N° d'Ordre: ECL 89-001 Année 1989

THESE

présentée devant

L'ECOLE CENTRALE DE LYON

pour obtenir

le titre de DOCTEUR INGENIEUR

spécialité: mécanique

par M. CHAIYAPORN Somsak

IDENTIFICATION DES MODULES EQUIVALENTSD'UNE POUTRE COMPOSITE A PARTIR D'ESSAIS

VIBRATOIRES NON-MODAUX

Soutenue le 19 Janvier 1989 devant la Commission d'Examen

Jury MM. R. HENRY (Président)

J.C. DUFORET

B. DUPERRAY

L. JEZEQUEL (Directeur de Thèse)

F. SIDOROFF (Rapporteur)

A. VAUTRIN (Rapporteur)

Electronique

P. VIKTOROVITCHG. HOLLINGER

BLANCHETKRAWCZYK

M. LE HELLEYP. LEYRALO. BONNAUDJ. BOREL3.P. CHANTE

ECOLE CENTRALE DE LYON

Directeur :3. BORDETDirecteur Adjoint : R. RICHE

Directeur de l'Administration de la Recherche : P. CLECHETDirecteur des Etudes : F. SIDOROFF

LISTE DES PERSONNES HABILITEES A ENCADRER DES THESES A L'E.C.L.

(Doctorat d'Etat ou Habilitation au sens de l'Arrêté du 5 juillet 1984,modifié par l'Arrêté du 21 mars 1988)

Mathématiques-Informatique-Systèmes

B. DAVIDC.M. BRAUNER3.F. MAITRE

CONRADTHOMASMUSY

Cl. SCHMIDT-LAINE

Physicochimie des Matériaux

P. CLECHETJ. 3OSEPHP. PICHAT3.M. HERRMANNN. 3AFFREZIC

ESCHALIERA. GAGNAIRECl. MARTELET3.R. MARTINR. OLlER

TAILLAND

Métallurgie et Physique des Matériaux

P. GUIRALDENQD. TREHEUX3. BLANC-BENON3. BRUGIRARD

COQUILLETD. 3UVE (Mme)NGUYEN Du

Professeur 2e ClasseProfesseur 2e Classe - Univ.- BordeauxProfesseur 1ère ClasseMaître Assistant ENSM-St-EtienneMaître de ConférencesMaître de ConférencesChargée de Recherche au CNRS

Professeur 1ère ClasseProfesseur 2e ClasseDirecteur de Recherche au CNRSDirecteur de Recherche au CNRSChargée de Recherche au CNRSMaître de ConférencesMaître de ConférencesMaître de ConférencesMaître de ConférencesMaître de ConférencesMaître de Conférences

Professeur 1ère ClasseProfesseur 2e ClasseProfesseur - LYON IProfesseur - LYON IMaître de ConférencesIngénieur d'Etude - 2e C.Assistant Titulaire

Directeur de Recherche au CNRSDirecteur de Recherche au CNRSProfesseur 2e ClasseChargé de Recherche au CNRSMaître de ConférencesMaître AssistantProfesseur - INSA - RennesDirect. Technique Sté E.F.C.I.S.Professeur - INSA - Lyon

Mécanique des Fluides

3. MATHIEU3. BATAILLEB. GAY3.N. GENCE

3EANDELALCARAZLEBOEUF

R. MORELCl. CAMBON3.P. BERTOGLIOP. FERRANDM. LANCE

Acoustique

(Mlle) G. COMTE-BELLOTM. SUNYACHD. 3UVEPh. BLANC-BENON

Machines Thermiques

M. BRUNPh. ARQUES

Professeur 2e ClasseProfesseur 1ère Classe - I.N.P.G.Maître de ConférencesMaître de Conférences

Professeur 1ère ClasseProfesseur 1ère ClasseProfesseur 2e ClasseProfesseur - E.N.I.S.E.Maître de Conférences

Professeur 1ère ClasseProfesseur 2e ClasseDirecteur de Recherche au CNRSChargé de Recherche au CNRSChargé de Recherche au CNRSChargé de Recherche au CNRSMaître de ConférencesMaître de Conférences

Professeur Classe ExceptionnelleProfesseur Lyon IProfesseur Lyon IProfesseur Lyon IProfesseur 2e ClasseProfesseur 2e ClasseMaître de ConférencesMaître de Conférences INSAChargé de Recherche au CNRSChargé de Recherche au CÑRSChargé de Recherche au CNRSChargé de Recherche au CNRS

Professeur Classe ExceptionnelleProfesseur IUT-LyonMaître de Conférences - LYON IChargé de Recherche au CNRS

Professeur 2e ClasseProfesseur 2e Classe

Electrotechnique

Ph. AURIOLA. FOGGIAA. NICOLASG. RO3AT

Mécanique des Solides

B. CAMBOUF. SIDOROFFL. 3EZEQUELCl. SURRYL. VINCENT

Technologie des Surfaces

3.M. GEORGES3. SABOTT. MATHIAPh. KAPSA3.L. LOUBET3.L. MANSOT1M. MARTINH. MONTES

4

REMERCIEMENTS

Je tiens à exprimer ma reconnaissance envers tous

ines professeurs, qui au cours de mes études, m'ont prodigué

leurs enseignements. En particulier, Monsieur le Professeur

L. Jézéquel du Département de Mécanique des Solides et

Monsieur le Professeur F. Sidoroff Directeur des Etudes de

l'E.C.L. qui m'ont accueilli dans leur laboratoire. Qu'il me

soit permis de les remercier, tout particulièrement, pour la

confiance qu'ils m'ont accordé et pour l'initiative de ce

sujet.

J'exprime ma gratitude envers Monsieur le Professeur

R. Henry de GMD Structure à l'I.N.S.A. de Lyon, Monsieur le

Professeur A. Vautrin de Ecole Supérieure des Mines à

St.Etienne, Monsieur J.C. Duforet, ingénieur du Service

Technique de Construction Armes Navales et Monsieur

B. Duperray, ingénieur de Métravib à Ecully d'avoir bien

voulu participer à mon jury.

Enfin, j'exprime ma reconnaissance à l'ensemble du

personnel ainsi qu'à ines collègues du laboratoire de

mécanique des solides pour leur aide et leur amitié, en

particulier, Monsieur P. Chamblette.

5

RESUME

Le but de ce travail est de proposer une méthode

permettant d'identifier les caractéristiques dynamiques

(modules de Young et de Coulomb complexes) des matériaux.

Elle est basée sur l'analyse de la réponse forcées de

poutres.

Les valeurs de l'impédance au point courant d'une

poutre (homogène ou symétriquement stratifiée) libre-libre

chargée à son centre sont mesurées. Les modules complexes

équivalents sont obtenus à chaque fréquence d'excitation en

comparant les valeurs expérimentales à celles calculées à

l'aide d'un développement limité de l'impédance exacte. En

balayant en fréquence, on obtient en continue les variations

des caractéristiques du matériau.

Pour obtenir le module de Young complexe, une seule

poutre a été utilisée dans le cadre des approximations

d 'Euler-Bernouilli.

Pour obtenir le module de Coulomb complexe lorsqu'il

a une influence non négligeable comme dans le cas de poutres

composites, on utilise deux poutres de longueurs

différentes. Dans ce cas on se place dans le cadre desapproximations de Timoshenko. On utilise la poutre la plus

longue pour calculer le module de Young complexe et la plus

courte pour calculer le module de Coulomb complexe à chaque

pas de fréquence.

6

ABSTRACT

An identification method of dynamic characteristic

of material (complex Young's modulus and complex shear

modulus), based on an analysis of the response of a forced

vibrated beam, is presented.

An impedance at the mid-point of a free-free

(homogeneous or symmetric sandwich) beam is mesured. The

apparent complex moduli are obtained at each frequency of

excitation by comparing the experimental impedance with the

calculated one.

The calculated impedance is obtained by using a

development in series of the exact impedance. By verying the

frequency, the variation of the complex moduli with respect

to the frequency is obtained.

In order to identifying the complex Young's modulus,

only one Euler-Bernouilli beam is needed.

In the case of a composite beam or whenever the

secondary effects are important, the complex shear modulus

can also be identified by using two Timoshenko beams. The

first beam, the longer one, is used to determine the complex

Young's modulus. Whereas, the second beam, the shorter one,

is used to determine the complex shear modulus.

7

INTRODUCTION

Les matériaux composites sont de plus en plus

utilisés en construction mécanique. En effet, les matériaux

composites ont des rapports raideur-masse importants qui

peuvent donc réduire la masse des structures tout en leur

permettant de conserver leurs caractéristiques mécaniques.

De plus il possède souvent de bonnes propriétés

amortissantes, une meilleur durée de vie en fatigue et en

corrosion. Ainsi, les matériaux composites ont été introduit

avec succès dans les structures soumises à des excitations

dynamiques telles que les pièces de véhicule, les pièces de

machine tournante, les articles de sports, ... etc.

L'idée de diminuer les vibrations en utilisant les

matériaux composites multicouches a été introduite pour le

première fois par William Swallow [24] en 1939 dans le

"British Patent Specification". Au début des années 50, P.

Léonard [11] s'est attaché à mesurer le coefficient

d'amortissement des matériaux composites à revêtement simple

(sans plaque de contrainte) en fonction du coefficient

d'amortissement de la couche viscoélastique.

Peu après, H. Oberst [12] a proposé une méthode pour

calculer ce coefficient. Il a ainsi montré que

l'amortissement total dépend du coefficient d'amortissement

du matériau viscoélastique et aussi de son épaisseur.

En 1961, Keer et Lazan [21] ont étudié

analytiquement les caractéristiques amortissantes des

poutres sandwiches dans le cadre des approximations de

Euler-Bernouilli. En particulier ils ont estimé l'énergie

8

dissipée par cycle dans le cas de vibrations forcées. Dès

1959, E.M. Kirwin Jr. (15] a montré que l'amortissement des

matériaux dépend aussi de la fréquence. D.J. Mead et S.

Markus (14] ont étendu le travail de Keiwin en établissant

une équation du 6ème ordre pour décrire le mouvement

transversal d'une poutre stratifiée en 3 couches en

négligeant la déformation transversale. Plus récemment, R.N.

Miles et P.G. Reinhall ont continué le travail de Mead et

Markus en tenant compte de la déformation transversale [25].

Pour déterminer les caractéristiques dynamiques d'un

matériau composite à partir d'essais, on peut utiliser les

méthodes suivantes:

1. Méthodes basées sur les oscillations libres d'un

oscillateur simple ou d'un système continu. Aprés

application de la force d'excitation, on peut déduire la

raideur et le coefficient d'amortissement du matériau à

partir des caractéristiques des vibrations amorties. Ces

procédures donnent des résultats satisfaisants dans un

domaine fréquentiel restreint et pour des matériaux

présentant un amortissement peu élevé. [3],[27],[36]

Méthodes basées sur l'analyse des résonances de

structures simples mettant en évidence les caractéristiques

dynamiques à identifier. Ces procédures sont applicables à

des matériaux ayant des valeurs d'amortissement assez

élevées mais elles donnent des caractéristiques uniquement

dans les zones de résonance. Des appareils d'essais

utilisant soit une poutre encastrée excitée en flexion soit

un pendule de torsion ont été développés respectivement par

Oberst et Perez et al. [29],[20]

Vibration forcée en-dehors de la résonance, à

l'aide de viscoélasticimètres qui mesurent directement la

9

déformation et la contrainte au cours d'essais en traction

compression à fréquence variable. [1)

4. Analyse de la propagation des ondes de

compression ou de flexion le long de barreaux. Cette

démarche est surtout adaptée aux hautes fréquences. [3],[26]

Ce rapport est divisé en 7 chapitres. Les premiers

chapitres sont des rappels de la théorie de la

viscoélasticité linéaire, des modèles d'amortissement, des

matériaux composites, et de quelques méthodes

d'identification. Les domaines d'application sont limités,

soit par la fréquence (Le domaine de validité se situe selon

les méthodes au voisinage de la fréquence de résonance ou au

contraire loin de celle-ci.), soit par le modèle d'amor-

tissement choisi (les modèles d'amortissement compliqués

sont difficilement utilisables).

Notre but est de trouver une méthode d'identif i-

cation, à l'aide d'essais simples, qui soit valable pour un

domaine fréquentiel assez large. Ainsi, nous avons été

amenés à étudier dans le cadre des approximations de Euler-

Bernouilli et de Timoshenko les impédances exactes de

poutres viscoélastiques. L'introduction du module de

cisaillement étant particulièrement important dans le cas

des matériaux composites qui font apparaître des

déplacements non négligeables induits par l'effet tranchant.

La poutre libre-libre excitée en son centre a été

choisie pour réaliser le mesure de l'impédance

(force/accélération) car les conditions aux limites sont

plus réalistes et n'introduissent pas d'effet

d ' amortissement supplémentaire.

lo

A partir des valeurs de l'impédance mesurées et d'un

développement limité de l'expression analytique de

l'impédance, on peut déterminer les caractéristiques

dynamiques (modules de Young et de Coulomb complexes) d'une

poutre homogène ou composite symétriquement stratifiée.

Grace à un balayage en fréquence, on obtient encontinue les variations des caractéristiques du matériau.

Cette méthode est présentée dans le chapitre V. Une fois les

modules complexes identifiés, on peut procéder à un lissage

par moindres carrés pour déterminer un modèle

d' amortissement approprié.

Le chapitre .VI décrit la méthode expérimentale et

plus particulièrement les erreurs dû à l'impédance du

capteur et à la géométrie de la poutre en accord avec les

études de sensibilité sur les courbes de souplesse

dynamiques effectuées par W.Ziolkowski et A.Sliwinski [37].

Le chapitre VII présente un exemple d'application

qui a permi de valider les procédures qui sont présentés

dans ce mémoire.

11

I. VISCOELASTICITE

1.1 ASPECT PHENOMENOLOGIQUE

Dans la théorie classique de l'élasticité on admet

que les relations entre l'état de déformation et celui de

contrainte sont linéaires et ne dépendent pas du temps.

L'hypothèse des petits déplacements permet d'appliquer le

principe de superposition des charges et des déformations.

Il est cependant connu qu'un certain nombre de corps

n'obéissent pas aux hypothèses de la théorie de l'élasticité

linéaire et que dans les équations de comportement inter-

vient un nouveau facteur : le temps.

Les expériences faites sur différents matériaux

montrent que, lorsque ceux-ci sont sollicités et maintenus

sous charge, les déformations qui en résultent croissent

avc le temps.

Essai de f luage: En traction ou compression simple,

on impose une contrainte constante et on observe la

déformation en fonction du temps.

4a (t)

00

12

E

rsidu.11.

T t o

B C

T

Fig. 1.1.1 (a) la charge

(b) la déformation de type fluide

(C) la déformation de type solide

L'application de la contrainte s'accompagne d'une

déformation élastique instantanée OA, puis la déformation se

poursuit AB, puise se stabilise BC, soit vers une constante,

soit vers un état de f luage stationnaire à vitesse dedéformation constante. Si à instante T on relâche la

contrainte, alors la déformation se décompose en trois

parties:

- une déformation instantanée BD (recouvrance

instantanée)

- une déformation obtenue progressivement (recou-

vránce différée)

- une déformation résiduelle

cette dernière pouvant disparaître pour un matériau

de typé solide.

Essai de relaxation: Il consiste à appliquer une

déformation constante et à observer la contrainte

nécessaire.

(a) (b) (C)

¿(t) A c(t)

0

13

a (t)

t o t o t

(a)

fig. 1.1.2 (a) la déformation appliquée

(b) le comportement de type fluide

(C) le comportement de type solide

Ce type de comportement dépendent du temps est

appelé "viscoplastique" ou "viscoélastique", selon qu'il

existe ou non un seuil de contrainte en dessous du quel le

comportement peut être considéré comme élastique.

14

1.2 THEORIE DE LA VISCOELASTICITE LINEAIRE

1.2.1 OPERATEURS INTEGRAUX

Dans le cas viscoélastique linéaire (avec l'hypo-

thèse de petites perturbations), la relation entre la

contrainte et la déformation peut être représentée

formellement par la fonctionnelle linéaire de la forme

suivante:

co

a(t) = P ((t-s),(t)) (1.2.1)s=O

En utilisant le théorème de représentation de Reisz,

cette loi de comportenent pour un matériau viscoélastique

linéaire non-vieillissant s'écrit sous la forme:

co

a(t) = e(t-s)dE(s) (1.2.2)

Jo

= * dE

où * dénote la convolution de Stieltjes.

Si e(t) = O pour t < O et si E(t) et sa première

dérivée par rapport aux temps sont continues dans

l'intervalle Ot, l'expression (1.2.2) s'écrit encore:

t

f da(t) = E(0)e(t) + I e(t-s)--- E(s)ds

J dso

En posant T = t-s et en utilisant l'intégration par

partie, on peut écrire l'expression (1.2.3) sous la forme

t

f da(t) = I E(t-T) (T)dT (1.2.4)

J dTo

où E(t) est appelé la fonction de relaxation (la limite

inférieur d'intégration O peut être remplacer par - tant

que 6 (t) ---> O pour t---> -).

On peut interpréter aussi que l'expression (1.2.4)

vient du principe de superposition de Boltzìnan.'

Par le même raisonnement, la forme alternative des

lois de comportement s'écrit:

15

où J(t) est la fonction de fluage.

(1.2.3)

(1.2.5)

1. Principe de Boltzman: La superposition de plusieurs actions produitsur le matériau des effets additifs des déformations.

t

f d(t) = J(t-T)--- a(T)dT

J dTO

1.2.2 OPERATEURS DIFFERENTIELS

On peut écrire la loi de comportement sous la forme

d'une équation différentielle linéaire d'un ordre

arbitraire:

A[cr(t)] = B[e(t)] (1.2.6)

où A et B sont des opérateurs différentiels

A = E arDrr

B = E brDrr

drDr = -

dtr

et ar et br sont des constantes caractéristiques des

matériaux.

Considérons les modèles de la fig. 1.2.1, on peut

écrire:

(a) modèle de comportement élastique:

a = E

où les constantes a0 et b0 sont définies, les autres sont

égales à zéros.

17

(b) modèle de comportement visqueux:

a = c0-dt

où les constantes a0 et b1 sont définies, les autres sont

égales à zéros.

(C) modèle de Kelvin-Voigt:

dC = (E0 + c0)

dt

où les constantes a0, b0 et b1 sont définies, les autres

sont égales à zéros.

(cl) modèle de Zener:

d d(E1 + c1)a = [E0E1 + (E0 +

dt dt

où les constantes a0, a1, b0 et b1 sont définies, les autres

sont égales à zéros.

E0 co

(a) (b)

E0 E0

(c) (d)

coE1

Fig. 1.2.1

1.2.3 MODULES COMPLEXES

Dans le cas de la sollicitation harmonique station-

naire d'un matériau linéaire, la réponse prend la même

fréquence que celle de la sollicitation:

ã=aeJwt

et =

La loi de comportement est traduit par le modulecomplexe E* (w):

18

a *1- = E w) = E1(w)+jE2(w) (1.2.7)

On définit le coefficient d'amortissement r = E2/E1

= tan(ç), rp est l'angle de déphasage

et la complaisance complexe J*(w), inverse du modulecomplexe E*(w):

*,- = J tw) = J1(w) - jJ2(w)a

(1.2.8)

Dans ce cas, l'expression (1.2.6) peut prendre la

forme:

(a0 + (jw)a1 + (jw)2a2 + ... + (jw)rar + ...)a

= (b0 + (jw)b1 + (jw)2b2 + ... + (jw)rb + ...)6 (1.2.9)

19

1.2.4 MODELES DE DERIVEES FRACTIONNAIRES

La forme générale s'écrit:

En prenant la transformée de fourier, l'expression

(1.2.10) devient:

M am Na*(jw) + E a(jw) a (Jw) b06*(jw) + E b(jw) *(jw)

m=1 n=l

(1.2.14)

M am N ßna(t) + E amDm [a(t)] = b0(t) + E bnDn [e(t))

m=l n=1(1.2.10)

avec: l'opérateur dérivatif DOE définit par:

1 dt

x(T) dT0<a<lDa[x(t)] =

I a(l -a) dt J (t - T)

o(1.2.11)

Sa transformée de Laplace s'écrit:

L[DOE[x(t)]] = (S)OE L[x(t)] (1.2.12)

De même, sa transformée de Fourier s'écrit:

= (jw)OE P[x(t)] (1.2.13)

20

1.3 INTEGRATION DES MODELES AU NIVEAU STRUCTURAL

Une structure mécanique à comportement linéaire peut

être approchée par un modèle discret à N degrés de liberté

associée à des matrices de masse de raideur et

d' amortissement.

Les équations de mouvement peuvent en transformée de

Laplace être écrites sous la forme matricielle suivante:

[ + [D(s)] + [K)] ] (U(s)) = (F(s)) (1.3.1)

avec:

[M] = matrice de masse (N,N)

[K] = matrice de raideur (N,N)

[D(s)] = matrice d'amortissement (N,N)

(U(s)) = vecteur de déplacement (N,1)

(F(s)) = vecteur de force (N, 1)

1.3.1 STRUCTURE AVEC AMORTISSEMENT HYSTERETIQUE

L'amortissement structural entre dans ce cas

particulier de modèle d'amortissement.

Le système correspondant s'écrit (en régime

harmonique) sous la forme

[ [K + jH) - ()2[M) ] (U(w)) = {F(w)) (1.3.2)

21

L'équation homogène associée à ce système admet N

valeurs propres complexes (A)2 auxquelles correspondent N

vecteurs propres complexes (} satisfaisant l'équation:

[K + jH] - (A)2[M] ] {'} = 0 (1.3.3)

Les vecteurs propres {) vérifient les relations

d' orthogonalité suivante:

{n)T[M]{r} = mn&nr (1.3.4)

{)T[K + jH]{r) = (k + (1.3.5)

où mn, k et hn désignent respectivement la masse, la

rigidité et l'amortissement généralisé.

Prélnultiplions l'équation (1.3.3) par

{)T[K + jH]{) (À)2{)T[M]{) = 0 (1.3.6)

En tenant compte de (1.3.4) et (1.3.5) dans (1.3.6)

nous avons:

= (k +jh)/nì = (n)2(l + (1.3.7)

w est la pulsation propre, le coefficient d'amor-

tissement modal.

Les vecteurs propres {) sont définis à une con-

stante multiplicatrice près, nous pouvons donc les

normaliser par:

,n) =

22

L'ensemble des solutions de (1.3.3) peut être

représenté à l'aide des deux matrices suivantes:

[

"(A) ] = matrice diagonale des valeurs propres

[']=[(l)' ,{"),= matrice modale

Les relations (1.3.4) et (1.3.5) permettent alors

d' écrire:

= [I]

[I]T[K + jH][If] = [(A)2]

La solution de l'équation (1.3.2) en vibrations

forcées peut être exprimée comme une combinaison linéaire

des N vecteurs modaux

N(U) = E (1.3.10)

n=l

Les q sont appelés les coordonnées principales ou

modales.

Remplaçons (1.3.10) dans (1.3.2) et prémultiplions

par {w)T. En utilisant les relations d'orthogonalité

(1.3.8) et (1.3.9) nous obtenons pour la nième composante:

{ '1'nT F)

2(Wa) (1 + '7n)()2

(1.3.11)

23

et l'équation (1.3.10) devient:

N {W)T(F)(){U},= E

nl (w)2(1 + jt7) - ()2(1.3.12)

1.3.2 STRUCTURES AVEC AMORTISSEMENT VISQUEUX

Dans ce cas, les équations de mouvement s'écrit:

[M]{ü(t)) + [C){i(t)) + [K]{u(t)) = (f(t)) (1.3.13)

Lorsque la matrice [C] est quelconque, les équations

de mouvement ne sont pas découplées par les modes propres du

système conservatif associé (la matrice d'amortissement

modal n'est pas diagonale). Pour ramener le problème à un

problème de valeurs propres standard, on adjoint au système

(1.3.13) l'identité matricielle suivante:

[N]{û(t)) - [M]{û(t)) = 0 (1.3.14)

Nous formons un nouveau système:

([Ñ]{ii(t))) + [R]{ii(t)} = {(t))dt

avec:

(1.3.15)

[0] [M]

[M] = (2N, 2N)

[M] [C]

24

-[M] [O][K] = (2N, 2N)

[O] [K]

Le système homogène associé à (1.3.15) admet 2N

valeurs propres complexes (n = 1, 2, ..., 2N) auxquelles

correspondent à 2N vecteurs propres {n) de 2N composantes

complexes chacun et vérifiant l'équation suivante:

[n[Ñ] + [R]] () = 0 (1.3.16)

Les matrices [Ñ] et [R] étant symétriques par

construction, les propriétés d'orthogonalité permettent

d' écrire:

{n)T[Ñ](r) = n6nr

{n)T[R]{r) = n6nr

Prémultiplions l'équation (1.3.16) par

+ (n)T[R]{n) = 0 (1.3.19)

(0){(t)) =

{f(t))(2N, 1)

{û(t)){u(t)) =

{u(t))(2N, 1)

25

En tenant compte des propriétés d'orthogonalité,

nous avons:

= -jn/iimn

Si nous posons

{(t)) = {)eJwt

La solution particulière du système (1.3.15) peut

donc s'écrire sous la forme:

2N{ii(t)) = {U)eJ)t = E (}qeJWt (1.3.20)

n= 1

En remplaçant (1.3.20) dans (1.3.15) et en multi-

pliant par (}T, nous obtenons:

2N 2NjW{}TEÑ) E (n)qn + {}T[) E {n)qn

n=1 n=l

= {n}T{) (1.3.21)

D'après (1.3.17) et (1.3.18), nous avons pour la

nième composante de (1.3.21):

inqn + = {n}T{P)

Nous pouvons écrire:

{n)T{)q-

(1.3.22)

(1.3.23)

26

Remplaçons qn par sa valeur dans (1.3.20) pour

obtenir:

2N (n)T{P){n){U)= E (1.3.24)

n=l mn(jw - An)

Pour un système résonant, les pôles 5 sont conjugués

par paire, les vecteurs propres sont aussi conjugués deux à

deux.

27

1.3.3 STRUCTURES AVEC MODELES DE DERIVEES FRACTIONNAIRES

On peut écrire les équations de mouvement (en

transformée de Laplace) sous la forme:

[s2[M] + [K(s)]] {U(s)} = {F(s)) (1.3.25)

avec: la matrice de raideur [K(s)] en fonction du paramètre

de Laplace s.

Pour découpler ces équations, on utilise la même

technique que pour l'amortissement visqueux. C'est-à-dire

que l'on cherche à écrire les équations de mouvement sous la

forme de deux matrices carrées, réelles et symétriques afin

d'obtenir les conditions d'orthogonalité assurant le

découplage des équations.

Considérons le cas de la structure composée de

matériaux élastiques et viscoélastiques:

En transformée de Laplace, on peut écrire la matrice

de raidéur des matériaux viscoélastiques, en utilisant le

principe de la correspondance élastique-viscoélastique, sous

la forme:

[KV] = A*[K] + ¡.*[Kfl] (1.3.26)

Dans l'expression (1.3.26), les constantes de Lamé

et p sont substituées par les modules viscoélastiques A*(s)

et p*()

Si l'on considère seulement le cisaillement dans les

matériaux viscoélastiques, l'expression (1.3.26) se reduit

a:

[KV] = ,*[KII] (1.3.27)

En utilisant le modèle de derivées fractionnaires à

5 paramètres pour le module j, (1.3.27) s'écrit sous la

forme:

Ainsi, on peut construire la matrice [K(s)] du

problème à l'aide des deux matrices de raideurs élastique et

viscoélastique. En multipliant par le dénominateur (l+bsß),

les équations de mouvement s'écrivent:

[s(2ß)b[M] + s2[M] + saE1[K1] + sßb[K2] + [K3]] (U(s))

= (1 + bsß)(F(s)) (1.3.29)

En suite, on cherche le plus petit dénominateur

commun d des fractions a et ß. L'équation (1.3.29) s'écrit

encore:

I

E [A]{sh/dU(s)) = (1 + bsß) (F(s)) (1.3.30)i=O

avec: I = d(2 + ß)

28

E0 + E1sa[KV] - [K"]

i + bsß(1.3.28)

Pour obtenir les conditions d'orthogonalité et dé-

coupler les équations de mouvement, on pose les équations de

mouvement sous la forme suivante:

[sh/d[Ñ] + [R]] (U(s)) = (i(s)) (1.3.31)

[K] =

(U(s)) =

29

[O] [O] . [O] -[A1] [O]

[O] [O] . -[A1] -[A....1] [O]

[O] [O] : -[A1_1] -[Ai_2] [O]

-[A1] -[Ai_i] . -[A3] -[A2] [O]

[O] [O] . [O] [O] [A0]

s(i-1)/d{u(s))

s(i-2)/d{u(s))

1'du($)}

1{U(s))

avec:

[M] =

[O]

[O]

[O]

[Ai]

[O] . [O]

[O] ; [Ai]

[Ai] . [A3]

[Ai_1] : [A2]

[A1]

[Ai_1]

[A2]

[A1]

(0)

(0)(F(s)) =

(0)

(1+bsß) (F(s))

Les matrices [Ñ] et [R] sont réelles, carrées et

symétriques.

Le système homogène associé à (1.3.31) s'écrit:

+ [R](rt) = 0 (1.3.32)

Les propriétés d'orthogonalité permettent d'écrire:

30

avec:

Procédons la même façon que dans le cas d'amortisse-

ment visqueux, on obtient:

N ()T(){){U) = E

n=]. iii(sh/d -

N = l'ordre des matrices [Ñ] et [R).

(1.3.35)

(n)T[Ñ]{r) = n6nr (1.3.33)

(n)T[R]{r) = n6nr (1.3.34)

Th£

31

II.THEORIE DES POUTRES

11.1 LA MODELISATION DES POUTRE HOMOGENES EN FLEXION

On va utiliser le Principe de Hamilton pour écrire.

l'équation du mouvement transversal harmonique d'une poutre

homogène dans la fig. 11.1.1

Fig. 11.1.1

32

Le champ de déplacement choisi est:

U1 = _x3Ø(x1)eJct

U2=o

U3 = W(x1)eJct

On construit la fonctionnelle de Hamilton et on

choisit les fonctions inconnues Ø et W qui rendent

stationnaire cette fonctionnelle.

Energie cinétique:

soit:

liT = - pw2[(U1)2 +(U2)2 + (U3)2]dv

2JV

ilr rT = - I I

{(x3)22 + W2)dS]dx12J J

o s

11 f

= - ,2 + C2t2]dx12 J

o

avec:

C1 I' pdS pbh =pA

s

C2 = f p(x3)2dS

s

bh3= p-

12= p'

(11.1.1)

Energie de déformation:

'rV = - I (a1111 + 02222 + a33e33 + 2a1212

2JV

+ 2a13e13 + 2a23e23)dv

On se place dans le cas de matériaux élastiques iso-

tropes. La loi de comportement s'écrit:

ajj = kk6ij + 2Ljj

On suppose que a22 et a33 peuvent être négligées

devant a11 dans la loi de comportement. Avec ces hypothèses

et le champ de déplacements choisi, l'énergie de déformation

s 'écrit:

irV = - I (a1111 + 2a13e13)dv

2JV

33

1ir r= - I [ I {E(x3)2(q')2 + kG(-q + W')2)dS]dx12J J

o s

iif= - I [C3(Ø') + C4(- + W')2]dx12J

o

avec:

C3 = I (x3)2EdS

s

bh3=E-

12=EI

(11.1.2)

34

C4= GdS =Gbh =GAJ

s

E = module de Young

G = module de Coulomb

Fonctionnelle de Hamilton:

HT-V

1i f= -I

[C1W2 +2 J

o

i'r- -I [C(q') + C4(- + W')2]dx1 (11.1.3)

2Jo

Les fonctions et W qui permettent de répresenter

les modes de flexion doivent être telles que:

C2w2 + C3" + C4(- + W') = 0 (11.1.4)

= :'&I = o0 1

C1w2W + C4(-,' + W") = 0 (11.1.5)

(-Ø + W')SWI = (- 0' + W')ÔWI = O

o i

8Ho

aq

et

3H=0

3W

35

On obtient ainsi un système de deux équations à deux

inconnus Ø et W avec les conditions aux limites associées.

La modélisation d'Euler-Bernouilli:

Les effects secondaires (les effets dûs au cisaille-

ment et les effets dûs à l'inertie de rotation) sont

négligés. En découplant les deux équations (11.1.4) et

(11.1.5), on obtient l'équation de mouvement:

pA

pI

EI

kGA

d4 c1w - w

dx4 C3

avec:

C1 = pA

C3 = EI

La modélisation de Timoshenko:

Les effets secondaires sont pris en compte, en

combinant les équations (11.1.4) et (11.1.5), l'équation de

mouvement s 'écrit:

d4 C1 C2d2 CíC2w+2- +--- w+w2 w2-1w=odx4 (c4 C3Jdx2 c3(c4 J

= 0 (11.1.6)

(II. 1.7)

1. La prise en compte de la répartition de la contrainte de cisaillementsur la section droite nécessite l'introduction du coefficient ducisaillement k.

avec:

C1 =

C2 =

C3 =

C4 =

36

11.2 IMPEDANCE AU POINT COURANT D'UNE POUTRE LIBRE-LIBRE

La fig. 11.2.1 représente une poutre libre-libre

excité par la force sinusoïdale 'o = F0ei)t à la distance ja

dtune extrémité.

gia

a

I-F0

Fig. 11.2.1

L'impédance au point courant est défini par

Force-

accélération

d ! où:

F0z -

/.L

w2W0

(11.2.1)

où: le déplacement transversal à ltorigine Ño = W0eWt

37

11.2.1 IMPEDMCE DE LA POUTRE D'EULER-BER1OUILLI

Reprenons l'équation de déplacement transversal

d'une poutre Euler-Bernouilli:

4.- Ñ (*) wax4

d' où:

On peut écrire (11.2.2) sous la forme:

d4- W(x) - (n ) W(x) = Odx4

La solution de (11.2.3) est alors

W(x) = ( + + c*e_n )C + d*enx)

(11.2.2)

(11.2.3)

(11.2.4)

A partir de (11.2.4), on peut écrire aussi la

solution Ñ sous la forme:

Ñ = (p*cosh(fl*x) + Q*cos(n*x) + R*sinh(n*x)

+ S*sin(n*x))ejwt (II. 2 . 5)

OÙP, Q* R*, et S comme a*, b*, c* et d* peuvent

être déterminer par les conditions aux limites.

(n ) -E*r2

38

Par la suite, on notera Ñ par l'expression

Ñ = (p*ch + Q*c + R*Sh. + S*S.)n*x eJwt (11.2.6)

On peut écrire aussi que:

Ñ = fl*(p*sh Q*5 + R*ch. + S*c.) *eJt (11.2.7)

ax nx

- (* 2 * * * * jwt(P ch Q c + R sh S s ) * e (11.2.8)

3x2 nx

- Ñ (* 3 * * * * jwt(P sh + Q s + R ch S c ) * e (11.2.9)

ax3 flX

Pour determiner les constantes p, Q*, R* et S, onutilise les quatres conditions aux limites.

Considérons la partie droite de 'la poutre dans la

f ig.II.2.l ,en prenant le point d'application de la charge

pour origine des x.

La première condition aux limites correspond à la

nullité du moment Ñ à l'extrémité:

a2

Ñ = _E*I(_ Ñ) = 0 (11.2.10)ax2

x=/La

On écrit, par ailleurs, que l'effort tranchant à

l'extrémité est nul.

39

a3= _E*I(_ Ñ) = 0 (11.2.11)

3x3x=/.La

La somme des efforts tranchants de la partie droite

FOD et de la partie gauche FOG est égale à la force

appliquée 'o

FOD + FOG = (11.2.12)

Enfin, au point de la charge appliquée, le déplace-

ment est égale à Ño.

En utilisant ces quatre conditions aux limites,

(11.2.7), (11.2.8) et (11.2.9), on obtient alors:

(p*ch - Q*c + R*sh. - S*S.)jn*a = O

(p*sh + Q*s + R*ch. - S*c.)n*a = O

_E*I(R* - S*) = F0

(p* + Q*) = WO

On peut donc trouver les quatre constantes complexesp* Q* R* et S sous les formes:

LDP = W0(sh.s. + ch.c. - l)n*a + çoQ(sh.c. - ch.s.),n*a

(11.2. 17)

DQ* = W0(sh.s. + ch.c. + l)pn*a - OD(sh.c. - ch.s.),n*a

(11.2.18)

DR* = -W0(sh.c. + ch.s.),1n*a + oD(sh.s. - ch.c. -

(11.2.19)

DS* = W0(sh.c. + ch.s.),n*a + OD(' + ch.c. + l)n*a

(11.2.20)

Le detérminant est donc D = 2(sh)jLn*a

-FODOD =

40

(indice D dénote la partie droite de la poutre)

De même, on peut trouver les quatre constantes com-

plexes A*, B*, C et D* de la partie gauche de la poutre

sous les formes:

GA* = W0(sh.s. + ch.c. - ])n*a + çoQG(sh.c. - ch.s.)n*a

(11.2.21)

= W0(sh.s. - ch.c. + )n*a - oG(5h ch.s.)n*a

(11.2.22)

GC* = -W0(sh.c. + ch.s.)n*a + çoQ(sh.s. - ch.c. -

(11.2.23)

GS = -W0(sh.c. + Ch.s.)n*a - OG( + ch.c. + l)n*a

(11.2.24)

d'où = 2(sh.s.)n*a

-FOGPOG * *E I(n )3

41

Pour déterminer w0, on impose la continuité à l'ori-

gine de la pente (FOG = - ROD) et du moment fléchissant (ÑOD

= MOG)

OG = OD avec l'expression (11.2.7) nois donne:

+ s*) = (C* + D*)

d'où:

[OD(sh.s.)(ch.c. + 1) + 4OG(sh.s.)(ch.c. + l)]n*a

= -W0 [(sh.s.)(sh.c. + ch.s.) + (sh.s.)(sh.c. + Ch.5.)]n*a

(11.2.25)

= MOD avec l'expression (11.2.8) nous donne:

(A* - B*) (p* Q*)

d'où:

[OD(sh.s.)(sh.c. - ch.s.) -OG(sh.s.)(sh.c. - ch.s.)]n*a

= -W0 [(sh.s.)(ch.c. - l) - (sh.s.)2(Ch.c. - l)]n*a

(11.2.26)

On resoud (11.2.25) et (11.2.26) pour obtenir

l'expression de W0 sous la forme:

-2WONE= P0D + "0G =

DE

-FOD FOG= - (11.2.27)

E*I(n*a)3 E*I(n*a)3 E*I(n*a)3

d' où:

NE = { (sh.c.)(sh.c.) + (ch.c.)(ch.c.)

- (sh.s.)(sh.s.)1 - (ch.s.)(ch.s.) ]n*aet

DE = [ (ch.c. + 1)(sh.c. - ch.s.)

+ (ch.c. + l)(sh.C. - ch.s.) Jn*a

En introduisant 1'inpédance nor1Ta1isée Z/.L/Mb (où: Mbest la masse de la poutre), l'expression d'impédance(11.2.1) s'écrit:

Z,.L F0

Mb W2MbWO

Pour obtenir l'impédance au centre de la poutreZO/Mb, on prend p. égale à l'unité. Il vient:

42

-F0

2NE

(1 +bL)(n*a)DE(11.2.28)

43

Les fig.II.2.2 (a) et 11.2.2 (b) montrent les

variations du module de l'impédance normalisée IZO/MbI et la

phase en fonction du coefficient d'amortissement dans le

cadre de l'approximation d'Euler.

Z0 i sh.c. + ch.s.

Mb (n*a) ch.c. + in*a

(11.2.29)

Fig. 11.2.2 (a)

Impédance d'unepoutre d'Euler

E*E(1+ Jri)

Fig, 11.2.2 (b)I.

Phase de L impe-dance

44

-50 :,

o

o) I-100-

iJ.

-150

IMPEDANCE .25

o- .1

I

o i 3 4 5 b 7na

où:

déformation exacte

déformation supposée

section droite

45

11.2.2 IMPEDANCE DE LA POUTRE DE TIMOSHENKO

Reprenons l'équation de déplacement transversal

d'une poutre de Timoshenko:

44ii- Ñ + (n ) r i-+ik-- Ñ + (*) ) r Ñ = o

*1E

4{(fl*

ax4 kG Jax2 kG J

(11.2.30)

(n*)4 = -E*r2

En introduisant les paramètres adiinensionnels a, ß

et À , (11.2.30) s'écrit:

4 a *4- W + (n*a) (a + ß)- W + (nia) [(n a) aß - l]W = O8À2

(11.2.31)

Fig. 11.2.4

ligne moyenne

d 'où:

i rEa-

k a2G*

r2

a2

X-a

Lt équation caractéristique devient:

X4 + (n*a)4(a+ß)x2 + (n*a)4[(n*a)4aßl] = o

(11.2.32)

Son discriTninant t=[(n*a)4(a+ß)J2_4(n*a)4[(n*a)4aß_1]

est positif.

Les racines (X1)2 et (X2)2 sont réelles.

Leur somme (X1)2+(X2)2 = _(n*a)4(a+ß) est négative.

Leur produit (X1)2(X2)2 = (n*a)4[(n*a)4aß_1] change

de signe au passage de la valeur (wf)2 = E*/paa2.

Il y a deux familles de solutions possibles:

Première famille: ()2<()2

On a alors: (X1)2 > O , (X2)2 < O

46

47

On pose: (e*a)2 = (X1)2 > O (O*a)2 = -(X2)2 > O

La solution de l'équation différentielle est alors:

Ñ = [p*sin(o*a)À+Q*cos(e*a))+R*sinh(e*a)À+S*cosh(e*a)A] eJwt

(11.2.33)

avec:

2(O*a)2 = (n*a)4(a + /3) + [(n*a)B(a -/3)2 + 4(n*a)4]½

(11.2.34)

2(*a)2 = _(fl*a)4(a+ /3)

+ [(n*a)B(a ¡3)2 + 4(n*a)4]½

(11.2.35)

Les constantes P*,Q*,R*, et S dépendent des

conditions aux limites.

Deuxième famille: (w)2 >

On a alors: (X1)2 < O , (X2)2 < O

On pose: (e*a)2 = -(X1)2 (9*)2 = -(X2)2

La solution de l'équation différentielle est alors:

Ñ = [p*5jfl(9*a)À+Q*co5(9*a)À+R*sjfl(e*a)À+S*co5(e*a))] eJwt

(11.2.36)

avec:

2(O*a)2 = (n*a)4(a+ /3)

- [(fl*a)B(a -/3)2 + 4(n*a)4]½

(11.2.37)

2(*a)2 = (n*a)4(a+ f3) + [(n*a)B(a

-/3)2 + 4(n*a)4]½

(11.2.38)

48

Les constantes P*,Q*,R*, et S' dépendent des

conditions aux limites.

La solution du déplacement transversal de la

deuxième famille est valable dans le domaine fréquentiel

trop important. Ainsi, la solution de la premiière famille

(11.2.33) seule est utilisée pour le' développement de

l'expression de l'impédance.

On peut écrire alors:

B

- Ñ = ((o*a)[p*c(o*a)À_Q*s(9*a)À]

BA

+ (e*a)[R*ch.(*a)A+S*sh.(*a)A1) eJ (11.2.39)

- Ñ = { (O*a)2[_P*s.(e*a)A_Q*c.(O*a)A]BA2

+ (e*a)2[R*sh.(e*a)A+S*ch.(e*a)A]) eJ' (11.2.40)

-w

ax3= {

(9*a)3[p*c(e*a)A+Q*s(o*a)A]

(b)

+ (*a)3[R*ch.(e*a)A+S*sh.(E*a)A]

la rotation totale:

) eJ' (11.2.41)

1BÑA) = - -

a BA(11.2.42)

49

(c) la rotation (À) due au moment fléchissant:

a3 a

pa[l - (n*a)4a13) = a Ñ + [a2(n*a)4 + 1) Ñ8A

d'où:

* * n*A - x (u a){R*ch.(*a)A + s*sh.(e*a)À]

* *¿L = y (

a)[P*c.(8*a))L - Q*s(o*a)À]

= [(n*a)4a + (E*a)2]

* = [(n*a)4a - (G*a)2]

(d) le moment flèchissant, Ñ(A):

E*I I a2Ñ(x) -

a2(8À2

+ a(n*a)4Ñ

- *[p*5 (9*a)À + Q*c. (O*a)À]

a2

* * * * * I Jwt+ x [R sh.(e a)\ + S ch.( a)À] e (11.2.44)

(A* ç2*) jte

a(O*a) (*a)(11.2.43)

(e) l'effort tranchant:

E*I(n*a)4 I

a3(e*a) (O*a)f(*a)[P*c (9*a)A Q* (O*a)À]-

Le moment flechissant à l'extrémité = O

E*I IÑ) -. . *[P*s(e*a)JJ. + Q*c.(o*a)1Lt]a2

I jct+ x*CR*sh.(e*a)Ii + S*ch.(*a)jL] e = O

(11.2.46)

L'effort tranchant à l'extrémité = O

E*I (n*a)

a3(o*a)(e*a) {

_(*a) [P*c (O*a) - Q*s(o*a)]=

50

i jwt

droite, POD' et de la partie gauche, 'OG' est égale à la

force appliquée, o

3.

+

La

(e*a)[R*ch.(e*a),.L + S*sh.(e*a)/.LJ

somme de l'effort tranchant

e

de

= O

(11.2.47)

la partie

jwt+ (O*a)[R*ch.(e*a)À + S*sh.(*a)À] e (11.2.45)

Pour déterminer les constantes p, Q* R* et S

(ou A*,.B*, C et D*), on prend les mêmes quatre conditions

aux limites que celles de la poutre de Euler-Bernouilli:

rPOD =E*I (n*a)

51

F0 = FOG+FOD

ÀO

E*I(n*a)4

{

jwtFOD - (

a3(g*a) (E*a)- + (O*a)R*

Je (11.2.48)

FODa3 (O*a) (*a)

= - (e*a)P* + (0*a)R* (11.2.49)

4. Le déplacement est égale à Ño au point de la

charge appliquée

Ñ Ñ0 (Q* +

w0 Q* + (11.2.50)

En utilisant les quatre conditions aux limites, on

peut écrire:

p*,*5 (e*aI.L) + Q*j1*c. (O*a/i)

+ R*x*sh.(e*a,1) + S*x*ch.(*a/.L) = 0 (11.2.51).

p*(*a)c (9*ali) + Q*(e*a)s. (o*aI.L)

+ R*(O*a)ch.(*abL) + S*(9*a)sh.(*a/.L) = 0 (11.2.52)

_p*(e*a) + R*(8*a) = P0D (11.2.53)

Q* + = W0 (11.2.54)

52

On obtient les quatre constantes complexes sous laformes:

= OD(*(O*a)c(o*al.L)ch(e*aI.)+ x*[_(O*a)_(e*a)s.(O*a1L)sh.(*aP)])

+ wo {*(e*a)2sh(e*a!)c(O*aM)- x*(9*a)(e*a)s.(O*aIL)ch.(e*abL)) (11.2.55)

DQ* = OD{_v*(O*a)s(9*a/2)ch(*a/.L)- x*(e*a)c.(o*aM)sh.(*aM))

+ W0 {_v*(O*a52s(O*aJ)sh(e*ap)+ x*(8*a)(*a)[l - c.(9*aIt)ch.(*aJ.L)]) (11.2.56)

DR* = v'OD {*c(e*a) - (O*a)s.(O*aj)sh.(*a/)]- x*(e*a)c. (9*)h (*aI.L))

+ W0- x*(8*a)2s. (O*a/t)ch. (e*a,i)) (11.2.57)

DS* = Ç°OD+ x*(*a)c. (O*aj)sh. (e*aI)

+ W0 (*(O*a)(*a)[l - c.(O*a/2)ch.(*a,t)]+ x*(*a)2s.(O*a,.L)sh.(e*a,)) (11.2.58)

d' où:

+ x*)(O*a)(*a)[l - c.(O*al.h)ch.(e*a,L)]+ s.(O*a,L)sh.(e*aL)[_v*(O*a)2 + X*(e*a)2] (11.2.59)

De même, pour la partie gauche de la poutre, on peuttrouver les constantes complexes A*, B*, C et D* enremplaçant D' POD'

p*1 Q* R* et S dans les équations

53

*(11.2.55) - (11.2.59) par G' OG' A B*, C et D* et en

prenant i par 1.

Considérons la continuité à L'origine (À = O):

La continuité de la rotation

tPOG = - POD (11.2.60)

La continuité du moment flechissant

MOG = - MOD (11.2.61)

d'après (11.2.43) et (11.2.44), on a:

et

°OD =

x*(O*a)R* - v*(*a)P*jwte

a(O*a) (*a)

E*Ijwt**

Q + S )ea2

Donc, (11.2.60) et (11.2.61) s'écrivent:

*, * *- X 9 a,R +

** **XS +vQ = ** **XD +vB

* *)C* * * *= x (e a - ii ( ajA

(11.2.62)

(11.2. 63)

En remplaçant les constantes complexes P', Q*1 R*,

S et A*, B*, C*, D* dans les équations (11.2.62) et

(11.2.63), on peut établir deux équations à 3 inconnus q,

OD et W0:

et MOD =

54

OGR + PODS = - W0T

et OGU + PODV = WOW

d' où:

R = [*(*a)A -

S = - x*(O*a)G]/D

T = - + [*(*a)F - x*(9*a)H]/D

U = [*1 + X*K]/G

V = - X*P]/D

W = [_z,*J - X*L)/tG + [z,*N + x*QJ/LD

A = 'OG (*(e*a)c(o*a)ch(e*a)

+

B = W0 (*(0*a)2c(0*a)sh(*a)

- x*(9*a) (*a)s (g*a)ch (*a))

C = ç°OG{v*N*a)_(0*a)s(0*a)sh(e*a)]

- x*(*a)c.(O*a)ch.(*a))

D = W0 {*(o*a)(e*a)c(e*a)sh(e*a)

- x*(e*a)2s. (O*a)ch (e*a)

E = Ç°OD (*(e*a)c(9*a1i)ch(e*a)

+

(11.2.64)

(11.2.65)

55

F = W0 {*(O*a)2c(9*aI)sh(*a1)V - x*(9*a) (*a)s (9*a/.h)ch (*aI))

G = (v*[(*a)(9*a)s(9*aIi)sh(E*aI.L)]- x*(*a)c. (O*aI.)ch (*aI.L))

H = W0 fv*(9*a)(*a)c(O*aI)sh(*a,)-

I = Ç°OG {_v*(0*a)s(O*a)ch(*a)- x*(*a)c. (O*a)sh. (e*a)

J = W0 {_v*(O*a)2s(O*a)sh(e*a)+ x*(O*a) (*a)[l - C. (O*a)ch (*a)])

K = 'POG (*(e*a)s(o*a)Ch(e*a)+ x*(*a)c. (O*a)sh. (e*a))

L = W0 {*(O*a)(*a)[l - C. (O*a)ch. (*a)]+ x*(*a)2s. (O*a)sh (e*a))

M = POD {L,*(o*a)s(o*a/)Ch(e*a,.L)- x*(*a)c. (8*aI.L)sh (e*a1))

N = W0 {_,*(O*a)2s(O*aI2)sh(*a/)+ x*(O*a)(e*a)[l - C.

= POD {*(9*a)s(O*a!)ch(*a/2)+ x*(*a)c.(e*al.L)sh.(e*a)}

Q = W0 (*(o*a)(e*a)[l - C. (9*j) (e*ai.)]+ x*(e*a)2s. (O*a/.L)sh. (*a,))

En résolvant (11.2.64) et (11.2.65) simultanément,

on obtient:

-

W0(TtJ + WR)q'oD -

SU-VR

et W0(TV + WS)P0G -

SU-VR

Comme o =OG + POD' on peut déduire que:

F0 (a) (O*a) (*a)

E*I (n*a)

wo= (TV+WS-TtJ--WR)SU-VR

56

D'après la définition, l'impédance normalisée est

donnée par:

Z F0

Mb W2MbWO(11.2.69)

p0E*I(n*a)43.

a3(O*a) (e*a) W2MbWO

Finalement, on peut déduire que:

Z [T(V -U) + W(S -R)]

Mb (1 + j) (O*a) (e*a) (SU -VR)

(11.2.66)

(11.2.67)

(11.2.68)

(11.2.70)

En prenant j = 1, l'expression (11.2.70) nous donne

57

l'impédance au centre de la poutre

Z0 [(9*)2 + (*a)2] NT(11.2.71)

Mb DT

d'où:

NT = {*(e*a)c(e*a)sh(e*a) - x*(e*a)s.(O*a)ch.(e*a)]

* * *'e'a)

* * * '2DT = ( 2v x (O a1 , - y x [6 a1 _(e*a)2]s (O*a)sh. (e*a)

* 2[(*)2 + (x ](O*a) (e*a)c. (O*a)ch (*a)

Les f ig.(II.2.4) et (11.2.5) montrent les variations

de l'impédance normalisée IZO/MbI pour différentes valeurs

du E*/G* et du coefficient d'amortissement.

Les fig.(II.2.6) et (11.2.7), les variations de

cette même IZO/MbI en fonction de E*/G* et du rapport r/a

(rayon de gyration/demi-longeur).

Les fig. (11.2.8) et (11.2.9) comparent l'impédance

entre les poutres d'Euler et les poutres de Timoshenko (avec

des rapports de r/a et de E*/G* différents).

La valeur du coefficient de cisaillement k pour la

poutre à section rectangulaire est prise égale à 5/6, comme

nous l'étudirons plus en détail par la suite (paragraphe

111.3)

Fig. 11.2.4

Impédance d'unepoutre de Timo-shenko:

E*.224E10(1+JflE)N/m2

G*. 448E0( i +i i)M/m2

E*/G*5

masse densité.5E4 Kg/m3

r/a=. 02a.i0 m.

Fig. 11.2.5

Impédance d'unepoutre de Timo-shenko:

E*.224El0(l+it?)N/m2

G*. 50E08(i+i77E)M/m2

E*/G*40

masse densite'.5E4 Kg/m3

r/a.02.a.l0 m.

58

1E+01 --

oM 1E+00Q)-

- lE-01 -

lE-02-

Fig. II.2.

Impédance d'unepoutre de Timo-shenko:

E*.224E10(1+.1i)N/m2

G*=.448EOq(1+.1J)M/m2

E*/G*5

masse dens ¡te'.5E4 K/m3

Fig. 11.2.7

Impe'dance d'unepoutre de Timo-shenko:

E*.224E10(1+.1i)M/m2

G*.5OEO8(1+. i J)M/m2

E*/G*4O

masse densite'=.5E4 Kg/m3

59

1E+O1 -

EoM 1E+OO-a)-o

- lE-01 -

lE-02-

Fig. 11.2.8

Impédance exacte:comparaison entrela poutre d'Euleret celle de Timo-shenko pour dif-f4rentes valeursde E*/G*

Fig, II.2.

Impédance exacte:comparaison entrela poutre d'Euleret celle de Timo-shenko pour dif-frentes valeursde r/a

60

1E+O1 -

oNl 1E+OO-Q)

- lE-01 -

lE-02-

61

III. MATERIAUX COMPOSITES

On peut distinguer trois classes de composite.

Le composite fibreux: Un matériau (ou unestructure) composite est constitué de deux ou plusieursconstituants distinct. L'un d'entre eux constitue laItmatricelt auquel on adjoint trenforttt qui consolide lematériau. Les renforcements peuvent être obtenus à partir defibres longues ou courtes, unidirectionnelles ou possèdentplusieurs directions.

Le composite multicouches (stratifié): Cesmatériaux particulièrement utilisés pour amortir lesvibrations sont constitués de plaques superposées. Certainescorrespondent à l'élément de base (matériau élastique) etles autres à des couches amortissantes (matériauviscoélastique). Dans le cas de trois plaques ou plus, lesmatériaux viscoélastiques peuvent être insèrés entre deuxsemelles de matériaux élastiques.

Le composite granulaire: Le renforcement estconstitué par des particules ou granules.

111.2. LA MODELISATION DE TIMOSHENKO DES POUTRES COMPOSITES

MULTICOUCHES (STRATIFIEES)

La théorie présentée ici est une extension auxpoutres symétriquement stratifiées de la modélisation de

X2

62

Timoshenko originellement construite pour les poutres

homogènes.

X3

h

Fig. 111.1.1 poutre symétriquement stratifiée

caractéristiques mécaniques des matériaux:

EA,B,...,N = module de Young des matériaux A, B, ..., N

AA B N = constante de Lamé

= constante de Lamé (appelé également le

module de cisaillement)

d2 N

C$

dE/2 B

$

A

B

C

N

63

PA,B,...,N = masse volumique

PA,B,...,N = proportion des matériaux

hypothèse:

La répartition de contrainte linéaire.

Les matériaux A, B, ..., N sont homogènes, élastiques.

Les joints de colle sont supposés parfaits.

La flèche W et la rotation sont supposés être les même

pour tout le matériau.

Le champ de déplacement choisit est:

U1 = _x3(x1)eJwt

U2 = O

U3 = W(x1)eJcòt

On construite la fonctionnelle de Hamilton et on

choisit les fonctions inconnues et W qui rendent

stationnaire cette fonctionnelle.

Energie cinétique:

liT = - I pw2[(U1)2 + (U2)2 + (U3)2] dv

2JV

li= -Ipw2[(x3)22 + W2] dv

2JV

matériau A:

64

i b/2 PAh/2

[2p I I {(x3)22 + W2) dx3dx] dx3.i

TA = 2 fJ --J JO -b/2 O

ii r= -

PA [I(p)3p2 + APAW2] dx12 J

O

bh3avec: 1=, A=bh

12

matériau B:

i b/2 (PA+P&h/2i r r rTB = - w2 [2PB I I {(x3)22 + W2) dx3dx2] dx1

2 J J JO -b/2 PAh/2

ii r= -

PB [I{(pA+pß)3 - (PA)3)2 + APBW2] dx12 J

O

matériau N:

1i rTN = - w2 PN ['{(PAPB +PN)3 - (PA)3)P2 + APNW2] dx1

2 JO

matériau composite:

65

NT = E T1

i=A

ii r

T = w2 [C1W2 + C2] dx12 J

o

avec:

C1 = A [PAPA + PBPB + .. + P{ 1- (pA+PB+... +pM))]

C2 = I [PA(PA)3 + PB((PAPB)3(PA)3) +...

+ PN{1(pA+pB+... +pM)3)]

énergie de déformation:

irV = - I (aiili + 02222 + C3333

2JV

+ 2a12e12 + 2a13e13 + 2a23e23) dv

On se place dans le cas de matériaux élastiques

isotropes.

On suppose que a22 et a33 peuvent être négligées

devant a11 dans la loi de comportement. Avec ces hypothèses

et le champ de déplacement choisi, l'énergie de déformation

s 'écrit:

(111.1.1)

66

i1V = - I (a1111 + 2a13e13) dv

2JV

iir rV = - I [ I {E(x3)2(')2 + G(-+W')2) dS J dx1

2J J

o s

matériau A:

i b/2 PAh/2ir r rVA = - J

[2I J

{EA(X3)2(')2 + GA(-+W')2) dx3dx2 J dx12J J J

o -b/20

iir= - I [ EAI(pA)3(Ø')2 + GpA(-q+W')2 J dx12J

o

matériau B:

i b/2 (PA+PB)h/2ir r rVB = - I

[2 I I(EB(x3)2(')2 + Gß(-+W')2} dx3dx2 J dx1

2J J J

O -b/2 PA'/2

iir= - I [ EBI((pA+pB)3-(pA)3)(')2 + GBpBA(-Ø+W')2 J dxi2J

O

matériau N:

iliVN = - I f EI { 1- (PA+PB+... +pM)3) (t 2

2Jo

+ GNA{ 1- (pA+pB+... +pM) ) (-Ø+W' 2 dx1

matériau composite:

avec:

C3 = rigidité à la flexion

= I [EZ(p?)3 + EB{(pA+pB)3-(pA)3) +...

+ EN{l-(pA+pB+... PM)3)3

C4 = cisaillement équivalent

= kA [GAPA + GBPB + ... + G{ - (pA+PB+.. +pM))] 1

NV= E Vj

i=A

i'rVN = - I f C3(Ø')2 + C4(_+Wt)2 3 dx1

2Jo

67

(III. 1.2)

1. La prise en compte de la répartition de la contrainte de cisaillementsur la section droite nécessite l'introduction du coefficient du

cisaillement k.

Fonctionnelle de Hamilton:

H=T-V

i

i r

H = - w2 [ C1W2 + C2()2 J dx12 J

o1if- -

I [ C3(t)22J

0

68

Les fonctions et W qui permettent de représenter

la flexion doivent être telles que:

8H C2w2 + C3t' + C4(+W') = O- =01

'6I

=I

= oo i

et

0H c1w2w + C4(_+Wt) = O- =Oow I (-Ø+W')6W

I= (-+Wt)&W

I= o

0 1

+ C4(-+W')2 J dx1 (111.1.3)

(III. 1.4)

(III. 1.5)

On obtient ainsi un système de deux équations à deux

inconnus et W avec les conditions aux limites associées.

En combinant ces deux équations on obtient

l'équation de mouvement.

¡c1 c21 d22 w2 - 1 } =_4w+w21_+_F_2w+ w

dx1 Ic4 c3j dx1 C3

(111.1.6)

69

On remarque que l'équation (111.1.6) est semblable à

l'équation de mouvement (11.1.6) des poutres homogènes. Ce

qui est logique car la description cinématique est

identique.

matériau amortissant

E*

'J'

70

111.2 AMORTISSEMENT DES POUTRES STRATIPIEES

L'amortissement des poutres stratifiées a recours àdeux types de méthode: Dans le première, les couches

amortissantes travaillent en traction-compression. Cette

technique consiste à revêtir une structure métallique d'unou plusieurs matériau fortement amortissant. Les

déformations de la structures sont transmises au matériau et

le travail ainsi communiqué conduit à une dissipation

d'énergie. Dans le deuxième cas, en rajoutant une plaque de

contrainte, on fait travailler les couches amortissantes en

cisaillement.

matériaux amortjssants

Fig. 111.2.1

(a) (b)

revêtement viscoélastique revêtement viscoélastique

simple à plaque de contrainte

71

Considérons la première technique, fig. 111.2.1(a).

On a déposé une couche de produit amortissant caractérisé

par un module de Young complexe E* = E(l + jr)E) (Ecoefficient d'amortissement intrinsèque du produit) sur une

poutre métallique de section rectangulaire. Lors d'un

travail en flexion de la poutre, il y aura une sollicitation

en traction-compression de produit amortissant. On pourra

définir la rigidité complexe en flexion K* = K(l + ji7) = E*I

(EI représent la rigidité au sens classique et , son

amortissement global).

Au début des années 50 Lénard, P. [11] s'est attaché

à mesurer le coefficient rj en fonction de E pour diverse

matériaux de revêtement. Peu après, Oberst, H [12] a mené le

calcul de ce coefficient, Il montre que l'amortissement

total dépend de 17E et aussi de l'épaisseur du matériau

viscoélastique.

La deuxième technique, fig. 111.2.1(b), consiste à

ajouter une plaque de contrainte, les matériaux

viscoélastiques vont cette fois travailler en cisaillement.

Dès 1959, E.M. Kirwin Jr. [15] a montré que l'amortissement

du matériau dépend aussi de la fréquence.

Dans ce cadre, Mead, D.J. et Markus, S. [14] ont

étudié le mouvement transversal d'une poutre stratifiée (cf.

fig. 111.2.2) à partir des hypothèses suivantes:

Les deux couches extérieurs sont purement élas-

tiques et la couche intermédiaire est viscoélastique

linéaire.

Les contraintes de cisaillement des couche ex-

térieurs ainsi que les contraintes normales longitudinales

dans la couche intermédiaire sont négligeables.

3. Les déplacenients transversaux de tòus les points

de la section sont égaux. (Il n'ya pas de dilatation

transversale.)

(d)

(a)

u'

w

(e)

facette déformée

deuxième couche

r8x

f---1

fr

72

4- P3 + dP3

Fig. 111.2.2

(c)

z ,w

Lb-1

P3 -

avec:

Dt = la rigidité totale = D1 + D3 = E111 + E313

r = la contrainte de cisaillement

= le module de coulomb de la deuxième couche

= G(l + J7G)

8FLa charge transversale (p = ) s'écrit:

8x

73

L'effort tranchant totale s'écrit:

F = F1 + F2 + F3

03w a3w=D1 -rd+D3-8x3 3x3

a3w= Dt - rd8x3

83w @8w U1-U3= Dt G*dl_ +3x3 lh2ax h2

a4w G*d2 82W G*dIaU, 8Up = Dt

8x4 h2 3x2 h2 lax ax

(111.2.1)

(111.2.2)

CoTnne la conibinaison des efforts longitudinaux est

nulle (Pi = -P3), on a donc:

aU1 8133

E1h1 - E3h3-ax ax

L'expression (111.2.2) devient:

74

a4w a2w au3

p = Dt Dg*y_ g*dE3h3_ax4 ax2 ax

(111.2.3)

avec:

i ig*

- ( + )= g(i + jr7)

h2 E1h1 E3h3

d2 E1h1E3h3et Y =(

Dt E1h1 + E3h3

En suite, ils considèrent l'équilibre d'un petit

élément de longueur 6x dans la fig. 111.2.2(d), il est

évidant que:

6P3 = - r6x

d'où: - =-Tax

ou encore:

8 aU3 d8W U1U3- (E3h3_)=_G*(__+8x 8x h2ax h2

82u3 Dt 8W

8x2 E3h38x

En éliminant U3 dans les équations (111.2.3) et

(111.2.4), ils obtient l'équation de déplacement

transversal:

avec:

p = charge d'inertie + charge extérieure

= -m-2 + q(x,t)Bt

Dans le cas où la charge extérieure est

proportionnelle (en tous points le long de la poutre) à la

charge dtinertie locale, les modes de vibration sont

découplées. A la résonance, la charge extérieure est

fois la force d'inertie (q = jT1m(w)2W).

a6w a4w 1 82p- g*(l + Y)-

ax6 4 Dt

g*p

75

(111.2.4)

(111.2.5)

76

En posant W = W(x)T(w,t), l'expression (111.2.5)

s 'écrit:

d6Wn *d4W 2 ni d2W

- g (1 + Y) - wn(l + jì)- ( - - gW ) = Odx6 dx4 Dt dx2

(111.2.6)

AxPosons, W = Ae , 1' équation caractéristique

s ' écrit:

6 * 4 2 ni 2À - g (1 + Y)Ah - ''n(1- + - (An + g) = O

Dt

(111.2 .7)

Si l'on cherche une composante harmonique (An2 réel

négatif) W, l'expression (111.2.7) peut être séparée en

parties réelle et imaginaire:

6 4 2m 2- g(l + Y)An - C4)n - [A + g(1'ic - 1)] = O

Dt

(111.2.8 a)

et

4 2m 2

- gnc(1 + Y)A - Wn - (unAn - g(n + 7G)] = ODt

(111.2.8 b)

Avec les deux expressions (111.2.8), on peut

calculer r en fonction de la fréquence.

La fig. 111.2.3 donne les valeurs de r en fonction

de la fréquence pour une poutre stratifiée en trois couches

avec le modèle d'amortissement hystérétique pour la deuxième

77

couche, G2* = O.1E8(1 + O.3j) N/rn2, E1 = E3 = O.2E12 N/rn2.

Les dimensions des différentes couches (h11h2,h3) sont: (a)

3,4,3 mm. (b) 2,4,4 mm. et (C) 3,2,5 mm.

La fig. 111.2.4 donne les valeurs de rj pour les

poutres stratifiées avec les modules de Young des couches

extérieures = O.2E12 N/rn2, les dimensions h11h21h3 = 3,4,3

mm. Les modules de Coulomb pour la deuxième couche sont: (a)

O.lE8(l + O.3j) N/rn2 (b) O.lE9(l + O.3j) N/rn2 et (c)

O.1E8(1 + O.lj) N/rn2.

Fig. 111.2.3

hl,h2,h3 =

3,4,32,4,43,2,5 mm.

78

1E+01 1E+02 1E+03 1E+04

f (hz)

Fig. 111.2.4

(a) G*.1E8(1+.3j)(b) G*=.lEq(1.3J)(c) G*.1E8(1+.1j)

N/m2

0.30-

0.20-

0.10

0.00

Coefficiei,i dsamoriissement

:.- -_

C

ba

I

79

En général, dans le cas d'une poutre sollicitée en

flexion, les matériaux stratifiés travaillent à la fois en

traction-compression et en cisaillement. Une étude combinant

ces deux cinématiques a été faite par Ross et Kirwin

[16,17]. Plusieurs travaux concernant des configurations

plus spécifiques ont été entreprises par ailleurs.

Les principales conclusions sont les suivantes:

Les composites obtenues avec le revêtement par

plaque de contrainte ont des coefficients d'amortissement,

en général, plus important que ceux qui utilisent la

technique de revêtement simple.

Tous les paramètres géométriques et élastiques de

tous les composantes de la structure influent sur la valeur

du coefficient d'amortissement souvent même de façon très

importante.

En particulier, le module d'élasticité et surtout

le module de cisaillement du matériau viscoélastique

définissent une caractéristique importante du matériau

composite.

80

111.3 COEFFICIENT DE CISAILLEMENT

La prise en compte du cisaillement nécessite

l'introduction d'un coefficient de cisaillement (ou de

Timoshenko) , k. Il rend compte du fait que les contraintes

et les déformations, dont il dépend, ne sont pas distribuées

uniformément sur la section droite. Sa détermination a

suscité de nombreuses recherches qui ont abouti aux diverses

conclusions suivantes:

Timoshenko [6]: Le coefficient de cisaillement,

k, représente le rapport entre le cisaillement moyen sur la

section droite et le cisaillement au centre (pour une

section rectangulaire: k = 5/6).

Cowper [7]: Il définit un coefficient de

cisaillement en fonction des caractéristiques mécaniques du

matériau. (Pour une poutre isotrope, k = lO(l+v)/(12+llv)).

Gay [8]: Le coefficient k dépend de la fréquence.

Fages [9]: Il détermine les variations du coef-

ficient k en fonction de caractéristique mécaniques du

matériau et de la fréquence.

Dans le cas d'une poutre homogène orthotrope:

TX2 h-e.

81

Fig. 111.3.1

Fages n'a pas négligé 033 devant dans les équa-

tions de comportement (à l'encontre des analyses clas-siques

[6], (7]et [8]), les équations du problème sont:

pw2AW + F' = O

F + Mt = - pw2IØ

AW2moment flèchissant: M = -1E1LIt' - v13E13 -

5ß

effort tranchant: F = G13A(kwW' - kØ)

Xi

d' où:

W = flèche moyenne

= rotation

/Al4a = paramètre de fréquence = wJ

E31aI

x = coefficient sans dimension = -Al2

2p = i - -(1 - '13"3l)X2

7

V13L131X2

5ß

A = bh

et les "coefficients correctifs", k et k:

6 1 L1l31/31X2

82

5 5ß 257162kw = (111.3.1 a)

6 1 v31G13

5 16-1 5E3

'3lX21

5ß-yk = (111.3.1 b)

6 1

5 p-y 5E3

Les fig. 111.3.2 à 111.3.4 montrent les coefficients

correctifs (en fonction de x) pour les poutres isotropes

avec des rapports E/G différents.

Fig. 111.3.2

E/G3

Fig. 111.3.3

E/G10

83

2.00-

1 .50-

0.50

0.00

Coefficient correctif

2.00-

0.50

0.00

Coefficient correctif

I -

0.50 1 . 00

X

1 .50 2.00

0.50 1 . 00

X

1 .50 2.00

Fig. 111.3.4

E/G40

84

2.00-

1 .50-

Si.iq1 .00-

0.500.00

Coefficient correctif

0.50 1 .00X

1 .50 2.00

0n appel "valeurs statiques" de k etk0 les valeurs

obtenues en faisant w = 0. On obtient:

6 v31G13kws = kp5 = 1/(

5 5E3(111.3.2)

Dans le cas où la poutre est isotrope, G = E/[2(l+v)]

C'est le coefficient trouvé par Cowper [6].

10(1 + ')

k5 = k5 - (111.3.3)12 + 11v

85

Fages conclut que l'on peut négliger c dans les

équations de comportement et d'utiliser le coefficient

statique, k, jusqu'à x = 1.2 . Le système d'équations

utilisé sera:

pw2AW + F' = O

F + M' = -

moment flèchissant:

effort tranchant:

avec:

M = E1I'

F = G13Ak5(W' -

6 v31G13

5 5E3

Pour une poutre symétriquement stratifiée à 3 couches:

X3

I

Fig. 111.3.3

LTII--1 th

86

Le coefficient de cisaillement (cf. Fages [9))

s écrit:

rk = i / I

L

(111.3.4)

Ainsi défini, il dépend des caractéristiques méca-

niques des matériaux.

On pose:

r 4 1

k = i /[

Rq(i-q) + (l+4q2-2q)R + 3q(l-q)3R(1+q)21

(111.3.5)

Fig. 111.3.5

poutre stratifie'e

G11 tR=- , q=- -

G1 h

1E+02-

1E+O1 -

//

Coefficient de cisailLement

\\ :1

1E+OO

0.00 0.20 0.40 0.bO 0.80 1.00

q.t/h

R1

R.2

R.04

R.005

- R.001

It(ht) G11+ t2 +

(h-t)2+

G1t(h-t)-

G11I

(h+t)21 3 G1 3

87

IV. IDENTIFICATION DES

CARACTERIBTIQUES DES MATERIAUX A

PARTIR D'ESSAIS

Les caractéristiques des matériaux viscoélastiques

peuvent être déterminées selon les méthodes suivantes:

Oscillation libre: En utilisant par exemple une

poutre encastrée ou le pendule en torsion et en mesurant le

décrément logarithmique et la fréquence, on peut déduire les

caractéristiques des matériaux.

Cette méthode donne des résultats satisfaisants pour

les matériaux présentant un amortissement peu élevé et indé-

pendant de l'implitude de solicitation. C'est pourquoi, le

dévelopement des matériaux amortissants possédant des

valeurs de décrément logarithmique supérieures à 10 en

limite l'utilisation.

Méthode de résonance forcée: Cette méthode permet

la détermination des caractéristiques viscoélastiques à

partir de la coube de réponse. Elle reste correcte dans le

cas de matériaux ayant des valeurs d'amortissement assez

élevé niais l'inconvenient réside dans le fait que l'essai

est limité à la zone de résonance. Un appareil standard, qui

utilise une poutre encastrée vibrant en flexion a été

utilisé avec succès par Oberst. Une version améliorée

utilisant un pendule de torsion a été développée par Perez

et al.[20).

88

Vibration forcée en-dehors de la résonance: Pour

des sollicitations harmoniques, le diagramme de contrainte-

déformation présente une boucle d'hystérésis à partir de

laquelle on peut calculer le module et le coefficient

d'amortissement (ou le coefficient de perte) prise égale à

Wd/27TW. Ou, Wd est l'inergie perdue au cours d'un cycle et W

est énergie élastique maximale.

Propagation des ondes: Cette méthode permet

l'étude de quelques caratéristiques physiques d'élastomère.

La fréquence de propagation est assez élevée et la

déformation est petite (moins que iO%).

IV.]. MESURE DIRECTEJ

On peut mesurer directement les caractéristiques

dynamiques (le module de la raideur complexe IK*I et l'angle

de déphasage q )des matériaux en utilisant le visco-

élasticimètre qui est basé sur l'analyse des vibrations

forcées en-dehors de la résonance.

Le principe de la mesure de la raideur dynamique

d'un échantillon dans le cas d'essai en compression est

présentés dans la fig. IV.l.l.

Fig. IV.l.l

F2

89

Le rapport entre la force f2 et le déplacement u1

donne la raideur complexe K* :

K* = K' + jK" = f2/u1 (IV.l.l)

Dans le cas du matériaù viscoélastique, sous l'hypo-

thèse d'un comportement linéaire, on traduit le déphasage

entre la force et le déplacement par un angle q.

u1 = tJ1eJt

(IV. 1.2)

= F2eJ(i)t + q)

En tenant compte de (IV.1.2) dans (IV.1.1), on

obtient:

K' = (F2/tJ1)cos(q)

K" = (F2/U1)sin(p)

soit:

= J(KI)2 + (K")2 = F2/U1

= tan(q)

K* = K(1 + ji7)

Finalement, on peut obtenir le module de Young

complexe E*

E* = (K*L/A)/(1 + fiS2) (IV. 1.3)

avec:

L = longeur de l'échantillon

A = surface excitée de l'échantillon

S = facteur de forme = surface excitésurface laterale

f3 = 2 pour la section circulaire ou rectangulaire

Le viscoélasticimètre mesure les valeurs des carac-

téristiques dynamiques des matériaux en fonction de la

fréquence, la température, la déformation dynamique et la

déformation statique.

Avec le type de solicitation choisi (traction-

compression, cisaillement, flexion, ...), on peut obtenir le

module complexe désiré.

En utilisant le principe d'équivalence temps-

température (les caractéristiques viscoélastiques d'un tel

matériau observées à une fréquence et à une température

données doivent prendre la même valeur pour une autre fré-

quence de solicitation si la température change de façon

appropriée), on peut construire la courbe intrinsèque qui

permet d'obtenir les modules viscoélastiques dans un large

domaine d'utilisation.

90

IV.2 IDENTIFICATION MODALE

Les méthodes dt identification modale sont, pour la

plupart, basées sur un lissage des courbes de la fonction de

transfert. Elles font toutes l'hypothèse d'un amortissement

soit structural soit purement visqueux. Elles sont pour but

de rechercher les modes et les fréquences complexes qui

minimisent l'écart entre les valeurs de la souplesse

dynamique mesurée expérimentalement et celle obtenue

analytiquement.

La fonction de transfert est définie par:

Uk11kl= (IV. 2.1)

F1

avec:

Uk = le déplacement en un point k.

F1 = la force appliquée au point 1.

Dans le cas d'amortissement structural, la souplesse

dynamique d'un système discret s'écrit:

* *knlnH(jw) = E 2 (IV.2.2)

n - +

91

Dans le cas d'amortissement visqueux, la fonction de

transfert s' écrit:

* *N knln

H1(jw) = E * +n=l a (''nn)

avec:

* *T * **T *a = n Cfl + 2snn M

= vecteur propre (en complexe)

M = matrice de masse

C = matrice d'amortissement

*s = fréquence propre

En pratique (par exemple, dans le cas d'amortisse-

ment visqueux), on ne peut pas connaître toutes les modes.

On intraduit alors des caractéristiques résiduelles de la

façon suivante afin de diminuer l'influence de la trancature

modale:

* * *c *n2 knln knln

H(jw) = E * * + *n=n1 an (l'nn) a (jwnSn)

1

+Mw2

92

*c *cknln

*a (jwS) (IV.2. 3)

1 1+ , n1nn2 (IV.2.4)

jwC K

93

Le comportement à base fréquence est traduit par la

masse résiduelle M et l'amortissement résiduel C. Le

comportement à haute fréquence est traduit par la raideur

résiduelle K.

Avec le modèle d'amortissement choisi, la recherche

des paramètres modales s'effectue à l'aide d'un lissage par

la méthode "des moindres carrées". Il existe plusieurs

variantes correspondant à diverses stratégies visant à mini-

miser un critère quadratique.

La méthode classique est d'effectuer le lissage des

fonctions de transfer en utilisant le critère:

N c cE = E [(H(jw) - H(jcifl)][(H(jWfl) - HE(jwn)) (IV. 2. 5)

n=l

La méhode proposée par R. Dat et J.L. Neuzec [22] à

l'avantage de ne pas nécessiter d'estimation préalable.

Cette méthode donne la fonction rationnelle qui représente

au mieux les valeurs expérimentales de la fonction de trans-

fer. Supposons que l'on ait mesuré la fonction de transfert

HE(jwfl) pour des valeurs discrètes, w, de la pulsation.

H(jw) étant une fraction rationnelle, on peut trouver deux

polynômes P(jw) et Q(jw) tels que:

On cherche les coefficients des polynômes P et Q, de

degré donné, qui rendent minimum un paramètre d'erreur

définit par

HE(jwfl) (IV. 2.6)

Q (j w)

94

2

E E HE(jwfl)Q(jwn) - P(jwn) (IV.2.7)n

Lorsque la fraction rationnelle est déterniinée, on

effectue la décomposition en éléments simples. Celi-ci

détermine les modes propres de la structure dissipative: les

pôles définissent les fréquences propres et les amortisse-

nient, les numérateurs définissent la forme propre.

95

IV.3 PROBLEME LIES AUX POLES MULTIPLES

Considérons une poutre encastrée (dans la fig.

IV.3.l) solicitée longitudinalement par la force harmonique

= FeJw.

que:

Fig. IV.3.l

Pour introduire l'amortissement interne dans le

système, on utilise le module de Young complexe. L'équation

de propagation s'écrit:

a2U+ pw2Ü = O (IV.3.l)ri (w)

ox2

Si l'on prends la solution particulière de la nÒ

mode sous la forme:

U(x,t) = + wnt)(IV.3.2)

En rapportant (IV.3.2) dans (IV.3.l), on peut écire

96

kE*(w) 2- PWn = o (IV.3.3)

Dans le cas d'utilisation du modèle de Zener pour le

module de Young complexe

i + a(jw)1w) = E0 (IV.3.4)

i + b(jw)

Pour la solution générale, on peut écrire:

U = (Acoskx + Bsinknx) e(wnt)

(IV. 3.5)

Dans le cas de vibrations libres on doit vérifier

les conditions aux limites suivantes:

U =0 en x =0, nous obetnons

A=0

= O en x = 1, nous obtenonsax

kncOs(knl) = o

d'où knl = iij2 + j7T

On trouve que les modes sont réels:

= sin(knx) (IV.3.6)

avec: kn = (n/2 + jir)/l

En tenant compte de (IV.3.4) dans (IV.3.3), nous

obtenons 3 pôles:

= + iß

Wn,2 = -a + Jßn

W3 = im

Dans le cas de vibration forcée, l'équation de

mouvement s' écrit:

a2UE*(w) + 2U +

ax2 (x=l)

(IV.3.7) et en

1

=- J

rd

o

(IV. 3.9)

97

= O (IV.3.7)

En tenant

multipliant par

compte de

r' (IV.3.7)

1

s'écrit

(IV.3.8) dans

encore:

1

- E*(w) E qnn= 1

d' où:

I nrSo

+ inJpnrd

o

co

qn = E*()k2n=] (E pwn2)

co

q = E (IV. 3.10)n1 d(w - wn,l) (' - ''n,2) (» -

et la solution générale prends la forme:

U = E (x)q(t) (IV. 3.8)

n=l

98

En rapportant la valeur du qn dans (IV.3.8), nous

obtenons la solution du problème:

U(x,t) = E (IV. 3.11)

n1 d(w - c»n,l)(w - )n,2)(w - W3)

Cette expression fait apparaître trois pôles à

l'opposé des expressions classiques utilisées lors de

l'identification modale. Cet exemple simple permet donc de

mettre en évidance les erreurs découlant d'une analyse

modale lors de l'identification des modules complexes.

IV.4 METHODE D'IDENTIFICATION DES PLAQUES DANS LE CAS

ANISOTROPE

Une méthode permettant d'identifier les

caractéristiques mécaniques des plaques anisotropes, à

partir des vibrations forcées, est proposée par Hugo Sol

[4]. Dans cette méthode, la réponse expérimentale a été

mesurée et comparée avec la réponse obtenue analytiquement.

Les paramètres recherchés dans le modèle mathématique (les

rigidités) sont ajustés jusqu'à ce que l'écart entre la

réponse expérimentale et la réponse calculée soit minimal.

La fréquence de résonance est mesurée par le montage

décrit dans le fig. IV.4.l

2

i

99

5

Fig. IV.4.].

éprouvette

fil mince

capteur d'accélélation

amplificateur

analyseur de spectre

avec:

D11 = rigidité en f lexion autour de l'axe Y

D22 = rigidité en flexion autour de l'axe X

D66 = rigidité en torsion

D12, D16, D26 = couplages des rigidités

Dij = Eh3

La réponse a été calculée par la méthode de Ritz (en

utilisant un seul élément, la plaque entière, et le polynôme

de Lagrange comme la fonction de forme).

loo

L'équation de mouvement d'une plaque anisotrope a

été écrite avec les hypothèses suivantes:

La section droite reste droite et pérpendiculaire

à la surface moyenne.

La contrainte normale a est négligiée devant les

contraintes a, cr et Txy.

a4w a4w a4wD11-- + D22- + 2(D12+D26)ax2ay2

ax

a4w a4w+ 4D16 + 4D26

axay

a2w= - ph

at2(IV. 4.1)

101

Pour ajuster les paramètres (les rigidités), il

utilise la sensibilité de la réponse due au changement des

paramètres (la sensibilité a été prise égale à la partie

linèaire de la dérivée partielle du développement de Taylor

de la réponse).

{P) = [S]-{R) (IV.4.2)

avec:

= variation des paramètres

= variation des réponses

S = sensibilités

Il utilise la méthode Baysian (en introduisant {Cp]

et [CR]) pour tenir compte de l'incértitude entre les

valeurs de paramètre du modèle d'origine et celles de

paramètre ajustés et de l'incértitude de la mesure des

réponses expérimentales. Il introduit une constante k

traduisant la confidence relative entre le modèle

mathématique et la réponse mesurée expérimentalement.

Ansi, l'expression (IV.4.2) s'écrit encore:

[Cp]{LP) = k[S][CR](L1R) (IV.4.3)

Il conclue que:

1. La plaque avec les extrèmités libres donne la

meilleur sensibilité pour les changements de la rigidité.

2. En utilisant un seul élément avec le polynôme de

102

Lagrange comme la fonction de forme avec 7 x 7 = 49

noeuds/éléTnent, on peut obtenir d'une façon satisfaisante la

réponse forcée.

3. Pour que la matrice [S] soit inversible ou

pseudo-inversible:

Dans le cas de la matrice [S] diagonale (pas de

terme de couplage de la rigidité), il est nécessaire de

mesurer les fréquences de résonance associées avec les

formes propres fondamentales (torsion et flexions dans les

deux directions).

Dans le cas de la matrice [S] non-diagonale, le

rapport longueur/largeur doit être approprié pour donner le

maximum de sensibilité au diverses caractéristiques des

matériaux.

103

V. IDENTIFICATION NON-NODALE

V.1 PRESENTATION GENERALE DE LA METHODE

On utilise l'expression de l'impédance mécanique

pour identifier les modules de Young et de Coulomb complexes

d'une poutre composite homogène ou symétriquement

stratifiée).

Dans le cas d'une poutre d'Euler: Il n'y a que le

module de Young complexe qui se présente dans l'expression

de l'impédance. L'étude experimentale d'une poutre permet

l'identification du modèle de Young complexe E*(w), par une

méthode d'itération appropriée.

On a choisi une poutre libre-libre excitée en son

centre pour mesurer les valeurs de l'impédance. On détermine

à l'aide de celle-ci et d'un développement limité de l'ex-

pression analytique de l'impédance le module de Young

complexe (par la méthode de Newton). En balayant en

fréquence, on obtient lés vriations du module de Young

complexe du matériau composite (voir organigramme V.3.1).

Dans le cas d'une poutre de Timoshenko: On peut

obtenir les deux modules complexes en utilisant deux poutres

de longueurs différentes. Les deux expressions de

l'impédance conduisent à un système à deux inconnues que

l'on resoud par une procédure méthode itérative.

104

Dans la procédure utilisée, on utilise la poutre la

plus longue pour calculer le module de Young complexe et la

plus courte pour calculer le module de Coulomb complexe à

chaque pas de fréquence. Ainsi, on obtient les deux modules

complexes du matériau composite de façon continue (voir

organigramme V.3.2).

V.2 DEVELOPPEMENT ASYMPTOTIQUE DES IMPEDANCES

Dans cette partie,. on va rechercher un développement

limité des expressions de l'impédance au centre de la poutre

(cf. (11.2.29) et (11.2.67)).

V.2.1 DEVELOPPEMENT ASYMPTOTIQUE DE L'IMPEDANCE AU POINT

COURANT D'UNE POUTRE D'EULER-BERNOUILLI

L'équation de l'impédance (normalisée par la masse,

Mb) d'une poutre libre-libre chargée en son centre s'écrit:

Z0 1 sinh(n*a)cos(n*a) + cosh(n*a)sin(n*a)

- ---( )(V.2.1)

Mb n*a cosh(n*a)cos(n*a) + 1

Désormais, on dénote n*a = x

et avec:

sinh(x) = (X + X3 + X5 + ...)3! 5!

cos(x) = (1 + X4 - ..)2! 4!

d' où:

X = = (n*a)4

a0 = 2

a1=2(1- 1 +1)4! 2!3! 5!

a2=2(- i + 1 - 1 +1)8! 3!6! 4!5! 7!2! 9!

a3=2(1 - 1 + i - i + i - i +1)12! 3!iO! 5!8! 6!7! 4!9! 2!li! 13!

b0 = 2

b1= (- i4! 2!2!

105

cosh(x) = (1 + + X4 + ...)4!

sin(x) = (X - 3 + - ...)5!

On peut reécrire (V.2.1) sous la forme de développe-

ment limité suivant les puissance de x

Z0 ajX1-

Mb ; bx-3-

(V.2.2)

106

Comparons les valeurs exactes et les valeurs appro-

chées (obtenue par le développement du 6ème ordre de

(n*a)4). Des fig. V.2.1 à Fig. V.2.9, on trace les expres-

sions exactes et approchées en fonction de la fréquence (na

a 1w). On constate que, quelque soit la valeur du module de

Youg complexe, la précision des valeurs de 1t impédance

obtenue est très bonne jusqu' au deuxième mode.

2 + 1)8! 6!2! 4!4!

- 2 + 2 - 1 )

12! 10!2! 8!4! 6!6!

Fig. V.2.1

I iImpedance d unepoutre d'Euler

E*.224E10(1+.OIJ)M/m2

Fig. V.2.2

Impe'dance d'unepoutre d'Euler

E*.224E10(1+.1i)M/m2

107

Fig. V.2.3

Impédance d'unepoutre d'Euler

E*.224E10(1+.25j)N/m2

Fig. V.2.4

Jmpdance d'unepoutre d'Euler

E*.224E10(1+.Olj)M/m2

108

lE-03

IE+02

I I

1E+03 1E+04 1E+05

w

IMPEDANCE ap p roch e

IE+02- - exacte

1E+O1 -

EoNJ 1E+OO-O)

-

lE-02-

Fig. V.2.5

Impédance d'unepoutre d'Euler

E*.224E10(1+.li)N/m2

Fig. V.2.b

Impe'dance d'unepoutre d'EuLer

E*.224E10(1+.25J)N/m2

109

1E+02-

1E+01 -

EoM 1E+00Q,

-

-

i E-02 -

lE-03

1E+02 1E+03 1E+04 IE+05

w

- exacte

IMPEDANCE ap p roch e

Fig. V.2.7

Impédance d'unepoutre d'Euler

E*.5E08(1+.01 i)M/m2

Fig. V.2.8

Impédance d'unepoutre d'Euler

E*. 5E08 (1 +. '1 i)

N/m2

110

1E+01 --1

oNJ 1E+00Q)

- lE-01 -

i E-02 -

IE+0i -

oM 1E+00a)-o

- lE-01 -

I E-02 -

lE-03

IE+02 1E+03 1E+04 1E+05

w

ap p roch eIMPEDANCE

i E-f 02 - - exacte

Fig. V.2.q

Impédance d'unepoutre d'Euler

E*.5E08(1+.25j)t1/m2

lu

IE+01 --o

oM 1E+00a)

-

- lE-01 -

lE-02 -

lE-03

1E+02

I I

1E+03 1E+04 1E+05

w

ap p roch eI MPEDANCE

- exacte1E+02-

112

V.2.2 DEVELOPPEMENT ASYMPTOTIQUE D'IMPEDACE AU POINT

COURAÌT D'UNE POUTRE DE TIMOSHENKO

L'expression d'impédance (normalisée par la masse de

la poutre, Mb) d'une poutre libre-libre chargée en son

centre s'écrit:

Z0 [(O*a)2 + (e*a)2J NT(V.2.3)

Nb DT

avec:

2(O*a)2 = (n*a)2(a+ß) + [(n*a)B(a_ß)2 + 4(n*a)4]½

2(e*a)2 = (n*a)2(a+ß) + [(n*a)B(a_ß)2 + 4(n*a)4J½

NT = {*(O*a)c(O*a)sh(*a) - x*(*a)s.(O*a)ch.(e*a)

DT = {2zì*x*(O*a)(*a) - **[(O*a)2 - (e*a)2]s (O*a)sh (e*a)

- [(*a)2 + (X*a)2] (9*a) (e*a)c (O*a)ch. (e*)

[(n*a)4a - (O*a)2]

*X = [(n*a)4a + (e*a)2]

1 r2E*

k a2G*

r2f3=-

a2

pw2a4

E*r2

Désormais, on dénote:

x = (e*a)

y = (*)

X = (*)4

Y = c/ß

Donc, on peut reécrire (V.2.3) comme suivant:

z0 (x2+y2) (*x c.x sh.y - x*y s.x ch.y)

Mb 2,,*x*xy - ,*X*(X2....Y2)S x sh.y - (z.,*2+x*2)xy c.x ch.y

(V.2.4)

d'où, par exemple,

c.x sh.y = cos(x)sinh(y)

En écrivant les expressions circulaires et hyper-

boliques de x et y en développement limité, on peut

récrire (V.2.4) sous la forme de développement limité en

puissance de X, (V.2.5 a), et en puissance de Y, (V.2.5 b),

explicitement.

113

zoNi aX'

Mb - D1 bX1(V.2.5 a)

avec:

N1=-4+X [ a(U1)+ a(ßU2 + U3)+ (ß2U4 + ßU5 + U6)]

+ X2 [ a3(TJ7)

+ a2(ßU8 + U9)+ a(ß2U10 + ßt111 + U12)+ (ß3U13 + ß2U14 + ßU15 + U16)]

+ X3 [ a4(U1)+ a3(ßU18 + U19)+ a2(ß2U20 + ßU21 + tJ22)+ c(ß3U23 + ß2U24 + ßU25 + U)+ (ß4U27 + ß3U28 + f32U29 + ßU30 + U31)]

Ltexpression pour D1 prend la même forme que celle

de N1 en remplaçant les constantes U1 par V1.

N2 = -4 + [ X (ß2U + ßU5 + tJ6)+ x2(ß3u13 + ß2U14 + ßU15 + tJ16)+ x3(ß4u27 + ß3U28 + ß2U29 + ßU30 + U31)+ x4(ß5U47 + ß4U48 + ß3U4g + ß2U50 + ßU51 + U52)+ x5(ß6U74 + ß5U75 + /34U76 + ß3U77 + ß2U78

+ ßU79 + U80)+ x6(ß7tJ109 + ß6U110 + ß5U111 + ß4U112 + ß3U113

+ ß2U114 + ßU115 + U116)]

114

Zo CjY

Mb D2 djYi(V.2.5 b)

115

+ Y [ X (ß2U2 + ßU3)

+ x2(ß3u10 + + ßU2)

+ x3(ß4u23 + ß2U25 + ßU26)

+ x4(ß5u42 + ß4U43 + ß3U44 + + ßU46)

+ x5(ß6tJ68 + ß5U69 + + ß3tJ71 + ß2U72 + ¡31173)

+ X6(ß7tJ102 + ¡3611103 + ß5U104 + ß4TJ05 +

+ ¡3211106 + ¡311107))

X (ß2tJ1)+ x2(ß3u8 + ß2U)

+ x3(ß41120 + ßU21 + ¡321122)

+ x4(ß5u33 + /34U39 + ßU4o + ß2U41)

+ x5(ß6u63 + ß5U64 + + ß3tJ66 + ßU)+ x6(ß7u96 + ß6Ug7 + + ß4Ugg + ß3U100

+ ß3U101))

x2(ß3u7)

+ x3(ß41118 + ß3U19)

+ x4(ß5u35 + + ßU37)

+ x5(ß6u59 + f3U6o + ¡341161 + ß3U62)

+ x6(ß7u91 + + ßU93 + ßU94 + ß3U95)]

x3(ß4u17)

+ x4(ß5u33 + ß4U34)

+ x5(ß6u56 + ß5tr57 + ßtJ58)+ x6(ß7u87 + ß6U88 + ßU89 + ßUgo)]

X4(ß5U32)

+ x5(ß61154 + ßU55)

+ + + ß5U86 + ßU87))

X5(ß6U53)

+ x6(p71182 + ¡361183)]

X6(ß7TJ81)]

116

remarque: Le développement limité en Y , (V.2.5 b), est basé

sur le développement limité de 6ème ordre en X (i=6) dans

l'expression (V.2.5 a).

L'expression pour D2 prend la même forme que celle

de N2 en remplaçant les constantes U1 par V1.

Les constantes Uj et Vj pour les développement en X(6ème ordre) et en y (7ème ordre) sont listés ci-desous:

U( i)=-0. 100000000000000000E+01U( 2)= 0.200000000000000000E+01U( 3)= 0.666666507720947266E+00U( 4)=-0. 10000000000000O000E+01U( 5)= 0.200000000000000000E+0j.U( 6)= 0.i.33333333333333318E+00U( 7)= 0.166666626930236816E+00U( 8)= 0.1666667461.39526367E+00U( 9)= 0.000000000000000000E+00U ( 10) = -0.833333373069763184E +00U( II )=-0 . 399999999999999939E+00U ( 12) =-0 .952380952380952380E-02U( .t3)= 0.500000000000000000E+00U( 14)=-0. i.33333333333333331E+00U( 15)=-0. .L587301587301587J.3E-01U( 16)=-0. 176366843033509536E-03U( 17) =-0 .833333333333333409E-02U ( 18) =-0 .666666666666666380E-01U( 19)=-0. 158730158730158773E-02U( 20)= 0.116666666666666627E+00LJ( 21)= 0.174603174603174573E-01U( 22)= 0.220458553791886903E-03U( 23)= 0.156125112837912638E-16U( 24)= 0.333333333333333303E-01U( 25)= 0.132275132275132262E-02U( 26)= 0.801667468334134137E-05

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118

=-0 .999629245989519030E-12=-Q 138346636400725886E-13= 0. 285907186948853641E-05

U(103)= 0. 14889251Q259544981E-22U (104)=-0. 104980263710422341E-07U(lOS) =-0 . 205843654334161535E-09U(106 )=-0. 123112233453445940E-11U (107) = 0. 232S993S1173844015E-13U ( 108 ) = 0.6073398512226S5026E -16

= 0. 275573192239858671E-06= 0. 2697919364S86029s3E-07

U( 111)=-0. 1712964G7S92764944E-09U(112)=-0 . 2423335S80383j.1727E-10U (113) =-0 .305149980354694755E-12U( 114)=-0. 14235S174730S08394E-13U(1iS)= 0. 604171046218874351E-16U ( 116 ) = -0. 10S6268334693S9579E -20

V( 1)=-0. 100000000000000000E+01V( 2)= 0.200000000000000000E+0j.V( 3)= 0.200000000000000000E+oj.V( 4)=-0. 100000000O0000000oE+j.V( S)= 0.200000000000000000E+o1V( 6)= 0.333333333333333343E+ooV( 7)= 0.500000000000000000E+00'.) ( 8) =-0 . 500000000000000000E+00V( 9)= 0.833333730697631836E-01V ( 10 )=-0 . 500000000000000000E+00V ( 11) = -0. 1166666S8719390689E +01V ( 12) =-0 . 444444427887598671E-01V( 13)= 0.500000000000000000E+00

U( 79)= 0.925972354179763260E-13U( 80)= 0.801707665956526947E-16U ( 81) =-O . 698327S21244187821.E-06U( 82)= 0.277452100369767040E-05U( 83)= 0.338310523495707831E-07U( 84)= 0.625989558281224747E-05U( 85)= 0.719445163889608sS9E-07U ( 86) = 0. 171296467S92764634E-09U( 87) =0.647597001763668237E-OSU ( 88) = -O . 350729517396184149E-06U ( 89)=-O .359722581944803637E-08U( 90)=-0. 695976243313230180E-li.U ( 91) =-O. 100239748677248661E-04U( 92)=-0. 146972369194591341E-05U ( 93) = -O . 2608600492 19837593E -07U( 94)=-0. 125233551937566768E-09U( 95)=-O. 167836196735186850E-12U( 96)= 0.502921075837742339E-05U ( 97)=-0 .918577307466196210E-06U ( 98) =-0. 349934212368074806E-07U ( 99) = -0.328673410319262873E-09

119

V( J.4)=-0. 833332935969034738E-ojV ( i ) = -0. 444444427887S98671E-01V ( 16)=-0. 7936EO7936507937S9E-03V( 17)=-O.4l6G662447o995o5E-ojV( lB)=-0.74999992s494j40j-+ooV( 19)=-o . 7638BB516369859278E-02V ( 20) = -0. 166866624446709932E +00V( 21)= 0.S2O93334S7SO96764.0jV( 22)= O.iSB73Qj5873OjSB725EO2V( 23)=-O.1666666666666G6G5+ooV( 24)= O.S2O833320916698996E-OjV( 25)= O.63492O634920634833E-02V( 26)= O.S29IOO529i.00529089E-04V( 27) =-0. 416666666666666652E-OjV ( 28)=-0. 7638887647j2S4678O2V( 29)= 0.1E873Qj5873OjS87jO2V( 30)= O.529100529100529089E-04V( 31)= O.267222489444712106E-O6V( 32)= O.13B888888888888883E..02V( 33)= O.1BO565530720286845E...QjV( 34)= O.347222222222222181E..03V( 35)=-O. 194444469279712959E-QjV( 36) =-0. 21826395997664S2 17E-02V( 37)=-0 . 22O45853408 136646 lE-04V( 38)=-0. 194444444441114439E-QjV( 39)=-O.902'ff,'6j22o93j6oeE..o2V ( 40) = -0. 260141O95445479782E-03V( 41)=-o. i2G93O6B24623809 lE-OSV( 42)=V( 43)=-0 . 218263959975545363E02V ( 44) =-0 . 260141095445479782E-03V( 4S)=-o . 3874726O9694.3j79jE..O5V( 46)=-0. 117460434920752371E-07V( 47)= O.13BB88898898898883E..02V( 48)= 0.347222222222222j2..03V ( 49) =-0 . 220458534081366528E-04V ( SO ) = -0. 634653412431i.905j.OE -06V( 51)=-0. 11746O43492O762371E-07V ( 62) =-0 . 2447O92394i823Si.9j.E-.jOV( 53)=-0. 124007936507936423E...04V( 54)=-0. 71924603174603j.630E-03V( 55) =-0. 771604938271605263E-OSV( S6)=-0. 186011904761905331E..O3V( 57)= O.561146384479717850E..O5V( 58)= °.B3SO7O279514722949E...07V( 59)= °.183531746031745960E..02V( 60)= 0284393439iS34j.GSE-O3V( 61)= 0474319919764363jG2E..OSV( 62)= O.1S416G92OB334g7447Q7V ( 63) =-0. 186011904761904799E-03V( 64)= 0284393439153422QE-O3V( 65)= 0.117243867243867237E..04

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waw

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nm

121

A l'aide des fig. V.2.10 à fig. V.2.21, on peut

comparer les impédances obtenues par la formule exacte et

celles obtenues par la formule basée sur un développement

limité. On remarque que les valeurs approchées sont de

meilleurs qualités lorsque les rapports E*/G* et r/a sont

petits.

Fig. V.2.10

!mpdance d'unepoutre de Timo-shenko:

E*.224El0(1+.1i)M/m2

*=.44Eoq(1+. li)M/m2

masse densite'.5E4 Kg/m3

r/a. 02a. 10m.

Fig. V.2.11

Impe'dance d'unepoutre de Timo-shenko:

E*.224E10(1+.1i)M/m2

G*.448E0(1+.1 iM/m2

masse densite'.5E4 Kg/m3

r/a. 03a.07 m.

122

1E+01 --Eci

M 1E+00-

lE-01 -

lE-02-

Fig. V.2.12

Impe'dance d'unepoutre de Timo-shenko:

E*.224E10(1+.1i)N/m2

*=.448oq(1+. Ii)N/m2

masse densité=.5E4 Kg/m3

r/a. 04a.05 m.

Fig. V.2.13

Impédance d'unepoutre de Timo-shenko:

E*.224E10(1+.1J)N/m2

G*.112E0q(1+.1i)M/m2

masse densité.5E4 Kg/m3

r/a=. 02a.10 m.

123

1E+01 --o

oM 1E+00a)

- lE-01 -

1 E-02 -

Fig. V.2.14

Impe'dance d'unepoutre de Timo-shenko:

E*.224E10(1+.1i)M/m2

G*=.112Eoq(1+.IJ)N/m2

masse densité.5E4 Kg/m3

r/a. 03a.07 m.

Fig. V.2.15

Impe'dance d'unepoutre de Timo-shenko:

E*.224E10(1+.1J)N/rn2

G*.112E0(1+.1j)N/m2

masse dens it.5E4 Kg/m3

r/a. 04a.05 m.

124

IE+01 -

oM 1E+00a)

- lE-01 -

lE-02--

Fig. V.2.1&

Impédance d'unepoutre deTimo-shenko:

E*.224E10(1+.1J)N/m2

G*448Eoq(1+ li)F'l/m2

masse densité=.5E4 Kg/m3

r/a. 02a.10 m.

Fig. V.2.17

Impédance d'unepoutre de Timo-shenko:

E*.224E10(1+.1j)N/m2

G*=.44Eoq(+, 1jM/m2

masse densité.5E4 Kg/m3

r/a. 03a.0(o7 m.

125

1E+01 -

oM 1E+00a)

lE-01 -

i E-02 -

1E+01 -

EoM 1E+00a)

-ci

- lE-01 -

lE-02-

Fig. V.2.18

Impédance d'unepoutre de Timo-shenko:

E*.224E10(1+.1j)N/m2

G*=.448Eoq(+ Ii)M/m2

masse dens it=.5E4 Kg/m3

r/a. 04a.05 m.

Fig. V.2.lq

Impédance d'unepoutre de Timo-shenko:

E*.224E10(1+.1j)N/m2

G*.112Eoq(1+.j)M/m2

masse densité.5E4 Kg/m3

r/a. 02a.10 m.

126

Fig. V.2.20

Impédance d'unepoutre de.Timo-shenko:

E*:.224E10(1+. Ii)N/m2

G*. 11 2E0 (1 +. i J)

N/m2masse dens ite'

.5E4 Kg/m3r/a. 03

a.0,7 m.

Fig. V.2.21

Impe'dance d'unepoutre de Timo-shenko:

E*.224E10(i+.1J)M/m2

G*=.li2Eoq(i+.1J)N/m2

masse dens ite'

.5E4 Kg/m3r/a. 04a.05 m.

127

1E+0l -

.01E+00

a)

- lE-01 -

lE-02-

1E+01 --zoM 1E+00a)

- lE-01 -

lE-02-

V.3 OBTENTION DU MODULE DE YOUNG COMPLEXE DANS LE CAS D'UNE

POUTRE D' EULER-BERNOUILLI

L'expression de l'impédance normalisée (V.2.2)

s 'écrit:

InE a1X'

Z0 i=0(V.3.1)

Mb fiE bX'

i=0

d'où:

128

X = (*)4 pw2a4

E*r2

Avec les valeurs de l'impédance normalisée Z/Mb,

mesurées expérimentalement en variant la fréquence c, on

peut calculer les valeurs du module de Young complexe E*(w)

associées à chaque fréquence par la méthode d'itération

décrite par l'organigrainnte V.3.1 présenté ci-dessous.

129

organigramme V.3.1

(Debut)

*valeur initiale: E0

données: valeurs géométriques de la poutref

boucle j = 1,J

données: w

calculer X0

resoudre Xj dans (V.3.1) par

méthode de Newton

chercher Xj = Xjj le plus proche de X0 (et associé)

1* *E1 = E0

* *E0 = E

130

* *écrire: et E

(Fin)

non

d'où:

X = (na)4 -

131

V.4 OBTENTION DES MODULES DE YOUNG ET DE COULOMB COMPLEXES

DANS LE CAS D'UNE POUTRE DE TIMOSHENKO

En utilisant l'expression (V.2.4):

InE a1X1

Z0 i=0

Mb In

E bX'i=0

(V.4.1 a)

xn+l

E cjYJj =0

= (V.4.1 b)m+lE dYJ

i=0

a 1E*

ß kG*

En mesurant les valeurs de l'impédance normalisées

Z/Mb de deux poutres de deux longeurs différentes, on peut

obtenir les deux modules de Young et de Coulomb complexes du

matériau composite par la méthode d'itération décrite par

l'organigramme V.4.1 présenté ci-dessous.

pw2a4

E*r2

132

Organigramme V.4.1

(Debut)

valeur initiale: E0, G0

données: valeurs géométriques des deux poutres

i = l,L

1 1 2 2données: Z1 et w3, Z1

Ica1cixo I

avec la poutre longue et (V.4.1 a) resoudre

pour X1j par la méthode de Newton

*cherche X1 = X1,j le plus proche de X0 (et E1 associé)

* *E0 =E1

133

1ca1cu1e. Y

avec la poutre coutre et (V.4.1 b) resoudre

pour Y11 parla méthode de Newton

*

chercher Y1 = Y11 le plus proche de Y0 (et G1 associé)

* * * *

et* * * *E0 = E1 G0 = G1

* *[{1 - (G1/G1))

* *et (1 - (E1/E1))] <

(Fin

* *écrire: l' E1, G1

non

134

Les fig. V.4.1 à V.4.2 donnent les modules de Young

et de Coulomb complexes obtenus par les méthodes décrites

dans les paragraphes V.3 et V.4 dans le cas d'un

amortissement hystérétique (E = = 0.1). Les courbes (a):

On utilise la méthode décrite dans le paragraphe V.4 pour

calculer les deux modules complexes à la fois. Les coubes

(b): On utilise la méthode décrite dans le paragraphe V.3

pour calculer le module de Young complexe.

Les fig. V.4.3 à V.4.4 donnent les modules de Young

et de Coulomb complexes obtenus par les méthodes décrites

dans les paragraphes V.3 et V.4 dans le cas d'un

amortissement visqueux (en prennant le modèle de Zener). Les

courbes (a) représentent les valeurs exactes. Les courbes

(b): On utilise la méthode décrite dans le paragraphe V.4

pour calculer les deux modules complexes à la fois. Les

coubes (c): On utilise la méthode décrite dans le paragraphe

V.3 pour calculer le module de Young complexe.

Dans les deux cas d'amortissements cités ci-dessus,

les résultats obtenus dans la cadre de Timoshenko (pour le

module de Young complexe) sont plus proches des valeurs

exactes que ceux obtenus dans le cadre d'Euler.

Fig. V.4.1 (a)

moduLe de YoungcompLexe identifie

Timoshenko:iteration pourE* et G*

EuLer:

iteration pour E*

données génere'esen prennant:r/a1.04, r/a2.08E*.224E10(l+..li)

M/m2E*/G*5

Fig. V.4.1 (b)

135

d.

2,00E'-oq-

3. OOE#O-

2. 5OE+Ei-

ModuLe de Young

Th

ba

0.30-

0.20-

0.10

Coefficient darnortiz5ement

0.00

1E+02 IE+03 1E+04

t.J

ba

1.5OE+O-

1.DOEO

1E+02 1E+03 1E+04

w

Fig, V.4.1 (c)

Fig. V.4.1 (d)

136

ModuLe de CouLomb

J

0.30-

0.20-

0.10

Coefficient d'amortissement

0.00 I

1E+02 1E+03 1E+04

w

module de Coulomb,complexe identifie

?.OE+O8

b.OE+08-

5.OE+08

, q OE+08-

3.OE+O-

2.OE+08

1E+02 1E+03 1E+04

w

Fig. V.4.2 (a)

module de Youngcomplexe identifie

Timoshenko:iteration pourE* et G*

Euler:iteration pour E*

données génere'esen prennant:r/a1.04, r/a2.08E*.224E10(1+.1J)

M/m2E*/G*40

Fig. V.4.2 (b)

137

2OOE+E$3

u

i ,soE0q-

Module de Young

3. DØE+oq-

b

2 5E .0- a

0.30-

0.20

w

0.10-

0.00

1E+02

Coefficient d'amortissement

1E+03

w

1E+04

ba

1,00E+0

1E+02 1E+03 1E+04

w

Fig. V.4.2 (c)

module de Coulombcomplexe idertifie'

Fig. V.4.2 (d)

138

Module de Coulomb

Coefficient d'amortissement

0.30-

0.20-

0.10

0.00 I

1E+02 1E+03 1E+04

w

1E+02 1E+03 IE+04tAJ

Fig. V.4.3 (a)

module de Youngcomplexe identifié

valeur exacte

valeur obtenueavec Le cadre desapproximations deT i moshenko

vaLeur obtenueavec le cadre desapprox i mat ions

d'EuLer

donne'es génere'esen prennant:

E*(Zener)Eo.224E10 N/m2a.004 ; b.002

G* (Zerier)Go.448E0q N/m2

Fig. V.4.3 (b)

139

ModuLe de Young

-

r

r

C

ba

Coefficient d'amortissement

C

baa=.00, ; b.003

r/a1.04r/a2.08a1.05 m.a2.025 m.

masse densit4.5E4 Kg/m3

4

0.50

0.40

0.30

0.20

0.10

0.00

u

5. OE+0-

4. OE+O -

3.OE+O-

/

/r

2. OE+0

1E+02 1E+03 IE+04

w

1E+02 1E+03 1E+04

w

Fig. V.4.3 (c)

module de Coulombcomplexe identifie'

valeur exacte

résuLtatd' iteration

140

S.OE+08-

8.OE+08

i7.OE+08

Module de Coulomb

ba

(J b. OE+08-

5.OE+08-

4. OE+08

IE+02 IE+03

w

1E+04

Fig. V.4.3 (d) Coefficient d'amortissement

0.50-

b

0.40- a0.30

w

0.20-

0.10-

0.00

1E+02 1E+03

w

IE+04

Fig. V.4.4 (a)

module de Youngcomplexe identifié

valeur exacte

vaLeur obtenueavec Le cadre desapproximations deT imoshenko

valeur obtenueavec le cadre desapprox i mat ions

d'Euler

donrt4es gènere'esen prennant:

E*(Zener)Eo.224E10 M/m2a.004 ; b.002

G*(Zener)Go=.5ÇE8 M/m2a.00 b.003

r/a1.04r/a2. 08a1.05 m.a2.025 m.

masse densité.5E4 Kg/m3

Fig. V.4.4 (b)

4.OE+0

u

2.OE1-0

1E+02

Module de Young

//

/J

1E+03 IE+04

w

Coefficient d'amortissement

1E+02 1E+03 1E+04

w

0.50- C

b

0.40- -a0.30

\ç:- \0.20 \

\

0.10i"

0.00

5.0E+0- C

ba

Fig. V.4.4 (c)

module de CoulombcompLexe ¡dentifi4

valeur exacte

résuLtatd' iteration

Fig. V.4.4 Cd)

142

Module de Coulomb

ba

U,

ao.co. Q-

Q

1E+02 1E+03 1E+04

w

Coefficient d'amortissement

0.50-

b

0.40-a

0.30

L:.

0.20-

010

0.00 I

1E+02 IE+03 1E+04

w

143

V.5 LISSAGE DES COURBES PAR DES MODELES VISCOELASTIQUES

CLASSIQUES

On peut faire le lissage des modules complexes

obtenus par les méthodes décrites aux paragraphes V.3 et V.4

en utilisant la méthode des moindres carrés.

Les modèles classiques des modules complexes

s ' écrivent:

nE a(jw)'i=o

= (V.5.1)n

1 + E b1(jw)1=1

Afin de rapprocher les valeurs calculées à l'aide du

modèle analytique (w), des valeurs itérées E(w), obtenues

pour m pulsations wk, on définit le critère de minimisation:

m= E (wk)e(wk) (V.5.2)

k= i

soit:

n n= E(wk) [1 + E b1(jw)3-] - E

1=1 i=O(V.5.3)

On recherche les valeurs de a et b1 qui minimise la

fonction q'

144

d'où =0 (V.5.4 a)

L'expression (V.5.4 b) nous donne:

ni n 1 1

- E E a [ E(wk) (jwk) (jwk) + E(wk) (jwk) (jwk)k=1 i=0

ni n. q 1 1 cq+ E E bq [ E(wk)E(wk) (iwk) (jwk) + E(k)E(k) (i'k) (îwk)

k=1 q=]

in C C' C= - E [ E(w)E(w)(jw) + E(w)E(w)(jw)

k=1(V.5.5 b)

(V.5.4 b)

(V.5.5 a)

et =0ab1

L'expression (V.5.4 a) nous donne:

in n i ci C C'- E E b1 [ E(wk) (jwk) (jwk) + E(wk) (jwk) (jwk)k=1 1=1

in n p i cP+ E E ap [ (jwk) (jwk) + (i'k) (jwk) J

k=1 p=0

nl c C= E [ E(wk) (iwk) + E(wk) (jwk)

k= 1

On pose:

x=... =1. b

145

On peut mettre les expressions (V.5.5) sous la forme

matricielle:

Lr

Caa cab

]J = (V.5.6)

Cba cbb b1J bJ

avec:

m p c- cPCaa = E [ (jwk) (jwk) + (jwk) (iwk)

k= 1(p=O,.. ,n; i=O,.. ,n)

m 1 i i

cab = - E [ E(wk) (i'k) (jwk) + E(wk) (i''k) (jwk) ik= 1

(i=O,.. ,n; 1=1,.. ,n)

m c- c c--

Cba = - E { E(w)(jw) (jwk) + E(w)(jw) (i'k)k= 1

(1=1,.. ,n; i=O,.. ,n)

c q c1 cq 1

Cbb = - E E(wk)E(wk) [ (jwk) (i'k) + (jw) (jwk) Jk=l

(q=1,.. ,n; 1=1,.. ,n)

et

in ci C= E [ E(w)(jw) + E(w)(jw)

k=1

avec:

cil = 2

In

C12 = C21 = 2j E [Re(ok)]k=i

c22 = -2E[(Re(wk))2 + {Im(cok))2]

146

(i=0,.. ,n)

En résolvant (V.5.6), on peut obtenir a1 et b1

Exemple: Modèle de Zener

le module complexe s'écrit:

a0 + a1(jw)E(w) = (V.5.7)

i + b1(jw)

L'expression (V.5.6) devient:

c11 c12 . C13 - aol I s1c21 c22 . C23 I ail I 2

.. . = (V.5.8)c31 c31 . c33 - b1J I s3

in C l 1

Sb = E E(wk)E(wk) I (jwj) + (jwk) ) (1=1,.. ,n)

k= i

147

In

C13 = C31 = -2j E [Re(E)Re(wk) + Lfl(E)Im(wk))k=1

InC23 = C32 = 2 E Re(E)[(Re(wk))2 + {IIn(wk))2)

k= i

In

C33 = -2 E [{Re(E))2 + (IIn(wk)}2] [{Re(wk))2 + {IIn(wk))2)k=1

In

s1 = 2 E [Re(E)]k= i

ms2 = 2j E [Re(E)Re(wk) - IIn(E)IIn(wk)]

k=1

InS3 = 2j E Re(wk) [{Re(E)}2 + (Lu(E))2]

k= 1

148

VI. ASPECT EXPERIMENTAL

VI.1 METHODE EXPERIMENTALE

On utilise un appareil pour mesurer l'impédance

d'une poutre libre-libre coiame le décrit la fig. V.1.].

U4

¿prouvetti5

Fig. VI.1.1

86 6 7

i

LI-3(

Dispositif:

générateur et amplificateur de puissance

excitateur

3. capteur de force piézo-électrique

capteur d'accélération piézo-électrique

pré-amplificateur

filtres suiveurs

diviseur phasemètre

ordinateur

Les erreurs de mesure de l'impédance peuvent pro-

venir des erreurs géométriques (pour détérminer le centre de

la poutre), des erreurs de l'impédance du capteur et des

erreurs de mesure provoquées par le bruit de la chame de

mesure.

Pour minimiser les erreurs de mesure provoquées par

la masse du capteur, on utilise la méthode décrite dans les

paragraphes suivants.

VI.1.2. INFLUENCE DES ERREURS DE MESURE PROVOQUEES PAR LA

MASSE DU CAPTEUR

149

Fig. VI.l.2

150

F = force d'excitation

M = masse ajouté totale

-y = accélération au centre de la poutre

Z = impédance de la poutre

La force excercée sur la poutre s'écrit:

F = M-y + Z-y (VI.l.1)

= ZexpY

d'où Zexp est la valeur de l'impédance mesurée expé-

rimentalement.

Donc, on peut déduire que la valeur execte de

i ' impédance

Z = Zexp - M (VI. 1.2)

On fait les deux hypothèses suivantes:

L'accélération reélle y, est proportionnelle à la

valeur d'accélération mesurée et on peut écrire

-y = a(w)-ym (VI.l.3) -

De même, la force effective Fef f, est propotion-

nelle à la force mesurée Fm:

Feff = ß(w)Fm (VI. 1. 4)

151

Par définition, l'impédance

Fz=--

7

Si l'on corrige les erreurs causées par la masse des

capteurs, on peut écrire:

Fef f -Z - (VI.1.6)

-I

En utilisant les deux hypothèses citées

précédemment, on peut écrire

ßFm - Ma-ImZ=

cr-Im

(ß/cr)Fm - Mym

Finalement, l'expression de l'impédance est

(ß/a) - M(m/Fm)Z - (VI.l.7)

(m/'m)

Maintenant, si l'on mesure la valeur de l'impédance

sans poutre, la valeur de l'impédance Z doit être égale à

zéro. En rapportant le résultat dans l'expression (VI.l.7),

on déduit que

ß/a = M(7m/Fm) capteur

(VI. 1.5)

(VI.l.8)

Ainsi, on peut obtenir la valeur corrigée de l'impé-

dance en rapportant le rapport ß/cr dans l'équation (VI.]..7).

M(im/Fm)capteur - M(ym/Fm)z - (VI.l.9)

(Yt/ Fm)

VI.l.2 INFLUENCE DES ERREURS GEOMETRIQUES

Ces erreurs viennent de l'incertitude de la déter-

mination du centre de la poutre où la force a été excercée.

a

'r

La fig. VI.l.2 décrit une poutre libre-libre, de

masse Mb, excitée par une force sinusoïde à la distance j.a

d'une extrémité de la poutre, d'où le paramètre j est

définit par

(1 - a)(VI. 1.10)

152

a

o

Fig. VI.l.3

153

supposons que la précision de la détermination de la

longeur 1 de la poutre est de l'ordre i0 ni., si la

longeur de la poutre est égale à 0.2 in. et l'erreur fl-max

l0 ni., on peut déterminer la valeur maximum du paramètre jipar l'expression (VI.l.l0)

umax = ((1 -

1/2 - 1max

1/2 + Almax

= 0.9802

La valeur maximale supposée a été utilisée pour

examiner l'effet sur l'impédance et sur le module de Young

complexe d'une poutre de Timoshenko (en utilisant la formule

(11.2.66)).

Les fig. VI.l.4 à VI.1.l5 on peut comparer

l'impédance de la poutre chargée au centre (ji = 1) et

l'impédance de la poutre avec la charge décentrée (ji < 1)

dans le cas du modèle d'amortissement hystérétique avec =

= 0.01 et 0.1 et dans le cas du modèle d'amortissement de

type Zener. Quand la charge est décentrée, on remarque que

la fréquence de résonance et d'antirésonance sont décalées

vers la haute fréquence.

Pour la poutre dont la charge est décentrée, on

remarque la présence de quelque pics intermédiaires (très

faibles) à haute fréquence, notament lorsque l'amortissement

est faible. On peut alors les prendre en compte pour

effectuer le controle de la qualité de l'essai.

154

A l'aide des fig. VI.l.16 on peut comparer le module

de Young complexe obtenu avec la charge au centre ou avec la

charge décentrée. On trouve que les valeur obtenues sont

très différentes à proximité des pics supplimentaires.

Fig. VI.1.4

Impédance daunepoutre de Timo-shenko:

I.L1

1=.8

E*.224E10(1+.01i)M/m2

*=.7o5Eoq(1+.01J)M/m2

masse dens ite'.5E4 Kg/m3

r/a. 02a.10 m.

Fig. VI.1.5

Impe'dance d'unepoufte de Timo-shenko:

1.

E*.224E10(1+.1 i)M/m2

G*.705E0c3(1+. li)M/m2

masse dens ite'.5E4 Kg/m3

r/a. 02a.10 m.

155

Fig. VI.1.b

Impe'dance d'unepoutre de Timo-shenko:

1

i'=.%

E*.224E10(1+.O1J)M/m2

G*=,705EOq(1+.O1J)M/m2

masse dens it.5E4 Kg/m3

r'a. 04a.05 m.

Fig. VI.1.7

Imp4dance d'unepoutre de Timo-shenko:

i.t1

i.&=.%

E*.224E10(1+.1i)M/m2

G*=.7o5Eoq(1+. li)M/m2

masse densité.5E4 Kg/m3

r/a. 04a.05 m.

156

1E+01 -£3

oN IE+00-Q)

- lE-01 -

lE-02-

1E+01 -ci

oN 1E+00Q)

- lE-01 -

lE-02 -

Fig. VI.1.8

Impédance d'unepoutre de Timo-shenko:

.t1

E*.224E10(1+.O1J)M/m2

G*.5(00E08t1+.01 jM/m2

masse dens it.5E4 Kg/m3

r/a. 02a.10 m.

Fig. VI.1.

Imp4dance d'unepoutre de Timo-shenko:

.t1

E*.224E10(1+.1J)N/m2

G*.50E08(1+. li)M/m2

masse dens it.5E4 Kg/rn3

r/a=. 02

a.10 m.

3.57

1E+01 -

EoM 1E+00a)

1E01 -

i E-02 -

1E+0l --o

oM 1E+00Q)

lE-01 -

lE-02-

Fig. VI1.10

Impédance d'unepoutre de Timo-shenko:

i.&=.%

E*.224E10(1+.01j)N/m2

G*.%0E08(1+.01j)N/m2

masse densité.5E4 Kg/m3

r/a. 04a.05 m.

Fig. VI.1.11

Impdarice d'unepoutre de Timo-shenko:

111

L.%

E*.224E10(1+.1J)M/m2

G*.5OEO8(1+. li)M/m2

masse dens it.5E4 Kg/m3

r/a. 04a05 m.

158

1E+01 --o

oNJ 1E+00w

- lE-01

lE-02-

Fig. VI.1.12

Impédance d'unepoutre de Timo-shenko:

I.L1

1.=.q8

avec:modèle de ZenerEo.224E10 N/m2a.002b.001

Go.705E0q M/m2a.001,b. 0008

masse dens it=.5E4 Kg/m3

r/a. 02l/2.10 m.

Fig. VI.1.13

Impédance d1unepoutre de Timo-shenko:

A1

i.t.%avec:modèle de ZenerEo.224E10 N/m2a.002b.001

Go.7O5EOq N/m2a.001b.0008

masse densité.5E4 Kg/m2

r/a. 04l/2.05 m.

159

Fig. VI.1.14

Impédance d'unepoutre de Timo-shenko:

i1

1i.q8

r/a 02l/2.10 m.

Fig. VI.1.15

Impe'dance d'unepoutre de Timo-shenko:

-t1

160

IMPEDANCE

1E+02-

b

1E+01 -

E aoNJ 1E+00

0 2 4 b 8 10 12

na

(b) I.A.%

avec:modèLe de Zener

oNJ 1E+00Q)

-D

Eo.224E10 M/m2a.002b.001

- lE-01 -

Go.5b0E08 M/m2a.00lbb. 0008

masse densite'.5E4 Kg/m3

1 E-02 -

lE-03I I I I t I

r/a. 04L/2=.05 m.

0 2 4 b

na

8 10 12

avec:modèle de Zener

Q)

Eo=.224E10 M/m2a.002b.001

- lE-01 -

Go.5b0E08 N/m2a.001bb. 0008masse densité

5E4 Kg/m3

1 E-02 -

lE-03I I I I I

IMPEDANCE

1 E+02 -

b

1E+01 -- a=

Fig. VI1.lb (a)

module de Youngcomplexe identifie'en négligeant leseffets secondaires

données gêneréesen prennant:

.t1

i.q8

E*.224E10(1+.O1J)

Fig. VI.1.lb (b)

161

3. OOE+09-

Module de Young

na

ba

Coeff Ic lent d 'amort issement

0. 100 -

na

0.080-

0.ObO-

0.040-

0.020-

ba

0.000

0

I

2

I I

4 b 8

I

10

r/a.02a10 m.

masse densité.5E4 Kg/m3

0

I

2

I

4

I

b

I

8

I

10

162

VI.2 INFLUENCE DES ERREURS DE MESURE

On voit bien dans les deux paragraphes précédents

que l'on peut corriger les erreurs dues à la masse du

capteur tandis que les erreurs géométriques induisent des

écarts au voisinage des pics interitédiaires et quand

l'amortissement est faible. Il reste à étudier l'influence

des erreurs causées par le bruit de la chame de mesure.

Dans ce but, on a simulé le bruit de la chame de

mesure par un bruit blanc à 2% (valeur moyenne carrée) de

l'impédance gênerée en utilisant le modèle d'amortissement

hystérétique avec le coefficient d'amortissement égale à

0.2 et en changeant le rapport E*/G* et r/a.

Avec le développement limité au 6eme ordre, la zone

de validité fréquentielle se limite au voisinage de la

première fréquence de résonance. Si l'on compare les fig.

VI.2.2 et VI.2.3, on constate que le module de Young itéré

des premières figures est meilleur que celui des dérnières

parce que son impédance approchée est plus proche de

l'impédance exacte. Par contre, le module de Coulomb est

beaucoup plus sensible au bruit.

Si l'on compare les fig. VI.2.1 et VI.2.3, on trouve

que la zone de résonance dont la zone de validité

fréquentielle se décale avec des longueurs de poutre

différentes.

De ces essais on peut conclure que la qualité des

résultats et la zone de validité fréquentielle dépendent de

163

la qualité de l'impédance, des effets secondaires et de

l'élancement de la.poutre.

Néanmoins dans le cadre d'un essai réel,

l'identification du module de Coulomb devrait être de

meilleur qualité car la simulation des erreurs de mesure par

un bruit blanc introduit un caractère aléatoire lors de la

simulation numerique extrèmeinent pénalisant. Ainsi un erreur

de calibration de 4% d'un des capteurs de force ou

d'accélération et une erreur de 4% sur la phase

n'introduisent qu'un écart relativement faible sur les

modules identifiés comme le montre les Fig. VI.2.4.

Fis. VI.2.1 (a)

module de Youngcomplexe ientifi

avec:2Z de bruitE*(exacte)

164

1,000 2,000 3,000 4,000 5,000

w

1,000 2,000 3,000 4,000 5,000

w

Fig. VI.2.1 (b) Coefficient d'amortizsement

0.50-

0.40-

0.30-

0.20-

0.10

0.00i i i i

.224E10(1+.2j)N/m2

G*(exacte)=.112EOq(1+.2i)

F'1/m2

r/a1.04, a1.05 ni.r/a2.0, a2.033m.masse densite'

.5E4 Kg/m3

w2.OE+O-

1.OE+Oi i i

Module de Young

4.OE+0c3_

3.OE+OS-

Fig. VI.2.1 (c)

moduLe de CouLombcompLexe identifié

Fig. VI.2.1 (d)

165

Module de Coulomb

4.OE+0ô-

3.OE+08-

2.OE+0-

1.OE+08

I I I

1,000 2,000 3,000 4,000 5,000

w

0.bO-

0.50-

0.40

É0.30-

0.20-

0.10

Coefficient d'amortissement

I

I'

J

0.00 - t 'I1,000 2,000 3,000 4,000 5,000

- w

Fig. VI.2.1 (e)

comparaison entreimpedance exacte(avec 2Z de bruit) et¡mpdance approche'e:

E*.224E10(1+.2J)M/m2

E*/G*20

valeur exacte

valeur approchée

166

Fig. VI.2.2 (a)

module de Youngcomplexe identifie'

avec:2'4 de bruitE*(exacte).224E10(1+.2j)

M/m2G*(exacte).448E0(1+.2j)

N/m2r/a1.08, a1.025m.r/a2.10, a2.020m.masse densité

.5E4 Kg/m3

Fig. VI.2.2 (b)

167

1.OE+O9i i i

b,000 8,000 12,000 lb,000

w

Coefficient d'amortissement

0. 0

0.50

0.40

0.30

0.20

0.10

0.00

b,000 8,000 12,000 1b000w

Fig. VI.2.2 (c)

module de Coulombcomplexe identifie'

Fig. VI.2.2 (d)

7.OE+08-

b.OE+08-

3.OE+08t?'

J

Module de Coulomb

I

I

I

2.OE+Oôi i i

b,000 8,000 12,000 lb,000

w

Coefficient d'amortissement

0. bO

0.50

0.40

1.

0.20J.

0.10

0.00

b,000 8,000 12,000

w

lb ,000

Fig. VI.22 (e)

comparaison entreimpedance exacte(avec 2Z de bruit) etimpe'dance approche'e:

E*.224E10(1+.2i)M/m2

E*/G*5

vaLeur exacte

vaLeur approche'e

169

Fig. VI.2.3 (a)

module de Youngcomplexe identifié

avec:2Z de bruitE*(exacte)

Fig. VI2.3 (b)

170

b,000 8,000 10000 12,000

w

.224E10(1+.2i)N/m2

G*(exacte).112Eoq(1+.2i)

Lii2.0E+0-

N/m2r/a1.08, a1.025m.r/a2.10, a2.02 in.masse densité

.5E4 Kg/m3 1.OE+0I I i I

Module de Young

4.OE+O-

3.OE+O

Coefficient damortissement

0. bO

0.50

0.40

0.30

0.20

0.10

0.00

b,000 8,000 10,000 12,000

w

Fig. VI.2.3 (c)

module de Coulombcomplexe identifie'

Fig. VI.2.3 (d)

ModuLe de Coulomb

'. OE+0ô

3.OE+08

2.OE+08

1.OE+08

b,000 8,000 10,000 12,000

w

Coefficient d'amortissement

0.50-

0.40

o0.30

0.20

0.10

f0.00 I I I

b,000 8,000 10,000 12,000

w

Fig. VI.2.3 (e)

comparaison entre¡mpdance exacte(avec 2Y de bruit) etimpédance approchée:

E*.224E10(1+.2J)N/m2

E*/G*20

valeur exacte

valeur approchée

172

.224E10(1+.2i)M/m2

G*(exacte)

=.112EOq(1+.2J)N/m2

r/a1.041 a1.05 m.r/a2.0, a2.033m.masse dens ite

.5E4 Kg/m3

Fig. VI.2.4 (b)

173

Coefficient d'amortissement

0.bO-

1E+02 1E+03 IE+04

w

0.50- a0.40-

0.30-

0.20

0.10-

0.00 I I

Fig. VI.2.4 (a)

module de Youngcomplexe identifié

(a) sans erreurde mesurede L' impédance

(b) avec 44 deserreurs decal ibrat ion

E*(exacte)

4.0E+O-

w

Module de Young

ba

1.OE+0

1E+02 1E+03 1E+04

w

Fig. VI.2.4 (c)

module de Coulombcomplexe identifié

Fig. VI.2,4 (d)

0.20-

0.10

0.00I

1E+02 1E+03 1E+04

w

Coefficient damortissement

0.50-ba

0.40o

0.30-

Module de Coulomb

4.OE+Oô-

b

3.OE+O a2.OE+Oô-

u,

1.OE+O8-

1E+02 1E+03 1E+04

w

175

VII. EXEMPLE DE VALIDATION

VII.2. POUTRE HOMOGENE

On utilise une poutre en P.V.C. de dimensions

suivantes:

F

Fig. VII.l.1

masse densité = 1306.1 kg/in3

épaiseur = 3.12 Innì.longueur = 182 min.largueur = 30 min.

176

La poutre a été excitée en son centre et le module

ainsi que la phase de l'impédance ont été mesurés par la

méthode décrite en chapitre VI. Les résultats expériméntaux

sont présentés dans les fig. VII.l.2 à VII.l.4.

En négligeant les effets secondaires, on identif je

le module de Young complexe par la méthode décrite au

paragraphe V.3. Le résultat est présenté dans les fig.

VII.l.5.

Pour étudier l'influence du module de Coulomb, on

réalise une itération du module de Young complexe avec la

formule utilisée pour la poutre de Timoshenko en prennant le

rapport de E*/G* constant égale à 3. On ne trouve pas

beaucoup de changement dans le résultat tel qu'il est décrit

dans les fig. VII.1.6 (l'écart important à haute fréquence

est du à l'emploi du polynôme du 9eme ordre en (n*a)4 dans

le cadre d'Euler et à du polynôme de 6ème ordre dans le

cadre de Timoshenko).

Les fig. VII.1.7 (les courbes (c)) mentrent les

résulats obtenus en lissant les modules complexes identifiés

à l'aide du modèle classique défini en équation (V.5.1)

soit:

3

E aj(jw)'i=O

*E (w) =3

1 + E b1(jw)-1=1

Les fig. VII.1.7 (les courbes (b))montrent les

résultats obtenus avec un lissage à l'aide d'un modèle de

derivées fractionnaires du module de Young défini par:

1E a(jw)a

i=0

177

1 + b1(jw)ß

On obtient:

a = ß = 0.5

a0 = 0.1361El0

a1 = 0.3567E8

b1 = 0.1193E-1

A l'aide de la procédure décrite en équation

(V.5.6), on obtient:

a0 = 0.1631E10

a1 = 0.7840E6

a2 = 0.4665E2

a3 = 0.1130E-1

b1 = 0.3442E-3

b2 = 0.2517E-7

b3 = 0.4776E-11

=

Fig. VI!.1.4

poutre P.V.C.

179

180

Fig. VII.1.5 (a)

module de YoungcompLexe identifie'E*=E(1+itiE)

Module de Young

3. OOE+E$3

2. 50E+E$3-

2.00E+0-

Li

i ,5+0-

I I I

0 500 1,000 1,500 2,000

f (hz)

0 500 1,000 1,500 2,000

f(hz)

Fig. VII.1.5 (b) Coefficient d'amortissement

0.50-

0.40-

0.30-

0.20

0.10-

0.00 I I I

Fig. VII.1. (a)

module de Youngcomplexe identifié

cadre cfesapprox i mat ions

d'EuLer

cadre desapprox i mat ions

de Timoshenko(en prennantE*/G*3)

Fig. VII.1. (b)

181

Coefficient d'amortissement

0 500 1,000 1,500 2,000

f (hz)

0.50-

b

0.40- a0.30-

0.20-

0.10-

0.00I I I I

Module de Young

3. E3E+$3-

b

2. 5OE+Dc3 aE

u

1.50Eeq-

1,DOE*OI I

0 500 1,000 1,500 2,000

f (hz)

Fis. VII.1.7 (a)

module de Youngcomplexe identifié

E*E(1+Jflz)

lissage avecmodLe de drivesfractionnaires 4param tres

lissage avecmodèLe cLassique

7 paramètres

Fig. VII.1.7 (b)

182

2OOE+E

w

SOE+oq -

1.00EO

Module de Yourg

I I I

0 500 1,000 1,500 2,000

f (hz)

Coefficient d'amorti5sement

0 500 1,000 1,500 2,000

f (hz)

0.50- c

b

0.40- a0.30

k,

0.20-

0.10-

0.00I I I I

c

ba3,OOE4E$3-

2 5OE+I-

183

CONCLUS ION

Le but de cette thèse est de développer une méthode

d'identification des caractéristiques dynamiques des

matériaux. A priori, celle-ci doit s'appuyer sur des essais

expérimentaux simples tout en couvrant un domaine

fréquentiel assez large. -

La démarche utilisée est une méthode non-modale,

basée sur des essais en vibration forcée. Elle permet la

détermination des modules de Young et de Coulomb complexes

des matériaux en fonction de la fréquence.

A l'aide d'une poutre homogène ou symétriquement

stratifiée libre-libre sollicitée en flexion, on mesure les

valeurs de l'impédance. En reportant ces valeurs dans le

développement limité de l'expression analytique de

l'impédance, on identifie les modules complexes par la

méthode itérative de Newton.

Dans le cadre des approximations d'Euler-Bernouilli,

avec un développement limité jusqu'au 9eme ordre, les

courbes obtenues peuvent couvrir un domaine fréquentiel

assez large, englobant plusieurs fréquences de résonance.

Dans le cadre des approximations de Timoshenko, le

résultat obtenu est meilleur que celui obtenu dans le cadre

des approximations d'Euler, mais le domaine de validité

fréquentiel dépend plus sensiblement de la qualité du

développement limité de l'impédance et du rapport des

modules de Young et de Coulomb. En outre, le coefficient de

184

cisaillement doit être pris en compte dans l'analyse.

Dans le cadre de la procédure expérimentale, les

erreurs provenant de 1' impédance du capteur ont pu être

éliminées.

Une fois les modules complexes identifiés à l'aide

de la méthode proposée, on peut procéder à un lissage par

moindres carrés pour identifier un modèle d'amortissement

approprié.

185

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Thèse Doct. 3e cycle, E.C.L. 1987, 87-10-151 p.

195

TABLE DES MATIERES

Résumé 5

Abstract 6

Introduction 7

Viscoélasticité 11

1.1 Aspect phenoiuénologique 11

1.2 Théorie de la viscoélasticité linéaire 14

1.2.1 Opérateurs intégraux 14

1.2.2 Opérateurs différentiels 16

1.2.3 Modules complexes 18

1.2.4 Modules de dérivées fractionnaires 19

1.3 Intégration des modèles

au niveau structural 20

1.3.1 Structures avec amortissement

hystérétique 20

1.3.2 Structures avec amortissement

visqueux 23

1.3.3 Structures avec modèles de

dérivées fractionnaires 27

Théorie des poutres 31

11.1 La modélisation des poutres homogènes

en flexion 31

11.2 Impédance au point courant

d'une poutre libre-libre 36

11.2.1 Impédance de la poutre

d 'Euler-Bernouilli 37

196

11.2.2 Impédance de la poutre

de Timoshenko 45

III. Marériaux composites 61

111.1 La niodèlisation de Timoshenko des poutres

composites multicouches (stratifiées) 61

111.2 Amortissement des poutres stratifiées 70

111.3 Coefficient de cisaillement 80

IV. Identification des caractéristiques

des matériaux à partir d'essais 87

IV.l Mesure directe 88

IV.2 Identification module 91

IV.3 Problème liés aux poles multiples 95

IV.4 Méthode d'identification des plaques

dans le cas anisotrope 99

V. Identification non-modale 103

V.1 Présentation générale de la méthode 103

V.2 Développement asymptotique des impédances 104

V.2.1 Développement asymptotique

de l'impédance au point courant

d'une poutre d'Euler-Bernouilli 104

V.2.2 Développement asymptotique

de l'impédance au point courant

d'une poutre de Timoshenko 112

V.3 Obtention du module de Young complexe dans

le cas d'une poutre d'Euler-Bernouilli 128

V.4 Obtention des modules de Young et de Coulomb

complexes dans le cas d'une poutre

de Timoshenko 131

V.5 Lissage des courbes par

des modèles viscoélastiques classiques 143

197

VI. Aspect expérimental 148

VI.1 Méthode expérimentale 148

V.1.1 Influence des erreurs de mesure

provoquées par la masse du capteur 149

V.1.2 Influence des erreurs géométriques 152

VI.2 Influence des erreurs de mesure 162

VII. Exemple de validation

VII.l Poutre homogène

Conclusion 183

Blibiographie ... 185

175

175

dernière page de la thèse

AUTORISATION DE SOUTENANCE

Vu les dispositions de l'arrêté du 5 juillet 1984, modifié par l'arrêté du 21 mars 1988,

Vu la demande du Directeur de ThèseM. L. JEZEQUEL - Professeur - E.C.L.

et les rapports de M. VAUTRIN - Professeur - Ecole Supérieure Des MinesSamt-EtienneM. F. SIDOROFF - Professeur - E.C.L.

Monsieur CHAIYAPORN Somsak

est autorisé à soutenir une thèse pour l'obtention du titre de DOCTEUR INGENIEUR

Spécialité MECANIQUE

Fait à Ecully, le 6 janvier 1989

Le Directeur de l'E.C.L.

J. BORDET