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Terminale S AE 20_Des pendules et des formules
M.Meyniel 1/8
Des pendules et des formules :
Comment mesurer le temps avec un pendule ?
Objectifs : - Pratiquer une démarche expérimentale pour mettre en évidence les différents paramètres influençant la période d’un oscillateur mécanique et son amortissement.
Un pendule simple est une masse ponctuelle fixée à l’extrémité d’un fil de masse négligeable et
inextensible oscillant sous l’effet de la pesanteur
La mesure du temps est une question essentielle depuis ... la nuit des temps. Elle a initialement été basée sur
l’observation d’un phénomène régulier et répétitif qui permettait de caractériser des durées égales.
I. Approche expérimentale historique … encore Galilée !
Document 1 : Oscillations et pendules
Dans son dernier ouvrage Discours et démonstrations mathématiques concernant deux sciences nouvelles, publié en 1638, Galilée relate les résultats d’expériences menées sur les oscillations de pendules :
« J’ai pris deux boules, l’une de plomb et l’autre de liège, celle-là au moins cent fois plus lourde que celle-ci, puis j’ai attaché chacune d’elles à deux fils très fins, longs tous deux de quatre coudées ; les écartant alors de la position perpendiculaire, le les lâchais en même temps ; une bonne centaine d’allées et venues, accomplies par les boules elles-mêmes, m’ont clairement montré qu’entre la période du corps pesant et celle du corps léger, la coïncidence est telle que sur mille vibrations comme sur cent, le premier n’acquiert sur le second aucun avance, fût-ce la plus minime, mais que tous deux ont un rythme de mouvement rigoureusement identique. On observe également l’action du milieu qui, en gênant le mouvement, ralentit bien davantage les vibrations du liège que celles du plomb, sans toutefois modifier leur fréquence ; même si les arcs décrits par le liège n’ont plus que cinq ou six degrés, contre cinquante ou soixante pour le plomb, ils sont traversés en des temps égaux. Ensuite, quant à la proportion des temps des oscillations des mobiles suspendus à des fils de différentes longueurs, des expériences répétées, que chacun peut faire, m’ont démontré que, si l’on veut que le temps des oscillations d’un pendule soit double du temps des oscillations d’un autre, il faut que la longueur de la corde du second soit quadruple de la longueur de la corde du premier. Et alors dans le temps d’une oscillation d’un pendule, un autre en fera trois, si sa corde est neuf fois moins longue que celle de l’autre. »
Une coudée équivaut à 0,573 m et l’intensité de la pesanteur g vaut ……………………… .
1. Réaliser un schéma d’un pendule simple (dont le fil possède une masse négligeable devant la boule suspendue).
2. Quelles expressions sont employées pour désigner les oscillations du pendule ?
3. Qu’appelle-t-on donc « période » dans le cas d’un pendule ?
4. Pourquoi Galilée raisonne-t-il sur un grand nombre de périodes, « sur mille vibrations comme sur cent » ?
5. Pourquoi Galilée répète-t-il les expériences, « des expériences répétées […] m’ont démontré que … » ?
6. Quels sont tous les paramètres testés par le scientifique et susceptibles de faire varier la période T du pendule ?
7. Expliquer l’effet de la modification de chacun d’entre eux sur la valeur de la période des oscillations.
8. Quel est le pendule le plus amorti ? Justifier. Quelle est la cause de ces amortissements des oscillations ?
9. On propose plusieurs formules pour la période T d’une oscillation :
T = 2. 𝜋. √𝒎
𝒈 T = 2. 𝜋. √𝜽. 𝒈 T = 2. 𝜋. √
𝒍
𝒈 T = 2. 𝜋. √𝒍. 𝒈 T = 𝜋. √
𝒍
𝒈
a. Quelles expressions peut-on éliminer d’après le texte introductif ?
b. Quelles expressions peut-on conserver d’après une analyse dimensionnelle ?
avec T : …………………………………. m : ………………………………….
θ : …………………………………. l : ……………………………………
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II. Approche expérimentale contemporaine … encore vous !
1. Proposer un protocole expérimental détaillé permettant de vérifier expérimentalement laquelle des expressions
restantes est correcte ? Appelez le professeur pour lui présenter le protocole ou en cas de difficulté.
On pourra par exemple tracer et exploiter un graphique…
2. Calculer la valeur expérimentale « g » de l’accélération de pesanteur puis
déterminer la valeur de l’incertitude absolue Δg.
On pourra commencer par estimer l'erreur sur ses propres mesures …
Pour le plaisir :
On réalise un pendule en suspendant une bille de plomb de
masse m = 50 g et de centre d’inertie G, à un fil inextensible de
longueur l accroché en O. Un système informatique permet d’obtenir
les mesures représentées sur les deux graphes ci-dessous.
1. Comparer de la manière la plus précise possible, la valeur calculée de la période du pendule de Galilée à celle du
pendule réalisé expérimentalement, puis conclure.
2. On réalise un seconde pendule constitué d’une corde accroché à l’une de ses extrémités à une branche d’arbre et à
l’autre à l’anse d’un grand seau rempli d’eau … mais percé …
Comment évolue la période du pendule ainsi constitué ?
Au dos de cet énoncé vous trouverez un énoncé typique destiné au candidat passant les TP du bac : ECE
(évaluation des capacités expérimentales).
z
l
O
x xm
G
m
G0
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Fiche 3 – Énoncé destiné au candidat – La danse des pendules NOM :
Prénom :
Ce sujet comporte 2 feuilles individuelles sur lesquelles le candidat doit consigner ses réponses.
Le candidat doit restituer ce document avant de sortir de la salle d'examen.
Le candidat doit agir en autonomie et faire preuve d’initiative tout au long de l’épreuve.
En cas de difficulté, le candidat peut solliciter l’examinateur afin de lui permettre de continuer la tâche.
L’examinateur peut intervenir à tout moment sur le montage, s’il le juge utile.
1. Contexte du sujet
L’expérience filmée, à visualiser, présente quinze pendules que l’on peut considérer comme simples indépendants les uns des autres qui « dansent ensemble » pour produire des vagues. Ils sont tous lâchés dans un même plan, défini par
l’abscisse angulaire maximale m = 20°. On pourrait appeler cela de l’art cinétique tant la chorégraphie des pendules est stupéfiante !
Le but de cette épreuve est d’étudier l’influence de certains paramètres sur la période des pendules simples de la vidéo visualisée.
2. Documents mis à disposition du candidat
Document 1 : Le modèle du pendule simple
Un pendule qui est constitué d’un solide de masse m, de petite dimension, suspendu à un fil inextensible, de masse négligeable devant m et de longueur au moins dix fois supérieure aux dimensions du solide, est qualifié de « simple ».
On note l la longueur du pendule c’est-à-dire la distance entre le point d’attache et le centre du solide.
La position initiale du pendule est repérée par son abscisse angulaire maximale m , angle entre la verticale et la direction du fil.
Document 2 : Galilée et son pendule
« J’ai pris deux balles, l’une de plomb, l’autre de liège, celle-là bien plus de cent fois plus lourde que celle-ci, toutes deux attachées à des fils fins et égaux, longs de quatre à cinq coudées*, fixés par le haut. Puis, les ayant éloignées l’une et l’autre de la verticale, je les ai laissées aller en même temps ; et toutes deux descendant le long des circonférences des cercles décrits par les fils et de rayons égaux dépassèrent la verticale ; puis elles revinrent en arrière par le même chemin et répétant bien cent fois les mêmes allées et venues, elles ont montré d’une manière évidente que la boule lourde marche tellement dans le même temps que la légère, qu’il ne dépasse pas ce temps ni en cent oscillations, ni en mille du plus petit intervalle, mais elles marchent d’un pas tout à fait égal.[...] »
Extrait du Dialogue sur les deux grands systèmes du monde, 1632
* coudée : ancienne mesure de longueur correspondant à la distance du coude à l’extrémité du médius soit environ 50 cm
Document 3 : Expédition de Richer à Cayenne en 1672
« En 1672, Jean RICHER, astronome français de l’Académie Royale des Sciences, sous la direction de Jean Dominique CASSINI, est envoyé à Cayenne pour y effectuer des mesures astronomiques qui nécessitent la connaissance du temps. Il embarque donc une horloge mécanique réglée précisément pour « battre la seconde » à l’Observatoire de Paris.
Arrivé à Cayenne, il s’aperçoit que cette horloge retarde d’environ deux minutes par jour par rapport au temps qu’elle devrait théoriquement indiquer. Il en déduit que l’intensité de pesanteur g près de l’équateur est moins importante qu’à la latitude de Paris, ce qui va dans le sens d’une Terre légèrement aplatie aux pôles, idée ne faisant pas l’unanimité chez les scientifiques de l’époque.
Afin que cette horloge batte à nouveau la seconde à Cayenne, il doit raccourcir la longueur du pendule d’environ 3 millimètres, différence peu visible à l’oeil. »
D’après Extrait de « Expédition de Richer à Cayenne en 1672 » http://webtice.ac-guyane.fr/physique/spip.php?article54
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Document 4 : Graphe de la période d’un pendule simple de longueur l = 80 cm en fonction de l’abscisse
angulaire m.
Document 5 : Matériel mis à disposition
Un support vertical muni d'une noix et d'une tige ;
Un rapporteur fixé au support ou tout autre dispositif de mesure d'angle dont le laboratoire dispose ;
Du fil résistant et inextensible ;
Une masse marquée de 100 g munie d’un crochet ;
Une règle graduée au mm ou un mètre déroulant + un chronomètre ;
Une paire de ciseaux + une balance ;
Un ordinateur permettant de visualiser la vidéo « la danse des pendules ».
3. Documents mis à disposition du candidat
1. Paramètres physiques et influence sur la période (25 min conseillées)
1. En analysant et en citant les documents, lister les paramètres qui peuvent avoir une influence sur la période d’un
pendule simple quelconque.
2. Dans l’expérience filmée, quel est, parmi les paramètres listés précédemment, celui qui n’est pas visiblement identique
d’un pendule à l’autre ? Indiquer par une phrase l’influence qualitative de ce paramètre sur la période du pendule
considéré comme simple.
3. Dans l’expérience filmée, quel est le seul paramètre identique pour tous les pendules dont on pourrait étudier
quantitativement l’influence sur la période grâce au matériel disponible ? Justifier.
2. Protocole expérimental (10 min conseillées)
Rédiger un protocole expérimental permettant de connaître quantitativement l’influence de l’abscisse angulaire maximale
sur la période du pendule par des mesures les plus précises possibles. Il s’agit par ces mesures de pouvoir compléter le
graphe du document 4.
Appel n°1 Appeler le professeur pour lui exposer le protocole expérimental ou en cas de difficulté.
3. Mise en œuvre du protocole expérimental proposé (durée conseillée : 20 min)
Mettre en œuvre le protocole expérimental précédent. Réaliser les mesures et compléter directement le graphe du
document 4.
Appel n°2 Appeler le professeur pour lui montrer une mesure.
4. Exploitation des mesures et « danse des pendules » (durée conseillée : 10 min)
Dans l’expérience filmée, tous les pendules sont dans un même plan, défini par l’abscisse angulaire maximale m = 20 °
et lâchés à la date t1 = 26 s. Les pendules sont de nouveau dans le même plan à la date t2 = 1 min 28 s. Aurait-on obtenu
la même date t2 si l’abscisse angulaire maximale de départ avait été de 10 ° ?
Appel n°3 Appeler le professeur pour lui présenter votre conclusion ou en cas de difficulté.
Défaire le montage et ranger la paillasse avant de quitter la salle.
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CORRECTION
I. Approche expérimentale historique : encore Galilée …
1. Schéma :
2. D’après le document 1, les expressions utilisées pour évoquer les oscillations d'un pendule sont : "allées et
venues" & "vibrations".
3. Une période correspond à la durée d’un aller-retour du pendule.
4. Galilée raisonne sur un grand nombre de périodes pour augmenter la précision de sa mesure. Les imprécisions
de début et de fin de chronométrage seront ainsi divisées par mille !
5. Afin d’établir des lois générales, les expériences doivent être reproductibles ! Il est donc indispensable de
reproduire les expériences pour éprouver cette condition.
6. La période du pendule peut être influencée, d’après Galilée, par sa masse, le milieu dans lequel il évolue, l’écart
angulaire et sa longueur.
7. D’après les expériences de Galilée, la masse n'intervient pas sur la période des oscillations car « tous deux ont
un rythme de mouvement rigoureusement identique ». La nature du milieu ne semble pas jouer sur la période
non plus, puisqu'elle ne joue pas sur sa fréquence (c’est-à-dire l'inverse de la période). Idem pour l’écart
angulaire.
En revanche la longueur du fil joue : plus elle augmente, plus la période augmente. Il faut multiplier par
exemple par 9 cette longueur 𝓵 pour multiplier par 3 (= √9) la période T. T semble donc proportionnel à √𝓵.
8. Le pendule le plus amorti est celui en liège car l’angle décrit par le liège au bout d’un certain temps est
beaucoup plus faible que celui décrit par le plomb. Les frottements de l'air semblent responsables de ce fait.
9. a. La première formule ne convient pas car la masse m y intervient. Or on a vu que la masse m n’a pas
d'influence sur T.
La deuxième formule ne convient pas car 𝓵 n'y intervient pas. Or on a vu que la longueur 𝓵 du pendule
devait avoir une influence.
b. dim[T] = T Il faut tester l’homogénéité des trois formules restantes :
Formule n°3 : dim[ 2𝜋√ℓ
𝑔 ] = dim[2] x dim [(
ℓ
𝑔)1/2] = 1 x (
𝐿
𝐿.𝑇−2)1/2
= (T²)1/2
= T formule possible
Formule n°4 : dim[ 𝜋√ℓ
𝑔 ] = dim[] x dim [(
ℓ
𝑔)1/2] = 1 x (
𝐿
𝐿.𝑇−2)1/2
= (T²)1/2
= T formule possible
Formule n°5 : dim[ 2𝜋√ℓ𝑔 ] = dim[2] x dim [(ℓ𝑔)1/2] = 1 x (L.L.T-2
)1/2
= (L².T-²)
1/2 = L.T
-1 formule impossible
Les deux formules encore possibles sont les n°3 et n°4 soit : T = 2.𝜋. √ℓ
𝑔 T = 𝜋. √
ℓ
𝑔
II. Approche expérimentale contemporaine : encore vous …
1. On cherche à savoir quelle formule (parmi les deux précédentes) est adaptée au calcul de la période d’un pendule en
fonction de sa longueur. On remarque que dans tous les cas, T est proportionnel à √𝓵. Pour cela :
Chronométrer la durée de plusieurs oscillations (10 par exemple) d’un pendule pour une certaine
longueur 𝓵 préalablement mesurée et en déduire la période T.
Répéter l’opération pour plusieurs longueurs de fils différentes.
Tracer un graphique reliant la période T et la longueur 𝓵.
Déterminer le coefficient de proportionnalité entre T et √𝓵 et le comparer à l’une des formules proposées.
avec T : la période en seconde (s) m : la masse en kilogramme (kg)
θ : l’écart angulaire en radian (rad) l : la longueur du fil en mètre (m)
l
O
m
θ
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Mise en œuvre pratique:
Mesure de 𝓵 : A l’aide d’une règle précise à 5 mm près (soit 0,005 m) on mesure la distance séparant le point
d’accroche du fil et le centre (approximatif) de la boule.
Mesure de T : On utilise un chronomètre précis à 0,01 s et on mesure la durée de dix oscillations, pour améliorer la
précision. Ainsi, une oscillation sera connue à 0,001 s près. On a ainsi divisé l’imprécision !
Afin d’être plus précis lors du déclenchement du chronomètre, on comptera lorsque la sphère passe par la position
d’équilibre verticale c’est-à-dire lorsque la vitesse est maximale ainsi la sphère passera peu de temps en ce point et donc
on ne pourra appuyer qu’à un instant précis !
On choisit différentes longueurs, pas trop petites pour rester dans le cadre de l’approximation du pendule simple (la
longueur de fil doit rester beaucoup plus grande que le rayon de la boule).
On répète l’opération pour avoir une demi-douzaine de valeurs. L’angle de départ peut être mesuré avec un rapporteur
pour rester identique à chaque fois, mais on peut supposer que s’il demeure petit (< 15°), il n’influe pas sur la période
comme la démontrer expérimentalement Galilée (On parle d’isochronisme des petites oscillations).
Tableau des résultats:
T (s) 0,884 1,153 1,320 1,421 1,482 1,569
𝓵 (𝑚) 0,225 0,330 0,445 0,500 0,545 0,610
On se sert du logiciel REGRESSI pour tracer le graphe T en
fonction de √𝓵. L’allure est la suivante :
On modélise par une droite linéaire : T = k.√ℓ .
L’écart relatif entre la théorie et les valeurs expérimentales est de 2% ce qui confirme la proportionnalité entre
les grandeurs axiales T et √𝓵.
Le coefficient de proportionnalité de la droite vaut k =1,991 s.m-1/2
.
Avec la formule n°3, on en déduit que le coefficient de proportionnalité k de cette droite est « 2𝜋
√𝑔 ».
Cela donne « g = 4𝜋²
𝑘² » = 9,959 m.s
-2 , valeur cohérente avec la valeur connue de g, autour de 9,8 m.s
-2.
Avec la formule n°4, on en déduit que le coefficient de proportionnalité k de cette droite est « 𝜋
√𝑔 ».
Cela donne « g = 𝜋²
𝑘² » = 2,490 m.s
-2 , valeur incohérente avec la valeur connue de g.
Conclusion: La bonne formule est : T= 𝟐. 𝝅. √𝓵
𝒈
2. D’après la question précédente, on a trouvé : g = 9,959 m.s-2.
Calculons l’incertitude relative sur g, avec la formule qui nous est données.
* Incertitude sur T : T = 0,001 s
* Incertitude sur 𝓵 : Δℓ = 0,005 m
* On se place au point de mesure où l’incertitude est la plus grande pour majorer l’incertitude (=
compter « large »), c’est-à-dire pour la plus petite période et la plus petite valeur de la longueur mesurées soit
0,225 m et 0,884 s.
=> (𝛥𝑔
𝑔)
2
= 2. (𝛥𝑇
𝑇)
2
+ (𝛥𝐿
𝐿)² => Δg = g √2. (
𝛥𝑇
𝑇)
2
+ (𝛥𝐿
𝐿)²
=> Δg = 9,959 √2. (0,001
0,884)
2
+ (0,005
0,225)² = 0,2 m.s
-2
A la vue de la valeur de l’incertitude absolue trouvée, il n’est pas raisonnable de donner g à plus de un
chiffre derrière la virgule !
On propose donc le résultat final suivant : g = (10,0 ± 0,2) m.s-2
OU 9,8 m.s-2
≤ g ≤ 10,2 m.s-2
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M.Meyniel 7/8
Pour le plaisir :
On réalise un pendule en suspendant une bille de plomb de
masse m = 50 g et de centre d’inertie G, à un fil inextensible de
longueur l accroché en O. Un système informatique permet d’obtenir
les mesures représentées sur les deux graphes ci-dessous.
1. Valeur calculée de la période du pendule de Galilée : T = 3,04 s
Détermination de la période T du pendule constitué : 6.T = 18,3 s => T = 3,05 s
Le pendule réalisé aurait pu être celui de Galilée puisqu’ils possèdent la même période.
2. Dans un premier point de vue, la masse n’intervient pas dans l’expression de la période donc la période du pendule ne
varie pas.
En prenant la définition exacte de L (entre le point d’attache O et le centre de gravité G de la masse), le centre de
gravité s’éloigne du point O au fur et à mesure que le seau se vide, autrement dit la longueur L augmente et donc la
période T aussi d’après l’expression identifiée précédemment.
z
l
O
x xm
G
m
G0
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M.Meyniel 8/8
CORRECTION – AE type ECE – LA DANSE DES PENDULES
I. Paramètres physiques et influence sur la période.
1. Le document 1 ne nous apporte aucune information.
D’après le document 2, on remarque que la masse n’influe pas sur la durée d’une période. Ce n’est donc pas un
paramètre qui influe sur la période. Il ne faut pas la citer !
Le document 3 nous renseigne sur deux paramètres influençant la durée d’une période :
- il y a tout d’abord l’intensité de la pesanteur g. En effet, en changeant de lieu, l’intensité g de la pesanteur
varie ce qui dérègle l’horloge « cette horloge retarde de deux minutes par jour ».
- pour compenser cela, Jean Richer joue sur le paramètre longueur du pendule ℓ. En diminuant cette
longueur, l’horloge est de nouveau réglée.
Enfin, le document 4 nous montre l’évolution de la période en fonction de l’abscisse angulaire. Ce qui signifie que
l’abscisse angulaire θ a une influence sur la période.
2. Dans l’expérience filmée, le paramètre qui n’est pas identique d’un pendule à l’autre est la longueur du fil.
Plus la longueur est courte, plus la période est courte : le pendule mettra moins de temps pour faire un aller-retour.
3. Les paramètres qui restent constants dans l’expérience filmée sont l’intensité de la pesanteur g, l’abscisse angulaire θ
et la masse m.
Or, nous ne possédons qu’une masse de 100 g (cf doc 5) et l’intensité de pesanteur ne varie pas dans la salle de TP.
On ne peut donc faire varier que l’abscisse angulaire θ grâce à notre matériel.
II. Protocole expérimental.
On souhaite compléter le document 4 grâce à une expérience. Il faut donc reprendre les mêmes conditions
expérimentales et réaliser les mesures manquantes :
Régler la longueur du fil (distance entre le point d’attache et le centre du solide) à ℓ = 80 cm.
Ecarter le pendule de l’angle souhaité θ = 20 °.
Lâcher le pendule et déclencher le chronomètre à un point remarquable : on choisit la verticale
(= position d’équilibre du pendule) pour plus de précision (car le pendule y a sa vitesse maximale et donc
la date est plus facilement repérable).
Compter 10 périodes et arrêter le chronomètre (le pendule doit repasser par la verticale dans le même
sens pour comptabiliser une période, le temps d’un aller-retour).
Diviser la durée mesurée par 10 pour obtenir la valeur d’une période T.
Recommencer pour les 3 autres valeurs d’angles : 15 ; 10 et 5 °.
III. Mise en œuvre du protocole expérimental proposé.
Il faut : * bien régler la longueur du pendule à 80 cm : entre le point d’attache et le centre de la boule ;
* déclencher le chronomètre quand le pendule passe par la verticale, on se place face au montage ;
* lâcher et non pas lancer le pendule ;
* bien penser à diviser par 10 la mesure trouvée.
ATTENTION : * Certains ne savent pas compter 10 périodes : on commence à « 0 » lorsqu’on déclenche le chronomètre.
* Compléter le graphe, ici, n’est pas très pratique ; l’utilisation du logiciel Regressi® peut être demandée.
IV. Exploitation des mesures et « danse des pendules ».
D’après nos résultats, on remarque que la période des oscillations devient quasiment constante pour des abscisses
angulaires inférieures à 20 °.
Si l’abscisse angulaire diminue en passant de 20 ° à 10 °, les deux pendules conservent donc leur période propre
d’oscillations et se retrouveraient dans le même plan au bout d’un même temps t2.
