ThéoriedeHodge pourls variétés complexes

Algèbre linéaire soit F un espacehermitien i e unespacevectorielcamphremuni d'unproduitscolaire hermitienAlors Af A hermitien le produitscolariétait donné sur leséléments décomposables

par In rap par r pq _pdet Idi pjl ni pq0 à p q

Preuve on a d'une part l'accouplement dedualité AF AFLIC et d'autrepartl'isomorphisme F Ft X t H lesdeuxmis ensemble fournissent un accouplement

AfxAF E doncune applicationsesquilinéaire Afx Mfr6

Si ian est une bende f Mz et orthonormé

si ft hermitien F l'estaussi En f I TIPComme F ft Af est aussihermitien

Complexification desespaceseuclidiens

si E est un espace euclidien alors F E est hermitien son produitscolaire

étant IXHE XIIIe IX ils Kik i kik il killOnvérifie que cetteopération comment on panageandual ou à l'algèbreextérieure c'est à dui que les isomorphismes que nous connaissons déjàE CI F et A F µ E a rat de isomorphismes d'espaces hermitienPreuve avec desbonsorthonormée

SupposonsqueE et espacevectorielréel munid'une structurecomplexe J et de

we N positive Alors g ut i et un produitscolaire deE et t hérite

d'un produitscolaire hermitienglxittFait E et E sontorthogonaux Plusgénéralement ls AME sont 2à2

orthogonaux

Preuve onavait vu que t admet une base 4 telleque w i lui nuià ui base de F duale de KitOn endéduitque 17 Il et une bonde t CI puis que Ça etune bon

de ME E

Soit M une variétécomplexemuni d'une forme positive weMMM IN autrement

dit Tn et munid'unenitrique hermitienneMunissons SUM e du produit scolaire x p K p µ

M

à µ II et Ia p estle produitscolaire ponctuel pour lamétrique de nTninduite par w

D'aprés lepréliminaired'algèbre linéaire les Nini sont deuxà deux orthogonauxOndit qu'unendomorphisme A der Inet et homogènede bidegré r si sipourtant pa A rMIM crm Mts M

Fait si A esthomogènedebidegré ni alors A et homogènede bidegré spsideplusA admet unadjointformelAt alorsAt l n s