-
Annexe 1 ;
1. Hypothses gnrales
Ecoulement bidirectionnel : z)t,z,x(wx)t,z,x(uVM
Extension du domaine infinie dans les 2 directions x-et x
Hauteur deau h, entre le fond et la surface libre au repos,
constante
Fluide incompressible (eau)
Fluide parfait : viscosit ngligeable pas dadhrence aux parois
pas de couches limites au fond ou la surface
2. Equations
2.1. Equation fondamentale
Pas de couches limites
Pas de production de rotationnel aux interfaces
Pas de tourbillons convects Alors lcoulement est irrotationnel
:
et t 0 MVrot
Il existe une fonction scalaire (x,z,t) dite potentiel des
vitesses telle que :
gradV
) de (laplacien )(or 0)( graddivgraddivVdiv
tzxtzx ,,0),,( (1)
En coordonnes cartsienne
Les composantes de la vitesse scriventz
wx
u
; .
x
z
. M
h
-
Lquation (1) (quation de Laplace).scrit : t,z,x0zx 2
2
2
2
.
Remarque : Cette quation a une infinit de solutions parmi
lesquelles il faut retenir celles qui
vrifient les conditions aux limites particulires associes la
propagation de la houle.
2.2 Conditions aux limites
2.2.1 Conditions cinmatiques
au fond, soit en z = -h, le champ de vitesse doit vrifier la
condition
dimpermabilit : 0z hz
(2)
la surface libre, cest plus compliqu car celle ci nest pas
connue a priori, elle sera dduite de la solution du problme. Cette
particularit conduit un problme non linaire.
Notons ),( txz lquation de la surface libre.
On suppose que la surface libre est une surface matrielle,
c'est--dire que cette surface
est une surface qui appartient au milieu extrieur et au milieu
intrieur. Si une particule
appartient cette surface, elle restera sur cette surface. Cest
la condition cinmatique
qui se traduit par :
0),( ),( txztxzdt
d
La condition cinmatique la surface libre consiste dire quen x
donn la vitesse
verticale de dplacement de la surface libre est gale la vitesse
de la particule fluide
situe sur la surface libre, do :
z)w(dt
d
or x
utdt
dz
(drive particulaire).
Hypothse supplmentaire :
Faible cambrure soit 1a
o a est lamplitude et la longueur donde.
Consquence : Pente de surface libre trs faible
tan
x trs petite
x
z
x
-
tx
u
car u a une valeur finie. Do la condition cinmatique la
surface
libre : en z = tz
tzxwz
),,( (3)
Lapproximation prcdente (houle de faible amplitude) revient dire
:
2.2.2 Condition dynamique
La condition dynamique traduit la continuit des contraintes, en
absence des tensions superficielle.
On applique le thorme de Bernoulli gnralis tous le domaine
fluide (coulement irrotationnel
et incompressible) chaque t : espace/ctegzPgradt
2
21
A la surface libre la relation de Bernoulli devient :
espace/ctegPagradt z
2
21
z
Or le potentiel est dfini une constante prs et en adaptant les
conditions initiales on peut
crire : en z = 0ggradt z
2
21
z
(4)
Bilan : le problme consiste trouver des solutions de lquation
(1) satisfaisant les conditions (2), (3) et (4). Lquation (1) est
linaire, de mme la relation (2). Les conditions
(3) et (4) ne sont pas linaires puisquon ne connat pas la forme
de la surface libre (x,t). De
plus (4) nest pas linaire cause du terme2
grad .
2.3 Linarisation du problme
Hypothses :
-
lquation (4) on crit : et tt 0zz
0z
2
z
2
gradgrad
On nglige les termes non linaires dacclration convective
(hypothse de vitesse assez
faible) 0gradz
2
21
do la nouvelle condition dynamique que doit vrifier le
potentiel : 0gt 0z
(6)
Bilan : on a rsoudre le problme :
0)t,z,x( (1)
avec
)6(0gt
)5( tz
)2( 0z
0z
0z
hz
3. Solution
Lobservation conduit chercher une solution priodique de
pulsation ( en rd/s ;
f2T
2
o T est la priode et f la frquence).
On cherche la solution par la mthode de sparation des variables.
On crit donc sous la forme :
tie)z(G)x(F (7)
et tie)x(H (8)
on cherche exprimer les fonctions F(x), G(z) et H(x).
(1) F(x) G(z) + F(x) G(z) = 0
0G
''G
F
''F
G
''GF
''F
peut tre positif ou ngatif.
3.1 Modes propagatifs
Ces modes correspondent au cas : < 0.
Soit = -k2 2 quations diffrentielles rsoudre :
F+k2F = 0 F(x) = eikx + e-ikx
= G (eikx + e-ikx) eit = G (ei(t+kx) + ei(t-kx))
Retenons seulement londe progressive dans la direction x
F = e-ikx (9)
onde progressive
dans la direction x
onde progressive
dans la direction x
-
k est le nombre donde, on a
2k o est la longueur donde.
La clrit de londe progressive est Tk
C
.
G-k2G = 0 G(z) = ekz + e-kz (10) Cette solution doit vrifier les
conditions aux limites :
Pour la condition (2) 0z hz
hz
tikzkz
hz e)keke(Fz
0ee khkh (11)
Pour la condition (5)tz 0z
titi Heie)kk(F ))(x(iFk
)x(H
(12)
Pour la condition (6) 0gt 0z
0)x(gH)0z(G)x(Fi or G(z = 0) = + et
gk2
avec (11) on obtient la relation dite de dispersion :
)khtanh(gk2 (13)
Cette relation indique que le nombre donde k (ou la longueur
donde ) est dtermin par la
pulsation (ou la priode T) et la hauteur deau h.
De (10) et (11) on dduit: )]zh(kcosh[e
2)z(Gkh
(14)
De (7), (9) et (14) on exprime le potentiel1 : )kxt(i
khe)]zh(kcosh[
e2
(15)
De (9), (11) et (12) on dduit : ikxkh
kh
e)1e
e(
ki)x(H
(16)
De (8) et (16) on dduit : )kxt(ikh
kh
e)1e
e(
ki)t,x(
et en notant cte)1e
e(
ka
kh
kh
(17)
on obtient : )kxt(ieai)t,x(
en prenant la partie relle de cette dernire expression on
obtient la cote de la surface libre :
)kxtsin(a)t,x( (18)
a est l'amplitude de la houle.
L'expression de a par la relation (17) et (15) donne :
)kxt(ie]khsinh[
)]zh(kcosh[
ka
dont la partie relle, avec la relation de dispersion (13), donne
l'expression du potentiel des
vitesses :
)kxtcos(]khcosh[
)]zh(kcosh[ga)t,z,x(
(19)
3.2 Modes vanescents
Ces modes correspondent au cas : > 0.
Soit = m2 2 quations rsoudre :
F- m2F = 0 F(x) = emx + e-mx
1
2
ee]xsinh[
2
ee]xcosh[
xxxx
-
G+ m2G = 0 G = eimz + e-imz
= (eimz + e-imz)(emx + e-mx) eit
Cette solution doit vrifier les conditions aux limites :
Pour la condition (2) 0ee0z
imhimh
hz
ou 0mhsin)(imhcos)(
ou mhsin
mhcosi
(20)
Pour la condition (5) )(m
)x(F)x(Htz 0z
(21)
Pour la condition (6) 0)(m
g)(i))21(avec(0gt 20z
ou 0m
gi2
(22)
qui avec la relation (20) donne 0m
gmhsin
mhcos2
soit :
mhtangm2 (23)
Il y a une infinit de valeurs mn de m vrifiant cette relation de
dispersion pour des valeurs donnes
de et h :
La fonction G(z) peut scrire :
mzsin)(imzcos)(eeG iziz et avec la relation (20) on obtient
:
-15
-10
-5
0
5
10
15
0 2 4 6 8 10 12
tanmh
-w/gm
-
)]hz(mcos[mhcos
G
On a tie)x(H)t,x( ; a une valeur finie donc H(x) aussi dans (21)
F(x) a aussi une valeur
finie ; donc lexpression F(x) = emx + e-mx est telle que = 0 ;
donc
mxeF
et (21) mxmx emhtang
)()(
meH
On obtient une infinit de modes tel que le nime a pour
expression :
tixm
n
n eehmtang
)(n
tixm
nn eea)t,x(n o an est lamplitude du mode n.
La valeur relle est : tcosea)t,x( xmnnn .
Ces modes sont oscillatoires (pulsation temporelle ) mais ne
sont pas propagatifs (modes
stationnaires) et leur amplitude dcrot exponentiellement avec x.
Ces modes sont dits
vanescents .
Ces modes doivent tre pris en compte pour traiter les conditions
aux limites prsentant des
discontinuits ; par exemple :
x
z
-
Lexpression du potentiel associ ce nime mode est :
tixm
n
n
ti
nnn ee)]hz(mcos[hmcos
eGF n
qui, avec (22) et en fonction de an donne :
tixm
n
nnn ee
hmcos
)]hz(mcos[gia)t,z,x( n
La partie relle est : tsinehmcos
)]hz(mcos[ga
xm
n
nnn
n
.
Bilan :
Loin dune singularit gomtrique la solution du problme au premier
ordre est :
)kxtsin(a)t,x( (24)
)kxtcos(]khcosh[
)]hz(kcosh[ga)t,z,x(
(25)
au voisinage dune singularit gomtrique, la solution est une
combinaison linaire de toutes les solutions particulires, soit
:
1n
timx
n eea)kxtsin(a)t,x(
tsine]hmcos[
)]hz(mcos[ga)kxtcos(
]khcosh[
)]hz(kcosh[ga)t,z,x(
xm
1n n
nn
n
avec les quations de dispersion :
]khtanh[gk2
......,2,1navec]hmtan[gm nn2
-
4. Types de houle
en fonction de kh
4.1 Houle en grande profondeur ou onde courte
Si h2
kh
est assez grand alors 1]khtanh[ , lquation de dispersion devient
:
gk]khtanh[gk2
La clrit devient : k
g
kC
et ne dpend plus de la profondeur h..
Exemple : si 5,0h
, tanh[kh] = 0,996, donc 4 10
-3 prs, tanh[kh] = 1.
On admet souvent que si 5,0h
, donc < 2h, on a propagation en profondeur infinie.
L a houle est dispersive dans le sens o la clrit k
g
kC
dpend de la longueur donde
ou encore T2
gg
kC
; la clrit est proportionnelle la priode T.
Ces conditions sont ralises au large des ctes dans les mers et
ocans de profondeur
suprieure environ 100m pour des houles dues au vent.
4.2 Houle en faible profondeur ou onde longue
Si h2
kh
est petit devant 1 . Le dveloppement limit de tanh[kh] donne
:
53
)kh(O3
)kh(kh]khtanh[ , donc au premier ordre kh]khtanh[
Exemple : si 05,0h
, kh 0,31 et tanh[kh] 0,30
Lquation de dispersion devient : hgk]khtanh[gk 22 et la clrit :
ghk
C
.
La clrit ne dpend pas de la longueur donde de la houle, ni de sa
priode ; tous les modes,
tels que h2
kh
assez petit devant 1, se propagent la mme vitesse.
Ces conditions sont ralises dans les zones littorales de faible
profondeur.
4.3 Houle en profondeur intermdiaire
-
0
5
10
15
20
25
30
35
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
cl
rit
C (
m/s
)
priode T (s)
relation de dispersion
h = 10 m
h = 15 m
h = 30 m
h = 50 m
h = 75 m
h = 100 m
h = 125 m
h = 150 m
h = 200 m
C = g/2pi T
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
profondeur relative h/
lon
gu
eu
r d
'on
de
L (
m)
h = 150 m h = 200 m
h = 125 m h = 100 m
h = 75 m
h = 50 m
h = 10 m
h = 15 m
h = 30 m
C = g T / 2
exemple : T = 10 s
-
5. Cinmatique
5.1 Champ de vitesse
Les composantes du champ de vitesse sont dduites de lexpression
du potentiel des vitesses
)kxtcos(]khcosh[
)]hz(kcosh[ga)t,z,x(
.
(26)
ou
)x2
tT
2cos(
]h2
cosh[
)]hz(2
sinh[
kg
aw
)x2
tT
2sin(
]h2
cosh[
)]hz(2
cosh[T
agu
u et w dcroissent exponentiellement avec la profondeur.
pour la composantehorizontale :
)kxtcos(]khcosh[
)]hz(ksinh[k
ga
zw
)kxtsin(]khcosh[
)]hz(kcosh[k
ga
xu
propagation
-
Ondes courtes
2
e
2
ee]khcosh[kh
khkhkh
en z = -h 0]khcosh[
1
]khcosh[
)]hz(kcosh[
0u hz
pas dinfluence de la houle sur le fond.
Ondes longues
kh petit cosh[kh] 1
en z = 0 1]khcosh[
)]hz(kcosh[
en z = -h 1]khcosh[
)]hz(kcosh[
)kxtsin(agk
u
u nest pas fonction de z (distribution de vitesse uniforme sur
la
verticale).
5.2 Lignes de courant
Pour un coulement 2D les lignes de courant (courbes tangentes
aux vecteurs vitesse) sont les
quifonctions de courant = cte.
La fonction de courant est dfinie par :
xw
z
u
.
En intgrant ces 2 expressions on trouve :
cte)kxtsin(]khcosh[
)]hz(ksinh[ga
Chaque qui fonction de courant est obtenue en cherchant les
coordonnes (x,z) telles que garde
une mme valeur.
-
5.3 Trajectoires
Soit t = 0 les coordonnes (x0,z0) dune particule fluide. Soit,
t, les coordonnes (lagrangiennes) X
et Z de cette particule que lobservateur suit dans son mouvement
au cours du temps. Les
composantes de vitesse t sont :
dt
dZ]t),t(z),t(x[W
dt
dX]t),t(z),t(x[U
Les trajectoires seront dduites de lintgration des composantes
de vitesse prcdentes.
Le problme est quon connat le champ de vitesse eulrien
2(expression (26) o (x,z) sont les
coordonnes fixes de lobservateur). En toute rigueur on ne peut
pas intgrer le systme (26) pour
trouver les trajectoires car x et y dans ce systme ne sont pas
les coordonnes de la particule suivie
dans son mouvement, c'est--dire que x et z ne sont pas fonction
du temps.
Le problme est non linaire.
On peut le rsoudre numriquement par itration ou analytiquement
en choisissant une
approximation qui permet de linariser le problme.
Hypothse :les dplacements des particules sont trs petits devant
la longueur donde
2 la vitesse eulrienne est la vitesse observe par un observateur
ou un capteur gardant une position fixe dans
lespace.
-
0
0
z)t(Z
x)t(X
)kxtcos(]khcosh[
)]hz(ksinh[k
ga)z,x(W
dt
dZ
)kxtsin(]khcosh[
)]hz(kcosh[k
ga)z,x(U
dt
dX
00
00
00
00
cte)kxtsin(]khcosh[
)]hz(ksinh[k
ga)t(Z
cte)kxtcos(]khcosh[
)]hz(kcosh[k
ga)t(X
0
0
2
0
0
2
Les trajectoires sont des ellipses de :
grand axe : ]khsinh[
)]hz(kcosh[2a
]khcosh[
)]hz(kcosh[k
ga2 00
2
petit axe : ]khsinh[
)]hz(ksinh[a2
]khcosh[
)]hz(ksinh[k
ga2 00
2
Onde courte : lellipse se rapproche dun cercle.
6. Champ de pression
Lquation de Bernoulli gnralise (coulement potentiel de vitesse
pour un fluide incompressible
en ngligeant les termes de vitesse) est :
Mctegzpt
(27)
A la surface libre p = pa libresurfaceMctegpt
a
tlinarisanen0zz
(28)
(27)-(28) M0ggzpptt
a
0z
la constante dans (28) vaut pa
-
lexpression du potentiel (25) dans (27)
)kxtsin(]khcosh[
)]hz(kcosh[gagzpp a
(29)
Application : mesure des caractristiques de la houle en plaant
des capteurs de pression au fond.
composante
hydrostatique
composante
due la houle
-
7. Energie
7.1 Energie cintique
On cherche lnergie cintique3, un instant t, contenue dans un
domaine fluide limit par la
surface libre et deux plans verticaux distants dune longueur
donde.
Remarques :
t lnergie cintique contenue dans le domaine de longueur gale la
longueur donde est la mme, on peut choisir t = 0
avec lhypothse de houle de faible amplitude la quasi-totalit de
lnergie cintique est contenue entre la surface libre linarise (z =
0) et le fond z = -h.
par unit de largeur :
0x
0
hz
22
c dxdz)wu(2
1E
Lexpression du champ de vitesse (26) donne : 22
c gH16
1ga
4
1E avec H = 2a
7.2 Energie potentielle associe la pesanteur4
Lnergie potentielle associe la houle nest due qu la dformation
de la surface libre (ltat de
rfrence est donc la surface libre au repos, voir autre
dmonstration en remarque en fin de
paragraphe).
3 nergie associe la vitesse des particules fluides
4 nergie associe laltitude des particules fluides par rapport
une rfrence
dx
dz
dz z
-
Pour une longueur donde t = 0 par exemple :
0x 0z
p dxdzgzE
soit : 22
p gH16
1ga
4
1E = Ec
Lnergie mcanique (totale) est donc : 22pc gH8
1ga
2
1EEE
On peut dfinir une nergie mcanique par unit de longueur (dans la
direction x) et par unit de
largeur par : 2ga2
1E
qui est une densit surfacique dnergie appele nergie
spcifique.
Rearque : si on considre tout le domaine fluide sur une longueur
donde
22
0x hz
p gh2
1ga
4
1dxdzgzE
nergie potentielle du fluide au repos :
7.3 Flux dnergie travers un plan vertical
A une date t le flux dnergie mcanique au travers la surface
verticale de normale x
est :
)S( dsxV)t,z(e)t(F
o e(z,t) est lnergie mcanique par unit de volume.
(S)
V
x
z z
-
or gzp)vu(2
1)t,z(e 22
et lquation de Bernoulli gnralise (sans ngliger les termes de
vitesse) prcise :
a
2
pespace/ctegzpgrad2
1
t
avec 22
222
wuzx
grad
do : t
p)t,z(e a
En linarisant la surface libre (
-
ondes courtes : kh >> 1 C2
1Cg
ondes longues : kh
