BERNARD Aurore Année 2005/2006 FRAISSE Antoine Spé A, groupe 1 MOREL Paul

Professeur accompagnateur : Mr Slovinski

L’étude du nombre d’or remonte à l’antiquité. Dans ce TIPE, on verra que la définition du nombre d’or, par une ou deux écritures simples, génère de très nombreuses propriétés (aussi bien algébriques que géométriques) qui se recoupent. Par la suite, on étudiera la suite de Fibonacci, dont l’étude est liée à celle du nombre d’or et que l’on retrouve très souvent dans les propriétés et les écritures du nombre d’or.

I) Le nombre d’or

Depuis 10000 ans on étudie le nombre d’or. La plus ancienne définition, énoncée par Euclide remonte à trois siècles avant J.C. Celle-ci traitait du partage d’une droite en « extrême et moyenne raison ». Ce nombre a inspiré de nombreux mathématiciens ainsi que des philosophes et des architectes. On le désigne par la lettre grecque φ (phi) en hommage au sculpteur grec Phidias.

1) Premières définitions

a) Définition algébrique Le nombre d’or appartient à l’ensemble des nombres réels irrationnels. De plus, ce

n’est pas un nombre transcendant (au sens de Liouville). En effet, le nombre d’or est la solution positive de l’équation : x2 - x – 1 = 0. Sa valeur est :

φ =

b) Définition géométrique Géométriquement, il est possible de le définir suivant la « section d’or » ou la « divine proportion ». La « divine proportion » correspond au partage d’un segment de telle façon que le rapport de la longueur du segment x, sur la plus grande division : y, soit le nombre d’or.

x-y y

x

Ainsi de : on obtient

l’équation .

La solution de l’équation est :

2) Quelques propriétés algébriques • A partir d’une des premières définitions, on peut établir une relation pour calculer les puissances du nombre d’or. Toute puissance de ϕ peut s’écrire comme combinaison linéaire du nombre d’or. En posant : ∀nєΝ, un=un-1+un-2 avec u0=u1=1, On a : ϕn=un-1ϕ+un-2 Or la suite (un)nєΝ est la suite de Fibonacci. Ainsi, les puissances du nombre d’or utilisent aussi les nombres de Fibonacci. • Les fractions suivantes convergent vers le nombre d’or :

= 2 = 3/2 = 5/3 = 8/5 = 13/8 ...

Le nombre d’or utilise encore les nombres de Fibonacci dans sa convergence. • Comme , la représentation de φ avec une itération infinie de racines carrées s'écrit :

3) Représentations géométriques

a) Le rectangle d’or

Le tracé d'un rectangle d'or se fait très simplement à l'aide d'un compas, il suffit de pointer le milieu d'un côté d'un carré, pointer l'un des deux angles opposés, puis de rabattre l'arc de cercle sur la droite passant par le côté du carré pointé.

Considérons un rectangle dont les côtés de longueurs a et b sont dans un rapport du nombre d'or : si de ce rectangle, nous supprimons le carré de côté de longueur b, alors le rectangle restant est à nouveau un rectangle d'or, puisque ses côtés sont dans un rapport φ. En effet, d'après les premières définitions du nombre d’or vues précédemment,

en itérant cette construction, nous obtenons une suite de rectangles d'or de plus en plus petits.

b) La spirale d’or

On peut construire, à partir d'un rectangle d'or, une spirale d'or en traçant des quarts de cercle dans chaque carré. Cette spirale se rapproche d'une spirale logarithmique de centre l'intersection des deux diagonales des deux rectangles et d'équation polaire :

II) La suite de Fibonacci

1) Etude de la suite

Fibonacci définit la fameuse suite qui porte son nom, en considérant qu’il possède un couple de jeunes lapins qui se reproduit tous les mois à partir du deuxième mois. Chaque couple donne ainsi naissance à un nouveau couple qui commencera à se reproduire à partir du deuxième mois. Ce problème constitue une illustration de la suite récurrente définie ainsi : Les conditions initiales que nous avons ici considérées nous donnent : u0=1 et u1=1 On donne tout d’abord le graphique qui montre l’évolution des nombres de la suite en fonction de l’indice n :

On peut résoudre cette suite récurrente en posant son polynôme caractéristique. En appliquant les conditions initiales, on obtient :

On s’intéresse maintenant à la suite définie par . En appliquant un théorème

du point fixe on montre que la suite (vn)n converge vers le nombre d’or, φ.

Une autre propriété remarquable des nombres de la suite de Fibonacci :

, cette propriété se démontre par récurrence.

2) Etude matricielle

On peut retrouver la valeur des nombres de la suite de Fibonacci grâce à une résolution

matricielle :

Soit la matrice M = . En diagonalisant M, on obtient alors , avec

A la matrice de passage et .

De plus on peut montrer par récurrence que :

Ainsi on obtient : .

Par l’étude de quelques propriétés du nombre d’or, puis de la suite de Fibonacci nous avons pu faire ressortir le lien étroit qui les unit. Le nombre φ défini extrêmement simplement, a été étudié par de nombreux mathématiciens au cours de l’histoire et les propriétés qui l’utilisent ainsi que les représentations qui y font appel sont extrêmement diverses. On peut aussi trouver des rapports égaux au nombre d’or dans la nature (dans certains coquillages par exemple…), dans des œuvres d’art célèbres ou encore en architecture. Mais cette omniprésence de φ, dans tous ce qui nous entoure n’est-elle pas surtout provoquée par ceux qui le recherche ? Bibliographie : - livres :

* A.Arnold et I.Guessarian ; Mathématique pour l’informatique ; Masson 1994. * Claude-Jacques Willard ; Le nombre d’or ; Magnard 1987. * N.Vorobiev ; Caractères de divisibilité, suite de Fibonacci ; Mir.Moscou 1973. * Marguerite Neveux et H.E. Huntley ; Le nombre d’or : Radiographie d’un mythe, La divine proportion ; Seuil 1995. -sites Internet :

• http://trucsmaths.free.fr/nombre_d_or.htm • http://brassens.upmf-grenoble.fr/IMSS/mamass/graphecomp/Fibon/Fibon.html • http://www.animath.fr/UE/missenard/fibo.html • http://www.wikipedia.fr