industriel Mathé matiques - Editisextranet.editis.com/images/300/art/doc/1/115b7f58bdcb3e... · 2011-10-04 · Sur papier millim étr , avec soin, à la pr cision du millimètre,

BTSi n d u s t r i e l

MathématiquesSpécialités des groupements B et C

Françoise COMPARAT

France LAPLUME

Structure type d’un chapitreLa page d’ouverturecomporte :

� un mini-sommaire

� les objectifs du chapitre conformes au programme

� une présentation montrant l’intérêt de l’étude et donnant le plan adopté

� le bilan des connaissances antérieures nécessaires, avec renvoi à des exercices corrigés

La partie « Cours »

� amène les notions nouvelles par des exemples

� met en évidence les définitions et théorèmes

� renvoie à des exercices d’entraînement

7

COURS

Notation exponentielled’un nombre complexe . . . . . . . . . . 8

Résolution dans � des équationsdu second degréà coefficients réels . . . 9

Nombres complexeset géométrie . . . . . . 10

Fonctions à valeurscomplexes . . . . . . . . 12

EXERCICES

PROBLÈMES

Avant d’aborderle cours . . . . . . . . . . 14

Exercicesd’entraînement . . . . 16

ProblèmesTravaux pratiques . . 19

� Utiliser la notation exponentielle d’un nombre complexe.� Résoudre des équations dans �.� Connaître le plan complexe.

À partir de la forme trigonométrique d’un nombre complexe, nousintroduisons dans ce chapitre sa notation exponentielle. Elle per-met notamment de simplifier l’écriture des calculs de produits etquotients de nombres complexes.

Dans �, l’équation n’a pas de solution. Dans �, elleen a deux : i et - i. Nous reprenons la résolution des équationsdu second degré dans �.

Dans le plan muni d’un repère orthonormal, les mesures d’an-gles et de distances se traduisent en utilisant les affixes desvecteurs.

Enfin, nous élargissons le champ des fonctions numériques endéfinissant des fonctions à valeurs dans � qui auront dérivées etprimitives.

Vous devez connaître la signification du vocabulaire serapportant aux nombres complexes : partie réelle et partieimaginaire, module et argument, forme algébrique et formetrigonométrique, conjugué d’un nombre complexe, affixed’un point M du plan complexe.On peut consulter les fiches 1 et 2 pour les connaissancesacquises en Terminale.

NombrescomplexesNombrescomplexes1

OOOOBBBBJJJJEEEECCCCTTTTIIIIFFFFSSSS

PPPPRRRRÉÉÉÉSSSSEEEENNNNTTTTAAAATTTTIIIIOOOONNNN DDDDUUUU CCCCHHHHAAAAPPPPIIIITTTTRRRREEEE

x2 1+ 1 –=

AAAAVVVVAAAANNNNTTTT DDDD’’’’AAAABBBBOOOORRRRDDDDEEEERRRR LLLLEEEE CCCCOOOOUUUURRRRSSSS

� Exercices 1 à 6

COURS12. Variables aléatoires discrètes �

233

Notons que ces trois événements , et sont incom-patibles (ou disjoints) et que leur réunion est l’univers tout entier. Il s’ensuit quela somme de leurs probabilités est 1.Ce tableau résume la loi de probabilité de la variable aléatoire X.

3. Espérance mathématique, variance et écart type

Observons le tableau donnant la loi de probabilité de X. Il ressemble à un tableaude statistique : le prix, X, prend la valeur 10 dans 50 % des cas, la valeur 20 dans30 % des cas et la valeur 30 dans 20 % des cas.Comme en statistique, on calcule la moyenne et l’écart type de ces prix,pondérés ici par leur probabilité d’apparition. La moyenne sera appelée espé-rance mathématique de la variable aléatoire X et sera notée .La somme des probabilités étant égale à 1, on obtient :

.

Comme en statistique, on a où :

.

Ainsi, pour l’expérience aléatoire décrite ci-dessus, puisque :,

alors : et .

X 10=( ) X 20=( ) X 30=( )


Définition : LOI DE PROBABILITÉ D’UNE VARIABLE ALÉATOIRE XLa loi de probabilité d’une variable aléatoire X est la fonction qui, àchaque nombre réel k, associe la probabilité de l’événement .X k=( )

E X( )

E X( ) 10 0,5¥ 20+ 0,3¥ 30+ 0,2¥ 17= =

Définitions : MOYENNE – VARIANCE – ÉCART TYPE

Soit k1, k2, …kn, les valeurs prises par une variable aléatoire X et soit p1,p2, …pn, les probabilités des événements (X = k1), (X = k2), …, (X = kn).� On appelle espérance mathématique de X ou moyenne de X, lenombre E(X) donné par :

.

� On appelle variance de X le nombre V(X) donné par :

On appelle écart type de X, le nombre donné par : .

E X( ) k1p1 k2p2 º knpn+ + + kipii 1=

n

Â= =

V X( ) k1 E X( )–( )2p1 k2 E X( )–( )2p2 º kn E X( )–( )2pn+ + +=

ki E X( )–( )2pi.i 1=

n

Â=

sX sX V X( )=

V X( ) E X2( ) E X( )( )2–=

E X2( ) k12p1 k2

2p2 º kn2pn+ + +=

E X2( ) 102 0,5¥ 202+ 0,3¥ 302+ 0,2¥ 350= =

V X( ) 350 172– 61= = sX 7,81ª


Définition : VARIABLE ALÉATOIRE CENTRÉE RÉDUITE

Lorsque l’espérance mathématique d’une variable aléatoire est nulle, ondit que cette variable aléatoire est centrée.Lorsque l’écart type d’une variable aléatoire vaut 1, on dit qu’elle estréduite.

Présentation

Conception maquette : Studio BOSSONCoordination artistique : Evelyn AudureauCouverture : Claude LIEBER

Édition : Clarisse DARRASFabrication : Jean-Marie JOUSMise en pages – Schémas : DESK

© Nathan / HER 2002ISBN 2-09-179113-X

2

La partie « Exercices et Problèmes »est partagée en trois rubriques :

Avant d’aborder Exercices Problèmes/le cours d’entraînement Travaux pratiques

En fin d’ouvrageLes corrigés Les fiches Le dictionnairedes problèmes de synthèse calculatricenotés

34

2. Fonctions dérivables sur un intervalle �EXERCICES • PROBLÈMES

C : exercice corrigé (voir corrections pages 360 à 363)

* ** *** Niveaux de difficulté des problèmes


FONCTIONS LOGARITHMES ET EXPONENTIELLES

.

1. .

2. .

Simplifier les expressions :

.

.

.

.

.

.

FONCTIONS CIRCULAIRES

On considère le réel tel que :

et .

1. Sur un cercle trigonométrique, dessiner les

images de ; ; ; ; .

2. Dans un tableau, présenter les sinus, cosinus,tangente, et cotangente de ; ; ;

; .

Note : on utilisera celle des formes ou qui

convient ( ; ; ).

1. Sur un cercle trigonométrique, dessiner les

images de , , , , , , .

2. En déduire que :

.

1. Écrire les expressions données sous la forme, où , , :

.

Indication : mettre en facteur dans est souvent utile.

Pour les exercices 1 et 2, en détaillant lesrègles de calculs, simplifier les nombres, puis levérifier à la calculatrice.

1C

e0 5, 3ln+

e------------------- e2ln 1– eln 1

2--- e3ln+

2 e3ln e2ln e 2ln– 90 5,

12---ln 2ln+ e4ln e3ln– e 3ln 4ln–

3C

x �+*Œ( )

x2ln 3 xln– ex e x–◊ e x 1+( )ln e xln–◊

e xln x– 3ex( ) 2x+ln ex1x--ln

Ë ¯Ê ˆln

Pour les exercices 4 à 7, donner l’ensemble Sdes solutions des équations et inéquationsayant pour inconnue la lettre indiquée, dansl’intervalle I.

4C

I �=

ex 3– e4x 3+= e3x 2e2x– 0=e2x 4ex 12–+ 0= e2x 3ex– 0>ex 1–( ) 1 x+( ) 0� ex 0=

5 I �+*=

2x 1+( )ln 3– 0= x 1+( )ln 3x 5+( )ln=

4 xln 2+( ) x 1+( ) 0< xln 1–( ) xln 0�

6 I �+*=

xln( )2 2 xln– 1+ 0= xln 2<

2 kln( )2 5 kln– 2+ 0= n 1+ln 0>�ln 2= uln 5–=

7 I �=

el 1= em 2+ 0=

ex e x–– 0= 2e2t 8et 6+– 0=

ex 2� e i– 1+ 0>

1 ej3---- 12+

– 0< e a– 2– 0>ex 1+x2 1+-------------- 0> e2k 3ek � 0 –

8 x

x Œ- p p2--- -–;– xcos 1–

5------=

x p x– p x+ p2--- x– p

2--- x+

x p x– p x+

p2--- x– p

2--- x+

ab--- a

b--- c

a �Œ b �*Œ c �*Œ

9C p

8--- 2p

8------ 3p

8------ 4p

8------ 5p

8------ 6p

8------ 7p

8------

cos2 p8--- cos2 2p

8------ º cos2 7p

8------+ + + 3=

10a wt j+( )sin a �+

*Œ w �*Œ j �Œ2tcos 3 2tsin– 3 tcos 3 tsin+

t3---sin t

3---cos+ 2t p

3---+Ë ¯

Ê ˆcos 2t p3---–Ë ¯

Ê ˆcos–

a2 b2¥xacos b xsin+

EXERCICES • PROBLÈMES14. Variables aléatoires continues �

270

LOI �(0 ; 1)

1. Par lecture de la table de P, compléter :

2. Par lecture « à l’envers » de la table, compléter :

3. a. Donner P(1,64) ; P(1,65) ; et en prenant lavaleur située au milieu, P(1,645) .b. Nous appelons « interpolation affine évi-dente du milieu » la méthode qui vient d’êtreu t i l i s é e . L ’ e m p l o y e r p o u r d o n n e rP(2,575) .

4. On note t1 le nombre de la table le plus prochede t.Par lecture de la table de P « au plus près »,compléter :

1. Par lecture « au plus près » de la table de P,donner ; ; ;

; ; .

2. Proposer, après examen de la table, unevaleur de : ; ; ;

.

En lisant la table de P au plus près, donner lesarrondis à 4 décimales de :

1. ; ; ; .

2. ; ; .

3. ; ; .

Calculer :

1. ; ; .

2. ; ; .

3. ; ; .

Calculer :

1. ; .

2. ; .

1. Calculer :

; ;

.

2. Soit � la représentation graphique de

dans un repère orthogonal

d’unités 3 cm en abscisses et 10 cm en ordonnées.a. Sur papier millimétré, avec soin, à la précisiondu millimètre, tracer �.b. Mettre en évidence l’unité d’aire en dessi-nant un rectangle de hauteur 1, puis un rectanglede largeur 3.c. Expliquer à quel endroit, lié à �, on peutégalement lire l’unité d’aire.

d. Mettre en évidence ;

; .

3. À l’écran de votre calculatrice, faites appa-raître un tracé lisible et élégant de �, puis lesprobabilités de la question 2. d..

Loi �(0 ; 1) à la calculatrice1. Calcul d’intégrale (rappel)a. En présentant le détail des calculs, montrer

que .

b. Vérifier que vous maîtrisez l’obtention d’uneintégrale à la calculatrice, en faisant calculer à la

vôtre .

2. Calculatrice ou table de Pa. Stockez, dans Y4 ou f4 de la zone d’enregis-trement des fonctions, la densité de probabilité,g, de la loi normale centrée et réduite.

EEEEXXXXEEEERRRRCCCCIIIICCCCEEEESSSS DDDD’’’’EEEENNNNTTTTRRRRAAAAÎÎÎÎNNNNEEEEMMMMEEEENNNNTTTT

t 0,92 2,03 1 0 2,99 3,2 4,5

P(t)

t

P(t) 0,9896 0,5 0,99952

t 1,261 2,0034 3,37 4,51

t1

P(t1)

Dans les exercices 3 à 14, T est une variablealéatoire qui suit �(0 ; 1).

3C

e 4=( )

e 4=( )

4P T 2 7,<( ) P T 0 73,<( ) P T 4 1,<( )

P T 1 888,<( ) P T 0,008<( ) P T 2,998<( )

P T 5<( ) P T 6<( ) P T 10<( )P T 178 9,<( ) e 0=( )

5

P 1 73 ,– ( ) P 3 1 ,– ( ) P 8 – ( ) P 0 022 ,– ( )

P T 1 – <( ) P T 2 – <( ) P T 3 – <( )

P T 1 – < ( ) P T 2 – < ( ) P T 3 – < ( )

6 e 2=( )

P T 1 73,>( ) P T 8>( ) P T 0 022,>( )

P T 1>( ) P T 2>( ) P T 3>( )

P T 1 – >( ) P T 2 – >( ) P T 3 – > ( )

7 e 3=( )

P 0 T 1< <( ) P 2 8345, T 3 482,<<( )

P 2 – T 2 4 , < < ( ) P 3 1 ,– T 1 2 ,– < <( )

8 e 3=( )P 1 – T 1 < <( ) P 2 T 2 < < – ( )

P 3 – T 3 < <( )

f x( ) 12p

-----------ex2

2-----–

=

P 1 – T 1 < <( )

P 2 – T 2 < <( ) P 3 – T 3 < <( )

9

x 3+( )dx1

2

Ú 4 5,=

x 3+( )dx1

2

Ú

EXERCICES • PROBLÈMES5. Équations différentielles �

112

ÉQUATIONS LINÉAIRESDU PREMIER ORDRE

Une méthode d’obtention d’une solutionparticulièreSoit, sur �, l’équation différentielle :

.1. Intégrer l’équation homogène associée.2. Montrer qu’il existe une solution particulièrede l’équation différentielle, du type

, où k est une fonction dérivablesur � à déterminer.3. Déduire de ce qui précède l’ensemble dessolutions de l’équation différentielle.4. Indiquer la fonction f telle que :

1. Soit (E) l’équation différentielle sur � : .

a. Vérifier que la fonction f définie sur � par est solution de (E).

b. Donner la solution générale de (E).c. Déterminer la solution particulière g de (E)telle que .2. Soit g la fonction définie sur l’intervalle

par : et � sacourbe représentative dans le plan muni d’unrepère orthonormal d’unité graphique 2 cm.a. Étudier les variations de g.b. Tracer la courbe �.c. À l’aide d’une intégration par parties, calculer

l’intégrale .

d. En déduire l’aire �, en centimètres carrés, dela partie du plan limitée par l’axe des abscisses, lacourbe � et les droites d’équations et

.Donner l’arrondi à 2 décimales de �.

Soit le circuit ci-dessous, dans lequel et :

On souhaite connaître la loi d’évolution del’intensité i selon le temps t, sachant que, àl’origine du temps, l’intensité est nulle.Cette loi est donc la fonction , définie etdérivable sur , solution du système :

Dans ce problème, on considère que, où et .

On pose ;

; .

1. Intégrer sur : .2. a. Montrer qu’il existe deux réels a et b, àpréciser en fonction de U, Z, etc, tels que

soit solution de (1).b. Montrer que l’expression trouvée à la ques-tion 2.a. peut s’écrire :

.

Module Travaux pratiques du module Problèmes correspondants

Équations différentielles

TP 1 Résolution d’équations différentielles linéaires du premier ordre.

TP 2 Résolution d’équations différentielles linéaires du second ordre.

Problèmes : 64 à 74


PPPPRRRROOOOBBBBLLLLÈÈÈÈMMMMEEEESSSS////TTTTRRRRAAAAVVVVAAAAUUUUXXXX PPPPRRRRAAAATTTTIIIIQQQQUUUUEEEESSSS

64**C

y′ 7y+ e2x=

yp k x( )e– 7 x =

f ′ x( ) 7f x( )+ e2x=

f 0( ) 3.=

65** y′ y+ 1 e– x –=

f x( ) 1 xe– x –=

g 0( ) 0=

– 1 ; 2 [ ] g x( ) 1 x 1+( )e– x –=

I x 1+( )e– x d x

– 1

2

∫ =

x – 1 =x 2=

66***

L 0≠R 0≠

R

L

i

u

t � i t ( )�+

Li′ Ri+ u= 1( )i 0( ) 0.=

u t( ) U vtsin= U �∈ ω �*∈

Z R2 L2ω2+=

ϕcos RZ---= ϕsin Lω

Z--------=

�+ Li′ Ri+ 0=

i t( ) ωtasin b ωtcos+=

i t( ) UZ---- ωt ϕ–( )sin=


Équations différentielles

TP 1 Résolution d’équations différentielles linéaires du premier ordre.

TP 2 Résolution d’équations différentielles linéaires du second ordre.




C

359

• EXERCICES • PROBLÈMESEXERCICES CORRIGÉS Chapitre 1

; ; ;

; ; .

1. ;

;

.

2. ;

.

3. a. .

b. ; .

; .

; .

c. ; .

1. ; ; .

; ; .

2. b. ; .c. ; .

;

;

;

.

1. ;

.

2. ;

.

1. et .

et .

2. et . .

1. ; racines : et .

; racines : 0 et .

2. ; racines : 1 et .

; racines : et .

1. Cercle de centre et de rayon .

2. L’équation est équivalente à :

soit .

Cercle de centre et de rayon 2.

3. L’équation est équivalente à .

Cercle de centre A(0 ; 1) et de rayon 3.

1 Nombres complexes

2 z1 3 i–= z2 3 6i+= z3 2 –=

z412---–

12--- i–= z5 i= z6

150------

750------ i+=

4 a 2p2---cos i

p2---sin+Ë ¯

Ê ˆ=

b 23p4

------cos i3p4

------sin+Ë ¯Ê ˆ=

c 2 25p6

------cos i5p6

------sin+Ë ¯Ê ˆ=

d 2 3– 2i+=

f 2 2i–=

gh--- 6 2–

4-------------------- i 6 2+

4---------------------+=

g 1= arg g p4---=

h 1= arg h p 6 ---–=

gh--- 1= arg g

h--- p

4--- p

6---+ 5p

12------= =

5p12------cos 6 2+

4---------------------=

5p12------sin 6 2–

4--------------------=

6 a 4 3i–= b 3 2i+= c 2i=

d 1– 3i+= e 5= f 4– i–=

A

M

B

S

R

N

D

UQ

V

PC

O u→

T

M 3 4;( ) N 9– 9;( )m 3 4i+= n 9– 9i+=

10 z12e

ip4---

e ei–p4---

-------------------Ë ¯Á ˜Á ˜Ê ˆ 32

eip2---

Ë ¯Ê ˆ

32

e16 ip 1= = = =

z2 2e3 ip

4---------

Ë ¯Ê ˆ

3

ei3p

4-------

2 2 e3 ip 2 2–= = =

z3 2 2ei p

4---

Ë ¯Ê ˆ

6

– 24ei 3p

2-------

– 16i= = =

z4 i 3=

15 f x( ) 14--- 3xsin xsin+( )=

g x( ) 12--- 3xcos xcos+( )=

f x( ) 12--- xcos 3xcos–( )=

g x( ) 12--- 3xsin xsin–( )=

16 5 i 11+2

-------------------- 5 i 11–2

-------------------- D 0<( )

2 3– 2 3+ D 0>( )3 i+

2----------- 3 i–

2---------- D 0<( ) 1

2 ---– D 0=( )

18 f z( ) z i–( ) z i+( )= i i–

g z( ) z z 1 + ( ) –= 1 –

f z( ) 1 z–( ) 1 z+( )= 1 –

g z( ) i z–( ) i z+( )= i i–

23 A 0 1–;( ) 7

z 1 i+2i

----------+ 42i--------= z 1

2---–

12--- i+Ë ¯

Ê ˆ– 2=

A 12 ---– 1

2 ---; Ë ¯

Ê ˆ

z i– 3=

395

Définitions

• La fonction logarithme népérien est la primitive sur de la fonction , qui s’annule pour

.• La fonction exponentielle de base e est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien :

• Les fonctions puissances de base sont définies sur � par avec .

Propriétés analytiques

Propriétés algébriques

]0 + •[, x � 1 x --

x 1=

� ]0 ; + •[

x yln= Æexp

lnex y=

Pour et x �Œ y ]0 + •[;Œ

ex y= x¤ yln=exln x=

e yln y=

a a 0>( ) x � a x ax ex aln=

ln est définie et dérivable sur ]0 ; +

•

[.

•

•

•

•

• ln est une bijection croissante de ]0 ; +

•

[ sur

�

:

exp est définie et dérivable sur

�

.

• ,

•

•

•

•

• exp est une bijection croissantede

�

sur ]0 ; +

•

[ :

, , : , , , :

O 1

y = ex

y = lnx1

e

exln

x aÆlim a a 0>( )ln=

x( )lnx + •Æ

lim + •=

xlnx 0Ælim – •=

xlnxa--------

x + •Ælim 0 a 0>( )=

xln yln< x y<¤

x" �Œ ex 0>

exx aÆlim ea=

exx + •Æ

lim + •=

exx – •Æ

lim 0=

a" �Œ ex

xa-----x + •Æ

lim + •=

ex ey< x y<¤

x" 0> y" 0> a" 0>xyln xln yln+=

xy--ln xln yln–=

1x--ln xln–=

axln x aln=

a" 0> b" 0> x" �Œ y" �Œax ay◊ ax y+=

ax

ay----- ax y–=

1ax----- a x–=

ax( )y axy=

ab( )x axbx=ab---Ë ¯

Ê ˆ x ax

bx-----=

FICHE DE SYNTHÈSE 3FONCTIONS LOGARITHME NÉPÉRIEN, EXPONENTIELLE, PUISSANCES

407

Dictionnaire des instructions de calculatrices

Dictionnaire des instructions de calculatrices

� abs : valeur absolue (�), module (�).

� ALPHA : alphabet.

� A-LOCK : to lock alphabetic ; verrouiller enposition « écriture de l’alphabet ».

� All : tout.

� And : connecteur logique « ET » (0 si faux, 1si vrai) ; on dit aussi « connecteur booléen ».

� Ans : answer ; réponse.

� Arg, ARGUMENT : argument d’uncomplexe, ou informations nécessaires à uneinstruction informatique.

� Axes (on, off) : axes affichés, non affichés.

� BAD : mauvais.

� binomcdf : binomial cumulative densityfunction ; fonction de répartition de la loi bino-miale.

� BINM, Bpd, binompdf : binomial probabi-lity density function ; fonction densité deprobabilité de la loi binomiale.

� Bound : borne.

� Box : boîte, rectangle.

� BREAK : interruption.

� Byte : octet, unité de mesure de la capacitéde la calculatrice.

� CALC, Calculate : calculer.

� CATALOG : catalogue.

� to Check up : voir l’ensemble.

� to Clear : effacer.

� C-Level : confiance level ; seuil de confiance.

� ClrAllLists : to clear all lists ; effacer toutesles listes.

� ClrList Li : to clear list i ; effacer la liste i.

� Cls : to clear screen ; effacer l’écrangraphique.

� Comp : computer ; ordinateur (menu decalcul ordinaire).

� Conj (a + bi), Conjg (a + bi) : conjugué dea + bi.

� Connected : pixels connectés (voir chapitre6, exercice 34).

� Coord (on off) : Coordinates ; coordonnéesaffichées par TRACE, non affichées.

� cos– 1 a : Arccos a (et non ).

� CPX, CPLX : complexe.

� CTL : contrôle.

� CumSum, Cuml : sommer les effectifscumulés de la liste.

� Curve : courbe.

� DATA : les données.

� � Dec : afficher sous forme décimale.

� Degree : degré (d’angle).

� DEL, DEL-A : to delete all ; supprimer, toutsupprimer.

� Depend : dependant ; « variable explicative »,c’est-à-dire x, le plus souvent.

� DependAsk : ask dependant variable ;demande d’une abscisse.

� DependAuto : affichage automatique desabscisses.

A

B

C

1acos

------------

D

de l’ouvrage

3

SOMMAIRE

Chapitre 1 Nombres complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Chapitre 2 Fonctions dérivables sur un intervalle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Chapitre 3 Calcul intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Chapitre 4 Développement limité d’une fonction au voisinage de zéro . . . . . 75

Chapitre 5 Équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Chapitre 6 Représentation paramétrique d’une courbe plane . . . . . . . . . . . . 119

Chapitre 7 Géométrie dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

Chapitre 8 Calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

Chapitre 9 Série statistique à une variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

Chapitre 10 Série statistique à deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

Chapitre 11 Probabilités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

Chapitre 12 Variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

Chapitre 13 Loi binomiale – Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

Chapitre 14 Variables aléatoires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

Chapitre 15 Échantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

Chapitre 16 Statistique inférentielle – Estimations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

Chapitre 17 Statistique inférentielle – Test d’hypothèse . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

Chapitre 18 Fiabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

Corrigés des exercices notés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

Fiches de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393

Dictionnaire des instructions de calculatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407

Formulaire de l’examen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413

C

4

7

COURS

Notation exponentielled’un nombre complexe . . . . . . . . . . 8

Résolution dans � des équationsdu second degréà coefficients réels . . . 9

Nombres complexeset géométrie . . . . . . 10

Fonctions à valeurscomplexes . . . . . . . . 12

EXERCICES

PROBLÈMES

Avant d’aborderle cours . . . . . . . . . . 14

Exercicesd’entraînement . . . . 16

ProblèmesTravaux pratiques . . 19

� Utiliser la notation exponentielle d’un nombre complexe.� Résoudre des équations dans �.� Connaître le plan complexe.

À partir de la forme trigonométrique d’un nombre complexe, nousintroduisons dans ce chapitre sa notation exponentielle. Elle per-met notamment de simplifier l’écriture des calculs de produits etquotients de nombres complexes.

Dans �, l’équation n’a pas de solution. Dans �, elleen a deux : i et - i. Nous reprenons la résolution des équationsdu second degré dans �.

Dans le plan muni d’un repère orthonormal, les mesures d’an-gles et de distances se traduisent en utilisant les affixes desvecteurs.

Enfin, nous élargissons le champ des fonctions numériques endéfinissant des fonctions à valeurs dans � qui auront dérivées etprimitives.

Vous devez connaître la signification du vocabulaire serapportant aux nombres complexes : partie réelle et partieimaginaire, module et argument, forme algébrique et formetrigonométrique, conjugué d’un nombre complexe, affixed’un point M du plan complexe.On peut consulter les fiches 1 et 2 pour les connaissancesacquises en Terminale.

NombrescomplexesNombrescomplexes1

OOOOBBBBJJJJEEEECCCCTTTTIIIIFFFFSSSS

PPPPRRRRÉÉÉÉSSSSEEEENNNNTTTTAAAATTTTIIIIOOOONNNN DDDDUUUU CCCCHHHHAAAAPPPPIIIITTTTRRRREEEE

x2 1+ 1 –=



8

COURS

1. Nombres complexes

�

NOTATION EXPONENTIELLE D’UN NOMBRE COMPLEXE

1. Formule de Moivre

Si et sont deux nombres complexes non nuls, leur produit a pourargument : ( entier relatif).Soit un entier naturel non nul. Si est un nombre complexe non nul, alors a pour argument :

.Donc, dans le cas où est un nombre complexe de module 1 et d’argument ,on a : .Cette formule est encore vraie pour (la vérification est immédiate).

2. Notation exponentielle d’un nombre complexe

Définition

Pour tout réel , on pose . Donc est le nombrecomplexe de module 1 et d’argument .

Exemple :

; .

Règles de calcul

En utilisant la notation exponentielle d’un nombre complexe non nul, les résul-tats donnant les produits, les quotients ou les puissances de nombres complexess’écrivent de la manière suivante :

Ces relations sont analogues aux règles de calcul de l’exponentielle réelle, ce quijustifie l’utilisation de la notation exponentielle.

1

z1 z2z1z2( )arg z1( ) z2( ) k 2p◊+arg+arg= k

n z zn

zn( )arg z( )arg z( ) º z( ) k 2p◊+arg+ +arg+ n z ( ) arg k 2 p◊ += =z q

zn qcos i qsin+( )n nqcos i nqsin+= =n 0=

FORMULE DE MOIVRE :Pour tout entier naturel n et tout réel q :

(cos q + i sin q)n = cos nq + i sin nq.

a

q eiq qcos i qsin+= eiq

q

ei0 0cos i 0sin+ 1= = ei p

2--- p

2--- i p

2---sin+cos i= =

Définition : NOTATION EXPONENTIELLE D’UN NOMBRE COMPLEXE

Tout nombre complexe non nul de module r et d’argument q s’écrit :.z r qcos i qsin+( ) reiq= =

b

; pour tout entier relatif ;

; .

reiq r¢eiq¢¥ rr¢ei q q¢+( )= reiq( )n rneinq= nreiq

r¢eiq¢-------------rr¢-----ei q q¢–( )= 1

reiq----------1r---e iq–=

COURS1. Nombres complexes �

9

Cependant, les deux fonctions définies ci-dessous sont très différentes.

et

Par exemple, pour tout réel, on sait que est un réel strictement positif,mais qui est un nombre complexe n’a pas de signe (que serait le signe de

?).

3. Formules d’Euler

D’une part, le nombre complexe a pour module 1 et argument , donc : ; ( est le conjugué de ).

D’autre part, .On en déduit par addition et soustraction que et

d’où les relations suivantes :

RÉSOLUTION DANS � DES ÉQUATIONSDU SECOND DEGRÉ À COEFFICIENTS RÉELS

Considérons le polynôme du second degré de la variable complexez dans lequel les coefficients a, b et c sont des nombres réels avec .Des calculs semblables à ceux effectués sur un polynôme du second degré àvariable réelle aboutissent à la forme canonique bien connue :

,

où le discriminant est le nombre réel .

� Si , le polynôme s’écrit .

� Si , le polynôme s’écrit :

.

� Si , alors et le polynôme s’écrit en utilisant les nombrescomplexes :

.

� �Æx � e x

� �Æ x � e ix

x ex

eix

1 i–


e iq– q–e iq– q–( ) i q–( )sin+cos qcos i qsin–= = e i q – eiq

e iq qcos i qsin+=e iq e iq–+ 2 qcos=

e iq e iq–– 2 i qsin=


FORMULES D’EULER :

et .qcos e iq e iq–+2

-------------------------= qsin e iq e iq––2i

-------------------------=

2

az2 bz c+ +a 0π

az2 bz c+ + a z b2a------+Ë ¯

Ê ˆ 2 D4a2---------–Ë ¯

Ê ˆ=

D b2 4ac–

D 0= az2 bz c+ + a z b2a------+Ë ¯

Ê ˆ 2=

D 0>

az2 bz c+ + a z b2a------+Ë ¯

Ê ˆ 2 D2a-------Ë ¯

Ê ˆ2

–Ë ¯Ê ˆ a z b

2a------ D

2a-------–+Ë ¯

Ê ˆ z b2a------ D

2a-------+ +Ë ¯

Ê ˆ= =

D 0< D – 0 >

az2 bz c+ + a z b2a------+Ë ¯

Ê ˆ 2 i2 D–( )4a2

----------------–Ë ¯Á ˜Ê ˆ

a z b2a------+Ë ¯

Ê ˆ 2 i D–2a

-------------Ë ¯Ê ˆ

2

–Ë ¯Ê ˆ= =

a z b2a------ i D–

2a-------------–+Ë ¯

Ê ˆ z b2a------ i D–

2a-------------+ +Ë ¯

Ê ˆ=

10

COURS


�

Dans chaque cas, la factorisation du polynôme permet de trouver ses racines.

Par exemple, l’équation du second degré de déterminant n’a pas de solution dans l’ensemble des réels. Mais elle a deux solutions dans

l’ensemble des complexes : et .

Attention :

l’écriture n’a pas de sens.

En effet, si

x

est un réel positif, désigne le nombre

positif

de carré

x

et désigne le nombre

négatif

de carré

x

. Un nombre complexe non réel n’ayant pasde signe, la notation est incorrecte lorsque

z

n’est pas un réel positif.

Lorsque , on peut écrire puisque est alors un réel positif. Pouréviter ces difficultés, on peut prendre l’habitude d’écrire que l’équation du

second degré a pour déterminant .

NOMBRES COMPLEXES ET GÉOMÉTRIE

Dans tout ce paragraphe, le plan est rapporté à un repère orthonormal .

1. Affixe d’un vecteur

Rappelons que l’affixe d’un point M de coordonnées (

x

;

y

) est le complexe

x

+

iy

. Nous connaissons la signification géométrique du module et de l’argu-

ment de

z

: et où

k

est un entier relatif.On définit également l’affixe d’un vecteur.

THÉORÈME

Soit a, b et c trois complexes et a π 0.Dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation du second degréaz2 + bz + c = 0 a au moins une solution. Soit D = b2 – 4ac.

– Si D = 0, alors l’équation a une unique solution : .

– Si D > 0, alors l’équation a deux solutions distinctes :

et .

– Si D < 0, alors l’équation a deux solutions complexes conjuguées :

et .

b–2a-------

b– D+2a

---------------------- b– D–2a

---------------------

b– i D–+2a

--------------------------- b– i D––2a

--------------------------

x2 x– 1+ 0= D 3–=

1 i 3+2

------------------ 1 i 3–2

-----------------

3– 3i2 i 3= =

x x–

z


D 0< D – D –

x2 x– 1+ 0= D 3 – 3 i 2 i 3 ( ) 2 = = =

3

O u v , ; ( )

OM z= u OM,( ) zarg k 2p◊+=

Définition : AFFIXE D’UN VECTEUR

L’affixe d’un vecteur du plan, de coordonnées (x ; y), est le complexex + iy.

a

COURS


�

11

�

Soit un vecteur d’affixe .Remarquons la signification géométriquedu module et de l’argument de

z

.

Si M est le point d’affixe

z

alors .

On en déduit :

et où

k

est un entier relatif.

�

Soit M le point d’affixe et le point d’affixe .

Les coordonnées du vecteur sont , donc l’affixe de cevecteur est .On en déduit :

et .

2. Lignes de niveau

Exemples :

�

Cas où est définie par : (partieréelle de ).La ligne de niveau de est l’ensemble des points

d’affixe tels que .C’est la droite d’équation .

O

y

x

M(z)

arg zarg z

z z

v→

u→u→

a→

a z x iy+=

a OM =

a OM z = =

u a ,( ) u OM ,( ) z k + arg 2 p◊ = =

z x iy+= M¢ z¢ x¢ iy¢+=

MM¢ x¢ x y ¢ y –;– ( )x¢ x–( ) i y¢ y–( )+ x¢ iy¢+( ) x iy+( )– z¢ z–= =

MM¢ z¢ z–= u MM¢,( ) z¢ z–( )arg k 2p◊+=

O

M(z)

M'(z')

arg z arg z'arg (z'– z)

z'

z

MM'

M''(z' – z)

v→

u→

Définition : LIGNES DE NIVEAU D’UNE FONCTION

Si f est une fonction de � dans � et k un réel, on appelle ligne de niveauk de f, l’ensemble des points du plan dont l’affixe z vérifie f(z) = k.

O 1– 1

M(z)

�e(

z) =

– 1

v→

u→

f f z( ) �e z( )=z

1– fM x y,( ) z x iy+= �e z( ) 1–=

x 1–=

12

COURS1. Nombres complexes �

� Cas où est définie par : .La ligne de niveau 2 de est l’ensemble despoints M d’affixe tels que , c’est-à-dire .C’est le cercle de centre O et de rayon 2.

� Cas où est définie par : .

Soit A le point d’affixe .

La ligne de niveau de est l’ensemble

des points M d’affixe tels que

, c’est-à-dire

.

C’est donc la demi-droite , dessinée ci-contre, de coefficient directeur

.

FONCTIONS À VALEURS COMPLEXES

1. Définition

Lorsque varie dans l’ensemble des réels, l’expression prend desvaleurs complexes.Nous définissons ainsi la fonction de � dans � par : .Mettons en évidence les parties réelle et imaginaire de :

.

On peut alors calculer : , , , etc.

O

M(z) z = 2

v→

u→

f f z( ) z=

fz z 2=

OM 2=

O

A(2 + i)

arg (z – (2

+ i)) =

M(z)

π6

v→

u→

u→

π6

ff z( ) z 2 i+( )–( )arg=

2 i+

p6--- f

z

z 2 i+( )–( )arg p6--- k 2p◊+=

u AM,( ) p6--- k 2p◊+=

]At )p6---tan 3

3-------=


4

x e 2 3i+( )x

f f x( ) e 2 3i+( )x=f x( )

f x( ) e 2 3i+( )x e2x 3ix+ e2xe3ix e2x 3xcos i 3xsin+( )= = = =

f 0( ) 1= f p4---Ë ¯

Ê ˆ ep2---- 2

2-------– i 2

2-------+Ë ¯

Ê ˆ= f p2---Ë ¯

Ê ˆ iep4----

–=

Définition : FONCTION À VALEURS COMPLEXES

Soit f1 et f2 deux fonctions à valeurs réelles définies dans un intervalle Ide �. La fonction f définie sur I par f(x) = f1(x) + if2(x) est appelée fonction àvaleurs complexes de partie réelle f1 et de partie imaginaire f2. Les parties réelle et imaginaire de f : sont :f1 : f2 : .

x � e 2 3

i

+

( )

x

x � e 2

x 3 x cos x � e 2

x 3 x sin

COURS


�

13

2. Dérivée et primitive

Exemples :

�

La dérivée de la fonction à valeurs complexes : est .

�

Cherchons la dérivée de la fonction à valeurs complexes définie sur

�

par :

.Transformons cette expression en regroupant les termes contenant ,d’une part, et , d’autre part. On obtient :

.Mettons en facteur :

.On remarque dans cet exemple que la dérivée de l’exponentielle complexe

est obtenue en utilisant la même formule que celle de la dérivée d’uneexponentielle réelle : si , alors .On démontre en procédant de la même manière que ce résultat est général.

DéfinitionSoit f1 et f2 deux fonctions à valeurs réelles dérivables dans un intervalleI de �.La fonction f à valeurs complexes définie sur I par : f(x) = f1(x) + if2(x) estdérivable sur I et f '(x) = .f 1¢ x( ) if2¢ x( )+

x � 2 3 i + ( ) x x � 2 3 i +f

f x( ) e 2 3i+( )x e2x 3xcos ie2x 3xsin+= =f ¢ x( ) 2e2x 3xcos 3e2x 3xsin–( ) i 2e2x 3xsin 3e2x 3xcos+( )+=

e2x 3xcose2x 3xsin

f ¢ x( ) e2x 3xcos( ) 2 3i+( ) e2x 3xsin( ) 3– 2i+( )+=2 3i+( )e2x

f ¢ x( ) 2 3i+( )e2x 3xcos i 3xsin+( ) 2 3i+( )e2xe3ix 2 3i+( )e 2 3i+( )x= = =

e 2 3i+( )x

f x( ) eu x( )= f ¢ x( ) u¢ x( )eu x( )=


THÉORÈME

Soit a un nombre complexe.La dérivée de la fonction f définie sur � par f(x) = eax est f '(x) = aeax.Soit a un nombre complexe non nul.Une primitive de la fonction f définie sur � par f(x) = eax est F(x) = 1

a---eax.

Avertissement : Dans ce chapitre, la calculatrice est supposée être configurée en radians.

14

1. Nombres complexes �EXERCICES • PROBLÈMES

C : exercice corrigé (voir corrections pages 359 à 360)

* ** *** Niveaux de difficulté des problèmes


Forme algébrique et calculatrice

Remarque : les complexes demandés dans lesréponses seront donnés sous forme algébrique, sansnombre à virgule ; les fractions seront réduites, et lesirrationnels écrits , étant le plus petit naturelpossible.

Soit les complexes : ; .

1. Calculer et .

2. Vérification à la calculatrice

a. Assurez-vous que votre calculatrice est dansla configuration de base :

b. Stockez dans la mémoire Z :

Attention : s’obtient par l’instruction spécifiquedécrite ci-dessus. Votre calculatrice accepte malen-contreusement le calcul (pour TI, en configu-rant, si besoin est, en mode « » ou « »).Cette écriture est incorrecte, comme indiqué dans lecours à la fin du paragraphe . Elle conduit à descontradictions (voir exercice 36).

• Stockez dans T :

c. Faites afficher :

d. Faites afficher .

3. Sans calculatrice, indiquer , , .

4. Vérification à la calculatricea. Faites afficher :

b. Faites afficher :

c. Faites afficher à l’aide de l’instruction« imag » pour TI et « ImP » pour Casio.

5. Présenter le détail des calculs de , , , .

6. Vérification à la calculatricea. Si c’est possible, obtenez le résultat exact de

avec des fractions :

Remarque : les calculatrices Casio ne transformentpas le résultat d’un calcul en fraction.

b. Si possible, obtenez les résultats exacts pour

, , .

7. Présenter le détail des calculs de et .8. Vérification à la calculatricea. Faites afficher :


Remarque : l’instruction « ^ » des calculatrices Casione fonctionne que dans �.

9. Soit . Présenter le détail descalculs de , , .

MODE Radian Real

RUN EXE SHIFT SET UP Angle : Rad EXIT

(–) 2 + 2nd i STO� ALPHA Z ENTER

(–) 2 + OPTN CPLX i Æ ALPHA Z EXE

2 + 3 i Æ T 2 + 3 i Æ T

Z + T Z + T

1

a b b

z 2– i+= t 2 3i+=

z t+ z t–

z

i

1 – ( )a bi+ re ^ qi

2

t

z t+

z t–

�e z( ) z �m z( )

MATH CPX real ( ALPHA Z ENTER

OPTN CPLX ReP ALPHA Z EXE

conj(Z) Conjg Z

T

– 1

MATH

�

Frac T

– 1

T

2

ou

T^2 T

2

Z^3 Z

2

Z

�e z( )

z

�m z( )

1z-- 1

t-- z

t-- t

z--

1t--

1z-- z

t-- t

z--

t2 z3

t2

z3

u 2 z it+( )=u �e u( )( )2 �m u2( )

15

EXERCICES

•

PROBLÈMES


�

10.

Vérification à la calculatrice

Stockez dans la mémoire U, puisfaites effectuer à votre calculatrice les travauxnécessaires :

11.

Soit .

a.

Essayez d’obtenir , avec votre calculatrice.

b.

Présenter le détail des calculs de .

Déterminer la forme algébrique des , enprésentant le détail des calculs :

.

Forme trigonométrique et calculatrice

Soit .

1.

a.

Indiquer , et un argument de .

b.

Montrer que .

2.

Calculatrice

a.

Stockez dans la mémoire X.

b.

Faites afficher le module de :

c.

Faites afficher, en degrés, un argument de :

d.

Obtenez un argument de sous la forme ,

où est un réel à faire afficher :

3.

Soit .

a.

Montrer que , où est

un réel positif à préciser.

b.

Soit .

À la calculatrice, calculer .

1.

Écrire sous forme trigonométrique : ; ; .

2.

Écrire sous forme algébrique :

;

.

3.

Soit et .

a.

Donner sous forme algébrique.

b.

Déterminer le module et l’argument de

g

,

h

,

puis .

c.

En déduire et .

Calcul de . Calculatrice

Soit la fonction définie sur

�

par :.

1.

Calculer , , , , en présen-tant le détail des calculs.

2.

Vérification à la calculatrice

a.

Stockez le polynôme dans la zone d’enregis-trement des fonctions, ce qui oblige à nommer lavariable « X » :


Remarque : la table ne fonctionne que lorsque estune fonction de � vers �.

Affixe1. Par lecture dugraphique, donnerles affixes , , ,

, , des pointsA, B, C, D, E, F.

(2) (Z + i T) Æ U (real(U))2 imag(U2)

2 (Z + i T) Æ U (ReP U)2 ImP U2

CPX abs(X) CPLX Abs X

MODE Degree ENTER MATH CPX angle(X) ENTERMODE Radian ENTER QUIT

SET UP Angle : Deg EXIT Arg X EXE SET UPAngle : Rad QUIT

(angle(X))– 1 * p (ArgX)– 1 x p

2 z it+( )

v uztz

--------=

vv

2C

zn

z1 1 i+( ) 1 2i–( )= z2 3i 2 i–( )=

z3 i 1 i+( )2= z41 i–2i

---------=

z51 i+1 i–----------= z6

i7 i+-----------=

3x 4 3 i–( )=

x x

x 8p–

6------cos i

p–6

------sin+Ë ¯Ê ˆ=

xx

x

x pa---

a

y i 3+=

y r p6---cos i

p6---sin+Ë ¯

Ê ˆ= r

Y1 = X^3 – 2 i X2 – (1 – i)X – 2 i

X2X – 2 i X2 – (1 – i )X – 2i OPTN FMEM STO f1

1 Æ X VARS Y-VARS Function Y1

1 Æ X OPTN FMEM RCL f1

a y3 x16-----Ë ¯

Ê ˆ 3+=

a

4C a 2i= b 1– i+= c 6– i 2+=

d 45p6

------cos i5p6

------sin+Ë ¯Ê ˆ=

f 2 7p4

------cos i 7p4

------sin+Ë ¯Ê ˆ=

g 22

------- 1 i+( )= h 12--- 3 i–( )=

gh---

gh---

5p12------cos 5p

12------sin

5 f z0( )f

f z( ) z3 2iz2– 1 i–( )z– 2i–=

f 1( ) f 1–( ) f i( ) f i–( )

f 1( )

f

DDD

F

A

E

BBBCCC

+

++

++++++++++

++v→→

uu→

6C

a b cd e f

EXERCICES • PROBLÈMES1. Nombres complexes �

16

2. On définit M et N par :

; .

a. Les placer dans le repère, en mettant enévidence des constructions géométriques.b. Calculer les coordonnées de M et N.c. En déduire les affixes de M et N.

3. Placer sur le dessin :a. les points P et Q d’affixes respectives

et ;b. les points R, S, T, U, V d’affixes respectives

; ; ; ; , en mettant enévidence des constructions géométriques.

NOTATION EXPONENTIELLE

Notation exponentielle et calculatrice

Soit le complexe de module et

d’argument .

Partie IÉcrire :1. la forme trigonométrique de avec sinus etcosinus. On la note .2. la forme trigonométrique de en notationexponentielle. On la note .3. la forme algébrique de . On la note .4. les parties réelle et imaginaire de . On lesnote et .

Partie IITous les travaux demandés seront effectués à lacalculatrice.1. Stockage de a. Stockez dans la mémoire W, et dans lamémoire U.b. Si possible, stockez dans la mémoire V.Remarque : sur une calculatrice Casio, l’instruction« » fonctionne seulement lorsque est réel. Toutcomplexe est à stocker sous la forme

.

2. Affichage de sous forme algébriqueAffichez z sous forme algébrique :a. avec l’instruction « mise sous forme algé-brique »

b. en sélectionnant la forme algébrique au préa-lable, si prévu par le constructeur

3. Affichage de en notation exponentielle.Affichez z sous forme exponentielle :a. avec l’instruction « mise en notation expo-nentielle »

b. en sélectionnant la notation exponentielle

Remarque : les questions 2. et 3. peuvent se traiterà partir de U, V, ou W, au choix.

4. Autres affichagesComme vu dans la partie « avant d’aborder lecours », faites afficher :a. les valeurs de , , , , ;b. la valeur en degrés de ;

c. , tel que .

1. En présentant le détail des calculs s’il y a lieu,écrire à l’aide de la notation exponentielle.

.2. Vérifier à la calculatrice.

OM OB OC+= ON 2OA– OD+=z1 1– i+= z2 1 3i+=

z1 2z1 z2– z1 z2+ z2 z1–

EEEEXXXXEEEERRRRCCCCIIIICCCCEEEESSSS DDDD’’’’EEEENNNNTTTTRRRRAAAAÎÎÎÎNNNNEEEEMMMMEEEENNNNTTTT

U MATH CPX �Rect

OPTN ANGL Rec( OPTN CPLX Abs U , Arg U)

7z r 2=

q 5p4

------=

zu

zvz w

za b

zw u

v

ex xeiq

qcos i qsin+

z

MODE a + bi U

W �Polar Pol(ReP W, ImP W)

MODE re^i� W

z

a b r r2 qq

a q pa---=

8zn

z1 1 i 3–= z2 2 25p6

------cos i5p6

------sin+Ë ¯Ê ˆ=

z3 2 –= z4 6 2–( ) p12-----cos i

p 12 ----- sin + Ë ¯

Ê ˆ =

z5 6– i 2–= z62

1 i–---------=

z7 3 3i+= z8 z62=

17

EXERCICES

•

PROBLÈMES


�

1.

Dans le plan muni du repère orthonormal

, placer les points d’affixes ;

; ; .

2.

Soit .

Démontrer que .

Donner une expression de la plus simplepossible :

.

On considère la fonction à valeurs complexes,définie pour tout réel de par

.

1.

En mettant en facteur, et en utilisantl’une des formules d’Euler, prouver que :

.

2.

Donner :

– sous forme trigonométrique, écrite avec lanotation exponentielle ;– sous forme trigonométrique, écrite avec sinuset cosinus ;– sous forme algébrique.

3.

En déduire et .

est un repère orthonormal du plancomplexe.

1. Placer les points , , , , ,, d’affixes :

.

2.

a.

Donner la forme exponentielle des affixes, , , , , des points A, B, C, D, F, G

( est bissectrice des axes ; est

bissectrice de l’angle .

b.

Indiquer la forme algébrique de , , , .

c.

Écrire en notation exponentielle : ; ; .

FORMULES D’EULER

1.

Développer .

2.

Modifier l’écriture obtenue en y mettant en

évidence l’expression .

3.

En déduire que .

4.

À l’aide des formules d’Euler, démontrer que

.

Linéarisation par les formules d’Euler

On considère le polynôme trigonométrique.

1.

Développer .

2.

Modifier l’écriture obtenue en y mettant en

évidence et .

3.

En déduire que .

9O u v , ; ( ) eip

e2ip eip2---

ei p

2---–

k 1eip------- e2ip– e

ip2---

ei p

2---–

----------+=

k �Œ

10C

zn

z11 i+1 i–----------Ë ¯

Ê ˆ 32= z2 1– i+( )3e

i3p4

-------=

z3 2 1 i+( )6–= z4 2eip3---

eip3---

Ë ¯Ê ˆ

6

–=

11q ]0 p [ ;

f q( ) eiq 1–=

eiq2---

f q( ) 2q2---sinË ¯

Ê ˆ ei q

2--- p

2---+Ë ¯

Ê ˆ=

f p4---Ë ¯

Ê ˆ

p8---sin p

8---cos

12 O u v , ; ( )

M1 M2 M3 M4 M5M6

z1 eip3---

= z2 ei p

2---–

= z3 3ei 5p

6-------–

=

z4 2ei 3p

4-------–

= z552---eip= z6 4e

i 11p6

--------=

a b c d f gCD( ) OG( )

DOF

O

F

A

C

D

G

B

v→

u→

b c d f

gf---- d 1

d---

13 eit e it–+2

---------------------Ë ¯Ê ˆ

2

e2it e 2it–+2

--------------------------

cos2t 12--- 1 2tcos+( )=

sin2t 12--- 1 2tcos–( )=

14

P x( ) sin2x cos x =

eix e ix – – 2

i

----------------------

Ë ¯Ê ˆ 2

e

ix e ix – +

2

-----------------------

Ë ¯Ê ˆ

e3ix e 3 ix – +

2

---------------------------- eix e ix – +

2

-----------------------

P x( ) 14--- x cos 3 x cos – ( ) =

EXERCICES

•

PROBLÈMES


�

18

4.

Vérifier que la valeur de est la même

au début et à la fin de la transformation.Ce calcul prouve-t-il qu’aucune erreur de calculn’a été commise ?

En utilisant les formules d’Euler, linéariser lespolynômes trigonométriques suivants etcalculer leurs primitives sur

�

.

1.

; ;

2.

; .

RÉSOLUTION D’ÉQUATIONS DANS

�

Résoudre les équations suivantes dans

�

:

1.

; ;

2.

; .


�

:

1.

; ;

2.

; .

Factoriser les polynômes suivants et déterminerleurs racines dans

�

:

1.

; ;

2.

; .


�

:

1.

; ;

2. ; .

GÉOMÉTRIE

Soit ; ; .

1. Placer les points , , , d’affixes ,, .

2. Sachant que , , déduire et à partir des propriétés géométriques du

dessin.3. Retrouver et par des calculs dans �.

1. Rappels de géométriea. ABCD étant un parallélogramme tel que :

, calculer les angles , , .b. ABC étant un triangle de côtés , , , etd’angles , , , exprimer en fonction de

, , .

2. Somme de deux complexes

Soit ; ; .

a. Placer les points , , d’affixes ,, .

b. Sachant que , , déduire et des propriétés du dessin.

3. Retrouver j et par des calculs dansl’ensemble �.

Lignes de niveauLe plan complexe est rapporté à un repère

orthonormal .

est une fonction de � dans �, et estun réel. On demande la ligne de niveau de , etsa représentation graphique dans les cas suivants :1. et .2. et .3. et .4. et .

5. et .

6. et .

7. et .

Définir géométriquement et dessiner les ensem-bles de points dont l’affixe vérifie :1. ;2. (on mettra en facteur,dans l’expression ) ;3. .

FONCTIONS À VALEURSCOMPLEXES

Comparaison de l’exponentielle réelle etde l’exponentielle complexe1. Les propositions suivantes écrites pour desréels et sont-elles vraies dans le cas où et

sont complexes ?a. . b. .c. . d. .2. On considère la fonction définie sur � par

.a. Soit . Étudier les variations de (onenvisagera deux cas).

P p 4 --- Ë ¯

Ê ˆ

15C

f x( ) cos2x x sin = g x( ) x cos 2 x cos =

f x( ) xsin 2 x sin = g x( ) xsin 2 x cos =

16C z2 5z– 9+ 0= z2 4z– 1+ 0=

2z2 6z– 5+ 0= 4z2 4z 1+ + 0=

17z2 6z 34+ + 0= z2 4z– 8+ 0=

9z2 12z– 4+ 0= 2z2 z– 1+ 0=

18C

f z( ) z2 1+= g z( ) z2– z–=

f z( ) z2– 1+= g z( ) z2– 1–=

194z2 3= 9z2 4 –=

z2 2z= z2 5 –=

20 z1 4ei p

3---–

= z2 4ei 4p

3-------

= z z1 z2+=

M1 M2 M z1z2 z

z jeiq= j 0> jq

j q

21

C a= A B Ca b c

A B C a2

b c A

z1 6i= z2 2eip6---–

= z z1 z2+=

M1 M2 M z1z2 z

z jeiq= j 0> jqtan

qtan

22

O u v , ; ( )

z � f z ( ) kk f

k 2= f z( ) �e z( )=

k 1–= f z( ) �m z( )=

k 4= f z( ) z=

k 3= f z( ) z i–=

k p4---= f z( ) zarg=

k p3---–= f z( ) z i+( )arg=

k 3= f z( ) z 2i 2–+( )arg=

23C z

z i+ 7=

2iz 1 i+ + 4= 2i2iz 1 i+ +

1 i 3–( )z 3– i– 6=

24

x y xy

ex y+ ex ey◊= e x– 1ex-----=

ex( )y exy= ex 0>f

f x( ) eax=

a �*Œ f

19


b. Soit . Expliquer pourquoi la proposition :« est monotone » n’a pas de sens.Calculer et donner toutes les primitives de

sur �.

Les fonctions suivantes à valeurs complexessont définies sur �. Donner leur partie réelle etleur partie imaginaire.

.

Les fonctions suivantes sont définies sur �.Dire si elles sont à valeurs réelles ou à valeurscomplexes, puis calculer leur dérivée et leursprimitives sur �.

; ; .

CALCUL DANS �

; ; ; .

On donne : .

En mettant en facteur, au numérateur etau dénominateur, montrer que est réel.

et .

Soit , où

, , , C, sont des réels strictement

positifs tels que : et .

On pose .Donner la forme algébrique de T en fonction de

.

On note : , avec.

On donne :

et .

1. Indiquer la forme exponentielle de .2. Donner et .

LINÉARISATION

Formule de MoivreCet exercice propose l’utilisation de la formulede Moivre pour linéariser et .1. Écrire la formule de Moivre pour .2. Développer .3. En déduire que .4. Montrer comment la linéarisation de et se déduit de cette égalité.

Formules d’Euler1. Démontrer que

.2. Développer .3. Donner une expression développée de

dans laquelle sont mis en évidence

et .

4. En déduire la linéarisation de

a �*Œf

f ¢ x( )f

25

f x( ) eix= g x( ) e3ix= h x( ) ie3x=

k x( ) xe3ix= l x( ) eipx= m x( ) ei 2x 3+( )=

n x( ) e 2 i–( )x= p x( ) 2i 3–( )e ix– 2+=

26C

f

f x( ) e3x= g x( ) e ix–= h x( ) e 2i 3+( )x=


Nombres complexes 2

TP 1 Exemples de mise en œuvre des formules de Moivre et d’Euler : Linéarisation de polynômes trigonométriques.TP 2 Résolution des équations du second degré à coefficients réels.




27**

a �Œ b �Œ k �Œ a b+ p k 2p◊+π

m eia eib+1 eia eib◊+---------------------------=

ei a b+

2-------------

m

28**C

j �Œ j2 1–=

TR3

R1------

1 2jR2Cw+

1 2jR2Cw R2R3C2w2–+----------------------------------------------------------------◊–=

R1 R2 R3 wR3

R1------ 10=

R3

R2------ 5=

t R2Cw=

t

29**

z �e z( ) i�m z( )+ reiq= =r 0>

�e z( ) 2 3+= �m z( ) 2 3–=

z2

r q

30*

cos2t sin2tn 2=

tcos i tsin+( )2

2tcos cos2t sin2t–=

cos2tsin2t

31*

a b+( )3 a3 3a2b 3ab2 b3+ + +=

eix e ix – – ( ) 3

eix e ix – – 2

i

----------------------

Ë ¯Ê ˆ 3

eix e ix – – 2i

---------------------- e3ix e 3 ix – – 2

i

----------------------------

sin3x

EXERCICES

•

PROBLÈMES


�

20

Linéarisation de

1.

Donner une expression développée de

dans laquelle sont

mis en évidence et .

2.

En déduire la linéarisation de .

Linéariser les expressions suivantes en utilisantles formules d’Euler.

Soit .En utilisant une fois l’instruction « linéariser »d’une certaine calculatrice qui possède un logi-ciel de calcul formel, on a fait afficher :

.

Terminer la linéarisation, en utilisant lesformules d’Euler.

Remarques

:• On ne demande pas de prouver que l’affichagefourni par le logiciel est juste.• L’instruction « linéariser » peut être « tCollect » ou« tColl ».

Linéariser la fonction proposée en utilisant lesformules d’Euler, puis en donner une primitivesur

�

:

, où et .

RÉSOLUTION D’ÉQUATIONS

1.

a.

Résoudre l’équation dans

�

.

b.

On note et .Présenter les calculs de et .

2.

Pourquoi il ne faut pas écrire

On fait l’hypothèse, dans cette question seule-ment, que les théorèmes et notations concer-nant les racines carrées des réels positifs restentvalables dans

�

. D’après cette hypothèse,

l’équation a deux solutions, quis’écrivent :

et .

a.

Calculer , à l’aide de laformule .

b.

Calculer comme carré de la racine carréede , c’est-à-dire .

c.

Déduire des questions

2.a.

et

2.b.

un calculqui conclut à :• ;• .

3.

Pourquoi il ne faut pas écrire

On fait l’hypothèse, dans cette question seule-ment, que les théorèmes et notations concer-nant les puissances non entières des réels posi-tifs restent valables dans

�

. D’après cettehypothèse, l’équation a deux solu-tions, qui s’écrivent :

et .

a.

Calculer , à l’aide de la

formule .

b.

Calculer .

c. Déduire des questions 3.a. et 3.b. un calculqui conclut à :• ;• .4. Faites calculer à votre calculatrice, souschacune des formes :

; ; .

Remarque :• Avec une TI, traiter cette question en mode « real »,puis en mode « ».• Avec une Casio, utiliser puis .

5. .

Dire si la phrase suivante est correcte ou non :« Dans �, a deux racines carrées, qui sont

et . »

6. Résoudre les équations et :

a. dans � ;b. dans �.

1. Résoudre dans � l’équation :,

dans laquelle désigne l’inconnue et un réelde l’intervalle .

32*C

3tcos 5 t sin

e3it e 3 it – +

2

---------------------------

Ë ¯Ê ˆ e

5

it

e 5 it – –

2

i

--------------------------

Ë ¯Ê ˆ

e8it e 8 it – –

2

i-------------------------- e2it e 2 it – –

2

i--------------------------

3tcos 5 t sin

33**

A acos 4acos= B cos23q 2qsin=

C 3pcos 4pcos=D cos2j sin22j–=

34**

f x( ) cos3x 2xsin=

f x( ) 3 2xsin xcos4

------------------------------ 2x 3xcossin4

------------------------------+=

35***

f t( ) sin3t= g t( ) 2 tcos+( )2=

h t( ) U wtsin( )2= U �+*Œ w �+

*Œ

36**

z2 1–=

z1 i= z2 i–=

z12 z1z2

1–

z2 1–=

z1 1–= z2 1––=

z12 1– 1–¥=

a b¥ ab=

z12

1– z12 1–( )2=

z1z2 1–=

z1z2 1=

1–( )12---

z2 1–=

z1 1–( )12---

= z2 1–( )–12---

=

z12 1–( )

12---

1–( )12---

¥=

xm ym¥ xy( )m=

z12 1–( )

12---

Ë ¯Ê ˆ

2

=

z1z2 1–=

z1z2 1=

z12

1– 1–¥ 1–( )2 1–( )0 5, 1–( )0 5,¥

a bi+x2 ^2

a �+*Œ

a–

i a i a–

z2 93=z2 17–=

37*** z2sin2t 4z tsin 13 9sin2t–+– 0=

z t] 0 p [;

21


2. Lorsque , placer dans le plan

complexe rapporté à un repère orthonormal lesdeux points qui ont pour affixes les solutions del’équation.

et .Résoudre l’équation d’inconnue Z :

.(On montrera que ).

Équations bicarréesRésoudre dans � les équations suivantes :

.

Équation du troisième degréSoit, dans �, le polynôme :

.1. Travail dans �Soit , avec .a. Calculer .b. Mettre sous la forme d’un produit detrois polynômes ; à défaut, de deux polynômes.c. Résoudre l’équation .2. Travail dans �Résoudre l’équation . On donnera lestrois solutions sous forme algébrique.

Racines complexes d’un polynôme. .

1. a. Calculer .b. Écrire comme produit de par unpolynôme du second degré à coefficients réels àdéterminer, après avoir prouvé que cette facto-risation est possible.2. Indiquer les trois racines complexes de :a. sous forme algébrique ;b. avec la notation exponentielle.

APPLICATION DES COMPLEXES

Représentation de Fresnel en électricité1. Somme de deux complexes

Les complexes , , et ont pour notationexponentielle : ; ;

.

On pose .a. Montrer que :

b. Exprimer A en fonction de , , et.

Donner une expression de en fonction de, , et de lignes trigonométriques de et.

2. Représentation géométrique d’une sommeDans cette question :

; ; ; .

a. • Placer , , M dans le plan complexe

muni d’un repère orthonormal (la

construction de sera expliquée).

• Lire approximativement sur le dessin lalongueur OM et une mesure, en degrés, de .• En déduire, approximativement, la formeexponentielle de .

b. • En remarquant que , prouver

que :

et .

• Calculer A et .c. Vérifier la concordance entre les questions2.a. et 2.b.

3. Représentation de FresnelEn électricité, on utilise fréquemment des fonc-tions sinusoïdales du type :

où A est la valeur efficace, la pulsation et laphase à l’origine (A et sont des réels stricte-ment positifs, est un réel quelconque).Soit et deux fonctions sinusoïdales demême pulsation :

:

: .

On considère les complexes ;

; .

t 3p4

------=

38***C

u ] 0 p [;Œ Z �Œ

2Z2 1 2ucos–( ) 2Z 2u 1+sin– 0=

D 16 sin 4 u –=

39**

z4 z2 20–+ 0= 9z4 37z2 4+ + 0=

40*C P z( ) z3 9z2 27z 19+ + +=

P x( ) x �ŒP 1–( )

P x( )

P x( ) 0=

P z( ) 0=

41* z �Œ P z( ) z3 3z2 3z 9+ + +=

P 3–( )P z( ) z 3+

P z( )

42***

z1 z2 zz1 A1e

ij1= z2 A2eij2=

z Aeij j p2--- kp+πË ¯

Ê ˆ=

z z1 z2+=

A jcos A1 j1cos A2 j2cos+=

A jsin A1 j1sin A2 j2.sin+=ÓÌÏ

A1 A2j1 j2–( )cos

jtanA1 A2 j1j2

A1 2= j1p4---= A2 3= j2

p12-----=

M1 M2

O u v , ; ( )p12-----

j

z

p12----- p

4--- p

6---–=

p12-----cos 6 2+

4---------------------=

p12-----sin 6 2–

4--------------------=

jtan

t � A 2 w t j + ( ) sin

w jw

jf1 f2

w

f1 t � A 1 2 w t j 1 + ( ) sin

f2 t � A 2 2 w t j 2 + ( ) sin

u1 A1ei wt j1+( )= u2 A2ei wt j2+( )=

EXERCICES

•

PROBLÈMES


�

22

a.

Montrer qu’il existe des réels A et tels que : .En déduire que la somme de deux fonctionssinusoïdales de même pulsation est une fonc-tion sinusoïdale de pulsation .

b.

Un repère orthonormal du plan étant choisi, la représentation de Fresnel de la

fonction sinusoïdale : est

le vecteur d’affixe .

Soit et deux fonctions sinusoïdales de mêmepulsation, l’une a pour valeur efficace 2 et phase à

l’origine , l’autre a pour valeur efficace 3 et

phase à l’origine .

• Représenter les vecteurs de Fresnel de cesdeux fonctions et leur vecteur somme.• Calculer la phase à l’origine et la valeur efficacede la somme de ces deux fonctions.

c.

Reprendre la question

3.b.

pour :

et .

j A 0>( )u1 u2+ Aei wt j+( )=

ww

O u v , ; ( )

t � A 2 w t j + ( ) sin

OM z Aeij=

f1 f2

p4---

p 12 -----–

f1 t( ) 3 2 wt p6---+Ë ¯

Ê ˆsin=

f2 t( ) 8 wt 2p3

------–Ë ¯Ê ˆcos=

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