0123456789

1011121314151617

0 1 2 3 4

(Un)

(Vn)

Un ; Vn

n

I) NOTATIONSUne suite est une liste de nombres.

Exemple : J'ai un nénuphar magique dont la surface double chaque jour. On décide de noter un la surface qu'il aura dans n jours. Sachant qu'aujourd'hui il mesure 5 cm2, on cherche à calculer un : Demain, c'est à dire dans jour, la surface du nénuphar sera doncAprès-demain, c'est à dire dans jours, la surface du nénuphar sera donc = 2 × 10 = 20 cm2

Le jour suivant, c'est à dire dans jours, la surface du nénuphar sera donc = 2 × 20 = 40 cm2

Aujourd'hui, c'est à dire "dans jours", la surface du nénuphar est donc = 5 cm2

 Complétons le tableau :  

.

.

n 0 1 2 3 4 5 6

un

Bilan :

Nous avons défini une suite (un) telle que :

 Remarques :

Par exemple, si n = 4, un+1 = et un + 1 =

On aurait donc aussi pu écrire :

II) SUITES ARITHMÉTIQUES & CROISSANCE LINÉAIRE1) DéfinitionUne suite arithmétique est une suite telle que

  Terme général défini par

récurrence Il suffit de connaître le

pour pouvoir déterminer tous les autres termes de la suite.Exemple :

Soit la suite arithmétique (un) de 1er terme 2 et de raison 3 : u0 = u1 = u2 = u3 =

 Remarque : Pour une suite arithmétique de raison r. un+1 − un > 0 équivaux à , la suite (un) est dite

un+1 − un < 0 équivaux à , la suite (un) est dite

Pour tout n de IN, un+1 = un + r

{

2) Calcul du terme général un en fonction de nDans l'exemple ci-dessus, si nous voulons calculer u10000, il nous faut calculer auparavant ses prédécesseurs !!! Nous allons donc chercher une formule permettant de calculer directement un à partir de n.  Soit une suite arithmétique (un) de raison r : Pour tout n de IN, un+1 = un + r On a donc : u0

u1 = u2 = u3 = u4 = un =

Terme général défini en fonction de n 

Remarque :  Pour tout n de IN, un = Terme général défini en fonction de n

Plus généralement : Pour tout n de IN, Terme général défini en fonction de n

Pour tout n de IN, un = u0 + n r

{

3) Représentation graphique : croissance linéaireExemple :

Soit la suite arithmétique (un) de 1er terme u0 = 2 et de raison r = 1

 

un =

Tous les points de la représentation graphique sont alignés sur la droite d’équation

 On parle donc de (même si la droite

descend !)Si r > 0 Si r < 0

Remarque : ..

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4

(Un)

4) Reconnaître si une suite est arithmétique ou non :

2 possibilités : Soit Exemple 1 : Soit une suite (un) telle que pour tout n de IN* : 3 un = 2 (5 + 1,5 un–1)On a alors :

donc Soit Exemple 2: Soit la suite (un) telle que pour tout n de IN : un = 1 − 2 n (n + 3) + 2 n2

On a alors : Nous reconnaissons ici

On ne peut commencer à parler de raison de la suite qu'une fois que l'on a montré

Si l'on veut montrer qu'elle n'est pas arithmétique,

Soit la suite (un) telle que pour tout n de IN, un = n2

On a :

{

III) SUITES GÉOMÉTRIQUES & CROISSANCE EXPONENTIELLE1) Définition

Terme général défini par Exemple: Soit la suite géométrique (un) de 1er terme 2 et de raison 3 :

  2) Calcul du terme général un en fonction de nSoit une suite géométrique (un) de raison q : Pour tout n de IN, un+1 = un × qOn a donc :u0

u1 = u2 = u3 = u4 = un =

Terme général défini en fonction de n

{ {

Pour tout n de IN , un+1 = un × q

Pour tout n de IN, un = u0 ×

3) Représentation graphique : croissance exponentielle

Exemple : Soit la suite géométrique (un) de 1er terme u0 = 1 et de raison q = 2On a donc pour tout n de IN :

un =

Tous les points de la représentation graphique sont situés sur la courbe d’équation y = Une telle courbe dont l'équation est de la forme y = est appelée par les

mathématiciens

On dit donc ici que

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 1 2 3 4

(Vn)

4) Reconnaître si une suite est géométrique ou non :

2 possibilités : On montre que est constantExemple 1: Soit la suite (un) telle que pour tout n de IN : 3 un+1 = 2 un

On a alors : Donc

On met en évidence que un peut s'écrire sous la forme :

Exemple 2 : Soit la suite (un) telle que pour tout n de IN : un = 5n+1 × 3On a alors : un= Donc : un =

Nous reconnaissons ici  

un+1

un

un = u0 ×

Rappels :

a m+n = a m×n = a 0 =

IV) Placements à intérêts simples ou composés

On décide de placer un capital C0 au taux annuel de i%.

Appelons Cn la valeur acquise du capital après n années de placement.

On distingue deux types de placements :

1) Placements à intérêts simples

 

Année

Somme placée

(début d'année)

Intérêts

(fin d'année)

Valeur acquise du capital

(en fin d'année) = ce qui est placé à la banque + tout ce qui m'a été reversé depuis le début

1 C0 C1 = =

2 C1 C2 = =

3 C2 C3 = =

n on a donc : Cn = =

2) Placements à intérêts composés

Année

Somme placée

(début d'année)

Intérêts

(fin

d'année)

Valeur acquise du capital

(en fin d'année)

= ce qui est placé à la banque + tout ce qui m'a été reversé depuis le début

1 C0 C1 = C0 + =

2 C1 C2 = C1 + =

3 C2 C3 = =

n Pour tout n de IN, on a donc : Cn =

C2 +

Nous reconnaissons une suite géométrique de 1er terme: et de raison :

3) Exemple Un placement dont le taux annuel est fixe (ne varie pas selon les années) a rapporté 30% en 3 ans.

Quel est ce taux annuel ?

 

Appelons Cn la valeur acquise du capital après n années de placement et t le taux annuel.

Il faut distinguer 2 cas selon le type de placement :

 

Si le placement est

On a d'une part C3 = =

et d'autre part C3 =

donc

Le taux annuel est donc

Si le placement est

On a d'une part C3 = =

et d'autre part C3 =

donc

Le taux annuel est donc

V) SYNTHESEType de croissance

Suite

un en fonction de n

un+1 en fonction de un

Allure de la représentation graphique

Type de placement

Variation

Augmentation

IV) UN EXEMPLE DE SUITE DE FIBONACCI Fils d’un marchand de Pise, commerçant avec le monde arabe, Leonardo Bigallo Fibonacci, dit aussi Léonard de Pise, fut le plus grand mathématicien du moyen âge occidental. Au début du duocento (duocento période de 1200 à 1299), il fit connaître en Europe l’arithmétique de position, celle que nous utilisons de nos jours (et que les arabes utilisaient depuis plusieurs siècles). On lui doit l’un des premiers manuels faisant état de problèmes numériques traités grâce à l’arithmétique de position de base 10. Cet ouvrage intitulé Liber Abaci (le livre de l’abaque) de 1202 contient le petit problème de basse-cour suivant : « Combien de descendants un couple de lapins aura-t-il en une année ? On place un couple de lapins dans un enclos, en sorte de connaître le nombre de paires qui en sont issues en une année. Par nature, une paire de lapins donne naissance à une autre paire de lapins chaque mois, et ce à partir de leur deuxième mois de vie. Comme la paire initiale met bas dès le premier mois, double leur nombre : les voilà deux paires au bout d’un mois. De ces deux paires, une seule, bien évidemment en vertu des hypothèses, met bas le deuxième mois : ainsi il y a trois paires au bout de deux mois. Deux d’entre elles peuvent procréer le troisième mois, et de cette façon il y aura cinq paires à la fin du troisième mois (...). » 1)Complétez le tableau ci-dessous donnant le nombre un de paires de lapins présentes dans l’enclos fin du nème mois.

mois 0 1 2 3 4 5 6

un

..

…………………………

……………………

2) Conjecturer, pour tout n de IN, la relation que l’on peut écrire entre un+2 , un+1 et un ?

3) Quel est le nombre de lapins au bout d'un an ?