HYPOTHESES FONDAMENTALES DU CALCUL AUX ETATS LIMITES.

HYPOTHESES DE CALCUL A LE.L.S

Hypothse de Navier Bernoulli

Une section plane reste plane aprs dformation=> la dformation est une fonction linaire des cotes y des points de la section => les dformations des fibres sont proportionnelles leur distance laxe neutre

Pas de glissement entre lacier et le bton du fait de ladhrence

=> La dformation est la mme pour lacier et le bton en un point donn

Le bton tendu est nglig.

Le bton tendu est fissur, il nest donc pas pris en compte dans la reprise des efforts de traction

On peut supposer concentre en son centre de gravit la section dun groupe de plusieurs barres, tendues ou comprimes, condition que lerreur commise sur la dformation unitaire ne dpasse pas 15%.

(Pour les paquets de 2 ou 3 barres, cette condition est toujours vrifie).

Validit de

la loi de Hooke:

= . E

pour le bton: b = b. Ebpour lacier: s = s. Es

Eb , Es = modules de dformation longitudinale du bton et de lacier.b, s = allongement ou raccourcissement de la fibre considre.

Coefficient dquivalence acier-btonPour 2 fibres voisines, les dformations tant les mmes, on a: Pour les contraintes: b=s=> b/Eb=s/Es=>

s=Es/ Eb. b

s= n. b avec n = Es/ Eb = coefficient dquivalence acier-bton.

modules dlasticit longitudinaux:

- acier: Es=2.105MPa - bton:Eb: Ei = 110003fcj si les charges sont instantanes (

Ei et Ev sont fonctions de fcj qui varie de (16 35)MPa pour les btons ordinaires => n varie de 7 20.

On admet la valeur prconise par les rglements (C.B.A 93 ou B.A.E.L 91): n = 15

POUR UNE MME SECTION,LACIER TRAVAILLE 15 FOIS PLUS QUE LE BTON

SECTION HOMOGNEOn peut remplacer, dans les calculs ltat limite de service, la section relle par une section fictive appele section homogne (ou homognise) dans laquelle on considre:-le bton comprim sur la hauteur y et -les aciers tendus

Principe de vrification lE.L.Stat limite de compression du bton

tat limite douverture des fissures

Etat limite de compression du bton:bc bc = 0.6fc28

La contrainte de compression du bton lE.L.S. ne doit pas dpasser la valeur limite fixe par bc=0.6fc28 afin dviter lapparition de fissures longitudinales parallles la fibre neutre.

En gnral, le problme de compression leve se pose lorsque le pourcentage darmatures dpasse 1.5%.

2) Etat limite douvertures des fissures: Le bton tendu se fissure et suit la dformation de lacier. Si les tractions dans les aciers augmentent, les fissures slargissent de plus en plus

On limite louverture des fissures pour viter les risques de corrosion des aciers et les dformations trop importantes en imposant aux contraintes de traction dans les aciers une valeur max. (limite) ne pas dpasser.

Selon leffet produit par la fissuration, on distingue 3 types douvrages

les ouvrages pour lesquels la fissuration est peu nuisible: F.P.N.

les ouvrages pour lesquels la fissuration est prjudiciable: F.P.

les ouvrages pour lesquels la fissuration est trs prjudiciable: F.T.P.

La fissuration est peu nuisible pour les lments situs dans des locaux couverts et clos, non soumis des condensations (exemple: poteaux intrieurs dun btiment)

Pour ce type dlment, (F.P.N.) lenrobage devra tre 1cm.La contrainte de traction des aciers nest pas limite => il ny a pas de vrifications faire.

La fissuration est prjudiciable si les ouvrages considrs sont soumis des intempries, des condensations, ou peuvent tre alternativement immergs ou mergs en eau douce.

F.P. => enrobage 2cm. La contrainte de traction dans les aciers ne doit pas dpasser la valeur max. st dont la valeur est:st = min (2fe/3;110ft28)

Avec:fe = limite dlasticit des aciers darmatures en MPa.

ft28 = rsistance caractristique la traction du bton 28 jours (ft28 = 0.6+0.06 fc28)

= coefficient de fissuration =1 pour les ronds lisses = 1.6pour les aciers haute adhrence tels que 6mm = 1.6 pour les fils de diamtre

La fissuration est trs prjudiciable pour les ouvrages en milieu agressif(atmosphre marine ou eau de mer, eau trs pure, gaz ou sols corrosifs)

pour les ouvrages dont ltanchit doit tre garantie (rservoirs, conduites)

F.T.P. =>Enrobage 3cm et enrobage 4cm La contrainte de traction dans les aciers ne doit pas dpasser la valeur max.st dont la valeur est:st = min (fe/2; 90 ft28)

II. HYPOTHESES DE CALCUL A LE.L.U.Les quatre premires hypothses du calcul lE.L.S. sont galement valables lE.L.U:

1.Hypothse de Navier Bernoulli.2.Pas de glissement relatif entre les aciers et le bton.3. Rsistance la traction du bton nglige.4.Section dun groupe de paquets de barres

3 hypothses supplmentairessajoutent aux prcdentes: - Diagrammes de calcul (bton et acier) - Dformations relatives limites - Rgle 3 pivots

5.Diagrammes de calcul:

Pour le bton:

- diagramme parabole rectangle - diagramme rectangulaire simplifi

DIAGRAMMES DE CALCUL DU BTON 1) Diagramme parabole rectangle:

bc = contrainte de compression dans le bton,

bc = dformation unitaire du bton (raccourcissement)

fcj= rsistance caractristique la compression du bton 28 jours,fbu =0.85.fcj/.b = rsistance caractristique du bton la compression pour le calcul lE.L.U. o b= coefficient de scurit ( b = 1.5 dans le cas gnral et b = 1.15 en situation accidentelle)

Le coefficient tient compte de linfluence de la dure dapplication du chargement sur la rsistance la compression du bton.

=1 si la dure dapplication des charges est > 24 h.

= 0.9 si la dure dapplication des charges est comprise entre 1h. et 24h.

= 0.85 si la dure dapplication des charges est< 1h.

REMARQUE IMPORTANTE

On prend:fbu=0,85.fcj/.b si la section est telle que la largeur des fibres comprimes est plus grande que celle des fibres tendues

et fbu=0,80.fcj/.b dans le cas contraire.

Diagramme de calcul de lacier

Diagramme de calcul des aciers: on considre que lacier se comporte de la mme manire en traction ou en compression bien que ceci ne soit pas vrai pour tous les aciers.

La dformation de lacier est toujours limite 10. fe/s = fsu = contrainte ultime.s = coefficient de scurit. s = 1 en situation accidentelle s = 1.15 en situation normaleEs = module de Young de lacier = 2.105MPa

Dformations limites:raccourcissement unitaire du bton limit :

2 en compression simple. 3.5 en flexionallongement unitaire de lacier limit : 10

Rgle 3 pivotsPour dimensionner lE.L.U, on admet que le diagramme des dformations passe par lun des pivots A, B, ou C dont la position est dfinie par:

Pivot A allongement de 10 de larmature la plus tendue

Pivot B raccourcissement de 3.5 de la fibre la plus comprime

Pivot C: raccourcissement de 2 de la fibre de bton situe 3h/7 de la fibre la plus comprime (h = hauteur totale de la section)

+10%oA-3,5%o-2%o

Y= 0,259. d

Traction excentre

Flexion simple ou compose

PIVOT A BC

PIVOT BPIVOT CB.A.E.L [A.4.3,3] : Diagramme des dformations limites de la sectionFlexion simple ou composeCompression excentre

DOMAINE 1 PIVOT A s =10 b

Le domaine 1comporte 2 sous-domaines: Sous-domaine1a: le bton est toujours tendu traction simple ou flexion ou flexion compose avec traction.

Sous-domaine1a

Sous-domaine 1a ou 1b

Sous-domaine 1b le bton est partiellement comprim le raccourcissement de la fibre la plus comprime reste infrieur 3.5

Sous-domaine 1b

Sous-domaine 1b

On note: y = hauteur de bton comprim (position de laxe neutre) = y/d = position relative de laxe neutre.

Dans le domaine 1 on a: y yAB et yAB = 0,259d

DOMAINE 2 PIVOT B bc = 3.5 Le diagramme des dformations passe par le pivot B qui correspond un raccourcissement de3.5 de la fibre de bton la plus comprime.

domaine 2

Flexion simple ou flexion compose

Le domaine 2 comporte 3 sous-domaines:

Sous-domaine 2a: Lallongement des armatures tendues est suprieur lallongement lastique, les aciers sont plastifis: s es

Sous-domaine 2a

Sous-domaine2bdf acier comprise entre def lim et df lastique

Sous-domaine2bLallongement des armatures tendues est infrieur lallongement lastique. La contrainte dans les aciers darmatures est infrieure fe/s et ses

Sous-domaine2bdf acier in df lastique

Sous-domaine2c: Les armatures sont comprimes s < 0 Le bton denrobage est tendu (cest dire les fibres de bton comprises entre les aciers tendus et le parement extrieur.)

Sous-domaine2cacier comprim

Dans le domaine 2 on a:

0,259d y h

DOMAINE 3 PIVOT C b = 2 Le diagramme des dformations passe par le pivot C qui correspond un raccourcissement de 2 de la fibre de bton situe 3h/7 de la fibre la plus comprime.

Domaine 3 Pivot C

Domaine 3 Pivot C flexion simple, flexion compose ou compression simple 2 b 3.5 s < 0 y h

Rcapitulation

PRINCIPE DE LA VRIFICATION LE.L.U.

On vrifie que les sollicitations de calcul restent infrieures des sollicitations ultimes:

Traction simple: Nu Nultime Flexion simple: Mu MultimeFlexion compose: (Nu, Mu) restent lintrieur dun domaine limite appel domaine dinteraction de la section.

Force de compression dans le bton estime partir du diagramme parabole-rectangle: On considre une poutre flchie de section droite rectangulaire.

Fibre neutre =fibre de dformation nulle = fibre de contrainte nulle.

La rsultante des efforts de compression dans le bton est obtenue par intgration de la contrainte (y) sur la surface de bton comprim (hauteur y)

Equilibre(section sans armatures comprimes)

Nbc = (y).b(y).dy

Nbc = (y).dA dA= lment daire = b(y).dy

(y) = contrainte de compression du bton dans la section pour une fibre dordonne y. b(y) = largeur de la poutre: cest une fonction de y si la poutre est de largeur variable.

Nbc est donc une intgrale double que lon peut calculer par la mthode de Mohr ou mthode de multiplication des diagrammes.

Nbc = (y).b(y).dy Si b = constante = b (y).dy = baire du diagramme des contraintes Nbc = b.17.y.fbu /21 = 0,809.y.b.fbu

Diagramme rectangulaire simplifiLa valeur de leffort de compression dans le bton Nbc dpend de laire du diagramme des contraintes.

On trouve pratiquement le mme rsultat en remplaant le diagramme parabole-rectangle par un diagramme rectangulaire simplifi dfini - pour une dformation allant de (0,7 3,5) - sur une hauteur de 0,8y -la valeur limite de la rsistance la compression du bton tant fbu.

Equilibre des forces dans la section

quilibre des moments dans la section

Moment de la force de compression dans le bton

Rcapitulation des caractristiques des diagrammes des contraintes dans le bton