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La géométrie histoire et épistémologie

par Jean-Pierre Friedelmeyer

Irem de Strasbourg

Première Partie :L’élaboration de la

géométrie comme science mathématique

Qu’est ce que la géométrie ?

Une vieille définition :

La géométrie est la science des propriétés de l’étendue

(…). Ce mot est formé de deux mots grecs, γε ou γαία,

terre, et μετρία, mesure ; et cette étymologie semble

nous indiquer ce qui a donné naissance à la géométrie :

imparfaite et obscure dans son origine comme toutes

les autres sciences, elle a commencé par une espèce

de tâtonnement, par des mesures et des opérations

grossières, et s’est élevée peu à peu à ce degré

d’exactitude et de sublimité où nous la voyons.

Diderot, grande encyclopédie

Diapo 4

Le problème des six frères(tablette babylonienne ; environ 1500 av. JC ; musée du Louvre)

  

Un trapèze. 2,15 le côté supérieur ; 1,21 le côté inférieur ; 3,33 le front supérieur ; 51 le front inférieur : l’aîné et le second sont égaux ; le troisième et le quatrième sont égaux ; le cinquième et le sixième sont égaux. Quelles sont les limites ?

Début de solution : Toi, en opérant, additionne 3,33 le front supérieur et 51 le front inférieur : cela fera 4,24. D’autre part, sépare la partie de 2,15 le côté, cela fera (0 ; 0),26,40. Porte (0 ; 0),26,40 à 1,21 le côté inférieur, cela fera (0),36. Ajoute (0),36 à 4,24, cela fera 4,24 ; 36.

Diapo 10

Du particulier à l’universelDiapo 12

La propriété est vraie pour tous les triangles :comment le prouver ?

Diapo 13

Théorème : la somme des angles d’un triangle est égale à deux droits

Quelle est la validité d’une telle preuve ?

Diapo 14

La figure de l’hypoténuse (Xian Tu ; env. 1230 av. JC)

Le carré de l’hypoténuse contient 4 surfaces rouges et1 surface jaune25 = 4 x (4x3/2) + 1 ; en généralisant : c2 = 4(a.b/2) + (b – a)2

b

a

c

Diapo 15

Théorème de Pythagore d’après Liu Hui (vers 270 av. J.C.)

extrait du Jiushang suanshu (Neuf chapitres sur l’art du calcul)

bleu sort

rouge

sort

bleu entr

e

rouge

entre

bleu

sort

bleu entre

Diapo 16

Quelques définitions chez Euclide

• Et quand une droite, ayant été élevée sur une droite, fait les angles adjacents égaux entre eux, chacun de ces angles égaux est droit, et la droite qui a été élevée est appelée

perpendiculaire à celle sur laquelle elle a été élevée.

Un point est ce dont il n’y a aucune partie.

• Une ligne est une longueur sans largeur.Une ligne droite est celle qui est placée de manière égale par rapport aux points qui sont sur elle.

Diapo 28