hydrologie statistique

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CTN537 GESTION DES RESSOURCES HYDRIQUES

Universit du Qubec

cole de technologie suprieure

Contenu du cours 3 L Hydrologie statistique(Notes de cours - Chapitre 2) Introduction Concepts de probabilit et de frquence probabilit fr Analyse de frquences frValidation des donnes donn Analyse de frquences graphique fr Analyse de frquences analytique fr

CTN-537 GESTION DES CTNRESSOURCES HYDRIQUESCours #3 Lhydrologie statistiqueProfesseur : Robert Leconte, ing. ing.

Transposition des sites non jaugs jaug Risque hydrologique et risque dinondation d

Session Hiver 2007

Introduction

Introduction

L'hydrologie statistique Les impacts des vnements hydrologiques extrmes peuvent tre trs importants; tr L'exposition, pour un humain ou un ouvrage, un vnement indsirable est un risque et la ind probabilit est une mesure de ce risque; probabilit En raison des dommages qui peuvent rsulter de la r dfaillance d'un ouvrage en milieu hydrique, il est important de quantifier le risque avant de faire une intervention en milieu hydrique. Utilit de lhydrologie statistique: Utilit ltablir des critres de design crit Vrifier la fiabilit douvrages existants ou projets fiabilit projet Allonger des sries de donnes s donn

Population vs chantillonpopulation x temps x chantillon continu x temps temps

chantillon discret

Introduction

Introduction

Exemple : Rivire du Loup Rivi Station hydro. 022513Superficie de 1038 km km022513

Exemple : Rivire du Loup - dbit max printemps Rivi1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 306 142 182 240 158 274 98,4 146 212 290 208 114 125 1987 1988 1989 1990 233 80,5 87,9 130 155 210 172 194 144 215 217,9 189,3 90,82

Analyse des dbits max. d du printempsentre le 1 mars et le 31 mai

n = 26

1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999

Exemple du fichier de dbits pour le projet...350 300 250 200 150 100 50 019 76

Moy=177,49 cart-type=62,1719 82 19 84 19 88 19 80 19 86 19 78 19 90 19 92 19 94 19 96 19 98

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19 74

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CTN537 GESTION DES RESSOURCES HYDRIQUESProbabilit et frquence Probabilit et frquence

Concepts de probabilit et de frquence probabilit fr Probabilit : Probabilitlim nx P( X ) = n nn: nombre dobservations d nx: nombre doccurrence de lvnement d lv

Distribution des probabilits probabilit Histogramme de frquences (Variable discrte) fr discrXi = Somme des deux ds, avec P(Xi) : [ 0 , 1 ] dXi fif6/36

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

Frquence relative: Frlorsque le nombre d'observations n a une valeur finien fi = i n4/36 2/36

P( X ) = 1n i =1 ix2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Probabilit et frquence

Probabilit et frquence

Histogramme de frquences fr

Histogramme de frquences pour Riv. Du Loup frC = 6 classes largeur = 40

Quelques rgles pour la construction d'un r histogramme de frquences frNombre d'vnement

Histogramme des dbits maximum printaniers de la rivire du Loup7 6 5 4 3 2 1 0 70 110 110 150 150 190 190 230 230 270 270 310 Intervalle

Le nombre de classes devrait tre entre 5 et 20 La largeur des classes devrait tre entre 0,25 cart-type et 0,5 cart-type cartcartEx: riv du Loup s=62 largeur = 15,5 31

fi =

ni n

Le nombre de classes C devrait tre approximativement gal : C = 1 + 3,3 log (N) N tant la taille de l'chantillon l'Ex: riv du Loup N=26 C=6

Probabilit et frquence

Probabilit et frquence

Histogramme de frquences pour Riv. Du Loup frC = 11 classes largeur = 25

Distribution des probabilits probabilit Fonction de densit de probabilit densit probabilit (variable continue)Exemple: X= dbits maximum printanier

Histogramme des dbits maximum printaniers de la rivire du Loup6 5 Nombre d'vnement 4 3 2 1 0 65 90 90 115 115 140 140 165 165 190 190 215 Intervalle 215 240 240 265 265 290 290 315 315 330

f(x) xUne variable continue peut avoir une infinit de valeurs infinit Dans ce cas, la probabilit d'avoir une probabilit valeur prcise est = 0% pr

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CTN537 GESTION DES RESSOURCES HYDRIQUESProbabilit et frquence Probabilit et frquence

Fonction de rpartition rF(x) 1

Fonction de rpartition r

f(x)

F(x) 1

0

x

Appele aussi fonction de non dpassement Appel dF(x) = P(X x) =

F 1-F x Non dpassement

0

F 1-F x

En hydrologie, on utilise surtout la fonction de dpassement d 1 F ( x ) = P( X > x )

f ( x)dx

x

Dpassement

Probabilit et frquence

Probabilit et frquence

Fonction de rpartition (Rivire du Loup) r (Rivi

Priode de retour (ou rcurrence) rT= 1 1 = P( X > x ) 1 F ( x )

Frquence de dpassement (histo 11 classes)Frquence cumulative relative 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 50 100 150 200 250 300 350 Dbit (m3/s)

Fait intervenir laspect moyen doccurrence dun vnementType de structure Ponts : Autoroutes Routes principales Routes secondaires Ponceaux : Autoroutes Routes principales Routes secondaires Digues Plaines inondables 100 ans 50 ans 25 ans Priode de rcurrence T suggre

50 ans 25 ans 10 ans 100 ans 100 ans

Probabilit et frquence

Probabilit et frquence

Fonctions de densit de probabilit thorique densit probabilit th Loi normale

Fonctions de densit de probabilit thorique densit probabilit th Estimation de et

= $

1 n X =X n i =1 i 1 n ( X X ) = s2 n 1 i =1 i2

$ 2 =

f ( x) =

( x )2 exp 2 2 2 1

Loi normale

La moyenne et lcart-type sont lcartdes variables alatoires al Les proprits statistiques de lchantillon propri lchantillon approchent celles de la population quand la taille de lchantillon augmente lchantillonVariabilit dchantillonnage = source derreurs Variabilit chantillonnage d

,, moyenne et cart-type de la population

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CTN537 GESTION DES RESSOURCES HYDRIQUESProbabilit et frquence Probabilit et frquence

Estimation de la moyenne de la populationMoyenne de l'chantillon en fonction de sa taille230 220 210 Moyenne (m/s) 200 190 180 170 160 150 0 5 10 15 Taille de l'chantillon 20 25 30

Intervalle de confiance sur la moyenne On peut associer un intervalle de confiance l estimation de la moyenne

IC1 = x t(1( / 2 )), s n t: coefficient de Student (tables): degrs de libert = n-1

: seuil de confiance (1-) = intervalle de confiance

Ex: Rivire du Loup Rivin=26 x=177.5 s=62.2 =25 =5% n=16 x=181.1 s=73.3 =15 =5%

Probabilit et frquence

Probabilit et frquence

Exemple : Rivire du Loup RiviMoyenne de l'chantillon en fonction de sa taille230 220 210 Moyenne (m/s) 200 190 180 170 160 150 0 5 10 15 Taille de l'chantillon 20 25 30

Fonctions de densit de probabilit thorique densit probabilit thLoi Normale: Variable rduite z r P(Z)

z

z=

x

Z suit une loi normale N(0,1)

P( X x ) = F ( X ) =

f (x )dx = P(Z z )

x

P(Z) dans les tables de loi normale

Probabilit et frquence

Fonctions de densit de probabilit thorique densit probabilit th

Histogramme de frquences pour Riv. Du Loup frHistogramme des dbits maximum printaniers de la rivire du Loup

Nombre d'vnement

Plusieurs variables hydrologiques ne sont pas bien reprsentes par une loi normale repr sent Pourquoi?Plusieurs variables ne prennent que des valeurs positives (ex: dbits) d

6 5 4 3 2 1 0 65 90 90 115 115 140 140 165 165 190 190 215 Intervalle 215 240 240 265 265 290 290 315 315 330

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CTN537 GESTION DES RESSOURCES HYDRIQUESProbabilit et frquence

Fonctions de densit de probabilit thorique densit probabilit th Coefficient d asymtrie asymRenseigne sur la symtrie de la distribution sym

Histogramme de frquences pour Riv. Du Loup frHistogramme des dbits maximum printaniers de la rivire du Loup

Cs =

Nombre d'vnement

a S3

a=

n n 1 ( X i X ) ( n 1)( n 2) i =

3

6 5 4 3 2 1 0 65 90 90 115 115 140 140 165 165 190 190 215 Intervalle 215 240 240 265 265 290 290 315 315 330

Riv Loup Cs = 0.301

Cs: Coefficient d asymtrie asym n: taille de l chantillon chantillon S: cart-type cartX: Moyenne X: Variable alatoire al

Probabilit et frquence

Analyse de frquence

Fonctions de densit de probabilit thorique densit probabilit th Choix dpend de la ralit physique d r alit Extrapolation possible mais avec prudence !F o n c t io n s d e d e n s it N o r m a le L o g -n o rm a le V a r ia b le h y d r o l o g iq u e P r c ip ita tio n a n n u e lle , d b it s , s to c k a g e e n r s e r v o ir D b it m a x i m u m a n n u e l, p r c ip ita ti o n jo u r n a li r e e t a n n u e ll e , v o lu m e d e r u is s e lle m e n t m e n s u e l e t a n n u e l M m e q u e l o g - n o r m a le D b it m a x i m u m a n n u e l P r c ip ita tio n jo u r n a li r e , d u r e e n tr e d e u x v n e m e n ts P r c ip ita tio n jo u r n a li r e , m e n s u e lle , a n n u e lle , r u i s s e lle m e n t a n n u e l

L analyse de frquence fr

Comprend 2 tapes:1 - La validation des donnes donnAssurer lhomognit, la stationnarit, et l homog it stationnarit lindpendance des donnes ind donn Vrification des donnes manquantes donn Prsence de valeurs singulires Pr singuli

L o g -P e a rso n III V a le u r e x tr m e ty p e 1 ( G u m b e l) E x p o n e n tie lle G am m a

2 - Lanalyse de frquence frMthode graphique et/ou Mthode analytique

Analyse de frquence

Analyse de frquence

Validation des donnes donn Pour laborer un modle statistique partir des mod donnes d'un chantillon, il faut que les donnes donn donn soient stationnaires, homognes et indpendantes homog ind Homognit : Les lments de lchantillon Homog it lchantillon proviennent tous de la mme populationExemple de non homognit: homog itCrues printanires et crues pluviales dans un mme chantillon. printani Dbits tirs dannes anormalement sches ou humides tir d ann s

Validation des donnes donn Stationnarit: Proprits statistiques invariantes Stationnarit Propri dans le temps, lexception des fluctuations alatoires du climat. alTypes de non stationnarit: tendance, saut, cycle. stationnarit Exemples:dtournement de cours deau, urbanisation, changement d climatique, relocalisation de pluviomtre pluviom

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CTN537 GESTION DES RESSOURCES HYDRIQUESAnalyse de frquence Analyse de frquence

Validation des donnes donn Les donnes doivent tre indpendantes: une donn ind valeur de l'chantillon n'est pas influence par la l' influenc valeur prcdente, donc l'ordre o elle survient pr o n'a pas d'importance.Exemple de donnes dpendantes: donn ddbits journaliers en rivire rivi

Validation des donnes donn Les donnes manquantes. donnRaison de l'absence de donnes donn Attention ne pas omettre des donnes importantes donn

Valeur singulire: singuliValeur qui ne semble pas appartenir la mme population que le reste des donnes de l'chantillon. donn l' Peut tre une donne errone enlever de l'analyse. donn erron Peut tre un vnement extrme ncessitant un n ajustement particulier.

Note: pour le design de certains ouvrages, il faut considrer la dpendance des donnes (On parle consid d donn alors de modles stochastiques). mod

Analyse de frquence

Analyse de frquence

Mthode graphique Trac de couple de points (Xi, fi) TracXi: Dbits, prcipitations, etc. classer par ordre D pr dcroissant fi: frquence exprimentale correspondante fr exp

Mthode graphique tapes suivreClasser les vnements Xi par ordre dcroissant; d Calculer la frquence exprimentale associe fr exp associ Choisir un papier probabilit et positionner les points probabilit (Xi,fi) exprimentaux sur le papier; Xi,fi) exp Tracer la meilleure courbe travers le nuage de points; Interpoler ou extrapoler pour trouver la frquence dun fr d vnement quelconque ou pour obtenir lvnement lv correspondant une probabilit voulue. probabilit

Frquence exprimentale: quation de Weibull Fr exp

fi =

mi n+ 1

mi: rang occup par l observation occup n: taille de l chantillon chantillon

Papier probabilit: probabilitdistribution normale, log-normale, Gumbel logPermet linterpolation ou lextrapolation (attention!) l l

Analyse de frquence

Papier probabilit normale probabilit

Construction dun papier probabilit (normale) d probabilit4 P(Z) chelle probabilit 0.1 0.8 comprim

tir

tir

400

Z

X

-4 0 0.1 P(Z) chelle arithmtique 0.8 1

100

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CTN537 GESTION DES RESSOURCES HYDRIQUESAnalyse de frquence Analyse de frquence

Mthode graphique: Papier log-normal log-

Mthode graphique Avantages de la mthode graphique: mFacile dutilisation d valuation visuelle de lapplicabilit dune fonction de l applicabilit distribution donne un chantillon donn Possible dincorporer des "valeurs singulires" avec une d singuli frquence exprimentale particulire fr exp particuli

Exemple:Q1000=560 m3/s

Analyse des m3/s bits maximum printaniers d Q =410 d de Rivi=330 m3/s Loup avec papier Rivire du Q probabilit normale probabilit100 20

Dsavantages de la mthode graphique: mManque de prcision dans le trac de la ligne droite pr trac Comparaison de diffrentes distributions difficile diff

Analyse de frquence

Analyse de frquence

Manque de prcision de la mthode graphique pr m

Mthode analytique La mthode est base sur l quation linaire m bas quation lin suivante:

Q100=480 m3/s, augmentation de 17% Q100=410 m3/s

x = + K

x: variable alatoire al K: facteur de frquence fr ,, moyenne et cart type de la population

Le facteur de frquence K varie selon la loi fr et la priode de retour considre: p considquations analytiques tableaux de valeurs

Analyse de frquence

Analyse de frquence

La loi normale Soit t (ou z) la variable rduite rt= x x = + K x = + t K=t

La loi log-normale logLe facteur de frquence K est donn par: fr donnK=

[exp( K 2) 1] [exp( ) 1]y y 2 y 2 y 1 2

Les facteurs de frquence K sont: fr

y = ln( x )Ky tant choisi dans la table de la loi normale:

y = y + K y y

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CTN537 GESTION DES RESSOURCES HYDRIQUESAnalyse de frquence Analyse de frquence

La loi de Gumbel Aussi appele Loi des valeurs extrmes type 1 appel Le facteur de frquence K est donn par: fr donn T K = 0.7797 0.5572 + ln ln T 1 Applicable pour N>100

La loi de Gumbel

Si la taille de l chantillon est < 100, le facteur K chantillon est obtenu partir de valeurs tabules tabul

Analyse de frquence

Analyse de frquence

Lois Pearson III et log-Pearson III logLe facteur de frquence K est fonction du coefficient dasymtrie et de la priode de rcurrence. Pour la loi log-Pearson type III :Utilisation des valeurs de la loi Pearson III avec la transformation de l chantillon y=log(X) (ou ln(X))

Mthode analytique Exercice: Calcul des valeurs de crues pour les donnes de la Rivire du Loup donn Rivi Lois normale, log-normale, Gumbel et Pearson III logPriodes de retour = 50, 100 et 1000 ans Moyenne = 177,5 m/s m cart-type= 62,2 m/s cartm n=26 Cv=62,2/177,5 = 0,3504

Une loi log-Pearson type III avec un coefficient dasymtrie nul correspond une loi log-normale.

Analyse de frquence

Analyse de frquence

Mthode analytique Rsum des rsultats pour Rivire-du-Loup sum r Rivi re- duLoi Normale Q 50 (m/s) 305 Q 100 (m/s) 322 370 (410) 408 336 Q 1000 (m/s) 370 480 (560) 539 397

Mthode analytique Avantages de la mthode analytique: mPas de subjectivit dans l estimation de QT subjectivit Permet aussi de vrifier la qualit de lajustement v qualit l Permet de comparer diffrentes lois facilement diff

Log-normale 337 (330)* Gumbel Pearson III 369 315

Dsavantages de la mthode analytique: mNe peut traiter les "valeurs singulires" singuli

*: Comparaison avec rsultats graphiques

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CTN537 GESTION DES RESSOURCES HYDRIQUESInfrence statistique Infrence statistique

L infrence statistique inf Pour valuer lacceptabilit de la fdp choisie partir acceptabilit des carts entre les frquences exprimentales et fr exp celles calcules partir de la fdp: calcul fdp:cart trop important: fdp pas bonne cart raisonnable: fdp bonne

Le test de Khi-carr Khi- carr Hypothse: Hypothles distributions de frquence exprimentale et fr exp thoriques ne diffrent que par le hasard de th diff l chantillonnage chantillonnage

Statistique d ajustement:L hypothse est rejete au seuil de confiance si: hypoth rejet

Comment valuer si la fdp retenue est acceptable?Quelques tests statistiques existent, notamment le test du khi-carr () khi- carr

c2 > 2,1 avec:

=2 c

k

(O E )i i

2

i =1

Ei

Infrence statistique

Histogramme de frquences pour Riv. Du Loup fr

Fonction khi-carr khi- carr

Histogramme des dbits maximum printaniers de la rivire du Loup7

Loi normale6 Nombre d'vnement 5 4 3 2 1 0 70 110 110 150 150 190 190 230 230 270 270 310 Intervalle

Oi

Ei

Sites non jaugs

Sites non jaugs

Transposition des sites non jaugs jaug Quand:Lorsquaucune donne nest disponible au site o lanalyse de frquence est requise.

Transposition des sites non jaugs jaug L exposant m varie typiquement de 0,6 0,9:Valeurs suprieures pour les faibles priodes de retour; Valeurs infrieures pour les grandes priodes de retour; Habituellement plus lev pour les crues nivales que pour les crues pluviales; Pas recommand sil y a des lacs importants; Peut aussi tre calcul en analysant les donnes de deux stations prsentes sur le mme bassin.

Comment

A xTn = xTj n A j

m

xTn et xTj: dbit pour priode de retour T pour sites non jaug et jaug An et Aj: superficies de bassin versant jaug et non jaug m: exposant empirique

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CTN537 GESTION DES RESSOURCES HYDRIQUESSites non jaugs Sites non jaugs

Transposition des sites non jaugs jaug Particularits et limites: ParticularitSites jaug et non jaug sur la mme rivire jaug jaug rivi (mme bassin versant) Ne pas employer en prsence dun plan deau pr d d important entre les sites jaug et non jaug jaug jaug An/Aj compris entre 0.5 et 2.0 Si les sites jaug et non jaug sont sur des bassins jaug jaug diffrents, on doit faire une analyse rgionale de crues diff r

Analyse rgionale des crues rDtermination des rgions hydrologiques pour le Qubec: Qutude de Anctil et coll. Ralise en 1998 (Revue alis canadienne de gnie civil, g no 25, p 360-369) 360-

QT = QTR Qmoy

Sites non jaugs

Sites non jaugs

Analyse rgionale de crues r Distribution rgionale normalise de chaque rgion r normalis r

Analyse rgionale de crues r Relation Qmoy en fonction de la superficie du bassin

QTR

Qmoy

T

Sites non jaugs

Notions de risque

Recommandations pour lanalyse de frquence l fr Procdure Proc suggre de sugg calcul de QT

Le risque hydrologique Risque hydrologique:probabilit doccurrence dune crue donne probabilit d donn reli la priode de retour T reli p

Risque dinondation dRisque hydrologique pondr en fonction des dommages pond causs par la crue dune priode de retour T caus d p

Le risque dinondation conditionne le choix dune d d priode de retour pour le design douvrages d hydriques

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CTN537 GESTION DES RESSOURCES HYDRIQUESNotions de risque Notions de risque

Le risque hydrologique Probabilit (ou risque) dau moins 1 dpassement Probabilit d sur une priode de n annes: p ann1 RH = 1 1 Tn

Le risque d inondationNiveaux deau pour chaque d priode de retour T Trac des zones Trac inondables pour estimer les dommages

Choix de la priode de retour T: pOn utilise une valeur pr-dfinie; pr finie; On fixe un RH acceptable, et on calcule la priode de p retour en fonction de la dure de vie de louvrage; dur l

r = Pint DmoyPint = 1 1 Ti Ti +1

Dmoy = 0.5 (Di + Di +1 )RI =

ri

i

Notions de risque

Analyse conomique du risqueProjet optimal Cots totaux Cots annuelsction prote

la pour CotDomm a g es

Priode de retour T

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