25
Formulaire résistance des matériaux - Poutres Pierre-Olivier Martin, directeur de projet recherche, CTICM – Mars 2021 1 Formulaire résistance des matériaux – Calcul des poutres Hypothèses et conventions Les sollicitations internes sont définies comme agissant de la partie à droite de la coupure sur la partie à gauche ; Les conventions de signe pour les réactions sont: o forces verticales positives orientées vers le haut ; o moments positifs dans le sens trigonométrique. Le repère local pour la position des sections et le calcul de la flèche est indiqué sur chaque figure ; Les conventions de signe pour les sollicitations internes sont : o effort normal positif dans le sens x local positif ; o effort tranchant positif dans le sens y local positif ; o moment fléchissant positif dans le sens trigonométrique. Les conventions de signe pour les diagrammes sont indiquées sur chaque figure. Configurations traitées Poutres isostatiques à une travée sur deux appuis (série Axx) ; Poutres isostatiques à deux travées sur deux appuis (série ACxx) ; Poutres hyperstatiques bi-encastrées (série Bxx) ; Poutres isostatiques en console (série Cxx) ; Poutres hyperstatiques à une travée encastrées-appuyées (série Dxx) ; Poutres hyperstatiques à deux travées, encastrées-appuyées (série DCxx). Pour chaque configuration, le formulaire donne généralement : Les réactions aux appuis ; L’effort tranchant et le moment fléchissant le long de la poutre ; La position et la valeur du moment maximal ; La déformée en flexion ; La flèche verticale en diverses sections, y compris la flèche maximale ; Les rotations au droit des sections singulières, le cas échéant ; L’énergie de déformation en flexion.

Hypothèses et conventions

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Formulaire résistance des matériaux - Poutres

Pierre-Olivier Martin, directeur de projet recherche, CTICM – Mars 2021 1

Formulaire résistance des matériaux – Calcul des poutres

Hypothèses et conventions

Les sollicitations internes sont définies comme agissant de la partie à droite de la coupure sur la partie à gauche ;

Les conventions de signe pour les réactions sont: o forces verticales positives orientées vers le haut ; o moments positifs dans le sens trigonométrique.

Le repère local pour la position des sections et le calcul de la flèche est indiqué sur

chaque figure ; Les conventions de signe pour les sollicitations internes sont :

o effort normal positif dans le sens x local positif ; o effort tranchant positif dans le sens y local positif ; o moment fléchissant positif dans le sens trigonométrique.

Les conventions de signe pour les diagrammes sont indiquées sur chaque figure.

Configurations traitées

Poutres isostatiques à une travée sur deux appuis (série Axx) ; Poutres isostatiques à deux travées sur deux appuis (série ACxx) ; Poutres hyperstatiques bi-encastrées (série Bxx) ; Poutres isostatiques en console (série Cxx) ; Poutres hyperstatiques à une travée encastrées-appuyées (série Dxx) ; Poutres hyperstatiques à deux travées, encastrées-appuyées (série DCxx). Pour chaque configuration, le formulaire donne généralement : Les réactions aux appuis ; L’effort tranchant et le moment fléchissant le long de la poutre ; La position et la valeur du moment maximal ; La déformée en flexion ; La flèche verticale en diverses sections, y compris la flèche maximale ; Les rotations au droit des sections singulières, le cas échéant ; L’énergie de déformation en flexion.

Formulaire résistance des matériaux - Poutres

Pierre-Olivier Martin, directeur de projet recherche, CTICM – Mars 2021 2

POUTRES SUR 2 APPUIS

A01 A02 A03

A04 A05 A06

A07 A08 A09

A10 A11 A12

A13 A14 A15

A16 A17 AC01

AC02 AC03 AC04

Formulaire résistance des matériaux - Poutres

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POUTRES BI-ENCASTRÉES

B01 B02 B03

B04

POUTRES CONSOLES

C01 C02 C03

C04 C05 C06

Formulaire résistance des matériaux - Poutres

Pierre-Olivier Martin, directeur de projet recherche, CTICM – Mars 2021 4

POUTRES ENCASTRÉES-APPUYÉES

D01 D02 D03

DC01 DC02 DC03

DC04

Formulaire résistance des matériaux - Poutres

Pierre-Olivier Martin, directeur de projet recherche, CTICM – Mars 2021 5

POUTRES SUR DEUX APPUIS SIMPLES

ξ = 𝑥𝑥 𝐿𝐿⁄ Position relative 𝑦𝑦(𝑥𝑥) Déformée élastique en flexion 𝑅𝑅A, 𝑅𝑅B Réactions aux appuis 𝑓𝑓 Flèche 𝑉𝑉 Effort tranchant 𝑓𝑓0 Flèche maximale 𝑀𝑀 Moment fléchissant α, β Déformations angulaires 𝑀𝑀0 Moment fléchissant maximal 𝑊𝑊d Energie de déformation élastique en flexion

A01

𝑄𝑄 = 𝑞𝑞 𝐿𝐿

𝑅𝑅A = 𝑅𝑅B =𝑄𝑄2

𝑉𝑉(𝑥𝑥) =𝑄𝑄

2 𝐿𝐿(𝐿𝐿 − 2 𝑥𝑥)

𝑀𝑀(𝑥𝑥) =𝑄𝑄

2 𝐿𝐿 𝑥𝑥 (𝐿𝐿 − 𝑥𝑥)

𝑀𝑀0 =𝑄𝑄 𝐿𝐿

8 pour 𝑥𝑥0 =𝐿𝐿2

𝑦𝑦(𝑥𝑥) =𝑄𝑄

24 𝐸𝐸𝐸𝐸𝑥𝑥𝐿𝐿

(𝐿𝐿 − 𝑥𝑥)(𝐿𝐿2 + 𝐿𝐿 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2)

𝑓𝑓0 = 𝑓𝑓C =5

384𝑄𝑄 𝐿𝐿3

𝐸𝐸𝐸𝐸 pour 𝑥𝑥0 =𝐿𝐿2

tan α = − tan β =𝑄𝑄 𝐿𝐿2

24 𝐸𝐸𝐸𝐸

𝑊𝑊d = 𝑄𝑄2 𝐿𝐿3

240 𝐸𝐸𝐸𝐸 =8

25 𝑓𝑓C 𝑄𝑄

A02

𝑅𝑅A = 𝑅𝑅B =𝐹𝐹2

𝑉𝑉AC(𝑥𝑥) =𝐹𝐹2 𝑉𝑉CB(𝑥𝑥) = −

𝐹𝐹2

𝑀𝑀AC(𝑥𝑥) =𝐹𝐹2 𝑥𝑥 𝑀𝑀CB(𝑥𝑥) =

𝐹𝐹2 (𝐿𝐿 − 𝑥𝑥)

𝑀𝑀0 =𝐹𝐹 𝐿𝐿4 pour 𝑥𝑥0 =

𝐿𝐿2

𝑦𝑦AC(𝑥𝑥) =𝐹𝐹 𝑥𝑥

48 𝐸𝐸𝐸𝐸(3 𝐿𝐿2 − 4 𝑥𝑥2)

𝑦𝑦CB(𝑥𝑥) =𝐹𝐹

48 𝐸𝐸𝐸𝐸(𝐿𝐿 − 𝑥𝑥)(−𝐿𝐿2 − 4 𝑥𝑥2 + 8 𝐿𝐿 𝑥𝑥)

𝑓𝑓0 = 𝑓𝑓C =𝐹𝐹 𝐿𝐿3

48 𝐸𝐸𝐸𝐸 pour 𝑥𝑥0 =𝐿𝐿2

tan α = − tan β =𝐹𝐹 𝐿𝐿2

16 𝐸𝐸𝐸𝐸

𝑊𝑊d = 𝐹𝐹2 𝐿𝐿3

96 𝐸𝐸𝐸𝐸 =12 𝑓𝑓C 𝐹𝐹

Formulaire résistance des matériaux - Poutres

Pierre-Olivier Martin, directeur de projet recherche, CTICM – Mars 2021 6

ξ = 𝑥𝑥 𝐿𝐿⁄ Position relative 𝑦𝑦(𝑥𝑥) Déformée élastique en flexion 𝑅𝑅A, 𝑅𝑅B Réactions aux appuis 𝑓𝑓 Flèche 𝑉𝑉 Effort tranchant 𝑓𝑓0 Flèche maximale 𝑀𝑀 Moment fléchissant α, β Déformations angulaires 𝑀𝑀0 Moment fléchissant maximal 𝑊𝑊d Energie de déformation élastique en flexion

A03

𝑅𝑅A =𝐹𝐹 𝑏𝑏𝐿𝐿 𝑅𝑅B =

𝐹𝐹 𝑎𝑎𝐿𝐿 𝑀𝑀AC(𝑥𝑥) =

𝐹𝐹 𝑏𝑏 𝑥𝑥𝐿𝐿 𝑀𝑀CB(𝑥𝑥) =

𝐹𝐹 𝑎𝑎𝐿𝐿 (𝐿𝐿 − x)

𝑉𝑉AC(𝑥𝑥) =𝐹𝐹 𝑏𝑏

𝐿𝐿 𝑉𝑉CB(𝑥𝑥) = −𝐹𝐹 𝑎𝑎

𝐿𝐿 𝑀𝑀0 = 𝑀𝑀C =𝐹𝐹 𝑎𝑎 𝑏𝑏

𝐿𝐿 pour 𝑥𝑥0 = 𝑎𝑎

𝑊𝑊d = 𝐹𝐹2 𝑎𝑎2𝑏𝑏2

6 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝐿𝐿 =12 𝑓𝑓C 𝐹𝐹

𝑦𝑦AC(𝑥𝑥) =𝐹𝐹 𝑏𝑏 𝑥𝑥6 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝐿𝐿 (𝑎𝑎 (𝐿𝐿 + 𝑏𝑏) − 𝑥𝑥2)

𝑦𝑦CB(𝑥𝑥) =𝐹𝐹 𝑎𝑎 (𝐿𝐿 − 𝑥𝑥)

6 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝐿𝐿 (𝑏𝑏 (𝐿𝐿 + 𝑎𝑎) − (𝐿𝐿 − 𝑥𝑥)2)

𝑓𝑓C =𝐹𝐹 𝑎𝑎2𝑏𝑏2

3 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝐿𝐿

𝑓𝑓0 =𝐹𝐹 𝑐𝑐

27 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝐿𝐿 �3 (𝐿𝐿2 − 𝑐𝑐2)3

avec 𝑐𝑐 = min{𝑎𝑎; 𝑏𝑏}

𝑥𝑥0 =𝐿𝐿2 �1 ± �1 − �

43

�1 −𝑐𝑐2

𝐿𝐿2� ��

𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑎𝑎 < 𝑏𝑏 ∶ signe + 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑎𝑎 ≥ 𝑏𝑏 ∶ signe −

tan α =𝐹𝐹 𝑎𝑎 𝑏𝑏6 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝐿𝐿

(𝐿𝐿 + 𝑏𝑏) tan β = −𝐹𝐹 𝑎𝑎 𝑏𝑏6 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝐿𝐿

(𝐿𝐿 + 𝑎𝑎) tan γ =𝐹𝐹 𝑎𝑎 𝑏𝑏3 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝐿𝐿

(𝑏𝑏 − 𝑎𝑎)

A04

𝑐𝑐 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = 𝐿𝐿 − 𝑎𝑎 𝑅𝑅A = 𝑅𝑅B = 𝐹𝐹

𝑦𝑦AC(𝑥𝑥) =𝐹𝐹 𝑥𝑥6 𝐸𝐸𝐸𝐸

(3 𝑎𝑎 (𝐿𝐿 − 𝑎𝑎) − 𝑥𝑥2)

𝑦𝑦CD(𝑥𝑥) =𝐹𝐹 𝑎𝑎 6 𝐸𝐸𝐸𝐸

(3 𝑥𝑥 (𝐿𝐿 − 𝑥𝑥) − 𝑎𝑎2)

𝑦𝑦DB(𝑥𝑥) = 𝑦𝑦AC(𝐿𝐿 − 𝑥𝑥)

𝑓𝑓C = 𝑓𝑓D =𝐹𝐹 𝑎𝑎2

6 𝐸𝐸𝐸𝐸 (3 𝐿𝐿 − 4 𝑎𝑎)

𝑓𝑓0 =𝐹𝐹 𝑎𝑎

24 𝐸𝐸𝐸𝐸(3 𝐿𝐿2 − 4 𝑎𝑎2) pour 𝑥𝑥0 = 𝐿𝐿/2

courbure constante en CD: 1𝑟𝑟 =

𝐹𝐹 𝑎𝑎𝐸𝐸𝐸𝐸

𝑉𝑉AC(𝑥𝑥) = 𝐹𝐹 𝑀𝑀AC(𝑥𝑥) = 𝐹𝐹 𝑥𝑥

𝑉𝑉CD(𝑥𝑥) = 0 𝑀𝑀CD(𝑥𝑥) = 𝐹𝐹 𝑎𝑎

𝑉𝑉DB(𝑥𝑥) = −𝐹𝐹 𝑀𝑀DB(𝑥𝑥) = 𝐹𝐹 (𝐿𝐿 − x)

𝑀𝑀0 = 𝑀𝑀C = 𝑀𝑀D = 𝐹𝐹 𝑎𝑎 constant sur C-D

𝑊𝑊d = 𝐹𝐹2 𝑎𝑎2 (𝐿𝐿 + 2 𝑏𝑏)

6 𝐸𝐸𝐸𝐸

tan α =𝐹𝐹 𝑎𝑎 𝑐𝑐2 𝐸𝐸𝐸𝐸

tan β = − tan α

tan γ =𝐹𝐹 𝑎𝑎 𝑏𝑏2 𝐸𝐸𝐸𝐸

Formulaire résistance des matériaux - Poutres

Pierre-Olivier Martin, directeur de projet recherche, CTICM – Mars 2021 7

ξ = 𝑥𝑥 𝐿𝐿⁄ Position relative 𝑦𝑦(𝑥𝑥) Déformée élastique en flexion 𝑅𝑅A, 𝑅𝑅B Réactions aux appuis 𝑓𝑓 Flèche 𝑉𝑉 Effort tranchant 𝑓𝑓0 Flèche maximale 𝑀𝑀 Moment fléchissant α, β Déformations angulaires 𝑀𝑀0 Moment fléchissant maximal 𝑊𝑊d Energie de déformation élastique en flexion

A05

𝑄𝑄 = 𝑞𝑞 𝐿𝐿

𝑅𝑅A = 𝑅𝑅B =𝑄𝑄 + 𝐹𝐹

2

𝑉𝑉AC(𝑥𝑥) =𝑄𝑄

2 𝐿𝐿(𝐿𝐿 − 2 𝑥𝑥) +

𝐹𝐹2

𝑉𝑉CB(𝑥𝑥) =𝑄𝑄

2 𝐿𝐿(𝐿𝐿 − 2 𝑥𝑥) −

𝐹𝐹2

𝑀𝑀AC(𝑥𝑥) =𝑄𝑄 𝑥𝑥2 𝐿𝐿 (𝐿𝐿 − 𝑥𝑥) +

𝐹𝐹2 𝑥𝑥

𝑀𝑀CB(𝑥𝑥) = �𝑄𝑄 𝑥𝑥2 𝐿𝐿 +

𝐹𝐹2� (𝐿𝐿 − 𝑥𝑥)

𝑀𝑀0 = �𝑄𝑄2 + 𝐹𝐹�

𝐿𝐿4 pour 𝑥𝑥0 =

𝐿𝐿2

𝑦𝑦AC(ξ) =𝐿𝐿3

8 𝐸𝐸𝐸𝐸 �𝑄𝑄3 ξ4 −

23

(𝑄𝑄 + 𝐹𝐹) ξ3 + �𝑄𝑄3 +

𝐹𝐹2� ξ� où ξ =

𝑥𝑥𝐿𝐿

𝑦𝑦CD(ξ) =𝐿𝐿3

8 𝐸𝐸𝐸𝐸 �𝑄𝑄3 (1 − ξ)4 −

23

(𝑄𝑄 + 𝐹𝐹) (1 − ξ)3 + �𝑄𝑄3 +

𝐹𝐹2� (1 − ξ)�

𝑓𝑓0 = 𝑓𝑓C =

𝐿𝐿3

48 𝐸𝐸𝐸𝐸 �58 𝑄𝑄 + 𝐹𝐹� pour 𝑥𝑥0 =

𝐿𝐿2

tan α = − tan β =𝐿𝐿2

8 𝐸𝐸𝐸𝐸 �𝑄𝑄3 +

𝐹𝐹2�

𝑊𝑊d = 𝐿𝐿3

48 𝐸𝐸𝐸𝐸 �𝑄𝑄2

5 +𝐹𝐹2

2 +5 𝐹𝐹 𝑄𝑄

8 �

A06

𝑄𝑄 = 𝑞𝑞 𝐿𝐿

𝑅𝑅A = 𝑅𝑅B = 𝐹𝐹 +𝑄𝑄2 𝑀𝑀AC(𝑥𝑥) = 𝐹𝐹 𝑥𝑥 +

𝑄𝑄 𝑥𝑥2 𝐿𝐿 (𝐿𝐿 − 𝑥𝑥)

𝑉𝑉AC(𝑥𝑥) = 𝐹𝐹 +𝑄𝑄2 �1 − 2

𝑥𝑥𝐿𝐿� 𝑀𝑀CD(𝑥𝑥) = 𝐹𝐹 𝑎𝑎 +

𝑄𝑄 𝑥𝑥2 𝐿𝐿 (𝐿𝐿 − 𝑥𝑥)

𝑉𝑉CD(𝑥𝑥) =𝑄𝑄2 �1 − 2

𝑥𝑥𝐿𝐿� 𝑀𝑀DB(𝑥𝑥) = 𝐹𝐹 (𝐿𝐿 − x) +

𝑄𝑄 𝑥𝑥2 𝐿𝐿 (𝐿𝐿 − 𝑥𝑥)

𝑉𝑉DB(𝑥𝑥) = −𝐹𝐹 +𝑄𝑄2 �1 − 2

𝑥𝑥𝐿𝐿� 𝑀𝑀0 = 𝐹𝐹 𝑎𝑎 +

𝑄𝑄 𝐿𝐿8 pour 𝑥𝑥0 =

𝐿𝐿2

𝑦𝑦(𝑥𝑥) = 𝑦𝑦A01(𝑥𝑥) + 𝑦𝑦A04(𝑥𝑥) tan α = − tan β =𝐹𝐹 𝑎𝑎 (𝐿𝐿 − 𝑎𝑎)

2 𝐸𝐸𝐸𝐸 +𝑄𝑄 𝐿𝐿2

24 𝐸𝐸𝐸𝐸

𝑓𝑓0 =𝐹𝐹 𝑎𝑎

24 𝐸𝐸𝐸𝐸(3 𝐿𝐿2 − 4 𝑎𝑎2) +

5 𝑄𝑄 𝐿𝐿3

384 𝐸𝐸𝐸𝐸 pour 𝑥𝑥0 =𝐿𝐿2

𝑓𝑓C = 𝑓𝑓D =𝐹𝐹 𝑎𝑎2

6 𝐸𝐸𝐸𝐸 (3 𝐿𝐿 − 4 𝑎𝑎) +𝑄𝑄 𝑎𝑎

24 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝐿𝐿(𝐿𝐿3 − 2 𝑎𝑎2𝐿𝐿 + 𝑎𝑎3)

Formulaire résistance des matériaux - Poutres

Pierre-Olivier Martin, directeur de projet recherche, CTICM – Mars 2021 8

ξ = 𝑥𝑥 𝐿𝐿⁄ Position relative 𝑦𝑦(𝑥𝑥) Déformée élastique en flexion 𝑅𝑅A, 𝑅𝑅B Réactions aux appuis 𝑓𝑓 Flèche 𝑉𝑉 Effort tranchant 𝑓𝑓0 Flèche maximale 𝑀𝑀 Moment fléchissant α, β Déformations angulaires 𝑀𝑀0 Moment fléchissant maximal 𝑊𝑊d Energie de déformation élastique en flexion

A07

𝑄𝑄 = 𝑞𝑞 𝐿𝐿/2

𝑅𝑅A =𝑄𝑄3 𝑅𝑅B =

2 𝑄𝑄3

𝑉𝑉(𝑥𝑥) =𝑄𝑄

3 𝐿𝐿2 (𝐿𝐿2 − 3 𝑥𝑥2)

𝑀𝑀(𝑥𝑥) =𝑄𝑄 𝑥𝑥3 𝐿𝐿2 (𝐿𝐿2 − 𝑥𝑥2)

𝑀𝑀0 =2 𝑄𝑄 𝐿𝐿9 √3

pour 𝑥𝑥0 =𝐿𝐿

√3= 0,5774 𝐿𝐿

𝑊𝑊d =4

945 𝑄𝑄2 𝐿𝐿3

𝐸𝐸𝐸𝐸

ξ =𝑥𝑥𝐿𝐿

𝑦𝑦(ξ) =𝑄𝑄 𝐿𝐿3

180 𝐸𝐸𝐸𝐸 ξ (3 ξ4 − 10 ξ2 + 7)

𝑓𝑓0 = 𝑘𝑘f 𝑄𝑄 𝐿𝐿3

𝐸𝐸𝐸𝐸 pour𝑥𝑥0

𝐿𝐿 = �1 −4

√30= 0,5193

𝑘𝑘f =10 + √30

3375�30 − 4 √30 = 0,01304

tan α =7

180𝑄𝑄 𝐿𝐿2

𝐸𝐸𝐸𝐸 tan β = −2

45𝑄𝑄 𝐿𝐿2

𝐸𝐸𝐸𝐸

A08

𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑟𝑟 𝑞𝑞1𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑞𝑞2 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑚𝑚ê𝑚𝑚𝑒𝑒 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑒𝑒 (∗)

ξ =𝑥𝑥𝐿𝐿 𝜀𝜀 = �1 +

𝜓𝜓2

12

𝑄𝑄 =𝑞𝑞1 + 𝑞𝑞2

2 𝐿𝐿 𝜓𝜓 = 2 𝑞𝑞2 − 𝑞𝑞1

𝑞𝑞2 + 𝑞𝑞1

𝑅𝑅A =𝑄𝑄2 �1 −

𝜓𝜓6� 𝑅𝑅B =

𝑄𝑄2 �1 +

𝜓𝜓6�

𝑉𝑉(ξ) =𝑄𝑄2 (1 − 2 ξ) −

𝜓𝜓 𝑄𝑄2 �

16 − 𝜉𝜉 + ξ2�

𝑀𝑀(ξ) =𝑄𝑄 𝐿𝐿

2(ξ − ξ2) −

𝜓𝜓 𝑄𝑄 𝐿𝐿12

(ξ − 3 ξ2 + 2 ξ3)

𝑦𝑦(ξ) =Q 𝐿𝐿3 ξ24 𝐸𝐸𝐸𝐸 �𝜉𝜉3 − 2 𝜉𝜉2 + 1 +

𝜓𝜓30

(6 𝜉𝜉4 − 15 𝜉𝜉3 + 10 𝜉𝜉2 − 1)�

𝑀𝑀0 =𝑄𝑄 𝑥𝑥0

72 𝜓𝜓 �18 𝜓𝜓 − 𝜓𝜓2 + 6 (𝜀𝜀 − 1)(𝜓𝜓 − 2)�

𝑥𝑥0 =𝐿𝐿2 �1 +

2𝜓𝜓

(𝜀𝜀 − 1)�

𝑊𝑊d = 𝑄𝑄2 𝐿𝐿3

240 𝐸𝐸𝐸𝐸 �1 +𝜓𝜓2

252�

tan α =𝑄𝑄 𝐿𝐿2

24 𝐸𝐸𝐸𝐸 �1 −𝜓𝜓30�

tan β = −𝑄𝑄 𝐿𝐿2

24 𝐸𝐸𝐸𝐸 �1 +𝜓𝜓30�

𝑓𝑓0 ≈5

384 𝑄𝑄 𝐿𝐿3

𝐸𝐸𝐸𝐸 �1 +𝜓𝜓30�

(*) : quand q1 et q2 sont de signe opposé, le moment peut changer de signe en fonction des valeurs de q1 et q2. Les formules présentées ici ne donnent que la position et la valeur du moment maxi positif.

Formulaire résistance des matériaux - Poutres

Pierre-Olivier Martin, directeur de projet recherche, CTICM – Mars 2021 9

ξ = 𝑥𝑥 𝐿𝐿⁄ Position relative 𝑦𝑦(𝑥𝑥) Déformée élastique en flexion 𝑅𝑅A, 𝑅𝑅B Réactions aux appuis 𝑓𝑓 Flèche 𝑉𝑉 Effort tranchant 𝑓𝑓0 Flèche maximale 𝑀𝑀 Moment fléchissant α, β Déformations angulaires 𝑀𝑀0 Moment fléchissant maximal 𝑊𝑊d Energie de déformation élastique en flexion

A09

𝑅𝑅A =𝑞𝑞 𝐿𝐿6 𝑅𝑅B = −

𝑞𝑞 𝐿𝐿6

𝑉𝑉(ξ) = 𝑞𝑞 𝐿𝐿 �ξ2 − ξ +16�

𝑀𝑀(ξ) =𝑞𝑞 𝐿𝐿2

6 (2 ξ3 − 3 ξ2 + ξ )

𝑀𝑀0 =√3

108 𝑞𝑞𝐿𝐿2 en 𝑥𝑥0 =𝐿𝐿2 − 𝑑𝑑0

avec 𝑑𝑑0 =𝐿𝐿

2 √3

𝑦𝑦(ξ) = −𝑞𝑞 𝐿𝐿4

360 𝐸𝐸𝐸𝐸 ξ (6 ξ4 − 15 ξ3 + 10 ξ2 − 1)

𝑦𝑦C = 0

𝑓𝑓0 ≈𝑞𝑞 𝐿𝐿4

2457 𝐸𝐸𝐸𝐸 pour 𝑥𝑥0 ≈𝐿𝐿2 ± 0,260 𝐿𝐿

tan α = tan β =𝑞𝑞 𝐿𝐿3

360 𝐸𝐸𝐸𝐸

𝑊𝑊d =𝑞𝑞2 𝐿𝐿5

15120 𝐸𝐸𝐸𝐸

A10

𝑄𝑄 = 𝑞𝑞 𝑎𝑎 𝑑𝑑 = 𝑎𝑎 �2 −𝑎𝑎𝐿𝐿�

𝑅𝑅A =𝑄𝑄 𝑑𝑑2 𝑎𝑎 𝑅𝑅B =

𝑄𝑄 𝑎𝑎2 𝐿𝐿

𝑉𝑉AC(𝑥𝑥) =𝑄𝑄

2 𝑎𝑎 (𝑑𝑑 − 2 𝑥𝑥)

𝑉𝑉CB(𝑥𝑥) = −𝑄𝑄 𝑎𝑎2 𝐿𝐿

𝑀𝑀AC(𝑥𝑥) =𝑄𝑄 𝑥𝑥2 𝑎𝑎 (𝑑𝑑 − 𝑥𝑥 )

𝑀𝑀CB(𝑥𝑥) =𝑄𝑄 𝑎𝑎2 𝐿𝐿 (𝐿𝐿 − 𝑥𝑥 )

𝑀𝑀C =𝑄𝑄 𝑎𝑎 𝑏𝑏

2 𝐿𝐿

𝑀𝑀0 =𝑄𝑄 𝑑𝑑2

8 𝑎𝑎 en 𝑥𝑥0 =𝑑𝑑2

𝑦𝑦AC(𝑥𝑥) =𝑄𝑄 𝑥𝑥

24 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑎𝑎 (𝑥𝑥3 − 2 𝑑𝑑 𝑥𝑥2 + 𝑑𝑑2𝐿𝐿)

𝑦𝑦CB(𝑥𝑥) =𝑄𝑄 𝑎𝑎

24 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝐿𝐿 (𝐿𝐿 − 𝑥𝑥)(4 𝐿𝐿 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎2 − 2 𝑥𝑥2)

𝑦𝑦C =𝑄𝑄 𝑎𝑎2𝑏𝑏

24 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝐿𝐿 (4 𝐿𝐿 − 3 𝑎𝑎)

𝑦𝑦D =𝑄𝑄 𝐿𝐿2

384 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑎𝑎 (𝐿𝐿2 − 4 𝑑𝑑 𝐿𝐿 + 8 𝑑𝑑2) pour 𝑎𝑎 ≥𝐿𝐿2

tan α =𝑄𝑄 𝑑𝑑2 𝐿𝐿24 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑎𝑎

tan β = −𝑄𝑄 𝑎𝑎

24 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝐿𝐿 (2𝐿𝐿2 − 𝑎𝑎2)

𝑊𝑊d =𝑄𝑄2 𝑎𝑎2

240 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝐿𝐿 (10 𝐿𝐿2 − 14 𝐿𝐿 𝑎𝑎 + 5 𝑎𝑎2)

Formulaire résistance des matériaux - Poutres

Pierre-Olivier Martin, directeur de projet recherche, CTICM – Mars 2021 10

ξ = 𝑥𝑥 𝐿𝐿⁄ Position relative 𝑦𝑦(𝑥𝑥) Déformée élastique en flexion 𝑅𝑅A, 𝑅𝑅B Réactions aux appuis 𝑓𝑓 Flèche 𝑉𝑉 Effort tranchant 𝑓𝑓0 Flèche maximale 𝑀𝑀 Moment fléchissant α, β Déformations angulaires 𝑀𝑀0 Moment fléchissant maximal 𝑊𝑊d Energie de déformation élastique en flexion

A11

𝑄𝑄 = 𝑞𝑞 𝑎𝑎 𝑅𝑅A = 𝑄𝑄 𝑅𝑅B = 𝑄𝑄

𝑉𝑉AC(𝑥𝑥) = 𝑄𝑄 �1 −𝑥𝑥𝑎𝑎

� 𝑉𝑉CD (𝑥𝑥) = 0

𝑉𝑉DB(𝑥𝑥) = −𝑄𝑄 �1 −𝐿𝐿 − 𝑥𝑥

𝑎𝑎 �

𝑀𝑀AC(𝑥𝑥) =𝑄𝑄 𝑥𝑥2 𝑎𝑎 (2 𝑎𝑎 − 𝑥𝑥 ) 𝑀𝑀𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑥𝑥) =

𝑄𝑄 𝑎𝑎2

𝑀𝑀CB(𝑥𝑥) =𝑄𝑄 (𝐿𝐿 − 𝑥𝑥)

2 𝑎𝑎 (2 𝑎𝑎 − 𝐿𝐿 + 𝑥𝑥 )

𝑀𝑀C = 𝑀𝑀D = 𝑀𝑀0 =𝑄𝑄 𝑎𝑎

2

𝑦𝑦AC(𝑥𝑥) =𝑄𝑄 𝑥𝑥

24 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑎𝑎 (𝑥𝑥3 − 4 𝑎𝑎 𝑥𝑥2 + 2 𝑑𝑑 𝑎𝑎2)

𝑑𝑑 = 3𝐿𝐿 − 2𝑎𝑎

𝑦𝑦CD(𝑥𝑥) =𝑄𝑄 𝑎𝑎

24 𝐸𝐸𝐸𝐸 (6 𝐿𝐿 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎2 − 6 𝑥𝑥2)

𝑦𝑦C = 𝑦𝑦D =𝑄𝑄 𝑎𝑎2

24 𝐸𝐸𝐸𝐸 (6 𝐿𝐿 − 7 𝑎𝑎)

𝑓𝑓0 =𝑄𝑄 𝑎𝑎

48 𝐸𝐸𝐸𝐸 (3 𝐿𝐿2 − 2 𝑎𝑎2) pour 𝑥𝑥0 =𝐿𝐿2

tan α = − tan β =𝑄𝑄 𝑎𝑎

12 𝐸𝐸𝐸𝐸 (3𝐿𝐿 − 2𝑎𝑎)

𝑊𝑊d =𝑄𝑄2 𝑎𝑎2

120 𝐸𝐸𝐸𝐸 (16 𝑎𝑎 + 15 𝑏𝑏)

A12

𝑄𝑄 = 𝑞𝑞 𝑏𝑏

𝑅𝑅A = 𝑅𝑅B =𝑄𝑄2

𝑉𝑉AC(𝑥𝑥) =𝑄𝑄2 𝑉𝑉DB(𝑥𝑥) = −

𝑄𝑄2

𝑉𝑉CD(𝑥𝑥) =𝑄𝑄

2 𝑏𝑏 (𝐿𝐿 − 2 𝑥𝑥)

𝑀𝑀AC(𝑥𝑥) =𝑄𝑄 𝑥𝑥

2 𝑀𝑀DB(𝑥𝑥) =𝑄𝑄 (𝐿𝐿 − 𝑥𝑥)

2

𝑀𝑀CD(𝑥𝑥) =𝑄𝑄

2 𝑏𝑏 (𝐿𝐿 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2 − 𝑎𝑎2 )

𝑀𝑀C = 𝑀𝑀D =𝑄𝑄 𝑎𝑎

2

𝑀𝑀0 =𝑄𝑄8

(𝐿𝐿 + 2 𝑎𝑎) en 𝑥𝑥0 =𝐿𝐿2

𝑦𝑦AC(𝑥𝑥) =𝑄𝑄 𝑥𝑥

48 𝐸𝐸𝐸𝐸 (3 𝐿𝐿2 − 𝑏𝑏2 − 4 𝑥𝑥2) 𝑦𝑦DB(𝑥𝑥) = 𝑦𝑦AC(𝐿𝐿 − 𝑥𝑥)

𝑦𝑦CB(𝑥𝑥) =𝑄𝑄

24 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑏𝑏(𝑥𝑥4 − 2 𝐿𝐿 𝑥𝑥3 + 6 𝑎𝑎2 𝑥𝑥2 + 𝐿𝐿 (𝐿𝐿2 − 6 𝑎𝑎2) 𝑥𝑥 + 𝑎𝑎4)

𝑦𝑦C = 𝑦𝑦D =𝑄𝑄 𝑎𝑎

24 𝐸𝐸𝐸𝐸 (𝐿𝐿2 + 2 𝑎𝑎 𝑏𝑏) 𝑓𝑓0 =𝑄𝑄

384 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑏𝑏 (5 𝐿𝐿4 + 16 𝑎𝑎4 − 24 𝑎𝑎2 𝐿𝐿2)

tan α =𝑄𝑄

48 𝐸𝐸𝐸𝐸 (3 𝐿𝐿2 − 𝑏𝑏2) = − tan β 𝑊𝑊d =𝑄𝑄2

240 𝐸𝐸𝐸𝐸 (𝑏𝑏3 + 10 𝑎𝑎𝑏𝑏2 + 30 𝑎𝑎2𝑏𝑏 + 20 𝑎𝑎3)

Formulaire résistance des matériaux - Poutres

Pierre-Olivier Martin, directeur de projet recherche, CTICM – Mars 2021 11

ξ = 𝑥𝑥/𝐿𝐿 Position relative 𝑦𝑦(𝑥𝑥) Déformée élastique en flexion 𝑅𝑅A, 𝑅𝑅B Réactions aux appuis 𝑓𝑓 Flèche 𝑉𝑉 Effort tranchant 𝑓𝑓0 Flèche maximale 𝑀𝑀 Moment fléchissant α, β Déformations angulaires 𝑀𝑀0 Moment fléchissant maximal 𝑊𝑊d Energie de déformation élastique en flexion

A13

𝑅𝑅A = − 𝑅𝑅B = −𝑀𝑀𝐿𝐿

𝑉𝑉(𝑥𝑥) = −𝑀𝑀𝐿𝐿

𝑀𝑀(𝑥𝑥) = 𝑀𝑀 �1 −𝑥𝑥𝐿𝐿�

𝑀𝑀0 = 𝑀𝑀 pour 𝑥𝑥0 = 0

𝑊𝑊d = 𝑀𝑀2 𝐿𝐿6 𝐸𝐸𝐸𝐸

ξ = 𝑥𝑥/𝐿𝐿

𝑦𝑦(ξ) =𝑀𝑀 𝐿𝐿2

6 𝐸𝐸𝐸𝐸 ξ (ξ − 1)(ξ − 2)

𝑓𝑓0 =√327

𝑀𝑀 𝐿𝐿2

𝐸𝐸𝐸𝐸 pour 𝑥𝑥0 = 𝑘𝑘0 𝐿𝐿

avec 𝑘𝑘0 = 1 − √33

= 0,423

𝑓𝑓C =𝑀𝑀 𝐿𝐿2

16 𝐸𝐸𝐸𝐸 pour 𝑥𝑥C = 0,5 𝐿𝐿

tan α =𝑀𝑀 𝐿𝐿3 𝐸𝐸𝐸𝐸 tan β = −

𝑀𝑀 𝐿𝐿6 𝐸𝐸𝐸𝐸

A14

schéma pour 0 ≤ 𝑀𝑀2 ≤ 𝑀𝑀1

𝑀𝑀m =𝑀𝑀1 + 𝑀𝑀2

2 Δ𝑀𝑀 = 𝑀𝑀2 − 𝑀𝑀1

𝑅𝑅A = − 𝑅𝑅B =Δ𝑀𝑀

𝐿𝐿

𝑉𝑉(𝑥𝑥) =Δ𝑀𝑀

𝐿𝐿

𝑀𝑀(𝑥𝑥) = 𝑀𝑀2𝑥𝑥𝐿𝐿 + 𝑀𝑀1 �1 −

𝑥𝑥𝐿𝐿�

𝑀𝑀0 = max{𝑀𝑀1; 𝑀𝑀2}

𝑊𝑊d = 𝐿𝐿

24 𝐸𝐸𝐸𝐸 (12 𝑀𝑀m2 + Δ𝑀𝑀2)

ξ =𝑥𝑥𝐿𝐿 ε =

Δ𝑀𝑀𝑀𝑀m

𝑦𝑦(ξ) =𝑀𝑀m 𝐿𝐿2

12 𝐸𝐸𝐸𝐸 ξ (1 − ξ)(6 − ε + 2 ε ξ)

𝑓𝑓C =𝑀𝑀m 𝐿𝐿2

8 𝐸𝐸𝐸𝐸 pour 𝑥𝑥C =𝐿𝐿2

𝑓𝑓0 ≈ 𝑓𝑓C pour |Δ𝑀𝑀| ≤ 2 |𝑀𝑀m|

tan α =𝐿𝐿

6 𝐸𝐸𝐸𝐸 (2 𝑀𝑀1 + 𝑀𝑀2)

tan β = −𝐿𝐿

6 𝐸𝐸𝐸𝐸 (𝑀𝑀1 + 2 𝑀𝑀2)

Formulaire résistance des matériaux - Poutres

Pierre-Olivier Martin, directeur de projet recherche, CTICM – Mars 2021 12

ξ = 𝑥𝑥/𝐿𝐿 Position relative 𝑦𝑦(𝑥𝑥) Déformée élastique en flexion 𝑅𝑅A, 𝑅𝑅B Réactions aux appuis 𝑓𝑓 Flèche 𝑉𝑉 Effort tranchant 𝑓𝑓0 Flèche maximale 𝑀𝑀 Moment fléchissant α, β Déformations angulaires 𝑀𝑀0 Moment fléchissant maximal 𝑊𝑊d Energie de déformation élastique en flexion

A15

𝑅𝑅A = − 𝑅𝑅B = 0 𝑉𝑉(𝑥𝑥) = 0 𝑀𝑀(𝑥𝑥) = 𝑀𝑀

𝑊𝑊d =𝑀𝑀2 𝐿𝐿2 𝐸𝐸𝐸𝐸

𝑦𝑦(𝑥𝑥) =𝑀𝑀

2 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑥𝑥 (𝐿𝐿 − 𝑥𝑥)

𝑓𝑓0 = 𝑓𝑓C =𝑀𝑀 𝐿𝐿2

8 𝐸𝐸𝐸𝐸 pour 𝑥𝑥0 = 𝑥𝑥C =𝐿𝐿2

tan α = − tan β =𝑀𝑀 𝐿𝐿2 𝐸𝐸𝐸𝐸

A16

𝑅𝑅A = − 𝑅𝑅B = 2 𝑀𝑀 𝐿𝐿

𝑉𝑉(𝑥𝑥) = 2 𝑀𝑀 𝐿𝐿

𝑀𝑀(𝑥𝑥) = 𝑀𝑀 �2 𝑥𝑥𝐿𝐿 − 1�

𝑊𝑊d = 𝑀𝑀2𝐿𝐿6 𝐸𝐸𝐸𝐸

𝑦𝑦(𝑥𝑥) =𝑀𝑀 𝑥𝑥

6 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝐿𝐿(−2 𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥 𝐿𝐿 − 𝐿𝐿2)

𝑓𝑓0 = ±𝑀𝑀 𝐿𝐿2

36 √3 𝐸𝐸𝐸𝐸 pour 𝑥𝑥0 =

𝐿𝐿2 ±

𝐿𝐿2√3

tan α = tan β = −𝑀𝑀 𝐿𝐿6 𝐸𝐸𝐸𝐸

Formulaire résistance des matériaux - Poutres

Pierre-Olivier Martin, directeur de projet recherche, CTICM – Mars 2021 13

ξ = 𝑥𝑥/𝐿𝐿 Position relative 𝑦𝑦(𝑥𝑥) Déformée élastique en flexion 𝑅𝑅A, 𝑅𝑅B Réactions aux appuis 𝑓𝑓 Flèche 𝑉𝑉 Effort tranchant 𝑓𝑓0 Flèche maximale 𝑀𝑀 Moment fléchissant α, β Déformations angulaires 𝑀𝑀0 Moment fléchissant maximal 𝑊𝑊d Energie de déformation élastique en flexion

A17

L’allure de la déformée dépend de la position de 𝑀𝑀 :

𝑅𝑅A = − 𝑅𝑅B =𝑀𝑀𝐿𝐿

𝑉𝑉(𝑥𝑥) =𝑀𝑀𝐿𝐿

𝑀𝑀AC(𝑥𝑥) = 𝑀𝑀𝑥𝑥𝐿𝐿 𝑀𝑀CB(𝑥𝑥) = 𝑀𝑀 �

𝑥𝑥𝐿𝐿 − 1�

𝑀𝑀0 = 𝑀𝑀𝑎𝑎𝐿𝐿 pour 𝑎𝑎 ≥

𝐿𝐿2

𝑀𝑀0 = −𝑀𝑀𝑏𝑏𝐿𝐿 pour 𝑎𝑎 ≤

𝐿𝐿2

𝑊𝑊d = 𝑀𝑀2

6 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝐿𝐿2 (𝑎𝑎3 + 𝑏𝑏3)

tan α =𝑀𝑀

6 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝐿𝐿(𝐿𝐿2 − 3 𝑏𝑏2)

tan β =𝑀𝑀

6 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝐿𝐿(𝐿𝐿2 − 3 𝑎𝑎2)

tan γ =𝑀𝑀

6 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝐿𝐿(𝐿𝐿 − 3 𝑎𝑎2 − 3 𝑏𝑏2)

𝑦𝑦AC(𝑥𝑥) =𝑀𝑀 𝑥𝑥

6 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝐿𝐿(𝐿𝐿2 − 3 𝑏𝑏2 − 𝑥𝑥2)

𝑦𝑦CB(𝑥𝑥) =𝑀𝑀 (𝐿𝐿 − 𝑥𝑥)

6 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝐿𝐿(𝑥𝑥2 + 3 𝑎𝑎2 − 2 𝐿𝐿 𝑥𝑥)

si 𝑏𝑏 <𝐿𝐿

√3, flèche positive maxi pour 𝑥𝑥0 = 𝑑𝑑b ∶

𝑓𝑓0,A =𝑀𝑀 𝑑𝑑b

3

3 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝐿𝐿

si 𝑎𝑎 <𝐿𝐿

√3, flèche négative maxi pour 𝑥𝑥0 = 𝑑𝑑a ∶

𝑓𝑓0,B = −𝑀𝑀 𝑑𝑑a

3

3 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝐿𝐿

𝑑𝑑a = 𝐿𝐿 �13 −

𝑎𝑎2

𝐿𝐿2�0,5

𝑑𝑑b = 𝐿𝐿 �13 −

𝑏𝑏2

𝐿𝐿2�0,5

𝑓𝑓C =𝑀𝑀

3 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑎𝑎 𝑏𝑏𝐿𝐿 (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)

① : 𝑎𝑎 >𝐿𝐿

√3

② : 𝐿𝐿 −𝐿𝐿

√3< 𝑎𝑎 <

𝐿𝐿√3

③ : 𝐿𝐿 −𝐿𝐿

√3 > 𝑎𝑎

Formulaire résistance des matériaux - Poutres

Pierre-Olivier Martin, directeur de projet recherche, CTICM – Mars 2021 14

POUTRES SUR 2 APPUIS ET PARTIE EN CONSOLE

ξ = 𝑥𝑥 𝐿𝐿⁄ Position relative 𝑦𝑦(𝑥𝑥) Déformée élastique en flexion 𝑅𝑅A, 𝑅𝑅B Réactions (efforts verticaux) aux appuis 𝑓𝑓 Flèche 𝑀𝑀RA, 𝑀𝑀RB Réactions (moments) aux appuis 𝑉𝑉 Effort tranchant 𝑓𝑓0 Flèche maximale 𝑀𝑀 Moment fléchissant α, β Déformations angulaires 𝑀𝑀0 Moment fléchissant maximal 𝑊𝑊d Energie de déformation élastique en flexion

AC01

𝑅𝑅A =𝑄𝑄 (𝐿𝐿 − 𝑎𝑎)

2 𝐿𝐿 𝑅𝑅B =𝑄𝑄 (𝐿𝐿 + 𝑎𝑎)

2 𝐿𝐿

𝑉𝑉AB(𝑥𝑥1) =𝑄𝑄2 �

𝐿𝐿 − 𝑎𝑎𝐿𝐿 −

2 𝑥𝑥1

𝐿𝐿 + 𝑎𝑎�

𝑉𝑉BC(𝑥𝑥) = 𝑄𝑄 𝑎𝑎 − 𝑥𝑥2

𝐿𝐿 + 𝑎𝑎

tan α =𝑄𝑄 𝐿𝐿 (𝐿𝐿2 − 2 𝑎𝑎2)24 𝐸𝐸𝐸𝐸 (𝐿𝐿 + 𝑎𝑎)

tan β =𝑄𝑄 𝐿𝐿 (4 𝑎𝑎2 − 𝐿𝐿2)24 𝐸𝐸𝐸𝐸 (𝐿𝐿 + 𝑎𝑎)

tan γ =𝑄𝑄

24 𝐸𝐸𝐸𝐸 (𝐿𝐿 + 𝑎𝑎) [4 𝑎𝑎2(𝐿𝐿 + 𝑎𝑎) − 𝐿𝐿3]

𝑄𝑄 = 𝑞𝑞 (𝐿𝐿 + 𝑎𝑎) 𝑥𝑥2 = 𝑥𝑥1 − 𝐿𝐿

𝑀𝑀AB(𝑥𝑥1) =𝑄𝑄 𝑥𝑥1

2 �𝐿𝐿 − 𝑎𝑎

𝐿𝐿 −𝑥𝑥1

𝐿𝐿 + 𝑎𝑎�

𝑀𝑀BC(𝑥𝑥2) = −𝑄𝑄

2 (𝐿𝐿 + 𝑎𝑎) (𝑎𝑎 − 𝑥𝑥2)2

𝑀𝑀B = −𝑄𝑄 𝑎𝑎2

2 (𝐿𝐿 + 𝑎𝑎)

𝑀𝑀0 =𝑄𝑄

8 𝐿𝐿2 (𝐿𝐿 + 𝑎𝑎)(𝐿𝐿 − 𝑎𝑎)2

en 𝑥𝑥0 =𝐿𝐿2 − 𝑎𝑎2

2 𝐿𝐿 (quand 𝐿𝐿 > 𝑎𝑎)

𝑦𝑦AB(𝑥𝑥1) =𝑄𝑄 𝑥𝑥1

24 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝐿𝐿 (𝐿𝐿 + 𝑎𝑎) [𝐿𝐿 𝑥𝑥13 − 2 (𝐿𝐿2 − 𝑎𝑎2) 𝑥𝑥1

2 + 𝐿𝐿2 (𝐿𝐿2 − 2 𝑎𝑎2)]

𝑦𝑦BC(𝑥𝑥2) =𝑄𝑄 𝑥𝑥2

24 𝐸𝐸𝐸𝐸 (𝐿𝐿 + 𝑎𝑎) [𝑥𝑥23 − 4 𝑎𝑎 𝑥𝑥2

2 + 6 𝑎𝑎2 𝑥𝑥2 + 𝐿𝐿 (4 𝑎𝑎2 − 𝐿𝐿2)]

𝑓𝑓C =𝑄𝑄 𝑎𝑎

24 𝐸𝐸𝐸𝐸 (𝐿𝐿 + 𝑎𝑎) [3 𝑎𝑎3 − 𝐿𝐿 (𝐿𝐿2 − 4 𝑎𝑎2)]

𝑓𝑓0 ≈𝑘𝑘0 𝑄𝑄 𝐿𝐿4

24 𝐸𝐸𝐸𝐸 (𝐿𝐿 + 𝑎𝑎) sur [𝐴𝐴𝐴𝐴]

pour 𝑎𝑎 ≤ 0,6 𝐿𝐿: 𝑘𝑘0 = −0,6632 (𝑎𝑎/𝐿𝐿)2 − 0,0312 (𝑎𝑎/𝐿𝐿) + 0,3138 pour 𝑎𝑎 > 0,6 𝐿𝐿: 𝑘𝑘0 = −0,8787 (𝑎𝑎/𝐿𝐿)2 + 0,2704 (𝑎𝑎/𝐿𝐿) + 0,1364

𝑊𝑊d =𝑄𝑄2

240 𝐸𝐸𝐸𝐸 (𝐿𝐿 + 𝑎𝑎)2 (𝐿𝐿5 + 10 𝐿𝐿 𝑎𝑎4 − 5 𝐿𝐿3𝑎𝑎2 + 6 𝑎𝑎5)

Formulaire résistance des matériaux - Poutres

Pierre-Olivier Martin, directeur de projet recherche, CTICM – Mars 2021 15

ξ = 𝑥𝑥 𝐿𝐿⁄ Position relative 𝑦𝑦(𝑥𝑥) Déformée élastique en flexion 𝑅𝑅A, 𝑅𝑅B Réactions (efforts verticaux) aux appuis 𝑓𝑓 Flèche 𝑀𝑀RA, 𝑀𝑀RB Réactions (moments) aux appuis 𝑉𝑉 Effort tranchant 𝑓𝑓0 Flèche maximale 𝑀𝑀 Moment fléchissant α, β Déformations angulaires 𝑀𝑀0 Moment fléchissant maximal 𝑊𝑊d Energie de déformation élastique en flexion

AC02

𝑅𝑅A = −𝑄𝑄 𝑎𝑎2 𝐿𝐿 𝑅𝑅B =

𝑄𝑄 (2 𝐿𝐿 + 𝑎𝑎)2 𝐿𝐿

𝑉𝑉AB(𝑥𝑥1) = −𝑄𝑄 𝑎𝑎2 𝐿𝐿

𝑉𝑉BC(𝑥𝑥2) = 𝑄𝑄 �1 −𝑥𝑥2

𝑎𝑎 �

𝑊𝑊d =𝑄𝑄2 𝑎𝑎2

120 𝐸𝐸𝐸𝐸 (5 𝐿𝐿 + 3 𝑎𝑎)

𝑄𝑄 = 𝑞𝑞 𝑎𝑎 𝑥𝑥2 = 𝑥𝑥1 − 𝐿𝐿

𝑀𝑀AB(𝑥𝑥1) = −𝑄𝑄 𝑎𝑎 𝑥𝑥1

2 𝐿𝐿

𝑀𝑀BC(𝑥𝑥2) = −𝑄𝑄

2 𝑎𝑎 (𝑎𝑎 − 𝑥𝑥2)2

𝑀𝑀B = −𝑄𝑄 𝑎𝑎2

𝑦𝑦AB(𝑥𝑥1) =𝑄𝑄 𝑎𝑎 𝑥𝑥1

12 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝐿𝐿 (𝑥𝑥12 − 𝐿𝐿2)

𝑦𝑦BC(𝑥𝑥2) =𝑄𝑄 𝑥𝑥2

24 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑎𝑎 [𝑥𝑥23 − 4 𝑎𝑎 𝑥𝑥2

2 + 6 𝑎𝑎2 𝑥𝑥2 + 4 𝑎𝑎2𝐿𝐿]

𝑓𝑓C =𝑄𝑄 𝑎𝑎2

24 𝐸𝐸𝐸𝐸 (4 𝐿𝐿 + 3 𝑎𝑎)

𝑓𝑓0 = −𝑄𝑄 𝑎𝑎 𝐿𝐿2

18 √3 𝐸𝐸𝐸𝐸 en 𝑥𝑥0 =

𝐿𝐿√3

tan α = −𝑄𝑄 𝑎𝑎 𝐿𝐿 12 𝐸𝐸𝐸𝐸 tan β =

𝑄𝑄 𝑎𝑎 𝐿𝐿6 𝐸𝐸𝐸𝐸

tan γ =𝑄𝑄 𝑎𝑎 (𝐿𝐿 + 𝑎𝑎)

6 𝐸𝐸𝐸𝐸

AC03

𝑥𝑥2 = 𝑥𝑥1 − 𝐿𝐿

𝑅𝑅A = −𝐹𝐹 𝑎𝑎𝐿𝐿 𝑅𝑅B = 𝐹𝐹

𝐿𝐿 + 𝑎𝑎𝐿𝐿

𝑉𝑉AB(𝑥𝑥1) = −𝐹𝐹 𝑎𝑎𝐿𝐿 𝑉𝑉BC(𝑥𝑥2) = 𝐹𝐹

𝑀𝑀AB(𝑥𝑥1) = −𝐹𝐹𝑎𝑎 𝑥𝑥1

𝐿𝐿 𝑀𝑀BC(𝑥𝑥2) = 𝐹𝐹 (𝑥𝑥2 − 𝑎𝑎)

𝑀𝑀B = −𝐹𝐹 𝑎𝑎

𝑊𝑊d = 𝐹𝐹2 𝑎𝑎2

6 𝐸𝐸𝐸𝐸 (𝐿𝐿 + 𝑎𝑎)

𝑦𝑦AB(𝑥𝑥1) =𝐹𝐹 𝑎𝑎 𝑥𝑥1

6 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝐿𝐿 (𝑥𝑥12 − 𝐿𝐿2)

𝑦𝑦BC(𝑥𝑥2) =𝐹𝐹 𝑥𝑥2

6 𝐸𝐸𝐸𝐸 (2 𝑎𝑎 𝐿𝐿 + 3 𝑎𝑎 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥22)

𝑓𝑓0 = −𝐹𝐹 𝑎𝑎 𝐿𝐿2

9 √3 𝐸𝐸𝐸𝐸 pour 𝑥𝑥0 =

𝐿𝐿√3

= 0,577 𝐿𝐿

𝑓𝑓C =𝐹𝐹𝑎𝑎2

3 𝐸𝐸𝐸𝐸 (𝐿𝐿 + 𝑎𝑎)

tan α = −𝐹𝐹 𝑎𝑎 𝐿𝐿6 𝐸𝐸𝐸𝐸 tan β =

𝐹𝐹 𝑎𝑎 𝐿𝐿3 𝐸𝐸𝐸𝐸

tan γ =𝐹𝐹 𝑎𝑎6 𝐸𝐸𝐸𝐸 (2 𝐿𝐿 + 3 𝑎𝑎)

Formulaire résistance des matériaux - Poutres

Pierre-Olivier Martin, directeur de projet recherche, CTICM – Mars 2021 16

ξ = 𝑥𝑥 𝑙𝑙⁄ Position relative 𝑦𝑦(𝑥𝑥) Déformée élastique en flexion 𝑅𝑅A, 𝑅𝑅B Réactions (efforts verticaux) aux appuis 𝑓𝑓 Flèche 𝑀𝑀RA, 𝑀𝑀RB Réactions (moments) aux appuis 𝑉𝑉 Effort tranchant 𝑓𝑓0 Flèche maximale 𝑀𝑀 Moment fléchissant α, β Déformations angulaires 𝑀𝑀0 Moment fléchissant maximal 𝑊𝑊d Energie de déformation élastique en flexion

AC04

𝑥𝑥2 = 𝑥𝑥1 − 𝐿𝐿

𝑅𝑅A = −𝑀𝑀𝐿𝐿 𝑅𝑅𝐵𝐵 =

𝑀𝑀𝐿𝐿

𝑉𝑉AB(𝑥𝑥1) = −𝑀𝑀𝐿𝐿 𝑉𝑉BC(𝑥𝑥2) = 0

𝑀𝑀AB(𝑥𝑥1) = −𝑀𝑀𝑥𝑥1

𝐿𝐿 𝑀𝑀BC(𝑥𝑥2) = −𝑀𝑀

𝑀𝑀B = −𝑀𝑀

𝑊𝑊d = 𝑀𝑀2

6 𝐸𝐸𝐸𝐸 (𝐿𝐿 + 3 𝑎𝑎)

𝑦𝑦AB(𝑥𝑥1) =𝑀𝑀 𝑥𝑥1

6 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝐿𝐿 (𝑥𝑥12 − 𝐿𝐿2)

𝑦𝑦BC(𝑥𝑥2) =𝑀𝑀 𝑥𝑥2

6 𝐸𝐸𝐸𝐸 (3 𝑥𝑥2 + 2 𝐿𝐿)

𝑓𝑓0 = −𝑀𝑀 𝐿𝐿2

9 √3 𝐸𝐸𝐸𝐸 pour 𝑥𝑥0 =

𝐿𝐿√3

= 0,577 𝐿𝐿

𝑓𝑓C =𝑀𝑀 𝑎𝑎6 𝐸𝐸𝐸𝐸 (2 𝐿𝐿 + 3 𝑎𝑎)

tan α = −𝑀𝑀 𝐿𝐿6 𝐸𝐸𝐸𝐸 tan β =

𝑀𝑀 𝐿𝐿3 𝐸𝐸𝐸𝐸

tan γ =𝑀𝑀

3 𝐸𝐸𝐸𝐸 (𝐿𝐿 + 3 𝑎𝑎)

Formulaire résistance des matériaux - Poutres

Pierre-Olivier Martin, directeur de projet recherche, CTICM – Mars 2021 17

POUTRES BI-ENCASTRÉES

ξ = 𝑥𝑥 𝑙𝑙⁄ Position relative 𝑦𝑦(𝑥𝑥) Déformée élastique en flexion 𝑅𝑅A, 𝑅𝑅B Réactions (efforts verticaux) aux appuis 𝑓𝑓 Flèche 𝑀𝑀RA, 𝑀𝑀RB Réactions (moments) aux appuis 𝑉𝑉 Effort tranchant 𝑓𝑓0 Flèche maximale 𝑀𝑀 Moment fléchissant α, β Déformations angulaires 𝑀𝑀0 Moment fléchissant maximal 𝑊𝑊d Energie de déformation élastique en flexion

B01

𝑄𝑄 = 𝑞𝑞 𝐿𝐿

𝑅𝑅A = 𝑅𝑅B =𝑄𝑄2

𝑀𝑀RA = − 𝑀𝑀RB =𝑄𝑄 𝐿𝐿12

𝑉𝑉(𝑥𝑥) =𝑄𝑄

2 𝐿𝐿(𝐿𝐿 − 2 𝑥𝑥)

𝑦𝑦(𝑥𝑥) =𝑄𝑄

24 𝐸𝐸𝐸𝐸𝑥𝑥2

𝐿𝐿 (𝑥𝑥2 − 2 𝐿𝐿 𝑥𝑥 + 𝐿𝐿2)

𝑓𝑓0 = 𝑓𝑓C =𝑄𝑄 𝐿𝐿3

384 𝐸𝐸𝐸𝐸 pour 𝑥𝑥0 =𝐿𝐿2

𝑀𝑀(𝑥𝑥) =𝑄𝑄

12 𝐿𝐿(6 𝑥𝑥 (𝐿𝐿 − 𝑥𝑥) − 𝐿𝐿2)

𝑀𝑀A = 𝑀𝑀B = −𝑄𝑄 𝐿𝐿12

𝑀𝑀C = +𝑄𝑄 𝐿𝐿24 pour 𝑥𝑥0 =

𝐿𝐿2

𝑀𝑀A = −2 𝑀𝑀C

𝑀𝑀 = 0 pour 𝑥𝑥 =𝐿𝐿2 �1 ±

1√3

𝑊𝑊d = 𝑄𝑄2 𝐿𝐿3

1440 𝐸𝐸𝐸𝐸 =4

15 𝑓𝑓C 𝑄𝑄

B02

𝑅𝑅A = 𝑅𝑅B =𝐹𝐹2 𝑀𝑀RA = − 𝑀𝑀RB =

𝐹𝐹 𝐿𝐿8

𝑉𝑉AC(𝑥𝑥) =𝐹𝐹2 𝑉𝑉CB(𝑥𝑥) = −

𝐹𝐹2

𝑦𝑦AC(𝑥𝑥) =𝐹𝐹

48 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑥𝑥2 (3 𝐿𝐿 − 4 𝑥𝑥)

𝑦𝑦CD(𝑥𝑥) =𝐹𝐹

48 𝐸𝐸𝐸𝐸(𝐿𝐿 − 𝑥𝑥)2 (4 𝑥𝑥 − 𝐿𝐿)

𝑓𝑓0 = 𝑓𝑓C =𝐹𝐹 𝐿𝐿3

192 𝐸𝐸𝐸𝐸 pour 𝑥𝑥0 =𝐿𝐿2

𝑀𝑀AC(𝑥𝑥) =𝐹𝐹8

(4 𝑥𝑥 − 𝐿𝐿)

𝑀𝑀CB(𝑥𝑥) =𝐹𝐹8 (3 𝐿𝐿 − 4 𝑥𝑥)

𝑀𝑀A = 𝑀𝑀B = −𝐹𝐹 𝐿𝐿8

𝑀𝑀C =𝐹𝐹 𝐿𝐿8 pour 𝑥𝑥0 =

𝐿𝐿2

𝑀𝑀A = − 𝑀𝑀C

𝑀𝑀 = 0 pour 𝑥𝑥 =𝐿𝐿2 �1 ±

12�

𝑊𝑊d = 𝐹𝐹2 𝐿𝐿3

384 𝐸𝐸𝐸𝐸 =12 𝑓𝑓C 𝐹𝐹

Formulaire résistance des matériaux - Poutres

Pierre-Olivier Martin, directeur de projet recherche, CTICM – Mars 2021 18

ξ = 𝑥𝑥 𝐿𝐿⁄ Position relative 𝑦𝑦(𝑥𝑥) Déformée élastique en flexion 𝑅𝑅A, 𝑅𝑅B Réactions (efforts verticaux) aux appuis 𝑓𝑓 Flèche 𝑀𝑀RA, 𝑀𝑀RB Réactions (moments) aux appuis 𝑉𝑉 Effort tranchant 𝑓𝑓0 Flèche maximale 𝑀𝑀 Moment fléchissant α, β Déformations angulaires 𝑀𝑀0 Moment fléchissant maximal 𝑊𝑊d Energie de déformation élastique en flexion

B03

𝑑𝑑A = 3 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 𝑑𝑑B = 3 𝑏𝑏 + 𝑎𝑎

𝑅𝑅A =𝐹𝐹 𝑏𝑏2

𝐿𝐿3 𝑑𝑑A 𝑅𝑅B =𝐹𝐹 𝑎𝑎2

𝐿𝐿3 𝑑𝑑B

𝑀𝑀RA =𝐹𝐹 𝑎𝑎 𝑏𝑏2

𝐿𝐿2 𝑀𝑀RB = −𝐹𝐹 𝑎𝑎2 𝑏𝑏

𝐿𝐿2

𝑉𝑉AC(𝑥𝑥) = 𝑅𝑅A 𝑉𝑉CB(𝑥𝑥) = −𝑅𝑅B

𝑊𝑊d = 𝐹𝐹2𝑎𝑎3𝑏𝑏3 6 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝐿𝐿3

𝑀𝑀AC(𝑥𝑥) = −𝐹𝐹 𝑎𝑎 𝑏𝑏2

𝐿𝐿2 +𝐹𝐹 𝑏𝑏2

𝐿𝐿3 𝑑𝑑A 𝑥𝑥

𝑀𝑀CB(𝑥𝑥) =𝐹𝐹 𝑎𝑎2

𝐿𝐿2 (𝑎𝑎 + 2𝑏𝑏) −𝐹𝐹 𝑎𝑎2

𝐿𝐿3 𝑑𝑑B 𝑥𝑥

𝑀𝑀A = −𝐹𝐹 𝑎𝑎 𝑏𝑏2

𝐿𝐿2 𝑀𝑀B = −𝐹𝐹 𝑎𝑎2 𝑏𝑏𝐿𝐿2

𝑀𝑀C = +2 𝐹𝐹𝑎𝑎2 𝑏𝑏2

𝐿𝐿3

𝑦𝑦AC(𝑥𝑥) =𝐹𝐹

6 𝐸𝐸𝐸𝐸𝑏𝑏2

𝐿𝐿3 (3 𝑎𝑎 𝐿𝐿 𝑥𝑥2 − 𝑑𝑑A 𝑥𝑥3) 𝑦𝑦CB(𝑥𝑥) =𝐹𝐹

6 𝐸𝐸𝐸𝐸𝑎𝑎2

𝐿𝐿3 (3 𝑏𝑏 𝐿𝐿 (𝐿𝐿 − 𝑥𝑥)2 − 𝑑𝑑B (𝐿𝐿 − 𝑥𝑥)3)

𝑓𝑓C =𝐹𝐹 𝑎𝑎3 𝑏𝑏3

3 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝐿𝐿3 𝑓𝑓0 =

23

𝐹𝐹 𝑎𝑎2 𝑏𝑏2

𝐸𝐸𝐸𝐸𝑐𝑐

(𝐿𝐿 + 2 𝑐𝑐)2 pour 𝑥𝑥0 =2 𝐿𝐿 𝑐𝑐

𝐿𝐿 + 2 𝑐𝑐

𝑐𝑐 = max{𝑎𝑎; 𝑏𝑏}

B04

𝑐𝑐 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = 𝐿𝐿 − 𝑎𝑎 𝑑𝑑 =𝑎𝑎 𝑐𝑐𝐿𝐿

𝑅𝑅A = 𝑅𝑅B = 𝐹𝐹 𝑀𝑀RA = −𝐹𝐹𝑑𝑑 𝑀𝑀RB = 𝐹𝐹𝑑𝑑 𝑉𝑉AC(𝑥𝑥) = 𝐹𝐹 𝑉𝑉CB(𝑥𝑥) = 0 𝑉𝑉DB(𝑥𝑥) = −𝐹𝐹 𝑀𝑀AC(𝑥𝑥) = 𝐹𝐹 (𝑥𝑥 − 𝑑𝑑)

𝑀𝑀CD(𝑥𝑥) =𝐹𝐹 𝑎𝑎2

𝐿𝐿

𝑀𝑀DB(𝑥𝑥) = 𝐹𝐹 (𝐿𝐿 − 𝑥𝑥 − 𝑑𝑑)

𝑀𝑀A = 𝑀𝑀B = −𝐹𝐹 𝑑𝑑 𝑀𝑀C = + 𝐹𝐹𝑎𝑎2

𝐿𝐿

𝑀𝑀A

𝑀𝑀C= −

𝑐𝑐𝑎𝑎

𝑦𝑦AC(𝑥𝑥) =𝐹𝐹

6 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑥𝑥 (3 𝑑𝑑 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2)

𝑦𝑦CD(𝑥𝑥) =𝐹𝐹

6 𝐸𝐸𝐸𝐸𝑎𝑎2

𝐿𝐿(3 (𝐿𝐿 − 𝑥𝑥) 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎 𝐿𝐿)

𝑓𝑓C = 𝑓𝑓D =𝐹𝐹 𝑎𝑎3

6 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝐿𝐿(𝑎𝑎 + 2 𝑏𝑏)

𝑓𝑓0 =𝐹𝐹 𝑎𝑎2

24 𝐸𝐸𝐸𝐸(2 𝑎𝑎 + 3 𝑏𝑏) pour 𝑥𝑥0 =

𝐿𝐿2

tan γ =𝐹𝐹 𝑎𝑎2 𝑏𝑏2 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝐿𝐿

𝑊𝑊db = 𝐹𝐹2𝑎𝑎4𝑏𝑏 2 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝐿𝐿2

𝑊𝑊da = 𝐹𝐹2𝑎𝑎3

6 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝐿𝐿2 (𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 + 𝑎𝑎 𝑏𝑏)

𝑊𝑊d = 2 𝑊𝑊da + 𝑊𝑊db

Formulaire résistance des matériaux - Poutres

Pierre-Olivier Martin, directeur de projet recherche, CTICM – Mars 2021 19

POUTRES CONSOLES

ξ = 𝑥𝑥 𝐿𝐿⁄ Position relative 𝑦𝑦(𝑥𝑥) Déformée élastique en flexion 𝑅𝑅A, 𝑅𝑅B Réactions (efforts verticaux) aux appuis 𝑓𝑓 Flèche 𝑀𝑀RA, 𝑀𝑀RB Réactions (moments) aux appuis 𝑓𝑓0 Flèche maximale 𝑉𝑉 Effort tranchant α, β Déformations angulaires 𝑀𝑀 Moment fléchissant 𝑊𝑊d Energie de déformation élastique en flexion 𝑀𝑀0 Moment fléchissant maximal

C01

𝑄𝑄 = 𝑞𝑞 𝐿𝐿

𝑅𝑅A = 𝑄𝑄 𝑀𝑀RA =𝑄𝑄 𝐿𝐿

2

𝑉𝑉(𝑥𝑥) = 𝑄𝑄 �1 −𝑥𝑥𝐿𝐿

𝑊𝑊d = 𝑄𝑄2 𝐿𝐿3

40 𝐸𝐸𝐸𝐸 =15 𝑓𝑓B 𝑄𝑄

𝑀𝑀(𝑥𝑥) = −𝑄𝑄

2 𝐿𝐿(𝐿𝐿 − 𝑥𝑥)2

𝑀𝑀A = −𝑄𝑄 𝐿𝐿

2

𝑦𝑦(𝑥𝑥) =𝑄𝑄

24 𝐸𝐸𝐸𝐸𝑥𝑥2

𝐿𝐿 (𝑥𝑥2 − 4 𝐿𝐿 𝑥𝑥 + 6 𝐿𝐿2)

𝑓𝑓0 = 𝑓𝑓B =𝑄𝑄 𝐿𝐿3

8 𝐸𝐸𝐸𝐸 pour 𝑥𝑥0 = 𝐿𝐿

tan β =𝑄𝑄 𝐿𝐿2

6 𝐸𝐸𝐸𝐸

C02

𝑅𝑅A = 𝐹𝐹 𝑀𝑀RA = 𝐹𝐹 𝑎𝑎

𝑉𝑉AC(𝑥𝑥) = 𝐹𝐹 𝑉𝑉CB(𝑥𝑥) = 0

𝑀𝑀AC(𝑥𝑥) = −𝐹𝐹 (𝑎𝑎 − 𝑥𝑥) 𝑀𝑀CB(𝑥𝑥) = 0 𝑀𝑀A = −𝐹𝐹 𝑎𝑎

𝑊𝑊d = 𝐹𝐹2 𝑎𝑎3

6 𝐸𝐸𝐸𝐸 =12 𝑓𝑓C 𝐹𝐹

𝑦𝑦AC(𝑥𝑥) =𝐹𝐹

6 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑥𝑥2 (3 𝑎𝑎 − 𝑥𝑥)

𝑦𝑦CB(𝑥𝑥) =𝐹𝐹

6 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑎𝑎2 (3 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎)

𝑓𝑓0 = 𝑓𝑓B =𝐹𝐹 𝑎𝑎2

6 𝐸𝐸𝐸𝐸(3 𝐿𝐿 − 𝑎𝑎) pour 𝑥𝑥0 = 𝐿𝐿

𝑓𝑓C =𝐹𝐹 𝑎𝑎3

3 𝐸𝐸𝐸𝐸

tan β =𝐹𝐹 𝑎𝑎2

2 𝐸𝐸𝐸𝐸

Formulaire résistance des matériaux - Poutres

Pierre-Olivier Martin, directeur de projet recherche, CTICM – Mars 2021 20

ξ = 𝑥𝑥 𝐿𝐿⁄ Position relative 𝑦𝑦(𝑥𝑥) Déformée élastique en flexion 𝑅𝑅A, 𝑅𝑅B Réactions (efforts verticaux) aux appuis 𝑓𝑓 Flèche 𝑀𝑀RA, 𝑀𝑀RB Réactions (moments) aux appuis 𝑓𝑓0 Flèche maximale 𝑉𝑉 Effort tranchant α, β Déformations angulaires 𝑀𝑀 Moment fléchissant 𝑊𝑊d Energie de déformation élastique en flexion 𝑀𝑀0 Moment fléchissant maximal

C03

𝑅𝑅A = 𝐹𝐹 𝑀𝑀RA = 𝐹𝐹 𝐿𝐿

𝑉𝑉(𝑥𝑥) = 𝐹𝐹

𝑀𝑀(𝑥𝑥) = −𝐹𝐹 (𝐿𝐿 − 𝑥𝑥) 𝑀𝑀A = −𝐹𝐹 𝐿𝐿

𝑦𝑦(𝑥𝑥) =𝐹𝐹

6 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑥𝑥2 (3 𝐿𝐿 − 𝑥𝑥)

𝑓𝑓0 =𝐹𝐹 𝐿𝐿3

3 𝐸𝐸𝐸𝐸

tan β =𝐹𝐹 𝐿𝐿2

2 𝐸𝐸𝐸𝐸

𝑊𝑊d = 𝐹𝐹2 𝐿𝐿3

6 𝐸𝐸𝐸𝐸 =12 𝑓𝑓0 𝐹𝐹

C04

𝑅𝑅A = 𝐹𝐹 + 𝑄𝑄 𝑀𝑀RA = 𝐹𝐹𝑎𝑎 + 𝑄𝑄2 𝐿𝐿

𝑉𝑉AC(𝑥𝑥) = 𝐹𝐹 + 𝑄𝑄 �1 −𝑥𝑥𝐿𝐿�

𝑉𝑉CB(𝑥𝑥) = 𝑄𝑄 �1 −𝑥𝑥𝐿𝐿�

𝑀𝑀AC(𝑥𝑥) = −𝐹𝐹 (𝑎𝑎 − 𝑥𝑥) −𝑄𝑄

2 𝐿𝐿(𝐿𝐿 − 𝑥𝑥)2

𝑀𝑀CB(𝑥𝑥) = −𝑄𝑄

2 𝐿𝐿(𝐿𝐿 − 𝑥𝑥)2

𝑀𝑀A = −𝐹𝐹 𝑎𝑎 − 𝑄𝑄 𝐿𝐿/2

𝑄𝑄 = 𝑞𝑞 𝐿𝐿

𝑦𝑦(𝑥𝑥) = 𝑦𝑦CAS C01(𝑥𝑥) + 𝑦𝑦CAS C02(𝑥𝑥)

𝑓𝑓0 = 𝑓𝑓B =𝐹𝐹 𝑎𝑎2

6 𝐸𝐸𝐸𝐸(3 𝐿𝐿 − 𝑎𝑎) +

𝑄𝑄 𝐿𝐿3

8 𝐸𝐸𝐸𝐸

𝑓𝑓C =𝐹𝐹 𝑎𝑎3

3 𝐸𝐸𝐸𝐸 +𝑄𝑄 𝑎𝑎2

24 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝐿𝐿 (𝑎𝑎2 + 6 𝐿𝐿2 − 4 𝐿𝐿 𝑎𝑎)

tan β =3 𝐹𝐹 𝑎𝑎2 + 𝑄𝑄 𝐿𝐿2

6 𝐸𝐸𝐸𝐸

𝑊𝑊d = 𝑄𝑄2 𝐿𝐿3

40 𝐸𝐸𝐸𝐸 +𝐹𝐹2 𝑎𝑎3

6 𝐸𝐸𝐸𝐸 +𝑄𝑄𝐹𝐹 𝑎𝑎2

24 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝐿𝐿 (6 𝐿𝐿2 + 𝑎𝑎2 − 4𝐿𝐿𝑎𝑎)

Formulaire résistance des matériaux - Poutres

Pierre-Olivier Martin, directeur de projet recherche, CTICM – Mars 2021 21

ξ = 𝑥𝑥 𝐿𝐿⁄ Position relative 𝑦𝑦(𝑥𝑥) Déformée élastique en flexion 𝑅𝑅A, 𝑅𝑅B Réactions (efforts verticaux) aux appuis 𝑓𝑓 Flèche 𝑀𝑀RA, 𝑀𝑀RB Réactions (moments) aux appuis 𝑓𝑓0 Flèche maximale 𝑉𝑉 Effort tranchant α, β Déformations angulaires 𝑀𝑀 Moment fléchissant 𝑊𝑊d Energie de déformation élastique en flexion 𝑀𝑀0 Moment fléchissant maximal

C05

𝑅𝑅A = 0 𝑀𝑀RA = 𝑀𝑀

𝑉𝑉(𝑥𝑥) = 0

𝑀𝑀(𝑥𝑥) = −𝑀𝑀 𝑀𝑀A = −𝑀𝑀

𝑦𝑦(𝑥𝑥) =𝑀𝑀

2 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑥𝑥2

𝑓𝑓0 =𝑀𝑀 𝐿𝐿2

2 𝐸𝐸𝐸𝐸

tan β =𝑀𝑀 𝐿𝐿𝐸𝐸𝐸𝐸

𝑊𝑊d = 𝑀𝑀2 𝐿𝐿2 𝐸𝐸𝐸𝐸

C06

𝑄𝑄 = 𝑞𝑞 𝑏𝑏 𝑑𝑑 = 𝑎𝑎 +𝑏𝑏2

𝑅𝑅A = 𝑄𝑄 𝑀𝑀RA = 𝑄𝑄 𝑑𝑑

𝑦𝑦AC(𝑥𝑥) =𝑄𝑄

6 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑥𝑥2 (3 𝑑𝑑 − 𝑥𝑥)

𝑦𝑦CB(𝑥𝑥) =𝑄𝑄

24 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑏𝑏 (𝑥𝑥4 − 4 𝐿𝐿 𝑥𝑥3 + 6 𝐿𝐿2𝑥𝑥2 − 4 𝑎𝑎3𝑥𝑥 + 𝑎𝑎4)

𝑉𝑉AC(𝑥𝑥) = 𝑄𝑄 𝑉𝑉CB(𝑥𝑥) =𝑄𝑄𝑏𝑏 (𝐿𝐿 − 𝑥𝑥)

𝑀𝑀AC(𝑥𝑥) = 𝑄𝑄 (𝑥𝑥 − 𝑑𝑑)

𝑀𝑀CB(𝑥𝑥) = −𝑄𝑄

2 𝑏𝑏(𝐿𝐿 − 𝑥𝑥)2

𝑀𝑀A = −𝑄𝑄 𝑑𝑑 𝑀𝑀C = −𝑄𝑄𝑏𝑏2

𝑊𝑊d = 𝑄𝑄2

120 𝐸𝐸𝐸𝐸 (3 𝑏𝑏3 + 20 𝑎𝑎3 + 30 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑑𝑑)

𝑓𝑓C =𝑄𝑄 𝑎𝑎2

12 𝐸𝐸𝐸𝐸 (4 𝑎𝑎 + 3 𝑏𝑏)

𝑓𝑓0 = 𝑓𝑓B =𝑄𝑄

24 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑏𝑏 (3 𝐿𝐿4 − 3 𝑎𝑎4 − 4 𝑎𝑎3𝑏𝑏)

tan γ =𝑄𝑄 𝑎𝑎 𝐿𝐿2 𝐸𝐸𝐸𝐸 =

𝑞𝑞 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝐿𝐿2 𝐸𝐸𝐸𝐸

tan β =𝑄𝑄

6 𝐸𝐸𝐸𝐸(𝐿𝐿3 − 𝑎𝑎3)

𝑏𝑏

Formulaire résistance des matériaux - Poutres

Pierre-Olivier Martin, directeur de projet recherche, CTICM – Mars 2021 22

POUTRES ENCASTRÉES-APPUYÉES

ξ = 𝑥𝑥 𝐿𝐿⁄ Position relative 𝑦𝑦(𝑥𝑥) Déformée élastique en flexion 𝑅𝑅A, 𝑅𝑅B Réactions (efforts verticaux) aux appuis 𝑓𝑓 Flèche 𝑀𝑀RA, 𝑀𝑀RB Réactions (moments) aux appuis 𝑓𝑓0 Flèche maximale 𝑉𝑉 Effort tranchant α, β Déformations angulaires 𝑀𝑀 Moment fléchissant 𝑊𝑊d Energie de déformation élastique en flexion 𝑀𝑀0 Moment fléchissant maximal

D01

𝑄𝑄 = 𝑞𝑞 𝐿𝐿

𝑅𝑅A =58 𝑄𝑄 𝑅𝑅B =

38 𝑄𝑄

𝑀𝑀RA =𝑄𝑄 𝐿𝐿

8

𝑉𝑉(𝑥𝑥) =𝑄𝑄

8 𝐿𝐿(5 𝐿𝐿 − 8 𝑥𝑥)

𝑉𝑉A =58 𝑄𝑄 𝑉𝑉B = −

38 𝑄𝑄

𝑦𝑦(𝑥𝑥) =𝑄𝑄

48 𝐸𝐸𝐸𝐸𝑥𝑥2

𝐿𝐿 (𝑥𝑥 − 𝐿𝐿)(2 𝑥𝑥 − 3 𝐿𝐿)

𝑓𝑓0 ≈𝑄𝑄 𝐿𝐿3

185 𝐸𝐸𝐸𝐸

pour 𝑥𝑥0 =1516 𝐿𝐿 �1 −

√3315 � = 0,5784 𝐿𝐿

𝑀𝑀(𝑥𝑥) =𝑄𝑄

8 𝐿𝐿(𝐿𝐿 − 𝑥𝑥)(4 𝑥𝑥 − 𝐿𝐿)

𝑀𝑀A = −𝑄𝑄 𝐿𝐿

8 = −169 𝑀𝑀0

𝑀𝑀C = +𝑄𝑄 𝐿𝐿16 pour 𝑥𝑥C =

𝐿𝐿2

𝑀𝑀0 =9

128 𝑄𝑄 𝐿𝐿 pour 𝑥𝑥0 =58 𝐿𝐿

𝑓𝑓C =𝑄𝑄 𝐿𝐿3

192 𝐸𝐸𝐸𝐸 pour 𝑥𝑥C =𝐿𝐿2

tan β = −𝑄𝑄 𝐿𝐿2

48 𝐸𝐸𝐸𝐸

𝑊𝑊d = 𝑄𝑄2 𝐿𝐿3

640 𝐸𝐸𝐸𝐸

D02

𝑅𝑅A =1116 𝐹𝐹 𝑅𝑅B =

516 𝐹𝐹

𝑀𝑀RA =3

16 𝐹𝐹𝐿𝐿

𝑉𝑉AC(𝑥𝑥) =1116 𝐹𝐹 𝑉𝑉CB(𝑥𝑥) = −

516 𝐹𝐹

𝑀𝑀AC(𝑥𝑥) =𝐹𝐹

16(11 𝑥𝑥 − 3 𝐿𝐿)

𝑀𝑀CB(𝑥𝑥) =5

16 𝐹𝐹 (𝐿𝐿 − 𝑥𝑥)

𝑀𝑀A = −3

16 𝐹𝐹𝐿𝐿 = −65 𝑀𝑀C

𝑀𝑀C =5

32 𝐹𝐹 𝐿𝐿 pour 𝑥𝑥0 =𝐿𝐿2

𝑦𝑦AC(𝑥𝑥) =𝐹𝐹

96 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑥𝑥2 (9 𝐿𝐿 − 11 𝑥𝑥)

𝑦𝑦CD(𝑥𝑥) =𝐹𝐹

96 𝐸𝐸𝐸𝐸 (𝑥𝑥 − 𝐿𝐿)(5 𝑥𝑥2 − 10 𝐿𝐿 𝑥𝑥 + 2 𝐿𝐿2)

𝑓𝑓0 =√5

240𝐹𝐹 𝐿𝐿3

𝐸𝐸𝐸𝐸

pour 𝑥𝑥0 = 𝐿𝐿 �1 −1

√5� = 0,552 𝐿𝐿

𝑓𝑓C =7 𝐹𝐹 𝐿𝐿3

768 𝐸𝐸𝐸𝐸 pour 𝑥𝑥C =𝐿𝐿2

tan β = −𝐹𝐹 𝐿𝐿2

32 𝐸𝐸𝐸𝐸

𝑊𝑊d =7

1536 𝐹𝐹2 𝐿𝐿3

𝐸𝐸𝐸𝐸 =12 𝑓𝑓C 𝐹𝐹

Formulaire résistance des matériaux - Poutres

Pierre-Olivier Martin, directeur de projet recherche, CTICM – Mars 2021 23

ξ = 𝑥𝑥 𝐿𝐿⁄ Position relative 𝑦𝑦(𝑥𝑥) Déformée élastique en flexion 𝑅𝑅A, 𝑅𝑅B Réactions (efforts verticaux) aux appuis 𝑓𝑓 Flèche 𝑀𝑀RA, 𝑀𝑀RB Réactions (moments) aux appuis 𝑓𝑓0 Flèche maximale 𝑉𝑉 Effort tranchant α, β Déformations angulaires 𝑀𝑀 Moment fléchissant 𝑊𝑊d Energie de déformation élastique en flexion 𝑀𝑀0 Moment fléchissant maximal

D03

𝑑𝑑1 = �𝐿𝐿2 − 𝑏𝑏2 𝑑𝑑2 = �3 𝐿𝐿2 − 𝑏𝑏2

𝑅𝑅A =𝐹𝐹 𝑏𝑏2 𝐿𝐿3 𝑑𝑑2

2 𝑅𝑅B =𝐹𝐹 𝑎𝑎2

2 𝐿𝐿3 (2 𝐿𝐿 + 𝑏𝑏)

𝑀𝑀RA =𝐹𝐹 𝑏𝑏2 𝐿𝐿2 𝑑𝑑1

2

𝑉𝑉AC(𝑥𝑥) = 𝑅𝑅A 𝑉𝑉CB(𝑥𝑥) = −𝑅𝑅B

𝑊𝑊d =𝐹𝐹2 𝑎𝑎3𝑏𝑏2

24 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝐿𝐿3 (3 𝐿𝐿 + 𝑏𝑏) =12 𝐹𝐹 𝑓𝑓C

𝑑𝑑3 = 3 𝐿𝐿 − 𝑎𝑎

𝑀𝑀AC(𝑥𝑥) =𝐹𝐹 𝑏𝑏2 𝐿𝐿3 [𝑑𝑑2

2 𝑥𝑥 − 𝑑𝑑12 𝐿𝐿]

𝑀𝑀CB(𝑥𝑥) =𝐹𝐹 𝑑𝑑3 𝑎𝑎2

2 𝐿𝐿3 (𝐿𝐿 − 𝑥𝑥)

𝑀𝑀A = −𝑀𝑀RA

𝑀𝑀C = +𝐹𝐹 𝑑𝑑3 𝑎𝑎2 𝑏𝑏

2 𝐿𝐿3

𝑦𝑦AC(𝑥𝑥) =𝐹𝐹 𝑏𝑏

12 𝐸𝐸𝐸𝐸𝑥𝑥2

𝐿𝐿2 �3 𝑑𝑑12 − 𝑑𝑑2

2 𝑥𝑥𝐿𝐿 �

𝑦𝑦CB(𝑥𝑥) =𝐹𝐹 𝑎𝑎2

12 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝐿𝐿3 [(2 𝐿𝐿 + 𝑏𝑏)(𝑥𝑥 − 3 𝐿𝐿) 𝑥𝑥2 + 2 𝐿𝐿3 (3 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎)]

𝑘𝑘L =√2

√2 + 1= 0,586 𝑘𝑘F = � 𝑏𝑏

2 𝐿𝐿 + 𝑏𝑏

si 𝑎𝑎 ≥ 𝑘𝑘L 𝐿𝐿

𝑓𝑓0 =𝐹𝐹 𝑏𝑏3 𝐸𝐸𝐸𝐸

𝑑𝑑16

𝑑𝑑24

pour 𝑥𝑥0 = 2 𝐿𝐿 �𝑑𝑑1

𝑑𝑑2�

2

si 𝑎𝑎 < 𝑘𝑘L 𝐿𝐿

𝑓𝑓0 = 𝑘𝑘F𝐹𝐹 𝑎𝑎2 𝑏𝑏6 𝐸𝐸𝐸𝐸

pour 𝑥𝑥0 = 𝐿𝐿 (1 − 𝑘𝑘F)

tan β = −𝐹𝐹 𝑎𝑎2 𝑏𝑏4 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝐿𝐿 𝑓𝑓C =

𝐹𝐹 𝑎𝑎3 𝑏𝑏2

12 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝐿𝐿3 (3 𝐿𝐿 + 𝑏𝑏) pour 𝑥𝑥C = 𝑎𝑎

Formulaire résistance des matériaux - Poutres

Pierre-Olivier Martin, directeur de projet recherche, CTICM – Mars 2021 24

ξ = 𝑥𝑥 𝐿𝐿⁄ Position relative 𝑦𝑦(𝑥𝑥) Déformée élastique en flexion 𝑅𝑅A, 𝑅𝑅B Réactions (efforts verticaux) aux appuis 𝑓𝑓 Flèche 𝑀𝑀RA, 𝑀𝑀RB Réactions (moments) aux appuis 𝑓𝑓0 Flèche maximale 𝑉𝑉 Effort tranchant α, β Déformations angulaires 𝑀𝑀 Moment fléchissant 𝑊𝑊d Energie de déformation élastique en flexion 𝑀𝑀0 Moment fléchissant maximal

DC01

𝑄𝑄 = 𝑞𝑞 (𝐿𝐿 + 𝑎𝑎) = 𝑄𝑄L + 𝑄𝑄a 𝑄𝑄L = 𝑞𝑞 𝐿𝐿 𝑄𝑄a = 𝑞𝑞 𝑎𝑎

𝑅𝑅A =𝑑𝑑𝐿𝐿 𝑄𝑄L 𝑅𝑅B = 𝑄𝑄a + 𝑄𝑄L �1 −

𝑑𝑑𝐿𝐿�

𝑀𝑀RA =𝑄𝑄L

12 (4 𝑑𝑑 − 𝐿𝐿)

𝑉𝑉AB(𝑥𝑥1) =𝑄𝑄L

𝐿𝐿 (𝑑𝑑 − 𝑥𝑥1)

𝑉𝑉A = 𝑅𝑅A 𝑉𝑉B1 = − 𝑄𝑄L �1 −𝑑𝑑𝐿𝐿�

𝑉𝑉BC(𝑥𝑥2) = 𝑄𝑄a �1 −𝑥𝑥2

𝑎𝑎 �

𝑉𝑉C = 0 𝑉𝑉B2 = + 𝑄𝑄a

𝑑𝑑 = 𝐿𝐿 �58

−34

𝑎𝑎2

𝐿𝐿2�

𝑀𝑀AB(𝑥𝑥1) = −𝑄𝑄L

8 𝐿𝐿 (4 𝑥𝑥12 − 8 𝑑𝑑 𝑥𝑥1 + 𝐿𝐿2 − 2 𝑎𝑎2)

𝑀𝑀BC(𝑥𝑥2) = −𝑄𝑄a

2 𝑎𝑎 (𝑎𝑎 − 𝑥𝑥2)2

𝑀𝑀A = 𝑀𝑀RA 𝑀𝑀B = −𝑄𝑄a𝑎𝑎2

𝑀𝑀0 =𝑄𝑄L

8 𝐿𝐿(4 𝑑𝑑2 − 𝐿𝐿2 + 2 𝑎𝑎2) pour 𝑥𝑥0 = 𝑑𝑑

𝑊𝑊d =𝑄𝑄𝐿𝐿

2 𝐿𝐿3

1920 𝐸𝐸𝐸𝐸 �3 + 60𝑎𝑎4

𝐿𝐿4 − 20𝑎𝑎2

𝐿𝐿2� +𝑄𝑄𝑎𝑎

2 𝑎𝑎3

40 𝐸𝐸𝐸𝐸

𝑦𝑦AC(𝑥𝑥1) =𝑄𝑄L

48 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝐿𝐿 𝑥𝑥12 (2 𝑥𝑥1

2 − 8 𝑑𝑑 𝑥𝑥1 + 3 𝐿𝐿2 − 6𝑎𝑎2)

𝑦𝑦BC(𝑥𝑥2) =𝑄𝑄 𝑥𝑥2

48 𝐸𝐸𝐸𝐸 (𝐿𝐿 + 𝑎𝑎) (2 𝑥𝑥23 − 8 𝑎𝑎 𝑥𝑥2

2 + 12 𝑎𝑎2 𝑥𝑥2 + 6 𝑎𝑎2𝐿𝐿 − 𝐿𝐿3)

𝑓𝑓C =𝑄𝑄a

48 𝐸𝐸𝐸𝐸 (6 𝑎𝑎3 + 6 𝑎𝑎2 𝐿𝐿 − 𝐿𝐿3)

𝑓𝑓D =𝑄𝑄L

192 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝐿𝐿 (𝐿𝐿2 − 3 𝑎𝑎2)

tan β =𝑄𝑄L

48 𝐸𝐸𝐸𝐸 (6 𝑎𝑎2 − 𝐿𝐿2)

tan γ =𝑄𝑄

48 𝐸𝐸𝐸𝐸 8 𝑎𝑎3 + 6 𝑎𝑎2𝐿𝐿 − 𝐿𝐿3

𝐿𝐿 + 𝑎𝑎

DC02

𝑄𝑄 = 𝑄𝑄a = 𝑞𝑞 𝑎𝑎

𝑅𝑅A = −34

𝑎𝑎𝐿𝐿 𝑄𝑄 𝑅𝑅B = 𝑄𝑄 �1 +

34

𝑎𝑎𝐿𝐿�

𝑀𝑀RA = −𝑄𝑄 𝑎𝑎

4

𝑉𝑉AB(𝑥𝑥1) = −34

𝑎𝑎𝐿𝐿

𝑄𝑄 𝑉𝑉𝐴𝐴 = 𝑉𝑉B1 = −34

𝑎𝑎𝐿𝐿

𝑄𝑄

𝑉𝑉BC(𝑥𝑥2) = 𝑄𝑄 �1 −𝑥𝑥2

𝑎𝑎 � 𝑉𝑉B2 = 𝑄𝑄

𝑀𝑀AB(𝑥𝑥1) =𝑄𝑄 𝑎𝑎

4 �1 − 3𝑥𝑥1

𝐿𝐿 �

𝑀𝑀BC(𝑥𝑥2) = −𝑄𝑄

2 𝑎𝑎 (𝑎𝑎 − 𝑥𝑥2)2

𝑀𝑀A = −𝑀𝑀RA =𝑄𝑄 𝑎𝑎

4 𝑀𝑀B = −Q a2

𝑀𝑀𝐶𝐶 = −𝑄𝑄 𝑎𝑎

8

𝑊𝑊d =𝑄𝑄2 𝑎𝑎2

160 𝐸𝐸𝐸𝐸(5 𝐿𝐿 + 4 𝑎𝑎)

𝑦𝑦AB(𝑥𝑥1) =𝑄𝑄 𝑎𝑎

8 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝐿𝐿 𝑥𝑥12 (𝑥𝑥1 − 𝐿𝐿) 𝑦𝑦BC(𝑥𝑥2) =

𝑄𝑄 𝑥𝑥2

24 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑎𝑎 [𝑥𝑥23 − 4 𝑎𝑎 𝑥𝑥2

2 + 6 𝑎𝑎2 𝑥𝑥2 + 3 𝑎𝑎2𝐿𝐿]

𝑓𝑓C =𝑄𝑄 𝑎𝑎2

8 𝐸𝐸𝐸𝐸 (𝐿𝐿 + 𝑎𝑎) 𝑓𝑓D =𝑄𝑄 𝑎𝑎 𝐿𝐿2

64 𝐸𝐸𝐸𝐸

𝑓𝑓0 =𝑄𝑄 𝑎𝑎 𝐿𝐿2

54 𝐸𝐸𝐸𝐸 pour 𝑥𝑥1,0 =23 𝐿𝐿

𝑓𝑓𝑐𝑐

𝑓𝑓0=

274

𝑎𝑎𝐿𝐿 �1 +

𝑎𝑎𝐿𝐿�

tan β =𝑄𝑄 𝑎𝑎 𝐿𝐿8 𝐸𝐸𝐸𝐸

tan γ =𝑄𝑄 𝑎𝑎

24 𝐸𝐸𝐸𝐸 (3 𝐿𝐿 + 4 𝑎𝑎)

Formulaire résistance des matériaux - Poutres

Pierre-Olivier Martin, directeur de projet recherche, CTICM – Mars 2021 25

ξ = 𝑥𝑥 𝐿𝐿⁄ Position relative 𝑦𝑦(𝑥𝑥) Déformée élastique en flexion 𝑅𝑅A, 𝑅𝑅B Réactions (efforts verticaux) aux appuis 𝑓𝑓 Flèche 𝑀𝑀RA, 𝑀𝑀RB Réactions (moments) aux appuis 𝑓𝑓0 Flèche maximale 𝑉𝑉 Effort tranchant α, β Déformations angulaires 𝑀𝑀 Moment fléchissant 𝑊𝑊d Energie de déformation élastique en flexion 𝑀𝑀0 Moment fléchissant maximal

DC03

𝑅𝑅A = −32

𝐹𝐹 𝑎𝑎𝐿𝐿 𝑅𝑅B =

𝐹𝐹2 𝐿𝐿 (2 𝐿𝐿 + 3 𝑎𝑎)

𝑀𝑀RA = −𝐹𝐹 𝑎𝑎2

𝑉𝑉AC(𝑥𝑥) = −32

𝐹𝐹 𝑎𝑎𝐿𝐿 𝑉𝑉CB(𝑥𝑥) = 𝐹𝐹

𝑀𝑀AB(𝑥𝑥1) =𝐹𝐹 𝑎𝑎2 𝐿𝐿 (𝐿𝐿 − 3 𝑥𝑥1)

𝑀𝑀BC(𝑥𝑥2) = 𝐹𝐹 (𝑥𝑥2 − 𝑎𝑎)

𝑀𝑀A = −𝑀𝑀RA =𝐹𝐹 𝑎𝑎2 𝑀𝑀B = −𝐹𝐹 𝑎𝑎

𝑊𝑊dL =𝐹𝐹2 𝑎𝑎2 𝐿𝐿

8 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑊𝑊da =𝐹𝐹2 𝑎𝑎3

6 𝐸𝐸𝐸𝐸

𝑊𝑊d =𝐹𝐹2 𝑎𝑎2

24 𝐸𝐸𝐸𝐸(3 𝐿𝐿 + 4 𝑎𝑎)

𝑦𝑦AB(𝑥𝑥1) =𝐹𝐹 𝑎𝑎

4 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝐿𝐿 𝑥𝑥12 (𝑥𝑥1 − 𝐿𝐿)

𝑦𝑦BC(𝑥𝑥2) =𝐹𝐹 𝑥𝑥2

12 𝐸𝐸𝐸𝐸 (3 𝑎𝑎 𝐿𝐿 + 6 𝑎𝑎 𝑥𝑥2 − 2 𝑥𝑥22)

𝑓𝑓C =𝐹𝐹 𝑎𝑎2

12 𝐸𝐸𝐸𝐸 (3 𝐿𝐿 + 4 𝑎𝑎) 𝑓𝑓D =𝑄𝑄 𝑎𝑎 𝐿𝐿2

32 𝐸𝐸𝐸𝐸

𝑓𝑓0 =𝐹𝐹 𝑎𝑎 𝐿𝐿2

27 𝐸𝐸𝐸𝐸 pour 𝑥𝑥0 =23 𝐿𝐿

𝑓𝑓𝑐𝑐

𝑓𝑓0=

274

𝑎𝑎𝐿𝐿 �1 + 2

𝑎𝑎𝐿𝐿�

tan β =𝐹𝐹 𝑎𝑎 𝐿𝐿4 𝐸𝐸𝐸𝐸

tan γ =𝐹𝐹 𝑎𝑎4 𝐸𝐸𝐸𝐸

(𝐿𝐿 + 2 𝑎𝑎)

DC04

𝑅𝑅A = −𝑅𝑅B = −32

𝑀𝑀𝐿𝐿

𝑀𝑀RA = −𝑀𝑀2

𝑉𝑉AB(𝑥𝑥1) = −32

𝑀𝑀𝐿𝐿 𝑉𝑉BC(𝑥𝑥2) = 0

𝑀𝑀AB(𝑥𝑥1) =𝑀𝑀2 𝐿𝐿

(𝐿𝐿 − 3 𝑥𝑥1) 𝑀𝑀BC(𝑥𝑥2) = −𝑀𝑀

𝑀𝑀A = −𝑀𝑀RA 𝑀𝑀B = −𝑀𝑀

𝑊𝑊dL =𝑀𝑀2 𝐿𝐿8 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑊𝑊da =

𝑀𝑀2 𝑎𝑎2 𝐸𝐸𝐸𝐸

𝑊𝑊d =𝑀𝑀2

8 𝐸𝐸𝐸𝐸(𝐿𝐿 + 4 𝑎𝑎)

𝑦𝑦AB(𝑥𝑥1) =𝑀𝑀

4 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝐿𝐿 𝑥𝑥12 (𝑥𝑥1 − 𝐿𝐿)

𝑦𝑦BC(𝑥𝑥2) =𝑀𝑀 𝑥𝑥2

4 𝐸𝐸𝐸𝐸 (2 𝑥𝑥2 + 𝐿𝐿)

𝑓𝑓C =𝑀𝑀 𝑎𝑎4 𝐸𝐸𝐸𝐸 (𝐿𝐿 + 2 𝑎𝑎)

𝑓𝑓D =𝑀𝑀 𝐿𝐿2

32 𝐸𝐸𝐸𝐸

𝑓𝑓0 =𝑀𝑀 𝐿𝐿2

27 𝐸𝐸𝐸𝐸 pour 𝑥𝑥0 =23 𝐿𝐿

tan β =𝑀𝑀 𝐿𝐿4 𝐸𝐸𝐸𝐸

tan γ =𝑀𝑀

4 𝐸𝐸𝐸𝐸 (𝐿𝐿 + 4 𝑎𝑎)