Il se qu’il existe une différence de température un entre ...nft34.free.fr/Cours Lp VERTE/Transfere Chaleur/TransChal-rappels.pdf · équivalence de la chaleur et du travail 2nd

Introduction au transfert de chaleur

Le transfert de chaleur est un des modes les plus communs d’échange d’énergied’échange d’énergie.

Il se produit dès qu’il existe une différence de température dans un système ou entre 2 systèmes

Sciences pures et dans les

Ils jouent donc un rôle essentiel

Au quotidienapplications technologiques Au quotidien

o Moteurs thermiques o Chauffage de l’eauP b l ilo Calorifugeage – Isolation

o Utilisation d’énergie solaireo …

o Passage ombre‐soleilo Refroidissement d’aliments (purée)o …

Introduction aux transferts thermiques ‐ D. SAURY 1

Thermodynamique et transfert de chaleur2 concepts de base :

– Quantité de chaleur : forme d’énergie à l’échelle microscopique due à l’agitation des

y q

Q g p q gparticules

– Différence de température : moyen de « chiffrer » l’agitation des particules

1er principe : équivalence de la chaleur et du travail

2nd principe : la chaleur se propage spontanément du système le plus chaud vers le système le plus système le plus chaud vers le système le plus froid (tendance à l’uniformisation des températures)

Thermodynamique (classique) états d’équilibreTransferts thermiques mécanismes d’échange


q g

Grandeurs thermiques

•• Surfaces isothermesSurfaces isothermes• La température a une valeur définie en tout point et à tout

q

• La température a une valeur définie en tout point et à tout instant T(x,y,z,t)

• A l’instant t, le lieu des points de même température forme une surface appelée surface isothermesurface isotherme

x xx

x

une surface appelée surface isotherme.surface isotherme.

• Ces surfaces sont, en général, déformablesxx

x

•• Gradient de températureGradient de température

– Traduit la variation de température dans une direction donnéedT

Traduit la variation de température dans une direction donnée

– Dans un repère cartésien Oxyz :

dnT T T, ,x y z

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

grad Tuuuur

– Le long d ’une isotherme, le gradient de température est nul

x y z∂ ∂ ∂


Grandeurs thermiques (suite)

•• Quantité de chaleur et dérivésQuantité de chaleur et dérivés

q ( )

– Quantité de chaleur ≡ énergie( )Q [J] (Joule)

Flux de chaleur ≡ puissance :– Flux de chaleur ≡ puissance : Quantité de chaleur par unité de temps

Φ = Q/t [W] (Watt)Φ Q/ [ ] ( )

– Densité de flux de chaleur :Flux de chaleur par unité de surface

ϕ=Φ/A [W/m2]


Les différents modes de transfert de chaleur• Il existe 3 modes différents de transfert de chaleur (liés aux échanges d’énergie

thermique) :– Conduction

– Convection processus physique bien déterminés

– Rayonnement


Conduction

L’énergie se propage par contact direct des particules sans déplacementé i bl d ll i ( hé è d diff i )appréciable de celle‐ci (phénomène de diffusion)

Tige métallique


Conduction (suite)L’énergie se propage par contact direct des particules sans déplacement

appréciable de celle‐ci (phénomène de diffusion)

( )

appréciable de celle ci (phénomène de diffusion)

o Nécessité d’un support matériel (solide, liquide ou gazeux)

o Seul mode de transfert de chaleur dans les solides opaques

o Suit la loi de Fourier grad Tϕ λ= −uuuurr

o λ (scalaire) : conductivité thermique [W m‐1 K‐1]o : densité de flux [W m‐2]ϕr

dTExemple : Propagation dans une seule direction ϕx = ϕ

T

Si T(x) est linéaire (cf. figure) 2 1T TdTd L

−=

dTdx

ϕ λ= −

T 1

T 2

T (x )ϕ x

( ) ( f f g )dx L

1 2T TL

ϕ λ −=

Introduction aux transferts thermiques ‐ D. SAURY 7L

x L

Ordre de grandeur de λDOMAINE DE VARIATION DE LA CONDUCTIVITE THERMIQUE

SELON LES CORPS

g

alliages

métaux solides purs

métaux liquidesq

monocristaux

réfractaires compacts

eau+liquides organiquesq g q

huiles

liquides organiques

poudres, fibres, mousses, pulvérulentsp p

matériaux isolants, solides amorphes

liquides inorganiques

gaz et vapeurs organiquesg p g q

gaz et vapeurs inorganiques

10 10 10 1 10 10 10-3 -2 -1 2 3

1 1


(W .m .K )-1 -1λ

Convection• Le terme viens du latin ‘cum veho’ = s’en aller avec.

• Nécessite un support matériel (fluide : liquide ou gaz)• Nécessite un support matériel (fluide : liquide ou gaz)

• Conjonction de deux mécanismes :a) transfert d’énergie du au mouvement aléatoire des particules (cf. conduction)

b) transfert d’énergie par mouvement macroscopique du fluide (possibilité de déformation importante)


Convection (suite)Fluide en mouvement

à T∞ Ts ∞T>S t l ΔT t d à i ( h d f id )

( )

Ts

ϕSouvent le ΔT est du à une paroi (chaude ou froide)

Le phénomène suit la loi de Newton :

)T(Th sc ∞−=ϕhc : coefficient d’échange de chaleur par convection (W.m‐2.K‐1)

ϕ : densité de flux (W.m‐2)

Lorsque la circulation d’air est imposée on parle convection forcée. Dans le cas contraire on parle de convection naturelle. Dans ce cas les mouvements d’air sont causés par les forces d’Archimède (différence de densité entre l’air chaud et l’air froid). Lorsque les deux effets sont du même ordre de grandeur on parle de convection mixteLorsque les deux effets sont du même ordre de grandeur, on parle de convection mixte


Convection (suite)Valeurs typiques du coefficient d’échange de chaleur par convection hc (W m‐2 K‐1)

Fluide au reposà T

( )

•Convection libre 5 5 ‐‐ 2525à T∞

Ts

Ts ∞T>

ϕ

•Convection forcée dans un gaz 2525 ‐‐ 250250Fluide en mouvement

à T∞ Ts ∞T>Convection forcée dans un gaz 25 25 250250

•Convection forcée dans un liquide 50 50 ‐‐ 2000020000 Ts

ϕ

•Convection avec changement de phase 25002500 100000100000eau

ébullition

•Convection avec changement de phase 2500 2500 ‐‐ 100000100000(ébullition ou condensation)


Rayonnement• Spontanément ou au cours d’interactions, les particules peuvent céder de l’énergie cinétique par

émission d’ondes électromagnétiques

y

• Inversement, l’absorption d’ondes électromagnétiques par les particules se retrouve sous formed’énergie cinétique donc de chaleur

• Aucun support matériel n’est nécessaire seul mode de transfert de chaleur dans le videpp

• Le transfert suit la loi de Stefan‐Boltzmann

4Tϕ σ=T : température absolue (K)

ϕ : densité de flux (W m-2)ϕ

en général : 4Tϕ ε σ= ε : émissivité de la surface (<1)

σ : constante de S-B (5,67 10-8 W m-2 K-4)


ϕ

Rayonnement : échanges entre 2 surfaces

Text

surface entourant la surface considérée

y g

Surface, Ts 4 4(T T )ϕ ε σ= −ε

S ext(T T )ϕ ε σ= −

r sh (T T )extϕ = −h : coefficient d ’échange de chaleur par rayonnement (W m‐2 K‐1)

Très souvent, on écrit ϕ sous la forme linéaire :

Remarque :

4 4S ext r s ext(T T ) h (T T )ε σ − = −

2 2(T T )(T T )(T T ) h (T T )

hr : coefficient d échange de chaleur par rayonnement (W m K )

2 2S ext S ext S ext r s ext(T T )(T T )(T T ) h (T T )ε σ + + − = −

2 2r S ext S exth (T T )(T T )ε σ= + +


Combinaison entre les différents modes d’énergie

Dans la réalité, les différent modes sont le plus souvent intimement liés.

g

Exple : Eau chauffée dans un récipient

Eau : conduction (un peu) + convection

Paroi : conduction

Flamme : convection + rayonnement

Rq : Si le chauffage se poursuit longtemps : ébullition et vaporisation (transfert avec changement de phase non étudié ici)


(transfert avec changement de phase, non étudié ici)

Combinaison entre les différents modes d’énergieEn pratique :• Soit un mode est prépondérant (et on néglige les autres)

g

p p ( g g )

• Soit les modes ont une importance comparable, mais il peuvent être découplés et traitésséparément

l f h l f flExple : Transfert de chaleur entre une surface et un fluide par convection et rayonnement

total conv rayϕ ϕ ϕ= + y

4 4total c S ext S exth (T T ) (T T )ϕ ε σ= − + −

Conservation de l’énergie : ( 1er principe de la thermodynamique)

Particulièrement utile en transfert de chaleur !Particulièrement utile en transfert de chaleur !

Il faut définir un volume de référence (= volume de contrôle), représentatif du système


Conservation de l’énergie

Energie entrante (Ee) Energie sortante (Es)

g

Energie produite (Ep)

g ( e) g ( )

Si EE EE EE t k d’é i d l l

Energie produite (Ep) : chimique, électrique, électro-magnétique ou nucléaire

Si EEee+E+Epp>E>Ess stockage dénergie dans le volume La température du volume augmenteaugmente

Si EE +E+E <E<E déstockage d’énergie dans le volume Si EEee+E+Epp<E<Ess déstockage dénergie dans le volume La température du volume diminuediminue

Si EE +E+E =E=E état stationnaire

Ee + Ep –Es = Estock Estock = m cp ΔT

Si EEee+E+Epp=E=Ess état stationnaireLa température du volume est constanteconstante


Ee + Ep Es Estock Estock m cp ΔT

RésuméDIFFERENTS MODES DE TRANSFERT DE CHALEUR

MODE MECANISME SCHEMA DENSITE DE FLUX

(W -2)COEFFICIENT

(W.m-2)

CONDUCTION

Diffusion d'énergie due au mouvement aléatoire

T1 T2T1 T2>

λ

ϕ = -λ.dT/dx

λ (W.m-1.K-1)CONDUCTION au mouvement aléatoire des particules ϕ

λ

ϕ λ.dT/dx λ (W.m .K )

CONVECTION

Diffusion d'énergie due au mouvement aléatoire

des particules et transfert d'énergie due

au mouvement

Fluide en mouvementà T∞

Ts

Ts ∞T>

ϕ

ϕ = hc.(Ts-T∞)

hc (W.m-2.K-1)

d'ensemble

Transfert d'énergie par

Text

ϕ = −εσ( )s extT T4 4

h (W m-2 K-1)RAYONNEMENT

Transfert d'énergie par ondes

électromagnétiques Surface, Ts

ε

ouϕ = hr.(Ts-Text)

hr (W.m-2.K-1)


T f t d tifTranferts conductifs

Définition

Transmission locale (irréversible) de la chaleur à l’intérieur d’unTransmission locale (irréversible) de la chaleur à l intérieur d unsystème matériel (solide liquide ou gazeux) non isotherme, dans lesens des température décroissantes

Mécanismes différents suivant le milieu matérielI t ti lé l i GAZInteraction moléculaire : GAZDiffusion de phonons et de charges électriques : SOLIDESInteraction ioniques : LIQUIDESInteraction ioniques : LIQUIDES

Rq : Dans ce cours on ne considérera que le cas des solides

Transferts conductifs en régime permanent‐ D. SAURY 19

Loi de Fourier (1822)

En tout point d’un système, la densité de flux de chaleur est proportionnelle augradient de température.g p

grad Tϕ λ= −uuuurr

nJoseph Fourier

λ (scalaire) : conductivité thermique [W m‐1 K‐1]: densité de flux [W m‐2]ϕ

r

M

ϕ

nJoseph Fourier21/03/1768 – 16/05/1830

M

grad T dA

Par convention, ϕ est compté positif (>0) dans le sens de l’écoulement de la chaleur, c.‐a.‐d. dans le sens des températures décroissantes


Loi de Fourier (suite)

•• Flux élémentaire traversant la surface élémentaire dAFlux élémentaire traversant la surface élémentaire dA :n

M

ϕ

dΦ dAϕ→ →

=dA dA n

→ →

= grad Tϕ λ→ →

=grad T dA

dA dA n= - grad Tϕ λ=

dΦ - grad T n dAλ→ →

=

TdΦ - dAn

λ ∂=

∂noté :

•• Quantité de chaleur associéeQuantité de chaleur associée :

2 Td Q - dA dtn

λ ∂=

∂2d Q dt dΦ=


Orthogonalité du gradient et de l’isothermeEn tout point et à tout instant, on peut écrire :

dT grad T.dM→ →

=nϕ

Pour un déplacement élémentaire sur une isotherme, ΔT=0.dA

Ainsi les vecteurs grad T et dM sont grad TA

M

orthogonaux.IsothermeT = cte


Orthogonalité du gradient et de l’isothermeg g

Lignes de flux orthogonales aux lignes isothermesLignes

isothermes


Conductivité thermiqueqLa loi de Fourier montre que λ s’exprime en [W m‐1 K‐1].

λ dépend de :Du matériau (nature, …)De la températureDe la températureDu degré hygrométrique…

Son domaine de variation est très étendu !

L d ti ité d’ té i té iLa conductivité d’un matériau caractérise l’aptitude de ce matériau à conduire la chaleur :

Bons conducteurs λ >>1 Mauvais conducteurs Bons conducteurs

Bons isolants λ << 1

Rq: dans les pays anglo‐saxon, la conductivité thermique est souvent noté k.

Transferts conductifs en régime permanent‐ D. SAURY24

Rq: dans les pays anglo saxon, la conductivité thermique est souvent noté k.

Influence de la température sur λ• GAZ : λ est proportionnel à T1/2 et dépend peu de la pression

• LIQUIDES : λ décroit avec T (sauf eau) et croit avec PLIQUIDES : λ décroit avec T (sauf eau) et croit avec P• SOLIDES :

– Homogènes : • diélectriques et métaux pur : λ décroit quand T augmente

• Alliages : variations faibles et de sens contraire (λ = cst pour de nombreux aciers)

– Poreux : on définit un coefficient de conductivité thermique équivalent– Isolant classique :

Super isolants : λ ≈ 10‐5 W m‐1 K‐13λ=A T +BT

– Super‐isolants : λ ≈ 10 5 W m 1 K 1

• Cas pratique :– λ = cste– , β < 0( ) ( )0 0λ T =λ 1+β T-T⎡ ⎤⎣ ⎦


Quelques valeurs

CARACTERISTIQUES PHYSIQUES DE CERTAINS MATERIAUX CARACTERISTIQUES PHYSIQUES DE CERTAINS MATERIAUX

Conducteurs thermiquesConducteurs thermiques Isolants thermiquesIsolants thermiques

Conductivitéthermique

Chaleurvolumique

Diffusivitéthermique

Effusivité

λ

(W.m-1.K-1)

cρ

(106 J.m-3.K-1)ρλc

a =

(10-6 m2.s-1)

ρλcb =

(103 J.m-2.s-½.K-1)

Conductivitéthermique

Chaleurvolumique

Diffusivitéthermique

Effusivité

λ

(W.m-1.K-1)

cρ

(106 J.m-3.K-1)ρλc

a =

(10-6 m2.s-1)

ρλcb =

(103 J.m-2.s-½.K-1)Aluminium

Cuivre

Fer pur

Argent

Etain

200

370

63

412

61

2,35

3,40

3,42

2,46

1 65

85

109

18

167

37

22

35

15

31

10

Amiante

Laine de verre

Brique argile

Béton

0,15

0,045

1,00

0,93

0,60

0,019

1,93

1,93

0,25

2,37

0,52

0,48

0,3

0,029

1,4

1,3Etain

Laiton

Fonte pure

Constantan

Acier inox

61

99

56

21,7

14,5

1,65

3,27

3,50

3,72

3,60

37

30

46

5,8

4

10

18

14

9

7,2

Verre à vitre

Chêne en travers

Chêne en long

Glace

i l i

0,78

0,21

0,35

2,20

2,27

1,94

1,94

1,75

0,34

0,11

0,18

1,25

1,3

0,64

0,82

1,16

Acier doux

,

45,3

,

3,61 12

,

13Pierre calcaire

Air à 20°C

Vapeur d'eau 100°C

Eau à 20°C

Huile

1,7

0,0255

0,250

0,60

0 13

1,84

0,00114

0,00112

4,16

1 64

0,92

22

22

0,14

0 08

1,77

0,00539

0,00529

1,6

0 46Huile

Sodium liquide (700°C)

Polyéthylène

Polystyrène

0,13

60

0,60

0,46

1,64

0,97

2,51

1,92

0,08

62

0,13

0,65

0,46

7,6

0,92

0,502

Transferts conductifs en régime permanent‐ D. SAURY26

y y , , , ,

Equation (indéfinie) de la chaleurq ( )• La relation de Fourier doit être vérifiée en tout point du système matériel

• On considère un élément de volume du système et on lui applique le principe de• On considère un élément de volume du système et on lui applique le principe de conservation de l’énergie.

Ee + Ep ‐ Es = Estock

Ep : énergie produite à l’intérieur (par effet Joule par exemple) E é i t ké d l l

Ee : énergie entrant par la surface extérieure (relation de Fourier)

e p s stock

• Appliquée à des infiniment petits (dv, dt), la conservation de l’énergie conduit à une relation entre éléments différentiels appelée équation indéfinie de la chaleur

Estock : énergie stockée dans le volume

relation entre éléments différentiels, appelée équation indéfinie de la chaleur(utilisation du théorème de Green‐Ostrogradski)

Tdiv( grad T) ρ c Pt

λ→ ∂

− = −∂

P : puissance produite par unité de volume (W.m‐3)


DIFFERENTES FORMES DE L’EQUATION INDEFINIE DE LA CHALEUR

Milieu isotrope avec λ = cte1 T PΔT- + =0

λ∂∂

TΔ Laplacien : Δ

a λ= Diffusivité thermique : a

Milieu isotrope avec λ = cte et P=0

a t λ∂a

c ρ Diffusivité thermique : a

(régime instationnaire sans sources internes)1 TΔT- =0a t

∂∂ Équation de Fourier

Milieu isotrope avec λ = cte et (régime permanent avec sources internes)

T 0t

∂=

∂

PΔT+ =0λ

Équation de Poisson

(régime permanent avec sources internes)

ΔT=0 Équation de Laplace

Milieu isotrope avec λ = cte, P=0 et (régime permanent sans sources internes)

T 0t

∂=

∂


ΔT 0 Équation de Laplace

CONDITIONS INITIALE ET AUX LIMITESCONDITIONS INITIALE ET AUX LIMITES

Equation indéfinie de la chaleur

i fi ité d l ti iblinfinité de solutions possibles

Conditions initiale et aux limites, causes de l’évolution du phénomène

Obtention de la solution unique d’un problème physique particulier

Conditions initiales et aux limitesL’équation indéfinie de la chaleur admet en principe une infinité de solutions. La solutionunique d’un problème physique particulier nécessite la prise en compte des conditions initialeet aux limites qui sont les causes de l’évolution du phénomène

Condition initiale

Le champ thermique doit être connu à t=0 en tout point du domaine étudié

Conditions aux limites

A) Contact thermique parfait entre 2 milieux homogènes solides

• Continuité du champ de T

T(A ) = T(A )

milieu 2T1(x) nA1

A2• Conservation du flux thermique

T(A1) = T(A2) milieu 1

T2(x)1 21 2

T T-λ dσ = -λ dσn n

∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠


1 2⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Conditions initiales et aux limites (suite)B) Contact thermique imparfait entre 2 milieux homogènes solides

• Discontinuité du champ de T

• Conservation du flux thermiqueili 2

T(A1) ‐ T(A2) = R1,2.Φmilieu 2

T1(x)

nΔT

A1

R1,2 résistance thermique de contact

milieu 1 T2(x)

A2

C) Contact thermique entre un solide et un fluide• Température imposée (Condition de Dirichlet)

( f iè f d i(ex: frontière fortement conductrice et en contact avecun milieu extérieur conducteur de grande capacitécalorifique ou en cours de changement d’état)

T(x)


x

Conditions initiales et aux limites (suite)

• Flux imposé (Condition de Neumann)

(ex: frontière conductrice et chauffée par effet Joule ou par rayonnement thermique)

T( )ΦdTΦ λ A

dx= −

x

T(x)dx

Rem : Flux nul, surface isolée, adiabatique Pente nulle

dTT(x)

Φ 0= dT 0dx

=


Conditions initiales et aux limites (suite)• Coefficient d’échange connu (Condition de Fourier)

(cas le plus fréquent)

Ts

ϕ(cas le plus fréquent)

SS

Tλ A h A (T T )n ∞

∂⎛ ⎞− = −⎜ ⎟∂⎝ ⎠ lid∞T

ϕ

Sn∂⎝ ⎠

h Coefficient d’échange superficiel (W.m‐2.K‐1)

solide fluide

T∞ Température du fluide (non influencée par le solide)T(x)

Le coefficient h peut représenter l’échange par convection hc, l’échange par rayonnement hr, ou l’échange par convection et rayonnement h = hc + hr

x

RemarquesTempérature imposée ⇔ h = ∞

Surface isolée ⇔ h = 0

y r, g p y c r


Tranferts conductifs en é i trégime permanentsans source internesans source interne

Généralités

Soit un système matériel se trouvant dans un état déterminé à un certain instant. A partirde cet instant, on entretient en certains points de la frontière extérieure de ce système, des

diti li it i h t d tconditions aux limites qui ne changent pas au cours du temps

L’expérience montre qu’au bout d’un certain temps, la température en chaque point dusystème prend une valeur invariable ⇒ régime permanentsystème prend une valeur invariable ⇒ régime permanent

TT∂T 0t

∂=

∂

t

transitoire transitoire

permanent cteλ =

transitoireDans ce chapitre : P = 0 et une seule direction de propagation de la chaleur 0T =Δ

Phénomènes permanents sans puissance interne Phénomènes permanents sans puissance interne -- D. SAURYD. SAURY3535

0TΔ

Problème du murMilieu matériel (solide) limité par deux plans parallèles et infinis de températures uniformes

Faces isolées

y

Tp1 Tp2

d l h l d l d O

xz

ϕ

• Propagation de la chaleur dans une seule direction, notée Ox

• Par commodité, l’origine est prise sur la face la plus chaude

x0 L

chaude

• Le sens des x croissants est pris dans le sens de l’écoulement de la chaleur

Phénomènes permanents sans puissance interne Phénomènes permanents sans puissance interne -- D. SAURYD. SAURY 3636

Problème du mur (suite)2

2

d T 0dx

=L’équation indéfinie de la chaleur se réduit à :

Intégration de l’équationIntégration de l équation

2

2

d T 0dx

=dT adx

= T a x b= +dx

La répartition de température dans un mur est linéaire

Les constantes d’intégration a et b sont déterminées par les conditions aux limites (CL)g p ( )

Ex 1 : * une source S1 impose sa température T1 en x = 0 (≡ la température est connue en x = 0)

( ) ( lT1* une source S2 impose sa température T2 (<T1) en x = L (≡ la

température est connue en x = L)

ϕ

T1

TT2

x0 L

1b T=2 1T Ta 0L−

= <2 1

1T TT(x) x T

L−

= +Ainsi, et


L

Exemple : mur en béton

L'écart de température T1 ‐ T2 provoque un flux de chaleur à travers le mur :

2 11

T TT(x) x TL−

= +

1 2T TL

ϕ λ −=

Écart de température : T1 ‐ T2 = 20°C ‐ 5°C = 15°C

L

Épaisseur du mur : L = 0,20 m

l pour le béton : λ = 0,92 W / (m .K)

Densité de flux thermique à travers le mur : ϕ = 0,92 x 15 / 0,20 = 69 W/m2

Puissance pour A = 5 m x 4 m = 20 m2, P = ϕ A = 1,38 kW


Problème du mur (suite)

Ex 2 : * une source S1 à la température T1 est en contact avec la face en x = 0 par l’intermédiaire d’un coefficient d’échange superficiel de valeur connue (≡ la température est inconnue en x = 0) ⇒ condition de Fourier

* une source S2 impose sa température T2 en x = L (≡ la température est connue en x = L)

Mathématiquement, la 1ère CL s’écrit : )T(Th xT λ- p1 −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

x p0x⎠⎝ ∂ =

Flux de chaleur :

dxdTAλ−=Φ T a x b= +avec :

dx

cteaA =−=Φ λ 0acar0 <>Φ

x0 Il y a conservation du flux de chaleur, et de la densité de flux

LTTA 12 −

−=Φ λou L

TTA 21 −=Φ λ


Notion de résistance thermiqueNotion de résistance thermique

TTA 21 −Φ λ

LA 21=Φ λ

Dans l’exemple précédent, le flux conductif s’écrivait :

peut s’écrire : mur

21

RTT −

=Φavec Aλ

LR mur =

Rmur : Résistance thermique interne du mur (conduction) = Rcd [K/W]

Elle dépend de la géométrie et des propriétés thermiques du murElle dépend de la géométrie et des propriétés thermiques du mur

40Phénomènes permanents sans puissance interne ‐ D. SAURY

Notion de résistance thermique (suite)Notion de résistance thermique (suite)

solideA On peut également écrire la loi de Newton

)Th A (TΦ −=solidefluide

Ts Th

8

)Th.A.(TΦ s ∞=sous la forme :

s

RTTΦ ∞−

=h A1Rsur =8

surR avec h.Asur

Rsur : Résistance thermique superficielle de convection = Rcv

(K/W)

T

)TA.(ThΦ 111 ∞ −=

T 18

T1h1

LTTλ.A.Φ 21 −

=T2

Φh1

)TA.(ThΦ 222 ∞−=T 28

T2

h2


Notion de résistance thermique (suite)Notion de résistance thermique (suite)

T 18

T

)T(TAhL

TTAλ)T(TAhΦ 22221

111 ∞∞ −=−

=−=En régime permanent, on peut écrire :

⎧ ΦRTTT 28

T1

T2

Φh1

[ ] [ ] [ ]Ah1

TT

AλL

TT

Ah1

TTΦ

2

2221

1

11 ∞∞ −=

−=

−=

sur2

22

mur

21

sur1

11

RTT

RTT

RTTΦ ∞∞ −

=−

=−

=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

Φ=−Φ=−Φ=−

∞

∞

sur222

mur21

sur111

RTTRTTRTT

[ ]ΦRRRTT sur2mursur121 ++=− ∞∞

h2

Ainsi : En sommant, on obtient alors :

⎩ ∞ sur222

soit : totale

21

sur2mursur1

21

RTT

RRRTTΦ ∞∞∞∞ −

=++

−=

Ah1

AL

Ah1R

21totale ++=

λ [ K/W ]avec :21

Dans les applications, en particulier en thermique du bâtiment, il est commode d’exprimer le flux traversant le mur sous la forme :

TAUΦ ΔTAUΦ Δ=

U est alors le coefficient d’échange de chaleur global (W.m-2.K-1)totaleR1AU =


Résistance thermique Résistance thermique –– Association sérieAssociation série

Schéma électrique équivalentSchéma électrique équivalentTT11 TT22TTii

T2-T1 = Req Φ

Ti-T1 = R1 Φ

TT11 TT22TTiiRR11 RR22RR11 RR22

(1)

(2)i 1 1T2-Ti = R2 ΦΦΦ

ΦΦ

11 22 ( )(3)

(2)+(3) = T2-T1 = (R1+R2) Φ = (1) = Req ΦTT11 TT22

RReqeq = R= R11+R+R22RReqeq

TT11 TT22RReqeqeqeq 11 22

ΦΦΦΦ


Résistance thermique Résistance thermique ‐‐ Association parallèleAssociation parallèle

Schéma électrique équivalentSchéma électrique équivalentTT11 TT22 ΦΦ11TT11 TT22

RR11

ΦΦTT11 TT22

RR11

ΦΦ11

Φ = Φ1 + Φ2 = (T2-T1)/ReqΦ1 = (T2-T1)/R1Φ2 = (T2-T1)/R2ΦΦ22

RR22

ΦΦ11

ΦΦ22

RR22

22

Φ = (T2-T1)/Req = (T2-T1)(1/R1 + 1/R2) TT11 TT22

RRTT11 TT22RReqeq

1/1/RReqeq = 1/R= 1/R11+1/R+1/R22

ΦΦ

RReqeq

ΦΦ

RReqeq


Mur composéMur composéppAssemblage de murs élémentaires juxtaposés, en contact avec des surfacesplus ou moins parfaites

contacts imparfaits Résistances de

T 18

T1

Φ

h '

contacts imparfaits

3'22

'1 TTTTΦ −−

contact

h1 T1T2 2,3

32

1,2

21

RRΦ ==

∑∑∑ RRRRT 28

T2 T3'T3

' Résistance équivalente d’un mur composé

∑∑∑ ++=k

ckj

sji

ii RRRRh2L1, λ1L3, λ3

L2 λ2L2, λ2

Rq : Plus la résistance thermique est grande, plus la chute de température est importante

Rq2 : La notion de résistance thermique n’a de sens qu’en régime permanent !


q q q g p

AnalogieAnalogie électriqueélectrique

RTT 21 −

=Φest analogue à la relation : e

21

RVV −

=I(électricité)g

][Φ W ][I A

thermiquethermique électricitéélectricité

]/[LR

]ou [T][

°Φ

WK

KCW

][LR

][V][I

Ω

VA

σρ 1

=

ΦRΔT

]/[Aλ

LRcd

=

= WK

UIRΔV

][A

LR

e

e

==

= Ωσ σ : conductance électrique

ρ : résistivité électrique

R est l’obstacle (≡ la résistance) à l’écoulement du flux de chaleur dans le mur, comme Re est( ) el’obstacle au passage du courant d’intensité I dans le conducteur électrique


Analogie électrique (suite)Analogie électrique (suite)

L’analogie électrique permet de résoudre de nombreux cas pratiques

Mur composéMur simple


Mur compositeMur composite

Mur composite111

Résistances en parallèleR1

21 R1

R1

R1

+=R2

Association de résistances en série et en parallèle

Mur réel

et en parallèle

air

parpaing

enduit

En pratique, on définit un λ équivalentp q , q


Cas du cylindre creuxCas du cylindre creux

ex : tuyauteriez

C li d t è lT

T12Cylindre très long

Surfaces isothermes

TT

e1

hh

i

err12

λ

Φ

ihe λ

T(x,y,z) = T(r,θ,z) = T(r)

0dTrλd1=⎟

⎞⎜⎛

0dTd2

⎥⎤

⎢⎡

it

Propagation radiale de la chaleur

0dr

r λdr

r

=⎟⎠

⎜⎝

0dr

rdr2 =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

soit

Intégration de l’équationIntégration de l’équationLa répartition de température dans

un cylindre est logarithmiquebrln aT +=


Cas du cylindre creux (suite)Cas du cylindre creux (suite)a et b sont déterminés par deux conditions aux limites

Ex : * une source S1 impose sa température T1 en r = r1(≡ la température est connue en r = r1)

* une source S2 impose sa température T2 en r = r2(≡ la température est connue en r = r2)(≡ la température est connue en r r2)

1

2112

1

21

Rln

lnRTlnRTbet;Rln

TTa −=

−=

Expression du flux22 R

lnR

ln

dT adTdrdTAΦ ..λ−= rL2A π=

avec et ra

drdT

=

La2Φ πλ−=

1

2

21

RRln

TTL2Φ −= λπ On trouve qu’il y a conservation du flux (résultat

attendu). Mais la densité de flux varie selon r (lasurface traversée par le flux dépend du rayon)

1


Résistance thermique du cylindreRésistance thermique du cylindreq yq y

Φ peut s’écrire sous la forme :21

RTTΦ −

= 2cyl R

Rln L2

1Rλπ

=avecΦ peut s écrire sous la forme : cylR 1RL2 λπavec

Rcyl : Résistance thermique interne du cylindre (K/W)

Aux contacts solide/fluide, on définit les résistances thermiques superficielles interne et externe à partir de la loi de Newtoninterne et externe à partir de la loi de Newton

T

TT

Te

12

iΦ

avecint-sup

1i

RTTΦ −

=ii

int-sup .Ah1R =

ihhe

rr12

λ

tsup

ext-sup

e2

RTTΦ −

=ee

ext-sup .Ah1R =

ext-sup ee

r.L2A .π= ei AA ≠


Utilisation des résultatsUtilisation des résultats

Dans les applications, en particulier en échangeurs, il est commode d’exprimer le flux traversant le cylindre sous la forme : TU AΦ Δ=y TU.A.Φ Δ=

U est alors le coefficient d’échange de chaleur global (W.m-2.K-1)

En fonction de la surface à laquelle on se réfère, on a les deux expressions suivantes :

TAUΦ ΔTAUΦ T..AUΦ e2 Δ=T..AUΦ i1 Δ= ou

AUAU =avec e2i1 .AU.AU =

On procède comme dans le cas des murs composés. Les résistances thermiques s’additionnent (association série)

Cas des cylindres accolés


Cas de la sphère creuseCas de la sphère creuseppSurfaces isothermes

( ) 0dTλd1(T)λ 2⎥⎤

⎢⎡

⎟⎞

⎜⎛ddi ( ) 0

drλr

drr(T)λ 2

2 =⎥⎦

⎢⎣

⎟⎠

⎜⎝

=graddiv

dTd 22 ⎟⎞

⎜⎛T(x,y,z) = T(r,ϕ,θ) = T(r)

0dr

drdTrd

2

22

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

soit braT +=

a et b sont déterminés à partirPropagation radiale de la chaleur

La répartition de température dans une sphère creuse est hyperbolique

a et b sont déterminés à partir des conditions aux limites

p g

(T)λ grad=ϕ λ adTλ −==ϕ

Expression de la densité de flux :Expression de la densité de flux :

csteλ4aA =−==Φ πϕ(T) λ gradϕ2rdr

λ ==ϕ csteλ4aA Φ πϕ

Il y a conservation du flux.

La densité de flux varie selon le rayon en 1/r² (la surface traversée par le flux dépend du rayon)y ( p p y )


Cas de la sphère creuse (suite)Cas de la sphère creuse (suite)

a et b sont déterminés par deux conditions aux limites

Ex : * une source S1 impose sa température T1 en r = r1Ex : une source S1 impose sa température T1 en r = r1(≡ la température est connue en r = r1)

* une source S2 impose sa température T2 en r = r2( l t é t t )(≡ la température est connue en r = r2>r1)

2

1

1

2

21

11RT

RT

bet;11TTa

−=

−=

12 TT− [ ]λ4 π[ ]− TT

1212 R1

R1;

R1

R1

−−

12

21

12

21

R1

R1

RR

R1

R1r

TTT−

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−= [ ] cste TT

R1

R1

λ412

12

=−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=Φπ[ ]

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

12

2

12

R1

R1r

TTλϕ

⎠⎝


Synthèse Synthèse ‐‐ résistance thermique de conductionrésistance thermique de conduction

e

•• Cas de la surface plane (mur plan)Cas de la surface plane (mur plan)

SeR plan λ

=

•• Cas de la surface cylindrique (tube)Cas de la surface cylindrique (tube)

extRl1R Rq : si les rayons deviennent très grands, la surface tend vers un plan

int

extcyl R

lnL2

Rλπ

=q y g , p

Ainsi, Rext=Rint+e >>1 et ln(Rext/Rint) = ln(1+e/Rint) ~ e/Rint

( ) Sλπλe

LR2eR

intcyl ==

•• Cas de la coquille sphériqueCas de la coquille sphérique

11− Rq : si les rayons deviennent très grands, la surface tend vers un plan

Ai i R R 1 t 1/R 1/R 1/R (1 1/[1 /R )]) /R²

λ 4πRRR extint

sphère =Ainsi, Rext=Rint+e >>1 et 1/Rint-1/Rext = 1/Rint(1-1/[1+e/Rin)]) ~ e/R²int

( ) Sλπλe

R4eR 2

intcyl ==


Tranferts conductifs en é i trégime permanentavec source interneavec source interne

SYSTEMES AVEC PRODUCTION INTERNE DE CHALEURSYSTEMES AVEC PRODUCTION INTERNE DE CHALEUR

Une source interne est définie par la puissance thermique P qu’elle produit parUne source interne est définie par la puissance thermique P qu elle produit par unité de volume. En général, P(M,T,t)

Cas particuliers fréquents :

αT).exp(AP 0 −= Réaction chimique

t).TB(M,t)A(M,P += Production de chaleur par effet Joule)( ,)( , p

Dans ce chapitre, on considérera P = cte

57Phénomènes permanents avec puissance interne ‐ D. SAURY

Etude du mur planEtude du mur plan

-Pdx

Td λ 2

2

=L’équation indéfinie de la chaleur s’écrit :

λP-

dxTd2

2

= a xλP-

dxdT

+= b xa x2λP-T 2 ++=

La répartition de température dans le mur est parabolique

T

T2

Si T1 = T2, il y a symétrie

0 L x

T1

La chaleur s’évacue par les deux faces1 2, y y

par rapport au plan médian

Rem :

* a et b sont déterminées par deux CL.

* on peut exprimer a et b inconnues en fonction des températures de paroi qui sont généralement elles-aussi inconnues

0 L x

on peut exprimer a et b, inconnues, en fonction des températures de paroi, qui sont généralement elles-aussi inconnues


Etude du mur plan (suite)Etude du mur plan (suite)

en x = 0, T = T1

L T T LPTTbT

12

1

−=

en x = L, T = T2 L2λL

a 12 +=

122 TLPTTPT ⎤⎡ −1

122 TxL 2λP

LTTx

2λP-T +⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ++=

Densité de fluxDensité de flux

⎥⎤

⎢⎡ +−== a2xP-λdTλ-ϕ L PTTλ-xP 12 −

−=ϕ⎥⎦⎢⎣

+ a2x2λ

λdx

λ ϕ2L

λ-xP −=ϕ

On constate que la densité de flux n’est pas constante : ϕ(x). Mais on peut toujours écrire la conservation de l’énergie


Etude du cylindreEtude du cylindreyy

L’équation indéfinie de la chaleur s’écrit : PdrdT

r1

drTd λ 2

2

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

drrdr ⎦⎣

λP-

drdT

r1

drTd2

2

=+La solution générale de cette équation différentielle est la somme de :

l l ti d l’é ti d bla solution de l’équation sans second membre

et d’une solution particulière de l’équation avec second membre

On recherche une solution de la forme T = Cr2 + Dr + E brln aT +=

D2CrdrdT

+=( ) PD2C12C

2Cdr

Tddr

2

2

=( )

λPD2Cr

r12C −=++

soit :λP

rD4C −=+

4λPCet0D −==

brln ar 4λPT 2 ++−=


Cas du cylindre pleinCas du cylindre pleiny py p

Il n’y a qu’une source qui, par exemple, impose sa température T = T2 au rayon r = R2

Une autre CL est donnée par le fait que sur l’axe, la température doit garder une valeur finie

0 T 0 l 0 b l fi i 0r = 0 ⇒ T = 0 + a ln0 + b = valeur finie- ∞

a = 0

r = R2 ⇒ b.R4λPT 2

22 +−= 222 .R

4λPTb +=

4λ 4λ

22 RPTrP-T ++= 22 .R4λ

Tr4λ

-T ++=

La température est maximum sur l’axe (r = 0) Tenue mécanique et

thermique des matériaux


Cas du cylindre creuxCas du cylindre creux

brln ar 4λPT 2 ++−=4λLes CL peuvent être :

en r = R1, la face est isolée arPdTor +−=0dT=1

en r = R2, T = T2r

r2λdr

or +=0dr

21R

2λPa =

BRln R 2λPR

4λPT 2

21

222 ++−=

[ ] ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−= 2

122

22 Rrln R

2λPrR

4λPT-T

2λ4λ

r = R1, dT/dr = 0

r = R2, T = T2⎠⎝ 2R2λ4λ

Dans ce cas également, on peut déterminer la température maximum atteinte par le matériau

2 2

g , p p p


Et d d l bEtude de la barre

Problème de la barreProblème de la barreC’est un problème qui a de nombreuses applications, en particulier avec les ailettes de refroidissement

Barre homogène, de section constante et de grande longueur

xT∞

h

Origine à une extrémité et Ox parallèle à la grande dimension

Mili té i à T hMilieu extérieur à T∞ avec h

en x = 0, T = To

On recherche la répartition de température

Approche du problèmeApproche du problème

C’est un problème à trois dimensions : T(x,y,z)

Calculs complexes avec l’équation indéfinie de la chaleur (dérivées partielles)

Simplification du problème avec des approximationsp p pp

64Phénomènes permanents : Problème de la barre ‐ D. SAURY

Hypothèse simplificatrice …Hypothèse simplificatrice …

Hyp : Les isothermes sont des surfaces planes et non courbes ⇒ T(x)

Contradiction !

Pas de chaleur s’échappant par les côtés)T(Th

nT λ- p ∞−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

n paroi⎠⎝ ∂

= 0 ≠ 0

L’approximation T(x) conduit à abandonner l’équation indéfinie de la chaleur

Il faut «fabriquer» une autre équation, tenant compte des hypothèses : C’est l’équation de la barre


Equation différentielle régissant le phénomèneEquation différentielle régissant le phénomèneq g pq g p

T hHypothèses de calcul

Ch ffé f idi à l’ d é i é

φT

T∞ h

φ1 φ2

Chauffée ou refroidie à l’une des extrémités

Section A = cte

Périmètre de la section A : p = cte T0

x

L

isothermes φ3

0

Périmètre de la section A : p cte

Coefficient d’échange latéral h = cte

Faibles dimensions transversales

Hypothèse monodimensionnelle

On applique le principe de conservation de l’énergie (ou du flux car on est en régime permanent) à un petit élément de volumeest en régime permanent) à un petit élément de volume

Φ1 = Φ2 + Φ3


Equation différentielle régissant le phénomène (suite)Equation différentielle régissant le phénomène (suite)

x1 dx

dTA λΦ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

Φ1 flux conductif entrant en x

⎞⎛Φ1 = Φ2 + Φ3

dxx2 dx

dTA λΦ+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

Φ2 flux conductif sortant en x+dx

( )( )

( ) ( ) 0TTmT-Td 22

∞hpmavec 2 =

( )( )∞−= TxTdx ph Φ 3 Φ3 flux convectif sortant par h.dx

( ) ( ) 0TTmdx

22 =−− ∞

∞

λAm avec =

( )

( )2eeaxsh

2eeaxch

axax

axax

−=

+=

−

−

( ) ( ) ( ) xm exp A xm exp ATxT 21 +−=− ∞

SolutionsSolutions (2 formulations possibles)

( )

(ax)ch (ax)sh (ax)th

2

=( ) ( ) ( ) xmsh B xmch BTxT 21 +=− ∞

ou


Etude de la barre semiEtude de la barre semi‐‐infinieinfinie

CL :CL : T(x=0) = T0 10 ATT =− ∞

x → ∞, T garde une valeur finie ∞+=−∞= ∞ .A.0AT)T(x 21 A2 = 0

x)λAhpexp(

TTTT(x)

0

−=−−

∞

∞

∞−TTTT(x)

T(x)

Représentation de l’évolution de la température le long de la barreReprésentation de l’évolution de la température le long de la barre

∞− TT0

1

( )

T0

Représentation adimensionnelleReprésentation adimensionnelle

x0x

T∞

x


Etude du flux de chaleurEtude du flux de chaleur

hpTT(x)dxdTA λ- Φ =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−= ∞ x

λAhpexp

λAhp )T(TA λ- Φ 0

x)λAhpexp(

TTTT(x)

0

−=−−

∞

∞⎟⎠

⎜⎝

⎟⎠

⎜⎝ λAλA

⎟⎞

⎜⎛ hp)T(TAhΦ λ ⎟⎟

⎠⎜⎜⎝

−−= ∞ xλA

pexp)T(TAhpΦ 0λ

Le flux entrant dans la barre est égal à :

)T(T Ahp 0)Φ(x 0 ∞−== λ 0)Φ(x =

U ti d fl d ti t l’ t ti tUne partie du flux se propage par conduction et l’autre partie est échangée avec l’extérieur par convection et rayonnement (h)

Rq : à l’extrémité il n’y a pas de flux échangé avec l’extérieur (T(x = ∞) = T )Rq : à l extrémité, il n y a pas de flux échangé avec l extérieur (T(x = ∞) = T∞)


Etude de la barre courteEtude de la barre courte

HypHyp ::

On suppose que les déperditions par l’extrémité sont négligeables (ou face isolée) : Φ (x = L) # 0

xL0X

0L

CL : T(x=0) = T0

x = L, 0dxdT0

dxdTA λΦ

Lx

=⇔=−==

On fait le changement de variables

X = L - x(ce q i re ient à prendre l’origine à l’e trémité libre de la barre)(ce qui revient à prendre l’origine à l’extrémité libre de la barre)

Les CL deviennent :

X = L, T = T0dT

X = 0, 0dXdT

0X=

=

On choisit la solution sous la forme

i d it à i i l

( ) ( )m.X.shBm.X.chBTT 21 +=− ∞

qui conduit à une expression simple


Etude de la barre courte (suite)Etude de la barre courte (suite)( )( )

ch(mX) m Bsh(mX) m BdXdT

21 +=

m B0 m B0dXdT

210X

+===

B2 = 0

ch(mL) BTTTTL,X 100 =−→== ∞ ch(mL)TTB 0 ∞−

=1

ch(mL)ch(mX)

TTTT

0

=−−

∞

∞ xLX −=( )0 ∞

Flux de chaleurdT ( ) sh(mX)λ

( )ch(mL)sh(mX) Ahp TTΦ 0 λ∞−=

dXdTA λΦ = ( )

ch(mL)sh(mX)mTTA λΦ 0 ∞−=

λAhpm avec 2 =


Etude de la barre courte (suite)Etude de la barre courte (suite)

( )ch(mL)sh(mX) Ahp TTΦ 0 λ∞−=

Pour X = L, on trouve le flux entrant dans la barre ( ) th(mL)Ahp TTL)Φ(X 0 λ∞−==

Rq : Φ est une fonction de X. Il n’y a pas conservation du flux transmis par conduction, du fait des échanges latéraux

Si on considère les échanges de chaleur par l’extrémité, on obtient l’équation générale :

sh(mL)hch(mL)

sh(mX) mλhch(mX)

TTTT

0 +

+=

−−

∞

∞

sh(mL)mλ

ch(mL)0 +∞

dont l’équation précédente est un cas particulier


Ailettes de RefroidissementAilettes de Refroidissement

Ce sont des dispositifs qui permettent d’augmenter la surface extérieure d’un solide et par conséquent qui favorisent le passage de la chaleur entre ce solide et le fluide environnant

T∞

( )TTAhΦ ( )∞−= TTA h Φ 0

Pour que Φ augmente, on peut agir sur : h, A ou T0 - T∞

T0T0 - T∞ : peu facile

h : emploi d’un ventilateur (convection forcée)h : emploi d un ventilateur (convection forcée)

A : ajout d’ailettes (en réalité, obtenues par fonderie)

QuestionQuestionQuestionQuestionquelle est la forme optimum à leur donner pour avoir un « rendement » maximum, c-a-d

pour qu’elles évacuent un flux de chaleur maximum pour un poids donné ?

73Ailettes de refroidissement ‐ D. SAURY

Et d d il ttEtude des ailettes

Exemples d’utilisation d’ailettesExemples d’utilisation d’ailettes


Formes fréquemment rencontréesFormes fréquemment rencontrées

Ail tt d ti l t t• Ailette de section quelconque constante

⇒ cf. barre

• Ailette de section A(x) et de périmètre p(x)

⇒ T(x) est solution d’une fonction de Bessel

Efficacité d’une ailetteEfficacité d’une ailette

aΦ=ε

aΦ Flux réel échangé par l’ailette

maxaΦε

maxaΦ Flux maximum qui serait échangé par une ailette idéale (λ→∞) à température uniforme T0


Généralités sur les ailettesGénéralités sur les ailettes

Efficacité d’une surface ailetéeEfficacité d’une surface ailetée

SΦ SΦ Flux réel échangé par la surface ailetée

maxS

S

Φ=η

maxSΦ Flux maximum qui serait échangé par la même surface ailetée à température uniforme T0

Ailette optimumAilette optimumAilette optimumAilette optimum

On démontre que le profil idéal qui donnera le meilleur rendement est constitué par deux cercles de rayon R = λ/h

L

R

Dans ce cas, la répartition de température est linéaire

Quand fautQuand faut--il mettre des ailettes ?il mettre des ailettes ?Il faut au moins que la chaleur évacuée par l’ailette soit supérieure à celle qui quitterait sa base en l’absence d ’ailette !

Pour une ailette aiguille :E ti λp

)T(T Ahp Φ 0a ∞−= λ

)T(TA h Φ 0sa ∞−=saa ΦΦ > 1

hAλp

>En pratique : 4

hAλp

>

Modification de l’écoulement


Convection

CONVECTION

yPlaque chaudedans l'air immobile et froidT(y)T(y)

TsFOURIER:

les molécules acquièrent de

FOURIER:

Tϕ λ ∂= −

∂l'énergie cinétique au voisinage de la plaque et par chocs

successifs contribuent à la

yϕ

∂

successifs, contribuent à la diffusion de la chaleur

79

CONVECTIONy

air

T∞2 phénomènes combinés :

•la diffusion moléculaire ∃ gradient T

Plaque chaudex

Ts≠T

la diffusion moléculaire ∃ gradient T•l'entraînement

Plaque chaude Ts≠T∞

Les phénomènes•de diffusion ont une origine essentiellement moléculaire (chocs, échange d'énergie en transfert de chaleur) et microscopique•de convection superpose un effet moléculaire (la diffusion précédente) à ff t d' t î t i lé d tià un effet d'entraînement macroscopique, appelé advection :convection = diffusion+advection

80

CONVECTION• Conjonction de deux mécanismes :

a) transfert d’énergie dû au mouvement aléatoire des particules

b) t f t d’é i t i d fl idb) transfert d’énergie par mouvement macroscopique du fluide

81

CONVECTION

• Nécessité d’un support matériel (fluide : liquide ou gaz)

Souvent le ΔT est dû à une paroi (chaude ou froide)• Souvent le ΔT est dû à une paroi (chaude ou froide)

Fluide en mouvementà Tà T∞ Ts ∞T>

ϕTs

Paramètres d’influence:• Propriétés du fluide

• Vitesse du fluide

• Géométrie et état de surface du solide

T d’é l t• Type d’écoulement

82

CONVECTION

Loi de Newton:)T(Th sc ∞−=ϕ

densité de flux sc

coefficient d’échange de chaleur par convection (W.m-2.K-1)

densité de flux (W.m-2)

g p ( )

Complexité:h, dépend de plusieurs paramètres: ρ, ν, λ, Cp, forme, rugosité, écoulement…, dépe d de p us eu s pa a èt es ρ, ν, λ, Cp, o e, ugos té, écou e e t

Cette multiple dépendance résulte du fait que le transfert convectif est déterminé par les couches limites dynamique et thermique qui se développent sur la surface du solide.

83

OBJECTIFS DU THERMICIEN

CONVECTION

Pour une situation donnée:OBJECTIFS DU THERMICIEN

Fluide en mouvement

( )∞−= TTAh sφà T∞

T

Ts ∞T>

ϕ

Déterminer:•T qui peut être:

Ts

T∞ qui peut être:• la température du fluide à l'extérieur de la couche limite surun obstacle• la température locale « moyenne » dans une tranche defluide en cas d'écoulement dans une conduite.

•h• qui sera fourni par des relations entre nombres di i l d i t à l dét i ti d hadimensionnels, conduisant à la détermination de h.

84

CONVECTION

Analyse dimensionnelle

N b d N lt N•Nombre de Nusselt Nu

DhNu .=

λNu =

85

CONVECTION

Signification du Nombre de Nusselt Nu

convectionpar iqueFlux therm=Nu

fluide le traversà conductionpar iqueFlux therm=Nu

hDTThS )(( ) λλ

hDTTSTThS

Nup

p =−−

=∞

∞

)()(

Dp

86

CONVECTION

Conclusion de l'analyse dimensionnelle

Le transfert de chaleur convectif implique une relation entre 3 nombres sans dimension

En convection forcée : Nu = f(Re, Pr)

En convection naturelle : Nu = f(Gr,Pr)

87

CONVECTION FORCEE

•Nombre de Reynolds Re•Nombre de Reynolds Re

ρ DU∞DUνμ

ρ DU∞== ∞ DU R e νμ

88

Si ifi ti d N b d R ld RCONVECTION FORCEE

Signification du Nombre de Reynolds ReρU .2

∞

υμρ

μ

ρDUDU

UD

U...

.

.

viscositéde Forcesinertied'ForcesRe

2

∞∞

∞

∞

====

Re caractérise la forme du profil de vitesse de l'écoulement fluide

D2

89

CONVECTION FORCEE

•Nombre de Prandtl Pr

λμC Pr =

90

CONVECTION FORCEE

Signification du Nombre de Prandtl Pr

μρμ

ρμ

CecinématiquViscositéPrλ

μ

ρλ

ρρ

Ca====

thermiqueViscositéqPr

Pr compare les influences respectives :Pr compare les influences respectives :

• du profil de vitesse du fluide (viscosité)

• du profil de température (diffusivité)

91

CONVECTION FORCEE

Loi semi-empirique de la convection forcée

F (Nu Re Pr) = 0

p q

F (Nu , Re , Pr) 0

ou

Nu = f (Re , Pr)

⎟⎞

⎜⎛ μρ CDUhD

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∞

λμ

μρ

λCDU ,fhD

92

CONVECTION NATURELLE

•Nombre de Grashof

( ) 3..β LTTgGr s ∞−

= 2νGr =

Pour les gaz :T1

=βT

Pour l’eau:

T °C 10 20 30 40 50 60 70 80 90

β 103 0,08 0,20 0,30 0,38 0,45 0,53 0,58 0,64 0,67β .10 , , , , , , , , ,

93

CONVECTION NATURELLESignification du Nombre de Grashof Gr

Gr est le rapport entre la poussée d'Archimède et la

Signification du Nombre de Grashof Gr

force visqueuse:

)( TTgβ2

1

).(. TTgGr s

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

−= ∞

μ

β Subie /kg

3.L⎟⎟

⎠⎜⎜⎝ ρ

μ/kg

Gr est à la convection naturelle ce que Re est à la convection forcéeGr est à la convection naturelle ce que Re est à la convection forcée.

94


Si le transfert convectif forcé et le transfert convectif naturel sont dans les mêmes ordres de grandeurs:

Nu = f(Re, Gr, Pr)G 1Re2 ≈Gr ⇒ Transferts convectifs forcé et naturel

comparables

1<<Gr

p

T f t tif t l é li bl1Re2<<Gr ⇒ Transfert convectif naturel négligeable

1Re2 >>Gr ⇒ Transfert convectif forcé négligeableRe95


•Nombre de Rayleigh:

Le nombre de Rayleigh détermine la transition laminaire - turbulent.

Pr.xx GrRa = xx

( ) 3( )a

xTTgRa s

x ... 3

νβ ∞−

=a.ν

96

L i i i i d l ti t ll


Loi semi-empirique de la convection naturelle

F (Nu , Gr , Pr) = 0 F (Nu , Ra) = 0

OUou

Nu = f (Gr Pr)

ou

Nu = f (Ra)

OU

Nu = f (Gr , Pr) Nu = f (Ra)

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ Δ

=⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ Δ

=λ

μβλ

μβλ

CLTgCLTg .....f.,...f hL2

3

2

3

⎟⎠

⎜⎝

⎟⎠

⎜⎝ λυλυλ

, 22

Tf =(Ts + T∞) / 2 Note: Les propriétés du fluide sont à évaluer à la température du film:

97

CONVECTION

Méthodologie:1 Calcul du Nombre de

Reynolds Grashof ou Rayleigh

1.Calcul du Nombre de

Reynolds Grashof ou Rayleigh

En Convection Forcée En Convection Naturelle

2 Ch i d l él ti2. Choix de la corrélation

3 Calcul du Nombre de Nusselt3. Calcul du Nombre de Nusselt

4. Calcul du coefficient h

98

Etude du rayonnement en ymilieu transparent

99

CHAPITRE I

Les échanges d’énergie parLes échanges d énergie par rayonnementy

100

Introduction Le Rayonnement : Ondes et Corpuscules Notion d’angle solide

Vide

Solide de petites dimensions

Ts > TenvVide

SolideTenv

s env

Vide ⇒ ni conduction

ni convection

Ts > Tenv On constate que le système évolue de telle sorte qu’au bout d’un certain temps, Ts → Tenv

Environnement

Échange d’énergie sans support matériel

RAYONNEMENT

Chapitre I – Les échanges d’énergie par rayonnement 101


Causes :

Énergie cédée par les électrons lors de leurs oscillations, vibrations ou transitions d’un état d’énergie vers un autre plus bas

Phénomène en volume

ti liè t i l t l lid i t t ( )• particulièrement vrai pour les gaz et les solides semi-transparents (verres, …)

• pour les solides et les liquides, ce rayonnement est fortement absorbé par les particules voisines ⇒ ≅ phénomène de surfacep p

Chapitre I – Les échanges d’énergie par rayonnement 102


Nature du transport d’énergie :Nature du transport d énergie :

Deux approches : dualité corpuscules / ondes

Propagation d’une collection de particules appelées photons ou quanta

Propagation d’ondes électromagnétiques de fréquence ν (≡ de longueur d’onde λ)

λ c c : vitesse de propagation de la lumière dans le milieu considéré

νλ = p p g

Vide : c = c0 = 2,998x108 m/s

[λ] ≡ L, habituellement en μm( 1 μm = 10-6 m = 104 Å ) λ

ch h E == ν)(

1,24)(Em

eVμλ

=

Chapitre I – Les échanges d’énergie par rayonnement

h : Constante de Planck = 6,6255 10-34 J.s

103


Physique des hautes énergies

Rayons X Infrarouge

Visible

Électricité

Physique des hautes énergiesPhysique nucléaire

10 10 1010 1010 10 10101-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4

yUltraviolet

Rayonnement thermique

10 10-7 -6

Rayons cosmiques

Microondes, Ondes radio, Téléphonie

1010 5 610 10-9 -8

γRayons

10 10 1010 1010 10 101019 18 17 16 15 13 12 11 1010 1021 20 10 910 1023 22 10 14

(λ en μm)en fonction de la longueur d'onde

( ν en Ηz)en fonction de la fréquence λ = c/ν

Spectre du Rayonnement électromagnétique

Exemples de causes d’émission :

Rayonnement thermique : 0.1 et ~100 μm

p

Ondes radio : circulation périodique d’électrons dans des fils (antennes) à ν < 1011 Hz

Rayons X : bombardement de la matière par des électrons


Rayonnement thermique : conversion d’énergie interne (chaleur)

104


Une surface émet un rayonnement thermique dans une gamme de longueurs d’onde, y q g g ,avec une intensité variable selon la longueur d’onde

rayonnement

On parle de répartition spectraleOn parle de répartition spectrale

λ (μm)

Le rayonnement émis par une surface est également directionnelLe rayonnement émis par une surface est également directionnel

θ Surface plane (ou à courbure faible) ⇒ émission hémisphérique

Pour quantifier le transfert de chaleur par rayonnement, il faut donc tenir compte des

Surface sphérique (ou de petites dimensions) ⇒ émission sphérique


rayonnement, il faut donc tenir compte des effets spectraux et directionnels

105


Angle solide : généralisation à 3D de la notion d’angle plan

Il caractérise l’ensemble des directions issues d’un point et contenues dans une portion d’espace

S (sphérique)r

α

r

l

ΩCercle

ΩSphère S est la surface

découpée sur une sphère de rayon r

par l’angle solide Ω

rl

=αrdld =αou

radians (rad)

2rS

=Ω ou 2rdSd =Ω

stéradians (sr)

par l angle solide Ωayant son sommet

au centre de la sphère

radians (rad) stéradians (sr)

Si on considère tout l’espace : S = 4πr2 ⇒ Ω = 4π


Si on considère le demi-espace (hémisphère) : S = 2πr2 ⇒ Ω = 2π

106


Angle solide élémentaire (cas ou la surface est orienté dans la direction de l’angle du vue)

dS (sphérique)r

dΩO

ddSO dSds

dΩ22 rds

rdSd ≅=Ω

Pour une surface non perpendiculaire à l’angle de vue :

dS.cos θθO dS (surface « vraie » )dΩ

dS cosθ (projection de dS)

θr

dS

dS

dΩn


On ne voit pas la surface vraie dS, mais sa projection dS cosθ θcos2rdSd =Ω

107

CHAPITRE II

L’émission

108

Introduction Émission monochromatique Émission totale Récapitulatif

Objet émetteur

L’émission ne dépend que de l’émetteur !

Importance de :

• la surface émettrice (nature, aspect, température)

• la direction d’émission (en général, les directions ne sont t t é i l t )

Difficulté d’étudier pas toutes équivalentes)

• le volume d’espace où le rayonnement est émis

• la longueur d’onde

le phénomène !

• la longueur d onde

On distingue : l’émission totale (analyse globale)

Chapitre II – L’émission

l’émission monochromatique (analyse plus fine)

109


1 - Relation de départPuissance émise par un élément de surface dS, dans l’angle solide dΩ, dans la direction Ox et pour une longueur d’onde λ et donnée par la relation de Bouguer

1 Relation de départ

Relation de Bouguerx

λθλ λλ dddSLddd x Ω=Φ=Φ cos,23

θ

dΩW m2 sr

W/μm ou W/m

dS

θ

W/(m2.sr.μm) ou W/(m3.sr)

μm ou mW/μm ou W/m

: Luminance monochromatique directionnellexL ,λ

dS

Chapitre II – L’émission 110

2 - en intégrant sur toutes les longueurs d’onde :Introduction Émission monochromatique Émission totale Récapitulatif

Puissance émise par un élément de surface dS, dans l’angle solide dΩ et dans la direction Ox est obtenue en intégrant la relation de Bouguer sur toutes les longueurs d’onde

∫∫∞=

=

∞=

=

Φ=Φ=Φλ

λλ

λ

λ

λ0

2

0

32 ddddd onde.

∫∫∞=

=

∞=

=

Ω=Ω=Φλ

λλ

λ

λλ λθλθ

0,

0,

2 coscos dLddSdddSLd xx

xL=Lx : Luminance directionnelle W/(m2.sr)

Ω=Φ ddSLd x θcos2

En général : L est fonction de la nature (aspect) de l’émetteur de sa température et de la direction

Et ainsi :

En général : Lx est fonction de la nature (aspect) de l émetteur, de sa température et de la direction

Cas particuliers : si Lx est indépendant du point choisi, on dit que le rayonnement est homogènesi Lx est indépendant de la direction Ox, on dit que le rayonnement est isotrope ou diffus ou encore lambertien (la source obéit à la loi de Lambert)


Intensité énergétique élémentaire


C’est le flux par unité d’angle solide dΩ, émis par un élément de surface dS dans la direction Ox.

ΩΦ

=dddI

2

W sr-1 θcosdSLdI x=Soit encore :Ωd

Remarque : dans la direction normale à la surface, θ = 0, dI0 = Lx dS = L0.dS

L θcos00

dILLdI x=

Cas particulier : dans le cas d’un rayonnement isotrope, Lx ≡ L0 = cte

θdIdI


θcos0dIdI =

112

Indicatrice de l’intensité


n n

On porte, sur chaque direction Ox issue de la surface, une longueur proportionnelle à l’intensité dans cette direction.

xdI0

x

dIdI

dI0

θ

O Oθ

O

dI

OdS

Émission non diffuse

OdS

O

É


Émission non diffuse Émission diffuse (ou isotrope ou lambertienne)

113

3 - en intégrant sur tout l’espace d’émission :Introduction Émission monochromatique Émission totale Récapitulatif

Puissance émise par une surface dS dans toutes les directions ≡ toutl’hémisphère au-dessus de dS

∫∫ ΩΦΦ θ2 ddSLdd ∫ Ω=Φ θcos dLdSd∫∫=Ω=Ω

Ω=Φ=Φππ

θ22

2 cos ddSLdd x ∫=Ω

Ω=Φπ

θ2

cos dLdSd x

M=

M : Emittance énergétique (totale) (W/m2)

M

dSd

MΦ

=

Remarque : à partir de dΦλ, on peut également définir l’émittance monochromatique Mλ

2

dSd

dSddM λ

λ λΦ

=Φ

=2

W/m3 ou W/(m2 μm)

44 344 21M

,32 )θ(cos

ΩΩ∫∫ =Φ=Φ dΩLdSddd x λλ

Mλ.dλ est la puissance émise par unité de surface (ou densité de flux émise), dans toutes les directions et dans la bande de longueur d’onde [λ, λ+dλ]

∫∞=λ

λdMM

λM=

O é l E ff t ∫∫ ΦΦ λdMdSddSMd 2


∫=

=λ

λ λ0

dMMOn peut également remarquer que : En effet, ∫∫ =Φ==Φλ

λλ

λdMdSddSMd 2

114

Le calcul de M est en général compliqué !


Cas particulier : Émission lambertienne (Lx = L0 = cte) ∫=Ω

Ω=π

θ2

0 cos dLM ( Intégration sur un demi-espace )

[ ][ ]

444 3444 21434211

220

2/

0θcos1

2

00

20 )0(cos)2/(cos

212sincossincos

2 −==

=Ω

−−

=== ∫∫∫ ππθθθφφθθθππ

π

LddLddLM

d [ ]θcos2

−= d

0LM π=

[ ][ ]2/0

2,0θ

πφ ∈

Emission lambertienne


[ ]2/,0 πθ ∈

115

4 - en intégrant sur toute la surface d’émission :Introduction Émission monochromatique Émission totale Récapitulatif

Puissance émise par la surface S, ou flux énergétique total de la source S

Watts, W∫∫ =Φ=ΦSS

dSMdSS

L’é i i t t l ’ t l’é i i i d it t t l l d’ dL’émission totale, c’est l’émission qui se produit pour toutes les longueurs d’ondedans toutes les directions possibles, par une surface S donnée.


Emission par toute la surface

dans tout l’espace


dans tout l espace

Φ

λΦ S

Emission par une surface

élémentaire dans tout l’espace

dΦ

dSdΦM =

λdΦ

dSdΦM λ

λ =

W/m2

λ

W/(m2.μm) ou W/(m3)

dS

Emission par une surface élémentaire dans une portion

d’espace

Φd 2 Ω

=dsθcodS

ΦdL2

x

λ2Φd Ω

=dθcosdS

ΦdL λ2

λx,

W/(m2.sr) W/(m2.μm.sr) ou W/(m3.sr)

dS

dΩ

Puissance totale (W)

Grandeurs dérivées Puissance

monochromatique (W/μm)

Grandeurs dérivées

Pour toutes les longueurs d’onde Pour une longueur d’onde


CHAPITRE III

L’émission du corps noirL émission du corps noir

118

Définition Émission totale Émission spectrale

L’étude du rayonnement d’une surface est complexe car elle fait intervenir différentsL étude du rayonnement d une surface est complexe car elle fait intervenir différents paramètres dépendants les uns des autres

On définit donc une surface idéale (de référence). Le rayonnement des autres surfaces sera comparé au rayonnement de cette surface idéale,

appelée corps noirappelée corps noir

Remarque : cf. Thermodynamique avec le gaz parfait et les gaz réels

Surface idéale, ayant les propriétés suivantes :

• Absorbe tout rayonnement incident, ∀ sa longueur d’onde et son orientation

• Aucune surface n’émet plus d’énergie, à T et λ données

• Son rayonnement est indépendant de la direction d’émission (émetteur diffus ≡ suit la loi de Lambert)

Chapitre III – L’émission du corps noir 119


Représentation du corps noir Cavité à température de surface interne uniforme, possédant n petit orifice

p p

tit ifi

possédant un petit orifice

petit orifice

Tisotherme

Rem : le concept de corps noir est fondamental, car on peut évaluer théoriquement ses propriétés di ti à ti d l th d i t ti ti

Chapitre III – L’émission du corps noir

radiatives à partir de la thermodynamique statistique

120


Émission dans une direction

Le corps noir satisfait à la loi de LAMBERT : la luminance est indépendante de ladirection d’émission. Elle est notée L0direction d émission. Elle est notée L0

Loi de Stefan-Boltzmann

L’émittance totale, notée M0, est proportionnelle à la quatrième puissance de satempérature absolue

= 5 67x10-8 W m-2 K-44

0 TM σ= W/m2σ = 5,67x10-8 W.m-2.K-4

Constante de Stefan-Boltzmann

De plus, la luminance totale s’écrit :π

= 00

ML

Rem : dans les pays anglo-saxons (et donc dans certains livres), on trouve :

l’indice b (black body) à la place de l’indice 0

la lettre E à la place de la lettre M


la lettre E à la place de la lettre M

la lettre I à la place de la lettre L

121


Loi de PlanckLoi de Planck

proposée par Planck vers 1900, à partir de sa théorie des quanta

51

0 ⎞⎛=

−CM λλEmittance monochromatique du corps noir W.m-2.μm-1

1exp 20

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛TCλ

λq p μ

chC

chC = 21 2π

18

34

10998,2106255,6

−

−

=

=

smcsJh

avec et

kchC =2

123103805,1 −−= KJk

C1 = 3,741.10-16 W.m2 ou 3,741.108 W.μm4.m-2

C2 = 0,014388 m.K ou 14388 μm.K

Chapitre III – L’émission du corps noir 122


• Chaque courbe passe par un maximum (et un seul)

• La position du maximum dépend de T

Courbe M0λ = f(λ)

• Dissymétrie prononcée des courbes

• La courbe pour T1 > T2 se situe au-dessus de celle pour T2

Relation entre émittance monochromatique et luminance monochromatique :

celle pour T2

λλ π 00 LM =

400 TdMM σλλ == ∫

∞

0∫

42845

106752 −− KmJkπσ


32 1067,515

== KmJhc

σ

123


Lois de Wien Elles donnent l’abscisse et l’ordonnée du maximum de M0λ0λ

KmTm μλ 2898=

550 TBM

m=λ

B = 1,287.10-11 W.m-2.μm-1.K-5

Rq : B peut être aisément obtenu à partir de la loi de Planck approximéeRq : B peut être aisément obtenu à partir de la loi de Planck approximée (DL à l’ordre 1)

Remarques :

• déplacement de λm vers les courtes λ quand T augmente ⇒ chauffé au rougep m q g g

⇒ chauffé à blanc

• pratiquement pas de recouvrement entre le spectre solaire et celui de la Terre (291 K)


( )

⇒ applications serres, vérandas, et capteurs solaire

124


Fraction de l’émittance totale contenue dans un intervalle spectral donnéFraction de l émittance totale contenue dans un intervalle spectral donné

∫2

0 λλ

λ dMOn a parfois besoin d’évaluer à

∫

∫∞− =

00

121

λλ

λλλ

dMF

On a parfois besoin d évaluer, à une T donnée, la quantité :

2λ

∫4

10

21 T

dMF

λλ

λ

λλ

∫=−

λ1 λ2


4Tσ

125


On peut écrire :

1020

1

0

2

04211

λλ

λ

λ

λ

λλλ λλσ −−− −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−= ∫∫ FFdMdM

TF

∫λ

λ )(1 dMF

00σ ⎦⎣T

λλ

dC1 1∫∫=− λλ λσ 0

040 )(dMT

F λλσ λ

λ deT

CFT

C.

1

1

0 45

10

2∫⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=−

L’intégrale ne dépend que de λ.

On multiplie haut et bas par T, et en remarquant que Tdλ = d(λT)

CTλ1

( )( )Td

eT

CFT

CT λλσ

λ

λλ ∫

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=−0 5

10

1

12

On passe ainsi de 2 variables (λ et T) à une seule (λT) et :

FFF =


TT FFF12 0021 λλλλ −−− −=

126


F0-λT est donné par une courbe ou par un tableau de valeurs

Exemple :

T = 1000K

λ1 = 2 μm

λ2 = 4 μm

λ1T= 2000 μm.K λ2T= 4000 μm.K

48,010 =− TF λ

07,010 =− TF λ1


41,007,048,012 0021 =−=−= −−− TT FFF λλλλ

127

128

CHAPITRE IVCHAPITRE IV

L’émission des corps réels

129

Définitions Les diélectriques Les matériaux conducteurs En pratique

Les lois physiques vues au chapitre précédent donnent M0 et M0λ du corps noir. Ce sont desgrandeurs hémisphériques car le corps noir émet un rayonnement diffus

L’évaluation des propriétés émissives des substances réelles se fait par rapport à celles du corpsp p p pp pnoir (dans les mêmes conditions de T et de λ), à l’aide de coefficients appelés émissivités,totales ou monochromatiques, hémisphériques ou directionnelles. Les valeurs de ces coefficientsvarient donc entre 0 et 1

0MM ε= ε émissivité totale hémisphérique0

λλλ ε 0MM = ελ émissivité monochromatique hémisphérique

00 dM

Mλε λλ∫

∞

∫∞

40

0 TMM

σε ==∫=

0

λλ dMM

Chapitre IV – L’émission des corps réels 130


M0LL xx ε=

ε LL =

εx émissivité totale directionnelle

é i i ité h ti di ti ll

πε 0ML xx =

λ0MLλλλ ε 0,, LL xx = εx,λ émissivité monochromatique directionnelle π

ε λλλ

0,,L xx =

dMdL λελε ∫∫∞∞

40

0,

0

00,

T

dM

dL

dL xx

x σ

λε

λ

λεε

λλ

λ

λλ ∫

∫

∫∞ ==

00λ∫

L’émissivité des substances naturelles dépend de leur nature physico-chimique, de leur état desurface (défauts de planéité rugosité) et varie avec λ x et Tsurface (défauts de planéité, rugosité), et varie avec λ, x et T

Remarques :

• corps noir 1==== εεεε• corps noir 1, ==== εεεε λλ xx

εε →x λλ εε →,x• corps à émission diffuse (ou isotrope)

xx εε λ →,εε λ →• corps gris ελ = cte

Chapitre IV – L’émission des corps réels

• corps gris et diffusant un seul paramètre ε

131


Il est difficile de connaître les valeurs des émissivités pour un corps donné. Néanmoins, les surfacesé ll t êt l é 2 té i l diél t i (i l t él t i ) t l té iréelles peuvent être classées en 2 catégories, les diélectriques (isolant électriques) et les matériaux

conducteurs (électriques)


Domaine de variation de l’émissivité (normale) selon les corps

132


É

les diélectriques

Émission relativement isotrope, sauf dans les directions rasantes à la surface. En général, ελaugmente avec λ dans le proche IR. Ils suivent à peu près la loi de Lambert

Émissivité totale directionnelle

Émissivité monochromatique normalenormale



les matériaux conducteurs

Émissivité totale di ti lldirectionnelle

Leur émissivité totale directionnelle est importante dans les directions rasantes à la surface

L’état de surface (rugosité,


Émissivité monochromatique normaleétat de su ace ( ugos té,

oxydation, …) modifie fortement les émissivités

134


fAu niveau de ce cours, on admettra en général que les surfaces ont une émissivité indépendante de la longueur d’onde et de la direction, c-a-d qu’il s’agit de surfaces griseset à émission diffuse

Un paramètre unique, ε

cte=ε cte=λε


CHAPITRE V

L é tiLa réception

136

Éclairement Réflexion, absorption et transmission Loi de Kirchhoff

Que se passe-t-il quand un rayonnement arrive sur une surface donnée ?p q y

Rayonnement émis Rayonnement reçu

flux → flux

intensité → intensité

luminance → luminance

émittance → éclairement

nθ

S

dSM dΦr : flux énergétique reçu par dS en provenance de la source quasi-ponctuelle S

S

dE Φ (W 2)É l i tdSdE r

cΦ

= (W.m-2)Éclairement

Chapitre V – La réception

La notion d’éclairement est attachée à l’ensemble émetteur + récepteur

137


nn '

rθ

dΩdΩθ '

'r d dSΣ

dΩdΩ

émetteur récepteur

Puissance émise par dΣ et tombant sur dS : ΩΣ=Φ ddLd θcos2(relation de Bouguer)

ΩΣΦ ddLd x θcos

Éclairement de dS :dSdEc

Φ=

2

2

'cosr

dSd θ=Ω 2

' cosr

dd θΣ=Ω

dS r r

''cos Ω= dLE xc θ

émetteur récepteur


éclairement solaire : Ec = 1,4 kW/m2 (hors atmosphère)138


Réception du rayonnement par un corps : réflexion, absorption et transmissionRéception du rayonnement par un corps : réflexion, absorption et transmission

Φ+Φ+Φ=Φ rati Φ+Φ+ΦΦ

a

ΦΦ

=α t

ΦΦ

=τrΦ=ρ

iΦabsorptivité

iΦtransmissivité

iΦρ

réflectivité

1=++ τρα

Cas particuliers :

• surface opaque rai Φ+Φ=Φ

ai Φ=Φ• surface totalement absorbante (corps noir)

ti Φ=Φ• surface totalement transparente


ai

139


t t défi i d iè l b l C t d d t t l hé i hé i O tα, ρ et τ sont définis de manière globale. Ce sont des grandeurs totales hémisphériques. On peutégalement définir des grandeurs équivalentes monochromatiques ou directionnelles

Φ

λ

λλα

i

a

ΦΦ

=λ

λλρ

i

r

ΦΦ

=λ

λλτ

i

t

ΦΦ

= 1=++ λλλ τρα

Remarque sur la réflexion

De même : xxx et λλλ τρα ,

Remarque sur la réflexion

2 cas extrêmes

Surfaces parfaitement lisses (polies)

loi de Descartes (Optique)

Surfaces très rugueuses,parfaitement dépolies


loi de Descartes (Optique)loi de Lambert

140


Influence de la longueur d’ondeInfluence de la longueur d onde

Pour les matériaux semi-transparents (verres, plastiques) ainsi que pour certains réfractaires et certains gaz, α, τ et ρ varient fortement avec λ

verre ≈ transparent au visible

≈ opaque aux IR

Capteurs solaires

Chapitre V – La réception 141


Ts

L l éth lè l i l IRLe polyéthylène laisse passer les IR

⇒ pas d’effet de serre

Le verre ne laisse pas passer les IR


Le verre ne laisse pas passer les IR

⇒ effet de serre

142


Relation entre absorption et émission Loi de Kirchhoff (ou de Drapper)Relation entre absorption et émission. Loi de Kirchhoff (ou de Drapper)

λλ αε ,, xx =

En général, ελ ≠ αλ εx ≠ αx ε ≠ α

Cas où ε = α

• corps gris ελ = ε et αλ = α

• corps noir ελ = 1 ∀λ ⇒ α = ε = 1

C l i L i t b b f itConclusion : Le corps noir est un absorbeur parfait

Chapitre V – La réception 143

Chapitre 6p

‐‐‐

échanges radiatifs entre surfaces grises é é lséparées par un milieu transparent

144

Echange radiatifs entre deux surfaces noires

ε = α = 1 et ρ = 0 et τ = 0S1 et S2 α Surface noires

n2n1

S1

T1

r

dS2

θ2dΩ1

dS

θ1

Le flux monochromatique émis par une surface dS1 vers une surface dS2 s’écrit :3 1

dS1 S2 T2

3 1x,λ 1 1 1d Φ = L dS cosθ dΩ dλ

Le flux total émis par la surface dS1 vers la surface dS2 s’écrit donc :

(relation de Bouguer)

2 3 1 1x,λ 1 1 1 x 1 1 1d Φ = d Φ L dS cosθ dΩ dλ L dS cosθ dΩ

λ λ

= =∫ ∫2 2dS cos θdΩ

11 1 0Mt2 2

1 2dΩ =r

avec

2 1 41 1 2 2 1 1 2 2dS cosθ dS cos θ dS cosθ dS cos θd Φ = M σ T=

1 1 0x 0

ML = L = π

et (Lambertien)

Chap. 6 : échanges radiatifs entre surfaces grises séparées par un milieu transparent – D. SAURY

0 12 2d Φ M σ Tπ r π r

=

145

Echange radiatifs entre deux surfaces noires

n2n1

S1

r

n1

θ2dΩ1θ1

T1

r

dS2dS1 S2 T2

2 1 1 1 2 20 2

dS cosθ dS cos θd Φ = M S1 et S2 α Surface noires 0 2π r

Ainsi, le flux total Φ12 émis par la surface S1 vers S2 s’écrit :

1 11 1 2 2 1 1 2 2dS cosθ dS cos θ dS cosθ dS cos θΦ = M = M∫∫ ∫∫1 2 1 2

12 0 02 2S S S S

Φ = M = Mπ r π r∫∫ ∫∫

Chap. 6 : échanges radiatifs entre surfaces grises séparées par un milieu transparent – D. SAURY 146

Facteur de forme

Le flux total Φ12 émis par la surface S1 vers S2 s’écrit :

1 1 41 1 2 212 0 0 1 12 1 1 122

S S

dS cosθ dS cos θΦ = M M S F T S Fπ r

σ= =∫∫1 2S S π r

T1 et la température de la surface S1F est appelé le facteur de forme de 1 vers 2F12 est appelé le facteur de forme de 1 vers 2

1 1 2 2dS cosθ dS cos θ1F = ∫∫1 2

12 21 S S

F S π r∫∫

Rq : Le facteur de forme représente la fraction de flux émis par S1 qui atteint S2

C’est un paramètre purement géométrique

Le flux Φ21 émis par la surface S2 vers S1 s’écrit :

On compte positif le flux lorsqu’il quitte la surface chaude (vers une surface plus froide)

2 421 0 2 21 2 2 21Φ = M S F T S Fσ=


attention conventions contraire a celle de la thermodynamique !

147

Réciprocité des facteurs de forme

Réciprocité : 1 1 2 2dS cosθ dS cos θS F = S F =⎛ ⎞⎜ ⎟∫∫Réciprocité :

1 2

1 12 2 21 2S S

S F = S F = π r

⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∫∫Cette relation est générale, dans le cas d’échanges entre plusieurs surfaces on a donc :

i ij j jiS F = S F

Les surfaces considérées sont noires, le flux Φ12 émis par S1 et tombant sur S2 est totalement absorbé par S2. Réciproquement leflux Φ21 émis par S2 et tombant sur S1 est totalement absorbé par S1.

Le flux net échangé Φ1 entre ces deux surfaces d’écrit donc :

( )1 12

1 2 4 41 12 21 0 1 12 0 2 21 1 12 1 2

= S F

Φ = Φ - Φ = M S F M S F S F T -Tσ− =

Soit encore : ( )4 41 12 1 2= F T -Tϕ σ

Rq : Avec les convections prises !si Φ1 > 0 : S1 reçoit de la chaleursi Φ1 < 0 : S1 fournit de la chaleur


si Φ1 < 0 : S1 fournit de la chaleursi Φ1 = 0 : compensation

148

Calcul des facteurs de forme

Relation d’addition : ij im inF = F F+j m nS = S S+Si alors

Linéarité de l’opérateur « intégrale »« intégrale »

Cas d’une enceinte fermée : (constituée de n surfaces noires et isothermes individuellement)

Pour la ième surface, on peut définir n facteurs de forme : Fi1, Fi2, …, Fin

nni i0 ij 0

1M = F M

j=∑

n

i i j1

Flux émis par S = flux émis par S vers Sj=∑

n

ij1

F 1j=

=∑Soit encore :

Rq : En général Fii=0 (sauf dans le cas de surface concave !)

Il est toujours possible de se ramener au cas d’enceinte fermée en fermant le domaine


Il est toujours possible de se ramener au cas d’enceinte fermée en fermant le domaineavec des surface fictives à température ambiante.

149

Calcul des facteurs de forme

Cas de 2 corps en « influence totale » : (Tout le flux quittant S1 atterrit sur S2 et inversement)Cas de 2 corps en « influence totale » : (Tout le flux quittant S1 atterrit sur S2 et inversement)

F = 1II

12

121

F = 1SF = SII

I2

122

SSF = 1 - S

II

222S

Rq :Le calcul « pratique » des facteurs de forme se fait à partir de tables permettantd’obtenir rapidement F sans avoir à calculer :d obtenir rapidement Fij sans avoir à calculer :

i i j jij 2

dS cosθ dS cos θ1F = S π r∫∫


i ji S SS π r∫∫

150

Calcul « pratique » des facteurs de forme






Schéma électrique équivalent

)M(M S FΦ 20

101121 −=Rappel : Le flux net échangé entre 2 surfaces noires s’écrit :

Analogie :

1ΦRΔTTT 21 ==−

1112

20

10 Φ

S F1MM =−

21

I RUΔVVV 21 ===−ou

Schéma électrique équivalent :

10M 112 S F

1 R =20M


0 0

Φ


1Φ

154

Notion de radiosités

On considère désormais des surfaces opaques, grises et diffusantesp q , g

Ce type de surface, outre le flux radiatif émis, réfléchit une partie du flux radiatif incident (qu’elle reçoit).

On introduit une nouvelle grandeur J, appelée radiosité, constituée du flux émis et du flux réfléchi c’est à dire du flux qui "quitte la surface". Ainsi,

ρEεMJ 0 += où E est l’éclairement.

Comme la surface est opaque ( τ = 0 ), ρ = 1 - αp q ( ), ρDe plus comme ε = α (surface grise), ρ = 1 - α

Eε)-(1 MεJ 0 += )(0

Le flux net perdu par la surface considérée S sera égal à la différence entre le flux émis et le flux absorbé.Ainsi, [ ]SEαMε 0 −=Φ [ ]EMSε 0 −=Φ[ ]SEα M ε 0netΦ ε = α [ ]EMSε 0netΦ

[ ] E-J JM ε0

net =−=Φ

Soit encore : ⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

==E ε) - (1-JMou εM - J E 0

0


[ ]ε-1S 0Soit encore : ⎟

⎠⎜⎝ εε-1 0

155

Bilan radiatif sur une surface grise

On considère une enceinte constituée de n surfaces Si. Chaque surface est à la température Ti et uneOn considère une enceinte constituée de n surfaces Si. Chaque surface est à la température Ti et une émissivité εi.

La radiosité de la surface Si est donc la somme du flux hémisphérique émis par Si et des flux réfléchis par Si en provenance de toutes les autres surfaces (y compris Si (convexe)).p Si p (y p Si ( ))

Ainsi : ∑+=n

jii0ii E)ε-(1 MεJ

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

+= ∑ j

n

jijii0ii JFS1)ε-(1MεJ∑

=1jji0ii )(

ni ∑

⎥⎦

⎢⎣

+ ∑=

=

j1j F S

jiji

i0ii JFSS

)ε(1 MεJiji

j1j

ijii0ii JF)ε-(1 MεJ ∑

=

+=

[ ] j

n

ijiijj

n

ijiii0i J F )ε-(1 δJ F )ε-(1 J M ε ∑∑ −=−=Soit encore :

1j1j ==

Kronecker) de (Symbole ji si 1ji si 0

δ ij⎩⎨⎧

==≠=

=


⎩

Cette équation est à utiliser pour toutes les surfaces Si de l’enceinte ayant une température connue ou imposée

156

Bilan radiatif sur une surface grise

On considère une enceinte constituée de n surfaces Si ayant un flux ϕi imposé.On considère une enceinte constituée de n surfaces Si ayant un flux ϕi imposé.

La densité de flux net perdue par la surface Si (ϕi) est égale à la radiosité de la surface Si (Ji) diminuée des flux incidents en provenance de toutes les autres surfaces (y compris Si (convexe)).p (y p Si ( ))

Ainsi : ∑n

i JFJΦ ∑=

−==1j

jijii

ii JFJ

SΦϕ

[ ] j

n

1jijiji J F δ ∑

=

−=ϕSoit encore :

Cette équation est à utiliser pour toutes les surfaces Si de l’enceinte ayant une densité de fluxCette équation est à utiliser pour toutes les surfaces Si de l enceinte ayant une densité de flux connue ou imposée


Radiosités : application

On considère un four électrique parallélépipédique de dimension 1m x 1m x 4m. La surface S1 deOn considère un four électrique parallélépipédique de dimension 1m x 1m x 4m. La surface S1 decaptation est constituée par la charge disposée uniformément sur la sole du four. Elle est à latempérature T1 supposée uniforme. La voute S2 (« surface chaude ») est à la température uniformeT2. La surface S3 comprend les 4 parois latérales en réfractaire que l’on considérera commedi b ti t à l t é t if Tadiabatiques et à la température uniforme T3.

Evaluez Φ1net, Φ2

net et T3 à partir des données suivantes :

S2

Evaluez Φ1 , Φ2 et T3 à partir des données suivantes :

S3

T1 = 800 K et ε1 = 0,8T2 = 1200 K et ε2 = 0,9

S1

3

1



S2

S et S sont à températures imposées :S3

S1 et S2 sont à températures imposées :

313212113132121

0

1111101 JFJF)ε-(1 JJFJFJF)ε-(1 JM ε +−=

⎪⎪⎬⎫

⎪⎪⎨⎧

++−==

S1

313212113132121111101 )()(⎪⎭⎬

⎪⎩⎨

323121223232

0

2212122202 JFJF)ε-(1 J JFJFJF)ε-(1 JM ε +−=

⎪⎪⎬⎫

⎪⎪⎨⎧

++−==

323121223232221212202 )()(⎪⎭⎬

⎪⎩⎨

S3 est à flux imposé :n

∑ ( )0F2321313331j

j3j33 JFJF)F(1JJFJ0 −−−=−== ∑=

ϕ ( )0F33 ≠

JJ 21 +En remarquant que F13 = F23 et que F33 = 1 - F31 - F32, la troisième équation devient :

2JJJ 21

3+

=

En remarquant que F13 = F23 et que F13 = 1 – F12, les 2 premières équations deviennent :



En remarquant que F13 = F23 et que F13 = 1 – F12, tt que F12=F21 les 2 premières équations deviennent :

31221211101 J)F-(1JF )ε-(1 JM ε +−=

2

S2

31211222202 J)F-(1JF)ε-(1 JMε +−=

S1

S3

On se ramène alors au calcul de F12 (cf. abaque F12 ≈ 0,34 )12 ( q 12 , )

⎪⎩

⎪⎨⎧

==+

==−42

0221

410121

101631.21MεJ934.1J134.0-

107159.3MεJ0.268 J1.868⎪⎩ 0221 063.εJ93.J3.0

J1=3,5949.104 W/m2

J2=11,1918.104 W/m22 ,

J3=7,3933.104 W/m2

[ ]⎪⎪⎧

−=−= kW 203.6J M 1

S εΦ 110

11net1

[ ]

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

⎨

⎞⎛

==−=

J

-ΦkW 203.6J M ε-1

S εΦ

ε-1

1/4

net12

20

2

22net2

1


⎪⎪⎩

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= K 1068σJT 3

3

160

Schéma électrique équivalent

Rappel : Le flux net échangé entre 2 surfaces grises (opaques) s’écrit :

Analogie :

[ ]J M ε-1 S ε

0net −=Φ

ΦRΔTTT ==

11

110 Φ

S εε1JM −

=−ΦRΔTTT 21 ==−

IRUΔVVV 21 ===−ou

IRUΔVVV 21


1M 221112 SF 1

SF 1

=2M


J J11

1

Sε ε-1

22

2

S ε ε-1

0M 221112 S FSF0M1J 2J11 S ε 22


1Φ1Φ 1Φ

CAS DE SURFACES GRISES OPAQUES (τ = 0)

PLANS PARALLELES INFINIS

( )42

41

21 ..)1) (1(1

.12 TTS −=Φ σεε

- PLANS PARALLELES INFINIS

( )2121 )1).(1(112 −−− εε

- CYLINDRE COAXIAUX INFINIS

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

−=111

).(1

142

4112 σφ

SSTT

ECRAN PROTECTEUR DU RAYONNEMENT

⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

−+ 122

1

1 εε S

42

41

.).(.21 εεσ

′−⋅=Φ TTSe

- ECRAN PROTECTEUR DU RAYONNEMENT

)1).(1(121 )(

2 εε −′−−e


Documents

Il se qu’il existe une différence de température un entre ...nft34.free.fr/Cours Lp VERTE/Transfere Chaleur/TransChal-rappels.pdf · équivalence de la chaleur et du travail 2nd