1 dans K.
Preuve : Sans perdre de generalite, on peut supposer que Ω est borne. Soit d la dis-
tance entre K et la frontiere Fr(Ω) et posons Kd/3 le d/3-voisinage de K defini comme
precedemment. Il est facile de voir que la fonction ϕ = χd/3 ∗ αd/3 verifie ce qui est
demande dans l’enonce du corollaire.
Corollaire 1.2.7 Soient K1 et K2 deux compacts disjoints de l’ouvert Ω ⊂ Rn. Il exoste,
alors, une fonction ϕ ∈ D(Ω) telle que
ϕ(x) =
1 si x ∈ K1
−1 si x ∈ K2
et |ϕ(x)| ≤ 1 pour tout x ∈ Ω.
Preuve : Soient U1 et U2 deux ouverts disjoints de Ω contenant respectivement K1 et
K2. D’apres le corollaire precedent, il existe ϕ1 et ϕ2 ∈ D(Ω), telles que
ϕi ≡ 1 dans Ki, ϕi ∈ D(Ui), i ∈ 1, 2,
et 0 ≤ ϕi(x) ≤ 1, i ∈ 1, 2. La fonction cherchee sera definie par ϕ(x) = ϕ1(x) −ϕ2(x), ∀x ∈ Ω.
Avec la meme argumentation, on montre que, si K est sous-ensemble compact de Rn et si
V est un voisinage arbitraire de K, il existe une fonction ϕ ∈ C∞c (Ω) telle que 0 ≤ ϕ ≤ 1,
ϕ vaut 1 sur un voisinage de K et supp(ϕ) ⊂ V .
Theoreme 1.2.2 Soient R et r ∈ R tels que 0 < r < R. Notons par BR et BR−r deux
boules concentriques de rayons respectifs R et R−r. Il existe une fonction ϕ ∈ C∞c (Ω)
telle que :
② supp(ϕ) ⊂ BR,
② ϕ(x) = 1 sur BR−r,
③ pour tout p ∈ Nn: |∂pϕ(x)| ≤ C(p, n).r−|p|, ∀x ∈ Rn.
Preuve : Posons χ la fonction caracteristique de la boule concentrique de rayon R−(2r/3)
et definissons la fonction ϕ par
ϕ(x) = χ ∗ αd(x) =
∫
BR−(2r/3)
αd(x− y)dy =1
dn
∫
BR−(2r/3)
α
(
x− y
d
)
dy
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avec d = r3. Il est clair que supp(ϕ) ⊂ BR et ϕ = 1 sur BR−r. Pour tout 1 ≤ i ≤ n, on a
∂iϕ(x) =d−1
dn
∫
BR−(2r/3)
∂α
∂xi
(
x− y
d
)
dy,
ainsi
|∂iϕ(x)| ≤ d−1
dn
∫
Rn
∂iα(y
d
)
dy = d−1
∫
Rn
∂iα(t)dt ≤ C(i, n).r−1.
Une preuve analogue nous donne ③.
1.3 Partition de l’unite
L’objectif est la construction de fonctions indefiniment differentiables et a support com-
pact permettant d’obtenir des proprietes globales de fonctions ou de distributions en
etudiant leurs proprietes locales.
Proposition 1.3.1 Soit K un compact de Rn et soit (Ui)ni=1 un recouvrement ouvert
de K. Il existe une famille de compacts (Ki)ni=1 tel que Ki ⊂ Ui pour tout i = 1, · · · , n
et
K =n⋃
i=1
Ki.
Preuve : Pour chaque x ∈ K soit rx > 1 tel que B(x, rx) ⊂ ⋂
x∈Ui
Ui. Alors, on a
K ⊂ ⋃
x∈K
B(x, rx). Il existe un nombre fini x1, · · · , xn ∈ K tel que K ⊂n⋃
j=1
B(xj , rxj).
Posons
Ki = K⋂
⋃
B(xj ,rxj )⊂Ui
B(xj , rxj)
.
Il est clair que Ki est un sous-ensemble compact deK et Ki ⊂ Ui. D’autre part, soit
x ∈ K, il existe i tel que x ∈ B(xi, rxi). Par ailleurs, il existe j0 tel que xi ∈ Uj0 et alors
B(xi0 , rxi0) ⊂ Uj0. Donc x ∈ Kj0 ⊂
n⋃
i=1
Ki.
Corollaire 1.3.1 [Partition de l’unite] Soient K un compact de Rn et (Ωi)1≤i≤n un
recouvrement fini de K. Il existe des fonctions ϕi ∈ C∞c (Ω) telles que :
① 0 ≤ ϕi ≤ 1, ②k∑
i=1
ϕi = 1 sur un voisinage de K.
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Preuve : On peut trouver des compacts (Ki)1≤i≤n tel que Ki ⊂ Ωi et K ⊂n⋃
i=1
Ki , ou
Ki designe l’interieur de Ki. Pour tout i, posons ψi ∈ C∞
c (Ωi) telle que 0 ≤ ψi ≤ 1 et
ψi = 1 sur K. Definissons la suite que nous cherchons de la facon suivante
ϕ = ψ1, ϕi = ψi(1 − ψ1) · · · (1 − ψi−1), i = 2, · · · , n.
Il est facilement verifiable que la suite de fonctions (ϕi)1≤i≤n verifie les proprietes de-
mandees.
Les espaces vectoriels consideres, dans la suite, ont pour corps de base K = R ou C.
1.4 Semi-normes
Definition 1.4.1 Soit E un K-espace vectoriels. On dit qu’une application p : E → R
est une semi-norme si, pour chaque x, y ∈ E et λ ∈ K, on a :
① p(x + y) ≤ p(x) + p(y) ② p(λx) = |λ|p(x).
Proposition 1.4.2 Soit E un K-espace vectoriel. Si p est une semi-norme sur E alors :
① p(0) = 0 ② p(x) ≥ 0 ③ |p(x) − p(y)| ≤ p(x − y).
Preuve : On a p(0) = p(0x) = 0p(x) = 0, ce qui prouve ①. Montrons ③, pour x, y ∈ E,
la sous-additivite de p revele que
p(x) = p(x− y + y) ≤ p(x− y) + p(y),
donc p(x) − p(y) ≤ p(x− y). Cependant, par homogeniete de p on deduit que
p(x− y) = p[−(y − x)] = p(y − x) ≥ p(y) − p(x).
Ce qui prouve que p(x− y) ≥ |p(x) − p(y)|.
Exemple 1.4.1 Toute norme sur E est une semi norme.
Soit Ω un ouvert non vide de Rn. On note par KΩ l’ensemble des parties compactes de Ω.
Exemple 1.4.2 Considerons l’espace C(Ω) des fonctions continues sur Ω. Pour chaque
compact K ∈ KΩ, l’application pK
: C(Ω) → R definie, pour chaque f ∈ C(Ω), par
pK(f) = sup
x∈K|f(x)|.
est une semi-norme.
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Exemple 1.4.3 Soit k ∈ N∗. Pour chaque K ∈ KΩ, l’application pK
: Ck(Ω) → R
definie pour chaque f ∈ Ck(Ω) par
pK(f) = sup
x∈K,|α|≤k
|∂αf(x)|.
est une semi-norme.
Exemple 1.4.4 Pour chaque k ∈ N∗ et chaque K ∈ KΩ, l’application pK
: C∞(Ω) →R definie pour chaque f ∈ C∞(Ω) par
pk,K
(f) = supx∈K,|α|≤k
|∂αf(x)|.
est une semi-norme.
Definition 1.4.3 On dit qu’une famille (pi)i∈I de semi-normes sur un espace vectoriel E
est separante si, pour chaque x ∈ E non nul, il existe i ∈ I tel que pi(x) > 1.
Exemple 1.4.5 Les familles de semi-normes definies precedemment sur les espaces
C(Ω), Ck(Ω) et C∞(Ω) sont separantes.
1.5 Topologie determinee par une famille de semi-
normes
Les types de convergence rencontres en analyse ne rentrent pas tous dans le cadre des
espaces normes, on peut citer par exemple la convergence simple sur un ensemblee infini,
la topologie de la convergence uniforme sur les parties compactes d’un ouvert ...
Soit E un espace vectoriel et (pi)i∈I une famille separante de semi-normes sur E. Etant
donnes un element x0 ∈ E, un sous-ensemble fini non vide In de I et un reel r > 0, on
note
Vn(x0, r) = y ∈ E : maxi∈In
pi(x0 − y) < r.
Definition 1.5.1 On dit qu’un sous-ensemble O de E est ouvert s’il est vide ou bien si,
pour chaque x0 ∈ O, il existe un sous-ensemble fini non vide In de I et un reel r > 0 tels
que Vn(x0, r) ⊂ O.
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Les ensembles de la forme Vn(x0, r) sont des ouverts et jouent un role analogue a celui
des boules ouvertes dans les espaces metriques.
Les sous-ensembles de E de la forme :
Vn(x0, r) = x ∈ E : maxi∈In
pi(x0 − x) ≤ r
sont des fermes et jouent un role analogue a celui des boules fermees dans les espaces
metriques.
Definition 1.5.2 On appelle topologie sur E determinee par la famille (pi)i∈I celle dont
les ouverts sont definis precedemment.
Proposition 1.5.3 La topologie determinee par une famille separante de semi-normes
(pi)i∈I est separee.
Preuve : Soient x, y ∈ E tels que x 6= y. Puisque (pi)i∈I est separante, il existe i0 ∈ I
tel que r = pi0(x − y) > 0. Alors Vi0(
x, r2
)
et Vi0(
y, r2
)
sont deux ouverts disjoints
contenant separement x et y.
Definition 1.5.4 Un espace vectoriel E muni d’une topologie T est un espace vectoriel
topologique (E.v.t) si :
(Tvs 1) (x, y) → x+ y est une application continue de E × E dans E.
(Tvs 2) (λ, x) → λx de K × E dans E
sont continues.
Il est evident que dans les deux axiomes on considere la topologie produit dans des espaces
vectoriels produits.
La structure d’espace vectoriel de E est dite compatible avec la topologie T si les axiomes
(Tvs 1) et (Tvs 2) sont verifies.
Exemple 1.5.1 L’espace norme (E, ‖.‖) est un espace vectoriel topologique. En effet,
par definition
‖(x+ y) − (a + b)‖ ≤ ‖x− a‖ + ‖x− b‖.On a ‖(x+ y) − (a+ b)‖ ≤ ε des que
‖x− a‖ ≤ 1
2ε et ‖y − b‖ ≤ 1
2ε.
Ce qui prouve que (x, y) → x+ y est une application continue de E ×E dans E. D’autre
part, on a
ξx− λa = (ξ − λ)(x− a) + (ξ − λ)a+ λ(x− a);
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• Si λ 6= 0 et a 6= 0 : ‖ξx− λa‖ < ε, des que
|ξ − λ| < min
(√
ε
3,
ε
3‖a‖
)
et ‖x− a‖ < min
(√
ε
3,ε
3|λ|
)
• Si λ = 0 et a 6= 0 : ‖ξx− λa‖ < ε, des que
|ξ| < min
(√
ε
3,
ε
3‖a‖
)
et ‖x− a‖ <√
ε
2
• Si λ 6= 0 et a = 0 : ‖ξx− λa‖ < ε, des que
|ξ − λ| <√
ε
3et ‖x‖ < min
(√
ε
2,
√
ε
2|λ|
)
• Si λ = 0 et a = 0 : ‖ξx− λa‖ < ε, des que
|ξ| <√ε et ‖x‖ <
√ε.
Theoreme 1.5.1 Un espace vectoriel E muni de la topologie engendree par une
famille separante de semi-normes est un espace vectoriel topologique.
Preuve : Etablissons la continuite de l’addition en un point (a, b). Fixons un indice
i0 ∈ I et un reel ε > 0. Pour (x, y) ∈ E × E nous avons
pi0 [(x+ y) − (a + b)] ≤ pi0(x− a) + pi0(y − b).
Il s’en suit que pi0((x+y)− (a+b)) ≤ ε des que pi0(ϕ(x−a)) ≤ ε/2 et pi0(ϕ(y−b)) ≤ ε/2
d’ou la continuite de l’addition au point (a, b).
Pour la multiplication externe (λ, x) → λx, etablissons sa continuite en un point (α, a).
Fixons un indice i0 ∈ I et un reel ε > 0. Pour (λ, x) ∈ K × E, nous avons
pi0 [(λy) − (µa)] ≤ |λ− α|pi0(x) + |α|pi0(x− a).
Fixons un reel r > 0 tel que |α|r ≤ ε/2. Nous observons que pour x verifiant pi0(x−a) ≤ r
nous avons pi0(x) ≤ pi0(a) + r et donc |λ − α|pi0(x) ≤ |λ − α|(pi0(a) + r). Fixons alors
un reel η tel que η(pi0(a) + r) ≤ ε/2. Pour (λ, x) ∈ K × E verifiant |λ − α| ≤ η et
pi0(x − a) ≤ r nous avons pi0(λx − αa) ≤ ε, d’ou la continuite de la multiplication au
point (α, a).
On en deduit ainsi que :
① Les translations et les homotheties, de rapports 6= 0, sont des homeomorphismes.
② L’ensemble V(a) des voisinages d’un point a ∈ E est l’image par la translation τa de
l’ensembles des voisinage V(0) de 0. La topologie d’un espace vectoriel est connue
des que l’on connait les voisinages de 0 :
V(a) = τa (V(0)).
Chapitre 2Espaces vectoriels localement convexes
On va montrer qu’un espace vectoriel muni d’une famille separante de semi-normes est
un espace vectoriel topologique localement convexe.
Inversement, on montrera que tout espace vectoriel topologique localement convexe est
un espace vectoriel sur lequel on definit une famille separante de semi-normes.
2.1 Ensembles convexes, equilibres et absorbants
Definition 2.1.1 Soit A un sous-ensemble de E.
① A est convexe si, pour chaque x, y ∈ A et chaque λ ∈ [0, 1], on a λx+(1−λ)y ∈ A.
② A est equilibre si, pour chaque x ∈ A et chaque λ ∈ K : |λ| ≤ 1, on a λx ∈ A.
③ A est absorbant si, pour chaque x ∈ E et chaque λ ∈ K on a x ∈ λA.
④ A absorbe B ⊂ E, s’il existe λ ∈ R+ tel que B ⊂ λA.
⑤ A est absolument convexe s’il est convexe et equilibre.
Lemme 2.1.2 Si p est une semi-norme sur un espace vectoriel E, alors l’ensemble
B1 = x ∈ E : p(x) ≤ 1
est convexe, equilibre et absorbant.
Preuve : Soient x, y ∈ V et λ ∈ [0, 1]. Posons z = λx+ (1 − λ)y ∈ E, alors
p(z) = p(λx+ (1 − λ)y) = λp(x) + (1 − λ)p(y) ≤ λ+ (1 − λ) = 1.
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Donc z ∈ B1 et B1 est convexe. Supposons que µ ∈ K et |µ| ≤ 1, comme x ∈ B1 alors
p(µx) = |µ|p(x) ≤ p(x) ≤ 1 et µx ∈ B1. Donc B1 est equilibre. Pour montrer que B1 est
absorbant, prenons x ∈ E et p(x) = k alors p(k−1) = 1 ≤ 1 donc k−1x ∈ B1.
Plus precisement, soit λ ∈ R+, on definie
Bλ = x ∈ E : p(x) ≤ λ
On verifie facilement que l’on a
Bλ = λB0.
2.2 Jauges ou fonctionnelles de Minkowski
Les jauges jouent un role important dans l’etude du lien entre les espaces vectoriels
topologiques et les espaces localement convexes.
Lorsque A est une partie absorbante d’un espace vectoriel E, alors pour chaque x ∈ E,
l’ensemble λ > 0 : x ∈ λA est non vide, on peut alors considerer
JA(x) = infλ > 0 : x ∈ λA.
On a definit ainsi une fonction reelle JA : E → R appelee jauge ou fonctionnelle de
Minkowski de A.
Si A est convexe et absorbante alors, pour tout x, y ∈ E et chaque reel λ ∈ R+, on a
JA(x + y) ≤ JA(x) + JA(y) et JA(λx) = λJA(x).
Si de plus A est equilibre, alors JA est une semi-norme :
Si A ⊂ E est convexe, absorbant et equilibre alors JA est une semi-norme sur E.
Preuve : Comme A est une partie absorbante de E alors JA est bien definie sur E et
JA : E → R+. Soient x ∈ E , y ∈ E, λ > 0 et β > 0 tels que x ∈ λA et y ∈ βA. On a
x+ y ∈ λA+ βA = (λ+ β)
[
λ
λ+ βA+
β
λ+ βA
]
⊂ (λ+ β)A
car A est convexe. D’ou l’additivite JA(x + y) ≤ JA(x) + JA(y). Finalement, puisque A
est equilibre, il vient que JA(λx) = |λ|JA(x).
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On verifie facilement que
x ∈ E : JA(x) < 1 ⊂ A ⊂ x ∈ E : JA(x) ≤ 1
Nous allons montre le theoreme suivant qui donne une caracterisation des espaces locale-
ment convexes ceci justifie en meme temps le nom donnes a ces espaces.
Theoreme 2.2.1 Soit E un espace vectoriel topologique, alors on a les conditions
suivantes sont equivalentes :
① E est localement convexe;
② Il existe un systeme fondamental de voisinages convexes de l’origine;
③ Il existe un systeme fondamental de voisinages convexes, equilibres et absorbants
de l’origine.
Preuve : ① =⇒ ② : Si la topologie de E est definie par une famille de semi-normes
(pi)i∈I, alors les ensembles
Vn(ε) = x ∈ E : pi(x) ≤ ε, i ∈ In
ou 0 < ε < 1, forment un systeme fondamentale de voisinages convexes de l’origine.
③ =⇒ ① : A chaque voisinage convexe, equilibre et absorbant V on peut lui associe une
jauge JV qui est une semi-norme. La famille des jauges, ainsi, obtenue definie la topologie
de E.
② =⇒ ③ : Il suffit de montrer que si V est un voisinage convexe de l’origine alors
l’ensemble
U =⋂
|λ|=1
λV
est un voisinage convexe, absorbant et equilibre de l’origine. Comme (µ, x) → µx est
continue a l’origne (0, 0), il existe ε > 0 et un voisinage V ′ de l’origne dans E tel que
µx ∈ V pour tout |µ| ≤ ε et pour tout x ∈ V ′.
Ceci est equivalent a l’existence d’un voisinage W de 0 tel que
µW ⊂ V pour tout |µ| ≤ 1.
En particulier : µW ⊂ V pour tout |µ| = 1. Ainsi, W ⊂ λV ou |λ| = 1, ce qui implique
que U est un voisinage de 0 dans E. Il est clair que U est convexe comme intersection de
convexes. De plus U est absorbant. Montrons, enfin, que U est equilibre. Si x ∈ U , le
segment [0, x] est contenu dans U c’est-a-dire que λx ∈ U pourtout 0 ≤ λ ≤ 1. D’autre
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part, si x ∈ U , de la definition de U il vient que λx ∈ U pour tout |λ| = 1. Si µ 6= 0 et
|µ| ≤ 1 on obtient
µx = |µ|. µ|µ|x ∈ U
ce qui montre que U est equilibre.
Exemple 2.2.1 Soit Ω un ouvert de Rn et 1 ≤ p < +∞. Notons Lpℓoc(Ω) l’espace des
fonctions mesurables p-localement integrable sur Ω c’est-a-dire : pour tout compact K de
Ω on a∫
K
|f(x)|p < +∞. On definie une semi-norme par
pK(f) =
[∫
K
|f(x)|p]1/p
< +∞
La famille de semi-normes (pK)K∈KΩdetermine une topologie faisant de Lp
ℓoc(Ω) un espace
vectoriel localement convexe.
Definition 2.2.1 On dit qu’une suite (xn)n de E converge vers un elements x ∈ E si,
pour chaque voisinage V de 0, il existe un entier m0 tel que, pour chaque entier m > m0,
on a xm − x ∈ V .
Comme la topologie etant separee, une suite convergente possede une seule limite. En
terme de semi-normes on a la definition equivalente :
Une suite (xn)n de E converge vers un elements x ∈ E si, et seulement si, pour chaque
indice i ∈ I et chaque ε > 0 il existe un entier m0 tel que pour chaque entier m ≥ m0
on a pi(xm − x) ≤ ε.
On peut introduire dans les espaces vectoriels topologiques la notion de suite de Cauchy :
Definition 2.2.2 On dit qu’une suite (xn)n de E est une suite de Cauchy si, et seulement
si, pour chaque voisinage V de 0, il existe un entier m0 tel que, pour chaque entier
m,m′ > m0, on a xm − xm′ ∈ V .
Ce qui se traduit en terme de semi-normes par :
Une suite (xn)n de E est une suite de Cauchy si, et seulement si, pour chaque indice
i ∈ I et chaque ε > 0, il existe un entier m0 tel que pour chaque entier m,m′ ≥ m0 on
a pi(xm − xm′) ≤ ε.
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On conserve les notations, precedemment evoquees. Les topologies suivantes ne peuvent
etre determinees par des normes.
Exemple 2.2.2 Dans l’espace C(Ω), la topologie determinee par la famille de semi-
normes (pK)K∈KΩ
pK(f) = supx∈K
|f(x)|
est appelee la topologie de la convergence uniforme sur les parties compactes de
Ω. Une suite (fn)n de C(Ω) converge vers f si, et seulement, si pour chaque K ∈ KΩ,
la suite (fn)n converge uniformement vers f sur K. Toute suite de Cauchy de C(Ω) est
convergente. Cette topologie ne peut etre determinee par une norme.
Exemple 2.2.3 Dans l’espace Ck(Ω), k ≥ 1, la topologie determinee par la famille de
semi-normes (pK)K∈KΩ
pK(f) = supx∈K,|α|≤k
|∂αf(x)|
est appelee la topologie de la convergence uniforme sur les parties compactes de Ω
pour f et toutes ses derivees jusqu’a l’ordre k. Une suite (fn)n de Ck(Ω) converge vers
f si, et seulement, si pour chaque K ∈ KΩ, la suite (∂αfn)n converge uniformement vers
∂αf sur K. Toute suite de Cauchy de Ck(Ω) est convergente.
On va etudier rapidement les notions topologiques vues en Licence dans le cadre des
espaces vectoriels dont la topologie est determinee par une famille separante de semi-
normes.
Dans ce qui suit E et F sont deux espaces vectoriels munis respectivement par des topolo-
gies determinees par les familles de semi-normes (pi)i∈I et (qℓ)ℓ∈L.
Rappelons que V est un voisinage de a ∈ E si, et seulement si, il existe un sous-ensemble
fini non vide In de I et un reel r > 0 tel que Vn(a, r) ⊂ V.
Etant donne a ∈ E et A une partie non vide de E. On a a ∈ A si, et seulement si,
pour chaque sous-ensemble fini non vide In de I et pour chaque reel r > 0 on a
∀n ∈ N, ∀r > 0, Vn(a, r) ∩ A 6= ∅
Theoreme 2.2.2 L’adherence d’une partie convexe est convexe. L’adherence d’un
sous-espace vectoriel est un sous-espace vectoriel.
Preuve : Notons par f l’application de E×E×R dans E qui, a chaque (x, y, λ) associe
f(x, y, λ) = λx+(1−λ)y. Cette application f est continue. Nous observons qu’une partie
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A de E est convexe si, et seulement si, f(A×A× [0, 1]) ⊂ A. Pour chaque partie convexe
C de E nous avons
f(
C × C × [0, 1])
= f(
C × C × [0, 1])
⊂ f(C × C × [0, 1]) ⊂ C
ce qui montre la convexite de C. On utilise une methode analogue pour demontrer que
l’adherence d’un sous-espace vectoriel est un sous-espace vectoriel.
Lemme 2.2.3 Soit E un espace localement convexe et F un ferme de E. Supposons
que V est un voisinage ouvert convexe et equilibre de 0 dans F et soit x ∈ E et x /∈ F .
Alors, il existe un voisinage W ouvert convexe et equilibre de 0 dans E tel que x /∈W et
W ∩ F = V .
Preuve : Comme F est un ferme de E, il existe un voisinage V0 ouvert convexe et
equilibre de 0 dans E tel que
(x+ V0) ∩ F = ∅ et V0 ∩ F ⊂ V
Posons W l’enveloppe convexe equilibre de V ∪ V0. Il est facile de montrer que W est
ouvert. D’autre part, on a clairement V ⊂ W ∩F . Si w ∈W ∩F , il s’ecrit w = αv+ βv0
avec v ∈ V et v0 ∈ V0 et |α| + |β| ≤ 1. On doit supposer β 6= 0, sinon il y aurait
rien a demontrer. La relation precedente implique que v0 ∈ V0 ∩ F ⊂ V , donc w ∈ V .
Finallement, supposons par contradiction que x ∈ W . Alors, x = y + z avec y ∈ F et
z ∈ V0. Ainsi, y = x− z ∈ (x+ V0) ∩ F ce qui est impossible.
2.3 Applications et formes lineaires
Definition 2.3.1 Une application f de E dans F est continue au point a ∈ E si, et
seulement si, pour chaque ℓ ∈ L et chaque reel ε > 0, il existe un sous-ensemble fini non
vide In ⊂ I et un reel r > 0 tels que
maxi∈In
pi(x − a) < r =⇒ qℓ(f(x) − f(a)) < ε
Si f est une application lineaire cette definition se reformule ainsi :
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Theoreme 2.3.1 Soit f une application lineaire de E dans F . Les affirmations suiv-
antes sont equivalentes :
① f est continue;
② f est continue en 0;
③ ∀ℓ ∈ L, il existe In ⊂ I, fini, et c ∈ R+ tel que, pour chaque x ∈ E on a :
qℓ(f(x)) ≤ c maxi∈In
pi(x).
Lorsque E = F et f une forme lineaire sur E, on a
Theoreme 2.3.2 Soit f une forme lineaire de E. Les affirmations suivantes sont
equivalentes :
① f est continue;
② f est continue en 0;
③ Il existe In ⊂ I, fini, et c ∈ R+ tel que, pour chaque x ∈ E on a :
|f(x)| ≤ c maxi∈In
pi(x).
Ce resultat s’ecrit ainsi :
∀η > 0, ∃c > 0 et n ∈ N tel que f
(
Vn
(
η
c
))
⊂] − η, η[.
L’ensemble des formes lineaires continues sur E est un espace vectoriel note
E ′ appele la dual topologique de E.
Rappelons que si H est un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel, les affirmations
suivantes sont equivalentes :
1. H est le noyau d’une forme lineaire non nulle definie sur l’espace vectoriel.
2. H est un element maximal, pour l’inclusion, parmi les sous-espaces vectoriels propres
de l’espace vectoriel.
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Corollaire 2.3.2 Si H est un hyperplan de E alors H est ferme ou dense dans E.
Theoreme 2.3.3 Un hyperplan de E est ferme si, et seulement si, il est le noyau
d’une forme lineaire continue.
Preuve : Soient H un hyperplan ferme de E et f une forme lineaire non nulle dont H est
le noyau. Nous pouvons trouver un a ∈ E tel que f(a) = 1, l’ensemble a+H est alors un
ferme de E qui ne contient pas 0. Par definition, on peut trouver n ∈ N et r > 0 tel que
Vf,n(r) ∩ (a +H) = ∅. Nous allons montrer que pour chaque x ∈ Vf,n(r) on a |f(x)| < 1.
Supposons la contraire : il existe x0 ∈ Vf,n(r) tel que |f(x)| > 1. Quite a multiplier x0 par
un reel de module egal a 1 nous pouvons supposer que f(x0) est un reel ≥ 1. Si f(x0) = 1
alors x0 − a ∈ H (x0 + a ∈ H) ce qui est contradictoire avec Vf,n(r) ∩ (a + H) = ∅. Si
f(x) > 1 il existe un reel λ ∈]0, 1[ tel que f(λx0) = 1. Nous remarquons que λx0Vf,n(r)
et nous sommes ramenes au cas precedent. Puisque, pour chaque x ∈ E, maxi∈In
pi(x) ≤ r
entraıne |f(x) ≤ 1 et pour chaque x ∈ E nous avons |f(x)| ≤ (1/r) maxi∈In
pi(x).
Definition 2.3.3 On dit qu’une metrique d sur un espace vectoriel E est invariant par
translation si, pour chaque x, y, a ∈ E, on a d(x, y) = d(x+ a, y + a).
Deux metriques d et d′, invariantes par translation sur le meme espace vectoriel E, qui
determinent la meme topologie sont uniformement equivalentes (c’est-a-dire que IE :
(E, d) → (E, d′) et IE : (E, d′) → (E, d) sont uniformement continues). Lorsque d et d′
sont deux metriques invariantes par translation topologiquement equivalentes sur E alors
(E, d) est complet si, et seulement si, (E, d′) est complet.
Definition 2.3.4 On dit que la topologie T d’un espace vectoriel topologique E est
metrisable s’il existe une metrique sur E, invariante par translation, qui determine la
topologie T.
Theoreme 2.3.4 La topologie sur un espace vectoriel determinee par une suite
separante de semi-normes est metrisable.
Preuve : Soit (pk)k une suite separante de semi-normes sur un espace vectoriel E. Pour
x, y ∈ E definissons
d(x, y) =+∞∑
k=1
2−k pk(x− y)
1 + pk(x− y).
Il est facile de verifier que d est une distance invariante par translation sur E qui determine
la meme topologie que la suite (pk)k.
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Exemple 2.3.1 Lorsque (pk)1≤k≤m est une suite finie separante de semi-normes sur
E alors
max1≤k≤
pk et
(
m∑
k=1
prk
)1r
, 1 ≤ r <∞
sont des normes equivalentes qui determinent la meme topologie que la suite (pk)1≤k<m
Un espace vectoriel muni d’une topologie determinee par une famille
separante de semi-normes est dit espace de Frechet lorsqu’il existe une dis-
tance invariante complete qui determine T.
Exemple 2.3.2 Les espaces C(Ω), Ck(Ω) et C∞(Ω) sont des espaces de Frechet.
2.4 Dualite dans les E.V.T.
Soit E un espace vectoriel sur K = R ou C, le dual algebrique, note E∗, est l’espace
vectoriel des formes lineaires x∗ : E → K. On note x∗(x) =< x, x∗ > le crochet de dualite
representant la valeur de x∗ sur x ∈ E. Pour chaque x∗ ∈ E∗ posons
px∗(x) = | < x, x∗ > |.
L’application px∗ : E → K est une semi-norme sur sur E et la famille (px∗)x∗∈E∗ determine
une lopologie localement convexe sur E, notee σ(E,E∗). Dans le meme d’idees, nous
pouvons definir une topologie localement convexe sur E∗, noteeσ(E∗, E).
Lorsque E est un K-espace vectoriel topologique, Le dual topologique E ′ de E est le sous-
espace de E∗ forme des formes lineaires continues (ou fonctionnelles) sur E. La topologie
σ(E, E′) definie sur E par la famille de semi-normes (px′)x′∈E′ est dite topologie faible
sur E elle est plus fine que la topologie de E et de celle induite par σ(E,E∗).
Exemple 2.4.1 Soit E un espace vectoriel norme, E ′ son dual topologique et f ∈ E ′.
On peut recenser les ouverts qui doivent appartenir a la topologie σ(E,E ′) de la maniere
suivante : si f ∈ E ′ et U ouvert de R, il faut que f−1(U) soit un ouvert de σ(E,E ′). Mais
comme les intervalles sont une base de voisinages de R, on voir que ceci revient a dire que
pour tout intervalle I et tout f ∈ E ′, f−1(U) est dans σ(E,E ′). La topologie σ(E,E ′) est
la moins fine contenant tous les ensembles f−1(I) pour tout f ∈ E ′ et tout intervalle I de
R.
On definit, de meme, la topologie faible σ(E ′, E) sur le dual topologique E ′ de E. Il vient
qu’une suite (x′j) converge faiblement vers 0 dans E ′ si, et seulement si, pour tout x ∈ E,
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la suite x′j(x) converge vers 0 dans K. Ainsi, la topologie faible σ(E ′, E) coincide avec la
topologie de la convergence simple sur E ′.
Dans E ′ on peut definir une autre importante topologie localement convexe a savoir la
topologie forte sur E′. Pour cela, on doit caracteriser les parties bornees de E.
Definition 2.4.1 Soit E un espace vectoriel topologique. On dit que A ⊂ E est borne
si, pour chaque V ∈ V0, il existe un reel λ > 0 tel que λA ⊂ V .
Lorsque E est un espace vectoriel localement convexe, chaque voisinage de 0 contient un
voisinage equilibre de 0. Ce qui justifie :
Definition 2.4.2 Si E est un espace vectoriel localement convexe A ⊂ E est borne si,
pour chaque V ∈ V0, il existe un reel ε > 0 tel que λA ⊂ V pour tout |λ| ≤ 0.
Les deux definitions sont equivalente dans le cas general, puisque tout espqce vectoriel
topologique admet une base de voisinages equilibres de 0.
En d’autres termes : B est bornee s’il est absorbee par chaque voisinage de 0 ce qui est
equivalent a : pour chaque i ∈ I on a supx∈B
pi(x) < +∞.
Exemple 2.4.2 Toute partie finie et, plus generalement, toute partie compacte de E
est bornee.
Exemple 2.4.3 Toute partie relativement compact A d’un espace localement convexe
E est bornee. En effet, soit V ∈ V0 dans E, il existe W ∈ V0 tel que W + W ⊂ V et
µW ⊂ W pour tout |µ| ≤ 1. Comme A est relativement compact, on peut trouver un
ensemble fini (xj)1≤j≤p d’elements de A tel que les ouverts (xj + W )1≤j≤p forment un
recouvrement de A. Comme (xj)1≤j≤p est borne dans E, on peut trouver 0 < λ < 1 tel
que λxj ⊂W . On a alors
λA ⊂p⋃
j=1
λ(xj +W ) ⊂ W +W ⊂ V.
Donc A est borne.
Definition 2.4.3 Soit B une partie d’un espace vectoriel topologique E. L’ensemble
polaire B de B est le sous-ensemble de E ′ definie par
B = x′ ∈ E′ : | < x, x′ > | ≤ 1, ∀x ∈ B.
Theoreme 2.4.1 Si A est une partie bornee d’un espace vectoriel topologique E alors
son ensemble polaire A ⊂ E ′ est un sous-ensemble convexe, equilibre et absorbant de
E ′.
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Preuve : Si x′, y′ ∈ A et α, β ≥ 0 tels que α+ β = 1, on a
| < x, αx′ + βy′ > | ≤ α| < x, x′ > | + β| < y, y′ > | ≤ 1.
Donc A est convexe. Si x′ ∈ A et λ ∈ K tel que |λ| ≤ 1, on a
| < x, λx′ > | = |λ|.| < x, x′ > | ≤ 1.
Ainsi, λx′ ∈ A et A est equilibre. Finallement, soit z′ ∈ E ′ et considerons le voisinage
de 0 suivant V = x ∈ E : | < x, z′ > | ≤ 1. Comme A est un sous-ensemble borne de
E, il existe λ > 0 tel que λA ⊂ V , donc
| < x, λz′ > | = | < λx, z′ > | ≤ 1, ∀x ∈ A,
ce qui montre que A est un sous-ensemble absorbant dans E ′.
Les resultats de ce theoreme, nous conduit a definir, pour toute partie A borne d’un
espace vectoriel topologique E la semi-norme suivante sur E ′ par
pA (x
′) = infλ ≥ 0 : x′ ∈ λA.
Si l’on note B(E) la famille des parties bornees de E, la famille (pA )A∈B(E) definie une
topologie localement convexe et separee sur E ′, dite topologie forte de E ′. On peut
montre que la suite (x′j) converge fortement vers 0 dans E ′ si, et seulement si, la suite
(x′j(x)) converge uniformement vers 0 sur chaque partie bornee de E. Ainsi, la topologie
forte sur E ′ est dite topologie de la convergence uniforme sur les parties bornees
de E.
On note par E ′b le dual topologique E ′ muni de la topologie forte ainsi definie.
Exemple 2.4.4 Si E est un espace norme, son dual topologique E ′ muni de la norme
‖x‖E′ = sup
‖x‖E≤1
| < x, x′ > |
est un espace de Banach.
2.5 Topologie limite inductive
Nous aborderons, dans la suite, la notion de topologie limite inductive d’un point de
vue qui nous permettra de definir l’espace des fonctions tests et la notion duale des
distributions.
Soit (Ei)i∈N une suite croissante d’espaces localement convexes tels que l’application iden-
tite Ei → Ei+1 soit continue pour chaque i. Posons
E =
∞⋃
i=1
Ei.
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Definissons sur E la topologie localement convexe la moins fine rendant les identites
Ei → Ei+1 continues pour i = 1, 2, · · · ,. Elle est dite topologie limite inductive de E
definie par les sous-espaces Ei. L’espace E muni de cette topologie est dit limite inductive
des espaces (Ei)i∈N.
Pour que un convexe V soit un voisinage de 0 dans la topologie limite inductive, il faut
et il suffit que chaque intersection V ∩Ei pour tout i = 1, 2, · · · . Ainsi, nous obtenons un
systeme fondamentale de voisinages de l’origine dans E en prenant toutes les enveloppes
convexes de la forme
V = Γ
(∞⋃
i=1
Vi
)
ou chaque Vi appartient au systeme fondamentale de voisinages convexes de chaque Ei,
i = 1, 2, · · · .
Proposition 2.5.1 Soit E la limite inductive de (Ei)i∈N et soit F un espace localement
convexe. Une application lineaire u : E → F est continue si, et seulement si, la restriction
ui = u|Fide u est continue de Ei dans F pour tout i ∈ N.
Preuve : Si u est continue, alors chaque restriction ui est continue puisque, par definition,
l’identite Ei → E est continue. Inversement, supposons que chaque ui de Ei → F est
continue. Fixons U un voisinage convexe de 0 dans F , il existe un voisinage convexe de
0, note Vi, dans Ei tel que ui(Vi) ⊂ U . Alors, V = Γ
( ∞⋃
i=1
Vi
)
est un voisinage de 0 dans
E, et on a u(V ) ⊂ U ; donc u est continue de E dans F .
Theoreme 2.5.1 Si E est la reunion d’une suite croissante (Ei)i∈N d’espaces locale-
ment convexes tels que :
• Pour tout i, l’identite Ei → Ei+1 est continue;
• La topologie induite par Ei+1 sur Ei coincide avec la topologie de Ei, pour tout i;
• Ei est un sous-espace ferme de Ei+1, pour tout i.
Alors :
1. La topologie limite inductive de E induit sur chaque Ei sa topologie originale.
2. Un sous-ensemble A est borne dans la topologie inductive de E si, et seulement, il
existe un indice j tel que A est contenu et borne dans Ej .
Preuve :
1. Dans le but de montrer que la topologie induite par E sur Ei coincide avec la
topologie originale de Ei, il suffit de montrer que : etant donne Vi un voisinage
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convexe equilibre de 0 dans Ei, il existe un voisinage V de 0 dans E tel que Vi =
V ∩ Ei, ∀i. En appliquant le lemme, Il est facile de voir qu’il existe une suite
(Vi+k), k = 0, 1, 2, · · · , de voisinages convexe equilibre de 0 dans Ei+k tel que
Vi+k−1 = Vi+k ∩Ei+k−1, k = 1, 2, · · · .
En posant V =∞⋃
k=0
Vi+k, il est aise de voir que V est un voisinage de 0 dans E et
que Vi = V ∩ Ei.
2. Soit A un borne de E. Supposons, par contradiction, qu’il n’existe pas d’indice i tel
que A ⊂ Ei. Alors, on peut trouver une suite croissante d’indices (in) et une suite
(xn) d’elements de E tel que
xn ∈ A ∩Ein et xn /∈ Ein−1 .
D’apres le lemme, il existe une suite (Vn) de voisinages ouvert convexe et equilibre
de 0 dans Ein tel que
xn /∈ nVn et Vn ∩ Ein−1 = Vn−1.
Posons V =∞⋃
i
Vn. Alors V est un voisinage de 0 dans E tel que
V ∩ Ein = Vn et xn /∈ nVn.
Mais, ceci contredit la supposition que A est borne dans E.
Exemple 2.5.1 (L’espace Cc(Ω)). Soit (Ki) une suite croissante de compacts d’un
Ω un ouvert Rn telle que Ω =⋃
iKi. Posons E = Cc(Ω) l’espace des fonctions continues
a support compact definies sur Ω. Posons Ei = Cc(Ω, Ki) le sous-espace de Cc(Ω) forme
des fonctions continues dont le support est inclu dans Ki. On a
Cc(Ω) =⋃
i
Cc(Ω, Ki).
Definissons sur Cc(Ω, Ki) la topologie de la convergence uniforme sur Ki; elle est locale-
ment convexe puisqu’elle est definie par la norme
pKi(f) = sup
x∈Ki
|f(x)|.
L’espace Cc(Ω, Ki) muni de cette norme est un espace de Banach et l’application Cc(Ω, Ki) →Cc(Ω, Ki+1) est continue. L’espace Cc(Ω, Ki) est un sous-espace ferme de Cc(Ω, Ki+1). Les
hypotheses de theoreme precedent sont verifiees, on definit sur Cc(Ω) la topologie limite
inductive des espaces Cc(Ω, Ki). Comme consequence : une suite (ϕj) converge vers 0
dans Cc(Ω) si, et seulement si, on a :
① Il existe un compact K de Ω tel que supp(fj) ⊂ K pour chaque j;
② La suite (fj) converge uniformement vers 0 sur K.
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Exemple 2.5.2 (L’espace Lpc(Ω), 1 ≤ p ≤ ∞). Soit K un compact de Ω ouvert
de Rn. Designons par Lp(K), 1 ≤ p < +∞, l’espace des fonctions Lp-integrables a
support contenu dans K muni de sa norme naturelle. Les espaces Lp(K) sont des espaces
de Banach. Si K1 ⊂ K2, l’application Lp(K1) → Lp(K2) est continue et la topologie
induite par Lp(K2) sur Lp(K1) coincide avec la topologie de Lp(K1). Si (Ki) est une suite
croissante de compacts de Ω telle que Ω =⋃
i
Ki. Alors Lpc(Ω) =
⋃
i
Lp(Ki) est muni de la
topologie limite inductive.
2.6 Topologie des espaces de fonctions tests
Soit Ω un ouvert fixe de Rn. Pour chaque partie compacte K ⊂ Ω on note
DK(Ω) = ϕ ∈ E(Ω) : ∀x ∈ Ω \ K, ϕ(x) = 0.
L’espace DK(Ω) est le sous-espace vectoriel de E(Ω) dont les elements sont les fonctions
dont le support, contenu dans K, est une partie compacte de Ω. C’est un sous-espace
ferme de E(Ω), donc DK(Ω) est un espace de Frechet.
On note
D(Ω) = C∞c (Ω) =
⋃
K∈KΩ
DK(Ω)
le sous-espace vectoriel de E(Ω) dont les elements sont les fonctions dont le support est
une partie compacte de Ω. Le sous-espace D(Ω) n’est pas ferme dans E(Ω).
On note TK la topologie induite par E(Ω) sur DK(Ω). C’est la topologie determinee sur
DK(Ω) par la famille de semi-normes sur D(Ω) :
pm(ϕ) = sup|α|≤m,x∈Ω
|∂αϕ(x)| < +∞.
On va construire une topologie sur D(Ω) en distinguant une famille de parties qui sera,
en fait, une base de voisinages de 0. Pour cela, on note
V = V ⊂ D(Ω); absolument convexe et equilibre, ∀K ∈ KΩ, V ∩ DK(Ω) ∈ TK.
Pour chaque V ∈ V, sa jauge JV est une semi-norme sur D(Ω)
Corollaire 2.6.1 La famille de semi-normes (JV )V ∈V est separante.
Preuve : Soit ϕ ∈ D(Ω) telle que ϕ 6= 0. Evidemment r = supx∈Ω
|ϕ(x)| > 0. Notons
V = f ∈ D : q0(f) < r. Il est clair que V ∈ V et que JV (ϕ) ≥ 1.
On note par T la topologie sur D(Ω) determinee par la famille (JV )V ∈V.
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Corollaire 2.6.2 Pour chaque V ∈ V on a V = ϕ ∈ D(Ω) : JV (ϕ) < 1 et la famille V
est un systeme de voisinage de 0 pour la topologie T. Autrement dit, pour tout voisinage
U de 0 pour T il existe V ∈ V tel que V ⊂ U .
Preuve : Il est clair que V est convexe et que ϕ ∈ D(Ω) : JV (ϕ) < 1. Reciroquement,
soit ϕ ∈ V . Il existe une partie compacte de Ω telle que ϕ appartient a l’ouvert V ∩DK(Ω)
de DK(Ω). L’application λ ∈ R → λϕ etant continue au point λ = 1 il existe alors un
reel r > 1 tel que pour tout reel λ veerifiant 1 − r ≤ λ ≤ 1 + r on a λϕ ∈ V ∩ DK(Ω).Il
decoule (1 + r)ϕ ∈ V donc JV (ϕ) < 1. La suite est clair.
Theoreme 2.6.1 Pour chaque partie compact K de Ω, la topologie TK et la topologie
induite par T sur DK(Ω) sont egaux.
Preuve : Fixons une partie compacte K de Ω. Soit U un voisinage de 0 dans DK(Ω)
muni de la topologie induite par T. D’apres le corollaire precedent nous pouvons trouver
V ∈ V tel que V ∩ DK(Ω) ⊂ U . Puisque V ∩ D
K(Ω) est un voisinage de 0 pour TK il
s’ensuit que U est aussi voisinage de 0 pour cette meme topologie. La topologie induite
par T sur DK(Ω) est donc moins fine que la topologie TK .
Reciproquement, soit W un voisinage de 0 pour TK . Puisque la suite (pm)m determine la
topologie TK sur DK(Ω) , il existe alors un m ≥ 0 et un reel r > 0 tel que
ϕ ∈ DK(Ω) : pm(ϕ) < r ⊂W.
Il est clair que V = ϕ ∈ D(Ω) : pm(ϕ) < r ∈ V, il s’ensuit que W est un voisinage de 0
pour la topologie induite par T sur DK(Ω).
Theoreme 2.6.2 Une suite (ϕm)m de D(Ω) tend vers 0 quand m tend vers +∞ si, et
seulement si, il existe un compact K ⊂ Ω tel que, pour chaque m, on a ϕm ∈ DK(Ω)
et (ϕm)m tend vers 0 pour la topologie TK .
Preuve : Puisque la topologie TK est induite par T sur DK(Ω) il est clair qu’une suite
(ϕm)m de D(Ω) telle que ϕm ∈ DK(Ω) pour chaque entier m et qui tend vers 0 dans
DK(Ω) tend aussi vers 0 dans D(Ω).
Reciproquement, considerons une suite (ϕm)m de D(Ω) tendant vers 0 et supposons que
pour chaque compact K ⊂ Ω il existe un entier m tel que la restriction ϕm|Ω\K 6= 0.
Fixons (Kℓ)ℓ une suite exhaustive de compacts de Ω. Nous pouvons alors construire une
suite strictement coissante d’entiers (mℓ)ℓ et une suite (xℓ)ℓ de Ω qui verifient, pour chaque
entier ℓ, xℓ ∈ Ω \Ki et ϕmℓ(xi) 6= 0. Notons alors
V = ϕ ∈ D(Ω) : ∀ℓ, |ϕ(xℓ)| < (1/2)|ϕmi(xi)|.
Il est clair que V est absolument convexe. Pour chaque compact K ⊂ Ω il n’y a qu’un
nombre fini de xℓ qui appartiennent a K, il s’ensuit que V ∩ DK(Ω) ∈ TK et donc V est
un voisinage de 0 pour T. La suite (ϕm)m convergeant vers 0 il existe un entier mℓ tel que
ϕmℓ∈ V ce qui est contradictoire.
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Theoreme 2.6.3 Une suite (ϕm)m de DK(Ω) est Cauchy si, et seulement si, il existe
un compact K ⊂ Ω tel que, pour chaque entier m, ϕm ∈ DK(Ω) et (ϕm)m est de
Cauchy pour la topologie TK .
La preuve est identique a celle du theoreme precedent.
Theoreme 2.6.4 Toute suite de Cauchy de D(Ω) est convergente.
Theoreme 2.6.5 Soit u une application lineaire de D(Ω) dans un espace vectoriel
E muni de la topologie determinee par une famille separante de semi-normes. Les
affirmations suivantes sont equivalentes :
① u est continue,
② pour toute suite (ϕm)m → 0 dans D(Ω), la suite (u(ϕm))m tend vers 0 dans E,
③ pour tout compact K ⊂ Ω, la restriction de u a DK(Ω) est continue.
Preuve : Les affirmations ① =⇒ ② et ② =⇒ ③ sont evidentes. Montrons que
③ =⇒ ①. Pour cela nous allons etablir la continuite de u en 0. Soit W un voisinage
absolument convexe de 0 dans E. Il est clair que V = u−1(W ) est une partie absolument
convexe de D(Ω). Puisque V ∩ DK(Ω) = (u|D
K(Ω))
−1(W ) nous avons V ∩ DK(Ω) ∈ TK .
Il s’ensuit que V est un voisinage de 0 dans D(Ω).
Remarque: Soit u une forme lineaire sur D(Ω). u est continue si, et seulement si,
pour chaque compact K ⊂ Ω, il existe un reel C et un entier m ≥ 0 tels que, pour
chaque ϕ ∈ DK(Ω), on a
|u(ϕ)| ≤ C supx∈Ω,|α|≤m
|∂αϕ(x)|.
La constante C et l’entier m dependent du compact K.
Chapitre 3Distributions
3.1 Definitions et proprietes
Definition 3.1.1 Les formes lineaires continues sur D(Ω) sont appelees distributions
sur l’ouvert Ω. L’espace vectoriel de toutes les distributions sur Ω sera note D′(Ω).
L’espace D′(Ω) est le dual topologique de l’espace fonctionnel C∞c (Ω).
Ainsi, on a le resultat suivant :
Proposition 3.1.1 Une forme lineaire T est une distribution sur Ω si, et seulement
si, pour chaque compact K ⊂ Ω, il existe une constante C > 0 et un entier m ≥ 0 tels
que
| < T, ϕ > | ≤ C. supx∈Ω,|α|≤m
|∂αϕ(x)|, ∀ϕ ∈ DK(Ω). (∗)
Preuve : Soit T ∈ D′(Ω). Pour chaque compact K ⊂ Ω, T est une forme lineaire sur
DK(Ω). Il existe, alors, V ∈ V0 de la forme
V = V m,εK = ϕ ∈ D
K(Ω) : pm,K(ϕ) ≤ ε
ou pm,K(ϕ) = supx∈K,|α|≤m
|∂αϕ(x)| tel que | < T, ϕ > | ≤ 1 pour tout ϕ ∈ V . D’autre part,
si ϕ ∈ DK(Ω) est tel que ϕ 6= 0, on a
ε.ϕ
pm,K(ϕ)∈ V.
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Il s’ensuit que
| < T, ϕ > | < (1/ε).pm,K(ϕ), ∀ϕ ∈ DK(Ω) \ 0.
En posant C = ε−1 on obtient (∗) lorsque ϕ 6= 0. Notons, enfin, qu’on a l’egalite dans
(∗) lorsque ϕ = 0. Inversement, si (∗) est satisfaite, alors pour chaque compact K ⊂ Ω,
T est une forme lineaire continue sur DK(Ω). D’apres la proposition 2.5.1, on en deduit
que T est une distribution sur Ω.
L’inegalite (∗) n’est le seul critere a demontrer pour verifier qu’une forme lineaire sur D(Ω)
est une distribution. Une autre caracterisation s’impose en terme de suites convergentes
dans D(Ω) :
Theoreme 3.1.2 On a T ∈ D′(Ω) si, et seulement si, pour toute suite (ϕi) conver-
gente vers 0 dans D(Ω), la suite numerique | < T, ϕi > | converge vers 0 dans K = R
ou C.
Preuve : Supposons que T ∈ D′(Ω) et (ϕi) une suite convergente vers 0 dans D(Ω). Il
existe un compact K ⊂ Ω tel que
ϕi ∈ DK(Ω), ∀i et ϕi → 0 dans D
K(Ω).
Comme T est continue dans D(Ω), d’apres (∗), on a (< T, ϕi >→ 0 lorsque i → +∞.
Inversement, Supposons que ceci est verifie. Il suffit de verifier que T est continue sur
chaque espace DK(Ω). Supposons, par contradiction, qu’il existe Ki0 telle que T n’est
pas continue sur DKi0(Ω). On peut trouver, alors, une suite (ϕi) de fonctions de DKi0
(Ω)
convergente vers 0 dans DKi0(Ω) telle que < T, ϕi > ne converge pas. Comme l’inclusion
DKi0(Ω) → DK(Ω) est continue, la suite (ϕi) doit converger vers 0 dans DK(Ω), ainsi
(< T, ϕk >) devrait converger vers 0 ; Contradiction.
Exemple 3.1.1 Soit f ∈ L1ℓoc(Ω). Definissons une forme lineaire Tf : C∞
c (Ω) → C
par
Tf(ϕ) =
∫
Ω
f(x)ϕ(x)dx, ∀ϕ ∈ C∞c (Ω).
Comme f ∈ L1ℓoc(Ω) alors C =
∫
Ω|f(x)|dx < +∞. Posons supp(ϕ) = K; on verifie
facilement que
|Tf(ϕ)| ≤∫
Ω
|f(x)||ϕ(x)|dx ≤ supx∈K
|ϕ(x)|.∫
Ω
|f(x)|dx ≤ C(K). supx∈K
|ϕ(x)|.
Ainsi, Tf : C∞c (Ω) → C est une distribution, dite reguliere, d’ordre α = 0. L’application
j : L1ℓoc(Ω) → D′(Ω) definie par j(f) = Tf est injective :
L1ℓoc(Ω) ⊂ D′(Ω).
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Dans l’exemple suivant nous montrerons que j n’est pas surjective.
Exemple 3.1.2 Soit a ∈ Ω. On considere la forme lineaire sur D(Ω) definie par
< δa, ϕ >= ϕ(a), ∀ϕ ∈ D(Ω).
On verifie, alors que
| < δa, ϕ > | ≤ ‖ϕ‖L∞(Ω), ∀ϕ ∈ D(Ω)
donc δa est une distribution d’ordre 0 dans Ω. Cette distribution est dite masse de
Dirac au point a. Mais, δa ne s’ecrit pas en fonction d’une fonction de L1ℓoc(Ω). En
effet, supposons qu’il existe f ∈ L1ℓoc(Ω) telle que
δa = Tf c-a-d. < δa, ϕ >=
∫
Ω
f(x)ϕ(x)dx = ϕ(a), ∀ϕ ∈ D(Ω).
Posons Ω = Ω\a. Alors < δa, ϕ >=
∫
Ω
f(x)ϕ(x) = 0, ∀ϕ ∈ D(Ω). Donc f = 0 presque
partout dans Ω et donc presque partout dans Ω. Ainsi, ϕ(a) = 0 pour tout ϕ ∈ D(Ω) ce
qui contredit la fait que < δa, ϕ > 6= 0.
La masse de Dirac au point a est un exemple de distributions, dites
singulieres, qui ne proviennent pas d’une fonction appartenant a L1ℓoc(Ω).
Exemple 3.1.3 Posons Ω = R et definissons
< δ′, ϕ >=
⟨
δ,−dϕdx
⟩
= −dϕdx
(0), ∀ϕ ∈ D(R).
Il est clair que δ′ est une forme lineaire continue sur D(R). Lorsque Ω = Rn, on peut
generaliser cet exemple en posant
< ∂kδ, ϕ >= (−1)k < δ, ∂kϕ >= (−1)k∂kϕ(0)
pour tout ϕ ∈ D(Rn), 1 ≤ k ≤ n. Nous montrerons que ∂kδ n’est autre que la derivee
partielle d’ordre k de la masse de Dirac au sens des distributions.
Exemple 3.1.4 La fonction x → 1/x n’est pas localement integrable sur R, Donc
elle ne peut definir une distribution reguliere sur R. Par contre, elle l’est sur R∗ donc elle
definit une distribution que l’on pourra prolonger a R. Par definition, posons
⟨
vp
(
1
x
)
, ϕ
⟩
= limε→0
∫
|x|≥ε
ϕ(x)
xdx =
∫ +∞
0
ϕ(x) − ϕ(−x)
xdx, ∀ϕ ∈ D(R).
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Cette derniere limite est dite valeur principale de Cauchy de l’integrale
∫ +∞
−∞
ϕ(x)
xdx.
On a alors∫
|x|≥ε
ϕ(x)
xdx =
∫ ε
−∞
ϕ(x)
xdx+
∫ +∞
−ε
ϕ(x)
xdx
= ϕ(−ε) log ε−∫ −ε
−∞ϕ′(x) log |x|dx− ϕ(ε) log ε−
∫ +∞
ε
ϕ′(x) log |x|dx.
Mais, on peut ecrire ϕ(x) = ϕ(0)+xψ(x) tel que ψ(0) = ϕ′(0). En remplacant, on trouve
∫
|x|≥ε
ϕ(x)
xdx = −2εψ(ε) log ε−
∫ −ε
−∞ϕ′(x) log |x|dx−
∫ +∞
ε
ϕ′(x) log |x|dx.
Passons a la limite
limε→0
∫
|x|≥ε
ϕ(x)
xdx = −
∫ +∞
−∞ϕ′(x) log |x|dx.
La derniere integrale etant convergente; elle definie une forme lineaire sur D(R). D’ou
⟨
vp
(
1
x
)
, ϕ
⟩
= limε→0
∫
|x|≥ε
ϕ(x)
xdx = −
+∞∫
−∞
ϕ′(x) log |x|dx.
D’autre part, puisque ϕ ∈ D(R) il existe, alors, un reel A tel que suppϕ ⊂ [−A,A]. Si
ε < A alors
⟨
vp
(
1
x
)
, ϕ
⟩
= limε→0
∫
|x|≥ε
ϕ(x)
xdx =
∫ A
0
ϕ(x) − ϕ(−x)x
dx = 2
∫ A
0
ϕ(x) − ϕ(0)
xdx
D’apres la formule des accroissements finis, on a
∣
∣
∣
∣
∫ A
0
ϕ(x) − ϕ(0)
xdx
∣
∣
∣
∣
≤ A.||ϕ′||∞. Donc∣
∣
∣
∣
⟨
vp
(
1
x
)
, ϕ
⟩∣
∣
∣
∣
≤ 2A||ϕ′||∞. Ainsi, vp
(
1
x
)
une distribution d’ordre inferieur ou egal
a 1. Il nous reste a montrer qu’elle n’est pas d’ordre 0. Pour cela, on utilise une partition
de l’unite, corollaire 1.3.1 page 10 :
Pour tout n ≥ 2 il existe ϕn ∈ D(R) telle que 0 ≤ ϕn ≤ 1, supp(ϕn) ⊂]0, 1[
et ϕn = 1 sur l’intervalle
[
1
n,n − 1
n
]
.
Soit ψn la fonction impaire qui coincide avec ϕn sur R+. SiK = [−1, 1], alors ψn ∈ D
K(R),
||ψn|| = 1 et∣
∣
∣
∣
⟨
vp
(
1
x
)
, ψn
⟩∣
∣
∣
∣
= 2
∫ 1
0
ϕn(x)
xdx ≥ 2 log (n− 1).
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Il n’existe pas de constante CK telle que
∀ϕ ∈ DK(R)
∣
∣
∣
∣
⟨
vp
(
1
x
)
, ϕ
⟩∣
∣
∣
∣
≤ CK ||ϕ||∞.
Ce qui montre que l’ordre de la distribution vp
(
1
x
)
est different de 0.
Dans l’exemple precedent, nous avons fait appel a l’imparite de la fonction 1/x pour
definir la distribution vp
(
1
x
)
comme limite, lorsque ε→ 0, de la distribution associee a
la fonctionχ
x:|x|>1(x)
x. Pour une fonction non impaire une telle procedure ne fonctionne
pas et ce qui nous amene a introduire un terme correctif (divergent) pour pallier a ce
defaut en utilisant la methode des parties finies.
Exemple 3.1.5 [Partie finie de H(x)/x] Soit ϕ ∈ D(R) telle que suppϕ ⊂[−A,A]. On
∫ +∞
ε
ϕ(x)
xdx =
∫ A
ε
ϕ(x) − ϕ(0)
xdx+ ϕ(0) logA− ϕ(0) log ε.
Alors, lorsque ε→ 0+, on obtient
limε→0+
(∫ +∞
ε
ϕ(x)
xdx+ ϕ(0) log ε
)
=
∫ A
0
ϕ(x) − ϕ(0)
xdx+ ϕ(0) logA.
D’apres le theoreme des accroissements finis, cette expression est majoree en valeur absolue
par 2||ϕ(1)‖∞.maxA, logA. Donc
⟨
Pf
(
H(x)
x
)
, ϕ
⟩
= limε→0+
+∞∫
ε
ϕ(x)
xdx+ ϕ(0) log ε
est une distribution d’ordre inferieure egal a 1. Faisant appel une deuxieme fois a la
partition de l’unite 1.3.1 page 10 et en utilisant les memes notations que dans l’exemple
precedent pour montrer que cette distribution est d’ordre exactment 1.
Exemple 3.1.6 Soit x0 ∈ Ω alors u(ϕ) = ∂αϕ(x0), avec α ∈ Nn, est une distribution
d’orde |α|. En effet, supposons que u est d’ordre |β| < |α| et choisissons ψ ∈ D′(Ω) telle
que ψ(0) = 1 et posons
ϕε(x) = (x− x0)αψ
(
x− x0
ε
)
,
avec ε > 0. Un calcul simple montre que u(ϕε) = α! alors que
supx∈Ω
|∂βϕε| ≤ K.ε|α|−|β| → 0 si ε → 0 et |β| < |α|.
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3.2 Derivees partielles au sens des distributions
Considerons une fonction f de classe C1 dans Rn et analysons l’action de ses derivees
partielles sur les fonctions tests. Si ϕ ∈ D(Ω) alors :
⟨
∂f
∂xk
, ϕ
⟩
=
∫
Rn
∂f
∂xk
(x)ϕ(x)dx = [f(x)ϕ(x)]+∞−∞ −
∫
Rn
∂ϕ
∂xk
(x)f(x)dx
= −∫
Rn
∂ϕ
∂xk(x)f(x)dx = −
⟨
f,∂ϕ
∂xk
⟩
Cette derniere formule a-t-elle un sens si on remplace f par une distribution ? Plus
precisement, on a :
Proposition 3.2.1 Soit Ω un ouvert de Rn et T ∈ D′(Ω). Pour tout 1 ≤ i ≤ n, la
forme lineaire definie par
ϕ → −⟨
T,∂ϕ
∂xk
⟩
, ϕ ∈ D(Ω)
est une distribution. Si T est d’ordre mK sur tout compact K, alors cette distriburion
est d’ordre 1 +mK .
Preuve : Pour tout ϕ ∈ DK(Ω), on a
∣
∣
∣
∣
⟨
T,∂ϕ
∂xk
⟩∣
∣
∣
∣
≤ CK . sup|α|≤mK
∥
∥
∥
∥
∂α
(
∂ϕ
∂xk
)∥
∥
∥
∥
∞≤ CK . sup
|β|≤1+mK
∥
∥∂βϕ∥
∥
∞ .
Definition 3.2.1 Soit Ω un ouvert de Rn et T ∈ D′(Ω). La derivee partielle de T par
rapport a la variable xk, 1 ≤ k ≤ Ω, est la distribution ∂T/∂xk definie par la formule
⟨
∂T
∂xk
, ϕ
⟩
= −⟨
T,∂ϕ
∂xk
⟩
, ∀ϕ ∈ D(Ω).
Soient α = (α1, · · · , αn) ∈ Nn un multi-indice et T ∈ D′(Ω). Par recurrence, on definit la
derivee partielle de T d’ordre α pat
〈∂αT, ϕ〉 = (−1)|α| 〈T, ∂αϕ〉 , ∀ϕ ∈ D(Ω).
Si Tf est une distribution reguliere definie par une fonction f localement integrable sur Ω,
une derivation par partie montre que la derivee partielle d’ordre |α| de Tf coincide avec
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la derivee partielle d’ordre |α|de f au sens des fonctions. En particulier, si Tf est une
distribution reguliere associee a f ∈ L1ℓoc(Ω) ou Ω ⊂ R, on a
T ′f = −Tf ′ .
La derivation des distributions verifie les proprites suivantes :
• La derivation, au sens des distributions, est definie partout sur D′(Ω).
• Chaque distribution sur Rn admet des derivees partielles de tout ordre.
• Si T ∈ D′(Ω), alors :
∂2T
∂xi∂xk
=∂2T
∂xk∂xi
, 1 ≤ i, k ≤ n.
C’est une consequence du lemme de Schwarz. Pour f ∈ L1ℓoc(Ω), on a :
T ′′f = Tf ′′
Exemple 3.2.1 La fonction log |x| est localement integrable sur Rn, elle definie une
distribution dont la derivee est, d’apres l’exemple ??,⟨
vp
(
1
x
)
, ϕ
⟩
= −∫ ∞
−∞log |x|.ϕ′(x)dx =
∫ ∞
−∞(log |x|)′.ϕ(x)dx = 〈(log |x|)′, ϕ〉 , ∀ϕ ∈ D(Rn)
Donc
d
dxlog |x| = vp
(
1
x
)
.
Exemple 3.2.2 Supposons que Ω = R et considerons la fonction de Heaviside sur R :
H(x) =
1 si x ≥ 0
0 si x < 0
Sa derivee au sens des distributions est
< H ′(x), ϕ >= − < H,ϕ′(x) >= −∫ ∞
0
ϕ′(x) = ϕ(0) =< δ, ϕ >, ∀ϕ ∈ D(R).
Donc
H ′ = δ.
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Remarque : La fonction de Heaviside est discontinue a l’origine dont le saut de dis-
continuite est egal a 1. On peut dire que sa derivee au sens des distributions est egale
au saut de la discontinuite par la mesure de Dirac a l’origine.
Exemple 3.2.3 Posons x+ = max(x, 0), alors T ′x+ = H(x).
Exemple 3.2.4 On a T ′′|x|/2 = δ.
Exemple 3.2.5 Soit f une fonction derivable sur R sauf au point x0 ou elle presente
une discontinuite de premiere espece. Soit h0 = f(x+0 ) − f(x−0 ) le saut de f au point x0.
Alors, par inetgration par parties et en tenant compte du fait que ϕ est nulle a l’infini,
on obtient
< T ′f , ϕ > = − < Tf , ϕ
′ >= −∫ x0
−∞f(x)ϕ′(x)dx−
∫ +∞
x0
ϕ′(x)dx
= ϕ(x0)[f(x+0 ) − f(x−0 )] +
∫ +∞
−∞f ′(x)ϕ(x)dx
= ϕ(x0)h0+ < Tf ′ , ϕ >
= < h0δx0, ϕ > + < Tf ′ , ϕ > .
Ainsi, on a
T ′f = Tf ′ + h0δx0
.
Plus generalement, nous allons maintenant etendre ce resultat a une classe de distributions
regulieres associees a des fonctions de classe C1 par morceaux definies sur un intervalle
ouvert ]a, b[.
Definition 3.2.2 On dit que f definie dans un intervalle ]a, b[ est de classe C1 par
morceaux s’il existe un nombre fini de points −∞ ≤ a = a0 < a1 < · · · < an = b < +∞tels que, dans chacun des intervalles ]ai, ai+1[, la derivee f ′ existe et continue et se prolonge
par continuite dans les intervalles ]a0, a1], · · · , [ai, ai+1], · · · , [an−1, an[.
Posons hi = f(a+i ) − f(a−i ) le saut de f au point ai.
Theoreme 3.2.2 Avec les notations precedentes, on a
T ′f = Tf ′ +
n−1∑
i=1
hiδai.
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Preuve : En integrant par parties dans chacun des intervalles [ai, ai+1], le theoreme se
deduit aisement de l’exemple precedent.
Nous allons, maintenant, etudier l’application lineaire ∂ : D′(R) → D′(R) :
L’application continue ∂ : D(R) → D(R) est injective puisque ∂ϕ = 0 implique que ϕ est
une constante, comme elle est de support compact alors ϕ = 0.
Proposition 3.2.3 L’application ∂ : D(R) → D(R) est un morphisme injective strict
d’image un hyperplan ferme H . Soit ϕ0 donnee de D(R) telle que+∞∫
−∞ϕ0(x)dx = 1,
alors chaque element ϕ ∈ D(R) admet une decomposition unique
ϕ = λϕ0 + χ,
ou λ =+∞∫
−∞ϕ(x)dx et χ ∈ H .
Preuve : Une fonction χ ∈ D(R) est dans le sous-espace H = Im(∂) si, et seulement si,
elle verifie la relation
+∞∫
−∞
χ(x)dx = 0 (∗)
En effet, si χ = ∂ψ pour ψ ∈ D(R), alors
+∞∫
−∞
χ(x)dx =
+∞∫
−∞
∂ψ(x)dx = ψ(x)|+∞−∞ = 0.
Inversement, si χ satisfait (∗), alors la fonction ψ definie par
ψ(x) =
+∞∫
−∞
χ(x)dx
est un element de D(R) du moment que ψ est une constante pour les vaelurs de x assez
large, et d’apres (∗) cette constante ne peut etre que 0. Donc χ = ∂ψ.
La forme lineaire χ→+∞∫
−∞χ(x)dx est continue sur D(R). Donc H est un hyperplan ferme
de D(R) d’equation (∗).Soit ϕ0 une fonction fixee de D(R) telle que
+∞∫
−∞ϕ0(x)dx = 0. Chaque ϕ ∈ D(R) admet
une decomposition unique ϕ = λϕ0 + χ ou λ ∈ R et χ ∈ H . En effet, si l’on pose
λ =+∞∫
−∞ϕ(x)dx, alors ϕ−λϕ0 ∈ H et si λ1ϕ0 +χ1 = λ2ϕ0 +χ2, il vient que (λ1 −λ2)ϕ0 =
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χ2 −χ1 ∈ H ; ainsi λ1 = λ2 et χ1 = χ2. Enfin, l’application χ = ∂ψ → ψ de H dans D(R)
est continue. Or, d’apres la proposition 2.5.1 p. 26, il suffit de montrer que pour chaque
compact K de R l’application χ → ψ de H ∩ DK(R) dans D(R) est continue. Soit V un
voisinage de 0 dans D(R) et soit K ′ = [a, b] un compact contenant K. Alors V ∩ D(K ′)
contient un ensemble de la forme ψ : |∂pψ(x)| ≤ ε, p ≥ m, ε > 0 et m ∈ N. Soit U un
voisinage de 0 dans H ∩ D(K) definie par
χ : |χ(x)| ≤ ε
b− a, |∂pχ(x)| ≤ ε, 0 ≤ p ≤ m− 1
.
Alors χ ∈ U implique ψ ∈ V du moment que
|ψ(x)| ≤
∣
∣
∣
∣
∣
∣
x∫
a
χ(t)dt
∣
∣
∣
∣
∣
∣
≤ ε
b− a(b− a) = ε
et
|∂pψ(x)| = |∂p−1χ(x)| ≤ ε, pour 1 ≤ p ≤ m.
Proposition 3.2.4 L’application ∂ : D′(R) → D′(R) est un morphisme surjective
stricte dont le noyau est une sous-espace de D′(R) de dimension 1, forme par toutes
les distributions TC asociees a une constante C.
Preuve : On procede en trois etapes :
1) Soit T ∈ D′(R) tel que ∂T = S. En utilisant la decomposition de la proposition 3.2.3
p. 39, on a
< T, ϕ >= λ < T, ϕ0 > + < T, χ >= λ < T, ϕ0 > − < S, ψ >
ou χ = ∂ψ. En particulier, si S = 0, on a
< T, ϕ >= λ < T, φ0 >=
+∞∫
−∞
ϕ(x)dx;
c’est-a-dire T = Tf ou f(x) =< T, ϕ0 >.
2) Montrons que ∂ est surjective. Pour un S ∈ D′(R) donnee, choisissons une constante
k ∈ K et definissons T par
< T, ϕ >= kλ− < S, ψ >,
lorsque ϕ est une fonction arbitraire de D(R). Comme la decomposition de ϕ est
unique, T est une forme lineaire bien definie sur D(R). De plus T est contine comme
composition de fonction continues en application de la proposition 3.2.3. Enfin
< ∂T, ψ >= − < T, ∂ψ >=< S, ψ >
pour tout ψ ∈ D(R) c’est-a-dire ∂T = S. Observons, d’apres 1), la distribution T
est completement determinee par k =< T, ϕ0 >.
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3) Pour chaque S ∈ D′(R) on associe une distribution T ∈ D′(R) telle que ∂T = S et
< T, ϕ0 >= 0. Posons T = I(S). L’application I : D′(R) → D′(R) est lineaire. Par
defintion, on a ∂I(S) = S, ∀S ∈ D′(R) et d’apres 1) on a
< I(S), ϕ >= − < S, ψ >, ∀S ∈ D′(R) et ϕ ∈ D(R).
Ainsi, −I est la transposee de l’application lineaire continue ϕ → ψ. D’ou I est
continue.
Remarque : D’apres ce qui precede on a
D′(R) = N ⊕ L,
ou N est forme par les distributions constantes et L par les distributions qui s’annulent
en ϕ0. Si ϕ = λϕ0 + χ ∈ D(R) , et T = k + U ∈ D′(R) ou U ∈ L, alors
< T, ϕ >= kλ+ < T, χ > .
Corollaire 3.2.3 ① Pour tout distribution S ∈ D′(R) et pour tout p ∈ N, il existe
une distribution T ∈ D′(R) telle que
∂pT = S.
② Si T ∈ D′(R) est telle que ∂pT = 0, alors T = Tf ou f est un polynome de degre
inferieure ou egal a p− 1.
Preuve : D’apres la proposition 3.2.4 p. 40, ce reultat est vrai pour p = 1. Supposons
qu’il est vrai pour p− 1 (p > 1). Il existe alors U ∈ D′(R) tel que ∂p−1U = S. D’apres la
proposition 3.2.4, il existe T ∈ D′(R) tel que ∂T = U . D’ou ∂pT = ∂p−1U = S, d’ou 1).
On procede de la meme maniere pour 2).
Proposition 3.2.5 Pour tout S ∈ D′(R), il existe T ∈ D′(R) tel que xT = S.
Si T0 est tel que xT0 = S, l’ensembles des solutions de l’equation xT = S est T0 +
kδ, k ∈ K.
Preuve : Soit χ ∈ D(R) tel que χ(0) = 1. Pour tout ϕ ∈ D(R) on associe une une
fonction ϕ definie par
ϕ(x) =
∫ 1
0
[ϕ′(tx) − ϕ(0)χ ′(tx)]dt.
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L’application ϕ→ ϕ etant continue de D(R) dans lui meme comme on peut le constater
facilement. En plus, si x ∈ R∗, on a ϕ(x) =ϕ(x) − ϕ(0)χ ′(tx)
x. On pose, pour ϕ ∈ D(R),
< T, ϕ >=< S, ϕ > .
Or, ϕ → ϕ est continue alors T ∈ D′(R). Mais comme xϕ = ϕ alors on a xT = S. Soit
T ∈ D′(R) tel que xT = 0, alors pour ϕ ∈ D(R), on a
0 =< xT, ϕ >=< T, ϕ− ϕ(0)χ >=< T, ϕ > − < T, χ >< δ, ϕ > .
D’ou T =< T, χ > δ.
3.3 Multiplication des distributions
La fonction f(x) = 1√x∈ L1
ℓoc(R) definie une distribution Tf ∈ D(R). Par contre, le
produit f 2 = f.f donne la fonction g(x) = 1|x| qui n’est pas inetgrable au voisinage de
0, et ne definit pas une distribution sur R. Ainsi, le produit de deux distributions, n’est
pas en general une distribution. Mais, on montrera que l’on peut definir le produit d’une
fonction C∞ par une distribution sur Rn.
Proposition 3.3.1 Soit f ∈ C∞(Ω) et T ∈ D′(Ω). Alors la forme lineaire sur D(Ω)
definie par
ϕ→< T, fϕ >, ∀ϕ ∈ D(Ω)
est une distribution sur Rn note fT d’ordre inferieure a celui de T . Ainsi
< fT, ϕ >=< T, fϕ >, f ∈ C∞(Ω), T ∈ D′(Ω).
Preuve : < fT, ϕ > est bien definie car fϕ ∈ D(Ω) pour ϕ ∈ D(Ω) et f ∈ C∞(Ω).
D’autre part, si ϕ ∈ DK(Ω) pour un certain K compact de Ω alors fϕ ∈ D
K(Ω) et l’on a
| < fT, ϕ > | = | < T, fϕ > | ≤ CK sup|α|≤mK
||∂α(fϕ)||∞.
Mais, la formule de Liebniz, s’ecrit ∂α(fϕ) =∑
β≤α
Cβα∂
β∂α−βϕ et donc
sup|α|≤mK
||∂α(fϕ)||∞ ≤ C(n,mK) sup|α|≤mK
||∂αf‖|∞. sup|α|≤mK
||∂αϕ||∞.
Ce qui donne, en posant CK =≤ C(n,mK) sup|α|≤mK
||∂αf‖|∞, que
| < fT, ϕ > | ≤ CK . sup|α|≤mK
||∂αϕ||∞, ∀ϕ ∈ DK(Ω),
ce qui signifie que fT ∈ D′(Ω) et que ordK(fT ) ≤ ordK(T ) pour tout compact K de Ω.
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Exemple 3.3.1 Soit f ∈ C∞(Ω) et a ∈ Ω, on a
< fδa, ϕ >=< δa, fϕ >=< f(a)δ(a), ϕ >, ∀ϕ ∈ D(Ω).
Ainsi
fδa = f(a)δ(a).
En particulier,
xδ = 0.
Exemple 3.3.2 Soit f ∈ C(R) et T ∈ D′(R), alors en appliquant une derivation par
parties on obtient, au sens des distributions :
(fT )′ = fT ′ + f ′T.
Proposition 3.3.2 [Formule de Leibniz] Si f ∈ C∞(Ω) et T ∈ D′(Ω) alors
∂
∂xi
(f.T ) =∂f
∂xi
.T + f.∂T
∂xi
, ∀1 ≤ k ≤ n.
Preuve : Pour tout ϕ ∈ D(Ω), on a⟨
∂
∂xi
(f.T ), ϕ
⟩
= −⟨
f.T,∂ϕ
∂xi
⟩
= −⟨
T, f.∂ϕ
∂xi
⟩
= −⟨
T,∂
∂xi
(fϕ) − ∂f
∂xi
.ϕ
⟩
=
⟨
∂T
∂xi, fϕ
⟩
+
⟨
∂f
∂xiT, ϕ
⟩
=
⟨
∂f
∂xi.T + f.
∂T
∂xi, ϕ
⟩
.
Exemple 3.3.3 Pour tout x ∈ R, on a
x.vp
(
1
x
)
= 1.
En effet, pour ϕ ∈ D(R) on a
⟨
x.vp
(
1
x
)
, ϕ
⟩
=
⟨
vp
(
1
x
)
, xϕ
⟩
=
+∞∫
0
xϕ(x) − xϕ(−x)x
dx
=
+∞∫
0
(ϕ(x) − ϕ(−x))dx =
+∞∫
−∞
1.ϕ(x)dx
= < 1, ϕ >,
ou 1 designe la distribution reguliere associee a la fonction constante x→ 1.
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Exemple 3.3.4 [Equation xT = 1]. Comme x.vp
(
1
x
)
= 1, d’apres la proposi-
tion 3.2.5 page 41, alors
xT = 1 ⇐⇒ ∃k ∈ K : T = vp
(
1
x
)
+ kδ, k ∈ K.
Exemple 3.3.5 La fonction x → 1/x2 n’est pas localement integrable sur R, on
ne peut pas, de ce fait, lui associer une distribution reguliere. Pour eliminer la partie
divergente de l’integrale+∞∫
0
ϕ(x)
x2pour ϕ ∈ D(R), on definit la partie finie de cette
integrale par
⟨
Pf
(
1
x2
)
, ϕ
⟩
=
+∞∫
0
ϕ(x) + ϕ(−x) − 2ϕ(0)
x2dx.
On verifie facilement que l’on a
xPf
(
1
x2
)
= vp
(
1
x
)
et x2Pf
(
1
x2
)
= 1.
Exemple 3.3.6 considerons les fonctions suivantes :
π(x) =
0 si |x| ≥ 1/2
1 si |x| < 1/2
et sgn(x) =|x|x.
Claculons leurs derivees au sens des distributions. On peut les exprimes en terme de la
fonction de Heaviside H , il vient que
π(x) = H
(
x+1
2
)
−H
(
x− 1
2
)
et sgn(x) = 2H(x) − 1.
Comme H ′(x) = δ(x), au sens des distributions, il vient que
π′(x) = δ
(
x+1
2
)
− δ
(
x+1
2
)
et sgn′(x) = 2δ(x).
Exemple 3.3.7 Considerons la suite de fonctions
Yn(x) =
1 si x > 12n
n(
x+ 12n
)
si − 12n< x ≤ 1
2n
0 si x ≤ − 12n
.
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Au sens des fonctions, la suite (Yn)n converge simplement vers la fonction
Y (x) =
1 si x > 012
si x = 0
0 si x ≤ 0.
Chaque fonction Yn est continue, derivable presque partout dont la derivee admet des
discontinuite de premieres especes aux points − 12n
et 12n
. Un calcul directe montre qu’au
sens des distributions on a Y ′n = n.χ
]− 12n , 1
2n [. En effet, pour tout ϕ ∈ D)(R, on a
< Y ′n, ϕ >= − < Yn, ϕ >= −
∫ 12n
− 12n
Y ′n(x)ϕ(x)dx−−
∫ +∞
12n
ϕ(x)dx = I1 + I2.
Une integration par parties de I1 et I2 donnera
I1 = −ϕ(
1
2n
)
+ n
∫ 12n
− 12n
ϕ(x)dx et I2 = ϕ
(
1
2n
)
.
D’ou
I = n
∫ 12n
− 12n
ϕ(x)dx =
∫ +∞
−∞n.χ]− 1
2n, 12n [ϕ(x)dx =
⟨
n.χ]− 1
2n , 12n [, ϕ
⟩
.
Proposition 3.3.3 Dans R3, on a
∆
(
1
|x|
)
= −4πδ0
ou r = |x| =√
x21 + x2
2 + x23.
Preuve : Notons par n(x) = − x
|x| la normale exterieure a B(0, ε)c. Soit ϕ une fonction
test, on a⟨
−∆
(
1
|x|
)
, ϕ
⟩
= −∫
R3
|x|−1∆ϕ(x)dx = −∫
B(0,ε)c
|x|−1∆ϕ(x)dx+O(ε2)
=
∫
B(0,ε)c
∇(|x|−1)∇ϕ(x)dx−∫
S(0,ε)
|x|−1∇ϕ(x).n(x)dσ(x) +O(ε2)
=
∫
B(0,ε)c
−|x|−3x.∇ϕ(x)dx+ ε−1
∫
S(0,ε)
∇ϕ(x).x
|x|dσ(x) +O(ε2)
=
∫
B(0,ε)c
∇(|x|−3x)ϕ(x)dx−∫
S(0,ε)
|x|−3x.n(x)ϕ(x)dσ(x) +O(ε)
=
∫
S(0,ε)
|x|−2ϕ(x)dσ(x)dx+O(ε) = ε2
∫
S(0,1)
ε−2ϕ(εy)dσ(y) +O(ε)
= 4πϕ(0) +O(ε). D’ou le resultat.
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3.4 Transformations de distributions
3.4.1 Translation d’une distribution
Soit f : Rn → K une fonction et h ∈ Rn.
Definition 3.4.1 La translation τhf de f par h est definie par
τhf(x) = f(x − h), ∀x ∈ Rn.
Supposons que f ∈ L1ℓoc(Ω), la distributions reguliere associee a τhf s’ecrit, pour tout
ϕ ∈ D(Ω), comme :
< Tτhf , ϕ >=
∫
Rn
f(x−h)ϕ(x)dx =
∫
Rn
f(x)ϕ(x+h)dx =
∫
Rn
f(x)τ−hϕ(x)dx =< Tf , τ−hϕ > .
Ceci justifie la definition suivante :
Definition 3.4.2 Soit T ∈ D′(Ω). La translation de T par h ∈ Rn est la distribution
τhT definie par
< τhT, ϕ >=< T, τ−hϕ >
pour tout ϕ ∈ D(Ω). Soit que
τhT = T τ−h
La distribution T est dite periodique de periode h si τhT = T
Exemple 3.4.1 Pour tout ϕ ∈ D(Ω) on a
< τhδ, ϕ >=< δ, τ−hϕ >= τ−hϕ(0) = ϕ(h) =< δh, ϕ > .
D’ou
τhδ = δh.
3.4.2 Symetrie d’une distribution
Soit f ∈ L1ℓoc(R). Definissons f par f(x) = f(−x). Le graphe de f est le symetrique de
celui de f par rapport a l’axe y′oy. Pour tout ϕ ∈ D(R), on a
< Tf , ϕ >=
∫ +∞
−∞f(−x)ϕ(x)dx =
∫ +∞
−∞f(x)ϕ(−x)dx =< T, ϕ > .
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On est amene a definir
< T , ϕ >=< T, ϕ >; ∀ϕ ∈ D(Ω).
On verifie, facilement, que T est une distribution dite symetrique de T . La distribution
T est dite paire si T = T . Une ditribution T est dite impaire si T = −T .
Exemple 3.4.2 On verifie que δ = δ, donc δ est une distribution paire. D’autre part,
la distribution δ′ est impaire car δ′ = δ′. Par ailleurs, on verifie que toute distribution
peut s’ecrire comme la somme d’une distribution paire et d’une distribution impaire.
3.4.3 Changement d’echelle et distributions homogenes
Soit hλ : x → λx l’homothetie de rapport (λ 6= 0), de R dans R. Son application inverse
est l’homothetie hλ−1(x) = h 1
λ(x) de rapport 1
λ.
Definition 3.4.3 La transformee de la distribution T ∈ D(R) par l’application hλ est la
distribution T hλ definie par
< T hλ, ϕ >=1
|λ| < T, ϕ h 1
λ> .
Si T hλ = T , on dit que T est invariante par hλ.
On dira que la distribution T est homogene de degre p, p entier, si
T hλ = λpT.
Exemple 3.4.3 La distribution |x| est homogene de degre 1. La distribution sgn(x)
est homogene de degre 0. Par contre, les distributions vp
(
1
x
)
et Pf
(
1
x2
)
sont homogenes
de degres respectifs −1 et −2 :⟨
vp
(
1
x
)
hλ, ϕ
⟩
=1
|λ|
⟨
vp
(
1
x
)
, ϕ h 1λ
⟩
=
∫ +∞
0
ϕ(
xλ
)
− ϕ(
−xλ
)
x
dx
λ
= λ−1
∫ +∞
0
ϕ(x) − ϕ(−x)x
dx
= λ−1
⟨
vp
(
1
x
)
, ϕ
⟩
.
⟨
Pf
(
1
x2
)
hλ, ϕ
⟩
=1
|λ|
⟨
Pf
(
1
x2
)
, ϕ h 1λ
⟩
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=
∫ +∞
0
ϕ(
xλ
)
+ ϕ(
−xλ
)
− 2ϕ(0)
x2
dx
λ
= λ−2
∫ +∞
0
ϕ(x) + ϕ(−x) − 2ϕ(0)
xdx
= λ−2
⟨
Pf
(
1
x2
)
, ϕ
⟩
.
3.5 Topologies sur l’espace D′(Ω)
Nous avons etudier les topologies faible et forte, dans le cas general, sur des espaces
vectoriels topologiques. Plus particulierement, dans l’espace de distributions D′(Ω), la
topologie faible est la topologie engendree par la famille de semi-normes definies par
pϕ(T ) = | < T, ϕ > |, ϕ ∈ D(Ω) et T ∈ D′(Ω),
faisant de D(Ω) un espace localement convexe. La convergence pour cette topologie est
la convergence simple :
Une suite de distributions (Ti) de D′(Ω) converge faiblement vers 0 si, et seulement si,
pour tout ϕ ∈ D(Ω), la suite numerique (< Ti, ϕ >) converge vers 0 dans K = R ou C.
D’autre part, la topologie forte sur D′(Ω) est la topologie localement convexe definie
par la famille de semi-normes sur les parties polaires de sous-ensembles bornes de D(Ω).
La convergence pour cette topologie est la convergence uniforme :
Une suite de distributions (Ti) de D′(Ω) converge fortement vers 0 si, et seulement si,
pour tout ϕ ∈ D(Ω), la suite numerique (< Ti, ϕ >) converge uniformement vers 0,
dans K = R ou C, sur les parties bornees de D(Ω) .
3.6 Topologies sur l’espace E′(Ω) des distributions a
support compact
Definition 3.6.1 On dit qu’une distribution T est nulle dans l’ouvert U ⊂ Ω ⊂ Rn si
T (ϕ) = 0 pour toute ϕ ∈ D(Ω) tel que supp(ϕ) ⊂ U .
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Considerons un ouvert U ⊂ Ω et T ∈ D′(Ω). Toute fonction test ϕ ∈ D(U) definit une
fonction test ϕ ∈ D(Ω) par
ϕ(x) =
ϕ(x) si x ∈ V
0 si x ∈ Ω \ V .La restriction de T a l’ouvert U , notee T |U , est definie par
< T |U , ϕ >=< T, ϕ >, ∀ϕ ∈ D(U).
Proposition 3.6.1 Soit T ∈ D′(Ω). Il existe un plus grand ouvert U ⊂ Ω tel que la
restriction T |U soit nulle.
Preuve : Considerons (Ui)i∈I une famille d’ouverts de Ω tel que T |Ui= 0. Notons U
leurs reunion. On doit montrer que T |U = 0. Pour cela, soit ϕ ∈ D(U). On peut trouver
un nombre fini d’ouverts U1, · · · , Un tels que
supp(ϕ) ⊂n⋃
i=1
Ui et T |Ui= 0, ∀i = 1, · · · , n.
Soit (ρi)i=1,··· ,n une partition de l’unite associee au recouvrement de supp(ϕ) par les ouverts
(Ui)i=1,··· ,n, alors ϕ =n∑
i=1
ρiϕ avec ρiϕ ∈ D(Ui). Donc
< T, ϕ >=
n∑
i=1
< T, ρiϕ >=
n∑
i=1
< T |Ui, ρiϕ >= 0.
Definition 3.6.2 Le support d’une distribution T , est le plus petit ferme tel que T soit
nulle dans son complementaire. On le note supp(T ).
Exemple 3.6.1 Le support d’une distribution reguliere Tf s’identifie au support de
la fonction f ∈ L1ℓoc(Ω) c’est-a-dire supp(Tf) = supp(f).
Exemple 3.6.2 Le support de la distribution associee a la fonction de Heaviside est
le ferme x ∈ R : x ≥ 0.
Exemple 3.6.3 Le support de la distribution de Dirac est 0, dit support ponctuel.
Exemple 3.6.4 Soit T ∈ D(Ω) definit par < T, ϕ >= ∂αϕ(a) avec ϕ ∈ D(Ω) et
α ∈ Nn. Alors supp(T ) = a. En effet, si ϕ ∈ D(Ω \ a) on a < T, ϕ >= 0, donc
supp(T ) ⊂ a. Pour montrer que a ∈ supp(T ) on considere un voisinage ouvert V ∈ Va
de a et χ ∈ D(V ) telle que χ ≡ 1 au voisinage de a. Posons ϕ(x) =(x− a)α
α!χ(x);
alors ϕ ∈ D(V ). En utilisant la formule de Leibniz, on trouve que ∂αϕ(a) = 1 donc
a ∈ supp(T ).
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Notons par E′(Ω) le dual topologique de l’espace fonctionnel E(Ω) = C∞(Ω) muni de sa
topologie naturelle.
Theoreme 3.6.2 L’application injective
Id : D(Ω) → E(Ω).
est continue.
Preuve : Considerons (Ki) une famille exhaustive de sous-ensembles compacts de Ω.
Par definition, l’injection DKi
(Ω) → E(Ω) est continue. D’apres la proposition 2.5.1, Il
s’ensuit la continuite de Id car D(Ω) =⋃
i
DKi
(Ω).
Comme consequence a ce resultat, tout sous-ensemble borne de D(Ω) est un sous-ensemble
borne de l’espace E(Ω). De plus,
Theoreme 3.6.3 L’ensemble D(Ω) est un sous-espace dense dans E(Ω).
Preuve : Soit (Ki) une famille exhaustive de sous-ensembles compacts de Ω. Il existe
une famille de fonctions de D(Ω), notee (βi), telle que βi ≡ 1 dans chaque voisinage de
Ki. Si ϕ ∈ D(Ω), posons ϕi = βiϕ ∈ D(Ω). On verifie, aussitot, que ϕi → ϕ dans D(Ω).
D’autre part, on a l’injection
E′(Ω) → D′(Ω).
Ainsi, Tout element T ∈ E′(Ω) definie une distribution sur Ω.
Theoreme 3.6.4 T ∈ E′(Ω) si, et seulement si, il existe une constante C > 0,
un entier m ≥ 0 et un compact K ⊂ Ω tel que :
| < T, ϕ >≤ C. sup|α|≤m,x∈K
|∂αϕ(x)|, ∀ϕ ∈ E(Ω).
Preuve : Si T ∈ E′(Ω) il existe un voisinage de 0 dans E(Ω) de la forme
V = ϕ ∈ E(Ω) : pm,K(ϕ) ≤ ε
tel que
| < T, ϕ > | ≤ 1, ∀ϕ ∈ V.
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Choisissons ϕ tel que pm,K(ϕ) 6= 0. Alors, ε/pm,K(ϕ) ∈ V , il s’ensuit que
| < T, ϕ > | ≤ ε−1.pm,K(ϕ).
D’autre part, soit ϕ ∈ E(Ω) verifiant pm,K(ϕ) = 0, alors < T, ϕ >= 0. En effet, une
telle fonction ϕ est dans V ainsi que les fonctions λϕ, λ ∈ K. Si < T, ϕ > 6= 0, alors
| < T, λϕ > | peut etre choisie assez large qu’on le souhaite ; ce qui contredit la premiere
inegalite. Par consequent, la premiere inegalite reste vraie pour tout ϕ ∈ E(Ω). Le reste
de la preuve est evident.
Plus precisement, nous allons montrer que :
Theoreme 3.6.5 Les elements de l’espace fonctionnel E′(Ω) sont des distributions
a supports compacts contenus dans Ω.
Preuve : Dans la preuve precedente, nous avons montre que si T ∈ E′(Ω), il existe
ε ≥ 0, un entier m ≥ 0 et un compact K de Ω tel que pour tout ϕ ∈ E(Ω) verifiant
pm,k(ϕ) ≤ ε alors | < T, ϕ > | ≤ 1. On a, aussi, remarque que pour tout ϕ ∈ E(Ω)
verifiant pm,K(ϕ) = 0 on a | < T, ϕ > | = 0. Comme tout ϕ ∈ D(Ω \ K) verifie cette
condition, il s’ensuit que T serait nulle sur Ω \K, donc le support de T est contenu dans
K.
3.7 Limites de distributions
Definition 3.7.1 On dit qu’une suite Tn de D′(Ω) converge vers T ∈ D′(Ω) si
limn→∞
〈Tn, ϕ〉 = 〈T, ϕ〉 ∀ϕ ∈ D(Ω).
Le resultat suivant donne quelques conditions suffisantes pour la convergence dans D′.
Proposition 3.7.1 Les conditions suivantes sont suffisantes pour qu’on ait fn → f
dans D′(Ω) :
① fn → f dans L1(Ω).
② fn → f dans L2(Ω).
③ Si fn → f dans L1(Ω), il existe g ∈ L1ℓoc(Ω) telle que |fi| ≤ g pour tout n.
Preuve : Supposons que fn → f dans L1(Ω). Or, pour tout n ∈ N, on a
∣
∣
∣
∣
∫
Ω
fn(x)ϕ)x)dx−∫
Ω
f(x)ϕ)x)dx
∣
∣
∣
∣
≤ ‖ϕ‖∞.‖fn − f‖L1(Ω), ∀ϕ ∈ D(Ω)
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on obtient que fn → f dans D′(Ω) d’ou ①. Supposons que fn → f dans L2(Ω). D’apres
l’inegalite de Cauchy-Schwarz, pour tout n ∈ N, on a
∣
∣
∣
∣
∫
Ω
fn(x)ϕ)x)dx−∫
Ω
f(x)ϕ)x)dx
∣
∣
∣
∣
≤ ‖ϕ‖L2(Ω).‖fn − f‖L2(Ω), ∀ϕ ∈ D(Ω)
on obtient que fn → f dans D′(Ω) d’ou ②. Soit ϕ ∈ D(Ω) de support K dont la
fonction caracteristique est χK . Alors |fn(x)ϕ(x)| ≤ |g(x)|.|χK(x)|.||ϕ||∞ pour presque
tout x ∈ Ω. Comme la fonction x → |g(x)|.|χK(x)|.||ϕ||∞ est clairement dans L1(Ω),
la conclusion decouleen applicant le theoreme de la convergence dominee de Lebesgue,
d’ou ③.
Proposition 3.7.2 Soit Tn une suite telle que Tn → T dans D′(Ω). Alors, pour
tout multi-indice α ∈ Nn fixe, on a ∂αTn → ∂αT dans D′(Ω).
Preuve : On a 〈∂αTn, ϕ〉 = (−1)|α| 〈Tn, ∂αϕ〉 → (−1)|α| 〈T, ∂αϕ〉 = 〈∂αT, ϕ〉 Pour tout
ϕ ∈ D(Ω).
Exemple 3.7.1 D’apres la proposition 3.7.1, on peut calculer d’une maniere differente
la derivee dans D′(R) de x → log |x| (qui est dans L1ℓoc(R)). En effet, soit fε la fonction
definie par
fε(x) =
log |x| si |x| ≥ ε
log |ε| si |x| < ε.
C’est une fonction par morceaux et coninue donc, sa derivee dans D′(R) est donnee par
fε(x) =
1
xsi |x| ≥ ε
0 si |x| < ε.
Par ailleurs, on a fε(x) → f(x) et |fε(x)| ≤ |f(x)| presque partout donc d’apres la
proposition 3.7.1, fε → f dans D′(R). D’apres la proposition 3.7.2, f ′ε → f ′ dans D′(R)
donc
〈(log |x|)′, ϕ〉 = limε→0+
〈f ′ε, ϕ〉 = lim
ε→0+
∫
|x|≥ε
ϕ(x)
xdx,
d’ou la conclusion.
Chapitre 4Convolutions de distributions
4.1 Produit tensoriel de distributions
Soient m et n deux entiers naturels. Considerons Ω1 (resp. Ω2) un ouvert de Rn (resp.
Rm). Il est clair que Ω1 × Ω2 est un ouvert de Rn+m. L’espace vectoriel D(Ω1 × Ω2)
est forme par les fonctions indefiniment differentiables a support compact en (x, y) =
(x1, · · · , xn, y1, · · · , ym) ∈ Ω1 × Ω2.
Definition 4.1.1 Le produit tensoriel, note ϕ1 ⊗ ϕ2, de ϕ1 ∈ D(Ω1) et ϕ2 ∈ D(Ω2), est
definie par
ϕ1 ⊗ ϕ2(x, y) = ϕ1(x)ϕ2(y)
Le produit tensoriel (algebrique) est l’espace vectoriel, note D(Ω1)⊗D(Ω2), forme par les
fonctions de la forme
u(x, y) =n∑
i=1
ϕi1(x).ϕi
2(y).
ou ϕi1 ∈ D(Ω1) et ϕi
2 ∈ D(Ω2).
Le theoreme suivant nous aidera a definir le produit tensoriel de deux distributions.
Theoreme 4.1.1 L’espace D(Ω1) ⊗ D(Ω2) est dense dans D(Ω1 × Ω2).
Preuve : Toute fonction (x, y) 7→ ϕ(x, y) ∈ D(Ω1 × Ω2) peut etre approchee d’aussi
pres qu’on le souhaite par suite de polynomes (x, y) 7→ Pk(x, y). Ces polynomes etant des
sommes de monomes de la forme∑
p,q
xpyq. Comme ces monomes ne sont pas a support
compact, considerons ρ et σ deux fonctions a supports compacts telles que ρ(x)σ(y) ≡
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1 sur le support de u ∈ D(Ω1 × Ω2). Il s’ensuit que la suite de fonctions (x, y) 7→ρ(x)σ(y)Pk(x, y) est dans D(Ω1) ⊗ D(Ω2) ; puisque chaque fonction est une somme de
termes de la forme ϕi1(x)ϕ
i2(y). Cette suite converge vers u ∈ D(Ω1 × Ω2).
Comme consequence a ce resultat, toute distribution T ∈ D′(Ω1 × Ω2) est definie par ses
valeurs sur l’espace des fonctions ϕ1 ⊗ ϕ2 ou ϕ1 ∈ D(Ω1) et ϕ2 ∈ D(Ω2).
Theoreme 4.1.2 Soit S ∈ D′(Ω1) et T ∈ D′(Ω2) deux distributions definies respec-
tivement sur Rn et Rm.
① Pour tout ϕ1 ∈ D(Ω1) et ϕ2 ∈ D(Ω2), la distribution S ⊗ T , est definie par .
〈S ⊗ T, ϕ1(x)ϕ2(y)〉 = 〈S, ϕ1(x)〉 〈T, ϕ2(y)〉
La distribution S ⊗ T , est dite produit tensoriel de S et T sur Rn × Rm.
② Si ϕ ∈ D(Ω1 × Ω2), la distribution S ⊗ T , est definie par
〈S ⊗ T, ϕ(x, y)〉 = 〈Sx, 〈Ty, ϕ(x, y)〉〉 = 〈Tx, 〈Sy, ϕ(x, y)〉〉 .
Exemple 4.1.1 La distribution de Dirac sur R2 peut s’ecrire δ(x, y) = δ(x)δ(y).
Remarque. Le theoreme ② peut etre interpretee comme etant une extension du
theoreme de Fubini. Ainsi, si l’on considere deux fonctions S = f(x) et T = g(y)
integrables, respectivement, sur deux ouverts Ω1 ⊂ Rn et Ω2 ⊂ Rm , alors
〈Sx, 〈Ty, ϕ(x, y)〉〉 =
∫
Ω1
f(x)
∫
Ω2
g(y)ϕ(x, y)dy
dx
et
〈Ty, 〈Sx, ϕ(x, y)〉〉 =
∫
Ω2
g(y)
∫
Ω1
f(x)ϕ(x, y)dx
dy
sont egales d’apres le theoreme de Fubini.
La preuve du theoreme 4.1.2 s’appuie sur les lemmes suivants qui etendent, aux dis-
tributions, certains resultats sur la continuite et la differentiabilite des integrales a un
parametre.
Lemme 4.1.2 Soit (ϕ(x, λ))λ∈R une famille de D(Ω) a un parametre λ. supposons que :
① Lorsque λ ∈ V (λ0), le support de ϕ(x, λ) est contenu dans un compact fixe de Ω.
② Pour tout p ∈ Nn, les derivees partielles∂pϕ
∂xp(x, λ) sont continues en x et λ.
Alors 〈Tx, ϕ(x, λ)〉 est une fonction continue par rapport a λ pour tout ϕ ∈ D(Ω).
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Preuve : Posons ψλ(x) = ϕ(x, λ) − ϕ(x, λ0). Les conditions du lemme assurent que
ψλ → 0 dans D(Ω) lorsque λ → 0. Donc, pour tout T ∈ D′(Ω), on a 〈Tx, ψλ〉 → 0
lorsque λ→ λ0, d’ou la continuite suivant λ de 〈Tx, ϕ(x, λ)〉.
Lemme 4.1.3 Soit (ϕ(x, λ))λ∈R une famille de fonctions a un parametre de D(Ω). sup-
posons que :
① Lorsque λ ∈ V (λ0), le support de ϕ(x, λ) est contenu dans un compact fixe de Ω.
② Pour tout p ∈ Nn,∂
∂λ
(
∂pϕ
∂xp(x, λ)
)
existent et sont continues en x et λ.
Alors 〈Tx, ϕ(x, λ)〉 est differentiable, pour tout T ∈ D(Ω), sur un voisinage de λ0 et
∂
∂λ〈Tx, ϕ(x, λ)〉 =
⟨
Tx,∂ϕ
∂λ(x, λ)
⟩
.
Preuve : Posons
ϕh =ϕ(x, λ+ h) − ϕ(x, λ)
h− ∂ϕ
∂λ(x, λ).
En utilisant les conditions du lemme, on verifie facilement que ϕh → 0 dans D(Ω), donc,
pour tout T ∈ D′(Ω), on a
⟨
Tx,ϕ(x, λ+ h) − ϕ(x, λ)
h
⟩
→⟨
Tx,∂ϕ
∂λ(x, λ)
⟩
lorsque λ→ 0.
Revenons maintenant a la preuve du theoreme precedent.
Preuve du theoreme 4.1.2 : Soit ϕ ∈ D(Ω1×Ω2). D’apres le lemme 4.1.3, 〈 Ty, ϕ(x, y)〉est une fonction de classe C∞ en la variable x = (x1, x2, · · · , xn) et de support compact
contenu dans Ω. Alors, on peut lui appliquer Sx pour obtenir 〈Sx, 〈Ty, ϕ(x, y)〉〉. De la
meme maniere, on montre que 〈Ty, 〈Sx, , ϕ(x, y)〉〉 est bien definie. Si ϕ(x, y) = ϕ1(x).ϕ2(y)
ou ϕ1 ∈ D(Ω1) et ϕ2 ∈ D(Ω2), il est clair que
〈Sx, 〈Ty, ϕ(x, y)〉〉 = 〈Ty, 〈Sx, ϕ(x, y)〉〉 = 〈S, ϕ1〉 . 〈T, ϕ2〉 .
D’apres ce qui precede les deux formes lineaires coicident sur D(Ω1) ⊗ D(Ω2). Enfin,
l’application lineaire ϕ ∈ D(Ω1 × Ω2) → 〈Ty, ϕ(x, y)〉 ∈ D(Ω1). est continue. Elle est ,
aussi, continue sur D(Ω1) ⊗ D(Ω2) muni de la topologie induite par D(Ω1 × Ω2). Ce qui
implique que 〈Ty, 〈Sx, ϕ(x, y)〉〉 et 〈Sx, 〈Ty, ϕ(x, y)〉〉 sont continues.
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4.2 Convolution de deux distributions
4.2.1 Motivation et definition
Soient f et g deux fonctions localement integrables dont l’une au moins est a support
compact. Leurs convolution est definie par
(f ∗ g)(x) =
∫
Rn
f(x − y)g(y)dy =
∫
Rn
f(y)g(x − y)dy.
On peut interprete f ∗g comme etant une forme lineaire sur l’espace test D(Rn), en posant
〈f ∗ g, ϕ〉 =
∫
Rn
(f ∗ g)(x)ϕ(x)dx, ∀ϕ ∈ D(Rn).
En remplacant f ∗ g par son expression sous le signe integral et apres changement de
variable, on obtient
〈f ∗ g, ϕ〉 = 〈f(x) ⊗ g(y), ϕ(x + y)〉 .
On peut ainsi redefinir la notion de convolution des fonctions f et g par cette identite.
Mais, il nous reste a donner un sens au crochet de dualite < . > puisque ϕ(x+ y) comme
fonction a deux variables x et y n’est pas a support compact dans Rn × Rm. Ceci sera
aborde d’une maniere plus generale dans ce qui suit.
Definition 4.2.1 Considerons T, S ∈ D′(Rn) et supposons que l’une au moins est a
support compact. La convolution S ∗ T est une distribution sur Rn definie par
〈S ∗ T, ϕ〉 = 〈Sx ⊗ Ty, ϕ(x + y)〉 , ∀ϕ ∈ D(Rn).
Ce produit de convolution existe dans au moins des cas suivants :
① L’une au moins des distributions est a support compact.
② Les deux distributions ont leur support limite a gauche.
Il s’agit, en effet, dans chacun des cas de controler que l’ensemble
(x, y) ∈ R2 : x ∈ supp(S), y ∈ supp(T ) et x+ y ∈ supp(ϕ)
est borne, ce qui donnera un sens a la definition de la convolution.
La convolution est une operation associative, lorsque celle-ci est definie.
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Exemple 4.2.1 Algebre de convolution D′+(R) :
On definit
D′+(R) = T ∈ D′(R) : supp(T ) ⊂ R+.
Montrons que T ∗ S est bien defini dans D′+(R) c’est-a-dire que 〈Sx, 〈Ty, ϕ(x+ y)〉〉 a un
sens pour une fonction test ϕ ∈ D(R). Pour cela, posons F (x) = 〈T, ϕ(x+ .)〉. A x
fixe, l’application y → ϕ(x+ y) est C∞c (R), donc F definit bien une fonction C∞(R). On
cherche a justifier le produit de dualite 〈S, F 〉. Soit M > 0 tel que supp(ϕ) ⊂ [−M,M ]
et O un ouvert inclus dans supp(F ). Deux cas se presentent :
① Si O ⊂ R+∗ , alors 〈S, F 〉 = 0 car S ∈ D′
+(R).
② Si O ⊂ R+∗ ∩ [M,+∞[, alors 〈S, F 〉 = 0. En effet, soit x > M et y ∈ supp(T )
c’est-a-dire y ≥ 0, alors x+ y > M et ϕ(x+ y) = 0. Par consequent F (x) = 0.
On en deduit de ce dernier point que supp(F )∩R+ ⊂ [0,M ] c’est-a-dire que supp(F )∩R+
est compact. Et puisque S ∈ D′+(R), alors 〈S, T 〉 est bien defini, ce qui montre que l’on
peut definir le produit de convolution dans D′+(R).
L’element neutre de la convolution dans D′+(R) est δ0 car δ0 ∈ D′
+(R) puisque supp(δ0) =
0 ∈ R+.
Exemple 4.2.2 Le produit de convolution n’est pas associatif lorsque les distributions
sont a support non borne : (H ∗ δ′) ∗ 1 = δ ∗ 1 = 1 6= H ∗ (δ′ ∗ 1) = H ∗ 0 = 0.
Exemple 4.2.3 Pour les distributions dont les supports sont tous limites a gauche
(resp. a droite), le produit de convolution est toujours associatif.
4.2.2 Proprietes de la convolution
① Support d’une convolution :
Soient S, T ∈ D′(Rn) deux distributions dont l’une au moins est a
support compact, alors
supp(S ∗ T ) ⊂ supp(S) + supp(T )
Preuve : Posons A = supp(S) et B = supp(T ). Comme A et B sont fermes
et que l’un d’eux est compact alors A + B est ferme. Posons Ω = (A + B)c.
Considerons ϕ ∈ D(Ω), le support de ϕ(x + y) est contenu dans l’ensemble ouvert
(x + y) ∈ Rn × Rm : x + y ∈ Ω. D’autre part, le support de S ∗ T est A × B.
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Comme (x, y) ∈ A×B implique x+y ∈ A+B, le support de S ∗T est d’intersection
vide avec celui de ϕ(A+B). Par consequent 〈S ∗ T, ϕ(x+ y)〉 = 〈Sx ⊗ Ty, ϕ(x+ y)〉pour tout ϕ ∈ D(Ω).
② Application bilineaire continue :
Soient (S, T ) ∈ E′(Rn) × D′(Rn) deux distributions dont l’une au
moins est a support compact, alors (S, T ) ∈ E′(Rn)×D′(Rn) → S∗T ∈D′(Rn) est une application bilineaire continue en S et T .
Preuve : C’est une consequence des proprietes du produit direct de distributions.
③ Algebre unitaire :
L’espace (E′(Rn), ∗) est une algebre commutative, associative d’unite
δ :
δ ∗ T = T, ∀T ∈ E′(Rn).
Preuve : En effet, on a
〈δ ∗ T, ϕ〉 = 〈δx ⊗ Ty, ϕ(x+ y)〉 = 〈Ty, 〈δx, ϕ(x+ y)〉〉 = 〈Ty, ϕ(y)〉 .
Le reste est facile a demontrer.
④ Convolution par la distribution de Dirac :
Soit h ∈ Rn et notons par δh la distribution de Dirac au point h
definie par
〈δh, ϕ〉 = ϕ(h), ∀ϕ ∈ D(Rn).
Alors, on a
τhT = δh ∗ T, ∀D′(Rn)
ou τh designe la translation de vecteur h ∈ Rn.
Preuve : Comme δh est a support compact, δh ∗T est definie pour tout T ∈ D′(R).
Soit ϕ ∈ D(Rn), on peut calculer explicitement le produit de convolution
〈δh ∗ T, ϕ〉 = 〈δh ⊗ T, ϕ(x+ y)〉 = 〈δh ⊗ 〈Ty, ϕ(x+ y)〉〉= 〈Ty, ϕ(h+ y)〉 = 〈Ty, τ−hϕ(y)〉= 〈τhT, ϕ〉 .
En particulier
δ ∗ T = T, ∀T ∈ D′(Rn).
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En utilisant la commutativite et l’associativite du produit de convolution, on obtient
τh(S ∗ T ) = (τhS) ∗ T = S ∗ τhT.
⑤ La derivation est une convolution :
Pour T ∈ D′(Rn), on a
∂kT = (∂kδ) ∗ T.
En general, si D est un operateur differentiel a cœfficients constants,
alors
DT = Dδ ∗ T, ∀T ∈ D(Rn).
Ainsi, deriver une convolution revient a deriver simplement l’un des
termes de la convolution,
∂k(S ∗ T ) = (∂kS) ∗ T = S ∗ (∂k).
Preuve : Soit ϕ ∈ D(Rn) alors 〈∂kT, ϕ〉 = (−1)k 〈T, ∂kϕ〉. Or, on peut ecrire
∂kϕ(x) = 〈δy, ∂kϕ(x+ y)〉 = (−1)k 〈(∂kδ)y, ϕ(x+ y)〉 .
En remplacant, on trouve
〈∂kT, ϕ〉 = (−1)k 〈T, ∂kϕ〉 = 〈Tx, 〈(∂kδ)y, ϕ(x+ y)〉〉= 〈Tx ⊗ (∂kδ)y, ϕ(x+ y)〉 = 〈(∂kδ) ∗ T, ϕ〉 .
Le reste est une consequence de l’associativite.
Exemple 4.2.4 Calculons xmδ(n)0 ∗ xpδ
(q)0 : Pour cela, on doit d’abord expliciter
la distribution xmδ(n)0 . Pour tout ϕ ∈ D(Rn), on a⟨
xmδ(n)0 , ϕ
⟩
=⟨
δ(n)0 , xmϕ
⟩
= (−1)n(xmϕ)(n)|x=0.
Mais
(xmϕ)(n) =∑
i≤n
Cni (xm)(i)ϕ(n−i) =
∑
i≤n
Cni x
m−iϕ(n−i).
Donc (xmϕ)(n)|x=0 = An,mϕ(n−m)(0) = An,mδ
(n−m)0 , ou
An,m =
0 si n ≤ m
Cnm si n ≥ m.
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Ce qui revient a calculer⟨
δ(n−m)0 ∗ δ(q−p,ϕ)
0
⟩
= (−1)q−p⟨
δ(n−m)0 , ϕ(q−p)
⟩
=⟨
δ(n−m+q−p)0 , ϕ
⟩
.
Finalement, xmδ(n)0 ∗ xpδ
(q)0 = An,mAp,qδ
n−m+q−p0 .
Exemple 4.2.5 On admet que pour tout T ∈ D′+(R), il existe T−1 ∈ D′
+(R) tel que
T ∗ T−1 = δ0. Calculons H−1, (δ′0)−1 et (δ′0 − kδ0)
−1, k ∈ C :
① Soit a calculer X = H−1. Alors H ∗X = δ0. En derivant les deux termes, on obtient
H ′ ∗X = δ′0 soit que δ ∗X = δ′0 ce qui donne X = H−1 = δ′0.
② Cherchons X = H−1 tel que δ′0 ∗ X = δ0. Donc (δ0 ∗ X)′ = δ0. Une primitive de
cette expression donne X = (δ′0)−1 = H .
③ Posons X = (δ′0 − kδ0)−1, donc (δ′0 − kδ0) ∗X = δ0. En remarquant que (δ0e
−kx)′ =
(δ′0 − kδ0)e−kx, muliplions l’equation precedente par e−kx, pour obtenir
e−kx (δ′0 − kδ0) ∗X) = δ0e−kx.
Ce qui s’ecrit(
e−kx(δ′0 − kδ0))
∗(
e−kxX)
= δ0e−kx. Or, δ0e
−kx = δ0, il vient que
(δ0e−kx)′ ∗ X =
(
(δ0e−kx) ∗X
)′= δ0. En prenant la primitive des deux cotes, on
obtient δ0 ∗ e−kxX = H . Donc e−kxX = H et alors X = Hekx. Ainsi,
(δ′0 − kδ0)−1 = Hekx.
Les proprietes algebriques precedentes permettent de considerer des equations, dites de
convolution, de la forme
A ∗ X = B
Il est clair qu’au moins une solution X existe, quel que soit le second membre B, si et
seulement si, A est inversible au sens de la convolution, c’est-a-dire s’il existe G telle que
A ∗G = G ∗ A = δ. Cet inverse G ≡ A−1 s’appelle la solution elementaire.
4.2.3 Solutions fondamentales de certaines equations aux derivees
partielles
Soit
P (x, ∂) =∑
|α|≤m
aα(x)∂α
un operateur differentiel sur Rn, a cœfficient aα ∈ C∞(Rn). Si les coefficients aα sont
des constantes par rapport a x, on dit que l’operateur differentiel est a cœffcients constants
et on note
P (∂) =∑
|α|≤m
aα∂α
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Une distribution E ∈ D′(Ω) est dite solution elementaire de P (∂) si elle verifie
P (∂)E = δ0 dans D′(Ω).
Notons que qu’une solution elementaire, lorsqu’elle existe, n’est pas unique. Pour le voir,
il suffit de lui ajouter une solution de l’equation homogene
P (∂)T = δ0 dans D′(Ω).
La distribution E + T est encore une solution elementaire. Il faut imposer des conditions
pour caracteriser l’une des solution et demontrer par la, l’unicite de la solution. L’existence
de la solution est assure par la resultat celebre qui suit
Theoreme 4.2.1 (Malgrange-Ehrenpreis): Tout operateur differentiel a cœffi-
cients constants P (∂) sur Rn admet une solution elementaire E dans D′(R).
La notion de solution elementaire est exploitee pour trouver les solutions de certaines
equations aux derivees partielles de la maniere suivante :
Theoreme 4.2.2 Soit P (∂) un operateur differentiel a cœfficients constants sur Rn et
E ∈ D′(R) une solution elementaire de P (∂). Alors, pour tout f ∈ E′(Rn), l’equation
P (∂)u = f
possede au moins une solution u ∈ D′(R) de la forme
u = E ∗ f.
Preuve : Comme f est a support compact, l’expression de u a un sens. On a alors
P (∂)u = P (∂)(E ∗ f) = (P (∂)E) ∗ f = δ0 ∗ f = f.
Exemple 4.2.6 (Equation de la chaleur). L’equation de la chaleur est l’equation
aux derivees partielles :
∂u
∂t=
∂2u
∂x2, x ∈ R, t ∈ R+.
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Le probleme de Cauchy associe consiste a trouver la solution u(x, t) de cette equation qui
verifie la condition initiale
u(x, 0) = f(x).
La solution, au sens des distributions, est u ∈ D′x,t. Posons
D =∂
∂t− ∂2
∂x2.
Verifions que la distribution reguliere associee a la fonction localement integrable E :
R2 → R definie par
E(x, t) =1
2√πt
exp
(
−x2
4t
)
.
est une solution elementaire. On doit alors verifie que Dg = δ(0,0). n effet,
⟨(
∂
∂t− ∂2
∂x2
)
(g), ϕ
⟩
= −⟨
E,∂ϕ
∂t
⟩
−⟨
E,∂2ϕ
∂x2
⟩
= − limε→0+
∫ ∞
−∞
(∫
t>ε
1
2√πt
exp
(
−x2
4t
)
∂ϕ
∂tdt
)
dx
− limε→0+
∫ ∞
−∞
(∫
t>ε
1
2√πt
exp
(
−x2
4t
)
∂2ϕ
∂x2dt
)
dx
= − limε→0+
∫ ∞
−∞
1
2√πε
exp
(
−x2
4ε
)
ϕ(x, ε)dx
= − limε→0+
∫ ∞
−∞
1
2√πε
exp
(
−x2
4ε
)
ϕ(sqrtεx, ε)dx
= ϕ(0, 0) =⟨
δ(0,0), ϕ⟩
.
Dans la cas general, notons x = (x1, · · · , xn) ∈ Rn et t ∈ R la variable temps. L’operateur
de Laplace est
∆ =∂2
∂x21
+ · · · +∂2
∂x2n
.
L’operateur differentiel
D =∂
∂t− ∆
est dit operateur de la chaleur. La distribution
E(x, t) =
(
1
2√
πt
)n
H(t) exp
(
−|x|24t
)
.
est une solution fondamentale de D.
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Exemple 4.2.7 (Equation des cordes vibrantes). C’est l’equation aux derivees
partielles :
∂2u
∂t2=
∂2u
∂x2
qui satisfait aux conditions initiales
u(x, 0) = f0(x),∂u
∂t= f1(x)
ou f0 ∈ C2(R) et f1 ∈ C1(R). La solution elementaire du probleme de Cauchy est la
distribution reguliere gt associee a la fonction localement integrable
gt(x) =1
2(H(x + t) − H(x − t))
et on a limt→0+
gt = 0 et limt→0+
∂gt
∂t= δ. La solution generale de l’equation des ondes s’ecrit
ut = f0 ∗ ∂gt
∂t+ f1 ∗ gt.
En fait, la solution de l’equation des ondes est de la forme
u(x, t) = f(x + t) + g(x − t)
ou f et g sont des fonctions continues. En effet, pour tout ϕ ∈ D(R),⟨
∂2u
∂t2, ϕ
⟩
=∂2
∂t2
∫ ∞
−∞(f(x+ t) + g(x+ t))ϕ(x)dx
=
∫ ∞
−∞f(u)ϕ′′(u− t)du+
∫ ∞
−∞g(u)ϕ′′(u+ t)du
=
∫ ∞
−∞(f(x+ t) + g(x− t))ϕ′′(x)dx
=
⟨
∂2u
∂x2, ϕ
⟩
.
Exemple 4.2.8 Soit P (∂) un operateur differentiel a cœfficients constants. Posons
E = (P (∂)δ0)−1. Par definition on a (P (∂)δ0) ∗ E = δ0. Par la derivee d’un produit de
convolution P (∂)[δ0 ∗ E] = δ0 c’est-a-dire P (∂)[E] = δ0. Ainsi,
E = (P (∂)δ0)−1 est une solution fondamentale de P (∂)
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Supposons que P (∂) =∑
α≤m
Cα∂α et le polynome correspondant s’ecrit P (z) =
∑
α≤m
Cαzα.
Si z1, · · · , zm sont les racines de P , on peut ecrire, a un facteur pres
P (z) = (z − z1) · · · (z − zm).
Pour calculer (P (∂)δ0)−1, on calcul dans un premier temps P (∂)δ0 :
P (∂)δ0 =∑
α≤m
Cαδ(α)0
ou δ(α)0 = δ′0 ∗ · · · δ′0 (α fois), a demontrer par recurrence. D’ou
P (∂)δ0 = (δ′0 − z1) ∗ · · · ∗ (δ′0 − zm).
On verifie facilement que
(P (∂)δ0))−1 = (δ′0 − zm)−1 ∗ · · · ∗ (δ′0 − z1)
−1.
Ainsi, et en utilisant l’exemple 4.2.5, on trouve :
(P (∂)δ0))−1 = (Hez1x) ∗ (Hez2x) ∗ · · · ∗ (Hezmx).
On a ainsi explicite la solution elementaire de tout operateur differentiel a cœffcients
constants.
Exemple 4.2.9 Si n ≥ 3, une solution fondamentale de l’operateur de Laplace ∆ est
donnee par
E = −Γ[(n − 2)/2]
4πn/2.
1
rn−2,
ou r =√
x21 + · · ·+ x2
n. Pour le voir, observons que E n’est pas continue a l’origine mais
qu’elle definie une distribution sur toute la partie de l’espace Rn telle que r ≥ ε. Pour
ϕ ∈ D(Rn), on a
〈∆E,ϕ〉 = 〈E,∆ϕ〉 = −Γ [(n− 2)/2]
4πn/2. limε→0
∫
r≥ε
(∆ϕ)(x)
rn−2dx.
Formule de Green :
∫
Ω
(u∆v − v∆u)dx =
∫
∂Ω
(
u∂v
∂n− v
∂u
∂n
)
dω
ou ∂/∂n designe la derivation dans la direction de la normale exterieure a
la frontiere ∂Ω de Ω.
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Dans notre cas, Ω sera le domaine compris entre les spheres de rayon R et ε, R sera choisi
tel que supp(ϕ) soit contenu dans la boule de rayon r < R. On applique maintenant la
formule de Green pour obtenir :∫
r≥ε
∆ϕ
rn−2dx =
∫
r≥ε
ϕ∆
(
1
rn−2
)
dx+
∫
r=ε
ϕ∂
∂r
(
1
rn−2
)
εn−1dσ −∫
r=ε
1
rn−2
∂ϕ
∂rεn−1dσ,
ou dσ designe un element de surface de la sphere unite Sn−1. En fait, l’integrale est prise
sur la sphere Sε de rayon r = ε dont l’aire est egale a εn−1 l’aire de la sphere unite Sn−1.
Comme1
rn−1est une fonction harmonique alors ∆
(
1
rn−2
)
= 0 sur le complementaire de
l’origine, la premiere integrale du second membre est alors nulle. D’autre part, on a
∂
∂r
(
1
rn−2
)
= (2 − n)ε1−n
sur r = ε, la deuxieme integrale est egale a
−(n− 2)
∫
r=ε
ϕ(x)dσ = (2 − n)|Sn−1|.1
|Sn−1|
∫
r=ε
ϕ(rσ)dσ,
ou |Sn−1| = 2πn/2/Γ(n/2) est l’aire de la surface Sn−1. Lorsque ε → 0, cette expression
tend vers
(2 − n)|Sn−1|.ϕ(0) = − 4πn/2
Γ[(n− 2)/2]〈δ, ϕ〉 .
Enfin, la derniere integrale est dominee en valeur absolue par une expression de la forme
k.ε∫
σ, k une constante, donc elle tend vers 0 lorsque ε → 0. Il s’ensuit que 〈∆E,ϕ〉 =
〈δ, ϕ〉 c’est-a-dire ∆E = δ.
Remarque : (Solutions fondamentales de ∆, pour n = 2 et n = 3)
① Si n = 3, comme Γ[1/2] =√π on obtient
∆
(
1
r
)
= −4πδ.
Donc la distribution
E = − 1
4πr
est une solution fondamentale de l’operateur ∆.
② Si n = 2, la distribution
E =1
2π.log r
est une solution fondamentale de l’operateur ∆.
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Exemple 4.2.10 Soit z = x+ iy ∈ C. L’operateur de Cauchy-Riemann est defini par
∂
∂z=
1
2
(
∂
∂x+ i
∂
∂y
)
.
On montre que cet operateur admet pour solution fondamentale la distribution
E =1
πz.
Chapitre 5Transformations de Fourier, Espaces S et S′
Pas assez de temps pour la frappe.
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Chapitre 6Espaces de Sobolev
Nous presenterons, dans ce Chapitre, les proprietes essentielles des espaces de Sobolev
qui seront d’une tres grande utilite dans l’etude des problemes aux limites. Soit Ω un
ouvert de Rn de point generique x = (x1, · · · , xn). Sauf mention du contraire, toutes les
fonctions seront a valeurs dans R.
6.1 L’integration par partie et derivations faibles
Les derivees faibles seront introduites en utilisant la derivation par partie comme defintion.
Lemme 6.1.1 Soit Ω un ouvert de Rn, 1 ≤ i ≤ n. Pour tout ϕ ∈ C1
0(Ω) on a∫
Ω
∂ϕ
∂xidx = 0. (6.1)
Preuve : En posant ϕ(x) = 0 pour tout x ∈ Rn \ Ω, on peut prendre ϕ ∈ D(Rn). Sup-
posons alors que suppϕ ⊂ [−M,M ]n pour un certain M ∈ R. Sans perdre de generalite,
on peut supposer que i = n. Il s’en suit que, pour (x1, x2, · · · , xn−1) ∈ Rn−1, l’on a∫
R
∂ϕ
∂xn
(x1, · · · , xn−1)dxn = ϕ(x1, x2, · · · , xn−1,M) − ϕ(x1, x2, · · · , xn−1,−M).
Et alors
∫
Rn
∂ϕ
∂xndx = 0.
D’apres (6.1) on deduit que pour f ∈ C1(Ω), ϕ ∈ C10(Ω) (donc fϕ ∈ C1
0(Ω)), on a∫
Ω
∂f
∂xi
(x)ϕ(x)dx = −∫
Ω
f(x)∂ϕ
∂xi
(x)ϕ(x)dx. (6.2)
Par iteration, on obtient pour f ∈ C2(Ω), ϕ ∈ C20(Ω), on a
∫
Ω
∂2f
∂x2i
(x)ϕ(x)dx = −∫
Ω
∂f
∂xi(x)
∂ϕ
∂xi(x)dx =
∫
Ω
f(x)∂2ϕ
∂x2i
(x)dx. (6.3)
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En prenant la somme pour 1 ≤ i ≤ n dans (6.3), on trouve
∫
Ω
∆f(x)ϕ(x)dx = −∫
Ω
gradf(x).gradϕ(x) =
∫
Ω
f(x)∆ϕ(x)dx. (6.4)
Dans l’integrale du milieu le point designe la produit scalaire dans Rn.
Nous allons utilise les formules precedentes comme motivation pour introduire le concept
de differentiation de certaines fonctions qui ne le sont pas necessairement dans le sens
classique.
Definition 6.1.2 Soit f ∈ L1ℓoc(Ω). Une fonction v ∈ L1
ℓoc(Ω) est dite derivee faible de
f dans la direction xi, x = (x1, · · · , xn) ∈ Rn, si
∫
Ω
v(x)ϕ(x)dx = −∫
Ω
f(x)∂ϕ
∂xi
(x)dx. (6.5)
est verifiee pour toute fonction test ϕ ∈ D (Ω).
On note v = Dif . Dans le cas ou f admet des derivees faibles Dif pour i = 1, · · · , n, on
ecrit Df = (Dif, · · · , Dnf).
Il ressort de (6.2) et (6.5) que chaque f ∈ C1(Ω) admet des derivees faibles dans toute
direction a savoir, Dif = ∂f/∂xi. Cependant, il existe des fonctions qui admettent des
derivees faibles mais qui n’appartiennent pas a l’espace C1(Ω). D’autre part, il existe des
fonctions dans l’espace L1ℓoc(Ω) qui n’ont pas de derivees faibles.
Exemple 6.1.1 Soient Ω =] − 1, 1[⊂ R et f(x) = |x|. Elle admet la derivee faible
Df(x) =
1 si 0 ≤ x < 1
−1 si −1 < x < 0,
car pour tout ϕ ∈ D (] − 1, 1[), on a∫ 0
−1
(−ϕ(x))dx+
∫ 1
0
ϕ(x)dx = −∫ 1
−1
ϕ′(x).|x|dx.
Exemple 6.1.2 La fonction
f(x) =
1 si 0 ≤ x < 1
0 si −1 < x < 0,
n’admet aucune derivee faible, si c’est la casDf(x) devrait etre 0 pour x 6= 0, et puisqu’elle
est L1ℓoc alors Df ≡ 0. Mais pour ϕ ∈ D(] − 1, 1[) on a
0 =
∫ 1
−1
ϕ(x).0dx = −∫ 1
−1
ϕ′(x).f(x)dx = −∫ 1
0
ϕ′(x)dx = ϕ(0).
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Exemple 6.1.3 Soit Ω =]0, 2[⊂ R. Soit
u(x) =
x si 0 < x ≤ 1
1 si 1 ≤ x < 2
et
v(x) =
1 si 0 < x ≤ 1
0 si 1 < x < 2.
Montrons que u′ = v au sens faible. Pour cela, choisissons ϕ ∈ D(Ω). On devrait montrer
que∫ 2
0
u(x)ϕ′(x)dx = −∫ 2
0
v(x)ϕ(x)dx.
Un calcul simple, nous donne
∫ 2
0
u(x)ϕ′(x)dx =
∫ 1
0
xϕ′(x)dx+
∫ 2
1
ϕ′(x)dx
= −∫ 1
0
ϕ(x)dx+ ϕ(1) − ϕ(1) = −∫ 2
0
v(x)ϕ(x)dx,
comme convenu.
Exemple 6.1.4 Soit Ω =]0, 2[⊂ R. Soit
u(x) =
x si 0 < x ≤ 1
2 si 1 ≤ x < 2.
Montrons que u′ n’existe pas au sens faible. Pour cela, supposons qu’il existe v tel que
u′ = v. Alors pour tout ϕ ∈ D(Ω), on a
−∫ 2
0
vϕdx =
∫ 2
0
u(x)ϕ′(x)dx =
∫ 1
0
xϕ′(x)dx+ 2
∫ 2
1
ϕ′(x)dx
= −∫ 1
0
ϕ(x)dx− ϕ(1).
Choisissons une suite ϕm∞m=1 de fonctions tests verifiant
0 ≤ ϕm ≤ 1, ϕm(1) = 1, ϕm(x) → 0 pour tout x 6= 1
et remplacons ϕ par ϕm et en faisant tendre m vers l’infini, on obtient
1 − limm→∞
ϕm(1) − limm→∞
[∫ 2
0
vϕm(x)dx−∫ 1
0
ϕm(x)dx
]
= 0.
Contradiction.
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Les derivees faibles d’ordre superieures sont definies d’une maniere analogue. Soit f ∈L1
ℓoc(Ω), α := (α1, · · · , αn), αi ≥ 0 (i = 1, · · · , n), |α| =∑n
i=1 αi > 0, et
Dαϕ :=∂|α|
∂α1x1 · · ·∂αnxn
pour ϕ ∈ C|α|(Ω).
Une fonction v ∈ L1ℓoc(Ω) est dite la derivee α-faible de f , ce qui s’ecrit v = Dαf si
∫
Ω
v(x)ϕ(x)dx = (−1)|α|
∫
Ω
f(x)Dαϕ(x)dx, ∀ϕ ∈ C|α|(Ω). (6.6)
Definition 6.1.3 Soit k ∈ N, 1 ≤ p ≤ +∞, on definit l’espace de Sobolev W p,k(Ω) par
W p,k(Ω) = f ∈ Lp(Ω) : Dαf existe et Dαf ∈ Lp(Ω), ∀|α| ≤ k
On munit les espaces de Sobolev par une structure d’espaces normes dont les normes sont
definies par
||f ||Wp,k(Ω) :=
∑
|α|≤k
∫
Ω
|Dαf(x)|pdx
1/p
, 1 ≤ p < +∞
||f ||Wp,∞(Ω) :=∑
|α|≤k
supx∈Ω
|Dαf(x)|, p = +∞.
Exemple 6.1.5 (Exercice) Posons Ω = x ∈ Rn : ||x|| < 1 ⊂ Rn. Pour quelles
valeurs de α ∈ R on a
f(x) = ||x||α ∈W p,k(Ω) ?
Lemme 6.1.4 Soit f ∈ L1loc(Ω). Supposons que v = Dif existe. Si dist(x, ∂Ω) > h alors
Di(fh(x)) = (Dif)h(x),
ou fh est la convolution de f et un noyau ρ.
Preuve : Par differentiation sous l’integrale, on obtient
Di(fh(x)) =1
hn
∫
∂
∂xiρ
(
x− y
h
)
f(y)dy
=−1
hn
∫
∂
∂yiρ
(
x− y
h
)
f(y)dy
=1
hn
∫
ρ
(
x− y
h
)
Dif(y)dy
= (Dif)h(x). u
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6.2 Espace de Sobolev H1(Ω)
Toute fonction f ∈ L2(Ω) s’identifie a une distribution sur Ω, notee f , ses derivees∂f
∂xi,
1 ≤ i ≤ n, en tant que distributions sur Ω. En general,∂f
∂xi/∈ L2(Ω), ce qui nous conduit
a introdure le sous-ensemble de L2(Ω) :
Definition 6.2.1 On appelle espace de Sobolev d’ordre 1 sur Ω, l’espace
H1(Ω) =
f ∈ L2(Ω),∂f
∂xi∈ L2(Ω), 1 ≤ i ≤ n
On munit H1(Ω) du produit scalaire
(f, g)1,Ω =
∫
Ω
(
fg +
n∑
i=1
∂f
∂xi
∂g
∂xi
)
La norme correspondante sera notee
||f ||1,Ω =√
(f, f)1,Ω
A suivre ..........