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1
Identification des lois de comportement élastoplastiques par essais inhomogènes
et simulations numériques
Ali KHALFALLAH
École Nationale d’Ingénieurs de MonastirFaculté des Sciences de Tunis
Directeur de Thèse: A.DoguiCo-Encadrement : H. Bel Hadj Salah
Laboratoire de Génie Mécanique
Soutenance de Thèse de Doctorat
14 Février 2004
2
Plan de l’exposéObjectif
Position du problème
Modèles de comportement considérés
Méthode numérique de calcul direct (MEF)Procédure d’optimisationBase de données expérimentales
Méthode de calcul Indicateur de sensibilité
Modèle isotrope transverseModèle quadratique orthotrope de HillModèle non quadratique de Barlat
Algorithme d’identification des modèles
Stratégies d’identification des modèles(Résultats numériques)
Analyse de sensibilité
Conclusions & perspectives
3
d’essais expérimentaux ( non homogènes)
méthode numérique d’identification (Expérience-Calcul).
Objectif
d’étudier l’influence de la fluctuation des paramètres sur la réponse simulée
de choisir l’essai dont la réponse est la plus sensible par rapport aux paramètres identifiés.
Établir une stratégie d’identification des paramètres
des lois de comportement élastoplastiques de tôles
destinées à l’emboutissage à partir :
Une analyse de sensibilité permettant :
4
Identification des paramètres de lois comportement élastoplastiques
à partir des essais expérimentaux réalisés au laboratoire.
Lois de comportement(grandeurs locales)Contrainte-Déformation
Mesures expérimentales(grandeurs globales)Force - Déplacement
Hypothèsesd’homogénéité
des essais
DémarcheClassiqued’identification
Position du problème
Calcul par la M.E.FCalcul par la M.E.F
Essais non homogènes
5
Traction Plane est un essai inhomogène [Gaaloul,93; Genevois,92]
Les contours d’isovaleurs du champs de contraintes(b) et déformations(a) (Nos simulations)
(b)
(a)
498
485479
0.35
0.33
0.3
6
ModModèèles les de comportementde comportement
7
Modèles de comportement considérés
Lois de comportement élastoplastiques en HPP
pe εεε ++++==== Décomposition de la déformation
Fonction de charge (seuil)
)( pA εεσ −−−−==== Loi élastique
σασ
αε∂∂∂∂
∂∂∂∂========
),(gp &&Loi d’évolution plastiqueg : fonction potentiel plastique
)(),( −−−−==== σσσσσασ 0)( ≤≤≤≤ασ sf
Variable interne d’écrouissage00,0 =α=α≥α f ,f &&&&
)(σσσσσ
)(ασ s Fonction d’écrouissage
Contrainte équivalente
8
Modèle isotrope transverse de Hill
212
222
211
22211
2
1
212)(
1
1)(
1σσσσσσ
r
r
rr
r
+
+++
++−
+=
p
p
r33
22
ε
ε
&
&=
Critère de Plasticité
et
(État de contraintes planes)
Modèle quadratique orthotrope de Hill
212
2222211
211
2 2)(2)( σσσσσσ NHFHHG +++−+=
Critère de Plasticité
Modèle non quadratique de Barlat Yld96Critère de Plasticité
mσ2 =mmm
ssssss ααα 213132321 −+−+−
9
S_i(i=1,2,3) : les valeurs propres de [ ] [ ][ ]DLs σ=
−−
−−
+−
=
yyxx ss
ccc
ccc
[s]
00
03
)(
03
)(
22113221126
12611222113
σσσσ
σσσσ
s : tenseur de contraintes modifié par l’opérateur linéaire [L]pour un état de contraintes planes
Les coefficients d’anisotropie sont:αi(i=1..3)c1, c2, c3 et c6
m : coefficient de forme du critère
αi=1c1= c2, c3 et c6
10
Algorithme Algorithme dd’’identificationidentification
11
Algorithme d’identification des modèles
Début
<P0>
Données Exp.Fexp-u
E(p)≤ε
M.E.FFcal(p)
Fin
M. Optim. E(p)=||Fcal-Fexp||
non
<Poptim.>
oui
<P1>À l’itération suivante
12
Méthode de calcul direct(MEF)
Calcul direct
Ω
dr
uΓ
fΓ
Ωsur 0 div =σ
fsur 0 n. Γ=r
σσσσ
Γsur ud
Uurr
=
).()( dtUtU drr
====
)(21 Tuu
rr+∇+∇+∇+∇∇∇∇∇====ε
0),( ≤≤≤≤ασf
σασ
αε∂∂∂∂
∂∂∂∂========
),(fp &&
Loi de
comportement
(H. BEL HADJ SALAH)
13
Solution du problème
s χr
et
Champs de contrainteset déplacements:
Solution du problème élastique
01 == p,U ε
);,( );,( txwtxr
rσ
Champs de contrainteset déplacement: Solutiondu problème élastique
donnée ;0 pε====U•Discrétisation par MEF•Formulation appropriée
∑+=b
pbabeadSdUd εσσ
(H. BEL HADJ SALAH)
Sab: dépend seulement de la géométrie de la structure
et de ses propriétés élastiques
)t,x(w)x(U)t,x(u += χ
)t,x()x(sU rσσ ++++====
14
La réponse calculée : Courbe (force, déplacement)
ΩΩ
d:U
F ∫= 1
εεεεσσσσ &&
PPV
F : module de la réaction suivant la direction d correspondant au déplacement imposé Ud
15
- Méthode d’optimisation directe (pas de gradient à calculer).- Convergence vers le minimum global.- Le simplexe est bien adapté pour l’optimisation des structures
où le nombre de paramètres n’est pas élevé.- Méthode relativement lente
Propriétés principales
Procédure d’optimisation (Méthode du simplexe)
16
Base de données expérimentales
Tôle 1 : D280 acier à haute limite élastiqueTôle 2 : IF acier sans interstitielsTôle 3 : ES acier extra doux
Trois tôles anisotropes
Des essais de traction Hors-axes : )( ψψ εσ
Les coefficients de Lankford : )()(
33
22
ψεψε
ψ&
&====r
Essais de traction plane : Courbe (effort de traction, ∆e)
17
L=295 mm ; b0=50 mma0=285 mm ; c0=30 mmR0 =25 mm
∆e
Effort de traction
Eprouvette de traction plane
18
StratStratéégies gies dd’’identificationidentification
19
Stratégies d’identification des modèles de comportement
Identification à partir des coefficients d’anisotropie expérimentauxIdentification Identification àà partir des courbes dpartir des courbes d’é’écrouissage (F,u)crouissage (F,u)
Identification de la fonction d’écrouissage σs(α) Identification des coefficients du critère de plasticité Identification des coefficients de la fonction potentiel plastique
On dispose des essais expérimentaux TS a (σψ,εψ) et rψ
TP a (F,∆e)
20
Fonction d’écrouissage σs(α)=K(ε0+α)n
Coef. de SwiftTôle K[MPa]
0ε n
Tôle 1 643 0,01 0,19Tôle 2 580 0,004 0,26Tôle 3 557 0,007 0,23
Identification des courbes d’écrouissage pour les tôles 1,2 & 3
Identification des coefficients de la fonction d ’écrouissage de Swift
Tôle 1
Tôle 2
Tôle 3
21
Modèle isotrope transverse de Hill (plasticité associée)
- Identification d’une fonction d’écrouissage: σs (α)- Identification du coefficient d’anisotropie: r
Essai de traction planehomogène
• Identification homogène
• Identification inhomogène= Minimiser l’erreur entre la courbe de TP simulée (MEF)
et la courbe expérimentale (F/S0,∆∆∆∆e/e0)
∑=
−N
iexp
i
exp
i
cal
i
F
F)p(F
N 1
21=)p(E
22
1.811.451.16Tôle 3
2.151.831.41Tôle 2
1.091.250.94Tôle 1
rexprinhomrhomoComparaison (homogène & Inhomogène)
23
Modèle isotrope transverse de Hill (plasticité non associée)
- Identification d’une fonction d’écrouissage: σs (α)- Identification du coefficient d’anisotropie r du critère plastique
- Identification du coefficient d’anisotropie r’ du potentiel plastique r’= rexp
• Identification inhomogène
= Minimiser l’erreur entre la courbe de TP simulée (MEF)
et la courbe expérimentale (F/S0,∆∆∆∆e/e0)
Essai de traction planeinhomogène
• Identification homogène
Essai de traction planehomogène
24
Modèle isotrope transverse de Hill (plasticité non associée)
RRéésultats obtenussultats obtenus
Identification inhomogène Identification homogène
Ce modèle permet de décrire l’anisotropie de la loi d’évolution plastique et l’anisotropie du critère de plasticité
Tôles r_inhomog r' r_homog r'
Tôle 1 1.21 1.09 0.93 1.09
Tôle 2 1.71 2.15 1.25 2.15
Tôle 3 1.19 1.81 1.05 1.81
25
La validation du modèle ITNA ne donne pas de bons résultats
Validation du modèle isotrope transverse non associé par l’essai EB
26
Identification du modèle quadratique ortho. de Hill (plasticité associée)
- Identification d’une fonction d’écrouissage: σs (α)- Identification des coefficients d’anisotropie (F,G,H et N)
σ = σ11 a (G+H=1) trois coefficients indépendants (a1,a2, a3) à identifier
(Comment ?)
27
Stratégies d’identification du modèle de Hill associé
h Identifier * a1,a2 à partir des courbes d ’écrouissage en traction Hors-axes* a3 d ’un autre essai (courbe d ’écrouissage en TP)
h Identifier
* a1,a2 à partir des courbes d ’écrouissage en traction Hors-axes
* a3 à partir des coefficients de Lankford expérimentaux
Essais de tractionHors axes
h Identifier
a1,a2, a3 à partir des coefficients de Lankford expérimentaux
28
• Identification homogène
• Identification inhomogène
a1 et a2
a3
a3
29L’identification inhomogène prévoit mieux les coefficients d’anisotropie
Résultats Obtenus
30
Identification du modèle quadratique orthotrope de Hill non associé
- Identification d’une fonction d’écrouissage: σs (α)
- Identification des coefficients d’anisotropie du critère (a1,a2 & a3)
- Identifier des coefficients d’anisotropie du potentiel plastique (a’1, a’2 & a’3)
Comment ?
31
Stratégies d’identification du modèle de Hill non associé
h Identification des coefficients d’anisotropie du critcritèèrere
* a1,a2 à partir des courbes d ’écrouissage en traction Hors-axes* a3 d ’un autre essai (courbe d ’écrouissage en TP)
a’1, a’2, a’3
h Identification des coefficients d’anisotropie du potentielpotentiel
* a’1,a’2 a’3 à partir des coefficients d’anisotropie expérimentaux r’(ψψψψ)
32
Evolution des coefficients expérimentaux et ceux
identifiés de Lankford en fonction de l’angle ψ
Une fonction « potentiel plastique »de forme quadratique est suffisantepour d’écrire l’évolution des déformations plastiques pour les 3 tôles
33
• Identification homogène
a1 et a2
a3
• Identification inhomogène
a3
34
Résultats ObtenusTôle 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0 20 40 60 80 100ψψψψ°
r (ψ(ψ (ψ(ψ
)
r_homog
r_inhomog
r'=r_exp
Coefficients d'anisotrope du modèle de Hill non associé
Tôle 2
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
0 20 40 60 80 100ψψψψ°
r()
r_homog
r_inhomog
r '= r_exp
Tôle 3
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 20 40 60 80 100ψψψψ°
r(ψψ ψψ
)
r_homog
r_inhomog
r'=rexp
Identification des coefficientsd’anisotropie du modèle
de Hill non associée pour lestrois tôles
35
Modèle non quadratique de Barlat Yld’96(Etat de contraintes planes)
A partir des courbes d’écrouissage en traction plane
- Identification d’une fonction d’écrouissage: σs (α)
- Identification des coefficients c1,c2, c3, c6 et m
TS00
1.811.8581.0481.1530.8370.837Tôle 3
2.152.1481.0581.1890.7980.798Tôle 2
rexprmc6c3c2c1Tôles
Ce modèle tient compte de l’anisotropie la loi d’évolution des déformations plastiques.
RRéésultats obtenussultats obtenus
36
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12-∆∆∆∆e/eo
F/S
o(M
Pa
) experimental curve
BA Yld91
Tôle 3
Tôle 2
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12-∆∆∆∆e/e0
F/S
0(M
Pa
)
experimental curve
BA Yld91
Identification inversedu modèle de Barlat
Ce modèle tient comptede l ’anisotropie du critère
37
Analyse de sensibilitAnalyse de sensibilitéé
38
Analyse de sensibilité paramétrique
Analyse de sensibilité
Analyser la sensibilité de la réponse du modèle par rapport aux paramètres :
r∂
∂σσσσ
r
p
∂
∂εεεε&
Calcul de la variation de F par rapport aux paramètres
∫
∂
∂+
∂
∂=
∂
∂
Ω
Ωdr
::rUr
Fpεεεε
σσσσεεεεσσσσ &
&&
1 &
39
MMééthode de Calculthode de Calcul
∑+=b
pbabeadSdUd εσσ
r
)d(:S
r
)d(pb
b
ab
∂
∂=
∂
∂∑
εεεεσσσσ
σσσσααααεεεε
∂
∂=
fdd
p
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂=
∂
∂
σσσσαααα
σσσσαααα
εεεε f
rd
f)d(
rr
)d(p
)d(r
αααα∂
∂=A:(
r
)d(
∂
∂ σσσσ)
r∂
∂σσσσ + br∂
∂αααα
−
∑ =∂
∂
b
a
a
ab N)d(r
M σσσσ
Système d’équations linéaires à résoudre:
1
∂
∂
r
σσσσ
0
∂
∂
r
σσσσ
r
)d(
∂
∂ σσσσ= + Calcul incrémental
40
0
5000
10000
15000
20000
25000
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08
∆∆∆∆l/l0, -∆∆∆∆e/e0
dF
/dr df/dr inhom
df/dr homog
SensibilitSensibilitéé de la rde la rééponse en TP (Homo&ponse en TP (Homo& InhomoInhomo.) / .) / «« rr »»
41
-4000
-2000
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1
-de/e0
dF
/dr
df/dr0
df/dr90
df/fr45
dF/dr0(Hom)
dF/dr90(Homog)
dF/dr45(Homog)
dF/dr0
dF/dr90
dF/dr45
SensibilitSensibilitéé de la rde la rééponse en TP (Homo.&ponse en TP (Homo.& InhomoInhomo) ) «« rrψψψψψψψψ »»
42
Analyse de sensibilité des essais/paramètres
Indicateur de Sensibilité
Pour exprimer la capacité d’un essai pour mieux identifier les coefficients d’anisotropie d’un matériau par rapport àun autre essai
∑∑
22
r
F/
dr
dFS= Indicateur de sensibilité
Traction plane
Expansion Equibiaxiale
Cisaillement Simple
S(r)
43
SensibilitSensibilitéé des essais (TP,EB,CS) / audes essais (TP,EB,CS) / au coefcoef. d. d’’anisotropie anisotropie «« rr »»
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3r
ind
ica
teu
r d
e S
en
sib
ilit
é
STP
SCS
SEB
44
Conclusions & perspectives
Définition et mise en œuvre des stratégies d’identification des loisde comportement des tôles anisotropes à partir d’essais inhomogènes.
Rendre plus systématique la stratégie d’identification et l’étendreà l’optimisation des procédés de mise en forme.
Une méthode quasi-analytique de calcul de sensibilité est présentée:
analyse de sensibilité paramétrique des différents essaisaux différents paramètres de la loi de comportement
- Une meilleure prédiction des coefficients d’anisotropie
- Une utilisation des essais expérimentaux sans hypothèses supplémentaires
Développer ces stratégies d’identification pour des modèles deComportement formulés en grandes transformations
45